第一章-综合提高题-问题求解（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:29:18

好，下面咱们看这里其实也考察分分组问题，也考察分组，因为老师与学生每人种树一样多，就是要要能分解出这个约束啊。约束好王老师带领一班同学去植树，学生恰好平均分成三组。那学生恰好平均分三组，就学生要三的倍数了是吧？所以这道题的考点。考点也是考察分解。约束，而且考查不定方程。啊不定方，因为它啊范围每人种树要多于两棵而不超过20棵是吧？

这是一个范围啊。好，那学生恰好分成三组就学生呢，应该是三的倍数啊，学生三的倍数，然后572，572应该等于这个人人数。乘以每每人的棵数。是吧，人数乘以每人种的棵数。好，那么在这里面，我们来看一下它的这个特征，好，那么这个人数呢，

就等于学生。加上老师加加上一再乘以棵数。好，而且这个学生要三的倍数，学生必须是三的倍数啊，学生三的倍数加上一好，接着就是572，大家把它分啊，572。570还按照咱们前面讲的，先把它分成质数。是不这个数呢？就先分出一个二。诶，因为它的呃。

末两位是72，72能被四整除，咱们讲了能被四整除的特征是如果末两位是四的倍数，那么这个数就能被四整除，所以它分成两个二。好，另外这个数位之和大家可以看一下，接下来它还能被11整除，因为奇数位之和咱们讲了奇数位之和减去偶数位之和。正好啊，按奇数位之和，就第一位加上第三位就二+5是七减掉偶数位之和是七，然后正好等于零零是11的倍数，这个我们前面在介绍知识点上讲了啊。一个一个数，

能不能被11整除就看啊奇数位之和，比如个位百位这个奇数位之和减去偶数位之和，减完后是11的倍数，它就能被11整除，所以还能分成十。11来好分完后，剩下一个13就找到了好吧，前面都是用咱们整个特征来判断的。然后后面余一个13好，那这个分完后我们就可以看出它的这个情况。啊，它的情况由于这个棵数棵数要介于二到20之间是吧？所以在这里面。棵数介于二到20。之间好那么这个学生人数，

我们看学生人数，如果这要是这要是当这个学生加上老师人数的话，这个就不太行是吧，因为它这个科数它就会超过20。所以在这里面，大家在讨论的时候，我们要看一下啊，看一下，所以说啊，你怎么去分可以分成44×1+12，但是这个时候呢，它又超过了啊，就超过了，所以这时候每人值四颗就。不行好，

然后在这里面我们来看一下，如果要是啊二×1个。13我就给大家分一分二乘以十三二二乘以十三二二六二二六，每人超过了这个也不太行啊，超过了也不太行，所以说这个植树的。棵数要么就是，要么就是11，要么就13，因为二到20之间，它只有11跟13啊，所以说后面这个数。十十一的时候，那么前面的数就是五五十二是吧？剩下的数就是52，

如果这个数要。13的时候，前面这个数就44。44所以后面这个数就代表植树的棵数啊，棵数要么就11棵，要么就13棵好，如果要11棵的时候，这个52，52就等于学生加上一，那学生就是51人，51人正好呢。啊，就能够被三整除，所以这些答案就选择啊这个。a选项答案就求解错了啊，

就是51跟11啊，值11克a选项，这样就写好了，看是不是学会了啊？啊，因为44它减一它不是不是三的倍数，所以这个呢就不满足题，这给大家强调的做题方法，看是不是学会了，所以根据科数二到20之间。就知道它的众数，要么11颗，要么13颗啊，好，这是给大家强调的这几个题啊，

六个题，它的一个分解分解的话，就是把它分成质数。啊，要学会分层制度，以后再进行讨论啊。好，那下面我们来看一下，接下来几个题，接下来几个题，就是看末尾为零的这个分析思路和方法啊，末尾它有几个零？好，末尾有几个零的话，大家注意，

