038.专项九-题型2～3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:35:57

接下来咱们看题二题二有三角形的面积，求解方法，在面积求解考项一利用面积公式来求面积。啊，利用面积公式。啊，面积公式啊，我们呢单个三角形一个三角形。一个三角形三大面积公式来进行分析，第一个就是二分之一底乘以高。第二就是二分之一两边相乘乘以这个角的正弦值，第二个这是第二，第三个就是海伦公式。横公式用于什么？用于知道三角形三边长度来求面积这个，

其中这个p。等于二分之a加b加c啊，二分之a加b加c得到这个结果好吧，这是它的这个方法。啊，当然，两个三角形还可以用，等高呀或者平行相似啊，比例关系啊，做都是OK的啊，要看它具体给的图形的特征。接下来看一下17题，这个题啊，如图所示，三角形ABC的面积正好为16。

这个整个大象的面积为16。然后呢d呢？是BC边上一点。然后且BD长度是四分之一BC。BD等于BC长度的四分之一。然后g点呢，是AB上一点。点h呢，正好在三角形内部点h，在三角形内部。啊且四边形BD hg BD hg正好是一个平行四边形BD hg，正好是一个平行四边形。啊，那则这个因面积到底多少？这是一个平行四边形。

好，那既然是一个平行四边形，大家可以把它这个给它进行进行移动是吧？所以我们利用啊等级转换。所以在这里面，大家等级转换。啊，大家知道这个平行四边形的话，那它它都是平行的，都平行啊，你可以把这个点呢。我们看怎么怎么给它进行移动移动的，这个好算一点，可以把c点移到b点。对吧，

这点移到b点也就说这个gh。平行BD啊，如果gh跟BD是平行的好，那说明什么呢？说明三角形ghc。等于三角形。bgh是吧？也就说你把它这样一写。唉，这样一写就OK了是吧啊？就OK了，所以在这里面大家可以发现啊，这样给它转换过来，有时候。CG h=bgh，

然后写完后，那接下来咱们再来看你把这个h点，然后再给它进行进行移到。b点是吧？移到b点也就说刚才咱们讲的这个阴影部分s阴影部分。那求阴影部分面积嘛，写s阴影部分就变成三角形abh。是吧，变成了abh这样的，然后这这个abh这个面积正好是整个大三角形面积的。四分之一是不是这样的，因为它这个gh正好是。等于BD的长度嘛。是吧BD BD又占四分之一BC嘛，是吧四分之一BC，

那等于四分之一三角形ABC。啊，因为这个abh和ABC，它这AB它都是共用一条边嘛，共用一条边，这就得到正好等于四。啊，答案就求解出来，比如用等级转化一些等高，或者同底来进行转化来进行求解，就可以得到答案。好，接下来咱们看三级模型，三级模型其实就是高相等。是一样的，

当两三圆共用顶点时，它两三圆高一样就称为三级模型，就这样的。是吧他。它的这个高是是一样的啊，你可以作为它的高，或者说我们把它再再这样画画成这样也行。画这样，你看这个三三角形。跟右边这个三角形。还有是高是一样高一样的话，它面之比等于底之比。啊，这样的，然后接下来咱们看一下这个题，

如图所示，三角形ABC的面积为一。这个大三角形ABC的面积。是唯一的。然后这个给的这个线还比较多的，然后BC=5倍的BD。啊，这个BC=5倍的BD。然后AC呢等于四倍的ec啊aac=4倍的。ec然后dg的长度啊，这段长度。跟gs的长度跟se的长度是一样的。另外，这个af。af长度跟。

这个fg的长度是一样的。对吧，是一样则fgs的面积到底多少？就fgs的面积到底是多少？我觉得大家呢，可以由内向外来求是吧，这样要好找到突破口是吧，因为里面小，外面这个大。我们就设sfg s。最后等于面积是x好吧，面积是x，咱们就看图来填啊，这个是x。那这个三角形也是x就是sef，

这个也是x，因为跟它实际上是同底等高。是吧，跟它正好是同等高，那这个gef正好是2x是吧？gf正好是2x。2s因为f是中点，那这块它也是2x。对吧，好这块儿它也是2x。啊，这样就写好了，写好大家可以发现。发现这个大的就是gea就是一个4x。4s的话，

那说明a dg就是一个2x。是吧，这快顺藤摸瓜啊，快找好了是吧？找好了这个这这写好了。接下来接下来咱们来看一下这个整个呢，就是一个6x。啊，就是ade就等于6x。AD上6x6x，大家知道这个正好呃，因为它写了嘛AC=4倍的ec嘛AC。等于四倍的eec，那说明ae。就等于三倍的ec是吧？

三倍的ec。啊ae=3倍ec 3倍ec，那说明这个三角形cde就等于2x。是吧CD正好是2x就可以了，好CD正好就是一个2x，这样就OK了。啊CD就是2x。写好了，写好了，整个a cd就是一个8x是吧？所以说这a cd。这得到8x。啊a cd是8x以后，然后大家知道这个BC又等于五倍的BD BC，又等于五倍BD，

五倍BD呢，说明CD=4倍的BD。四位BD，那就说明三角形abd。应该等于2x啊，因为把8x÷4÷4就是2 ix，所以这是2x。那整个相当于大三角形ABC就等于十x十x，它正好等于一s，正好等于十分之一。啊，这样就写好了是吧？答案就求解出来了啊，这个呢，应该选择是d选项啊，

看这个是不是懂了？所以在这里面，我们由小到大，由内到外来慢慢求是吧？由小的它们之间的等高呀，然后面积之比等于底之比啊，按照这样的一个比例关系来。来找到它的解题突破口好，这是它的做题方法，看是不是懂了啊？好，接下来咱们看一下例19题这个题。啊如图延长三角形ABC的边。到它d点时CD跟BC长度相等。啊，

延长这个使得ae跟AC这个相等。好，这个FB跟AB长度也是一样的。然后把这个都给它连连了，如果edf edf正好等于168 edf=168。求得ABC的命运到底是多少是吧？好，这道题我们也是由小到大来进行分析啊，由小到大来分析啊。所以如果ABC的面积为x，你连接AD。连AD连AD的话，那这个也是x，因为同底等高是吧？呃，

同底等高嘛，这也是x那上面这个也是x。啊，其他都以此类推。对吧，你这样好，这个就是abd正好是一个2 xa BD是2x的话。那bdf也是2x对吧？bdf也是2x。好，那同样那同样这个。这个什么这个aef它也是2x是吧？其其实跟上面原理是一样的一样，所以说啊。啊，

