第一章-第四节-点睛归纳与考点升华

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:27:23

呃，今天呢，我们主要给大家讲解啊，第一章实数比例和绝对值里面的典型归纳。和考点升华就给大家进行第一章呢，做一个重难点的总结，让大家通过前面的学习掌握第一章的核心考点。和疑难点这样话，大家在后面备考的时候就可以快速把考试必考的分值把它拿到手。好，那么第一章它的特征呢？就是概念性的东西比较多好吧，所以大家要重视这些概念啊，把这些概念呢，要弄清楚也给。

混淆了。嗯，首先要给大家总结的第一个问题呢，就重要的概念和公式，大家要知道啊。要掌握重要的概念和基本的公式，好那么重要的概念，有那么质数，这个概念是比较重要的啊。好吧，质数啊，质数它的概念就只能分成一和它本身这样数呢，就把它称为质数好，我们一起来看看这个质数，它的主要的一些结论，

我们一起来看看。好吧，大家一起来思考一下质数的主要结论，第一个就是质数合数都属于正整数，而且呢，它有无数多个？它的数量呢？是很多个。好吧，还有50多个。而且它质数的概念，而且它范围都是正整数，不能考虑负的啊，第二个就是二是唯一的。既是质数又是偶数的一个整数，

它的唯一的偶质数因为二，它可以分成一×2。好，这样的。另外，那么其他质数它都是奇数好吧，大于二的质数，它一定为奇数啊，这个质数它的概念。啊，质数中只有一个偶数为二，最小质数呢？也为二好吧对吧？只有一个偶数嘛？啊，

其他呢？它都是奇数，而且注意最小质数呢？它也是为二的，而且要注意一既不是质数也不是合数这个一。不要呃，思考错了。另外，咱们看合数，合数最小的合数呢？就为四这最小的合数，然后大于二的偶数，必然为合数，比如大于二的偶数，像四啊六啊八呀。

十啊，那这些呢？它都是合数啊，所以说大于二的偶数，它变为合数，那么二呢？它不是合数二呢？它质数。好把这个这个支出概念给大家进行总结的。好，那接下来大家一起来思考一下题目好吧，各位同学都想想啊，这个题目大家都加油思考。啊，围绕这个质数概念，

我们一起来练一下题目啊。若n是一个正整数，且15方。15×n^2减，82 n- 17为一个质数，则使质数到底是多少？各位同学都加油。互动加油回答好吧，每个同学都好好思考一下啊，都想一想到底是等于几？大家好，加油好吧。好，那么如果n它是一个正整数啊，那么这个数呢？

要是一个质数。问，这质数到底是多少？好在这里面这个n是正整数n不能取负的，知道吧？好，大家想想这个n的值到底应该是多少？啊，都想一想。好，每个同学都快速思考一下。好，那么大家拿到数学题以后啊，首先我们来分析一下，那么这个题我们怎么样去进行思考？

好吧，有时候大家知道质数的概念，什么质数质数它只能分成一和它本身。啊，所以说以后遇到某一个表达式要的质数，这类题目的话，我们应该怎么处理呢？把这表达式进行分解。好吧，各位同学，想一想会不会分解大家都加入思考，看会不会分解？想一想啊，它这个应该如何来进行分解？都思考一下，

看看谁会做。所以说讲到这呢，大家要学会进行分解。啊，都思考一下，看看这个怎么分解？那分解的最常用的方法，咱们学过什么？学过十字相乘法。对吧，大家都学过十字相乘法好，每个同学想想它应该可以怎么分那么十字相乘法，忘记同学，大家注意这n方前面系数15。这15的话，

我们呢可以把它分成三×5。对吧好，大家想想啊，就这两个数相乘啊，得到的结果正好就15，大家想想是不是这样的？啊，这两个数相乘的数值就等于十五三×5嘛，它正好等于15，看这个是否明白？然后这个17大家想怎么分17在分17的时候都思考一下，它应该呢出现中间的负82。是不是大家都想想是不是出现中间的浮挂式？大家看看啊，它的这个内容是不是出现负82好？

那么这个17大家想想应该怎么分？是不是可以分成负17和一？是不是这样的啊？负17和这个一这样的话，我就可以保证。斜线上相乘再相加，它正好呢，就可以满足啊，这个数值是吧？所以大家可以发现，你看三×1。加上五乘以负十七，正好等于负的八十二就三乘以一，加上五乘以个负十七。这要等于负的82。

啊，这样我们就满足这个要求了，满足要求，那说明什么？说明我们在写分解结果的时候。就可以把它写成啊，那么就相当于是3 n- 17乘以个5 n+1。是不是这样的值啊？这样的一个结果就写好了，对吧？啊三减十七乘以个五n加一得到这个结果，那结果那接下来我们来看一下，大家知道质数的话就分成一乘以它本身。好eci本身的话，那这两个到底谁为一是不是要讨论一下？

对不对？等一下，要么就前面为一，要么后面为一，懂了吧？好，大家想想，要么就3 n- 17为一。或者说是n5 n+1，它为一。好，那做到这儿，看谁写作结果来了好吧，大家呢？积极的回答。

好好加油。好，那么得到这我们就可以得到n的值啊，大家想想是不是n的值这个n的值等于六或者n的值等于零，这n的值等于零肯定要舍掉。知道吧n的值等于零要舍掉，因为n的值零零它不是正整数，知道吧，它这个就不不等于正整数，所以这时候我们取n=6。好全等六啊，那有同学已经说出来了，就选e选项是吧啊n=6带到里面去。好，那么前面这括号，

