1-01整数、分数与小数（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:54:41

下面咱们学习第四个知识点，分数小数和百分数。接下来我们看里面的概念。首先咱们看一下分数。分数的概念是将单位一平分成若干份。然后表示其中的一份或者几份的数，把它称为分数。比如说我们可以把这一分成七份。七份儿里面呢，取三份儿啊，就是七分之三啊，这是分数的概念，然后分数我们又分为真分数和假分数。真分数那概念就分子小于分母，比如说七分之三，

这个就是真分数，然后假分数就分子大于等于分母。就有假分数，比如说五分之七啊，这个就是假分数，其中分子和分母相等。它也是属于假分数，要注意这个分数的一些相关概念。啊，当然这个分数它也可以转换成整数，比如说五分之五，它要等于一，还有五分之十，它要等于二。是吧，

所以说这个整数也可以化成这种分数。接下来咱们看小数。小数按照小数的特征，我们就可以进行分类，小数可以分为纯小数和。混淆数纯小数，由整数部分为零的小数把它称为纯小数。好，比如说零点二一只能部分，它正好为零，这样的小数就把它称为纯小数啊，零点二一。好，这是它的这个特征。然后混淆数就整数部分，

它不为零，比如三点二一，因为三点二一，它可以写成三，加上零点二一，所以它是由整数。和纯小数混在一起构成的，所以把它称为混淆数。好，这是按照整数部分来进行分类的，所以分类的角度是不一样啊，就按照整数部分来分类。当然，也可以按照小数部分来分类根于小数点的情况，我们就可以分为有限小数，

这小数点后面它的数位。是有限的。还有一类是无限小数，无限小数又分为循环小数和不循环小数啊，循环小数又分为纯循环小数。和混循环小数，纯循环小数就代表小点，后面数字都在参与循环，比如零点二一，它都在循环叫纯循环小数。然后混循环小数就有不循环的，有循环的混在一起，比如三这个没有循环，后面一二再循环，它表达的。

意思就是零点三一二一二一二这样的情况，就是这个三它没有循环，后面一二一二再循环好，它混在一起的有不循环，有循环的混在一起的。另外，无限小数还有不循环小数，不循环小数无限，不循环小数也把它称为无理数。无理数，比如说像学根号，它是无理数，还有一些对数log情况，还有无理数啊，咱们最早接触无理数，

就是那个派。派就是无理数。还有这个ee呢，就在指数对数里面用的比较多e呢，就是二点七幺八。后面是无限不循环的好，这是无理数它的概念啊，这些小数，所以在这里面。大家注意它的这个纯循环的纯小数，纯循环的混淆数，能不能举点例子？我看大家这个能不能区分清楚？啊，就是纯循环。

纯小数啊，你给我举个实例，不用背概念啊，咱数学考试也不是考场上，也不让你默写概念。好纯循环。混淆数。好，然后混循环。啧。纯小数。混循环。混淆数。其实这个概念很好区分啊，就是纯循环，

混循环，主要看小点儿后面。然后纯小数混小数，主要看小点前面的整数部分，首先只要把这个界定好，就不会呃晕了。然后呢？我们可以看到大家写一下实例。纯循环的纯小数。就是零点二一，这个循环是吧？这就是纯循环，人家小点后面都在循环，纯循环又是纯小数整数部分为零。然后纯循环的混淆数，

比如三点二一，这个循环是吧？这个是混淆数，因为整数部分不为零。然后混循环的纯小数，比如说零点三二一这个在循环是吧？然后这是纯小数，因为纯小数，它整个部分为零。然后又是混循环的，然后混循环的混小数，混循环的混小数就相当于是比如说。三点。一二三。然后二三它再循环是吧？

就二三再循环就三这个整数，它是不为零的，所以说是混淆数。然后呢？它有混循环，它后面呢？有不循环的，有循环的好，那这个概念看弄清楚没有？好吧，所以要注意区分它的概念，当然咱们最简单的也是做题用的比较多的，就纯循环纯小数用的。多一点好吧，因为遇到混淆的问题，

