033.24-顿悟-专项八-数列-题型1-题型4-V2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:35:20

各位同学大家好，接下来我们学习数列的重难点的归纳和总结啊，数列呢也是咱们数学里面公式比较多的，然后命题呢，稍微难一点的。而且呢，也是很多同学感觉数列不好学的这一块儿，这块儿内容的话，我们在学习的时候一定要啊理解每个公式，它表示原理。和规律，而不是说我把这个公式呢死记硬背，把它记下来，记下来，这个是不行的，

所以我们呢，要知道那个公式尽量呢，它的推导过程是什么样的，要把它弄清楚。这样我们才能在做题中知道它怎么去应用。好，那接下来咱们看一下这个专项。好本专项也带出了重点的考察内容。在考中，大约呢，占三个题目。啊，主要函数呢？主要是考察连续的这种形式，而数列呢是一个特殊的函数，

是一个离散的啊，比如说咱们前面学的y=x平方就是。一个连续的函数就相当于什么叫连续的呢？相当于s可以取整数，也可以取小数，也可以取分数，好，那这是它的这种形式。而如果一个数列n=n^2，那n呢，只能取正整数，所以它是一个离散的这种形式。啊，要想把数列学好的话，首先呢，

要用函数的形式来研究数列。所以啊，用函数思想来进行分析和研究，尤其呢，通项公式与前项和是向无穷形式啊，用有限的一个表达式来表示。啊，比如说大家知道数列呢，它是无数多项，比如像啊奇数一三五七九，它是无穷多项，但咱们可以用一个有限的一个通式来去表示。其次，在数列公差公比性质通项求和比值等知识点求解，主要利用方程组的思维来进行。

分析和解决啊，方程组因为最终都要落脚在方程的一个变现变化和求解上。另外，还要掌握这个数列的求最值的方法，做结合不等式，它的一个极端边界执法与极限的思路来进行求解。啊，用这个方法来进行分析，最后呢，利用数列工具来解决应用题几何问题，概率问题也是近几年考察的一个类型，也就说数列可以跟其他内容相结合在一起考。比如说在应用题里面会涉及到一些数列的东西来进行分析，还有几何体，比如说三角形，

三边成等差或三边成等比。然后概率问题一些呃概率的，比如取几个数，它成等差数列或成等比数列的概率是多少？那这个呢？也是啊，近几年考察的一个热点。那综上啊，数列呢，正好呃，处于各个知识的一个十字交叉口，它联系了那么代数内容，联系了方程内容，联系了咱们应用题内容以及几何和概率内容。所以要加大题目的训练，

才能够达到触类旁通的效果。好，那接下来我们看一下题一题一呢，就特指描写数列，这描写数列就相当于告诉我们要不走寻常路。当数列题目中只有一个条件时，因为咱们知道数列要想确定的话，它需要未知数比较多，如果只有一个条件，在不违背题意的。条件下，在不违背题意条件下，什么要满足题目所给的这个要求，可以直接用特殊值来进行分析和思考。比如说我们可以立即。

公差为零，或者说公比为一，大家知道公差为零，或者公比为一，它就是一个常数列啊，这样的求解方法啊，就是常数列。只要掌握常数，列它的一个求解思路和方法啊，注意一定要检验是否符合题意，如果。是题目中出现，如果公差不为零和公比不为一，那么慎用此法，那你只能是啊选其他的一些特质来进行分析。

所以说第一个类型其实就让我们呃举一些常见的特殊数列来进行分析题目。比如说像例一这个题等差数列an的前项和为SN啊，若s9=72I9要等于72则a 2+a四+a九的值到底是等于几？好，这道题大家可以发现，它只给了一个条件s9=72，那我只要不违背s9=72这个情况下都可以找特值来进行分析。所以这道题我们呢就可以取特值来进行求解。特值的话，我们因为它这个等差数列，我们可以让令公差d为零。啊d的值称号啊，等于0d的值为零，好d的值为零，那这样话我们呢就可以写出它的这个数值是吧？

那大家知道，如果d等于它是一个常数列。常数就SN=n倍的。a1是吧？它是一个常数列好，那就可以写成s9。I就等于九倍的a1，然后就等于72。就推出a正好等于八。a值等于八就写好了啊a的值又求出来a值它等于八啊a值等于八啊，那么我们就可以算出a 2+a四。加a9。然后这样就可以等于八×3就等于24好，这个答案应该选择的是c选项好，这是它做题方法，

看懂了没有？好，那么另外这道题那么一般方法是什么呀？一般方法如果有同学想了解一下，也可以给他写一下一般方法啊，一般方法大家可以结合数列系统来进行分析啊，一般方法。另外，大家知道s9可以写成九倍的a5。等于七十二是吧？我们这样好，这个怎么来的呢？大家知道s九应该等于二分之a一加a九，然后再乘以九。是吧，

然后呢？这a+a九正好等于两个a5是吧？a+a九的值正好两个a5两a5÷2就得到a5就得到九倍a5，所以它要用数列性质来进行分析啊，就得到九倍a5。这样的话就可以得到a5的值，正好等于一个八。a5=8，然后接下来我们再看a 2+a四+a九。啊a 2+a四+9，大家知道二+4+9这样等于15啊二+4+9啊加在一起，它这样等于15。对吧，下标序号序号15可以写成三个a5。当然有，

咱们学过数列的性质，左边呢有三个a，右边也应该有三个a，所以要写三倍的，然后下标它的和啊，两边对应相等，就二+4+9得到十五三×5也得到15。啊，这样就可以得到三×8正好得到24啊，这样就写出它的结果了，答案就是九了。所以通过这道题，大家呢，要掌握它的方法啊，看是不是明白了啊？

好，接下来咱们看例二这个题例二这个题大家呢啊，技巧有相当于是我们呢，也是把它看成。d=0是吧？我们就令d=0转为特殊数列啊，因为它是一个等差数列，我们而且只给了一个条件，所以我们可以令d为零。好d要等于零的时候，那说明所有的a它都是一样的，不管a2-a五+a八，它都等于a1。都等于a1是吧，所以a2这就等于a1a5也等于a1a8也等于a1，

那正好就得到是a1的值a值，它正好就为九。啊a的值，它正好就等于九写好了，这样那接下来这个a 1+a二一直加到a 9+a九正好等于s9。啊s9啊s9，然后就等于九×9就等于81。就得到这个d选项啊，81好，这是它的方法思路，看是不是懂了啊，所以通过这道题大家呢啊，要知道它的考试内容和要点啊，我们呢就是。把它都看成一模一样的，

如果这个一般方法怎么做呢？一般方法就是还是用信纸做知道吧，一般方法就是大家知道a2-a五。加a八，你可以把它写成a二加a八减a五。那这a 2+a八正好等于两a5，两a5再减a5就得到a5。对不对？就等于九，然后它这个地方去了s9s9，我们刚才讲过，就等于九倍的a5，这个等于九×9=81。所以说一般方法是这样来进行求解和分析的，看各位同学是不是听懂了？