它又为一后面这括号，它正好就31是吧啊？这个就31。好，这样就写好了，好看这个名儿没有答案就写出来了啊，所以接下来我们就可以得到这时候呢，这个质数。那结果就等于31好，这个呢，就选择e选项好，大家做完每个数学题都要自我感觉一下，我们这个题自己学完以后收获了什么？首先，大家以后遇到啊一个表达式，

如何判断它是质数知道吧？一个表达式判断质数，要想到分解。在分解里面，咱们最常用的就是什么？就十字相乘进行分解。我十字相乘给它分，分完以后我们再写它的表达式。然后呢，再根据制度的定义，让它分解完后，一个是一，所以说到底谁为一我们呢？再来判断一下啊，就可以写出它的值了。

然后答案就OK了，是不是这样写出来的结果？好，这这个题给大家强调的做题的方法思路啊，就是质数也好，合数也好，这些概念性的东西要弄清楚啊。下面再给大家归纳一下奇数与偶数啊，这个重难点奇偶数就奇数加减奇数得到是偶数。啊，那么奇数加减偶数得到是奇数偶数加减偶数得到是偶数，像这个东西大家不要死记硬背，这个东西可以用一些。实例啊，用一些特值来分析好吧，

所以说在这里首先大家呢，数学呢，就是不用。死记硬背，用一些特质来进行分析，它的数值好，那么第一行呢，是加减关系，那这个加减关系的话就是奇数加减，奇数得到偶数。我们就可以把它比如说举个例子吧，就五加减三是不是大家想想啊，五加上三或者五减三是。是不是它这个？得到结果，

它就是偶数，你自己想想对吧？另外，奇数加减偶数，比如说五加减二，它是不是？就变成奇数了，对不对？还有偶数加减偶数，比如四加减二，它还是偶数，是不是这样的？是这样的就可以看出它的这个取值情况。对不对？所以我们呢就可以写它的这个取值结果好看，

这个明白没有？好，那么第二行是乘法乘法奇数乘以奇数等于奇数奇数乘以偶数还得到是偶数偶数乘以偶数仍然是偶数。是吧，所以在这里面大家呢，要掌握它的这个方法，这个除法是不确定的，比如说两个偶数相除，它到底是什么数？这个不确定。因为什么除法不行？首先这个除法它有可能产生分数，那分数化这个不属于咱们奇数和偶数的范围，咱们奇数和偶数的范围必须是整数。知道吧，

所以这是它的一个要点，另外呢，那个除法，即使它除完后是整数也不行，所以说偶数除以偶数给大家先写写。偶数偶数，它这个就不一定知道吧？偶数偶数，它有可能是奇数，有可能是偶数，比如说啊六。除以二它得到三，这个是奇数对吧？但是八÷2得到就四，它又是偶数了。

所以两偶数相除，这个确定不了，知道吧？这是它的这个方法，这个是没法确定的啊，这个要要弄清楚。好。三。应该。好，那么大家注意零是偶数好吧啊，零是偶数两个相邻整数呃，必然是一奇偶。好吧，两相邻整数，

它必然是已经有啊，然后相邻的整数啊，相邻整数，比如说十七十八。是吧，那这个必然是偶数。啊，一起有好吧，所以说这个是它的这个方法。另外，讲到这，大家还要知道这个奇数，偶数跟前面学的质数合数的关系啊，所以我们再给大家进行总结一下质数。跟奇数的关系。

合数跟偶数的关系。啊，质数跟奇数关系，合数跟偶数关系好，大家注意质数，它不一定是奇数，奇数呢，也推不出是质数。合数呢，推不出偶数，偶数呢，也推不出是合数，知道吧，所以这两个没有什么关系好，那么加上一个限制就可以了啊，

加上限制。啊，比如质数又大于二的质数，它又是奇数。好吧，质数如果大于二大于二的质质数。它一定是奇数，或者除了二之外的质数，知道吧？好，那所以说质数呢？它不一定是奇数，因为有个二二呢，它是一个合数啊二，它是一个偶数。

是吧，二是质数，但它是一个偶数，然后反过来那么奇数呢，得不到质数，比如像九呀15啊，这些数就不行。然后合数呢，它不一定是偶数，比如说九九是合数，但它得不到是偶数，对吧？然偶数也得不到是合数，比如说二二，它就不是合数，

然后在这里面加上一个条件就大于二的偶数。啊，大于二的偶偶数，这样的话，它就可以得到是合数了是吧？大于二的偶数。啊比二大这样的偶数啊，就得到就是合数好，这是它的这个概念性的关系，看是不是弄明白了？好，那么接下来各位同学都思考一下这个题好吧，都想一想这个知识点，若ABC是任意给定的三个整数，那么乘积a+BB+CA+c的奇偶性到底多少？

它奇偶性到底是几想一想。就是它任意给定的。三个整数。啊，三个整数那么乘积a+b×b+c×a+c，它的基础性到底为多少？好，各位同学都加油，思考都想一想。好吧，想想那么应该选什么答案，当然考试时候大家可以用特值法做。好都思考一下，在考场上大家呢，一定要多用特值法，

什么时候用特值法当考试出现这种符号abc或者syz。这些符号的时候，我们都可以用特值来进行分析，知道吧？出现这个符号，咱们呢？用特值来进行分析和求解。好都思考一下啊，这个符号。看谁会做。好都想一想啊，想想它特值法应该怎么做？大家都回答一下。方法其实最简单，最简单什么你取ABC它都为零。

这是不是可以？好ABC都为0 ABC都为零，大家注意一下这个所有的全为零了。所有权为零×0×0是吧？然后呢？它全为零。好，那全为零的话，那零零刚才咱讲过是什么数呢？零它属于偶数。是吧，零它是属于偶数。所以这个答案就写出来了。是不是你看大家可以发现，你只要掌握做题方法，

