036.专项九-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:35:13

好，我们来看第一题周长相等相同的圆正方形和正三角形，面积大小是什么情况？那比较大小或者求比例的时候，我们可以用特值法做好，那么这是一个圆，这是一个正方形。这是一个三角形好，那我们来看一下，假如它周长，它都为一啊，我们来看看周长，如果都为一。看看它的这个特征啊，或者说我们可以设周长以这个三角形呃为核心是吧？

我假设三角形的边长为一。那么，我假设周长都为三。啊周长都为三好，周长为三的话，那么这个圆它的半径r我们就可以看出s圆就写一个圆圈儿啊s圆。x元就等于派r方。它的r就等于周长除以二派。它的半径就等于周长，周长三÷2派就可以了。好，然后这样就可以得到是九÷4派方啊，这个除以四派，然后第二个我们来看一下就是正方形。正方形就等于边长的平方，

边长的平方就是四分之三的平方，因为它周长要为三，它的边长就是四分之三。然后得到九÷16。好，然后再看三角形，三角形大家知道，等边三角形我们讲过它的面积计算公式就四分之根号三倍的，边长的平方好，那这样就可以写出来，我们可以看这两个分式分子都为九。所以在这里面，我们就可以把它变成九边九上下，都乘以个三倍根号三就行了，三倍根号三就12倍的根号三。

好，这样话，它的分子都一样，我们就比较分母的大小情况，大家知道派是三点多三点多，那这个分母比较小，然后这个呢是中间的，然后根号三是一点七。啊一点七所以这个乘完后应该比这个16要稍微大一点儿，所以在这里面我们就可以推出它的这个面积的情况，这个分母越小，它的面积呢越大。所以在这里面，我们就可以求它的面积值好，我们就可以得到圆的面积。

大于正方形的面积，大于三角形的面积，所以这一呢，应该选择a选项好，这是给大家强调的这个特征，看是不是学会了？好，那这道题主要考察周长相同的时候，那么它的面积的大小，如果要改成这面积要相同的话，它的呃周长大小，我给大家进行。呃，总结一下好吧，这道题题不重要，

关键大家要把总结的东西要弄清楚。好，我们把总结东西给大家进行写一下啊，写一下好，如果要周长要相同。好，那么这个圆的面积是最大的，这是圆圈儿圆的面积大于正方形的面积大于三角形的面积。啊，如果要面积要相同。这个三角形一定是正三角形啊，等边三三角形好面相同。好，那么它的周长大小周长，我就用c来表示。

周长那么面相同，那么周长的话，那么就反过来三角形的周长最大的，然后呢圆的周长是最小的好吧，在面积相相同的情况下。啊，周长情况，所以通过这个我们可以看到这是正三角形正方形。还有比如说三角形三条边正方形四条边，还有五边形六边形七边形就是边数越多啊，边数越多，有时候周长相同的时候边数越多，面越大好吧，给大家总结的规律就周长相同时。我。

好那么边数越多的正多边形。它的面积是越大的。像这个圆圆可以把它看成无数多条边构成的啊，一个多边形是不是？所以周长相同的时候边数越多那么。那么，它的面积就越大好，这是给大家强调的这个特征和方法好，那这是平面几何给大家进行总结的，下面咱们再说一下立体几何，那立体几何就是我们要掌握正方体。然后等边圆柱还有。球体它的这个特征是吧？所以在这里面我们来看一下，如果体积要相同。

这块儿我就不再推了，题要相同好，那么球体的表面积呢是越小的好吧，就球体的表面积。表面积小于等边圆柱。啊，这个就是球体好吧？这个代表它表面积啊，表面积小于这个正方体表面积啊，表面积如果体积相同的时候啊，那么这个球体它的表面积呢是最小的。好，如果表面积相同的时候。表面积相同的时候，那么球的体积是最大的v球大于v，

这个柱一定是等边圆柱啊。啊大于正方体，啊大于正方体，好这一块呢，我们就不再推了，大家呢，就把这些结论给它记好，平面几何，它主要考察周长和面面积。然后立体几个主要靠它体积和表面积，那么这类的大小关系要把它记好。下面来看第二题。第二题到底是什么样图形？将一张矩形，然后对折再对折，

沿着图中虚线剪开，所以大家呢？可以自己呢？呃，演示一下好吧，就拿这个矩形。啊，这是一个矩形，从中间给它折折上来啊啊，折到这个小小一点的是吧啊，小一点，然后再从中间呢再。折折过来。折过来，然后呢？

它沿着这个角给它剪剪掉啊，剪掉，然后呢？再给它进行拆开啊，拆开好那么拆开以后它到底是什么图形？好，拆开后大家知道，拆开以后就把它再还原呗啊，再还原是不是？所以在这里面大家可以发现这个拆完以后。好，如果把纸给它还原还原右左边给它对称一下。得到这样的，然后再把下面给它哦哦还原回回来还原回来，所以得到就是菱形是不是所以得到就是个菱菱形？

把它再展开好吧，展开展开其实就是这样的。啊，如果把这个画出来，就这个呃，这这一个角啊，这个角，然后这个角。这个角这个角啊，就展开就这样的好吧，这是一这一部分，然后二这一部分呢，就展开是。是周围的一个矩形，中间呢，

扣掉一个菱形好吧，如果问二到底什么形状，二形状就是啊，一个矩形中间扣掉一个菱形。啊，这样的一个特征。下面我们来看一下第三题，这个题它到三个顶点，距离相等的点到底是三角形的什么心啊，那么到三个。定点距离相等，那么肯定是三角形的。啊，这个外心它到顶点距离相等是外心。对吧，

好外形正好是三条边的。垂直平分线也把它称为中垂线交点，这样呢，就选择a。选a那么三条高的焦点，一个说三条高的焦点是要垂心垂心它，它这个高焦点三条中线焦点是重心。在那角平行，焦点是内心。三条角平线交在内心好，内心是到三个边的距离相等啊，所以所以a是外心外心到三个顶点距离相等。那么，内心是到三条边的距离相，等到三边距离是相等的。

到三边距离相等好吧，所以这是给大家强调这个特征，这三角形内部它这几个心啊，给大家去分析一下，通过这个题就把三角形的心给大家分析完了。然后第四题，然后这个在三角形BC中，如果角这个aed aed这个角aed等于角b。等于角b那么这个de长等于6 AB长等于10 ae长等于八那么则啊BC的长到底为多少？那这道题主要考察相似。相似有三角形ade。相似于三角形a cb是不是？所以在这里面，它相似为什么相似？你看它们角a是共用的，

这两三个角a是共用的，肯定相等。然后角e这个角跟角b这个角又相等，所以三角形两个三角形只要有两个角相等，那么它三角形就是相似的相差对应边就成比例。好吧，对应边相比这个ae比上AB。就等于de比上BC。好就推出那么ae的长是8 AB的长是10d长为六就可以求出BC的呃，这个长度好吧，然后这样就可以写出它的这个数值情况。看这块儿是不是学会了好，那得到BC的长度就等于二分之十五好，大家呢，就可以求解一下啊，

就可以求求解一下啊，求出它的这个。结果就等于二分之十五，这然选择c选项好，那么呃，出现这个相似相似的模型，我给大家进行总结一下啊，相似。它的模型。它模型一个是金字塔型。这叫金字塔形的，那么上面这个三角形和下面这个三三角形好，那么这个相似。是吧，然后金字塔型的，

然后呢？或者说那么这一块儿。是一个沙漏型。沙漏型上下这两个是平行的平行，那这两个也相似，这叫沙漏型，这叫金字塔。啊，这叫沙漏。呃，然后呢？呃，这道题它所用到的就相当于什么情况呢？相当这样的一个一个情况啊，这样一个情况，

比如说那么这个角。跟这个角是相等的是吧？这个角跟这个角是相等的啊，这样的一个特特征是吧？是吧，这个角跟这个角相等，那这样话歪过来的，这样一个情况歪过，这样一个情况，如果这样加上一个眼睛的话，那么像一个鱼头是吧啊，所以说这就叫做鱼头型。好是吧，那么再加上一个眼睛像鱼的脑脑袋一样，是不是所以这一块儿啊？

就是比较形象可以看得像鱼图形，总共这三种相似的模型。好吧，前两个比较简单，我们就没考这道题，主要考察这个斜过来的一条线啊。好，第五题第五题，这里有三个小圆周，长之和大圆周长的多少倍？好，我们来看它的半径啊，如果这个小圆半径是r1，这个小圆半径是r2，这个小圆的半径是rr 3。

