1-04实数与整除（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:22:02

接下来要讲的一个模块就整除。啊，整除里面还涉及到一些余数问题。我们看一下常见整除的这个特点啊。常见整除它的特点，就判断一个数，它能被几整除，它的特征好，我们来看一下啊，能被二整除的数，也把它称为偶数。它的个位特征就是零二四六八啊，能被三整除跟能被九整除，这两个呢是？规律差不多的都看数字之和啊，

如果数字的和能被三整除，那么这个数就能被三整除，如果数字的和能被九整除，那这个数就能被九整除。好，所以三跟九规律是差不多的，然后能被四整除的数就看末两位，末两位数能被四整除就可以了，比如说8752能不能被四整除，那咱们只要看后面这两个数。啊，如果52它除以四能够整除，那说明整个数就能被四整除，所以被四整除的特征就看后两位就可以了。然后能被五整除就个位是零或者五，

这个比较简单，六的话，它只能拆分啊，六不能直接判断六呢，把它拆成二×3，所以它既能被二整除，又能被三整除，同时被二和三整除，那这个数。就六的倍数被八整除，看末三位，比如说8752能不能被八整除，那就看末三位，末三位有个752啊，能被八整除。

那么，这个整个数就能被八整除，看末三位就可以了，其中二四八它的规律性可以这样去理解，二可以看成二的一次方。那么四可以看成二的平方，八可以看成二的三次方，所以大家可以看二的平方，就看末两位。这个八二的三次方二的三次方就看末三位是吧？末三位以此类推，如果能被16整除的数，就看末四位，当然咱不会考那么大是吧？但是规律性的东西就看二的方幂，

这二的方幂还可以用到五的这一块儿啊，比如说能。被五整除就看后，一位末一位就行了，如果能被25整除就看末两位啊，末两位能是呃25的倍数就可以了是吧？比如说九七七五，然后看这个75正好是。25的倍数是吧？你看75，75这样25倍的末两位是五的呃，25倍数整个数就是25的倍数好吧，然后125，125就是五的三次方看末三位，只要末三位。

后三位是125的倍数，整个数就能被125整除，所以二和五它可以用方幂这种规律来掌握好吧，这是这个规律，然后接下来能被十整除的就各位必须为零。能被十整除的，然后能被11整除的，这个数的特征啊，能被11整除这个特征呢，稍微难一点，咱们看一下，从右向左。奇数位的和减去偶数的和如果减完后能被11整除就可以了好吧，奇数位的和减掉偶数位的和能被11整除就可以了。咱们举个数吧啊，

比如说81752好吧，看这个数行不行啊，比如说判断这个数能不能被11整除，那就从右向左就从。低位到高位，知道吧？从右向左奇数位之和就是二+7+8叫奇数位之和就第一位，第三位，第五位奇数位之和。减去偶数为之和，减完以后看它能不能被11整除，当然也包括零，比如减完后刚好是零，这个也行啊，所以就是二+7+8。

然后减去个五+1-5+1，那么你减了后，如果刚好得到数是11的倍数，那这个数就能被11整除好吧，然后这是它的一个判断的方法啊看。是不是明白了？好，那这是这句话，它的含义好，那接下来给我们一个数，找这个整除的呃，特征是什么？用于分解的时候用知道吧，比如说稍微大一点儿的数，比如说刚咱们遇到了420呀，

怎么分是吧，稍微大点儿数很。有的同学不会分，不会分的话就按照这个整除的特征呢，一个个往外分就行了啊，这样就可以把它分解出来。往下看，咱们再说非整除好吧啊，非整非整除就是余数的问题啊，咱们看一下余数的情况。啊，当整除a÷1个非零整除b商为整数余数，不为零时就称为非整除啊，所以整除是非整除的一个特殊情况就相当于余数为零的时候。就是整除余数不为零的时候，

就非整除它的形式，可以把表示成a÷b=c，然后余个r它表示a把它称为一个被除数，看一下数啊，被除数b呢是除数c呢，是把它称为商。r是吧，称为余数，然后20，比如说举个例子，20÷3可以商一个六余一个二。是吧，给上一个六余一个二。为了便于做题，咱们把它写成乘法啊，

把它写成乘法，所以这个余数跟咱们代数式的除法余式规律是一样的，知道吧，咱们现在是学数字的问题，然后把它转成表达式。啊，这个a就被除数等于除数乘以商再加余数好吧，有这样的一个形式。啊，另外有个要求，余数一定要小于除数就余数，它特殊情况可以为零余数为零的时候就变成整除啊，余数是大于等于零，小于这个除数b的。啊小于除数b。

