1-01整数、分数与小数（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:54:27

各位同学大家好，我是陈建老师，接下来我们一起来学习，能够创造奇迹的神书。数学高分儿指南，希望大家跟着我们的课程认真学习，大家的成绩必然能够显著的提高，能够达到立竿见影的效果。接下来，我们来学习数学高分儿指南的第一章实数比例和绝对值这三个知识点。在第一章里面，我们首先看一下这章，它的一些学习的基本要求和考试内容。大家翻开书，我们来看一下第一节它的考试解读。

第一个就整数，它的整数及运算。相关的一些运算的规律要知道，比如加减乘除它的乘方。还有根号啊，这些基本的运算要知道第二个就整除公倍数公约数啊，这个是。难点和重点则要画上重点的标记。尤其要知道，公倍数，公约数什么时候使用啊，两者的区别和联系是什么。要知道，第三个就奇数和偶数。它的一个判别的性质，

尤其咱们在讨论不定方程的时候，这个要用奇数和偶数，而且。这个奇数偶数，大家要注意它的逆用逆向考察。比如说知道几个数相加以后是奇数，那么要反着思考这几个数到底有几个奇数，有几个偶数？第四个就质数合数质数合数。还要掌握常见的这个质数，质数呢？也是考试必考的一个知识点，而且这个质数要学会列举讨论，结合不定方程来进行分析。以及质数有时候还可以跟派来组合概率相结合来进行思考，

要掌握它的命题方法。第二个就是分数小数和百分数啊，主要是与下一章的应用题相关联，而且在这里面小数里面有个概念，就是循环小数。选小数虽然考试真题没有出现，但这个知识点是作为一个创新考点，未来考试有可能会涉及，所以得要了解这样一个知识点。第三个就比与比例比例也是为下一章的应用题做铺垫，要掌握比例里面的基本的定理。以及它定理的使用。第四个就数值和绝育值，这个绝育值是咱们考试必考内容，而且绝育值也是咱们数学学习一条主线，

它跟后面章节都有紧密的联系，比如说绝育值跟方程或者跟不等式它联系。联系呢，非常紧密，而且绝对值跟数列跟几何联系都非常紧密，所以要掌握绝对值的一个相关的内容。啊，第二个就大纲解读，围绕第一章的学习，我们看它考大纲，我们如何来进行？学习另外，咱们考大纲像知识点写的比较简略，没有详细展开，所以我们要给它进行展开来解读。

好，那它主要考察这些小学和初中的一些内容。好内容呢，大家呢都能够。很容易的学好，因为都是小学初中的，不是很难好，本章的考点呢，是以干性的为主，所以第一章的学习概念比较多，要注意概念之间的区别和联系，不要混淆这些概念。尤其考试频率较高的考点，这个高频考点，这个要重视起来，

刚刚咱们画的重点像奇数，偶数，质数，合数，绝对值，这都是重点。啊，难点就是公倍数，公约数和绝对值，这几个学习起来难度呢会大一点，大家呢不好掌握，所以要知道它的一些使用方法。然后对应的考试的以以往的考试真题，它的分布这个自己去研读一下，书上写的内容就可以了。

接下来我们再看考地位及预测，通过以往考试情况分析发现，本章一般在考中有占两个题左右。啊，占据六分，因为咱每个数学题是三分，所以它以条件重新判断题考察呢，是居多的。因为它概念性的多，所以容易出条件重新判断题好，要掌握它的考试命题的题型和考试内容。那对于咱们学习一定要有一个。思维导图。所以每章我们给大家做了一下思维导图，好每章分为重点考项和难点考项，

好那么重点考项。啊，又给大家进行分了，下面具体小的知识点，我们的图书采用速度化，模块化编号的方式进行。嗯，编写的这样有利于在职同学利用碎片化的时间来进行学习，因为很多在职同学他很难。抽出整块的时间来进行学习，那你可以按照模块利用碎片化啊，每一个板块作为一个单元来进行学习，这样话学习效果呢就比较好，因为它比较集中。啊，

对于。应届生，在校生的同学来说，那么学习呢，也更加成体系啊，你时间学习正好比较。充足按照这个板块儿的序号来进行学，而且每个板块儿它的重点难点高频考点，那么掌握的都比较清晰。啊，因为咱们书上篇幅有限，所以后面这个考项咱们还可以再继续展开书上呢是。呃，没法印刷了，所以说大家呢，

可以自己再往下进行延伸，再微观一点，所以从章节。宏观微观到考项，让大家一直深入到每一个细小的考试命题方向。这一块儿，大家呢，就可以把考试方法掌握的。更加好一点。好，那这是咱们的学习，在整个过程中，那么大家要把一些考试重点要画上是吧，然后再奇数偶数啊质数。然后还有比例的计算化，

