032.24-顿悟-专项八-数列-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:35:06

好，我们来看第一题，那给了一个这个式求通项到底是多少？求通项当然这道题大家也可以也可以验证选项取特值是吧？所以这个大家也可以取特值验证选项这类方法，我就不再。说了啊，因为这类方法不能训练大家的知识点的能力啊，比如说n取一的时候，你看它是否满足a1=2，然后n取二的时候把a2给它求解出来。是不是所以在这里面大家呢啊？就是取特值排除选项啊，特征法它的优点是比较简便，它缺点什么呢？

缺点呢？就相当于是排除不那么彻底。所以说呃，取完特质还要再取其他特质，再验证一下。好，那这道题我们来看一下，应该怎么做？这道题其实让大家构造一个新数列，听到没？构造一个新的数列来进行分分析。构造新数列an+1=2倍an+3则通项an到底是多少？好，那我们可以看到它的这个表达式是吧啊？我们前面讲，

如果an+1。等于q倍的an+1个d啊，等于q倍n+1个d好得到这样的一个式子，得到这个式子在这里面，大家呢，就可以把它进行。呃，变形变形，如果要不知道怎么变形，可以给它一个待定系数，比如说an+1+c=q倍的an+c。好，这个c到底是多少呢？大家可以把这个呃展开展开，然后合并一下，

等于这个d，然后通过这个c的值，那大家可以看这个是不是q×c啊？q×c，然后再减掉c，把这c从左边移过来嘛，是不是正好等于这个d呀？这也说d应该等于qc-c，这样就可以把c的值给大家求解出来。好吧，所以这道题就可以把它进行拼凑和变形啊，构造一个新的数列来进行分析，直接c就等于d÷q- 1。啊，所以这道题我们就两边都给它加一个三就行了，

相当于咱们这个考题，它的c相当于等于三啊。所以就两边都给它加上三。你套上面公式加上三就等于二倍的an+3，然后这时候我们就列一个新的数列列BN。等于an+3。好BN=n+3，那这个得到BN+1。BN+a就等于二倍的BN。是吧BN+a就等于二倍的BN。好BN+1就等于二倍的BN好BN+1=2倍的BN，那在这里面我们呢，就得看它的是一个等比数列和公比。是为二的，然后看它首项b1是不是等于a1+3呀？

b1那就求解是五是吧？所以b1b1呢就等于a1+3，所以说在这里面就得到是五。好b1=5公比为二，这样的话就可以把BN的通项写作BN就等于首项乘以公比的n- 1次方。然后这块，然后正好等于一个an+3。啊，就推出an。就等于五×2的n- 1次方再减三好，这样大家选择d选项啊，这也是考过的真题，跟这个样子是一样的，只不过真题呢，他把这个问法调整，

它让求a100的值到底是多少？求a100的值，那这道题呃，要求a100，那我们呢？就把n=100带到里面去就可以了啊。好，那这道题呢？把这个形式啊，可以进行呃变形构造，把它看成一个新数列，有点像咱们前面讲的换元，把这个看成一个整体换元。把它看成一个新数列，这个新数列就是一个等比数列，

然后求解就可以了。好，第二个题，那就相当于是x不等于y两个数列各成等差数列，求这个值到底说那么关键找公差是不是关键要找公公差的值啊？所以这个第一个它有四个元素，四个元素，它公差d公差d正好等于y-x除以个四。对吧啊，这个这是第一吧，就第一个它的这个公差，第二公差它有五个元素嘛。啊，五个元素，五个元素就y-x÷1个。

五是不是所以在这里面？大家就可以写出它的数值情况是吧？这这个里面都要减一个，一是吧，都要减一个一。好，然后这样就写出它的数值了啊，所以就套咱们等差数列的公式啊，公式两元素相减除，以它角标相减。就就行了好，那在这里面大家可以看它这个正好是呃三分之y减x。好，这个得到四分之y减x是不是？然后这样我们就可以求出a二。

减a1，除以个b2，减b1的值。好，那么a2-a一这样的第一个它的公差。这个是第二，它的公差是不是？然后这样我们就可以写成等于三分之四。这咱就选择b选项，当然就求解出来了，就通过这道题，大家要给我们几个数，要会写它的公差的一个形式，一个表达式。下面我们来看一下第三题，

这个题好，那么等差数列an中a1，它等于1a三+a五=14那么？那么，前项和等于这个求n，其实我们前面讲过数列，你都把它转化为等差数列转化为首项和。呃，公差用这个基础差来表示是吧？所以呢a1为一，那么a 3+a 5a三可以写成a1，加上两个da 5可以写成a1+4个d。所以这个a1a1就可以写成二，加上六个d，它等于14好，

这个d上就等于二，这样求解出来了。好吧，然后d的值就等于二就写好了，写好，然后SN它等于100 SN我们就可以写成什么可以写成n倍的a1。啊，加上就n倍的a一把公式来写一下，就加上二分之n乘n减一倍的d。好，那在这里a1呢？是一就n这个地址等于二嘛？二除完号就是n方减n。它等于n方，就等于100好，

因为这个n它肯定是正数n就取十这个呢，你选择b选项。这道题呢，不是很难，大家呢，只要套公式，所有的都把它转换成用a和d去表示，然后解出这里面的参数就可以了。然后第四题这个我们前面在讲，比如说给大家讲过，就奇数项，还有偶数项之和，它这个数列共有2 n+1项。空格加2 n+1项，在这里我们通过这道题可以给大家总结一下，

如果等差数列。等差数列，如果共这个2n项的话。这时候奇数项。它有n项。偶数项，它也有n项。啊，两者的差值就是它求和的差值啊，就so-sg应该等于n倍的d。是吧，就等于n倍的d这个我们前面做呃题的时候做例题的时候给大家强调过是吧，如果它要是共2 n+1项呢？共有人加一项，这时候奇数项，

它多一个。是n+1项。偶数项。好，它就是n项。偶数项，它的nn项，这就是它的差值差值，咱们把奇数项奇数项给它呃，就第2 n+1项给它抹掉抹掉话，都把它看成2n项，听到没？比如说有五项五项，把第五项给它去掉。前面是不是四项四项的话，

那么它的差值so-sg是不是就等于n倍的d是吧？如果把这个项给它抹掉。现在把这个奇数项里面添上，最后一项就相当再减去个a2 n+1就行了，是不是就再添上一项，这样就可以了？好，那接下来我们来看这道题，在它上求什么求an+1到底等于多少是吧啊？求an+1的值。好，那接下来我们来看一下它奇偶项和290偶项和呢是261是吧？二百六六十一好，那我们就套这个四吧。就s偶减s奇。

等于n倍的d-a 2 n+1好，那么它让求an+1是不是？求an+1，我们把这个a2 n+1用an+1来表示吧，好吧，这n倍的d- 1个。an+1啊，那么它这个a2 n+1。是不是再给它加上一个这个，这个减去一个nd就行了？是不是也就说它这个数呢？正好等于它加上nd。是不是这样的值啊啊？所以这样就推出，正好等于an+1是不是这样的，

所以这样就推导好了，所以我们把上面的这个nd- 1个。这个2 n+1这样推导出来就等于负的an+1好，因为这有个负号啊，所以把这个a2 n+1可以写成an+1，然后再加上一个n倍的d。是吧，它正好多了一个n倍的d。然后这两个n倍的d，它正好抵消掉得到负的an+1，这样就求出来了，所以这道题的an+1。应该等于一个啊，290-261得到就是29答案，选择b选项就求出来了，

好看这个题是不是学会了？好，这道题大家把咱们总结的地方记下来，咱们前面做例题的时候啊，一个数列共有偶数项，还有共有奇数项，然后它的特征，它的差值的分析方法，要学会分析。好，第五题第五题这个公式咱们前面推导过，我们再写一写就不再推了啊，就是如果两个等差数列AK比上bk。就等于s2 k- 1。比上t2 k- 1好吧，