整个那三角形。efd.就等于7 x=168是吧？x就等于24这样就求解出来，这样大家就选择c选项。啊，他做了一方法，看是不是懂了，再往他的考虑要点。所以大家遇到这个图形的时候，我们由内到外啊，由小到大，逐个来做就行了。好，接下来看风筝模型，

风筝模型一般都在四边形里面用。啊，四边形它的模型。四边形面积呢，主要是连对角线啊，所以四边形很重要的就线就对角线。有对角线。啊，比如说四边形abcd连接这个对角线。这个线大家知道这个ABC的面积。跟a cd的面积比，正好等于BO比上od。啊，这样的一个情况好，那这怎么推导出来的呢？

假如这是s1。s2，s3，s4，大家知道s1比上s4。s1比上s4，因为s1跟s4，大家发现正好是等高的，等高是不是等于它的命一比都等于底值比等于BO比上od？是吧，等于底之比那么s2比上s3s2比上s2比s3也等于BO比上do。是吧a=BO比上do它都等于BO比上。od是吧？od咱学过等比定理把分子相加，分母相加比值跟原来一样，

所以s 1+s二和s 4+s三。啊，它是一样的，知道吧？好，大家知道s 1+is 2s一+s二正好就等于ABC的面积。是吧啊，在ABC面，所以这个推导出来了，然后s 4+s 3s四+is三，然后在这里面大家呢？也可以看出什么，看出就等于a cd的面积。是吧，所以这样就可以比出来，

然后第二个是一样的原理，跟它一样就不再推导了好吧？所以大家用那个比值来分析就OK了。好，接下来咱们看一下这个题。好例20这个题四边形，它的对角线啊，咱们随便画一个四边形。假如这是a。bcd.这对角线AC和BD。啊AC和BD交于点o。AC和BD交于点o。然后且三角形ABC。且三角形ABC。

然后aacd。a cd，然后abd。abd面积分别为。50和六那么求ABO的面积时候，求ABO这个三角形面积。好，他给了这几个三角形是吧？就ABC这个三角形。好，那么我们就可以第一个可以得到三角形ABC。比方三角形a cd。有ABC这个面积比上a cd这个面积。正好就等于BO比上do。BO比上od是吧？

然后ABC的面积，然后a abc的面积。它告诉我们，正好是等于五。然后a cd面这种十。直接面试，所以说得到BO比上od正好得到一个一比二。啊BO。比上od这样的一比二好，这是一比二，然后告诉我们abd的面积，知道了就abd的面积是知道的。a abd面积是等于六，那ABO的面ABO面积大家知道这个底正好是一比二一比二，那么就可以得到什么ABO？

就占整个abd面积的三分之一。是吧，占整个abd面三分之一。所以三分之一乘以六正好等于二是吧？等于二这些答案就选择a选项，为什么它占它面积三分之一呢？因为底是它的三分之一。高两者是一样的，三角形的高一样，所以底边是它三分之一，底边从哪看出三分之一呢？因为BO比上od等于一比二。那说明BO。占整个BD的长度就三分之一，是不是占占三分之一？

随着面积的三分之一，这样就写出来了好，这是它的方法思路，看是不是懂了啊？要讲它的考试要点。好，接下来咱们看考研四就是鸟头模型。然后要求要求用鸟头定理的三大模型来求解面积，比如共角，对顶角和补角模型。金角定理，它就是用那个。三角形的面积二分之一AB乘以sinc。只要它正弦值相等。只要正弦值相相等来进行算的，

知道吧？就s1比上s2就正弦值sinc，正弦值相等。要等于a1b1比上a2b2这样来进行计算的。s1比s2就等a1b1比上a2b2这样的一个方法来求解和计算的，懂了吧？所以角度一样，因为对顶角三线值也一样，如果两角互补的时候，三线值也一样好吧。给它等于角的两边的乘积比值。接下来看一下这个题。三角形ABC被分成bf和四边形两部分啊，告诉我们be长度为三。呃bf长度为四。

然后呢FC长为5 ae长为六，那么三角形bf和四边形的面积比是多少？求这个面积和四边形面积比。它跟四边形面积比不好算，咱们看三角形的面积比。的bf。跟三角形ABC。啊bf这个三角形跟三角形ABC，它面积的比值关系比关系就等于什么，就等于be。乘以bf。BA×BC。好b×bf就等于三×4。然后BA×BC就等于九×9。是吧，

这边九乘乘乘以九这样就写出来了，就是相当于是三+6。是吧，这样就得到四比上27。啊四比27也就是这个三角形跟整个大三角形比是四比27，那么这个四边形就占了27-4得23。是吧，就可以得到三角形be f比上三角形a efc正好等于四÷27-4。然后正确答案，就选择a选项。四比二三，这样就求出来了，这样答案就选择a。好，这道题是考察第一个共角，

因为它这个三角形都供应一个角b，角b是共用的，所以它的筛印值是一样啊，就看这个边的成绩比就可以了。啊，这它的方法思路。啊，接下来咱们看燕尾模型，燕尾模型就前面咱讲过的塞瓦定理。前面学的赛瓦定理其实就是燕尾模型，它的一个推广。当三角形内部有一个点与3d点连线，求这个面时，那么可以采用叶尾模型，只要三角形内有一点。

与各地点产生连线，这时候呢，我们就用这个来进行求解面积。好，那么如图。第一份是变量点。然后AD呢，正好等于两倍的BD，这正好是二比一。然后be和ce相等，这两个相等。啊，然后他说三角形ABC。三角形这个ABC的面积正好30啊，ABC的面积是30等大三角形面积。

那求四边形be fd的面积到底是多少啊？be fd的面积。给它面值到底是哪几？好，那接下来咱们看一下它的这个求解方法，那这个四边形面积可以把它分割成这个三角形来研究，这样也可以。是吧，分成这个三角形，其实大家可以看到ae正好是一个中线。a正好是它的一个一个中线嘛。对不对？好，那接下来我们如果要连接bf，那这就可以用燕尾定理啊，

可以用。验稳定也就用验稳定，其实有等高模型，你知道吧啊，验稳定，其实有等高。等高模型。好，那接下来我们可以这样做一些啊，连接这个bf。你看bf，那我们可以假设这个面是x。啊，这块面积正好是x。s的话，

