031.24-顿悟-专项七-题型

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:34:47

接下来咱们来学习取值情况的讨论。啊，取值情况讨论也是大家容易错的啊，因为这个取值情况也是考试经常考的。在这几年考试里面，每年都有起诉情况讨论，尤其在重新判断题，大家更容易出现错误。学习情况讨论啊，大家容易出错的。一些原因就是容易漏掉一些情况，知道吧？讨论的时候容易漏掉，所以这是给大家进行强调的，重点也是大家容易错的一个知识点啊。

好，那接下来咱们看学术情况的讨论。啊，那么讨论取值呢？也是从它所给的这个结论出发。来讨论题，干中未知量它的一些具备的性质，来讨论它的取值，是每年考试的一些必考的难题。好吧，所以得要把这个每年的必考点要把它弄清楚，而且呢，要掌握逆向思维能力，才能快速锁定方法。就是反着来想知道吧，

这样从而精准打击，总的来说是通过符号的啊，这个表现。来进行确定方法就符号到底是什么样的符号，比如说是根号呀还是平方呀？是加还是减呀？通过这个符号。然后来进行确定和分析好，这是做这类题的，它的一个关键的要点和方法。首先看一下第一个考试类型就是加减法，用奇偶性来分析啊啊，用咱们奇偶性。啊，奇偶性的话，

不管两个还是三个，大家要知道啊，我们学过奇偶性，比如奇数加减奇数啊，它得到是偶数。是吧，然后奇数加减偶数。得到的是。啊，那么奇数。对不对？然后偶数加减，偶数得到的。仍然是偶数。有偶数加减偶数。

它还是偶数。啊，这是它的方法啊，就奇数加减奇数得到偶数奇数加减偶数得到奇数偶数加偶数还是偶数？接下来咱们看一下乘法。奇数乘以奇数。得到是奇数。奇数乘以偶数。它得到的是偶数。是吧，然后呢？还有什么偶数乘以偶数？它还是偶数。啊，就这些这些呢，

咱们要注意，咱们现在写的虽然是两个。两个数，它的性质，但是呢，如果推广了三个，也要会考试呢，比如常考的三个，比如三个数相加是奇数啊，是偶数啊，这块儿大家会判断和分析。这这么大家呢，要掌握。它的做题的要点。啊，

另外这个东西还会反着用，知道吧？反着用什么叫反着用呢？逆向用怎么用呢？比如知道右边要会讨论左边。比如说两个数相加，减得到偶数，那左边这两个数会是什么情况啊？左边这两个数是奇数还是偶数？这样的是吧？左边这两个数。然后呢？比如说右边这个数要奇数，要会讨论左边这两个数到底什么样数，所以要会逆向分析，

知道吧？好，这是它的一个做题点。另外，大家还要知道咱们考试。经常用的一个结论啊，就两个数相加。和两个数相减，它的奇偶性是相同的。与它的这个奇偶性是相同的，当然mn 1定是整数啊，整它的奇偶性。是相同的，就m和n，如果是整数啊，

那么m+n和m-n，它的奇偶性相同，就两数的和。还有两数的差。它这个奇偶性是一样的。啊两数和跟两数差，它的奇偶性是一样，比如说那么m加是偶数m- 1定也是偶数。若m+n是奇数，m-n也是奇数，那这句话怎么去证明呢？就相当于是m+n。加上m减正好是等于2m，正好是一个偶数。对吧，

也说如果两个整数相加得到是偶数，那这两个数它奇偶性一定是相同的。知道吧，就m加这个括号儿，把它看成个整体m减这个括号儿，把它看成整体好，如果这两个整数相加。得到结果是个偶数，那么这两个数它一定是同奇偶的，奇偶性一定相同的好，这是它的这个方法思路啊，要弄清楚。好，下面咱们看下这个题。已知a是质数xy均为整数，

则方程x+y的绝对值加上根号x-y=a，它的解的个数到底是多少？它解的个数。啊，想一想就它解到底讨论起有几种情况。啊，那么这个解主要是讨论xy它的取值，知道吧？xy它的取值好，每个同学都想一想。啊，想想好那这道题我们找的突破口是什么突破口？大家可以发现，在这个等式里面，它有三个未知数。

只有一个方程，所以这两年也经常考，就三个未知数，一个方程简称三位。一方啊，三位一方就代表三个未知数，一个方程。好，那这是它的特征，那我们在做这个题的时候，大家想想突破突破口，什么突破我们可以看到左边有x+y和x-y。啊，那么因为a是质数。a是质数。

