035.24-顿悟-专项八-数列-题型8-题型11

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:35:48

下面我们来看已知数列满足的条件来求里面参数。好，那么根据它数列已知的条件，然后求解里面的啊，未知参数，那么这块儿我们做题的核心是什么呢？我们讲过等差数列。呃，它总共是五参数。好五参数那分别是a1代表首项，an代表末项n代表项数d代表。公差还有求和s。母参数好，在母参数里面，核心参数排在第一位的就是公差d啊，

是排在第一位。然后其次就是首项a1，那其中a1与d也把它称为一个万能参数，为什么把它称为万能参数呢？一个题，你只要把a1和d给它解完，然后其他。那么都可以很容易求解出来好吧，所以说在这里面就是万能参数。所以大家不会做的同学往万能参数上去靠近啊a和d。好，这是它的这个内容好，接下来咱们再看一下，等比数列。啊等比数等比数呢，

就是六参数。都没出现六参数好，六参数就是a1，然后an然后nqsn。还有一个什么，还有一个所有项和s等差数列，它没有所有项和s啊，它不存在所有项和s那等比数列，它有个所有项s，它并不是说所有等比数列都有所有项s，它是有门槛儿的，是有条件的。大家告诉我什么样的，等比数列才具备所有项和呢？它必须要求什么要求公比的绝对值。

小于一的时候，这样的等比数列才存在所有项和或者说反过来思考，如果它要告诉我们一个等比数列所有项和。是存在的，告诉我们这个是，比如说收入限额是六，收入限额是六，那没有意味着隐含了，那么q就是小于一，比如说最后再求出参数。q，它的数值有好几个，那么一定要舍掉，不满足这个条件的啊，那么这个q是吧？

只取。q的绝对小于一的，这样的情况好，那这是等差等比数列啊，它的这个内容那么等比数列的万能参数排在第一位的是什么公比q？然后呢，其次首项a1啊，所以它的万能参数我们就可以写出来。万能参数就是a1和q，所以不管它给什么条件啊，题目不管给什么条件好，那么都用万能参数来去表示就可以了好。好吧，只要把办证参数求出来，求出来，

然后答案就可以写出来，好，这是它的方法和思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看27题这道题呢，求求这个k的值k呢，就序号就k的值，然后已知等差数列an它的公差d不为0a一呢，是等于9d。那a的值知道了，那么d呢，它是含在里面的，然后AK是它的等比中项，这就告诉我们三个数呢，

是成等比的。删数成等比。好三个数，它要成等比是等比中项好等比中项的话，那在这里面大家就可以写成这个AK的平方，这样就等于a1×a2k。是不是比如说等比中项，咱们知道三个数要成等比那么AK的平方就是a1×a2k，这样写好了好。好，这是它的方法，看是不是懂了？好，那接下来咱们都可以进行换好吧，都可以进行换这个AK的平方，

咱们都可以用a1和d去表示，也可以用某一个去表示都行。好吧，所以在这里面AK，我们可以把它写成a1，加上k- 1倍的d，它的平方。然后这样就可以写成a1。乘以个a1+2 k- 1倍的d好，这样的一个式子。好，那把这个展开啊，这个平方展开平方展开得到a1的平方，加上二倍的这个k- 1。d乘以个a1。

好，那这是它的式子，然后再加上k- 1平方d方等于右边展开，右边展开有a1的平方。加上。二倍的2 k- 1d×a一。好，这样的值，然后在这里面大家呢，就可以把这个a1的平方呢给它进行。进行抵消掉抵消掉，然后在这里面大家呢啊，就剩下什么这两个大家可以合并一下是吧？一个是。呃，

这个2 k- 2。是吧，这这个把这二乘到里面去，2 k- 2。然后这是2 k- 1，所以把它移过来，移过来就得到这个值得到k- 1。平方地方。正好就等于。啊，等于等于呢，就相当于是d×a一。然后这样我们就可以写出来了，由于题目告诉你a1=9d把这个a1=9d呢带到里面去是吧，所以在这里面或者一开始带要简单一点儿是吧，

所以一开始。贷呢要容易点，这块贷也行，就d×9倍的d。好，大家知道它说d不为0d不为零，然后两边呢就可以给它化简一下是吧？把这个d方约掉d方约掉就变成了什么变成k- 1^2？正好等于一个九。k- 1平方等于九，那说明k- 1就等于正负三。正三那k的值就可以求解出来，好k的值一个是负二或者四。这样就写出来了，但大家注意下角标这个数列下角标，

它不能够取这个负的是吧？所以在这里面这个下角标，它不能取负的，所以这个负二这个要舍掉。啊，只能取这个是吧？只能取这个，所以建议大家应该选择b选项，这样就写好了好，这是它的做题的方法和思路，看是不懂了。所以通过这道题，大家呢？要掌握的基本方法和思路，就是我们在做的时候啊，

那么都把它用a和d去表示在这里面，一开始呢，大家把a1=9d带到里面，这个要简单点，如果a1=9d带到里面去，那这个括号化简起来呢？要容易点是吧？因为比如说a1=9，你直接带到里面去，那第一个就代表是代表是k。加八。d的平方是吧？左边直接就变成这个了，把a1=9d这个a1呢，也是9d。

然后在括号里面啊a=9 d带到里面去，正好是2 k+8乘以个d，然后两边把d的平方给他进行约掉。约掉后就得到了k+8^2。这样等于这个二可以提出来就18倍的k+4。18倍的k+4，然后这样也可以好吧，所以大家呢呃，得到答案是一样的。好，这是他的做题的方法和思路，看是不是懂了，所以通过这道题，你这个自己下去解，当然k他解出来也有两个值，

知道吧？也有两个值。好两值的话，那我们就取那个正的就行了，因为它可以作为下角标，它不能为负值。好，这是他做题的方法思路，看是不懂了。接下来咱们看二十八题，这个题好，那么角SN为等比数列前项和三倍s三等于a四减二三倍s二等于a三减二就公比q到底是多少？好，那这道题它给了等比数列。等位数列，

大家可以发现，这s三跟s二一一减一减的话，正好就可以出现一个a是吧？所以说这个三倍的s三。等于a四减二三倍的s二等于a三减二。所以两式相减。两相减，然后左边相减，左边减好，左边减的话，这个三就可以提出来嘛，左边减。啊，左边减的话s3-s二正好得到是a3。得到a3，

