064.专项十四-题型1～3-

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:50:26

下面咱们看一下专项14最值问题的大总结，因为最值问题也是大家在考试过程中容易丢分儿的一个短板。那么，最值咱们把全书每章涉及到最值的地方，给大家做一个系统的总结和归纳，这样话大家在学习的时候，我们就可以。全方位的把一些失分的一些问题给它解决掉。所以我们看第一节核心决例好，那这个问题主要是人们在日常生活中最为普遍的遇到一种数学问题。它应用性和实用性都非常广泛，在很多场合下都要找一个最值，比如说像咱们考试一样，如何把数学逻辑写作和实践。巧妙的分配。

拿一个数值的考分儿的最大化是不是？所以无论在生产时间，在科学研究中，都会遇到一些关于最优，最好，最省，最大，最小的问题。这个问题通通都要转化为最值问题进行求解，正因为它应用性强，考试范围广，更能体现出考生的分析问题和解决问题的能力。所以这个问题在这里头占的比重呢？占的是非常大的，所以占了五分之一到五分之二啊，

鉴于此，咱们将常考的这类问题进行归纳总结。旨在提升考生解决最值的能力，利用一些奇思妙想来攻克考研中的九九八十一难啊，这也是大家丢分儿的一个重灾区。想考高分儿同学，那么一定要把这个问题好研究一下，所以可以充分体验数学的一些美感。我们来看题型一实数，求最值在数论中，实数求值往往要先列举，然后通过规律来找它最值。因为实数里面往往涉及到实数的一些概念和性质，比如质数，合数，

奇数，偶数等等的，然后在这里面找到它的一些规律来分析它的最值。来求解它的方法就可以了。接下来咱们看这个拆分啊，拆分这个数，拆分数呢，就是看它极差。知道吧，看它极差。就咱们前面学过均衡定理，还记不记得均衡定理的这个内容，再再温习一下啊，这个均衡定理均衡定理，咱们再再说一下这个均衡定理，

它的这个本质情况。金定理。咱们先说一下这个核定的时候好吧，咱先把前面的东西再温一下，核掉定。呃，和要定的时候，那么他们这几个数的极差。极差有最大值减最小值啊，极差好那么极差越小，它的乘积越大。当它完全相等，有极差为零，极差为零，代表什么意思？

极差为零，就这几个数完全一样，极差为零，就这几个数一样。几个数完全相等，那么这时候它的乘积是取最大值，这咱们前面讲过的核定乘积就有最大值。是吧，这样的。好，那么第二个呃，就是如果级差越大，它的乘积就越小。即将两极分化越越大，就最大数跟最小数这个差距越大。

那这个乘积又越小好吧，这是核定的情况下，然后再看乘积为定值。成绩为例子，就看它的级差。啊，极差越小，它的和越小。当它极差为零的时候，它的和就取到取到这个最小值，知道吧？和取到最小值。当它极差。越大和就越大。和就越大好了，

这是精子定理，它里面的内容。好，这道题的难点在哪？知道吧？产生几个自然数的和这几个，关键是它个数不知道，知道吧？啊个数，它是不知道这个地方大家要会分析。几个自然数的和。要是乘积是最大的。那虽然咱不知道拆成几个自然数和我们知道它肯定不能拆成一啊，里面如果有一啊，里面有一的话，

一乘以其他数。那这个没啥影响是吧？所以说这个成绩呢，它没啥影响，肯定不能有一那更不能有零了，因为自然数最小，自然数是零啊，最小自然数是零。叫零是属于自然数啊，别弄错了，零是属于自然数，这道题可能也不能有零零乘任何数都为零，知道吧，如果这道题问最小的乘积是是几啊？如果问最小的最小，

那可以是零，因为自然数不能为负的啊，自然数不能为负的，自然自然数最小，自然数是零，知道吧，所以这道题它要求最大，最大可能零跟跟一可能不能拆。咱们就往二二的猜和三的猜，反正就往先给它猜二的猜和三的猜。大家知道这个二层的时候，这个数啊，没有三层的大是吧？反正这个这个大家要要对比一下。是吧，

要对比一下。好，那有同学说这个14能不能拆成拆成五五五跟九五跟九是这样的啊，五+9的和确实等于14。五+9的和确实等于14。但这个五啊五，它可以拆成你比较一下，知道吧？咱先比较一下五，又可以拆成二和三，大家知道这个二×3。肯定是大于这个五的，你发现没有这个二二二×3肯定大大于五，所以说也就说如果这个十十四啊，你要拆成。

比较个数比较少的是不太行的。比如说我又拆成两个数，那有同学说拆成七和七，拆成七和七的话。你要拆成七个七，拆成七个七的话，那我这个七如果要拆成三跟四。三跟四，你看你拆成七跟七七×7没有，我这个七拆成三三×4大是吧？你想想吧。这个七七的话，三+4也为七，但三×4肯定比七乘完后要大，比如说我这个七不动，

咱们退一步讲。我这个七就不动它，不动它，你不是想拆成七×7吗？啊，想拆成七+7拆成这个和嘛，拆成七+7。气压机的话。那你比如说咱们这个漆就不动，我先不动你这个漆，我把这个漆拆成三+4对吧？拆成三+4。三+4我拆成这三个数，我拆成三+4再再加七，那肯定三×4×7肯定比比你，

你这个要大，是不是比你这个要大，所以在这里面大家呢？就可以看出来，你猜的要多一点数，知道吧，多点数就第一个原理，要明白就猜这几个字，关键这道题他没说出几个知道吗？没说几个，所以我们通过这个比较，如果拆成两两个数。你比如说拆成五+9，拆成两个数，没有拆成三个数。

乘乘乘积大，你看比如说五加九五+9，我拆成二+3+9也等于14嘛，我三个数乘积肯定比你两个数乘积大，比如拆成。七+7，七+7，我拆成三+4+7，那三×4×7的乘积肯定要大好，通过这个原理就说明什么尽可能多的猜点儿是吧，尽可能多的猜点儿。啊，拆的多一点，要好好一些，对不对？

拆的多一些嘛？好，那接下来咱们来看那拆的多一点，拆的多点就是二和三就多多点儿嘛，就这个二和三那全拆二看行不行，如果选全拆二。选拆二，比如十十四拆成拆成这个二。对对，拆成七个二是吧？一二三四五六七。啊气盖儿。啊，这也是猜的最多的，大家发现猜的猜的最多也不行，

猜的两个也猜太少也不行啊，猜太少猜最多的话应该是二的七次方对吧，它承载起七个二嘛？七个就27双，27双是128。是吧啊，128所以说这个这个原因是什么？知道吧？原因原因二层的速度太慢，知道吧，二层速度慢，所以通过这个题啊，就相当于是什么？就是要恰到好处啊，比如说刚才咱们讲的。

猜太少了，你猜太少了，没有猜的稍微多点儿程度大，比方猜两个数，没有猜成三个数成绩大啊，所以说要猜的多点儿，但你要猜最多，我们先找极端知道吧，先先找。极端情况。对吧，先找这个极端的极端的，比如拆成两个数比较少的，这拆成比较多的数，这个都不太行是吧？