啊，所以说大家可以看到x+y和x-y，它的基础性是一样的。另外，大家知道x+y，它肯定是整数，因为xy都为整数，xy都为整数，那么x+y肯定是整数，x+y绝对值，它肯定也是整数。那么AA是质数，质数它肯定是整数。就是它肯定是整数，那说明根号x-y它的根号一定也是整数，

也就说它的根号一定能开出来，一定也是整数。明白没有，因为前面这个s+y的绝对值，它是一个整数a呢，是整数这两部分，它都整数了，那说明这个根号s-y它必然它也为整数。是吧，所以这两边儿都整数，中间这个它肯定也为整数好，那接下来咱们来看一下它的这个方法。看它的方法啊。那么那我们就可以得到x+y与x-y同奇偶。好，

这个结论经常用啊，所以说大家把这个结论记住x+y与x-y是同奇偶的好，那么既然同奇偶。那么，这两个它的数值。相加数值加在一起。啊，肯定是偶数是吧？也就说这个x+y局域值。x-y它，这一定是为偶数的。一定为偶数，那说明这个a就为偶数a，要为偶数大家学过在质数里面。又满足质数，

又满足偶数，大家想想是什么样的数啊？都回答一下，在质数里面。又是偶数，又是质数，所以这个是大家在做题的时候一个易错点，所以考试一定要注意啊，在咱们质数里面只有一个。是偶数，大家想一想都说一说是吧？这就可以得到。这个a的值一定等于二啊a呢，是只有一种情况。好a=2以后就变成了x+y绝值，

加上根号x-y绝值，它等于个二。那那接下来我们看一下，接下来它又有这么几种情况，这么几种情况，比如说啊，零+2。可可以是吧啊啊，零件儿这个是行的，这个等于二还有二+0也可以。是吧，按二+0也行。还有什么？还有一+1也可以。一+1也等于二好，

那接下来我们把这几种情况写写第一个零加二零加几，相当于x+y=0。x-y=2就相当于是这样的，所以第一个就是给到x+y=0。x-y它等于二，是不是这两方程就可以解出x和y的值，然后就可以得到x=1？y=1个负一啊，这样就写好了，是不是就是说x=1 y=- 1啊，这是他的做题的要点，看懂了没有？啊，通过第一种情况，因为讨论s=1啊y=- 1是吧，

所以说因为什么，因为s-y根号它它等于二它等于二这一块儿又有四。是吧，这块应该是四。啊，因为它这是根号s-y=2，所以s-y应该等于四=4的话，那这个就可以很容易求出来s=2。y=- 2。好，这是一种情况。好给大家画上啊，这个能懂吗？第二个就相当于x+y绝对值等于二和x-y根号儿。x-y=0根号儿。

x-y=0说明。x就等于y。是吧，所以第二个就相当于是得到x+y的绝对值等于二。然后呢x呢是等于y的是吧x=y，所以接下来它又得到两种情况xy相等。等于一或者是。负一，它有两种情况，比如xy，它都取一或者xy都取负一对吧？好，这有两种情况。好看，这个懂了没有？

然后接下来就是这两个，它都为一都为一，就相当于什么意思，相当于根号s-y=1根号s-y等等于一和x+y的绝对值。加个一。根号x-y=1说明x-y就为一。啊，那这个呢s+y绝对等于一哎，加y绝对等于一，它又代表两种情况s，加y=1。或负一对吧？所以通过这个呢，我们再解解s的取值，如果s+y=1 s-y，

它也为一就说明s=1 y为零。所以就可以推，就是x=1 y为零。啊，这是一种情况是吧？或者说x+y=- 1 x-y它为一。啊，那说明x啊，这个就可以算出来是吧？算出来算出来x为0y正好等于负一。好，那这样就写出来了是吧？这样得到它的数值，看这个明白没有，它的这个方法啊啊，

要知道它的考试要点。好了，那这是它的这个。这个知识点啊，然后接下来我们就可以选答案。选答案好，这是一种情况，然后这个地方是两种是吧啊？两种这地方又有两种，所以共五种情况啊。共五种这个呢，应该选择e选项。好，那通过这里，大家听完以后的收获啊，