所以说在这里面就AK比上bk=rs 2 k- 1。比上t2 k- 1，这样就写好了，写好了在这里面，我们就可以看出这个k的值在咱们这道题取五是吧？a5比上b5就等于s9比上t9。好s9就等于七×9，这是九+3。好，那在这里面大家就可以写出它的数值来，是不是？然后得到是二十一啊，四分之二十一，这些答案就求解出来了。所以通过这道题，

大家背一下这个公式，这个公式咱们前面推导过，现在也不再给大家进行推导了啊。然后第六个它设数列前项为SN，它这SN也没告诉我们是什么东西是吧？且a4=54求a1的值到底是多少？好好，那在这里面大家呢呃就可以。看出来这其实就是一个等比数列啊，这个其实就是一个等比数列，如果如果要一般方法的信息，一般方法如果看不出来的话，看不出来的话，那么这个。n=1的时候，

我们可以解出这个a1的值，就等于s1n大于等于二的时候，那么an它要等于sn-sn减减减一。是吧，用这个式，因为它知道a4的值等于54，那么这个a4它就可以写成s4-s三。好，这样就可以把里面这个a一求出来是吧？然后s四减s三就等于二分之a一乘以三的四方减三的三三次方。是不是这样的，它等于54。好等于54，好等于54的话，在这里面我们就可以把a1的值给它解a1的值，

正好正好等于二。a的值等于二好a的值，这样就求出来了，这样答案就选择a选项，答案就写好了好吧，这一般的方法。好那么呃，另外简便方法简便方法，那么怎么看出这s这个等比数列？我们刚才讲了，如果SN要写成a+b乘以个qn。啊a+b=0的时候。那这个它就是为等比数列。对吧？a+b=0的时候，

我们可以看这道题，这道题呢，你把它稍微整理一下，整理一下，这个就是a+b，它正好就为零好吧，所以这个就为等比数列等等，而且这个底数。啊，这个指数和底数有它的公比，这个底数有它的公比，所以呢，它这里的公比呢，就相当于是几啊，相当于是三。

所以这道题的公比。公比为三，公比为三的话，那么这个a1它要等于a4除以个q的三次方就等于54除以个27得到是二，这样算也可以。啊，这样大家要学会辨认，也说考试的时候他经常不告诉我们是什么数列，跟他所给的表达式特征，要学会辨认和思考，辨认完以后我们就可以写出它的表达式和关系。好，第七题这道题是考察两个数列啊，一个是等差数列，一个是各项都为正的等比数列，

然后给了a1给了b 3+a 3a五加。b5那通过这些值啊，我们就要找到它的公差和。它的公比来是不是好？那我们来看一下它的这个特征，那么a 3+b三。a3是不是等于一加上两个d啊？b3是不是等于一×q^2=1个七，然后a 5+b五？a5=1，加上四个d是不是b5可以选一×q的四方？然后它等于一个二一，然后在这里面，我们稍微把它化简一下，化简得到是这个2d，

加上q方等于个六。这个4 d+q的四方，它等于20，然后这个乘以个两倍，然后两式相减，把d给它消掉好吧，乘个两倍。所以两倍相减就得到q4方减二倍的q方。好，然后这一块减八为零。好，这个十字相乘，因式分解这个q的四次方，我们前面遇到过，我们把它q的平方看那个，

整体看那个t听懂没，然后这时候把它看成关于t的一个二次方程，然后解就行了。这一一这八可以写成二四，然后这个是负的啊负的，所以q平方它不能取负的q平方，它只能取四，只能取四呢那q呢？只能取二，为什么？因为它数量是正数的，等比数列这个q呢，肯定是大于零的是吧？这种等比数列。好q呢，

是为2q为二带到第一个式也好带到第二式也好，那在这里面大家呢就可以求出d的值就为一。啊d的值为1d的为它呢？求什么求an比上BN是吧？好那么an比上BN我们就可以写成an比上BN。好，那么an就等于一个呃它的通项嘛，是不是啊？它通项通项，因为它首项为一公差也为一，其实它就是n。它的就是n，然后这个等比数列，它的首项为一公比呢是二，所以它的这个二。

的n- 1次方是吧？这个呢？应该选择b选项答案就求解出来了好，那这道题大家要掌握的方法就一个等差一个等比要会利用它的。呃，通项的公式，然后来写。好，那我们来看第八题，这两个方程，而且告诉我们a不等于BA不等于b，说明这两个方程呢根是不一样的是吧？根式不一样，它四个根可以组成首项为四分之一的等差数列，就是它把它排排。

可以排成一个首项为四乘之一等差数列好则a+b的值到到底多少？这道题其实把a的值和b的值求出来就行了。这是它四个根四根，大家知道要数列比方，假如这个等差数列就是a1a2a3。a4好讲，这就是四个数，构成一个数，列个位数列，我们知道等差数列的性质。现在是不是a 1+a四应该等于a 2+a三呀？是不是就a 1+a四=a二+a三？是不是这样的啊？这样的好，那么大家可以发现这个方程的两根之和跟这个方程两个之和它是一样的，

你发现没有，你看它s方跟负s这个一样。它们两个不一样，就只不过这个长度项不太一样，是不是这个长长度项它是不太一样的，对不对？啊，长项它是不一样的。常用下它也是不一样的呃呃，是是是不是这样的特征？好，那这是它的这个关系，是不是这个长项它是不一样的呀？好不一样的，然后在这里面，

我们呢就可以看出它的两根之和跟它两个之和是一样的一样，那就说明什么问题啊，说明这四个根。谁是第一个方程？谁是第二方程？因为假如a1和a4是第一个方程的根，a2和a3。是第二方程的根。a2和a3是第二个方程的根。是不是第二个方程的根，然后这一块儿它的这个特征啊，那么正好满足这个好满足这个，然后我们看加首项四分之一，对吧？首项四分之一。

那说明这个根据韦达定理啊，韦达定理。为它定的就是两根之和。这道题是等于二分之一的，然后这道四分之一啊，那么在这里面我们呢，就可以写出两两两个正好它为一是吧，两个正好它为一。两只它为一，那这个四分之一，这个就是四分之三啊，用韦达定理啊，它两只和它正好为一。好v一这有四分之三，这就写好了，

写好以后那么首项知道了，这个知道了就可以求出公差d对吧？公差d就等于四分之三减四分之一，除以个三。是吧，除以个三，然后这时候呢，我们就可以得到它的数值，得到是六分之一。好得到是六分之一，这样就写好了，是不是公差d啊？这就求出来了，求出来是六分之一六分之一，那这个a二的值就等于四分之一，

加上六分之一。是吧，就是四分之一加六分之一。这不等于十二分之三加二嘛，是不是？所以在这里面大家呢？就十二分之五。对吧，十二分之五，然后再加上一个六分之一也就十二分之七。对不对？所以这样就可以写出它的呃，这个特征啊，所以a2值和a3的值就可以写出来。写出来那这个a的值是等于几呢？

a的值就等于个两根乘积是不是两根乘积就等于四分之一乘以四分之三？就等于十六分之三，然后b的值就等于十二分之五乘以十二分之七，然后这样的。结果这样就可以写出来。好吧，所以这样就得到是一百四十四分之三十五好，它现在让求a加b的值是吧求？求a呃a加b的值那求a加b的值在这里面，我们就可以把它通分嘛a加b不等于十六分之三。加上一百四十四分之三三十五嘛啊，这个就很容易通分，所以这个上下是不是得通成一个九啊？同分个九，同分个九，

就是27+35，这是幺四四是吧？然后这个是72除以幺四四。然后上下呢，大家再约一约啊，约一约，约完之后我们就可以得到它的结果，所以在这里面那么大家自己约一约，约完上下大家约掉一个。这个啊二就可以得到七十二分之它的这个得呃，得到这个六十二是吧六十二，然后上下约掉，然后得到七十二分之三十一。最难选d选项，这样就写好了好，