一秒钟就可以写出答案来看一眼，就可以得到答案？你思考出来没有？是吧，好，那有同学会不会呃取其他值变成一个奇数啊？那你可以试一试，比如说ABC它都为一的时候。啊，或者说零一二的时候是吧？那这些唉都可以试一试啊，试一试看它的情况对吧？都可以试一下。反正就取几个值试一下就可以了，好吧好，

那有同学就说有没有可能是cde？对吧，有没有可能CD好那么说的非常好，就特征法啊，它的优点是比较简便，比较直观。是吧，优点呢啊，我们知道缺点呢，就是不能排除，比如CD有没有可能是这样的情况？啊，有没有可能一会奇数，一会是偶数？是吧，

在这里面大家会不会这样的数值好，那接下来有时候特征法你得多取几个啊，多取几个，比如ABC=0，ABC=1。或者你看几个就行了，当然要想更严谨的区分呃分分析方法啊，一般解法。一般题啊，这样的大家知道ABC是三个整数，这三个整数ABC。它有这么几种情况要讨论，知道吧？所以说一般一般情况我们要讨论。有分类。

讨论啊，一般计划呢，我们要分类讨论，比如ABC ABC，如果三个都是奇数。怎么样？三个都是偶数。怎么样是吧？然后两极。六怎么样？啊，莲藕一斤。怎么样是吧？所以在这里面啊，它的这个方法啊，

如果ABC三个都是奇数啊，那怎么样三个都是偶数怎么样？两两极又怎么样？两偶一奇它怎么样？是吧，所以在这里面大家呢啊，就是这几种情况，而且ABC三个都是奇数，三个都是奇数，注意它这个三个都是奇数的话，大家知道a+BB+CA+c它都是偶数是吧？所以在这里面啊，如果三个都为奇数的话，就a+BB+CA+c，它都为偶数。

对吧，都有出来叫偶数相乘，那肯定还是偶数啊。是吧，这个明白没有？上周奇数两个奇数相加等于偶数吗？a和b加是偶数b和c加也是偶数a+c也是偶数那三偶数相乘肯定还是偶数？对不对？你想想是不是这回事？然后接下来ABC如果三个都是偶数，三个都是偶数，那同同上。如果ABC三个都是偶数，三个都是偶数，大家知道a+b可能也是偶数b+c也是偶数a+c，

它也是偶数。是吧，它还是一样的，那乘完后还是偶数。那如果ABC两基友两基友不管谁是奇数，只要有两个奇数在，比如说AB是奇数也好，BC是奇数也好，AC是奇数也好，只要那个奇数的。这个情况那么比如说AB是奇数啊AB奇数呢？a+b肯定是偶数，所以在这里面它肯定a+b。b+CA+c，它肯定要有一个偶偶数就一偶。

两个奇数。是吧，所以在这能懂吧啊，如果如果ABC里面有两个奇数，一个偶数，两个奇数，一个偶数，咱不妨假设AB是奇数。AB是奇数，那a+b肯定是偶数。那当然b+c就是奇数了，因为一个偶数加上一个奇数啊，那么这块儿在这里面大家呢啊，就可以看它就是奇数，知道吧这个？

不太懂，同学我写上好吧，加两两奇偶，你假设这个AB不妨设AB是奇数。c是偶数啊，你假设一下好吧，假设AB是奇数c是偶数，那a+b肯定就是偶数了。然后b+c可能是奇数a+c也是奇数，但是呢，这三个数只要有一个偶数，那乘完以后它还是偶数。是不是你想想是不是这样的？对不对？然后接下来如果要是两偶一奇两偶一奇的话，

两个偶数，比如说啊a和b，它是偶数。啊，那么a+b它还是偶数两偶数相加还是偶数？另外两个是奇数，所以也是同上的。也同样也就说这三个数里面肯定是一个偶数，两个奇数。知道吧，参数肯定是啊，这样的啊，一个偶数，两个奇数。这个明白没有，

你想一想。对不对？所以说总之呢，不管是任何一种情况，那这个这些里头至少有个为偶数啊，就这三个数，至少有个为偶数，最起码有个为偶数，为偶数，它乘完以后，这个偶数乘以任何整数，它仍然是偶数。啊，只要有一个偶数就行了，所以中上我们可以得到。

那有a+b。b+CA+c，它至少。啊，业务。知道吧，就a+b。b+c啊，至少有至少有，那说明它这三个乘完后就是偶数，偶数的话，正确答案选b好吧，所以这是给大家强调了它的做题的要点方法，看大家明白没有？就是奇偶性一般，

咱们常考的也是三个数的奇偶性的判断，大家呢，要知道它的方法，三个数的奇偶性，它的一个判断方法要弄明白啊。好，接下来我们来看一下，整除给大家进行总结的结论，整除整除的话，大家要记住常见整除数的特征。好吧，这些特征，比如能被二整除的数，就看个位。各有零二四六八能被二整除数，

这样说要把它称为偶数。啊，这样数把它称为偶数就可以了。然后能被三整除数，能被三整除数，一定要个位数的之和，能被三整除。它和呢，为啥呢？把它加在一起。是吧，171你把个位加十位加百位啊，加在一起那么三层就可以了。好能被四整除就末两位，它能被四整除就开了啊，

末末两位。末两位，比如说。952。952能不能被四整除呢？你只需看52知道吧？只需看52看52，如果52÷4能够整除好，那么这个数字就能。被四整除懂了吧，然后能被五整除数各为零或者五啊，能被五整除数，各位必须是零或或者五。这样数就是能被五整除，然后接下来就能被六整除六呢，