好，那么它是r3，好在这里面我们可以看出它这个直径就等于大圆的直径是吧？好，这个直径是二倍的r1，这个直径是二倍的r2，这个直径二倍的r2。r3整整个大圆的呃，这个直径大圆呢，我就用呃r来表示，这样就推出r就等于r 1+r二+r三。好，那它周长之和那么三个小的周长之和就是等于二派r1，加上二派r2，加上二派r3。

其他正好等于一个二派r是吧？周长正好是相同的啊，周长是相同的好，这是它的这个特征，看是不是学会了？好吧，这周长值正好跟它是一样的，所以第十题正确答案就选择b，看是否学会了好，那么通过这道题，大家要知道不管画几个圆啊。不管画几个圆，它的周长都相同，你看这里面画了三个小圆。那也是，

也可以是一条直径画很多个，这是一个小的就一个小的，一个小的一个小的啊，再画一个是吧？好，不管这画几个圆，那么在这里面。它这个都有这道题的一个结论好吧，它的周长都是一样的啊。然后第六个求它的中线长的取值范围是多少？好它给的AB=5 AC=3啊，我们画一个图。像AB这个边长一点是5 AC这个边长一点是三啊AB这个边长一点是5 AC这个边长呃，短一点是三。好，

那么中线什么中线就这个点是终点，这个点是终点d。啊，终点d好终点d，我们为了求它的长度取值范围，我们可以利用三边的关系，我们做一个辅助线，我们可以在旁边再找一个终点e。旁边再找一个终点e。那旁边再找一个中点e好，那么中点e，然后在这里面大家呢，就可以看出在这个三角形里面，我们用三边的关系来做好不好？这个ae的长度就等于二分之三啊ae的长度，

它等于二分之三，这样的特征，然后AB的呃，这个de的长度，因为de长度大家知道这两点它都是中点。两点都是中点的话，那这就是三角形的中位线，中位线应该等于这个AB的一半儿，就等于二分之五好，那这道题为什么想到找中点呢？我给大家强调一下，因为一个中点，它的力量比较单薄。他很难分析，所以我们以后在旁边再给找一个终点啊，

所以以后考虑遇到一个终点，看需不需要在旁边再找一个终点啊，然后呢，这两个终点搭配起来。强强联合，就可以形成题目的，解题的突破口。接下来，我们用三角形三边的关系AD。小于de+ae。大于de减去ae，然后这样AD我们就可以得到呃是二分之五，加上二分之三。大于二分之五减二分之三就得得到是一到四这样的一个关系是吧？就可以得到它是一到四这样的一个特征。

看是不是明白了好这道题啊，就是利用中线范围，我们就结合三角形三边的关系来进行分析和求解了。好，第七题这道题大家可以做一个结论，欧米伽是边上唯一的一个正方形好，这是欧米伽。这道题在咱们呃一八年考试里面都出现过啊，这道题可以可以把正方形换成任意四边形，它不要求平行四边形，也不要求是矩形啊或者什么的任意四边形都行啊。啊，它的边长为a的一个正方形，然后以它的四边中点为顶点，再画一个正方形。

再画一个一个正方形。是吧，这样正方形，然后里面呢，再以它各边为中点，再画一个一个正方形。再画一个正方形好问里面这个呃长度是多少？大家要注意每画一个正方形。啊，它面积就是原来的一半儿好吧，面积是原来一半儿这道题，咱们在一八年考的，大家回去做这些同学就知道，就是咱们这个这个题啊，它的一个变形，

他他说画了无数多个。这个图形问无数多个图形面积之和多少，它要结合等比数列一个求和好吧，等比数列一个求和，所以在这里面大家注意每画一个。那它的边长应该知道这一段儿，这段儿是二分之a嘛，这一段儿也是二分之a，然后这一段儿的长度我们就可以写出来，这段儿长度正好是二分之根号二a。是吧，这段长度正好是二分之根号2a。好，这段长度它是二分之根号2a是吧？然后这段这又是它的二分之根号2a，

所以这这欧米伽二它的面积。面积应该是原来的四分之之一啊呃，面积是原来四分之一，然后它的边长啊，边长边长，我们看一下。边长的话，每次画的就二分之根号，二分根号画了两次就是二分之一，然后再乘以四，因为它四条边，它要求它的周长是吧？求它周长啊，周长我们就可以写出来。所以应该得到是b选项啊，

就四分之a方和二a啊，这道题这道题可以改成其他任意四边形啊，就连接任意四边形中点所得的图形的面积是圆面积的一半儿好吧。就是连接连接四边形。各边中点。所得。四边形面积。为原来的一半。好连接四边形，各边中点所得四边形的面积是原来的一半儿好吧，这样就写好了好，这是给大家强调的做题的方法和思路，看是不是学会了？好，那我们来看第八题。

这个题它是由三个直径为一的圆两两啊相垒立在水平地面上好吧，这给它垒在一起。就相当于它是呃也相切，然后雕塑的最高点。到地面的距离到底是多少啊？到地面的距离好在这里面，我们呢，先求出三个圆的圆心。先给它连圆心好，连接圆心以后我们看一下中间这一段儿，它的高中间这一段儿，中间这一段儿，然后呢，再加上两个半径，为什么加两个半径呢？

大家可以看，上面是一小段儿半径，下面又是一小段儿半径，是不是？所以把这个最高点到地面的距离，把它分为。两段红色的。和中间这一小段儿绿绿色的好，那么中间这一小段儿正好是这个等边三角形的高是吧？所以这道题所求的距离我们就可以写出来啊距离。距离就等于好，那么这个一段高一段高是不是边长的二分之根号三倍啊？边长的二分之根号三倍好，这个等边三角形，它的边长正好是2r。

然后乘以二倍根号，三是这段儿高，这段儿高，然后加上上上下两段儿红的，加上2r就行了，好，那大家知道这道题它的直径为一就相当于2r为一，把它带到里面去就行了是吧？带到里面就等于二倍根号三。加上一就等于二分之二加根号三好，这样大家就选择a选项就求解出来了好，这是给大家强调的这个特征和方法。好，如果再给它摆一层，大家呢，

也要会分析好吧，比如说这是底部这第一层呢，它三个要两两给它切在一起。三个，然后这一层呢摆摆两个。他们这个都是相同的，然后这上面再摆一个是吧？然后都是相切的，然后呢？如果摆三层摆三层，求最高点离这个地面距离。其实道理还是一样，明白吧，道理还是一样，然后还是先连接这个圆心。

先连接这个圆心，这也是一个等边三角形明白吧？等边三角形等边三角形，你就求出它的高。把这个高给大家求解出来。高求出来以后，然后再加上上下两个半径就可以了啊，上面一段红的半径，下面一段红的。这个半径好吧，你自己列式就行了啊，所以说不管3%层百分之几层，它原理都是一样的好吧，所以如果多个圆互相挨在一起相切的时候，那这时候大家一定要会求里面的一些长度和距离。

啊，要会分析。下面我们来看一下第九题，这个题好，那么它的这些都是等腰直角三角形，既然都等腰直角三角形，那肯定所有等腰直角三角形都相似的是吧？所以这时候我们可以用相似做。啊，可以用相似做好，那么它说五倍的BC=CD就CD是BC的这个五倍。是吧啊，五倍，然后他说a cd的面积为75，那么则BD的面积到底是多少？

那显然这个a cd。相似于三角形bde，记住所有等腰直角三角形都相似，因为它角度都是一样的啊，所以它这个都相似。相似的话，那么它面积比。就是a cd。比上BD。面比是不是等于相似比的平方是吧啊？相似比平方相似比平方，我们就拿。拿这个斜边比吧啊，都拿这两个等腰直角三角形的斜边。斜边a cd，

它的这个三角形斜边是不是AD啊啊BD这个三角形斜边是BB BD啊它的平方？好吧，就等于AD比上BD的平方，这样写好了好，那在这里面我们可以看这个AD的长。正好是根号二倍的呃，这个CD的长是吧？所以它这样等于根号二倍CCD啊，这个a dad正好是CD长的根号二倍。好，这个BD BD呢？呃bbd的长。好，那BD的长大家可以发现正好呢呃，是这个因为这个BC是它的这个五分之一嘛，