那通过这道题，大家要掌握的做题方法啊，就是给大家强调一下，首先要知道数列的性质，这四个数乘等差数列，它数列的性质要知道。另外，观察这两个方程要结合表达定理，然后两根之和，大家可以看这个方程，两个之和跟这个方程，两个之和呢是一样的，一样我们就知道这这四个数。啊，哪两个数是第一个方程的根，

哪两个数是第二个方程的根就可以确定出来，确定出来以后，接下来我们呢就再用给它定理，把a和b给它解出来就可以写出它的。答案和方法看是不是明白了？下面我们来看一下第九题，这个题它求这个SN啊，等于几它给了这个a。n减四等于三十，然后求这个n好，那我们来看一下这个s九知道了是吧？s九s九是不是可以写成二分之a一加a九？再乘以九=18是吧啊？等于18，然后这样就可以推出a 1+a九，

它等于四。a+a九，它正好为四，然后咱们再看一下an- 4。好an- 4它的值好an- 4在这里面，我们来看那么怎么样去进行分析？是不是所以在这里面它给了an- 4？等于30这个n呐，括号是注明大于九的。大大于九，我们看看这个元素下角标的性质能不能用一用好吧，我们看这个SN到底什么样东西？SN好SN，大家可以发现是不就可以写成二分之a一加an？然后再乘以n是不是这样的好，

我们看看这个这个等于30，我们看这大家知道这个a 1+an。a+an是不正好可以写成a5，加上an- 4是不是你看这个一跟n相加下角标相加是不是正好是n+1啊？这个五跟n- 4相加，这也是n+1是不是？所以这个an- 4它等于30 an- 4=30，那在这里面只要把a5求出来就行了a 1+a九是不是正好等于两倍的a5啊？这个推出a5是不是正好等于二是吧？a5=2那这样的话，我们就做起来就简单了，所以这个a5是二，然后这个30，然后再乘以n。它等于336。

好，那这个就得到了16嘛，是吧？所以在这里面32÷2就16倍的n，然后等于它，然后在这里面大家呢，就可以求出它的这个数值情况。是不是所以大家呢？就可以把这个解出来，看这个是不是学会了好，这是给大家强调的做题的方法啊，所以这个呢，应该选择21。好吧，所以这个n就很容易解出来，

就等于21这样就求出来了，所以这道题大家呢啊，要观察一下啊，如果它这个下角标没有满足这个特征，没有满足这个特征，那就得用咱们。最根本性的方法，最基础的方法就是都转化成a和攻杀d，因为这道题也可以转成a和d，这都转成a和da和d的话，那只不过是要麻烦一点儿，是不是？这道题正好我们观察角标，它有这样的特征，用这个性质做要简单。

好，那接下来我们看第四题，这个题目这个题目在各项都为正数的，等比数列中，然后呃q不为一。然后且a2a3a5是成等差数列的，则公比q的值到底是多少？好它的各项都为正数，而且是等比数列公比q不能为一啊。不能为一，不能为一，然后a2a3a5，它正好成等差数列a2a3a5，它成等差数列则公比q，它的值到底是多少？

好在这里面我们来看一下它的这个特征。好，那接下来我们根据题目呃a2a3a5成等差就可以得到a 2+a五=2倍的a3。是不是这样的，就a 2+a五=2倍a3，然后在这里面我们都用这个q来表示吧，因为这都有a2，我们都用a2来表示就行了a2。这个a5可以写成a2×q的三次方，这个a3可以写成a2×q，是不是q这样都用a2这个a2好约？啊好约，然后把a2都给它约掉，因为它各项都是正数嘛a2都约掉都约掉，以后就可以得到一+q的三次方等于2q。

啊2q很多同学也列到这，但是这个东西它就不会解是吧？不会解不会解，你验证选项的话，这也麻烦是吧？那这个东西到底怎么解呢？我们来思考一下它到底怎么解？好，我们把这个2q给它移过来，听见没？2q给它移2q给它移过来以后，我把这2q分成q。和q是不是？所以说把2q移到左边来，左边来拆成负q和负q，

这样话前两项提供的是后两项提供的就列项，然后因式分解就行了。好，那么前面列就可以提出一个QQ，还剩q方减一，是不是这样的后面啊？就提提一个负号。后面又提一个负号，是不是因为后面就一减q提个负号变成q减一，然后这个q方减一是不是可以用啊这个呃？呃，平方差公式在分解对吧？分成q- 1×q+1，然后两边因为q是不为一嘛？这个题目说了q不为1q不为一，

两边约掉一个q- 1这个。就可以得到这样情况，得到q方啊q方，然后这一块呢，就相当于是加q。减一，它正好就为零是吧？为零为零，然后q的值我们就可以推出来q的值就等于2a分之负b，因为它要各项都为正，一定要取正的。好吧，一定要取正的啊，所以说它这个求和公式里面负的，咱们就不要了啊，

就不要了，所以这个答案就给求解出来是b选项好看这个题是不是明白了，这道题就根据它的等差数列定义。然后再利用等比数列通项，然后再转成关于q的一个方程，方程做到这大家不会解的时候，一定要把它一项一项遇到三次方程，大家一定要会分组配对儿配对儿，然后再因式分解，所以。咱们在讲代数这一块儿，因式分解，咱要学会把这个写好答案就可以求解出来，看是否明白了。然后第11题这题，

它给了一个等比数列，然后这ss又称这三个数又称等差，然后呢求a呢公比到底是多少？那在这里面这三个数成等差，我们可以得到什么东西啊？得到s1+3倍的s3=4倍的s2是不是这样的？这三个数成等差可以利用这样式子？好列这个式，因为这个s1s2s3这个下角边的序号都比较少，都比较少，都用a来表示吧，你看s1都写成a1s3可以写成a 1+a二+a三。啊s2可以写成a 1+a二，是不是啊s2可以写成a 1+a二，然后这样就写好了，

然后这个展开这边有个410，这个410，这个410就就抵消掉了。这边就剩的是三倍的a2+3倍的a3=4倍的a2好，这样我们就把它移项就可以得到三倍的a3。最好等一个a2。好三倍a三等于二，那就可以推出q的值q的值不就等于a三除以a二吗？这样等于三分之一是不是？所以这道题答案就可以求解出来，是选的e选项。好，那么这道题我是给再给大家进行强调一下啊，这道题它的等比数列前项和为SN那么s1s2倍s二三倍s成等差数列按照这个。做到这大家呢，

要注意啊，如果发现下角标，比如说它的元素求和比较少，比如就两个三个求的比较少，直接用a来表示要简单。但是如果下列表要求和它比较大，比如说s10或者s20，比如这个一啊，这个二改成20啊，这s3改成30啊，那这样的话要比较大的时候，这时候就不要用a表示了。听懂没有？不要用a表示，这时候你把每一个s都用等比数列求和，

然后来分析，但但等比数列求和的时候，到时候大家一定要讨论q=1的时候和q不为一的时候，到时候要要呃做一下判断啊，别到时候万一漏了。漏掉了好吧，因为由于做重新判断题，大家会漏掉一个情况好吧，所以到时候要判断，比如它这个下角标数要比较大，比较大，大家防止漏掉，漏掉大家这时候呢，就做一个判断就可以了啊。下面我们看这个题已知数列a呢，

前项和为SN。且n+SN=1个一。求后面这个表达式到底是多少？我们首先要把它表达式求出来，然后再来分析。好，大家知道，我们先看n=1的时候，先把a的值求出来啊，因为要把第一个元素求出来才能够。去分析这个递推数列。n=1的时候，大家知道s1就等于a1。所以这样就可以推出a一呢，等于二分之一啊，

这是第一步。第一步，把s1换成a1，把a1求出来。然后接下来第二步，第二步的话，我们知知道an+SN正好等于一。那我们可以把这个n换成n- 1啊an- 1。加上sn- 1，它还等于一是吧？然后两式相减。啊两相减，两相减后就可以得到。这一相减，然后这个an-an- 1。