大家必须把它分成二×3。啊六把它分成二×3，所以既能满足被二整除的啊，又能满足被三整除的这样数。就OK了，知道吧啊，这样数就可以了，比如说372那这372能不能被六整除啊？能被六整除，这是我们判断。判断一下，首先它末尾是二，末尾是二，肯定能被二整除，然后它数位之和个位加十位加百位，

把它加在一起加起，正好能被三整除，所以这个数它又能被六整除。知道吧，就这样去判断。能被八整除，就看末三位。知道吧，末末三位末三位。然后能被八整除就行了，其他数也都不用看，知道吧啊，所以在这里面大家呢，就可以这样写。比如说啊，

比如说9752啊，能不能被八整除？那这时候能看末三位末三七百五十二能不能被八整除？如果752。能被八整除，这时候整个数就能够被八整除，好吧，这是它的这个方法。能被九整除数跟咱们这个能被三整除数差不多，知道吧？都找这个数位之和啊，这两规律性是一样的。然后能被十整除数个位就为零就可以了好吧，好在这里面比较重要的，我们给大家勾上二三五九。

这几个是比较重要的好吧，这这几个呢，记住就可以了啊，当然除了整除之外，咱们还有一些是余数的内容。到到时候大家呢，也可以把它给学学余数的相关的考点。比如说咱们20÷3上一个六余个二，这就是一个余数。对吧，就20÷3。上一个六这后面这个二就是余数，这大家都知道。是吧，一般咱把余数呢变成一个乘法，

变乘法就20=3×6，再加上二。是吧，就20=3×6再加二这样写好懂了吧，所以这是它的这个方法啊，所以20÷3。啊商一个六啊余个二二十=3×6再加，这样就写好。好看，这个明白没有它的这个方法。看是不懂了是吧，然后接下来我们呢，就相当于是把它写成a÷b。上一个c余一个r是吧？那我就可以把它写成a就等于b×c再加r。

是吧，有时候大家在学习的时候，然后用具体的东西来学习抽象的。知道吧，这样啊，就好理解一点，知道吧，这样就可以写出来。好，这是它的这个式子方法，然后接下来我们再来看一下，还可以把这个再进行变形，也可以写成a-r，就等于b×c。知道吧，

这个就告诉我们一个什么样的结论，告诉我们就是被除数减掉，除数可以把它分解成。啊啊，被除数减掉余数可以分解成除数和这个商。是吧，就被输入减掉减掉它这个值，我们可以对它进行分解是吧？然后呢？可以把它分分解一下。啊，分解成这样子，另外大家还要注意啊，注意在咱们数的除法里面有个什么要求呢？这个余数一定要小于除数啊，

一定要要求r要小于这个b。比如说刚才讲的这个余数啊，余数刚才咱们20÷3这个例子可以看到，这个二应该小于三。对吧，这个余数二一定要小于三，所以余数一定要小于这个除数。好，这是它的这个。例子，接下来咱们先做做整除它的一些应用好吧，整除应用，大家思考一下啊。好，大家都想想这个题。

大家加油思考啊，看谁做的快，一个植树小组原计划在96米长的一段土地上，每隔四米栽一棵树。并且已经挖好坑了，就准备栽了。种树，然后呢，后面又想改成呢，每隔六米栽一棵树。就现在要重新挖坑时，可以少挖多少个，肯定要重新挖坑了。就原来每隔四米，他已挖好坑。

知道吧，就是这个坑都在地上挖好了。现在呢，咱要改成每隔六米种树，每隔六米种树呢，就原来坑有的可以用。是吧啊，有的用不了就得给它填上啊，所以在这里面大家看看，重新植入挖坑时可以少挖几个坑。好，各位同学都加油做好吧，看谁做的快啊，都加油思考好吧，大家都想一想。

看会不会分析。好，那么大家都思考完以后可以少挖几个坑，什么叫可以少挖几个坑？少挖的坑就代表重合的坑。少挖坑就代表重合的坑。啊，就代表重合重合坑它就少挖坑就代表重合。好，那接下来什么样的坑可以重合？大家想想，谁说一说什么样的坑可以重合？原来是每隔四米来挖坑，现在改成每隔六米挖坑。什么样坑可以重合啊？

大家都思考一下。都想想。是不是正好是它的公倍数是吧？大家都思考一下公倍数坑是不是它就OK了公倍数？所以在这里面，大家想想四跟六。它的最小公倍数。这个中括号就代表最小公倍数，这个公式正好等于12，你自己想想四个六的公倍数，自己再想几秒钟。是不是这样的？那这样就等于12。啊12啊12号也说每12隔12米的时候，它这个坑呢，

是可以再用的，知道吧，就它12米坑是可以再用的。这句话就不用再挖了，所以大家想想那么可以少挖几个坑呀，大家做到这。会不会分析了，所以咱们上课都是引导式的，启发式的教学叫让大家来进行思考。来回答。啊，都想想。看会不会分析。啊，都思考一下啊，

看会不会求解和分析？好，那接下来有没有同学算出来就是12米那那那应该是96÷12。注意，有同学选的是八，这就少加了一个，一少加一个一啊。应该八+1=9啊，等于九应该选择的是e知道吧，好很多同学呢，算是八这个丢分了。知道吧，因为咱们植树问题首尾，它也算知道吧，首尾的这个坑也算。

所以说这个加一不要漏掉了。所以在这里面，咱们给大家总结下公式好吧，公式就开放型的指数问题。开放指数问题首尾分开啊，开放型的指数问题首尾分开啊，首尾分开啊，开放型的。看一下图是什么呀？图是直线的。折现的。这样的是吧啊，这样的就首尾，它分开叫开放性的。这个植树问题以前也考过。

