052.专项十二-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:46:07

各位同学大家好，接下来我们学习排列组合的归纳和总结，排列组合也是咱们整个考生普遍感觉容易错的，比较薄弱的一个环节。啊，之所以大家感觉排组合不好学，因为排组合它研究是动态的问题，研究变化的问题，而且它的看不见，摸不着，需要大家空想。啊，排列组合每年考两道题左右啊，每年考题考两道题好，这些知识点不仅可以单独处理，

也是古典概率。它的一个基础性的考法。然后这部分很多同学呢，尤其在文科同学里面啊，他高中阶段没有深入学习过，所以导致呢，这部分同学呢。对这个排组合呢，很抵触，甚至呢，产生心理阴影比较害怕，排组合其实排组合大家不要害怕啊，一定要有信心。它属于什么入门儿比较难，但是呢，

容易精通的一个知识，一旦入门儿了，其实排列组合做起来是非常方便的，所以学习呢，只要有条理，循序渐进，找到方法。克服心中的恐惧，就会达到一些质变。然后在学习排列组合知识点的过程中，一定要进行归纳总结，然后再将题目做熟练，一切就变得非常顺利了。啊，就OK了。

好，那接下来咱们看排组合，它这个相应的题型和内容。啊，第一个就是六大基本符号，六大基本符号分别是加减乘除啊，这四个符号，然后加上。组合。组合就代表选取，阶层就代表排序。好吧，这样的话，我们把这个符号给它用好，也是最入门级的啊一些。

表达符号的一些含义要弄清楚。首先咱们看第一个，第一个就是先分类后分步是吧？也就说当啊，加号和乘号同时出现的时候一定要。先宏观的分类对于排组和题目，首先要考虑什么？考虑是否需要分类和分布？由于当两原理同时。出现比如一个复杂点题，又要分类，又要分布，一定要先宏观的分类分类，把它分成几大类，然后每类再分布就可以了。

好，接下来咱们看一下例一这个题啊，例一啊，旅行社有豪华游轮五种和普通游四种。某单位议程中选四种。其中，制造油，豪华油与普通油各一种的选择方法到底有多少种？啊，至少有豪华游和普通游各一种。好，那接下来咱们来看一下啊，它的这个方法各至少豪华和普通游各一种，那首先咱们说一下容易错的选法好吧，容易错的一个选法。

思路就是豪华游，普通游各至少一种，那相当于是豪华游选一种。普通有选一种。啊豪华游挑一种普通游啊挑一种。啊，挺好了，要然后剩下的还剩下啊，这个四个豪华游，三个普通游，再选两个。啊，再选两个啊，这是它的方法。啊，

注意就是豪华游选一种，普通游选一种，然后呢，就从其他里面。其他里面，然后再挑一个是吧，就从剩下七个里面再挑一个，就剩下四个和这个三个。然后还剩下七个七个里面再挑两个，这样话就选出来这四个，所以呢，有同学说这样选行不行？就这样就。至少一种嘛，至少各一种，

至少各一种，它先好啊，有普通有各选一个，剩下的里面我再一块再选两个。这样选呢就错误啊，错一呢就是重复了啊，这个就是重复了。然后因为它先后取样就从，比如先选的a，再选的BC跟，先选的b，再选AC。它选出来是一样的，它重复了很多，知道吧，

所以不能这样写啊，就是这样重复的原因，又从同一个样本，然后进行取样，就会产生重复。然后正确写法，咱们看一下正确写法。啊，这些写法的话就是分类好吧，分类就行了。分类我们看它怎么去分类，分的话就相当于是要么就一个豪华。三个普通是吧？一个豪华，三个普通有一个豪华。

三个普通这样算出来就等于五×4就得20。好，那这是它的这个方法啊，就是豪华那么选一个普通选三个或者豪华选两个。普通选两个有十×6，得到是60。然后或者说豪华选三个。普通选一个。啊，这样的。好，那这样就写好了啊，这样就十。等于四得到40。然后试试，

然后把它加在一起，共120。加起共120，这些答案就选择c啊，这些答案就选择c好，这是它的方法思路，看这个是不是懂了啊？那就20+60+40，然后得到这120就写好了啊，它的这个方法思路，看看是不是懂了？然后这是它的分类情况，当然那么还可以从反面做。反面做反面，反面就相当于总的选法，

总的选法从九个里面，因为它总就九个里面选四个。因为总共是五+4，得到是九。啊九个里面挑选四个。有c九四，然后减去它的反面什么反面就是全都是豪华的，没普通的。或全都是普通的，没豪华的，这样也可以那么c九四不会算的，同学在这边简单给大家说说怎么算就九八。七六。然后除以四的阶乘。然后减c五四得到是五。

c四四得到是一好，这样就写出来了好吧，这样大家呢？就求解出来了，然后这个就是18乘以七一百二十六。126-6，这样等于120。啊，这是它的做题方法，看是不是听懂了，所以这个从反面它反面是什么？反面就是全都是豪华，没普通或者全是普通没豪华。好正面反面都给大家已经写到了，所以这是它的考法，

所以遇到至少至多问题，大家不要犯这个重复取样的错误。另外，大家呢啊，也要注意啊，我们要么正面分类，要么就反面求解好吧，把这个思路弄清楚就OK了。好，接下来咱们看一下例二这个题。平面上有十个点，其中四个点在一条线上，其中其再无三点贡献。连这些点的直线共有多少条啊？那么直线啊？

直线大家知道两点定义线，但是要减掉重复的是吧？有两点定义线。好，那接下来咱们来看一下，就首先有四个点是在一条线上啊，它有四个点。a线上剩下的这个六个点是没有在一条线上的啊，六个点，比如说它都是弯曲的。啊，没有在一条线上好，那咱们看除了这四个点之外的，其余六个点，那么它可以组成多少条线？

啊，其余六个。第六点c六二正好等于15。c六二=15是吧啊？六个里面随便选两个c六二，这样等于15，然后这四个点它可以构成。啊，这个一条线是吧？所以说那四个点。它这是一条线。对吧，这点是一条线。然后这是分别的，分别在六个点，

还有这四个点分开的，但合在一起，合在一起的话，就从这四个里面挑一个，从六个里面挑挑一个啊，另外就是各取一个。歌曲一个歌曲一个就相当于是在四个里面挑一个。这六个里面挑一个得到24是吧？得到这个24好把它加在一起就可以了共。15+1+24。要等于40这呢，就选择d选项。它的方法在哪里选择d好？这是它的处理思路。和方法看这个是不是懂了它的考试要点，

所以在这里面就是呃合在一起来进行写就行了。啊，这是它的方法，那有同学能不能从反面做反面话就相当于是也可以做反面呢？就这样的反面要减掉。它重复算的就行了是吧？所以说反面算我们来看。每每总共十个点。啊，十个十个点任取两点。就c12啊，任意两个点，然后减去它重复的从这四个点任取两个点就重复了。那任意两点就重复了是吧？就这样，

但是你全减没了，还要再加上，然后再加上这个一代表什么意思知道吧？一就代表这四个点它。它可以产生一条线。但是在这个c12里面，这四个点我们把它当成了六条线。知道吧，四点到六条线，所以减c四二就这样减到六。只有得到这45。减六再加一也等于40，这样也可以啊，有同学从反面做了，反面做也可以，

答案是一样的。所以把这个弄清楚就可以得到这个结果啊，如果这道题要改成组成多少个三角形呢？大家想想，如果改成任取三个点，可以组成多少个三角形，我们呢？也可以改成这样的。比如这里还有十个点，十个点呢。啊，其中有四个点在一条线上，其他呢就没有在一条线上，这时候问可以组成多少个三角形，就是取三个点。

和组成几个三角形。啊，取三个点可以组成几个三角形在这边，大家呢就可以写c13。然后减掉不能构成三角形的，不能构成三角形就是贡献的三个点，是不能构成三角形的是吧？就减c四三就行了。啊，这样从反面做要简单，这样的话得到120减掉四得到116个答案就求解出来啊，如果要问组成几个三角形。当然当然，也可以去进行分类讨论，分类讨论，

