068.专项十四-题型23～33

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:51:30

好，接下来咱们看一下三角换圆求对值啊，如果出现它两个平方相加等于r方可以利用s=a×r×cos阿尔法。y=b+r×s in阿尔法来进行分析，其它的基本原理就是cos方加s in方。这样等于一啊，用这个来进行分析啊，图片方加在线方，因为咱们三角函数考纲不做。要求所以这一块呢，就属于了解那个了解一点就行了啊，针对于想考高分的同学可以呢啊，学一学。啊，如果呢？

基础不是太好的同学这一块呢？可以不用掌握。好，接下来咱们看这个题已知x方加y方等于1x方加y方等于一。则s方加2 sy-y^2的最大值到底是多少？啊，求它最大值到底是为几的？好，那接下来我们来看这个题，它的求解方法。那么，大家知道这个给的是二次的，这个也是二次，而且这个减法，这个常规方法就不好做了是吧？

常规方法。那接下来这道题就属于一个创新的啊，了解内容啊，就用三角函数来进行表示最值。知道吧，所以这道题如果三角函数不太。了解同学可以不用掌握好吧啊，主要针对于想考高分的同学来说说啊，用三角函数那大家知道x方加y方等于一。我们知道cos。平方t+s in平方t它等于一是不是？所以在这里面大家呢，就相当于给它进行换元。好吧，化学用三角函数这个就了解啊，

就了解，因为咱们考纲上啊，没有三角函数，大家要了解一下。好吧，那给大家开阔一下知识啊，知识范围让大家呢，就多接触点新的内容。所以让大家了解一下。所以大家以后遇到两个平方和等于一，我们就可以想到啊，正弦和余弦，它的平方和和。啊，正好等于一一个正弦，

一个余弦，所以可以令x=cos或者x=s in这个倒不影响。s=cosine t。啊y=sint。等这个地方大家想不到，因为你不用三角函数，这个很难去求解，因为这个外方外方有同学用。啊，用一减x方往里带，往里带，但是这里面还是不好分析。对吧，带到里面还是不好分析啊。好，

所以说把s=cosine ty=sint，然后带到里面去，带到里面去，然后接下来就s方。加2 sy-y^2，我们就可以把它写一写。那这s方就等于cos平方。然后加上二倍的cosine t×sint。减去s in的平方s in平方。这样的是吧？点上线情况。好，这地方可能还要用到一点点三角函数知识啊，这二倍的cosine t=3 at，这样是倍角公式等于3a2t。

呃cos方减s in方就等于cos 2t知道吧？所以说在这里面这有个倍角公式。就cos 2t。像s in这个2t好吧，这是倍角公式啊啊，倍角公式得到这个得到这个，然后呢咱们？大家知道s in+cos，我们可以用啊，这个两角和差公式，你提出个根号二。啊，提出根号二提出根号二以后，正好这个变成啊，变成二分之根号二。

cosine 2 t+2倍的根号二。s in啊2t这二分之根号儿可以把它看成s in啊45度就s in 4分之派。啊，这个呢，变成cos 4分之派是吧？所以在这里面我们可以用倍角公式形成啊，两角和差形成s in。它加上四分之派。大加s in四四分之派好这样的好，那接下来咱们再根据正弦它的取值范围，正弦它取值范围，大家知道这个s in值。一个数的s in值肯定小于等于一的，而小于等于根号二。这样就写好，

那最大值就是根号二好吧，所以有同学还记得啊，记得这个45度是吧，有45度。它这个方法，这个要明白，那这样答案就选择a选项。好不懂的同学，我在这里面再把几个公式再单独写一下啊，第一个公式就cos方加s in方等于一，这个大家可能有印象。是吧，做到这这有个倍角公式，我写一下啊，就这道题往下呢，

给大家总结一下它的公式，一个s in。2t就等于二倍的。sint×cost就是倍角公式。然后cos 2t。就等于cos方。减三一方。啊，还可以等于一个。二倍的cos方t减一也可以写一减二倍的s in方t啊，这是倍角公式。啊，所以cos方减s in方就等于cos 2t对吧？cos 2t。然后这个怎么来的？

这个就把s in方。s in方t用一减cost啊，换一换，换完后就得到二倍cos方t减一。好，后面这怎么了？后面就把cos。方用一减s in方来换得到这个值啊，得到这，然后最后最后就s in。阿尔法加贝塔。s in阿尔法加贝塔就等于s in阿尔法cos贝塔。加上cos阿尔法。s in可以对它啊，是这样的一个公式，

知道吧？就是就是这样，两角和差公式啊。两角和差公式s in阿尔法加贝塔。所以说在这中间把这2t。啊，看这个贝塔。这个二分之根号二，把它看成一个s in 4分之派，知道吧？也可以把它看成最后得到啊s in。2 t+4门派到这个公式好吧，再给大家讲的它的这个两角和还有差它的公式。啊，这一块呢，

就会分析和思考。就这块儿，大家如果忘记的话，就是不做要求啊，主要是让写出来，然后想考高分同学呢，了解一下好吧，就咱们在几何里面有正弦定理啊，余弦定理啊之类的。是吧，然后会用一些好吧，这块儿呢，有同学基础特别薄弱啊，这块儿就不要求了啊，能想起来中学学的可以想起来用一用。

好吧，再给大家讲了它的方法。好，下面咱们看题型24韦达定理求对值，韦达定理求对值要先根据判别式来判断参数的范围。然后再跟参照范围来求最值知道吧，因为这个北达定理呃，它不仅对实根适用，对实根也要适用，所以一定要。要判断它方程有没有实根好吧，所以韦达定理它对实根对实虚根都适用。所以咱们考试都在实物范围里面，所以要验证它的判别式德尔塔。是不是大于等于零好吧，

要验证一下，这时候别给写错了。好看一下这个题设阿尔法贝塔是关于x平方减二倍的k- 1x，加上k+1=0的两个实根。则阿尔法方加贝塔方的最小值到底是多少？啊，最小值好那首先第一步，我们先用韦达定理啊，阿尔法方加贝塔方就可以把它写成阿尔法加贝塔。换平方减去二倍的阿尔法贝塔。对吧，可以写成二倍的阿尔法贝塔，那大家知道这道题两个之和两个之和就等于。呃，等于二倍的k- 1，

他的平方二倍k减一四倍的k- 1^2。减去阿尔法乘以贝塔。阿尔法乘以贝塔就相当于是k+1。是吧，所以说阿尔法乘以贝塔就等于k+1，然后这样把他展开展开就得到4k方。啊4k方减8 k- 8k，然后再减一个2k，相当减10k。然后再相当加上四再减二。现在加二是吧？加二所以这道题大家不要想到这个抛物线啊，那想到抛物线开口向上，它的对称轴有同学想到对称轴正好等于一个负的二a分之b。它对称轴k就等于一个八分之十八分之十四分之五，

