037.专项九-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:35:30

各位同学大家好，接下来我们学习平面几何的方法归纳。我们来看平面几何，它主要的考试内容和核心考点。一个就求长度。给了些图形，那么求解相关的程度，第二个就是求面积，第三个就要求里面一些角度，第五个围绕四心五线的一些性质。来进行求解。那么，在平面几个板块儿呢？一定要重在积累，因为它东西比较散，

那要就像咱们英语单词一样，需要靠平时积累。所以，它对于各类的模型要了如指掌，这样才能看出题目的等量关系和图形特质，才能用方法进行求解。接下来我们呢，就把呃平面几个常考的一些类型呢进行归纳，帮大家呢呃找出找到一个清晰明确的解题方向。这样在考场上就能够争取宝贵的时间，从而呢，呃，获得高分。我们来看一下第一个题型，就平面几何常用的一些定理。

当你要学会利用平面几何常见定理来迅速找到平面图形等量关系，从而精确打击，快速求解。好，这是它的这个考试内容，接下来我们看考项一考一就是勾股定理，还有相关内容勾股定当看到直角三角形，求长度时首先想到。勾股定理来进行求解，用勾股定理来进行分析。好，咱们看一下第一个题。啊，直角三角形三边均为整数，且最短的直角边为九，

则直角三角形面积最大值到底是多少？好，那接下来咱们画一个示意图。啊，这是一个直角三角形。它最短的直角边呢是九。啊，有这个它的它的九。而且三边呢，均为整数，假如这个直最短直角边，咱们用a来表示这个是b，这个是c好吧c。然后接下来我们就可以得到，那么根据咱们勾股定理，

我们明白啊，这个c方减b方应该等于a的平方。就等于九的平方。对吧，然后c方减b方，大家可以用平方差公式，平方差公式就c+b×c-b。啊，就等于九的平方，九的平方就等于81。啊81它要找这个面积最大的啊，最大的那接下来我们来看81应该怎么去分解，并且大家知道这个c+b可能比c-b要大。对吧，所以说在这里面我就可以把它分。

分成81×1。还可以分成27×3。啊二二七×3。啊，他也不可能。得到九×9因为c+b和c-b不可能相等啊，不可能是九×9只有两种状态，那第一种情况就c+b=81 c-b，那正好等于一。好，这种情况就c就等于41b就等于40。啊，这种情况。啊，那第二种情况，

第二种情况就是相当于是c+b=27 c-b，这样等于三。所以得到得到这个值12和15。z=15，e=12。啊，这样写好了，接下来要面积要最大，因为它三边是整数啊，整数啊，其他小数就不考虑了，面积大家知道三角形的面积都等于二分之一，两个直角边相乘。是吧啊，如果要是取41个直角边是九得到是180。

这时候面积算出来的是二分之一九×12，然后得到是54。啊54好，这样答案就选择a选项啊，这样答案选择a好，这样就写出它的这个做题的方法啊，大家呢？要会分析和思考好吧，看大家是不是明白了啊？好，那接下来咱们看一下例二这个题，假设三角形ABC是等腰直角三角形AB=a cd是斜边BC的中点。啊，接下来咱们就画一下它这个图好吧，画一下图，

大家看看它图。啊ABC，它是一个等腰直角三角形啊，咱们画一个等腰直角三角形。啊，假如这是a。BC两直角三角形，它说AB和AC相等d呢，是斜边的中点啊，咱们画一个d点。d是斜边BC中点啊ef，分别是a bac边上点啊a bac边上点。而要满足de呢，跟这个df两要垂直是吧啊？要垂直好，

我们画一下。好de和df这要保持垂直的。啊d和df它垂直关系。好，那接下来咱们再来看一下。然后be长度正好等于12 CF，正好等于五啊，就be长度，这段儿长度是12。啊CF常州市五。求线段ef的长到底多少啊？求线段的ef长。好，这道题用到了直角三角形，你看多少个直角三角形？

一开始等腰直角三角形，还有这个d垂直于。df又是一个直角三角形是吧啊，然后要求ef的长度，那这时候我们可要连连AD。啊，我们可以把AD给它连接一下。AD连接下这个Ada，大家知道这个AD。和CD还有BC，这都都相等是吧？所以在这里面大家都可以看出这个AD的长度。AD的长度跟CD的长度是相等，因为咱们知道直角三角形这个斜边上中线正好是斜边的一半儿。啊，

因为d点是是中点，所以AD就是中线啊AD跟CD的长度一样，跟BD的长度它也是一样的，这几个都都是相等的。而且大家可以看角ade这个角。这个角跟cdf这个角这两个小角是一样的是吧？就这个小角。跟这个角，它两者是相等的啊，为什么相等呢？因为它们加上同样的这个adf都等于90度是吧？因为大家知道这个AD。它也垂直于BC，因为直角三角形，它这是一个等腰，

直角三角形嘛，等腰直角三角形AD，它是这个中线。中线的话，它正好跟底边是垂直的，所以AD垂直于BC，这样就可以了，这样就写出来了，写出来也就是说那么角ade。加上角。adf.等于角。cdf加上角adf，它们这个都等于90度。都等于90度是吧？

就adf。啊aad f啊，加上这个都等于9度，因为它都是垂直的是吧，这样就可以证明叫ade。而且要cdf，这两个是相等的。像另外大家知道角c这个角是45度对吧啊？45度，然后正好等于这个。啊，等于这个e。ead ead，因为ead这个角，它也是45度嘛ead。

等于角c这样等于角。ead它都等于45度。最后大家知道啊，一个边和两个角就可以证明是全等的是吧啊，证明全等。你看有两个角对应相等，所以就证明这个小的跟这个小的啊，它的它的全全等的。是吧，这样就可以写出来啊，好全等这个也就是三角形ade。全等于三角形就AD，这个三角形跟这边这个三角形呢？是全等的跟这个f。就cdf这两个三角形是全等的是吧？

所以在这里面大家呢，就可以看出等于cc df。两三万圈的。就这些小的和右边这个小圈的，因为有两个角，加上这个边啊，这样可以证明圈的。好，那既然圈子的话，又根据它它这个给的这个数值啊，所以说a的长度它也等于五啊，它对应边成比例嘛。就推出ae。等于CF应该等于五。对吧，

然后另外。这个af。af af=be是吧？因为因为这个要是全等这个要要等于五啊，这边儿。V5的话，那剩下的这段儿长度跟它也一样，因为整个AB和AC的总长是一样的，就可以得到af的长度。af长的也等于12是吧？因为它本身就是一个等腰直角，三角形也等于12好，那接下来我们呢？要求这个。ef长度ef长度正好就是五十二十三是吧？

所以说ef。这样一点13这样就写好了，因为在直角三角形aef这个三角形里面，一边是五，一边是二，另外一边长就13。这样就求解出来了啊，五十二十三啊，这是它的做题方法，这样大家就选择a选项。所以这道题大家呢，一定要想到这两个小的这个关系，利用全等来去转化，全转化以后，那么就想到把CF跟。

就ae转化啊ae转ae转化以后，那么这样就写写出它的这个数值啊数值，所以说它所求ef长度。这样就求出来了，这题就是用了直角三角形，很多性质是吧？还有一些等腰直角三角形的特征，要把它结合起来。啊，这样我们就可以。求出它这个数值，所以要ef 1定要在这个直角三角形里面来去分析和思考是吧，这样的话我们就好去转化了。好，接下来咱们看考研二射影定理，