比如说。啊，这上面取三个点啊，或者说你这样分类讨论也行。那条就是c六三。啊，这个不贡献的点任取三个都可以组成三角形是吧？其他都没有三点贡献了，都可以组成三角形。然后另外呢，这上面取两个，这地方取一个也行是吧？加上c六二。这两个。这个上面取一个。

啊，加上上面这个点取一个这条线上取两个点都可以是吧？取一个这取两个。这样都OK，然后再这c六三=20这个呢c六二得到十五十五×4得到60。然后这个算出来c四二得到是六。啊六六乘以六三十六。算答案是一样的啊，也等于116答案是一样，所以从正面反面都可以，然后后面这表示代表什么意思？讲讲c六三就相当于从这。六个里面任取三个点。啊，任意三个点，

然后组成三角形，然后c六二×c四一就代表从这上面取两个，从这个四个点挑一个。啊跳一个最后一个c六一×c四二，相当于从这个。上面这个点取一个这个贡献点取两个啊，这样就得到它的式子好，这是它的方法思路，看是不是懂了啊？掌握它的考法。好，接下来咱们看一下例三这个题。叫做集合是一二三四五构成一个集合，选择at两个非空子集。啊，

一定是非空，而且还有它子集要使b中的最小的数要大于a中最大的数。那么，最大数那么这样不同的选择方法到底多少种？这种肯定要分类啊，一般遇到数字问题，尤其遇到大小问题肯定要列举加分类。还有列举。啊，要使集合中b的最小数要大于a中最大的数。是吧啊a里面最大数好，那b里面最小数，我们来看看，如果b里面最小数要是五。啊，

药师5b。b最小数要是五那b集合就是它子集嘛？就只能95了，那b呢取五。啊b有最小值为五。是吧，所以在这里面大家就可以看出来啊b最小为5b，最小为五那AA只要是取一二三四的子集就行。非空子集就行。啊，就写非空子集。飞控自己就可以了。啊非空子集，然后这块儿就可以得到非空子集就24方减一是吧就？15种啊，

15个好，这是15种好，如果b里面最小数。为4b最小数要为四那b呢，它就有两种。要么就四，要么就四跟五。这时候b的最小数就4b，最小数就四，那么a呢？只能取一二三的非空子集。啊，一二三的非空子集非空子集，大家看一下。一二三分母只有二的三次方减，

正好等于七。啊，等于七但是b呢，有两种b有两种，这时候呢，它就是二×7得到14。这样的二层七，然后14这样写好了。然后再看b最小数要为三。b最小数要为三的话，那么有几种？比如说三。三四。三五。还有三四五。

啊，这时候b的最小数为三，那a的话应该是一二，它的非空子集a的话。这种情况a呢？就一二。非空子集。啊一二它的非空子子子集这样的啊一二。然后接下来我们来看一下一二式分公式，有二的平方减一就等于三个。啊，就等于三啊，这时候这时候呢，因为b有四种a有三种，所以说总共呢，

就相当于四×3。有12种。啊，就有12种。然后b最小数为二，咱们看一下b最小数为二。啊b最小数为二的话，那么b呢？它就有八种了，那咱就不再一列了，为什么呢？因为b最小为二。v2为什么是八种呢？就相当于是三四五。三四五它还有三个，

有三个任意任意挑，有三个任意挑，比如比如三四五。35那么你可以从35里面选一个。三四五里面选两个。三四五里面选三个。当然35你都不要也可以。是吧，这样三四五我一个都不都不选。啊，一个不选就是二，比如说b它的几个就就是二，这一个35它都没有，要就三个里面取零个。有可能35选一个，

比如说二跟三或者二跟四或者二跟五。好，有可能35里面选两个。这两个比如说二三四或者二三五或者二四五或者三四五都要三四五都要三四五都要就二三四五它都要。然后这个就等于八是吧？所以b呢？它就有八种。啊b有八种，那么b要等于二那么a呢a呢？它它它值就为一了。AA只有这一种情况是吧？a只有一种情况，所以说这时候呢，就就就八×1就等于八种。这样的，

这个写好了好吧，这个就写出来了，好把这几个加在一起就OK了啊，几个加在一起几个加在一起分别是什么分咱们？写一下，这是15。这是14。好，这是12，这个是八，这个写出来了好吧，所以共。15+14。加12，加上八。

这样就得到49种。得到49这个写好了好吧，这个答案应该选择b选项，然后给它。求解的方法思路，看是不懂懂啊，在哪里选的b？好，那这道题就是相当于是啊，分情况讨论，而且要知道子集的个数啊，这个思路。然后非空子集对吧？然后这一块儿，所以在这里面大家呢，

要记住几个结论啊n个元素的集合。它的子集。是二的N次方个。那只记二的N次方个是什么意思？就相当于是CN 0+CN一，一直加到CN。知道吧，就四点零就代表是它的空集，比如说你有n个元素，我一个都不选。啊，一个都不选。一个都没要，就是说空集还可以从n个元素挑一个作为它子集n个元素挑两个作为它子集n个元素全选，也作为它子集。

要等于二的N次方。是吧，二的N次方，这就写好了。好，它的方法。思路啊，就是求解出来了。好吧，这个子集就写好了啊，然后接下来咱们再看非空子集。终止就二的N次方减一，就把这空集给它减掉就行了。不行，给它剪掉。

好，那这个还有那个真子集。真纸纸巾，它本身给它挤剪掉。啊，本身给它给它剪掉这个一就检查本身把自己给它剪掉就真子弟这个非空子弟就在这个子弟里面。去掉空集就可以了。那么，荣耀的飞空真制机。那么，这真值就二的N次方减二个。是吧，二的N次方减二减二，相当于是把空集减量和它本身给它减掉就OK了好吧，这是它的这个总结的一些方法，

大家要把这结论弄清楚。好看，大家是不是听懂了？好，接下来咱们看一下考情二，考完以后先选取后排序啊就是。遇到东西什么时候需要选选的话就供大于求的时候需要选，比如供应五个，你只需要两个，或者需要三个，这时候需要选。啊，什么时候需要排序？它有位置上的区分，这时候就需要排序好，

它思路只要掌握，何时需要选取？何时需要排序？啊，这个选取就相当于是供大于求的时候需要选。什么时候需要排序，它有位置上的一个区分。位置区分就排序，注意符号的前提三要素。第一个就是不同元素，第二个任意选啊，任意选第三个，选完看是否排序，有没有顺序？其次，

要用对符号这个cm cm，所以cm它自己呢？是没有顺序的啊，比如说从五个里面选三个，那这三个就不再排序了。好吧，然后排序用阶层，最后如果选取和同时还有同时出现，永远是先选好，然后再排序。先把东西选出来，然后再进行排序啊，不要给弄错了。然后就像咱们去超市一样，先去挑菜，

先把菜给选选好啊，去买菜，先选取选取菜。点完菜以后，然后呢，再买把菜买回来以后，然后再进行排序就会OK了好吧，再进行排一下序。好，这是它的这个方法啊，接下来咱们看一下这个题。先安排甲乙丙丁五五名同学参加上海世博会志愿。服务活动每人从事翻译，导游，礼仪，

司机饲养工作，每项工作至少有一人参加。每项工作至少有一人参加。啊，甲乙不会开车，但能从事其他三项工作啊，甲乙呢，就除了这个开车啊，不会之外，那么其他都可以从事。丙丁戊呢，就能胜任四项啊，丙丁戊。啊，这个就相当于他什么工作都可以安排，

则不同安排的方法有多少种？好，接下来大家可以看一下它现在什么？现在五个同学。然后呢，每项工作至少有人参加，有时候肯定是呃，有一项工作得有两个人安排是吧，所以在这里面我们呢？看看它的这个方法，然后在这里面比较特殊的内容是谁呀？比较特殊内容就司机就开车这个东西，它这个东西看是有几个人来安排。从开车角度，所以当然也可以从甲乙的角度来进行安排都可以，

好吧，所以在这里面大家就要分类。因为司机这个岗位比较特殊。啊，司机的岗位特殊，因为甲乙他不会安排司机，所以说要么就从岗位的角度来进行分类，要么就从人的角度来进行分类都可以。好吧，这个都没问题的。好，那接下来咱们来看一下啊，如果从司机的角度从司机这个岗位分类。分类分类话就司机，要么就一个人是吧？

