069.专项十四-题型34～36

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:51:44

下面咱们看题型34几何，距离长度最值问题几何，距离长度最值问题，此类题目比较灵活需要。借助图像或者借助常见模型来进行分析，比如求距离的和或者距离差是吧？一般呢，就是距离和。它求最小值。啊，还有距离差。一般求最大值。好，那这时候呢，你可以画图结合，

几何意义来分析是吧？有时候还要利用对称来进行分析和求解。另外，还要结合三角形的三边关系是吧？所以要结合对称呀，还有三角形的三边关系。来分析，比如对称。啊三角形。三边关系。啊等等来分析。啊，最值就可以了好，这是几个距离，求最值的基本方法和思路。

好，这个题是啊，中中线中线的模模型，我们给大家写写。啊，如果。两边长分别是AB，然后求这条中线，它的取值范围啊，假如这是中线。啊，中线它的取值范围好，中线它取值范围在这里面，我们呢就可以采用那么这个做一个辅助线的方法，再找一个终点。

然后在这个三角形里面，我们用啊，那么这个。三角形三边的关系来进行求最值是吧？好，这是三角形的三边关系，所以中线的长度。好，大家知道这个边长就是二分之a，这个边长就二分之b是吧？所以这个边长还有这个边长，因为这两点都是中点是中位线。所以在这里面中线小于二分之a加b。大于二分之a减b的绝对值好，这是中线它的起值范围，

给它进行推导的。当然，也可以用这个极端的方法，比如角a趋近于零啊，还有上面的角趋近于180呀，用这种方法来做，这样也是可以的，好吧，所以这是它的这个中线，大家记住。它的一个小窍门儿，这个题这个题就用刚刚咱们讲过的啊角a在零到派中变化，它的中线中线的话，那就记住咱们刚才讲过的结论就可以了。那小于啊，

二分之六加四大于二分之六减四，所以中线它的长度。就在一和五之间就可以得到答案，这些答案就选择b选项，而且它做题方法思路，这些答案就选b它的考试内容和要点。接下来我们看这个题已知圆的方程，知道过圆。这该圆过某点的最长弦和最短弦，这这道题考的最长弦和最短弦。分别是AC和BD，则四边形abcd的面积到底多少？好，大家第一步首先要把这个圆方程给它进行配方。变成x- 3^2，

加上y- 4^2。这要等于个25。可以把配成x- 3^2+y- 4^2正好等于25啊，这个配好了啊，配成x- 3平方，加上y- 4^2。这样等于25，然后接下来我们再来看一下。大家知道这个点正好呢，它在圆内部是吧？好，假如这个圆心坐标在这个位置。啊，这是圆心坐标，在这个位置。

然后接下来我们再来看啊，那这块儿。就是这个三五这个点叫圆心坐标是o，这个点是p点。讲到p点就是三五这个点。然后然后圆心坐标就是三四这个点。接下来，大家要知道过圆的一点，最长的弦和最短的弦，最长的弦就直径啊，大家要知道最长弦最长弦，它是。AC是吧？就是AC。好，

这张弦它是AC，所以这张弦AC最长弦就是直径。啊，直径它的半径正好为五嘛，半径为五直径，它正好为十啊，半径为五，它直径正好为十，所以最长线就直直径。然后最短的弦，我们看最短的弦。好，这段弦这段弦的话就是垂直啊，垂直跟这个是是垂直的弦啊，就垂直于什么呢？

垂直于过p点跟它垂直的弦。垂直于这个OP就垂直于圆心跟p点连线，垂直显示最短的好，这是是最短的。好，这段弦哈，那咱们根据弦长公式可以写一写。这段弦这个BD我们就可以写出来了，BD又等于二倍的根号下r方减d方r方减d方，它半径r是等于五。减掉dd这时候这两点的距离，就不用去求了，因为它的x坐标正好一样，x坐标都为三，它正好一样的。

所以它y坐标差值正好是一一，所以说它的距离正好就为一。啊一，这样的话就得到四倍根号六啊，四倍根号六，所以这个最短弦就可以写出来。这样先写出来，然后这时候它这个四边形的面积，我们就可以看看四边形的面积。好abcd它的面积。大家注意对角线互相垂直的四边形，它面都等于对角线相乘除以二。就是二分之一AC乘以BD啊二，二分之一AC乘以BD就是这条线相乘除以二就行了好吧，这样可以算出二分之一AC的值十。

比例值。是四倍根号六。然后这样答案就可以求解出来，然后这个算式就等于20倍的根号六。这呢，应该选择b选项好，这是它的做题方法，看是不是懂了啊，所以大家记住这道题，大家听完后收获就是过圆了一点，最长弦和最短弦要会分析。另外，大家还要知道，那么它这个对角线互相垂直的四边形的面积，面积就是二分之一，

两个对角线相乘。好吧，所以在这里面大家要注意它的特征啊，就对角线互相垂直。对角线是互相垂直。的四边形面积。s又等于二分之l一l二l一l代表它对角线啊l一l就代表它对角线。好，这是它的考试方法和思路，看是不是懂了啊？好，咱们看这个题。已知圆c1的方程是这个c2方程，这个好，这个圆它给的是一般式给的，

一般式各位同学快速在研导纸上进行配方。配方目的找圆心和半径，然后a点在圆c1上运动，b点在c2上运动，求AB它的最近。最短是多少？这当然也也可以求AB最长了好，各位同学都加油，看谁会做啊？啧。第一步，先给它配方啊，大家一定要用代数，咱们学过的平方配方知道吧，把它配一配。

配这个可以把它配成x+2^2。加上y+5^2是不是是不是可以配方呀？这个第一个语言，我们看看等于几啊，等于四吧，大家检查一下是不是这样的，你配完以后是不是这样的？这第一个圆的配方。好，它的圆心正好是负二和五。负二和负五，它的圆心。然后半径r正好就等于它的圆心坐标，咱们用用这个c1来表示好吧，或者用ao 1来表示也行，