所以有同学想到k等于四分之五的时候，它取最值这时候呢啊，就会出错，因为这四分之五能不能取到，我们还要看一下判别式。因为题目说了是有两个实根，所以我们要验证一下判别式德尔塔。当然就等于b方减4 AC啊，b方就是四倍的k- 1^2，b方减4 AC。要保证大于等，等于零，然后这四可以给它进行约掉，约掉就变成k- 1^2，减去一个k+1。

啊，大于等于零好把这个括号乘开这个变成k方。这是减3k，减3k，再减一个k就相当于减4k。是吧啊，这这这相当于减3k了，因为前面是2k。啊，因为这地方是2k嘛，再减一个k就3k，然后这个加上这个一跟这个一正好就抵消掉了。所以就可以得到那么大于就取两边，小于等于零或者k，大于等于三，

所以大家发现四分之五这个点，它就不在这个范围，不在这范围，我们讲过开口向上抛物线。它离这个对称轴越近，它越好，那看三和零谁离它近，那三离它呢？要远一点是吧三？因为怎么样判断远近呢？就三减四四分之五就得到四分之七零跟四分之五差值正好四分之五。是吧，所以说这个零要近一点三呢，要远一点，所以大家可以发现当这个k=0的时候，

那它有最值，所以这样的话，我们就可以写出来，所以当k=0的时候。当k=0的时候好，那这时候呢，他的ir方加倍方最小值就是二。l方加贝塔方最小值就为二。好，这个写出来好，这样答案应该选择e选项好，这是他做题方法思路，看是不是懂了？好，这是它的求解内容，

所以这道题陷阱就一定要验证它判别式德尔塔来进行分析和思考，看各位同学是不是明白了？下面咱们看题型25指数对数，求对值指数对数，求对数主要看它的单调性。啊，单调性单调性，然后转化为咱们常见的一二函数来进行分析是吧？大家知道这个底数大于一，它是单调增的。如果底数大于零，小于一，指数和对数都单调递减的。当然，还要注意这个对数定域啊，

还要注意对数它的定域。比如对数的真数部分一定要大于零是吧？所以要注意对数定义啊，写的时候不要忘记了。好，那这个题这题大家在必要时候也要先统一一下好吧，先统一一下，统一一下要用到咱们前面学过的公式啊a的。这个m×N次方可以把它写成a的m次，方括号N次方，当然也可以写成a的n次，方括号m次方。要把都给它统一一下，大家可以发现什么五五四四三三，它都可以分成一一来是吧？

所以这样大家可以发现a=3的五五五，可以把它写成三的五乘以幺幺幺。可以写成三的五次方括号的幺幺幺是吧，然后b的四的44可以写成四的四乘以幺幺幺。可以写成四的四次方括号的幺幺幺。然后再看CC呢，等于五的33，我33那33可以写成三乘幺幺幺就可以写成五的，三次方括号的幺幺幺。这样的情况。然后大家知道三的五次方就等于243。四的四次方等于256。五的三次方等于一百二二十五，所以大家发现他这都是幺幺次方。都幺幺次方幺幺次方，

我们看只要比较底数就可以了，比如大家显然256要大。对吧，然后125要小。这样就可以推出b的值是最大的是吧？b的值要大于a的值大于c啊b大于a呃大于c，这样就可以得到是b选项。这道题是统一指数是吧？把这个指数变成幺幺幺自我化解，所以大家要知道咱们的这个指数的一些运算公式套公式来分析和思考，看各位同学是不是懂了？好，接下来咱们看一下题型，26分式不等式，求最值啊。

当a大于零，小于等于b的时候，且m大于等于零的时候有这个。b分之a。然后分子分母都加上m比，原来分数大，有时候对一个真分数。对于真分数，它分子分母加上同一个数，它的数值会比原来要增大。比原来要增大。好吧，就这样的。这样的一个概念是吧？好，

如果这个a要小于bm要大于零，最后取大于号啊，就把等号给它抹掉就行。我们看考试，它能不能去等号？啊，这真分数。啊帧数，比如说十一分之七。然后11加四七+4。11+8，七+8是吧？那这个。啊，越加它越大，

大家这样想当这个m很大的时候，比如m成千上万的时候。这个分式它接近一就m，如果很大。这个a+m÷b+m，它就接近一了，原来是个真分数小于一的，它越加上m，它越接近一。知道吧，所以它的数值在增大好，这是题二六，它的一个特征啊，一定要理解它的原理，这样做题中我们就可以巧妙的把分子分母加上相同的一个数。

对它进行放缩和变形，这样来进行求解就可以了。好，接下来咱们再看这个题。假设xy都是正实数。啊sy它都它都它都。正正实数，然后则a大于b。啊则a大于bab，它要要求它们的大小。啊，条形一条形一这个a是一加x分之一，加上一加y分之一b呢？是一加xy分之一。啊，

注意条件，重新判断题比较大小。这是大家的最容易出错的点。知道吧，大家最害怕的点啊，那接下来咱们看条文一就这道题，我们怎么去进行分析就考察这个？这个分式变形和放缩知道吧，所以在这里面这道题还用到了一的妙用。还用了一的妙用好吧，好，那这个一看怎么去拆分？那这个a大家这个a大家不要动a的话，你如果分式分母通分通分越弄越复杂。对吧，

那些分母一通分，越用越复杂，这也得不到什么有效的信息，所以咱们就从b入手来进行分析，对吧？所以题往1b。b就是一加sy分之一。在这里面，大家要看跟他所求的这个，这个a有什么样关联？是吧，有什么观点？另外，大家还要注意咱们的因式分解是吧？好因式。

分解这块要要注意。啊因式分解，因为咱们讲过啊，等于xy+x+y。再加一正好等于x+1乘以个y+1。知道吧，所以一定要想到它的分解啊，为什么想到分解，因为大家知道这个分母。这个分母，这个分母。一相乘，你看它一通分，一相乘就出现了s+1×y+1，所以这块儿我们要想到啊，

这样的一个形式。所以接下来我们可以看让它分子分母都加一个x+y。是吧，都加一个s+y，因为都加一个s+ys+y正好正实数。啊，这块肯定要小。这块儿可能有同学就不知道啊，不知道首先大家知道这是一个真分数，什么是真分数分母肯定比分子大。为什么分母比分子大？你俩知道xy都是正实数x×y也为正的，因为正的就一+xy肯定比一要大。那比一要大，所以在这里面大家就可以看出啊，

是这样的情况啊，如果a大于b大大于零。大家知道a分之b肯定是一个真分数。对吧，就a分之b啊，它是一个真分数。因为分母比分子大真分数。好，如果上下都加上一个正数。啊，如果m是大于零的啊，如果上下都加上一个正的。m嘛，它它它都加一个正数嘛。都加一个正数m。