因为为什么都拆成二，为什么不太行嘛？这个二。这个层的倍数增长太慢太慢，没有三的快，懂了吧？没有三的快，所以在这里面大家呢？尽可能拆点三的啊三的，你看三四十二三四十二啊，拆成四个三行吗？三四个三。虽然大家一起算啊，四个三。好，

这块大家都都会算吗？四个三就81是吧？81再乘以二就三的四方乘以二。就一百六六十二应该没有比它大的了是吧？应该没有比它大的啊，162所以拆成三拆成三的话，虽然虽然这个个数会少少一点，知道吧，会牺牲点个数。但是呢，它这个三这个倍数增长的快，增长的速度快，所以说你要看它这个矛盾情况，知道吧？是矛盾情况。

这个是二比较多，七个二相乘确实乘的这个个数要多啊，但是呢，这个二它增长的这个速度啊不够快，所以拆成三。啊，懂了吧，穿这个三穿三的话就能兼顾到什么？兼顾到这个这个这个增长速度还能兼顾到个数比较多。不要再少了，再少不行，再少不行，你要拆成四肯定不行，拆成四一下浪费两二啊，浪费两二，

所以说这个这个就不太行了，所以你拆成三的话啊，就是可以的，好吧，所以最大乘积就162。啊，这道成绩就写出来了。那这个呢？这个题呢？就相当于是他的思想，什么思想就是你看首先要看几个啊，看几个，另外要保证什么，保证它的倍数增长的速度。好吧，

就乘法它的倍增的速度啊，就兼顾到个数和倍增的速度，两个问题啊，所以要同时兼顾，因为鱼和熊掌不可兼得，知道吧，你个数多了，那每个数肯定就少，比如说。个数多了，分七个二七个二，但是每个数就比较小，比较小的承载体验就不一定最大啊，不一定最大。就个数太少，

每个数虽然比较大，比如说拆成七跟七呀，五跟九呀，或者六跟八呀，但是呢，你这个个数有点少，乘出来乘积呢，也不一定很大，懂了吧，所以要兼顾两个问题，这道题思维数学思维是兼顾。兼顾的个数要尽可能多。即倍增速度快就是倍数啊，倍增就是呈倍数增加，倍增的速度。

要大是吧啊，倍增速度要大。比如说你拆成二二，虽然比较多个数，虽然比较多，但是呢，这个倍增速度不够大啊，那么你就拆成三啊，拆成三，你要拆成四的话。拆成四的话，个数又太少了啊，个数太虽然倍增数大，比如说拆成个数比较少的，你拆成。

个数比较少，虽然倍增大，但是他个数又太少了，反正就见过这两见过这两个，这就找一个折中方案吧啊，折中方案好吧，所以它是个矛盾的折中方案，折中方案就掺这种三要好一点。好吧，这给大家强调的。好加50，拆成十个质数之和大家一起看这个题，其中最大的质数要尽可能的大。咱们根据分蛋糕原理知道。好，

根据咱们的分蛋糕原理。好要让一个尽可能多让其他要少一点，比如其余九个要小一点。79个就小一些。好，大家知道咱们学过最小质数是二。啊，这要要数为二。好，那么最小质数它是等于二的，然后让其他九个都取二，这样剩下那个数比较大，但是要剩下看剩下那个数啊，它是不是质数对不对？所以在这面咱们得看看啊。

好，如果那么假设先假设一下，因为咱也不知道行不行，对吧？咱假设这有九个二。你看最小值为二九个二，其实呢，剩余的那个数。咳。乘以就是50-9×2。啊，50-18得到32。啊，50-18得到32，那32发现这个32这个不太行，

32它不是质数是吧？32呢？它它不是质数，所以这时候九个二还不行，所以你指的是八个二，然后再添一个三，这样就行了是吧？这个能懂吗？添上三，所以剩余那个把它变成31就可以了。好吧，这就31懂了吧，就这个答案选c知道怎么31吧，就是用八个二一个三，因为本来。

咱们都想把它变成二的，但是发现呢，如果这十个数里面有九个质数为二，但剩余那个数呢，它是32，32这个数呢，是合数，它不是质数。好。合数它这个不是质数对吧？不是质数那那也不太行啊，那就只能只能咱们再调整呀啊，调调整最后状态是这样，有八个二。啊，

有一个三。这剩余的。就为这个31好吧，剩余的就为31。好了吧，这最大值要31好吧，就这道题也不是很难，就是要讨论一下。看怎么保证它的质数。好了，这道题啊，就做到这好吧，其实刚才咱们也讲了，就用分段高原理，只要它的和啊是固定的，

然后分给这几个人，如果有个人想分的多一点。让这个蛋糕呢，就其他分的少一点就行了好吧，这是它的这个方法。下面咱们看题二至少至多问题，所以这个问题往往通过反面思想和极端思想来进行求解。反面思想，比如说啊，遇到至少我们反面转成至多，对吧？然后极端思想就取。呃，比如说满分或者最大啊，或者说取极限思想，

有时为了满足题干要求，还会要学会匀匀的技巧。比如说我把这个多的啊匀给少的啊，匀一匀匀匀就相当于平均一下啊，掌握这样的一些。做题的处理技巧啊，这样的话，我们就可以把呃指导制作问题呢，给它巧妙解决掉，所以把这几个思想呢，一定要把它用好。下面咱们看这个题数列n是递增的整数数列。且a1大于等于3a一+a二一直加到an=100，它正好呃为100责任的最大值到底多少？请问在这俩值到底等于几？

问a的最大值到底是多少？它递增的整数数列，它在递增，递增的话就后面就越大啊，这个递增的。在增加的也就说这个是。这样的啊，抵增的，所以这道题考点是考察一个数列，另外一个就至少至多问题。好，那这个题。啊，它的一个递增的整数数列a大于等于3a呢，它要。

最少要取散。那a加一二加到100，这n的最大值是多少？大家知道要求这个n最多。有点儿像咱们的分东西一样，分物品一样。公平，比如说咱们就100个苹果。100苹果a1a2 ann个人。n个人要使得n越大n越大，就分给的人越多，就每个人少分点儿呗，是吧？这个大家也很好理解，比如说咱分奖学金。

我奖金就这么多，100奖金这么多，要给分的人要多。啊，人数要分的多，人数要多，那每个人就少分点儿。那就每人少拿一点儿嘛，每人少拿一点儿，少拿点儿，这样话分给的人就会多一些，是不是这样呢？大家就可以找到这样的一个方法嘛？分给的人就会多。了解他的这个思路，

看懂了没有啊啊？就这样分就可以了。啊，看还有没有疑问？好，那在这里面，所以说它尽可能少就行，尽可能少，尽可能少，那a1尽可能少，所以说这个a1a2到an。就尽量要少一点。尽量少尽量少，这时候n才会大。对吧，

这时候n它才会大一些。那AA 2到an尽量少，那这个n它才会大一些。懂了吧，它的n的值才会大。明白没有，然后按着值才会打。好，那接下来咱们来看一下那它的这个方法。那AA 2到an要尽量的少，那尽量少，那怎么尽量少呢？那a1肯定是。最小就取三呗。AA 1就尽量就取三呗。