是不是所以在这里面大家可以发现正好是？五分之六倍的CD是吧？五分之之六倍CD好，所以说这个BD BD就等于五分之六倍的CD。好，这是它的这个特特征，好，这样大家把city给大家约一约啊，约一约约约我们就可以得到它的数值情况啊，约一约。好月月，然后这个就可以得到这个五给它写上了，就25。对吧，这个25的这个平方，

然后这个就得到18。啊得得到18就等于二二十五比上十八二十五比上18，然后它题目告诉我这个三角形面积为75。如果这个要是75，那这个呢？就是18×3就是54，所以三角形BD它等于54，这个答案就选择c选项就行了，所以这道题我们就采用。呃等腰直角三角形相似，它面之比等于相似比的平方，用这样一个方法做就可以得到它结果。啊，对应边找好就行了啊，找好然后想办法给它转化，

给它抵消一下。好，那接下来我们可以试例这个题目，某正方形的面唯一能盖住正方形的最小圆，其实像这道题它没说是考正方形的什么圆。那我们就可以理解出这个考察正方形的外接圆。对吧，所以我们就像咱们立体几何一样，考内切球外接球，它从来不告诉你是什么球，你必须通过读题自己理解和判断它考察的什么。这道题也一样，这道题的话，大家可以发现它这个是一个正方形，它盖住正方形最小的圆，

那么肯定是这正方形的外接圆。那你看正方形的面也为一，说明它边长就为一，边长就为一，那这个对角线对角线就是这是一，这个是一嘛，对角线就是根号二嘛。这个根号正好圆的直径，所以圆的半径就等于二分之根号二，它的面积就等于派r方是吧？所以就得到是二分之派，这个呢，就选择b选项，这就考察正方。正方形的外接圆。

好正方形，它的外接圆好，这是给大家强调的这个特征和方法。好，第11题，这里是呃正方形的一个外接半圆就有点像咱们讲立体几何的正方体。它的外接球和正方体的外接半球啊，这样的特征大家要会分析啊，在一九年考试就考了正方体的外接半球啊。好，那么他说这个半圆的直径ef=8啊，半圆直直径ef=8好正方形的abcd的顶点AD在半圆上。好吧AD。它在半圆上。AD它正好在半圆上好边BC，

正好在这个ef上，则这个正方形的面积到底是多少？这个正方形的面积值到底为多少大家呢啊？思考一下啊，正方形的面积值好，那这道题我们来看一下好，那么大家知道这是一个正方形，我们就可以连接圆心。和这个点连圆心和和这个点和点，如果这个高度是a呃，假如这个正方形的。呃边长为a为a这个oc长这一块儿就是二分之a，那这个就半径r是吧？我们就可以得到一个公式啊a方加上二分之a括号方。就等于r方。

明白吧，就等于r方，然后这个大家要能够记住，那么就更好，这样r我们就可以求解出来好吧，所以在这里面大家呢，就可以把这个r给它解出来，就等于二分之。呃，这个把这块儿呃给它进行呃合并，这不是四分之a吗？四分之一的四分之五a就是二分之根号五倍的a是不是二分之根号五倍a？好，那么由于它这个呃半径呃直径是八直径八半径就为四半径为四，就可以把这个a给它解出来是吧？

a就给它解出来啊r就为四嘛r就为四就等于八除以根号五八根号那么正方形的面就等于a的平方。就等于64÷5啊，64÷5好，64÷5大家就可以得到是十二点八。好，这个答案就选择c选项，答案就求解出来了好吧，所以这是给大家强调的这个特征好，那么通过这道题我们分析一下立体几何这个平面几何，大家会做这个辅助线。如果立体几何，立体几何，这是一个半球啊，我们就把那个公式说一说啊，这个考题到时候大家回去自己做。

好，假如这是一个半球半球，然后呢？这里面它有一个正方体。啊，这有一个正方体。好，这里面一个正方体，正方体，大家注意这个地方就是球心。连接球心跟这个正方体的一个，其中一个顶点啊，一个顶顶点好，接下来我们就构造啊，直角三角形。

好，这样一连好，我们可以看到这一段儿的长度，假设正方体棱长是a好，这一段儿长度是二分之根号2a。好，这一段长是二分之二a，这就是球的半径是吧？球的半半径，所以可以得到啊，这个a方加上二分之根号二。a括号平方等于r方这个推出r就等于二分之根号六倍的a好吧，跟这个题差不多，刚才咱们考试的平面几何？我们现在需要有一个归纳总结的思想，

把规律性相同的内容合在一起，大家可以发现，这个就是一个。立体几何，立体几何，那这一块儿是二分之根号a，这块儿是a，然后这块儿就求出来了，好吧，记住这个公式啊，给大家推导。这个公式刚才上一个题是考察完整圆，或者说给自己总结一个完整球，然后呢，这个是一个半圆和对应的半球，

大家要学会做辅助线。构造直角三角形来进行求解就行了啊。好，那第12题，它说ae的长度等于12 BC，长度等于六。啊a长12b长呢为六，然后d长呢为三，啊d长为三角c=135度。角c是等于130度，角b呢是9度。角b这一块儿，它是90度角角b，然后ae呢？跟这个CD是垂直的ae，

跟CD是垂直啊ae，它跟CD呢？这两个垂直求这个四边形呃abcd的面积到底是多少？大家想一想它的处理用力方法，这个四边形不是一个不规则四边形，大家想想如何来处理这个四边形？好，我们前面讲过，遇到这个不规则四边形，要么就连对角线把它分割，但这道题大家想想，如果连接AC的时候。那左边这个三角形啊，这个不好分析是吧？不好分析，

然后因为AB长，它是不知道的，然后这个ce长这块儿呢，也不知道。是不是所以这个不好分析，这道题就告诉大家内部分割不好分，要向外进找向外找的话，你把这个两条边给它延长，延长的话就转换成。一个三角形相减来分析四边形，它的面积情况好吧，所以假如这个延长延长就是变成f点。好吧，变成f点，然后这一块我们来看看，

这时候我们就可以拿用整个大三角形的面积。是吧，大三角形的面积减掉这一块儿啊，它就就可以得到这个四边形，它的一个面积值看是不是学会了，是不是掌握它的方法？好，那接下来我们就写一下四边形abcd。我们就可以用大三角形adf是吧？减去三角形bcf是不是这样的？所以可以用adf啊。用adf这个三角形。好adf这个三角形减掉bcf，这样就可以了，然后这个adf这块儿还是不好求不好求，

我们把它拆。因为这地方ae是一个垂直的，就作为一个高了是吧？作为高，所以给拆成三角形ade。那AA de就可以用呃底和高来算，它的面积是不是？然后再加上这个三角形的面积啊，这个三角形afe。好afe，大家知道角c=135度135度，那这个这个角就45度，这个角45度，那因为这个b点也是垂直的嘛。b点也垂直的话，

角f也是45度，所以说这个aef就是一个等腰直角三角形，然后再减去一个bcf。好，那接下来我们来看一下这个ade就可以写成二分之一底乘以高二分之一三乘以十二底乘以高。加上啊a。aef啊，aef好，aef我们看这个三角形，它怎么求解呢？我们来思考一下是不是，然后这个是是是三角形，这个三角形是不是等于二分之一底乘以高啊？所以在这里面，大家呢，

就可以求解出来是不是？所以我们呢，就可以写它的这个二分之一底乘以高来进行计算和求解。好，因为刚才咱们讲了这个三角形aef，它是一个等腰直角三角形等腰直角三角形，所以ae的长度跟fe的长度是一样啊。就ef就等于aae明白吧，所以它等腰直角三角形就12×12再减去这个bcf bcf，它也是一个等腰直角三角形，它这个边长这个BC边长是六。有二分之一六×6好，这样就可以写出它的结果好吧，然后呢，这个就就得到它的答案了。

然后算出它的结果等于90减掉18就等于72。九点72这个答案就选择a好，那么遇到四边形，要么是从内部来分析，要么向外来分分析好吧，内部连对角线把它分割，看能不能做出来。如果不行，然后把它往外啊扩展往外扩展，然后用三角形来分析，总之不规则四边形都要啊，采用三角形这样的特征来求解就可以了。第13题这个题啊，第13题每个四边形都是平行四边形，这里面啊都是四边形，