那这这大家知道这块它肯定要大。啊，如果理解不了，比如说。十一分之七。然后11+5。七+5就这个意思。知道吧，加上一个正数。然后吧，加上一个正的，加上正的，那这个数肯定要大。就这个意思，知道吧，

只要是一个真分数，它分子分母加上相同一个正数，加完后这个数肯定要大。为什么呢？大家可以采用一个极限的情况来理理解，比如我加了它，我加的不不是五。我加的是5000。我加的是五五千，大家知道加完5000以后这个数是不是接近一了，因为这个分子变成5007。这个七跟5000。是不是就可以忽略掉是吧？因为。七对于5000而言很小，

所以说看这个分子是5007，这个分分母是5011。所以它这个非常接近一，所以就明白了，它加的数越大，它越接近一，比如说这这是这是。加的是五。啊，这是加的是十。就记住它这个加的质数越越大，它这个分数值越大，因为它越接近一知道吧，越接近一一定要知道这个原理。好，

这个原理那就明白了，所以刚才咱们一加sy分之一，它是一个真分数。这个真分数真分数的话，那我加上。相同的一个正数，因为s+y，它也是相当于正数s+y，相当于这个m知道吧，这个m的值。所以加上正数好，这个加完后，大家可以看这个分母，它就可以把它通分分成x+1×y+1。是不是这样的，

可以把通分。那然后这个就变成一+x+y。好e+x+y，大家看一看。a这个分式，它一通分完以后，分子就变成x+1 y+1，所以说这个一还不够用，不够用我再给它。进行放松一下。再给他加一个一。是吧，有些地方分子再加一分母呢，不变了。分母就不要变了。

对吧，分母就不要再动了。然后分子做一下变化，就这样的好，这样的话，然后呢，就把这个x+1和y+1给它进行裂开。x加一和y加一给它列开就行了是吧？它列开列成列成列完以后正好就是一加s分之一加y分之一是吧？那正好减一加x分之一加y分之一。也正好就是a对吧，所以在这里面就可以得到b是小于a的b，小于一调成一，它是充分的，是不是这样的？

等于它啊，成分。看这个懂了没有啊？条一还是充分。好，所以说在这里面就a通分以后，然后你看反正就是左右开弓吧啊，就是从b如何慢慢慢化成这个a。好吧，所以在这里面大家呢，它这个方法啊，要知道。所以说a通分以后，它的分子比较多，一个一，

所以说这个地方可能大家想不到再给它加上一个一。那么就这道题比较难一点啊啊，比较难，然后条件儿不行啊，条件儿条件儿，因为因为这个一减sy。那你这样就不好变了。是吧，这个你就就就不好变，就就不好放缩，当然也可以取一个特值啊，来找反例条件儿。条件上可以找一个反例。比如xy我都取个二。sy都都取个二这个a的值，

我们就可以算出来。a的值就相当于等于一个负一+-1，这样等于一个负二。是吧a的值。好，然后b的值b的值就相当于等于一个负的三分之一。是吧b的值等于负三分之一，这a的值呢？显然是小于。小于b的值是吧？a的值是小于b的值啊，这个肯定是不太行是吧？所以条价呢？这个推不出来。反应只要找一个就可以了啊，

这个答案就选择a选项。要找好算一点的，找xy都等于二找好算一点的。这样就写出来，结果好，这是它的做题思路方法，看懂了没有啊？下面咱们看题型27无理函数，求最值无理函数，求最值主要根据无理函数的定义及单调性来求解就可以了。它定域，然后带调性，大家知道这个根号，它的定域根号要保证非负的。然后看它单调性是单调增啊，

单调递减，比如根号ax+b。啊a大于零的时候，它肯定是单帧的。a消二零的时候肯定是单调递减的。让它定义域，要保证as+b要大于等于零啊，要求出s它满足范围好吧好，这是它的。这个根号，它的一个求最值的一些方法啊，然后看它单调性，看它的取值范围来进行分析，它的最值。好，

那接下来咱们看一下这个题。代数式根号s，加根号s- 1，下根号s- 2，它最小值到底是多少？求它最小值啊，求它最小值的话，那在这里面大家首先看一下x取值范围。h fan就它的定义域。x取的范围第一呢，要知道第一个根号要要有意大于等于零，第二个根号是大于等于一，这个根号大于等于二。是吧，所以说在这里面要找它交集啊，

要找它交集交集，它们交集交集就是x大于等于二。对吧，交集就是I大于等于二这个写好了，这个交集就大于等于二。好，那交集大于等于二，那接下来我们再来看大家，而且我们这道题还要结合单调性啊，单单调性，大家可以发现它的单调增。是吧，都单调增的。s啊，因为s越大，

它每个根号越大，每个根号越大，几个单调正每个根号都单调正，每个根号单调正它加在一起都是单调正的。我给你举个例子，比如说你数学成绩在增长。逻辑层在增长，协作层也在增长，那你总分肯定也在增长，也是单调增的，是不是这样的？所以每一个嗯，每门儿课都在单调增，那总总分儿也在单调增。它这个意思就这个意思，

每一个呢都在单调正越来越大，所以它整个单调正，但是这样的话，它要求求最小求最小，那么x越小，它最小，所以当x=2时。它最小值就可以求解出来。啊，最小值好，最小值就为。I等一下就根号二+1是吧？第三个根号v0v0就不用再写了，所以这个呢应该选择b选项答案就求解出来了。好，

这是它的做题方法是吧？就结合它单调性，还有根号定义域来进行分析和思考啊。等到后面咱们还要讲画图时候，还要讲根号的图像，所以根号呢，要知道它的恢复性，还要知道它的这个等等价性，还要知道它单调性。是吧，然后比如说y等于根号x，比如说kx+b吧。kk I+b啊k大于零的时候，它是单调增的。k小于零的时候是单调递减的。

k小于零的时候是单调递减的，比如说y等于根号下三减二x好，那随着x增大，它这个越来越小，但是它定义域就是x小于等于。二分之三了。是吧x小于等于二二分之三，好在它定义域里面随着x增大，那么y呢，是越来越小的。好吧，越小好，这是它的这个单调递减，这叫单调性，给它进行总结一下啊，

好，那根号就是它的定义域，还有它的恢复性，这种特征还有等等价性。还有它的单调性，到了后面咱们还要讲它的图像，这样的话根号就掌握住了啊。当然，咱们去根号的方法，还有平方法去根号是吧？平方法去根号的方法就是平方法，平方法可以把这根号给大家进行去掉。是吧，我们呢，就可以通过这个平方法。