用o1来表达圆心吧。OK好，有同学已经做完了，做得非常棒，然后呢啊r就等于二是吧，然后c2。C2C2这个语言大家有没有同学配方，大家一定要配快点儿x- 4^2。加上y- 3^2，应该等于九吧？检查一下是不是这样的？然后它的圆心正好是四三这个点。半径r呢，正好等于个三，当然大家在之前学过知识点，

还掌握什么让你判断两圆的位置关系，或找两圆的公切线。是不是啊？有几条其实这道题也可以让先求判断两圆的位置关系是什么？两圆位置关系首先呢？要求出ou 2知道吧？这个d就等于ou 2先把两圆的圆心。具体给它求出来，如果要判断两圆位置关系的话，第一步一定要先求d。d的话，大家会不会求解dd就等于根号下？然后在这里面，大家呢，用咱们两点去工作，

负二跟四，它这两个差值负二跟四差正好六。正好是六。然后三跟负五，三跟负五，它的差值正好是八。三跟负五的差值正好是八是吧？所以大家记住六八十。好，大家知道六八使它大于r 1+r二，因为r 1+r二它是五嘛，看r 1+r二它正好是五。25其实这两圆是外离的，知道吧？外离的话，

咱们前面学过外离的话，它一共有四条公接线，有两条外公接线，有两条内公接线啊，所以它还可以这道题改成判断两圆的位置关系，这个考点属于相关联。知道吧，所以它是外离的两元。万一这个坐标系，我就不画了好吧，坐标系就不甭画了啊，就咱们呃做题，我再强调几几何呀，在考试和做题中基本上没有图。没有图的话，

我们就能不画图，尽量不画图。因为画图考试没时间。然后必须画图的话，咱们看能不能画一个草图？好吧，画个草图画草图就不画坐标系画一个示意图，如果草图不行，然后再画精确图好吧，所以咱们画图简直就是。呃，能不画就不画，必须画的时候咱们看画个草图草图，如果不行再画坐标系，反正就是总之就能偷懒就偷懒。

好吧，然后这道题大概是这样的啊，坐标系我就不再画了好吧，反正大概就是这边儿一个圆。啊这呢，又又是一个圆。是吧，然后大概就这样的吧，反正这画哪儿都无所谓，就这样的。好，这这一个小小一点儿，这一个大点儿，这两圆是外离的，那要求最近的距离最近，

各位同学都做完没有？假如这是o1。这是o2。所以大家一定要先求出o2长度，然后呢，这时候呢，这个a点和b点，然后在这个位置时候是最小的是吧？这一块儿它是它是最小的。能能懂吧，就这样的最小。最小就是d减去r一减r二，这个能懂吗？就十减去一个二，再减一个三。

就得到15好吧，得到15这些答案选b。选b如果这道题要求最大，你们会不会求啊？谁快速回答一下最大啊？最大比如两圆上最大。谁回答出来了，看看。最大音有没有同学回答出来？唉，最大就15。啊，最大就15是吧？如果改成最大值这道题，就选择e就行了啊，

选择e啊，这是给大家先讲这个题，这个题就是两个圆，它的位置关系啊，两个圆上点，什么时候最近啊，什么时候最小啊？然后这时候大家呢，又会分析和思考好看这个是不是听懂了它的考试要点啊，要明白。好，那接下来大家一起加入做这个题。由直线y=x+1上的一点向圆引切线啊，问这个切线长度最小最短是多少？好，

大家想想这个题，这个题里面不含参数m，这个其实要简单一点啊，就y=s+1。y=x+1这条线，为了帮大家理解，我可以给大家画一个图好吧？画一个图像，这个圆引线，这个圆，这个圆的圆心也很好找，对吧？这个圆圆心正好三零点。这个半径r正好等于一，它的半径r正好是唯一的，

它圆心坐标正好三零点，那么三零点大家知道这个圆的圆心在哪个坐标轴上想想？回想一下啊，如果圆心的坐标正好三零，这个点你想想圆心的坐标。圆心位于是哪个坐标轴？是x轴还是y轴？都想一想，思考一下，回想一下。然后那个直线方程，大家要要知道怎么画啊？直线方程。画快速，画直线的方法什么呢？

快画直线方法只要知道两点就可以啊，只要知道两点就OK。是吧，然后两点定一线嘛，只要掌握两点就可以了，所以大家以后快速在坐标系里画直线，它的方法就是我们只要。把两点解掉，两点解掉，两点一连就可以画一条线。好，那大家都思考一下这个题，我们想一想。啊，做完同学可以选选答案啊。

好，它圆心坐标正好在三这个点。这是一，这是二，这是三，好吧啊，大概呢，就画一下它这个图。好，假设这个点是一，这个点是二，这个点三好吧，圆坐标。在三零点。半径r正好为一嘛，

这个能看到吗？半径r正好为一。好，那接下来y=x+1 y=x+1这条线这条线知道怎么画比较快吧？当x=0的时候y为一。当y为零的时候x=- 1，那这条线就可以画出来了是吧？一个是一，一个是负负一这样的。然后这是一这是负一，然后这个是零。是吧，然后这个是零好，那么接下来图都画好了，大家都思考一下，

给他点儿时间都琢磨琢磨，想一想应该怎么做？好，那这条线上一点向圆引这切线。怎么样让这个切线要短一点是吧？怎么引这个切线要短一点？想一想啊。现在咱也不知道在哪引起眼，咱们随便画一条好吧？咱随便画吧，咱也不知道是在哪，咱先随便画吧。好吧，反正咱也不知道在哪，反正它过这个直线上画线线可以画两条啊，