其中三个面积分别为十，15，24，那阴影部分面积到底多少？这道题大家可以采用比例法。假如这个阴影面积。是xx，你可以上下比，也可以左右比都都行好吧啊，如果上下比的话，就十比上24=15比上x。那这是上面比下面，这也是上面比下面，然后这样就可以写出它的这个结果啊x就可以解解出来。当然，

也可以左右比好吧，左右比也可以上上下比都行，左右比十比15=24比x。这个都是可以的好吧，所以在这里面大家呢，就可以求出它的数值来，所以这个很好求，就得到36。啊，得到36，然后答案呢？就写写出来了好，这是给大家强调的做题的点，看是不是学会了正确答案，就选择c选项。

下面我们来看一下第14题，这个题它这是两圆是外切啊呃，直径分别是15和五啊。注意，这是直径，然后AB分别切圆。这个切线，这个AB相当于是两圆的公切线，听到没？两圆的公切线跟这个圆相切于a点跟这个圆相切于b点。则这个梯形，它的面积和周长到底多少好？要求梯形的面积大家可以发现，因为这个切线，这个角a这块儿都是垂直的，

是不是？角a角b都垂直，所以这道题它是一个直角梯形啊，直角梯梯形，然后这个o1o2。啊，如果这个圆的半径是r1，这个圆的半径是r2，这个o1呃oo 1撇。oo一撇就等于r一加r二，是不是等于r一加r二？好，那么这个第一个圆的半径是二分之十五，第二个圆半径是二分之五，所以又得到是十。

这样就写好了好吧，所以oo 1撇就得到是十这样就写好了，写好接下来我们再来看一下。大家看我们要做一个辅助线，构造一个直角三角形，明白吧？好过b点，你做oo 1撇的平行线，讲到这是c点。啊，这个c点啊，这个这个BC要平行于。BC.要平行oo一撇啊BC要跟这个是平行的平行，大家看一下这个AC的长度AC的长度就等于r一减r二是吧？

就等于二分之十五减二分之五得到就十五。得到就是5 AC的长度，然后BC的长度就等于十，因为BC长度等于oo 1撇，它就等于十，这样话我们就可以把。这个AB给大家求解出来，是不是啊？就可以把AB的这个这个数值啊给大家解出来啊AB，我们就用勾股定理做嘛。啊AB的长度AB长度就等于根号下。啊啊AB的长就在根号下BC的平方。减AC的平方是吧？所以这样就可以写出来结果啊啊，所以就等于BC的平方注意BC是斜边，

不要给画错了BC是斜边。好bc的平方就等于100-25，就等于75，75=5倍，根号三啊五倍，根号三好，这个ab其实作为这个梯形的一个高，因为这个ab它是垂直的啊，跟上下底垂直。好，它的面积就等于上底加下底，上底加下底就相当于是这两圆的半径相加，上底加底乘以高除以二。然后这两圆呃相相加半径相加半径相加等于十÷2得到五。五乘以个五倍根号三就等于25倍的根号三。

然后它周长，我用c来表示周长等于四个边长相相加是吧？四个边长相加这边相等于r 1+r二。然后然后再乘以个二。为什么呈现上看这个ao？BO 1撇是等于r 1+r这个oo 1撇又等于r 1+r二是不是这样的又等于r1+2，然后再加上AB的长度？你看AB的长度，这样就可以写出它的这个数数值关系啊好，这就得到是20，加上AB+5倍根号三。提出一个五就得到四，加上根号三，这样就写出来了，所以这样做出来答案应该选择a选项，

看是不是学会了通过这道题，大家要掌握的特征就是要会做辅助线，构造直角三角形。然后呢，找到它的这个三边的关系，然后再把它看成一个梯形，这个梯形呢，就是一个直角梯形啊，利用上底下底乘以高除以二算面积，然后。然后最后再算它周长就可以得到它的结果。好，那么第15题如果有两边长固定啊，那么它只要用一个和一个差就可以了好。好吧，

一个和一个差就行了，好吧，就这个第第三遍要小于它的和大于它的差，知道吧，如果它要是那个什么？啊，另外两边固定又小于另外两边的和这另外两边的差好吧，就这样。就第三遍消息，我就写的比较简单，就另外两边的和再另外两边的差。好像这个题这个它说周长为偶数，周长为偶数，大家还要知道奇偶性好，这里线性还有奇偶性好吧，

奇偶性。呃，知道没有，我说那第三编第三编假设是a好吧呃，第第三编啊，假设是a，那就给大家画个图吧。加这个是四，这个是二零零一，这个就是a，反正用c表示也也行，这个就没啥事好吧，用什么表示都可以。那现在a+4加二零零一，它要为这个偶数。

没有说那说明a这个值啊a的值，因为这二零零一是奇数嘛，四是偶数嘛，所以a1定要为奇数。啊a量为为这个基数。好AV，记住a还要满足什么啊？小于二零零一加四，大于二零零一减四，所以a小于二零零五。大于一九九七是吧？大于这个，然后这个自己选嘛，这个a就等于一九九九。二零零一零零零三好吧，

零三这三种情况，这个呢，就选择a这样写好了好吧，这个呢选a。就首先a是奇数，另外在这个范围里面，大家用三边的关系来进行分析和思考。好，那接下来看这个题好吧啊，都看这个题。好那么一个正方形的木板啊，然后做无滑动，不能打滑它来滚动顺着方向啊，顺着方向。如图所示，

第二次滚动中，它滚动两次，第二次滚动中呢，被它电住电住，它就停了停了，然后呢，这个成三组角则木板滚动过程中点a经过的路径长度是多少？点a经过路径的长度，大家想一想。好，那第一次滚动的圆心这样c点啊，这个大家做做没做的同学赶紧做AC，为这个半半径是吧？这个你自己想想是不是这样的？看一下，

然后滚动到这个点。然后接下来它的这个弧是这样的。啊，这样的一个弧，你自己想想这样的一个弧是吧？它滚动的角度正好是9度滚动角，正好是9度。这样这样为九路。好看，这个懂了没？正好是9度。好，这第一次都听懂了啊，第二次滚动是以b点为圆心。b点为圆心，

是以这块儿AB为半径，它滚动的角度是60度，你自己再想想滚动角度是60度。自己再想想。好，那接下来咱们把两次加在一起就可以得到答案好吧，好两次加在一起就OK了。好，那接下来我们看它的路径长。就等于第一次它的四分之一乘以二派r，懂了吧？它的r是十啊六八十十，加上第二次滚动，第二滚动滚动六十度啊六度的话，它应该是。

六分之一圆周乘以二派rr正好是六好吧，它第二次它半径是六，你自己想想。好吧，看看是不是懂了，正好等于七派啊。这样等于七派直接拿选d好吧，直接拿选d。好，这是滚动的这个情况啊，考试还可以考考改成什么直角三角形，也让哪个哪个旋转旋转一次再旋转一次旋转两次，以后问哪个点走的。长度到底是多少？好吧，

这样的方法自己去想想一想。好，那接下来咱们看一下这个题，在三角形ABC中BC的边长为8 AD长为三，则它周长最小值到底多少？周长最最小值。到底多少？这道题可以换几个等价的考题来考啊，我给大家可以换几个等价题来考，我给大家画个图吧。假如这是BC，这是高，这是高是AD。高是AD好AD长为3a长为三。然后BG长为八。

be长为八要求这个周长到底是多少？求周长值。好，这大家可以发现，我可以把它转换成什么？转换成这个面积是不变的，所以记住三角形面积不变的时候，周长什么时候小？呃，记得在前面大家都上咱们几门课吧，前面咱讲过，如果周长固定的时候什么时候面积最大。哎，这有印象啊，这应该慢慢跟前面的知识点吻合性，

回头看看笔记啊，笔记我记得都讲过啊，讲过在咱们平面几个课上都有讲过。然后就周长固定的时候，什么面积最大，现在面积固定的时候，什么周长最小，不管求大也好，求小也好，都是边相等的越多啊，然后取最值哎，有同学就想到了是吧，想到这个原理可能有。你也忘记了是吧？就周长如果固定。

好要面积，它就有最大值。好面积固定周长就有最小值好，我们把这个绝招写下来好吧，面积固固定周长就有最小值。它都是一样的原理，各位同学记一下相等的边越多越取最值好吧，就相等的边。越多越好啊，相等的边越多越好，如果它没有要求，就是等边三角形像有的直角三角形，它要求直角只是等腰直角三角形，比如说它的直角。直角三角形，