所以数列中要结合它的性质，再取些特殊的数列，那这样的话做起来就比较快好看，例三这个题与等比数列各项均为正数。各样都是正的，然后log以二为底a1，加上log以二为底a2，加上一直加到log以二为底a7的值等于七。啊，这样的，所以大家知道这个就告诉我们，它是一个等比数列等比数列，我们就可以令q=1是吧，所以我们可以令。q的值都要等于一。

就等比数列q值，正好为一。咱们说q的值为1q值为一，那接下来我们就可以写成它这个数列都相加求和是吧？求和大家知道对数求和。啊同底对数相加，就能增数相乘，这样的话，其实在这里面说q要为一的时候a1a2a7它都是一模一样的，都都一模一样，那这个对数跟这个对数值也都一样的，所以说。就可以看成是七个这样的对数。是不是七个？因为每个对数，

它是一模一样，七个这样对数，然后又等于七，这样的话就可以得到loge 2底a的值，正好等于个一。好等于一那算完后，那接下来我们可以看到这个a的值呢，正好就等于一个二了。因为咱们知道对数值啊，底数和真数，它要一模一样的时候，这个对数值，它就正好为一是吧，底数真数，它要一样，

它的对数值，它就为一，这个写好了。然后呢？接下来咱们再来看一下，就是就可以推就说a2×a六+a三×a五。啊，就等于二×2再加二×2，所以就得到是八，这个答案就选择c选项好，这是它的做题要点方法，看是不是懂了啊，所以通过这道题，大家呢，要掌握的考试内容和方法。

就是我们呢啊，把它看成一个特殊等比数列来进行分析和求解就可以了，那接下来一般方法怎么做呢？一般方法这样的啊，有同学如果想了解一般方法。因为话大家呃，用咱们对数的公式啊，同底对数相加就能真数相乘，用log以二为底a1×a二一乘到a7。括号啊，这个正好等于七啊，那接下来我们要用这个数列的性质来进行分析，大家知道a1×a七可以写成a4的平方。a2乘以个。a6也等于a4的平方。

a3×5也等于a4的平方是不是？所以说在这里面我们就可以写成。a4的七次方啊，为什么七次方？因为a1×a七是等于a4的平方啊，a2×a6a三×a五。啊，然后中间呢，还多一个a4是吧？所以乘完以后就a4的七次方，就像咱们学过这个对数的运算公式，这个七呢，我们可以把它。呃，提到前面去对吧？

七倍的log以二为底a4的对数，它正好等于七，这样就可以得到a4的值，正好等于一。啊a4纸等于一算出来以后啊，那接下来让求的a2×a六。加上a3×a五。这样就可以写成a2×a六，可以写成a4的平方。a3×a五也可以写成a4的平方。是吧，所以这样的我们呢，就可以写出它的这个数值啊，所以说在这里面我们呢，就这个log是唯一的，

对吧？所以log啊，刚才写到这儿，给大家写一下这个log。这是唯一的log 1，那a4的值就可以算成等于二是吧？所以说通过这个我们解出啊log。以二为底a4，这个对数值是唯一的唯一，然后呢，就可以得到a4值等于2a四值等于二带到里面去，就可以写个结果，对不对？也就是二的平方+2^2就等于八四+4得到是八好，这样的方法看懂了没有啊？

它的这个内容。好，这是它的考试要点，看是不是明白了啊？下面咱们看一下例四这个题。已知数列an的各项均为正数。啊BN满足BN=log以二为底an的对数，这个对数n呢是属于正整数。啊，其中。BN呢是等差数列。毕竟它是一个一个等差的，这是它知道这个考内容，然后a10。乘以a二零一五=2。

啊，这是它的这个给的这个要求则b 1+b二一直加到b二零二四，到底是等于多少？好，大家知道这个BN是等差数列。它的求和。就二零二四，它求和。因咱们学过等差数列求和公式，对吧？等差数列求和公式都等于什么？等于二分之首项加末项。再乘以项数。啊，这是它的等差数列，

它的一个求和公式就首项加末项，除以二再乘以项数。然后接下来我们来看一下这个就变成b 1+b二零二四b一+b二零二四，我们就可以写什么写log以二为底。a1的对数加上log。啊以二为底a二零二四的对对数是吧？这是b1和b二零二四。然后接下来我们再乘以个幺零幺二。因为这个二零二四÷2得到就幺零幺二就写好了。啊，然后大家知道我们前面学过两个同底对数相加就等于真数相乘，所以log以二为底。然后a1×1个。a二零二四。然后再乘以个幺零幺二。

幺幺好，大家注意，如果这个BN要是一个等差数列，其实an它就是一个等比数列。知道吧好，那根据咱们学过等比数列性质等比数列性质，我们就知道。这个a1×a。二零二四正好等于a10×a二零一五，是不是它等于log以二为底？a10×a二零一五？然后再乘以幺零幺二，是不是这样的好a10×a二零一五正好等于二=2就属于这个括号里面，它又变成二了。换变成二就变成log，

以二为底，二的对数，再乘以幺零二，我们前面学过这个对数，就知道log以二为底，二的对数，这正好为一。一乘幺零幺二还等于幺零幺二，这个答案就选择c选项。这是给大家强调的这个特征，好在这里面啊，有个地方可能大家呢，不太明白。为什么an它是一个等比数列？因为BN是一个等差数列，

为什么an是一个等比数列在这里呢？我们可以简单去证一下。好吧，简单去证一下，为什么是一个等比数列啊？因为BN正好等于log以二为底a的。nn次方，我们可以这样去证。这我们看一下它跟它前一项。让两者相减。啊，两者的式相减，这两个相减，大家知道左边这个相减，其实就是公差了，

因为毕竟是一个等差数列，这个题目告诉我们。并得出来这两个相减，就是一个公差d。是不是好这两个相减它的差值等于公差d这两同底对数相减就等于真数相除？an÷an- 1。是不是就等于相除啊，所以两个同底对数相减，就等于真数做除法是吧？得到这个值那，然后大家把这个二。这个对数给它去掉去掉，又变成一个指数就可以得到an除以个an+1 an- 1，这样等于二的。d次方。

所以大家可以发现，这两个相除比值是一个常数，因为d是一个常数，比如它公差为三呀，或者公差为六啊之类的，它公差告诉我们了。找公差d为常数，公差d要为常数，那这个二的d次方，它肯定也是一个常数。好二的第四方，它为一个常数。好，那么它的比值为常数，比值为常数就可以证明n就为等比数列。

啊，就可以证明它是一个等比数列好吧好，这是一个证的方法啊，另外一个证的方法是什么呢？或者这样证也行，这是咱们按照定义证的。或者还可以，怎么证呢？你可以把这个对数去掉，对数去掉的话，你可以把它变成什么变成an，正好等于二的b的N次方。大家知道咱们等比数列特征就是它的一个指数形式。只要指数形式，因为BN它是一个等差数列dn，

