1-02比与比例

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:54:56

接下来我们来看一下第二个模块儿，就是比和比例问题，好比和比例，它主要考察的内容就是考察这个基本的计算方法。首先我们看一下涉及的一些概念，就正比和反比。好，首先咱们看一下正比正比，比如说它的定义是y=ks k是不为零的，然后称y跟s就成正比。k呢，把它称为比例系数。那么，注意正比的本质是什么？本质有两个量都在变化，

但它相除等一个固定的常数就成正比，那这句话怎么来的？就y=kx。我们可以把它变形成y÷x，正好等于k，所以大家呢，就可以把它写成这样的一个式子啊，这就y÷x就y和x，它都是在变化。都是变化的，然后两个相除，它正好等于一个非零的，一个常数等于这个常数啊，那这个就是。它的一个正比的概念啊，

两数呢就成正比。然后并不是x和y同时增大或者减小它，才把它称为正比。啊，也就说比如说k要小于零的时候，我给你举个例子，比如说y等于个负的3x，那么x增大时。y反而在减小。唉，增大的时候y反而呢是在减小好，这是它的这个内容啊，并不是说正比，不是咱们通常所理解的正比啊，并不是说一个增大，

另外一个也增大。啊叫正比啊，它有可能一个增大，另外一个减小，它也要正比，所以告诉大家不能通过简单的。增长趋势来进行判断，这个是不准的，第二个反比反比就是y等于x分之k，那又称为反比y一s，它是成反比的k呢，把它称为。这个比例系数。好k呢，是不为零，

然后如果把它。转成本质就可以两个变量相乘，它就等于一个非零常数就成反比，比如说y比s=ky和x。啊，那么它它这一块儿呢，我们就可以把它变成y等于x分之k，你把x加乘过来呗，乘过来乘过来以后就变成了x乘以y等于k。是吧，就两个量都在变化，怎么它乘积正好呢？就是固定一个常数，就把称为这个成反比的关系。好，

另外正比例函数大家都知道，正比例函数就是过原点那条直线，它的图像啊，它的图像因为呃呃s为零的时候y也为零，它这个k是不能为零，但是s可以为零啊，各位同学注意s。s为零的时候y它也为零，所以它过它这个正比这个大家都学过，正比它是过原点的一个。一个直线，这个是很简单的是吧？就过原点的，这是它的图像啊，如果k要大于零的话，

它是过一三象限的。这样的k如果小于零的时候，它是过二四象限的，把它过圆的一条线，然后呢，这个反比例函数大家比较陌生，给大家进行简单说一下它的图像。等到咱们学特殊函数的时候，要用到它的图像好那么。这个y等于s分之k，如果k要大于零，它的图像仍然是在一三象限。好，这是k大于零的时候，它在一三象限好，

这是它的。反比的关系好，如果k要小于零的时候，它在二四象象限是吧？k小于零的时候，它在二四象限。这样的一个方法。好，这是二四象限。这是k是小于零的时候，它是24象限k大于零的时候，是一三项k小于零的时候，是24象限好，这样的一个内容啊，正比反比它的概念。

啊，要弄清楚好吧好，这是它的图像，要了解一下。好，接下来咱们看一下考试解读，考纲上也是没有明确写正比反比，但在正中它会出现相关的考察，比如反比例函数图像呀啊，或者说间接的考察这个知识点，所以仍然要掌握这些概念。注意正比与反比的转化及两者本质区别。注意正比和反比可以转化的啊，比如y与x成正比，y与x的倒数就成反比。

知道吧，所以这么一个反比，它是互相可以转化的，那要注意两者的本质区别，另外还要注意的是这个b系数k是不能为0k不为零，然后s可以为零啊。然后考评率它是稍微低一点儿，由于在一些文字题的时候，它会利用这样一个关系，比如在利润里面，或者在价格里面，价格跟比如说跟什么什么成反比。或者利润跟什么什么成正比，他会用到这样的描述，但要知道正比反比的概念啊，

这样的内容要知道。接下来我们来看一下里面的这个命题方向，你发现有正比反比的概念，如果两个变量相除等于定值，就把称。成正比两变，量相乘为定值，对吧？成为反比。好吧，而且它两者怎么转化的呢？转化的呢？就相当于是它如果y与x成正比，则y跟x分之一，两者就成反比，