看一下射影定理。这里当看到直角三角形中做高，要利用设定来求长度，并且设定里的逆命题并不成立。什么叫逆命题啊？就是已知射影定理得不到是直角三角形，就直角三角形可以推出摄影定理，知道吧？摄影定理得不到直角三角形。好，如果有同学摄影地理忘记了，咱们呢？给大家再重新画一下啊，再说一下这摄影地理。啊，

这样画这样画吧，这样画大家。看的清楚一点。好，接下来这是一个直角三角形。然后这个做一条高。做的做一条杠。然后接下来那我们就可以得到那么限定的是用相似推出来的啊，就AD的平方。你比方这样等于BD×CD。AD平行线内BD×CD。那AB的平方a ab的平方就等于BD。乘以一个BC好吧AB的平方，还有AC的平方AC平方就等于CD×1个BC。啊，

所以说这个AD的平方正好等于BD×CD，然后AB的平方啊AB的平方AB的平方就等于BD×BC。还有AC的平方AC的平方就等于CD×BC。啊，这样的一个式子好吧，大家掌握这样的一个式子啊，要会分析和思考。好，这是摄影定理，那接下来咱们来看一下题目。啊，如图所示，在三角形ABC，中角bac=90度，然后AC呢？

是比AB要大的，要长AD呢？正好是高。好一看到这个高，那么想到摄影地理。好m呢，又使它。BC的中点。然后BC呢，是等于一个八啊BC总长是八，然后dm是根号三。求AD的长度到底是多少？就AD的长度，当然这道题有这么几个做题的方法啊，方法一可以连接am。

用中线来做。不用设定，你用用中线做am，这样连一下。你看大家首先知道这个am，因为am有中线，咱们知道直角三角形，它的中线。这样等于斜边的一半儿，所以就等于四是吧？所以说这个am的长度，这样等于BC总长的一半儿。好吧am。这样等于BC总成了一半，这样等于4 am长等于四。

然后dm长的这样的根号3 dm长的根号三，这样的话就可以把AD给它求解出来，这个AD就可以算出来。啊AD，然后这时候大家可以用勾股定理来进行分析思考就行了是吧？所以AD的平方。就等于am的平方减去dm的平方。然后正好等于16-3就等于13，那ad就等于根号13，这样就写好了。aad等于根号13，这样就求出来了，好这方法一方法二。方法方法二就相当于是。呃，

相当于是我们用摄影地理做。啊，摄影地理。方法，一是用中线啊，中线性质来做的方法。二就是摄影定理。啊，胜任定理啊，胜任定理就相当于什么情况呢？胜任定理的话，那这时候am就你就不用去连它了，知道吧？就是AD的平方就等于BD×CD。就是AD的平方。

等于BD×CD。啊，就AD的这个平方嘛。AD平平方等于BD×CD这样的好吧，就AD的平方。拿BD和CD长相乘好，那BD怎么写呢？BD可以写成am减去个根号三。是吧，这个BD。然后CD可以写成cm，加上根号三。大家知道，这m既然是中点说明am，就等于4 cm也等于四就四减根号三乘以个四加根号三。

这样这样用平方差公式，平方差公式16-3得到13，这样ad就可以求解出来ad就等于根号13。这样就算出来了啊AD等于根号13，这样就求解出来了好，这是它的这个方法思路，看是不是懂了啊，要掌握它的考试要点和内容。好两个方法做都是OK的。好，接下来咱们看一下。第四题CD是三角形ABC斜边上的高线啊，这是高。a dbd是方程的两根。则三角形的面积到底多少啊？

我们呢？简单画一个图。啊，看一下呃，这个图啊，且这就是直角三角形，这是c。啊，这个是d。是它斜边上是斜边AB的高。啊，那CD是斜边啊，斜边上的高。然后a dbd是这个方程两根啊a dbd是这个方程两根。a dbd，

这样的方程两根啊，折这个三角形的面积，我们看应该如何来进行求解？好，那只要这个三角形的面积面积呢？就拿底乘以高就行了是吧？然后底乘以高。好，那接下来咱们来看一下三角形面积s等于二分之一底底呢，就是AB。高呢，有CD是吧？所以这个大家都知道，三角形面积二分之一底乘以高。好那么AB呢，

又等于一个。AD+BD。是不是然后CD CD呢？又等于根号下。AD×BD。是吧，因为大家知道CD的平方，这样等于AD×BD。啊CD的平方，这样的AD乘以BD的这个值是吧？拿AD和BD相乘就可以了，然后接下来我们看这个二分之一。然后这个AD+BD就可以把它看成方程，两根之和两根之和正好就等于六。两知道大家用韦达定理嘛，

等于负的a分之b等于六，然后根号下这个可以把它看成根，乘积两根乘积正好是四。两根乘积用韦达定理来做，这样算呢，正好等于六，然后就选择这个e选项啊，这样就写好了。啊，这是它的方法思路，看是不是懂了啊，这是例四它的考内容和要点。啊，接下来咱们来看一下考样三正弦定理。啊，

这些相关的定理，第一个就是相当于这个。a÷s in a就是它边。和对应它这个角的正弦值，它的比例是相等的，比如a这个边属于它所对的角s in a。然后b这个边除以s in BC的边除以sinc就等于二倍的ry，这个ry就代表外接圆半径啊r2倍r就代表。使劲了啊，这个r就代表外接圆的半径三角形都有外接圆。然后第二个这个ry还等于ABC÷4s啊ABC÷4s，这个怎么说呢？其实用射影定理往下推导的啊。y MR推导的。啊因为咱们知道。

啊，知道这个第二公式怎么推的，给大家进行写写啊，第二，大家知道三角形面积可以写成二分之一AB乘以sinc。是吧，就二分之一AB乘以sinc。好，那这个这个sinc大家知道sinc又又等于什么？你看通过上面这个啊，通过上面这个可以得到sinc就可以写成c÷2倍的r。ry.对吧，三一四六等于。c÷2倍ry好，

把这3c写成c÷2倍ry。然后就可以得到ABC÷4倍的ry。啊，就等于ABC÷4倍ry，然后接下来把这个ry给它写到左边来，写到左边来，然后s给它除外，就得到这个表达式了，好吧？ABC÷4s就写好了啊。呃，方法。下面咱们看一下例五，这个题已知三角形ABC的三边长度分别为ABC 3角形的面积。与外接圆半径的乘积为二，

那么a+b+c的最小值到底是多少？首先，根据已知条件。我们套第二公式就可以得到。啊a×b×c。正好等于四倍的s再乘以ry。是不是所以套刚才咱们讲的这个公式，因为这个s代表三角形的面积r代表外接圆半径两乘积为二，所以说这一块儿乘积正好等于二。等于四×2得到是八啊，这样就写好了，这样那样求a+b+c的最小值，我们用均值定理。咱们前面学过的均值定理来求最值。啊，

因为它的乘积为定值，所以它和就有最小值a+b+c大于等于三倍的三次根号下a×b×c。三×3的根号下八那算上正好等于六。啊，最小值正好就为六，什么时候取最值呢？当三个边相等。最后取最值好吧，这是它求最值的方法，看大家是不是明白了啊？好，接下来咱们再看考研四余弦定律。好那么余弦定理呢？就是它考察是边和角的关系啊啊，比如说a，