这样咱们在做一些不等式的时候，还有平方法。去根号。很好，去根号，还有这根号，它掌握这几个问题，第一个问题，它是非负性，第二个问题是。等价性第三个是单调性，第四个就是去根号的方法，然后第五就是它的画图。画图画画图的话，这也很好，

画y等根号下kx+b，然后在这里面大家注意。那如果k要大于零的时候，他是这样的一条线啊，这样画。好，那这个点呢？就是它的零点知道吧？我把这个坐标轴给它画上吧。比如这个这个点，这个点就它零点零点就是负的k分之b就根号等于零的点。看到等于零点，如果k大点就是往这儿画，当然这个点有可能在呃右侧啊，有可能大点或小点这个都没没事儿啊。

好，如果k要小于零的时候。k消零时候图呢，就这样画。图这样哈，当然这块儿大零小零无所谓了，就这个点极值点，有可能在左边，有可能在右边，到时候看它给的这个值了。好吧，反正它就是单调递减的，这样一一一条线好，这是五个方法，当然根号里面这咱们讲根号里面是一次的，

如果根号里面是二次的话，就与咱们几何里面半圆相关。是吧啊，这个半型号，比如说y=1个根号下。根号下，比如说一个常常数r方减s方好，这就是一个上半圆。还有是跟一个半圆有关啊，是上半半圆，这个咱们在学几何时候还要讲啊，所以根号就系统给大家进行总结，这五个问问题。看是不是掌握了啊根号的，它的一个取值问题，

当然遇到一些根号大家大家不定方程，还要会讨论好吧，会讨论分析。好，接下来咱们看这个题啊，如图所示，等腰梯形的上底。与腰均为x啊，上底和腰，它是一个等腰梯形等腰梯形就两腰是相等的。上底腰均为x下底呢，是x+10啊，下底x+10则x=13。题干一，我们看这道题就是重新办，

重新办理啊，如果题干没法往下划点，咱们就看条件就行了。题干一，我们看一下。大家看上底下底比是13比二三，就上底和下底比好，那上底是x，下底是x+10。12点十三点二三这个大家遇到这种比例问题，大家可以交叉相乘去进行分析。是吧，这样的话就很容易解出s，正好等于13啊，所以题号依然是充分的。

条件条件对于等腰梯形求面积，大家一定要会做一个辅助线，知道吧？做一个过上面做一个垂线，把高给大家求解出来。高给要求，而且大家注意等腰梯形两边呢，它是左右是对称一样的啊，左边和右边它它是对称一样的。左边的值和右边值，它这个是一样的，一样值，那这块儿长这块儿长度和这块儿长度好就下底减上底下底减减上底正好十。下列减上里，正好为十。

下列减上里，它为十为十的话，那左右对称就左右都是五，那五它高h就可以写出来。高hh又等于根号下h呢，就用在这个直角三角形里面，大家用这个勾股定理做就行了是吧？直角三角形用勾股定理做就x平方减五的平方。这样可以了好吧，根号下x平方减五的平方，这样就得到这个结果。20平方减五平方得到这个结果好，这个高，然后梯面就可以知道梯面就等于上底下底。上底加底除以二。

再乘以高。然后前面这个算法就等于s+5。乘以根号下x方减五的平方，它面正好等于216啊，面是二百一六好，这是根号的一个方程。根号一个方程问题。好，那这道题大家发现你不能说有同学把I=13带到这里面去，I=13带到这里面，正好算到216，这样的话，这道题是一个运气成分啊，运气成分因为咱们重新判断题，重新判断大家不能够。

通过上推下，知道吧？不能说不能说x=3像有的同学呢，就这样的啊啊像有的方程啊，它为了图省事儿。那主审人质疑，懒得解，懒得解，他把题干的值题干值，然后带到往下带啊题干值。带过来题干值带过来，带过来的话，然后接下来带过来以后。然后看这个方式，正好成立，

他认为这个充分，这道题是有运气成分啊，万一呢，比如这个方程有两个解有有两有两个解，比如说除了13之外，还有一个值。还有一个值，那么你这样话就会出出错好吧，咱们重新判断，一定要是下推上啊，一定要注意重新判断题。啊，一定下推上就由下面往上推。好吧，由下面是往上推的啊，

所以由这个看能不能推出x是等于13。咱们是要解决这个问题，那有同学说这个方程应该怎么解？方程怎怎么解？方程这样解啊，这样解大家知道这个根号里面有非负性嘛？根号里面肯定是非负的是吧？根号里面肯定是非负的。非负，而且我们知道这个平方减五的平方一定要你要为正嘛，为正一定要大于五是吧，这是一个问题。另外，在这里面这个这这个方程咱不可能说两边平方去解，两边平方把根号去掉，

那这个不好解，而且这个画图也不好做，因为这个根号。还有前面这个x都不好画，那接下来我们看应该怎么做？好，那么这块我们可以把它写成什么？把s平方减五平方把它写成。x+5×x减减五。这样的是吧？x+5×x- 5，而且它都单调增的，你看这个x+5是单调增，这x+5也单调增x- 5。它也单调增的是吧？

它都呃单调增，此外我们再看大家知道二百一六它是一个偶偶数。216，它是一个偶数，对不对？它是一个偶数。既然是一个偶数的话，大家想想想一想。这个偶数那么三个数，相当于要是偶数的话，那x是奇数还是偶数呢？如果x要是偶数不行x要是偶数，大家知道x+5它是一个奇数。s+5这个根号也是一个奇数s- 5。它它这个也是个奇数，

所以说这都是奇数，所以x要为偶数的话，每一部分都是奇数，奇数相乘的话，它得到是奇数，这肯定是不可以的。是吧，都是奇数，这个肯定是啊，不可以的，所以x它只能。为奇数。对吧啊，为奇数s不能为偶数啊s，要为偶数的话，

这每一个它都不不满足。哎，这只能为奇数好x，要为奇数的话，在这里面我们来看一下它的这个情况。x为奇数的话x又大大于五。是吧，那么基数啊，那大于五的基数就是七十一十三。15，17类似这样的好七的话，验证一下肯定不行，因为七的话，这个根号这七的话，这个根号跟这个根号，

它这个不能等于个整整数七不行。11也不行啊，11也不行，13这个是可以的。然后十五十五的话，那乘完后又大于二百一六，而且它这个根号啊，这个也没法开是吧，所以17这个也不行，所以说这样话啊，就是后面都是比乘完后比二百一六要大。这个也不可以，所以这样就取出呃，就推出s只能取13这个数了，它不可能取其他数。

啊，那有同学可能会问x会不会取小数不会取小，因为l215它是一个整数。啊，就是整数整数的话s肯定为整数了是吧？所以s为奇数，而且s呢，它要为整数。啊，不可能为小数好，因为二百一六它是整数好，所以在这里面，这样就推出来了，所以条件上它也充分，这个答案就选d啊。