然后这两个减这两个减的话，这个负二跟负二减就没了，然后这样就得到a4-a三。是吧，所以得到a4-a三，所以这个相减相减完后，然后就可以得到a4，正好等于四倍的a3。然后这个公比q就可以求出来，公比q正好就等于四答案就求解出来了，所以正确答案应该选择的是b选项，然后这是它的考试内容和要点。看是不是懂了，所以这道题其实不是特别难遇到的时候，大家一定要怎么分析，

遇到的时候大家呢，都可以用相减转成来做，这是给大家强调的考试的转化的小窍门儿。好，接下来咱们看29题，这个题。数列an的前项和SN=1个这个表达式，其实虽然它这道题没说这个数列是什么数列，我们一眼火眼金睛就可以辨认出来，它就是一个什么数列。就是一个。等差数列SN为什么？因为它是关于n的不含常数项的一个二次函数，所以这个特征就是符合咱们讲过的等差数列的SN，所以等差数列SN就是。

a×n^2加上b×n是不是这样的好？那这个是等差数列SN，然后这样的话，我们就可以写出an的值an值直接套公式。2a×n+1个b-a得到这个结果，那么SN就等于n方减10n。那就可以推出，那么这个an的值。an值，然后就是2n。呃2n，然后这个是它减了，它负十减了一就减一个11。是不是减了一个11，这样就写好了，

是不是所以an的值就写出来了，好an的值写出来，然后接下来他问这个。n×an。n×n，我们看什么时候n×n乘以个2 n- 11，然后它就等于个这个是2n方减去个11n。啊，他问这个数列中数值最小的项到底多少？最小的项到到底多少？这条项大家可以把它看成一个抛物线。就相当于求这个函数的最小值，只不过跟咱们前面抛物线的不一样的点是什么？咱们这个n必须要取整数啊，所以说大家注意跟咱们前面抛物线抛物线前面抛物线可以取小数。

是吧，然后它的开口是向上的一个抛物线，然后呢，这个对称轴呢，这个对称轴对称轴。最好是负的二a分之b，所以它对称轴是四分之十一四分之十一，正好等于三啊，就是二点七五是吧？是二点七五二点七五呢n肯定取三。是吧啊NG 3更接近它，所以在这里面大家注意越接近这个对称轴，那它数值呢啊，那在这里面大家可以发现这个数值。它越小对不对？

所以当这个n取三的时候，它是最小的，所以n=3时。好，那么它取最小值。n=3的时候，它取最小值好，那这是它的这个方法和思路，看这块儿是不是懂了好它的要点？然后这是n×an它的最小项，到底是第几项？这样我们就可以求解出来好，这样答案应该选择a选项，这样就做好了。好，

这是他的考试方法，看是否明白了好，各位同学学霸们，大家加油准备了，如果这里改成。求这个数列n×n它的求和。啊求和。的那么最小值。求和什么时候是最小？求和最小大家注意，对于一个数列，它不管是既是等呃，既非等差也好，或者说一般数列好，求和一定要看变号，

知道吧？一定要看它变号的位置好，各位同学学霸们，大家坐吧。以后然后呢再？听老师讲答案，求它求和，所以在这里面大家可以发现这个新数列新数列，你可以把它看成个BN也行，把它看成BN。这个新手人可以看他第一项，把他看成一个bbn吧，就相当于这个东西，把他看成一个BN BN，相当于等于2n方。

减实验当然，你不能说我把他的前项和给他写出来，写出来分析就不好弄了，对不对？所以大家可以发现这个b1的值。这样等于负9b二的值b2的值b2值，这是这是几啊？啊b二值，这正好是八八减二，二十二是负的十十四是吧？负的十十四。然后b三的值b三的值正好是二九十八十八减三十三就负的十五。那负15反正第三项已经达到最小了嘛，然后接下来b4的值。b4的值。

那第四个值，那么这就是32？32减四四十四。就是负的12。然后b5的值b5值，大家可以发现这个25，当然你不用去一点点去算，你画个图就可以看出来画，画个图画个图，它是这样的一个抛物线。所以你这个直接可以看它什么时候是开始正的是吧？什么时候开始正的，然后这个这块这块这个点是零，这个点是二分之十一。是吧，

就二分之十一也就说到。b6的时候b6的时候应该是正的是吧？b6的时候正的b5的时候还是负的b5的时候我们可以看看b5的时候正好是50。减50。五是吧？所以50则bb5的时候，这个25乘以二五十嘛，50-55正好等于负五。然后b6就开始为正了，就b6之后都大于零了啊b6b6你想算就就算一下吧。好b六，大家就可以算一下好b六值，大家可以看一下这个二乘以三十六就是七十二七十二减六十六得到是六，后面都是正的正的。知道吧，

所以这BN的这个图像，所以说在这里面这是对称轴对称轴呢，是四分之十一。好，所以说在b3的时候就达到最小值，懂了吧？好，那接下来大家呢？就可以看出它的这个数值情况啊，所以我们就把b1算出来。然后b2算出来。然后b3这也算出来是吧？所以在这里面大家呢啊，就可以分别算出它的这个结果，然后b4啊，

然后等等大家呢，看会不会分析？和思考是吧？所以这是它的这个情况b5，然后还有b6，所以在这边大家可以发现那么前五项和是最小的，因为前五项和是负的。然后后面都正的正的越往加正的，它越越大，所以说在这里面啊s5它最小，它的最小值。这样就是s5。啊s五s五你要把这几个数加在一起，因为它不是一个等差数列，你就不要去用等差数列求和了，

就是负九减十四减十五减十二。减五，然后这样就可以写出它的答案，懂了吧？所以如果问它最小值到底是几，你就把这五个数给它加在一起就可以选答案，这五个数也很好算，那这个凑在一起就20。对吧，然后这个凑在一起就是二六。啊二六二六跟这个九算是就35。啊，就等于负的55。是吧，这样就写好了好，

这是它的最小值，问什么时候最小，那就n取五的时候，那么前五项和最小，那最小值是几啊？就负55，看各位学霸们。做的是不是这样的？好吧，看各位同学是不是听懂了好这道题啊？一方面要求它的通项啊，第几项元素最小，另外一个求它的和它的最小值要会分析和思考。啊如果做对的话，那么你就说明这个知识点就掌握了，

所以大家一定要注意变号就可以分析它的这个最值好，接下来我们把这个SN的这个最值的思路给大家进行说一说。好吧，求出好，那么如果通项。同向啊，由正变为负。那么SN它就有最大值。啊，如果由负变为正。啊SN，它又有最小值。好，还有最小值好吧，这样呢，

