043.专项十-题型3-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:41:44

好，接下来咱们看一下题型三题型三呢，就是解析几何的位置关系啊，解析几何位置位置关系也是每年必考的内容。位置关系，它还可以演变成后面的对称问题，或者说一些最值问题都是位置关系的一些扩展和应用。所以要根据点直线和圆的核心参数来寻找它们之间的位置关系，好在位置关系里面，首先咱们看第一个就点与点的位置关系。啊，两个点两个点的话，它主要是两点会怎么考虑距离公式终点坐标还有斜率？是吧，就两点两点要会算两点的距离，

还有两点中点坐标，还有两点构成斜率等等，这些公式要弄清楚。知道吧，就会分析。然后接下来咱们来看一下三个点，因为两点比较简单，这个距离公式啊，终点坐标啊，还有斜率啊，这俩都会，咱就不再多说了。接下来咱们呢，就来看一下啊，那么三个点它的这个情况啊，

三点位置关系那么三点在平面儿上，它的三个点。三点要么共线，要么就不共线是吧？所以在这里面我们来看平面上三点。啊，那有三点。啊，如果贡献。好，三点不贡献。啊，三点共线的话啊，它就是无法构成三角形，三点共线的话，

你可以用任两点斜率是相等的。啊任，两点斜率是相等的，然后贡献贡献就无法构成三角形。啊，贡献就无法构成三角形啊，这个贡献。然后如果不贡献不贡献的话，那么这个是斜率是不等的。也不等式，可构成三角形。可以构成三角形好吧，这样的情况，它可以构成三角形。好，

那接下来咱们看条件一和条件二，咱先把题干给它化简一下啊，化简化简一下，那么任两点斜，你可以找AB的斜率BC斜率，反正任两点斜率相等就行了啊。好，那你就找kab。等于k bc找哪两点都都行。好，那keb的斜率keb的斜率，大家知道那么就是用。b的三次方减a的三次方除以b-a。然后也可以BC BC的话，就是c的三次方减b的三次方。

除以个c-b是吧？斜率相等，然后大家学过立方公式b的三次方减a三次方用立方公式，立方公式上下约掉一个b-a。遇到b点又变成b方加AB，加上a方。啊，这样的好，这右边呢，剩下约有约就得c方加上BC+1个b。好，这样就写好了好吧，然后两边呢，大家可以把b方呢给它进行抵消掉。啊，

抵消掉抵消掉，然后这时候就变成什么变成c方减a方。加上bc-ab，然后正好v0这样的情况啊，给到c方减a方就bc-ab这样v0。这样就可以得到c+a×1个c-a。这题这个b得到是。然后是c-a。然后再提这个c-a提公因式就得到a+b+c。啊，题目说了ABC呢是啊，互不相等的三个实数，它这样互不相等，既然互不相等的话，那这时候呢？

呃，这个c-a是不为零的c-a不为零，只能推出a+b+c它为零。啊，只要满足a+b+c为定，它都可以得到它，这个结果好吧，所以条件一大家可以看是OK的，条件一满足条件二呢这个。不可以，这个答案就选择a好，这是它的做题的方法和思路，通过这道题大家呢啊，三点的这个位置关系呢，它只有两种，

要么贡献，要么不贡献。好，如果贡献的话，我们呢？就用斜率来进行分析和思考，然后呢，再化简求出ABC的啊，等量就可以得到答案了，看是不是听懂了？啊，下面咱们来看一下点与直线的位置关系，点与直线位置关系，它的思路什么要会通过啊，一般式来判断点在直线的区域问题。

是吧，要判断它的区域，第二个要利用点到直言的距离公式来寻找怎么样？啊，点到直线的距离，同时来找这个等量就可以了，好吧，所以说要判断点在直线上方还是下方，这是第一个问题，第二个。就点到直线的距离公式，要把它掌握好。好，那接下来咱们看一下例九这个题与直线l经过这两个交点，且与它的距离相等求直线。

l的方程不经过如下点的坐标是哪个点的坐标？好吧，接下来咱们看一下第一步首先。要求这两个直线的交点，求直线交点方法，就联立方程就可以了是吧？那第一步就是3 x-y- 1，它等于零和x+y- 3，它为零好，我们把这个。这个两个相加，两个相加得到4 x- 4，4 x- 4就说明x正好为一。x为1x为1y，正好就为二。

的焦点坐标正好一二点是吧？焦点坐标就找到了，这个很容易求出来好，那说明直线呢是过这个点。直线过热点跟这两点距离相等，这样距离相等，我们看它有什么样的啊？这个特征。是吧啊，大家想想跟它相等。然后呢，我们简单画一个坐标，系大家帮助理解，你不画图也可以做的好，那么这个过一二点好吧，

一二点s=1的时候。YY=2过一二点，然后a点是三三点。a点三三点，然后b点是二五，b点是五二点。a点三三点b点是五二点。然后接下来咱们来看一下啊，它要跟AB的距离相等第一种情况就是跟它平行是吧，大家想想跟这个AB要平行。啊，只要平行的话，那么这个。直线l与这两点的距离是相等是吧？平行关系，

大家想想是不是这样的啊？平行。所以只要这样平行写下来。那平行平行的话，这个l是OK的是吧？然后这个是一二点。好跟它距离相相等，那还有没有还有没有啊？除了平行之外，还可以过这个AB的中点。啊过AB的中点，过AB的中点的话b到它直线距离，我们再画另外一种情况。啊，过它的终点，

过终点的话，可以看a到这个直线的距离是这段儿b到直线距离是这段儿是吧？啊，这样的啊，看懂了没有是吧？过到终点，这样也OK。那这样也行，好，这是它的这个方法啊，所以大家呢啊，就来看看这个方程，把它找一找。第一种情况要平行，平行的话呢，

相当于是先找kab的斜率。ABC就是y坐标相减除，以x坐标相减y坐标相减就是一除以个负二是吧？所以AB斜率是负二分之一。好abcd负二分之一，那l就可以写出来l的方程l方程，大家斜率正好是负二分之一，它有经过一二点。啊，经过一二点就x- 1+2是吧？经过一二点。好，这样的式子进入一二年，那这个直线方程就可以写作y等于负二分之一x，然后正好加上一个二分之。