它肯定是关于n的一次函数，这个我们学过等差数列通项的同学就知道，等差数列通项，它是关于n的一个一次函数。好，既然是一次函函数，然后二的一个关于n的一次函数，它这个表达式，它又是一个等比数列。它这个有等比数列特征是吧？这样就写出来了。好，那通过这道题，我们就可以发现一个什么特征啊，如果等比数列，

然后取一个对数，当然这个等比数列一定要为正的啊。一个正的等比数列取一个对数，这个变成一个等差数列，知道吧？所以说等比数列。一定正的等等比数列。它取对数。则变为等差数列。比如说如果这道题an要是等比，可以证明BN是等差。啊，必然是等差啊，所以等比数列它取一个对数。比如以二为底对数啊，

或者以十为底对数啊，一亿为底对数啊，都可以好吧，它变为等差数列。好，如果要是等差数列。给它变成指数，取一个指数运算。则变为等比数列。得变为整呃等比数列。比如说以三为底，这是一个上面是一个等。等差啊，以三为底，上面是一个等差。

等差数列，不管是公差为几，等差数列好，这时候它这个数列，整个就变成一个等比数列了好吧，这是它的一个概念方法。所以这道题就考察等差等比它两者的一个互相的一个转化情况呃，此外的话，大家还要知道那么数列的性质。是吧，所以用等差等比数列性质来进行化简题目，比如说它下标的性质，这个咱们经常用在等比数列里面就是a1×a二零二四。等于a10×a二零一五。然后在这等比数列，

它乘法是相等的，等差数列有加法是吧？两个相加是相等的，你就看它下标它的特性。好，这是这道题给了你讲的考方法思路，看各位同学是不是听懂了？好，那接下来看一下题二找规律了解这个年份题是吧？遇到这个年份题的时候，我们要找规律，比如说啊，二零二四二零二五啊。啊，或者二零二六啊，

这样的年龄题啊，出现与年龄相关的那题目本身呢难度比较大，所以说我们呢就可以类似于这样的数字呢，我们可以逐个分析选项。通过选项找规律，后来判断是否符合题意来决定哪个选项是正确的，比如说就这块儿就叫化腐朽为神奇。将来我们呢就呃出其不意，就不按照常规套路来出牌是吧？我们呢？就从其他角度来进行分析，来来来出牌。这样就OK了。好，那接下来咱们看一下例五这个题已知数列an满足a一等于二分之三an加一等于三倍an除以个an加三则a二零二三的值，

到底是等于几？啊a二零二三的值到底是多少？啊，那这道题你常规方法不太会，你怎么弄知道吧？你就把所有的这个二零二三把它看成个n是吧？把下面的这个都换成n，所以说这个。方法一呢，就是我们来替换法啊，替换替换好就n等于二零二三。n等于二零一三，那么这个a选项我们就变成什么了？变成n分之三了？b选项就变成了三分之n了。

c选项变成三分之n减一d选项变成n减一分之三。然后e选项变成三÷n+1，是不是这样的？这样的就相当于这个a二零二三就变成an了。是吧an an化分别用系列来验证行了，因为如果不太会的同学，我给你验证一下，叫a选项a选项相当于an就等于n分之三。是吧an这样等于n分之三就把这二零二三都换成n，所以相当于它求的是an an，这样等于nn分之三an等于n分之三，那么验证一下那an加一。我们现在题干知道吧啊题干。题干，其实在这里面你验证a一就不符合了。

a一等于二分之三，那肯定a选项就不太行是吧？这样a选项就不太行。然后我们看b选项b选项n等于一的时候，这个a的值它也不等于二分之三是吧？这个也不行b选项也不行。然后c选n等一的时候也不满足d选项n等一的时候，它的分母都没有意义是吧？都没有意义，然后e选项看n等一的时候正好是。啊，这个是二分之三，所以说这个都不行啊e呢，是可以的啊en等于一的时候，它正好就二分之三，

然后接下来我们看一下n。等于一的时候是二分之三，然后或者说你验证a一以后再验证一下这个an加一验证完正好是OK的OK，这e选项就写好了好吧，这叫做不走寻常路。啊，它的一个方法知道吧，所以采用这种啊，一些歪门儿邪道就可以把这个答案给它解出来。好，那接下来咱们来看一下这道题，如果一般方法怎么解？一般方法大家要取倒数，为什么要取倒数？因为它这个分母比较复杂，

分子比较简单，一定要把它倒过来，知道吧？所以要取下倒数。表倒出来后，那变成an+1=1个啊，这个an+3÷3倍的an。然后这个账呢，三分之一。是吧，所以说这这么大家可以把这个给它写出来嘛，写出来就是三分之一。括号一加上。an分之三啊，这样的，

然后把这三再给它乘过来啊，三给它乘过来，三乘过来以后就变成什么了，变成。3an+1-3÷an，它正好等于一，这是要用到咱们后面学过的构造一个新数列的方法来做。知道吧，比如说an分之三，那正好呢，把它看成一个BN。就令这个BN正好等于一个an分之三。好，那这个BN这个数列，它又是一个等差数列是吧？

等差数列，它公差正好为一。啊公差呢，正好就为一啊公差为一，那接下来我们看一下首项a一a一的值正好等于二分之三嘛，所以我b一的值就可以写出来b一的值。啊，毕业值就等于a一分之三，然后因为b一呃a一，它正好等于二分之三嘛啊啊二分之三，所以说这个带到里面，然后这个正好就是二。是二这样写好了，好b1的值等于二公差正好为一那这样BN的通项就可以写出来通项。那等于首项加上n- 1倍的公差，

就等于n+1 n+1，它正好就等于三÷an。那an那这个an就可以写出来an an正好就等于一个三÷n+1，但是n+1它要求，比如a二零二三a二零二三那算出来就是e选项了。啊，这是他常规方法做，剩下大家都会做了，懂了吧？所以通过这道题，大家呢，要学会的方法就是我们。啊，常规化不会做的时候，我们可以从选项从其他角度来找到解题的突破口，

这样做题呢，会更快一些。好，那接下来咱们看一下啊，例六这个题。啊已知数列n满足a1=1，且对任意的n属于这个n加星号代表是正整数的意思啊，然后。则有an+1=an+a一再加n，则这个值到底是多少？那在这里面，我们呢就可以呃看一下它的年份啊年份。所以我们可以看一下它最后让求的是a二零二四是吧？a二零二四那接下来我们就可以令二零二四=n，所以先说一下。

不走寻常路的方法，所以令。n等于二零二四。n等于二零二四，它这个就相当于求的是什么情况呢啊？求的就相当于是求的是a一分之一加a二分之一，一直加到点儿点儿加上。an分之一是不是？所以它这个所求的把这个替换，那接下来咱们看一下这个a选项b选项，它的这个表达式。啊a选项啊a选项就变成了n分之。2 n- 1，因为这个分子的四零四六四零四六可以写成二倍的二零二三是吧？二零二三，

然后咱们再来看b选项。啊b选b选项，我们看它变成什么样子了是吧？b选项b选项这个二零二五可以写成n+1这个上下面写成2n。然后再看c选项c选项就是啊n分之n减一，这是c选项d选项就是n加一分之n。这d选项，然后e选项就n分之n加一好，这样的式子，这是然后接下来我们这个写好了，咱们再看一下，如果n等于一的时候看是否满足。是吧，我们再验证一下n，等一的时候。