然后大家知道sn-sn- 1又等于an。右边就变成零了，所以这个一就变成零了，然后这个就变成了这个。an正好等于二分之一倍的an减一，这就说明它是一个等比数列啊，它公比正好是二分之一。啊等比数列这个an就可以看它等比数列等比数列，它这个公比是二分之一。啊公比是二分之一，然后首项它也是二分之一，这样话它的通项就可以写出来。啊，如果首项和公比都是二分之一，它的。

数列的通项公式就是二分之一的N次方啊，这个写好了好，那么an知道了，那么等比数列求和SN。就等于一减q分之首项，乘以一减q的N次方。好，那得到这个值，好在这里面就一减去二分之一的N次方就写好了好吧，剩下把粤语也就一减二分之一N次方就求出来了。好s就写好了。好，那接下来咱们看一下它让求的是a1÷s一÷a一，我们要算一下，现在通项它通项就是记住SN。

除以个an。方向现在一减二分之一的N次方除以一个二分之一的N次方，这样写好了。啊，那这个二分之一N次方除以二分之一N次方，这除完后就是一，然后这个一除以二分之一N次方相当于二的N次方，然后减一得到这个值。但是接下来我们呢，就可以看出它的求和就a一分之s一加上。a二分之h二一直加到。a十分之s十。就等于好，那么n等于一的时候是第一项n等于二的时候，第二项一直到第十项，

所以第一项是二减一。第二项是二的平方减一，一直到二的十次方减一，是不是得到这样一个表达式？然后大家可以把后面的一单独写出来，前面又变成二二的平方二的十次方好以二。为公比的，也以二为首项的一个等比数列。啊，那这个可以用单位数的求和公式做，也可以用一个技巧做啊，前面可以把二+2^2一直加到二的十次方。放在一起减去一个十，大家可以用等比数列求和公式做，也可以记住我们的绝招和技巧啊，

以二为公比的等比数列职业呢，最大项的两倍减最小项，所以它前面求和直接是最大项的两倍。最大数就是二的十次方，二的十次方两倍就二的11次方减掉最小项。这样就可以写出它的式子好，大家知道二的十次方等于幺零二四，然后二的11次方就等于二零四八。然后再减12等于二零三六。好，这个是它求解的方法，这个答案应该选择的是e选项好，这是它的做题要点，所以通过这道题，大家呢，

首先把首项求出来，然后呢？再把这SN给它化简掉，转换成关于an的一个表达式，这样就可以得到公比的值啊，公比值算完以后，接下来我们呢，再算它的通项。通项写完了，然后再来进行求和，在求和的时候咱把它拆分后面常数的合在一起，前面啊这个。等比数列合在一起，前面它公比正好为二，所以可以拿求和公式拿最大项的两倍减到最小项就可以得到它的结果了。

答案就写好了，好，这是它的做题的要点方法，看是否懂了。啊，下面咱们看一下这个题已知数列an满足a一等于三分之一an加一等于an乘以三的N次方。则数列n的通项公式到底多少？好，那接下来大家发现这道题其实就是一个类等比数列啊，它可以把它变成an+1÷an。这要等于三的N次方啊，得到这样一个式子。然后是我们就写若干项，然后再相乘就可以了好吧，所以接下来我们可以写成a2比a1，

这样等于三的一次方。a3比a2正好等于三的平方点儿，点儿一直写到an比上an- 1。这样等于三的n- 1次方，然后把这几个相乘在一起。讲成相乘的话，那么左边约约完后啊。剩一个an÷a一了，这是左边，然后右边右边就变成三的，一次方加三的二次方。有三的一次方乘，以三的平方一直乘，以三的n- 1次方，大家知道呃，

以三为底的。同底的指数相乘，就等于上面这个指数相加。好那么一+2+3，一加到n- 1，我们就可以用啊，这个求和公式就二分之啊n×n- 1。啊，这是它的这个式子啊，就可以写出来好吧，然后由于a的值正好等于三分之一把这a的值再乘过来。乘过来乘过来就相当于an。就等于三分之一三分之一可以写三的负一次方乘以这个值，这个值三分之二分之n乘以减一就可以得到二分之n方。减二分之n。

然后把它合在一起，由三分之二分之n方减二分之n再减一得到这个值好吧，得到得到这个值。好，我们呢？啊，也可以把它给它通分一下，可以写成啊，二分之n方减n再减二是吧？把它如果都通分在一起。有三的二分之n方减n，再减二好就可以得到这个结果，这样答案应该选择的是c选项。好在它做题的方法和思路，看是不是懂了。

好，接下来咱们看一下第14题。这道题呢，他怕你不会做啊，他给你点过渡一下知道吧，他问你BN=a an- 2那这个他给你提示了。正好是an- 2，你就知道减个二嘛，是吧？知道减一个二，如果他这这道题。你要没有说减二，那么要构造一个等比数列，怎么个等比数列？咱们讲完这个题，

给大家说公式。好吧好，那因为正好给它提示了n- 2，那你不用想了，两边都给它减个二就行了，是不是？所以把这个已知条件。啊，一次条件两边都要减二减二就变成an减二就等于二分之一an减一，这边变成减一了。所以在这个等号两边啊，已知条件，这个等号两边同时减掉一个二减二就变成an减二就变成二分之。呃，二分之一an减一再减一是吧？

得到这个值。啊，得到这个好，得到这个值以后，那接下来我们把右边呢再给它二分之一提出来，哎an减一再减二，这样就行了。是吧，好，那在这里大家把这个整体可以构造数列。这个整体构造一个数列就行了是吧？整体他构造一个数列，那这样我们令谁等于BN呢？大家一定要令下角标为n的等于BN啊，所以令BN。

就等于an- 2。那BN正好等于an减二，那这边就相当于是BN减一了，所以就可以得到BN就等于二分之一倍的BN减一。注意，这里面n要大于等于二啊，这个里面也给它设置一个陷阱n大于等于二，只不过这个陷阱呢，运气比较好，可能有同学没注意。好，这是n大于等于二，因为它是有n- 1嘛，你看人家题目写了n大于等于2 nn大于等于二，所以说这道题大家呢，

就不要从b1来做，有同学从b1做，可能刚好运气比较好是吧，其实最好来说应该从。b2开始做啊，所以有同学呢，是不是在做的时候你们做的时候是不是有同学从b1开始做b开始做呢？运气比较好，所以万一呢要从第二项起呢？对不对？第二项起呢，所以这这这么第一项行不行呢？你得看一看，所以严格意义上来说应该用b2做啊。好b2中呢？

这个a2怎么求？咱们简单说a2a2的话，你就把n=2带到里面去，其其实这个题求a2要简单。n等于二带到里面去，n等于二带到里面去，又变成二分之一a一，再加一大家知道a的值，正好为一唯一带到里面，正好是二分之三。是吧，所以a二值正好等于二分之三能能看懂吧？好，这样就写好了，好a二值等于二二分之三就等于二分之三减二。

就等于负的二分之一是吧？负的二分之一，所以b二b二等于负二分之一，他必然是一个等比数列啊，等比数列公比是二分之一，知道吧？公比是二分之一，那它的通项就可以写出来，通项通项的话就等于一个b二。乘以个q的n- 2次方就b2×q的n- 2次方，懂了吧？主要应该等于一个。b二的值等于负二分之一乘以QQ呢，是二分之一的n减二次方。你看，

然后这个负号呢，可以提到前面去负号，提到前面去负号，前面二分之一乘以二分之一n减二次方就相当于二分之一的n减一次方。这个大家再验证一下b1的值。看验证一下b1的值行不行？是吧？b1的值等于几啊？看看b1的值，比如刚才咱们说了b1的值a1是唯一的对吧？a1为一，所以它就等于负一。咱们要看一下b的值。跟这个bbn上的b一的值是不一样是吧？所以这个b一的值等于负的二分之一的零零次方等于负一好，