这收尾分开的。这样他植树的棵数。就等于总长。除以它的间距。然后再加一知道吧，所以计算公式好，如果要封闭型的。要封闭型的啊，封闭型的，它的指数什么叫封闭型呢？比如说这个三角形。四边形还有圆。是吧，那这都是封闭型的啊，封闭型的话，

那在这里面它的指数的颗数。这里它的周长。除以间距。这个不用再加一了好吧，就周长属于间距，这时候大家呢，就不用再加一了。好，这样的方法看是不懂了。啊，所以要掌握它的做题的要点，看是不明白了啊。好，那接下来咱们再看这个题。啊，

这个题。这个题呢，是考察这个余数的问题，想一想除法和余数大家会不会做？各位同学都加油做。好，咱们读一下这个题，这个题也是一个条件重新判断题，如果m是属于n这个大写的n代表什么意思呢？它沿着代表自然数。知道吧，这个大写的n的这个表示方法代表自然数的意思啊。然后m呢，还要小于等于60，这前面是已知条件，

则后面是让咱们推导的结论。则m的值可以确定，咱们重新判断题是由下往上推。下推上。知道吧，这是咱们考试所特有的一种题型，叫下推上啊来进行推导。然后根据推导结果制定五个选项。好，你看一和二谁能推出来m的值可以确定。条件一是72÷m的余数为三，条件118÷m的余数为三，看这m的值是不是能不能？唯一的确定。这个确定就代表唯一的确确定。

啊，确定行业代表唯一的确定。好，大家思考一下，想一想。好，大家都看看这个题好，那么这个题大家要用什么题的呢？就是这个被除数。72，然后减掉这个余数。应该能分出m和这个商知道吧，有时候不太懂同学，我们再写写就这72应该等于。这个除数。

m然后再乘一个商商，咱也不知道是多少，然后再加上一个余数。是不是这样的想想？就72就等于m×c。啊c就代表它商，然后再加上一个三，再加上一个三。啊，接下来我们呢？就可以写成这个72减掉三七十二减掉三，是不是得到69？啊72减掉三啊，得到是69。是吧，

好大家想想69可以分成几乘以几啊？啊69可以分成几乘几？另外这道题还有一个隐含信息，大家注意啊，隐含信息这个m1定要大于三，想想为什么m要大于三，都思考一下。因为刚咱们讲了这个余数要比除数要小。知道吧，有时候这个除数m1定要大于这个余数三好看懂了没有？m1定要大于三。对吧，所以说在这里面好，那么这个69大家想想可以分成几乘以几？六九六九能被三整除吗？

刚才讲过吗？正好能被三整除，那正好就可以分成23。乘以三对吧？那这m只能等于二三m，不能取这个三。对吧m不能取这个三。是不是这样的好，这样的一个一个情况。对不对？好，那有同学可能会说这个能不能分成啊？那么69×1呢？那不可以，因为m还要小于60。

是吧m，还要比60要小，所以这个呢？它还小60这样分只能是一种情况，所以就只能得到m就等于23，它是唯一确定的。你自己想想。对吧，所以说题目一呢，是充分的，充分的画勾啊，充分画勾好，那有同学说选这个d选项。啊，那么大家看看是不是选d呢？

好，那么其他同学思考条件二行不行？条件那一样道理唉，118=m×c，然后再加上三。那就推出把这个三给它移过来，118-3得到115，115=m×c，大家想115怎么分解？115刚才讲过，它能被五整除，所以说咱们刚才学的这个数的特征整数。整除特征，目的是为了分解用，然后可以分解，

所以它它大家可以看到它正好呢。是五的倍数，大家可以进行分解，对吧？把它进行分解一下。啊分解，然后就可以写它的数值了。对不对？所以答案就可以求解出来，看这个明白没有，但是呢，这个115它可以分成什么呢？大家想想。啊，都思考一下。

可以分成23乘以五二十三×5那23×5，那这时候呢？你看m呢？大家告诉我m可以取什么m可以取23呀？当然m能不能取五呢？m也可以取五呀。还有m也可以取五，你想想是不是这回事儿？因为这个m只要比山大就OK嘛，是吧？只要比山大就OK了。你想是不是这样的，它比三大就行了，所以条件呢，它有两种可能性。

好两种可能性，两种可能性是不能确定的好吧，所以说条件二呢是不充分的好，大家想想这个答案应该怎么选？如果一充分，二不充分，谁告诉我答案，应该选什么都想一想。都思考一下对答案，应该是a选项，所以大家可以发现这个重新判断题是特别特别容易出错的。是吧，刚才有同学选了d选项，那就错了，就条件呢，

可能忘记了m它有两种取值，这样的情况。这俩呢，就丢分儿了啊，这是给大家强调的，它的答题方法看明白没有？好吧，要知道它的答题的技巧和答题的方法啊。下面咱们来看重要定理，重要定理就是和分比，定理和等比定理这两个看看就行了好吧，这块儿呢就不做重点。讲解了啊，和分米定理啊，把这个分子分母加。

啊，这个都加那a+BC+d这个分子和分母相减a-b和c-d有相加有相减。这个等比定理呢是什么？等比定理就是让那个分子相加分母相加得到比值，跟原来是一样的好吧，一样这个等比定理大家都学过好吧。唉，在b定理时候要注意这个分母都不能为零啊，包括上面这个a-b都不能为0 a-b不能为0 c-d，它也不能为零。因为大家知道分母为零，它有没有意义了？好吧，所以在用比例定理的时候一定要注意它的分母是不能为零的啊，分母为零，

