040.专项十-练习-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:36:37

我们来看第一题下列方程中表示，图形每一条直线的道理说注意是直线啊，那么要呃注意它的区别就线段。还有射线。还有直线啊，它的区别好吧，线段射线直线，它的区别好a选项，我们看一下a选项可以把它变成lo gx=logy。它可以推出xy相等，但都要大于零。是吧xy相等都大于零，它表示直线的一部分表示x=y大于零的部部分。是吧，所以在这里面啊，

它的特征就写好了。所以它不是完整的线，然后b选项b选项是x方减y方除以x+y。它等于一个我们把上面给它进行因式分解，可以分成s-y×s+y÷s+y它为一。上下可以约掉s+y，就推出s-y为一，但是还要且。x+y不为零。且x+y不为零。x+y不为零就说明它要去掉x+y=0的点。看到没？去掉x加y等于零的点就是二分之一负二分之一这个点，所以说它是它是这条线，然后要去掉。

一个点负二呃二分之一和负二分之一，这个点啊，就是呃一个线。然后呢，它去掉一个点就是一个线，把一个点给它去掉去掉，那它就是直线少了一个点。是不是所以在这里面，它这个也也不行，好c选项。c选项大家知道这个有个公式，一个平方根上就等于它的绝对值，所以c选项可以写成x-y绝对值等于一。就推出x-y它等于正负一好。x-y绝对等于它表示两条平行线，

它是两两条线，人家说要表示一条线，这个也不行。啊，它的两平行直线。啊，这个也不可以好那么d选项d选项，我们来看d选项说e的x-y次方等于一大家知道只有e的零次方，它为一。啊一的零次方就x-y它为零，这时候xy它就没有什么限制了，就在全体实数里面取，所以它在这里面它就可以表示一条直线。它表示x-y等于零一条线好，那么e选项e选项y=ghxy=gh x，

它是一条折线。这样的这这是e选项是吧？所以它它的折线，它的这两条射线所构成的这条射线，这一条射线啊，一条射线所构成的，所以两条射线构成它不是一条直直。实现所以e选项也不行好。通过这道题，大家要知道对数还有分式，还有根号以及绝对值。以及还有这个指数啊，基本上把我们几个比较复杂的绝对值呀，根号呀，指数对数分式啊，

那么都呃合在一起了，所以这道题考察质量非常高。啊，大家呢？要把它的图形到底表示什么样的特征要分清楚。好，第二题，它问这个方向表示曲线是什么？那首先要对这个方进行变形好，那么前面s次方减y次方可以写s平方加y方。cx平方减y方是不是这样情况减去四倍的括号括号，然后提出一个四得到x方减y方，它为零。是不是所以提出一个四得到x方减x方啊，得到它的特征。

看这个是不是明白了？那这时候是不是我们可以提供因式啊？对吧？提供因提完提出s方减y方，剩下就s方减y+y^2减四=0。好，那就推出，大家注意两个相乘为为零，两个相乘为前面为零或后面为零，一个是x平方等于y方。或者说后面为零，后面有x方加y方等于四。好x方等于y方，它是表示什么呀？表示几几条线呀？

大家想一想，好在这里面x方等等于y方，它表示x=y。或者s=-y，对不对？它表示两条线。s=y或者s=-y。好那么或还有一个圆。而且这两条线它是相交的。而且这两条线它垂直的听到没？它垂直它表示这样的一个情况。好，这个是这个，就是x=y好，这个就是x=-y。

对吧，一个I=y，一个I=-y，另外就是一个圆，那另外还有一个圆，所以这两个线它是垂直的啊，因为斜率它互为负倒数。所以表示，两条相交线和一个圆，这个呢，应该选择d选项啊，通过这道题，大家听完我收获了什么呢？就是要学会把它进行变形变形，然后提公因式。

提供因式，然后再根据。看方程的特征来进行分析和思考，看是不是明白了？好，第三题过直线就直线l过一个点，且在两个温度截距的绝对值相等满足。条件的直线到底有几条啊？满足这个要求的直线到底有多少条好？他过这个点，然后且在两坐标轴截距。的绝对值是相等的。好，那绝对值相等，那我们就可以看出它两个数的绝对值相等，

假如一个截距是a。一个截距是b是吧？所以它在两个步骤，一个截距是a，一个截距是b，好它绝对值相等好，绝对值相等的话，那么在这里面啊，有可能a和b相等，有可能a和b呢，是互为相反数是吧？所以它的截距有可能是相等的，或者互为相反数。或者互为相反数是吧？所以在这里面好，

我们就用截距式来表示好，截距式来表示，如果a和b要相等，那么可以设直线为ax。加上a分之y等于一，那它要过这个a点负二和负三在这里面，我们就可以求出a的值。a的就等于负是吧呃a的值这个求出来，它就等于负好那么第二个情况啊，第二个情况，第二个情况就相当于是。a等于负b是吧？a等于负b，然后就是a分之x减去b分之y等于一。它过a点，

过a点是负二和负三，这个点我们来看它的特征，好x=- 2y，等于负三。然后这个时候我们可以看出看出它的这个值，它的值这个这这这个呢，就就下面是a了。好，这个值大家可以把它写出来，写出来正好就是a=1是吧啊ave好，这是给大家强调。好注意，大家还要有一条，有一条就是过原点的线，还有一条过原点的线。

过圆点线是不能用结余式来表示的啊，过圆点线是不能用结余式来表示，所以在这里面过圆圆点线就它的斜率正好就是。呃y比x就是二分之三啊，所以在这里面好，那么还有一个过圆点线，所以总共呢有三条线。好，那么大家画图也可以画出来好吧，画图有同学说能不能画图做画图也能做的，如果这个求直线方程，我们也会求直线方程，这个我们就可以把直线方程给大家写出来。是吧，指引方程都写出来了，

好，那接下来我们来看画图画图画它过负二。和负三这个点。好，这是a点a点在第三项过负二和负三这个点，然后在这里面大家可以看一下这个斜率为一的有有有一条是吧？斜率为负一的呃，有一条还过原点一条。啊，这样就写好了，是不是？所以在这里面，我们可以把这个直线呢给大家画出来好，这是斜率唯一的一条。还有斜率为负一的一条。

啊，还有一条大家特别容易啊，忘掉就是过原点那条。还有一条是过原点。好，这样的特征过原点一条线。好，这是给大家强调的这个方法，看是不是明白了？好，那么总共呢？就三条线啊，三条线画图也行，或者说让你求具体方程也要会求解。通过这道题，

大家可以发现，如果截距的绝值要相等，它要么斜率为一，要么斜率就为负一，所以说也可以掌握这样的技巧好吧。还有一条过原点，这样找就行了。然后第四个，第四个在切入点上出现了夹角好，那么我们要分析一下夹角公式。tan阿尔法就等于k1-k二绝对值一+k1k二。啊，这k1-k二绝值值除以个一+k1k二好，那这是？啊，

它的这个夹角公式好，那么在这里我们把这道题斜率带到里面去好吧，斜率带到里面第一条直线的斜率l一，它斜率是负的二分之一。l二，它的斜率正好等于三分之一。是吧l斜率等于三分之一好，所以负二分之一减三分之一好一，加上负二分之一乘以三分之一就相当于一减了。好，上面六分之五，下面六分之五等于一等于一的话，大家知道碳定值等于一就等于四分之派，所以选择c选项，通过这个大家记住常见几个角的判定值啊，