啊n=1就是相当于是a1的值了，就把它带到原这个式子，它给的是a1正好为一嘛AA就为一，也就说如果。这个n要换成一的话啊a1是不是为一那n要换成一的话，这个a选项就不太行是吧？这个a选项就不太行。n等一啊n等一的时候，这个b选项啊，是唯一的是吧？因为n等一的时候，它这个倒数区，我就代表是只有。一项求和只有一个求和了，只有一个求和的话，

那么a1它值正好为一，所以它这个为1c选项就不行c选c选项，它这个正好。n呢，一是它正好为零，然后d选项这个就不可以。依然不可以，然后e选n等一的时候，这也不行是吧啊，也不可以，所以在这里面它这个值呢，都是不太行的。啊，都不可以，都不可以的话，

那接下来那只有b选项是OK的，这一呢，就选择b，所以大家发现没有对基础比较薄的同学呢，你要学会。找拿分的方法是吧？我们考试要学会拿分，所以先把这个规律性东西写出来，觉得我们再验证一下这个规律，它对不对？是否符合题目要求，这样可以快速排除我们的选项，找到答案，这样就可以了。好，

那这个一般方法怎么做？一般方法做做的话就麻烦一点。因为a的值照要等于1a的值等于一，那说明an+1正好等于一个an+n再加一。所以你把这个a的值换成一带到里面，带到里面，然后这个把这n移过来，移过来之后就是咱们后面要讲过的一个类等差数列。就相当于是可以得到an+1-an，正好等于n+1好，那接下来我们就写入若干项，把an表达式写作an表达式写作，然后再算这个值就ok了是吧？然后大家就可以写作n等一的时候有a2-a一正好等于二，所以n等一的时候对吧n等一的时候a3-a二正好等于三。

一到an-an- 1，正好等于n。然后这个相加。啊相加，然后把这几个加在一起，加在一起，左边是an。减a1右边就是二+3，一直加到n，大家知道这个a1的直径等于一嘛啊，一一把它移到右边来，移到右边就一+2+3加到n，所以an。正好等于一加二加三加了n，正好是一个等差数列求和等于二分之n乘n加一。

是吧，就等于二分之n乘n加一好a呢，只知道了，那接下来还要求这个倒数和我们看an分之一，那an分之一正好就等于二除以n乘n加一，那我们前面学过列项，可以把它列开。列成n分之一减去。n加一分之一裂开的目的，我们为它求和方便，知道吧？求方便接下来，它让求的是一直加到二零二四是吧？这样的话，我们就可以写出来。

就a一分之一加a二分之一。一加到a二零二四。好，那接下来我们写的二倍的第一个就n等于一的时候有一减二分之一。n等于二的时候，二分之一减三分之一啊，一直到最后就二零二四减二零二五。分之一，然后接下来我们来看一下，把这几个给它进行。抵消掉是吧啊，抵消掉抵消掉以后，那接下来我们呢？就会看到，如果前面剩的正的话，

后面一定剩的是负的是吧？所以在这里面，我们呢就可以写出它的这个数值和结果。所以大家呢，就要把这个呃表达式呢，给它弄清楚知道吧，所以这个就是把这个a1带到里面去a2带到里面去，一到a二零二四啊带到里面去，带到里面去就可以写出它的这个结果。好吧，然后接下来我们化简，如果前面剩的正的，后面就剩的负的啊，就等于二倍的这个括号里面剩一减。二零二五分之一，

这样的话就得到二零二五，上面就剩二通分啊，通分二零二四二零二四×2，得到四零四八。啊四零四八好，这样话就是b选项是符合要求的啊，这样做也是可以的好吧，所以通过这道题呢，告诉大家，那他遇到这种。递推数列这种递推公式的话，那应该如何来处理？这是常规的方法。常规方法不会，大家可以按照这个技巧方法来进行求解和分析。

好，接下来咱们看题型三就等差数列，等差数列就是等差数列的这个参数呢？有五个知道吧？也就是首项是a1。公差是d，然后项数是na呢？是通项或者末项，然后s呢？就代表求和，然后它核心参数就a和d。知道吧，有a和d这个a和d也把它称为等差数列的万能参数，知道吧，有所有问题都最终落脚点落脚在a和d上。

是吧，把这个掌握住就可以了，所以利用知二求三的思路来进行求解问题，知二求三是什么意思？它总共这五个参数，五个参数，那么知道其中两个要会求。另外三个知道两个的话，大家呢，就可以把a和d啊给它解出来a和da和d两个。呃，因为知道两个就可以列两个方程，两个未知数嘛，就把a和d看成最基础的未知数来解算，解完后那么根据这个知二求三思路就可以算出其他问题。

好，那接下来咱们看一下考试方向，第一个就等差数列与函数的关系，我们把它看成一个特殊的函数，把它看成关于n的一个函数。第一个等差数列通项公式，通项公式的话就an就等于dn+a-d是关于n的一个一次函数。关于n的一次函数，所以说它的通项，你看这个n正好是一次方关于n的一个一次函数，而且大家注意这个n的系数就是它的公差知道吧，比如说an等于个4n。减五啊，这个是一个等差数列，因为它关于n的是一个一次函数就是一个等差数列。

好，那么等差数列呢？接下来我们呢就可以看到它的公差公差呢？正好就是4n的系数就是公差。然后第二个就相当于SN等于二分之dn方，加上a减二分之d乘以n，这就是它等差数列的求和公式，求公式可以把它看成关于n的无常数的一个二次函数。那这个求和公式，咱们之前都给大家推导过啊，所以说它最关键是常数项为零啊，常数项为零，另外还可以把这个公式做一些等价变形。等号两边同除，以个n从除，

以n后就变成n分之SN，就等于二分之dn，加上a减二分之d，所以可以把它这因为它。n分之SN除完以后啊。大家可以看到，右边正好就是一个关于n的一次函数，右边是关于n的一次函数，那么这样我们就可以看出它的这个表达式是吧？一次函，一次函数，它就是一个等差数列通项。是吧，所以他这个就可以把它看成一个新的，等差数列，

因为它又是一个一次函数，而且公差呢是二分之d好吧啊，再强调一下它s它这个是没有常项，没有常项咱们过原点的一个抛物线。知道吧，所以我们可以把它看成一个特殊的抛物线，咱们学过抛物线开口方向呀，对称轴啊，然后这类，然后它因为长项为零，使它正好过原点的一个抛物线。这样就可以写出来。好，那接下来咱们来看一下。啊例七这个题例七这个题大家知道，

等差数列通项，既然是一次函数一次函数，它这样贡献大家知道一次函数它它画出图来就是条直线啊，所以这里可以用贡献的方法来做啊。所以说例七这道题的方法一。我们可以用共线。啊，什么是贡献呢？大家知道啊，注意它这个数列n它的这个坐标点坐标点，大家注意n把它变成x轴。an把它看成一个y有一点像咱们学过的xy坐标一样啊，这个n把它看成xan把它看成一个y。啊，这样的一个方法知道吧？