要知道啊，这道题呢，我们就通过它的奇偶性来把这个质数a给它找到。找到以后，那通过这两个数相加等于二，然后呢，分别讨论有三种情况，零+2，二+0和一+1。然后呢，分别写出它的数值解出xy，然后最后就得到它的结果就可以了，好看这个题是不是明白了，是不是听懂了啊？好，

接下来咱们看一下第二个，如果遇到乘法，大家一定要进行分解。好吧，进行分解把数呢，进行分解。分解完以后，然后再讨论取值就先分解。然后再讨论取值。好，要知道它的方法好吧，先分解，然后再讨论取值就OK了啊，要掌握它的。本意方法。

好，那接下来咱们看下这个题。若四个不同的正整数啊，它是不同的正整数mn pq满足七减m乘以七减n乘以七减b乘以七减q正好等于四。则m+n+p+q的值到底是多少？就m+n+p+q的值到底等于几？好，那通过这个题，大家想一想它的方法。那这个题呢？先把四给分解知道吧，因为大家知道这个mn pq是不同的。是不同的是不同，那说明七减m七减n七减p七减q，它也是不同的。

是吧，也是不一样的，也是不一样，那接下来大家都思考一下，这个四可以把它分成。四个不同的数相乘，可以把它分成多少，大家都思考一下，想一想。可以把它分成几。都回答一下啊，这里四。啊，你说说你觉得这四可以分成几？大家都想一想。

要分成四个不同的数相乘，当然这道题不用去排序。啊，不用去排顺序反四，大家想想怎么分呀？四要把它分四个不同的数嘛。四不同数字也不会分嘛，你看可以分成一。可以分成这样的负的啊。负一。负二一二是不是这样的啊？你想想是不是这样的？所以说在这里面，大家呢，就可以把它分解成这样的一个一个情况是吧？

所以把它分成负一。负二一和二啊，这样的一个表达式和方法。这个能懂吧？有四可以分成负一，负二一和二啊，这样的一个情况。好，这个写好了，对不对？接下来接下来我们呢？再来看。那么mn pq它的值到底等于几？好吧，那我们假设第一个七减m这个括号儿叫做负一。

负一的话，那么m正好就等于八。这个n呢，就相当于等于九。p呢，相当于等于六q，相当于等于五，你看是不是这样的是吧？m是是等于八，这个七减m就等于负一。然后七减n减n，这样等于负二。七减p就要等于一。七减q正好等于二，你看这个是不懂了。

好看，还有没有疑问啊？这样话四个数相加。啊，当然，它这个顺序你可以。嗯，可以跟我写的不一样，但是呢，不影响这个答案啊，答案是不影响的，你八+9。加六+5，这样的话，我们就可以算出来，

正好等于28。好，这个答案就选择e选项好看，这个是不是听懂了？大家掌握它的方法。好看，明白没有这个题啊？接下来我们来看一下这个分式问题啊，分式问题分位一定要会把它分式给它裂开，给它分离，知道吧？这个在咱们二三年考试，有一个考题就用到了叫分式，要学会给它变形，另外还要学会讨论。

分式的整除问题。啊，就表达式的整除。好，那这个数它的整除问题要会分析好吧，所以要学会把它分开。好，我们来思考这个题啊n的三次方加100，能被n+10整除就满足这个式子的最大正数n到底是等于几？最大正数n到底是为几？其实这里考的实在不会做的同学啊，你可以把选项往里面带知道吧，选项往里面带。比如a选项890带到里面看行不行？是吧，

就是相当于是n1旦取890以后，前面就变成一个具体的值了。就具体值。知道吧，这样的啊，具体一个数啊，那虽然表面上它含有这个n，一旦n取一个具体值，以后那前面就是一个具体数。n+10也是个具体数，那么这两个相除它最大正整数，这样就写好了是吧？这样就写出来了。好看，这个明白没有？

好吧，它的这个就求出来了啊，看会不会分析和思考？好，大家懂了没有啊？想一想。啊，那实在不会做同学考的时候呢，就是当你拿到一个选择题不会做，你就可以从选项入手，比如a选项n要等于890。89的话就890的三次方，加上十一百。然后看除以。啊，

这个除以除以什么除以个890+1个十，看能不能整除？是吧，当然这个数稍微大一点儿了是吧？数稍微大一点儿好，你变形一下，你看这个结果啊，能不能？它能整除，如果能能整除的话就OK，然后在b选项，然后c选项d选项，反正就这道题，就是要找一个最大的质能数n。比如说a选项也满足b选项也满足c选项也满足d选项也满足，