我把这个写一写，他的岗位有翻译。有导游，有礼仪。有司机是吧？好，那司机如果要有两个人，我们看应该怎么安排？司机要一个人，他会怎么安排？是吧，这是从司机的岗位的角度啊来进行思考啊，司机要有两个人啊，那么他应该怎么办？如果两个人的话。

就丙丁戊那么选两个人来去担任司机是吧？所以这样司机如果有两个人。你要让它选法，就是c三二。这三个代表是总共给了三个。丙丁午，三个人，三人选两个啊，三选二啊，选两个就去司机。啊，这个安排好了，剩下还有三个人，三个岗位。对吧，

咱们讲过这个阶层，又代表是三个萝卜放三个坑啊，剩下那么三个人。就甲乙和没有选上司机的那个人，三个人就相当三个萝卜，三个萝卜安排三个岗位。乘以三的阶乘就可以了，然后这个得到18啊，这样是啊。第一类，第二类司司机有一个人。啊司司机有一个人，司机要一个人。要一个人像c三一这个司机。就相当于是丙丁误选一个去担任司机。

丙丁误选一个当司机就可以了，然后剩下还有四个萝卜安排三个岗位。40多分安排三个岗位，那么肯定有两个人要在一块儿，所以把它分组c12。知道吧c12c12相当于把。四个萝卜分成三份儿，有两个萝卜是在一份儿，剩下两个萝卜啊分开，然后接下来手里面就三份儿，有点像打包一样。啊，有两个我打包打包后，现在手里面打完包以后，手里面就可以把看成三个东西，

三个东西放在三个位置，乘以三的阶层。就可以了，然后这样的话就得到108。608所以两个加在一起共。18+108，咱们分类用加法正确答案，就选择b选项好，这是它的做题要点，看是不是懂了？所以这里咱们就从司机的角度来进行分析，当然有同学是从人的角度，从甲乙的角度来进行安排啊，这样也可以。啊，

这样也行。啊甲角度，所以说另外一种情况应该按照甲乙来进行分类。甲乙来进行分析，甲乙两人他不能不能开车，不开车的话，他只能翻译导游和礼仪。翻译导游和你那么甲乙两个人有可能在一块儿，有可能没在一块儿是吧？所以说我们就看甲乙。甲乙要要是一块。啊，要是分开。我们看它的这个情况。好，

甲乙两人要一块儿，一块儿就甲乙，我把他看成一个人了。是吧，甲乙又把他看看成一个人。看一个那甲乙就在翻译导游礼仪选一个就行了是吧？c3甲乙呢？比如你们两个都去翻译，或者都去导游，或者都去礼仪。然后把它给选好。对吧行，然后那接下来那么这时候呢，甲乙安排好了。啊甲，

比如甲乙弄的是导导游，这时候还剩下三个人，三个人，那么三个岗位就三个萝卜，还剩下三个坑儿。啊，一人一个坑，这个得到18。接下来我们看甲乙要分开，甲乙分开，那么比如说甲选选一个啊，然后呃乙选一个是吧啊，甲选一个啊，然后乙再选一个。好，

那么选完以后，那接下来剩下人，我们看他怎么安排啊？剩下人，剩下人的话，那么要分为司机是两个。然后司机还还是一个这样再分一分是吧？再分或者说你分成。啊，谁是两个人的？谁是一个人的是吧？然后呢？比如说啊，剩下还有因为这个甲乙他他他已经选好了嘛？甲乙选好，

甲乙选好的话，你要看剩下还有三个人。还有三个人，这三个人怎么去安排岗位？三个人有可能呢？司机呢？安排两个是吧？有可能司机呢？安排一个。啊，剩下的人呢？然后再去安排是不是啊？所以说在这里面大家呢，就是把甲乙给分开，分开的话，

我们可以把人呢给他分一分，分一分这个司机。我们如果要安排两个人。司机安排两个安排，两个由于甲乙它是分开的嘛，甲乙分开的，甲乙分开的，那还有还有一个人还还还有一个人，还有一个人就是三的阶层。对吧，然后这样的话就相当于还有一个人跟甲乙呢，他们分开就三个萝卜三个坑儿，然后这样就写好了。是吧，取消好，

那么有可能有可能那么这个。这个司机呢？是一个人。实际是一个人，这时候甲乙他是分开的。啊，甲乙他已经分开了，那这时候呢？那么还有还有几个还有两个人？对吧啊，还有两还有两个人的话，那么这肯定是一个人，这种分法是吧，这种分法或者说跟甲，然后搭配一个人。

跟甲搭配的，或者跟乙。搭配一个人是吧？就现在甲在两两人组。或者乙在两人组。或者说什么甲乙都在一人组，这是两人组，反正剩下四个人就司机已经安排好了，前面这个四三一代表司机。他已经安排好了。司司机排好了，就剩下三个岗位，三个岗位，这四个人那怎么去挑怎么去选？是吧，

然后怎么挑它怎么选啊？好，那接下来我们看，如果甲啊有一个人跟甲在一块儿，所以说c二一那选一个跟甲。在一起的。啊，跟甲在一起。然后在甲这一组就弄完了是吧？然后这时候再乘以三的阶层就是甲跟一个人，然后乙然后还剩下一个人，相当于现在把它看成三个萝卜三个。三个坑排个序。但有可能这个人是跟乙搭配的，对吧？

所以要乘以二表示跟他一样，再乘以二。对不对？还有可能是这种情况，还有可能这种情况加上。司机呢？是一个人。然后这两个人呢，是一块儿的，甲乙是分开的，这时候呢，把它看成三个萝卜放三个坑儿是吧，三个萝卜放三个坑儿啊，这样写也可以。啊，

这样都行，然后这个就可以算出这是七十二七十二，然后再加上36。啊，这样就得到100，这样就可以算出它的结果了，好吧，所以这个这是六嘛六，然后这个也是六。啊72。啊72，然后再加上18。啊，就得到是90。啊，

得到90好，那这样把它加在一起都OK的，咱就分类，所以这个大类里面还要再分小类，那么又甲乙分开的时候。那么甲乙它是在啊，甲是在两人那一块儿还是甲乙都在一个人那一块儿是吧，所以这时候呢，你在乙分类写就可以了。好，这人可以按照岗位分，按照人他的去向分，这都是可以的啊，别给写错了，千万不要这个分开的时候，

千万不要这样做，这样做就错了，让甲选一个乙选一个，剩下人再排。这样很容易就排错，知道吧？就大家那就别给写错了，所以最好呢，就给它分类做就OK了。好，这是它的啊，求解方法思路，大家是不是懂了？好，接下来咱们看一下这个题。

从三名男生，四名女生中选四个人参加植树活动。求下列选项中各有多少种不同的选法。好，第一个男生小明必须参加植树。啊，这是第一个。第二，选两名男，两名女生，且男生小明必须参加植入活动。第三个男生小明和女生小红至少参加一个，且四人中必须要有男生啊，必须要有男生，那接下来咱们一问问的来做。

啊，第一问。好男人小名必须要参加，必须参加的话就从其他六个人再选，三个人就可以了，对吧？因为剩下人他又没说是几个男几个女。日中其余。还有六个人，六个人再选三个人。这样得到20是吧？所以说这个就写好了啊，所以第一问那么答案要选择b。第一问比较简单，从其他六个人来进行选，

因为小明他已经选上了。接下来看第二问选，两男和两女，且男生小明必须要参加植入活动，好那么男生小明有了男生再选一个就行了是吧男生？再选一个男生。啊，男生两个人就齐就齐全了，然后接下来再选两个女生从四个里面选两个女生就写好了。再得到12好吧，得到12，这样就求出来，这样大家应该选择a选项。好这样呢，就选择a好，

这是它的这个方法思路啊，这是第二个。然后第三个。那男生小明和女生小红至少要参加一个，这两个人至少参加一个，且四人中必须要有男生。那我们可以从反面注意这个反面且会变成或啊啊，如果你把前面看成p，后面看成q。啊，就相当于p且q。它的反面就变成非p或者非q，知道吧？知道反面意思什么意思啊？p的反面就代表小明和小红都没有。