就这样它的贡献的这样的一个一个思路，一个方法啊。好，那接下来咱们再来看一下。啊，把它看这个点，看这点的话，所以说这个第一个就是相当于是什么呢？如果不懂同学第一个就是相当于p。AP.这个q。aq.还有一个p+q。AP+q。它这是贡献的三个坐标点，

是贡献，要知道为什么贡献啊，因为它是等差数列，如果要不是等差数列就不行啊，必须等差数列，等差数列它通项。它正好啊，这个把它看特殊点，它正好是贡献的。然后接下来我们来看看它的式子啊，式子大家知道咱们学过几何，三点共线化任两点的斜率它相等。是吧，斜率相等，所以说在这里面，

大家知道这个AP的值正好是q aq值，正好等于p，所以说大家知道两点斜率公式吧。你看斜率公式，有分子相就y坐标相减除，以x坐标相减，这些斜率公式也要知道啊，斜率公式就是。y二减y一除以x二减x一就两点斜率公式忘记，同学给你写一下好，那接下来我们就可以写它的式子。啊y坐标相减除，以s坐标相减。好两点斜率，然后等于后面两点斜率，

反正任意两点都行，后面两点斜率就y坐标相减。AP+q减掉p就是y坐标相减，然后除以s坐标相减，然后这个值。好，大家知道左边这个化简完，它正好就是一个负一对不对？左边化简完，它就是负一。注意，然后这样话就可以推出AP+q正好等于零好，这样答案应该选择a选项。好，这是它的方法思路，

看懂了没有？那么如果这道题大家。这种方法想不到，对于呃基础比较薄的同学方法二也可以用什么呢？用咱们特值法做。特殊法则，特殊法则，比如说p取1 q=2是吧？你你这样啊，做也挺好的是吧？这样做也比较快。所以如果基础不太好，同学，另外呢，考试遇到很多这种字母啊pq看起来眼花缭乱的是吧？

看起来。很容易错，那这时候呢，我们呢，就是取一个特值做，所以p=1 q=2，相当于变成变成a=2。a2=1，然后让你求相当于求a3了。对吧，这样呢，大家求a3好，这样话我们就可以很容易写出来是吧，然后这个时候大家呢，通过a1=2a2=1可以快快速看到d的值上等于负一。

是吧d的值d的值等于负一那a3。这样等于a2+1个d，所以正好就等于零。是吧，这样就也可以很快求出来，这样就避免出现一大一大堆字母是吧啊，字母弄多了容易写错。啊，所以咱们用特征法做，这也可以是吧啊，实在不不行的话，大家呢啊，都用a和d去表示也行，先把d给求出来也可以。是吧，

递给球帅。所以这道题呢，就想到啊an它这个等差数列通项是一个一次函数，而且它的斜率啊，这个n的系数就它斜的斜率至少是。是它的这个公差是吧？所以把这斜率求出来，斜率求出来的话，这种公差公差求出来，那这个就好做了好吧，这个给大家跟讲了做题的方法思路，看是不是懂了？当然，这也可以当做一个结论做好吧，当且AP=q aq=p则AP+q。

然后正好为零，因为它的啊，这个公差正好等于负一好吧，大家自己去推导一下啊，公差就可以求解出来。好，接下来咱们看一下第八题已知等差数列an的前项和为sna+a五=16s13=260，那么求后面这个值到底是多少？好，大家知道，在等差数列里面a 1+a五正好等于一个二倍的a3。是吧a+a五啊，这样等于二倍a3，这根据等差数列的性质得到的啊，得到等于二比a3，

它这样等于16。这样的话，我们就可以推出这个a3是吧？等于八。啊a3这样就等于八这个写好了a3纸。这样等于八好a3纸等于八，那这个求出来以后，那接下来我们就好做了ss 13，这样等于260。s13那s13呢？知道g型13倍的a7是吧？等于260。这样就可以得到a7的值，正好等于20是吧？a7值等于20，

那通过这两个先把d给它求出来d。大家知道a7-a三正好得到四个d，四个d正好得到是12，四个d=12d的值，正好等于三。啊，第二个等于三。啊，等于三那接下来应该怎么做呢？接下来大家可能忘记咱们刚才推导的公式往前翻，可以看到这个公式就n分之SN等于二分之。d乘以n加上a减二分之d是吧？所以说在这里我们用这个性质来进行分析和思考啊，有n分之SN。都要等于二分之d。

n加上a一减二分之d。是不是好它这个公式啊？它的公式以后那接下来啊，我们来看一下啊，这个再给大家写一个公式叫m分之SM。也等于二分之d。m倍的。啊，这个减去二分a减二分之一，然后这两个相减啊，这两个相减，这两个是相减相减就可以得到n分之SN。减去m分之SM正好就等于二分之。n-m倍的d。好就推出这样的一个式子，

对吧？然后这样就写好了，好吧，这样就求解出来了啊。啊，就是n分之SN啊，im分之SM好，这两相减就等于二分之n减m倍的d，这样就写出来了好吧，这就写好了。这样，那接下来相当于是啊，一个是二零二四，一个是二零二零，这样就写求出来了是吧？

一个二零二四，一个二零二零。啊，就二零二四s二零二四减去二零二零分之s二零二零。啊，那这个相当于是等于二分之。二零二四减二零二零得到四，然后再乘以个d，然后大家知道d的值上等于三嘛？d的值等于3d的值等于三，然后带到里面去得到是六。没有这样答案，就选择第四个选项，所以通过这道题，大家呢啊，

第一步要把已知条件。啊，赶紧把这个公差d给它解出来，知道吧，就咱们数列里面它的核心参数就是公差和首项，这里首项呢，没没什么用，就咱就没有解。所以先用性质啊，这个呢，把这个公差d解了，解完后，然后再结合这个n分之SN的特征来进行写，它的结果好看，各位同学是不是听懂了？

都要掌握这样的做题方法。啊，接下来咱们看一下例九，这个题已知等差数列a呢，前项和为sn sn=n^2加2n再加a。则这个数列的最大项与最小项，它的和是多少？和那接下来我们来看看它这个式子啊，它给的是一个等差数列的前项和假如说前项，我们知道它这个长项一定要为零是吧SN？它的常数项一定要为零。单项为零又推出a的值上为零啊a的值上就等于零。是吧a的值它刚好为零啊a的值正好为零，那接下来我们就可以写出啊a的值它为0a的值为零，这个这个刚才们推导过SN它长项为零得到a的值a的值为零呢SN。

对不对n方加2n？啊SN，知道了，那我们马上要找到an是吧？用咱们学过的变换的方法，那变换方法就是把这个当然你不用这个sn-sn- 1去做啊，有同学呢。不知道技巧的话，用sn-sn- 1去做，那这样话就比较复杂是吧？所以在这里面我们呢，就这样做，把这个公式法啊，把这二挪到前面去变成2n。是吧，