这就是一个产零原则。啊产林原原则就是产这个林。产蛋原则，大家看这个磷是不是像一个鸡蛋呀？所以也可以把它称为一个产蛋原则，就数着成鸡产蛋原则。好，大家想想，乘积完以后怎么样？会末尾会出现零呢？就一个二一个五，所以它的考点我们写一下。一个二，一个五就会产一个零是吧？一个二，

一个五就会产生一个零。好，往往这个二是过剩的啊，二是过剩二很多二呢，用不完有无无数多个？啊，你想怎么用用？所以说这个磷就五来决定磷的个数。所以你看它分解约束里面啊，有几个五就会唉，有多少个零看这个是不是明白了，就像咱们给它打个比方，像咱们这个矿泉水一样。有瓶盖儿和这个瓶瓶子，比如说这个瓶盖儿非常多啊，

这个瓶盖儿比较小嘛，瓶盖儿比较小啊，二比较小，瓶盖儿比较多，比较多，问你能组成多少套这样的瓶子就是一个瓶子，一个瓶盖儿。多少套？那在这里面，大家呢？就可以看二这个这个瓶盖儿比较多，那么组成多少套就由这个瓶子由五来决定组成多少套，明白吧？用用五来来决定。它囤多少套，

这样就行了，所以我就决定零的个数，所以接下来我们就看把含有五的，或者能分解出五的都给它挑出来好吧，都给它挑出来，你看五。十，15。20。25，30，35等等的是吧？好，一直到100是吧？到100。

好，那在这里面，我们看一下这从五到100，总共有20个数。啊，从五到100总共有20个数，所以这里面就得分出20个五。而我但是大家还要注意的是，像有的数它可以分出两个五啊，两个五好，你像25。25可以分成五×5，它里面含有两个五对吧？还有这个50。也是含有两个五对吧？

然后还有这个75。也是含有两个五对吧？然后这样的还有一百一百呢，就是也是含有。两个五，所以在这里面，大家可以发现，刚才咱们只把这几个数都当做一个五来算啊，所以刚才呢，我们先假如每个数呢，都提供一个五。好吧，每个数都提供一个五，每个都提供一个五，现在它还少了，

每个数少了一个五，所以再加上四个五。所以总共算出来就24个五。好，24个五的话，所以它末尾它乘法上就有24个。连续的零这些答案就选择b，看是不是学会了好通过这道题，大家学会的考试要点和方法就是我们在分析它末尾有几个零的时候，这种产能原则，要知道它的原理就是二×5就会。产生的影响，因为二这个数字里面它含有二比较丰富，就像咱们矿产资源一样，这个二这个矿产它非常丰富啊，

很多啊，就不用管它，就看五它产生多少个？好无产多少个？大家做的时候先把所有的数当做一每个数都含有一个五来算，最后看少了少的，只要是25的倍数的话，它都少了一个五。但是大家注意，如果要考虑要大一点儿，比如说这个100要大一点儿，大一点儿有一百二二十五，125，它含有三个五啊，所以125倍数，

它每个数就含有三个五。那就更大了，更多了好吧，当然考试不会考太复杂，你只要知道这个原理就可以了，掌握它的方法，知道原理就可以得到它的结果，看是不是学会了？好，下面看这个题目。要使成绩。末五位，它都都是零啊，末五位，实际上呢五个零是吧？

这道题考考点。考点跟上一个题，正好反过来上个题呢，是已知这一组数让球末尾有几个零这道题呢是？是告诉你末尾有几个零分析这个数到底是什么？是吧？分析这个数，所以考点还是一样，只不过反过来考啊，它还是产零原原则。或者惨淡原则。啊，还是考察这个问题啊，问填入自然数最小到底说越小越好，末末位都为零，

末位都为零，那就说明。那它啊，应该含有含有五个五。对吧，含有五个五啊，因为它末五位，如果是要改成末六位都为零，说明它含有六个五好吧，好末五位，我们看它自己总共就这个。数里面总共含了多少个五？你看一百九九十五好，195的话，这个五乘以个。