比如说。零啊，这个六分之派四分之派三分之派二分之派好这个t an alpha。好，这个零这个就是三根根号三这一根号三这个是无穷是吧？无穷或者写成不存在这样都可以。好，这是它的特征，看是不是明白了？好，第五题，它说这条直线与这个曲线恰有一个共点，首先大家知道这个曲线曲线，它表示半圆。半圆，

而且呢，是右半圆，为什么右半圆因为x大于等于零的好，我们来写呢，先说一下半圆方程。然后再画图这条这条直线表示斜率为一的啊，这个x系数是代表斜率啊，这里面k反而表示截距了，听到没？就x=0的时候y=k。它表示，在y轴上的截距，这里我们画图做要简单，用几何法做要简单啊好，那接下来它为什么表示半圆呢？

你可以发现。呃，大家知道圆的方程有两边一平方一平方，它是圆的方不x方加y方为一嘛？是不是你两边一平方一整理？就可以得到它的x方加y方等于一，由于这个s大于等于零，所以它表示右半圆。它表示，右半圆。好，这是完整的圆。给它画出来，然后这个是半圆。好，

这个就是半圆好右半圆。好右半圆这个画好了。画好以后在这里面，我们看一下这个y=s它斜率为一，其实跟它恰有一个公共点，恰有一个公共点，我们来画一下图。斜率为一的时候，斜率为一的时候，然后在这里面，我们看这种情况下啊，都有是吧？这种情况下好一到这。这是负一，这个是一到这种，

大家可以发现它有两个交交点是吧？有两个交点。所以到这时候，它就是有两条链，所以这个在y轴上的截距，这道题就是k啊y轴上的距就是k。所以k应该从负一到一这个区间，当然负一这个点，它应该是开区间啊，取不到，因为k=- 1的时候，它会成有两个交点，明白吧？但是还有一种情况，我用红色给大家画出来，

大家不要忘记，还有一条就是相切的这种情况。相相切好吧，所以说大家呢，注意相切相切，这个截距怎么求呢？现在知道这一段长度不是唯一吗？啊，这段长度值为一。好，这段长度为一，然后这一段那么因为这正好正好都是等腰直角三角形嘛，正好都等腰直角三角形等腰直角三角形的话，这个要是一。那这段儿长就是负根号二是吧？

这段儿长呢？就是负根号二这个截距就是负根号二好，这段儿就是根号二根号，然后这个点坐标负根号二，所以还有一个值就k等于负根号二。所以答案应该选择d啊，就k等于负根号二，这个是相切的时候。相切的时候，然后另外就k大于负一，小于等于一一可以取等号啊，一是可以取等号的。好，这个大家选d就行了，所以这道题大家要把这个半圆的方程给大家进行强调一下，

好半圆我们曾经也考虑出现过啊，那这类题有同学比较陌生，给大家讲讲这半圆方程应该怎么写好吧，给大家进行。归纳一下这个图都记完没有？记完了我们看一下啊，归纳一下，那就是大家知道完整元素s-s零平方。将y-y零方。等于r方这个是完整圆是不是好，那么如果要上半圆啊，然后我们把这个y给它写写出来，听到没y写的y写就是y-y零方。等于r方减去x-x零平方，是不是把这给它移项移过来？

应该会吧，然后把这根号给它开掉。开掉后y-y零是不是等于正负根号下r方减去s-s零的平方是不是？然后把它开根号这里是不是有正负啊？然后把这个y0给它移过来y0给它移过来好y0就呃y就等于。y0加减根号下r方减去x-x零平方，所以这个地方要取加号，要取加号的话就是上半圆。要去减号，就是下半圆。好，那接下来我们再把x跟这个过程一样，我就不再重复写了好吧，把x类似这样给它解过来，就把y-y零方给它移项移过来。

啊一个，然后呢？给它写过来，这时候我们就可以推出x。等于x0加减根号下r方减去y-y零的平方，然后这块正号就是代表是右半圆。负号代表是左半圆。好正号就右半圆，减号就是左半圆好，那这是它的这个特征，好给大家进行总结完了，把这个半圆。特征，它的半圆方程就是就由原方程给它移项移项，然后开根号给它解一解，

就得到半圆了啊。好了，这是这道题，大家听完后的真正收获。好，第六题第六题，它这个圆与这个直线的位置关系到底是什么样的啊？这个圆与这个直线的位置关系，那首先我们要判断这个圆心到直线的距离。然后第二步再跟半径去比较来判断就行了啊，好，我们来看一下这x方加y方，加上2 x- 4 y- 4=0。与s+2 y- 2等于它的位置关系到底是多少？这里我们给它配方好吧？

平s+1^2，加y- 2^2。啊，就等于九是吧？所以给大家进行配一下方。配阳方，然后它的圆心圆心正好是负一二r，正好等于三是吧，所以圆心圆心呢，正好是负一二。圆心就是负一二，然后半径是为三的，然后这个圆心到直线距离d，我们写写好吧，圆心到直线距离有根号下。

a方a方加b方根号下a方加b方啊一+4根号下a方加b方就一+4。好一+4，然后呢？在这里面，我们呢？再把这个负一二带到里面去是吧？所谓负一。二带到里面去，这是根号五，然后这个呢，正好是一正好是一好，那在这里面我们可以发现。啊，正好它这个是小于半径r的是吧？小于r加上是相交，

而且不过圆心，不过圆心什么意思？什么是过圆心？当d=0的时候，过圆心啊d如果算等于等于零的时候，它的过圆心呢？过圆心。好，那这道题d它不为零的是不是？所以在这里面，它的小雅是相交的，好，这道题大家要掌握的特征就是我们根据。啊圆首先求出圆心到直线的距离d，然后再跟半径去比较就可以了，

好第七题它问公线的条数，这就考两圆的位置关系。两位关系，它说两元半径，一个是二，一个三。r1=2r2为三，它原距d=6，大家可以发现这个d。正好大于r 1+r二是吧？大于r+2说两圆就是外离。那它应该有四条共共线，是不是啊？四条共线，所以这个呢，

就选择d选项啊啊，这是给大家先强调过，咱们讲过，如果d要等于r 1+r二。把我把这个都写完吧d=r一+r二的时候，这时候就外切。那也有三条工业线。啊，如果d大于r1-r二这个加绝对值吧，因为你不知道r1r2大大大小的话就加绝对值。那这是相交，相交就是两条共线线。橡胶啊，就变成两条，然后d等于r一减r二绝对值。

就是内切就一条工业线。呃，如果d小于r1-r二绝对值就内涵。就是零条工具线。好内涵就是零条公切线好了，这是给大家强调的这个五种圆两圆的位置关系好吧，外离外切相交那些内涵，那么这道题考的是。呃，四条关系考了外离的这个特长啊，看是不是学会了？然后第八题求最值用最值法就是表示呃，咱们要利用对称来求最值了，好它给了两点。然后取一点rr是2 MR 2m，