它其实求其中一条了啊。求其中一条就行了啊，它都可以画两条的，左边一条，右边一条知道吧，咱们就画一条好吧？因为咱也不知道是在哪，就画一条算了。啊，咱们画在这个位置吧，画这个吧，咱也不知道是在哪儿，随便画吧。好，这是p点，

这个切点是AA点好吧，这个切点是a点，记住啊，考试时候一定要连接圆心，你知道吧，这个必须把这个跟圆心都给它连在一起。叫圆心坐标。啊圆坐标是o好吧，啊圆圆坐标是o。啊，圆心坐标，咱们就是o。好了，那么它其其实让求谁啊？求这个PA注意，

它有两条线，另外一条线咱不画，只要求一条就行了啊，大家看PA。应该等等于什么想想PA？大家学过直角三角形勾股定理，有印象吧？这地方是垂直嘛？其实这是勾股定理对不对？垂直是不是？垂直垂直的话，在勾股定理，勾股定理的话，那接下来我们呢，就可以看出它的这个数值。

用勾股定理嘛，就等于根号下。OP的平方减去一个r方，其实这个就半径r，看看是不懂了。是不是然后大家知道这个半径是固定的吧？半径在咱们这道题半径r是等于一是不是半径r是不是就为一固定的？就等于根号下OP的平方减一。这一步看是不是听懂了直角三角形看？这个懂不懂？接下来大家想想要求这个PA这段长度最短。PA长度最短，大家想想，只要让OP最短就行了是吧？只要让OP是最短的就行了，

那OP最短，大家知道一个点到一条线，那怎么是最短啊？想想。一个点到一条线，你觉你们觉得怎么是最短？啊，一个点。到到这条线具体怎么最短？你想想，我们只要让OP越小就好，对不对啊啊？OP小是吧？这个OP越小，那么PA就越小，

所以那显然只要是OP。越小那么p，它也越小。那肯定就垂直嘛，就这样哈，这个OP它怎么是最小？肯定是这个垂直过来是是最小的，这个能懂吧？看有没有印象，所以这个OP它应该是这样过来啊p点运到这个位置时候，它应该是最短的是吧？它应该是是是最小。是吧，接下来大家看看OP最小应该怎么做啊？oop最小应该怎么做？

OP，这个值怎么做？大家可以用圆心到直线距离来做好吧？圆心到直线距离大家一起来求一下，圆心到直线距离。还有一种小窍门儿什么？因为这道题这道题直线斜率刚好为一，刚好为一，这是45度45，大家也可以用这个等腰直角三角形做。也可以求OP好吧，这是一个等腰直角三角形，这个也是啊，这个形形的啊，所以说这个OP当。

COP垂直。垂直这个直线l时。这个OP是最小的。对啊，好大家套一下，点到直线距离公式好吧，套一下点到直线距离公式看大家还有没有印象啊，套一下点到直线距离公式好三零到这个直线距离应该怎么做啊？三零。到这个直线好，这个直线应该怎么写？直线是不是把y可以移过来？一定要把直线弄成一般式啊，一定要把这个公式记住x-y+1=0。它的距离。

d大家还记不记得公式是什么呀？又忘记了吧是吧？一个点到一条直线的距离，看有没有印象是吧？然后。那些就根号下a方加b方嘛？a方加b方就根号下一+1，然后把三零点带到里面去。然后正好呢，是四除以根号二就等于二倍根号二。是吧，就等于二倍根二好，这个这个OP最小就叫二倍根二二倍根二，把它带到里面去。把带到里面有没有同学算出答案来，

把这个OP正好等于二倍根号二带到里面去嘛。所以当。这个OP=2倍根号二的时候。那这个PA的最小值。有没有同学算出来，其实它最小等于几啊，就二倍根号二代到这个OP平方嘛，大家知道二倍根号二的平方是不是八呀？八减一是等等于几啊八减一。是不是有根号七啊？有没有同学做出来根号七？这些答案是不是选择c选项？大家想一想，这个是不是听懂了？所以呢，

应该选择c它做题方法，看是不是明白了啊？所以通过这道题，大家呢，要知道的基本方法啊，这道题容易做错的一个思路，有同学呢，就想到什么？想到然后然后这期间这样做啊，这个想到这个AP跟这个直线垂直了啊，不是AP跟直线，是OP跟直线垂直，懂了吧？好，这是给大家强调它这个方法啊，

它是。怎么样去啊？求它最值，大家还是要想到勾股定理，所以以后注意相切的时候一定要想到垂直，想到勾股定理，然后勾股定理就可以得到答案。啊，这样就写出来了。好看，还有没有什么疑问？好，另外那么求这个距离还有一个方法是什么方法？还放刚才说了，咱们用这个等腰直角三角形是吧？

因为这个角刚好是45度啊，可以用大家知道从负一到三。从负一到三的长度是不是四啊？从负一开始到三的长度四四的话，然后这个正好是一个等腰直角三角形。等腰直角三角形的话，那么这个直角边正好是斜边除以根号二，所以拿这个四除以根号二。四除以根号跟这个是一样的，发现没有？跟着用这个距离公式做是一样的。啊，所以答案都是一样好看，这个是不是听懂了？看明白没有啊？

好，接下来咱们看这个题。它它是这个q点在这个圆上p点这个区域上求pq两点距离就是p点在一个区域上运动q点在另外一个上面运动两图形运动看。pq最小你这道题可以求最大。好，那接下来我们把这个图给大家简单画哈，这道题比较简单，因为这个它正好是水平线啊，这道题呢是比较简单的。它正好是水平线，这样就可以求解出来是吧？所以这个题答案就很简单。然后接下来我们来看一下它的这个取值情况好吧，就看一下它的它的值。画一下它的图。