它的通项内容看这块是不是懂了？会不会分析和思考？好，接下来咱们看一下第30题，好在等比数列an中各项都是正数。各样各样都这时候隐含着什么意思啊？隐含着。q，肯定是正的，然后a1它肯定也是正的是吧？这是隐含条件。然后a一二分之a三二倍a2又成等差数列，所以这也是惯用的考法，前面咱们也做了，比如说等差数列里面某某几项成等比，

或者说等比数列里面。某几项成等差好，如果这三个成等差就说明什么？说明这个是等差中项第一个加最后一个等于中间的两倍，所以a1+2倍的a2。等于它两倍两倍的话，就是a3。是吧，所以这两个相相加加在一起。加几等于它的呃两倍，它两倍，那接下来咱们看一下，因为它等比数列等比数列都用a和q去表示吧。就可以推出a1+2倍的a1q，又等于一个a1q方，

然后a1肯定是不能为零的嘛，不能为零把a1给它约掉，约掉就变成一+2q，正好等于q方。是吧，然后这样就可以求解出来好，那就可以把它转换成q方减2 q- 1，它正好为零。啊v0v0的话，那这个十相乘好像不太好分是吧？不太好分，那只能用求公式了，求公式注意啊，一定要取大零的根啊，它求根有两根知道吧？

就2a分之负b加减根号德尔塔，德尔塔是等于几啊？德尔塔等于b方减CC。b方减CC就是八是吧？b方是四减CC八，然后这个就等于一加减二倍，一加减根号二。压根二那么我们只能取q，就等于一个一加上根号二是吧？好q的值求出来了，那接下来我们看a 9+a十比上a 7+a八。就a 9+a十比上a 7+a八。那发现它正好等于q的平方，因为a 9=a七×q^2 a 10=a八×q^2，它正好等于q平方。

就一加根号二的平方，把它展开就三+2倍根号二，这样就可以写出来好吧，所以这些答案就求出来，应该三+2倍根号二，这些答案应该选择的是c选项。好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了，所以这道题呢，不是很难根据它已知条件，那它成等差数列，我们呢就？把这个式列列列完后，然后再去解它的这个结果是吧？

然后呢？再来分析，然后把求的只要求的那这道题就好办了是吧？答案就很好，求解了。啊，他的这个方法思路看是不懂了。好，接下来咱们看31题，这个题。数列a呢？前k项和a 1+a二一直加到AK与随后k项和它的比值与k呢是无关的。它的比值与k无关，与k有什么叫与k无关呢？与k无关就代表是它的k就抵消掉了。

是吧，好，那接下来咱们先把题干给化简一下，咱们做重新判断题啊，这道题是重新判断题，做重新判断题。大家呢，关键点是什么？关键点要知道那么这个题干化解完，然后再判断是吧？题干当有的题可能题干没法化解，没法化解，那再把。把条件往上带是吧？如果题干能化简，

咱们把题干给它化简一下，化简完，然后再判断，这样话就更简单一点，是不是？所以咱先化简一下，就是呃前k项和就是a1加一二就相当于是。加到AK相当是。sk是吧，所以这个式就相当于是sk，然后这个式代表什么就AK+1 AK+2 aalk，它就相当于是s2 k-sk。是不是这样的，这样的AK+1。加上AK+2一直加到a2k。

是不是好这样的，所以题干它，它代表是什么？代表就sk跟s2 k-sk，它的比值是不是跟k无关？好，那接下来我们再看条件，一条件一呢，知道an=1个2 n- 1 an=2 n- 1呢，咱们把SN给它求出来对不对？你给它求解出来，那要知道就等于二分之一加，然后再乘以。好，那虽然这道题没说这个数列是等差数列啊，

那有同学你怎么能用等差数列的这个公式来写呢？因为咱们在学基础知识点时候给大家讲过。如果它的通项an是关于n的一个一次函数。如果通项n关于n的一个一次函数，关于n的一个一次函数的话，那么在这里面我们呢就可以。确定它就是一个等差数列，知道等差数列通项是关于n的一次函数，它求和是关于n的一个二次函数，而且。SN的二次函数不能有常项SN中的常项，应该为零懂了吧，所以这个是a。和s的特征，所以咱们考试。

他经常不告诉你是什么数列，你一定要根据他已知条件来会辨别知道吧，来辨认一下就行了。好，那接下来你就把这个a1带到里面去了。大家知道n=1的时候就是a1，n=1的时候就是a1，a1就等于一，加上啊an an是2 n- 1，然后再乘以个n。是吧，然后这个约约完后就等于nn方。约方就等于n方好，这SN的值，那接下来题干是什么题干就求什么，

求sk比上s2 k-k。减去sk。好，那么sk的话就相当于把n换成k就行了，因为SN的表示知道了，那么sk就可以写出来就k方。好s2 ks 2k就代表是2k括号平方，再减k方。这比完后正好是三分之一。是吧，三分之一，所以说它是确实与k呢是无关的。啊与k无关，与k无关，所以条件一它是充分的。

条件一，它充分，所以这个条件一呢是充分的是对的，然后接下来我们看条件二。看条件，条件an=2 n。a=2 n，那这个也是一个等差数列了，这也是一个等差数列，因为它关于n的一个一次函数，它也是一个等差数列好，那既然是等差数列的话，那SN就可以写出来。xn就可以写成就等于二分之a一加an，那它的a一是几呢？

a一就是二是吧？当n等于一的时候a一的值是二。加上an好an的值，an的值就是2n。然后再乘以n。然后正好就等于n×n+1 n×n+1就可以写成n方加上n是吧？好，这是。呃，通过条件把SN的表示算出来。SN表示算出来，然后现在咱们判断一下sk比上s2 k-sk。看这两个数，那sk的话就把n换成k就行了，对不对？

把n换成kn，换成k就相当于是。k方加k。然后s2 k-sks 2k什么把n都换成2k都换成2k就变成4k方加k。然后减去sk sk，相当于是k方和k。然后然后这这个分母就变成3k方了是吧？分母大家可以发现变成3k方，3k方上下约掉一个k。这样约掉k，所以这个约完后就变成了什么呢？变成了三k分之k加一是吧？就变成这样一个式式子。所以它是与k有关的。与q有关，

所以它这个是不充分。是吧，与q有关，它这个是不不充分的好，所以说这道题那么条件上是不充分条件一充分，这样答案那应该选择a选项。好，这是给大家进行强调的，那大家听完这道题，收获就是首先要知道它等差数列，它的特征什么，它的通项什么特征。是吧，要会分析。另外，

要能看懂这两个表达式什么关系是吧？然后根据它求和来进行化简看它。结果是否与有关？如果与无关，它就充分，如果与有关，它就不充分好，这是它的做题方法，思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看一下奇数项和偶项问题，对于等差数列奇数项和偶项，它的这个问题我们要主要看它们的差值是相差多少个公差对等比数列奇数项偶项，看它相除。