咱们都做过啊，直角三角形周长固定的话，然后呢？什么面最大不是等腰直角三角形吗？前面咱们班儿同学都听过课吗？是吧？都听过，现在反过来看逆向思维又不会了。是吧，你看逆向思维又不太行。你看咱们正向思维，咱们不做了好多题，回头把笔记都看看啊，都看看你都都想想咱们讲过直角三角形什么周长固定的，还讲过一般三角一般三角形，

它没有要求变成等边三角形，你都能想起来吗？是不是都能跟上吧啊？周长固定的时候面积有最大值，什么时候最大嘛？你这都忘记了，是不是然后面反现在逆向思维又不行了，面积固定那有同学老师这里怎么说面积固定呀？嗯，没看到面积固定呀，你看底是固定的高。是固定，你说面积定不定啊？那肯定是定的呀，这上面面积是定的，

面积定的话，它这个就不用再推了啊，推的话就是用什么均值定理，最后也是相等，咱们证明这个不都用均值定理证吗？为什么这样？咱们课堂就没时间震了啊，回头再看看好吧，用精神定理一震就行了，很简单。矩形定理去去去证明嘛啊，矩形定理去证明好去去证明去证明的话，那这个就证出来好吧，这这这道题就这样的，或者这里还可以换另外一个方法，

各位同学换另外一个方法，看看这样换你能不能想到？BC是固定的，听好了啊，一个是刚才换成三角形，这两句话都把它记好啊，正向思维逆向思维，这样你们就学习就就成绩就提上来了。然后另外一个什么呢？另外一个点在它平行的线上运动，听好了啊，换另外一个方向，现在换另外一个题了啊，换另外一个题，比如说这条线跟它平行BC是固定的，

不能动啊a点呢，是在它。在在在什么在这个平行线上运动，你平行线运动求AB+AC距离最小，求AB+AC距离最小。求AB+AC距就要求啊，求这个AC+BC最最小。这叫咱们前面讲过对称是吧？对称光学反射这个平行也可以对称，你把c点呢，应该一定要对称，我就现在我主要是跟正什么正为什么a在中点好吧，我为什么正除了用矩阵定理正之外，还可以用对称正条条大路通罗马。马上看这数学一下就学灵活了，

知道吧，然后这个做一个对称点，做对称点，这样一连一连一连那样a点，可能在这个位置收是吧，可以在这个位置收，这是AC+b最小。你看是不是我用证明为什么有同学说老师为什么AB=aaac最小，你可以用前面的截成正也可以用对称正呀，真的，你这怎么又忘记啊？动点到两地间距离之和最小，怎么又忘记了？你看一讲就就又全忘了你看。对称求最值吗？

怎么又忘记了？你看我跟正面a就为什么中点是不是？你看这这一对称，因为它平行嘛，这一对称这一连那肯定这一点就中点了，你自己想想嘛，那对称到c1撇，你自己再琢磨琢磨是不是中点？你自己再想想是吧，想想或者说a正好在BC的中垂线BC有个中垂线中垂线跟这个平行线。焦点的位置中，垂线跟平行线交点的a点在这是最小的，这个能懂吗？啊，能懂那这道题就会做了，

那这里直接就口算了啊，咱们现在勾答案原理原理重要答案不重要，原理重要这道题两个原理，各位同学一定要记住啊。一个是这个周长固定面积最大，一个面积固定周长最小，这是一个原理，它都在相等边越多，让边越越相等，这都是取最值第二个原理就是对称原理啊，第二个原理各位同学把图给我画好，这样你学数学才能一通百通，懂了吧？然后这个这个两个箱子，两个箱子，

那下面答案都很简单，原理懂了，答案难道不会做吗？b且总长是八总的八，那这个长度不是四吗？这个长度它也为四吗？长也为四，这个高是三高三，那这个是五，这个是五。咋算口算都能算出来吗？b的眼睛都能算出来吗？三四五三四五嘛，你看这个三四五三四五我给你证明啊，所以用两个角度证为什么AC和BC相等时那么取最值给你证好了啊？

验证好了。啊aaac和呃AC应该AC。加上AB对吧？AC+AB。刚才写太快了AC+AB。是吧，就AC和AB相等时取最值啊，就是ACA AB+AC啊，最小最小，咱们讲过一个点在一条线的运动嘛，到两定点距离相等的光的对称和反反射嘛。就对对称求最值嘛。啊对称求最最值。好吧，对称就这个啊，

刚才写的稍微快点，这字母把它改改就是AB+AC要最小就一个点在平行线上运动，求AC加。AC+AB最小啊，就这样当AC和AB相等时，它取最最小值好吧，取最小值好了，那这个题答案自己做吧，答案正好在18好吧，答案一下来看。一秒钟就就够答案好你，你用这两个任何一个结论都可以啊，都可以都都听懂没有这两任何结论，一个是用这个咱们前面学过逆向思维，做大家把它记在书旁边，

另外一个呢，就用对称来求对称，因为解析呢这两个。最关键的精华没有写上，一定要把它记下来好吧，所以课堂上给你讲出来啊，这两个精华所所在以后，它当求周长最小时或求面积面积固定，比如一个三角形面积固定，问什么周长最小，那就知道怎么弄是吧？然后呢？如果要周长固定求面最大，不管是直角三角形还是什么三角形，让它相等边越多越好啊，

大家把前面咱们平面几个讲课那几个题，你到回头再看看好吧？好，这个题咱们讲到这啊，这个题的是一个精华浓缩的所在啊，然后对称也行。接下来，我们看重新判断题好，第18题这个题我们来看一下，他说这个满足啊，满足这个到量。AB两点距离相等的直线l的条数啊，有m条好，那么我们看这个平面，这是a点。

这是b点好到AB两点的距离，相等的直线到AB两点距离，相等的直线那相等。直线有哪些？只要平行是吧？然后在这里面大家呢啊，就会看到它说是不到AB。两点的距离得相等。啊，就是它的距离呢，要要一模一样是吧？我们画一下它的图，找一下它的方法好，接下来我们可以看一下这个平行线，平行线看到a的距离和到b的距离是相等的，

是不是？啊，这个距离相等平平行。啊，或者说过AB的中点。啊AB的柱中点好过AB的中点，大家可以发现它到a的距离是这一段儿，再到b的距离是这一段儿。好，那这两段儿长度它也是一样的是吧？也一样，当然过中点也包括一个特殊的线中垂线。包括特殊的线中垂线。所以呢，到a的距离和到b的距离也是相等的，

是不是所以这个给大家强调这个特征，所以条件一它应该有很多条，所以条件一呢，它是不充分的。条件在平面中，三角形外部到各边距离相等的点啊，为m个啊外部。好，大家知道到各边距离相等点，一定要找平线，大家知道角平行线上的点到角两边距离相等啊角平行线。的点。到脚两边。距离相等。角平向点到角两边，

距离相相等的，咱们知道呃，内部三角形内部的点叫做三角形。啊，内心是吧？是内角平分线啊，内角平分线这里大家要找外角平分线，因为在三角形外部外角平分线，比如说什么是外角这个三角形？把一边给它延长。你看到那这地方就得到一个外角平分线。对吧，好外角平分线好，那在这里我们再把这个边给它延长。这个边给它进行延长，

然后这地方又有一个外角平分线，是不是？所以在这里面好，那这个又可以画一个外角平分线。好，那这个点好，这个点到这个边的距离垂直距离是相等到这个边的垂直距离，它们距离相等是吧？是吧啊，相等到这个边垂直距离，它也是相等，所以到三条边的距离垂直相等，所以另外啊，在这个位置还有在这个位置。它有三个点，

我就不再一一画了好吧，不再一一画要画出来是怎么画呢？画出来就这样画，画出来就可以把这个外角平行线给大家进行延长。这个外角平分线给它进行延延长，然后下面还有一个外角平分线，还有一个外角平平平分线，外角平分线，然后这个外角平分线给它进行延长。啊，一样的。好给它进行延延长。好那么延长以后我们可以看出它是有三个点的。好，这有三个好吧，

所以条件儿就可以得到三个，如果要算上呃，内部有一个，那么就四个好吧，内部一个就四个，所以现在它论外部就三个，所以条件儿。这个m呢，是等于三个点的啊，就找外角平分线啊，外角平分线这样一延长就可以得到它的这个数值了。好了，那这是给大家强调的做题的方法，看是不是学会了？好，