啊五是吧啊二二分之五好，这是第一种情况，就是跟它平行的时候就绿色这条线。啊，这条这条线呢？是平行于AB。平行AB平行AB的话，这时候a和b到这个直线距离是相等的，第二种情况是过AB的中点。第二种情况，过AB中点。AB正常，我们看到AB正常有两个相加除以二三加五三+5是八八÷2得到四。然后三加二，三加二得到五得五除以二是二分之五，

所以过它的终点过终点，这时候大家知道两点。啊，确定一线这时候l的斜率k。可以让y坐标相减。y坐标相减二分之五，减二就得到二分之一。然后四减一四减一得到三。得到六分之一，这个写好了是吧？就六分之一，六分之一，那么l的方程就可以写出来l方程y又等于个六分之一。然后过一二这个点。应该也就六分之x，

然后减六分之一加二就六分之十一。啊，这样就写好了好吧，所以l它的方程有两种情况啊，这样就求求解出来了好，这是它的这个思路，看是不是懂了？然后接下来我们验证一下，验证一下，就这个abcd选项验证一下，二负七二负七，这个点它不满足。是吧，这个点在这个线上也不满足，所以它这个a点呢，

是不行，其他点呢，要么在第一个l上，要么在第二种情况上，反正就这两种情况。好吧，所以这个答案就求解出来，这些答案就选择a，而且它做题方法思路暂时不懂啊，通过这道题，大家呢，要明白的思路就是。到两点距离相等的线，那么应该如何来确定有两种情况？大家不要漏掉了，

考试呢，大家不要少了啊。好，下面咱们看一下这个题，经过点a点二一，且与直线30-y+4等于垂直的线。这个要简单是吧？首先要知道垂直，垂直的话，那斜率是互为负倒数，知道吧？大家知道这条直线的斜率k正好等于一个三。这叫直线斜率k，正好为三那所求的。直直线跟它垂直所求直线斜率。

k呢，应该等于负的三分之一是吧？好，这样就写好了啊k等于负三z，又因为它经过这个a点二一点。所以说这个y就等于负三分之一x减二再加一啊，这样就写它的数值了，然后这样可以写成负三分之x。然后加上三分之五。那加三分之五好，那这是它的这个方法。然后接下来他要问经过哪个点，经过哪个点，那把四和负三。带带到里面就把这几个点带到里面去，

负四和三，这样就可以了是吧？这个答案选择d啊，选d这是它的做题方法。好通过这道题，大家呢？要知道的考内容就是跟它垂直，而且呢，也经过某个点方程，我们要会表达那么它的结果要会写。好，接下来咱们看一下这个题，经过这个点且与点一距离为一的直线方程到底多少？好吧，这道题呢，

就相当于是。经过某个点，而且一定要直线距离为一。好与这条直线距离为一的话，那接下来我们看这两点它到底是什么样子，所以有一种情况大家不要漏掉了啊。其实这道题还好，它是一个问题，纠结题问题纠结题，大家可以看到那么？它有一个是竖线是吧？所以说这个大家不要漏掉了啊，大家知道这甲甲的这个二三这个点。二三这个点。好，

这是二三这个点好，这个一这个点。啊一这个点啊，那么它要经过这个二三这个点，而且与这个一点距离为一，大家知道这个竖线。是吧，有竖线。竖线，大家知道这个距离，它刚好就为一是吧？刚好就为一，所以说如果要竖线的话，这个点到达距离刚好为一，所以这个s=2，

这条线不要漏掉了好吧？所以这道题即使你忘记了，你看选项啊，也可以帮助你提示啊，正好有个s=2，这叫竖线是吧，然后另外。啊，那么如果斜就竖线斜率不存在，如果要不是竖线的时候，我们看它有没有情况，如果不竖线的时候有这样一条线。画出来有这样一条线是吧？好，这样线呢？

它的距离。刚好也为一，刚好也为一，就这样的一个情况是吧？所以在这里面大家呢，就可以找到有两条，第一条呢，就是协力不存在，咱们讨论完了。第二个，咱们设这个过这个二三，这个点它的方程我们可以写出来啊，就设这个直线。y=k倍的x- 2再加三，这样的是吧？

这个直线y=k倍的x- 2再加三。啊，这样的，所以y就等于kx- 2k再加三得到这个值好吧，有y等于。kx- 2k再加三。再加上然后呢用呃点到直线距离公式好吧，点到直线距离公式点到直线距离公式，你把这个直线变成一般式吧。好，它的距离公式d我们可以可以写出来d。就等于根号下k方加一，然后再把这个一点带到里面去s=1y=1带到里面去，带到里面就k-1-2k+3。这有个绝对值。

然后这个我们就可以写成等于根号下。k方加一，然后上面我们把它化简一下，化简就是呃k- 2绝对值是吧？这块儿。对吧，因为本来是应该是二减k啊，本来这个括号里面应该是二减k，但是我们把它写成k减二的绝对值k放在前头。然后它这个距离，它说正好为一就为一，那怎么去解这个方程呢？大家注意，又有根号，又有绝对值，

咱们讲过一定要平方。把分母乘过来，给它平方。平方完后，左边就变成k方，减4 k+4。这个局域之后，去掉了两边，都是平方。然后右边右边得到k方加一，然后这样k就可以写出来，就等于四分之三。好，大家就求出它的数值了，好，

那k=43 k=43，那这个直线放在带到里面去，自己就可以写出答案，答案就选择e方向呢，就不用再解了。好吧，有k的值知道了这个直言方针，大家应该都会写了。啊，这是它的做题方法，如果这道题，那就考察啊，与某个点距离为一的线，这样的线到底如何来进行寻找？是吧，

然后找到它的这个方法都会分析和思考啊。啊，接下来咱们看点与圆的位置关系，点与圆的位置关系，第一个通过点与圆的位置关系来求这个参数是吧？比如说里面有一些已知。呃，让求这个位置参数啊，要会求这个参数值第二个要会找这个切点直线方程的切点弦。啊，对应过切点弦的这个实验方程啊，要有分析和思考。好，那接下来咱们看一下这个题。过点一二做直线与做两条线与圆要相接k的取值范围包含几个整数。

这道题呢，主要是已知它的位置关系，来求这个参数，大家知道这个点与圆，它有三种位置关系点，要么在圆外，要么在圆内，要么在圆上。其中，它如果过一个点能做两条直线，与这个圆相切也能做圆的两条线，那说明。这个点一定要在圆外的，对吧？这个点一定要在圆外，