你可以把拆成整数，再加上一个纯小数。这样就行了啊，把它拆分来进行分析和求解就没问题了。好，接下来咱们看第三个小数与分数的互换。小数与分数互化，那第一个有限小数要化于分数。原小的化学分数那么用十一百一千等作为分母就行了，比如说零点二一，那就写成一百分之二十一，也就小点儿，后面有几位它分母。就一后面写几个零，它有两位，

一后面又写两个零就行了，这有限小数化为分数，它的概念。有时候注意咱们呢，就有限小数和循环小数可以化成分数，因为有限小数和循环小数啊，是属于有理数，只有有理数可以化成分数啊，有理数和无理数最本质区别什么无理数不能写成分数。啊，有理数，它是可以写成分数的啊，这里要注意这个概念，所以说就是只有有理数。可化为分数。

啊，注意像这个不是分数啊，比如说二分之根号二并不是说带有分数线的，它都是分数，有同学说这个就是分数啊，它这个就是无理数啊，它说无理数不也可以写成分数吗？注意。咱们的分数的界定是分子分母都是整数。这样数才叫分数啊，所以要注意咱们分数它的概念知道吧，二分之根号二，虽然它有个分数线，但它不是分数啊。它这个它不是分数。

它虽然带了一个，更带了一个分数线，带一条线，但它不是分数，它呢，是无理数。它是无理数啊，所以二分之根号，它是无理数好，所以说它这个就有理数，可以化成分分数。知道吧，有理数可以化成分数，有理数就包含包含整数啊，分数包含有限小数。

和无限循环小数好，所以这是给大家补充一点概念，接下来咱们看一下有限小数，它化为分数。有些小说它化学分数的话，那么在这里面我们呢就可以看到，就是零点二一这个很容易画，然后接下来咱们看一下。纯循环小数化为分数，而且咱们这里面都讲是纯小数，就相当于它的整数部分为零。如果整除部分，要不为零没关系，把整除部分给它拆开就可以了啊，刚才咱们讲过分析思路了，

就看这个纯循环的纯小数化为分数。它要用九九十九这样的作为分母，其中九的个数就等于循环节中数字的个数。一个循环节中，数字组成的数就是它的分子，就把一个循环节照抄就行了，比如说它的公式零点。注意这个超过两个数字循环的时候，只要在第一个和最后一个加点儿就可以。第一个加最后一个加点，其他就不要加点好吧，然后第一个和最后一个加点，然后其他就不要再加点了。好，那这样的，

它的这个情况，所以这个分母就它有几个循环就写几个九。然后分子呢，就把这个循环节点数照抄就行了，比如说零点二一的循环就可以写成九十九分之二十一。这样呢，上下大家可以约掉一个三约掉三有三十三分之七这样的啊，内容是吧写成三十三分之七好，这是它的。啊，方法看明白没有？上下可以约，约完以后变成咱们讲过分子和分母是互质的，互质它就是。最简分数。

第二个循环小数混循环小数话，它要。用九和零搭配起来啊，然后循环的来决定九的个数，然后不循环的决定零的个数。所以它这样的一个情况，分子呢，就是拿循环几，然后再减去不循环的数，然后这个理论知识看起来比较抽象，咱们看一下公式和实例，你就明白了。比如说啊，零点儿这个ABC，那么前面呢？

这个m个呢？是不循环的，后面这n个是循环的。那接下来我们呢，就是写n个九因为循环的决定，九有n个九，然后这个还有m个零。然后分子是把所有的减掉，前面不循环的就可以了啊，所以m代表小点儿后面的，然后减掉不循环的，比如说。啊，零点三一二零点三一二在这里面，我们呢？