是吧，然后它就为三。然后a2呢a2它又又在增加啊，就取4a三就取五，这样保证一个数列来进行分析就行了是吧，然后来进行求和。所以它就变成什么变成三+4+5。你加下去这样的一个数列求和。数列求和，一直求下去。注意它这个最后一项啊，最后一项，最后一项，如果你一直加到这个an。然后你这样去求的话，

你可以发现它，最后它这个n解出来不一定是整数，有最后一项，它有可能还剩下一点儿，剩下一点儿，他一个人全拿了就行了。好吧，一个人全拿了。好，所以在这里面大家呢，就是可以看到它的首项是三。首项为三。首项呢，是为三的。首项为三，

然后它的公差d项为一好吧，所以首项为三，公差d它正好为一。啊，这样的通项通项就可以写上嘛an正好等于n+2。是吧，工大d知道了首项知道啊，这样就可以写出来。写出来，那我们首先看如果加到这个an它的求和公式，我们看，谢谢好吧，谢谢。啊，就等于二分之首项加末项。

假设这个an就是n+2，然后再乘以项数，项数正好有n项是吧？这样的。哎n项。然后这样我们就来看一下它什么时候它最接近我们讲过它在大家在考试的时候，一般先试中位数。先是中位数选项的中位数，我们可以看11，我们先看11，它会不会超过100？啊11，11如果还不到100，你就看剩余还还几个好吧，还有几个，

所以在这里面如果n要取11的时候，你看是什么情况？a要等于11就二分之这个11，加上五就16×11。这等于88。n八八。啊88号那在这里面，我们呢就可以写写出来了，写出来，然后呢，这个最大就11了。那为什么剩下的不不能去，不能不能再再给一个人，那为什么不能再增加一个人原因，什么原因，

咱们想想一想。想想n=11的时候，它的分配情况，这样的三四五。到最后一项，最后一项正好就13。这是最后一个，最后一个人分的是13，然后这个加在一起是88，88，他是不是还还剩下12个？八八还剩下12个，这12个12个不能再多给一个人了，如果再多一个人，它就它就不是一个递增的数列。

这12个，这12个可以都给最后一页，就它给的方式。给的方式有很多。知道吧，给的方式啊，它是有很多很多的。啊，咱们就没有问给这几种方式，比如说。第一种方式，12可以都给都给。最后这个人最后这个人直接分25是吧？直接就等于这个25。或者说12你把它平分给最后两个人，

最后两个人每人分六。是吧，12k分给最后三个人平分三个人等等，所以它分法有很多很多很多，不管怎么分。它最多只做就是11项，最多就是11项好不好？有它这个要把那数列是递增的。啊，递增后面比前面大啊，递增的，所以在这里面大家呢，就看出然后这个验证码就11答案就求解出来，这个答案就选择c选项。而且它做了一方法，

好吧，那这道题跟咱们之前呃做的题类似是吧，比如说咱们呃有同学可能学过就是这个。啊，比如说播放电影是吧？一个电视剧啊，有100集100集电视剧，然后每天呢必须播放整数集。是吧，然后要使得任何两天播放的集数互不相等，然后最多可播放多少天？那那这时候呢，又让第一天播放一集。第二天播放两集，第三天播放三集，

然后加在一起看它要等于这个它最后播放多少？那么，大家注意做这类题，它的。要点是什么呢？要点大家不要去通过这个方程去解这个n，首先它是一个二次的不好解。不好解，第二个它解出来n也不是整数，为什么n不是整数，因为它最后会余下一些东西，如果发现余下一些东西。然后呢？它比最后一项这个要少，这个要小少，

那这时候不能再增加点，假如这个余下是22。余下要是22或者余下是15，余下比最后要多比最后多的话，那还可以再再再加一个。再加一项就行啊，剩下再继续加一个。是吧，它这个鱼的。就看它余的跟最后项去比较比较完后，然后来确定它到底是多少个？好吧，所以这道题就利用等差数列来分析啊，这些它的这个取值个数的多少？大家会思考好吧，

所以大家呢，只要把这样的思维掌握住，那都好办，考试有选择题，一定要先验证中文数。综述验证完以后，我们看剩余的。剩余如果大于最后一项，就增加一个，如果小于最后一项，就不用增加，这样就写好了，好，这是它的方法思路，看各位同学懂了没有啊？

好一次数学考试满分是100分。满分呢，是100分六名，评分是91分。啊，六个人平均知道利用得分均为整数，且分数呢？互不相同。其中，得分最少的仅得了65分，那问排名第三的同学至至少得多少分？问最少。好，咱们把这六个人给他排个序好吧，反正有第一名，

第二名，他排个序，咱们给他排个序abcde。好abcd这样的。好，他说这个是得了65分啊，这个人是六六十五分。啊得了是65分。好，他们排第三的人，第三的人最少最少啊，就问这个人最少得多少分？好，最少得多少分？好，

那这个人最少得多少分？我们看他应该怎么写这个，就像分蛋糕一样，让其他人多分点呗，那只能这样了。是吧，其他人分的越多越好呗。是不是其他人分的越多越好？越多越好，那么将来其他人啊，越多越好，多点这个d呢也。多一点，反正e呢，已经固定了啊e呢，

它已经固定了。是吧，就就分的多一点呗。多一点在这里面，大家可以看到是什么呢啊？这个a最多最多100分呐，因为满分就100分嘛a最多最多就分100啊，不能再多了，对不对？然后第二名，第二名最多最多就99分。啊，这都得有99分。然后如果设第三名是ix分，第三名是s分。

因为咱也不知道得多少分嘛，你可以设个s也行。那么d这个。这个最多最多最多就是s- 1分，对吧？不能再多，因为再多它就不能超过c啊，它就不能超过c啊。是吧，这个成绩不能超过c对吧？所以最多只有s- 1分，然后这个加在一起正好等于呃，因为评分知道吗？评分知道就相当于总分就知道嘛，总分知道，

所以你把它加在一起。就是100+99。加x+s- 1+65。好，这能看懂吧，就这几个人把它加在一起噢，六个人六个人六个人是吧，六个人六个人还得再再加个人，哎呀，再再加个人给写一下。好，接下来这个是s- 2是吧？这个呢？就是65。啊，

再加一个，再加呢，再加一个s- 2。再加65，然后这个等于91×6，这样就可以了是吧？这样就写好了。好，六个人，六个人，那就是abcdef啊就行了。好，那这个自己去解吧好吧，课堂就不再解了，反正这个x也很好，

去求求解。好答案就九九十五好吧，答案就选d。那95。啊，如果这道题问排第三的人最多得多少分？你会不会做排第三的人最多得多少分？啊，问排第三的人最多得多少分？好，最多得多少分？用不了思考那么久啊，用不了思考它最多不就98分嘛，是吧？最多不就98分，

我们看这第一名是100。这是99，它最多最多就98嘛啊，不能再多了嘛，是吧？所以这个这个就很简单啊，好，那接下来就是这个题，这个曾经这个题咱们前面做过好多遍好吧，分层高原理做了好多遍啊。所以大家要会分析好吧。好，接下来咱们看某体内共有100人擅长打篮球，有76人擅长打排球，有83人擅长打乒乓球，