那说明b一的值跟这个呢正好吻合，吻合的话，它就从整个呢都是等比数列。这俩应该选a是吧？整个都等比数列，如果这道题这道题如果b1的值，比如说是其他数b1的值，不满足这个不满足这个话，那这时候呢，大家呢，就要分段写是吧？知道吧，对分段写，所以这道题刚好刚好它也满也满的话，你就可以合在一起写合在一起，

它就是一个等比数列啊。所以如果要不满足，就从第二项起算好，所以这道题大家严格意义上来说，应该是从b2开始算，这更严格一点好，这是给大家强调做题方法思路，看是不是懂了？下面咱们看这个题在数列an中，若a1的值等于二，首先上知道了an+1=an÷2 an+1。则a5的值到底是多少？9a五的值好，那通过这道题，大家可以看到啊，

我们呢就可以。把这个地方先取一下倒数啊，因为这个分子分母分母复杂，分子简单，所以我们要取倒数。取倒数呢，一定要让分母减的，知道吧，所以要想到取倒数。一到就变成an+1这个呢，倒过来就得到2 an+1÷an。啊，这个得到二加上an分之一。啊，再给它倒过来。

倒过来以后，大家可以发现这些特征就比较明显了，就可以得到an加一减去an分之一，正好等于二。这个你可以把这个看成一个BN啊，这就是一个等差数列是吧，所以我们可以列BN，这样等于一个an分之一。边等于分之一，它是一个等差数列它公差。公差就为二。是吧，公差值正好为二，它的首项b一的值就等于a一分之一，首项正好等于二分之一。

好公差为二首项是二分之一，那它通项就可以写出来并的通项。它等于首项。加上n- 1倍的公差。就等于二n减去二分之三。好，那这样就写好了。啊，写好以后，那接下来BN的值知道了BN的值写出来以后，那接下来我们再看一下呃an的值。啊ana，它正好等于an分之一嘛。就要等于an分之一。啊，

这样等于an分之一，那这个an。我们就可以写成二n减二分之三。这个分之一是吧an就等于二n减二分之三分之一。好，这是它的值，然后接下来让求a5的值是吧？a5a5的值就等于一个。十减二分之三。然后这个正好是二分之十七分之一。好吧，这样。好，然后接下来就等于十七分之二好，这是它的方法，

好正确，答案应该选择的是c选项，所以这道题大家首先呢，要想到把它取倒数。曲线倒数以后，我们呢，再把它构造一个新的数列，这新的数列正好是一个等差数列，把公差和首项求出来。求出来以后把通项写出来，写出来以后an就可以写出来了啊，最后a5的值就可以求解出来好，这是它的求解方法思路，看是不明白了。好，

第16题这道题，它说非零实数ABC要成等比数列，那么题干的等价条件是什么呢？看一下题干的等价条件。等价条件就是AC等于个b方是吧啊？AC=b^2只要满足这个式就行，所以条件一它说关于x1元二次方程，它有两个相。相等实根好，那我把条纹一给它化简一下，条纹一可以得到德尔塔就为零，德尔塔等于b方减4 AC，它为零。就推出b方等于AC啊，b方等于AC，

所以条件一它具备这个充分性，所以在这里面大家就可以看出来跟题干是吻合的。条件b是AC的，等比例中项比中项就得到a×c=b^2，它也是充分的正确答案，就选d选项。这样就求解出来了好，这是给大家强调的做题的方法好吧，大家呢，要知道它的特征。好，第十七题这个题，它说syz是实数，只有z分之s加s分之z等于十五分之三十四。这样就写好了，

然后条件一三x四y和五z成等比数列条件二x分之一y分之一和z分之一是成等差数列。好，那这道题我们看单独条件一它syz它有三个未知数，那只有一个方程，这个是确定不了的是吧？单独条件，这也是三个未知数，所以在这里面我们可以看它肯定要联合起来啊。而且题干，你可以稍微把它化解一下好吧，题干找等等一下题干，你可以通分好吧，通分就xz分之x方。加z方等于十五分之三十四啊，看这个数好，

那显显然要联合啊，显然要联合，因为条件一呃条件一和条件二，它这个未知数太多了啊，所以说肯定要联合。联合联合条件一得到什么情况？得到3x×5z。等以4y的平方。是吧，就推出十五xz等于十六y方啊，条件二条件二，我们看它说是成等差数列得到x分之一，加上z分之一等于一个y分之二。啊x分之一加z分之一等于y分之二，这个写好了，

接下接下来我们就可以得到这个给它通分就xz。分之s+z。等于一个y分之二，我们这儿我们看这有x加z的平方，这有xz是不是在这里面，我们看它能不能用这个x加z和x乘z呢？去表示一下。是不是所以这个s方呃分子呢？我们可以配方配成s+z^2是吧？可以配成x+z的。平方啊，所以分子分子你再把题干再继续画吧，配成x+z^2-2xz。所以SZ。就等于xz分之。

啊xz分之x加z的平方再减二是吧？好，那接下来我们就算这个数就行了啊，算这个数。好，那这个x+z是不是等于一个x+z÷1个xz得到这个数？得到这数我们是不是要给它进行平方一下是吧？所以先把这个给它平方再说吧x+z^2。除以xz的平方=1个二的平方，二的平方就是四了是吧？四÷y^2。啊，然后在这里面它分母是xz让这两个相乘嘛，让这两个相。相乘两个相乘，

我们就可以推出什么推出s+z^2÷xz。啊，让这两个是相乘相当，左边相乘这个xz的平方跟xz就约掉一个是吧？约掉一个约掉一个右边四和16相乘就64。然后这边还要除一个十五把十五再除过来，所以这个就得到十五分之六十四，对吧？十五分六十四，然后再减二，我们看看。这前面算了十五分之六十四，然后减二，这样得到十五分之三十四，所以联合重返正确答案应该选c选项。

是吧，所以这道题大家呢呃，它既然都是求跟xz有关的，你就把这个y想办法给它去掉，听懂了没？把y给它去掉y给它去掉以后，然后再代换，然后再求解就可以了。好，这是他的做题的方法思路，看是不是学会了？好，第18题，这个题若an是等差数列，则能确定BN也一定是等差数列。

啊，一定是等差数列，那是不是等差数列，我们看它的差值啊，看看这个呃，就是判断这个差值，所以题干它这个等价条件就是BN+1。减BN它是否为常数。啊BN+a-bn，它是不是为常数啊？如果要常数的话，那它就是等差数列，我们看一下条件一。条件1bn+1-bn，它等于一个an+1+an+2-bn就减an-an+1。

然后这块儿，然后减的时候大家可以看到这两个数，它正好就抵抵消掉了是吧？这两个数它抵消掉，抵消掉就得到是什么？得到这个an+2。减an得到这个值是吧？得an+2-an正好是两个d，是不是正好两个d两个d它这个是是常常数是不是这个d就代表原来an的d啊？an的d所以an-2an+2-an正好等于两倍的d嘛，然后条件条件它bn=an啊bn那bn+1-bn。等于n+1倍的an+1。减去一个。啊，这个n倍的an-n倍an那这个显然它这个就就不确定了，

是不是常数对吧？这个确定不了就就这个东西减完后到底是不是常数是不是跟n有关呢？咱也不知道。是吧，所以这块呢啊，就没法去进行呃，往下推导了啊，所以这个往往下呢，这个就是补补缺点的条件，不行条件一行。所以呢，就选择a选项，只要e能推出来，所以判断一个数列是否为等差数列，可以按照咱们数列的定义判断好吧，

就两个相减是不是常数，如果判断是不是等比数列，就看两个比值是不是为常数，按照这个定义。判断就可以了。好，第19题等比数列an，它的公比为q则q大于一好，那我们来看一下条件一，它对于任意的这个正整数。n对任意正整数a都有an+1大于n成立。好对任意正整数好，那在这里面有同学这样推导，看这个呃行不行啊？有同学说它这个an+1。

