第一章-综合提高题-条件充分性判断（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:28:54

好，第四题遇到这样的绝对值问题，咱们在前面讲过啊，那么就利用绝对值几个亿。觉得这几个e来分析更加简单是吧？觉得这几个e觉得几个e我们知道x-a绝对值加上x-b绝对值，它在数值上表示还是到AB。两点距离之和。然后看一下AB两点距离之和到底是多少好，那么条件，如果这样是减号就代表两点距离之差啊，所以条件一是加号条件，二是减号。减上就代表两点距离之差，这个就代表两点距离之和看这个是不是学会了好，

那么条件一就相当于是一个是负一个三。好，那么它到两点区域之和，当x在负一到三之间的时候，它最小值正好是四，等到右边正好是四，正好四的话，说明x正好落在一跟三之间的这个区域，它两点距离之和正好就等于四。所以tr 1可以得到x大于等于。负一小于等于三，这样它的整数呢？大家数数整数有负一零一二三有五个是吧？所以调成一。这是充分的条件，

代表两点距离之差。啊，两点距离之差的话，一个点是负一个点三，它要等于正四=+4，说明前面距离数一定要大一点儿，因为大家知道一个大的减掉一个小的，这个才能等于正数。对吧，大的减小的，所以说明离负一这个点要远要远就才代表它的式子大啊，所以说x离它远。减掉离三比较近大的，减小了正好得到这段儿长度是四，所以说条件就得到是x大于。

等于三而大于等于三的话，它的解有无数多个啊，所以不一定是五个，所以在这里面就调解一。充分条件不充分，这道题的答案就选择a选项，看是否明白了，所以这道题考的非常好，一个考了啊，绝对值相加，看距离之和另外一个绝对值相减，看距离之差，然后看它在什么位置。来得到它的答案就行了。好，

这是考察局域值。几何意？绝知几个e好这个题考察就x-a+x-b，它的绝知几个e。画一个数轴，它表到a和到b点的距离之和好，那这个题干我们可以看到它一个点是负一。一个点是正2s到两点，距之和其实我们看它有没有最小值，左边它的最小值。好最小值就为三对吧？因为x在一二之间的时候，这个最小值就为三。好，这块儿为三而等号，

右边正好就是三，这样就是三，所以就可以推出题干，要想成立的话，它要求。x应该大于等于负一，小于等于二，这样就行了。好，大家可以看，单独调整一，而是小于二分之派，而小于二分之派的话，那么它不一定满足s大于等于负一，所以调整一不成分。

条件x大于0x大于零，它不一定x小于二啊，不一定x是小于二的，所以条件单独呢也是不充分的。它也不充分，所以两条线联合起来。联合后注意联合就找两条线交集，就x大于零，小于二分之派。好a大于零，小于二二分之派，联合好联合以后，它正好满足在负一到二这个区间内，所以联合充分就选择c选项。联合充分的就选c，

这样就求解好了好，这是第六题，给大家强调的做题方法，主要记住觉知几个意义和最值。好，主要考察绝对值不等式。好，绝对不能这道题，大家可以采用分段讨论的方法来做啊，分段讨论的方法来做，首先大家看啊，左边绝对要小于等于三分之二减x。这个三分之二减x肯定要大于。等于零，因为这个绝对值，

它大于等于零的绝对值，非负性。所以这道题要满足，最起码满足要三减二十二x大于等于零。因为它比企业值大，企业值呢，是非负的。好，那这是它的这这个情况好，那就推出这个x就是可以得到x呢，就要小于等于二。啊，小小于等于二好，那接下来我们就分段讨论做，因为我们讲了分段讨论的话，

大家呢，就是遇到一个绝对值符号，而且绝对值里面就一次方分段讨论就行了。好当x。小于二分之一的时候。而小于二分之一的时候，那这个绝对值里面就是负的。负的，所以去掉绝对值又变成三分之一，减二x小于等于三分之二，减x。好两边把这个三都可以去掉去掉，然后移过来就可以得到呃x大于等于负负一。好，移过来就可以得到x大于等于负负一好，

那么要满足x小于二分之一，而且还要满足x小于等于二啊。所以说这样就综上可以得到x大于等于负一小于二分之一好，那么只要条件的范围落在这个题干范围之内，就算充分。啊就就算是充分的。好，那所以条件一它充分的啊，它它这个是满足，然后当x大于等于二分之一的时候。当然，大于等于二分之一的时候，左边这个绝子里面就非负的了，左边这个橘子里面就非负的，所以说直接可以把橘子去掉。