有90人。那羽毛球还有踢足球，至少有几个人，五项都擅长。只有几个人，我们现在都算它这道题的方法一可以从反面来进行思考。反面来来进行思考，反面来进行思考的话，就相当于是不擅长打篮球，咱们这个因为汉字太多，咱们呢，就是用这个abcd来表示好吧，用那字母来表示。ABC a代表，篮球b代表，

排球c代表，乒乓球d代表，羽毛球e代表，足球这样的情况。好，那反面代表什么？反面代表AC。ac呢，就相当于100-76，100-75，相当于24。b非就是17c非就等于十。DC就等于16。ec就等于30。这样的好吧，

就a非就等于24b非就等于17c非就等于10d非就等于16e非等于。30咱们画一个集合画，画个集合图。只要这是100个人100人，然后这个是a非。这个不是a，是AC。啊，这是b非。啊，这是CC。这是d费。这是ec。好，这个能看到吗？

这是a非b非c非d非e非，然后外面是什么？外面外面又代表。a交b交c交d是吧？就代表全擅长的就这个圈儿，外面啊圈儿外面就代表他都擅长的。啊圈外面它代表它都是擅长啊，母项它都是擅长。啊，就是相当于abcd，它都是擅擅长。a交b交c交d交e是不是这样的代表都擅长啊？要使外面这个要少，外面少这个相当这个五个圈儿不能有交集。他想，

如果一旦这五个圈儿有交集，比如说一一交集，一交集的话，比如它这两一交集，一交集，外面这人就多了。是吧，所以不不能有借交集交集的话，它人就会多人又多的话，那就不是至少所以让这个它无交集无交集的话。啊，相当于那么就是a非b非c非d非e非加加在一起啊，那么就是说不是啊，这个加在一起就代表不是五项都都擅长的人。是吧，

所以说这样就可以得到五项都擅长的人至少。五项都擅长的，至少那用100-1个24+17+10+16+30。好，这样就可以得到它结果，好答案就可以写出来，这个答案应该选择三个人啊，这个来算算。再加在一起得到三个人。好，那正确答案就选择c选项好，这是它的做题方法，这就求解出来了是吧？用反面法来进行分析思考，看是不是懂了？

反面来进行求解。好，下面我们看方法二。啊，抽屉原理。啊，特殊原因在求至少至多问题，那么用的也是比较多的啊，大家呢，要会分析。啊，那这道题方法二也是从正面来做啊，刚才方法一是从这个反面a非b非c非这些反面，咱们现在从正面做a呢，就是76b呢，

是83。c呢是90。啊，然后d呢是84。啊e呢，是70。啊e是70。好，那这样写好了行，那接下来我们把这个看成物品都给它收集起来啊，再看一下a+b+c+d+e。就等于76+83+90+84+70，这样等于403。啊，403。

好，403就相当于把它看成403个物品往你抽屉里来，放那抽屉原理它的使用过程是这样的，不用同学再强调一下，有几个人把它看几个抽屉，总共100个人把它看成100个抽屉。所以在这里面，这假如这是100个人。把它看成100个抽屉就可以了。比如，这是第一个抽屉，第二抽屉，第三个抽屉，一到98，99和100。

这样的100个抽屉啊，然后呢，接下来我们往这抽屉放物品，在放物品的时候注意这抽屉里面分的几个物品，又代表他擅长几项。比如这个抽屉分得了。一个物体就代表擅擅长一项分得到三个就代表擅长三项，如果分得到五个就代表擅长五项。在分的时候有两点需要注意的问题是它不能够有同类的在出现，比如说分两a就不行，或者分两个b，反正它这个不能够相同。不能相同，分的时候。第二个，

大家要注意，是它有上限，它不能超过五个是吧？比如说你要分七个就不行，因为总共就abcde 5类。五类的话，最多就分五个。好五类就分五个。那几类就分几个就可以了。好，所以它最多呢就分五个，然后接下来咱们来看一下啊，他让他问那么至少有几项。啊，几个人五项都擅长，

这有几人五项都擅长的话，那大家用最不利原则最不利原则是什么？每个处理先放四个。先放四个，就不按照五个来放，先放四个就是相当于什么叫最不利原则，有点像逻辑里面削弱，跟它对着干逆反逆反心理一样，就最不利原则。比如说你想考满分就不让你考满分是吧？想着跟他对着干。啊，最不利于原则。比如他想放五个就不让放五个，都放四个。

数字放四个。同样四个让每人都爱好，四项都爱好，四项的时候，那这时候放四个放四个，这时候还剩余几个，看一下剩余。剩余403-4×100，还剩下三个。对吧，剩下三个好，剩下三个，这个三个在放的时候，它只能再放三个抽屉，这三个东西不能放在同一个抽屉里面，

放一个抽屉里面它就。超过五了就不行，你比如说这个三都放在第一个抽屉，第一个抽屉就是七七的话就不行，刚才讲了每个抽屉最最多放五个。放满有最多放五个抽屉，它有容量限制，它最多放五个。好，那在这里面大家呢，就可以看出来它最多呢就分五个。好，最多分五个，那么这块儿就相当于再给它放一个。再给它加一个再加啊，

当然这加给谁无所谓，不一定非要加给前三个，你加给后三个也没事啊，加给中间这些人都没关系是吧，反正。啊，就可以看出那至少应该由三个人五项都擅长。至少有三人五项。都擅长好吧，然后这样，所以说答案也可以写出来，那么就选择这个c选项答案就求出来了。好，那么处理原理有同学用的不太熟练，我把处理原理再给大家介绍一下好吧，

再然后介绍一下，然后呢，再给大家进行分析。再说说这个抽屉原理啊，给大家进行介绍一下。好，那总结一下啊，就抽题原理总结一下。好，那第一个就是人数就等于抽屉数。啊，人数等于抽屉数啊，几个人又等于几个抽屉？第二个要知道抽屉它的容量是有限的。容量是零到n，

它有有有限的。它零个就代表可以空n个，就是它有上限啊，有有上限好，这个上限就看它有一般有看它种类。好吧，看它的种类情况，而且这个每个抽屉它不能够相同种类放啊，不能出现同种种类的。啊，一定要是不同种类的放。啊，不同种类放。好，那第三个。

好，第三个，第三个就是物品数要知道。你要知道这个物品总数。啊，物品总数，比如说要成绩有多少分儿啊，或者失分儿啊，或者得分儿，另外呢，咱们这个物品啊，有多少个擅长的？项目，比如有篮球啊，足球啊，

排球啊之类的是吧？然后物品总数第四个啊，第四个这个物品呢？分呃，如果比较难的话，分两次放先按照最不利原则，先放一部分，然后剩余的，然后再分啊，以最不利原则。这部分原则那么先放一部分。然后剩通过剩余部分嗯，然后来分析至少至多，然后剩余部分。啊，

剩一部分，然后来求。至少或者至多问题。这样就可以了，好总共这几步好测试原理给大家进行概括和总结一下，看各位同学是不是听懂了？好，那接下来咱们来看一下这个题。这个电影院一排注意它，这是一排有50个座位，其中有些座位已经有人啊，已经座位有人有人。如果新来一个人，无论他坐在何处，都有个人要跟他相连，