简比例的求解啊，以及绝对值的性质啊，这都是考试啊，重点给大家勾出来，然后呢？难点里面难点里面就有理数和无理数，尤其无理数根号的化简使用，这要知道还有公倍数公约数这块儿要知道。还有一些比例定理的使用啊，以及绝对值三角不等式，还有绝对值几个亿好，那么这些绝对值的难点绝对值呢，也是咱们学习的。重点和难点，所以大家呢，

要重视局域值，那总而言之，第一章学习决定成败，内容就局域值，如果局域值把它学好了，那么第一章我们就能把它学好。所以大家呢，按照咱们这个思维导图的顺序来进行学，这样话就达到一个更好的科学的复习体系。好对考生的备考建议，就本章也是学习后面数学的基础，需要考生掌握最基本的运算。本章概念和名称比较多，所以在学习时不仅要弄清概念之间的联系，更要掌握。

之间的区别，然后本章的高频考点就实数的一些大小比较一些概念的应用，还有绝对值，它相关的一个大小以及奇数，偶数，质数合数，这些相关的性质要把它。重点的来进行学习好，这是本章第一节，大家要掌握的一些考试内容。接下来咱们来学习第一章的第二节重点考项，大家翻开教材，我们一起来学习重点考项。好，那重点考项我们来看一下，

第一个模块儿整数分数小数，它第一个。命题的板块儿好，那么在这个里面那么主要掌握第一个就是整数与自然数，它相关的概念，我们看一下什么是整数，只能包含正整数。负整数和零。啊，比如说咱们这个负一负二，这个都是负整数，这里后面是正整数好，那么整数我们可以用集合的方式来表示它包含正整数。任意正零和负整数，其中正整数和零把它称为非负整数。

非负整数就包含零和正整数，接下来咱们看自然数，自然数就相当于零一二。而且自然数它最小，自然数是零，大家要注意最小自然数不是从一开始它从零开始，所以自然数它包含。零和正整数，零和正整数也把它称为非负整数。所谓自然数的名字，也可以把它称为非负整数。简言之，零和正整数就可以把它称为自然数。好，那这是它之间的概念的关联，

要弄清楚好对于这个知识点考试解读，因为这块儿呢，它是比较简单的，所以考试频率呢，相对低一点也是作为其他题的一个。非常简单的一个概念性的一个考察。好，接下来大家一起来看一下命题方向指数与自然数，它的相关概念，它的考点。好，那么接下来我们来看一下例一，各位同学在听课时候一定要先自己思考一遍，自己做一遍再听课，这样效果会好一点，

如果没有提前做的同学，大家在听课过程中可以按。暂停键，然后呢，自己思考勾完答案，然后再听老师的讲解，接下来咱们看下列说法，正确的是a选项最小自然数为一，那这个错了，应该什么大家一起回答自然数？最小是不是为零啊？知道这个是错了，应该是0b最小的整数是零，那最小整数呢？它不存在，

比如说负的100，负的1000，负的一万，负的一个亿，它这个是没有的，它这个是不存在的啊，最小自然数它是没有是不存在的。c选项自然数是正整数啊，这个错了，自然数是零和正整数自然数，它包括零。也就说，自然数应该是非负整数，它就对了d，它说有些正整数不是自然数，

这个错了正数都是。属于自然数的好吧，所以在这里面它这个d选项错了啊e选项负整数。和自然数构成整数d选项是对的，因为这个负整数自然数呢，它包含零和正整数。所以说负整数零，还有正整数，它又构成了整个整数，所以e选项呢，它正确的，所以这块儿它是对的。好，这是例一给大家进行强调的，它的做题的概念和方法，

看各位同学是不是做对了？好，接下来咱们看一下例二这个题例二，这个是一个条件重新判断题条件，重新判断题，咱们讲了就看题干和条件谁复杂？这里是题干，比较简单。啊题干无法化简，这时候我们就看条件就可以了，所以说题干m是一个整数啊，看m是不是整数题干一？m等于q分之p，其中pq为非零整数，且m的平方，

它是一个整数。条件m等于q分之p，其中p与q为非零整数，且三分之二m加四，它是一个整数。好，那么这道题我们在做重新判断题，讲过不能用特值来证明题干充分，你不能说我m取一个值，正好能推出题干，就说明它就成立的。这个是不可以的，我们一定要找反例。那条案一怎么思考？我们对照条案一和条件，

我们可以看到它们共同点是什么？这是它的共同点。共同点，共同点就相当于是这个前半句，它都是一样的。那首先呢，这m等于q分之p，那说明m它是一个分数形式，那分数的话是属于有理数。啊，咱们讲过的，有理数有理数，包含整数和分数，然后呢？所以说这个m呢，

它就是属于一个分数，所以由条件可以得到m为分数。分数呢，它又属于有理数。啊，有理数好那么题完一大家可以看到m的平方，它是等于一个整数。啊，那我们知道这个整数肯定要大于等等于零的，大于等于零好，那么根据咱们前面学到的这个根号，它的一个相关的概念。就等于正负根号下这个整数。那说明这个根根号，它一定是能开根号能开出来的是吧？