所以当x大于等于二分之一的时候。好，那么这个绝对值就变成了三分之二x减一小于等于三分之二减x。然后把分母三都给它去掉，去掉就变成3x小于等于三就推出x小于。等于一但x小于等于一，还要大于这个二分之一啊，所以说还要满足大于等于二分之一。好这样的啊，要要要求啊，这个要要求好，那这样的话，我们可以看那条件儿，它这个说小于二，那这个就错了，

应该小于。等于一所以第七题，这样答案就选择这个。a选项条案，一是是充分的。好，这是一个方法，分段讨论，分段讨论，如果要找到最后的答案的话，如果根据题干要求，最后答案的话，就把这两段并在一起啊。就这两段儿并在一起，因为分段讨论，

分段讨论一定要最后求的是并集这两段儿并在一起就s大于等于。负一小于。等于一是吧，两段儿并在一起，这样就可以了。好，这就选择a这样就写了它的做题的方法，看是不是弄明白了好，那么当然这道题还有一个当两边都是正数的时候，可以通过平方法来来做，因为这道题大家可以发现左边是非负的。右边要比左边大，所以说两边都是非负的，可以采用平方法做，所以平方法我们给大家介绍另外一个方法就是平方法。

好，首先把这个分母的。三都给它去掉，需要变成二x减一，绝对值小于等于二减x，因为左边是非负的，右边二减x也要非负，所以这x肯定得小于等于二。好，然后呢？两边平方啊，两边这个平方。平方变成二x减一的平方，小于等于二减x平方，所以做到这平方以后，

大家呢，不要把这个平方给展开平方，展开的话。那这个就也能化，但是呢，就稍微复杂一点好吧，这一块儿大家也能化化简化简完，只不过是。要复杂一些啊，你要展开的话就变成4x方减4x，其实我想说的就是大家可以把一项用平方差公式，这样要简单。啊，这样一项用平方差公式，这个要简单。

所以这样就可以得x方小于等于1x小于等于一大于等于负一，这个是平方展开，然后移项。啊，最好的就是两边都是平方数，一项用平方差公式啊，平方用平方差公式，这样就行了，好，只要给的范围，如果这个题干范围之内都算成分，所以条件一成分条件二。不不充分，然后解完后一定要验证，最后验证x是不是小于小于等于二啊？

所以说一定要验证，当然这道题没给大家设置陷阱，有同学忘记验证了。这个也不影响答案，但是考试的时候如果有的题设置陷阱的话，你不验证的话，它就会出错。好，下面咱们看一下这个题目，这个题目的话，它主要考点就是考察看两边绝对值。情况a=a还是a？绝对值等于负a。好，你就看啊，

它的a的这个情况好，那我们来看一下这个绝对值里头跟绝对值外面正好相差一个负号，所以这道题就考察。第二种情况啊，这是它的考点。考察第二种情况好，第二种情况那说明啊，说明它这个数值。它这个里面的数数字应该是负的是吧？就三÷2 x- 1应该是小于等于零。现在呢，要推出x应该大于二分之之一。啊x小于二分之之一，这样就写出来了是吧？x小于二分之一，

只要x小于二分之一的值那么？呃，都可以，且s小于二分之一，那么第二个条件为什么不行？因为第二条条件它有有这个等号。有等号，因为s等于二分之一的时候，它这个就无意对吧？无意啊，所以说这个好，那么条件一是充分，这个答案就选择a选项。好，这是给大家强调的做题的方法啊，

因为x等于二分之一分母，它不能为零，别给解错了。好，那主要考点是考察公倍数和公约数，它的概念啊公倍数。还有公约数。好已知两个正整数，它最大公约数为15，且一个数的3倍与另外一个数的两倍之和为255，则这两个正整数之和为为多少？这道题我们先把题干化简完，然后再看两个条件谁充分啊？所以这样的做题方法不是由上往下推啊，是把题干做一个化简化，

简完后把这个结果找出来，然后再看条件谁符合要求，还是由下往上推啊？只不过是咱们先把题干化简完，这样再由下往上去判断就更加简单一点好，那么两个数最大公因数为15，如果两个数最大公因数为15，所以可以设两数。分别为。15m和15n。好吧，所以在这里面啊，我们前面讲，如果两个数最大公因数知道了，我们这两个数可以设为15m和15n，

然后另外这里面mn 1定要互质，为什么mn互质呢？因为mn不能再有其他公约数了，如果。假如mn再有其他公约数，那么它的最大公约数就会超过15，就也就说咱们两个共同部分是15啊，除了咱们俩15之外，如果咱俩还有共同的公约数，那咱的公约数就会超过15，最大公约数就就会超过15了，所以就不。不满足，所以说在这里面好，那mn 1定是互质的好，

