第一章-综合提高题-问题求解（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:29:31

好，我们来看一下第这个题目，主要考点是考察它的余数情况，而且咱们讲过余数，咱们有两类在二零一九年就考察了余余数是吧？余数有两类，一类是同余，一类是不同余，这道题是考。考察同余的同余的同学，因为这个余数都是一样，比如说某校全体学生列队，不管他们人数相等的，按照两人一队啊，三人一队，

四人一队，五人一队，六人一队，七人一队，八人一队，九人一队都会有。余一个人啊，余一个人好，那求这个学校至少有几名学学生是吧？好，那我们讲了，如果同一问题比较简单，只要让这个。数减掉余数一，就能同时被。

能同时被二三四五六七八九整除。啊，就能同时被二三。二三四五六七八九整除啊，就是m- 1就能同时被二三四五六七八九整除。好，那在这里面，我们来看一下它的这个方法，能被它同时整除好，那么要总整除的话，那就找它的公倍数。找到公倍数，当那个数比较多的时候，我们找公倍数就采用呃分解的方法来进行求，不过大家如果发现在多个数找公倍数的时候，

如果大数要包含了小数，这个小数就可以把它给。删掉什么意思呢？看这个二四都被八所涵盖，道理因为八又含有二又含有四。是不是这个就就就二跟四就不要了，然后再看三三的话，三的话那么九还有这个约束三是吧？所以这三也也就不用要了。所以就剩五六七八九这样的情况，找它的这个公倍数五六七八九，大家可以发现这个五跟这几个数都互质的，七跟这几个数都互质的，你只要找六八九。这这几个数就行了好吧，

六八九这几个数好，大家可以发现这个六呢，可以分成二。乘以三这个八呢八里面含有二九，里面还含有三，其实这些六呢可以不要对吧？六可以不要因为六的这两个约束都被八和九所包含了。所包含了啊，听懂没有？看六里面有有一个二八人家里面有三个二是吧，所以这个六就不要了，然后六里面三三的话在九里面也包含了，所以这道题就剩一个五七八九五七八九。这些数正好都是两两互质的，所以说它的公倍数就直接拿这四个数相相乘啊，

所以公倍数。最小公倍数总共是有五×7×8×9。啊五×7×8×9，这样就写出来了好，那这个就很好算啊，五八四十四十乘以个63。然后这个二五。二零是吧？是的，公倍数就是二五二零二五二零，然后m呢？最小m最小。就是二五二一这样就写出来了好吧，然后这样就可以求出它的答案好，那把这呃各个数位加在一起，

正好就十直接拿去选择d选项，这样就求出来看是不是弄明白了？答案就写好了，这第八题给大家强调解题方法，看是不是就听懂了，下面咱们看这个题，这道题大家可以发现不同同于。看没好不同于也是余余数。好有四个自然数abcd，它们的和不超过400，而且这道题考查不定方程。因为四个数。好那么且a÷b它的商是五余五，看到没？它余余的是五商，

正好是五余是五。好，那大家知道这个余数啊，余余数啊，这个除数和余数就是除数余数一定要小于除数。是吧，所以a÷b商为五余余五好，那说明这个b1定要大于五。b1定要大于除a，除以c余六啊，余六就相当于c要大于六啊a，除以d余7d一定要大于七，听到吗？余数一定要小于这个除数啊。好问这四个自然数，

它的和到底是？多少好在这我们看发现是有商，不知道是吧，所以25这道题商不知道。商不上那a÷b，它的商为五余五好，那我们就可以写成好，我们就有一个重要的公式啊，叫被除数。就等于除数。乘以商。加上余数。啊，被除数就等于除数乘以商，加上余数好，

那这个a÷b商是五余五，那么a就可以写成。b×5再加上五。所以就可以写成五倍的b+1。好，那么这个a÷c商是六余六，同理可以写成啊六倍的c+1。好那么a÷d。商是七余7a，就等于七倍的d+1。好，这样我们就可以得到。得到a呢，能被五六七整除是吧？所以就可以。