就不管怎么做。他反正左边或者右边都有个人给他挨着问，原来最少至少得有几个人就座好，这个大家知道这一排是50个。好，这样，这一排是五五十个50个，大家知道电影电影这个座位，它都有编号嘛？咱们给它a1a2a3a4a5。好，一到。四七四八。四九五十是吧？然后给它编好座位儿，

比如说那问原来最少是要有多少人做，最少最少有多少人做，咱们先如果理解不了的话，先给它画图知道吧，先画一下图，最少最少。这个都要大家发现啊，两人之间那么至多有两个座位儿是吧？也就说原来啊，每两人之间。至多有两个空位。如果有三个就不行，比如说。这这地方坐一个人。然后如果这这这地方。

再再住个人这地方，如果再住个人，那么来一个人来一个人坐在这儿，坐在这儿，他左右两边就没有人跟他相邻了是吧？左右两边就没有人了，所以说那么这个大家可以发现。啊，就是原来做的人里头每两个之间至少得有两个空，至多有两个空位儿啊，最多是两个当然。可以少于两个也行是吧？但是咱们要求至少有多少人嘛？至少有多少人就说就原则就最稀疏的做法是多少？最稀疏的做法。

是吧啊，最宽松做法最宽松做法，大家可以发现那什么意思呢？然后在这里面大家看好，那么原来一个人呢，相当于是。走两边就是原来这个人最少的最少最少人的话就做的最稀疏嘛，最稀疏的话，这样就按照这种做了。啊，就就这种做这种做，大家可以发现规律，如果发现不了规律的话，你多画几个格儿就可以看看出来了。多画几个格儿就可以看看，

比如说啊，最稀疏的做法，最少人做法，那这块儿做做做一个人是吧，这块儿前面可以空一个。但前面不能空两个，如果前面空两个的话，那如果有来一个人坐在这边儿上，那就没有人跟他相邻了是吧？这可以做一个，然后中间间隔两个。可以做做一个，所以为了让原来人最少啊，原来人。要最少。

最早就相当于是原来人呢，就间隔两个座位儿就行了，原来人与人之间间隔两个座位儿，两个空位。这样的话，原来人是最少的，对不对？好那么间隔两个空位的话，那也这做一个人中间空两个做一个人，再空两个，再做做一个人，就这样的一个情况是吧？那大家可以发现，可以把它看成一个周期一样是吧？你看一个空位儿，

一个人一个空位儿，然后这时候呢，是三个作为一个周期，一个空位儿，一个人一个空位儿。是吧，然后这样的三个周期嘛，就这样以三为周期这样的。接下来又是又是一样的是吧啊，又是一样，又是一个空位儿，一个人一个空位儿，就这样的以这个三个作为周期，三个作为周期，当然。

这个50÷3。等于16。16余个二十十六余个26，也就是说后面后面还会多。后面还有余两个，后面后面余两个，余两个的话，那这时候呢，还得再加一个人，因为这个空位儿也说最后的那个做法是什么情况呢？最后做法是是这样的。就这个做法是这样的，这个做法就是一个人。然后一个空位儿啊，正好呢是16个周期就16个圈儿啊，

就中间都点儿点儿，知道吧，点儿点儿好，这是一个圈儿，两个圈儿，三个圈儿，这是。16个圈儿，16个圈儿，然后这正好48个座位儿是吧？16个圈儿，48个座位儿。48座，然后呢？这时候还空两座，

空两座的话，那么还得再加一个人，你如果要不不加人的话。不加人的话，然后这时候呢，来一个人，他就会左右两边没有，所以说这时候再加一个人坐这就行了啊，最后再加一个人，所以那至少至少需要17个人。好，那这样就写好了好吧，然后正确答案，应该选择a选项好，这叫做题方法思路，

看是不是听懂了？接下来咱们看啊，这个巧用抽屉原理来解题，抽屉原理。好测试原理是什么？测试原理一和原理二，我们来看看啊。然后这个有点抽象啊，理解不了，大家可以举几个实际数来理解就行了啊，抽离原理。将n+1键或者更多的，就至少n+1键吧，或者或更更多更多就至少。这加一键任意放到个抽屉里面，

就至少有个抽屉物体不少于二，就至少得放两个，这个很简单，比如说抽屉原理一。我给大家举个例子是吧？处理原理一。你看比如说六个物品。放入五个抽屉。六位放我手里。你不管怎么放啊，不咱们说的最少最少，当然这六个物物品可以都放在一个抽屉也没事是吧，六个物体放两个也行。比如说至少有一个抽屉啊，它的数量。

不少样啊，至少一个抽屉。它数量。不少于二是吧，就至少有一个抽离数量，它是不少于二的。是不是这样，至少有个抽离数，它的不少于二好，这六个放五个抽离就这样的好，那么这个或更多什么意思更多，这是n这是n+1。增加a那比如说七个也一样，七个啊七个。七个七个那那那你随便放啊，

随便放那肯定也不少呀。是吧，所以这里面大家呢，也也可以随便放。啊七个，比如放五个抽屉，七个放五五个抽屉。那至少不少样嘛，七个放五个抽屉，比如说你怎么放呢？当然当然，有同学说能不能写成不少于三，那肯定不能不少于不少于三，那可以两个二。是吧，

一一一啊，这七个放五个抽屉。是吧，放放我手里，放我手里，它可以是二。啊，这样这样写吧，这不七个嘛，七个一一一是吧？一一所以它只能得到不少于二啊，它不一定是咱们是最差最差不能少于二。知道这当然有可能是三一一这种方法，还有可能四一一零啊一一零，这也可以知道吧，

也可以。反正这叫做不少于二，咱们按照最差的情况就是不少于二的。好吧，所以说就是n+1个或至或更多。更更多，再多点儿也行，再多点儿往里放，往里放，至少有个抽离数量不少于二。好，这是第一个抽取原理概念。看到没有，第二个原理原理二。然而，

将多于mn个啊，多多余的话就是至少m乘以加一啊，就多余这个多余是大于没有等号啊，就多余看好了是大于。大于大于m×n个m×n个至少要给它多一个或多两个这个物体任意放到n个抽屉里头去。那么，至少有一个抽屉的物体的个数不少于n+m+1。这什么意思？这个m×n个，你先按照这个n个来放，每抽屉放n个。那来放。n来放所以说在这里它它的原理什么原理都是平均放，大家发现一个什么规律没有平均是吧，比如比如说六个放五个抽屉也是先每个抽屉放放一个多的物体，

然后再平平分放。懂了吧，所以它的原理其实很简单，很简单，都是平行放，比如说我先都放一个，都放一个，比如说七个物体啊，假假了七个。放五个抽屉，先放五个抽屉，然后每个抽屉先放一个。每次都先放一个，以后那这时候不多俩嘛，多俩这俩还是品评分放，

始终都是品评分的放法品评分，然后再给它加一个一个。再加一个，这样就达到至少。好吧，都是平均分放那这乘个乘个也一样。啊m×n个m×n个，你先按照这n个平方啊，先是。平均分。没放那说明每个抽屉要放m个是吧？每个抽屉放m个放多了，这一个怎么放多了？这这一个多了，这一个就放到某个抽屉里面，