这个m在变化，这个前面这个系数，前面这个值不变，说明这个呃r这个点正好位于一条。竖线上是吧？它这个二就它的呃x坐标不不不变，所以它这个应该在一条竖线上啊，所以这样我们就可以大概画一个示意图吧。然后p点是负二二啊，假如这是负二。二啊，这是p点q点是零负1 s=0。I=0 y为负负一啊，正好呢，在这个y轴上是吧啊，

这是负二好，这是q点q点正好是负一。然后这个r在哪r正好在这个二这条竖竖线上I=2这条竖线上r。就在这个线上运动啊，求这个PR+qr最小啊PR+qr最小，这阵我们怎么办呢？我们就可以啊，这样然后呢？做对称点做谁的对称点都行，你做q的对称点做。p的对点都行啊，然后做q1撇，这个q1撇以后，然后这样一连就可以了。将一年，

然后也就说r运到这个时候，这是。PR+qr是最小的好吧，PR+qr是是最小的为什么呢？因为大家知道。这个PR+qr正好等于PR+q一撇r是不是这样的？就是因为qr跟q1撇r，这两个是一样的啊，这两个长度一样，因为对称了嘛，对称了，那显然它最小值。就大于等于pq 1撇，听到没？因为这两段。

啊，这两段啊，那么正好是在一条直线的时候，正好在一条直线的时候，那么这个距离是最短的嘛。是不是大家想PR+qr，如果还弄不清楚同学，如果讲r要不在这个地方r要不在呃，这个点要在其他点上可以看PR加呃rq 1撇就q1撇r，肯定要比这个要大。是不是你想象一下是吧，还还弄不清楚，弄不清楚，你看我给你随便画一个其他的，比如r跑在这的时候。

阿尔法，这时候你看PR的值，加上q1撇r的值，肯定要比这个数要大嘛。是吧，所以r只能用到这时候，它是最小的好，那做对称点这条直线呢，是l=2，那这个呢就是。坐标是零，所以q1撇坐标应该是四啊四负一点是吧？所以q1撇坐标就可以求解出来好，这个怎么求呢？因为它要关于竖线对称，

直接用中点坐标就行了，因为这个终点都是。为二嘛，终点为二，这个点是零嘛，然后这个点肯定就四嘛，因为它两个相加等于中点坐标的两倍嘛，大家知道零+4正好等于中点坐标的两倍。是不是这样的，然后它的横坐标又是一样的，就是q跟q1撇，它是一条水平线嘛，所以它都都为负1y坐标都等于负一嘛。好，然后p点坐标不是负二负二嘛？

p点坐标，所以这个pq 1撇我们就可以求解出来是吧？所以pq 1撇就等于根号下。然后这个负二呃四负二四就代表六的平方，加上负二和一啊，负二跟一负二跟一的话，那么这正好就是一的平方。对吧，所以这个大家注意两点的具体公式嘛，两点具体公式，这个是六，这个是一，然后又等于根号37，当然它这道题没让求。最小值。

那么问是m等于多少？如果这道题要问PR+qr最小值到底是多少？最小值的话就等于根号37。那这道题怎么没让求最小值，让你求这个m的值求m值呢？这时候我们看这个点到底是多少是吧？这个点的值到底为几点？值的话我们就。就可以看出它这个这块儿的呃，你可以求什么求？那然后这三点可能是贡献嘛，你可以用贡献做啊，这道题有这么几个方法，第一个可以用贡献做，第二个方法你可以求出p和q1撇的直线方程。

q1撇的直线方程pq 1撇直线方程要找直线交点。好吧，我们就用第一个方法做，第一个方法就PR和q撇是共线，共线的话，大家知道三点它任何两点的斜率应该相等是吧？有的时候这个p。r它的斜率是m+2除以个四就是PR的斜率，是不是那PR斜率是不是m+2÷4？然后pq 1撇的斜率pq 1撇斜率pq 1撇斜率就是一，然后六，然后这样就写好了。好看，这个是不是学会了？学会了，

然后这块我们呢就可以得到它的这个数值关系，得到这个负的。三分之四是吧啊，这样就写它的答案了，看这个题是不是学了，这样答案就选d选项。啊，选d选项好，这是把m直接这个，它可以让求这个PR+qr最小值，也可以让求m的值两个方法，哎，两个问法都要知道。好吧，所以这道题就刚刚咱们讲了，

利用对称来求它的呃，这个距离的最值，接下来咱们看第九题，这个题如果管呃反射光线是这样的，求入射光线，求反射点知道吧，入射光线要找反射点知道。反过来别找错了，就入射光线。要求反射点的对对称点。好，然后呢？反射光线。就求。入射点。

它的对称点。好吧，就入射光线要找反射光线反射点的那个对称点，正好反过来就别别找出这个陷阱，什么不是入射光线就找入射点的对称点啊，比如说这道题，这个p点是入射点是吧？p点是从这个点。过来，然后q点是反射点，知道吧，如果它要求反射光线要找入射点的对称点，就找p的对称点，这道题不要找q的对称点。好吧，

就这样的一个情况。啊，其实这道题陷阱倒不是很大，是吧？一般同学都能够啊，都能够做对啊，做错的人比较少。还记得咱讲过点关于直线对称的时候，还记不记得方法点关于直线对称？就看这个直线，它的斜率k啊，又忘记了是吧？反反正忘记了，老师就不断的给你重复呗，写这k。

啊，如果要不等于正负一的时候就套那个公式法，那那公式比较长，咱们都记过公式法，如果协议直接等于正负一时，就这协议等于正负这道题就考了协议等于正负一。分析字母e的时候直接带一个求一个就代入求值法。咱们要带一个求一个，把s带到里面去求出y的坐标就行了，好吧，这个能懂吧？这是点关于直线对称就两种，你要看这个直线斜率满不满的，政府一不满的，政府一直接套那公式好吧，

那公式回头说。写过啊，然后呢？直接写k等于正负一的时候代入求值直接这样做一步到位好，别给他废话，一步到位。懂了吧，然后接下来咱们看这条直线，这个这个图就甭画了吧图，反正大概随便画画画也行，画的话就是这样的一个图。那斜率为负负一，那就那个甭画了算了，那就二三这时候因为它求反射光线，求反射光线，

你就找什么角入射点的对称，关于如果不知道怎么弄的同学。谁呀？快速写写关于它的对称点，谁说一说等于几啊？关于它对对称点，快速p1撇。不会的，同学再给你一次机会啊，就把x=2带到里面去，快速口算y的值哎，等于二快速口算YY的值。I=2的时候y算正好等于负三负三写在后头啊，别给我写反了，一定是y坐标y坐标写在后面。

然后再把s呃y=3带到里面求x知道吧？y=3。在这里面求xx上呢，就等于一个负四。负四，然后p撇知道p撇知道剩下我就不不说了啊，因为反射光线就是p撇q好吧，反射光线方方程我图都甭画了，这个已经讲过n遍了啊，反射光光线。方程就是p1撇q嗯，自己不想解答案就自己验证也行，好吧，验证也行，这也没啥难的啊，

正确答案就选择a。啊，选择a这样写好好吧，这个懂了吧？这道题精髓所在就点关系直线对称啊，这一块儿要弄清楚，另外找这个光线方程要知道对称谁好？好往下提看一下这个验证的现陷阱，验证陷阱这个就不说了，验证陷阱主要是验证的这个呃系数为零，就是比如说这个ax+by咱们快速写一下加c。就是a为零的时候，它是这个水平线。啊b为零的时候，它是竖竖线。