得到公比的次方是吧啊？公比次方那讲完这些题，我们再给大家进行总结。好，比如说咱们看一下这个题，这里已知等差数列公差d等于二分之一s一百s一百正好等于一百四十五。奇数项正好等于a 1+a三+a五+a九九奇数项，然后s1撇正好是a 3+a六，一直加到a九九。这s1撇，然后第一问求sg等于多少？第二问s1撇到底等于几好？这是他的这个方法，那接下来咱们看一下好这个题应该怎么去求？求解和分析。

好，这道题大家。可以看到，这个s100，他总共100项嘛s100呃s100。是不等于s奇加上s偶，你可以写s偶加s奇也行。然后再看so-sg是不是正好是50个公差d？好，正好是50个公公差d好，为什么这样？大家想想我们写so就知道了，好so so正好等于一个a 2+a四，加上a6一直加到a。a100。

是吧，这是so so a2a4a六一加到a100，大家可以发现so-sg的时候正好是a2-a一，有一个da4-a三，有个da6-a五，有个da100-a九九，有个d。是吧，所以它总共总共有100项嘛，100项那说明奇数有50项，偶数也有50项，对吧？奇数是有50项偶数呢，它也有50项，各有50项嘛。

对不对？各50项，各50项的话，那说明他正好差值正好50个公差嘛，所以这个看懂了没有，然后通过这个式子那么so+sg=145 so-sg。正好等于25，然后这样我们就可以求出来，一个是60，一个是85是吧？就可以写出来s7。就等于60。s5就等于85好，这样就求出来正确答案，应该选择c选项好，

这是他做的一个方法和思路，第二问第二问求s1撇到底等于几s1撇就是a 3+a六。大家注意还是那句话，那么这个式子呢？要要把s一百，然后给它转化成什么，转化成一个a出来就行了啊s一百s一百再用咱们讲的公式啊SN就等于n倍的a二分之n加一。然后再到s一百s一百就等于一百乘以a二分之一百零一。那么，101就等于等于什么？等于这个a五十点五是吧？a五十点五正好它等于145。145所以第二问咱们呢，就可以这样得到a五十点五。a五四点五正好等于一个什么等于一个十一点四五是吧？

两边都除一个，这个100嘛，都除100好，这样就写好了。行，那接下来我们看s1撇s1撇，正好等于a 3+a六+a九一加到a九九。是吧，就a 3+a六一直加到a九九，他就可以注意他这个a3a6a9，咱们讲如果原是一个等差数列他。等间距的这些元素仍然成等差数列啊，也就说a3a6a9a九九，它仍然是成等差数列的，懂了吧？

好，所以他仍然等他，仍然等他数列，仍然可以用求和公式，就等于二分之首项加末项，然后再乘以项数。项目从三到99到33项。然后33项好，那接下来大家知道a 3+a九九。你看下角标线这102，102，它可以写成两个a51是吧？然后在这里看看懂了没？可以写成两个a51嘛？对不对？

所以说这个102啊，102你比方说可以写两a51，所以说可以写33倍的a51。好a51又可以写成什么？又可以写a五十点五。再加上一个零点五的公差是吧？你看这个五十一跟五十点五多一个零点五倍的公差，公差d不等于二分之一吗？啊二二分之一。然后再加上一个零点五半个公差，半个公差的话就就四分之一，四分之一可以写零点二五就可以写三十三乘以一个。一点，然后这个就一一点七了是吧？一点七好，

这样的话就可以上传到答案了，然后正确答案就可以求解出来，正确答案应该选择b五十六点一，或者说看个位也行。看个位线就这个，正好是五六一。五十六点一好，这样就求出来啊，他的这个方法。现在答案就选b好，这是它的方法，所以大家以后遇到s这个公式呢啊，非常管用，您这个公式正好呢，用一个a来去表示和分析，

看是不是懂了。它的考要点。好，接下来咱们看这个题好一个等差数列前12项和为354前12项中偶数项与奇数项的和之比是32比27。好，那这是因为他总共正好有12项偶数项，那接下来我们呢？就可以写出他的这个式子。他偶数项。好那么呃条件一它公差为五条件公差为十，那我们看两条件到底谁充分好吧，所以在这我们看一下到底是谁充分的？呃，那么条件一呃，那么d是等于5 d=5，

我们可以得到什么？得到s12就等于s偶加上s奇。正好等于354是吧，所以前12项和正好等于354，然后那么so-sg。xy-x一正好是因为12项里头有六项，偶数项有六项，奇数项就六个d就等于30，这样就写好了。那样，然后这样的话，两个相加除以二，我们就可以得到s5的值。s我就等于二分之。三百五十四加三十就等于二分之三百八十四。

啊s in 84这样就可以写出来，你看这样这样这样等于192是吧？192那么sg就可以算出来sg的话。就是至少比它少少这个30嘛。是吧，所以在这里面大家呢，就可以写作，正好等于162。啊，162好，那接下来我们来看是否充分是吧？所以说那么so。比上s7。就那192比上162。然后上下可以约掉一个六约掉六，

得到32，这是得到27是吧？约掉一个六，然后呢？就可以写出来，所以题号一呢？是可以满足这个结果的。那条件跟他同理值换一个数是吧？条件条件跟他是一样的，结结果。条件条件他的d是等于10 d=10的话，你把那个式数稍微换换好吧，换咱们就不再多解了s12。就等于so+sg。啊，

这样哈，354，然后so-sg。正好等于六倍的d就等于60好，然后反到这个往下自己去解好吧，往下一模一样，咱们就不再浪费时间算了，自己去算一下，把x偶算出来g算出来，这两个比值不满足，这个式不满足这个式，所以条件二它是不充分的。啊，跟他一模一样，没有什么新的，

所以这一块呢，咱们课堂就不再算了，然后这一栏选择a选项好看，各位同学是否听懂了？这是它的做题方法。好，接下来咱们看啊，一个有穷等比数列，他的首项是唯一的。啊，首项是唯一，他项数呢？正好是偶数。其基数项之和为85啊，偶数项之和为172，

这数列公比为q项数为n。则q+I到底是多少？好，那在这里面大家知道这个sg。因为这个项数是nn呢，就是一个偶数啊，比如n=20啊或者30啊，他是一个偶数，那sg其实就等于什么等于a1？加a3加到。a然后呢？这个总共呢？就是偶数项就是二分之n减一是吧？就一半。啊，