知道吧，这样的情况。啊，另外商可以为零知道吧，比如说一÷3它商是为零余一个，一知道吧，它余数是为一的啊，余数为一。知道吧，或者二÷3余数是为二，知道吧，所以二÷3啊余数呢，就把它看成二就这个意思啊，所以这个这一个特殊情况要给大家说一说啊，就是当这个当这个。

被除数比除数小的时候知道吧？被除数比如说一比这三小的时候，这个余数就就是这个这个被除数了，就这个数就这个一或者二÷3嗯二二除以三二÷3那余数呢？就是二好吧，就这个特殊情况给大家说一下。说一说。好，那接下来咱们来看一下，围绕这个非整除它的考试方法。噢，有个重要性，重要性质是这样的，这个重要性质是把这个乘法给它转化一下啊，咱这个重要性质怎么得到就a等于个b×c再加r是不是这样的，

就是刚才咱们在写字的时候写了。就是被除数等于除数乘以商再加余数，咱把这r给它移过来，也就是就可以写成a-r就等于b×c，也就说a-r。它一定能被这个b整除，知道吧？也就说可以进行分解，知道吧？可以分解就a-r给它进行分解就行了。啊，分解它的结果好，那常用表达式就可以把这个除法把它写成一个乘法啊，那么咱们知道。被除数就等于除数乘以商是吧？

得到这个结果，所以要记住常用的。整数的特征来进行分析，题目是吧，一些除法的特征来分析题目，比如能被二整除啊，能被三整除，能被五整除，能被九整除啊，还有能被六啊，或者这些整除的特征。来分析和思考好接下来我们来看一下这个题目，那三个数的和是312这三个数分别能被七八九整除。而且商呢，都是相同的，

则最大数与最小数相差是多少？那这道题它知道三个数的和而且这三个数分别能被七八九整除。这七八九就相当于是除数啊除数，然后它的商我们设这个商。为x好吧，设商为x商要为x那这个被除数就等于除数乘以商用这个方法做就行了，所以这三个被除数分别就可以得到啊，所以根据题目得到。三个被除数。分别可以把它写为分别为7x，8x和9x。得到这个结果，是不是这样的？所以三个被除数分别为7x，8x和9x，

得到这样的特征，看是不是懂了就拿。除数乘以商就得到被除数，然后接下来他说三个数的和是312，三个数的和是312，那就可以得到这三个数加在一起，应该是312，所以我们就可以推出。比如7 x+8 x，加上9x，然后等于312，这三个加在一起应该等于24倍的x。好等于312，这样就可以得到它的数值，然后接下来我们把x简单的化简和求解一下，

得到是13。啊，就推出x=13。好x=13，这个求出来了，那么最大的数就是九×13，最小数有七×13，所以它的最大数与最小数相差。的情况就可以写出来，相差就是九减七，得到就是二乘以十三，得到就是二十六，然后正确答案应该是选择的是。e选项答案就求解出来了好，这就是给大家强调的支点，

这个答案就选择e选项。啊，那这道题它的考试知识点和方法主要考察内容就是。它这个概念性的东西要知道啊，要知道除数被除，它们之间的关系和特征就是刚刚咱们做这个题所强调的内容和方法，看是不是听懂了？好那么知道，以后知道商知道啊，这个除数就可以写出被除数，然后得到答案。好，接下来我们来看一下这个题目，然后没做的同学请按暂停键思考一下。好了，

各位同学都思考完了，接下来我们来看一下这个题不超过100的正整数。不超过100正常能被三或者五整除的到底有多少个是吧，然后在这里面我们来看这道题还用到了一个或的这个关系。或获得的关系，比如说这个100个正整数从一到100啊啊，就这100个正整数，100正整数，比如说第一个圈儿。第一个圈是表示能被三整除的。然后第二圈表示能被五整除的。能被无整除，中间还有交集，大家不要忘记了，就用咱们前面学过的公式就是a并b。

就在a这个圈加b这个圈减去a交b，这样就可以了好吧，就是a这个圈。加b这个圈儿减掉a交b就得到这个结果好吧，中间就a交BA交b就相当于既能被三整除，又能被五整除，就相当于它要被十。15整除是吧？这个呢，就相当于是被15整除的数好，那接下来我们一个一个的求解，首先求出被三整除的数。数有多少个被三整除数，我们看拿这个100个数，然后除以三得到33，

然后余一，所以说它这应该有33个，所以被三整除的数有33个。被三整除的。还有33个。好，那我们再看被五整除的，被五整除的就100，它除以五。得到刚好是20，那被无整除，当然考试时候不用像老师写那么啰嗦是吧？你直接把这个省略就行了啊。省略就可以了，然后呢？