所以在这面挪到前面去。就二n，然后再加上n的系数，减去n方的系数n的系数减n方系数就二减一，二减一正好得到是一。所以an正好等于2 n+1就写出来了，对吧啊？这个啊，有同学不太清楚它怎么变换变过来的啊？就这样的。SN如果写成k倍的。n方。加上b倍的n，那这块儿an就可以把它写成2 kn，加上一个b-k。

啊，这样的一个式子，懂了吧？就这样的，然后这个式子怎么得到的呢？就是用sn-sn- 1求an那个公式推导出来的好吧，以后咱就不再推了。这个记法很好记，你就想办法把这个n的平方这个系数二挪到前头去。啊，挪到前面去了，挪到前面去以后，然后后面这个拿b-k就行了，b-k就n的系数再减去n方的系数。这样就可以得到结果了，

好，这是给大家讲的，它的这个公式，然后接下来我们再算一下an- 2÷1个。an- 8。好，那接下来你看an- 2 an- 2的话，那带到里面去就是2 n- 1。这是2 n- 7是吧？所以说把这个an用2 n+1把它换一换换换到里面去，然后你得到这个值。然后然后接下来我们要把它裂开，大家知道分子分母它都有变量，都有变量话，那这个肯定不好求解。

是吧，不好讨论它的取值，所以接下来呢，我们把它写成2 n- 7，然后再加六，是不是这样的？所以把这个减2 n- 7，然后再加六就可以了，然后这是2 n- 7。这样的一个表达式，这能看懂吧？所以把这个减一把它做一下，然后这都是2 n- 7，2 n- 7，然后这块儿我们就可以把它列开了，

就一加上。六÷2 n- 7。好，那接下来咱们看一下。它这个数列最大项和最小项，这项最小项大家知道，那最小项的话肯定是啊，越负的。负的越小，负数越小啊，最大项可能在正的里头找对不对？所以说如果实在不会分析它的最值的话，那在这里面可以根据它单调性来看。一个根单调性，要么呢，

就结合列举法是吧啊，根据它单调性。或者说列举法。这道题如果听不懂的，也可以采用列举法，因为它这个分母会出现负的，负的话会影响单单调性，所以在这里面呢。啊，并不说这个，他就是一个。n越大分母越大，它整个数越小，并不是这样的，因为它有可能是负的啊，

那这样就列举法列举几个行，你看n=1的时候假假设我把这个看成个BN这个数列。比如说把这个括号里面这个分式，把它看成个BN BN的话，那在这里面大家可以看到b一的值b一的值呢，一加上六除以负五。是吧b1的值b2值，你该发现一+6除以个负三。对吧，然后b3的值b3的值就等于一+6除以个负一，那显然大家可以发现这个b3呢，应该是最小的，因为从b4就开始为正的了是吧？b4你看b4。就一+6÷1b5就等于一+6÷3。

所以在这里面，大家可以发现b3呢，应该是最小的最小，因为这个算出来就等于负五，这是最小的。是吧，然后这个呢，算出来等于七，这是最大的啊，最大的好看，这看这里面是不是懂了，如果实在不行呢，要列举几？啊，立即或者说啊，

非会非常单调性的话，你看分母为负负的时候，那么它就是单调递减的，所以说b1。B2B3是越来越小啊b1，然后b2比b1要小，越来越小b3呢？是达到最小了。啊，如果n要为正的话，啊n越大，它这个单调递减。是吧，单项题选就b4，从b4开始，

往后越来越小啊，越小越来越小，就会被减下来，这样的一个情况，懂了吧？好，这是它的这个方法，所以它最大值就是七，最小值就负五，所以最大一，最小的和就得到是二，这样就写好了，这个答案就选择c选项。好，这是它的方法，

所以最大值最小值，大家会分析，所以这道题大家听完后呃，收获是以下几个知识点，第一个知识点的话就相当于是。啊SN，它的特征一定要长方向为零，所以这个a其实呢是等于零的第二个呢，给了SN要会写an可以套公式也可以用。咱们前面的sn-sn- 1去推导也可以。去推导的话，当然就麻烦一点是吧？就sn-sn- 1你去推导。啊，最后就是把an表示写完后如何来讨论一个分式，

它的最值情况啊，尤其这个负的时候，大家呢，别弄错了。啊负的时候，所以说你就列举几个算了，列举几个，然后你可以看出它的这个取值情况，这俩最小值找到以后，那答案就可以写出来，好看各位同学是不是听懂了？啊，接下来看一下，等差数列求和的一个大招公式啊，这个大招公式什么意思呢？

它大招公式的目的是什么？目的是把这个。s1定要转换成a一个s换成一个a知道吧？好，这个大招公式我们看它应该是什么样的是吧SN？应该等于二分之a一加an，然后再乘以n。那SN就等于二分之a加an，然后再乘以n。大家知道这个a加n，我们前面学过这个数学性质可以写成二倍的a二分之n加一。是不是这样的，所以把它这个换过来，就推出了n乘以a二分之n加一，在这里面强调一下。

不管它这个是不是整数，它这个性质都可以用，因为咱们考试它是选择题，所以说不是整数也能用。啊，如果整数的话，大家没问题，比如s9，然后可以形成九倍的a5，你把n=9带到里面去，这个没问题是吧？但是如果s12可以写12倍的a六点儿五，也说这个带点儿五没没问题，因为咱们是选择题，它又不看过程。

所以你把它看成一个a六点五，其他运算跟咱们。等差数列运算是一样的是吧？只训一个点儿五。知道吧，把它看成一个点五，这样就可以了。好，那接下来咱们来看一下这样的题目。好看一下，这个题已知等差数列它的前项和为SN啊，若m大于一，那么有这个式。啊s2 m- 1=39，这m等于几，

所以说也就是说我们所有的都用a来表示就行了，大家知道。这个am- 1。加上am+1这块儿，其实就是二倍的am，是不是这样的，大家可以发现它的2倍的am这样的是吧？就am- 1+am+1这样的2倍am，所以这样的话就可以得到二倍的am。减去am的平方减一，它正好等于零，是不是？所以说这样就写出来了，对不对？应该得到二倍am减am平方减一，

它正好为零。那这样的话就得到am这个这个大家两边同变一个负号就可以把配方配方配成am- 1^2，正好为零。我们学过完形平方公式就可以得到am指正等于一。am=1代表什么意思？代表它是一个常数列啊，这个等差数列就是一个常数列，既然常数列的话，那大家知道s2 m- 1。可以写成2 m- 1倍的a1。是吧，因为它这个常数列am都等于1a一，它也为一，所以就等于2 m- 1，它正好等于39。

那样m的值就可以求解出来m值就等于20，这样算出来了，所以这道题这个答案就选择b选项。大家求解方法，看是不是懂了啊？在哪里选b？它的做题要点方法啊？啊，接下来咱们看一下例11这个题例11啊两等呢是a和b，它们前项和之比为这个数。求两个数列第九项之比是多少啊？这个呢？我们给也给大家写写过一个公式，就两个等差数列它的求和。跟它的元素比之间的关系好吧，