它这个是没有意义的。好吧，所以大家呢，要掌握它这个分母的这个概念，这个情况啊，别给弄错了。好，这一块儿咱们就不再单纯的举例题了，好吧，反正就这个比例里弄清楚就行了啊。它的特征就是分子加分，母加比值跟原来一样。接下来咱们再看一下第一章，它里面的难点和失分点。难点失分点也是考试重点，

就是绝对值这一块儿是考试重中之重好吧，绝对值内容，大家一定要一定要把它弄好。举止比较重要的就举止四个性质啊，举止四个性质，要弄清楚举止四个性质，第一个就是对称性。对称性，对称性就是互为相反数，两个数的绝对值是相等的，那也说绝值里面那么加一个符号，那么这一块它的数值仍然是一样的。是吧，绝值这里面变一个号。变更号。

好，那在这里面大家就可以看到啊，那么负a和a的绝对值，比如说我们遇到三减s绝对值可以写成s减三的绝对值。是吧，就整体变个负号啊，这个是不影响的，第二个叫等价性平方开根号可以写成它的绝对值。或者说a的绝值平方就等于a的平方是吧？所以说在这一块儿截直可以把它去掉。然后第三个自比性，自比性，自身跟自身的绝值去比较，这a的取值范围应该大于等于负的a的绝对值小于等于a的绝对值。然后推而广之，

就可以把写成x分之s，绝值等于s绝值分之s，然后等于一和负一，一个是s大于零，一个是s小于零，s大于零的时候，它的数值为一。而消零的时候，它的数值呢？是负一。好吧，是不是负一，所以它比值就有两种情况比较重要的就是非负性，这是大家用的比较多啊，非负性。

非物性，比如说就是任何实数的绝对值，它都非负的，都大于等于零，所以咱们要掌握常见的，还有一些非物性的一些量。比如偶次方或者偶次根号，它仍然是非负性的，比如a的平方a的四次方，或者根号a4根号a。它仍然是非不性。是吧，所以大家要掌握这个非物性的一个考试方法和概念，它这都大于等于零，看明白没有啊？

另外，还要注意它的考点。什么考点？如果你要遇到非物性的和为零，使得每一个都应该为零。啊，非负性的和为零，这个每个都为零，然后有限个非负性的和它仍然是非负的。啊，有限个非负数的，和它仍然是非负的啊，看这个明白没有好，这个绝对值它的基本的性质。看掌握没有？

好，大家加油，做一下这个题，每个同学都想一想，已知x-y+1的绝对值，加上2 x-y括号平方等于零，那么logy x等于几？都思考一下。好，每个同学想一想。首先拿到这道题以后，大家可以想到他这个表达式都具备恢复性。因为这个局域值，还有这个平方，它都具备分布性，

如果分布性相加，它要为零。啊则后面这个对数值，那怎么求解我们前面先把sy的值给解出来，大家快速计算。好吧，大家比赛。看谁算出结果来了。所以根据这个非物性，我们可以得到一个什么情况呢？根据这个非物性好，我们就可以得到那么第一个这个绝对值里面，它应该为零，第二个这个括号，它平方它也也应该为零。

想想是不是这样的，对不对？它应该都是为零的，对不对？好都要为零，那有同学已经算出答案来了是吧？就选择b算的非常好。是吧，所以我们接下来就可以看出就x-y+1它等于零。2 s-y，它等于零。然后这个方程组大家都会解，对不对？方程组可以消元法把y呢给它消消掉，把x给它解出来。

好吧，所以这个s=1 y=2，这很好解好吧s=1 y=2就求出来了。呃，求完以后呢？接下来他想求的是log。yx这个对数。log 1的对数是吧？所以这个y=2 x=1，它这个对数这个大家知道这个如果真数要为一的时候，真数要为一的时候，它对数值。应该是为为几啊？是不是为零呀？想想是不是为零可能有同学忘记了这个对数早就忘记了是不是？

老吧，所以说要记住常用几个对数值，其实它对数怎么回事你知道吧，这时候不太会的同学呢，你这样想log以a为底b的对数等于c。它相当于什么？相当于a的c次方正好等于b，它代表这样的含义啊，所以忘记同学简单说一下就a的c次方等于b。知道吧，就相当于a的c次方，正好等于b满足这样一个要点就可以了。啊，所以说在这里面大家可以发现啊c要为零的时候正好b就值就为一是吧，唯一所以说常用的几个对数值，

大家要记住。常用的一些值这个要记住好吧，好一个就是log以a为底一的对数值应该为零，这个大家要知道。好吧，这个大家会分析第二个log以a为底a的对数值，它应该为一啊，这个也要知道好吧，另外log以a为底a分之一的对数值应该等于负一。好吧，负一这样的情况看懂了没有？所以这个对数值是零，这个对数是一，这个对数值是负一好大家呢要。记住这几个结果好吧，

看看明白没有？所以把常用的对数值呢，要记住好这道题，告诉大家的收获就是我们要知道这个非负性的使用是吧，以这个常用对数值，要把它背下来。啊，这样话我们才能够更好的把它学好。好，接下来咱们再说一下，绝对值里面的基本公式好吧，在做题中常用的公式啊，第一个就s绝对值要等于a说明s等于正负a。好吧s应该等于正负的啊，如果s绝值刚好等于a。

把绝对值去掉s应该等于正负a，如果s绝对要小于a小于a，那么它的不等式就是记住小于又取中间大于取两边。小于就取中间。大于取两边。对吧，小于就取中间大a取两边啊，比如说小于a还有在负a和a之间，大a就是在两侧啊。大家记住这些口诀就可以了好吧，所以大家会解这些不等式。然后看会不会分析和思考。好，各位同学都加油做一下这个题，每个同学都加油做大家比赛啊，