且一个数的3倍就相当于15m×3像另外一个数的两倍，它等于二二五。等于二五在这里面两边同除，以15就3 m+2 n，得到15得到15，那么这就是一个不定方程，我们来讨论一下，大家可以发现这个3m和2n，这个2n它一定是一个偶数，对吧？这也是一个。偶数那么15，它是一个奇数，就那就可以得到3m啊，一定是一个奇数，

因为奇数加偶数才得到奇数啊，好，那说明m就为奇数。m要为奇数的话，那在这里面m就尝试一下一行不行？一不行三。五这样的是吧？所以在在这里面好这个m它的这个基数情况，我们看m就为一的时候m1的时候n就为六。是吧，所以m为1m为一的时候n就为六，然后m为三的时候m为三的时候，这是九这是九那n也为三。m不能为五了，因为m要为五的话NV 0这个肯定就不行啊，

对吧？因为它正整数啊，正整数这个肯定是不行，那这个m=3 n=n=3也不符合要求，因为两个。mn，一定要是互质的，所以说只能是m为1n为六好m为1n为六，这两个正整数就可以算出来两个正整数。啊两正整数就为15和90，两正整数就求出来了。那求出来95和90，这样就写出来了，其实然后这两个正数之和就等于105。啊，

就等于105好，这时候我们来看一下谁符合105谁就充分，所以在这里面有条件一充分条件二不充分，这个答案选a好，通过这道题大家学会的方法就是要知道公倍的公约数，如果要知道两数最大公倍数的话。可以设两个数的呃，表达式，然后再根据两个数，它满足的要求得到一个mn的不定方程。遇到不定方针，一定要结合基础性整除倍数特征来进行讨论，这样就可以了。答案就写出来了好吧，再给大家讲的做题的方法，

看是不是学会了。好，我们看这个题，这个题就是啊，主要考察整除和余数问题，因为两个一堆两个一堆放余一个三个一堆三个一堆放余一个四个一堆一堆放余一个五个一堆一堆放余一个六个一堆。啊余一个好，那这里面它的考试知识点，我们来看它的方法，主要考察整除还有余数问题，整除和余数好，那这个就是同余的情况。这同余啊，整除余数里面的同同余情况好，那么同余情况啊，

在这里面大家呢，就可以掌握它的做题的方法，遇到同余的话，那我们让它。都是减掉余余数啊，减掉m减掉这个余数为一，它又能同时被。同时被二三四五六整除。能不能被它整除？我们找到二三四五六的最小公倍数就可以了，最小公倍数如果数比较多的话，交给大家一个小技巧，大家可以发现二跟三是不是都被四跟六包含到里面去了？所以二二跟三就不要了好吧，这二跟三被它吸进去，

你看二的约束四里面有是吧，所以二被约掉，然后三三的话六里面有，所以也被呃约约掉了。所以四五六最小公倍数，四五六最小公倍数就60。也就最小公倍数。就为60对吧？所以46最小公倍数就60，好60的话说明m- 1就等于60k，它问。苹果最少多少个？最少那k取一就最最少了最少，所以说m最少就是61。所以条件二成分条件一不同的，

这一难就选择b选项好，这是给大家强调的做题方法，以后遇到同余，我们前面也见过很多这样的题目啊，同余让这个数减掉余数，能同时被这几个数整除，被这几个数。整除以后，然后我们就可以找到最小公倍数，这样可以把这个数的形式写出来，答案就可以求出来了。好，那么主要考点是考察截成相同长度的，那么又考察最大公约数好，所以在这里面考点就考察最大公约数。

它的一个应用题。这叫公约数，它的应用好应用，如果几个长度要不同的，现在要求。呃，求同存异是吧？所以在这里面要找到它相同的地方，形成相同的小棒，然后嗯，这个最大体现在哪？最大就体现在最长，这是一个像英语做阅读理解的等。等量替换啊，统一替换啊，

最长好大家大家呢，就找到82和20的最大公约数。大家可以看最大公因数呢，就为四是吧？最小公因数为四，所以说每根小棒呢啊，最长呢有四啊，所以条件二成分，这些答案就选择。b选项啊，这样就写出来了，看是不是弄明白了？好，主要考察最大公因数最小公倍数的计算情况啊，就是公约数和公倍数，

它的计算情况。看这块儿是不是弄明白了？好，那么大家可以看，显然单独条件一和二单独都不充分，因为单独条件一最大公约数被m只能得到m的值呢是四。啊是二是吧m值呢是二，所以这个公约数啊为二那么条件条件二条件二最小公倍数最小公倍数，大家可以得到这就是。呃，这个82和。18好，那在这里面大家就可以算出它的最小公倍数啊，最小公倍数好，那最小公倍数大家可以发现就等于。