所以在这里面就是比如说AK比上bk。就等于s2 k- 1比上t2 k- 1啊，这个an和bnb都是都得是等差数列啊，一定要注意，如果要不是等差数列就不满这个性质。说的是等差数列。啊，那这接下来我们可以看AK比bk这样的s2 k- 1比上t2 k- 1是吧啊？比上这样的一个式子。好，这是呢，接下来这个是怎么来的？给大家进行简单推导一下好吧，推导大家知道s2 k- 1刚才已经写了，可以写成2 k- 1。

乘以个AK。然后t2 k- 1就等于2 k- 1乘以个dk。好，那这个是怎么来的呢？这个就用套，刚刚咱们讲过的那个公式，这个刚才这个写的公式之后把这个n。换成2 k- 1就行了啊，就是如果没听懂，可以把这个n呐，自己在言论纸上换一换，把n换成2 k- 1就可以得到结果。好吧，这样就写出来了。好，

那接下来咱们呢就可以看它的值，然后这两个套公式就可以得到结果，所以说它让求的是。a9比上b9。然后正好他给的是5 n+3比上2 n- 1嘛，所以把n换成九就行了，所以五×9+3÷2×9。减一是吧？这样的啊，这样的，所以把这个呃这这这多写一步啊，多写一步，它应该等于s。就把这个k换成九。把k换成九的话，

就得到是17。点t17。是不是这样的好，接下来大家知道这个SN比上tn正好等于这个值，所以把n换成17就行了。把它换成十七，这样就可以了是吧？然后这就是三十三，这就是八十八，这就得到三分之八。好，最简单应该选择的是e选项。好，这是它做题方法，看懂了没有啊？

所以大家呢，就是首先要知道两等的数列，它的元素比和求和比之间的关系，然后再套这个公式，相当于k呢取九带到里面去就会得到答案了。好，那接下来咱们来看一下这道题，是求这个最值问题啊，好，那等差数列an它的前项和VS n。a2大于等于3 AA 2就不用管它了。s5s5小于等于30，那从s5找突破口。so可以写成五倍的a3。是吧，

它要小于等于30，这样可以得到a3，它小于等于六。a3的小等六，所以两边。啊，同时约一约约得到a3是小于等于六的啊，这样的方法这个能懂吧？a3的值是小于等于六。啊a3小小小于等于六，那在这里面啊a2要大于等于三，要等于三好，大家知道这个a1。a2 AA 3，它的间隔都是一样，

这个间隔是d，这个间隔它也是d是吧？它间距它都一样。监狱它都是d监督d，大家知道啊，那么这个间距越大a就越小嘛，就大家离得越远嘛，离远它越小。是吧，越小越小，那就我们就看一下a2跟a3，它间距那么怎么样？更远一点。是吧，间距啊，

怎怎么样就更远一些，更远一些，那在这里面大家知道这个。这个a3你画一个数轴也也能看出来好吧，画一个数。数轴数轴的话，那这个就是三，这个是六是吧？六也就说这个a3呢，应该是小于等于六的。是吧a3在六左边。然后呢a2呢？是在山右边是吧？a2在山右边那么两个要离得远一点是吧？离得远一点，

一个在六左边，一个在山右边，离得远一点呢？有一个取三，一个取六了。是吧，就是a2和a3一个取三，一个取六好，那它距离呢？是最远的了，距离最远，这个能懂吧？就a3它必须得往。a6左边跑知道吧？左边跑，

然后a2的话，它必须往山右边跑。a2它必须往三右边儿来来跑，所以说它两个不能够离得近是吧？离得近不能离得近，要离得远的话只能取这个边界点。一个三，一个六，取一个边一点有边一点啊，那在这里面大家就可以看到三跟六，它的距离正好为三为三的话，那这就为零答案就写写出来了是吧？这里呢，就选择b。所以这个a的值就这样，

间距大一点就可以了啊，这是可能有同学呢，没有想到没有想到的话那么。还一个思路呢，就用不等式，如果你把a3和a2都换成a和d去表示好吧，来解一个不等式也行。大家知道a3a3就等于a1+2d。小于等于六。a2a2正好等于a 1+d要大于等于三。啊，大于等于三。然后在在这里面啊，第二个方程可以两边通乘一个负二通乘以负二通乘以负二就变成负二a一减二d。小于大于等于号变成小于等于号是吧？

大于等于号变成小于等于号，所以两边通成一个负号通成一个负号以后呢啊，这一块儿大家可以看到那么？这个大于号变成小于号，大家知道这两个都是小于号，都是小于号，它就可以相加了。把都选好，那这个小于等于这个小于等于这两个都小于等于小于等于这两个可以相加是吧？这两个式呢？就可以相加。啊，这两式相加就行，相加就行，就六跟负六相加，

这样为零二d和负2d相加也为零，然后左边相加就变成一个负的a1。小于等于零说明a1是大于等于零的，这能看到吧，所以。第一个跟这个相加相加完后，那这个就相当于负的a1。然后小于等于零注意它不等号，必须同向的时候才能相加啊，比如说都是小于号。或者都大于号的时候，它方向相同才能相加，如果一个小于号，一个大于号是不能相加的，大家一定要掌握住。

好，那得到这个a1大于等于a1大于。当等于0a一的最小值就是零是吧？最小值就是零，这样就写好了啊，看这个明白没有就写出来了啊，它的方法。好，接下来咱们看一下题型四就等比于函数的关系啊，等比数列它跟函数的这个关系。好，那我们看一下它的思路。它结论第一个就是SN，如果等于a倍的an+b啊，则an它就为等比数列。

啊未等比数列啊，为什么这些这些关系呢？怎么来的？你要把原始式给它写出来，知道吧？原始比如说这个an是不是等于a1×q的？n- 1次方，这是等比数列通项还有有没有印象，然后sn sn可以把它写成。一减q分之a一乘以一减q的N次方。是不是然后这样？啊，这是它的这个方法。啊，那么也可以把它写成一减q分之a一减去an q。

是不是也可以这样写？啊写这样写，然后大家就可以把它呢，把它给它这个变下形变变变下形就可以写成。q减一分之q，乘以个an。是吧，也就说这个上下变一个负号，为什么变一个负号？因为这个是负的an q负的nq上下变个负号，一减q变成q减一。所以这个an旁边还有一个q，所以要q减一分之q乘以an。然后再加上a1÷1-q是吧？a1÷1-q好，

你可以把这一块儿。这块儿把它看成一个a。这一块儿把它看成一个b，这能看到吧，所以这一块儿把它看成a，这一块儿把它看成一个b就写好了啊，能懂吧啊，这是它的。这个数列的一个方法啊，看是不是明白了？然后这是第一个啊，第一个如果SN正好写成a大a乘以个an，加上大写的b啊，这个正好呢，就可以看成一个等比数列。