第19题咱们看一下a=2好，那么条件一我们看条件一，它说p点到圆上各点的最大距离为五，最小距离为一。则圆的半径为a，关键是条件一，不知道这个p是在圆内还是在圆外好，如果p要在圆外。p要在圆外p要在圆外是什么情况呢？看看啊，讲的p点是在这。现在的它到圆上各点的距离啊，这是圆心，这个是o好吧，圆圆心是o好，

那么大家知道这个最大距离。最大距离应该是OP，加上一个半径r是吧？它等于五最小距离，这应该op-r等等于一。那这两式我们就可以解出圆的半径是吧？两式相减就可以推出r呢？是等于二的啊，这是一种情况，如果p要在圆内。PL在语言内。啊，假设这个是o点，这个是ppp点。好，

这还是OP好，它最大。最大是OP，加上这个r呃，最大是在哪儿呢？最大我用红米给大家点出来啊，最大就opp点到圆上，最大距离这这是最大的好吧？好这点啊，是最大的，这点是离p点是最小的是吧？这个离p点最小到这儿是最大的啊。好，那这个如果p点在圆内，这个OP的长度，

再加上这段儿半径是这个最大的啊，就p点到圆上点最大。好它等于五那么最小。最小是什么？最小就是在这点是是最小的是吧？这点最小，这点最小应该用半径r-op。应该为一，因为这样就得到半径r呢，是为三的啊，这是两个相加除以二，听到没？两个相加是除以二，这个半径r就为三。所以在这里面啊，

那么它有两种情况题干，它只有一种情况，所以它不具备充分性啊，所以它这有两种情况。啊，这个是不具备充分性的来看条件儿，两圆的圆距是九两圆的半径是它两根问两圆有几条公切线，我们主要判断两圆的位置关系。两圆没有关系，两圆的圆距d是等于九，我们还要判断两圆的半径之和r 1+rr一+r，大家呢？啊，就可以呃，求出它的这个呃，

韦达定理做是吧？两呃两根之和不就等于a分之b吗？啊，就等于八点五。啊，八点儿五八点儿五在这里面，大家可以发现这个d是大于r 1+r的是吧？d大于r 1+rd大于r 1+r说明两圆是外离的。大概就这样的一个情况是吧？两圆是外离，两圆外离，在这里面我们就可以算出公切线，那公切线应该有四条是吧？两条外公切线还有两条内公切线。啊，

这样的情况是吧？所以它有四条公切线。就两外两内啊，所以条件儿上这个也推不出来好不好啊？联合这个也也不行啊，所以就选e选项，看这个题是不是学会了，当然这个方程两根应该实实在在能分出来啊，你到时候解两根也行。一跟二，这五跟七是吧？然后两两根啊，一个半径是五，一个半径是二分之七，所以在这里面大家呢？

也可以把呃两根呢给大家求出来好吧，所以大家呢呃求两根也行，如果要不好分解的话，直接用北大定理做啊，所以要掌握两圆的位置关系，对应它空间线的条数，要把这个知识点掌握住。好好，下面咱们看第二题，这个题如图六杠五四所示圆o1o2是内切，这两个圆是内切。o1o2的延长线啊o1o2，这个两圆的圆圆心嘛，圆心就是延长线交这个与点p点啊，这是两圆的圆心连线，

给它连过来交p点。好做o2的这个圆o2的切线PA就过p点，做它的切线切点为则PA的长度啊，等于多少好，这里面有个圆的定理，我要给大家强调一下好吧？圆的定理先不看外面这个大圆啊，就看里面小小圆，小圆如果过圆外一点啊p。如果做它的两条相交的弦，假如这个是a，这是b，这是c，这个d有一个相交弦，定理相交弦定理是什么呢？

叫做PA。PA×1个PB啊PA就是这个段长度乘以这个总长等于PC×1个pd。啊，等于圆外面的部分乘以总长好不好？不管这两条到底是什么样子的，它都是这个特征。好吧，看这个是不是学位这个定理，我就不再致明和推导啊，大家到时候可以可以在教程上看一下，我们书上都有啊，然后得到PA×PB就是外面的部分乘以总长等于它外面部分PC乘以它的总长。好吧，这是一个特征，好那么这个相交弦定理，

它有个特殊情况，当AB点重合的时候AB AB如果重合变成什么了？AB重合就变成。切线了，听懂没有就变成这条切线，这时候AB如果重合。啊，就AB重合的时候啊，所以它有一个特殊情况。特殊情况就a点b点重合，通过这个变成切线了，切线呢PA和PB长度是不是一模一样呀？一般又变成PA方等于PC×pd。是吧，然后这个就是PA就变成切线。

好，那这道题就考了这个知识点，把这个知识点给它分析完后，做这个题就可以了啊，做这个题就就行了，好，那假设这个点是c点。啊延呃呃，延长这个po 2这个点是dd点好吧，所以就得到PA方应该等于PC×1个pd。是不是这样的，所以这PA的平方啊，因为PA是切线嘛，切线就等于PC×pd好，那我们看PC的长度应该怎么求呢？

PC的长度。PC长正好等于这个大圆的半径用r1来表示好吧，大圆的半径用r1来表示它，因为它给了这个圆的半径嘛，我们用这个半径来进行分析就可以了。可以了，是不是所以在这里面大家呢？就可以求解它的这个特征。好，那我们只要把这个PC的这个长度给大家解出来就OK了，是不是？所以在这里面大家可以看PC，应该怎么求呢？PC有就可以用大圆的直径，大圆的直径减掉小圆的直径是吧？

就二r一减二r二。这是PC，然后pd的长度多少？pd的长度正好是大圆的直径就是二倍的r1好，这个是这个表达式。接下来我们来看条件一，它能不能算出条件一，它的子条件一就得到PA方。把这个大圆半径和小圆半径一个三一个一带到里面去嘛，带带到里面去，带到里面去啊，这个二都可以提出来，就等于四倍的r1-r二再乘以r2。好，那这个代到里面就三减一得到是二二，

再乘以一个三得到六，所以它这个正好四乘以六等于二十四。所以它这个是充分的是吧？条件一是充分的条件条件，这个自己算p的平方p的平方，它应该等于四×1个。啊r1-r二是二再乘以个四，所以它这个呢不充分，所以条件一成分条件二不充分，这个答案应该选择a选项答案就求解出来了。好了，那这是给大家强调的这个结论，大家会分析没有好，后面咱们还有题做这样的呃结论啊，下面后面还有这样题。

好那么如图所示，如果OP小于oq啊OP小于oq，则这个面积大于48那条形一，它告诉我们p点坐标是六八。p点坐标是六八，那这个呃q点你也不知道是多少，虽然这个OP的长小于oq，但它面有可能是小于48是吧？是吧，所以这个它的长度呢？你是不不知道的这个高度是八？高度是八是吧？所以这个OP的长度呃，这个呃有这个有条件一啊条件一。这个OP的长是十嘛，

对吧？就OP的长这个OP的长度不就为十嘛？因为这个p点坐标是六八，所以OP的总长，它又为十是吧？所以这个是十十，然后呢？这个这个三角形面积不就等于二分之一底乘以高吗？是不是所以在这里面我们来看一下它底乘以高啊OP长是十，然后oq呢又大于这个十啊，就是oq是大于这个十的是吧？大于这个十。好，然后这个三角形啊，这个这个OP q它应该等于二分之一。

这个oq再乘以这个八是吧？就等于四倍的oq啊，四倍oq大家知道oq是大大于10 oq大于十的话四倍的oq。它应该大于40，所以它不一定大于48，所以条件一呢，这个是不行，那只能说大于四，如果题干要改成大于40，这个单独条件一就充分啊。改成40就可可以了，所以单独条件单独条件知道q点好，知道q点为13，q点为13，这个p点你不知道，

这个也不太行是吧，因为那高度你不知道是多少嘛？万一这个这个高度这个高度是接近零了是吧？就这个高，万一接接近零呢？这个你不知道是吧？质量条件也不行，所以肯定要联合起来。好，联合起来，联合起来q点为13，这个联合以后三角形面积可以求出来OP q。就等于二分之一oq再乘以八，这个oq正好是十三乘以八，然后这个就得到是五十二。