要不然它如果开不出来，比如根号三，它开不出来，那它就是一个无理数。所以我们可以用反证法假设这个根号开不出来，根号它就是一个无理数，无理数，那么它跟前面。这个要求就是矛盾的，所以说这个也说这根号一定能开出根号，能开出根号，说明这个整数一定是完全平方数，比如说。这个16它是能看出根号的，或者九它能看出根号是不是，

所以它这个。1m，这个一定是一个整数，因为它这个一定能看出根号的，这样的数，所以它这个整数啊，通过这个我们可以发现它的名字，我们可以把它称为一定是完全平方数。一定是完全平方数完全平方，那就可以推出这个m，它一定是为整数的。所以题号一它是充分的，我们画一个勾接下来我们看条件条件条件，它说三分之二m加四是一个整数，我们可以找反例。

找反例，找反例三分之二m加四，它是一个整数好它的反例，我们可以看出来。看反例，反例就相当于是既然三分之二m加四是一个整数，我们m我们可以取一个二分之五是吧？比如说。三分之二乘以二分之五再加四，它正好就等于一个啊三是吧？等于三它是整数，这时候呢m呢？咱们取的是二分之五。对吧，所以说满足这个条件，

但它推不出来这个结论，所以我们找到反例一定要满足前提。但推不出这个结论啊，这样的例子，我们把它称为反例，然后就可以写出来，好写出来以后，我们接下来就可以看出来条件呢，它是不充分的推导不出来。千万不要找正面例子啊，比如说有同学说m取1m取一呢啊，它能推出这个题干成立，但它不一定充分啊，所以在这里面一定要找反例，所以这样答案就选择这个a选项。

答案就求解出来了，好，这是他的做题的方法和思路，看是不是懂了。好，这是例二，它的求解思路要弄明白。好考察这个数之间的概念之间的关系。好，接下来咱们看一下第二个知识点，奇数和偶数，这个知识点。首先咱们看一下考点讲解，那么基数就相当于是不能被二整除的数啊，那么这样的数就奇数可以表示2 k+1，

当然也可以表示2 k- 1啊这个。或者表示成这样都可以k呢为整数啊，因为咱们在做一些题的时候啊，在分析和推理的时候，我们可以设一些未知数啊。写成2 k+1或者2 k- 1，表达这个奇数，然后偶数偶数的话就能把二整除数，就把它称为偶数，表达成2k。啊，表示2k就可以了。然后这样的情况能被二整除数好，就可以写成偶数，偶数可以写成2k好，

那这是基础偶数基本的概念，要知道。呃，比较重要的点，咱们画上啊，大家在书上做一下标记啊，那么就组合性质，这个是比较重要的，就奇数加减奇数得到是偶数。奇数加减，偶数得到是奇数，那么这些信大家不要死记硬背，像第一行，它这个加减关系大家呢？要注意的问题是，

我们可以用一些数啊，用一些实例帮助我们理解。比如说奇数加减奇数，比如说五加减三。好五加减三得到就是偶数了是吧？然后奇数加减偶数。比如说五加减二啊，五加减二得到就是基数是吧？所以要掌握这个然偶数加减偶数，比如说四。加减二，然后它还是偶数，所以这是加减关系好，那么加减关系大家可以发现，如果多个数多个数就偶数个奇数。

之和它变变成偶数，比如说两个奇数或者四个奇数，或者六个奇数，偶数个奇数之和，它是偶数。好，然后这个偶数跟偶数的和它仍然是偶数，对吧？如果要奇数个奇数相加，比如三个奇数相加。或者五个基数相加，它仍然是基数，这点要注意它的推广使用啊，然后基数乘以基数得到是基数。好奇数乘以偶数，

得到是偶数。咳咳。好，那么在这里面就乘法偶数，乘以偶数还是偶数，大家可以举一些实例，比如说三×5得到的奇数，比如说奇数乘以偶数，那么三×4。得的是偶数，偶数乘以偶数，比如二×4，它还是偶数，这是这个乘法，所以第一行解决是加减问题，

第二行解决是乘法问题。那除法这是不确定的，除法首先它不一定是整数。比如二÷3，它不一定是整数，这它没法判断。此外，即使除完后是整数，它也是无法判断的。比如说。偶数除以偶数。你说什么数？它这个确定没有，有可能是奇数，有可能是偶数，

即使是整数，它也不行，比如说六÷2。它等于三两偶数相除，它变成奇数了是吧？那有可能呢？它还是偶数，比如八÷2。得到四八÷2，得到四，所以在这里面大家可以看到八÷2，它正好四，正好四，它就是偶数。是不是要这样呢？

所以说两好处相除，它确定不了，然后这样的一个情况，所以这个除法咱就不要求了。另外注意的就是这个零，这个数比较特殊，零是偶数，两个相邻的整数必然一奇有。就不可能说两个相邻整数呢，它都是奇数，比如说12，13。是吧，它相邻整数，它必然是一个偶数，