所以大家可以看到这个点的值，一定要在圆外。点如果在圆。y它可以做两条切线。知道吧啊，如果在圆上。只能做一条切线。能做一条期限啊，如果在圆内。它是零条切线，就没法做过这点做圆的切线，就没有切线。好吧，所以这是它的这个特征，所以通过这道题，

它要说如果过这个点，只能做一条切线与圆相切，那说明这个点一定在圆上。如果说它过这个点无法做这个切线，无法做圆切线，那说明这个点在圆内啊，接下来咱们在圆内圆上圆外到底怎么去判断？你就把这个点带到里面去，带到里面去，如果改成大于号。把等号改成大于号，那说明这个就是在圆外，如果要是在圆上，刚好是等于号，如果在圆内，

这个等号就变成小于号。好吧，所以呃，分析完了，咱们接下来做这个题，所以这道题那么这个点一定要在圆内圆内圆外的话，那说明。把这个一二点带到这个圆的方程，把s=1 y=2带到里面去I=1 y=2。就x正好是为1y，正好为二。然后x正好为1y呢，正好为二。啊，正好要在圆外圆外改成大一点就行了好吧，

圆外改成大一点就k方。加k。然后这个四加四八八+1点九。九减十五就相当减六，它大于零，这样就写好了。这样的方法好看，这个懂了没有？然后接下来咱们再来看。再来看光满足这个还不够啊，还不够还要它要正好是一个圆，所以说还要注意这个圆的方程特征。啊圆的方程特征，它要满足圆嘛。啊满圆满圆的话，

这个圆你要不会看的话，把它配方也行，配成配成x加二分之k的平方。将y+1^2。然后把它进行配方，配方完以后要保证右边一定是正数，知道吧，然后配完以后这个就变成了。变成了这个是因为这个展开有个一嘛，有个一有个一，这个变成16。然后减去一个四分之三k方。是吧，减去四分之三k方，这样话就跟原来正好相等啊，

所以它还要保证是圆圆的话，一定要满足右边呢，一定是正数。啊，右边它一定是正数，然后接下来我们呢就可以。啊，写出它的这个这个k的范围好吧，那这个k就可以得到啊k的平方小于三分之。64是吧k的平方小于364k的平方小于364，那么k呢？应该在。三分之八倍根号三和负的三分之八倍根号三这个范围，所以这个范围大家不要漏掉了好吧，这也是间接告诉我们。

如果一个圆，它要表圆的话，它方程的要求什么？要求我们把它配方要求右边呢？一定要为正数。然后接下来咱们再解这个k方加k- 6，它大于零大于零的话，它应该在两根之外，它一个根呢是？二一个根呢是负三，所以就k小于负三或者k大于二。啊k小于负三或者k大于二，这样就写好了k小于负三或k大于二，然后这时候呢，一定要找它的。

这个交集好吧，找到交集找交集，那么同时要满足，所以综上我们就可以写出它的这个。交集那就k呢，应该大于负的三分之八倍根号三交一个负三。或者k大于二，小于三分之八倍根号三。啊，这样的一个情况，然后在这边大家知道根号三是一点七七二，这个时候大家就自己去找它的整数了是吧？根号三。这个按照一点七七二带到里面去，那k呢就取负四。

三和四啊，总共有三个整数啊，这个答案应该选的是d选项。好，这是它做题的方法，那这道题间接的考察了点与圆的位置关系。和圆的方程的要求要弄清楚，把这个弄清楚就可以了，好，这是它的做题的思路和要点，大家是不是明白了？好，接下来咱们再看这个题。a和b是圆柱上的两点。a和b圆在AB两条切线的交点为p点，

求AB直线与两个坐标轴围成三角形，面积到底多少？啊，就是它的这个三角形面积。好，那接下来咱们来看一下它的这个方法啊方法。好，那我们就把这个思路给大家进行进行说说好吧，思路给大家进行强调一下。呃，如果这个p点要在圆上啊，如果p点正好在圆上p点要在圆上的话，大家知道过p点只能做一条切线。啊，只能做一条切线。

当这个p点在圆上。过p点，它只能做一条切线。而且那这个切线，它的方程我们就可以采用，咱们前面学过技巧，一般方法应该是通过垂直呀，通过过切点呀。然后再写这个直线方程，那样写就比较麻烦是吧啊，如果这个p在圆上。p在圆上那么过p点的切线方程。过p点p点假设是x0y0。啊它的切线方程。那这个圆的方程假设s-a^2加上y-b^2，

这样等于r方。好吧啊，如果它这个圆的方程假设s-a^2加y-b^2，这样等于r方啊，如果p点刚好在圆上。啊，过p的这个切线方程，大家怎么写呢？就是把这个s-a^2把它看成两s-a括号相乘。y-b^2把它看成两个y-b相乘，然后呢，就换一个留一个就行了啊，什么叫换一个留一个就把一个x一个y换成x0y0？另外一个就不要动，知道吧？

它可以。这样写。它本来不是x-ax-a吗？y-by-b吗？又把一个x换另外一个x不要动。好吧，所以说把它换成x0，再把它换成y0，就把它换成p点坐标，这样就可以写出来切线方程。好，这是换衣留衣它的一个技巧。p在圆上，因为p在圆上只能做一条切线啊，所以这条绿色的切线方程，

你这样写就行了。好，接下来咱们再看，如果p点正好在圆外。啊p点如果在圆外的话，我们应该怎么思考是吧？p点刚好如果在圆外。好，我们学习啊，如果p点刚好落在圆外的。啊p点如果在圆外的话，大家知道。啊，这时候它可以做两条切线，对不对啊？

过圆一点可以做两条切线。然后切点是a点和b点。啊，缺点是a点和b点。它可以做两个实验。起点是a点和和b点，这时候AB的方程。就是按照上面那个写知道吧AB的方案，这个就换一个，留一个就不是不是这个切线方程，因为切线是有两条这个切线就不能按照上面写了。那期限怎么写呢？期限只是按照笨办法写的期限就过p点的直线方程，用点斜式设，它斜率为k。

然后再用圆心到直线的距离等于半径把这个k求出来k求出来以后，那么这个切线方程就会写出来，知道吧？所以只按照常规方法来进行做了。啊，常规方法来来进行写就行了，好这个能懂吧？按照常规方法来进行求，现在的话，如果p要在圆外。p在圆外在圆外，那么这个AB。方程。就同上就同上面这个表达式，就换一个留一个就行了好吧，