啊，那么就三三五十五三十九对吧啊，三三十九好，这里面含了一个五，然后86没有五对吧？啊72它没有五三百八三百八，里面有五乘以。76对吧啊，五×76。好，那么这个。它又含了一个五好了，所以说你到时候看它里面万一含两个五，到时候找找啊，这个含了一个五，

这个含了一个五，现在呃，自己有两个五，人家要求要含有五个五，所以它还需要三个五。啊，需要三个五，所以最小啊，最小应该含有三个五。好，最小就还有三个五，还有三个五就五×5×5就等于125，这样就写好了。这个呢，就选择d看学会了没有考试的时候啊，

你首先根据末几位为零就知道它这个里面应该含有几个五，还有几个五，我们看原来它已经有了几个五。这时候看还差几个五，这样把它找到就可以了，这给大家强调做题方法思路，看是不是弄明白了？好，下面看这个题目跟刚才那个前两题差不多，只不过这道题呢啊，又给大家啊，弄得稍微大一点好吧，属于考点还是一样，所以这三个就是考察。产零或者产蛋原则。

好，它说最末13位恰好都都是零末，13位都为零，那么出现的啊，自然数最小是多少？啊，最小是多少？最小那就相当于是啊，总共是13个五就行了吧，所以要含有。13个五是吧？还有13个五好，这时候我们看一下把若干自然数乘乘在一起，乘在一起要使最后的自然数越小，最后自然数越小，

它肯定一个数一个数挨在一起是吧？啊，一个数一个数挨在一起好吧，要挨在一块儿啊，就一×2×3×4×5这个挨在一起，最后的自然数不就小吗？啊，一直乘到n啊，这时候呢，要出现啊，里面要含有这个13个五，还有13个五，咱们来看一下，看一下考试，如果不会推的时候。

看一下这个。选项看选项，选项大家看一看35啊，40啊，45啊，我们一般验证选项就从中间。啊，先从中间来进行分分析啊，不说不管是不是答案，先从中间假如假如n45的时候，我们还看还差几个五，听到没n45看还差几个五啊，因为总共要求十三五。假如啊，若啊，

若n=45的时候n15的时候，这个五十十五。约到45，那总共这里面是九个五。但九个五的话，注意九个五里面含了25，25，刚才说了，咱们刚才当做一个五来算的，对不对？就50，15到45，这总共是。九个与五相关的数，九个与五相关的数的话，

那在这里面刚才25是当中一个五算的，还要再加上一一个五。所以这到这乘到45的时候，它总共呢才是十个五人家要求呢，是13个五往后面再添就行了啊往。往后面再添45，45，然后再给它添个50添个。这个50填50，注意50里面是两个五啊，50里面两个五，刚才咱们算到45的时候是十个五。十个五现在唉，加上50加上两个五就变成12个五了，听到没？

就12个五十二五十二个五，然后再还不够离13个五还不够再添上一个五十五十五，这是一个五。一个五啊，一个五一个五的话，那就够了是吧啊？一个五所以到这儿就是13个五这样行了，所以选择e选项。好这道题呢，就比前两题稍微难点，因为这个你要往后要去数啊，要去数，所以说考试时候遇到这种情形怎么办？先拿中间这个值。考试先拿中间这个值往里面试，

如果中间这个值要比十三五要多，你就往前找，如果比十三五要少往后找。好吧，这样就可以找到它的结果了，看是不是学会了？好，下面咱们看主要考察它的这个数除法。啊除法好，然后呢？还有分解约束。除法还有约束的分解好，如果两个大于一整数之和是31，就相当是a+b是31，当然这道题也用到了一点呢，

不定方程去讨论了。好a+b这个31两数的乘积可以整除750啊，就两数。乘乘积可以整除这个750。好那么两数就a乘乘以b。啊，可以整除750，这时候大家注意那么750，大家就可以写成它的这个约约束，好吧，就看就a。AA×b啊，就是750的约束。啊a×b就是750约数好，那750咱们分解一下，