既能被三，又能被五整除，将来被15整除的被15整除，我们看100÷15。100÷15就得到是六，然后余一个十是吧商一个六，然后余一个十，然后这时候形成了被。15整除的。应该有六个这样写好了，被15整除它有六个好，这时候我们就可以算出a并b的值。AB位置就等于它加它，再减掉a交b就行了，就得到33。

加上20减掉六得到这个结果，然后在这里面就可以得到。是47这个呢，应该选择c选项。好，那这个答案就可以写出来，这个答案就选择c好看，这个题是不是听明白了，所以这道题要掌握的知识点和方法就是掌握这个整除的呃，在这个指定范围里面有几个？比如说给我们一个范围是吧？在这范围里面能被三整除的有多少个啊？或能被五整除的多少个被某某整除的多少个？在这个指定范围里面寻找整除的数。然后另外，

如果出现或的这个关系啊，这是这道题，考察是两个圈儿，等到后面咱们学应用题的时候，还有考察三个圈儿，对吧？三个圈儿的内容。好那么两圈儿，大家先把这个呃集合的运算公式先记住，后面我们再讲三个圈儿的，比如说能被三整除，或者能被五整除，或者能被七整除。是吧，到时候呢，

它给了三个圈，给三个圈那么一样去分析和思考就可以了。好，那接下来我们看一下例13这个题，主要考点是考察不定推理和分析能力是吧？分析这个三位数到底是什么样的情况啊？好，那我们来看一下例15这个题，一个三位数，它能被三整除。好，这大家注意，第一个条件被三整除去掉，它的末位以后。就三位数，

把它个位去掉以后。得到的两位数就是17的倍数，然后两位数是17倍数，这样的三位数中最大的三位数个数与之和到底是多少？好那么没思考的同学，按暂停键思考一下选项答案。好，各位同学都思考完了，接下来我们来做一下这个题目好，那这个题我们画一个示意图，可以发现这个是个位十位和百位。对吧，个位十位百位，那么它的这个特征，这是它的三位数个位十位百位好，

现在把它的末位去掉。末期要所得两位数就前面这两位数是17的倍数，这样的三位数中是什么情况？就是前面这应该是十十七的倍数。11倍的，它要找最大的三位数，最大三位数，那么最高位越大越好是吧？越大越好，所以说它的这个前面这个显17的倍数17k倍。使其k倍。好，那么这个呃百位越大越好，百位越大越好，你看k最大就取五，

因为取六的话，它就超过了这两个数是吧？两位数因为它这个总共十位和百位就两位数。你如果17×6的话，你可以发现就等于102，102它它变成三个三个数了，这个不行是吧？所以在这里面就是k最大就取五。所以我们马上就可以得到k啊，最大。就V5啊k最大就V5就写出来了，好k大最最大就V5十十七×5就得到85。啊11×5就得到85，所以这个十位和百位就是85就写好了，所以这个呃三位数的前两位我们差不多就写好了，

就85。啊，前两位就85就写好了，好就剩下后面这个数。后面数到底是多少？好，那么前两个数已经定下来了，后面这数也大一点儿，越大越好呀，是不是越大越好，越大越好？那要能被三整除。能被三整除，刚才咱们讲能被三整除特征就相当于是它的数位和要是三的倍数数位和三的倍数，那在这里面我们看这个呃八加五八+5得到是13。

是吧，八+5得到的是13，那这个数越大越好，越大我们就从大到小去筛选一下，那这个九行不行？九的话，13+9得到22，所以这个各位要取九的话不太行，要取八看行不行取八？取八的话，如果这个要八八的话，那13+8应该等于21是吧？而21可以满足是。三的倍数啊，这个是可以的是吧？

所以在这里面唉，我们就找到它的这个结果了，所以应该是858，所以这个三位数最大就推出来了，最大就为858。858那把它加在一起，八+5+8就可以得到，是21正确答案就选择的就是a选项，答案就求解出来看各位同学是否做对了。如果这道题把第一句话改成三数，能被九整除，能被九整除，到时候怎么办？能被九整除，要数位之和，

要能是九的倍数，好吧，就这个加在一起，应该九的倍数，然后再讨论个位应该取几？就可以了好了，这道题主要考点它的这个内容，看懂了没有？当然这道题。还可以求最小的三位数，最小三位数，这个k就取一就行了，取一就是相当于是百位是一，十位是七，正好这个17。

然后再看个位，各位能被三整除里面，然后看个位到底是取多少，那在这里面就可以写出来啊，要保证它是整个是三的倍数，那么就可以写出来好，那最小的三数，我把答案给大家写一下，大家可以思考根几秒钟。你认为最小的三位数是多少？要能够举一反三，看谁能回答对大家比赛。好比赛好，那么看谁做对了啊？就是171好，