是吧，所以这个52正好大于48，所以联合充分正确答案就选择c选项，答案就求解出来了，好，这是给大家强调的做题的方法。啊，看这个是不是学会了？好，我们来看22题，这个题这个题在直角三角形呃ABC中AD是斜边BC上高角b=30度则BC为一我们。考试没有图画，一个图是不是所以AD是斜边上BC的高？好，那么角b是30度？

角b是3度，然后BC有斜边，那说明a就是直角顶点是吧？然后AD就是它的高。这是它的高好，那么求这个bz长是不是一啊？求bz长是不一，我们看单独条件一看行不行？好，刚才条件一它给的AD的长知道了，然后角b是30度，这个知道，然后它要求BC这个总长。是吧BC总长，那接下来我们呢？

根据这个30度，我们知道三边之比，它的一个比例情况就可以算出来是吧？所以条件一。那么AD如果为四分之根号三。就可以推出这个AB的长度是吧？这个推出AB的长度，因为AB长度应该是等于两倍的AD。等于二分之根号三是吧？就等于二分之根号三好，这样就写出来了是吧？就AB的长度知道了。AB长度知道，然后BC的长长度好BC的长长度好BC的长度跟AB长度，它这个这个角正好6度，

所以说正好等于。根号三分之二倍的AB。所以带到里面，它正好就为一，所以把这个数字带到里面去，这个BC长就为一，所以单独条件一成分条件，我就不再做了，好吧，条件你这个方法已经给大家讲了，大家不一定按照老师这样的方法，反正呢？你用什么方法都行，就根据这36度9度，那么找到它的一个边长的比例关系，

边长比例关系，我们就可以写它的这个结果好吧，三边之比是一比根号三比二，用这个比例求解就行了。好，我们看23题，这个题这个用刚咱们讲的定理做就行了，你看这个p切一点a交于PB和PC PA=5则p长是。五倍根号二好，那么由题我们可以得到这个公式，刚才推导过就不说了，对PB×1个PC。啊，等于PB×PC好那题目告诉我们PA的长度知道了是吧？所以在这里面我们来看条件一。

啊题案一题案一，它是要求PC的长度啊题案一，它说PB和BC是相等的啊PB和BC是相等。好在这里p的平方p的平方就是五的平方，然后它要求PC我们都用PC来表示嘛。那PB就等于二分之PC了是吧？所以PB就等于二分之PC。然后这样就可以得到PC的平方=1个50，那我就得到PC就等于五倍根号二，这样就求解出来了。好，我们来看条件，条件PB等于二分之一倍的BC好，这是五的平方啊PB等于二分之一倍的BC。它是二分之一。

然后这是一比二一比二，那就PB就占三分之一倍的PC，然后再乘以PC是不是？所以这个PB。就占整个长度的三分之一。啊，是三分之一，然后这样得到PC的平方等于七十五，然后这个呢，肯定就不充分好吧，所以单独条件二是不充分条件一充分。这个答案就选择a选项，看是否学会了。接下来，我们来看求面积的一些重新判断题。

求面积还是主要围绕三角形来分析啊，我们来看这个题。三角形ABC的面积等于16。条件一，在等腰直角三角形ABC中，角c=90度AB=8好，我们看条件一，这个行不行？好在等腰直角三角形中。这个c这是a这是b角c=90度AB长为八好AB长为八大家知道等腰直角三角形的面积。可以写成四分之斜边的平方。好，这个很容易得到它的结果，好吧好，所以等腰直角三角形面可以写成四分之斜边的平方，

也可以写成二分之。直角边的平方好，那第二个条件在三角形ABC中角c=90度。好AB=10。啊角c。等于90度AB，它是为十的c到AB的距离，c到AB距离就是高高呢为四。所以这个三角形ABC直接用二分之一底乘以高就，求求解就行了是吧？十乘以四它就得到是二十，所以它这个呢是不充分的条件，二是不充分。这难就选择a选项，看这一块儿是不是学会了通过这道题，

大家就掌握等腰，直角，三角形，还有直角，三角形的一些命理公式啊，就可以了。好看这些题是不是都掌握住了？好，下面咱们看下一个存在命令的话，大家还是要还是要这个给它分割啊，给它进行分割。分割分割分割也叫做分块。分块。求解啊，分块儿给它连线一分就行了好吧，

一分比如像这个题，两个圆心角均为90度的扇形相重叠。是吧，两个这样的相重叠则印布面积到底多少？求印布面积。那说明这两个扇形，它半径它都是一样的，你自己想想是不半径都一样，我没看图，半径都一样，你看看图是不是一样的？接下来，假设两圆的交点，这个点是c点好吧？我假设这个c点假设c点，

然后连接一下这个值。啊，连一下这个。好连一下这个值。好，你看这个时候那这个阴影部分怎么求呢？阴影部分你可以把它看成这是一个小的，这个弓形是吧？这个咱们讲过是小的弓弓形。或者说把它看成两个小的弓形，加上一个等边三角形也可以，中间这个三角形是一个等边三角形，两个小弓形，加上等边三角形也可以把它看成一个60度的扇形啊，比如说一个60度的扇形，

这边呢是一个60度的。扇形加上一个小的弓形，小的这个圆弧的多出来也可以啊，你怎么做都行，因为有同学是把它看成一个60度的扇形。旁边再加上一个这个小的圆弧的那一块儿啊，像月牙形一样是吧？或者说你把它看成两个这个小的弓形，加上这个等边三角形都行啊，都可以好吧？所以这个s阴影部分，咱们可以这样写，如果要把它看成两个弓形的，这个弓形的话，就相当于是六度的扇形剪成一个等边三角形六度的扇形就三分啊，

六分之一圆。减掉四分之根号三倍的r方，这能懂吧？有六分之一元减掉四分之根号三的r方，这个代表什么意思啊？代表是这个弓形的面积，弓形面积乘以二，然后然后再加上一个等边。三角形形，或者说我们把它看六看六座扇形，加上一个弓形也行，反正这个没太多的区别，咱们就随便写一个就行了，好吧，也没太多本质区别。

好，这是阴影部分，然后根据这个题对照题对照我们就可以看出这个AB它的长度上是这个这个就求解出来了。好吧，这个AB的长度，这样就求解出AB长度正好是这个半径嘛，是吧？这样是半径，这样就写出它的数值和答案了，然后这rr正好等于根号三好吧，就根据上面它不题目说的。派减去四分之三倍根号三嘛，你怎么求知道吧？用门当户对啊，不会求的同学简单说一下，

用门当户对，你看这两个跟这两个。它对应相等嘛r方就为三嘛。r方就为3r就等于根号三，所以条件二是充分的好吧，条件二是充分的，这个答案就选择b选项，在它做的方法和思路。啊，检验方法思路好，这是它的做题要点，看这个是不是懂了啊，它的考试内容。好，这是它的考试方法啊，

就把它分割一下，然后再求解就行了。接下来咱们来看一下啊，这个题给你两直角三角形，只要这两直角三角形相似。好，这里考点主要考察。相似的问题。好那么相似，到底怎么样去理解这个相似？相似怎么去理解它？这相似怎么去呃理理解，大家想想相似啊。相似法，只要是形状。

相同大小成比例。什么叫形状相同呢？形状相形状相同，形状就是唯一的。不能说你是这个形状，它那个形状那两个呢？就是不一样形状是不一样形状为一好，什么叫形状知道吧？这个形状可能有点这个抽象。形状题就行了，就三边比。三边比例，比如说第一个三角形呢，它自己的三边比例，第一个直角三角形和第二个直角三角形，

一个小点儿，一个大一点儿，对吧？但它三边比例是一样的，比如说这个ABC。这也是呃ABC，它这个ABC的比例跟它ABC的比例是一样，这两三角形形状就一样。好它比例，比如说它比例是三四五，它比例这个六八十，它这两个比例一样，三四五比例跟六八十比例一样，那这个是代表是。形状呢，

就一样了，它俩形状是一样好吧，所以这给大家讲什么叫形状一样。银行银行只要确定ABC，它的比例关系是唯一的就OK了好，那接下来咱们看条文一条文一呢，这样推比较简单，这三个边长要成等比数列。我们看承重比数列，它的形状是不是唯一的？我们假如这个边是a，这个边是aq，这个边是aq方好吧，也说我们设这个b，这个边就aq。

c这个边呢，就是aq方好吧，好，它这是三边，它要成等比数列。也就是等等比数列在这里面，根据咱们直角三角形购物定理购物定理就可以知道最短边加上。这就就定了嘛，这两边的平方和。这样等于斜边的平方。是不是啊？这样就它两个平方相加等于斜边平方这样，然后在这里面，大家可以把这个a方呢都给它消掉好吧？a方消掉a方消掉以后就变成一+q^2。