大于n两边同除，以个an就推出了an+1÷an，然后这个就等于q。它这个就这这个就大大于一是吧？两边它除了一个an除了an这个大于一就推出q是大于一的，这个错在哪呢？这个错在哪？这个你不知道这个an是正的还是负的？他没有说是正向等比数列是吧？所以这个呃，这个条件呢？这个不太行是吧？这个就不太行啊，所以这个单独调整一呢啊，这个不知道它是不是正的？

那单独条件儿也不行，单独条件儿只知道a1大于0a二是负的还是正的？你不知道呀是吧？a2是负的正的，你不知道，所以在这里面单独条件儿也不行，所以肯定要联合起来。啊，联想企业大家知道呃，对于任意阵容，这个任意这个词任意这个词这个强度比较大，听到吗？任意每一个都得满足任意n那么n取二的时候说明a2。呃n取一的时候a2是不是大于a1呀？a2大于a1，

那么a1是不是大于零？啊a1是大于零的是吧？a大于零的说明就可以推出，那么所有元素均为正。对吧a1为正的a2又为正的那所有元素肯定都都为正的啊，同样道理，因为a3肯定肯定比a2大嘛a3比a2大a4比a3大。啊，都是正的，既然都是正的话，那往上推这个就成立了，就可以得到q的值就大于一，因为它能比上它a2比a1就大于一的数好吧，所以联合起来充分。这道题就写出来了，

看这块是不是学会了，是不明白了？好，下面咱们看第二题，这个题等比数列a呢，前项和为SN求，首项是为六，它是一个等比数列。大家可以看一下条件，一条件一单独肯定不充分，因为只知道a3，但是呢，不知道公比，所以无法求首项。条件只知道s3，

那么不知道公比这个也没法求求解啊，所以我们两条件联合起来。好连起来，大家知道s3就等于a 1+a二+a三。在这里面遇到这个等比数列的s，一定要分情况讨论啊，那我们来看一下，如果当这个q为一的时候。q=1的时候那么s3啊，就等于三倍的a1，那这些也等于三倍的a3，因为每一个这个呃a1它都是相同的，然后这时候呢，就等于一个。那二分之九，

所以这时候我们可以看出a一和a三呢，就等于二分之三是吧？就推出这个a一，它等于二分之三，所以它多一种情况。当q不为一的时候。当q不为一的时候，这时候大家呢，就可以来进行解，我们前面去呃强调过，如果要出现这个a3啊s3，它这个序号不是很多，所以在这里面我们呢就。就可以，那直接用a 1+a二+a三来写a 1+a二+a 3a2a二可以写成a1 qa 3可以写成a1×q^2。

然后这块呃，它就等于一个二分之九。是不是这样的特征，然后在这里大家可以把这个a三呢？等于二分之三带到里面去是吧？这个a三其实这块儿就是a三，等于二分之三带到里面去。当然可以得到a 1+aqa一+a一×q。然后二分之三带到里面，也得到是三啊，得到了三就是二分之三带到里面去，然后得到就是三。啊，得到三的话，然后这个a三大家知道就可以写成a一乘以q平方等于二分之三，

然后两式相除好，那么这个两式相除就可以得到啊，那么q。方除以个一加q就等于个啊，这个二分之一。其实刚才咱们做到这的时候就可以发现这已经不充分了啊，只不过让大家训练一下，然后呢，再求解一下好，那这地方q的值我们就可以解出来。啊，解出来它的数值关系好吧，然后解出数值关系，然后就可以算算它的首项好吧，算算它的首项，

然后这样就可以解出它的数值了，这个数值我就不再算了，这个交叉相乘。然后就可以得到q的这个取值情况，好q的取值情况，然后这块儿就可以算出它的首项的呃。数值好，那这是给大家强调的做题的方法，看是不是学会了通过这道题，大家要掌握一定要讨论啊讨论，所以两条联合起来也不通了，就选择e啊q=1和q不为一，不要忽略了这种情况啊。好，二十一题，

这个题这个题可以确定数列an减三分之二是等比数列好，那么条件一阿尔法贝塔是这个方程两根先满足这个这道题又用到了韦达定理是不是，所以在这里面我们来看一下条件一。它的比达定理阿尔法贝塔是这个方程两实根好，那得到这个六阿尔法减二倍，贝塔加六倍贝塔，我们可以把这六阿尔法和六贝塔给它合并，就六倍的阿尔法加贝塔。减去二倍的阿尔法贝塔，大家知道阿尔法加贝塔是等于几呢？阿尔法加贝塔正好等于a分之c是吧？等于。a分之c。啊负的a分之b是吧？a分之an加一好，

这阿尔法加贝塔就等于an分之an加一，然后阿尔法乘以贝塔，阿尔法乘以贝塔就等于一个a分之c。好，这个就得到是三是吧？然后就得得到是三得到三，然后两边呢？把分母an都给它乘过来啊，都乘过来，乘过来以后就得到是六倍的an+1。然后呢，减去二=3倍的a。好，这样的特征，所以两边同乘以an，

两边同乘以an，然后就得到这个式子，得到这个式子，然后呢，它要求an减三分之二，是不是等比数列，我们来看看。啊，两边都给它写成啊，三分之二三分之二，在这里面我们就相当于是这边给它减两边都减二两边都减就六倍的n+1-4。就等于三倍的an减二，是不是啊？就是等号左两边同时减二减二，左边就变成减四了。

右边变成减二，左边呢就可以提出一个呃，这个六来是吧？可以提出个六啊，就提出个六，提出六就an加一减三分之二。等于三倍的这个an减三分之二，然后两边给它这个约掉，约掉以后就可以得到，这个是二倍的an加一减三分之二。等于个an减三分之二好通过这个数，大家可以发现它就是一个等比数列，它公比正好是为二的是不是？所以题号一呢，这个是充分的。

啊，条件二它说an是等比数列前项和其中q等于负二分之一b一呢啊是等于一的，我们把这个an给它写出来an它代表前项和不是通项啊。所以条件a是BN的前项和前项和呃，那我们就套求和公式就一减q分之它q等于负二分之一啊，一减q分首项是一。减去一个负二分之一的N次方。好，这个就是二分之三二，二分之三，然后翻上去就变成三分之二，减去三分之二乘以个。负二分之一的N次方好，这个n的表达式写出来了n表示写出来那么an减三分之二。n减三正好把前面常数给它减掉了三分之二，

乘以个负的二分之一的N次方好，那在这里大家可以发现得到一个指数形式，指数形式它就是一个等比数列。条件二，得到它的公比q呢是等于一个负二分之一的好吧，我这说的公比q是an减三分之二的公比q啊嗯，不是这个公比q啊。an减三分之二公比q，它的是负二分之一条件一得到它的公比q呢条件一得到公比q是等于二的是吧？啊得得到啊得到是二分之一是吧条件一得到公比q呢是二分之一啊，这样就写好了好，所以条件一就是首先要结合韦达定理，然后再进行两边变形，然后减一个常数，减掉什么常数呢根据题目。

给的特征，然后凑成一个新的，等比数列，咱们前面讲过构造一个新的，等比数列就这样的情况，然后这时候an呢条件2 an呢，就用求和公式，然后再呃转化它的形式，然后去观察就可以了。好，我们来看22题，这个题可以确定a呢通项啊，是这个好，那么条件一我们来看一下条件一，它说an大于0 an大于零，

就是它这个是正的数列。好a2×a三是108，但是条件一呢，它没告诉我们是什么数列对吧？到底是等差还等比呀，咱不知道呀，到底是等差还等比呀？啊，这个咱也不知道什么数列，所以说条件一不行，条件二它也没告诉我们什么数列，只告诉我们这个SN+1加上。呃sn=2倍的an+1是吧？只知道sn是前项和那在这里呢，我们这样去变换吧，

这样变换这个an+1是不是可以写成sn+1-sn呀？是不是这样的特征呀？对不对啊？这样的一个形式是不是？所以把这a an+1写成sn+1-sn，这样我们做一下变换，做变换就可以得到呃sn+1就等于三倍的sn。啊SN+1，所以把它给移项啊，移项给它移过来，移过来以后，然后变成三倍的SN，这个SN+1，那就相当于是它是一个等比数列啊，就SN+1，