一个奇数，这样的情况。好那么三个相对整数呢？大家想一想，比如说12，13，十四三个相对整数，三个相对整数，有可能是两个偶数，一个奇数。还有可能是什么？比如13，14，15，三个相等整数，

有可能是两个奇数，一个偶数。是吧，这三个相邻整数，它的一个关系和分析内容，看这个明白没有好，这是三个相邻整数，它的一个相关的概念。也要弄清楚。好，那么此外大家还要注意难点和重点，就这些组合性质的利用。逆向思维啊，要注意它逆向思维，什么叫逆向思维？

比如说咱们以两个数为例，比如说两个数加减完后要得到是偶数。两个数加减完后，它得到是偶数，如果两个数加减完后得到是偶数，那这两个数大家就可以看出啊，这两个数它的这个情况，这两个数它必然是同奇偶的。比如说这两个数，要么都是奇数，要么它都是偶数，它一定是同奇偶。对吧，这叫逆向来进行分析啊，同样道理啊，

如果两个数相加或者相减，它要为奇数。大家也会逆向思考好，如果两个相加或相减为奇数好，那这两个数它就变成一奇偶。这两个数就变成一级，有啊，这样的情况啊啊，一级有它的这个思路方法，这个要知道。好，那么这是它的逆向分析，当然它还可以推广了三个数，以此类推三个数，比如三个数相加减。

它要为偶数，大家可以反过来想想，如果三个数相加减，要为偶数，那这三个数会什么情况呢？都可以想一想。有可能这三个数都是偶数三偶。或者说或者说什么情况都回答一下，都思考一下，想一想，还有可能是两个基数。第一个偶数。是不是这样的好，这个以此类推，当然这些东西大家不要死记硬背，

不要说我把它背下来，要理解它原理或者说辅助一些。实力啊，帮助你来记忆和思考，这样话效果会更好一点。好这逆向思维，当然你逆向思维还有一些乘法，咱就不再一一说了好吧，乘法问题乘法你。不管是两个还是三个，它都一样，咱们以三个为例，比如三个相乘，它要是奇数，三个相乘奇数，

它必须这每个数都得是奇数才可以是吧？所以它必须。全是奇数。才可以才OK，对吧？同样道理，如果三个数相乘，三个整数相乘得到是偶数。整偶数那说明。这什么情况？不不能说明全是偶数，应该说明至少有一个为偶数。啊。是吧，至少有一个是为偶数的好，

那这些性质大家呢啊，要会理解和应用。好，接下来咱们看这个知识点的考试解读，考试解释奇数偶数是在整数集合里面定义的，首先大家注意这个分数。它不能够作为奇数和偶数的判断。第二个在整数集合中是奇数就不是偶数，不是偶数就是奇数。就非此即彼，非黑即白。如果既不是偶数，又不是奇数，它一定不是整数，它一定不满足是整数这个概念。

第三个考试常涉及到组合性质，尤其重新判断题考察。它逆向分析，逆向推理，要知道，而且此处的奇数偶数还与后面咱们应用题里面的不定方程。然后密切相关啊，所以说它考频率还是蛮高的，在考中经常出现。接下来咱们看一下命题方向，就奇数偶数的概念定义我们来进行分析一下好，那首先大家看一下例三这个考题，每个同学都思考一下。例三这个题目。好，

大家看一下这个题，下列说法正确的是好三个相邻的整数之和，必然为偶数。这是第一个a选项，看对不对？它的三个相邻的整数b，三个相邻整数之积，有可能是奇数。c选项若两个整数之和为偶数，则这两个整数乘积必然为偶数，大家想一想。好d好，如果两个整数之和为奇数，则这两个整数乘积必为偶数e呢？是质数必然为奇数。

好，那接下来咱们来看一下它到底哪个是叙述正确的好a选项，我们看一下a选项三个相邻整数。三个相邻整数，那么它有两种可能性，刚才咱们也说了，也给大家举例子了，比如说有可能12，13，14。或者说是13，14，15，所以这三个相邻整数，它有可能是两个偶数，

一个奇数，有可能是。两个奇数，一个偶数，所以它的和这三个数的和。它有可能是奇数，你比如说前面第一种情况，第一种情况，它这三个数的和它正好是奇数，然后这个。三数和又变成偶数了，所以a选项它是错的。a选项它有可能为偶偶数，有可能为奇数。好，

这个很容易就看出来了，然后咱们再看一下b选项b选项三个相对这种乘积有可能为奇数。大家想想，因为这三个相邻整数里头必然要为偶数啊，至少有一个为偶数，至少有个位数，它乘积呢，应该为偶数。因为三个相邻的整数。嗯。它至少要有一个为偶数。至少有个个偶数好，这有有偶数，所以它乘积啊，它有为偶数，