大家知道这块面积，它也是x。对不对？这个面积啊，正好都是x，因为这个b和c长它是一样的嘛，一样的，它就是x。好x以后那接下来我们再来看。大家看，然后这个呃bcf就是2x了，对吧啊bcf？bcf就等于2x它面积。面积大说明acf就等于4x。是吧，

是acf为什么acf=4 s用燕尾模型，因为这个acf跟bcf的面积比就等于它尾部的长度比就等于AD比上。db就等于二比一二比一，所以说它这个4x这就写好了，是不是啊？这就写出来了。也大家知道，这个a aec正好是5x5x，正好占整个三角形面积的一半儿是吧？也就说，三角形aec。就等于5x，因为e点是中点嘛e点中点正好占二分之一三角形的ABC的面积。对吧，所以s上就等于三。

好，这样就写好了啊s值，这就算出来了，算出来了，那接下来我们呢啊就OK了。然后再来看什么呢？再来看这个aad f。这个三角形面积。adf应该占整个三角形ABC面积的三分之二，占总面积三分之二，占到这儿就得到是十。是吧，是十。啊，或者这样做也行啊，

或者这个题既然这样做就做完了，那就找那个bcd。BD面占整个面三分之一。是吧，占总面积三分之一，因为这个AD和db之比上二比一，所以它这个占总长的三分之一BD占整个长的三分之一。这样就写好了，既然它这个就占了15。啊五这样就写出来，因为它正好在啊这个啊。五×2，剩下等于十，对吧？所以这块是十。

啊，上面这块是20啊，因为它三角形ABC的面积是30嘛30，然后这块就得到20，这就得到十。好，这就写好了，写好的话，那接下来那么这个四边形就可以算出来了是吧？四边形四边形，它让求bfd是吧？be f db fd就用十减掉一个x，因为减掉这个cef就行CF就行。所以十减三就等于七。这样就写好了好吧，

这样答案就选择b选项好，这是它的做题方法，所以大家这道题我们呢求解思路呢就可以。那连接一下点，然后呢，把这几个比例关系用燕尾蝶也找到，找到以后那答案就好写了好，这是它的这个求解方法啊。所以大家呢呃，在做的时候只要出现三角形那一点与各顶点连线，我们就可以用这个验稳定理来进行分析和思考。好，下面咱们来看一下一二三这个题。啊如图所示，三角形内线段BD ce交于点o是吧？

你看又是圆心呃，三角形内有一点。有点欧。那ob长度跟od长度相等。ob跟od长度是一样的。然后oc是它的两倍，若BOC的面积为2 BOC的面积为二，求这个四边形的面积好，那这道题我们肯定要连接做一条辅助线。连接ao。连ao以后，那接下来我们来看如何来找它的一个比例关系。大家知道这个COD。折叠面积跟BOC的面积是一样的。平常都等于二，

所以这块面它一样，它都等于二啊，这个为二，这个也为二。是不是这样写好了，另外大家还可以看到三角形boe？这样boe面等于二分之一三角形BOC的面积正好等于一。啊，这个正好是它一半，正好为一。啊，因为这个eo是oc长的一半儿，这是一，然后接下来咱们再设个未知数就可以了好吧，设AOE的面积是x。

啊AOE的面积是x，那大家可以得到aod的面积。aod面跟这个aob的面积是一样的。看到没有，就aod跟aob，因为这两个三角形是同底等高面是一样，就等于x+1。所以这个就是x+1。s+1，大家知道这个s+1，这个写完后，大家知道这个AOC的面积。等于两倍的。三角形AOE的面积。是吧，

就AOC这个三角形的面积等于两倍的AOE，正好等于2x，对吧？然后接下来大家知道这个2x又等于什么，又等于x+1再加二。是不是等于s+1再加二也是AOC？是不是也是AOC这样的话x就可以算等于三？I=3算出来，那这个四边形就可以算出来，四边形a eod的面积a eod面积正好等于x再加x+1。那等于2 s+1，这样等于七。二点七这个答案就选择d选项好，这套做题的方法思路看是不懂了，那通过这道题大家呢？

要知道我们的做题的。思路是吧，然后不断的利用咱们的等高的方法来进行分析和思考，然后呢，写出它的式子，然后进行转化，把这个长度比转化成。咱们的面笔啊，完成这样转化就可以得到答案了。好，下面咱们看24题这个题。啊如图AD be cf交于e点p点。将三角形分成六个小三角形。啊，这六个小，

其中四个小三的面积在图中给了求整个大山的面积，那其实你就把剩下的这个面积给它解出来就行，我们设一个x一个y就不写那么多字母了。然后接下来我们就要用比例关系来进行分析啊，比例关系转几个方向，因为咱们是两个方程。我们只要列两个。呃，方程去解两个未知数就可以了好吧，然后大家可以发现。这个是。三角形abp比上三角形。acp.就abp这个面积比上acp这个面积值。正好又等于一个三角形bdp。

比上三角形。cdt.是不是这样的？然后都等于一个BD比CD是吧？就这这两三个是等高，这两三个是等高的产品与比都等于它这个BD和CD的比值。好，那这第一个方程，第一个方程，我们把数带到里面去，这个abp就等于x+84。啊比上acp acp就70就外加70。然后bdp呢？BB dp 40比上30啊，这第一个方程你方案写好了啊，

这个这个。然后再转第二个方向，再转第二个方向。是吧，就是从不同方向知道吧，刚才咱们讲的是BD比CD这个方向，那现在可以转第二方向，第二方向就ae比上ce这个地方。啊ae比ce。ABC哈，我们看一下它应该等于CBC，咱们这个这个三角形就不用再写了吧？字母就不用再写了，看一下就70比上。比上x+84，

比上x+84。s+8是比上这个70。s+80比上70，这样等于70比y。然后等于70比y是吧？然后这样啊，两个方程，两个未未知数。啊，这样大家就去解就行了。解出x=56，y=35。好，然后整个面积还是三角形的面积。ABC的面积算出来就等于315。

那这些呢，就选择e选项，然后有315啊，这样就写出来了，好看它方法是不是明白了啊，掌握它的考要点。那按照这个比例关系来就可以得到答案。好，接下来咱们看考研六就全等和相似，全等相似，那这个东西呢要？识别它谁与谁，全等有同学找不到啊，全等关系相等关系找不到啊，所以相对问题是比例问题在几何中的延伸，