我看有同学回答出来了是吧？回答对了啊，就最小的就171好你们。啊，又离成功近了一步，好，那我们可以看到好这一块。啊，就是171啊，答案都给大家写好了好了，那这是整除的一些概念和特征好，那接下来咱们就来看一下这个非整除的题。呃，翻到17页，17页，

咱们看单个数好吧，17页上面的考项二。翻到17页，看一下考项二，还有单个除数的非整除。好单个输出它的非整整除问题，好非整除问题就是用刚才讲的a-r就等于b×c，反正就这样去讨论就行了好吧？啊，那咱们看有两种考法啊，分别例14和例15是代表两种考法。呃例14是已知除数和余数来分析被除数，它这样的考法啊，它的考法是已知。除数。

其余数。已知除数及余数，让大家来求这个被除数，或者分析被除数。好，这是它这个命题的一个方法啊，已知除数及余数，然后来分析求解被除数。好历史这道题，大家读一下题，思考一下，想一想。好，那这道题我们怎么写呢？就n的9倍与五倍之和变成了9n，

加上5n。它的和除以十的余数为六，就相当这个是被除数。这样等于除数乘以商，再加上余数好，第一步看是不是写好了啊？就被除数。就等于除数乘以商，再加余数。啊，这道题的商虽然不知道是多少，但是。十×1个数，它的个位一定是为零的，十×1个整数啊，

十×1个整数，它个位一定是为零的。啊个位为零，然后再加上六。只加六，那说明这个个位应该为六是吧？这就可以通过这个推导出来14n它的个位。应该为六为六，那么大家知道两个数相乘，它的个位是由个位乘以个位来决定的。对不对？所以大家知道四×4可以产生一个六啊个位是六，还有四和九，所以考试如果要做重新判断题，大家容易漏掉，

因为这问的修写题，大家漏掉的话，一看选项可能能想起来。是吧，这选项能给你一些提示，能想起来，所以问题求解题的这个陷阱呢，一般大家容易发现，但重新判断题的话啊，那你漏掉一种情况可能就不好检查了，知道吧，所以还有一种情况，四九三十六它各。个位它也为六，所以n的个位应该是四或者九正确答案选e选项好四或者九就选e好吧，

这是它的做题方法啊。好，这道题就是大家听完后就告诉我们除数和余数的情况分析，被除数它的一个取值个位。好，接下来咱们看例15这个题，大家读一下题，想一想好，那这个题是已知什么呢？想想。已知被除数对其余数。啊，然后来分析或者求这个除数或者商这道题也可以求商啊啊，可以求这个商求除数。及这个商。

啊求除数和商。好，那接下来咱们看一下啊，它的已知被除数和余数求除数和商。这是羊汤啊。好，大家都思考写几步想一想。咳咳咳。嗯。好，那接下来咱们就可以把这数带到里面去好吧，这个第一步看是否写出来了啊？好，那么1531要减掉余数13。然后进行分解，

分解一部分是除数，一部分是商。好，1531-13是不是等于1518？然后这个怎么分解？所以大家可以用短除法来分啊，短除法来分，短除法这时候要结合咱们刚才讲过的呃，整除的特征，大家可以发现这个数肯定是被二整除，因为它个位是八。这个数也能被三整除，因为它一+5+1+8，它正好三的倍数，它能被三整除。

所以它肯定就能被六整除了，或者说一开一一一点儿点儿分也行啊，分个六分六以后，那这个就是12。253是吧？所以用短除法就一五一八除以个六，然后253再分在这253正好是11的倍数，为什么11倍数刚刚咱们讲过，我们看从右向左。奇数位之和。第一位加第三位，你看正好是三+2是吧？奇数位之和减掉偶数位之和减完正好是零是吧？零它也是三的倍数嘛哎，11的倍数嘛。

所以它这个253从右向左啊奇数为之和减掉偶数为之和，这样11的倍数。除以11是吧？好，那这个数也就是说可以分成六×11，再乘以23。啊，所以大家以后呢，用这个短除法啊，这个分就行。好分那这个除数到底是23还是11呢？因为这个除数它是质数，而且这个质数还要保证，那因为咱们讲除数要比余数要大是吧？这个除数一定要比余数要大。

因为余数要比除数要小嘛，要小，所以除数要满足两个特征，一个特征是质数，另外特征要大于这个余数，因为只能取23，所以23就是就是这个除。复数。好看是不懂了啊，然后这个66就是它商啊，66就是商。对不对？好六六就是商，然后接下来那么答案就可以写个六六加二三嘛？得到89这一栏就选d。