这样的是吧？它的乘乘积，它有为偶数，所以它的这个b选项，它也错了。c选项，如果两个整数的和。两个整数和要为偶数好，大家知道如果两个数的和要等于偶数。那这两个数，它要么都是奇数，要么都是偶数是吧？所以说这两个数它就同奇偶了。同奇偶要么两个数都是奇数，要么两个数它都是偶数，

它是同奇偶的啊，这样的一个特征。是吧，是同奇偶好，是同奇偶那么这样啊，这两个整数它的乘积我们来看看啊，它的乘积乘积的话，大家知道那么如果两个都是奇数。两都是奇数，那么万一要两都是奇数呢？那奇数乘以奇数。它要得到是奇数，所以它这个也错了是吧？比如说一个三一个五，我们想想一个三一个五。

那这个就不行，所以说c选项也错了d选项，如果两个整数之和要为奇数好，我们来看d选项。好，如果两个整数之和，要为奇数。好两个整数之和，要为奇数化在这里面，大家注意这两个数。啊，这两个数，这两个数。它必然是一己有。对吧啊，

必然是一奇偶，必然是一奇偶，那这个乘积必然为偶数，因为这个偶数跟任何数相乘。它这个乘法后还是偶数，只是说d选项是正确的d选项正确，然后e选项e选项质数必然为奇数，那错了。e选项错在哪？e选项它这个二二是质数二也是最小的质数，所以二呢？它不是奇数。所以这个它是错误的好吧，所以在这里面大家呢？要掌握好这道题，

它叙述正确的就选择d选项啊，这是它的考察的概念和内容，看是不是明白了要掌握它的分析方法。好，接下来咱们来看一下考前二奇数偶数，它的组合分析情况，组合分析情况，主要借助它的组合性质，要灵活利用它组合性来进行分析，尤其结合后面的文字题中的不定方程。进行考察，所以在后面的不定方针里面还要进一步的说明。接下来咱们来看一下一些表达式的判断啊，根据它组合性的来做一下它的判断好，它说syz是三个连续的。

负整数并且x要大于y，大于z则下列表达式中正奇数的是谁？正奇数当然这个也可以取特值，但要给大家讲讲的是特值，只能排除选项，不能证明哪个选项对？注意啊，比如说咱们起源特质，发现有两个选项都符合这个特质。啊，有三个选项不符合不符合特质一定错，知道吧？符合特质，它不一定对，所以在这里面大家呢，

要注意我们呢，一定要。所以特值法只能排除选项，证明它错的不能证明谁是对的啊？好，那这是它的这个内容好，那接下来咱们来看一下，它有s大于y大于z。啊，有题我们可以得到大家知道，三个连续的整数要知道怎么表示？三个连续的整数，要知道怎么表示啊？好连续整数，大家知道整数之间，

它肯定相差一是吧？相差一当然你可以都用z去表示，都用y表示都可以。好吧，都可以，所以说在这么如果都用y表示s就等于y+1 z呢？就等于y- 1。这样的一个情况是吧？而且它都是负整数啊，这样的这样带到里面去，或者说呢，你这样写，或者说呢，就是x-z可能是等于二。x-y肯定是等于一的。

是吧，反正这个怎么去表都行，就看它表达式。它给的这个形式好，那首先咱们来看一下它三个连续的负整数，那么a选项啊a选项，我们看这个行不行？好看一下a选项，你看它说y×z-x啊，到底是什么样的情况好，大家知道y×z。减x，大家知道它是负整数y和z。两个负的呢，相乘肯定是正数x是负的，

所以又减掉一个负的，减掉负的，加上正的，所以整个它肯定是正数。对吧，整个它肯定是是是正数。啊，整体它肯定是正数，这个是没问题的，好，既然是正数，那接下来咱们来看一下它的式子。好，既然是是正数。好那么正数化，

那到底是不是奇数？我们来看一下是不是奇数？比如说啊，因为大家知道三个连续的整数。好，大家可以看到，如果我们看找到它的反面情况啊，有没有可能是偶数？有没有可能是偶偶数？我们来看一下。对不对？所以在这里面，大家呢，就可以来进行分析，它的奇偶性关关系，

比如x要为偶数。s为偶数y是奇数z，又是偶数，这种情况肯定是不可以的，比如说它说x大于y大于z。是吧，然后x是偶数y肯定是奇数，因为它连续的整数z呢，可能又是偶数，这种情况下，你看这个y和z相乘肯定是偶数。是吧，然后这个yz是偶数x，又是偶数，偶数减偶数还是偶数，

所以a选项它又错了，好，这样就错，当然你也可以取一些特值，比如说x大家可以取一个。负4y呢，是负3z呢，是负二啊，这个也可以，是不是这个带到里面去用特征法，有同学用特征法做，这也比较快好a选项错了。然后b选项咱们看一下，再看一下b选项b选项，大家知道x-yx-y肯定是等等于一。