换一个留一个，这时候切线方程切线方程就不能这样写切。不能这样写，欠方只能设点斜式。然后用圆心到直沿的距离等于半径，然后呢，来写出它的这个斜率，把斜率找到，然后再来求它的这个。经验方程。好，这是它的方法，看懂了没有？好，那再回到这个题来，

回到这个题材上求什么求AB的方程。如果这里要求这个切线的方程，那这个就就不能这样写好吧，这里求AB方求AB方程，你可以换一个留一个，用这个技巧来进行分析就可以了好吧？所以接下来我们就可以这里AB方的AB方的，如果没懂的同学，我可以写s- 4×s- 4。y- 2×y- 2，它等于二，然后p点坐标正好是五四，这个点啊p点坐标正好是五四，这个点把s=5 y=4，带到里面去。

啊五四那这个AB的方程就可以写出来AB方程就把ss=5就带一个留一个x啊。然后s=5代到里面就一×s- 4。然后y=4带到里面去就是二倍的。y减二，它正好等于二减二，那接下来就得到x加二y。正好减八减八减八这个一块就正好减十是吧？所以在这里面大家可以发现啊，这样就可以写出来。是吧，所以说在这里面，大家把这个点带到里面去s=5噢YY=4带到里面去。就可以了好吧，所以说大家呢，要会分析和思考。

好，那么把这个方程写出来，方程写出来以后，那么这个表达式就可以求出来，好吧，就得到减十正好等于零。那大家知道直线与两周围围成三角形面积这个公式，就等于c方除以2 AB。啊，这样算就等于25。啊，这个呢，应该选择a选项。建议大家选a啊，如果这道题要不用这个技巧的话，

那这个推导就很复杂了，知道吧，推导起来就很复杂，然后呢，你首先要求切线方程，然后再找这个切点。先找，然后再算这个AB的方程，然后这样做啊，运算量非常大，也不好分析和思考，大家一定要把这技巧弄清楚。这样的题呢？这样就好做了，所以通过这道题，

大家呢？要知道它的技巧怎么用技巧呢？有两种情况，第一种情况，如果p点在圆上。p线在圆上的话，那么这个方这个表达式代表是过p的，这个切线方程如果p在圆外，那这个方程表示是。两个切点AB，它构成直线方程好吧，它是不太一样的，别给混淆了好，这是它的答题方法和思路，看是否明白了。

下面咱们看一下例14。已知直线l过点负二和零。则直线l与圆有两个交点。好，那这道题它给的提供一个条件，就是斜率k的取值范围。啊，大家知道直线横过某个点。是吧，横过某个点，那接下来我们看一下它的这个考法好吧，所以重新判定，先把题干呢，给它化简一下啊。变换所以直线l它的方程，

我们给它画一画。直线l直线l那么它这个表达式我们就可以把它写成y等于，因为它正好过负二零点k倍的x+2。y=k倍的s+2啊，这样的一个式子。是吧，这样的一个方法。啊，所以y的值y就等于k倍s+2。y=k倍l+2写完以后，它要跟这个圆有两个交点，咱们学过可以用代数法，也可以用几个法来表示。那代入法的话就是两个联立方程，然后让德尔塔大于零来判断是吧？

所以说我们可以把两个方法都给它写一下。这个代数法代数法稍微麻烦点，用的少。代入法就把这个联立方程，联立方程就相当于把这个y带到这个里面去y带到里面就变成s方，加上k方。s+2^2减2 x=0。然后这个接下来就可以把它写成啊，这个合并同类项变成k方。加1s平方，这s平方项是吧？然后再加上一个。这个是。4k方减二。x.

是吧，然后把这个写上。就然后就写的它的这个数值。啊4k方，因为后面还有个减2x，然后再加上一个4k方。等于零，然后接下来让德尔塔啊，德尔塔因为题目说了，它要有两个焦点，两个焦点，说明德尔塔啊一定要大于零。如果大于零，如果大于零，等于零，

就代表相切，就代表有一个交点，如果大于零，就代表直线与圆，没有交点好吧，用这个来判断。当然就等于b方。减4 AC。好，这个大家自己去做，如果嫌这个麻烦的话，咱们可以用几个法来做好吧，这代数法代数法就把这个y=k倍的s+2把它带到里面去，带到里面，然后呢？

然后画成这个。呃，咱们学过的一元二次方程，让德尔塔大于零来进行分析思考，接下来咱们看几个法？啊，看一下这个几何法？好，那几个法咱们看看它几个法几个法就用圆心到直言的距离啊，那圆心呢？这个圆要把它配方。可以把它配成x- 1^2+y^2，正好等于一。啊，把它配方。

变成这样变成这样，然后呢，接下来我们呢就可以写它的数值，然后用圆心到直线距离来进行分析是吧？好，那圆心正好是一零点。啊，圆心。这样是一一零点。啊，原先是一零点，原先一零点到这个直线距离我们看啊到。好，那这个直线距离的话，我们就可以写成什么呢？

可以写成有kx-y+2 k，它等于零。啊，它的距离好吧，把这个。啊，直线有它的距离d。就等于根号下a方加b方就套这个点的直线距离公式，然后这个带到里面叫3k的绝对值。然后如果要呃有两个焦点的话，它应该小于半径小于一。所以把s=1 y=0带到里面去，得到这个值要这个，然后把分母乘过来，两边平方，

所以遇到又有根号又有绝对值，这类表达式一定要通过平方，所以把它移过来平方。那么，平方完以后变成9k方，小于一+k^2。就可以得到k方是小于八分之一的好k方，小于八分之一那k的值就可以解出来k的值就可以解解四分之根号二。到负的40根号。这样写好了好吧，这又写好了啊k呢，在负四等杠到四等杠这个区间。好，那接下来我们看条一和条件儿，它的取值正好都充分，

都落到这个范围内都充分。at re大家都充分这样答案，就选择d选项好，这是它的做题方法思路，看是不是懂了啊，它的考试内容。好，那接下来咱们再看一下啊，这个题。啊，这个题咱们有两种做法，第一种的话就把这AB的直线方程写出来，用点到直线距离公式做，这样是最快的第二种方法呢，用几个法用平面几个？

一些直角三角形的一些方法来做都OK好吧，所以咱们看方法一。方法一呢，就相当于是这个平面几何的直角三角形法，就它因为它会产生很多垂直，知道吧，你的切线会产生很多垂直。好，那接下来咱们画个图。画图来分析和思考。好，那接下来大家知道这x方加一方这个圆，这个圆正好呢，就是圆心在坐标原点，然后呢，