就看分母分母，大家可以看到它，因为有两个数字循环，所以我们就写两个九。然后前面还有一个不循环，三不循环有一个不循环，就写一个零就可以了。写一个零，然后这个分母就990，这样写分子就拿所有数减掉前面不循环的就可以了啊，那么312减掉前面不循环的三。减完后就到309。然后剩下当然可以约分了，把约掉最简分数，约完以后得到三百三分之一百零三啊，

这这个是。呃混循环小数化学分数的一个基本方法，咱们现在讲的都是纯小数，都是整数部分为零的情况啊，整数部分看都零点几零点几。呃，如果出现整数部分，它不为零的，把整数部分单独拆开，然后画完小数部分，然后再考虑整数部分就行了。啊，这个没有问题，比如说。三点二一的循环又把写成三+0点二一的循环。

那么，零点二一循环就可以写成三十三分之七，然后就可以写成三，加上三十三分之七好，如果要想通分，把它通分一下就三乘以三十三，得到九十九。九十九加七得到一百零六，三十三分之一百零六啊就，所以说如果它的整数部分要不是零。那这时候呢，大家呢，就这样去写就OK了好吧，要知道它的这个方法。接下来咱们看百分数，

百分数不是很难，百分数就一个数是另外数百分之几这样的数吧，称为百分数，经常用百分号来进行表示。好，这样的一个情况。啊，这是百分数，它的含义，我们在做一些应用题，做一些利润率啊，变化率的时候都用百分号来表示，还有一些溶液浓度问题的时候也用百分号。好，接下来咱们对应考了解读，

虽然考纲没有明确标注学员小数，但考纲上有小数这个。考点，但是呢，细节问题更细微的循环小数没标注，但在未来真的有可能考察是吧？所以说这个是命题的空白，虽然之前没考过，所以还要了解一下。而且要掌握纯循环小数和混循环小数，它的两者的一个区别啊，这块考的频率低，因为它必然。毕竟属于一个创新的考点。好，

那接下来咱们来看一下。第一个概念分数，根据分子与分母的要求来列等量关系就可以了。好，接下来咱们看一下啊例十这个题。好一个分数分子与分母的和是100啊，分子与分母的和它是100。然后分子加二十三分，母加三十二，新的分数约分以后为三分之二，则原分数的分子与分母之差到底多少？这跟咱们考题差不多好吧，非常类似。这里有两个方法，做第一个方法呢，

大家用列方程做列方程来解一些文字题，这个好理解。啊，但是呢，它运算会复杂一点好吧，当然咱们这道题可以设一个未知数，也可以设两个未知数。大家尽量用少用点未知数，如果输了两个未知数，就这样写。这两位数那稍微复杂点就原分数。好，我们可以把它写成m分之n好原分数，把它写成m分之n分子与分母的之和为一百。啊呃呃，

为100，然后这个就可以写出第一个方程就m+n是等于100的。好，第二句话，分子加上23分子就上面加上23分，母加32。上面加23分母，加上32。这个n加二十三，这个m加三十二约满分后等于三分之二等于三分之二的话，咱们学过。交叉相乘。是相等的，学过这个分式，它的一个特征交叉相乘，

所以咱们一般把除法变成乘法，所以第二方程。你可以把它写成三×1个n+23=2×m+32好，这是两方的两个未知数，然后去解就可以了好，这是一个内容。如果要设一个未知数。设一个位数，我们可以设原分数。原分数就可以写成m分之一百减m，反正呢，它这个分子与分母的和是一百啊，这个是m这个一百减m。然后接下来咱们根据第二句话就是分子加32分，分子加23。

分母加三十二，约完后就等于三分之二，然后呢？这样就一个未知数，然后这个。交叉相乘是相等的，上面就变成了123-m乘以个三。等于二倍的m+32，这样的情况就交叉相乘是相等的。啊，交叉相相乘啊，这相等，然后自己把m解m解出来就可以了，好，这是两个方法，