好，这道题就难点，就在于要讨论分解好吧，所以这两题就从两个角度把这个单个数除法啊，就一个数除另外数，单个数的除法就弄清楚了。好，那接下来咱们再看下一个类型有多个数除法啊，多数除法，那么它分为这几种情况，一定是同于。所以就是好多个数，然后除以这些相除，然后一个是同一问题。然后还有是不同于不同于咱们又分为两类啊，

分为两类，通过个位特征或者凑成整数来分析啊。好，那分为两类，这个多数非整除它是什么情况呢？多数非整除，多数非整除的话就相当这样的。比如说a÷m。这个商然不写了，余r1。a÷n余r2a÷k我们就以三个为例，余数余r3好吧，余r3。好，那接下来咱们就分为两先看同语的好吧，

同语的同语的话就是r1和r2r3，它相等就同语的知道吧，所以它同语同语的要简单。同余就r 1=r二=r三好，这是同余啊，同余的话，大家可以发现这个a-r既能被m整除，又能被n整除，又能被k整除，懂了吧？如果要余数要相同，刚才咱们讲被除数减它余数都能够被这个除数整除嘛，所以也就说这个a减掉这个r可以被m整除啊a减这个r也能被n整除。也能被k整除，知道吧？

如果同余的话，就可以得到AR，反正这个都把它看成r算了，反正它都一样好吧a-r能同时被。同时，被mn nk整。好看，这个是不懂了啊，所以a-r它能同时被mn k整除，这样就写好了。好，那接下来咱们做点儿同一的题好吧，比如说呃，考试还可以出一些文字题，比如说大家课间去吃饭啊，

去吃饭，吃饭的时候比如说每五个人坐一桌儿与两个人每六个人坐一桌儿。还是余两个人，比如每八个人做一桌，还是余两个人，是不是这时候就是一个同余问题，懂了吧啊，这个它余数都一样，那先做一下余数一样的吧，大家翻开书看一下例16这个题。在17页看一下例16。啊17页，大家看一下例16。我们一起读一下题，一个盒子装有不多于200颗糖，

如果每次取两颗，三颗，四颗或者六颗，最终盒内都只剩下一颗糖。啊，如果每次取11颗，那么正好就取完。则盒子应该有多少颗糖？啊，通过这个题，大家可以发现余数都是一是吧？都只剩下一科嘛？好，那接下来咱们看这个题啊，就相当于这个糖的数量m减掉余数一。

应该能同时被。二三四六整除。啊，看第一步是不是听懂了啊？因为它余数它都为一。好，如果能同时被二三四六整除，咱们是不是要找二三四六的最小公倍数啊？嗯，二三四六最小公倍数认为是几啊？十二十二说也就说它最小公倍数就12。所以这个m减一一定是12的倍数，对吧？12倍数我们可以设，或者令m- 1就等于12k。

哈哈哈。好，那就说明m就等于12 k+1。好，那这个k又遇到取值情况的讨论啊，如果每次要11颗取完，刚好正好取完，那正好11的倍数对11倍数那一个表达式11倍数怎么判断？刚才咱们。讲一个数11倍数是从右向左看奇数位的和减偶数位的和，但现在一个表达式，一个表达式，不管是判断是九的倍数也好，11倍数也好，是这样列开啊，

我们可以把它拆12k，可以拆成11k，加上k再加一。你俩知道前面肯定是11的倍数，只要这后面也是11的倍数，如果两个都是11的倍数加在一起，它就是11的倍数。懂了吧，如果这里要改成每次取九颗，正好取完的话，它是九的倍数，怎么弄呢？如果要九的倍数的话，你就把这个12k拆成9k，对加3k再再加一，

因为前面正好是九的倍数，前面是九的倍数。只要这块儿是九的倍数就行了，这块儿九的倍数呢？也可以讨论九的倍数，九的倍数，那98或者说27类似这样的，懂了吧？就它要是九的倍数。好，那么以此对应，那么这这个地方是11的倍数，这后面也应该11的倍数，也应该11倍数的话，那么就可以取11。

一二十二三三，当然它的数不能太大是吧？不能太大，因为它呃不能超过200，如果这里要改成300到五百三百到500，可能要取得大一点儿是吧？如果改成300到500，那要取得大一点儿，就根据它范围，你就看可以取多少？好了，讲到这，我们再概括一下，如果一个数能被几整除的特征，就根据它所给的这个，

刚才咱们讲的知识点，比如说能被11整除，你就看它数的这个特征。然后如果要是一个表达式啊，还有一个表达式来讨论是不是11的倍数或者九的倍数啊，或者几的倍数，这时候呢，你先把前面的这个拆拆成一个整除的情况，这种情况剩下的部分它也能够是整除的。那这时候整个数就能是11的倍数，知道吧？这个拆分来讨论啊，那说明k+1=11=22这道题有点大是吧？所以k+1=11 k+1=11的话。k+I等于十十一的话，