竖线，然后c为零的时候，它过原点的线。啊过圆点线，然后这两条线平行，我就不再说了，平行的话你就可以用对应系数成比例，要不相解的话也可以验证这验证啊，注意啊，第二条线一定要把它移向移过来啊，一向移过来，这个因为第二条线一定要给它变成这样，然后再去弄啊。第二条线变成什么？变成a方减1x，

加上a- 1 y- 15等于等于零，知道吧？这个能能懂吧？一定要把它变成这样的。啊，前面这条线就是a+1 x-y- 2a为零好，那平行的要求平行的要求就是对应成比例，但不能等于这个啊，我我写一下写一下就行了，剩下我就不再解了，没时间。解了不等于负15比上负2a，为什么呢？为什么？因为它防止重合这个大家回回头想想书上写的好吧，

就对应系数真比，但这样解的时候大家约分的时候要小心。最后呢，它会漏根，到时候别给做错了好吧，另外还要这道题，还要验证什么验证，一个是水平线竖直线情况，另外还要验证两条线会不会重合啊，这道题还好没有跟挖重合的陷阱，知道吧，有同学。写完a忘记验证，后面这个验证，后面这个陷阱，

我给你用红笔写上，它是防止重合。这是方式重合的陷阱好吧，这个方式重合，大家要知道。好答案自己写吧，答案解出来有一个值要要要不满足啊，不然选b好吧，选b。好，另外还还这道题，还有一个陷阱什么我要还要说呀a=1的时候啊a=1的时候x oy的系数同时为零，这也是个陷阱，如果同时为零的话，这条线是不存在的，

所以在这旁边也写上。好吧，这在旁边也都给你写上这道题陷阱还是蛮多的，就是AB要同时为零时，这个直线只是不是线了，或者这些线不存在啊。AB同时为零时，这就不是线或者直这个这个就不是直直线方程了。啊AB都为0 a ab都为零，那剩一个c了，反正这个就不是直线方程了，有时候咱们的要求什么AB不能同时为零。所以这也是算一个陷阱吧，你像这道题，你看这里a=1的时候a=1的时候，

这条线它又它又不存在了是吧？它又不是线了啊，所以比不同的文件，这也算一个陷阱。好吧，就这几个陷阱，一个水平的数值，这道题的阱，你看有几个一个水平的数值不要漏掉了，另外呢，还有什么重合的是吧？重合的这个陷阱也可以给你挖是吧？还有什么还有这个AB同时为零时，它不是直线方程。陷阱比较多是吧？

它随时啊条形一跟设置的陷阱条件二跟设置陷阱，那一下子就丢分了是吧？这个那么多陷阱呢？它可以设置条件重新判定是吧？这样写好了。好看第11题好，这个题大家呢？要掌握内容也是可以确定直线的方程好，那么题目一过点。一个点那么这样的直线无数多条，它是不充分的，第二直线被原手机的弦长为六倍，根号二啊六倍，根号二好，那这是它的这个特征。

好，接下来我们来看一下啊，它的这个呃方法啊，这个做题的方法好，我们通过这道题，我们可以看出它的这个。第一个条件和第二个条件单独肯定不行，因为贝塔奇的斜长为六倍根号的直线也有很多很多条，所以它也不充分肯定要联合起来。啊，联想企业来分析好联想企业来分析，然后呢，它正好是经过六。四呃六负四这个点。啊，

这是p点p点呢，是六负四，这个点p点呢，是六负四。这个点，然后被这个圆所截的这个弦长，这个圆的半径r就等于二倍根号五啊，圆半径就等于二倍根号五。啊，这样的情况，然后在这里面，我们就可以画一下它，它这个圆的方程。好，这是圆的方程，

这样就写出来了啊，它这个圆的半径是正好是二倍根号五。好，这个点是负四，然后这个就是二倍根号五。因为大家知道根号五就是二点多嘛啊，二点多，所以比这个要大一点，这是负的2倍二倍根号五，这是正的2倍根号五。好，大家知道过p点，截得弦长为六倍，根号二的，那么有可能是这样一条。

是吧，有可能是这样一条，所以画出来它也应该是有两条的好吧，所以在这里面大家呢，就可以看出它的示意图，给大家画一下。啊，有可能是这样一条啊，有可能是是是这样一条，所以它这个也是有两条，这个弦长为六倍根号二，所以这个单独呢呃，联合起来也不充分，联合起来，因为有两条有两条这块儿也是推不出题干的。

所以这个来选e，如果要要想做怎么做呢？要想做要想做根据这个弦长和半径求出这个距离d就行了，听到没？求这个距离d。一定要知道这个呃弦长等于二倍的根号下r方减d方啊，这样的一个特征。然后在这里面，我们来看一下这两边啊，都约了一个二约了三倍根号，三倍根号二的话啊，这个就得到18啊r方减d方，它等于18。好吧，所以说这个两边都约了一个二约二就三倍根号，

三倍根号，然后呢？这个算到里面得到18，然后这rr的平方呢？正好等于20是吧？是吧，所以就推出d的平方就等于二既d又等于根号二，这样就求解出来了，是不是所以在这里面大家呢？就可以求出它的数。数值。好，那么d等于根号二那跟刚才道理一样，跟上一一样，我们就可以设直线l。

设直线ly=k倍的x- 6再减四好吧？y=k倍的x- 6。再减四这样的情况好吧，然后过六负四这个点，然后把它变成一个一般式变成kx-y。啊kx呃，然后减y- 6 k- 4，它等于零，这样的特征好吧，把这个乘到里面去就kx-y，然后减6 k- 4，它为零。然后这个再用这个p点到这条直线的距离等于根号二，然后你去解就行了啊d就等于根号二，然后求出这个k这个k求出来是有两个啊，

所以这道题。它只会用弦长弦长，还要转化出啊，这个圆心到这个直线的，这个距离d，然后把这个d给它算出来算出来，然后呢，就根据这个d等于根号二，然后来求解就行了。所以这个往下解，我就不再解了好吧，解出来有两条啊，自己去运算就可以了。接下来我们看一下第十二题l一与l二间的距离等于五分之十二，那既然问l一与l二间的距离在这里面，

大家注意它要求两条直线的距离公式。好提问1l是圆c的切线，且经过负二四这个点经过负呃负二四。这个点好，大家可以发现条形一，它只知道ll的方程是吧？它只知道l的方程，那这个单独肯定是不充分。条件。它只知道l1的方程这一块，它也是不充分的，它只知道l1它的方程啊l1是跟它平行的是吧？啊l1跟它平行，但是这个a等于多少呢？这个也确定不了，

所以很明显可以发现。那这两条件单独它都含有变量和未知数，这是求不出来的，所以这一块儿呢，是没法分析好，那接下来我们呢，就可以联合起来来分析联合。你看大家可以发现，就是这个m这个负二四是不是正好在这个圆上？你看看啊，我们验证一下好不好？如果负二四在圆上我们。写过圆上某点的切线，就有个小技巧，好一会儿讲完这个题给大家总结啊，