它就变成m+1了。是吧，比如说放到这个，因为现在每个抽签都不放了m个嘛。是吧，每个抽屉它n个抽屉，每个抽屉都放了m个。好，这个处理都放了m个。都放m个，然后再多了这个多了这个多的，比如说m×n+1，刚才咱们先刚好是按m×n这样的数。来计算的那多了一个多一个多一个，要么放放放在它上面，

放在它上面就变成什么变成加一个。好在上面变m加，那如果多两个怎么办？多两多两个的话，把两个再平分多三个呢，三个再平分多四个，四个再平分，以此类推。是吧，反正要要多两多两个给大家放一个给大家，这再放一个如果。多两个是吧？多多三个给大家再放一个一样的。好，就这样，

内容看是不是懂了啊？好，所以这是它的这个基本方法，就平均放好，这是它的考试内容。好看，是不是明白抽屉原理了？好，接下来咱们看这种错题原理可以解决什么问题？有黑色，白色，黄色筷子各八根，混杂放在一起。黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。两双有四只了啊，

要要要包含包含。就是你取这个筷子里面要出现什么呢？出现颜色是不同的两双。至少要取多少根才能符合要求。好，这个大家想想。想想应该怎么做啊？一定要咱们按照最差的情况来分析，知道吧，不要按照最好的情况，最好的情况，有同学说我就取四根，其实刚好就是比如说黑的。呃，一双白的，

一双四四只，两双就取完了，那最好的情况是吧？最好但是。最好的情况当然有时候咱们运气没那么好。你运行没那么好，知道吧，因为它黑暗中。黑暗中是吧，黑暗中就就看不见就黑暗中。他他就运气没没那么好了。好，这时候大家想想怎么弄我们看。然后这是黑色的。白色的。

也就是这个才能保证达到要求什么，必然保证达到要求就至少取几根儿，必然要达到要求。必然不是说有可能啊，不是说有可能当当然这a选项四四只。四根儿是有可能知道吧，四根儿有可能四根儿也是最理想最理想的情况下，比如说赵老师。取一双黑的，取一双白的，或者取一双黑的，一双黄的，那正好四只，那这是最理想状状态了。但人家要咱们要找最差的情况，

知道吧最差？就是运气最最差的。在这也要也要出现。两双不同颜色的。就像大家吃饭筷子一样，两双不同颜色的，最差的上就最差，要保证出现两双不同颜，就不管怎么弄啊，闭着眼睛摸也能够满足是吧？好，这个在这个最差情况下，我们至少要取几根，懂了吧？要进行好，

大家这样想，那这里面都有八根。有bug。咱们黑暗中，咱们按照最差最差，比如说这个先摸八根，八根的话，比如说都是同一个颜颜色的是吧？咱咱们八根。咱就按照运气最差的情况好吧，八根。同色的，比如说这个这个，因为这个八根它都混杂在一起嘛，混混在一起就是相当于里面有24根筷子。

是吧，里面就就24根这一大把一大把能闭着眼睛，闭着眼睛摸摸，比如说我先抽出八根，抽八根，抽八根啊，这运气最差，发现都同同色的。啊，都都同同色的。对吧，好，那接下来我们再取一根好，不能重设就反正有有一个就取完了，假设这个黄色的就又取完了。

划出来就剩两个抽抽屉了，剩两个抽屉，那我们再插再插的话，有可能是什么取一黑一白？取黑一白，比如取一根黑的一根。白的这时候还没出现两双不同颜色的啊，还没出现两双不同颜色的就取一个黑一个白了。举个100，这时候呢，这时候比如说你手里是八个黄，然后一个黑一个白，假设给你举个例子好吧，就八个黄。啊，

一个黑一个白。然后这时候呢，我们再取一根，再取一根，你不管这根是黑的还是白的，那就可以保证两双不同颜色，比如说我前八根同色的已经有一双了，比如说八根黄色的，八根黄色的。那么可以。保证啊，那么肯定成双的黄色的有了，然后这块儿这块儿不管这个曲子，我给写写上，假设是考试时候，

到时候列举一下，假设这是黄色。好了，这个取的是一个黑。一个白这样再取这个。这些的话，你不管怎么取，那这根要么是黑的，要么就白的了是吧？反正如果要白的就是这一双，就是白色的。然后如果这个黑的这个双就黑黑色的是吧？黑色的，所以再扔几根，所以至少至少要是11根。

好知了之后就十十一根，这个写好了，是不是然后大家？看这块儿至少就11根，这就写好了。或者或者你反过来想拿答案往里往反过来想也行。反反过来想，反过来想，这样想，这是正着想，这是正着想的时候，抽屉里面取，从这里面去抓，反过来想，就11根往回放。

一个逆向思考。有11根。呃，放到这个抽屉。比如这个是黑。白黄。十根往回放，那么最差的情况是什么？这个情况，比如说11根，这有八根都放在这里头了。是吧，有八根都在这里头啊，11根有八根呢，是在这这里头这这还有三根对吧？

还有三根还有三根那只能放在这个黑根白领抽屉了，因为这个抽屉已经放满了。因为黄色的就是八根，不然这已经放满了是吧？放满放满，然后在这里面，这还剩下三根。三根的话，往这两个抽屉放，肯定有个抽屉，至少要放刚才咱们讲过了啊，三根放在两个抽屉。三根放里头算，然后按照抽屉原理，第一个第一个它至少有个抽屉要放两根，

有可能要么就是呃一二放。啊，要么就是二一这种方法是吧啊，二二二一这种方法，所以这三根要么就这样放啊，一二放，要么就二一放，这样就OK了，所以这样的话。如果要按照一二八这样放，就是有一双是白色的，剩下的这个都黄色也成双了是吧？就有两双不同颜色的。是吧，如果要是按照二一放，

就两有一双是黑色的，还有就成双都是黄色的是吧？这最差最少，所以11根这样的情况啊。那其他十啊八呀都不行，都有可能不能达到要求，知道吧，有可能达不到要要求，所以这块儿我们按照最差的来进行取。好看，这个明白没有？好吧，就这块儿大家呢？可能这个思维呢，稍微抽象一点啊。

好，接下来咱们再看这个题。某学校高一年有165个学生都参加篮球，足球和乒乓球三种体育活动中的。一项两项或三项。那至少可以找到几个同学参加项目是相同。参加项目相同，比如说咱俩参加项目相同，我给你就是不会同学，大家先按照生活常识举几个例子，懂了吧？举几个例子？比如咱俩正好参加项目，咱咱俩参参加什么项目，比如说你参加篮球足球，

哎，我参加篮球也足球。是吧，然后这样的。比如说你参加足球，乒乓球，哎，我参加足球也也是参加足球，乒乓球就咱俩参加一样的。或者说什么啊，你参加的是上周参加了，哎，正好我也上周参加，咱俩也是参加项目一样的。或者你参加一个，

比如你参加足球，而我也参加足球，唉，咱俩也是一样，就这样的学生，至少可以找到几个同学参加项目相同的活动。好，那接下来咱们看这道题怎么弄？策略，大家首先要找到有多少个抽屉，知道吧？有多少抽屉？有多少抽屉的项目的情况？有几种对吧？一项两项三项，