还是先把它分成质数啊750其实有个十可以分成二。乘乘以五，然后75可以写成25×3。啊，所以说就可以把它分解出来啊，分解出来分解出来a和b里一定是里面的这个约束啊，里面的约束。也就是说，而且a和b的和要是31就用不定方程去讨论，这样就行了，所以说就是一个25一个六这样就行了是吧？所以说在这里面就是一个二。25另外一个就是六啊，所以说你看正好25+6正好等于31正好满足这个四式子。这样就分分析出来了，

所以25和六那么这两个数差25-6就等于19，这个答案选d这样写好了，所以通过这道题大家学会的方法思路就是要。对它进行约束的一个分解啊，约束分解就是如果两数乘积可以整除750就说明啊AB呢就是。750约束吧，750还是按照今天咱们讲的这些数啊，先把它分成质数，然后再看a和b是哪几个质数啊？合成的好吧，所以要掌握这样的方法。下面我们看第15题，第15这道题，它要适合它的整数x到底有几个？那这道题相当于先先把范围给它解出来。

绝对s范围那么方法一就采用分段讨论法。方法一就是分段讨论，这也是咱们中学的常规方法分段讨论。这是也是一般方法。好，这个一般方法就比较复杂，知道吧？这个把这个分成好好几段儿是吧？然后我们可以看它的绝对值的点，一个是三分之四，一个是负三分之二。是吧，所以说这地方就分为这么几段，这是第一段。这第二段。

这是第三段啊，分段讨论。是吧啊，分段讨论来分析，比如第一段儿，然后把绝对值去掉是什么样的，第二段儿把绝对值去掉，第三段儿把绝对值去掉是吧，当比如x小于负三分之二时。而小于负三分之二的时候，而小于负三分之二的时候，那这个绝值去掉它都应该是负的，所以变成负的三x减四。加四。这是负的3 x- 2，

让它等于个六是吧？等于个六啊，那这时候呢，大家呢，就可以解出来这个解出来就得到四。得到是s就等于负三分之二。对吧，所以这样大家呢，就因为绝知里面呢，都是负的，都负的去掉绝知那么加一个负号，那这样就可以得到它结果了。好看，这个是不是懂了好吧，所以通过这个大家呢，

就可以求出x的数值，所以第一步大家呢，就就是呃，分段讨论就左边这一段儿。左边这段话那么第一个绝子里面是负的，负的你就把它写成四减三x，那这个绝子里面它也是负的。好吧啊a也是负的好也是负的，然后这个x就解的就等于负的三分之二。好，这个写好了，然后当x大于等于负三分之二，小于等于三分之四时。好，那第一个绝对值，

第一个绝对值里面是负的，后面这绝绝值里面是正的是吧？负3 x+4。加上3 x+2，它正好等于六，这个式子正好是成立的，成立的说明这个x这个范围都是可以的。是吧，都是可以的，第一段儿是不行的，第一段儿因为x小于负三分之二，它不包括负三分之二，所以第一段儿相当于是这个取值呢，是没有的，是空的啊。

空的第二段儿，这个整个取值都是符合它等于六的，然后第第三段儿第三段儿x大于三分之四十。它34这个绝对值里面都为正的正的，它第一段儿去掉就是3 x- 4，加上3 x+2。然后等于六=6，那这个解出来。解出来，然后呢x是等于三分之四的。x等于三十，因为这个x大于三分之四，所以不包括三分之四，这个这个点，所以最终呢啊，

通过这个地方，我们综上啊，综上最分段讨论是把三段的取值要取并集，只不过第一段儿。这个x是没有的，因为这个等于负三分之二，不在这个范围，第三个x等于三分之四，这个也不在这个范围，所以这个也不行。你们也有取中间这个啊，所以中间这个就负三分之二。小于等于x，小于等于三分之四得到这个结果好吧，然后得到这个数得这个数，