推出a能被。五六七整除。好a能被五六七整除a能被五六七整除的话，那么五六七的最小公倍数最小公倍数就210，所以a就能被210整除。是吧a就能被210整除aaa是210的倍数，但a又不能是210的两倍，两百一两倍有超过400了，所以a只能是210。听到没？所以a推出只能是210的1倍，好a求出来a要是两百两百一。看这个是除以五就得到b+1，所以b又可以写出来210，除以五得到是42，

42-1。得到41是吧，然后我们看一下这个CC呢，就等于210。啊，两百一两百一除以六得到三十五三十五减一就得到三十四。然后dd呢，就等于210÷7得到30-1就得到二二十九好，把它加在一起就可以得到这个数值关系了。啊，然后就可以得到数值关系，然后算出来就是c选项得到314，它让求a+b+c+d把它加在一起就314。这样就求解出来了，看这个题是不是学会了？

好，那这道题主要考点就是把这个被除数等于除数乘以商加余数，然后最后还是转换为整除转换整除，把这个每个数呢求解出来就行了。好，接下来我们看这个题有两个两位数啊，这都是两位数。这两个两位数最大，公约数最小公倍数和是91最小公倍数是最大公约数的12倍，问这两数中较大数到底是多少？大家首先通过这两个方程，把最大公约数，最小公倍数给它解出来好吧好，如果假设最小公倍数。假设最大公约数假设最大公约数。

为a那么则最小公倍数。这最小公倍数就为12a，当然考试不用写那么多汉字啊。好，假如最大最小公倍数啊，最大公约数是a，那因为它题目告诉我们最小公倍数是最大公约数12倍，所以最小公倍数可以把它写成12a。这样就写好了好吧，可以选12a选12a后，那么这两个呢和是91啊，最大公约数最小公倍数和是91，那相当于最大公约数是a最小公约数12a和是等于91。好，这样就可以把a得到就是7a得到七就写出来了，

好a得到七那么最大公因数是七，最小公倍数就84。是吧啊啊，八四好，那在这里面我们就可以设两数。设两数，这个咱们在前面讲例都讲过啊，如果要知道最大公约数，那么你就可以设两数，分别是7m和7n。因为这个a=7已经求解出来嘛，这个最大公因数的七已经求解出来，求解出来的话，那么最大公约数意思就代表每个数它都含有共同的七好吧，每个数都含有共同的这个七。

每个数它都含有共同的，这个数都含有七好都含有七，在这里面大家就可以看出这是7m7n，在这里面大家注意这个m是互质的。mn它是互质的，懂了没有？mn它是互质，然后这是为什么互质？因为它保证最大公约数，知道吧？最大也就说除了七之外，不能再产生共同的约束了。所以这最大就是七好得到这个以后，然后大家还记得咱们前面学学过公式啊。只有两个数，

还记不记忘记同学翻前面数啊？两个数，它的乘积就等于最大公约数乘以最小公倍数啊？两个数的乘积。就等于最大公约数乘以最小公倍数，最小公倍数就12×7。然后这样就可以推出m×n就等于12。好m×n=12，那么它如果问有几种情况，这12可以分成一×12，二×6。三和四。但是呢，这个二×6这种这种情况要舍掉啊，就像呢m和n不能一个取二一个取六，

听到没mn不能一个取二一个取6 mn，如果要一个取二一个取6 mn，它就不是互质了。知道吧，它又不是互质的，这样就不行啊，所以必须呃mn一个取一一个取12，这个可以一个取三一个取四，这样也可以，它让你求最大的是吧，求最大较大的数较大数，你就当。所以这道题也可以得到两种情况是吧？这两个数。它有两种情况，

第一种情况就是m取1n取12m取n取12的时候带到这个里头来，就可以把两个数求解出来，听懂没有m=1的时候，这个第一个数是7 m=12的时候，这个数是八四。或者这两个数还可能是一个取三，一个取四和n一个取三，一个取四带到这里面来就可以得到是21。或者说二八这样就求出来了，好吧，就二一。看28好，这个写好了，看这个是不是明白了，就二一二八好，