或者说没有男生，所以它反面情况意识要弄清楚反面。反面体会辩护，反面就是男生小民男小民。啊女小红都没有。或者说无男生。或者说没有男生。啊，那么遇到货的时候，大家知道咱们前面学过a或b。应该等于a+b-a交b。知道吧，所以在这里面要弄清楚啊好，那总的情况数总的情况数，大家知道总共是七个人随便选四个总的方案数就c七四。

所以总的选法就是从七个人里面选四个人。啊47次减去括号。括号儿，括号儿就相当于是男生小明，女生小红都没有，都没有将来去掉两个人，去掉两个人，那么还剩下五个人，五个人随便选四个就c五四。然后或者没有男生的情况，没有男生没有男生就四个女生来硬挑c四四。然后减去a交b啊a交b要注意a交b的话，就又没有男生小明和女生小红还没有男生，那得选不出来。四个人，

这四个人就选不出来，就零零种啊a交b正好为零，这道题可能刚刚刚好是巧合有同学这块儿没有写。啊，那就说明运气比较好，因为这块儿刚好是零，如果像有时候你这块儿漏掉了，它有可能不是零，有可能是二呀或者三呀。啊，它的a交b还有这时候你没有减，那这时候就会出错好吧，所以在这里面大家呢，要注意它的这个方法。然后减掉六得到29。

好，那这样答案就选择是d。答案就选择d好，这bad就写好好，这是它的这个方法啊，看懂了没有啊，要掌握它的思路和要点。看是不是明白了？好看，大家会不会分析和思考啊？好，接下来咱们看这个题。某台小型晚会由六个节目组成，演出顺序有如下要求。啊，

节目甲不能排在第四位。节目乙不能排在第一位，节目丙必须要排在最后一位。该演会的演出的编排方案有到底有多少种？可以写作多少种编排方案？好，那这道题我们来画一个图就一二三四五六。啊，它要求甲不能在这。甲不能在这个第四位，然后乙不能排在第一位。然后丙在最后一位啊，这个丙是比较友好的啊，一般咱们出现肯定词在什么最后一位，那丙就放在这就不要动了。

把柄已经拍好了是吧啊？就怕这个否定词不在。不在知道吧好，这个丙排在最后位就丙就不要管管它了啊，这个就不要再动了，就看这个。甲的情况啊，所以这时候你可以分类做，可以分类分类的话，那么分类按照甲分类，按照乙分类都行啊。啊，如果甲要在。第一位甲在一号位，甲在一号位，

这时候乙就可以随便排了乙跟其他的几个可以随便排是吧？比如说甲要排在这。那么，二三四五这四个节目就可以随便排就四个阶层。这个乙呢，它就不限制，知道吧，有24种。24种啊，那如果甲在二三五号，位甲在二三五号位。二三五号位。那甲就c三一甲就选好了。比如说甲要在二号位，甲要在二号位的时候啊，

比如说甲甲在二号位，甲二号位，那么乙。是吧，乙啊乙它选法看看乙它选法乙的选法就可以选三四五乙也是c三一是吧，乙就是c三一。一样的好一页CC 3e，然后其他也排好了，然后其他人来来进行排就三的阶层。啊，其他还有三个节目排三个阶层，然后这样就得到54啊，得到54，然后共加在一起就得78。明白吧，

这个答案就选择b。这呢就选了b，然后这是它的方法思路，看这懂了没有啊啊，掌握它的考要点。所以通过这道题，大家呢，要知道它的啊啊，做题的方法知道吧，我们要知道它的考试方法，通过这道题。我们呢，就是按照那么甲的位置来进行分类讨论啊，当然你也可以按照乙的位置来进行分类讨论，那有同学从反面做反面做，

这就要要出现祸。这个反面饼就不要动了啊，饼不要动，所以就看它的反面反面就部分反面啊，部分饼就不要动，在饼不要动的反面。它的反面是甲在四号位。或者你在一号位。这是或然后这是它反面反面就不能写六的阶层啊，总的情况数不能写六的阶层，因为这个饼已经定下来了，饼千万不能动。啊，就是五的阶层。减去甲在四号位，

甲在四号位，其他啊，其他四个人来排。然后乙在一号位，乙在一号位，那么其他四个人来排。注意，刚才咱们讲了这个a或b就等于a+b还要减掉a交BA交b又代表是什么？代表甲在四号位，且乙在一号位就剩下三个来进行排。那算出来这样写才OK啊，这样算出来就得到78种好看，这懂了没有？算出来就有78。好，

这是它的解题的方法是吧？这样写也可以，这就有答案就写好了，所以从反面这道题告诉我们反面丙不要动。啊，千万种情况是不能用60斤60斤的话，那么把丙也作为反面，丙作为反面就是pqr就是p且q且r。是吧，这是p是假。q是乙丙是r，然后这个移动反面就变非p或非q或非r，那这样话。就很麻烦，所以说咱们呢，

就得r就不要动r，不要动就找p且q的反面p且q的反面就是，所以说总情况数就写五的阶乘。我接着，然后注意这地方是或或的话，咱们呢要减掉a交b，所以a+b要减掉a交b。这个意思a+b就代表甲在四号位，且乙在一号位啊，这样的一个情况看懂了没有啊，让它的处理方法思路，看是不是明白了？啊，接下来咱们看考项三有正面难则反着做。啊，

正面难正面复杂，有反着做反着做，主要考察减号的使用。减号一般当出现至少至多否定词。啊，还有什么不完全相同啊之类的，这些这些正面较难分类的题目可以从反面来求解，注意部分反面技巧。刚刚咱们在做上面的题的时候，出现了部分反面，就相当于把柄。放在最后位，不要动丙，放在最后位，不要动，

然后找这个部分反面是吧，然后注意部分反面技巧以及。还有且或它的一个反面用法啊。好，那接下来咱们看一下。这个题从十名大学毕业生中选三人担任。啊，村主任助理。则甲乙至少有一个人。啊，至少有一人要入选，大家知道有人入选，而丙没有入选的减缓状况好，那在这里面这遇到至少有一个，而丙没有入选。

这个笔没有入选的话，咱们呢？就用部分反面来做，就没有比。是吧，在没有丙的情况下来进行分析，所以这道题要采用部分反面跟前面那题一样，丙呢就不要管它了。是吧，笔呢，它已经确定了没有入选，没有入选我们用。把这个十个人把丙直接去掉，就看成九个人就可以了，九个人它的总情况数就c九三，

那甲乙至少有一个入选它的反面。甲乙有一个入选它的反面，就是甲乙都没有入选。甲乙没有入选。没有入选，只写c九三啊，这样的啊c九三这样的总的，然后减掉甲乙都没有入选，又没有入选，就是c七三。啊c极限，所以说就把丙没有丙这件事。啊，把它给去掉，把丙给去掉，

这样写就可以了，好那么c九三正好等于84。减35得到49。啊，这个呢，就选择c选项啊，这个做题方法思路，这个呢，就选择c看是否听懂了啊，掌握它的考试内容和方法。好，接下来咱们来看一下这个题。甲粮油队共有六名。队员乙篮球队共有五名队员，每个篮球队都有一个队长。

现在这11个人中啊，总共11个人选，五个人来组成一支来来用队用甲乙总，11个人来选，按照下列条件各有多种选法。好，那接下来咱们看第一个既有甲球队员，又有乙球队员啊，既有又有，大家注意这个有就代表至少有一个。也就代表至少有一个。啊，就至少有一个甲队员，也至少有一个乙队员，那咱们就要从反面做是吧？

因为正面情况的话，有可能有一个甲。啊，四个一。有可能两个甲，三个乙。有可能三个甲，两个乙，有可能四个甲，一个乙，那么正面情况加在一起太复杂是吧？所以在这呢，咱们就从反面做就可以了，所以第一个就从反面做。5%就相当于是用总的选法，

11个人选五个人总的选法减去。没有甲队员，全是乙队员，再减去。没有乙队员，全是甲队员，全是甲队员，就是c六五全是乙队员c五五。这样写就可以了，这样算等于455种。好，这个第一问答案就选择a。利用答案选择a啊，这个写好了，用反面做。