一半是奇数，一半是偶数，然后这样呢n+n取十十的时候呃nn要10n要十，那在这里面大家呢就可以。写出来是吧？总共要十十项。十项的话，大家注意看，比如说讲n取十的时候。n取十的时候就是嗯，就是一三五七九是吧？把它加在一起就行了是吧？所以到一三五七九啊，这应该是n- 1不用除以二了。是吧，

有n- 1。好有一三五七九就行了，好，这是它的这个项数，这个特征是吧？然后这时候呢，奇数项总共有二分之n项啊，二分之n项s偶。那对不对？a 2+a四。一加到an。是吧，加到an就二四六八十啊，这样的一个一个情况，所以考试人序号弄不清楚的话，

你到时候可以取一个值你验验证一下就行了。好，那这是他的这个内容，然后接下来咱们呢来看看。好，那么他这个大家知道这个a2是等于a1×qa四=a三×qan=an- 1×q。是吧，所以这里面大家知道s我就等于sg乘以个q是吧？乘以个公比q，所以在这里面它这个正好等于85。再等170，所以说这样的话，我们就可以得到q正好等于一个so除以个ST。s5÷sg，然后这样就等于170÷85，

这样就等于二是吧q=2就写出来了。课堂上写的，接下来我们我们首项知道了，要求这个项数，其实项的话，我们用总个和吧，整个和是吧，总共的前项ssn不就等于一减q分之。a一乘以一减q的N次方吧，在这道题q相当于是等于二，然后a一的值上为一就一减二的N次方。它正好等于什么？等于85+170，这样等于255。二百五十五二百五十五那这样n的值就可以算n的，

正好等于八。是吧n就二的N次方算出来应该等于256，256n的值应该等于八好n的值等于八，然后q值等于二，然后接下来q+n正好等于十。是吧，就可以得到q+n的值。就等于十好，就等于十那答案就可以写出来，所以这个答案应该选择的是e选项好，这是他的做题方法和思路。好，那么大家可以发现，如果项数为偶数的话，要好做一点是吧？

如果要奇数的话，那这个就呃难一点，复杂一点，所以接下来咱们就把这个这个奇数项偶项等差数列等比数列它的内容给大家进行简单说一说好吧？好，然后呢？咱们假设先说一下偶数项，先说一下，等差数列。等差数列有两种情况，第一种情况，如果要是偶数项。呃，偶偶，比如2n项。

看偶像假设是2n项好，那么大家注意s奇和s偶，那么就是相当于是。sg.加上s是等于整个的求和是吧？就前2n项和是吧？假设总是2n项。然后这块啊，就是so。减sg就等于n倍的d是吧？就等于n倍的d，然后这样就写出来了，好，这是它的这个方法。懂了吧，

然后第二个如果要是奇数项。就像比如说2n，然后呢？减一项。2 n- 1项，2 n- 1项，这时候呢，注意这时候奇数s奇会多一项啊，就s奇会会多一项，因为就是就是奇数项。啊，会有n项。偶数项。偶项或者n- 1项。所以他会插一下啊，

所以这种大家呢，要注意就第二个这块啊，要注意。好，那接下来我们来看他应该应该怎么写那么sg我们就可以求出来sg就等于a1。加a3。好，一直加到啊，这个2 n- 1是不是这样的好sg，然后so。还有就等于a 2+a四+a六也加到a2n。好大家发现他的求和他求和他求和就等于二分之a一，加上a二n减一，然后再乘以项数项数，他是n项。

向他n项这个项数，大家可以发现，他正好是n- 1项。好，那在这里面大家呢？就可以写出他他的值是吧？就就这样啊，这个是应该2 n- 2项是吧？a 2+a 2 n- 2。然后乘以个n- 1项。好，那这是他的这个结果，然后接下来我们可以看呃，这两个数它是一样的，这个数跟这个数它一样，

为什么一样，因为看下角标，这是a1，这是a2 n- 1。这a2，这a2 n- 2，所以这个这个元素跟这个元素相加是一样的，一样的话，那就可以得到sg。除以个s偶。正好等于n÷n- 1是吧？n÷n减，所以这时候用除法做，然后接下来就sg。加so。

正好等于整个的求和啊，所有的求和是吧，总的求和好，这样用除法做，因为它两个相减，两个相减的话，它这个nd后面还还多还多一点儿。知道吧，所以在这边还差一点儿，所以后面就麻烦用这个除法做好，这是呃偶数项和奇数项，那么它的等差数列这个情况。咱们再看等比数列。啊等比数列好，那等比数列的话，

那如果第一种情况，如果要是偶数项。比如说是二人项。啊2n项好，那大家知道so。除以sg，正好等于一个q是吧？另外so+sg应该等于总共的和。是吧，总的和好，这是它的情况，第二个啊，如果要奇数项奇数项的话，那稍微麻烦点。奇数项，

这就很麻烦了，奇数项，这时候那么奇数项，它会是n项。偶数项，它会n- 1项。啊，得到这个值啊，然后接下来我们呢就可以看出这个sg。其实就等于一个a 1+a三一直加到a2 n- 1。对吧，然后呢so so就等于一个a 2+a四。一，加到。an- 2那这个咱们用等比数列求和可以看一下，

注意如果原来公比是q啊，原来的公比是q原公比q，它的公比就是q方啊。这大家一定要知道它的性功比是q方，因为一三它的差值正好是q的平方倍，所以在这里面就一减q的平方。然后首项a一乘以个一减q平方的N次方。然后他的求和他就也是一减q平方，然后他的首项是a二首项a二乘一减q平方的。n- 1次方，因为它总有n- 1项。知道吧，他总有n- 1项啊，这是他的这个做题方法思路啊，给大家进稍微总结一下，

大家看这块是不是明白了？好做到这那么这两个相除相除只能把分母除掉啊，所以说这个得不到太明显的有效的公式，大家呢，考试时候就会套这公式去分析就可以了。然后另外就是s奇和s偶相加，这样算上就等于总的和好吧，这是给大家呃总结一下，那么等差或等比数列奇数项和偶项，它的一个考试内容和方法看是不是懂了？好，接下来咱们看度列的应用题这一块。数列和文字应用题结合在一起考呢，稍微有难度，因为它既要有坚实的基础知识是吧？

因为它综合性比较强，要有良好的思维能力和分析解决问题的能力。而能把文字题呢给它进行转化，然后解应用性的问题，要充分利用观察，归纳，猜想，像有的时候呢，你也根据一些特征呢，先猜测猜测，咱们再证实咱们的猜想是不是对的？是吧，建立有关等差等比数列或者递推数列模型，然后再综合其他知识来进行解决问题就可以了，好，