它这个半径正好为三这样的一个圆。啊，这样一个圆啊，这是啊，这个x方加y方等于九。然后p点正好三四这个点，所以这个点刚好是三。这点刚好删，然后这也删，然后p点正好为四。啊p点，它正好为四啊，得到这个值好，那接下来它做两条线，咱们画一下两条线。

注意其中有条切线，正好是竖直这这条线。啊，叫竖直线好吧，然后这样来进行写。好，这是p点啊，它的这个这个方法啊，郑老师。这样的它切AB两点，那假如这个切点就是a点了。这个切点就是b点。对吧，有一个切点是a点，一个切点是b点。

啊，这样的。啊切AB两点。然后问p到这个AB的距离到底多多少啊？那接下来我们就连接一下这些线，它会产生很多这个直角三角形。而且这个圆心角是o点啊，原因是o点。好，那这样，我们画一下它的图。画一下图好，那接下来咱们来看看它的这个思路好吧，看看它它这个方法。它这个肯定是垂直平分嘛啊，

这个垂直平分。直平分号，那我们看看它这个里面就要用到很多这个直角三角形的内容是吧？所以大家知道OP的长度正好是等于五，因为p点坐标正好三跟四。这OP乘上等于五。然后oa的长度。正好等于三，所以AP的长度正好等于四。是不是AP的长度正好为四嘛啊？AP的长度它它的值正好为四，然后这个oa的长度正好为三。然后正好三四五这样一个特殊直角三角形，那我们可以用摄影定理来进行分析啊，摄影定理假设这个p到AB的距离。

我们讲这一点，焦点是m点啊，焦点是m就是啊，咱们用摄影定理做好吧，直角三角摄影定理。针对还记不记得就AP的平方？这样等于PM×po。是不是这样等于PM×pu？好，那这个PM就可以写在PM，其实设定就用相似推出来的，就等AP的平方。除以一个pu。pu长正好是五。然后AP的长度正好是正好是四，

这又可以得到它正好是五分之十六。啊，这个视影定理啊，得到的啊，直角三角形的摄影定理。比如这里还可以让你求om知道吧om，所以我把摄影电影都给它写上啊，有ao的平方。交等于om×OP是吧？当然还可以求am那么am的平方，交等于om乘以。PM好摄影地理总有三个啊，三个就是这三个长度，它的平方就等于另外两个相乘是吧AP的平方？就等于PM乘以。

po ao的平方，这样等于om×po。am平方这样等于om×PM。好得到，这是方法一用摄影定理直角三角形来推导的。啊，方法二。方法在前面，题目我们讲过，然后呢，就相当于是如果过圆外一点做这个切线，两条切线。切点AB AB的方程，直接把它带一个留一个就行了，所以直接求出AB的方程。

AB方程好AB方程的话，直接把这个x换成3y换成四就行了，就得到3 x+4 y正好等于九。是吧x+3 x+4 y=2=9，这AB的方程知道了AB的方程p点到AB的方程距离就可以求解出来p点。到三四。到这个距离，到这个距离，把它移过来30+4 y- 9，它正好等于零。3 x+4 y- 9，这样等于零，它的距离d。d等于根号下a方加b方就是五，然后把它带到里面去，

九加十六再减九是吧？用点的直线去公式约得到是五分之十六。这样也可以好吧，这个就用咱们前面学过的啊，学过总结的，如果过圆外一点做圆的两个切线，这个切点。它们之间的距离切点构成的这个方程啊，过AB的方程，大家会写，写出来以后，然后再用。电脑直线距离公式来分析和思考就OK了好，这是它的做题方法，思路看是不懂了，

这个答案就选择e选项。下面咱们来看直线与圆的位置关系，直线与圆。直线原位关系主要主要通过圆心。到直线距离与半径的大小来去比较，但直线原位观它有代数法，有几个法？这种法要稍微麻烦点的，用的少，而且几何法？啊，代入法就看data结合法就看der。然后呢，代入法就看德尔塔与零的大小关系，德尔塔比如说大于零大于零就相当于是相离的，

相当于d大于r。但是它等于零，相当于d=r，但是它要小于零，相当于d小，小于二是吧，然后这样画。所以说第一个就当它大于零。相当于d是小于r的是吧，然后这个就是相当于是什么相当于相交的？啊，当然要等等等你等你就相切的。这个d=r就是相切的。当德尔塔小于零的时候，小于零就是相离的。

相离就是d大d大于二就是相离。好，那这样判断啊，方法好吧，所以说它呢，是这样的判断情况。好，那这个写好了。好，那接下来咱们来看一下啊，一般咱们优先用解法做解法呢，要直观要简单代入法呢，除非它给的方程比较简单。是吧，再用这个单上来做啊。

好，接下来咱们看一下这个题。啊，那在平面坐标系中已知圆上有且仅有四个点。因为进入四个点。到直线距离为一则实数，它的取值范围到底多少？啊，这个。四个点啊，四个点在这里面，我们看看四个点它的情况。呃，这样话，我们就把它直线圆有几个点到直线距离等于一，

我们分别判断一下啊，有少？有有少到多，我们可以看有零个点。是吧，如果直线啊，离圆比较远啊，这时候是零个点就圆上，它没有点到直线距离为一啊，因为它这个离得比较远。比较远啊，那第二个就有一个点。还有一个点，什么情况？就是直线和圆稍微再近一点。

好吧，直线和圆，然后再再近一些就行了。啊，这样话就圆上只有一个点。那这是一个点。是吧，就圆上有一个点到直线距离为一只有一个点，这能看到吧，这一个点，然后如果圆跟这个直线再近一点儿，再进来就会有两个点。好，我们来看看啊，这个再近一点。

这样就有两个点。啊，这是两个点，所以原来有两个点到直言距离是唯一的。是吧，然后接下来咱们再看，如果再近一点就三个点。然后这块再近一点就三个点。三点是这里边这有个点。那这有三个点。好，那这是它的方法，三个点。然后接下来咱们再看啊，就四个点。

啊，四个点就是。这样的情况。好，我们再看四个点。啊色点就这边有两个。啊，这还有两个。啊，这样四个点。好，这是四个点，所以圆上可以找到几个点到直沿距离为一啊，这样的情况好，那接下来咱们来看它的这个。