那这个只能是k就取十是吧？好k取十就写好了。这样就k就取十。好k=10这道题答案就做出来了啊k=10 k=10 m就就等于幺二幺。要是他最后问什么，最后问他说m的个数与之和多少，这里还可以问什么问m÷5的余数啊，咱在二二年考试，不是让你求一个值吗？求一个值，问这个值除以五的余数是几？有一个题就前面问的求解题，有个题还记不记得去年？考了一个题，是不是他问什么甲乙丙那那几个部门儿的人数还是什么东西是吧？

问最后他问他的这个人数，最后除以五的余数是吧？如果这道题要问m他除以五的余数到v几是吧？到时候你找这个余数就可以了啊。好，这里答案就选择c了它的各个数位之和，正好是四啊，各数位之和好这道题呃同余，咱们就讲一个题应该够了吧，大家回头做后面作业的时候，比如说它都余一也好，都余二也好。仿照这个来分析和思考啊，就按照这样的方法，接下来咱看不同于怎么办好吧，

不同于看怎么办？好看一下这个题啊，一个自然数能被二除余，一被三除余，二被五除余，四满足此条件的介于。200到呃，100到200之间的自然数到底有多少个满足这样条件的？自然数到底有几个？大家可以看它余数是不一样的。哈哈哈。嗯。好，大家遇到余数不一样的时候，先观察一下它的差值是不是一样，

你看一下二减一。跟三减二，跟五减四。它的差值一样，当然差值它不一定是一啊，差值有可能是二，有可能是三，或者有可能其他值，只要差值一样。就拿这个除数跟余数，看它差值是不一样，如果差值一样，代表什么意思啊？看看差值一样。我把这个自然数给它加上这个一。

是不刚好能被二整除，也能被三整除被五整除啊，想想。这个看能不能转过来啊，就把它加上一。加加上加上一，你看它除以二不是余一嘛，余一+1，它肯定能被二整除了，如果被删除，余二再加上一，加上一，以后这个余数刚好又能整除，然后这个不是余四嘛，余四你给它加上一个一，

加上一，它正好又能被五整除。是不是所以给它添上一那如果还没明白的同学给你举个咱们买东西的例子，比如说咱们有的时候买东西是三个一一套，知道吧？三个一套三三个一套，比如说你买了若干套又。买了两个，又买两个，人家说你再添一个嘛，再添一个正好凑成一个整数嘛，是吧？有时候买东西，他正好是给你添一个，比如说你买苹果，

他说再添一个，正好给你凑一个整箱的或者整。盒的是不是嗯，比如说你买了若干盒，然后哎，正好又单独买了两个，人家说再加一个，再加一个，正好再拿一套嘛。比如说它是五个一一盒儿，五个一盒儿，你买了若干盒儿，然后又又买了四个，人家说你再买一个，再买一个，

正好凑成一个整合儿嘛，是吧？就这个意思，就给它凑成整除，这个能懂吧？所以在这里面就可以得到这个自然数。这个自然数我们就设为n吧好吧，这个自然数咱们用什么表都行，做n也行，用a也可以啊，就相当于这个n+1就能同时被。二三五整除是吧？被二三五整除。好，大家想想二三五的最小公倍数是吧？

二三五最小公倍数呃30吧是吧？是30吧啊，这最小公倍数是30。所以找这个30就行啊，最小公倍数30，那说明n+1能被三整除，那就设n+1就等于30k。好n要等于30 k- 1，因为它说要介于100到200之间，100到200之间呢k的范围，我们看k得取四吧四五六七。七不行，七超过了超过，所以它应该有三个是吧？有三个这样的自然数。

懂了吧啊。对对，就在这个区间，30 k- 1在大100，小于200对，在这个范围里面嘛，就它这个30 k- 1。然后这个key大概预估一下就可以了，是不是是这样的？好，这个能懂吧？这个就是相当于是你到时候遇到如果余数要不同余的时候先看差值啊，讲完这个题会给大家总结看差值。是不是这样的是吧？差值差值，

如果一样的话，给它补一个差值，补差值正好都能凑出整除成整除化，然后写出来结果。好，那接下来咱们再看下个题，下个题的话就是考察的就是。这个它余数也不同于你看例18这个题，一盒围棋每六只六只的数多三只。每七只七只鼠多两只，每八只鼠多一只。好，这盒围棋的数量在150到200之间，如果这盒围棋每11支的数，最后会余多少支？

求一下余数。啊，这跟咱们考试真题差不多了，它问这个数除以某个数的余数到底是多少？大家思考一下，想想。你看这道题的差值就不一样了啊，看六减三不等于七减二。也不等于八减一是吧？看差值不一样，如果要差值一样就转换成刚才上一个题的方法做。但是你发现没有它的和就是一样的，你看六+3，你自己看看六六+3。等于七+2，