你只要这三个只要掌握一个就可以了啊。比如说它三角形，某一个内角的余弦值cosine a。口才a就可以写成b方加c方减一方，除以二倍的BC，这样的情况是吧？就b方加c方减一方，除以二倍BC。就是相当于是某个角的余弦，就等于这个角的两边的平方和一定要减去它对边的平方，然后再除以二倍的BC，这样就可以得到它的余弦值。好，接下来咱们看一下例六这个题ABC的三角形，它的边则角c，

它的取值范围到底多少？那给了a分之一加b分之一加c分之一啊，它这个取值。小于c分之二则这个角c角c的话，我们也要转化成它的这个。三角函数余弦这块儿余弦这块儿，我们可以看它分子都是b方加c方减a方除以2 BC是不是，所以它都是有这样的。是我们呢。加上这个a分之一b分之一，如何跟他们成绩相关联是吧？相关联我们学过这个基准定理a分之一加b分之一。我们可以呢，再给它乘一个a+b。乘加b那大于等于大家知道第一个a分之一加b分之一，

它大于等于二倍的根号下。AB分之一。第2 a+BA，加b大于等于二倍的根号AB。二倍根号AB在AB分之一和根号AB这两个约掉约掉正好就是四。啊，这样四所以这两项呢？大于等于四这样就写好是吧？写好叫它这个是比四要大。好，那么根据咱们这个不等式，这个这个性质是吧？不等式，这这个性质我们就可以。可以得到把这个a加b给它这个移过除过来是吧？

除过来除过来就可以得到a分之一加b分之一。大于等于那么四，除以a+b。啊，得到这样一个关系是吧？好，也就是a分之一b分之一比它这个要大比较大，然后a分之一bbb分之一呢？又比c分之二小。是吧，又比c分之二小，所以根据咱不等式传递性，这样就可以得到啊，那么就c分之二。大于a加b分之四，

这样就想到了是吧？这样就可以得到它的这个式子那式，然后呢？我们呢？就两边呃，把它倒过来。或者说两边给它乘过来，乘过来就可以得到c小于二分之a加b。接下来要求c的取值范围，我们要求这个cos角c。所以最终落脚点要用cos来进行表示。co sc正好就等于a方加b方减c方除以2 AB。是不是这样的式子？好，然后这块因为c呢，

把它变成小一点。c的换小了，它减掉一个小的，肯定比原来数值要大。是吧啊，这个要要大，所以c把它。c把它换成二分之a加b嘛c把它换成二分之a加b就是这个c换成一个更大的数，它减一个更大的数变小嘛。所以这个就是二AB是a方加b方减去一个二分之a加b括号的平方。好得到这个式子。好得到这四以后，那接下来我们把这个二分之a加b括号平方给它进行展开展开，也可以上下都乘以个四。变成四又变成8 AB了是吧？

8 AB这个变成4a方加4b方。然后减去a方。减2 ab-b^2得到这样一个关系。两个关系，然后这个把它给它进行合并，合并成一项8 AB，上面就是3a方减2 AB。加上三倍的b方啊，得到这样一个式子对吧？啊，得到这个式以后，那接下来我们再来去分析思考。然后把因为大家知道a×b这个数呢，肯定是呃，可以把它给它列列列开是吧？

2 AB跟AB给它列开列开就变成什么？变成八分之三。啊，这个就相当于是乘以或者说你这个把它写在一起也行，有a方加b方除以AB。然后减去一个四分之一。是吧，减四分之一，这四分之一怎么来的就二AB除以八AB得到四分之一？我们知道这个a方加b方要大于。a方加b方要大于等于2 AB，是不是大于等于这个2 AB？所以我们要保证那个大于号要保持一致，这样才能传递性。那这些都相等的，

它要大于。大于呢，就三乘以二AB除以个八AB减四分之一得到这个值是吧？得到得到这个值。然后这个就得到四分之三四分之三减四分之一就得到二分之一。得到二分之一好，大家知道这个cosine是一个单调减函数。这个角越大，它越小好吧，角越小，它它它越大。大家知道扩散角c等于二分之一的时候等于二分之一的时候应该是六十度是吧？六十度。啊六十度那角越小，它越大于二分之一，

所以角c呢应该小于六十度就小于三分之派，还要大于零。是吧，大于零这样写好了，零到三之派。这个答案应该选择a选项啊，给它做题方法和思路，那有同学说这几个想不到怎么办啊，那第一步那怎么想到给它乘一个a+b的？因为你不乘a+b，那这个呢？你得不到它这个常数。知道吧，所以说常用的不等式要弄清楚啊，这个第二个要把这个c cosine呢，

这个余弦定理呢，要进行放缩。啊，进行变变换变换以后，然后呢，得到大小范围，这样就OK了。然后此外咱们在。在做题的时候，那么还要记住常见的一些余弦值是吧？我们要记住一些正弦，余弦值大家呢？要知道。好吧，所以要把这个表格给它记住。

比如说c这个角。然后呢？如果要是零，要是3度。45度。6度，还有9度。好sinccosc。还有tanctanc，咱们在几几何要用知道吧？s in 0得到零，这是二分之一二分之根号二。二分之根号三还有一，然后这个呢是一，这是二分之根号三，

这是二分之根号二。是二分之一，这个是零，然后这个是零，这个是三十根号三。大家注意这个tan就等于s in÷cos知道吧？这个呢？两个相除正好就为一了。然后这根号三，这就是无穷好吧，这常用的啊，三角函数值这个要记住。另外，只要s in和tan在零到二分之派是单调增的，你看它的数值越来越大是吧？

它这个是。是单增啊，咱们就缩在零到二分之派啊，就单增的，然后余弦是单调递减的，所以你看啊，余弦是单调递减。就在咱们只研究在零到二分之派这样一个区间里面就够了，其他咱们三角函数也不做要求好吧，这给大家强调的。另外，常用的那个。均值不等式，它的扩展a分之一加b分之一，乘a加b要记住是大a等于四的。

啊，如果a分之一加b分之一加c分之一。乘以个a+b+c，它是大于等于九的，大于等于九。好吧，这样的一个方法。好，这是常用的三角不等式，都给大家进行总结了，大家呢，要把这几个考点啊，结合在一起来学习。好，那接下来，

咱们再来看一下考项五中线定理。啊，中线定理就在任意三角形内部都存在一个中线啊，其中AD呢是中线，这中线定理它就根据余弦定理来进行推导出来的好吧，所以它的这个推导方法，这个大家要知道。好，那中线定理，我们画一个图吧。加这个ABC，然后这个AD这是中线。啊AD这这中线。啊，那么接下来我们就可以写成就AB方加AC方。

啊就AB方就这个边的平方加这个边平方中线定义怎么记呢？就跟中线。过同一顶点的两三角形的两边的平方和。等于二倍的。啊二倍的，然后这个AD方。加上二分之一BC方。啊，二分之一BBC的平方。好，那这是中线定理，而这个中线定理怎么推导出来？是用余线定理来推导出来的。余弦定理，大家知道在这个角里面cos角b。

cosine角b这个呢？是cosine角b。这个是固定的是吧？cosine角b这是固定的cosine角b就等于。等于啊，这个是。在这小三角形里面用一下余弦定理啊，小三角形里面大家知道啊，余弦余弦怎么写呢？第三是。这个角两边的平方和就AB方，加上BD方。减AD方。这二倍的AB。乘以AD。