我们验一下是不是在圆上，如果不在这个圆上的话，那这一块儿就不好分析了。好，如果负二四负二减二的平方。加上啊，这个四减一的平方正好等于十六加九等于二十五是吧？所以正好。啊，16+9=25，所以这个它这个是满足的，它是满足这个特征好，那这一块大家可以看它就。可以写出来是不是？所以在这里面大家呢？

可以看出它这个点正好在圆周上，如果正好在圆周上，那么这个呃条件一它的切线。l的方程就可以这样写，你把这个x- 2平方把它看成有两个x- 2相乘是吧？两x- 2相乘，其中一个x用负二来代啊。就负二减二乘以个x减二，然后再加上这个y减一y减一，其中有一个y就用四来代。其他都不变好吧，就如果这个点要在圆上，那么过该点的切线方程有个小技巧啊，直接把这个点往圆里面一带，这样就可以写出它的结果。

好，那得到这我们可以稍微整理一下，这个就是负四。x+8好，那这个就三三×y- 1就加3 y- 3，它等于25。好，这样就得到了它的数值情况，然后这个八八减三得到是五五一怪就负二十负二就四s减三y，加上二十它等于零。这样的特特征是吧？所以这个五五一个负20，然后把它整理成这样的一个一个表达式好，这单独条件一推出了这儿单独条件2l与它是平行的，如果两条之间要平行，

那么。x和y的系数对应应该成比例是吧？l1l1就是ax+3 y+2 a，它等于零，那对应应该成比大家可以看。这个是负3y，这个是正3y，那说明a正好是x的系数的，相反数a又得到是负四。是吧a，这样就得到负四啊，这样就可以写出来a的值等于负四，那这块儿值它又是。负八所以l1的方程就相当于是负4 x+3 y，然后呢，

减去八为为零，我们把它都变成正的就得4 x- 3y。加八为零好，这样我们就用两平直沿距离公式啊，来套就行了，就等于根号下这个a方加b方根号下a方加b方就得到了16+9。根号下a方加b方就得到16+9，然后呢？用这两个c相减20-8得到12得到12。然后这个就得到五分之十二，所以这样答案就选择c选项，两天联合起来是充分的好，那通过这道题，我刚才说讲完这个题要给大家进行归纳和总结，各位同学。

呃，记一下过某点做圆的切线，然后它的方程的这个切线到底如何来进行思考啊？好，这都记完没有？此外，这里还用了两频直线的距离公式啊，两频直线距离公式大家呢，要好好学一学，接下来我们就给大家进行总结一下。啊呃，这道题答案有c啊，总总结一下的话，那就相当于是过。某点。

p做圆的切线情况好，那么第一个如果p刚好在圆周上。刚好在圆上，假如这个圆的方程是s-s零方，加上y-y零方等于r方啊，叫圆的方程。好，如果p点刚好满足圆的方程，刚好在圆周上啊，它是这样一个图，如果这个p点刚好在圆周上，然后做这个圆的切线。这个点刚好在圆柱上做圆的切线。啊，这时候大家可以看这个p点是不是就可以直接带到里面去？

有时候这个我再强调，刚才没听懂的同学再强调把这个平方看成两个x-x零相乘。这个y-y零相乘。等于r方是不是，所以把这个平方看成两个相乘y，也看两个相乘，其中有一个x一个y分别换成p点坐标，假如p点坐标是SP。这是yp，然后把它换其他都不要动啊，就把这个p点坐标直接换就可以了，好这个p点在圆上，它写切线方程的啊，一个小技巧，把它整理一下，

其他都不要动。包括右边的r方也不要动。第二个，如果p点要在圆外。啊p点如果在圆外好p点，如果在圆外，它就可以做两条切线，听懂没？比如p点是在这儿，这刚才p点在这儿p点是在这儿。现在它就可以做两条切线，明白吧？就这一条切线，这还有一条切线啊p点，如果在这儿做这一条切，

再做这一条切线，就它可以做两条切线。做两个切线，那这一块儿这个这个直线方程怎么求呢？切线方程怎么求呢？这时候呢，因为p点坐标知道我们呢就可以设。切线这时候不能带啊，切线就为y=k倍的x-sp，加上一个yp这个spy p就代表p点坐标。啊，设切线方程，这里面不是有一个待定的k嘛，待定k，然后再根据圆心到直线的距离等于半径啊，

圆心。到直线的距离，它正好等于半径，然后在这里面，我们就可以写作再由。啊d=r那么求这个k就行了，这个k求的是有两个值啊，有两个值，然后呢就可以得到两条切线。第三个，如果p要在圆内。p要在圆内。这个p点如果在这过p点是无法做切线的。啊，过p点是无法做切线，

如果p点落在圆里头某一点，那过p点你怎么做直线都没法做切线好不好？所以过某一点做切线只有前两种情况可以做切线。第三种情况是无法自我切线的好，大家一定要把老师总结的这个东西记下来，考试这个切线问题考了无数次啊，一定要把它好好掌握了。好，第13题是考察这个平移的情况，好坐标平面上直线l向l轴正方向移动三个单位。这样y轴负方向移动五个单位，那么它和原来直线能够重合好，这道题我们根据提问一个条件都是求斜率，我们根据这道题呢？呃，

先把题干给它化简，还是那句话，自我条件重新判断题得优先呢，把题干给它化简题干化简完以后，我们再来看两条件就可以了，好吧，所以在这里面我们来看一下。啊，由题干可以得到是什么情况呢？啊，然后什么情况？他说就是啊，原来讲原来这这条线是这样的啊，这是原来的这这条线，这是直线l是吧？

原来这条线原来它是先向x轴的正方向移动，三个单位先向x轴的正方向啊移动三个。单位好，这是三个单位好，就移到这儿好，这个移动三个单位移动完了，移动完，然后把这条绿色的线，然后再往下移动五个单位。单位正好跟原来重合，这时候我们再看它，正好在移动五个单位，所以往下移动五个单位，移动五个单位后，两者正好是重合在一起的。

两者是一个重合的，关系好，那这时候我们求这个直线的斜率k，大家知道这个斜就等于倾斜角的正切值，是不是就等于倾斜角的正切值？好，那么在这里面就等于这个阿尔法加这个是它切角，阿尔法阿尔法正切值，我们看左边这个小角好吧，左边这个角的正切值。大家知道这两条线可能是平行的，你可以看黄色的跟绿色的，肯定是平行的，这种关系是吧？平行的这种关系，

平行的关系啊，我们如果设。呃设这一段长度啊，这一段长度为a。这段长度为b是吧？这段长度为a，这段长度为b的话，那在这里面根据点上直线平行可以得到就a比上三。就等于b比比比上五是不是a比上三就等于b比上五，因为大家知道平行直线嘛，它得到的这个长度比这是相等的。好，这是它的这个特征，好，我要求这个角的这个正切值，

就这个小角正切值跟这个。角因为这个角跟这个角是不是相交等于180呀？就左边这个小角啊，左边这个角跟这个角相交等于180，如果两角合腰等于180，它的正切值正好互为相反数。互为相反数，所以斜率呢，就等于这个角正切值的相反数啊负的，所以这个斜率k。JK啊，应该等于负的啊，这个大家知道一个角的正切值，我们讲过一个角的正切值就等于对边比上邻边就等于b比上a是不是这样的等于？b比上a这样就写好了，