它其实就是一个比例。只要长知识点合适用。你别到时候想不到是吧，比如说折叠啊，平移啊，旋转就就找全等。平行的找相似，所以这个把这口诀记记住，看你有哪些相等，有哪些是相似的。在遇到直角三角形一定要相似，全等时可以利用三角函数再把力气来帮助球体节省一些时间。比如说我们找常见正弦值啊，余弦值啊，这个做题要简单。

好，那接下来咱们看25题，这个题。啊，如图所示，在边长为a的等边三角形中d，分别是它上面点啊d是它上面点。啊角AD=60度。AD=6度，然后BD比CD=1比二。啊BD比CD值一比二则三角形AD的面积到底是多少？这列三角形的面积值到底是等于几？那接下来我们就可以找到相似可能这道题，大家想不到相似大家知道怎么看相似看，假如这是角一。

这是角二，大家发现角一跟角二，它是。相等的知道知道为什么相等吧。知道为什么相等，因为这个角b=60度，因为它是一个等边三角形，这个角c也是6度。这角啊，也是6度。是吧，所以说角一。就角角一啊，或者说用外角也行，或者用外角你看角二加上这个60度等于角一加上这个角b60度。

是吧，所以角一跟角二相等。角一等于角二，然后呢？角b和角c是相等的，都等于60度。所以这样就可以证明相似，可以证明abd。这个三角形相似于这个三角形dce。啊dce这两个小三角形相似，要想相似啊，想相似我们就可以找到这个比例关系，知道吧？我们讲的b长这个边是x。然后CD长就是a-x，

因为它整个边长为a嘛。这个边长是a。是吧，这个变成v，然后这个就是a。接下来我们就找找对应边成比例好吧，相当于AB比上CD。等于BD。啊BD。啊，然后找到这个比例关系。是吧啊，然后它告诉我BD比上CD这样的一比二啊，一比二就BD比上ce。那这样正好给了一比二，

那这个更简单了是吧？然后他说BD比上CD长度正好是一比二一比二的话，那说明BD长度正好是三分之a。这有三分之二a。是不是就三分之二a啊？这样就写出来了是吧？所以BD长度是。三分之一AC底层有三分之二a。然后AB长度也知道，就可以把ce长度给它写写出来好吧，我们只要把ce长度给它写出来，这张写的剩下就好办了啊。所以接下来我们就可以写出来。就推出。这AB是a对吧？

然后CD长度是三分之a。这个是三分之二a。然后比较ce。然后那么用交叉相乘，这两个相等直接可以把ce长度求出来，是ce长度就等于九分之二a。啊，这个是九分之二a九分之二a，那上面就九分之七a了。并且它想求AD的面积。是吧，求AD面积AD面，咱一个个求，首先呢，咱们求一下a cd的面积。

啊a cd面积占整个三角形ABC面积的。呃，三分之二。是不是这样的，因为它正好底边是一比二占整个面积的三分之二。啊，三分之二，所以说就等于三分之二乘以三角形，这个ABC的面积。好，这ABC的面等边三角形正好四分之根号三倍的a方好，这样就可以写出来，这等于六分之根号3a方。啊，这aacd求出来了。

好a cd求出来以后，然后再看ade ade，正好正好是七占了九分之七嘛，所以它九分之七，所以说这个a cade。应该占了。a cd面积的九分之七。对吧啊，九分之之七这样话我们就可以算出它的这个数值了，就等于54倍的。七倍根号三五十四分之七倍根号3a方。好，这样就可以算出来，这样选择e选项。啊，

这样就求解出来了是吧？所以只要找到c所占的一个长度ae所占长度，知道了，那么就按照咱们的三角形的面积转化。利用等高来进行运营转化，就可以得到结果。好看，这个是不是懂了？好，接下来咱们看用整理法来求面积。当各个参数不好求解时，若每个面积表达式一样，我们可以用参数的整体值来进行分析，就每一个呢，比如说它的未知量都不知道，

但是整个呢，我们可以用整体来分析啊。啊，比如说像例二六这个题。直线l上一四摆着七个正方形，一二三四五六七这七个正方形，你看这个摆的比较规则的就是s1s2s3s4，还有斜着的一二三。然后这是斜放着三个正方形面积，分别是一二三斜着折。然后其他的。是一二三四求一二三四，它命之和到底是多少？好，那大家知道我们要算面积的话，

就算它边长，我们把它讲这个s1边长为s，二边长为b，这个边长为c，这个边长为d。好吧，就是这个。边长边长，大家发现这这很多三角形，它都是全全等的。啊，你看这俩小的全等这两个是一样的，这两个是一样是吧？这它这个都是全等的，接下来咱们看一下s 1+s二+s三。

加s这样等于什么？等于a方加b方。加c方加d方是吧？那接下来咱们看一下a方加b方。a方a方加b方，大家知道这两三个圈圈怎么圈的话，那那这一小段它也是a。这这一段就是BC方加b方，正好为一。然后再看这个也牵着牵着这个就是b，然后这个c就b方加c方。这样为二。是吧，为二，然后接下来咱们看c方加加d方正好为三。

是吧，这是c方加地方c方加，你看这个是c。这个是d。所以c方加d方。啊，就等于三啊，为什么等于三呢？因为c方加d方正好等于这个斜边平方，这个斜边平方正好是这个斜放的正方形的面积。是吧，面积啊，然后把这几个相相加是吧，把这几个一相加九方加b方正好为1b方加c方正好等于二，这样加d方正好就为三。

v3，然后把这个。啊，因为咱们要的是a方加b方c方加加d方，这样等于一+3，这样等于四，中间的就不要了，那a方加b方。看那个整体c方加d方，看那个整体得到四答案就求出来，这样答案就选择c选项。好这里想到用整体的方法来进行思考就可以了，主要用第一个和第三个这两个式来求解就行了，中间这个没用上。出现这个没用。

好，这是它的求解方法，看懂了没有？啊，下面咱们看题型三题型三就四边形及多边形的面积方法啊，四边形多边形。这边多边多边形，主要就是这个四边形有个叠心定理，叠定理就对角线分成四部面积时，那相对面儿积是相等的。这个这个咱们前面推导过是吧？推导过就相当于它的。比比例关系，把显存法就s1。s2s3s就s1比上s2。

等于s4比上s3是吧？都用等高来进行分析。然后呢，我们把它写成乘法，一般咱们把这除法写成法就可以写成s1×s三=s二×s四。就是上下层等于左右层就这样的。好，接下来咱们看27题，这个题。啊如图所示，该四边形面积最小值到底是多少？我们假如这是s1，这是s2。大家知道根底因定理有s1×s二=4×9就等于36。然后这个四边形的总面积。

