1-04实数与整除（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:21:10

那接下来我们再看一下考试方向四就无理数的平方和配方，这样的特征啊，无理数它的平方和配方为什么要强调无理数？它的内容呢？在咱们二零二一年考试，有一个题，里面又考了根号，同时在二零二零年最后重新判断题也考到根号，所以这几年根号都是。大家的易错点和难点，所以我们要多强调一下，好无理数的平方和配方好，那首先要记住配方变形的公式好，如果。前面这个数拆成m+n。

后面拆成二倍的根号，下m乘就可以用平方公式来进行写，然后再结合刚才咱们讲过的门当户对两边的对应思想就可以得到它的取值内容，那接下来我们来看一下，给大家。如果觉得比较抽象的话，可以给大家举一些数来进行分析是吧？这样的话，大家呢就更容易理解和思考，那比如说那这m加我们可以。取一个比较简单的数，让大家呢来进行思考啊，比如说一个三一个二是吧，一个三一个二，那这个就是一个三一个乘一个二，

所以一个三一个二就是五。啊，加减二倍的根号六，所以考试的时候你可以看这个五可以拆成。三+2是吧？这个六可以拆成三×2，那它就可以写成根号三加减根号二。括号的平方这样写好了，是不是各位同学懂了没有？同样道理，如果把这个六把这个六要写到。跟我交换一下，各位同学。思考一下好，看看哪位同学回答的快。

好都思考一下好，如果把它换成六，各位同学会不会进行变形和配方都训练一下？好，大家思考一下它的这个特征。好都想一想。好，那有同学做完了是吧？那这个六说的非常好，就拆成五+1，这个五可以拆成五×1，所以可以写成根号五加减一的平方。各位同学，懂了没有啊？就可以写成根号五加减一的平方好，

那在这里面第二个公式也是它的一个特殊情况，当这个n取一的时候n取一的时候就相当于是m+1加减二倍的根号m。就可以写成根号m加减一括号的平方，是不是这样的一个情况，所以它就可以写成根号m？加减一括号的平方好，这里的特征好，那就它就可以把它变形成这样的一个情况啊，所以这个公式相当于它的公式一个特殊情况特殊，在什么地方它在n=1的时候。我们就可以把它变形成这样的一个特征，大家看各位同学是不是听懂了，好n=1的时候，那么就变成了m+1加减二倍根号m。就等于根号m+1^2就是这样的一个式子。

好，那接下来我们再进阶一点好吧，我们带着大家循序渐进，老师呃，带着你一起走向成功。好，那么我们再进阶一点，怎么进阶呢？大家想想这个不是二了啊，不是二，然后在这里面，我们呢给它换，比如11。加减。加减四倍的根号。

七好，那这样的一个情况是吧？这样情况好，那这这里面大家应该怎么分析呢？大家想想它的这个特征，那这个怎么去辨析呢？好，那教给大家方法，第一步一定要先把这个变成一个二好吧，先把变二，不管是前面给的四也好，给的是六也好，把多的部分都拽回到根号里面，给它塞回去。是吧，

给它拽回去好拽到根号里面好，那第一步各位同学想想根号运算，我把这个四。拆除一个二这二拽回来，里面会变成什么？各位同学都积极的思考，看谁想的快。好，那么就变成什么啦？变成一个11。加减，然后这个是二倍根号里面给你几秒钟快速思考，应该得到什么把这二拽到根号里面应该写几啊？是不是写？四是不是？

所以这是不是可以写成这样的？写成这样情况，这样情况大家可以看那么这个11可以写成什么呀？11可以写成吗？你看这是七乘以四十十一，有同学已经说说对了，是不可以写成七+4？对不对？然后这个加减二倍的根号下七×4好，那这样就可以写成根号七加减根号四括号的平方，那这个根号四其实就可以写成二是吧？所以它就进一步的可以写成根号七。加减二括号的平方好看，各位同学懂了没有？是不是然后这样就可以写出？

它的做题方法，所以说我们由简到难，由一般到特殊。然后到进阶来学习，各位同学，我相信在老师的带领下，你会全方位的把数学掌握好的啊，你们一定能学好的。好，接下来我们来看做例五各位同学都思考一下，没思考的同学请按暂停键。好，那我们来看一下例五这个题，各位同学都思考完了好，那假设整数amn啊，