那在这里面要求最大的最大的数就是八四。好，这样就可以写出它的数值好吧，所以在这里面大家呢啊，要掌握它的做题的方法和思路，而且在这里面84为什么不太行呢？大家可以看为什么不太行呢？因为它是两位数，所以这个七。它是一位数，这也舍掉好吧，所以这种情况也舍舍掉，最后呢，就得到这种情况，这种情况是满足满足的话，

那再这么最大就是28了。是吧，最大28，所以这个呢，应该选择的是d选项，第四个选项是正确的，好这道题听完后我给大家进行。概括一下它的思路好，那么这道题给了最大公约数，最小公倍数，它的关系你可以设最大公约数为a最小公倍数为12a，然后跟它的和91把a求出来，这是第一步。a就在后，那么最大公因数就知道了，

最小公倍数也知道，那这两个数就可以写出来，两个数是7m和7n mn，它是互质的。好，那么再根据咱们前面学的公式两数的乘积，就等于它的最大公约数乘以最小公倍数，然后得到m×n它的结果m×n，然后再进行因式分解，分完后那就可以得到它的这个数值。那是不是又根据题目说了两位数，听到没两位数的话，那这个一位数就舍掉，然后得到这种情况这样答案。好，

这是强调的方法，好，这道题公倍数公约数基本上把咱们前面考公式都都记住了啊，都用到了，就是两数给你。最大公约数啊，如何来设两个数，另外两个数的公式，两个数的乘积等于最大公约数乘最小公倍数，那这也都用到了。好，接下来我们看这个题好一个介于100到200之间的整数啊，那除以24或者26都有余数16那个数到底是多少？好，那在这里面大家要注意的内容是什么呢？

就同余啊，就余数相同啊，余余数相同，也就说这个，假如这个数是MM÷24，它余16。然后m它除以36，它也余16，是不是这样的好？所以说这是它的知识点，那通过这个我们就可以得到m- 16。好能同时被。能同时被24和36整除。好m- 16能同时被24和36整除啊啊m- 16能同时被24和36，它是整除的。

然后在这里面那么找24和36的最小公倍数，最小公倍数，大家呢，就可以求出24和36。它的最最小公倍数。啊，最小公倍数就得到72是吧？72所以在这里面啊，它的最小公倍数有72啊，咱们前面讲过两个数的最小公倍数，求解方法好吧，所以把它最小公倍数求出来就72。72求出来以后，那说明m- 16应该可以写成72k好吧，是72的倍数。

好，这个懂了没有？72倍数，那这个m就等于72k。再加16，由于它这个呃m是介于100到200之间，100到200之间k就取二就行了，所以。所以取k又等于二。k=2 m，就等于72×2再加16好，大家知道72。72×2得到144好，144+16得到一百一百六。是吧，

所以在这里面大家呢，就可以得到它的数值啊，160啊，160那么它的它问这个数的十位啊，这个数十位就为六好吧，这个数的十位。这个所求的数十位就为六，这样就求解出来了，最简单就选择的是b选项，看这个题是否听懂了，所以这道题唉，就用了咱们前面讲过除法里面的那么。同余，这个思路来分析好吧，然后同余，

然后按照这个余数来进行分析和思考就可以了。好，接下来我们看一下这个题，用一个数去除30，60，75都能够整除。啊，一个数除这个都能都能够整除，注意这是除除的话，反过来就除以啊，就30÷1个数60÷1个数75÷1个数。然后都能都能整除这个数最大的m，所以这m就相当于取30，60和75的最大公约数。这两个最大公约数，

它又为15。这样公约数，它就为15好吧，所以这个m呢就等于15。然后另外一个数，另外一个数用35除都能够整除这个数最小是n，最小是n，然后在这里面大家呢，就相当于是。啊，它应该取三四五的最小公倍数是吧？只有三四五它的最小公倍数。最小公倍数，它又为60好吧，三数最小公倍数为60，