就等于s 1+s二，然后再加上四，再加上九，我们用一下矩阵定理，大家知道s 1+s二大于等于二倍的根号下s1×s二。然后再加13。然后大家知道s1×s二，这样等于36。是吧，三十六三十六开根号就六六×2得到12。12+13得到25，这样的这样答案就选择d选项什么时候取等号s1和s2相等都等于六的时候它取等号。啊，取这个最值。好，

这是用咱们讲的叠音定理以及用均值定理啊来进行求它的最值。好，那接下来咱们看一下呃，四边形和三角形面相结合，像有的题，它比较复杂点，又用了四边形，又用了三角形。啊，它的这个面积关系。啊，看到不规则四边形，往往要拆成三角形，或者通过三角形进行转化来进行分析和思考。啊，

不管是平行四边形还是。啊矩形，我们来给大家画画一下它图。大家要知道这个几个重要的结论。假如这是一个平行四边形。然后这地方。做一个三角形，这个三角形是具备什么特征呢？就三角形有一个边跟矩形边跟这个平行四边形边是重合的。另外，三角形的顶点在这个平行四边形的对边上，对边上，那大家可以看到这个三角形面积正好等于这个平行四边形面积的。一半儿是吧？这个是一半儿，

不管上面这个点它怎么？怎么运动啊？在上面这个边上怎么运动？它这个面积就占整个面积一半是吧？因为用二分之一底乘以高来做的。是吧，不管怎么画，或者说你这样画，平行四边形也也一样。啊，不管怎么画画出来它它都OK的。好，那么给大家画出它的图。啊，你看啊，

这样的这样画一些。这个三角形面积也是占整个。平行四边形面积的一半儿啊，不管是矩形也好，或者其他图形也好，都OK好吧，所以要用到这样的一个特征啊来分析。好，那接下来看一下这个题ef分别是平行四边形点的阴影，部分面积到底是多少？这个看起来很复杂，知道吧？看起来很很复杂，那接下来我们看能不能找到一点点规律？啊，

规律好，那我们呢？这个这个是这个三角形就相当于是cde这个三角形。zd是三角形，我们设这块为x，这块为y。大家知道这个CD，这个三角形应该等于x，加上那个阴影部分。再加上y。这个CD这个三角形是不是占整个总面积的一半？是吧，好再想CD，如果占整个的一半，那剩下空白是不是也占一半？

因为这个阴影部三角形占一半儿，剩下也占一半儿，同样就像这个绿色，如果占一半儿空白也占一半儿。好，也就说这个a FB。加上三角形dfc，它也占一半。是不是它也占一半儿？也占整个二分之一abcd的面积是不是？比如说这两应该是相等相等，那我们就可以列一个等量x加I阴影部分。加上y就等于40+60+x+20+y。这样就可以写出来了，是不是？

然后虽然xy咱不知道是多少，虽然xy不知道是多少，两边呢，可以把x给它消掉。y呢，也给它进行消掉，这样s阴影部分就可以写出来s阴影部分就等于110。是吧，这样的啊。就求解出来了好吧，所以把这个啊加在一起120。正确答案就写出来了。所以呢，就选择d对吧，这样就写好了好，

所以这是它做题的方法啊，用这个面积相等，你就记住这个空白的面积。后面有剩下的这个空白面积啊，这两加在一起也占一半，上面这上面也占一半，这两个面相等，这样的话就可以把它求解出来好。而且它的做题方法思路看是不等了。所以大家要学会用转化的思想来进行做，你像29的这个题。在四边形abcd中。啊四边abcd还有这都是正方形。正方形这个边长为三。然后AH比上HB是一比二。

啊，一比二。啊问四边形AH CF。这个四边形，你看这个四边形，我们把这四边形给它画出来吧。就AH。CF.好，这个四边形面积。大家发现这个小正方形，它没告诉我们是多少，是不是？小正方形没告诉你多少，我们这样就连接一下AC。

人家AC。还有df，大家可以发现AC和df是平行的。对吧，为什么平行？因为它这个都都45度嘛，都是正方形对角线45度45度这个角一样，所以它就平行。下面大家知道把这个f点往这边儿进行移动，移动移动的话，它这个面积会出现相等，也就说。三角形FAC跟三角形dac，它是一样的。是吧FAC跟dac。

它一样就FAC。跟dac它这个面一样，因为这两个三角形同底等高。等等啊，它这个就一样的。是吧啊，就一样就一样，也就说这个四边形面积AH CF。啊a。h CF.这个四边形只有等于哪个四边形啊？等于adch这个四边形。好，这个识别你可以用梯形来来做上底。啊，

下底和高来来做，它是一个梯形，就二分之上底是一下底三，然后再乘以高。等于高，这样算出来就等于六。啊，也可以用整个正方形减掉这个三角形的面积，也可以一样的好吧，一样都都行。那这里又采用等级转化，把这个比较复杂的四四边形，然后先分割成三角形，以AC为对角线，分割为三三角形，

知道吧？三角形也就是它原来所求的四边形这一块，这个三角形我不动。知道吧，原来它这个四边形连接对角线AC以后，这个三角形我不动，就另外一个三角形做一个转化，转成这个转成这个话。那咱整个四边形原来所求的四边形面积就等于这个梯形面积。这样就写好了，是不是答案就写出来了？好看这块儿是不是听懂了啊？掌握它的方法。好，这是它的这个求解内容啊。

好，接下来咱们看一下矩形球面积，矩形面积。静静脉主要是找它的高，找到面积等量关系来进行分析，对吧？好，那如图所示，正方形各个各个点，与其内部的一个点连线。各个终点，那就必须是终点。啊，毕业日是是终终点。然后这个阴影部分面积到底是多少？

就阴影部分面积。好，那肯定要连接下个中点。啊，连课程连课程练后，大家发现这也是一个小正方形。知道吧，是一个小正方形。对吧？小正方形在这里面，我们呢？给大家进行写一个结结论。其实对矩形也可以。所以矩形也行。对矩形也可以。

好，它里面内部任何一个点。啊任任何一个点。这里它分为这个四部分。是吧，分成这个，这个四部分。好四部分就s1。s2，s3，s4，大家可以发现。s 1+s三。正好等于整个。矩形面积的一半儿，