这个amn它是整数。然后满足这个式子，则a+m+n，它的取值到底有多少种？我们首先观察一下左边，它其实就是一个双重根号，你看根号外面里面。又有根号，外面里面都有根号，这叫做双重根号。啊双乘根号双乘根号大家处理方法有两种情况，第一种情况两边平方。去掉外乘根号，就从外开始进行突破。好吧，

就我们解决一个问题啊，我们可以从外来进行突破，从外攻不破以后，我们从内部来攻破。有时候还要采用内外呼应是吧？里应外合嗯来进行突破是吧？我们这道题我们看，因为这里面含有个a。这个a这个数啊，没法配方知道吧a它跟这个东西没法配方没法配方在这里面，我们呢？就不用啊，去管它，我们就两边平嘛，所以双乘根号它的处理方法。

有两种情况啊，处理方法有两种好，那方法一方法一呢，就是两边平方。两面平方去掉外层根号是吧？就去外层。根号好，两面平方把外等根号给它去掉，第二个就是内部配方。那个配方那个配方的话，要用一个公式，重要的公式，我要给大家进行写上这种公式，如果里面要写成某个东西的平方。啊平方，

然后这个x的平方再开根号，是不是可以写它的绝对值啊？是不是然后没学过绝对值的同学也不要紧，后面咱们都会学啊，所以说如果里面平。平方，然后再根号也可以写成s绝对值s绝对值，我们根据绝对值定义告诉我绝对值是什么定义啊？我问一下x大于等于零的时候，你回答一下x大于等于零的时候，这个绝值是等于几啊？都思考一下。哎是x那x小于零的时候呢，它是什么？回答一下，

它是小于零的时候是不是就负x啊啊？得到这个结果。是吧，所以s大于等于零的时候是x哎，小于零的时候就负x，这就写好了，所以这是啊，内部配方配完一个东西的平方，然后再分析。那这道题由于这个a咱们是未知的，这一块没法配，所以我们这道题就采用两边平方，在平方之前一定要注意根号它的。取值的要求和意义好吧，根号的定义域一定要大于等于零，

所以这个m和n1定得大于等等于零啊，所以这道题隐含要求。虽然题目没写隐含了一个，就是m要大于等于0n，也要大于等于零的，因为咱们在实数范围内。只有非负的数，它开根号才有意义，所以m要大于等于0n，也要大于等于零，是不是这样的？所以m大于等于0n，也大于等于零的，所以它这个。根号才有意义，

另外根号运算的结果也要大于等于零，你看等号左边等号左边是一个大根号，大根号说明这大根号是不是要大于等等于零啊，这整个大根号要大于等于零。大于根号，大于等于零，说明这个根号是不是要减根号n要大于等于零呀？大于零是不是要比n要大呀？想想是不是这回事儿，你想象一下。如果m比n要小，m比n要小的话，这根号m减根号减方是负的，右边是负的，左边是正的，

两边就产生了矛盾，是不是这样的？所以通过以上的分析，各位同学。懂了没有好，我们就可以得到m大于等于n是不是这个m肯定得比人大吧，然后还要满足大于等于零，这是隐含信息。好，那接下来我们两边平方处理就可以了啊，所以两边给它进行平方。好两边平方有那左边平方变成什么情况了，大家看左边平方，左边平方外面根号就没了，只剩下a方减四倍根号二是不是只剩下这个，

然后右边平方变成什么情况了，右边平方又变成了I。m+n- 2倍的根号m×n是不是接下来这道题又用到了咱们上面讲过的门当户对的处理方法是吧？门当户对就有理数跟有理数对应相等，无理数跟无理数。要对应相等，这就是门当户对。它的一个原则好，那接下来我们就可以写出它门当户对的一个特征。好，那接下来我们来看，因为am都是整数，那整数就是属于有理数，对不对？有理数，

所以在这里面，大家可以发现m加它是属于有理数。这个a方因为a是整数a的平方，它也是有理数，对不对？它也是这个有理数，然后后面剩后面这块儿，后面这四倍根号一定要把写成二倍的根号几啊，刚才已经给大家做了一个演示。四倍根号，大家告诉我可以写成二倍的根号几呢？都回答一下。都思考一下。不要填鸭式教学，不要老是讲究在只是被动的接受和记笔记，