乘以BD。啊，还等于什么？等于cos角b这个大的三角形aba大三角形里面用cos角b那要求AB方。加上b立方减AC方。除以二倍的。AB×BC这样写好了好吧，二倍的AB×BC这个写出来了好，这是它的方法。啊，看明白没有啊，他的思路要弄清楚。啊，接下来那么通过这个余弦定理，两边把它约一约约约，

大家知道这个你看。这个AB跟AB能约掉。然后这个BD正好等于二分之一BBC，也就说二倍的BD，二倍的BD正好跟BC能能能够约掉。是吧，就2 BD跟这个BC能遇到注意这个分母，它还多一个二是吧？如果让我们把这二乘过来，然后再移项整理整理。啊，就得到上面啊，这个中线定理就可以把AD的平方啊，这个写出来好吧，往下自己去整理就行了啊。

啊，接下来咱们就套。好，这个题在3 ABC中AB=4 AC=6 AD等于根号十啊d为BC的中点求。求这个BC的长到底是多少？就相当于利用中线定理，求这个BC好，那接下来我们。化简一下啊，看一下它的这个图。好那d呢，正好是BC的中点。啊d。在这个位置。啊，

它知道AB=4，AC=6，AD等于根号十。求BC，那接下来就套上面中线定理就可以了，上面中线定理，那你就可以得到AB的平方四的平方，加上AC的平方六的平方。等于二倍的AD平方就套上面的公式AD平方就等于十，再加上二分之一BC的平方。好，这样就很容易写出来，这个16+36得到52，52减它得到32，32再乘以二得到64。

由BC平方等于64，64就可以得到BC，正好等于八。好，这个答案就选择c选项，答案就写好了，这个答案选c好，这是套这个冲线定理，大家把BC这个边长给它求解出来就OK了。啊，接下来咱们再看一下角平线。看角平线好，首先咱们看一下角平线定理，角平线定理呃，就两个啊，

第一个呢就是BD。就AD是角平线啊AD角平线就BD比CD这样等于AB和AC的比值。啊，就是角平行线把底边分成了两段儿，长度比正好等于三角形，这两边的长长度比。第二个就是AD的平方，就等于AB×ac-bd×CD就OK了好吧，这是它的这个内容。好，那接下来咱们做一下题来套一下公式，这个呢，咱就不再去证明了。然后它也是用三角函数来证的，咱就不再证了。

好，那接下来咱们画一下图，看一下这个题。啊，这是ABC。啊，那么这是六这是八啊，这个AB长等于6 AC长等于八，然后b长是它的等差中项。啊，等差中项。啊，根据这个我们就可以把BC求解出来，等于多少就等于二分之六加八就等于七。对吧，

所以这个BC长度要等于七。就是BBC长度就为七，然后AD呢是它角平行线，我们画一个这个角平分线。角平线。然后交BD。交bcd点求AD的长度到底多少？大家第一步要把BD和CD长度求出来啊，直接用第一个性质知道吧，就现在用BD比上CD。正好等于AB比上AC，正好等于三比四啊，因为这个一个是六一个八，所以换成最简整数比正好得到三比四。所以这个BD比CD长等于三比四，

大家知道总长长为七，总长为七就可以得到BD。就等于3 CD正好，就就等于四啊，因为总长正好为七嘛七的话，按照三比十来分，正好一个为三，一个为四。好，那接下来我们就可以再用角平行定理就AD的平方。AD平方就等于AB×AC。减去BD×CD，这样就可以了，好吧，就AB×ac-bd。

乘以CD。然后正好就等于六×8-3×4。啊，这等于48-12。就等于36。啊36，36这个算出来AD长，这样就等于六。内长等于六好，这样答案就选的是a选项啊，这样就求解出来了，好看这个方法是不是听懂了啊？掌握它的考试内容。好，接下来咱们看一下第九题啊，

三角形ABC的角平线AD的延长线交叉外接圆一点e。啊，叫它外接一点e，可以确定三角形a be与abd的面与比。啊，这个题。啊，这个题要求这个面与比啊，那接下来我们看一下它，这是三角形ABC。而且它有外接圆。啊外接圆，这是这个圆是它的外接圆。好，这个表达式是它的外接圆。

好，那么要确定这个三角形abe abe，我们看是哪个三角形a be？啊，是这个三角形。跟abd跟abd，我们首先要观察这两三角形是什么关系是吧啊，要知道它是什么关系，你看这两个都有AB。是吧，它都有AB就是abd啊。大家可以看这两个三角形呢？可以看到它是共有一个边AB这个边的。是吧，也可以看成角a，

它是共有一个角。角a是共用的，是不是？然后这样的。然后AD这个边正好在这个。在这个它们底边呢，正好也在一条线上是吧？有一条线上你看AD跟ae正好在一条线上好把这个。啊，基本的思路弄清楚。然后接下来我们来看一下它给了这个角平线。啊，然后这AD呢是一个角平分线。好，既然角平线的话，

它这个角肯定是相等是吧？我们为了避免写一堆字母，所以我们就可以写成。啊，这个角一和角二。啊，这样的话就方便一些。是吧，我们可以假设这个。假设bae这个角这个角1 CAD这个角二是吧角二，而且咱们根据咱们圆弧它的一个情况啊圆弧。然后那同样这个弧ce。同样，这个弧ce，然后它的圆周角是一样的是吧？

你看ce这个弧，这是我角二使它一个圆周角。然后呢？这个cbe cc be。对吧，所以说在这里面大家呢，就可以看出它这个角一样，而且这个角c跟角e它它是一样的是吧，角c跟跟角e它这是一样的。所以咱们先先把题干化简完，然后再看两条线是否充分好吧，所以先用题干看到这个角一肯定是等于角二的，因为这是角平行线。对吧，然后脚。

e跟角c是相等的，那为什么这两个角相相等呢？因为它都是。啊圆，周角一样都是AB这个弧所对的圆圆周角是吧？所以这里面这两个圆周角相等。好，那么通过这两个角，通过这两角，我们可以得到相似，对吧？相似，因为因为这个角一样了啊，然后呢？就相当于是AD。

a cd这个三角形。a cd 3角形跟a be这个三角形它是相似的是吧？相似你看这个角是一样的。角一样，然后这个又一样，这是a be。这个三角形。跟a cd这个三角形相似，所以通过这两个，这两个可以得到相似，相似的话就相当于是a be。相似于三角形a cd。对吧，然后这两个三角形，它的相似。

啊，相似的好那么相似原因呢？就因为角看这两个角一样，然后这两个角一样啊，就就相相似的。而且相似它对应边可能成比例，所以它的面积比啊，面积比面积比的话，我们就可以得到它相似比的平方，所以就得到三角形a be。比方三角形a cd。这样的对应边之比的平方是吧？对应边我们看啊，那谁跟谁是对应边？是吧啊，

要找到这个这个对应边，这样大家可以看这个b。啊b，跟这个CD它是对应边。是吧啊，这个b跟这个CD这两边它是它对对应边的。啊，然后呢？还可以写成AB？啊AB啊AB呢？跟这个AD这个是对应边。所以咱们学过三角形，要相似的话，它面积等于相似，比平方还是等于ae比上AC的平方？