啊，96。是吧，所以在这里面大家呢啊，也可以算算这个八就代表二的三次方，这个12就二的平方×3这个呢，就二×3^2。是吧，所以在这里它最小公倍数就是八。乘以一个九七十二啊，就等于72，所以在这里面好它的最小公倍数就72。这样就写好了，好那么72那么两条联想起来联想起来这个m加也得不到这个题干啊，所以就选e选项。

联想起来也推不出来，所以这个就采用咱们讲过的，求几个数的最大公因数和最小公倍数，最大公约数呢，这个比较简单。听懂没？最大公约数是比较简单的，所以说这个很容易口算，最小公倍数大家可以采用分解法，分解完以后一定要找它约束最多的那个数，比如说这个二最多是三。三最多是三的平方，所以说就是八×9，这样就写好了啊，好这第六题给大家强调做题方法，

看是不是弄明白了？好，那么这道题这道题也是考察啊，数量的一个应用题。数量应用题，大家大家可以看到它分的数量都要相同。都要相同，都要相同，也找到这个公约数。对吧，所以找到。公约数啊好，也就说将301个笔记本儿，215支铅笔，86个橡皮分给班里的同学。

同学，然后然后每个同学得到的笔记本儿笔笔记本儿，然后铅笔橡皮的数量相同，都是一样，比如说你得五个笔记本儿，他也得五个笔记本儿。你要得三支铅笔，它也得三支铅笔是吧？所以在这里面大家呢，就可以找到它的公约数，所以我们呢，就可以得到301。215，86，它的最大公约数。

好，要找这个数稍微大一点儿，找最小公因数怎么办？先看比较小的数好分解比较小的数，大家可以发现分成43×2是吧？43×2，这时候最大公约数，你看看是不是都有43，215可以分成一个43，301是不是也可以分成四，43，所以最大公约数就为43。这个写好了，好那最大公约数就是43，既然最大公约数为43的话啊，

那也相当于是每个同学分的这个笔记本儿的数量。啊，然后铅笔的数量，橡皮的数量，那么它这个就按照这个最大公约数来进行分，这就行了，所以说这样就可以得到这个最大公约数43就可以得到，就是43名同学。就43个人，43个人，然后每人的这个笔记本儿的数量就301÷43就等于七。然后215÷43个人就得到15，86÷43就得到是二，所以说就得到是14啊，每个人分得的之和就七+5+2就等于14。

这样就行了，就是条件一充分，条件二不充分，这个答案选择a选项啊，所以通过这道题，大家掌握的做题方法和思路是什么呢？我们来看看。那主要就是啊要啊，每个同学分得的数量要相同，一定要按照最大公约数来进行分，最大公约数。啊来进行分，这样的话，它的数量呢？就是相同的对按照43。

来来进行分，这样就可以找到它的做题的方法，然后这43的含义是什么意思？43就代表总人数啊，就代表总人数就只有总人数43的时候。这样才能保证每人分得的笔记本儿铅笔和橡皮的数量都分别相同好吧，所以这是给大家大家想想，如果还理解不了的同学再想想，如果不按照最大公约数，如果人数啊不算最大公约数，那么就说明。因为笔记本那么这个分的还有铅笔分的。每人分的就不能相同了，比如说有人分了七个笔记本儿，有人分了三个笔记本儿，

那这样就不满足相同了啊。好，那这道题这道题考点主要考察啊，那么这个最大公约数最小公倍数的一个公式。一个公式，而且我们反复强调这个公式呢，是对于两个数啊，对于两个数成立就两数之积。就等于最大公约数乘以最小公倍数。啊两数乘乘积啊两数乘积这个最大公约数乘以最小公倍数，这只适合两个数啊，只适合两个数。好，那么这这道题说两个数最大公因数是k最小公倍数是504，如果一个数是五五十二，

那么另外一个数到底是多少是吧？好，那在这里面，我们就可以看出啊，两数的乘积两数乘积就是一个数42了，乘以另外一个数，假如是x是吧，乘以另外一个数。正好等于最小公倍数乘以最大公公约数。啊，最大公约数好，然后在这里面，大家呢，就可以两边给它约一约条件一，我们看k要。

等于六的时候q=6，我们就可以推出x值，对吧？q=6，我们就可以推出x值。x就等于72是吧，然后k要为七的时候k要为七的时候，我们看这个x值。q为七的时候，那么这个就是504÷6。得到是八四啊，得到是八四好，那么这另外一个数，它个数之和是不是九只有条件一得到的72，这个是满足的，

所以这个就是选择a选项平方，一是。行了，二不不成本，所以呢，选择a好，那听完这道题的收获什么呢？收获就是如果对于两个数啊，我们就可以套公式做，就两个数乘积就等于最大公因数乘以最小公倍数。这个公式不适合于三个数啊，三个数就不适合了，所以这是给大家强调的啊，公式它的应用。好，

最后祝大家金榜题名！

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