对吧，所以说一乘以个，然后y-z啊y-zy-z的话，大家可以发现又是一是吧，这这上面y减又又是一。好，所以在这呢b选项，它正好就正奇数啊，正的奇数，而且它的数值还可以求出来，正好就是一好b选项做出来了。其他选项当然就不用再思考了，如果要想分析也可以简单帮大家分析一下，然后c选项啊c选项跟a选项正好反过来。是它这个有可能也是这种。

偶数是吧，所以在这里面啊，所以说它这个有可能还是负的，它就是负偶数了，它是负偶数，所以说c选项肯定错了，跟a选项那正好反过来了。啊a有可能是偶数，它反过来还是偶数偶数，而且它是负的。查复数。然后d选项d选项s×y+zs×y+z，如果x要为偶数知道吧？然后呢？这个偶数乘以任何整数，

它还是偶数，所以d选项肯定是错的，然后x+y+zx+y加加z，那因为这个三个连续整数。有可能是俩偶数一个奇数，而且s+2加一一定是负的，所以这个它它这个也错，它是负的。它这个也错了，所以用那个特值法也可以很容易分析和思考好看，各位同学是不是听懂了？好，接下来咱们看一下例五这个题，每个同学都思考一下，若mn它整数。

并且m加它为奇数。好m加它是奇数。咳咳。好则下列说法正确的是有什么？好，大家都思考一下。好mn，它为整数。两个相加为奇数。好，那么咱看。第一个第一个对不对m-n，它为奇数，第2m方加n方为奇数。第三个m方减方为基数，

第四个m方乘n方为基数。咳。好，那我们根据题目可以发现m加要为奇数。说明可以推出m和n，它肯定是一奇偶。对吧，好得到m和n，它肯定是egu。好mn，它是一奇偶的，这种情况好mn，它既然是一奇偶。啊，既然是它一起有。

好，那接下来。大家知道第一个。m-m减就一个奇数，减一个偶数，它肯定为奇数，这个是对的。另外，大家注意mn要一奇偶，这个次方不影响奇偶性，比如说m方。n方，它仍然是1 gu。已及有，所以第二个它也对啊，

一个奇数和一个偶数相加，它肯定没奇数。第三个也对一个奇数和一个偶数相减，它还是奇数，第四个一个奇数和偶数相乘。它应该是偶数，所以说第四个它错的，前面这都对的，因为一个奇数和一个偶数相乘，它应该是偶数。所以这块错了，它写基础这错了，所以在这里面大家可以看到正确，应该有三个。啊，

三个是正确好通过这道题，大家呢，要知道的方法和结论。是什么呢？就是相当于是可以给大家总结一个结论。结论就是m当然mn 1定要为整数了。o.就m+n逗号m-m^2加n方m方减n方。m三次方加三次方。好m三次方减n三次方，这几个数都是同奇偶的。这几个数它都有统计。统计有什么意思？只要这里面有一个是奇数，那么其他均为奇数，

有一个为偶数，其他它都为偶数。好吧，所以给大家进行总结的这个结论是这样的一个情况。好，那这是它的这个奇偶性，它的一个基本关系和思路啊，看是不是明白了？下面咱们看下第三个考点质数为合数。首先咱们看一下质数，如果一个大一的正整数只能被一和它本身整除，那么这个正整数就把它称为质数。啊，质数呢啊，也把它称为素数啊，

大家知道一个词素质。是不是所以说这个这两个词，它一样的质数啊，有的也把它称为素数都是可以的。好，那接下来咱们呢看一下，比如说二三五七是吧？而且二呢是最小的质数。好吧，制度的基本概念，要知道接下来看合数一个正数正整数，除了被银行的本身之外，还能被其他的正整数整除。这样正数把它称为合数，比如说四六八九，

这都把它称为合数，这是合数的一些基本概念。接下来看一下重要的性质，第一个质数合数都在质数范围，且有无数多个啊，这个数量有无数个注意，一既不是质数也不是合数。啊，要注意这个内容啊，别给理解错了啊，第二个关于这个二的这个情况，二是唯一的既是质数又是偶数的整数。它是唯一的偶质数啊，大于二的质数必然是奇数，比如说三呀，

五呀，七呀，它必然是奇数，质数中只有一个偶数二，最小质数呢，它也是为二的。好，最小质数为二，然后第三个最小的合数呢？为四任何合数都可以分解成。两个及两个以上质数乘积，它都可以分解好，能写成两个或两个以上质数乘积的质数，它就是合合数。这样的好，

这是它的这个内容和概念。好，如果两个质数和或者差，它是奇数。其中b有一个为二是吧，然后在这里面大家呢？啊，就可以看出它肯定有一个v2，怎么去分析和理解这句话呢？比如说那么质数。加质数，它等于个奇数。等级数大家知道，那么它这个奇数咱们学过，如果两个数相加又等于奇数，

它必然是一奇又。是吧，两个数相加。它要是记住这两个数，它肯定要是一奇有。对不对？所以它肯定一奇偶好，那么既然要是一奇偶的话，那么又是偶数又是质数，那只能是二。所以有个数只能是二，比如说给你举个例子，比如说两个质数相加。要等于19。好，