啊，就ae。跟AC它对应边啊，这个平方好，那这样的话就可以了，可以然后呢，接下来它问的什么，我们现在找到a be。跟a cd那这两个找到了，找大大家又知道这个abd跟a cd又等高的。啊优等高的是吧？所以在这里面我们可以知道这个abd。跟a cd又等高的。啊等高等高等高，它命运比正好等于底值比等于BD比CD。

啊，这是等高模型。上面这是相似的。相似面比等等于。相似比的平方是吧？然后这个是等高的。然后接下来我们根据角平线的性质是吧，角平线大家知道这个AD是角平线。好，那角平线的话，那接下来就得到AB比上AC。这样等于BD比CD是吧？也就说通过这两个就可以得到这个BD和CD的比。啊，正好就是啊AB和和AC的比是吧？

好了，那么以上这两个相除。你看这俩相除就可以把这个给它比值，给它约掉好吧，所以通过以上这俩是一相除。啊，一样除一项除就可以得到它的这个结果好吧，所以说接下来两者相除。将就得到三角形a be。两三角形a cd。你两相除的时候，因为这个a cd跟这a cd分母就约掉了，得到得到这个abd了是吧啊啊？abd abd你可以用第一个。第一个第一个它的分子。

这儿be÷CD^2。啊，分母可以换成BD和CD。然后把它稍微化解一下，得到be的平方。b的平方，然后除以BD×CD。然后这这是用前面来做比值，或者说。或者用后面这个比也行，后面后面比用ae方。除以AC方。啊比上BD÷CD，但BD÷CD的话，我又可以写成AB÷AC。

是吧AB÷AC，然后这AC就可以化简掉，得到ae的平方。这个AC。AB这样就写好了好吧，这样就写出来了好，这是它的这个相除以后得到这个式子，那接下来我们看条件一。标一它说这个CD 2分之根号2 be和BD正好成等比数列成等比三个数的成等比数列第一个乘以第三个等于中间的平方。就得CD×BD。啊CD×1个BD。占着它平方就二分之一be的平方。条件条件，大家可以看到，就是AC 2分之根号2 ae和AB正好也成等比数列。

那说明第一个乘以第三个也等于中间的平方就AC×AB。好AC乘以AB也写成二分之一ae的平方。好，这样就写好了是吧？写好其实大家可以发现那么啊，把这个CD乘以BD等于二分之一be平方带到第一个式式子里面去，这可以确定它的面积比。是吧，然后把AC乘AB等于二分之ae方带到第二式，也可以确定它的面积比是吧？都是OK的，所以两个条件。每一个单独均充分都是可以的，所以正确答案两条都充分，咱们在考试时候答案就选择4d选项。

好，这是它做题方法思路，看是不是懂了啊，要掌握它的考要点。接下来我们看一下等腰三角形四线合一等腰三角形，它就是呃上面这个。顶角咱们画一个等腰三角形。然后在上面这个顶角。这条线啊，这条线四线合一是什么四线呢？就角平行线。中线高还有底面的中垂线，这几个是。视线合在一起的啊，都是同样的，

所以等腰和等边上隐藏了一个非常关键等压关系。啊，像等边三角形，它所有四心是合一的是吧？等等，所以说要知道等价关系，所以说在这里面给大家写第一个。比如说等腰三角形，它底边上的四线合一就角平行线啊，中线啊，中垂线啊，然后这些都是合一的。然后如果等边三角形啊，等边三每条边上它都是合一的好吧，一个等边三角形，

一个等腰三角形。那这个给大家总结好了。好，那接下来咱们看一下这个题目。好那如图所示，三角形PBC。好，这个面积为10 PBC面面积为十那AP呢？垂直。垂直于它的角平线。啊，角角明线就是。啊ABC的角平线BP。是吧，这个这个有个角平线有BP呢，

是角平线与p点。好，那接下来它要求三角形ABC的面积到底多少？它告诉我们PPC面积为十，就这个阴影部分，这个面积为十啊，这个是十。然后呢，告诉我们这块面积十了，然后这是跟它垂直的，接下来我们要用对称关系，知道吧，对称关系这个题又出现了角平线。所以说这个垂直，我们把它一定要把它延长，

把AP给它延长，延长就可以找到解题突破口是吧？把它进进行延长。你看一下，这是q点啊，进行延长，延长以后大家知道大家知道，然后那个BP正好是aq的。中垂线为什么呢？因为这个是角平线，对吧？这这两个角一样，然后这个是垂直的，那可以用到刚才咱们讲的就可以证明这就是一个。啊等腰三角形。

是吧啊，等腰三角形啊，这样就写好了，对不对？好，所以在这里面我们就可以得到AP。和pq是相等的啊AP和pq啊，这个是相等一模一样的。啊，一模一样的啊，那说明如果。这个要一样，那就可以得到三角形abp。abp这样就等于三角形BP q。是吧，

它它这两个是相等的啊，因为这两个三角形可以把它看成全等的也行，或者说又同底又等高。是吧，好这个就相等。同样道理，那三角形。acp也等于三角形CP q。啊，就是acp这个三角形acp和CP q，它这个也相等。啊CP q这个也是相等的是吧啊？这是相等这样的话，那说明这阴影部分跟剩下空白的是一样的，一样的话就可以得到。

那三角形。ABC的面积。你看ABC的面积正好等于十×2。这样等于20是吧？这一栏就选择d选项，然后这是它的方法思路，看是不是懂了这一栏选d？啊，就这块儿跟这块儿相等，这块儿跟这块儿相等，所以整个面积啊，就等于20，这样就得到它的答案了。好，接下来咱们看一下张角定理。

这道题呢，就是相当于又涉及到角平线。又涉及到角平线与角平线相关的在三角形ABC中，若AD是它角平线则bad。转为阿尔法啊角bad，其实这两个阿尔法是一样的。就就是角平线定理是求的是长度，张角定理求的是角知道吧，就张开的角度一样角平线。表现它分成两个角一样就bed，这是阿尔法，这个也是阿尔法则，有AB分之一加AC分之一就这个。角的两边的倒数和AB分之一加AC分之一，这样等于二倍的cos阿尔法除以AD的长度，

除以这个角平线的长度。然后这个咱就不再证了啊，是用余弦定理，然后做一下变换来证的，因为这个cos阿尔法跟这个cos阿尔法是相等的，然后还要用这个倍角公式。然后来进正啊，这样整个角是二阿尔法，知道吧，咱们这里不再正了，这是角定理。好，那接下来咱们看一下这个张角定理，它怎么使用好吧，它在三环ABC中角ABC对的边分为了ABC。

这个角ABC正好等于120度啊，100咱接下来咱们画一个这个图好吧？啊，这个角是120度。好，那这是b这是a这是c这个角是120度。就是角ABC=120度，然后角ABC的角平行线交AC于d。啊交这个AC啊，与与与地点。角AD长度，这是角平线与地点，然后告诉你BD长度为4 BD长度为四角a+4 c的最小值到底多少？那么首先根据这个张角定理，我们来看看张张老弟，