所以通过这个题就是给大家强调，像有的时候呢，运气比较好，所以说你把这个题干的值往条件带，从上往下推，那么这时候呢，运气比较好，那么答案碰巧选对了。但有的时候呢，大家呢啊，就可能啊，就不好分析，就容易错了啊，设置一些陷阱，另外这道题大家遇到根号的方程，

怎么去解根据它的非负性？啊，根据它的范围，根据它的有性，然后锁定咱们想要的目标是吧，就可以得到答案了，好，这是给大家讲讲这道题如何来进行分析和讨论，大家要知道它的方法。下面咱们看题28 max和m in函数，求最值，好在这里面大家注意这个m in。ABC表示，它的最小值。啊，

可以把它理解为如果它最小值啊，最小值它肯定小于等于每一个值。啊ABC的最小值可能小于等于a小于等于b小于等于c，这个max表它中的最大值基本上可以理解成，那最大值肯定大于等于a大于等于b大于等于c。所以对于函数而言啊，有时候要画出对函数而言，它的最小值在表示各函数图像中又取最低的部分。max表示，各行的图像中取最高的部分。啊，取最高的部分就可以了好吧，一个取最低的部分，一个取最高的部分好，这是它的概念方法啊。

取最高取最低，它的这个思路。这个要弄清楚。好吧，所以你把它图像都画出来，然后取最小值，看它图样最低，谁在下方这个max表示它图样最高，谁在上方，然后这样的。把它图像找到，然后再分析它的最值就可以了。好，接下来咱们看一下这个题啊，这个题好，

它的三角形三三边长分别ABC。题目说了a要小于等，等于b小于等于c，它题目给了这个条件。然后他说三角形为等边三角形，三角形为等边。三角形平方一，它是b分之a。c分之BA分之c啊，它的最大值乘以它这几个数，最小值等于一条件儿，这个最大值等于最小值。好，那接下来咱们来看一下好看这道题考点，主要考察三角形形状的判断。

好考察三角形形状的判断方法。好三角形形状，它的判断方法好，那条文一咱们看看啊，条文一现在最大值乘以最小值为一，我们看能不能找一个？找一个互为倒数的，找一个反例对吧？找反例，比如说它的倒数跟它相乘正好正好呢，就为一但它不是一个等边三角形。是吧，不等于零，我们看找个反例看行不行？返利你看，

因为a小于b小于c嘛a小于b取a和b它都等于2c为三。c为三啊，这个设三角形，再让我们看max。b分之AC分之b。呃，a分之c。好，那大家可以看这个max，这个b分之a。啊b分之一就相当于是二分之二了c分之b。呃a分之c，然后这个算就等于二分之三。那因为它的最大数，最大数就二分之三。

啊，我们看它最小数。这要是有b分之AC分之BA分之c。啊，它就等于这个呢，就是二分之二。三分之二二分之三，它最小的最小就三分之二是吧？最小就就三分之二。啊，最小就三分之二，是不是然后这样这样大家可以发现这两个呢？它正好是互为倒数，两个相乘为一，满足条件一，

但是呢，它推不出来是。等边三角形，所以条一呢，这是不可以的。啊，填上一这是不行的。对不对？所以这个就确定不了，所以这个地方一呢是错的。条件儿咱不要着急，联合条件儿他说这个最大值和这最小值是相等的，这最小值相等。怎么去推出等边三角形，咱们呢？

正面推可能不好推，咱们呢？用反证法假设不是等边三角形。假设。啊，这个非等边三角形。啊，就不是等边三角形。好，假设要不是等边三角形的话，那说明三边长肯定有大有小题目，说了是a小于等于b小于。等于c。那它不是等边三角形，那肯定有个边是是最最大的啊，

有边是最大，有时候这个题目它不要求这个吗？要求它其实要么就是什么，要么a小于等于b小于c。啊，这种情况是可能c是最大的，另外两边有可能是相等，有可能是不等。是吧，这是一种情况，还有可能是a是小于b，小于等于c的。或者这种情况。所以如果要要不是等边三角形，不是等边三角形的话。

要么c是最大的，其他两个都比它小，就另外a和b有可能相等是吧？有可能相等，比如说是二二三。二三它又不是等边数。三角形a和b，它可以相等，对吧？就是比如说二二三。这样的还有可能什么还有可能。还有可能这两个是最大的二三三。是吧，就是二三三。啊，

这样的这样三角形这些都不是等边三角形，但如果要不是等边三角形的话，大家注意它这个最大值和最小值肯定不可能相等。可能不可能相等，你可以看那如果。啊，如果它它这个要不是等边三角形，那必然它这个最大值。肯定是是是超过一的，因为这里面肯定有个边是是是最最长的啊，最长最长肯定有个数是大大于一的。是吧，有有可能是大大一的，而这有一个数呢，最小值呢，

肯定是小于一的。不管是这种情况还是还是这种情况。是吧，它的要么大于一，这个要要就小于一交易，所以它不可能满足它们两个相相等，不可能是相等。所以说不可能相等。不可能最大值和最小值相等，所以这块儿它就不可以，所以说在这里面就是。只有都是等边三角形才才有这个是吧？所以说在这里面就这个是矛盾的。矛盾就说明咱假设呢是错的，假假错假错它就可以退出来，

所以这道题建议大家就选择b选项好，这是它做题的方法和思路。啊，看是否懂了这道题呢？对大家分析推理要求比较高好吧，结合最大最小值的特征来进行求解好，大家要会分析和思考啊。下面咱们看题29分段函数，求最值分段函数，求最主要根据分段函数意义先画图，然后再根据图像来求最值。比如说它分成几段儿，其实分段函数它也是一个特殊的函数，比如fs分成两段儿或者三段儿。是吧，

然后呢？你把这图画上图画，然后根据它图像来求它的最值到底是多少？啊，如果要求它的。最大值要把每一段儿的最大值里面取最大的，比如说第一段儿最大值是三，第二段儿最大值是一，第三段儿最大值是五，那么一定要取它各段儿里面最大的。就取五啊，如果要求它的最小值，那就找各段儿里面最小，比如第一段儿最小值三，第二段儿最小值是一，

第三段儿最小值是五，那么就取最小值为一就行了。也说在它所有范围里面找到能取到最小的，谁小就取谁好吧，这是它分段函数求最值的一个概念方法，也给选错了。好，那接下来咱们看一下这个题。啊，这个题目它是负2 s+3啊，这s小于一，它是一条直线，这个呢，是一个对数。是吧，

求fx最小值到底是多少？那当然，这个是方法一就是画图法方法二呢，就可以根据它的单调性，然后来进行分析，大家可以发现好，那这个呢是单调递减的。因为它负2x单调减这个呢，是x系数是正的，它单调增的是吧？所以可以根据它单调性来找它的最值。好，那接下来我们看方法一就画图。画图那么，它就以一作为一个分界点了是吧？