如果两个质数相加，要等于19好，那这个数我们呢就可以看出来，它可能有个点为二啊，另外一个就是17了。是吧，就这样的，所以它必然有个v2同样道理，如果两个质数乘积，要是偶数啊，乘积乘积就是这样质数。乘以质数，它得到要是偶数好，两个质数乘积，要是偶数，

那么其中也必然有一个v2是吧？两个相乘，比如说。啊，那么两个质数相乘，它正好等于个14。14好，咱们知道，如果要是乘积要等一个偶数几个数，相当于等于偶数里面至少要有一个至至至少要有一个偶数二。啊，因为质数它只有一个偶数嘛啊二二，所以说在这里面指的是二×7。得到14是吧？这样的一个概念方法，

所以大家呢，一定要理解这样的记忆啊，而且注意任何合数都可以分解成质数相乘啊，比如说14。可以分成二×7，而且分解出来的每个数都把它称为质因数，这个在咱们考试真题里面出现了这个概念质因数。就如果一个合数把它分解成质数乘积，其中每个质数都把它称为质因数。好吧，这个概念要弄清楚，要会分析和思考。接下来我们来看一下互质这个概念，互质公约数只有一的两个数，就把它称为互质了。

比如说四和九，注意这个互质，它不一定是质数才互质啊，大家不要理解错了，不要以为啊只有。这个质数之间，它才是互质的，它不是这样的啊，它只要公约数为一，比如说两合数，它也可以互质的啊，互质的概念，这个互质它有什么用途呢？比如互质，我们如果一个分数分子和分母，

它的互质啊，分子分母，它的互质，这样的分数把它称为最简分数。比如说九分之四，它这个分子的分母就互质，没法再约分啊，这个就把它称为最简分数，就不能再化简了，最简分数就互质些基本概念，看明白没有？接下来，我们对应这个考点的知识，解读我们来看一下就质数合数，它都在质数范围，

不考虑负整数。所以，比如它告诉我mn，要是质数。m它默认一定是正整数，而且要大于一的正整数，知道吧？第二个要注意。质数与奇数关系，合数与偶数的关系啊，充分和必要的关系大于二的质数必然为奇数，大于二的。偶数变为合数，所以在这里面我们呢，就可以这样写它的关系，

首先大家注意这个质数。和基数。它的关系就要弄清楚质数和基数，它之间的这个关系好，那质数和基数我们看它的这个特征是吧？好，大家注意质数，它不一定是。奇数啊，那么奇数它也不一定是质数。比如说质数不一定奇数，比如说二二，如果这个地方要加上一个大于二，大于二就可以了。大于二的质数，

它一定是奇数是吧？大于二的质数，它一定为奇数好，这是它的基本的概念。然后咱们再看这个合数跟偶数的关系，所以这个奇数反过来啊，奇数推不出来，是质数啊，比如像95。这样的数都是奇数，但它不是质数，我们再看合数。跟偶数的关系。合数它跟偶数的关系好，大家注意这个合数。

它不一定是偶数偶数，它也不一定是合数，比如说合数像九，还有15，它是合数，但它不一定。是偶数偶数呢，也不一定是合数，比如说二是吧，然后这地方加上一个大于二。大于二的偶数，那么就是合数了，好这样的第三个一个制度可以分解成若干制度成绩，这个大家一定要会分解。而且分解出来的每个数都把它称为质因数，

另外此处呢，质数和数这个概念啊，然后可以去跟其他考点来出题，你看有时候跟咱们的。概率啊，几何啊，都数列啊，等等都可以关联在一起来处理，所以这个考试频率比较高，所以大家注意的是这个知识点，另外大家。还要掌握常见以常见的质数，就20年的质数啊，要把它背下来啊。好，

那接下来咱们来看一下它的命题方向啊，质数合数的判断，根据质数合数的定义来进行分析判断，掌握20以内的质数。20年的制度，这个把它背下来，总共就八个，就二三五七四个，11，13，17，19，这也四个。那总共是八个就十以内，有四个十至20之间，

它也有四个啊，这样的情况。总共呢，就是这个八个啊，20年的质数八个，大家要把它掌握清楚。好，那接下来咱们来看一下里面的考题，将210分解为若干质数乘积，则这个质数之和到底是多少？求这质数和到底为几好？那接下来第一步就210分成若干质数乘积这个，每个质数都把它称为质因数啊，所以210我们可以把它分，那怎么去分解呢？

你可以先就像咱们。切菜一样，先把它切成几大块儿，然后再分的小一点儿。比如21可以分成三×7，然后后面再乘以十是吧？如果不太会分，不能够一步到位的同学。改了，先把它切成大块儿，然后这个十呢还可以再分成二和五，所以又分成二三五七，这样就写好了，好，那接下来我们就把这个质数。