你发现没有？等于八+1。你看它和又又是一样的，你看它和又是一样。所以这两个题一会儿给大家总结，当考试，如果余数要不同的话，那这时候呢，大家要要么看差，要么看和。那有同学说，如果差跟和都没有一样，怎么办？一会儿咱们再说另外一个，另外一个就是什么规律都没有了，

怎么办？好吧，咱们一个个来啊，咱们先用简单的再讲这个难的好吧？你看它这和都是一样和一样，咱们先抛开这个数量范围，先抛开这个数量范围啊，就150到200先不管它。大家可以发现这个九这个数就可以满足它除以六余三，发现没有，咱先不先不管150到200啊，150到200先不管它，你看这个九这个数是不就除以六余三？九是不是除以七余二九也？除以八余一，

那说明这个九就OK了是吧？但是现在它要求是150到200之间接着要用一个余数不变原理。什么叫余数不不变原理呢？你要加上六七八的最小公倍数，它的余数是不改变的啊，就是这个这个围棋的数量，这个棋子的数量。应该九加上它们的倍数，这个余数是不改变，比如说你只要加上六的倍数，你想想只要加上六的倍数，加完以后它除以六还是余三，你想想是不是这样的，因为九÷6余三，你认可对吧？

九÷6余三，比如我给你写写个数啊，假假假设加上一个60，加上加一个六的倍数，六的倍数的话，它这个除以六，它还是余三是吧？首先加一个七的倍数，它除以七，它还是余二，这加一个八的倍数。它除以八还是余一，所以说这个明白没有，这叫余数不变原理，你加上一个刚好整整数的整除的东西嘛，

它余数不不变嘛，你看原来它余数。九÷6它余三的，你只要加上六的整数倍，它这除以六它还是余三是不是好？那接下来大家看我们只要加一个六七八，它最小公倍数六七八，最小公倍数是几啊？这数稍微大点儿是吧？啊八四你看六跟八六跟六跟八六跟八的最小公倍数啊对对啊，八四啊八四÷8行吧？八四÷8好像不太行是吧？这个六七八的最小公倍数。对。好，

那一会儿咱们马上要讲最小公倍数的求法六跟八，最小公倍数求法多少六跟八，那24，24，27跟它们互互质的，所以就直接拿24×7。应该168吧，是168吧，刚才84好像不太行，84的话，这个除以八不太行是吧？168再加上168k。就行了k可以取一取二，因为它这个要要求在150到200之间。100到200之间呢k只能取一了是吧？

只能为一了，如果如果它这道题要改成你，比如说200呃到300到500之之间k就取二了是吧？反正大概你就看它给的这个范围呗。好k=1 k=1的时候呢，这个v7就可以写出来了，好吧，就等于177。好，177这个数除以11，它余数到底是多少？那177÷11，那你直接除也行，一然后67这六。啊语义啊语义，

这样就写出来了是吧啊，正确答案就选择b选项啊选选择b。好，那接下来咱再补充一个题，就是它这个除数跟余数啊，什么关系都没有，差值也不行，这个和也不行，那这样的数大家看会不会讨论啊？会不会讨论嗯，然后讲完这个总结一下。啊，咱们先再补充一个题，这书上没有是吧？没有咱们就补充一个题。

好那么自然数一个自然数。它除以五是余三的。它除以七是余二的。除以七余二好，那么介于100到200之间的自然数有几个？好吧，就介于。100到200的自然数有几个？啊啊，比如选项就不再写了，比如选项是两个还是三个还是四个还是五个还是六个？嗯，就这样好吧，就是一个自然数，它除以五余三÷7。

其余二借100到200的自然数的有几个，大家想想你可以看，这时候这个五跟三还有七跟二相减也不行，相加也不行。你看到没？相减相加都不行。好这来想想应该怎么做相减和相加，它都是不可以的。好相减和相加都不行，这时候怎么办？去。好不会做的同学给大家看上一题提示一下，先不要看这个范围啊，先不要看范围。先把这个数刚才那个九想要怎么找的？

先把这个数找了，先不要看它给的什么范围？先把这个数找到，这个数找到以后，后面再结合余数的不变原理就可以写出这个表达式了。好，就这个数应该多少？咳咳咳。如果不会找同学，我再给大家提示一下一个自然数除以五余三它的个位，这个自然数的个位是什么情况？这样如果还不会同学，我们想想一个自然数能被五整除的话，它个位什么如果一个自然数能被五整除，它个位要么为零，