画下它的图，然后点p在这个平面区域内。然后点q在这个曲线上，那么pq的最小值好，那大家可以看这个第一个第一个2 x-y+2大于等等于零，应该在下方。是吧，应该在这个直线下方，然后s+y- 2小于等于零小于等于y前面系数正的，然后这小于号也在下方。这应该在上方是吧？因为y前面系数正的比我大于号，就在上方好，这个写好了，接下来接下来我们看第一个图，

第一个图当y=0的时候s为一。啊y为零的时候s为负一是吧啊为负一。s为零的时候y为二。好，这样我们就可以画出它的图。好，这是它在它下方。然后第二个，第二个就相当于是x为零的时候y为2y为零的时候x为二啊，正好它这样的一个图。这也是二，这也在下方。好在，在它下方，也在它下方，

然后这是。y大于等于二分之一，y大于等于二分之一啊，这是二分之一这个点。二分之一的点，它应该在它的上方，这个线上方好，那维承图我们就可以给它画出来。是吧，维恩图给它画出来。好，这个区域我们就可以把它画出来，看到没有？这个区域就画出来了。好，

然后这个圆圆也比较简单，圆正好它的圆心正好在y轴上是吧？半径正好为一。所以这个圆这个圆正好在y轴上，半径刚好也为一。啊，正好是这样的一个圆是吧？然后这样就可以求解出来。啊，这样这样一个圆，它的圆心正好是在负二这个点。半径r正好为一这样的一个圆。好，那大家显然可以看到它最小值最小值p点，正好在这个点p点在这个点q点在这个点时候它最小。

是吧p点。在这个位置q点在这个位置收那这一段儿它是最小的，可以看出来是吧这一段儿？这点它是它是。最小的是吧？这样pq它最小好，那这块儿这块儿长度这块儿长度是负一负一p点是二分之一，所以在p点在。呃，零二分之一的时候。q点在在零负一的时候。好，这时候pq它最小最小就二分之三就求解出来了。最小就是二分之三。啊，

这样写好了。好pq最小。这等于二分之三。这个大家选择a选项。这样写好了好，如果这里求最大值，求最大值的话，那就要看几个点了啊，看几个点，比如说。有可能在上面是最大的啊，有可能在这边儿是最大的是吧，有可能在这边儿，反正这这几个比较一下，你看右边右边。

右边最大化，你先找这个点到圆心到圆心，距离圆心距离，然后再加上半径，有可能在这儿最大。啊，有可能当然有可能在这二点到这块儿是最大的，反正这块儿你要比较一下啊，比较完看到底哪块儿是最大？最大化那它的位置你都要都要比较这几个位置，看哪个是最大的好吧，就这个点跟这个点看起来好像应该大一点儿是吧？好，那这是求解最小值或最大值它的这个概念。下面咱们来看一下题型，

35几何面积，求最值解求面积，求最值先建立面积的表达公式，然后再有单调性矩阵定理。和二次函数等分析，求最值就行了。然后面积表达式，比如说它是一个什么函数，它单调性，有时候呢，它面积表达式正好是一个矩阵定理，有时候它正好是一个抛物线。对吧，所以还是把命运转换成咱们之前学过的，求最值的常用思路，

常用工具来进行分析和思考就可以了。而且面积它就是比如说一些三角形面积底乘以高，你可以转成距离来求最值，比如说底多长高多长，然后来进行分析。和思考就可以得到答案。好，接下来咱们看一下，其实这个题就用上一题结论，圆c的方程知道点c为圆心直线啊交圆c。啊交圆c与AB两两点这道题你画不画图都没关系，而且这条直线也是横过定点的线。则当三角形ABC面积最大时，则直线l的斜率到底是多少？啊，

斜率到底是是几？其实这个咱们画个示意图吧，咱也不用去画精确的坐标系的图了，大概是这样一个情况，比如说一条线。然后这个圆心呢，是c点，他跟这条圆分别交AB两点。AB两两点好，那那就要求这个三角形ABC的面积就是三角形，因为大家知道三角形ABC。应该等于二分之一AC乘以个BC，再乘以个夹角sinc是吧？sinc。大家知道AC和BC都是圆的半径是吧？

就等于二分之一r方，然后再乘以sinc。大家知道当那个夹角等于九十度的时候，它面积最大是吧？当夹角等于九十度的时候，面积最大，所以这sinc。等于一的时候，它最大是吧？如果sinc要不是一的时候，它就是面积比较小，所以这时候呢，我们呢，就可以看出这个圆圆给它配方。主要找到它的半径。

匹配呢s- 1^2加y方等于一啊啊等。唯一唯一的话，这个r这个半径就唯一了。半径就为半径就为一，那也说它这地方刚好是九九十度，正好是等腰直角三角形的时候，它想求k是吧？如果要求这个幂这大值呢？很简单，这大值的话s max。就等于二分之一了是吧？如果要求它面积最大值，那面积最大值到底是几就选二分之一？他问实验斜率k是吧？直线斜k呢，

这要是一个等腰直角三角形等腰直角三角形，大家可以发现什么就圆心到直线距离。他他这个这个正好等于一个半径的，就是二分之根号二倍是吧？这就就用圆到直线距离来分析了啊，所以在这里面我们看一下圆心。到直言距离。啊，原先呢是几啊？呃，原先是多。多少圆心坐标正好是一零点是吧？圆心到直线距离。到ks-y+2-2k=0，它的距离d。

d等于根号下。a方加b方，然后把一丁点带到里面s等于一y等于零带带到里面去啊I等于一y等于零带到里面去带到里面就是二减k的绝对值。是吧，把s=1。y等于零带到里面去就二减k的绝对值正好等于一个二分之根号二倍的r。这二分之根号二是吧？所以这个这个长度正好是二分之根号二。好，那这个然后怎么样去解咱们前前面讲过怎么去解？下面有根号，上面有绝值，这样的方程是吧？所以在咱们解几何里面经常会遇到。这个下面的根号上面绝对值，