这是它的知识点和内容。好，接下来咱们看这个题啊，某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用是12万元。以后每一年都增加，所以说找到关键词可以发现它就是一个等差。等差关系每年都加四万元，如果他差值是固定的，就等差每年捕鱼的收益呢是50万。好，第一问第几年开始获利是吧？所以说我们来看一下啊，那获利什么拿收入减成本是吧？所以说在这里面我们来看一下他获利的情况。

咱们假设s年或者n年的时候，他的这个情况好吧，就n年时。啊，它的利润。利润用y来表示就等于收入减成本，因为大家知道每年收入都是50万是吧？所以说咱们做一下第一问。每年收入50万，所以说他的收入就50n，然后检查成本，检查成本检成本是什么成本的话就相当于是98是一次性投资。然后后面呢，每年呢都是往上面增，第一年是12万。

第二年是12加，加四就16。是吧，后面每年都增长都增长，就是最后一项，最后一项应该是12。加上n。呃，这加上啊，在这里面大家可以看最后一年，最后一年就相当于是n- 1倍的乘以个四。是吧，就最后一年成本，所以他是一个相当于一个等差数列通项啊，通项首项呢是12是吧，

然后末项末项呢就是十。12+n- 1倍的四，每年都这样，四这四相当于是公差啊，四相当于是公差。好，那这是他的这个数值，然后接下来这块要用到等差数列求和。啊，要进行求和好，那接下来我们就可以写成50n减去，这个正好是98。加上他等到这个结果，就是二分之首项加末项。啊啊，

乘以。二分之首，项加末项。然后再乘以像素n。好吧，乘以项数a好，这是他的这个值，然后这样我们就把它稍微整理一下，整理一下，他又是一个。二次函数了，减98。然后上下给大家进行约掉一个二，因为大家知道这个呢，就是相当于是4n。

啊4n上下越大越二的时候就是12，加上2 n- 2。是不是所以在这里面大家呢？就可以因为上下把这二给他约掉嘛，约掉约掉的话，那就相当于是2 n+10。然后再乘以n得到这样一个式子，是不是大家呢？就可以写出来。写出来以后，然后再把它稍微再整理一下，整理一下就得到什么得到负的2n方，然后再加上40n。再减98好，这个把它看成开口向下的一个抛物线是吧？

它开口向下这个抛物线。他是这样的一个抛物线，和人家对称轴，对称轴正好是n的，正好等于十是吧？他对称轴正好是n取十。就行了，所以说在这里面大家呢，就可以写出它的数值和方法啊，看看是不是懂了，可以套这个公式负的二a分之b来进行求解。和分析。好，那找到对称轴以后，那接下来咱们呢啊来看一下它的这个问几年开始获利，

开始获利就找这个行值大于零的就行了是吧？是吧，找到大于零的就ok了，所以说在这里面看它大大于零，什么时候为正是吧，所以第一问呢，它的开始获利就是要盈利是大于零就行。所以第一问它的解题就相当于是负2n方，加上40 n- 98，然后大于零就可以了。再连续看一下n的取值范围，如果两边都除以个负二，从除以负二就变成小于号了是吧？都除以个负二。那都除以负二都，

除以负二就变成n方减去一个，然后这一块它的这个数值是吧？然后在这里面大家就相当于是。20n，然后再加上一个49。小于零是吧？得到这样的一个结果，好看是不是懂了，然后接下来我们呢就可以呃，把这个n的取值范围给大家解出来。那个数值给它求解出来。现在的话，那这里面他十相乘肯定是啊，这个没法分是吧？十相乘这个分不开。

好十字相乘，分不开的话，那接下来我们呢？就是。就是是不是得用这个求公式，但求公式又太麻烦，考试这时候怎么办呢？这时候大家呢就可以去。试一下好吧，可以去试一下，比如n=1的时候，这个不太行，所以说这个就不好解，大家最好呢，就可以猜想可以试一下。

啊，或者说列举一下，试一下n，比如说取一的时候不太行，取二的时候取三啊，取二的时候它这个还是为正的。取三的时候，我们可以看取三的时候，它就是负的了是吧？所以n=3是满足的啊n=3是可以的，所以这道题第一问答案就选择是a选项。所以考试如果用求公式太复杂的话，等于b方减4 AC算的太麻烦，就是你就试一试，看n等于几的时候，

它小于零好，这第一问就考察抛物线，它大于零小于零，它的一个取值情况。第二问，要使递减，使得总的年平均利润最大，要使一个年平均利润。啊年平均利润好，年平均利润，那在这里面我们来看一下年平均利润，那怎么算第二问？年平均。年平均利润的话，我们就刚才拿这个总利润，

然后再除以个什么呢，再除以个啊，这个n年就行了。是吧，要求一下平均嘛，所以说在这里面我们呢，就除一个n年。刚才第刚才第一个已经把这个总利润给他算出来了，算出来，然后再除以n÷n，然后在这里面大家要用平子定理做啊，要用平子定理，所以说他的平均利润就相当于是n分之。负2n方加上40 n- 98。然后把它写小就等于四十减去一个二提出来就n加上n分之四十九。

好，这时候大家要用矩阵定理做。是吧，我们用均衡定理做就可以了，所以这一块大家用均衡定理。群体呢，知道n加上n分之四十九。啊，应该大于等于二倍的根号下49，大于等于14什么时候取等号呢？什么去呢？它大于号大于号，那这时候就变成小于号了，知道吧？小于小于40。

减去二×1个，它的平均值定理算出来是14，当然这道题没有算它的，没有让你算它的数值到底是多少是吧？所以在这里面我们呢？就直接用平行定理那n=7的时候。n=7时。好它取最值，取最大值。就这样，所以第二问那么选选择n=7选择b选项就可以了。然后第三问咱们来看一下，他问总的纯收入利润最大，第三问其实就是刚才那个抛物线n=10知道吧啊，第第三问第三问。

就是找这个抛物线的对称轴就行了。发现发现这个时候相当于这个n取就是十。知道吧n取10n取十的时候，他总利润是最大的正确答案，就选择e选项好，这是他做题方法思路，所以这道题大家可以发现一个是用等差数列求和又用了抛物线的内容，而且。用到抛物线的这几个方面，一个呢是抛物线大于零或者小于零，大家会解这个不等式，有时候呢，这个求和公式比较麻烦，可以试。试一试，

试一试，然后再求解比较简单，另外一个就是求平均值的时候啊，我们呢，用一下矩阵定理来进行分析。最后还考察抛物线的对称轴，好吧，这是它的做题方法和思路，看看是不是听懂了？好，接下来咱们看这个题。好某县位于沙漠地带。到二零一一年底，全市绿化率已经达到了。30%是吧？