它是一个等等比数列。呃，灯没碎，然后这一块呢？呃，这个。它的公比q为三公比，但是单独条件儿呢，它没有a1的值是吧？单独条件儿，它没有a1的值啊a1的值，它不知道a1的值到到底呃等等于几呢？咱咱也不知道。是吧，所以在这里面好，

但是呢，我们这个n呢，我们可以令它为一是吧，我们令n为一令n为一的时候，我们看这个a1的值能不能写着令n为一的时候，这个是不是得到这个s2的值啊？是吧，这个就相当于s2s2是不是可以写成a 1+a二=3倍的a1好，那这样我们就可以推出啊这个。表达式就可以写出来，是不是？所以我把这个式子上就相当于n=1带到里面去，带到里面去，然后这边就变成a+2=3倍的a1，这样就得到a2。

啊，就等于二倍的a1好a2=2倍a1，不一定它是等比数列啊，不一定它等比数列只是a2是a1的两倍。但是这个a3到底是多少？这个呢，还不太确定是不是还还不太确定，所以在这里面这个a的值，咱们还是求不出来，所以单独条件儿呢，这a的值还是不知道还是不知道哈，那这个首项不知道这个。这个数列通项肯定是确定不了是吧？然后确定不了好，那现在两条线联合起来行不行？

联合起来我们看这有a2×a三=108是吧？a2×a三。它108，108那这个a2a2=2倍a1，我们再看a3等于多少a3等于多少令，这个n=2。令n=2的话，这边是不是变成s3s3是不是就a 1+a二+a三？等于三倍的，这个这个s2s2的话就可以写成a+a二。对不对a+a二好，然后在这里我们把这个a2a2等于这个二倍a1带到里面去嘛？a2=2倍的a1带到里面去。a2=2倍a1带带到里面去，这个就相当于左边就变成一个呃三倍的a1，

加上a3。是吧，然后这个a2=2倍a1，这个是三倍的a1乘以，它就是九倍的a一九倍a1，我们又可以得到a3。a3它等于六倍的a1是吧？所以a3它等于六倍的a1，这样就写好了嘛，所以这个把这个给它移过六倍a1，然后a2a3写好了，现在我们不是联合嘛，联合那a2×a三。a2×a三就等于二倍的a1×6倍的a1它等于108。啊，

等108好，等108那么a1的平方那么两边除一除嘛，两边除一除除一除，然后就得到。是九是吧？得到a的平方。它等于9a平方它它说an=an是大于零的an是大于零的，那就推出了这个a1它是为三的。a1只能取3a一，取三的话，那显然这个通项就不满足我们看这个n等于等于一的时候，那么这个a1它它不满足这个式子是不是？所以它这个不满足这样这样一个。表达式啊，所以做到这那么也可以发现这个a1呢，

是不满足的，这道题就选择e选项好，那首先大家看这道题很快可以得到单独不充分，因为单独条件一不用说了，它根本不知道什么数列单独条件二。给大家做一下变换，做一下变换的话，然后a1呢也求不出来，所以肯定要联合起来，联合起来，然后呢，取n=1 n=2，然后代入这个数值，然后呢，去分析分析a1的值算出来，

这个是等于三的。第三，然后呢？这个也不满足这个题目的要求，所以这个答案就选择e，这样就写好了，看是不是学会了？好，我们看23题，这个题这个它这个对数我们讲过题干能化简先把题干化简一下是吧，所以题干。题干左边这个对数相加，就等于真数相乘。a1×a二×a二，使它的相乘。

然后这个就等于30，然后它还可以等价成什么呢啊？这个这log这以十为底的对数嘛啊，以十为底对数，以十为底之后，只要是能证明a1×a二乘以。a20乘到a20=10的30次方就行了，好，那么这是题干化解完了题干一，它是在正向等比数列an中。a9×a12=10的三次方好，我们根据这个呃数列的性质可以得到a9×a12。就等于a1×a20，就等于a2×a19等于点儿，点儿点儿是吧？

所以在这里面想讲的是，你可不可以把这个？数列呢，给它进行首尾配对，这个a1×a20=1个呃a9×a12是吧？然后a2乘以。a四九也是这样的，所以它是可以配成十对儿是吧？可以配成十十对儿，十对儿的话，那在这里面我们就可以推出它的这个数值。所以a1×a二乘上a20正好等于十的三三三次方，它有十对儿是吧？就是每一对儿都是等于十的三次方，所以这个算有十的三次方，

所以条件一仍然是充分的。条件因为它正向都没出来，正向都没出来，两边可以同时开根号，两边同时开根号可以得到a7×a14只能取正的啊，正的13是吧？这三个同理，这个a7×a14大家知道七+14也是21。那说明AA 20这个下角标相加也是21，所以跟上面一样，同理它也充分，这块就不用多说了，同理它也充分。好，所以两个条件单独均充分正确答案选d，

所以这道题一个结合对数的运算方法，另外一个就结合数列性质来进行求解和分析就可以了。好，那接下来我们再来看一下24题，这个题这个题它给的是数列，没说是什么数列啊，你不要想它，等它出来怎么比数列没说什么数列a1等于负。负60给了an+1，加上an=3，这个就可以判断它是等差了是吧？这个判断是等等差应该给了一个地理公式，它公差呢就相当于是三啊，这个公差就为三。但是求这个绝对值相加，

正好等于七百六六十五。好，大家可以发现，这个a1是负的d是正的，它的元素在慢慢增大，慢慢增大，它从负的慢慢慢变成正的，所以说它这个局域值得要注意一下啊。然后由题我们可以得到，由题得到什么a1=-60d是为三的d为三，那说明我们看a几它是为零呀a几a21是不是正好为零，因为a21正好等于a1。加上20倍的d，它正好就为零，比如说呃，

前面就是a1。到a20都是小于零的a21是等于零的，然后a22之后都是大于零的，是不是这样的？所以在这里面我们呢，就可以写出它的特征。好，那么我们来看条件一。条件一，它的n=10 n=10的话，就相当于1a一一直加到a10，那这个全都是负的，对吧？全都是负的就行了啊，所以这个a1。

绝对值加a2，绝对值一直加到这个a10的绝对值，因为每一项都为负的去掉绝对值，是不是有个负号啊？这个负的a1。加a2一直加到a10。所以大家就用把这个s10给大家求出来嘛，求出来加个负号就行了，是不是？所以在这里面大家看s10s10是不是等于十倍的a1啊？啊，十倍的a1。啊，十倍的a一嘛，所以a一它不就等于负六十嘛，

好十倍的a一，然后再加上二分之十乘以九倍的dd的值等于几啊等于三。是吧d的值它为三，所以这个大家呢，就可以算出它的这个数值，然后这个上下约一约约一约，然后这个括号里面，然后把这负号给它扔进去吧，扔进去第一个数就600了。600减去减去后面这个数这个数呢，这个是？这上下约掉约掉这15啊15乘乘以九是吧？一百四三十五。所以它肯定不等于765这个，这个肯定是不太行的是吧？

不太行好，那同理条件条件，它是这个a1的绝对值一直加到。这个a11a11就等于负的x11啊，负的x11，然后带到里面去，带到里面就不再算了，它也不等于765。好吧，所以在这里面，它这个都是不满足要要求的啊，都是不满足的，所以在这里面大家呢，就不要做错了。好条件二也不充呃，

不充分两条也没法联合，就选e选项好这道题，如果它给的这个n的数比较大比较大，比如说要超过了这个22，那么前面一段儿绝子里面是负的啊。然后后面就开始为正了，大家要去绝对值，按照绝对值的定义来进行分析和思考，不要给写错了。然后25题a2=2a4=8求a10=26啊数列a呢前想要满足这样的形式。那这样的形式好，这样的形式说明什么条件？它说an是等比数列好，那在这里面我们来看一下条件一。啊一个来，