那没有效果的，你要积极的思考，每个听课同学都要好好思考一下。啊，变成什么？是不是可以变成二倍的根号几啊啊根号八那这个八怎么来的呢？告诉我。八是不是把这个塞到里面，是变成二×4了？是不是二×4又变成二倍根号八？然后这是这个结果，是不是这样的？好，那这边就会得到m×n是不是应该等于这个八呀？是吧？

它对应要相等呀，所以通过这个对应相等，我们就可以得到得到什么内容啊？大家想想得到就m。m×n应该等于8 m+n应该等于a的平方是不是这样的好，那接下来注意m和n它是正整数，所以这个用到了不定方程的。取值情况讨论不定方程是每年必考点在学应用题也要用到不定方程在代数里面，一些代数式的取值讨论也要用到不定方程分析，所以这个思想非常重要。所以m×n它等于8m×n=8，因为mn它都是整数，而且mn都要是正整数都要是大于等于零的正整数好，这个八它可以写成什么呢？大家想想这个八。

八可以写成八×1，也可以写成四×2，注意一定要要求这个m的值要大于n的值，听懂了没有？m的值要大于n的值，这就写好了啊。m值是大于n的值，所以m=8 n是唯一的m=8 n是唯一的，这种情况或者说m=4 n=2这样的情况啊。好，那样这样的得到，所以就是整数只有这两种情况，但这两种情况大家想想，如果m要等于四。n要等于二这m+n就为六六的话，

等于方这时候呢，它不是整数是吧？也就是说这种情况呢，是不行啊，就是以第一种情况写下吧，就第一种情况就是m=8。n=1。这时候a方呢，就等于九。a方等于等于九。这个推出a呢，就等于正负三。然后第二种情况呢，就是m=4 n=2 m=4 n=2，这时候呢a方呢就等于个六。

你用a呢，就等于正负根号六正根号六的话，那这不是整数，所以这要舍掉啊，不是整数，这要给它舍掉的好吧，所以不满足题目要求，作为这个a这个整数，它可以取正整数，也可以取负整数啊，不要想着。呃，只取正的了，所以有同学呢，又思考错了，

又会漏掉一种情况，知道吧，所以这个a这个数它可以取正整数也可以取负整数，它是有两种情况。然后mn那在这里面是有一种情况m=8 n=1，它让求的是a+m+n的值有多少种情况a呢？是等于正负三有两种。m是等于八一种，n是等于一一种，所以它加在一起一块儿来运算它的和应该是有两种情况，看看你是否做对了，恭喜。答对的同学好这里呢，就选择a看各位同学是不是懂了，所以这是双重根号的处理方法啊，

采用第一种方法来处理。然后第二种方法，咱们看一下第二种方法，第二种方法适合什么呢？适合里面这个数都是已知的啊，里面这个数都已知的，可以用这样的分析，它已知ABC为有理数。好，根据这个式，然后来求这个结果等于多少好没有预习的同学，请按暂停键思考一下。好，各位同学都思考完了，接下来我们来看这个题目。

好ABC，它都是有理数，那企业满足这个式子。先满足这个式，然后让求它的结果到底是等于多少？那这道题大家可以发现啊，那这个根号的这个情况。啊根号的这个嗯，内容根号内容的话，那大家呢？就可以把它变形一下是吧？所以把这里面进行配方来分析，当然有同学说呃，老师，我两边平方行不行？

两边平方的话也行，但两边平方都太麻烦。两平方看这边除以了三个数。之和的平方三个数和的平方，它就非常复杂是吧？非常复杂，就比较麻烦，所以我们就不要采用两面平方，我们用内部配方，内部配方我们就可以写出。根号下五减二倍，根号六告诉我这个怎么配方不会配的同学呃，也可以按照刚才讲的公式配，也可以看这个根号，根号三可以给你一些提示。

是吧，有提示，所以它就可以配成根号三减根号二括号平方，那么因为这个五这个五的话，可以拆成三+2。这个六可以拆成三×2，所以等于根号三减根号二的平方，根号三减根号平方再根号应该等于根号三减根号二的绝对值。是不是这样的？绝对值，绝对值，大家知道绝对值写完一定是正的，所以它只能等于个根号三减根号二啊，所以有同学做完这道题，他问一个问，

他说老师这道题能不能写成根号二减根号三不行。因为根号二减根号三，这个是负的，负的就不满足要求，咱们要求这个数一定得是正的，知道吧，所以说只能写成根号三，减根号二，不能够把根号二写在前头。好，这个得到根号三减根号二根号三减根号二，它等于等于等号右边等号左边，咱们就化简完了，左边变形完了，等于右边右边就写成a倍的根号二，