所以这个n最小就是60。好，那m加就可以得到，是75正确答案就选择的是。b选项。好在这么要注意这个描述啊，比如说a÷b。啊，它表示是b除以。a它表示是b÷a这样的情况好吧a÷b好吧，就代表是b÷a好吧，大家注意这个前后。关系不要给写反了好吧，然后大家注意它的特征好，下面这道题可能有同学题读不懂，

大家呃读不懂，所以手边有硬币硬币它的。厚度呢，是不一样的，就六枚一分硬币叠在一起，与五枚两分硬币一样高啊，就六枚这一。二三。四五六六枚与五枚两分的。一二三四五五枚两分的给在一起，它厚厚厚度甲一样高。啊一样高，然后六枚两分的硬币与五枚五分的硬币叠起来一样高。如果用一分两分五分硬币叠成三个柱体一样高，那这些硬币的币值为四元四角两分，

问这三种硬币共有多少枚？好，那在这里面，我们要关键是要看它的厚度是吧，所以把它的厚度找出来就行了，我们假设一分的硬币的厚度是x。好两分的硬币的厚度是y，然后五分的硬币厚度是z是吧z好，我们就根据厚度可以得到就6x的厚度啊，这6s厚度。等于五倍的y的厚度。对吧，然后六枚两分的硬币，六枚两分6y就正好等于五枚。两分五枚五分的硬币就等于5z。

就等于5z，然后这时候我们把xyz给它找出它的这个关系来是吧？然后这样好用，一分两分五分。分别叠成三个柱体一样高，就三个柱体一样高，又啊一分两分五分叠成的柱体一样高，假如这个用了m枚，这用了n枚，这用了z。那这用了k枚。啊，用了k煤好吧，所以它结成的柱体一样高一样高，这个m煤m煤就相当于是m煤一分的m1分，

我刚才说一分的硬币的厚度不是x吗？好就相当于m×x就是一分叠成的圆圆柱体，就是m枚一分的。明白吧，然后加上n枚两分两分的硬币的厚度不是y吗y啊，应该等于。是吧，因为它的柱体是一样高的，然后等于k每五分的五分的硬币的厚度是多少是k？乘以个。z是吧k乘乘以个z好，这个它的圆柱体一样高，然后这样我们就可以写出它的。币值币值的话就四元四角两分四元就四元就是一分的。啊，

就是m枚就是m分两分呢，是两枚就是2n分五分的，就是有k枚就是5k。分总共四元，四角两分就相当于等于442分。对吧，四百四四十二分，好在这里面只要求出mn k的比值关系就行了，好因为这道题，它最后xyz它就消掉，所以大家可以用一个。最简整数比这样话就是好分析一点，比如上面我们都称一个六是吧？所以你y你就可以给它取一个特值来分析，比如y呢就就取六。

好吧，或者y取一个30也行啊y取一个30好吧，所以因为这地方有6y，这地方有5y，所以y呢，你就可以取一个30。我又取特值了y就等于个30 y=30，这x呢就等于一个。25然后z呢，就等于个36。是吧z就等于36，然后这样的话mn k它的比值就可，当然你不取不取这个特值也行，不取特值，反正xy最后这个比的时候就。

就比掉了啊，这样一样，这样都可以啊，所以在这里面大家呢，如果你不不取特值，这个也没没事儿也一样不取特值的话，最后呢，你可以发现。这个你把这个xyz都用x来表示，或都用y来表示啊，就m乘以xx可以写成六分之五y。这也就等于n×y。这个呢，就是k乘以zk k乘以zk呢啊z呢，可以写成五分之六y。

乘以个k是吧？所以这样就可以找到mn k它的一个比值关关系mn k的比值算出来了，那答案就可以求求解出来好吧，反正呃，你如果这样算的话就麻烦点，然后两边同乘以30。同等于30就得到是30，这个y都都约掉了啊，得到是25 m=30 n。等于一个。36k。啊，这跟刚才我取特值是一样的，看到没有啊？得到的就是一样，