为什么一半儿大家知道s一是不是等于二分之一这个边长乘以它的高？s3等于这个边长乘以它的高，它两高加在一起，正好等于整个矩形的高，对吧？正好占它面一半儿，同样s 2+s四。它也占整个矩形的一半。是吧，等距离吧，就上下加等于左右加，当然这个点不一定在对角线上啊，这个点是。矩形内任何一点啊，任意一点随便都可以画。

画在任一个位置就s 1+s三=s二+s四都等于整个矩形一半。好，那做到这我们就可以得到你，假如说这是s1，这是s2，这是s3，这是s4。好，我们就可以得到s 1+s三=s二+s四。是吧，然后大家知道这个终点，外面这个三角形面积它都是一样是吧？面积它这个都是。比如都是一个。啊，

一个a好吧，命令它都为a。是吧，外面的都一样好，都给它加上a，那如果这个s 1+s三=s二+s四，那都给它添上AA+s一。a+s三。等于a+s二。等于a+s四是吧？我都给它添上a是不是都都添上a啊？这个也添，每个都添上a嘛，每天大家知道。a+s一正好就20。

刚刚给的。a+is三正好是问号所求的。a+s二正好35。a+s四这样等于15。15所以问号算就等于30，这样就写出来了。v2就等于30啊，这就求出它的结果了。好，这样就写出它的式子。这些答案就选择c选项好，这是它的做题点，看是不是懂了，所以大家在求解的时候呢，就是我们首先要知道在矩形里面。

啊，那么它这几个关系s1s2s三四它之间的关系，然后再把它应用到咱们这个题里面去。所以说里面用到这个以后，然后再都给它加上a，这样的话就可以把已知条件呢啊，给它用上就可以得到它的结果。好，接下来咱们看31题。31题那么在矩形abcd中ef分别是中点？则可以确定abcd的面积。这是一个条件，重新判断题条件，一知道f。hcfac这个三角形面积这条件一。

条件知道多边形啊ebfhg这个五边形。对吧啊，五边形它的这个面积。好，那其实这道题呢？咱抛开条件，要知道它们几个比例关系。好，如果这两个点都是终点。这终点让它把对角线AC分成三等份。对吧，分成三等分点。啊，如果矩形面积是s。距离面是is大家知道a cd这个三角形就占二分之s。

另外a cd正好占据面一半，正好是二分之s，所以每一块。啊，都是二分之s二二分之s，然后这又分成三个三角形是一样的，知道吧？三三个三角形三角形a dg=3角形。等于三角形。dgh=3角形DHC这三个三角形面积是相等的，因为同底等高。知道吧，好，这个同一等高，所以说在这里面，

那每个都占了六分之s。知道这六分之x怎么来的吧，因为a cd它占了整个矩形面积的一半儿一半儿，这三个又相等。所以各占三分之一，这就变成了六分之s。然后另外注意这h点也是三种分点。h点它也是三等分点。好，那也算是分点，那说明这个hf是HD的一半儿是吧？一半儿一半儿，它面积也是一半儿，所以十二分之s同样道理，这也是十二分之s。

然后中间这个五边形就可以写出来。啊五边形五边形就写写出来了。啊，写出来了，正好占三分之s是吧？这三分之s怎么算出来呢？因为ABC占整个矩形的一半儿。用这一半剪到这两个小三角形，剪到这两个小三角形就可以了。好吧，这是它的这个方法，看懂了没有？这这是它的处理思路。好，那可能有同学会问为什么这三种分别啊？

我来给大家进行简单的说一说这个，所以这两个条件都充分啊，只要。知道条件一也好，知道条件二号就可以算出这个矩形面积，直接把答案给它写上两条均充满，就选择d选项。接下来，我来给大家进行说一下，这个结论是怎么来的？其实这个结论可以推广到任何的平行四边形。那任何的这个平行平行四边形都OK的啊，随便给它画平行四边形。平行四边形啊，这两个边的中点。

这样连连的话，它都把对角线分成了三等份。对吧，对角线这三份儿是一样的，那我来证为什么三份儿一样，那我先证一个，这一个是三等分点。那都上下两三文相似。一下看出来上下两个三角形是不是相似？相似的话，那对应边成比例，大家发现上面这个边。边下面这个边叫做两倍是吧？这个边比这个边是两倍两倍的话，那说明这一段儿长度比这段儿长度也两倍嘛。

变量所以说就证出来，这段长度是这段长两倍，就证明了这个dh就等于二倍的。fh是不是这样就证出来了？同样也证出来了，这个AH这一段是hc的两倍。ch是两倍，所以AH=2倍的ch对吧？这样就写好了。是不是这样啊？同理啊，这个点三等分的同理同理在连接这一块儿，连接这块儿，那剩下的这一样啊，一样也用这个三等分点算。

就跟他一模一样，就不再震了好吧，所以大家以后就记住这样的一个小技巧，看是不是懂了啊，要掌握它的方法。好，接下来咱们看这个题，国庆到来之际。某年级的350名学生进行排练，节目现将一个长方形操场按照人数的比例划划分成四块区域。啊，这有四块区。然后一般呢，有50米，你这个面积把它看成50算了，

这个总面积把它看350。是吧，其实就这个意思。啊，然后总面积350，这是50，这是70。啊七七十。啊，问四班人数，我们关键要求三班啊，求二班，因为四班话是比较复杂的是吧？四班它这个三角形不规则。所以这道题他就巧妙的把面积和人数，

然后呢？然后呢，来进行划分的对吧？就这样的啊，所以大家呢，就可以看到这个总共的350，大家可以把它看总面积是350。占50，然后这个一般呢？这个是50，它面占50，这个占70。然后这个四班，这是二班，这个写好了，

知道吧？那接下来我们看二班这个情况。那二般情况。在这里面，大家呢？能不能可以取个特值做啊？取特值做要不要不取特值的话就麻烦点，因为讲一个边长是a，一个边长是b，你把这看成面积啊。大家知道这个矩形的总面积就等于长乘以宽等于350。对吧，350，350的话，那你可以写成。

随随便写面积吧，随便写面我就写十×35。可以不啊，反正是随便写吧，随便写，我就假设这个a呢，这个边长十这个呢，就三三十五。这样行吗？这个主要为它简单啊，简单，然后大家知道这个高度就十高度就十，然后面积是50，说明这个底边长度就给算出来，对吧？