加上b倍的根号三。再加c是吧？右边就写成a倍根号，二+b倍根号，三再加c就写好了，写好以后那接下来我们采用两边对应相等，因为ABC它是属于。有理数那有理数，那对应相等对象呢？怎么对应呢？想一想，那就含根号二的对应在一起，含根号三的对应在一起c。没有，左边没有这个常数，

左边没有常数，说明c就取零就可以了是吧？所以接下来我们就可以对应成。这样的结果好a呢，应该等于负1b呢，应该等于一好吧a=- 1b呢，是为一的c是为零的。好吧，然后a=- 1 b=1 c的值就应该为零，这样就写好了，看是不是懂了好，那懂了以后接下来我们带到这里面去，我们就可以得到它的结果。好吧，然后呢？

从而则它让求的是二零一九倍的a，加上二零二零倍的b。加上二零二一倍的c，它应该等于这个结果。好，那么二零一九倍a加二零二零倍的b加二零二一倍的c，它的值我们来看一下它的这个特征，然后a的值是等于负一得到就是负的二零一九。然后b的值等于一正好是二零二零就二零二零，然后c的值为零为零的话，这个这个就不用再写了是吧？c的值正好为零。这个不用再写了，所以这个算下，它正好等于一这样就写出来了，

好，那这是它的这个特征。和方法好吧，所以大家呢，在这里面我们可以看它这个数值就等于一正确答案，应该选择的是e选项。好看，各位同学是否做对了，恭喜做对的同学好，那这道题它主要的方法就是采用的方法二，那么这两个方法怎么判别？一般来说，如果根号里面的数都是知道，我们就优化。优先采用方法二你比如说这个五啊六啊，

这个数每个数都知道，我们就优先采用。方法二，如果这个数不写，不知道里面是未知，不知道这时候呢，我们只能是两边平方，然后来处理了是吧？只能是这样的一个处理方法和特征。啊，所以这是大家呢，要掌握的要点好，那接下来我们看内部配方的小窍门儿，小窍门儿就是内部的数，当内部的数已知的时候，

我们就可以采用内部配方，如果里面要数要含有这个a啊。或者含有一个未知数啊，那这个时候就不好配了好吧，所以首先第一句话当内部。个数。已知识。那可以配方。分析是吧，然后可以配方来进行学习，然后如果内部的数要位置就不能配方了，那配方那么第一个。就是基本的公式是吧？基本公式刚才咱们写了m+n加减二倍的根号m×n就可以写成根号m加减根号n。的平方好，

这是第一个，第二个，一个特殊情况就是m+1加减二倍的根号m就等于根号m加减一的平方。第三个。第三个，如果要是这个m加加减。这个k倍的。啊，那么某某一个数是吧？就是它不是二倍的，知道吧？它是k倍的，然后嗯嗯，某某一个值。啊，

然后呢？比如说啊，给一个是其他的数值a或者b是吧？就这样的一个情况啊，如果它给的是一个k倍的，所以k倍的这时候怎么办呢？就是先把这个东西呢？变成一个二好吧，先把它先第一步，先把它变成什么变成一个m+n加减二倍的根号，某某一个值。啊某一个值是吧？先把这个想办法给它变成一个二倍的某一个值，而某个值，然后再转成第一个再一配方就行了。

好吧，再转成第一个，再用第一个去配方好，这是给大家进行总结的，它的配方的方法和小技巧，看各位同学是否？听懂了好，那接下来咱们看考项五无理数的整数部分及小数部分，那无理数的整数部分和小数部分，这也是一个最。简单的一个估值问题好吧，它主要涉及到一个估值。先预估它的整数部分啊，讨论m根号m的整数部分极小的部分是先找最接近且小于m的一个完全平方数啊，这有个完全平方数这样一个概念。

什么叫做完全平方数呢？就是它能写成某个整数的平方，就把它称为完全平方数，比如说九就可以写成三的平方，那九就把它称为。完全平方数还有16可以写成四的平方，这也都把乘以完全平方数，所以找一个。最接近的且比m要小的完全平方数，然后这样的话就可以求出它的整数部分，整数部分得到以后一定要先求整数部分啊，再写小数部分，小数部分就拿无理数减掉整数部分就可以了。比如说根号19根号19，再取最接近根号19的平方数是16是吧？