然后呢，就可以看出它整数的取值范围，整数取值范围。就一个是啊，负的一还有一个零，还有一个一在这里面，我们答案就可以求出它的这个数值是吧？就是相当于是一个零一个一啊，所以x取值就一个零。一个一就两个，这个答案选c好吧，选c这样就写出来了。好，那接下来我们来看方法，二方法，

二大家前面学知识点的时候讲过，我们就用几个意义法。几个亿是吧？只不过几个亿，咱要把这个3x把它看成个整体，知道吧？所以你可以令t=3 x就变成t。减四绝对值。加上t+2的绝对值，它等于六等，这个大家画一个数轴可以发现这个t- 4的绝对代表t到四的距离t+2的绝对代表t到负二的距离是吧？所以在这里面。这个就是负二，这个就是四。啊，

这是t到四的距加上t到负二距两个距离相加等于六，那正好t呢，当它落在。t正好落在。好落在这个负二到四之间的时候，两段距离加在一起啊，就t到负二的距离，这个长度加上t到四的距离，这两段距离加在一起，它正好就等于六。这样就写出来了是吧？就加在一起，它正好就为六你样写出来，所以这个t的范围t的范围就负二到四这样的一个范围。啊，

负二到四的范围好t的范围是在负二到4t又等于3x。啊t等于三s就三s，在负二到四，所以x应该在负三分之二到三分之四，这样一个取值。所以跟上面答案一样，也是取零跟一那讲，这可能有同学会问呃，为什么要把这个呃换成t呢？是吧，为什么把它换t？如果不换t也行，不换t的话，大家就别做错了啊，不换t的话啊，

在这里面也可以啊，不换t我给大家进行强调一下，比如说如果不换3 s- 4。加上3 x+2，我怕有同学会出现这样一个错误，知道吧？出现这个错误，有同学直接用用x，刚刚咱们画的是这个t轴。是吧，这个地方这个数轴是t轴。啊，这个是t数轴，那这个直接画直接画啊，有同学直接画一个负三分之二。

一个就三分之四，然后很多同学说当x在x在这两点之间的时候，那么x到。负三分之二的距离，加上l到三分之四的距离，这两个距离相加，这两个距离相加，那有同学算的就是二，认为它的最小值就为二。比如说要求它最小值。这样求最小值为多少？那有同学呢，就是会这样分析，知道吧，如果求这个表达式最小值为几这个为几呢？

有同学呢，就画一个负三分之二，画一个三分之四，而是到。负三分之二的距离，加上x到三分之四的距离，那这两个距离加在一起就等于总长这个总长呢，长度正好为二有同学呢，就会出现选二，那这个就是一个错误。这个错了，它最小值其实还是。为六的啊，为什么这样做错了呢？原因什么原因？

因为这有个三倍的知道吧？其实其实这个式子呢，应该可以把它写成三倍的x减三分之四。加上x加三分之二。所以在这里面，它有个三倍的，也就说你算的这个最小值为二是谁呢？你算的最小值为二是这些括号里面的。对不对？括号里面这个东西，它的最小值是为二的，知道吧？括号里面最小值为二，然后外面再乘以个三，所以这个呢？

应该是最小值为六，这是正确的，知道吧？最小值为六。所以为什么大家要么就是换元一下好吧，所以遇到这类题啊，我给大家强调一下，要么你就把3s换成一个t。这样话就不会出错。要么呢，你就把这三都给它提出来，提出来以后，然后再看这些括号里面再画一个数组，看到最小值最小值求出来以后，然后外面再乘以个三倍。

这样就可以了好吧，乘以三。好，所以大家不要忘记呃，乘以三倍啊，乘以三倍，所以讲到这，大家可以看到什么？看到这个mx- 4。加上imax+2，不管这个m取几，它的最小值。它的最小值。都是为六的，懂了吧？

所以刚才看了这m不管取三取四还是取五啊啊m，不管取三取四取五，它最小值它都是为六好吧，不要写成二。所以在这里面，我要强调的是它最小值，不受这个m的影响。不管m是取几，它最小都为六，懂了没有？好，那有同学可能会问，那这m会影响什么呢？m不影响最小值m值影响它取最小值的时候x的范围。好吧，