就正比反比，它可以互相去转化，把它倒过来。啊，证明反比它就可以转化了。好，接下来咱们来看一下啊，这个概念好吧，下列叙述正确的有几个看一下概念，这些证明方面主要是用到咱们应用题里面，为应用题做铺垫的啊，所以这个知识点一定要把它学好，否则。到时候咱们再做一些路程问题啊，或者工程问题，

或者溶液浓度问题，找到这个比例的时候，有同学绕不过来，这说明这一块儿的基础没有打好，现在一定要把这基础。啊弄好好第一个就工作总量一定它工作效率和工作时间是成反比的。啊，如果总量是一定的。好，大家知道，在咱们工程问题之后，工量就等于工效乘以工作时间。所以这也是为应用题做铺垫功效，乘以工作时间，所以工作量就等于功效乘以工作时间，

如果两个变量相乘等一个定值，它就成反比，所以第一个呢是正确的。好，接下来咱们看第二个分数大小一定，然后它的分子与分母是成正比的。好这个呢，也是可以的是吧？分子与分母，它确实是成正比。啊，因为分子除以分母等于这个分数，就相当于是x÷y等于个k。第三个，在一定距离路程是固定的，

它的周长和它转动圈数成反比，就像咱们开车，大家注意它的行驶里程表是怎么记呢？它是根据你。这个车轮周长乘以它转动圈数来进行写的，周长乘以它转动圈数，比如说因为车轮周长，它是知道的。然后看你开车，他转了几圈。啊，能转几圈儿来算你走的距离，如果这个距离要是固定的，那么它周长骨辘越大，它可能转的圈数越少，

所以它是成反比，这个也是对的。第三个正方形的周边长周长成正比就是这样的，因为周长就等于四乘以边长。所以它这个也对第五个，第五个其实跟第一个它是一样的，水池的容积是一定水管儿每小时的注水量和所用时间呢，是成反比的。因为这个容积一定就相当于工作量是一定的。光亮一点，光亮一点，那么它的这个。注水量每小时注水量相当于工作效率是吧？每小时注水量相当于这个，这个工作效率，

所以说在这里面好，那么工作效率我们就可以写出来。啊，这个每小时注水量好，这个跟时间它要成反比，所以第五个跟第一个它这个是。啊，类似的好吧，所以在这里面d我跟第一个它基本是一样的，所以这个我它都正确啊，这是为咱们后面这个。呃，应用题做铺垫的好看例13这个知识点是不弄明白了？下面我们来看一下这个题，然后运一吨煤18次，

运来九吨，照这样计算需要多少次才能运完140吨的煤好，那么照这样计算这个词就代表是按照这样的比例。啊，按照这样的比比例情况，大家知道18次。它对应的是90吨。那它比例系数，我们可以看到，正好就是五也就说一次，正好是相当于是五吨，对吧啊，一次等于五吨。这样就写好了，写好它多少次才能运完140吨，

如果这要是140吨，那要求这个数值到底是多少？那这个140÷5就可以了，好吧，所以直接拿140÷5。比如说28正确答案，应该选择的是b选项啊，就求解出来，所以照这样计算，就按照这个比例来进行分析就可以了，这是它的知识点和方法。接下来咱们再看一下计算概念的东西，弄完了咱们来看计算，根据证明反比的定义，然后设比例系数列出方程，

求解比例。系数就可以了好吧，然后在这里面大家要找它定义。好，我们来看一下例15这个题。看下例十五好，已知y等于y一减y二。且y1与它是成反比的。y是与这个成正比，当然是等于零的，是y=- 3 I=1的，是y=1那么y的s表达式到底多少？求它的表达式到底是等于几好，那接下来咱们呢，就要设两个比例系数。

因为一个反比一个正比，要设两个表比例系数啊好，那这个y1。第一个比其实就是反比那呃，反比反比的话，那么在这里面我们来看一下就是k1。设它比就除以。2x方这样的情况啊啊k1÷2x平平方分之一。好得到这个值，然后把这个倒过来就可以得到，是二倍的k1x平方。然后再看y2。y这样与它成正比，成正比就假设比例系数是k2就三倍的k2，除以x+2得到这个值。