那你肯定要找一个最大的就是比如说。呃，这个题能读懂吧？就满足它，能被它整除的，这样的情况会有好好几个。zr呢，要找一个最大的。找一个最大的，知道吧？啊，它让它这个有好多个，咱们呢就可以找一个比较大的一个。知道吧，好了，

这是给大家说的这个方法啊，那接下来咱们呢，来看看它的这个，这个取值怎么去分析？好能被它整除，我们这样想啊，我们呢，就让它除一下。大家知道这个a÷b，我们可以写成。b分之a这个大家要知道。好吧，这个要知道啊，所以说这个n的三次方加上100÷n+10。增加十，

我们可以把它写成n的三次方加100。这是一个分数线。n+10是吧？就用这个来写。这得写这个涉及到这个分式的一个变形分辨，大家知道这个有n的三次方，所以这一块儿呢，需要大家呢？结合它的特征呀，然后进行变形，怎么变形？你看你想要什么？假设我想出现这个十。所以我就可以这样写。n的三次方加上十的三次方减掉一个900。

为什么减900？你知道吧？因为大家知道十的三次方是1000。啊十的三次方正好是1000。对不对？13就1000，然后减掉个900，这1000-900正好就100。是不是这样的，所以1000-900就得到100，然后除以个这个n+10。注意这个n+10，然后这个为什么要给它写成十的三次方知道吗？就这块儿，它为了好利用这个立方公式。

啊，用立方公式来写这样简单一点。是吧，所以说在这里面就可以选择n+10，大家还记不记得这个立方公式啊？立方公式有a的三次方加上b的三次方。可以写成a+b。括号a方减AB，加上b方是吧？这个立方公式。所以接下来我们呢，就用立方公式来进行表示好吧，立方公式啊，所以n的三次方加十的三次方可以写成n+10乘以括号儿。这个n的平方减十n加上一百。

然后减900，这个能看懂吧？所以说就把这个变形变形以后，然后除以n+10。n+10，然后这个n+10跟这个n+10就能约掉。应该就得到n方减10 n+100。减去900÷n+10。好，这个能看懂吧？好，大家知道它要能整除能整除什么一个数，要能整除，说明这个得到结果一定是整数，整数不能出现分数。

是吧，有的不能出现那个分数，所以说后面这个分数呢，它一定能变成整除，因为整除说明n+11定是900的约数。对吧，有n+10。一定要为900的约束。因为大家注意，前面都是整数啊，这个大家要能听懂，前面都是整数了。所以只要保证后面是整数就可以了，注意n+10为900的约数。当然，

900约束有很多了，咱们就找最大约束，大家知道一个数的最大约束就是它本身知道吧？一个数最大约束就是它本身。就它本身嘛，所以说这个900当然这道题这道题如果要没说是最大正整数n，它这个正整数n有很多种取值，比如n+10。我还可以为30 n+10，还可以为45。是吧，它有很多种取值，知道吧，很多取值，你看n+10要等于30的话，

这个分子的分母也能整除。对吧，它有很多知道吧，所以咱们要找最大的。这个能懂吧，最大的。所以这类易错点一定要看清楚它的情况，有很多人家找最大的。最大的有n+10，正好等于900。然后这个n就等于890。890如果选最小正整数。选最小的正整数，那么你就到时候你就看了，你就看啊，

比如说这个900的，它的约数到底是多少？是吧，然后这样你就找找找它它的这个这个数值。是吧，比如说啊nn取二这个12是不是900的约数是吧？所以这里面大家呢就可以啊？啊，可以看清楚是吧？这是如果找最小的，不知道大家懂了没有？最小就n+10，比如说12也行。是啊，因为900÷12这样也OK的。

对吧，900÷12啊，这个也是OK啊，也是OK，这这最小的，因为n要是正整数嘛n要正整数nn不能为负的，知道吧，人家说了正整数，如果要问。最小正整数n啊，如果改成最小正整数n，最小正整数nn，那就取二。知道吧nn取二就可以了nn取二，然后这样就可以得到这个结果就可以满足由n=2带到里面验证一下也行啊，

如果还没听懂的同学验证一下。n=2带到里面去，分子不是108吗？108分母不是12吗？就108。除以个12，那这个肯定能整除啊，是不是108÷12肯定是OK的呀？这个没问题，所以说这道题给大家讲，最大的也找到了，最小的也帮你。分析了这才叫举一反三，才能够达到考试要求，所以正确答案就选择a好看，