写好之后接下来我们就可以看出啊，因为根据上面这个题，我们就可以得到这个b呢和a的比正好是五比三。这样就写出来了，是不是然后答案就求出来了啊？所以这样就可以写出这个条件一呢，是充分的，然后正确答案就选择a选项条件二就不太行。所以这条呃，这个题还可以，比如说y轴正方向平移y轴正方向平移，那么怎么办？y轴正方向平移，那写的就是正的啊，写的就是正的，

所以大家先根据这个题呢，画一个示意图，将原来这条直线画出来。然后先要先向x轴正方向平移，然后再往下平移，然后跟原来正好重合，既然重合了它，这两条线肯定是平行的。啊平行的平行化，那在这里面，我们再由这个斜率和正切值的概念来进行分析啊，所以这个用到了两角，如果互补两角和要等于180，那么它的。呃，

这个呃tan值正切值呢？是互为相反数的好吧，就互补角它的正切值。互为相反数。啊，互补角的正切值，它正好互为相反数啊，这样的特征啊，这里给大家强调的做题的点和方法。我们来看第四题，第四题，它说曲线与直线恰有两个公共点啊，这道题主要考察。呃，两者它的焦点情况好，

我们来看一下它的做题的方法，首先我们要看这个曲线是什么，因为这个做重新判断题，我们来看这个题干没法再化简了是吧，我们只能看条件。条件一那么这个c1我们可以把这个对数给它进行移项log，以四为底x=log，以四为底y方。然后大家知道这两个都是以四为底的对数，都以四为底对数，那我们应该得到x应该等于y方，这样就求解出来了是吧？这就可以看出s=y^2。好x=y^2，它是一个什么样的一个图形呢？

我们在这里面，我们可以看到这个x肯定是大于零的，是不是？x大于零，因为这个对数要保留e嘛x大于零，就说明这个y正好等于根号x这个x是大于零的。好，这是它的特征，好，那么s=y^2你不会画，但是y等于根号x你肯定会画，是不是这这样的？根号x是这样的一条线，但是我要给大家进行强调是这个零，这一点一定是抠掉的啊零，

这一点它是空心儿的。啊，这是y等于根号x，因为x不能等于零，因为这个对数，它又没有意义了。好，另外y=x，它是一条直线，是不是？所以在这里面y=x，它是一条直线。过原点一条直线好，但是这个这个因为这个原点呢，它这个跟它呢是不能有交点，

因为这个是空心儿的根号s空心儿，所以它们两者只有一个交点啊。只有这这一个焦点，所以。条件一只得它两者有一个公共交点好，那么条件2C2C2s×y=2。就推出啊，这个y就等于二÷x啊y就等于二÷x，这样就写出来了。y=2÷x，然后这个就是一个反比例函数，我们讲过反比例函数反比例函数，它如果吸收的大一点，它正好在一三象限。这样的特征是吧？

这正好就在一三象限，这样的一个方法好，这就是y=x。它的这个特征。好在这里面我们就可以看出它的数值情况，所以它应该有两个焦点啊，这样两个焦点。好，那这两个交点还可以解出来是吧？所以让这个x=y带到里面可以解解出来，这是我们采用画图的方法，好，那有同学说像这个根号x还有。s分之二没学过画图，或者忘记画图了，

怎么办呢？不会画怎么办呢？那在这里面还有一个方法，还有一个方法啊，这道题我们把答案写一下条件，一是不行条件，二行。这这些答案就选b，这是通过画图的方法来看的好，那么还有一个方法是什么方法呢？我们来看看，还有一个方法就是联立方程来写啊，另外一个方法。就是联立方方程联立方程，你看跟y等s有几个交点，

我们看组成的方组到底有几个解是吧？有几个解所以c1这个就log以四位底s对数等于log以四位底y方对数。好，由于这个y跟x要相等，你把y呢换成x就得到x=x^2就推出x=0或者一，但这个零呢就要舍掉是吧？所以第二个就是。联立方程把y=x这个方程跟呃条件给的这个方程联立，把这个y呢换成x就可以得到x=x平方这个方程s可以解出零或者一。既然只有零或者一的话，那在这里面我们就可以看出它的数值情况是吧？零呢舍舍掉，所以它只有一个根，只有一个交点。好提到第2x×y=2，

那么x×y=2，那在这里面可以把这个y换成xy换成x的话就变成x平方等于二。x平方等于2s，又等于正负根号二啊s，它等于正负根号二好，正负根号二，那这解出来就有两个是不是？所以说这个这样去做也行，如果你考试不会画这些曲线。那么这时候呢啊，就用联立方程的方法做，如果会画曲线，要掌握一个根号，它的一个曲线，还有一个呃，

这个反比例函数，它的一个曲线。好，那这个题我们就建议大家画图做这道题也是考察半圆，这个就是半圆，然后与这个呢有两个不同的公共点，这个呢是仅有一个公共点。好问k的取值到底是多少？好，这道题我们看条件一，我们采用画图的方法做啊，条件一，大家可以看到它这个是。y等于根号下四减s平方，那在这里面我们呢就可以看出这个呃它的呃它的圆心呢，

在坐标原点是上半圆对不对？啊，这样零这是二这是负二，它半径为二啊，所以这个呃表示一个半圆，我们前面给大家总结过这个半圆方程就是它的圆心，正好在坐标原点。然后它半径为二的一个半圆好，这个直线是横过什么点呢？是横过。二三点的横过，二三点就s=2 y为三，这个点是二啊，这个点是二，所以这三呢，

比它稍微高一点点。横过这个二三这个点好，他说要跟它有两个不同的公共点，两个不同的共点，我们来画一下它的图，这条直线横过这个点有两个不同，共共点那么是什么情况呢？好，那大家可以看到，如果。啊，刚好跟它相切的时候好，那么刚好跟它相切的时候，这时候呢是一个点。是吧，

刚好跟它相相切的时候，这时候呢，是一个焦点。好，这是刚好跟它相切的时候一个，然后比切的斜率稍微低一点儿啊，稍微低一点儿是吧，所以说一直低到什么程度呢啊，一直到这个区域。过这个点啊，这个点是二三点过负二点，所以在这两个之间，那么它就有两个不同的共点。是不是这样的，那接下来要相切怎么求出这个斜率k呢？

好要相切的话，我们呢就可以用。圆心到直线的距离等于半径，这个直线要把它变成一般式就kx-y- 2 k+3=0。是不是就得到是kx-y？减二k加三等于零好，它的原因是零点点圆心，零点就根号下k方加一根号下a方加b方，然后零点带带动你们就三减二k的绝对值。然后这个圆心到直线的距离正好等于半径。好让它等于几呢？就要等于半。半径为二是吧？这个圆的半径为二，这时候呢，

就找这个相切的，这个特征找相切的，这个情况。好，那么早期安全计划，那这个方程怎么解？我们前面给大家已经说过啊，就是两边同时平方，既可以把绝对值去掉，又可以把根号去掉，大家一定要会解啊，上面带绝对值，下面带根号的。这样的方程好，那么两边平方就三减二k的平方就要等于四倍的k方加一。