啊，再强调一下错误解法啊，跟咱们前面反复强调过错误解法一样啊，所以大家千万不要错误解法，有同学说我甲队员选一个，乙队员选一个。从剩下还有九个人里面随便再选三个，这样就重复了。怎么了？比如说选选一个甲，再选个乙从剩下。人里面再挑三个，这样挑就重复了，比如先挑a再挑BC，先挑b再挑AC，

它都是一样的选法，就会出现重复了啊。然后第二问。第二五人。篮球队中至少要有个队长，只要有个队长，那么当然应该从正面一个队长，没有队长啊，一个队长，两个队长情况，你可以从反面做，反面的话，用所有的减掉，没有队长的情况。正面做也还好，

正面做的话。这边就这样的，就有一个队长，两个队长挑一个队长，剩下的话。还有九个人，九个人呢？选四个人是吧？选四个人，或者说有两个队长c2，有两个队长从其他九个人选三个人。这样也可以，对吧？所以在这里面，大家呢？

就可以写出来啊，这是它的这个方法。啊都都都行啊，这个都没问题啊，看这个懂了没有？对正面做正面做等于336。按六啊，反面做也行，反面做用总的选法啊，总的选法，总的选法就是c十一五。东西啊，减去没有队长没有队长，就像从其他九个人直接选五个人。那么其他九呢选五呢？

得到就是36，这样也可以。这c九五代表是没有队长的选法。啊，这是三三六这样答案就选择的是b选项第二问。第三问，既有队长，又有乙队的队员啊，乙队的队员。啊，既有队长，又有乙队。队员啊，那这道题当然也可以也可以去。分类做了分类做了，

比如说既有队长。啊，队长队长，你看是甲队长呃，乙乙队长，但是乙队队员的话，又是有一个乙队员，还有两个呃乙队的队员，那这个这个就稍微复杂点儿，正面呢，就比较复杂。是吧，咱们还是从反面说要简单。反面反面的话呢，既有又有。

啊，它的反面就变成或啊，反面就是无队长或者无。而反面无对讲。或者无以。队员。无队长或者无乙队员。好，那接下来总情况数c十一五总情况数减去，要注意这个变成或或的话，变成a或BA或b就等于a+b-a交b啊。啊无队长无队长选法是什么？无队长选法就是c。九五没有没有队长。然后没有乙队队员，

没有乙队队员，全是甲队的队队员。然后还要减掉a交b啊a交b既没有队长又没有乙队队员儿，这种情况千万不要漏了，就c五五就相当于从。甲队去掉甲队的队长，因为甲队只能六个人，需要甲的队长还有五个人，五个人来进行挑。好吧，这个要知道这个代表是a+b-a交b啊，这样算就可以了，这算呢，就等于331。331这个算出来好，

那第三问答案就选择c选项。好，那这是它的这个方法，看懂了没有啊？所以在这里面大家呢？啊，要会处理它的这个考试。反面啊，所以这个从不同角度，其实大家可以发现做排除的题非常训练，大家逻辑思维能力。是吧，当然大家学好逻辑，对排除和也有一个促进作用，所以说排除跟逻辑呢，

很多地方它是相通的。所以大家做做一些逻辑题的时候，也要用数学的排组合。啊，咱们做数学题的时候也要用到一些逻辑的分析方法，所以大家呢，要掌握住啊，要分析它的思路。好，接下来咱们看一下啊，这个题。啊某高校从某系的十名毕业生选出四人，分别到西部四五个城市参加西部开发建设。经甲部到第一层次，乙部到第二层次做不同的派遣方案，

到底有多少种？好，当然，这道题大家可以分类，可以分类做。分类化那么可以分成四类？可以分成四类。好，甲乙。就无甲无乙。啊，这样写吧，这样写无甲无乙。对吧，没有甲也没有乙。

有甲无乙。吾甲有乙。是吧，无甲有乙，然后有甲有乙。这样的是吧？好物价物以物价物以那这时候我们就把十个人去掉，甲乙去掉，甲乙还剩下八个是吧八个？八个选四个选四个人，然后分别去四个学校，就相当于四个萝卜去四个坑乘以四个阶层。好，这样的。好，

那接下来我们看有甲无乙。有甲无乙的话，那相当于再选三个人就行了是吧啊？再选三个人，因为甲有了，然后呢？没有乙，所以从剩下八个人。啊，从剩下八个人再选两个啊，再选三个，因为甲有了再需要三个人。好，剩下的那么有甲了，那甲不去第一个城市，

让甲去挑。甲从其他三个城市挑，这个是甲来挑一个城市。剩下还有三个人可以随便排序了是吧？然后接下来那么无甲有乙。好无甲有乙的话，那这时候呢，应该是c八三，然后让乙来挑，乙不到第二层是吗？乙来进行挑。你从其他省挑一个挑一个，然后其他人来进行排。这样的是吧，然后接下来咱们再看有甲有乙有甲有乙的话，

那相当于是c八二这样就四个人挑好了。要这时候还要分类，再排除要分类。分类分类，如果如果甲要在第二个城市，甲要在第二城市，那么就三的阶层，其他三个人都可以排。哎，比如说这一二三四四个城市。如果甲刚好去第二城市，那这个乙就可以随便排了是吧？乙跟其他人随便排。嗯，如果甲去的是三号四号城市。

甲这是甲甲的选法。甲要在三号或者四号城市挑挑一个，比如说甲去的是三号城市。甲去三个层次，那乙只能在二四层次选一个乙不能去。啊乙乙只能在一四城市选，因为乙不能在第二城市是吧？如果甲。甲在三四城市的话。那么乙只能在。啊甲，如果选三号乙，只能选一跟四，因为乙不能去二，这是c二一一，

剩下两个人可以随便排。好把这几个自己加在一起，正确答案就得到四零八八，正确答案就选择b选项好，这是它做题方法啊，这种。思路分成四类。这里这个就分类稍微复杂点儿好，那有同学想从反面做反面做甲不到第一个城市，把它看成p。你不到第二层呢，把它看成q，它求的是p-q啊p-q的话，那我们可以用总情况数减掉非p或者非q。让它反面。

反面甲在第一城市。或者乙在第二层是。甲第一层次或者乙在第二层次这样的是吧？甲在第一个层次或者乙在第二层次好，那接下来注意这个或的问题啊，或的问题要小小心点儿。所以如果甲在第一个城市，那所有的选法应该怎么写？接下来，第一个城市，那就从其他九个人随便选三个，有没有乙无所谓就c啊，总情况数，咱们要写出来。总情况数就从十个里面挑四个。

乘以四的阶乘减去。假如在第一个城市。啊，第一个城市的话，甲就定了，然后再从其他九个选三个，然后三个。人随便排是吧？甲已经在第一个了，比如在一二三四。甲在第一个在第一个，那么其他三个人来进行排。然后加上如果乙要在第二个乙要在第二个就是c九三。乘以三的阶乘，然后减去甲在第一，

且乙在第二，甲在第一，且乙在第二，那就相当于从其他八个里面选两个来进行排。是吧，好，这个明白吧，这个就代表是a+b-a交b。a交b好这样写，这样写答案是一样的好吧，就这样这种反面也可以反面注意它要变成或或的话，还要检查交集。这块儿别给写错了好吧，这是它的这个基本的方法，看这个是不得反面好理解一点儿。

啊，正面做，大家要把思路弄清楚。啊，这是它的这个考试内容和方法，暂时不懂，就这道题，大家对大家逻辑要求比较高，所以大家呢，一定要把逻辑学好，逻辑学好了，那这个题就好做一点。好吧，然后不要把逻辑关系弄混乱了啊好，这是它的这个考法。

好，接下来咱们看考研四考研四呢，看到相同。啊，这个定序。相同定序这两个词又用除法来消序，这是除法的使用，那除号再用于消序，当题目出现消顺序的时候，用就是除号。登场的时候啊，就是除号使用的时候。好，那咱们看定序有这么几类？啊，