那在这里面我们就可以画出来。好，那这地方就是一。啊，那么2 x- 3图像怎么画呢？就找它的两点当x=0的时候y是为三的啊x=0的时候。y是为三。好，这样的。然后当x为零的时候，呃y为零的时候s等于二分之三。大概在这。来画图。这样的是吧？因为它后面这一块儿呢，

就省略了，因为这点就是一对以它应该交交于x轴，应该是二分之三这个点。而二分之三大概一点五。是吧，一点五的样子，所以它交代这个点好，这是它这是三这个点。然后接下来咱们看它的log啊，log log以二为底，2 x- 1的对数，那么这个对数怎么画呢？其实大家就可以看出。那它的。啊，

这个情况，因为大家可以看到它，这是首先是单调增的，对吧？我们也可以找特殊点，当s=1的时候，那么这个log应该为零就找它跟x轴的交点就很重要好吧？当x为一的时候。s等等于一大家知道s=1的时候。这个log这个以二为底一的对数，它应该为零的。为零的，然后这样我们就可以画出来是吧？所以s大于等于一的时候，它是这样的一个图像。

好，当然上面这一块应该是空心的。这个点是空的啊，因为它这个是小于一，它不包含边界点啊，小小于一，不包含边界点嘛，所以它是空的。好，那么这个图像画画完以后，这是空心儿，这是实心儿的，然后我们可以看到那么它的这个最值。那它肯定是最小值是当I=1的时候，它最小就应该是零是吧？

所以这个呢，应该选择a选项。所以当x=1的时候。它这个最小。啊，最小值最小值呢就是f1应该是等于零这个答案选a就写写好了。好，那我们看方法，二方法，二就结合单调性来分析。这个单调性来分析，大家知道这个y等于负的2 x- 3。二+3，它单调递减的。当既然就x越大，

那么它这个函数越小x越大，所以说这个x它相当于在负无穷到一这样一个开区间。看一下x越大取右端点的时候最小，但是这个右端点它是一个k键k键，所以它无最小值，对吧？它是开的啊，开它无限接近于啊这一个点。无限接近这个点，所以所以它这个点呢，它是无最小值的，它开开曲线，所以它无最小值。好，我们来看第二段，

第二段是y=log以二为底。2 x- 1，大家知道这个就是单调增的，为什么是单调增的呢？原因就是咱们讲过复合函数单调性，因为大家知道2 x- 1，它是单调增的。这个log以二为底下单调增两个符合在一起，还是单调增的是吧？所以它单调增。大增的话就说明x越小，那么它这个数值函数呢就越小，所以它的取值范围一到正无穷。啊一到正方形，而且一这一块，

它正好是一个必须间必间，所以说在这里面就s=1的时候。它有最小值零。好，这样做也可以，不画图也可以好，这是每段单调性来进行分析，每段的最值，每段最值，然后再分析整体的最值，只不过这第一段它最值最小值是没有的，没有就不用再考虑了。好，这是它的分段函数，每一段分别拆成几个函数来求解，

看各位同学是不是听懂了？好，那接下来我们来看复合函数，求最值复合函数，求最值的话，那么大家可以通过换元来分析啊，比如说fg x。好，那我们可以列t等于个gx是吧？这样的情况，而且大家注意这个g的值域应该对应f的定域。啊g的值域。应该包含于那么f的定域。啊g的值域包含于f的定域，懂了吧？

所以说在在这里头不能超过它啊，不能超过它，这是它的。这个取值的这个情况。好，所以这道题那么，然后遇到复函数又要用到值域，又要用到定域，大家要知道好吧，要用值域要用到定域，要会分析和思考。好，接下来咱们看一下这个题fi=s^2加as则fs与ffs的最小值是相等的。这两个要相等，这两相等，

那大家可以看，这就是开口向上的一个抛物线是吧？所以对于重新判断题，咱们先把题干给大家分析清楚，然后呢，再来看两条件，现在不要着急，看条件。好，那首先看fx等于x平方，加上ax，它的开口向上的一个抛物线，它的对称轴是负的二分之一是吧？所以就可以得到x等于负二分之a十。它这个fx有最小值。

把负二分之a带到里面去。就可以得到它最小值，最小值是四分之负a方。是吧，把这个啊带到里面去，带到里面就可以得到啊，负的四分之一方好，那这个函数有最小值也可以，顺便把它值域写出来，比如说fs值域。就是这个范围，让值域也写出来。好，这是它的这个情况好，另外我们再分析ffxffx的话，

真的大家不要把这个把要不不要把这个带到里面，如果带到里面，那就比较麻烦了是吧？有同学呢？把这x换成fx，换完后，那这个就很复杂。然后再把这个fs再换成s平方加ax。大家发现，这次方就变成四次方变四方，那这个初等数学解起来就比较困难，就不好求求解了。解决困难好吧，这是它的这个内容。好，

那这是他的这个方法，好，那接下来咱们来看一下他的这个取值情况。好吧，看那应该怎么做？应该话那么我们就令t=fx对吧？然后这个ff x就变成了ft了。对吧，变成这个ftft其实就等于t方加at，他要说它的最小值。跟这两个最小值是相等的是吧？两个最小值相等，那也说这个t必要能取到对称轴的时候才可以。是吧，这是t。

啊t必须取到负二分之一的时候才行，如果t要取不到负二分之a的时候，它的最小值跟原来这个函数最小值，它就不相等了。好，所以t要能取到啊t可取到。负的二分之一十，那么它这是充分的。关键t怎么取到负二分之一呢？那说明t的范围要包含负二分之一这个点，那t的范围是什么呢？t的范围大家知道t就相当于是这个fs。t的范围就相当于这个值域，那t的范围相当于是t大于等于负的四分之一方，这t的范围。

所以t的范围要大于等于负四分之一方，那说明t的范围一定负四分之一方一定要比。比这个数要小，这样话它才在这个在这个区间里面，它才存在这个顶点，这个值是吧？所以说这个。t是在这一部分，所以它是抛物线的一部分，抛物线的一部分必须要包含顶点，包含顶点的话，那说明这个负四分之一方。一定要小于等于负二分之一才才行是吧，所以两边同乘一个负四啊，就可以变成a方。

减2a大于等于零，大于等于零，又可以推推出a小于等于零或者a大于等于二。是吧a小于等于零或者a大于等于二，这样求解出来了，所以在这里面条件一和条件二它都成立。这难就选择d选项好，那这个复合函数咱们前面也给大家已经介绍过好吧，以后遇到复合函数它的做题的方法思路，它也会分析和求解。好，这是这道题，给大家强调的主题内容。一定要把抛物线它的最值啊，然后呢，