这个明白没有？好吧，大家一定要掌握它的做题方法和思路啊。接下来咱们看一下第四个有平方差公式啊，平方差。平方差在咱们做题中用的场合比较多，大家知道a方减b方就等于a+b乘以个a-b。对吧，就这样的，尤其这个公式，它可以反过来用是吧？公式可以反过来用啊，比如根号m加根号n。乘以个根号m减根号n。然后等于m-n对吧？

就根号m加根号n乘以根号m减根号n，这样就等于m-n。是吧，它也可以反过来用，所以这平方差公式，它的使用，另外咱们平方差公式还要注意什么呢？我们刚才讲过的两数的和。和两数差，它的奇偶性是相同的，比如说a+b和a-b，它奇偶性是相同的，这个是刚才咱们讲过的啊。讲过的要弄清楚。好，

大家看这个题。看这个题已知xy属于这个n+1个星号，这个星号代表什什么意思？星号是把这个。取值零给它去掉，大家知道这个大写的n是代表自然数。大家知道自然数呢是零一二三四五六七八是自然数是吧？这个零从零开始就是自然数。然后这个加星号就去掉零，所以自然数里面去掉零，其实相当于正整数。知道吧，其实就相当于是是正整数啊。啊，正整数。

啊，那这个xy相当于是正整数知道吧，它相当于自然是把零去掉，相当于正整数。然后接下来咱们来看一下根号s- 36，加根号s+32=y这个y的值到底等于多少，这里大家可以看到它正好是什么？这样是两个未知数，一个方程，所以是两位。一方看能懂吧，两位的数一个方程，两位一方。接下来咱们这个根号怎么处理？根号的话，

我们可以令这个m。等于根号下x- 36。n呢，等于根号下x+32是吧？注意这个等式，大家不要一上来两边平方。如果这个等号两边直接平方的话，越弄越复杂，因为两边直接平方，它这个平方展开有个二倍的交叉项，二倍的两个相乘。这二倍两个相乘的话，那这个越算越复杂。对吧，不要直接平方，

所以先把前面这个根号儿，这个整体看成m，再后面再整体看成n。那一看n那我们就可以知道单独给它平方就没问题了。对吧，而且大家知道要保证这个根号儿要有意义，因为大家知道在实数范围内，这个根号儿要有意义，根号儿里面是非负的。非负就说明s要大于等于36，这s大于等于36，这个呢，就是x+32要大于等于零，说明s要大于等于负的32。这两个要取交集，

知道吧？同时满足s大于等于36和s大于等于负32，所以说这x呢？就大于等于36了。啊，这是s曲值范围，那这也是一个易错点，这个易错点就考试遇到根号儿，你要注意根号儿，它里面非负的这种特征。然后呢？接下来得到m方和n方，我们就可以得到，因为这两个是m方和n方，我们让它相减，

正好可以把x给它减掉。知道吧，所以说让两式相减就n方减m方。n方减m方，这样就等于个这个68。是吧n方减n方n方等于68。这个就相当于是咱们真题里面曾经考过的，以后大家做真题或者做真题的同学就知道，比如小明的年龄。比如说以x可以表示一个人年龄，一个人年龄，比如说一个人年龄加32岁，是一个完全平方数。一个人的年龄减36，他也是一个完全平方数。

是吧，是一个完完全平方数啊，让你讨论小明的年龄能不能确定小明年龄啊，大家做题就做过啊，比如说一个人，比如说多少年以后就他年龄加上。加上几岁以后正好是一个完全平方数，或者他年龄呢啊，减掉多少岁或者多少年前他的年龄是个平方数。是吧，这样啊，都是呃考试出题的要点。好，那接下来我们就让这两个相减，为什么让这两个相减？

因为主要把s减掉好，大家知道n方减m方正好等于68。那就可以得到n+m用平方差公式n-m正好等于68。而且大家要知道。这n+m。和n-m是同奇偶的，同奇偶的由于这个68，它是偶数。68是偶数两个要同奇偶的相乘得到，是偶数肯定是两个都得是偶数，所以68只能分成34×2。那不可能分成17×4啊，不能因为17是奇数。后面是偶数，它这个mn+m和n-m不可能说两个一个奇，