那用用平方法来解就行了，平方法。平方法就是k方加一，上面平方就是k方减4k，加上四好吧，它平方平方就是k方。k方减四k加四，然后这块正好就等于二分之一，然后把它这样写一写就可以了，好吧，所以这样呢，就是右边平方，然后然后再交叉相乘。就很容易解，就2k方减8 k+8。

然后就再减k方减一，它为零就交叉相乘，然后再移项再移项，这样就可以写出来，就很容易得到k方。减8k，加七，它为零。啊，那k的值就有两种情况是吧？有两种情况也就是这种情况，或者说另外一种嗯情况。啊，这种情况都OK的。好，

那k的值就等于一。啊，或者七是吧？这样十字相乘，因式分解就可以得到他的这个数值。好，那么k=1或者七，然后正确答案就选择的是c选项，答案就求解出来了。好，那这道题就第一步，首先要知道这个三角形面积，如果两边长度是固定的，都是半径，两边长度如果固定的话，

当夹角为9度的时候，它是最大的好吧。所以这个角c它一定等于9度。啊，这个角c=90度，角c=90度的时候，这是最大，所以角c=90度，这是一个等腰直角三角形，然后再转换成圆一到直线距离。然后利用这个等式，然后把k求出来就可以得到答案了，看各位同学是不是明明白了？好，那做题方法要弄清楚。

好，那接下来咱们看一下这个题。直线l横过定点。横过定点且分别交x轴y轴的正半轴于点a和点b啊，这个正半轴既然交于正半轴的话，说明斜率肯定是负的。对吧，然后o呢？为坐标原点第一部分当三角形aob面积最小时，直线l的方程到底是多少？啊，第二个当这个MA×MB取最小值时，问直线l的方程还可以再增加一步啊，再增加就MA+MB取最小的时候。是吧，

所以在这道题，它有几种做法好，那接下来咱们呢来看一下这个题，这个题我们看看，首先呢，要把这直线写出来。首先写的这道题呢，有两种方法做一种呢，是用这个。啊斜啊点斜式另外一种，这种截距式两种方法都可以好吧，所以条件一，然后给大家用两两种方法做啊。一种是点斜式。啊，

就提就第一问，第一问咱们用方法一。啊，用点斜式来表示。底下是呢，直线l可以设成y=k倍的x- 2+1是吧？因为横过二一点这样斜率。k呢是小于零的啊，这个k是小于零好画一个图，你就可以看出来。他经过二一点s=2的时候YY为一，经过这个点。啊，这个点这个点是二一点。啊，

经过二一这个点，接下来我们要找这个截距。是吧，找这个这个截距值，其实大家发现让x等于零的时候可以算出y的截距x等于零的时候算y截距一减二k。就s等等于等于零的时候啊s为零的时候算成y的截距，然后再让y等于零的时候算成s截距s截距就是二减去k分之一。是吧，这两集算出来算出来，然后接下来我们就可以算出三角形面积s等于二分之一底乘以高二减k分之一。乘一个一减二k，乘一减二k，这样就写出来了。好吧，这是他的这个方法，

这样我们就写出来了，写到那这个is写到这以后，那接下来我们把这个括号给它乘开乘开，稍微化简一下。等于二分之一这个括号里面就相当于是二，加上这两项呢，又是二二，加上就是四了。四减去k分之一，再减去一个四k。是不是这样的好，这样的这样大家知道k是小于0k小于零，咱们在讲平次定理的时候讲过要变号是吧？把这个负的变成一个整体就行了。等于二分之一这个括号里面四加上一个负的k分之一，

这个变成正的了负四k，这个变成正的变正的就可以用平行定理啊，这个括号都是正的。这样的话，这两个就可以变成大于等于。二分之一这个四加上二倍的根号四是吧？这样就可以求出它面积的最值面积，最值最值它就为四。啊，这这值就为四这样就写好了，是不是这样就写出来了？看大家是不是听懂了，然后什么时候取等号？当这两个相等的时候取等号，就当这个当这个负的k分之一等于一个负四k的时候。

好，那这样就可以取的话，就k一定要取负二分之一啊，因为k是小于零，还有一个正的就舍掉，因为它这个k方解出来有两个值，知道吧，两个值两个值咱们。就取这个负的二分之一，好k等于负二分之一，这个直线就写出来k等于负二分之一，那只有a选项，那这个是可以的，对吧？所以a选项是成立的啊。

因为斜率知道了，然后这个点知道了，那这个方程就可以写出来a选项就可以了，所以这方法一方法我们可以用什么呢？可以用。啊，可以用这个截距式做也行，可以用截截距式做方法二。截截距式。所以我们设直线为a分之s，加b分之y为一是吧？然后这个设截域式，因为它过二一点过二一点的话。过m二一点，那么就可以得到什么情况？

得到就a分之二，加上b分之一，它应该为一，这样的话，我们来算这个面积s等于二分之AB。是吧，面积s就等于二分之一。AB，然后在这里面我用一下矩阵定理，大家知道这个a分之二加上b分之一直接大于等于二倍根号下这两个相乘是吧，然后这个值正好为一。这样子，这样为一这样的话，通过这个我们就可以把它变形成这二倍根号二÷1个根号AB，然后把它呃乘过来，

然后再平方就可以得到AB大于等于八。这个八怎么来的呢？八就是二倍根号二的平方啊，平方就得到八这个根号把它乘到左边来，左边正好是一嘛一，这AB大于等于8 AB大于等于八就可以算成s这个大a。等于四，所以它面积如果这道题题完一要问面积最小值是几，最小值就是四，最小值是几，最小值就为四，这就写好了。对吧，那什么时候取等号？当这个a分之二。