都一样，然后这两个方程，两个未未知数，那么就可以。找到它的一个比值关关系好吧，所以这时候当然也可以取一个呃，整整数比你可以可以取个特值，把它一个都取到。啊，因为25，30和36啊，等下就可以取一个呃特值法，会令它等于多少，这样比这样也也行。啊，

然后呢？就可以找到它们的一个比比值。好，那找它比比值，以后比如就找到这个。啊，这个它的数值关系。900是吧，你可以找一个这个九。九九百好900，那么这就是m就等于36，这样就可以写出来是吧？m就就占36分就可以得到m比n比上k。就可以写成36。比上30，

比上一个25。是吧，这样就可以比出关系好，比出关系以后那么呃，这个可以把它看成多少倍的份儿是吧？多少倍份儿，这样就可以把mn k给它解出来，因为它。加在一起不是442份儿呃，442嘛，就m+2 nm，能把它看成36份儿，2n就是60份儿，然后五倍的k就125份儿。好，

然后这个算出来有96，96，这是一，这是二，这是220，二一正好再乘以两倍，乘以两倍就可以得到m呢，就是一个。是m就可以算出来m就等于72枚n呢？就等于60枚，然后k呢？就等于五五五十枚，这样就写出来了。所以这样算出来就等于182枚，这个答案就选择c选项，

这样就求解出来了，好把这道题方法给大家进行概括一下。这道题我们首先根据前三句话，我们设一分的硬币的厚度为x5分的硬币厚度啊，两分硬币厚度为y。然后五分的厚度为z，这样根据它厚度相等列出一个等式，做到这儿就得到啊xyz之间的一个关系，做到这儿可以把xyz呃用特征法解出来。然后最后他说啊，弄成三个柱体一样高，我们也不知道一分用了多少枚啊，二两分用了多少枚，五分用了多少枚，我们分别设mn k枚，

它的柱体一样高，列个等式这道题。难在运算上啊，其实方法上不难，就三个圆柱体一样高一样高的话，然后就可以得到mn k的比值关系mn k就36比三比30比上25。这样就可以写写出来好mn k，这个写完以后。我们就可以根据它总的硬币的币值钱数是四元四角两分，所以就把所有的硬币的钱都转成分得到442分。好，那么通过mn k比值36比30比25在这里面，你就可以把m+2 n+5 k得到是221份儿。这是221份儿，这是442，

所以给它扩大两倍就是mn k的值，所以最后得到mn k它的。答案就是这么多美。所以三种硬币，它的枚数就这么多多枚啊，就72枚，60枚和50枚啊，这就可以写出它的答案和做题的方法。看是不是学会了，所以这道题可能有同学呢，不太会会做是吧，不太会做的话，你就按照老师用这种设方程的方法做，如果要会做的话，那么在这里面大家呢，

就可以用这个。特值法啊，非常简单一点，找它的比例，然后来分析就可以了，所以这里还用到了一个公倍数，它的一个特征。看这个题是不是学会了好，那下面咱们来看一下这个题目好，这个题目它给的就是有若干根铁丝是吧？有12分米长的铁丝12根。18分米长的铁丝九根和24分米长的铁丝十根，把它们截成一样长，这个是关键词啊，截成一样长。

其实它本来长短是不一样的。现在要把它截成相同长度的啊，截完后不能浪费，不能说截完以后还剩余一些。好，那么问这个截下来的铁丝那么最长是多少？然后可以截多少根儿？好在这里面大家要记住这个一样长，就是相当于每个数都满足的，这样的约束。所以要找最大公约数，所以这道题大家读完题以后，它的考点就是考察最大公约数。好，那么怎么样看到它考最大公约数呢？

公约数的含义就是每个数都有，你有我有，它也有，那么为什么找到最大公约数呢？因为这里面有个最长，所以要找到关键词。好，那接下来我们来看一下12，18和24它的最大公约数好12，18。24好，它的最大公公约数。我们可以看出就为六。资料公约数，它就为六好资料，