思路其实最关键是什么？最关键有一跟三，一跟为什么？一跟三是最关键，它是一个分界点，知道吧？它是分界的。所以接下来大家可以看到好，那么如果要一个点一个点话，说明什么？说明圆心这是圆心对吧啊圆心。好，那这个圆心到直线距离d正好等于r+1。如果它这个距离正好是一嘛啊，写的距离是一这个r+1，

如果这个改成二，比如距离为二，那这个这个改成r+2。就行了好吧，这个d就代表什么意思呢？d代表圆心到直线的距离。d代表圆心到直线的距离。好原因到直线距离这样的。然后这r代表圆的半径，这个一呢，就代表它所给的这个距离一，如果这个一要改成一点儿五或者改成二，那么把这一相应的调整。接下来咱们再看三啊，看三个点。

三点呢，这是圆心，这是圆心，圆心到直线的距离，圆心到直线距离递增等于r- 1。是吧，原原因到直线的距离d就绿色，这段儿绿色这段儿正好呢，半径r再减一，这样写好半径r- 1就OK了。然后接下来接下来我们再来看一下啊，零个点零个点由d大于r+1。零个点由d大于r+1。这样的，然后两个点两个点就记于这两个之间就行了，

这两个之间就d小于r+1大于r- 1。这样的，然后四个点四个点相当d啊，小于r- 1是吧，小于r- 1。好了，就把这两个分界的记住分界，记住，这样就好办了好，这是它的这个思路，接下来我们来看一下啊，看一下它的这个取值范围。那家学们这道题要有四个点，四个点就相当是最后一个图啊，这个这个时候就d小于r- 1，

那这道题圆的半径正好为二。知道吧，有的半径为二，那只要找到圆心到直线距离小于半径就行了，所以这道题圆心。原因正好是零零点。是吧，到这个直线距离好，这个直线距离我们可以写成12 x- 5 y+c有12 x- 5 y+c。啊，这个距离d。d呢，要小于。d呢，求解出来用咱们讲过点到直线距离公式根号下12方加五的平方，

12方加五平方正好13。五十二十三，然后把零零点带到里面就c的绝对值要小于r- 1r，正好就等于二。是吧，这个题的圆的半径正好为二二减一，所以说得到c的绝对值是小于十三的，这几个小于十三c有。小于13，大于负13，这样就写好了好吧，这答案就写出来，所以小于13，大于负13。好这个呢，

应该选择是d选项好，这是它做题的方法思路，看是不是懂了啊，就通过这道题，大家呢要掌握的。啊，求解思路就是我们呢，要知道在原来可以找到几个点到直言去，等于它所给的这个值一定要找清楚，然后通过这个来进行分析和思考就可以得到答案了。所以这这几个情况啊，一定要会画图理解，这几个图也得几个图，那做题那我方法就掌握了，比如说这里改成。

呃，仅有两个点到直线距离，那就这种情况。啊，如果要三个点，就这种情况一个点啊，这个都给大家写好了。好，下面咱们来看这个题，直线预言交于mn两点。若mn的长度大于等于二倍，根号三则k的取值范围是多少？这道题其实就是求弦长。就是弦长直接把弦长给它写出来好吧啊，这个弦长啊，

弦长的话，我们可以看到它这个弦长mn。弦长公式，我们写写弦长mn 2倍的根号，下r方减d方。啊，就是这个协商公式。减工，它要大于等于这个二倍根号三。大家知道在咱们这里r相当等于二是吧，圆的半径正好为二。啊圆的半径r正好等于二，这个写好了。原来半径rr正好就为二。啊r正好为二，

然后这个r的平方减上四是吧？所以在这里面我们就可以把d的值给大家解出来dd的值一定要小于一。是吧，这就给到d的值，应该是小于一的，因为你带到里面来进行分析就可以得到它的一个数值。啊，就可以得到d的值是小于一的。好那d的值我们看应该怎么分析和求解d的值d的值就是拿圆心到直线距离啊，圆圆心到直线距离圆心呢是正好三二这个点。是吧，圆心是吧三二？圆心是三二，然后到这个直线距离。到之间到ks-y+3=0，

它的距离d。啊gd。啊，那么就等于根号下。k方加一。根号下a方加b方k方加a，然后把三二带到里面去，三二带到里面就3k。加一的绝对值要小于一。啊，小于一的话，那接下来我们呢就可以找到它的这个方法了，然后把分母乘过来，两边平方就可以了啊，两平方就变成9k方加6 k+1小于k方。

加一，然后把这个唉移过来，移过来就变成了8k方。加6k，它小于零。啊8k方加6k。是吧，因为这个一跟一，它可以约掉，约的话，那这个k的值就可以求解出来，好在这里面大家要注意这个等号。是吧，我们观察一下等号，等号，

因为它这个大于等于啊二倍根号三，所以这地方我们给它添上等号就行了。是吧，都添了等号。平等那这个不等式很好解它一个根是零，然后一个根呢是负的四分之三是吧？所以说它解集应该在两根之间就大于等于。负的四分之三小于等于零，这样就写好了好吧，这个呢，就选择的是a选项，而且它的做题方法思路。当然，有同学想画图的话，也可以画图来进行分析，

都可以画图，把这图画出来画出来，然后。找到这个斜率，它的变化情况，所以这道题其实就考察的是弦长公式，弦长公式要知道，而且这道题要会解这个不等式。是吧，及弦长最后要转换成距离公式，根据这个距离的情况，然后找到k的取值范围。就给几个答案，看这块是不是明白了？啊，

下面咱们看这个题啊，已知圆与直线交于mn两点。啊，注意这个o点，不要看错了o，不是圆心啊，很多同学把o当成圆心，如果o要是圆心的话，那这个做起来就简单多了。知道吧，你看o要是圆心的话，就相当于一个圆与直线交于两点。啊，与直线交于这个两点，然后这个om跟on是垂直的啊om跟on，

如果o要是圆心的话，那这个很好做了。om跟on垂直在这样一个等腰直角三角形，利用弦长公式等等的做起来很方便，知道吧？就关键点这道题，关键点是在什么地方？观点这个o它的坐标原点，这是难点，而且这道题啊，就把几几何和代数。代数方程里面，韦达定理结合在一起来考了，所以就它就可以提到那么代数跟几何呢？两者是不分家的。