然后这样就可以得到是4k方加上。就是减去12 k+9=4 k方加四好，然后在这里面我们k就可以求解出来。k就等于十二分之五好，这就写出来了好吧，这个k就可以解出来就等于十二分之五啊好，那也就说它等于十二分之五的时候这些相切。好，另外它再过负二，这个点是负二零，这个点那么两点求斜率就行了是吧？两点求斜率这条红色直线斜率是什么呢？就三减零除以二减负二就四，所以这个就得到四分之三啊，这条直线斜率等于四分之三，

所以它k条件一啊，所以u条件一，我们可以。呃，得到。这个k应该是。大于十二分之五是吧？大于十二分之五，小于等于四分之三。啊，所以四分之三呢？这个k这个斜率呢？是可以取等号的，因为k等于四分之三仍然这有个交点，这个交点它仍然是两个交点。

是不是然后这个就可以写出来，结果好这个答案就求出来了是吧？所以条件一是这个情况好，那条件一只要落在这个范围之内，都具备充分性。所以在这里面条件，一是充分的好，那我们看条件儿条件儿那么仅有一个焦点，什么情况由条件儿？得到。它如果仅有一个交点，有可能是相切是吧？就k等于十二分之五相切或者什么情况呢？或者它比这条红线。这个斜率再大一点儿是吧？

绕了这个点再旋旋转一下，再现在我再给你画一一个图，将类似于这样的。这样的话，它也是都是一个焦点，像蓝色这条线一样，它也一个焦点，所以只要比红色的这个斜率大都行，所以或者k大于。四分之三，这个条件呢？不充分，因为这个比它大于k四分之三，有可能超过一是吧？所以条件呢？

是不符合要求的，最难选择a大家听完这道题，我们要掌握的方法是什么呢？掌握方法就是我们一定要会画半圆，这是第一个东西，要会认出来，它是一个半圆情况，第二个东西，这个横过定点的直线的特征也会认，第三个就跟两者的画图图像焦点来进行判断。还要掌握这个相切，如何来求这个斜率k也会分析，最后要掌握这个直线顺时针旋转，逆时针旋转，我们讲过顺时针旋转斜率是减小逆时针旋转斜在增大。

所以要掌握它这个斜率，它的变化情况，所以这道题包含的内容呢是比较多的，大家把这个知识点呢，都要逐一的掌握好。下面咱们看这个题直线l1与l2互相垂直好，大家知道互相垂直的等价条件。是什么呢？是x系数相乘加y系数相乘等于零就二倍的m方减四+3倍的m- 2，它正好为零。是吧，得到这个数字啊，所以就x系数相乘，加上y系数相乘，它正好为零，

得到这个结果好得到2x。m方减八+3 m- 6，它为零，得到这个值是吧？有的2m方加3m减。14，它正好等于零，然后接下来我们十字相乘，因式分解，然后这二二我们可以分成一×2。啊二可以分成一×2，然后14要出现中间的负三就二跟七，然后这块儿就是负的。因为它要出现正三啊，出现这个正三对吧，

所以在在这里面我们就可以得到，就是m- 2×2 m+7，它正好等于零。m等于二可以，或者说m等于负二分之七。啊，这样就写好了啊，如果大家在做的时候呢，容易错的点就m=2，那么这个容易忽略掉，因为m=2，那么这条线呢是一条竖线。啊，因为m=2的时候，这个y这块儿就没有了啊m=2带到第二条直线呢s没有了，

它是一条水平线，所以它是特殊的垂直，所以大家注意这个陷阱就水平线和竖线这一块儿呢，一定要注意，所以说条件一条件二都充分，这点答案选。d啊，考试的时候一定要注意它的陷阱。现在有水平线。还有些竖线。啊，水平线还有竖线，这是它的陷阱啊，要弄清楚。好，

接下来我们看一下这个题，这个题是平行，如果两个直线平行，它的特征是x系数成比例y系数成比例，但后面常数项不能成比例啊。好，我们来看一下，把这个考点写下，如果a1 x+b 1 y+c一=0与a2 x+b 2y。加c2=0，如果要平行。好，如果平行的话，这个得到a1比a 2=b一比b2不等于c1比c2。啊，

得到这样一个特征，看是不是学会了？好在套这个平行公式的时候，大家不要单纯的只让斜率相等啊，因为后面为什么要不等于c1比c2呢？就为了防止重合。好，就为了防止它重合好吧，所以在这里面就防止它两个重合好，那这道题我们就可以根据题干就可以写成。二除以m加一等于m减，四除以三但不能等于这个m除以负六。啊，所以大家呢，要掌握它的这个特征。

好，那接下来我们来看一下，先通过前面把这m给它解出来，然后再验证它不能等于这个。好，那么这个前面比例有交叉相乘，应该是相相等的啊，就相当于就相等就m+1乘，以m- 4，它应该等于六等于，然后在这里面有m平方。啊m的平方，然后m的平方，然后减4m，加上m就减3m，

减3m，减3m，然后减四。啊，这一块啊，减四等于个六，然后这一块我们就可以推出m方减3 m- 10。等于零好吧，所以m方减3 m- 10它等于零，然后在这里面我们可以看出它的数值，这个十可以写成二跟五。十可以写成二二跟五，然后这个负三就写成负的啊，写成负的，所以在这里面大家可以发现那么m的值解出有两个是吧，

一个是负二。或者是正午。啊，一个负二或者正五好，那么在这里面大家一定要验证一下它的这个数值情况啊，是否满足这个不等于m比上负六？啊，只要满足这个线m=- 2的时候等于负二这个分母就负一这个比完负二这个不等于这个m=5=5的话，这个是。等于五，然后这个是六。啊六然后呢？这个上面是二就是三分之一，三分之一，这个也不等于这个，

所以说m等于负二或者五，那么都是可以的啊，所以在这里面条件一是充分m等于五是充分条件，二m多杆等于负二，它也充分这地方。不等于负二，这个就不行了啊，所以这道题就选择a选项好，通过这道题，大家要掌握两直线平行，那么它的要求先按照前面这个斜率相等列出，这样的比例。利用这个比例以后，然后得到m的值，把m的值求出来以后，

然后呢，我们再。写出它的呃，验证一下后面是否不等于c1比c2，这样就可以写出它的结果。好，我们看这个题就是呃半径r的最大值为二减根号二啊，半径r的最大值。啊，条件1m啊，是这个是一个圆x方加y方小于等于四就圆和圆内部啊，条件儿是x- 1^2加y减方小于等于r方，这样r大于零。然后要满足m gon要等于n，然后m gon要等于n就说明什么情况呢，

就说明这一块儿呃，这个m。和n交集要等于n的话，说明n应该在m里头是吧，所以n这个圆就相当于这个圆，它应该是一个包含关系。包含关系，就n这个圆要落入m里头，因为这道题的题干没法化解呢，我们就有条件来做，有条件一。q1那我们画一个图啊，画一个图好那么呃，这个呃m它这个圆是半径为二圆心在坐标原点的，这样一个圆。

好，这是m源。然后n的圆它是在呃，它的圆心呢？在在一点啊，圆心呢是在一点。原因正好落在一点，落在一点，然后它的半径呢？正好是啊，比这个要。小因为它这个要在这个圆内部嘛，圆内部，所以说它这个半径r最大值就到到这就跟它内切的时候是吧，就跟它内切这时候呢啊，