没有区间限制和有区间限制的时候，在某个区间上，它最值情况一定要弄清楚。下面咱们看题型31等差数列，求最值等差数列，求最值要找到它元素，发生符号改变点。这样就可以找到前项和的最值，比如说an。它由正变为负。就可以求SN的最大值。好，如果由负变为正。可以求SN的最小值。啊求s的最小值好吧，

这是它它的求这个方法，另外可以用求和函数的形式。的对称轴来进行分析，因为大家知道等差数列SN它的是抛物线。是二分之dn方。加上a一减二分之d乘以n。好，它的对称轴我们就可以写出来。正轴是二分之一减去a除以d啊，掌握这样的方法就二分之一减a除以d啊，利用它对称轴，把它看成抛物线。来分析它的最值，这两个方法都是OK的。好，

我们看这个题，这题这题他给的s好，那么a1是大于零的，然后大家知道那么这个我们就画抛物线吧。画抛物线的方法做。抛物线因为s 9=s二因为大家知道等差数列的s呢，是过原点的开口开口的方向是由d来决定d是因为这个a1因为s1就等于a1啊a1它大于零大于零，所以它只能是开口向下了。然后这个是n这是SN为什么开玩笑，因为这是n=1的时候。n等一的时候，这个就是s1跟a1相等嘛s1是大于零，它可能开口向下好，根据s 9=s 12就可以得到对称轴是吧？s 9=s 12。

啊，可以算它对轴轴的值。钝轴，钝轴n就等于二分之九加十二。就等于十点五是吧？所以正轴正好是十点五。好，这时候12因为什么？因为s9。跟s12相等吧，比如这是九这s9这s12。相等就九和12的中点嘛，这这是九这是12。那它终点是吧？所以这个这两个它是一样的一样，

那中点坐标什么中点坐标两个相加除以二就行了，两个相加除以二就中点坐标。这两个相等相等，大家知道那么离正轴越近，那么离实验五越近，它最大，这样的话就可以得到x10和x10和x11相等，所以就推出。s 10=s 11，这个为最大值。是吧，就为最大值，所以十和11是相等正确答案，应该选择d选项答案就求解出来了啊，正确答案选d好，

这是它做题方法思路，看是不明白了。好，那接下来咱们看前项为s nx 12大点13小点，问h什么时候它是是最大的，这时候我们也可以画图做。啊，画图分析画图分析要要简单是吧？这时候呢，咱们呢就可以看一下它的图。这个等差数列s呢，它一定是过原点抛物线啊，直到这道题开口呢，也是向下的一个抛物线。然后讲这就是s12s12。

是大于零的s13。s13是小于零的。这个能懂吧，这个是零接下来关键点还是要找对称轴，它的位置情况啊，对称轴位置大家知道这个抛物线这个交点。啊，这个交点应该在12和13之之间的一个点是吧？这个交点应该在十二十三之间啊。所以说这个啊，焦焦点焦点应该是12和13之间好，大家知道这个因为过坐标原点嘛，然后对称轴应该等于。这个点除以二就行了，因为这这地方是零嘛零就不用管它了，

所以说它对称轴的范围。怎么办？应该六到六点五。这个范围是吧？好，那就相当于六和六点五怎么求算呢？就拿12和13分别除以二得到的啊，12÷23÷2得到二啊，都除以二得到这个结果。所以它这个除以二得到这个值得到这个值就是六和六点五之间啊，就六和六点五这个点。这应该借六和六点五好，六和六点五，咱假设取一个数吧，假如取一个，

比如说取一个六点四。斜对角40度，大家知道那么应该是离对轴越近，那么应该是六离，它要近七离，它要稍微远远一点是吧？七离它远的是六。离得近一点，那七呢是稍微远一点儿，这s6这是is 7是吧？所以大家知道六离它要近一点儿，所以这个呢应该选择a选项啊，所以说大家知道离对轴越近它越大，所以就推出s6。是最大的。

这样就写出来了是吧？I6这个呢，应该选择a选项，所以大家画图更直观，如果要因为求个公式去计算的话，那就比较麻烦啊，运算就很复杂，就不好求解。但要注意它的方法。下面咱们来看题型32等比数列求最值等比数列求最值，先写它表达式函数关系。然后利用之前讲的它的特征，结合对值工具来进行求解，比如说抛物线呀，矩阵定理呀，

还有一些单调性呀。指出对数的一些关系啊来进行分析和求解，最值掌握这样的方法来进行分析就可以了。好，接下来咱们看一下。这个题a是等比数列公比呢q等于根号二公比是告诉我们了，然后s因为它前项和嗯tn求tn的。什么时候最大看起来这个t还是比较复杂，咱们给它化简一下好吧，好tn就等于一个大家知道分母的加一+1可以写成a1。乘以q的N次方是吧？这分母的an+1可以写成a1×q的N次方分子17倍的SN。SN可以写成什么写一减q乘以个a一乘以一减q的N次方，这是SN。然后s二n后面s二s二就一减q分之a一乘以一减。

q的2N次方。是不是这样的，所以在这里面大家呢，就可以写成这样的s二n就写一减q分之a乘一减q的二N次方，这样的结果。然后接下来大家可以，虽然这a这道题a1没告诉我们a1没告诉我们没事儿a1呢，上下可以约掉。反正a它不不为零嘛，管它a是正的负的，反正上下都可以约掉这个等等式嘛，上下约掉它还是相等的。现在然后约完后再把这一减q呢，给它乘下这个分母都有一减q是吧？给它乘一乘乘一乘好看一点。

好，那这个上乘以一减q乘以一减q后，那接下来就变成分母变成一减q乘，以个q的N次方。是吧，所以在这样都乘以减q，这前面有十七倍的一减q的N次方减去一减q的二N次方。好，这样的一个结果。然后再么再接着往下化简往下化简往下化简的话，就是这个一减q乘以q的N次方不要动。然后把这括号乘开，这有17-1，得到16。16-17q的n次方。

是吧，然后这个17×q的N次方。然后再负负得正，又加上q的2N次方。是吧，加上q的二二N次方，然后在这里面大家发现这个n是变量是吧q它是知道q知道咱们把这个q呢，先带到里面去也行。啊，过会带也可以，这个倒没什么问题，然后一减q分之一可以放在最外面算了。啊一减q分之一放在最外面，然后把qn次方都给它除除下来，除下来就变成十六除以q的N次方，

或者说令qn次方等于t也行。啊qn次方等于t也行，然后减17，加上q的N次方。是吧，得到这个值得到这个，那就定t=q的N次方吧啊，这个或者说另一个。另一个x也行，反正这个令令几都都可以，都可以令s等于qn次方x等于qn次方就变成个一减q分之十六，除以x再加s减十七。是吧，然后做到这，大家可以用可以用什么可以用这个均值定理做了啊，