16是比19小的，而且最接近。最近，它的平方数16，16那么开出来就得到是四，所以它整数部分呢？就等于根号16。就得到四，然后小数部分怎么算呢？小数部分你就拿这个无理数。减掉它的整数部分就行了，好吧，也就说根号19。大概是四点儿多，四点儿多，

然后呢，你减掉一个四，后面就是小数点儿，后面的好吧，所以它以小点儿为界，知道吧，小点儿为界分成小点儿，前面的整数部分和小点儿后面的。啊后后面的，所以一定要先求这个整数部分，然后再求小部分，这样就可以得到它的数值和答案了。好，那接下来我们来看一下例七这个考题，它的思路和方法把无理数根号五记为a。

啊，这个a是代表根号五小的部分记作b则a减b分之一等于几好，这样的一个题目，那首先我们来看根据这道题可以发现这个根号五记为a。那说明a就等于根号五。那我们知道根号五的整数部分是多少呢？根号五的整数部分因为比五接近的，而且完全平方数就四是吧？所以根号五。它的整数部分。就是根号四就得到是二，它整个部分就是根号四，得到就是二，得到二以后，那么它的小数部分根号五的小数部分。

小小数部分，小数部分b就写出来了啊，根号五根号五，它的小数部分小小数部分就是拿这个根号五减掉整数部分就行了，就根号五减掉整数部分减掉二，这样就写好了。所以b的值就是小数部分，小数部分刚才说了，拿这个这个根号五减掉。好，它的整数部分就可以得到小数部分好，那把小数部分给它写出来以后，那么接下来我们就可以带到这个式子里面来去运算了。好，那我们可以看一下则。

a减b分之一就等于。根号五减去。好，那这个b的值是不是等于根号五减二分之一啊？好b的值就等于根号五减二分之一，这又写好了，是不是这样的就写出来了？好，那么写出来以后。那么这个要用到根号的，有理化要用到平方差公式，要用到根号的，有理化根号有理化，咱们在下个方向也都会讲。所以在这里面怎么用根号呃，

根号u的话都乘以它的共恶根号，所以在这里面可以把它分子分母通成一个根号五加二，然后用平方差公式，这个分母变成根号五减二。乘以个根号五+2，这就是有理化它的一个方法好，那这个分母就可以用平方差公式，大家学过平方差公式，想想是不是等于它的平方减它的平方呀？是不是得到这个结果啊？用它的平方减它的平方，所以我们就可以画出来这个分母就等于。五减四五减四，其实就是一了是吧？所以五减四其实就得到是一。

对吧，五减四这个分母，它就变成一了。变成一以后，那这个减了后化简一下，这根号五根号五减掉了，所以这个剩一个负的二，所以答案就等于负二，这样就写出来了。所以正确答案应该是选择d选项，看各位同学是否听懂了正确答案应该选择的是d。好看，各位同学是否做对了，恭喜做对的同学。好，

那这个题要掌握的做题方法就是首先拿到无理数，要知道它的指数部分怎么求小数部分怎么求，然后再带到里面化简化简又用到一个。分母的有理化，所以接下来我们就来讲讲根号的有理化，它的变形情况有化，变形情况主要用平方差公式进行有理化。比如说根号a加根号b，这个要乘以个根号a减根号b，又得到a-b用平方差公式。尤其根号n+1加根号n乘以根号n+1减根号n，它就等于一是吧啊，就相当于是这两项的唯一，这两项的唯一就代表什么意思呢？代表的是。

它两者互为倒数啊，就也就说它的倒数根号n+1加根号n，它应该等于根号n+1减根号n。它两者是互为倒数情况，两者有个倒数关系啊，这个是它掌握的内容和方法是吧？两者它是互为倒数。两者这个倒数情况嘛。啊，互为倒数，互为倒数，这个在咱们后面化简变形的时候，那么就要用到，而且这个在咱们二零二一年考试真题里面也用到这个公式，所以根号它的一个化简变形。

要会分析和思考。好，那接下来我们来看一下例八这个题没有做的同学，可以现在按暂停键思考一下。好，那接下来大家思考完了，我们下面来看一下它的这个题目好，那么a等于一个根号五减二分之一可以上下都乘以个根号五加二。分母就变成五减四了，它就等于一，其实这道题也可以用刚咱们讲的这个倒数的关系来进行分析是吧？相当于n取的是四，知道吧？n取的是四。n÷4就变成四+1，