一个偶只能两个都是偶数或两个都是奇数。知道吧，所以这道题啊，不可能。不可能是其他情况，只能是34和二三十二又可以得到n+m，这样就等于34。n-m正好等于二啊，这个写好了，接下来接下来我们就可以算出这个n的值和m的值，以这个方程就很好解。一个是18，一个16，有没有解出来了n就等于18？m就等于16就解好，

了解好以后大家可以看到它这道题，让你求y的值，其实大家知道这个y的值就等于什么？啊y值就等于这个。n+m是吧？其实其实这个呃n+m其实就是y的值啊n+m这个y的值就相当于n+m。要等于34要写好了，对吧？因为这个m加这就等于y的值y值就等于34这个呢，就选c选项。对吧，这样就求解出来了好，这是它的方法和思路，看这个明白没有，所以这道题呢，

就相当于是它比较巧妙。知道吧，它首先呢，不能够直接平方，所以说你只能是分别把它平方这个根号儿进行平方，这个根号儿进行平方。然后呢，两个相减，把这个x给它消掉，消掉以后那就有好办了，好这道题呢？技巧性比较强，也是咱们考试曾经考过的呃，一个人的年龄，那个题在咱们二零一九年考试真题里面就出现过了，

好吧，就跟那个考题呢，有点类似。看大家这个知识点是否掌握住了。啊，接下来咱们看第五个就是局域值它的一个取值讨论。啊，举止讨论的话，其实倒不难，关键是举止它本身具备一个非复性。啊，讨论时候得一定要细心点儿，别给做错了好吧啊，另外还要知道绝知里面它的正负情况。啊，

这种情况来进行分析。由于大家比较害怕这个重新判断题。所以我们就讲讲这个重新判断题。已知AB为非负整数。可以确定a+b绝对值的数值到底多少？可以确定a+b绝对值上的数值到底是等于几？好，大家思考一下啊a+b绝对值的数值到底是等于多少？这个确定的意思是什么意思啊？就是唯一确定好吧，只有一一种情况要确定好，那接下来咱们来看一下这个题。条件1 a-b绝知加AB=1条件2 a-b绝知减AB正好为一。好，这是两个条件，

大家不要一上就联合，知道吧？先单独分析，然后再联合啊有同学。一一开始一上就联合联合起来，即使能推出题干，但答案也不是选c，知道吧？不要过早联合啊。只有单独都不充分，是在联合，而且重新判断题一定是下推上。同学们，它一定是下推上由下往上推，知道吧？

所以在这里面大家呢，就不要写错了，所以接下来我们看条件一。就一定要知道a必要于非负整数a必要于非负整数说明a-b的绝对值也是非负整数。a×b也，是非负整数。是吧，所以大家想想是不是这样的啊？a和b都非负整数a-b的绝对值是非负的a×b也是非负的好，那这样我们就可以得到什么？得到两个非负的整数相加为一两非负整数相加为一，那就说明这两个整数要么就是一个一一个零，要么就一个零一个一。是不是这样的对吧？所以说接下来我们就可以。

可以得到，就是第一种情况就是a-b绝对值等于1a×b=0。啊，这种情况是吧？好，这种情况啊，大家知道a×b要为0a×b要为零，要么a为零，要么就b为零是吧？就是如果a要为零的时候。b呢，它就等于正负一。因为a要为零的时候，这个它的绝对值为1b，又等于正负一。

或者说是啊b为零的时候a的绝对值等于正负一。是吧，因为它这个题目要求是非负整数，非负整数啊，咱们就不考虑负的好吧，不考虑负的，这就写一就行了。啊，人家题目说了非负整数，非负整数，咱们就把负呢，就给它舍掉啊，这种情况或者说是第二种情况，第二种情况就是a-b，绝对值等于零。

这个能懂吧？a-b绝对为零。然后a×b，它正好为一好看，这个懂了没有？啊a×b的值上为一。好，那接下来大家知道a-b绝对等于零，说明a和b要相等。啊a和b相等a和b相等值a和b它都都都等于一了。因为这个不考虑负一，它是非负整数啊，不考虑负一。所以大家发现，我们又得到这几种情况，

这种a+b的绝对值，它的数数值呢？它不是唯一确定的。是吧a+b的绝对值有可能是一有可能是二，因为它的a和b的取值啊，有这么几种情况，这时候呢，我们可以看出a+b绝对值，它确定不了。所以tr 1呢，是不充分。它是不充分的啊，这个确定不了条件儿，咱们看行不行？条件条件就是a减b绝值减去AB，