要么为五。现在要余三，它的个位要么是三，要么是八，对吧？要么三，要么八，好，那么就锁定个为三或者八的，然后列举。再找到满足，除以七余二的那个数，把这个数一找到，剩下就好办了。懂了吧，

就找个为八和个为三的数嘛，个为八或者个为三的，比如说十三十八二三二二八，反正就这样找呗。找咱就找这个为三或者为八的，所以通过这里要告诉大家啊，如果它什么规矩都没有，它一定考试会带一个五。如果要不带五的话，也能找就特别麻烦，知道吧，特特别麻烦，要带一个五的话，找起要快懂了吧，考察一定带一个五。

但是我的话，它各位就迷就好找一点好给它提到这大家做起来应该就快了。对你定位有同学已经找到了，就是23好二二三二十三，这找到以后接下来再用咱们讲的余数不变原理。把这个式子一写，写的话再讨论下k的取值，这道题就完事了。好，那接下来咱们就来看一下好吧，这个二三大家都要怎么找出来的？关于。懂了没有啊，就是找到二十三二二十三可以满足除以五余三也除以七余二，所以跟上一题原理一样，

先把这个最小的这个找到，找到以后后面就好办了啊。把这个数一定要先找到好，那接下来我们看这个自然数，我们就可以写出来。这样就可以写成二三，再加上它的一个余数不不变，原理余数不变，原理就加上五跟七的倍数，它这个余数都是不不改变的，你是不是自己琢磨琢磨是不是这回事儿？所以加上35k对不对？加上35k。好，那接下来它这个数要介于100到200之间，

100到200之间，我们看k可以从几开始取啊三四五。六的话，是不是超了一点点啊？六因为35乘以六一百八嘛，180+23就是203，过了一点儿点儿是吧？过了一点儿，那这就不太行。好了，那么余数的，咱们这块儿就给大家讲完，咱们接下来看总结一下好吧，大家接下来总结一下这个记完没有？好，

那第一个就同余的话很简单啊，咱主要总总结一下非同余的好吧啊，非同同余的处理方法，同余的话，刚才咱们就套那个模板就行了啊，同余的话，它的套路化的东西比较明显，所以在。咱就没必要总结了啊，记一个模板就可以了，然后非同一的话，大家回头做，咱们后面作业题的时候就主要是看这几个情况，第一个就除数减余数，看是不是定值就刚刚咱们。

讲过的例17那个题是吧？看除数减余数是不是等于相同的值？好，如果等于相同的值的话，那么接下来就把所求的数补上，这个p就加上这个p，然后能同时被个除整除好吧，就所求的数就被除数。把它加上这个p啊，这时候它能同时被个除数整除，能同时被。个除数整除。好能同时被个除整除，这样就写好了是吧？好，

这是它的这个方法。然后第二个如果除数加余数等于定值，就看一下刚才咱们讲的例18那个题啊，例18那个题例18那个题，咱们再来看看。再来往上看看。例18。好例18，那么就相当于六+3=7+2=8+1=9，那相当于什么意思呢？你可以把这个九啊，把九可以给它移过来，因为相当于这个数量减掉，九能同时被个除数整除。是吧，

这样是不是好理解把这个九啊给它移过来啊，移过来移过来我们就可以写，这样的话就可以对比着记，这样就可以写成被除数减掉p能同时被个数整除好吧，所以就把这加改改。能减就行了哈，能减就相当于是这个被除数。减掉p呃，刚才让大家再看一眼上面例题的原因是为什么是减，因为把那个九给它移过来，知道吧，移过移过来以后，这样就能同时背。个除数整除。能同时被个除整整除，

你就找它的公倍数就可以了。好找到公倍数，然后第三个就其他情况啊，其他情况啊，那么其他情况的话，在这里面我们来写说一下其他情况，其他情况就是它相减不行。相加它也不行是吧？也不行也不行，什么先锁定满足要求的最小数。啊，一般呢，我们可以结合个位特征啊，就刚刚咱们最后一个题没听懂的同学再说一下，先结合个位特征有没有啊，

一般五的话，它个位特征比较明显，其结合个位特征，然后用列举法。锁定或者找到咱满足这个要求的，最小的数最小数，找到以后，然后再用余数不变原理再一添，这样就可以了，懂了吧，直接给它添上它这个倍数就可以了啊。好，那接下来咱们就把这句话给写一写好吧，写一写就其他情况，其他情况呢，

就是先。根据个位。找到满足要求的。啊，最小整数。把这最小整数给它找到是吧？根据个位特征啊，根据个位特征，然后找到满足要求的最小整数。好，最后整式找到以后，然后再结合余数不不变原理，写出表达式，再结合余数不变原理。写出表达式就行了。

写表达式，然后这有一讨论就可以了，好吧，这有个余数不变原理。啊，这样的内容。

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