我们画一个图。就它这个跟它是内切的，这个关系的时候好，内切关系我们来看一下这个连接一下它的这个数值情况。连接数值情况，然后大家知道这一块儿是二啊，这个总长是二，总长是二，然后这个不是一点嘛，一点一点，然后这个有根号二根号，所以这个小圆的半径。我们就可以求解出来小圆半径r，就可以写出来。然后r。

就等于二减去一个啊，这个根号二这样的特征好吧，叫二减根号二这样写它的这个结果。看是不是学会了好吧，所以这样它的最大最大就是这个，所以这个r最大就取这个就是它最大的情况啊，最大所以调一呢是充分的。看是不是学会了好，那这道题主要是根据它们两者的要求好吧，就就判断这个圆谁落在谁里头。然后再根据它要圆要最大，就让它相切就行了啊，好有条件儿，两圆要有交点。那么有交点，

包括啊，那么内切外切以及相交是吧？好，那么两边要有交点就说明这个d。啊d应该小于等于r1+r二大于等于r1-r二这样的特征是吧？d小于等于r1+r大于等于r1-r这样的情况。好，那在这里面，我们看圆距d，它给我们了是吧？圆距d，它是给我们了三减根号，二小于等于r 1+r二就相当于是这个半径为一。加上一个，另外一个圆的半径是r嘛r，

然后大于等于然后一减r绝对值。好注意，这个是连不等式，怎么解呢？好连不等式的话，我们呢要拆开解，不过大家可以发现这根号二是不是一点四？一点四三减去一个一点四，大概就是零点儿六零点儿六，肯定比一要小，比一要小的话，肯定呃比一加r也要小，所以说右边不用解了，我们只解左边就行。左边一减r的绝对值小于等于三减呃根号二，

那我们就可以得到r，因为一减r绝对值可以写成r减一绝对值嘛，小于等于三减根号二。那r- 1小于等于三减根号，二大于等于负的。三加根号二是吧，然后都给它加1r小等于四减根号二大于等于那么这一块加一+1就是负二加根号二。但负二加根号这块是不是负的？负的负的就不行了，就不要了是吧？不要了，所以这道题只能得到r小于等于四减根号二大于零，因为圆的半径嘛，它肯定是大于零的，所以这道题它最大值应该四减根号二，

它最大值不是二减根号二。所以条件儿呢，是不充分，所以呢，就选择a选项好，这是给大家强调的做题的方法。好通过这道题，大家掌握的特征是什么呢？我们在分析的时候，那么根据两圆的位置关系，然后列出式子，列出式子，然后再来解这个半径，它的范围通过这个范围，然后再来分析它，

最值就可以了。然后这个题主要考察弦长好，那么如果要知道弦长，大家又会求这个距离d是吧？所以我们这道题根据题干这道题。题干能化解就先化解题干，然后再看两条条件啊由题。我们得到好，那么这个弦长正好等于二倍的根号下r方减d方。是不是这样的好，那在这里面大家知道这个r它正好为一是吧？r它正好为一好就推出这个地方，它正好等于二分之一。是不是这样的d方等于二分之一d方等于二分之一d，这个距离只能为正的就二分之根号二，

这样就写好了就二分之根号二，这样就写好了。好，二分之根二这个写好以后，接下来我们就可以看啊，这个呃d就等于圆心是零零点。啊，就根号下a方加b方，然后把零零点带到里面就c的绝对值是吧？把零零点带到里面去，零零点带到里面就写c的绝对值。好c的绝对值，然后在这里面，大家可以看出它正好等于一个二分之根号二，然后怎么样解下面带根号，

上面带绝对值的情况呢？下面带根号，上面带绝对值的情况呢？在这个两边平方。啊，两边平方得到c方除以a方加b方就等于个这个二分之一。然后这个稍微交叉相乘，我们就可以推出a方加b方减2c方，它等于零，所以条件一是充分条件二不充分，这个呢就选择。a选项答案就求解出来了，好通过这道题大家看呃它的知识点和方法，看是不是明白了？那这道题大家呢？

要快速来进行判断是吧？然后呢？根据弦长公式找到dd找到以后，然后再来解ABC之间的关系就可以了。好，这个题主要考察这个对称，它的位置关系，我们前面给大家总结过关于y+x=0对称。那么，这个y+x=0对称，这就是一个小技巧是吧？你把呃这个方程里面的y换成负xx呢？给它换成负y。那代入原方程就行了，所以说这个直线l所求的这个直线l方程就把这个直线里面的y换成一个负xx，

给它换一个负y。那这个就可以了，然后这个稍微整理一下，我们就可以得到呃答案有y等于三分之x。加上三分之二最难调一成分条件二不行，所以这道题就比较快好，那么什么时候可以采用xy替换的方法呢？当这个直线的斜率为正负一的时候，那么可以采用啊，所以这个技巧。啊，当对称轴。它斜率。为政府一时。当对称轴斜率为正负一时，

那么我们可以采用这个对称呃，可以采用这个方法当对称轴斜率为正负一时，然后呢，这时候呢g比如说它是y。等于正负x+m啊，这个零可以改成其他数零可以改成一可以改成二，这个方法都可以用啊。好，这时候呢，你又把y用s表示s用y表示分别呃换一下就行了，所以采用替换法。采用替换法来进行分析，这样就行了是吧？用这个替换法来进行求解和分析。好，

这给大家强调的做题的方法，看是否学会了。好，我们来看一下这道题，这道题它的直线l1撇的方程为这个好，这个题干没法再化简了，我们只有条件来进行分析。这道题不管条一和条件考察，都是直线关于点的对称。好直线的观点就是，大家只要记一个公式就行了，我把这公式给大家写一下好吧，就直线。ax+by+c=0关于。关于一个点x0y0，

它对称的直线方程。没把这个替换一下，把这x给我替换成二倍x0-xy替换成二倍y0-y，然后加c它要不等于零就行了好吧？把这个给它替换一下，把x替换成二倍s0-xy呢？替换成二倍y0-y，这样就行了，所以这一块儿这个为什么这样替换呢？我们前面推导过用中点的这个特征来进行替换就行了好吧？啊，这个替换替换完后就得到它的答案了啊，好，那我们接下来我们训练一下，看看这道题调用一。

条件一，它这个l1撇应该怎么写呢？就把这个y给我换成呃二倍的y0，这个y0不就是呃负二吗？负二×2就是负四。减y- 3倍的3倍，然后这个x给它进行替换x给它替换成二。减去x，然后等于二好，那这个大家把它整理一下，整理一下就可以得到它的结果好吧，然后整理完正好就推出了，就是y=1个3 x- 12。好y=3 ix- 12，这样就可以写出它的数值情况好吧，

然后看看这个是不是听懂了这个条件一？好，那么条件二条件一样条件二啊，它的对称的l1撇是什么呢？谢谢l1撇就把这个y替换成12。减外。十二减y减去三倍的二减x，它等于二这个自己去化简一下，它是不成分的啊，它不成这道题就选择a选项，看这个题是不是学会了？通过这道题，大家掌握的特征就是直线关于点对称也不用画图了，直接就记一个公式替换一下就可以得到它的答案，看是否明白了。

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