等于q的四方。这是高次方程。高次方程，大家可以通过这个换元，然后降次，所以令t=q^2，所以t大于零的。边t方减t- 1，它正好为零。好变成t方减t- 1，它正好为零，这回呢？这个t求出来一定要大一点，所以说就用咱们的求公式2a分之负b。加减根号德尔塔只能取加号啊，

只能取加号，因为这减号的话，它这个负的就不满足，所以它只能取加号。对不对？争取加，所以取这个t大于零就行了。t大于零一大于零，而且大家发现t是唯一的好t，要是唯一，那说明q它也唯一q就等于根号t。因为这个q为什么取正呢？知道吧，因为它这个边长都是正数，所以公比q也为正的，

所以要等一个根号下。二分之一加根号五。是吧，杠一下二门，所以它是唯一的唯一的q要唯一说明三边的比例关系就是唯一的。虽然比例关系为一，那说明两直角三角形，它的形状一样，只不过一个大一点儿，一个小一点儿的问题是吧，然后这样就写好了啊。这样就求出来了，所以条件一呢，它充分条件，它每个三角形要成等差。

正常，你可以设一个是a一个a+d，一个是a+2 d成成等差好，这是。边上正的，但是等它我们就可以写成这个直角边的平方a方，加上a+d^2。这样的斜边a+2 d，它的平方是吧？然后接下来我们呢就可以看看，然后这个a方。加上a方加上2 AD，再加上d方。这样等于a方加上4 AD，再加上4d方。

然后这个a方跟这个a方这两个就抵消掉了是吧？然后呢？这个这个这个这左边还剩一个a方知道吧？左边还剩一个，这个a方。然后这一块大家呢，可以把这个4d。四四AD给它移过来，移过来，移过来话，然后就变成a方减2 AD，减3d方。等于零这个呢，十字相乘，因式分解十字相乘，

因式分解就可以了。然后这样就得到a+d乘以个a- 3d，它正好为零，因为a和d它只能都为正数了，因为这个三角形它都边上都为正的，所以只能得到a=3 d。好a=3 d的话，那么就相当于这是3d，这是4d，这是5d，这样求出来了好吧，所以它是三四五，它形状是唯一的。形状为一啊，不管第一个三角形，

第二三角形都是三三四五×1个倍数啊35，比如d取一啊取二呀取三呀，它的只有大小成比例就行了。好，这个答案条件二，它也充分。这个答案就选择d选项。好，当然这道题有同学没用，公比和公差去表示另外一种形形式也行，另外一种形式就设这个ABC。啊，如果条件一成等比的话，你就设AC=BB^2 b方又等于c方减a方，你这样去推也行。

这也是个推导方法好吧，两边可以同时除以个a方，然后再来分析，这样可以的。条件要成等差数列，就相当于a+c=2倍的b。然后再结合a方加b方等于c方，然后去解解出ABC，它的比值也是三比四比五一样的好吧，一样的。啊，都可以啊，所以大家呢，用这两个方法都行，一般呢，

咱们成等比成等差设公比和公差，这个要好做点儿。啊，不设呢，也可以写好，这是它的做题的方法，大家看是不是明白了？那接下来咱们看一下这个题ABC为三角形三条边则三角形为等腰直角三角形。那接下来这个因式分解，因式分解，大家怎么分到现在有同学高词盲就有点儿害怕，一遇到高词盲就有点儿害怕，不过咱们考的也不会考太高是吧？一看到这个高层有点儿害怕，刚才呢，

大家就有一句话是物以类类聚。是吧，同类型的长得差不多的，给大家放在一起之后再提供一次看a的四次方和b的四次方，这两个长得比较像是吧，这两个长得比较像。比较像的话，我们可以是不是可以把它放在一起啊，然后中间两个呢，然后呢啊，这个都是平方相乘，所以长得比较像，所以把它中间两个放在一起，然后再提公因式好吧，这个能懂吧，

所以因式分解有同学不太会分是吧？好，那第一个我们把它快速变成a的四方减b的四方，加上这个b方c方减。a方c方等于零，看这样行吗？b的四次方减c的四呃BA的四次方减b的四次方这样用平方差公式。这样用平方差公式。平方差公式嘛。平差公式正好就得到是a方加b方乘以个a方减b方后面这两个是不是可以提出个c方呀？后面这两个可以提出个c方就c方就c方b方减a方这个能懂吗？啊，这个看是不是懂了？然后接下来咱们再提一个a方减b方，这道题就快做完了啊a方减b方a方加b方减c方，

它这样等于零，你自己想想是不是这样的？自己再琢磨琢磨。所以它的两个相乘为零是或的关系啊，两个相乘为零，它的或知道吧，两个相乘为零，它的或不是且啊，给它推出这个a=b。或者是a方加b方等于c方，它只能得到等腰或者直角，所以它得不到等腰且直角啊，所以条件一是不充分的啊，别别分析。挂了。

懂了吧，这是或啊好各位同学，看还有没有什么疑问条件儿，大家再次用到因式分解，刚才咱们讲那个数列那个二一年那考点记不记得条件儿只要二？二次三项式都可以使相乘因式分解，懂了吧？就二次三项式都可以啊OK，这个倒好，分这个分成一一这个分成负一和负根号二。这个懂不啊，这个这它可以分成c-a乘以个。c减根号。2a这个行不？大家再检查一下，

看行不行？好，这样就得到了这个a和c相等，或者说是c等于根号2a，那这是或的关系，它有可能等腰。等腰三角形有可能什么三角形都不是因为c等于根号2a，它也不一定是直角，因为b的边不知道啊c等于根号c=a的根号倍这个三角形啥三角形都不知道啊，因为b不知道不要说给我说是直角啊。因为它的它的它的b的值，不知道懂懂了吧，它b的值不知道，所以说条件上肯定不行啊，它只能得到aaa=c是等腰嘛。

哎呀，所以说两项联合也不行，联合万1 abcd都都相等呢，联合我找一个反例也行，联合你说联合联合我找一个反例也行。然后找一个反例，比如说ABC，它都等于一，你看两条线是不是都满满足啊？你看是不这个这个既满足条件一也满了条件二看既满了条件一也满条件二，但这时候呢，它也。不充分也不是等腰直角是吧？也不行啊，联合也不充分就选e了，

这个能懂吧？就选e。你看联合联合也不行，别忘联合要有的题，别忘联合的，有的时候联合又行，知道吧，联合又行。你知道什么时候联合合吗？这两个联合型a方加b方等于c方跟c等于根号a，这俩联合型但它或啊或或者情况比较多啊，所以如果这道题听好了，如果如果这道题啊。去掉一个a=b或者a=c去掉这俩联合是没问题的，这俩联合可以推出它的等腰直角，

知道吧c等于根号2a和a方加b方等于c方，这两个可以联合没没问题啊，可以联合。好，下面咱们再看一下这个题。三角形ABC的三边长知道，则它是直角三角形判断它是直角三角形。情况一他说这个称等差数列三个数的乘等差数列就可以得到lo ga-b，加上lo ga+b。这样等于二倍lo gc。然后大家知道两个对数，两同理对数相加，就等于真数相乘，真数相乘就可以得到。a-b×a+b。

大家知道正好可以用平方差公式，可以选择a方减b方。a方减b方正好等于lo gc方。等于lo gc方这样写好了，然后这样就可以得到a方减b方。正好等于c方，但是c方那就这个就可以推出a方正好等于b方加c方，它要是满足勾股定理，它就是直角三角形，当然这道题a就是斜边了。知道吧，所以它这道题a是斜边，它并没有说呃c1定为斜边啊，这道题就推出来a正好是斜边啊，所以条件一它是充分的。

接下来我们看条件条件，它有两个相等实根，两个相等实根的话，它德尔塔应该等于零，德尔塔等于b方减CC。好拿b方b方减CC，它正好就为零，正好为零就得到a方，正好等于b方加c方。它也成立，也可以得到，是直角三角形正确答案，就选择d好，这样就写写好了两条线都可以推出直角三角形。直角三角只要证明它的勾股定理都是可以的，

都可以推导出来好，这是它的做题方法和思路啊。

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