是吧，得到这个结果。好，这样的一个一个情况。然后呢？这是它成正比，是一个比系数，然后这样y又等于y一减y二，所以y等于y一减y二就可以把它带到里面去，二k一x平方。然后3k2 x+2啊，得到这个值，这样就写好了，写完以后那接下来咱们来看一下，有两个未知数，

两个方程，我们就可以去。求解当s=0的时候y=- 3，所以s=0的时候带到里面去y的值就可以写出来s=0很好算，前面这块儿为零了。后面这一块就变成负的二分之三k二。它等于个负三，这样可以解出q2的值q2值正好等于二。这样写出来，其实k二值等于二，这时候就可以排除选项了是吧？因为后面这表达式一定是减去s加二分之六。是吧，只有b选项是满足的是吧？只有这个选项，

它是OK的，是满足的啊，所以说s等等于零的时候。那么这个就可以。嗯，所以咱们做选择题就边做边排除选项，那么更简单一点好，另外就是x=1的时候，你要想解再写一个I等1I等一把它带到里面去，把I等一带到里面去，二倍的k1。减去一个。k2是吧？因为s=1的时候分母是三分子，有个三有约掉了k2，

然后他正好，他说他正好为一。这样因为k二的值正好等于二等于二带到里面去k一的值就可以求解出来，正好等于二分之三。二分之三好，那k一k二求出来了，那么这个y的表达式就可以算出来，然后正确答案就选择b选项好，这是给大家强调的它的这个。基本的方法啊，看这个明白没有，当然这道题还有一个啊，投机取巧的一个方法。啊，那也可以验证选项是吧？

还有个技巧。就可以给大家进行写写。技巧就可以验证选选项。啊验验证选项好，那么验证选项的话，那在这里面我们呢就可以看出它的这个内容啊，验证选项验证选项就看一下s=0的时候y是不是等于负三？是吧，把s=0带带到里面去看a选项不行，然后s=0的时候看y是不是负3b选项，然后d选项啊e选项啊，这些都不行，都不行就可以排除选项，这样也很快，所以咱们选择题呢，

要学会排除选项。选项，但这个验证选项不是每个题都能验证，而且这个呃技巧很容易被屏蔽掉它，比如说幻想不让你求y的表达式，让你求什么让求s=2的时候。y等于几那这时候呢，你的技巧就用不了了，那你只能老老实实的把这个表达式求出来，求出来完后，然后把s=2带到里面去算一下y的值到底等于几？是吧，然后再这样去去写，所以说这样所以说这个常规的方法还要知道，就看它的问法怎么问，

结合它的问法，如果能验证选项就验证选项，可以节省时间，如果验证不了，这个也没关系是吧，咱们换成其他方法做。就OK。下面咱们来看一下第二个，这个考点有比例的性质，看这个考点啊，看一下比例性质。第一个我们来看一下比例，什么是比例就相同的比把它称为比例。那比如说两比连在一起a比b的值跟c比d的值相等就可以称为构成的比例，它可以写成b分之a等于d分之c。

其中a和d把它称为比例外项啊，因为它在外头啊，两边在最外侧，所以把它称为比例外项。啊，然后呢b和c把称为比例内项。那乘以比例项好，这是它比例的一些基本的性质啊，要弄清楚好吧比例的概念要弄好。好，那接下来我们看一下它的这个比例，中项的概念比例，中项是一个特殊情况啊，当两个比例内项相等的时候，我们就产生了比例中项。

啊，就构成了比重项，显然当这个ABC，然后均为正数的时候ABC，它均为正数，因为在均为正数的时候，那b就是。那a和d的几何平均值为什么呢？因为大家知道呃比例外向相乘等于比例内向相乘，也就说b的平方正好等于a×d。咱们学过根号根号，本来看根号应该有正负有正负，但如果它要是正数正数的话，正数的话，我们只要直接取根号就行了。

啊，直接取根号。这时候我们直接取根号就可以了是吧？直接取根号，根号取正的算术平方根就把它称为几何平均值好吧，这几何平均值的概念。好，这是比例中项好，那么接下来如果他没说是正数啊，没说正数，大家做题中要注意，有两种情况正负两种情况，不要漏掉了啊。接下来咱看比例性质，比例性质其实第一个就是比例关系相乘等于比例内想相乘，