它项目总共有有几几种啊？项目参加的种类啊，有有几种？这个题稍微难一点啊。这大家可能想不到。好，那么我们看参加一项的，参加一项的，它分为三种c三一。参加一项的就有三种嘛，因为有可能参加篮球，足球和乒乓球。是吧，篮球，足球和乒乓球。

这样的是不是这样的篮球，足球和乒乓球？好c三二参加两项，参加两项c三二c三二的话，有可能篮球，足球，篮球，乒乓球，足球，乒乓球是吧？c三二。参加三项就是c三三。六=7。啊，这块可能大家想不到，

所以这项目种类就相当于是七个抽屉把它看成七个抽屉。七个抽屉那有同学做到这儿啊，给大家提到这儿肯定就会做了七个抽屉。好，就165个学生往七个抽屉里放是吧？七个抽屉知道哪七个抽屉，如果不懂的学再给你画上。接收率，比如说这篮球的。这是参参赛项足球的乒乓球的。然后呢？就是呃蓝跟足的。蓝根。呃蓝跟那个乒乓球的蓝蓝拼。然后逐篇。

然后这个最后是都参加了，这抽抽屉就比如说你落到这这抽屉里面。什么你就参加什么，对吧？参加什么？比如说你参加篮球，乒乓球，你就在这这里头。对吧，就在这这里面，所以你把它看七个抽屉，懂了吧？考试不用写那么详细啊，考不用写那么详细，因为咱们现在讲课给大家都写写一写。

好，这七个抽屉接着，然后165学生往七个抽屉放，接着放，刚才讲了，那怎么放是最小肯定要平均放？是吧，肯定要要要先平均放，所以处理原理，不管是处理原理一还是处理原理二，都是先平均放知道吧，先按照这个。平均放弃了。因为它最少嘛，最少可以找到几个同学参加，

相相同嘛啊，平均分。然后就165，然后除以个七，因为七个抽屉嘛，除个七这个二七十四十四，还有这个是。14还有25，25，三七，二二一是吧？这就得到是24。呃，三七二一，然后还余啊余余一个四。

是余一个四吧，就这样的。那余个四。是不是这样啊？余个四，所以有时候你把这个都放23个人。23个人，然后还余这四个啊，余这四个余这四个你可以均分放啊，余这四个那给它再加一个。啊，再加一个是吧？所以在这里面大家可以发现我最少最少可以找到什么这个存在24个人参加同一个项目的。是吧，24个，

比如这24个参加篮球，24个参加足球，反正有有24个人可以找参加相同项目的。是吧，就这样的啊，就这样，大家应该选择d选项。选d好看，这个是不是懂了好，这是它的方法，看是不是明白？然后咱们再看这个题啊，这个题。啊，从一二三四到50，

这50的数中。最多可以选出几个数，使得其中任意两个数的差都不能等于四。就任意两个数的差不等于四。z两数差值，它不等于四，咱们用大减小吧，大减小就不用加绝对值了，用大减小就不用加角不等于四。或者当然当然，也说明它可以大于四，也可以小小于四，你大于四也行。小于四也可可以，反正就不等，

等于四就行，差值不是四就可以。像这样题啊，差值只要不是四就OK。啊，遇到这样题，好像咱们考试的时候拿到这道题，好像没有思路是吧？就假设拿到这道题，确实呢，没有思路，那所以我们列举几个？先列举几个看看规律。首先，差值为四的特征什么？

差值为四的特征，看看这个规律，我们看能不能找到？好，都想想。好来想想，差值为四的规律，你看是不是能能找到？呃操作为四规律的话，大家想想四这个怎么去弄？我们先列几个试一试好吧，先列几个试一下。好，我们看叫一二三四五六七八。90反正大概就往下列。

那大家可以发现。然后每四。每四个数。把它分成，比如说这八个数吧，八个数八八八数，大家发现。发现要排除几个是吧，然后看。排除几个？八个数里面，大家看排除几个？对不对？所以大家就是稍微列几个就行了，对列几个，

所以有同学发现就选四个，排除四个，有八个里面要排除四个。这样你就你就找到规律了。是吧，八个里面排排了四个嘛。你看是不八个里面？差值为四，你看一跟五，这差值为四。是吧，然后二跟六差值为四三跟七差值为四。啊五跟八。差值为四，你发现没有？

首先看差值为四的就。一跟五，二二跟六。三跟七。然后还有四跟八。是吧，四×8，所以你可以看它这个每八个数里面要要扔掉一半儿。是吧，要扔掉一半。所以八个数扔掉一半，八个数扔扔掉一半。所以在这里面，你就把这个50呢，可以分成几个八是吧？

所以在这里面，大家可以看五十五十呢，就一到八。然后呢？这个是？九到16。17到24。然后25到32。33到40。41到48，然后最后就是49和50这样的是吧？19和50。所以大家可以发现，就每八个数要选出四个，要扔掉一半啊，

扔扔掉一半有用的。啊，扔掉一半儿那样吧，当然至于扔掉哪一半儿无所谓，知道吧，你扔掉哪一半儿都行，这个这个咱就不用，比如说。哎，我把这个这其中的啊一二三四扔掉，保留五六七八也行。是吧，保留后四个也行，或者我我要一二三四，我把五六七八扔掉，

这样也行是吧，比如说我都保留前四个。一二三四那这个比如一到八，我保留前四个，这一组也保留前四个，这一组也保留前四个，这一组也保留前四个，这还保留前四个，保留前四个。是吧，我都都要都留前四个也行，或都留后四个也行，这个都没事，知道吧，所以说这个就它的啊，

这个数留的方式有很多种。这个不用管它啊，留的方式有很多种。所以大家可以发现，前面呢，都只能留留四个数。要么就前四个，要么后四个都只能留四个。64个，那相当于是四×6就24个，而是49和50，这俩都可以要。四九五十这俩都可以要，比如说我如果留前前四个啊，如果留前四个，

这也留前四个，这也留前四个，连着前四个，前四个，前四个，前四个，前四个。这组也留前四个，因为这组只有两个，只有两个，那有两个全留上就行了。圈圈钮圈的话，那就是26个。就他问最多嘛。最多那我用每组都都留前四个算了，

这组留前四个，这组每组都留前四个，留前四个。最后一组，这两个都可以留，都可以留就26个，所以这个答案选择a好看，各位同学是不是懂了？好，这个题大家不会做的，同学怎么弄呢？你先列举几个，找找规律知道吧？列列举几个，找找规，

找找规律的话，那就是明白了。然后这样就好，分了好分，然后这样往下就写。好吧，所以咱们列举法不仅对咱们奥数思维很重要，那么对咱们做其他题也是这样，尤其在学排除概率的时候，那么列举法很重要，列举几个找规律嘛，找完规律后你就其他就会写了。好，这是给大家强调的方法和思路。好，

那我们来看一下这个题。甲班共有30名学生，在一次满分为100分的考中评审，一下为九分问成绩低于60分的人至多有多少分？啊，低于60分的人，制度有多少分好？那这道题这道题呢？我们可以用这么几个思想来来解决。啊，一个呢，可以用杠杆原理来进行分析啊，杠杆原理来来进行分析啊，一部分是最多一部分最少是吧，所以说那方法一。