这么几类？第一个就部分相同，它的情况定序。或者部分相同或者定距问题。我们来看下这个题，书架上某层有六本书。啊新买了。三本书放进该层，保持原六本书的。先后顺序不能变，比如前面这个六本书在书架上，这个摆好了啊，它的顺序都摆好了，往里面来插入这三本书。把三本书放到原来书里面，

则不同的排放到底有多少种？好，那有同学这样做，我们看一个错误写法，错误写法。错错误写法。错题啊，如果写九的阶层，这个错了，有同学说郑老师六本书，这三本书加在一起，九本书九本书写九的阶层，这样错了。这样出在哪呢？你把原来六本加现在三本九本书，

九本书随便打的顺序，九本书进行全排，那这样原来书的顺序就会改变。元素的顺序，它就会变化变化，这里不可以。好，所以这个错，另外一个错误方法什么这这个错一呢？就把这个顺序打乱了。啊，又打乱了顺序。打乱了好，还有一个错误写法，我们看一下对有同学采用插空法跟咱们前面插空法，

有同学说前面六本书摆好，比如abcdef。摆好摆好以后，那总共有七个空。因为原来六本书的顺序不能动，咱就不再排序了，对吧？六本书之间有七个空，有同学七个空，我挑三个空。比如这有七个空。啊，七个空，我挑三个空出来，挑三个空，

然后呢，再把现在新的三本书放到里面去，这样做呢也错了。这样做也错，这样做错在哪呢？就你这个插空的话，会导致新买的三本书啊，它会分开。啊新买的三本书，它就分开了。知道吧，新买三本书，它分开放，你看这个新买三本书有可能是分开的，有可能有两本。

挨在一起，跟另外一本分开，有可能三本呢，它都挨在一起，对吧？有可能三本都挨在一起，所以说这样呢，你就把它分开了好吧，这这相当于错一，那将来是。把它分开了。把这三本书分开，人家又没说三本书一定要分开放。啊，如果出现不相邻，

那么才采用这个分开。啊，分开做知道吧好，所以这两个错误，接下来我们看正确写法。这些吧，你可以用九的阶乘，然后除以三的阶乘啊，除以六的阶乘，因为原六本书需要消序。对吧，因为把九本书啊，进行全排全排以后呢，然后这个啊有六本书，它的顺序是不变的，

是固定的，它定序的定序的就属于。六的阶层就可以了好吧，这样算等于504。这种可以写这样答案就选择b。那么，还有一个正确方法是什么呢？还有一个正确方法，这样写也行。用组合写也可以组合写啊，你把它看成九本书，最后不是九本书吗？九本书我们把它看成九个位置。九个位置，从九个位置里面选六个位置，

把原来。六本儿书放进去，在放的时候，它顺序还要按照按照原来顺序来摆，比如说语文书在前面还是语文书在前面？知道吧，它按照原来摆，所以它就不用再排序了，这时候还剩下三个位置，三个位置这个新书它可以排序，新书它没说谁在前谁在后可以排序。这样算呢，也等于504。都可以这样算的，也是ok的，

也等于504这样写也可以是吧？还有一个正确写法，什么采用逐一插空法？就逐一插空和咱们前面讲过一次性插空的区别，什么意思？就一次性插空，一次性把三本书插空，它三本书会分开。那逐一插空就OK了。第三个什么意思？比如说原来六本书摆好了，摆好这时候我有甲乙丙三本书，甲丙三本，我甲往里放，甲往里放，

大家可以发现有七个位置。啊，比如说甲放这放这第二本儿书，第二本儿新书，假如说乙乙往里放的时候，乙往里放的时候，它又变成八个空位，因为它可以放在甲左边，也可以放在甲右边。啊，也可以放在其他地方，变成八个空。比如乙放在甲右边，乙放在甲右边，然后再把丙丙拆完之后变成变成九个空了，

因为丙可以放在。甲左边可以放在甲右边，也可以放在乙右边是吧？所以说变成九个空。的504所以足意插孔跟。跟一证参控的区别什么？就是逐一参控，它可以相邻，也可以不相邻。就这三本书啊，它可相邻，也可以不相邻。就三本书，它可相邻也可不相邻。上面这个一次性操控，

它是不相邻。所以要体会它的区别好吧，算答案都一样，这三种表达式都OK的，然后看你用什么方法来去表达了好，这是它的做题要点方法要弄。啊，弄清楚。好，那接下来咱们来看一下这个题。某工地有六项工程需要先后单独完成啊，乙必须在甲完成后才能进行。啊，才能进行工程，丙必须要在乙完成后才能进行。

丁必须在。品牌之后立即进行，立即就紧挨着啊，立即安排这六项工程，不同顺序到底有多少种啊？这个里面就出现了定序问题。是吧，在这边大家可以发现它是甲要在前头。甲要要在前头，乙在甲后面。然后比呢，必须在乙后面。丁必须要在丙门后立即进行，也就说丙丙跟丁可以打个包是吧？看到一个整体。

按照也就说这三个对象，它是有你把它看成整体啊，看整体将来这三个有一个顺序上的界定。有原来是六项工程，现在把它看成五项就可以了啊，看五项因为丙丁呢，就合二为一知道吧，又相当打个包，如果而且在包内部不能排序，丁必须在。紧跟着丙后面不能排序，注意乙在甲后面乙就不一定非要紧跟着他，中间隔一个呃这个工序。也没问题，对吧？

这个隔一个间隔一个也行，间隔两个也行，好吧，所以在这呢，就把它看成五个。知道吧，五个因为丙丁合二为一，所以看成五个，五个里面有这三个，这三个是定序的，除以三的阶乘。这样就可以得到，等于20。用除法做，或者说你把它看成六个位置也行，

看六个呃六个六项工程，把它看成五个位置，因为丙丁要把它看成一个。大家看一个就看五个，五个位置选三个位置，选三个位置，把这个甲乙和丙丁这一个把它放好，放好，剩下还有两个。两个工程，两个工程可以排序，这样算也等于20是吧？其他两个工程它可以排序，算出来也等于20。建议大家去选择c可以得到20，

这样就写好，不用组合写也是可以的，也没有问题好，这是它的。这个方法思路要弄清楚，还有一种就是逐一插空也可以做，逐一插空就是把甲乙丙丁这个排好。还好有逐一插空。有插空，那不剩下还有两个工程吗？比如剩下AB两个工程，那么AA，这有一二三四四个位置可以选是吧？要采用逐一插空这个位置，这个位这个这个位置四个位置。

可以选，然后这个a工程拆完以后，然后再看啊b工程b工程有五个位置，它可以选。啊，有五个位置，它可以，它可以选。是吧，然后这块儿所以这时候就不要再排序，有同学说我先查a工程，再查b工程，或者先查b工程，再查a工程，这个就不要了，

这个就相当于是。啊，那么指定一个来进行查封，要不然的话，你再排过去就重复了，因为它是任意任意选的，知道吧，所以在这里面大家呢，就是a工程。放到里面去，然后b功能放放里面就逐一插插空法就行了啊，所以这个这几个可以用除法做，也可以用位置来进行挑，也可以呢，逐一插空都行。

都是没问题的，你逐一查空的话，一定要把呃定序的先排好，剩下其他没有要求的来逐一查空。知道吧，这是它的方法，别给弄混淆了，要掌握它的考内容。好，比如说咱们再看这个题。用零零二二四五组成的六位数个数到底有多少个啊？六位数个数。啊，例如说这道题，我们的这个写法。

啊，写法有很多种，但注意六位数，它首位不能为零。首位不能为零，你也可以用总情况数减掉首位为零的数是吧？用减法做也行，减法做，所以说方法一。方法一，我们可以用除法啊和减法就所有的排法，所有排法的话就六的阶乘。除以二的阶乘二的阶，这个二的阶代表两邻，它是相同的是吧？

两邻它是一模一样的。明白没有这个二的阶乘代表两二一样，然后再减去零在首位的情况。应按照六位数。六位数零要在首位，零要在首位，还剩下五个数。啊五的阶层。啊五的阶层好，五的阶层化，然后在这里面，我们就可以看到什么情况？啊武则天这时候还剩下还还剩下几个。因为零的首位还剩下一个零两二。还剩下一个四，