记住这个就行了，第二个是第一个特殊情况好吧，就不用再讲了，把第一个呢掌握住，这个大家也都知道。好，这是比例的基本的化，简要会分析和思考。好，接下来我们来看考试解解读比例计算一般比较简单，要注意比例性质和一些定理的使用。好吧，而且要注意一些陷阱，分母它不能为零，要保证它要有意义，

好吧，考的时候一定要验证它分母呢，是不能等于零的啊，别给这个写错了。好，这考试频率呢，不是很高。接下来我们看比例，比例一般考试啊，它给两个或多个比例关系，然后进行求解和分析，掌握这样的考试知识点。好，接下来我们看一下例16这个题。啊甲数，

五分之四等于乙数，七分之六甲两数啊，它都不为零，则甲两数比到底是几比几？好，那接下来咱们看一下甲数五分之四，正好等于乙数的七分之六，那我们又根据这个列一个等式好吧，列一个等式用甲乘以个五分之四。等于一乘以七分之六。当这道题的技巧技巧也可以给大家写一下，只要求比例都可以取特值做好吧，求比值都可以取特值来进行分析。啊和思考好吧，所以甲的这个五分之四等于乙七分之六，

你可以设甲是四分之五。乙呢，是六分之七，这样话我们呢就可以假设这其实这个特值法就相当于令它为一。知道吧，零三为一，咱们先把一般方法讲完，然后再给大家讲这个技巧方法好，那这两项呢？问甲两是不是比到底是几比几？e GB，然后你两边可以同乘以分母，同乘以分母就变成两边通乘，以五跟七五跟七，这边就变成28甲乘以28。

等于乙乘以30。是吧，所以两边呢啊，把这个分母给它乘以上乘以上，然后两边约一约啊，约约约变成甲乘以14等于乙乘以15。然后甲乙之比就可以看出来人可以把甲当做15，乙当做14是吧，所以甲比乙就等于15比上14。这样写好了正确答案，应该选择是a选项好，这是它的做题方法，另外的技巧。这样大家可以用特值法来做。特征法特征法，

然后呢，我们有个口诀就求比值。我们就取特值就可以了。啊求比值，等下取特值就OK了好吧，求比值，等下取特值啊，求比值取特值，所以说我们可以令甲就等于一个。或者刚才这样做，甲可以取四分之五乙呢？取六分之七是吧？然后取四分之五乙呢？可以等于个六分之七。啊，

这样的话，设得甲比甲比这样等于四分之五比上六分之七，然后两边同乘以四和六的最小公倍数就十二。啊12同乘以12同乘以12，然后又变成15，然后比上14，或者这样取特值也可以，或者这样取特值也行。甲直接就是七分之六，乙呢？直接就是五分之四，就是换位取特值，也就说甲呢等于七分之六，乙呢就等于五分之四。是吧，

这样取特值也是可以的，所以加b就等于七分之六比上五分之四得到这个值。然后两边呃把分子可以把这二给它约掉，因为六跟四它有公约数二约掉，然后再乘以分母，再乘以分母算完后也等于15变成14都行。首先，怎么取特值都可以，没问题，上面这个取的是取的倒数用倒数取特值，掌握这样的取特值方法，第二个取特值呢，采用换位的方法来取特值啊，交换一下。啊，

取对方那个数交换一下来取特值都是没问题的，都是可以的，好看各位同学是不是懂了？接下来咱们看考项二就比例的性质，比例性质就是比例的外向乘积等于比例内向乘积，根据这个性质呢来列等式求解分析就可以了。好吧，进行列等式来进行。计算和求解。好，那接下来咱们看一下例17这个题。在一个比中，两个外项互为倒数，如果一个内项是二点五，则另外一个内项到底是多少啊？

这个它的这个情况大家想想。如果两个外向互为倒数，什么意思？外向互为倒，就相当于外向乘积是唯一的。它等于内向乘积。对不对好？如果外向互为到了外向乘以为一，那内向它肯定也互为倒数，因为内向乘积它也为一，所以另一个内向。这是2点5分之一，好2点5分之一就可以算出去，等于零点四，这样就求解出来了。

啊，零点四所以直接取个倒数就可以，这个答案应该选择的是c选项，答案就求解出来了，好，这是它做题的方法啊，不是很难看，各位同学。是不是听懂了？下面我们来学习第三个知识点比例的化简计算问题，我们来看一下它对应的考试要点。首先，那比例我们的通法就常规的方法就可以设比例系数k来进行求解。来分析，比如说a比b比c=2比三比四，