张老弟呢，就相当于是。啊AB分之一加上BC分之一是吧？我们运用张角定理。有AB分之一。加上BC分之一。就等于cos阿尔法除以一个BD有二倍的cos阿尔法。在咱们这道题相当于cosine 60度。所以一个BD。大家知道cosine 6度正好等于s in 30度，正好是二分之一二×cosine 6度就一，然后BD长呢，在咱们这道题是等于四的。然后AB的长度正好是c这个长度啊，小写c因为AB它对应的角是c。

c的话，这个边长就小写CBC呢是a。好，这样就写好了，接下来接下来它让求什么？求a+4 c的最小值a+4 c最小值，这道题不能用两次均值定理啊，有同学这样做的就会有个错误写法。他说，这个a分之一加c分之一。当大于等于二倍根号下AC分之一。是吧，就a分之一加c分之一，这样大于等于二倍根号AC分之一啊，他把这个这个根号AC因为左边四分之一嘛。

左边四分之一四分之一，然后除过来啊，就是八分之一，所以说在这里面大家呢，就是这四分之一，把这个四给它乘过来八。这个根号AC大于等于八。好，那这是它的这个方法，有同学呢，又用的是居中定理a+4 c。一+c大于等于二倍的根号下，两个相乘4 AC。这样等于四倍根号AC，那大于等于32好，

这样做呢就错了，这样做有同学把这八代做了做就错了。如果这条选32这道题，如果给一个干扰项，有个32，那这道题就错了，原因什么原因？因为用了两次均衡定理，它等号就会出现问题了。第一个等号取等号就是a和c相等就取等号。啊，第二个要区等号就a和4c是相等的。啊，这两个相等是吧？所以说这个就做错了，

好那么它这个等号不能同时取到鱼和熊掌，不可兼得，那正确解法应该什么解法呢？正确解法。这句话这样的啊，咱们学过就是a+4 c。要求a加四c，我给它乘一个四分之一，再乘一个四是吧？注意一下横横等变形，给它乘一个四。再乘以四分之一，乘以四分之一，可以写成a分之一加c分之一，知道吧？

注意啊，恒等便携，因为a分之一加c分之一正好等于四分之一四分之一乘以四正好变成一了。是吧，这样的，然后把它括号展开展开就四倍的。然后这个乘到里面，乘到里面就五加上c分之a，加上a分之四c。它大于等于四倍的。啊，然后这个五+2倍根号下两个相乘。是吧，相乘这个算上就等于36。啊36这样就没问题，

这时候什么时候取等号呢？它取等号条件。它取等号条件呢，就相当于是啊c分之a和等于a分之四c的时候取等号是吧？它就像c分之a等于a分之四c。这两个相等的时候，它是取等号或者说a就等于2c的时候，它这个时候是取等号的这个。正好它是成立的，对吧？所以这样就选这个36，这个答案就选择d选项好，这是它的处理方法是思路。看是不明白了。看这个懂了没有好吧。

啊，当然还有一个就用在这是用这个均衡定理做，还可以用咱们讲过的全方和不等式，还记不记得全方和不等式全方和不等式或者这样做也可以？因为刚刚咱讲了这个c分之一加a分之一。c分之一加a分之一，我可以把它写成。因为它要出现这个四c是吧？四c所以可以写成a分之一加四c分之四。它大于等，等于一+4啊，这个四呢可以写成这个二的平方了是吧？可以写成二平方就一+2括号的平方。除以个a+4 c啊，这样也可以是吧？

这样也行，这样的话也出现了，它要求的a+4 c。而左边这个值呢？它的恒定四分之一。左边横列四分之一，然后这样话，因为这块它正好就分子正好为九嘛。九除以a加四c，然后你把这个分母a加四c给它乘过来，四这个四分之一乘过来，四乘过来乘过来就变成a加四c。大约等于36，这样就写好了是吧？这样是一样的，

这是用全方和不等式，前面学的全方和不等式，这个是用基准定理做的，两者都是OK的。好看，这个明白没有？好吧，掌握它的处理方法啊，看是不懂了。好，这李11给大家已经讲了张角定理和平行定理，还有一些全方和不等式来求它最值。好，接下来咱们再看一下塞瓦定理。塞瓦定理其实是用什么用？

咱们鸟头定理来推导出来的好吧，它是用鸟头定理来推的。呃，它用咱们的。用燕尾定理推导出来的。来用燕尾定理来推导出来的好，那燕尾定理分别用一下燕尾定理来就可以推导出这个塞瓦定理好燕尾定理，我们看是什么情况呢？你就转一圈。BD比上CD。等于这个三角形的面积。aob比上AOC知道吧，所以说这个就三角形aob的面积比上三角形AOC的面积。这样呢BD比上CD。知道吧，

然后接下来咱们看三角形BOC的面积比上三角形aob的面积。啊，正好等于一个ce比上ae。啊，所以在这里面大家呢，就可以知道三角形的两个面积之比，就是它底边的长度比，知道吧，这是咱们学过的燕尾定理。好，然后把一圈都用一下好吧，一圈然后都都用一下页面定理。啊，都用。这样就可以得到它的这个式式子是吧？

然后接下来我们再转一圈儿，再转一圈儿，就是AOC。AOC比上BOC。AOC.三三三角形。那比上BOC 3角形。啊AOC比上BOC这样等于af比bf。f比上bfbf，然后把这个给它乘在一起，把这三个给它乘在一起，乘在一起，左边乘完后就是一了。啊，左边乘完后看分子分母，

这样能约掉约掉就一，所以就就得到BD比上CD等于乘以个ce比上。ae然后再乘以af比上bf，它正好等于一，所以它这样推导出来，你在这这三个相乘。啊，就得到这个塞瓦定理了好吧，这塞瓦定理它的这个特征。好，那接下来咱们看一下这个考题例，12这个题。一般什么时候用塞瓦定理呢？就三角形那一点跟各定点连线，它把这个分成了一些线段的长度。

这个长度的比值，它乘在一起正好等于一啊，这是塞瓦定理，它表达的一个含义。好，那知道这个定理形式了，那接下来就好办了。第12，这个题假设syz分别为三角形ABC的边bcc。AB所在直线的一点。这直接点啊，那则。ax by cz它交易点啊，它交易点。铁网一，

它叫角平线，大家知道这个角平线肯定是三线共点的，三线交点的是吧？交易点这个。不用再正了好吧，所以第一个肯定是OK的。第一个它肯定是OK，第二个就是它这个比值正好等于一，咱们用塞瓦定理来进行分析就OK了好吧，所以接下来我们来看一下。这个题我们简单画一个图吧。简单画一个示意图。啊，假如这个是a点啊，这个是b点。

这是c点。然后他说这个xyz分别是它三边上的点x是BC边上的点啊x。是BC边上点。然后y呢，是AC点上点y。AC变成点z呢是AB变成点AB变成点z。啊，这是z。好，那第一个就相当于是as是角平线，by是角平线cz，也是角平线，角平线，它肯定是三线是交一点的，这个角平线的交点也是三角形的内心。

啊，这个就不用再正了。然后第二个。第二个我们要证，它是az比上zb。乘以个bx比上CS。啊cy。比上ya那肯定是它交易点是吧啊，肯定是它的交易点，因为它它交易点这个塞瓦定理它才能成立是吧，其实这。这个塞尔定理，它的含义塞尔定理，它必须交一点，如果假设它不交一点，