这样做到这就好办了，所以这道题化简稍微麻烦点，这个呢，大家可以发现用均值定理做。去那里做那什么时候取最值呢？大家可以发现它要大于等于。一减q分之一，这是二倍根号十六减十七是吧？得到这个值。它最小值呢，是是这样的一个值是吧？当然这个值他没让求最小，他问n等于几的时候他是。最最大为什么会产产生一个最大，你知道吧？

为什么会产生一一个一个一个最大值？啊，产生最大值，这个原因是什么原因？因为一减q它是负的，知道吧？这个一减q它是负的，负的负的也说。它这里这边里面小，这边大于。等于一个数给他乘一个负的，负的又变成小于等于，因为他是一个负的嘛。或者就懂了吧，就这个括号里面是大于等于一个东西，

它乘一个负的就变成小于。等于了好这样。啊，变小于等于这个值是吧啊？这样子。好，那这是给大家强调的这个内容，然后在这里面大家知道这个当s=4的时候，他取等号。它I=4，I=4，就相当于q的N次方等于四，就根号二的N次方等于四，根号N次方等于四，大家知道四可以写成什么？

四可以写成什么呀？写成二的平方是不是那根号？二可以写成二的二分之N次方是不是二的二？二分之N次方，所以又得到这个n的值，正好等于四n的值等于四就写出来了n等于四这个呢，应该选择b选项。答案就求好了好，这是它做题方法思路好吧，就这道题那么第一步第一步化简的细心点，把这个an+1用a1和q表示还有ss 2都用a1和q表示上下呢，给它化简。化简完后，这个q等于根号二过一会儿再往里带也行，过会儿往往里面带，

然后这时候呢，你可以用整体的换元方法啊，这地方用均衡定律均匀，然后在括号里面是大于等于个数，然后乘以一个负的。因为一减q是负的啊，负的，因为q是等于根号二嘛，根号二，所以一减根号二是负的负的，所以乘一个负的就变成小于等于小于等于才有最大值。啊，最大值就可以写写出来，如果这道题要问他最大值是是几最大值是是几，这个也很好求，

主要是以最大值。这个一减根号，一减根号，二可以写成根号，二减一减一，然后这个是八，这上面就是九了，那就十七减八得到的九。所以它最大值是九，除以根号二减一也可以写成九倍的根号二加一。所以它的最大值就是九倍的根号二+1，这就写出来了好吧，对不对？那什么时候取最值当这两个相等？这两个相等的话x又取4x取四的时候，

那么因为q等于根号二带到里面去，带到里面去把n解n的值就等于四。这样就写出来了好，这是它的做题方法和思路，看看这个是不是明白了它的考试要点正确答案，就选择b选项。下面咱们看题型33递列数列求最值。第四个求值的，先建立最值的表达式，之后呢，利用最值工具来进行分析是吧，然后这个地值数列。啊，通过地理数学，比如说先把它的通项呀，

或者表达式呢，给它写出来，其实然后结合呢，然后最值工具来进行求出它的这个方法。还是要把它建立一个函数，利用函数的特征来进行分析和求最值。好，那接下来咱们看这个题，这个题要求n分之n，它的最小值一般遇到分式啊，大家预感到会用什么会用平行定理，对吧？这有个分式。啊，用平定那这道题的方法是什么？

根据它这个给的递推公式，我们要把an求出来an求出来以后，我们呢，再去分析这个表达式，它最值是吧？那这个dz数列的话，它正好是一个什么数列？正好是一个类等差的数列，那这个an+1-an正好等于2n。嗯，然后呢？就写若干项一相加就行了是吧？比如说写作a二减a一就等于二a三减a二就等于。四一到an-an- 1就等于二倍的n- 1，然后把这相加。

一相加，然后这个就约掉了，约掉左边只剩一个an-a一的值，右边相加就是二+4一直加到。二倍的n- 1，然后大家知道a的支状等于33，然后这个求和就可以很容易写出来，所以an就等于33加上。右边的求和。现在就二分之首项加末项。然后再乘以项数，项数正好是n- 1项啊，这项数n- 1项怎么判断的呢？大家可以发现这个下角边，这是一这是二到n- 1。

所以它这个应该有n- 1个式子相加，所以它这个加完后应该有n- 1项，就别给写错了，然后这样算出来就等于33。加上这个n乘以n减一好，这个写好了，这是an的表达式，就求出来了，好an的表达式，求出来以后，然后再算n分之an，它的最小值。好n分之一就等于n分之三十三。再加上一个n减一就行了，好那么大家就可以把这个n分之三十三加上n用平行定理，

并且它大于等于二倍的根号三十三。再减一个一。这样就行了，后面这个常数一就可以不用管它好，那什么时候取最值呢？什么取最值呢？大家知道当这两个数相等的时候，它取最值。当两数相等的时候，他取最值的话就是当这个n等于根号33的时候。它取最值。但是有个问题是什么问题呢？这个n它又不能够取小数啊nn不取小n不取小数怎么办？不取小数就最接近它的整数。好最接近它的整数，

最接近它的整数，大家知道。这个五五等于根号25。啊，那么这个六。等于根号36，我们看25和36谁更接近接近33是吧？谁更接近33呀？这个这个根号33，你看根号三那肯定是这个，因为大家知道25跟33它的差值是八对吧？就33-25差差值是八。然后36跟三三差值是三，还有三，所以说这个大家可以发现这个六更其接近啊，

更接近更接近的话就取。n=6就可以了好吧，就找一个最接近的数。最接近的整数啊，要会分析。这样写好了好吧，这验证就n取六就行了好啊，所以在这里面好把n=6带到里面去，算它的最值就可以了啊，所以n=6那。那这时候它的最值就相当于是六分之a六就等于六分之三十三加六减一。这样就可以了啊n等于六带到里面去，就等于六分之三十三，加上一个五。加上一个五。

五的话可以写六分之三十，所以就可以写成它的这个值答案就求解出来了，好吧，所以在这里面大家呢，就可以写它的数值啊，六分之三十三还可以再约啊，还还还得再约。在于这个三。你看再约了一个三就行了，好，那就得到二分之二一了是吧？二分之二一好正确答案，应该选择e选项答案就求解出来了。好，这是它的做题方法，

所以这道题大家听完收获就是首先这个类等差数列，大家会处理这个咱们在讲递推公式，我给大家强调过，另外n分之an啊，最后得到一个平均值定理。平行定理的话，那这个n由于不能取小数，所以大家在在在这里面呢，一定要会取整，所以的话一定要找最基因的整数。把最基准整数给它找到，找到以后，那这个答案就好求解了啊，这样就容易分析了好，这是它的做题方法思路，

看是不是懂了？

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