我们就可以设a呢，是2 KB呢，是3 KC呢，是4k。好，这叫做设k法啊，设比例系数，然后再根据其他已知条件，然后把k求出来k求出来以后，然后再来求ABC的具体值。第二个巧发。巧妙的方法就是取特值，然后进行判断和分析，我们用特值法来进行求解，比如说像什么时候可以用特值呢？

它求的。结果与k无关的时候，比如说k，它正好能够约掉，这时候呢，我们可以用比例法，如果它求的结果跟k有关，然后这时候呢，就不能够。把k呢，取一个特值，所以说像它如果与k无关，我们可以取ABC，就是二三四直接带到里面去来进行求答案就可以了。接下来我们看一下考试解读比和比例，

整体难度呢，不大可以结合特值呢来进行分析。第二个要注意考试陷阱，分母它取值呢，不能为零，不能忽略了这个要求啊，所以说它要保证它的表达式有意义，所以分母呢，不能为零。啊，考试频率呢不是很高。好，我们接下来一起看一下它对应的考试方向。首先咱们来看一下比例的化简计算，比例化简计算我们可以采用设k法来求解，

也可以通过特质来进行分析，另外呢，我们在文字应用题里面也考了很多的比例问题，大家呢？啊，在学应用题的时候还会再学到那此时啊，还有一个方法要给大家进行说一下，那比例呢？我们可以用分数的方法来进行。求解，比如说它是多少份，然后通过这个份数来扩大这个倍数来进行求解啊份数。然后来分析。看它占多少份来进行求解和思考。好，

那接下来咱们来看一下例十八这个题目啊，看例十八例十八是a分之一比b分之一比c分之一等于二比三比四。求a加BB加CC加a的值，大家知道求比值的时候，这时候它与k是无关的，你可以用特值法来进行分析，特值法的话，当然你可以让a分之一等于二。b分之一等于三，c分之一等于四，这是一种求解方法，但这种求解方法的话，它会出现很多分数啊，就是方法一那可以用特值法就是什么时候可以用特值法。它因为它求的是一个比值，

要设k的话，它最后在比的时候这个k呢，它会被约掉，所以说呢，我们就可以。看出它与k无关，介于k无关的话，我们呢，就可以采用这种特征法来进行分析和思考，比如说a分之一，它等于二。然后b分之一，它等于三c分之一，然后等于四，这样就可以解出a等于二分之一。

b等于三分之一c等于四分之一得到这个值得到这个值，这样就写好了好吧，这是它的方法，这个写出来了。好了，那这时然后再把它带到里面a+BB+CC+a，把它带到里面去，得到这个结果好，那么另外一种方法。另一种方法的话，我们呢，可以先把它做两边取倒数运算，所以对于等号两边取相同运算，它这个数值呢仍然。是成立的啊，

所以说我们取倒数。取倒数，取倒数以后就可以得到a比。b比c就等于二分之一比三分之一。比上四分之一就是同时取倒数，每个数都给它倒过来，倒过来也好处呢，就是ABC它就没有。分母了啊，就没有分式了，然后这个二分之一三分之一四分之一，我们把它化成一个最简整数比化成最简整数比，也就说我们呢就可以。同时，乘以一个12就二三四的公倍数，

同时乘以12，同时乘以12，这个数值呢？是不发生变化的，所以同时同时乘以12就变成六比四。比三好，这同时扩大12倍，得到六比四比三，既然六比四比三的话，那接下来我们就可以得到这个结果a+b。比上b+c，比上c+a，这时候我们就可以用特值法来进行分析。好a+b的值有六+4，六+4，

正好等于十。好，这六+4就可以写出来，然后b+c四+3就是七就是七，然后a+CA和c相加就六+3，这样得到19。所以十比七比九得到这个值这个呢，就选择d选项好，这是它的做题的方法思路，大家呢要会分析。所以通过这个题，大家呢啊，第一种方法直接用特值的话，它会出现这个分数，然后带到里面运算呢，

比较复杂，所以咱们后面的运算就省略了。第二种方法先把它变成整数比变成整数比以后，然后呢，我们再带到里面去计算，这样要简单一些。

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