它正好为一那位大家想想它只能是什么，只能是一减零它为一。啊，只能是一减零才为一。啊，也就说a×b为零。那a减b绝对正好为一，只能是这种情况，那有可能有同学就会说了，那会不会是三减二？会不会是十减九？会不会是十五减十四呢？会不会这样情况呢？啊，那我就来给大家解释一下，

为什么不不能是其他情况？啊，为什么不能是其他情况？对不对？好，我给你解释啊，对不对？就是说它为什么只能是这个绝对值是取一后面a×b取零，为什么只有这种情况？为什么不能是其他情况啊？我们想一想它的方法好吧，讲一下原因，原因是这样的，大家想想假设。假设出现一个，

比如三减二会不会出现这样的情况？我给你证明一下啊。大家现在问题出现在哪儿？问题主要是这个a-b局域值这块儿啊。咱们呢？绝对值怎么办？我就先讨论a大于b，反正a大于BA小于b，它倒影响不大是吧？假设若咱们主要是把绝对值去掉。若a大于b的时候。a+b的时候，这个橘子就为正了，对不对？这个绝值它它要为正的。

a和b不可能相等啊，因为a和b要相等的时候，这个是零，这是一个负的啊，一个数不可能等于个正一。对吧，不能等于正一啊，所以a和b可能不能相等，我给你解释了啊a和b肯定不能相等了，然后呢，就是a大于b的时候a大于b的时候，这个橘子就可以去掉去掉一遍a-b-ab。减一，它正好为零，或者这个一给它扔在一边儿也行，

这个倒倒没啥影响。没啥影响。好，这时候大家可以发现，这个b的值。啊b的值b的值，我们就可以把它写成什么呢？b的值b的值的话，如果如果看不出来，我们可以把它写成这样的。就b×a+1正好就等于一个啊，这个是a- 1，你看这个是不是懂了？好吧，这个可以提出一个b的值b的值提出来提出来。

b乘以括号儿，正好有个a+1，然后两边再变一个负号变负号，这个能看懂吗？把它移项变一下负号，然后这个b的值正好就等于。a- 1除，以a+1。大家注意a减除a加，因为b要是非负的整数。必要是非负的整数。必要的非负整数，那只能必取零。是吧，只能是。

b为零了，要不然否则它b就是一个分数了，所以说它就不会出现，刚才咱们说的三减二或者之类的什么情况知道吧，你看比如说。啊AA要取其他整数，它这一定是分数，比如a取二呀，取三呀，取四呀，取五呀。对吧，它这个一定是分数，这个能懂吧，它这一定是分数。

所以就给它证明了a×b一定是为零的，比如说当a大于b的时候，a大于b的时候b它只能取零。b它只能取b，只能取a，只能取一。知道吧，就AA只能取1b，只能取一，所以这种情况只能是a=1 b=0。反过来，如果如果a要小于b。a要a要小于b，那指的是这个同样道理啊，同理，

咱们就不再浪费时间写了同理。那就a等于零b为一，知道吧，总之呢，就老师刚才讲过的，那这两个整数相减等于一，那只能是一减零为一，不可能是三减二呀，不可能是十减九啊之类的。不可能好吧，就这一块儿就是比较难一点，所以大家呢，要分析这个b把b写出来，写出来的话，因为如果他要是a要取其他值b1定是分数。

不管h3呀，取四呀，取五呀，取六呀，取八呀，取九，它一定是分数。知道吧，所以它这个一定为分数。好，如果你看不到这个分数的话，还有刚才咱讲过列项，那也可以写出来，大家知道这个a-1可以写成a+1-2。所以a加一可以一减去二除以a加一知道吧啊，

二除以a加一这样你这样可以把它刚才讲的分开分式列项。另外，大家可以发现，它这个a+1要取其他值的时候，它一定是分数。啊，要么就三分之二呀，四分之二呀，五分之二呀，六分之二呀，八分之二呀，一百分之二呀，一千分之二呀。是不是到这个啊？这个结果知道吧？

所以只能是啊，就a=1的时候b为零，这是OK的。知道吧，因为要保证这个是整除，因为b又不能为负的。BB不能为负的啊，因为题目说了它的非负整数，懂了吧，所以说这道题就得到了两种情况。两种情况，一个是a=1 b=0，一个是a=0 b=1啊，虽然a和b有两种取值，但是a+b的绝对值。