现在如果s要等于an方加上BN+c，我们前面讲过这个它的an它就相当于是从第二项起是一个等比数列是吧，所以an。就相当于n等等于一的时候，那么就是a+b+CN大于等于二的时候，它是二倍的。呃，an。加上一个b-a，是不是这个我们前面给大家推导过的公式好吧？n大于等于二的时候，它可以写成2 an，加上b-a，这样就写写出来了。其实然后呢，

在这里面我们呢，根据a2和a4那只根据这个有关是吧？跟第二个有关，跟a1没有关系啊，所以他只要求a10就行了，所以在这里面我要给大家强强调从第二箱起。从第二项起，它仍为等差数列。嗯，第二小题认为等差数列，而且大家可以看它的公差a4跟a2啊，这个d我们可以通过这个来解决d呢，正好等于a4-a二÷2。所以正好等于三是吧d它正好为三啊d为三的话呢a10就可以写成a4，加上六个d。

是吧，然后a4=8得了八+6个d，然后就得到二六，这样就写好了。啊，这样需要，所以条件一呢，这是充分的。好，那么条件它等比数列等比数列，我们可以求出公比q是吧？公比q就是记住a4÷a二。就等于八÷2，就等于q的平方，那推出q它就等于正负二是吧？

q它等于正负二啊，这样就写好了。需要大家知道a10应该等于a4乘以个q的六次方是不是q六次方a4是八×q的六次方六次方，不管是正负二它的六次方都等于二的六次方，因为负的也好，正的也好。它的偶数次方，它都变成正的了啊，正的那这个显然不等于26是吧？不管它这个数等于多少，显然它不是26的。啊，不是二六？好，那这个数呢？

就条件一是充分的看这个是不是明白了，是不是学会了？好，那接下来我们看二十六题，这个题目它的公比q要大二分之一，条件一等比数列，它公比为qa是一个递减数列，还是说它元素越来越小？啊越小越小，那说明这个是不是呃q大于二分之一？这个不行，那等比数列，它有可能是呃是这样的一个数列，它是它是。它是负的，

因为它这个正负，咱不知道是吧，正负它不知道，比如说我可以取一个反例。啊，取一个反例，比如说这个一。这个三分之一。九分之一二十，七分之一点儿点儿，它q呢就等于三分之一，显然呢，这个不满足q大于二分之一是吧？所以在这里面调一呢，肯定是。

不充分的啊，这个是推不出来的，好那么条件条件，它说等比数列a为递减数列。且这个s点儿点儿存在啊，存在啊，存在说明什么意思呢？说以这个就代表我无穷多样和存在无穷多样和存在它的要求什么？它条件什么？基本上讲过。等比数列无穷多项，求和就所有项和它存在，所有项和要存在。所有项和s如果要存在。得到那么这q的绝对值肯定要小小于一对不对q的绝对值肯定要是小于一的。

好q绝子小小小一在这里面，我们又来看看它，又是递减数列啊，递递减数列，它说这个s比上a1要大于二好。好，那这个s等于什么？大家还记不记得所有项公式啊？是不是等于a1÷1-q啊？所以把这个s÷a一带到里面s÷a一。s÷a一就等于s除以它除以它，然后就得到那这个值得到这个值得到这个值就得到是。一减q分之一。好一减q分之一，它大于二的是吧？

一减q分之一，那要大于二大于二，那在这里面这一减q肯定没正的，因为得到这儿这个q肯定是小于一大于负一了，是不是？所以所以这一减q你想想肯定是正数了，因为q肯定比一小嘛啊，肯定比一小，所以一减q呢，你就可以乘过来，所以一减q应该小于二分。之一，然后又推出q呢，肯定是大于二分之一的。大家问这个还要小于这个一啊，

还要满足这个条件，听懂没有？还要满足这个条件，不管怎么样，就是只要这个条件范围能够落在题干成立范围之内，都叫充分。所以条件儿它是充分的好吧，正确答案就选择b，所以条件儿我就强调一下它用了几个内容，一个是递减数列。另外，它所想要存在的条件要知道，所想的公式要知道，然后解这个表达式，然后就可以分析出来了，

好，这是它的特征，看是不是学会了。好，接下来咱们看这个题。看这个题数列an的前项和为SN，他没告诉我们这个数列是什么数列啊？不要想着an 1定是等差数列什么的，他也没说等差等比，反正就一般的数列。好已知a1=1。则后面是让咱们推导的，则n分之SN是等比数列。好n分之x是等比数列，想想n分之x等比数列怎么判断？

等比数列可以看比值是不是恒定的？也可以看它的表达式是不是一个指数形式都行？好吧，那接下来咱们看这道题考点，主要考察的是数列。它的定义。好，大家想想。然后这里大家可以看到这条1 xn大于零，这肯定是不行的xn大于零，它的表达式又不知道是多少。表示不知道多少，那这个他表达式n分之SN是不是等比数列，这也没法确定，所以条一呢是明显。

不充分的来判断一下就行，它表示未知。而这道题再强调一下，不要一上就联合很多同学，就容易选择c1上就联合。你先看看吧，看看这个是不是需要联合？所以条件。条件了条件的话呃，咱们可以把这个。把这个an+1。替换成SN，咱们前面讲过在一个等式里面，如果又有an又有SN的话，一定要把其中一个给它换掉。

知道吧，这是咱们学过的是吧？ian和SN同时出现，一定要把一个给它换掉，所以这个呢，可以把它换成an+1。换成sn+1-sn。就等于n分之n加二乘以s。是吧，就n分之n加，然后乘以s啊，这样的一个式子。对不对？这样就写好了。所以第一步要把n给他作为替换，

然后再把这个SN给他移过来。啊，这个这个s给它进行移过来。对吧，做一下移项移过来。啊，移过来以后，那这个呢，就可以变成什么情况呢？看SN+1就等于。这相当于是变成了n分之。然后一一块通分嘛，通分通分变成2 n+2乘以个SN。现在我要证明这个是不是等比数列，就看它下一个项比上前一项，

后一项比前一项是不是等于一个固定值，也就说我要证明什么问题呢？证明这个SN+1除以个n+1比上SN除以个。n是不是？是不是当一个固定值？是吧，是不是等于固定值，其实这个地方刚才已经看出来了，这是n要二倍的n+1。SN因为这个分子可以提出一个二能看懂吧，提出二。是不是分子可以看它是？能能能提出个二吗？能提出能提出二，其实它正好就是它的两倍。

是吧，它正好就差两倍。那它就是一个等比数列，所以就看后一项比前一项。它的比值是不是等于一个常数，所以按照咱们等比数列的定义来进行做的，等比定义做的，如果要写它通项啊那。如果写到通项的话，你再把首项给它写出来就行了，好首项给它写出来，首项呢？首项n=1的时候它首项。啊nn，等一的时候一分之s一。

啊，就相当于是等于a1就为一是吧？好，我们做这咱们答案就做完了，知道吧？条件上单独就可以了，条件上不要求SN大于零。反差比值你管它正的负的呢，等比数列可以为正，也可以为负嘛，是不是所以条件单独就充分？懂了吧，不要过早联合。另外，我再多讲一讲啊，

如果写n分之SN，它的通项通项怎么写？它首项知道n的一的首项知道它公比为二。这样的话就可以写它通项啊通项，比如说因为地理数学很多同学不太会。啊，所以说也比较难多写一下，就n分之SN，它知道首项知道公比我们就可以写它通项知道吧，知道首项知道公比。给写它通项首项乘以公比的n- 1次方，所以SN就等于n×2的n- 1次方。如果这里出了难点，要求s100等于多少是吧？有时候他考试会出一个选择题，

问s100。又得到这个值啊，顺便我把它扩展也说一说好吧，所以要证明某个东西是不是等比数列，你可以看它的比值是不是等于个常数？如果正等差数列，看它的公差。是不是一个常数好吧，所以这是它的证明的方法，看看大家是不是明白，是不是懂了啊，它的知识点要会分析和思考。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册