公约数要为六的话，那么在这里面我们看12分米长的，然后每一根儿铁丝可以截成两段儿。可以截成两段儿啊，所以在这道题里面就最长MM呢是等于六的，看可以截多少根，我们来看看。啊，因为在这里面就12分米长的每一个可以截成两段，所以说12根可以截成24段。给结成24根。好，然后18分米长的这个铁丝啊嗯，它可以截成三段儿，因为按照长度六来进行截。

它可以截成三段，三段那么九根，可以截成27段，加上24分米长的24分米长的，它按照六来进行截的话，可以截成四段。四段儿，然后每一段儿每个是十根儿啊，所以在这里面就40根儿。好，那在这里呢，我们就可以求出它的呃，这个答案啊答案，然后这个就得到是91。这个得到就91，

这样就写出来了，然后91，然后再加上六就可以得到是97，这个呢，就选择a选项啊，所以m+n就等于97。好，这是给大家强调做题方法，看是不是弄明白，是不是学会了好，通过这道题，大家要知道公倍数公约数它的一个使用啊情况，大家要总结一些规律和方法。好，那么这道题这道题呢？

是给不同人数的啊，来分啊，这个同一个物品分同一批物物品。是吧，然后都分这个物品好，那么这个一般方法呢？就设备的数做，但是这道题我觉得最简单的方法啊，为了保证整除啊，大家可以采用啊公倍数来分啊，所以说这道题它的做题的模式就是。啊，不同数量的对象来分同一批产品啊，就是就是花生这么多，如果全分给第一呃第一批人，

那么怎么着从全分给第二批全分给第三批？它的这个情况是吧？所以在这里面好，那么它它也要掌握它的方法是什么呢？我们来看看就是。不同数量。的对象。分。同一物品。都同样物品，这个花生的总量它是一样的，花生的总量就是一样的好吧好，那么如果要采用设备的数的方法可以，但是大家用公倍数来做，要简单点儿。

啊，当然，你要想不到公民收款，你就这样做，写着第一群猴子呢，有a只。第二群猴子呢？有b只，第三只群，第三群猴子呢？有c只好那我们就可以发现花生的总数是一样的，对吧？花生的总数，所以这个花生。共多少呢？

就共就是12a，因为每只猴子它可以得到12粒，然后有a只。然后这样的话，它总共花生就12a，那么又等于一个15b。等于20c是吧？这就是代表花生的总数。然后现场问平均总共分给这三群猴子，每只猴子多多少只好如果呃一块儿分，然后它它每只。要分多少？有人说知道，那就拿花生的总数除以总共的猴子的数量a+b+c是吧？花生总数你可以用12a表示，

用15b表示，用20c表示都可以。啊，都可以，所以这个分式的分子分就代表花生的总数量，分母就代表三群猴子的总数量，这样算出来就是平均每只猴子它要分多少？那这里面b大家都可以用a来表示c也可以用a来表示。带到里面去就行了，但是大家可以发现，我们为了简单，我们可以取一个公倍数就是12，15和20，它的公倍数就60，我们假设这个花生啊，

这是设的一个数啊，因为不影响答案。我们就设花生，总共有60粒好吧，这样的话就简单讲了，花生就六六十粒，花生60粒的好处就是第一群猴子呢，把它看成a5只。对吧，五只第二群猴子，把它看成四只第三群猴子，把它看成三只，这样就可以写出来了，然后这样我们就可以得到60÷12得到是五啊五，所以说每只。

猴子，它可以分啊，五类，这样就简单，当然你不用这个嗯，公倍数来表示的话也能解啊，一样就只不过是要带着ABC来分析，那就稍微麻烦点，所以我们为了简单我们。那就可以取一个公倍数，所以以后记住，如果出现一个乘积的这种等式的话，用公倍数来求解里面的数啊，这样算要简单。

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