两个方法其实没有明显的本质区别，它的大同小异。是吧，都是要列方程去解，然后另外那么技巧的简便方法，简便方法，我们就用份数和比例法。大家可以看到啊，虽然我不知道现在分数多少，但是我现在我要知道什么？现在分数的分子与分母之和，我知道对吧？就新分数就现在。它的分子加上分母。我们可以写出来，

对吧？分子加分母，我们就可以写出来啊，就现在分子加分母，人家原来分子分母的和是100。现在分母增加了23。呃分子增加23分，母增加32，现在的和就100+23，再加32，这样的155。对吧，就现在分子和分母相加这样的一百五十五等一百五十五那么新的分数约分完后得到三分之二。一月份完以后好，那么接下来我们就可以得到一月份完后三比二三分之二得到什么意思？

得到分子和分母的比例？是二比三对吧？比例它正好就二比三。就155。按照二比三，两人来分是吧？就相当于总共155个苹果，两人按照二比三来分，好二比三来分，那接下来分子和分母分子又分了。一百五十五乘以个五分之二。好，这样就可以写出来，就等于62是吧，然后分母我们就分呃53嘛。

分五分之三啊，得到九十三好，那这个分子分母很快就解出来了，解出来也就是说现在它的分数。就变成了九十三分之六十二啊，这个约完以后约完以后正好就满足三分之二，好满足这个内容。好，那这个是它的这个方法，接下来我们找原来分数，原分数，原分数，这个就相当于是给它还原还原呢，就可以推出原分数。原分数让分子给它减掉23分，

母呢？减掉32就可以了，好这样的话就可以得到39。好，这样就可以得到它是61。好，这样就写出它的数值了，然后这样的话，我们就可以得到原来的分母减分子正好是61-39。好就可以得到它的数值，得到22。得到22好，那答案就求解出来，这个答案就选择a选项好了，所以说大家要尽量学习，

不用。列方程的设备之数的这种方法，这种方法解起来更简单好吧，巧妙利用比例来进行分析，这样就可以快速简化运算，直接根据它的比例来分，把原分数找到。原分能找到，那么现在的分数采用逆向推导的方式来进行分析和思考，这样就求解出来了，好看大家是不明白了。好，接下来咱们看一下循环小数，循环小数这个知识点，了解一下掌握纯循环和混循环化学分数的方法就可以了，

好吧，不是很难。接下来，咱们对应一下，做一下题目。好看一下例11这个题程序员小数零点ABC写成最简分数时。那分子与分母之和，是58求a+b+c的值到底是多少？这里大家首先是纯循环小数，纯循环小数这。就是小点儿，后面都在循环，而且这个ABC三个都在循环啊，就b它就这个点儿就省略了啊，所以只只在第一个和最后个加点儿就可以了，

并不说是b没有循环b，虽然没加点儿，并没有说b不循环。它只要超过两个数字循环，它都是在第一个和最后一个加着就可以了，好吧，这是它的这个方法。好，那接下来咱们来看一下零点ABC它的循环，那正常的写应该写着三个九作为分母。对吧，因为它纯循环小数。39作为分母，然后把ABC给它照抄，这样就写好了，

写好，然后上下肯定要约分，因为它要变成最简分数。但是现在问题是咱们不知道最简分数是多少，咱们可以嗯讨论一下，如果上下要约掉一个九。拼命剩下约掉一个九变成一一是吧？一一嗯，上面呢？剩下某个数约完以后约完后这种情况肯定不行，因为分子和分母的和。它肯定超过58了，这两个相加，它肯定比58大，因为它这个是111，

它肯定已经超过了，它是比较大的。然后接下来我们再往下来进行写。那说明还还还可以再约大家知道111它能被三整除，因为它的数与之和三的倍数能被三整除，所以说在这里面就可以写37。那再除以三三十七，然后上面这个数呢？就可以写出来就是58-37。这样就得到是21，这是37，这样就写好了。就写出来了，好那么写好以后大家呢就可以看到是什么情况呢？既然是三十七分之二十一。