是不是底面常常可以算出来？这不，底边长度它也为十啊。注意大家知注意啊，知道三角形的高和面积。和面积要会反求它的底的长度。啊底的长度正好就十，然后这个面积是70，这个边长是35，那这个长度是不是就四？啊，这个长度就是四，然后就是四四的话呢，接下来那这段儿长度可以算出来，这样因为大家知道总长我设为35。

设为35啊，那这个长度就是15。是不是这个长度有十呃，就是25对吧？用35。用35减掉十嘛，就25。然后这个长度这个长度，因为我刚才设总长十总长十呢，这个要四那这个长度就是六。有六那可以得到二班的人数。二班就是二分之一底乘以高。就得到75人。那就得到75。好，

那75呢？算出来了，那接下来我们呢？就可以算出。算出呢，这个四班的人数。失败人数就等于拿350减掉，其他班减掉50减掉70减掉75就等于155。啊，这样就算出来了，155这个答案应该选择的是b选项啊，这样就写好了。啊，这咱们用特征，当然这个350你想怎么取都行啊，

怎么取不一定非要按照老师写的十跟35来取，你取其他值。都没关系。好吧，这个都都不影响的，反正找一个好算一点的。都行啊，这样就写好了，写好了那么啊，用特征法做要简单，当然如果要不用特征法做，那就麻烦一点，不用特征法做那那那怎么办呢？就是用一般比上总共的，因为它这个一般，

它跟这个矩形的高有个边是共用的，你算它底。占总长的底占了几分之几？那样占比例做那样话就比较复杂，知道吧？然后三班也是有个边跟咱们矩形边是公用的。部分，然后算另外一个边占整个矩形的比例。啊，整个比例比例，然后来分析。啊，不知道大家懂不懂啊，我给大家把结论写一下这道题呢，可以回头自己去思考一下。

然后这是一个矩形。啊。矩形，然后这有个三角形，它面积是s1，整个整个面积是s啊，如果它整个面积是s。它这有个边长啊，有个b边长，这是边这个矩形的边长是a这个边长为b。然后这一块儿。就占的是c这么长啊c这么长好，大家知道s1比上s我们就可以把它写成。啊，就s一比s，

大家知道s一是不是等于二分之一，然后这个是a乘以c？是吧，就二分之一底乘以高，然后在距面正好是a乘以b。然后剩下a约掉了是吧？a掉正好等于c比上2b。啊c比上这个二倍二二倍的b，或者说可以得到c÷1个b就等于二倍的s1÷s。对吧，这个在这里面，大家呢，就可以写作，就这一段占总长的就是2s一÷s啊。好，

这个好，比如说问这段儿长度占总长度多少？用50×2÷35。知道吧，就50×2，然后除以350。除以三百五，所以它占了这一块儿长度，占总长的总长的这个七分之二七分之二，剩下就占了七分之五。这个能懂吧，就占七分之五，同样道理，你看这段占多少，剩下这段占多少，

然后再算二班占整个矩形的面积来进行分析和思考。这样话就比较麻烦，所以大家考试时候，它只要对图形没有特定要求。你只要取一个特值法，对咱们做选择题来说是非常非常有帮助的，这样很快，因为咱选择题它不看过程。只要想方设法把这个答案找到就可以了，好看这一块儿是不是明白了？下面我们来看考研四梯形球面积。啊，要掌握常见的踢进球面积的方法。啊尤尤其在梯形里面，它用相似，

还有一些辅助线是梯形的常见思路，还要注意。蝴蝶定理就蝶音定理，它的一个使用情况啊，那么相似，它主要平行又会产生相似辅助线呢，我们可以在梯形里面做一些平行线。啊，做一些线来进行将梯形分割，还要注意一些梯形面积的底因定理它的一个使用方法，要掌握这些考试内容。好，接下来咱们看蝴蝶定理。蝴蝶定理。规定那么在梯形里面啊，

在梯形里面咱们来看一下它的这个面积公式。这个梯形呃梯形定理的话，它对任意梯形都适用，不要求等腰梯形啊，它对任意梯形它都是适适用的，知道吧？啊，如果上底为a，下底为b，这是s1，这是s2。zs 3 zs 4。好，咱们知道第一个结论就是s1跟s3它是相似的，所以s1比s3。

正好等于面积等于箱子比的平方是吧？这s1比s3正好等于。上底比下底的平方，这是相似。给大家推导的。第二个。第二，大家知道这个s1比上s2=1个s4比s3。大家知道s1和s2大家可以看一下，正好正好也是等高的，对吧？s1比s2正好等于这个对角线两段长度比。s1跟s2正好等于对角线这两段长的比还等于s4比s3。是不是啊？所以说这个这个就写好了，

其实它都等于什么都等于a比b。是吧，它都等于a比b，因为为什么？因为大家知道梯形的这个对角线两段长度比它也等于上底比下底是吧？梯形的这两段长度比这一段比上这一段。这两段长度比这样长度比他正好就等于a比b，这样写好了。好看，这个是不懂了。然后第三个。第三个大家知道s2和s4要相等，为什么s2s相等？大家知道s 3+s二。等于ss。

s4加。s3。是吧，这大家知道s2和s3相加，跟s4和s3相加是一样，因为这加完后，这两个大三角形正好是同底，然后。然后等高的，这叫面向面向呢，就可以推出s 2=s四。是吧，第四个第四个其实就是第二个推导出来的，可以把它写成乘积知道吧，可以把它写成乘法乘法就交叉相乘是相等，

就s1×s三。等于s2×s四。好，这是给大家讲的这四个这四个，如果你感觉呃记不住的话，咱们可以把它合成一个来记，这样的话技巧性更强一点。是吧，可以把它合成一个g它的技巧。把它合成一个合合成一个是什么样子呢？合成一个就这样的，如果。上底为a，下底为b。当然，

它不一定知道上底下的具体值，也可以知道上底下的比例关系也行。笔官也可以。这样的话，这四个三角形，它的面积的比例关系就是a方份儿b方份儿AB份儿AB份儿。注意咱们写的，它不是具体的面积值啊，不是说它面积就是a方不是这样的面积，是b方，这也不是它们的比例关系，知道吧，这四块面积的占的份数比例。比那这个怎么推出来的呢？这怎么推出来？

你看这个a比b的平方，那就相当于是s1。BS 3正好等于。a方比上b方是吧？s1比s3这样的a方比b方，你可以把s1看成a方份s3，把它看成b方份。是吧，一个是a方份，一个是b方份。是吧，然后我们统一比例，我们把这个a比b，我们上下都可以同乘一个a。都通称a，