是吧，两者结合在一起考啊，那首先呢，可以把这个圆呢给它进行配方，配方的话，主要就找到。啊，找到它的它的表达式，它的圆心正好就是一和二是吧？圆心正好是一和二。原先一和二啊。然后这个时候om垂直on注意它是坐标原点啊o是坐标原点。啊，这里这个垂直我们看应该怎么思考？这里大家知道直线和圆的交点，

那就得联立方程运用代数法。是吧，使用代入法啊，所以说两者呢，就联立方程啊，联立方联立方程我们呢啊，就可以设m点呢，是s1y1。呃n的坐标是x2y2。当然，这个这个y1和y2你可以用x来表示是吧？这样都可以，因为这mn它正好在直线上，也在这个圆上啊。你在圆上，

所以说这个y1就满足s1+2y1-4=0是吧啊，满满足这个值。然后s2+2倍的y2-4，它为零得到这个结果是吧？就s1+2倍y1-4为0s二+2倍y2。减四，它正好为零啊，这样就写好了。那需要接下来，接下来我们看一下啊，它的这个式子。是吧，然后呢？呃。在这里面又把这个给它带一带，

带一带的话，你可以把这个y带到里面去是吧？把y带到把s带也都差不多啊，首先带这个y吧。这个y正好等于个。这个二减去二分之x。是吧，然后把这个YY带到里面，就相当于这两个联立方程，就相当于圆和直线，要联立方程。啊，联立方程以后，那接下来我们就可以看出来，带到里面就变成什么了，

变成x方，加上这个y的平方y的平方就相当于四减去。二x加四分之x平方。是吧，这是y的平方，这个能看懂吧？然后再减2x，再减4y啊，给它乘以个四啊，乘以四就八。2x是吧，然后加m它正好等于。所以说把这个算出来。这样，然后这块儿啊，

这块儿它这两个正好就抵消掉。这两就抵消掉，抵消掉以后就变成什么变成四分之五x平方减二x。x然后加上m- 4正好为零。然后呢？两边在啊，两边我们再把这个。好，这个五给大家乘乘一下是吧？然后这样就可以写写出来。好吧，所以在这里面大家呢，就是把这个啊四给大家进行整理，两边同乘以四嘛，同乘以四，

同乘以四，以后变成5x平方减8x。加上4 m- 16=0啊，这是联立方程，联立方程以后大家知道这个om要垂直on。om垂直on它斜率乘积，应该等于负一是吧啊，斜率乘乘积应该等于负一。阶乘一那么om，它的斜率就是y1÷x一。on的斜率是y2÷x二，那正好等于负一，如果两直线垂直，那斜率乘积等于负一，这样的话就可以得到x1x 2=y 1y二。

这样的是吧？然后这个s1×s二用美达定理y1×y二，再用y1×y二的话转成x1和s2。知道吧，等ser再用韦达定理，这样就可以把m求出来，懂了吧？所以这道题呢，它的更多的是用代数的一些思想来进行分析的。知道吧，你看表面上是几个题，所以实质上是用代数的很多这个公式，尤其韦达定理的公式是吧？好，那接下来看s1×s二。

s一乘以s二，大家知道两根乘积，两根乘积正好等于a分之c嘛，所以这样就可以写出来，正好等于五分之。四m减十六，这是s一乘以s二，然后咱们看一下y一乘以YY一的话，可以写成二减去二分之s一。y的话就二减去二分之x二。这样的这个能懂吧？就是这样的一个式子，这样式的话，然后接下来，然后把这个再乘开呗啊，

再乘开再乘开。再用下比达定理就OK了，这个二×2得到四。减去。x1。s二是吧，然后减去，因为这个二乘以二分之s二这这两层，然后再加上四分之s一s二。啊，四分之s一啊s二好，那接下来咱就把s一加s二和s一乘以s二带到里面去就行了好吧，这是五分之四m减十六。等于四减s，一加s，

二s一加s，二就等于负的a分之b。是吧，所以就得到十五分之八。s一乘以s二正好就等于a分之c，然后这地方还有一个四变成二十倍的四m减十六。好，这样就写好了，写好呢，然后把这个呢，这个就关于m的一个方程很好解是吧？两边同乘以二十，然后这样一解就可以解出来m值算等于五分之八。啊m值等于五分之八，m值等于五分之八，

建议大家就选择e选项。啊，这是它的解题的方法，所以通过这道题，大家呢，要知道的考试内容和要点就是我们。啊，如果圆跟这个直线交于两点，而且它们之间要垂直关系，那么怎么去分析怎么样去想到这个韦达定理的，所以这是很关键，知道吧，做到这儿一定要想到。这个韦达定理两根成绩用韦达定理来做。那这里用到了啊，

联立方程是吧？直线和圆联立方程，联立方程的话，然后找到。这是它们的焦点的满足的一个方程，然后再用韦达定理，韦达定理，因为这个方程里面x1和x2这两个点坐标是解不出来的。所以说这个不要去解，用韦达定理做知道吧，所以怎么想到韦达定理，大家一定要注意出现两根乘积啊，两根之和这样的式子，我们要想到用韦达定理来分析。表定理做这个要简单。

对吧，然后呢，再把这个值嗯带到里面去就OK了好，这是他的做题的方法思路，看是不是懂了啊，通过这道题大家呢？在学习的时候，我们呢？啊，一定要把咱们代数结合在一起来进行分析，这道题考的思路呢，比较灵活啊。啊，接下来咱们看一下这个题也是直线a分之s加b分之y等于一AB呢，是非零常数啊，

与这个圆呢要有共点。一个圆有公点且公点的横坐标，纵坐标都要分整数。都是整数，也就是它的公点，假如说是s0y0啊，公点就这个直线跟这个圆公点。那这样直线共有多少条？这样直线共有几条AB呢？是非零常数。好，那接下来咱们来看一下这个题好吧，它给的这个x方加y方等于100。就相当于半径为十的一个圆，这个能看懂吧？

它正好半径为十的一个圆。好，这是一个圆范围为十。注意这个直线看好了，是截距式知道吧？就这个直线方程，它给的形式不一样。它在这些答案会是不一样的啊。好，那首先大家可以看截距式，这个截距式也说不包含水平线和竖线。也不能包括过原点的线。知道吧，所以说这个洁具式啊，它的这个课程要弄清楚好吧，