我们呢？就可以。把ABC给它找到，那么如果知道分数，找原来这个小数，它的寻找有两种思路。那第一种思路呢，是还原法。方法一啊，就是还原回来。好，又把这个分母变成九十九，这个ABC就找到了是吧？比如说三十七分之二十一，我们要把变成九十九，

我们看刚才是。约掉多少，大家知道这地方约掉一个九，这地方又约掉一个三，相当于缩小了27倍，所以现在合约还原乘以27。上面21×27这样还原，以后这样就变成了99。好变成了九九变九九，然后这个就变成了五六七啊，变成了五六七，所以说零点ABC就变成五六七五六七就是零点五六七。它的循环，然后这个ABC就五六七五六七五+6+7就相当于是。然后等于18是吧？

你就用这个等差中项来算算出来就等于18好，那这游戏好好，这是第一个方法。啊，可以这样还原法方法二。方法二的话，那么在这里面，我们呢就可以实在不行用除法用除法，比如说就是21用那竖式除法除以37。只要找到三个数前三位就行了，然后上上一个零。然后这块呢呃，根据咱们学过除法上一个五。对吧，上一个五。

然后五这样啊，五七三十五然后三五十五是吧？就一百八十五一百八十五然后这个是五。然后这个是二，然后这个是零。然后这块呢，就上一个六是吧？上一个六上五就不行，上五太小，六六六七四十二。对吧，然后呢？三六十八然后就是二二，然后这个是八，然后这个是四。

四就28，然后再再上一个七。上万七那么七四十九。减四三七二十一二十一+4得到25。然后这个是一，然后这个这个八八，然后变成七七减五得的是二。然后又变成二一了，跟刚才又回来了，你看刚才一开始就二一是吧？这是后面点儿点儿，后面就不用再算了，后面就说明它就循环起来了，循环起来就是五六七的循环。这样写好无序循环，

那么答案仍然是18就写出来，所以两种方法都行好吧，然后呢？要么就把一个分数分母全变成九，可以写成循环小数，要么呢，你要看不出来怎么变的，然后也可以用除法做这一两种方法，都可以选你自己。呃，适合掌握什么样方法就用什么方法做就可以了啊，没有什么问题。好，下面咱们看一下例12混循环小数零点四二七写成最简分数时。然后这上面。

就二七，它在循环。好写成最简分数时分，母比分子大多少啊？分母比分子大多少？好，那在这里面我们来看一下。啊，它的这个情况，首先呢，我们第一步零点四二七的循环。啊，我们讲过他写成的方法怎么写呢？有几个循环就写几个九二七，两个循环就写两个九。

然后四没有循环，就写一个零是吧？然后分子呢？就照写照抄427照抄。然后减掉什么减掉前面不循环的四，这样就写好了，得到九百九十分之四百二十三。这样写出来了是吧？然后写出来就然后上下给它进行约啊，约我们看看它是几的倍数，找到423。四+2+3，它正好是九的倍数，所以说上下可以约到一个九是吧？因为咱们讲过能被三整除就数以之和是三的倍数。

能被九整除数位之和，是九的倍数，所以三跟九它这两个呃判断的方法是类似的。然后上海遇到一个九遇到九又变成110了。好，这样约掉一个九约掉一个九，大家可以发现啊，那么四九三三二六。啊，所以在这里面大家呢就可以啊，把它进行约一下，约掉九啊四九。三六，然后得到63，63，

七九，63啊，就可以约掉这块呢，就不能再约了，因为47它是一个质数。这个就不能再约分了，好不能再约分以后，那接下来我们就可以看分母比分子大就110-47。然后得到是63。好正确答案，就选择a选项。好，这是它的做题方法，思路，看是不是懂了，

所以大家呢，要知道它的考试知识点和内容。好，那么以上就是程序员混循环小数或者分数方法，要把它弄清楚。

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