等于b分之一的时候取等号，当这两个相等的时候就取等号，那相等就说明什么？说明这个推出b呢，正好等呃a正好等于二b。a正好等于二倍的b是吧？然后这两项呢？而且这两项呢？这两相加有唯一这两个相加唯一每一个呢？都等于二分之一知道吧？每个都等于二分之一啊？就这两个是相等嘛，相等，然后这两个加在一起，它就应该有唯一唯一的话，

其实它这个每一个都等于二分之一，每每个都等于二二分之一。然后这样a的值就可以求解出来是吧啊？a的值就可以算出来。好a的值就等于a就等于4b又等于一个二是吧？所以说a的值。就等于4b的值就等于二。好，这样就写出来了啊，好，那这样就解出，解完后这个直线方程就可以写出来，好吧？a=4 b=2带到里面去，然后呢？

两边化简一下正确答案，就选择a选项。好，这种节约式来进行推导的好，那通过方法一和方法二，我们就可以得到一个结论啊，得到一个什么结论，一个小技巧好吧，一个小技巧。技巧大家可以发现什么？如果在第一象限过某个点，与它所在的象限构成的一个三三角形，比如说这个点要在第一象限这条直线构成三角形，一定要。也要在第一象限啊，

一定要也要在同一个象限，然后这个三角形大家知道这个三角形，其实这个点其实就是中位线的时候，它这个面积是最小的，知道吧，中位线中位线，也就是说这个一这个点正好是它的中点。终点等于二，正好是这个点的终点，也就这条线，这条线正好是一个直线中位线，为什么中位线咱们通过刚才咱们证明了对吧？证明了中位线的时候。比如说每个点都是终点，每每个点都终点，

它这时候呢，它的三角形面积呢，是最小的，懂了吧，所以到时候考试直接可以秒杀答案，秒杀答案有这个点，要是二这个点就直接就四。知道吧，然后这点要一，因为它终点嘛，这个点坐标直接就是二，直接就是二，直接就可以秒杀答案，秒杀答案，那这个直线方程直接就可以写出来。

好吧，所以以后呢，注意注意，这条线是中位线好，那这道题还可以考察逆向思维，逆向思维这样的，如果三角形要固定。让你们画这个矩形面积最大，矩形面积最大，也是沿着终点来画，矩形面积是最大的。知道吧，如果外定内大内部矩形要大要大的话，都是沿着中点画中位线。最大，

如果内定内定的话，就是内部矩形面积定，然后外面三角形要小外小外小也是中位线好吧，所以这个三角形里面如果画矩形啊。三三角形内如果画一个矩形，我们给大家进行总结，这个技巧好吧，把这个当做一个结论来记，这样话就更简单一些啊，所以大家呢，以后做题呢，就不用再推了。好吧，所以大家不管是三角形里面画矩形，求矩形的最大值，

还是求这个三角形最小值，那都一样啊，就只要是三角形。内画一个矩形。画矩形好，那么它就是。外定就内大。就外定就外面这个三角形，如果是固定的，然后内部矩形怎么样画最大就沿着中位线画就行了。啊，或者说是。或者是内定内内部矩形是固定的，像咱们这个题矩形是固定外面就比较小。啊外小，

这时候大家都用中点或者中位线。来进行画就行了啊，找中点或者中位线来进行画，这样就可以了，好吧，这给大家强调这个方法啊。好，这是第一个给大家进行总结结论，第二个咱们看当MA×MB取最小值时，直线l的方程。那么MA×MB，咱们就用这个点斜视了啊，用截域式的话，稍微麻烦点儿啊，用点斜式。

点斜视的话，在这里面大家呢？点斜视的话就用两点距离公式就行了啊MA。和MB因为大家知道这个a点坐标，就是相当于是这样的，这个在x轴是a点嘛，在y轴是b点嘛。是吧，所以a点坐标是二减k分之一零啊，所以第二问。a点坐标是二减k分之一零，然后b点坐标是零啊一减二k。是吧，然后m点im点坐标正好是二一点啊m点坐标正好是二一这个点。好m点知道了。

好，那接下来咱们要求MA×MB MA×MB只能用两点距离公式做了是吧？MA×MB。用两点距离共作，然后这两点距离公式就等于根号下什么东西啊，根号下横坐标相减就是k分之一的平方，加上一的平方。乘以个MB MB的话，就是相当于二减零的平方就二的平方，加上二k的平方。是不是然后这根号可以放在一起，放在一起就变成了一+k^2分之一乘以个这个四+4k方？是吧，反正这块儿这个写好了，写好那接下来我们呢就可以把它这个四呢，

可以提到外面去好吧，四提到外开到根号，外面就变成二倍的了。是吧，二倍的。然后这里面就剩下一+k^2分之一×1+k^2，然后把它乘开，乘开的话就变成一+1+k^2分之一+k^2。是不是这样的？然后做到这，咱们就可以用这个静止不等式了，他要大于等于二倍的根号下。然后这个这个就是二+2。因为这个k方分之一+k^2，他是取最小值为二，

前面一+1也是二是吧，所以这个呢就得到是四。得到四这样就写好了，那什么时候取等号呢？就当k方分之一当等于k方时取等号，那这个k呢？只能等于负一了，因为k它要小于零，知道吧？k的所有题刚才说了k的值必须是小于零的k就取负一就行了k=- 1的时候，那这个是成立的。好，你找k=- 1 k=- 1只有b选项是成立的，对吧？b选项它的k是等于负一的。

好，这样就写好了，这个呢，就选择b。好看是不懂了，当这里还可以再加一问，再加一问就求MA+MB。是吧，或者说什么的好m，这是它的相乘啊MA加上这个MB两个相加，当然这时候要加平方了，知道吧，要要加这个平方啊。就MA方，比如说第三个叫MA。