若as+b绝知小于三，它这个解题。是负一到二。求a方加b方的值到底等于几好？各位同学都加入思考。好吧，大家都积极的互动。好想一想。若ax+b的绝对值小于三啊，那么它的解集是负一到二啊，请问一方加b方的值到底是多少？各位同学都想一想。看谁先做出来。好，有没有同学算出答案来？

好，按照刚刚咱们讲过的，它要绝对值要小于一个数，小于要取中间，所以说第一步啊，你把这个绝对值先套公式。对吧，套套公式因为小于三，那把绝对去掉应该在。负三和三之间。好，那么有同学说选a答案啊，其他同学做出来没有啊？有同学说选的是a答案。啊，

其他同学快速加油，做大家比赛。啊，第一步。还有是as+b大于负三小于三。是不是这样呢？你想想一想是不是这样？都思考一下。然后接下来大家发现它的解集正好是负一和二，接下来有个小技巧，你知道不？其实这个解集的端点值正好对应方程的根。所以负一这个这个端点值，其实就左边这个根二就是右边这个根知道吧，所以做到这呢，

我们可以。快速告白一个小窍门儿。知道吧，快要在快要一个小窍门就相当于是这个s=- 1的时候，正好满足左边成立。如果没听懂同学，我减的时候就负三就要等于负a+b。知道吧，就是负一带到里面去，正好左边这个这个等式。然后二代到里面就右边这个等等式知道吧，二代到里面就右边这个等式。好，这个明白没有？当然，

这里面咱们假设AA是正的，对吧？假设a正的当然还有一种情况是两边可以可能是互换，刚才咱们讲举止里面呢？它变更号是不影响这个解题的，知道吧？好，又有同学说的选c啊，又有同学说选c，其他同学都加，抓紧做一做。好吧，你不思考的话，这个是没有进步，得多多思考好吧。

好，这样话我们可以很容易把a和b解出来，这个方程都会解吧，两个式一相减就可以得到这个a的值嘛？是吧，两式一相减a的值就等于二。b值等于负负一，知道吧啊，负一当然还有一种情况，如果左右兑换，什么叫左右兑换呢？你把这个负三和三兑换的时候。兑换完以后，得到a=- 2 b=+1啊，就还有一种情况，

如果听不懂的同学，还有一种情况就是这样的，就是这个这个负三这是三，它两个兑换知道吧，就上面是三。下面是负三。这还有一种情况，还有一种情况怎么产生？我告诉你啊，怎么产生的？这a=- 2。b=+1，其实它不影响a方加b方的值，知道吧？a方加b方的值正好等于五，

都是c选项，知道吧？答案选c啊。啊，刚才有同学呢，没做好啊，看看是哪出错了好，那为什么会产生这样的情况，你知道吧，所以通过这个就告诉大家，绝对值性质就性质的话就知道2 x- 1绝对值小小于三。跟跟负2 x+1的绝对值小于三，这两个不等式，它其实是一样的，知道吧？

它其实一样的，所以说它产生差异，在这个地方知道吧？在这个地方啊，所以大家呢，所以刚咱们解的时候不妨假设a是正的AA正的话，那左边呢？啊，就是负三右边就是三有可能a是负的a负的左右，这样换过来知道吗？换换过来解的a的值这样啊，为什么会产生这样的？呃，差异呢？就刚咱们讲的绝对值里面整体变更号呢，

是不影响结果的，知道吧？所以AB呢？它的变号情况。有两种情况。知道吧，两两种情况，其实这个这道题的AB求出来应该是有两种啊，如果考试要出重新判断题或者什么题的时候注意AB，它求的是两种数值。不要光想着一种。那么，它是两种结果，好通过这一点明白什么含义没有啊，就这个解集它的端点值正好是方程的根是吧？

知道吧，这个解集的端点值把它带到里面去，它正好这个变成等号，知道吧，就变成等号，那就把AB给解出来AB解出来，那样就好办了啊。看这个明白没有？好，这是给大家强调的，唉，听完这道题就是要会解一个绝知不等式，另外还要知道解题它的含义是什么，另外还要注意AB。它两种情况产生的原因是什么原因？

有刚咱们讲过的就是2 x- 1的绝知和负2 x+1的绝知，它两者是一模一样的。知道吧，所以这是产生差异的，主要的问题。啊，接下来咱们再给大家总结一下绝对值，三角不等式。为什么把它称为三角不等式？它主要。特征跟三角形的三边关系是相关联的，叫三角不等式，知道吧？比如说啊，两边之和大于第三边是吧？

两边之差小于第三边，这个三角不等式，它的特征。懂了吧，所以说这个是a的绝对值加b绝对是最大的，就两个绝对值相加最大。然后左边a的就是减b，就是这是最小的。中间就是a+b的绝对值好吧，这是左边它乘以条件和右边乘以条件，这个左边右边等号乘以条件呢，这块大家不用使劲背。你用些数试一试就可以了，反正大家注意两个数的符号，要么就同号，

要么就异号，所以很容易试一试。知道吧，市城区几个数，比如说一个正的，一个负的啊，一个正一，一个负二一试就可以试出左右两边，它是否相等？知道吧，就左边等号乘以条件，它其实代表这个意思，代表a的绝对值，减b的绝对值，正好等于a+b的绝对值。

它乘以条件，它乘以条件的话，就要求AB是异号。为什么还要加上一个a的绝值大于等于b的绝值，你知道吧，因为要保证左边减完后它不能为负的。你应该知道局域值这个右边呢，是非负的是吧？它左边它不能出现负的啊，所以接下来我们就可以得到它的这个数值，就相当于a的绝对值，还要大于等于b的绝对值。好，这样的方法对不对？然后此外的话，