我们可以用杠杆原理，杠杆交叉法。好，为什么可以用杠交叉法？我们画个图就知道，只要这是一个杠杆。然后呢？它这块儿平均成绩是90分90分，它代表支点儿，这是90。啊，这是支点。他们乘以d的。到底至多有多少人啊？就这边儿这边儿有低分儿的。

这边是高分的。啊，以这个为界，分为低分儿的和高分儿的，他们低分儿的人啊，低分儿的人至多有多少？至多大家知道总人数是30人啊，全班总人数30人，30人总人数30人，那这边儿要至多。这边儿人数越多，那这边儿人数就越少嘛，总共有30个，比如说30个苹果啊呃，一个人拿的越多，

另外一个人拿的就越少，是不是？所以这上面这个就少。大家知道好，那么离支点越近，那么人数数量越多是吧？大家知道杠杆原理有离支点。离资源越近啊，离资源越近，然后这时候呢啊，那么数量越多。啊，离支点越远，数量越少。好离志愿越远，

它的数量是越少的啊，离志愿越近，数量越多好吧，所以在这买那，说明这这高分儿离志愿越远越好，越远越好，那么最远就是满分为100分嘛。就考满分，所以有同学就理解不了啊，那么答案里面那为什么这条取100为什么不能取其他值，因为呢，这离知识点要越远。好吧，那这块儿离志愿越近，那人数越多，

离志愿越近的话，那离这90越近越近的话，因为它要低于60分儿，低于60分儿，那最近只能取59分儿了。是吧，取五五十九分儿，然后接下来大家可以列方程做，可以列方列方程做，你可以设这边是x人，这边就30-x。那就可以列一个方程，也可以用交叉比例法做列个方程，就按照咱们答案里面列的就是59x。加上100×30-x就等于90×30。

好，那这个代表是。低于60分人的总分，然后这个高于呃就是高分的总分加在一起，等于全班的总分。加起等于全班总分，这样就写好是吧？这是全班的总分。就写出来了啊，就59x+100×3-s+90×30，这样就ok了好吧，这样就写好了。需要然后这个x刚解出来x解出来的话，它不是一个整数，是一个小数，

小数的话到底是怎么样取小数，比如s。呃，解出来大概是七点儿四啊，七点儿四，七点儿四的话就相当于至多七点儿四至多七点儿四呢，肯定不能取八了是吧？也就是x的近似。比如七点四，现在要七点四的话。那这个x呢？就是不能超过七点儿四嘛，就这个人数不能超过七点儿四就取七个人。就娶七个人，所以这个地方也不也不是四舍五入娶妻子啊，

这至少这个问题和现有优化问题是一样的，它不能四舍五入，不能说唉，七点儿四它是不是把四给它舍舍掉，它不是这意思。比如这道题，即使算它是七点八七点八，它还取七，到底是取七还取八呢？其实很简单，你要看它到底是大于还是小于把至多呢？换成小于等于就行了。也就至多它相当于是小于等等于。小于等于x啊，那么肯定是要比s要小比s是七点八七点八，

它还这地方还是取七还不能取八好吧，所以在这里面大家呢要知道。当然，那也可以用交叉比喻法，比如说59，这是100中间呢，是90，然后这个100跟90相减十，这个呢，减完31。所以大概就十比31的这样的一个比例，十比31比例，那59分的人就占了十÷41，然后再乘以30。是吧，

因为它的人数比例十比31，十比31的话，然后在这里面它总总的占了十份儿，这个呢？41份，然后总人数30人，30人，然后这个算法近似也等于七点四。啊七二四的样子是吧？然后接接下来那么还是取这个七好，这是方法一杠杆儿交叉法。咱们看方法，二方法，二有抽屉原理，什么时候用抽屉原理呢？

一般大家把这个分物品的时候用抽屉原理，这道题可以转化成分物品的，这个内容是吧？所以说方法二。可以用抽屉原理来分析。好抽屉原理来来进行分析，好那抽屉原理那怎么回事呢？从四分的角度，然后大家知道评分是90分，然后呢？满分100分，满分100分，平分是90分，那说明。那全班的总失分。

总分就平均每个人失十分，然后30个人就失分300分。就是平均一个人丢十分，然后全班30个人，所以它总共呢是300分，这样写好了好，那300分写好以后，那接下来我们来看一下。看一下它的这个表达式好，那把这个300分呢，看成300个苹果。把300分啊，看300苹果，300苹果是什么意思啊？就是你分几个苹果就相当于丢几分，

如果你分了零个苹果就相当于是你没有丢分，没有丢分就是100分。如果你分到了五个苹果代表，你失了五分，失了五分就代表是考了95分，懂了吧？所以接下来抽的原理就是几个人就写几个抽屉，那么总共30个人就写30个抽屉。有a1，a2，a3。到a30是吧？就a1a2a3到a30，那总共30个人就30个抽屉。这样写好了是吧？

30个人，30个抽屉。啊，30个人，30个抽屉，然后接下来我们看怎么分这个300分300分，也就是说让。低于60分儿的人，那么这个至多有多少名低于60分儿的人，那相当于什么低于60分儿的人？那至少要分。这要分多少个呢？这要分四四四十一个。是吧，你把它看300个苹果，

300个刚才讲了，你分几个就代表扣几分，那因为低于61分嘛，低于60分嘛，低于60分，那最多就考59分，所以至少要扣41分嘛。至少要扣41分是吧？也说至少那样写嘛，至少要扣41分这样写吧。是吧，至少要扣41分，有至少要分41，至少要分41，当然你可以分50也可以分嗯。

分分更多是吧，分50就代表他扣了50分啊，分了45就代表扣了45分。是吧，但是大家讲300个苹果要分的人要越多越好，分率越多越好，每人分的越少越好是吧？就像咱们奖金一样，奖金如果每人奖金少一点儿，就可以让获得奖金的人数。要多一点是吧？面儿更广一点，是不是这样的？所以在这里面大家呢？就可以呢，

看出让每个人呢扣的少，QQ的少，这样分的人才多嘛。是吧，你想分母。那分母分母要小，那这个人数多分母要多，比如说每个人扣50分，每个人扣50分的话，那么很快这个300个苹果就分完了。是吧，就不能达到最多，所以说就可以得到至多只有这么多。啊，这也大概是七点四。

啊，七点四七点四所以至多七点四个人，至多七点四个人，那么就只能选七个人，因为人数是整数选的b，这样也是可以的。好吧，所以以后大家什么时候采用杠杆交叉比法，只有两个东西混成一个整体的时候用，这样交叉比法，这个也可以改成溶液浓度问题。是吧，就是这个溶液浓度问题，你也都可以用交叉比例法来分析，而且杠原理，

它要知道离支点。远远近它的这个情况是吧？然后第二个就是抽屉原理，抽屉原理就是分物品的时候，那么采用抽屉原理来进行分析，这两个基本的思想和原理看各位同学是不是听懂了？你看这道题，还要知道这个分母啊，分母的这个取值情况啊，分母越小，那么分数越越大是吧，分母越小，分数越大。如果分母越大，分数就越小好，

那在这里面为了保证这个分数要大啊，分数要大，分数大的话，咱们这样分母小一点。好，这是他的思想看书。

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