不就是根号五嘛，所以根号五减去根号四，根号四就是二啊二，所以根号五减根呃减。减一个二就等于它的倒数是吧？所以在这里面是倒数情况，同样道理b的情况b的情况，我们就可以写出来。b呢呃，这个大家就直接就可以写根号五减二了。是吧，所以在这里面b的倒数正好等于根号五减二好，这样的情况好，那么则带到里面去，我们就可以写作它的，

这个结果是吧则？好，那么根号a方加b方加七就等于根号下，然后a方就写成根号五加二的平方b方就写成根号五减二的平方，然后再加七。得到这个结果，好得到这个结果，然后接下来我们就可以看到它的数值，然后这个呢，就用平方给它展开，用咱们前面学过的平方公式给它展开。然后这个展开有个五，这个展开有个四。就是九了是吧九，然后它展开有个二倍的两个相乘，

这个展开有个负的2倍的两个相乘，所以这两个呃交叉项。啊，就抵消掉了，剩下它后面展开一个九再加七，得到这个结果是吧？所以就可以得到。九+9再加七，所以这是它的这个数值情况，所以这个就是五+4啊，得到它的关系是吧？所以大家呢啊，要掌握它的这个特征。好，那么接下来。

好，那么这个九+9得到18，18+7就得到25根号，25就可以写成15啊，这样就写出来了，正确答案应该是选择的是。c选项啊，看各位同学是否做对了，所以这道题大家听完的收获，要知道这个根号，它的有理化。和平方差公式，它的一个使用情况要掌握这样的做题方法和思路好，接下来我们再看一下例九这道题。然后没做的同学可以按暂停键思考一下。

好，大家思考完了，接下来我们来看一下例九这个题目好，例九这个题目就是根号三加根号二二零二零次方乘以根号三减根号二的二零二二次方好，那这道题我们来看一下原式。把它写成什么样形式呢？看看原式，我这个二零二二次方，我可以写成二零二零次方。再乘以一个它的二次方是吧？比如说我们前面学过公式，有a的m次方乘以a的N次方可以写成a的m+N次方是不是这样的？所以我们第一步就可以把它写成根号三加根号二。二零二零×1个根号三减根号二，它的二零二零，

然后再乘以根号三减根号二，它的平方。这样的情况是吧把这个二零二写成二零二零，然后再乘以个平方就行了，然后这两个都是二零二零次方，我们就可以把它提在一起是吧？提在一起根号三减。加根号二乘以个根号三，减根号二，括号的二零二零次方再乘以个根号三，减根号二的平方是不是这样的啊？因为大家知道就是a的m次方乘以b的m次方可以把它写成。括号乘以在m次方，所以它可以把这两个次方写在一个整体，这样就行了，

写整理，然后就根号三加根号乘以根号三减根号这两个相乘，它是不是就是一呀？啊，这两个相当于用平方差公式算出一一，它就没有了，只剩下后面这个数了，好后面这个数就是根号三减根号二的平方。平方差把它给它展开，平方展开用平方差公式就得到是五减二倍根号六啊，这样就写好了，看各位同学是否听懂了，所以正确答案应该选择的是。e选项看是否做对了，所以这道题要用到一些次方的简单的化简啊，

这些公式要掌握住，然后用的根号。它的化简的平方差，然后再用根号的一个完全平方展开公式啊，就可以写出它的结果，看各位同学是否听懂了？好，那么接下来我们再看一下例十这个题目，例十它已知x等于这个y等于这个求这个式子的值，到底是等于多少？那没有做的同学可以按暂停键思考一下好，那接下来我们来看一下x等于这个y等于这个则它的数值关系到底是等于几？那在这里面是不是我们先把xy呢？做一个简单的化简，而且大家可以看xy分子分母，

它正好交换了一下是吧？按它的分子分母，它的分子分母交换一下，也就说很很容易看到x×y，它是唯一的。与xy互为倒数了。xy互为倒数是不是好？那接下来我们看x它的数值x是不是大家分子分母同时乘以根号三？减根号二，它就变成平方了是吧？所以x的分子分母同乘一个根号三，减根号二，同乘以根号三，减根号二，分母呢就变成三减二。

再讲它有个一了是吧？有个一用那根号三减根号二，它的平方好，那这样就可以写成是五减二倍根号六啊，这样的特征。好，这样就写好了，那同样道理YY其实就等于什么东西呢？YY呢？你分子分母同时一个根号，三加根号根号，三加根号。它的平方这个分母，它也为一了。所以它就等于根号三加根号二的平方，