就s在什么范围这个范围呢？它是受影响的。范围它它影响知道吧，但是不影响到最小值，所以讲到这儿，大家懂了吗？所以大家做这道题啊，要么你就把三。提出来来分析，要么呢，你就是。啊，不提这个三啊，然后呢？换元啊，

这是给大家解释这个题目，看各位同学是否听懂了？好，下面咱们看考察绝育值问题。啊取绝对值，绝对值几何意义和最值。好，如果大家把这个题不不太会看的话，你可以把它移项好吧，移项x+2就是大家要知道x-a+x-b，这表示它最小值啊。而且这个一减x绝对值为了变成符合我们的习惯，这我们要用一下我们绝知性质，这个我们前面讲过，可以把它换成x减一的绝对值。

加上y- 5的绝对值，加上y+1的绝对值。等等于九是吧，这样就可以写成它的数值关系好，那么大家可以发现前面这个绝对值，它最小值是为三的。好，这个y的取值最小值是为六。对吧，最小值是是为六啊套，咱们前面学过绝对值几个亿啊，好它最小值为三，它最小为六，那么加在一起刚好等于九，刚好等于九，

就说明第一个要取。最小值三，第二要取最小值六，那什么时候取最小值？这个我们前面讲过，绝对值绝对值在当两个绝对相加时候x在AB之间的时候，它取到最最小值是吧？而在AB之间，是它取到最小值，所以说这样就可以得到x应该在负二和一之间。这个y呢，应该在负一和五之间啊，这样就可以写好了，那么x+y就可以得到x+y最大就是六。最大就是六就当x取1y取五时候最大六，

那么最小最小就为负三。所以六负三选择e选项这道题考的非常好啊，就巧妙的把两个表达式的最值一个是含x绝对值，最值一个含y的绝对值，最值。把这两个表上最值合在一起来进行考察，那这道题大家呢？要知道举止几个意义，什么时候取最小值，它的最值呃，求解方法要掌握住，而且这两个都取最值的时候。这个等式才等于九啊啊，这是它的成立条件，看是不是学会了下面咱们看主要考察三个数，

三个绝对相加三个数。x减加x-b+x-c好，它的最小值要值，大家记住在ABC当在这个中间这一点的时候x在中间这一点的时候。它到各点距离之和是最小的啊，这个咱们讲完结论s=b的时候啊，所以这道题就x一二三当x等于中间这个值的时候。它到各点距离之和，是最最小的，最小就是二，这个答案就选择c好吧，所以它最小值就为二啊，这个答案就选择c，看是不是学会了，是不是弄明白了？

啊，这三个就是相加就是它的结论啊，最小值就是a跟c之间的距离啊，这个最小。下面咱们可以这个题，这道题大家可以发现都是余一本，它都是余一本叫同余，所以考点就考察这个余余余数。咱们余数讲了两类，一类是同于一类是不不同于不同于咱们前面讲课讲了是吧？给大家拼凑一下。转换成整除同余，也是转换成整除啊好，假如这个相书有m本m本的话，那就可以得到，

就是它分给六。就相当于m÷6余1m÷8余1m÷9余一就说明m- 1，它能被。六八九整除。m- 1能被六八九整除好，那就说明那么六八九的最小公倍数又推出m- 1能被六八九的最小公倍数整除。对吧，六八九这个公公倍数整除。好最小公倍数就72是吧？就72能被72整整整除。就说明m- 1就等于72倍的k啊，能被72整除好，它要问m最少多少，最少多少就k为一的时候m最小，这时候m就等于73。

m就等于73好，那么m=73，那么它的m各个数位之和就是十正确答案，就选择a选项。答案就求解出来了，看这个是不是学会了好吧，所以这道题大家学习的考点和方法。就是如果遇到同余，比如除以几都余一，那么让它减掉余数。找人整除，然后再来分析就可以了。

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