达到30%，然后从二零一二年起，每年将出现这样局面就原有。沙漠的面积16%将被绿化。还有绿化。与此同时呢，由于各种原因，原有的。绿化面积4%又被沙化。啊设权限的面积为一是吧？权限面积为一。然后这个。二零一一年底，它的绿化面积是十分之三。那经过n年后，

它的绿化总面积是an+1，那至少需要几年努力才使才能使绿化率达到60%年呢，就取整数就行了。好吧，继续讲到为了好算，然后这个log 2他给了一个零点三零幺，好吧，那这里大家首先要用一个递推公式来去表示好吧，这道题就递推公式。有点像咱们。啊，前面讲过的这个数列递推公式一样，所以这道题用递推公式来表示。第一公式还要构造一个数列，知道吧？

好，那接下来咱们来看一下它这个an+1就dn+1年跟dn年，那么它的。这个。这个公式是吧？这个第n+1年。跟第n年。今年什么就就是每年将出现这样局面，原有的沙漠面积的16%将被绿化。是吧，就是相当于是咱们这个an代表绿化的面积啊，绿化面积，绿化面积相当于没有绿化面积。啊，绿化面积啊，

和没绿化面积分为两部分是吧？分为这个两部分。好，大家知道，因为它总面积设为一嘛，总面积设为一，如果绿化第n年绿化面积是an，比如说。这n年的时候。好n年时n年时，它有绿化的面积和没绿化面积是吧？所以这个绿化。如果是an，然后这个位绿化就沙化了，沙化就一减an是吧是吧？

那么n年后就下一年n年后就用an加一表示。是吧，或者写成n- 1年后也行，就是n- 1年后。然后那么n减年后那么用an来表示，那么n年后就用an+1来表示。啊，所以经过n年后，那么是n+1好n-n年后是这么多这么多，这是绿化的面积。是吧，绿化面积，然后沙化面积16%将被绿化，这沙化的16%将被绿化。啊，

有一部分它的绿化。好，那么就绿化了，好，那接下来我们看一下他的这个绿化面积怎么算呢？就是沙化的面积由百分之。16进行绿化了啊，这有有这一部分绿化，然后呢，加上一个an an，它有4%又被沙化，所以说它还剩下一个。96%。是吧，还剩下一个百分之九六好，

这样的一个方法思路，看是不是懂了？然后接下来咱们就把这个四给大家化简一下好吧，化简把这个百分号都变成小数，所以an+1就等于一个。这个将来是一乘以16%就零点一六啊，零点一六零点一六，这个是负的零点一六×an，这是零点九六就相当于零点八。an然后再加上一个零点一六好，那前面咱们讲过把它构造一个。新的等比数列。你可以设一个c也行啊，或者设一个c也行an+1+1个c。等于个零点八倍的an+1个c，

这样也可以。是吧，然后这个主要是把这个c给它求解出来，那么c怎么求呢？咱们讲过，你可以把这个c给它。乘开括号，乘开乘开后，这边变成不是零点八c嘛，然后减减掉一个c，这个c移过来减掉c正好等于零点一六。是吧，等于这个零点一六。所以这个就算出来负的零点二c就等于零点一六，然后c就等于负的零点八。

好c就求解出来c等于负的零点八，好c等于负的零点八，那就变成n+1减去个零点八。就等于零点八乘以个an- 0点八。然后这样我们就可以构造数列是吧？利用这个BN。这样等于an- 0点八。好，这个是一个BN BN就等于an- 0点八这写好了。只要大家可以看，它又是一个新的，等比数列，咱们前面讲构造数列就是等比数列，它公比是零点八，接下来我们还要算它首项。

比b1正好等于a1-0点八好，我们来看一下题目a1的值a值的话，这个a1它写了就30%，就从二零一一年底它的氯化氯是30%就零点三。就十分之三。对不对？它这个已经写好了，就零点三就是就是从二零一一年作为这个数列的第一个啊，第一个，所以这个就等于零点三。减零点八就等于负的零点五。好，这b1的值写出来了，好b1值写出来以后，那接下来咱们来看一下啊，

然后呢BN的通项通项就等于什么就等于首项，首项就是负的零点五。乘以公比的这个n- 1次方，因为什么这个可以用b1呢？因为这道题n它可以取一知道吧？可以用b1跟咱们前面不一样，咱们前面。下角标如果是n- 1的话，它n只能从二开始取好，这是BN BN呢，又等于一个an- 0点八。是吧，那这个就可以把BN就给它写出来。啊BN好，这个an就可以写an就等于一个零点八减去个零点五×0点八的n- 1次方。

好，因为这道题大家可以发现他要求什么，求经过n年后要求an+1问这个an+1。对吧，求这n+1它的值，这个大家要知道。求n+1它的这个数值关系。好，所以在这里面要算一下an+1，他这个数值是吧？经过几年的努力啊，算的是n+1，一定要看清楚。啊，人家写了。

所以接下来我们要找到n+1，它的这个方法。好an加一就等于一个零点八减去零点五乘以零点八的N次方好，这样的一个思路。好，那得到这个思路后，那接下来我们来看一下，它要使这个氯化率要达到60%，达到60%就大于等于60%就行了是吧？所以在这里面。我们要达到60%大于等于零点六。它等零点六，然后把这个给它移项移过来，移项移过来就变成零点五×0点八的N次方小于等于。零点二。

是吧，所以在这里把这零点六给它移过来就零点二，然后把这零点五再给它化简过来，两边同乘以二乘乘以二，就这样变成零点八的N次方小于等于零点四。小于等于零点四这样就写好了，接下来接下来我们就可以取对数是吧？就取对数就行了。取对数在这里面，大家呢，就可以把它啊，这因为这个以零点八为底的零点八为底的话，在这里面大家就知道它是单调递减的，单调递减就取对数变成大于号大于等。等于大于。

的等于然后这块就log啊log以零点八为底零点四的对数。啊，或者说咱们把它写成写成什么写成log零点四÷1个log零点八，这样也可以。是吧，然后这样的一个思路，但是他题目只给了我们这个log 2是吧，只给了这个。这个log 2的值，那么log 2是那那这那怎么办呢？log 2是吧？那在这里面我们呢？再给它进行画画一下就行了，大家知道。这个log 2这个四零点四可以写成四÷10对不对？