我们呢，还要知道什么呢？还要知道右边这个成立条件，这右边右边的话，右边这个等号成立条件就相当于a的。a+b的绝对值等于a的绝对值，加b的绝对值。这时候呢，只要AB大于等于零就行了AB同号就可以AB大于等于零，那就说明。啊，它的左边右边就是相等的，这时候就不用再加a的绝对值和b的绝对值大小了，因为它左右两边它都是正数。左两边它都正的，

所以这时候就不用再加了，好看这个明白没有？好三角不等式，它在考试里面出现的也比较多，它可以比较大小，也可以求一些取值范围或者求一些最值大家呢。在用三角不等式关键点什么呢？关键点大家一定要把谁看成a？谁看成b？把它给弄好好吧，谁当做a？谁当做b啊？弄好那么这样就OK了啊。好，各位同学，

一起思考这个题好吧，已知2 s-a绝对值小于等于一二s-y就是小于等于三。则y- 1的。绝对值最大值到底是多少？好，各位同学，都想想这个题，都思考一下。大家加油，都想想。好，那么其实三角不等式，咱们用的这道题呢？用的是右边一半知道吧？就a+b就是小于等于a的绝对值，

加b的绝对值。当然，这地方要给大家强调是它取减号也可以。去减号也行是吧？去减号也行AA+ba-b都可以啊，它的绝对值小于等于a的绝对值加b的绝对值都是这样的一个情况。好吧，那都是这样的一个方法啊。然后接下来咱们来看一下啊，它的这个这个内容好吧，所以首先大家看一下y-a。唉，如果考场实在不会做的同学教给大家一个绝招，因为这个x。是啊，

他在这道题里也没啥用，所以xn可以取个特值取成零知道吧，另外不会。嗯，不会做的同学啊，以后遇到这种最值问题，像绝值最值问题一般，大家呢，都让它变成等号。编等号知道吧，实在不会做上课了，教给你怎么弄，你知道吧，教基础特别差的同学教你怎么弄，你知道吧，

让s为零。s为零以后，这不就剩一个a了吗？剩a你就让aaa就为一就行了是吧？你这都取等号。然后这sv 0就变成y。y让它为三为三的话呢，这个这时候你可以发现这个a和y啊，让它一个为三，一个为负一，这样话它差值是最大的是吧，你可以让y=3。a=- 1这时候呢啊y-a它的差值呢，会比较大一点啊，所以说y-a它就找到最大了是吧？

知道吧，就找这些边界值，找这些等号来分析最值，这针对基础。不太好的同学上课也想拿分儿，你朝什么样的方向去进行蒙猜选项？要知道这样一个思维方法，知道吧？你就知道怎么去蒙猜了。好吧，看这块是否明白？好，如果要想做就怎么做，做的话就这样的，把y- 1的绝对值把它写成什么呢？

写成2 x-a减去个2 x-y。你看这样行吧？对不对？然后把它变成2 s-a和2 s-y好，这样的话大家可以看到。你看到这个呢，就把它看成公式里面a，就把它看成公式里面b，是不是它应该小于等于？这个句子加上这个句子。好，那么讲到这，谁算出答案来了？大家加油好吧，直接算出答案来，

大家知道额，这个数小于等于一，这个数小于等于三，一个小于等于一的数，加上一个小于等于三的数，那么加在一起应该小于等于几？再回答一下。都说一说，应该小于等于几？好思考一下，看会不会分析是不是应该小于等于一+3嘛？小于等于四看你做的答案是不是这样的？好吧，大家想想会不会分析是吧？就选择d选项。

啊，大家呢？就做好了。对吧，所以这个三角不等式，三角不等式，大家在做的时候难点就是怎么样去套这公式是吧，然后公式形式怎么变形？如果实在不会做的同学呢，你就找一些特值，然后呢，再找一些边界值知道吧，然后呢，就看看谁更大。这个明白没有，

你看自己能不能想到这样的方法好吧，这是它的关键点。啊，接下来最后我们再总结一下第一章里面的重要考试方法和解题思想啊，要知道。好吧，一些解决思想，解决思想就是拿到一个题，怎么去想？考试常用的方法有哪些？第一个遇到质数合数的时候，一定要列举讨论法，知道吧？质数合数，这也是每年都涉及的题的地方，

还有质数合数，大家呢？就可以列举常考的一些质数。是吧，尤其20以内的质数，大家要知道好吧，然后奇数偶数，它组合在一起是什么样的数？比如几个奇数相加或者奇数跟偶数相加到底什么样数？另外有时候还要分类讨论。比如说遇到ABC，它几个奇数，几个偶数做一些题的时候可以讨论。讨论了，然后分情况来进行选答案，

知道吧？另外，咱们还学了就整除特征的分析及余数的方法。余数呢，你可以把它余数给它减过去，变成整除是吧？另外还要注意余数，它要小于除数这一些小的细节。这个整除的特征呢，主要可以用于什么用于分解啊，把一个数进行分解。另外，遇到比例问题，我们可以设k法设它比例系数k或者说分数法，看它是几份给它扩大多少倍来进行分析和求解。

这样就OK了，是不是？另外，这个局域值局域值咱们处理方法常见的处理方法有什么有分段讨论？啊，分段讨论去绝对值，这是根据绝对值的定义来进行分析的是吧？这绝对值定义，另外就是性质法，性质法比较重要，就是非负性。对不起，还有些几个e几个e呢，主要是看它距离。这个性质法主要是比较重要的，

就是非复性。这个几何意义呢？主要看它的距离在数轴上，看它的距离。然后三角不等式，主要是它的大小大小，或者是最值。啊，大小或者最值知道吧，这是它的这个方法，所以说把这几个点抓住就OK了好吧，这是它的这个基本的方法。啊，看弄明白没有？

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