第二个s=c×qn次方加d。加d当c+d=0就是c=-d时，那么这个它这个SN对应的就是等比数列前项和。好，为什么呢？咱们呢？还是从这开始说起，从这。这个开始说，你可以把这个什么呢？把这个a1÷1-q，把它看成一个大c。是吧a除以一减q，把它看大c，然后看大c以后变成什么变成SN等于个大c乘以个一减q的N次方。

是不是就把这个画蓝色的部分，把它看成大写c，这样的话就可以把它写成c，减去c×q的N次方？是吧，得到c-c×q的N次方，大家发现这个呢啊，相当于是cq的N次方，再加上一个d。啊像像那个就就相当于是你把这样写吧，就相当于负的。c×qn次方加c，这大家可以发现。也就说这个数跟这个数，它正好是什么？

正好相差一个负号，看到没有，所以这是负c，这是c。的负c，这是c就咱们在公式里面c正好是我这个负c啊公式里面这个c叫负c。啊，所以说也就说当这两个相加系数为零，或者互为相反数时，那这个呢？它是一个等比数列，如果它要不满足这个不满足这个话，它从第二项。其为等比数列，比如它这个后面常数不满足，

因为咱们讲过SN中的常数项只影响首项，不影响其他项，所以在这里面它从第二项开始为等比数列。啊，第三个当q不等于一的时候q不等于SN比上SM=q的n-m比上q的。呃q的N次方减mqm次方减m为什么呢？因为大家知道两个相除的时候SN和SM相除的时候。这个共同的a一和一减q，它相同的时候，它正好就抵消掉了啊，抵消掉以后，那它这个是只剩下q的N次方减一和q的m次方减一。得到这样的一个方法，懂了吧？这是它的这个做题的要点啊。

好，那接下来咱们看一下啊，第13题这个题。啊若等比数列前项，满足这个值，那么则a加一二一直加到。啊an的平方到底等于几？其实这道题就让我们考察呢，考察第二个是吧？考察第二第二个就相当于是它这个系数。一定要互为相反数知道吧，互为相反数，所以SN=3×2的N次方加上m。这m值正好等于负一。m是等于负一，

那怎么判断这个外面这个三不管它，大家知道二的N次方，它前面系数正好为一二N次方系数为1m的系数正好是负一。是吧m的系数这样的负一，然后这块儿我们就可以得到它的值是吧m这样的负一得到这个结果？嗯m值那这样等于负一。好m值等于负一，然后接下来我们呢就OK了啊，这个一下就可以看出来，知道吧，就不用再一点点的去进行推导了啊，就通过上面这个小技巧。就是这样，能看到m=- 1呢，说明SN正好等于三×2的N次方减一。

这样的式子，但是然后这样的话就可以得到a1方加a2方一加到an方，注意这个a呢通项就可以写出来，或者说不写通项型，先把a1和q解出来就行了。a正好等于s，一正好等于三，然后QQ正好等于2 q=2，怎么看呢？知道吧？这个指数的底数部分，它就是q。宇宙部分它就q好，那么a1方加a2方一加到an方，它的它也是个等比数列，

知道吧？就a1方加a2方一加到。an方，它也是一个等比数列。它也是个等比数列哈，它的首项正好是三，然后公比是q平方啊，把每一项平方完以后，它仍然是等比数列公比，正好是q平方。所以它公比相当于四知道吧，所以它就等于一减公比分之，那这里还有一个小技巧，你知道什么技巧吧？你直接让n=1的时候，

然后排除选项，这样也很快，因为n=1的时候n=1的时候a是为三的a为3a的平方就为九。a的平方就为九，所以说n=1的时候在这里面看它是不是为九那c选项，你就可以得到好吧，然后既然想做也可以做它的公比。啊，这个平方以后公比为四就一减公比分之首项。首项是九啊，首项是九，因为是首项是a的平方×1-q的n次方。然后剩下月月账呢，三倍的四的N次方减一。单位四人，

厨房简易正确，答案就选择c选项啊，这道做题方法思路看是不懂啊，所以通过这道题，大家呢，要掌握的解题要点就是我们首先要根据。等比数列它的SN的特征，一定要会分析和思考，那么此外我们在做题的时候。啊，要掌握啊，那么a和公比q这样的一个核心参数，核心参数，然后还要知道把每项平方完以后。每项平方完以后啊，

它这个值啊，它的公比也是原来的平方，知道吧，然后把它平方一下就OK了。好，这是它的处理方法，思路看是不是懂了啊？好，接下来咱们看下这个题。啊，那么an是首项唯一的一个等比数列SN是an的前项和然后呢？且九位s 3=s六。则这个倒数的前方项和到底多少好，大家大家可以看它首项是唯一的一个等比数列整为等比数列，我们在求和的时候我们先看一下q会不会为1 q=1的时候看行不行？

大家知道q要。等于一的时候，九倍的s3。930再等于九×3倍的a1是吧？然后然后等于s6s6的话，正好等于六倍的a1，那这个a1的值只能为零。而AH值为AH值为零，那肯定是啊，矛盾的肯定是不符合题意的是吧，因为咱们知道等比数列，它肯定不能为为零。是吧，所以这个就产生矛盾，不然的话说明这q不能等于。

啊q不等于1q不等于一，那接下来咱们来看一下这个通过九倍的s 3=s六，我们就可以得到什么式子？这样900s三=s六啊，你这样写，大家知道可以写s6变成s3，正好等于九。是吧，所以你可以把它写成s6比s3=9，大家知道s6s6比s3正好套，刚才咱们讲的公式啊，就最后这个公式知道吧？所以我们套最后的公式可以写成什么呢？写成一减q的六次方比上一减q的三次方正好等等于九。好，

那接下来分子的一减q六次方，大家可以用平方差公式，平方差公式可以写成。一减q的三次方乘以个一加q的三次方，然后再比上一减q的三次方，这样的一加q的三次方。e IQ上的话，它正好就为九。九九呢q解出就等于二是吧？q解出等于2q解出等于二，那接下来就好做了，那接接下来首项呢？告诉我们首项知道了a。等于1q正好为二。那求an分之一的前五项之和，

大家注意把倒过来以后啊，倒以后它的首项。是a一分之一公比是q分之一，它也是一个等比数列，知道吧，所以要求a一加a二。b+a五，这样就等于一个首项。有一减q，它的q是二分之一啊q是二分之一，首项是a分之一，因为a是一a是一一分之一，它也也是一。乘以个啊，一减q的五次方。

是吧e-q的五次方好，那这个就很好算了是吧？然后这块儿就得到上面算出来是32分之。啊，三十二分之三十一，然后再乘以二得到十六分之三十一。这难就选择c选项啊，这是它做题方法啊，看这个懂了没有啊，就通过这个题，大家呢，要知道它的考试要点就是我们在做题的时候。啊，要先讨论q=1会会不会分析啊？所以在这里面大家呢，

就怕有的选项呢，有两个值，所以说q=1先。试着写写写，如果解说是矛盾的话，这种情况就舍掉，如果q=1也符合要求的话，那这道题就会选择两个值，知道吧？所以大家做题的时候一定要细心点，别弄错了。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册