因为咱们刚才讲了，把s1看成一个a方份儿s1，把它看成a方份儿，这样的话s2就把它看成AB份儿。是吧is 2就是a ab份。是不是这样的，所以s2就是AB份。这样就写好了是吧？这样就写好，所以s2就a×b份儿这样的啊，这推导出来了，所以这很好记，上面下面都是a方b方份儿，左右两边相等都是AB份儿。啊，

这是它的一个比例技巧的使用。好，接下来咱们看一下这个题。好在四边形，他虽然没说四边形是什么形，但是他给了AB平行CD AB平行CD，他一定是梯形。是吧，这个它一定是梯形。这它一定是梯形。然后abcd它的长度分别是四跟八。啊四跟八。对吧，这个常用四跟八，你找到比例就行了好吧，

其实四跟八不重要啊，四跟八这个具体数不重要，关键找比例，大家说四跟八比正好是一比二，是不是？你比方把它画成一个最简整数比吧，这样要好做一点。这一比二一比二的话，那么它的四个三角形，它的面积的关系分别是一四二二。是吧，这是四个面积的比例关系啊，比例关系就按照这个刚刚咱们写的这个这个来进行记是吧，这个来进行记这样这是一份儿，这是两份儿两份儿，

这是四份儿。好，他告诉我三角形a be的面积是4 AB面四，正好都给它扩大四倍就行了是吧？都乘以四倍。是吧，都乘以四倍就整个的面积值是不是？所以说这这abcd的面积。它总共是几份啊？一+2+2+4正好九份乘以四倍。啊，它因为它面积是一份嘛，一份呢，就相当于面积相当于对应四嘛，一份相当于是四，

它总共是九份嘛，九份对应就36。这个答案就选择d选项，答案就求解出来了。好看，这个是不是听懂了大家的方法是吧？套这个梯形的这几个梯形定理梯形的梯形定理主要用在知道上底下底的比例关系。我们可以转换成四块三角形面积的比例关系，这样来快速求解，看是不懂了。好，那接下来咱们看一下这个题。如果要知道梯形的上底下底和对角线，它的长度啊，大家梯形面一定要会做一个非常关键的辅助线，

好吧，就这个辅助线非常关键，也把它叫做梯形的生命线。好吧，所以在这里面。这条辅助线就是把它过b点，做一个AC的平行线，那么假如做一个e点，然后把底边给它进行延长。你看，所以be跟AC呢，是平行的，知道吧？这个be平行AC。啊b跟AC是平行的好，

那么原来这个梯形的面积s梯形的面积。这样就等于s3角形bde的面积，大家想想为什么是吧？就t面积，原来abcd这个t面正好等于三角形bde这个三角形的面积。为什么就等于BD这个三角形的面积？想一想。大家要看这个三角形比梯形面，三角形比梯形少，什么比梯形多什么，就看它大家可以发现它这个三角形正好呢，比梯形少一个。少一个这个abd。比tn多一个什么呢？比tn多了一个。

多了一个bce是吧？所以大家可以发现三角形abd。跟三角形bce。这两个它的是一样的，对吧？所以abd这个三角形跟bce这个三角形，然后这两个三角形呢？它面积是一样的，能看到吧？它面积正好是一样。好面试一样的话，然后这块儿所以说这个ST型，因为这中间的bcd是公用的嘛，bcd是公用BBC d是一个梯形和这个三角形。是共用的，

所以这样就证明出来它这个三角形BD好，那咱们再看BD它的三边长。BD 3边长大家知道这个be。应该跟这个。AC长是一样的是吧？那题目说了AC长等于四，然后BD长正好是等于八是不？不动的，然后咱们看de总长。d总长那么d总总长正好等于上底加底是吧？然后这块正好等于上底这块正好等于下底好吧，所以ce跟AB。那么，这个长度一样，因为它因为其实这一块是一个平四边形，

知道吧？这个aceb正好是一个平行四边形，所以这个跟上底它一样的上底是二，这里它也是二，所以d就等于上底加下底。上底是。二，下列为六。是吧，下底为六，所以在这里面好，那么它这样这样呢，上底加底，这样就写好了。好，

那这样哈，我们就可以算出这个三角形，这个三角形大家看看它的三边长度是吧？看它三边长。好，这个算式正好等于八好了，那大家可以求解出来，那么三角形它的这个面积情况。所以这个三角形呢，相当于是八八四这样的一个三等腰，三三角形知道吧，就八八四这样的一个等腰三角形。好，八八四比如说他这个三角形这样的。这是八，

这是八，这个四。那求这个三角形面积呢？有两种方法，一个用函数公式做，另外一个等腰三角形可以做一条高。是吧，这个都OK的，所以你可以用这个公式做都行。咱也可以做一条，这样高也可以。啊，做一条这样高也行，然后高这一块长度不是二吗？这个h就可以算出来，

所以这个三角形bde的面积。这样等于二分之一底乘以高它底呢，正好是四对吧底的边底的边长正好四。它的高。高的话，正好用这个勾股定理做就行了，高高正好等于根号下八的平方减二的平方是吧，因为这个是。底边长的一半儿嘛啊一半儿，所以这样就可以写出来好这种方法啊，方法还可以用海伦公式做也行，好吧，所以在这里面。算出来都等于四倍根号15。有同学呢啊，

没有用这个公式做，然后用的是海量公式做，这样也可以的。啊，答案都是一样的。好那么喊上公式之后，或者说这样的也行，或者这样三角形BD。就等于根号下咱们讲过用p×p-ap-bp-c做，这样也可以是吧，然后p的长度正好十，因为八+8+4。是20，它周长为20p的长度就为十十×10-8。十减八，

然后再十减掉四，这样也可以。好就再乘以十减四。好，这样就写好了，然后把这个开出来，开出来一样好吧，一样也等于四倍根号15。用海伦公式做一些啊，用这个直角垂直做高，这样也可以好这道题，大家注意，以后要知道上底下底和对角线。两对角线长度，那这条线辅助线非常关键，

是把称为生梯形的生命线。什么叫生命线？当你走投无路做tn的时候，感觉呢？呃，这个想不到其他方法，然后这个。就是救命那条线叫做生命线，为什么这个这个生命线非常重要？你看它把上底下底还有两条对角线都。合到了一个三角形里面来进行分析是吧？合到一个三三三角形，所以说这这就很重要了，所以这给大家强调了它的方法思路，看是不懂了。

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