是不是它就等于五+2倍根号六好？这个写好了。好，所以把xy呢都做了一下化简做了化简那代到原式则。这个3x方减5 xy+3 y方就等于好，那3x方那x方带到这里头去。就得到是五减二倍根号六，它的平方好，然后呢啊，这个x乘以y它就为一了是吧？x乘以y就为一就不管它就减五。加上三×y^2，y方就是五加。二倍根号六，它括号的平方啊，

五+2倍根号六，它的平方啊，所以这个外方外方就可以写成五+2倍根号六，它的平方这样写好了。这样，然后这两个它都有三都有三呢，你可以把它提出来是吧？都有三可以把它呃。体提出来提出来以后，那接下来我们就可以写成这个三提到外面来，另外呢，就是五减二倍根号六的平方，加上五加二倍根号六的平方，其实它中间的交叉项正好就抵消掉了啊。啊，

在这里面我们还会讲一个公式，就是a-b^2，加上a+b^2应该等于二倍的a方，加b方是不是这样呢？所以我们就可以掌握这样一个公式啊，因为。这个a-b括号平方和a+b括号平方，它展开以后，它这个中间的2 AB正好一正一负，它两个就抵消掉了，只剩下这个式子了，好看，各位同学。是否听懂了？那么，

接下来我们就可以得到啊，里面就剩的是二倍的啊，五的平方，五的平方就二二十五啊，这个二倍根号六的平方就是24。然后外面还要再乘以二外面乘以二的原因是它应该是二倍的，这个二倍的乘以二，然后再减掉五，这样就得到结果了。是吧，再减掉五就可以求它的这个结果，然后这是49，然后呢？九九十八×3啊，然后呢？

在这里面我们就可以最后算出来它的答案就是289。答案就求出来这个呢，应该选择的是a选项，看各位同学是否听懂了，是否会做了好，这是它的做题的要点和内容。好，那么这个题除了这种方法之外，还有一个方法，看大家能不能想到，还有一个方法就是先对这事做变换，然后呢？我们呢？再去化简求值，所以在这里面，

我们把三方三y方啊，把它配成一个四，因为这里面是五减二倍根号六y呢，是五加二倍根号六，所以做到这往下啊，从这个地方开始。我们还有另外一个方法啊，这个是作为一个方法，一我们再写一个方法，二。啊则。这个3x方减5 xy，加上3y方，我们可以把它写成三倍的。x方加y方。

然后这块儿，然后这块儿不是一个呃负5x吗？我们就可以写成减去一个二倍的呃，减去一个2 ixy。再加一个sy看，这样是不是可以因为这三乘以负呃三乘以个负二倍的sy就得到负六倍的？sy负六倍sy，原来它是一个负五倍的sy，最后给它添上加上一个sy，这样就可以了，是不是这样的，加上一个s跟原来就相等。然后这个是不是可以把它配成一个三倍的x-y括号平方，加上一个xy啊，是不是得到这样的一个情况？

对吧，得到三倍x-y括号的平方，然后这个x-y我们可以得到，正好等于四倍根号六啊x-y是负的4倍根号六。负的4倍根号六，所以说就三×1个负四倍根号六的平方，然后再加上哎x×y就为一了x×y在这里面就为一。得到这个结果，得到结果这个一样的答案分析方法。所以这个就得到三乘以好那么四的平方是16，然后再乘个六啊，再乘个六。好，然后啊，一样的得到结果跟上面答案呢是一样的好吧，

所以然后再给它填上一个一。得到结结果。是一样的，然后也等于289。好，那这是答案都是选择是a选项，所以这两种方法区别是什么区别？是直接把xy带到里面去进行化解，这是大家能能想到方法另外一个方法呢，我又把xy做一个整体的化解。恒等变形，恒等变形以后，然后呢，是做到里面，然后再来分析和思考，

然后这样就可以配出这样的结果，当然这道题也可以配成加上二倍的xy，加上二倍。xy的话，这要减去一个11倍的xy，这样也可以啊，一样的去变形，这样变形的好处就可以把x-y做成一个整体，做成整体，然后带到里面来进行分析。思考这样就行了。好，这就得到它的结果，看各位同学是否听懂了，好好加油，

最后祝大家金榜题名。

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