那这个成绩它不可能为一好吧，成绩它是不可能为一的啊，所以也可以用反证法去进行证。啊，这一块呢，咱就不用再说了，它必它必须得焦一点。啊，如果假设它它没没交易点啊，假设没没交没交点这个塞瓦定理是不成立的，知道吧，它必须呢，必须它这个这个线。啊，也过这个点才okay的。

啊，正好它交一点交一点，那才有这个塞瓦定理好吧，否则的话啊，如果这个点要呃。在其他位置，在其他位置的话，那这个比值它就是不相等，因为大家知道两条线，它肯定交一点两两条线交一点。啊，你这个焦点你用一下这个这个两个用一下这个燕尾定理燕尾定理，另外一个如果不交一点的话，它这个左边这个乘积它不可能为一。知道吧，

左边它这个三个乘积啊，它不可能唯一不可能唯一也就跟这是矛盾的，所以用反证法这样就行了好吧，所以这个地方条件。它都成立，你可以用反证法假设不交一点不交点用这个左边这个面积比，然后它是不唯一的。好吧，用这样的方法去进行分析和思考，这个塞瓦定理要求塞瓦定理要求必须啊，过三角形内一焦点，它必须。交于一点，这个赛尔定理，它才成立好吧，

主要考的对塞尔定理的一个理解和认识就OK了。好，接下来咱们看斜斜角定理。啊，斜斜角。啊，斜斜角那什么是斜角？大家看它名字就是圆一条弦，跟它的切线。啊，假设AC是一条弦aac，一条弦过a点肯定有条切线，你要切线切线，那么所形的夹角。就是衔接角，

这个衔接角就等于AC这个弧所对的这个圆周角知道吧啊，所所对的圆周角这个角是是相等的。当然，斜角角左边还有一个斜角角，左边看AD这个弦。它形成斜角跟这角c是一样的好吧，它这两个斜切角。角bac角bac正正正好等于角。a dc.是吧，然后角dca角DC正好等于等于这个这个角把这这个角弄一个这个这个。编个字母e吧，就角dae。叫dae好，这又写好了好吧，

这是它的方法。好，那接下来咱们看一下例13这个题例例13。啊AB是圆的直径。啊，这是圆的直径d呢，是圆上一点。然后过它做切线啊，过地点做切线，大家注意，只要这个切线跟弦所形的角就产生衔接角了。然后交AB延长线于c点。啊若dc da=1个DC啊，就AD和CD长度相等。则可确定圆的面积好，

那确定圆的面积的话，那主要就是看圆的半径能不能确定，只要我们把圆的半径找到就OK了，是不是？所以呢，接下来肯定要连接圆心和和切点。啊，这样连一下题案，一是已知CD长度啊CD的这个长度，那接下来我们来看一下。好它CD长度要知道要要知道要知道的话，那因为这个CD跟AD的长度是知道的，是知道是知道，也就说这个。这个大的是个等腰。

三角形对不对？它的等腰三角形。而且大家知道这个od跟这个CD是垂直的是吧，所以说选项一。大家知道这个AD跟CD是相等的。然后这个od还垂直于CD。啊，这个是垂直，为什么垂直？因为它相相切的。啊，另外那这个产生一个衔接角。啊，这个弦切角跟这个角它是一样的是吧？这个弦切角弦切角就bdc。

这个衔接角。啊bdc。这个斜角斜角等这个弧所对的圆的角就等于角a了。是吧，就等于角a。啊而角a跟角c呢？又又相等。角a跟角角c也相等，所以说这些都是等腰三角形啊，等腰等腰三角形。啊等腰三角形而且。而且大家还要知道是什么情况呢？然后这个圆心角正好是。圆周角的两倍知道吧啊，圆周角的两倍。

所以也就说这个角。bod正好等于二倍的角a。因为这个这个角。是圆心角。啊二倍角a，而角a呢？又等于这个角c。嗯嗯，角c所以这样的话就可以得到bod 1定6度，这个角c1定30度，这一定30度6度9度，因为上面是垂直嘛。这是直角三角形，上面这个是垂直的，就是d这块儿是垂直的，

就od跟CD垂直，所以的话，那角o意思又是角c的两倍。要要。两倍，所以一个6度，一个3度就写好了。好那6度3度63度的话，那么CD长度知道了，那其他长度都知道是吧？这个圆的半径就可以写出来是吧？因为它正好3度6度九九度嘛。3度69度，所以说这个半径r就是od的长度。啊od的长度正好是啊，

一比根号三比二嘛，一比二倍正好是三分之根号三倍的。CD的长度。对吧CD长度这样话就可以写写出来，所以说只要CD长度知道了。啊，那么这块儿od长度知道od长度知道了，那圆的面积就可以算出来啊，提问一是OK的。条件二是知道bz长度。b长的同理啊，如果BC长度知道了啊，那么BD长度也要知道，反正它这都等边三角形嘛，它也充分，

对吧？因为如果证明它这个是等于60度了。等于60，它这个就是绿色，这个三角形。就是要等边三角形，等边三角形BC呢，跟它是一样的一样，这个半径也可以确定出来，对吧？确定出来，确定出来，它这个也是成立的，也充分的。啊，

这是它的做题方法，看是否明白了。好，接下来咱们看一下切割线，定理切割线就是切线和割线，它的这个情况。啊，如果p是一条切线。过p点再做条割线，什么叫割线呢？如果直线跟圆有两个交点就是割线。好，那接下来就是PA的平方=PB×PC。知道吧PC平方等于PB×PC好，那接下来我们来看一下。

我们这个怎么去证呢？你知道吧？这个这个怎么去证的？你连接AB和这个AC，注意这个AC不一定过圆心啊，圆心不一定在AC上。知道吧，原因它不一定在AC上面。圆心那不一定在AC啊。好，那接下来咱们来看一下它的这个方法。方法，大家知道这个啊，这个表达式我们怎么去证这个这个呢？它其实用相似来证的现象来证，

大家知道。角pab。我给大家证一下角pab，这个是叫什么角？大家想想是不是叫弦切角，因为这切线跟弦所构成角叫弦切角。减角等于这个弧AB所对应的圆周角是不是等于角c？然后角p又是共用的。所以就可以得到相似，谁跟谁相似呢就？a pb.相似三角形。CPA.啊，相似于三三角形CP。

好，那这个就可以得到，是相似的。对吧，这样呢，就可以得到对应编程比例AP比上CP。啊，等于。啊，这个PB比上PA。对吧，就可以退出。PA的平方=PB×PC。啊，这个相似证的懂了吧？

好，这是给大家进行。简单的证一下，接下来咱们看一下这个题啊，已知圆和这个直线交于pq两点。啊，接下来咱们简单的画一张图。而这个圆的圆心正好在。圆的圆心正好在这个坐标轴上。是吧，那你看圆的圆心。然后在坐标轴上。这样就写出来了。好，这是它在坐标轴上啊，

圆的圆心，它正好在x轴上。啊，半径呢？正好为二的一个圆是吧？好，这是它的一个圆半径，正好为二。大家这是它的圆心。啊，半径正好为二。啊，这是三。然后半径为二，这是一了，

这是五了，这是零是吧？那半径r是等于二的，然后与y=m xy=imax，它正好是过原的一条直线。把它画画一条直线。y=imax。交pq两点。然后o呢，正好是坐标原点。则OP×oq OP×oq。是吧，按照刚刚咱们讲过的啊，这个切割线定理，我们要做一条切线。