所以说咱们就是鞋节式啊，还有这个洁具式啊，等等它表示。实验方程，它的特征要弄好，接下来咱们看这个题，这个题的话，大家可以看这个十。然后这个十这是负十。复式我们先看这个直线，跟它交点横坐标，纵坐标都要是整数，整数都是整数，假如焦点是x0y0。这个焦点肯定要在这个圆上，

对不对？比如x0的平方+y零的平方正好等于十的平方。那跟咱们学过勾股数，就知道勾股数就六八十。是吧，六八十就正负六。正负八。正负八。正负六。是吧，有正负六正负八，当然还有什么还有零。和正负十。就s0v0y等于正负十还有。s等于正负十。

y呢是零。好，这个能看懂吧？好，这是它的方法，看是不是明白了啊？啊，所以说在这个圆上的点，我们都可以画出来好吧，画的就正负6s等于正负6y等于正负八。二点正负六。然后呢？还有什么？还有s等于正负8y等于正负六。啊，

此外呢？还包括什么呢？还包括它在助波轴上点。啊，在坐标轴轴上点好，这一点在坐标轴上点。好，那就这些点啊，这些点是在坐标轴上四个点。对吧，然后剩下的就是蓝色的有四个啊，绿色有四个，其实总共12个点啊，12点啊，那么12点大家知道两点第一线从12点里面任取两点。

这总的情况数。是吧，这个用咱们学过的排列组合，知道吧，就在这里面，我们整个可以取取c12，大家算算正好等于66。这个套咱们学过公式，不会计算c十二同学应该是二分之十二乘以十一啊套公式，都把公式给它写写写到六六。刚才66要要减要减，因为因为它这个呃截距式，它不能表示水平线。啊，我们看水平线，

也就是说要去掉水平线。啊，水平有几个？你看水平这两个蓝色的，两个绿色的。是吧，然后两个黄色的，两个绿色的啊，这个两个蓝蓝色的，所以要去掉五条。是吧，所以说这个。五条如果如果把这个黄色的扣掉，扣掉的话，那有四条是吧？

你就看你把它包含不包含在里头。好吧，然后竖线。然后竖线。好竖线在这里面，我们可以看一下竖线，竖线的话以一条就两个绿色，两个蓝色，两个黄色的。然后这个也是五条。是吧啊，也是五条啊，这样的。所以在这里面啊，要把它这个去掉了，

还有这个过原点的线啊，过原原点。啊，过圆点的话，大家可以发现这刚才过圆点的话，咱们这个过坐标轴的两条已经数过了啊，数过你就数数。啊，这个蓝色的是吧？这个绿色的这个黄色数过了，就说这一个两个。三个四个是吧？所以在这里面，大家呢，就可以看出它的这个特征。

注意再强调过原点的那个x轴和y轴，这已经数过了，数过就有四条。这个懂懂了没有好，这是它的这个方法，所以这个去掉十十四条就掉十四条，那么这个六六减十四。得到52，得到52好52，然后在这里面。啊，在这里面，我们呢来看看，还有还有还有什么？还有大家知道那么相切的，

这是相交的对不对？这是这是相交的跟圆相交的。那还有相切的。所以相交的52条，还有相切的。因为它说这个直线圆有公点，又没说一个点还两两个点。对吧，所以在这里面相切相切的话，指的是这八个点，又把这个呃黄色的坐标轴的点去掉，还有八条相切的，比如说。在这有条期限过这个。比如说过这个蓝蓝色一条切线是吧？

过这绿色一条切线，过这个绿色啊，反正就四个蓝色点，四个绿色点，所以相切的有八条。连续相亲有八条，所以这样啊，共加在一起就是52，加上八就等于60条。好，这样就写好了，好这个呢，应该选择的是a选项。啊，注意，

如果题目它这个给的急，于是要换成其他方程，那又不一样，知道吧，如果换成这样的。把集子换成y=k倍的x+b啊，如果把这个直线和直线y=k倍x+b。然后这时候呢，它就不能表示竖线，知道吧，这个是不能表示竖线水平线就可以表示。所以这时候呢，你这个水平线就要要加上，对吧？水平线这个就不要扣掉啊，

水平线。对边就竖线要扣掉，知道吧？把这个五个竖线给它扣掉。懂了吧，然后这个切线也一样啊，切线就所以说它相交的线，我们就可以写下答案相交线。单线有六六，然后减掉这个竖线，它是不可以的，竖线有五条。对吧，竖线有五条，其他的这个水平线呀，

还有过原点线，它都可以表示这个竖线五条。这这61条，然后相切的。啊，相切的好，那么相切的线在这里面切线切线画。切线的话，它就是竖线，不能够表示就是就相当于是。十条就行了啊，比刚才的八条多了多了两个，这个y轴的这个切点就是水平线，它可以表示。是吧，

多了两条切线，知道吧，所以这个相切就十条。啊，就十十条，就是把这个竖线不能表示竖线，就是将那两个x轴上的这个切线。啊，这个极限是不能表示的好吧，然后这个这一共。就是71条啊，等等就这样的方法，懂了吧？啊，它的这个内容，

所以大家呢，要注意啊，它的这个洁具是？给大家写一下，即使其实它不能表示。分表水平线。竖线和过原点的线。知道吧啊，如果这道题要把这个直线改成一般式直线，要改成一般式的话，那这个就就就。多了是吧，改成。这个as。加by+c=0。

啊，如果改成这样的，改成这样的话，它可以表示水平线竖线了，这个这时候相交的。就是六六条，这就不用扣了。啊相切的相切的有12条，这12个点，这12点都可以都可以做一些水平线竖线，它都可以表示。知道吧，相切的就12条，所以共就是78条。共78条啊，

这样就OK了，知道吧，所以说这个即使不能表示水平线竖线和过原点的线。然后的话就是那个y=ks+b。呃，斜解释。或者说啊，这个点斜视啊，这个不能表示。啊，不能表示什么，不能表示竖线。它水平是可以表示啊，就点斜式和这个什么？斜解释是一样的。

啊，这两个它它一样的啊，它不能表竖线，因为竖直线的话，它斜率k是不存在的，所以它不能表竖线。啊，这两个还是一样。好，要弄清楚好吧，这个方法要会分析，然后一般是它没什么缺陷，一般是它水平线竖线过约点线，它都能表示。它是比较完美的，

没有缺陷，知道吧？好，这是给大家讲的，它的答题方法思路，看是不是弄懂了啊？

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