把它加在一起就二+3+5+7，这样就可以得到答案，这个答案就等于17。让大家去选择a选项好，这是它的考试内容和方法，就把这个质数给它加在一起就行了啊，所以这个每个分解出来的数都把它称为质因数。它这个相关的概念和思路要知道。好，接下来咱们看一下例七这个题，看一下这个题。用十以内的质数组成一个无穷数的三位数，使得它能同时被三和五整除。这个数最小是m，最大是n则。

n-m的值到底等于几好？大家知道第一步，首先把适应的质数要给大家进行写出来，好吧，这是第一步啊。十以内的质数，每个同学都想一下。所以这个就二三五七这样就写好了，这十以内的质数就写出来了。然后另外它要组成这个三位数。三位数，它要能同时被三和五整除，我们马上就会学到整除，大家注意被三整除的数的特征是数位之和，要能被三整除。

啊数为和它要被三整除，这样才可以。是吧，就个位十位百位把它加在一起，能被三整除，另外被五整除，它个位就看个位就行了，被五整除个位，要么是零，要么是五。要知道，个位为零。这个不可能，因为咱这个质数里面没有零，所以说它个位只能为五，

所以这个三位数马上可以得到，要能被五整除它个位一定为五好，这个五它已经用上了。因为它是无穷数字，无穷数字，也就说它数字不能重复用五，用完以后相当于十位和百位，它不能再用五了，不能再出现五。那接下来我们就来分类讨论，看它剩下两个数，它会是几，比如说要是二+3+5行不行，因为它剩下。还有二三七。

这三个数要选两个作为十位和百位，那么在这里面我们就看一下二三七就二+3。那么个位肯定是五看行不行，好二+7+5看行不行，三+7+5看行不行，然后二+3+5不可以。因为它不满足被三整除，因为二+3+5正好等于十，它不是三的倍数，然后二+7+5，这也不行，也不是三的倍数。这个可以三+7+5，它正好是三的倍数啊，这个是可以的，

所以说它这个十位和百位，它只能从三跟七。来进行挑选，那接下来咱们看最大最大和最小那最小，我们先写最大。最大呢，肯定百位越大越好，百位越大就是735，它这个越大是吧？七在百位。然后这是十位，这是个位，然后最小。最小就375是吧？这个最小，

这个就375好，那么它的差值我们就可以写出来，差值就735-375。将近360答案就求解出来，正确答案应该选择a选项，所以这道题大家要会讨论组成。什么样的三位数是吧？然后呢？考试跟这道题类似，它有像有的题考难点，还要结合排列组合来进行分析。所以在排列组合里面也会出现一些数字的排列组合，根据它的整除啊，倍数啊，结合一些质数啊，

这些特征来进行分析和思考，得要掌握这样的做题方法和思路。好，我们来看一下例八这个题。a是一个质数，并且a+6 a+8 a+12 a+14都是质数啊，那满足最小质数。a的值为m则m方加m+1到底多少？所以这样呢，在考中那么字数的相关的表达式就列举讨论就行了。所以大家一定要掌握住啊，采用列举讨论的方法来进行分析和思考，好，那接下来咱们看一下啊，怎么样去列举讨论？

好那么呢，这个a这个质数要么就是什么二三，我们就从小到大来列了二三五七来列a=2肯定不行，因为二加六二加八二+12。这个它就不是质数了，好二呢，发现这是不可以的，三三+6它就不是质数，这个是不可以的。然后再看五五加六十一五+83，这都可以五+12得到是17，五+14得到19，这个是满足的，如果这个满足，后面就不用再试了，

因为它要求是最小的。最小的，所以我们就可以找到这个最小的就是。九十五九十五那么m 8+m+1就可以得到31，把它带到里面去就可以得到这个结果，好正确，答案应该选择的是e选项。好看，各位同学是不是听懂了掌握它的做题的答题方法和思路？下面咱们再看一下互质的概念。就是公约数只有一的两个数啊，称为互质的注意，不一定是质数才是互质啊，要注意这个概念啊。好，

接下来咱们看一下例九这个题，下列说法正确的是什么a选项只有两个质数才会是互质的？好，这个错了，它俩合数也可以互质。b合数与质数必然是互质的。那这个不行，比如说合数四质数有个二，这两个它就不是互质的，对吧？这个就不可以。对吧，好它不是互质，或者说比如说九。还有三。

九是合数三呢？是质数，这两个它也不是互质的。c两偶数有可能是互质，那不可能两偶数，它公约数肯定要有二，所以它不可能是互质的。两合数有可能是互质，这对人家说的有可能没有说必然。有可能比如说四跟九啊，都是合数是吧？这两个是互质的。然后两个奇数不可能是互质啊，这也错了也错了，比如说九和13。

九四是奇数，13也是奇数，它不可能互质它，它就是互质啊，所以说在这里面啊，掌握它的一个。基本的概念和内容看是不是明白了，要掌握它的方法，这些概念不要出错了。

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