的平方加上MB的平方，这时候这时候呢，那这时候还用两点距离公式知道吧，两点距离公式两点距离公式吧，那这块儿呢，就相当于是。这块就相当于是呃，这个根号就不要了，因为它两点距离公式的平方嘛，平方就是相当于是k方加一+1。然后后面这块呢，他的连点距离公式是什么公式？就是四+4倍的k方。是不是这样的啊？就是四+4倍k方，

然后这样就可以写成五+k^2分之一，再加四倍的k方。然后做到这，大家就可以看出，这就用一下平行定理就行了，平行定理大于等于五，加上二倍的根号下四，这算式就等于九。是吧，上来就等于九，所以MA方加MB方最小值等于九，那什么时候取最小值呢？什么取最小值呢？就可以得到这个k方等于一个四倍的k方。好，

那推出这kk，他只能取负的啊啊，只能取负的。好吧，负的，所以在这里面相当k的四方等于四分之一k的平方等于二分之一k呢就等于负的二分之根号二。啊k等于负的二分之根二，这时候就可以了好吧好，这个给大家进行呃，改了这几个改了这几个啊，都可以用矩阵定理来进行推导好吧，大家呢，看会不会分析和思考啊？所以第二个技巧就是什么MA×MB要要最小化k的斜率是负一好吧，负一第一个呢就是找中位线好吧，

第一个g要找中位线。好，这是它的这个做题的方法和思路，第三个倒没有什么样的相应的结论啊，第三个大家直接求就行了。好，这是给大家进行总结的这个方法，看是不是懂了？好，那接下来咱们看这个题，然后这个题正好刚才咱们用那个结论讲了是吧？你看这道题是三角形面积固定，求这个矩形最大。是吧，刚刚正好用到刚才讲技巧，

你看这两个题啊，技巧就三角形内，如果画矩形就如果外定内大，一定要找中点是吧，就不用再求解了。是吧，不用再推了，你想推的话也可以简单给你推一推，你看这个题，这个题直接用结论做，直接就可以秒杀答案。你看a点是零二a点是零二，这是a点b点是一零，这是b点。啊，

这是一，然后这个是在AB这条线上取一点m，这m要在零到一就说明它一定要在这个内部。啊，这样好，这个是一个矩形，这是x这是ym点坐标是xy好为了矩形面积最大，矩形面积最大值呢，只能是中点。终点，而且大家还要注意这个矩形和三角形，其实就是面积正好两倍的关系啊，两倍的关系，所以这个技巧呢，还可以再往下这个扩充一下，

正好两倍，比如刚才咱们这个题。那这个人可以看一下这个矩形面积，正好为二啊，矩形面积为二，矩形面积为二，那这三角形面积就是它的两倍就是四。你看刚刚咱们做的三角形面积正好就为四是吧？三角形面积最小值就为四对不对？你看做到这儿也一样，三角面积最好为四，所以说这个三角形是它面积。是矩形面积的两倍好吧，是两倍。啊，

就沿着中位线画画出取最值。这时候呢，大家知道这三角形面积正好为一发现，没有看这三角形面积，它正好为一。因为三角面面三角形，一个是高为二，是不是高为二，高是为二，然后这个底呢？是为一的底为一，这个三角形面积为一，三角面为一的话，那距离面积就最大就是它的一半儿，最大一半儿就是二分之一，

直接用技巧。直接勾答案是吧这样就写上，所以这个矩形面积最大就s矩形小于等于二分之一三角形面积，它这个就等于二分之一。好，这就写好了，最大值就二分之一，好，这个结论就用刚才咱们讲的那要正的话也可以正正的话，那这个这个矩形面积就等于x乘以yxy的话再用一下相似相似的话，找到xy的比值或者说。或者说xy在这条直线上也行，在这。直线也可以，因为大家知道AB的直线方程。

AB方程，大家可以用什么？用极域式用一分之x加上二分之y为一啊，用极域式也行。是吧，那AB的方程，然后面积这个x就可以写成一减二分之y，或者说把y换成一个。换成一个二倍的。那二减二x做也可以，这个无所谓，换哪个都行，然后面s不等于x乘以y吗？是吧？就x乘乘以y。

啊x乘以y的话，你把y换下来也行y的话就换下来y换下来就是二减二x，或者说把它换成二倍的。x乘以个一减x，这样也行也行，这样的话，大家可以发现，你可以用抛物线做啊，抛物线做，或者用均值定理做也行，因为这个x是在零到一，它这个是正数。正的话，用基准定理做也行，用抛物线做也行，

就x等于二分之一时。他开口向下抛物线嘛s max就可以求解出来。就等于二分之一是吧？这样只有二分之一，这样就写出来，这样也证明s正好是它的中点是吧？是吧，正好是它它的这个终终点，所以这是中位线，所以以后就不用再正常，所以这两个题正好反过来求一个呢是已知。固定三角形问矩形面积什么最大，要要找终点，这这这都是终点，来来来，

找知道吧，每个点都是终点，这也是中位线。啊，如果要矩形固定，然后求三角形面积的最小值最小值，它也是终点啊，掌握这样的技巧方法，记住这样的结论，让做题呢会更快一点，看各位同学是不是明白了？下面咱们看题型36。两距之和与两距差的最值问题，两距和一般呢，就采用对称，

两距差采用三角形，三边的关系来进行分析。是吧，转成三角形，三边关系，反正就是距离和距离差这类问题要会分析和思考。好，那接下来咱们再来看。啊，这个题。fi等于根号下s方减4 a+13，加上根号下啊，这个s方减10s加二六+3，它最小值到底是多少？啊，