还剩下一个五就除以二的阶乘就行，为什么除以二的阶乘因为两二它一样，其他数没有一样的？是吧，这样写就可以，这是方法一。用减法做，减完了就等于120。选b那接下来咱们来看一下方法二。啊，方法二呢，我们呢也可以零不能在首位，零不在首位，我就从二二四五选一个，所以二二四五这时候呢，

我就把它当做二当做不不同的啊。所以首位就c四一。九二二四五这四个数选一个选一个放在首位。这个这时候呢，咱们的除法的含义就是先把它当做不同的数，那么二跟二当做不同的数，一会儿我再除一下就行了。好吧，所以c四一c四一就代表首位。剩下五个数字都可以随便排了五的阶乘。五的阶层，然后除以除以大家注意两个零，它是一样的。两二它一样，所以说销量次序啊，

就零销一个序，二销个序，这样就得到这个得到120。到120这样就OK了好吧，这是它的方法啊，看这个懂了没有，掌握它的思路。啊，接下来方法三。方法三，方法三的话，然后接下来我们看一下方法三。看一下方法，三方法三的话，我们想想应该什么情况方法三？

方法三，我们用组合来表示就行了，用组合法前面两个都是用除法做，那用组合法组合法，大家知道。这先把零给放好吧，先把先把零放零，只能在这个五个位置里面挑一个挑两个放对吧，因为零不能放在首位，先把零放好。零零放好了，接下来c五二这个把零放好了。这不把零放了，零的话就相当于是从其他数位选两数位把零放好，比如这一二三四五六。

好，那就选两个位置，把零给放好。啊零零放好，零放后，那接下来咱们再来看。再来看剩下。啊，这个二的方法，二的方法，那么一二三四是吧c四二？z四二是吧？这个这个二的方法，二二就放好了。剩下还有两个位置，

两个位置就放四跟五。在四跟五，它可以排排序是吧？两个位置放四跟五，四跟五，它可以排序吗？比如说你二放的是这两个位置。那样位置剩下是不是还有两个位置，还有两个位置放四跟五，最后它是不是可以排个序？字母排个序，这算算也等于120是吧？因为四跟五它是不不同的，这样就可以排个序了啊，那这是它的这个方法。

啊，这个都OK，当然不管用什么方法做都可以写出来的，结果答案都是一样的。好，那这是它的这个表达式，看看大家是不是听懂了？好，那接下来咱们来看一下这个题，这样三串糖葫芦。第一串是草莓。啊，第一串草莓糖葫芦上面有四个草莓。对四个草莓，草莓都是一样的，

就属于相同的，你可以把它草莓可以把它看成a，比如有四个a。第二，山楂。山楂有两个山楂，一两个山楂，把它看成两个b。然后这个枣泥枣泥有两个枣泥，两两个c，然后每次吃时可以随便挑一串儿糖葫芦，但只能吃一个。比如说啊，这个草莓的。啊，

你挑一个吃。b从从上往下是什么意思？比如说我给你画一个图好，假如这四个草莓的。这是草莓，这草莓也说你嘴不能先咬中间那个。啊咬中间这个不行，所以它呢它呢嘴巴呢先咬咬这个最外面最外面把它撸下来，然后这样。大家吃就行了是吧啊，这样用嘴把它啊咬过来吃就行了，吃完这个吃完这个，然后再再吃这个再吃再吃这个。你不能说唉，我中间先先吃中间那那不行好吧，

这样的。好，这是它的这个方法，所以必须从上往下吃，那全部吃完共有多少种方法？期待发现什么意思啊？如果你弄不懂的同学你。你自己举个实例，你就明白了。有实力，比如说这个是这是两个那个山楂的。还有两个枣泥的。找你的要把它吃完，比如说啊，如果孩子我听不懂，

考试时候一定要。写一个或者画一个实例，这样话你把一个情况弄清楚了，其他规律性你就会了，知道吧？比如说你先吃一个。找你的啊b。然后接下来又吃一个。草莓的，然后觉得草莓挺好吃，又吃了一个草草莓的是吧？接下来又吃一个。啊，这个找你的。对吧，

比如说第一个吃一个山山楂的是吧？我先吃一个山楂，这个山楂感觉比较酸，赶紧吃一下草莓的。感觉草觉得草莓很好吃，又吃一个草莓的。然后接下来又尝一个枣泥的。啊，感觉枣泥呢，还不如山楂好吃，又吃一个山楂的。然后又山楂比较酸啊，又吃一个草莓的，然后又吃一个枣泥的，然后又吃一个草莓的。

对吧，所以说也就说这是一种吃法，所以其实最后你要研究问题，什么研究问题，研究问题相当于四个a。两个b两个c，它有多少种排法是吧？它有多少种排法就这个意思对吧？就四个a两个b两个c，它有多少种排的方法？那么，判断方法这道题，你可以用这个这个除法做，可以选择八的阶乘，因为这个a它是一样的。

消个序b是一样的c是一样的，消个序是不是这样的啊？消序就OK了。这样这种方法，或者说用左写一些。或者把它看成八个位置。二类项呢你？你第几个位置？相当于第几口吃是什么？是吧？我们把它看成八个位置，八个位置从八个位置里面随便选四个位置。把这个草莓的放到里面去，草莓的放在哪？代表你第几次吃的是什么z八四，

然后乘以一个。c四二×c二这样的。啊c八四×c四二再乘以c2，这样就OK了是吧？这样就就就算算等于420。都等于420啊，这样大家应该选择的是c选项，这样就写好了，看这个是不是听懂了？所以大家在做排除的时候，关键要把它理解清楚。就像咱们真题里面出现的，送快递的这个题是吧？送快递它每个快递必须是先取后送它，其实就是一个定序。

对吧，你三个快递任务，每个快递肯定现在去取件儿，取完后然后再把这快递给送过去给他取，跟送还包括咱们呃，讲这个工序的问题，比如说谁要在谁前面。或者谁在谁后面，这都属于定序问题是吧？还有这个糖葫芦，糖葫芦，如果实在弄不清楚，你先写出一种情况，把一种情况。弄清楚啊，

然后再写其他情况就OK了。是吧，你把这事弄清楚，其实就相当于是几个a几个b几个c排序方式，排序方式你可以用除法做，也可以用组合写。而且它的答题方法和要点看是不是弄懂了？啊，比如说咱们再看这个题。啊，身高互不相同的。九个人排成三横行三纵列。要有前一行的，每一个人都比他同列的身后的个人矮。啊，

然后比它这个则不同的，这个排法多，这道这这道题就想的相当于高矮定序。高尔定系比如说他九个人。摆成。三行。三列呃三行三列这样的。啊，要求前一行的每一个人。都比他后面一个人的个子矮。是吧，也就是竖竖着看，竖着看，就每个人都比较同列的。啊妥同列的这个药啊。

啊，这个要矮对吧？所以大家呢啊，要知道这这个意思，所以它就高矮定序。高矮定义高矮定义，你只要把九个人选中三个人，它自动按照高矮排好就行了是吧？就是它前一行的。啊，比如说这个人这个人他他他前一行的。都比它同列的啊，同列的都同列的。他身后的啊，个子腰矮，

所以他就定序问题，定义问题在这里面，我们就可以看出。好，那么比如说第一列。给他弄好第一点就是高矮，他是定序的，就是从九个人选三个人。选好三个人后，这三个人自动按照高矮排好了，你不用再排，知道吧啊，高的和矮的，它自动就按照这个要求。就排好了，

知道吧，然后这第一列排好，然后第二列第二列的话就c六三。然后最后一列，最后一列就是c三三。啊，注意，这时候大家不要再排序，很多同学后面又排了个序对，因为咱们这个是任意选的三个人，那些有同学说这一列跟这一列用不用再排个序，他们三列就不用再排，因为咱们任意选，任意选的它已经。产生顺序了，

这就不用再排了，知道吧，这就算算就等于幺六八零。啊幺六八零。好，这就写好了，好看这个懂了没有？好，那有同学用除法做也行，除法做就这样了，除法做就是九的阶乘。九阶九阶呢，就所有人来进行排了个序，而且那这三个人多排序了是吧？高矮就多排序了。