就等于期限的平方对吧啊，期限平方当然大家还可以，这道题还可以，有个技巧就是大家取一个特殊的线。比如pq刚好是xx轴，就相当m正好为零是吧？这时候呢，大家做做起来更快一点。是吧，就更快就直接呢，你可以找到答案好吧，答案所以说这个题技巧呢，可以用特殊指法。你看这m正好等于0m等于等于零的时候，它这条线正好就x轴x轴那p点呢，

正好在x轴的交点q点，在这个位置，所以说这时候OP的长度正好等于一。oq长度等于五，还有就OP×oq。这样等于一×5得到15，这样就写好了是吧？用的特征法这个答案就选择c选项，用特征法来分析。当然，如果不用特征法的话，那大家不管它在什么地方，你做一条切线，这个切线在哪都无所谓了啊，就做个切线。

的切点是a点。做期限，所以大家用咱们的切割线定理就可以得到这个。OP×oq。这样等于oa的平方。好oa平面，我们看它这个oa怎么写，因为大家知道啊，这个圆的半径正好为根号二啊，圆圆的半径正好是二。原半径是二，那这段长度正好三。三是吧，等于三就拿三的平方。减二的平方就等于九减四也得到十五。

是吧，因为这个o到圆心的这个距离长度正好三，这个圆的半径正好为二，所以用这个勾股定理算出oa的平方。oa的平方算出来等于五，那么答案就求解出来，这个答案选c选项好看，各位同学是否明白了？只要涉及到切线和割线，再用切割线定理来进行求解和分析。所以大家按照这样的方法做就OK了。下面咱们看考项12双割线定理。双割线定理呢，就PA×PB=PC×pd，我们看这个图p是圆外一点，

然后做两条割线。然后它的乘积啊，就PA的长度乘以PB=PC长度乘以pd，然后它都等于什么这个双根线定义怎么去证知道吧？怎么证？都是相当于是你做一条切线。这条切线线，然后这地方就是e啊e，然后它都等于PE的平方。对于咱们切割线定理是吧？就是PA×PB=PE^2。PC×pd也等于p的平方知道吧，所以这样就可以写出来。好，那接下来咱们看一下啊，

这个题例15过原位点p作点的直线分别交AB。若CD这些点。则可以确定AB的长度。好，我们来看一下这个题，我们简单画个图。先画图，然后呢？过圆一点p。然后它这个做两条。线啊，一个是交于AB。一个交于CD。啊，它可以确定AB的长度。

啊AB长度。那调用一已知PC×pd的值，那这个调用一单独不可以是吧？条件知道PB长度，但AB长度到底多长？这个是无法确定的，所以条件二也不行。连起来就OK了，联合起来。联想企业，大家知道这个PA×1个PB。这样就等于PC乘以个pd。对吧，就说明。啊PC×pd这个值是知道的，

它不让求AB吗？求AB求AB的话啊，求确定AB的长度嘛。a ab长度，a长度，AB长度啊，那我可以。这个papa的话，我可以写成什么呢？写成PB。对吧，写成PB。因为这个p，它的PB长呢，告诉我们都用PB来表示对吧，

所以PA长呢，可以选择PB。减AB。然后再乘以PB。等于PC×pd。啊，也就说这个值它知道了。这是他知道的，然后PB的值知道PB值知道，然后就就求AB这一个未知数。对吧，就一个未未知数，这样就可以写出来了，好，那这样两写成分，

这些答案就选择c选项答案就求解出来了。而且他的做题方法思路，看是不是懂了？啊，接下来我们来看一下考项13相交弦定理。啊象限定理啊，在圆里面如果有两条弦啊，交一点。啊，就是交易点，那么就有ae×be就等于ce×de啊ce×de，而这相交线定理怎么去证的？你连接AC。啊，把AC给它连起来，

然后BD给它连起来，这样的话，大家可以发现啊，左边这个三角形ae。c跟这右边的三角形啊bed，这两三角形是相似的，为什么相似呢？因为这都是圆周角，所以角b和角c是相等的。角b角c相等角a跟角d是相等的是吧？就可以证明它相似，这就可以得到三角形ACE。相似于三角形。bde啊bde。啊，

这样就可以写出来，然后接下来我们就可以得到这个ae比上个be。然后这样的话，我们又可以得到它相似相似的对应，边成比例是吧？对应边成比例ae比上de。啊，就ae这个边比上de这个。那好，就等于什么等于ce比上be。然后咱把这个比值写成交叉相乘相等。是吧，交叉相乘，这两个相乘等于这两个相乘，它就得到了这个向右弦定理。

好，那接下来咱们看一下它的这个。题啊啊，如图两个同心圆，然后大圆的弦AB就是大圆，有个弦AB。与小圆相切一点p点啊，这个p点是切点。然后大圆的弦CD也经过这个p点。则两圆组成圆环面积为64派，圆环面积就相当于是用大圆的面积减小圆面积。圆环这个环状的面积。就能派大r方减小r方。就派大r方减小r方。然后条形一这个CD长度正好等于20条形1 CD长度等于20啊。

CD的长度20，然后第二个pd pd的长度等于四是吧四？啊，那么这是啊，条件一和条件二那接下来咱们来看一下，单独肯定是不可以，因为单独条件一他只知道CD长度。这上头那那这个圆到底它大大小到底，因为这里面有两个未知数，那求不出来条件pd长度，这些小的知道这也不行。一个联合起来分析。啊，两样分析，两样分析法，

从这个大圆的角度来说，这是相交弦。是吧，线上显示器相当于CD。就是PC。乘以一个pd。这样等于一个PA×1个PB。是吧，这从大圆角度来说，看成相交弦。啊，这样的一个式子是吧？好，那这是它的这个表达式就是PC的长乘以pd。这样等于AP×PB啊，

这是它的这个式子。然后接下来接下来它这个p点正好是切点。啊切点切点的话，那肯定是AP跟PB的长度，它应该是相等，对吧？所以在这里面，它这个切线嘛。啊，这个切切线切切点切点，它肯定是对称的嘛。啊对，因为这两个圆是同心圆。啊，这两圆是同心圆，

同心圆也可以证明很好证这个OP 1连，这是垂直的是吧？这肯定垂直。这句话，然后这个AP跟PB它走的是对称的，知道吧？就AP和BP长度，这两个是相等。它是对称关系，因为两两者是同心圆。啊，那这是它的这个方法。然后接下来我们呢，就可以把已知条件呢带到里面去啊，带到里面来来进行分析。

因为pd长度等于4 pd长度要为四。这pd长度正好为四嘛，然后PC的长度就等于20减掉四。啊20减二四，然后就可以写成PA的平方。是吧，就等于p1的平方，然后这样就可以得到p1就等于八。啊PA就等于八，啊PA=8，那接下来我们看这个圆环面积等于大r方减小r方，那我们再连接一下这个。ob是吧？联系下这个ob，所以大家可以发现s环状的面积就等于派大r方，

大r的话正好是ob的平方。小r是OP的平方，对吧？正好写完后正好是PB的平方。b平方因为PA和PB相等都等于八，所以就得到64派，这两写是充分的，这个答案就选择c选项。好，这条做题的要点和方法看是不懂了啊，那通过这道题，大家呢，要掌握它的考试内容。就是用咱们讲的这个割线定理。然后和相切的这个特征来进行分析和思考。

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