这个可以写成八÷10是不是这样的？啊，这样我们就可以这样写，对不对？写然后这样这样按照咱们对数的运算方法，那么他就可以写成什么呢？写成这个log 4。4log log4可以写成两倍log2对不对？所以说log4-log10log10正好就为一。然后这个log 8 log 8可以显示三倍log 2。三倍log2-log十上为一，这样就ok了，对不对？这样就ok了，然后在这里面大家呢，

就把log2换成大概零点三来进行分析，零点三零幺嘛，零点三幺，那约等于。呃，零点三。好，如果这个要换成零点三二乘以零点三就零点六啊，零点六减一大约是负的零点四。然后再零点三零点三三乘以零零点三。啊三乘以零点三大概就是零点九零点九减一就大概负的零点一是吧？所以他这个比四要稍微大一点啊。比四要稍微大那么一点点好吧，这个算完四当然我们算的呃，不是很精确了，

因为n应该用。负的用这个零点三零一来进行算好吧，这算大概是大于四大于四的话，那这n最小就取5n就取五就行了。n取五所以说在这里面n就等于5 n=5的话，答案就写在至少要经过五年的努力就可以了，这个答案就选择a选项。好，这是它的做题方法，思路看是不是懂了这个题，大家要知道它的考试方法，当然运算稍微复杂点儿，这道题首先要根据它定理公式找到一个表达式。然后接下来我们呢，再构造一个新数列构造新数列，

然后呢呃，构造一个BN，然后再来分析再分析，然后呢，再把这个。大量的就给到他结果和答案，看是不是听懂了，是不是明白了。好，这道题大家运算时候要小心点啊，因为尤其没有运算器呃，计算器那这时候呢我们呢啊，要把这个对数啊，要学会一个转化，用对数公式进行转化和分析。

看看各位同学是不是听懂了？接下来，我们看数列与其他的知识点结合来进行考察。我们要借助数列元素性质求的公式来解决相关的问题，是吧就？呃，综合各类方法来进行分析。接下来我们看这个题，这个题他给了一个二次函数，然后呢，当p等于一二到n时，它抛物线在x轴上截的线段长度，大家知道一个抛物线在x轴截的线段长度啊。抛物线。啊与x轴。

截得线的长度。就是两个之差，绝对值。就等于a的绝对值分成根号德尔塔。是吧，就a的绝对值分成根号delta绝对线的长度a的绝对值分成根号delta。好，这样的一个长度。然后接下来我们来看一下这道题，这道题的话，他长度就是。AA在这道题相当于p×p+1。是吧a的值相当于p×p+1根号德尔塔，德尔塔这道题我们算算德尔塔。它就等于b方。

b方减4 ac- 4倍的p×p+1。然后这样，那他前面展开这样四p方加上四p，再加一减去四p方，再减四p，他其实正好就为一了。是吧，所以他这个刚好当上啊，正好唯一唯一的话，然后呢，这个相当于对他进行求和求和求和的话，那我们把他给他列开嘛p。减去p加一分之一。所以这个d 1+d二一加到d100。正好等于p取一的时候就第一了诶p取一，

所以就一减去二分之一，加上一个二分之一减三分之一。啊，一直加到一百一百的时候有一百分之一减一百零一分之一，所以这用到咱们前面讲过的列项抵消。结果然后这些都约掉约掉，然后前面就剩一个一，后面剩一个幺零幺分之一，所以就得到一幺零幺分之100。答案就求解出来了，这样答案应该选择a选项，而且他做题方法思路，看是不是懂了，所以这道题大家要知道综合性的知识点就是抛物线。和韦达定理相关内容，

另外这道题还要知道它的列项，然后再抵消得到它的方法和答案，看是不是懂了。接下来我们看这个题，在直角坐标系中o是坐标原点p1p2，是第一象限的两点，它都在第一象限，若1x。1s二四依次成等差数列。然后这成等比数列求这个三角形面积，求三角面积，大家知道是什么情况，如果要求三角形面积。啊，第一象限，

比如说两个点。随便画两点吧。是不是要求这个角的p1p2？啊p1p2，然后在这里面，大家呢，就可以看出他这个三角形，这是o点是吧？o点要求这个三角面积的话，是不是用？用这个距离公式啊，所以要用到咱们解几何内容第一步呢？他这四个数要成等差，因为首项主要是一。末项是四，

他正好是一二三四，他公差d正好为一嘛。观察d正好为一是吧？他d正好等于一，所以这个s1正好等于2s二正好等于三。然后这个都能看出来，1y1y二八成等比数列，那这公比q正好就等于二，因为它要在第一象限就不考虑负的了啊。不考虑负的。好，那么就相当于是y1就等于2y二就等于四这样写好了，所以通过这道题我们就可以很快得到p点的坐标p点坐标正好是二二点。是吧p点坐标p二点坐标正好三四点。啊，

这三四这个点。那p二点啊p二点可以朝上画一点也行。咱们画的示意图就不用画那么准了。啊，这样画吧啊p点是二点。然后这个就三四点是吧？就这样的p1p2。好了，那接下来咱们看这个三角形面积，我们看应该怎么去求解那求解那，首先要用两点距离公式算出这个底是吧p1p2？我们可以作为它的两点距离公式p1p2。就等于根号下根号下三减二的平方就是一的方，加上二的平方就等于根号五是吧，所以pp二就等于五。

然后p1p2他的直线方程给求解出来。直线直线方程这块，大家自己去求用，咱们解几何的两点式或者点斜式，最后转换成一般式就可以得到，是2 x-y- 2=0。是吧，这个p1p2它直线方程求出来，求出来以后那么要用原点到直线的距离公式，所以原点到直线距离。就等于根号下a方加b方，然后把这个零零带到里面去，就等于根号五分之二好，这个距离呢，就把它看成三角形的高，

知道吧，圆点到这个直线的距离，把它看的高。那三角形的面积就可以写成二分之一，底乘以高就行了。好，二分之一底乘以高算答就等于一好，这样就求解出来，这样答案应该选择的是e选项好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了。所以通过这道题，大家要知道，根据等差数列和等比数列，然后求出s1s2y1y2，

然后把p1p2坐标找到坐标，找到三角形的面积的话，如果要知道三点。求这样面积，首先要固定一个边用两点距离公式，求出它边长两点距离公式求偏长，然后再用两点写出它直线方程。直线方程，然后再用距离这个算位这个三角形的高高知道以后那么三角面就二分之一底乘以高来做答案就可以了，好，这是它的做题方法思路，看是不是懂了。好了，本章就讲解完毕，大家把一些难点，

尤其呢，一些做题小窍门，还有地理公式问题，要把它弄清楚，多训练一下就可以达到考试要求。

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