除以三的阶乘。然后这三个人又多排序了，再除以三的阶乘。最后这三个人又多排序了，又除以三的阶乘，这样都等于幺六八零都可以的，所以一定要把题目弄清楚，知道吧，就它每一列。它的高矮是固定的啊，谁站前谁站后，它是固定的，固定的这个时候用组合写就可以了，或者是用除法做也行，好吧，

答案就求解算。关键是你要把这个题目呢，得理解清楚。啊，理解理解清楚，那就好做了，不管是按照高矮的顺序，按照什么先后的顺序是吧？这类的方法。思维要学会转化。转化把除法用好，就可以达到考试要求。所以这一块儿呢，一定要多去分析，多理解。

然后进行转化，按照咱们讲的思路来进行求解就OK了好，这是它的答题方法和思路。好，下面咱们看一下环派问题。好六个人，三男三女去餐馆聚餐，围着桌子坐一圈，恰恰两个女生相邻，共有多少种排法，我们来看一下这个题目。好，那么遇到环牌问题，环牌跟咱们单牌最大区别要注意是什么啊？环牌。

它是无首无尾。无方位区分它没有东南西北方位。啊，无所谓，没有方位区分，这是环牌。好，那么在遇到这个环牌的时候，我们看一下应该怎么处理？然后呢，主要是它没有方位的区分，我们看恰好两个女生相邻，她应该怎么去写？加两个女生相你。恰两女生相邻，

那我们可以先让男生排好是吧？先让男生排好，我们画一个圈儿。画一个圈，这样把男生拍好。注意三个男生，他拍好的时候不能写三的阶层。啊，不能写三个阶层，写三个阶层，它跟单排不一样，那么三个人，三个男生要站一排才是三个阶层。啊，现在呢？

不能写三的阶层应该写什么？应该写三的阶层除以二，因为咱们讲过n个人做一圈儿。n个作业圈就是n的阶乘除，以n种方法。也就说n- 1的阶乘度。知道吧啊，你怎么去理解这个nn- 1的阶乘种呢？怎么去理解这个呢？既然有个人，他做了起定位的作用，就是有一个人先坐下先定位。知道吧，就是因为他住在哪，他都一样。

在哪它都一样，如果实在理解不了n的阶乘除以n在这里面，大家可以以三个人为例。我可以给你画一下。三维三维的，大家发现。它有重复的。你看一下它有重复的，比如说啊，这个甲乙丙。甲乙丙。甲乙丙。其实这三个做法它是一样的。知道吧，所以它它这个做法它它它都一样，

它有它有重复的重复的，比如说甲坐在这儿，甲坐在这儿，甲坐在这儿，它是一样的。知道吧，所以在这里面它这个它这个它它它是一模一样，它可以转，知道吧，可可以转，所以你要写三个阶层，其实就六种。六种一定要除一个三。啊除以三就这个意思，所以它只有只有这这个两种做法。

只有两种，就是就只有两种就甲乙丙。和甲丙乙就这两种，其他做法都属于这个重新它这个圆圈儿可以转，如果还理解不了，大家想想这个旋转木马。那么，旋转木马我们看这几个人做好以后啊，人他做好了，那这个木马它在转旋，它在旋转，其实人。相互之间，它是没有动的。是不是在这一块儿？

这个明白吧，所以说甲乙丙甲乙丙它是一样的，所以四个人也一样，四个人四个人，所以n个人他。道理都一样，都要除以n或者说我们把它理解成n- 1的，其实就代表有个人坐下做定位，比如说甲你先坐下。做完以后，那其他位置就有区别了，乙和丙。他就变成二的阶层了，好吧，就是这三个男生站好啊，

坐好这样的，然后接下来敲两个女生相邻要打个包。啊，打打包往那空里插空就行了好吧，接下来男生先站好，男生先站好，就是二的阶层，这个男生站好。然后呢，两个女生要相邻，两个女生要相邻，要打包。那你现在要c三二。第二，选两个女生要打个包。

再打包。是吧，李阳女士就长高。打包以后，接下来我们要开始插空了插空，然后这里面这一个两个。三个三个空位用三个空位选两个空位。让这个打包的跟剩下那个女生去插空，插空的时候她可以排个序。这样就写好了，插空的时候来排个序，就得到这个结果，算出来就等于72。在哪选b？就是环排问题，

关键点什么关键点就找一个人定位好吧，所以环排题做题，关键点就找一个人。刚才找这个人，不是说我选一个人。不是选选一个人去定位啊，就是指定一个人，比如甲你先做，你就做，不是说我从这三个男生里面，我选一个人去定位，选一个人定位，那又出错了，又写c3又出错了，因为有个人又指名道姓找一个人。

你要先做好定位，先定位。定位，然后再排其他人。这样在拍其他人的时候啊，这时候呢。它的位置就有区别了，知道吧？再拍其他的这个位置有区别，这样就就OK了啊，位置就有区别，而且它的做题方法思路，看是不是懂了啊？要掌握它的考内容。好，

这是这道题，它的答题的方法。啊，环排问题，大家也不要害怕，环排问题考试呢呃，是一个命题空白，没有涉及到，但是呢，如果考的时候，那么上考场一定会分析。它跟单排的区别什么？它的思路应该什么样的？要弄清楚就可以了。接下来看分组分类，

分组分类也要用除法，所以除法的这几类都给大家讲清楚了，除法呢，稍微难一点，除法就分成这三类。啊，第一类呢，相同的东西或者定序的东西，第二个就刚才环排出现除法，第三个呢，就是分组问题分出现相同的分组，有几组相同就处于几个阶层啊？由几组相同。就除以几的阶乘。有几组相同，

又除以几的阶层，比如六本不同的书分成。分成三堆。啊六本不同书平均分成三堆，每堆两本，共有多少种分法是吧？那接下来咱们来看看，就相当于是。要两本，两本，两本这样分。啊，就两本两本两本这样分是吧？这两本这两本这两本这两本。那分啊，

分的话就写c六二c四二c2，这就得除，因为你不除它这个。因为它三堆，它左中右不再排序。知道吧，不再排序，所以要除以个三的阶乘。这样就可以了，如果你没除的话，那就有错了，这算就等于15。如果还弄不清楚，我们可以简单的简单的列一下列一下，因为这个六本太多了，

我就以四本为例好吧，有四本。这个abcd。啊，分成二。分成二四本呢？分成二二，如果要写c四二c2，你看它又会产生重复。解如果按照c四二c2，那就会产生重复，为什么会产生重复？咱们列列就可以了，然后c四二c四二正好是AB。acad.

BC BD CD是吧？所以c12它可以写成a bac AD BC BD CD，这是c12c12=6嘛？啊c2代表什么意思？c2代表剩下的剩下的，比如说要分AB的话，剩下就是CD。分AC的话，剩的是BD。剩aad的话，剩的BC BC的话，剩的是a dbd的话，剩的是ACC d的话，剩的是AB。这是AB这样的是吧？

这样写好了。啊，这样叫，所以它总共呢是六个啊，总共是。啊，这六个六个大家发现就重复了，你看AB一个CD一个CD一个AB一个，这样就重复了是吧？这就重复了，你看这两个它是一样的。然后这两个它是一样的，这两个啊，它一样。这样子是不是所以说它这两一样，

这两一样，这两它它它一样，那它这个就重复了，你看AB一一组CD 1组跟CD组AB 1组，它就重复了。懂了吧，这个看得非常清楚，然后大家注意它重复的原因，什么原因就是先取的跟后取的，有可能先取ab再取cd。有可能先取CD再取AB，这这是它导致重复的一个原因，知道吧，它又会产生一个排序啊，这个。

顺序问题，顺序问题，那就要消过序，所以除以三的阶乘，所以这是给大家讲的，如果多的话，它一样规律。是吧，所以你把这个原理弄清楚了，那其他写法就一模一样，知道吧，所以说它在选的时候要注意。如果这两组数量要不相等。不相等，它就不会产生排序。

比如说这四本书分成三本和一本，那就不会产生重复。那么一定是相同的这个。这个组合它会产生这个排序，知道吧？所以相同的组合它会产生排序。啊，相同它的组合。它会产生排序。好，这是它的这个方法好看，弄懂没有啊？要会分析和思考。

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