最小值。加最小值的这个方法啊，要会分析。好，大家思考一下它的这个求解方法。好，我们把这表达式给大家写写根号，里面肯定要配方。啊，遇到根号尽量给它配方来分析啊啊配方，大家知道这x方减4 x+13。是我们可以把配成x。减二方加上一个九。啊，因为这13。

可以拆分成四和九是吧？拆成四和九。然后这二六我们可以把它拆分。那26，26嗯，这个后面是s- 5^2，再加上一。是不是后面还要后面有个三？好第一步，大家一定要想办法给它进行拆分，拆分做一下变形。好看，这个懂了没有？然后这个九九呢，我可以把它拆成一个零减三的平方。

二减二方加零减三的平方。加根号下x减五的平方，加上零减一的平方。加上三。呃，前面这个这个这个根号，那我们可以把它看成。用几个法来做？知道吧啊，用几个法来进行分析思考。用几个法？啊，解法什么情况呢？就把它看成两点的距离。咱们前面学过两点距离公式啊啊，

两点距离。连上距离就等于根号下。x2-x一的平方y2-y一的平方是吧？这两点距离公式应该知道。啊，两点距离公式好吧，两点距离公式，它可以写成s2-s一的平方，加上y2-y一的平方是吧？这两点距离公式还有印象吗？有s二减s一的平方加y二减y一的平方好，这两点距离公式。好，那前面这个就可以把它看成啊呃，看成这个距离是吧？

所以可以把它看成。就前面这一块啊，一个说吧。这块可以把它看成x0。与二三它的距离。这个呢，可以把它看成什么呢？看成s0与。五一，它的距离。距离好吧，大家知道这个x0相当于正好在x轴上。它这两个相加，这两个相加，后面这个三先不管它加三，

不用管它。所以这两个相加就代表它到它。两点距离之和。好吧，我们接下来我们画一个坐标系啊来进行分析。好，大家看这块儿能不能懂啊？画一个坐标系这样画一个图，更直观一点好吧？好，这个二三二三这个点这个二这个三。好，这是二三这个点。然后还有五一这个点。好，

这个五五五一这个点这23这个点这是五一这个点。啊，这样的。对吧，这样这样，然后呢，接下来那么这个x0在这样x轴上运动，它到两点的距离之和最小。这是最好，大家还记不记得咱们做过对称，做谁的对称点都没关系好，你要做五一的对称点就对称到这地方。啊，对称过来对吧？然后两点一连就可以了哎，

还记不记得？啊啊呃，两点一点就可以了。好，这个x它运到这时候，那它到两点距离之和最小。为什么做对称就可以了？因为做对称以后，大家知道两点之间直线是最短。对吧啊啊，最短的就这样就OK了。是不是啊？两点直线直线它它这个。好，这就写出来了好，

所以说它这个最小值就可以求解出来，最小值就是这两点的距离，知道吧？这样距离这两点距离。啊，那么用两点距离公式就可以算出来啊，正好是五是吧？所以说它这个距离正好就是二三跟五负一的距离。有根号下三方加四方，这样等于五的平方知道吧，比如说它这个连点区域最小最小就是五。注意后面还要加上一个三。你后面它这还有个三。知道吧，这还有一个三好，

那加在一起，这样正好就等于八。这样写好好吧，那最小值最小值就等于八，这样答案就选择d选项好看，这块儿是不是听懂了？就这个题呢，它难点就在于大家一定要把这根号给它进行配方变形，配方变形以后，然后接下来我们呢？要把它转化为它的这个。这个距离形成转成距离，然后把它转成距离和啊距离和，然后用对称求对值就行了，好吧？

那这个就像利用对称。求它最值。运用对称来求它最值，这样就可以了好，这是它的方法，看懂了没有？啊，这是距离和如果要距离差。距离差它的最大值最大值就直接连就行了好吧，大家呢，要学会分析，这是距离和的最小值。啊，做个对称。当然还可以考距离差。

比如说你像这个题，这里就把上一题改成一个差值。这是求距离差的最大值。首先还是第一步，把它配方刚才已经配过了。把它配成s减二方，加上零减三的平方。减去根号下x- 5^2。加上零减一的平方是吧？给它进行配方。对吧，然后前面这个前面这个根号就代表是x0。与二三它的距离。好，这个值就是x0。

与五一的距离。啊s0s0与五一，它的距离好吧，它的距离。然后接下来我们再来看一下。这代表距离差啊，我们来画一个图。这跟咱们二三年考试就有点儿像了。画一个图。啊，假设二三这个点在这。好，这是二三这个点。假如这是a点，算了，

就二三。然后另外一个点是五一这个点。啊五一这个点在这。啊这儿，然后x0在x轴上运动，要求它距离差的最大，值距差最大值，这时候直接连就行了。知道吧，直接给它进行啊，连一下线。连接s在这的时候，这时候你看它跟a的距离，减掉它跟b的距离，正好就等于AB。

啊，这样等于AB，所以这个AB的长度我们可以算出来AB的长度。一常呢，用原点距离公式有根号下二跟五有三的平方。加上三跟一三跟一呢，就是二二的平方。是吧，这算出来就可以得到这样的根号13。根号13这样写出来，所以这个答案就选择d好吧，选择d就绝对距离差的最值，这时候就不要做对对称了。那不要做这个，这个差的值是最大的好，

这个原理什么原理大家知道，三角形如果s要不在这个线上，不在这个位置。而是说，在其他位置。第二个，它正好构成三角形，咱们知道。三角形两边之差，假如c点在这儿啊c点在这儿有ac-bc小于等于AB。因为咱们知道三角形，三角形两边之差小于第三边，什么时候取等号，当它三点共线的时候。它取等号对吧？

所以ac-bc小于等于AB，这样就写好了好吧，给它的方法就写出来了。好看，这个懂了没有啊？掌握它的这个思路。好，这个求出它的最大值刚好13，看明白没有？

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