这个是唯一确定的，知道吧，所以条件儿这是成立的正确答案就选b啊，就条件儿充分，咱们就涂卡就选b，这时候就不要再联合了啊。如果单独条件是充分的，那就不要再联合了，所以这道题就做好了，就这道题比较难啊，看大家能不能想清楚会不会分析？好，接下来咱们看下六。关于质数的一些。讨论情况，

所以质数最大特征是什么？如果一个表达式要为质数啊，就只能分成一乘以它本身。知道吧，就是这样特征，所以说一定要先分解，然后再讨论取值。啊先分解，然后再讨论取值就可以了好吧，先把它分解分解完，然后再讨论取值就可以了啊，看这个懂了没有？好，那接下来咱们来看这个题，已知x为正整数。

如果这个表达式为一个质数，那么这个质数值到底是多少？大家想一想。好，那第一步要对它进行分解，在分解的时候我们呢，一定要用十字相乘，因式分解好吧，大家画一个时差。来进行分解，大家知道这个15。15的话，我们呢就可以把它分成什么呢？分成三和五是吧？分成三和五。

然后这个十七十七呢，分成17和这个一，然后加一个负号。是吧，加负啊，还记不记得这个负82怎么来的吗？负82就交叉相乘再相加，正好等于负的82。比如说五×1个负17。再加上一个三。正好就是一个负82好，这个都满足就可以把这个原式就15x平方减82 x- 17。可以把它写成3 x- 17乘以个5 x+1这样的。好吧，这样的一个情况看懂了没有？

啊，如果它要是个质数，刚才咱们讲了，它只能分成一乘，它本身一它本身也就是说这两项里面肯定有个为一。有一个唯一。啊，要么就前面为一，要么就后面为一啊，那么后面5 x+1要为一的时候x只能为零了x为零，那这个不满足题目要求。知道吧，那说明只能是前面这个为一一乘以它本身。指的是前面这个30-17为一。三减十七为一啊，

那么说明这个x正好等于六ii等于六，那么把s等于六带到这里面去。正好五×6，再加上一五×6，再加上一正好就是31。对吧，所以大家把s=6带到里面去，这个5 s+1，这个值正好等于31就写好了，所以这个答案应该选择4d选项，答案就求解出来了。啊，这个答案就选d啊，看这个是不是懂了好吧，它做的一方法看明白没有？

就是遇到质数啊，质数这几年考虑都在考知道吧，像咱们二三年考试又考了质数问题给大家呢，要知道它的方法。接下来看一下整数根的一些讨论啊，方程为整数根知道吧，比如说这个呃，当然这个要求ABC是整数啊，如果ABC。为整数。ABC要为整数，然后要方程as方加BS+c。它的根。要为整数。它的根要为整数。

啊，要躺在根本没整，根本没整，他要满足什么条件，知道吧，大家学过求根公式是吧，求根公式x一二求根公式。应该等于2a分之负b加减根号delta是吧？所以我们看如果它这个根要比整数，它的要求什么条件？要首先这个最关键的就是这个根号单儿上这块儿是很关键，它要是一个平方数。有根号delta b要为整数。根号德尔塔为整数，必须它是一个必要条件，

知道吧？那必要条件就是如果DOTA，要不根号DOTA，要不能开出来。不能开出来的话，它这个方程根它一定是一个无理数，那比如说是根号三或根号五，那肯定是不行。它得一定能开出来，比如说根号九。能开出来或者根号儿25，它能开出来，这能懂吧？就相当于所以根号儿，当然它一定能开出来。

这是一个必要条件，光开设还不行，光开设还要保证2a分之负b加减根号。德尔塔这个整个分式是整式。是能够整除的，是整数知道吧，所以说它它的要求要求有两个，第一个就是。必须也是最重要的一个必要条件，它是一个必要条条件啊，先保证根号德尔塔，就德尔塔能开出来。满足这个必要条件，以后我们再来验证这个分式是不是整数好吧，所以说先分析。

德尔塔要为完全平方数。然后再讨论。那他们这个分式是不是为整数，比如根号delta，它也是完全平方数了，但是万一这个分式它不是整数呢？啊，比如说啊，这个六分之之七，那这也不行。对吧，比如说六分之七加减二，这个这个也不行。对不对？他也也不满足，

对不对？所以说在讨论分式。是整数。好，这个明白吧，所以它是两步，当然第一步是最关键啊。第一步是持最关键。第一步很关键就是ta是完全平方数，第一步是什么关系，然后啊delta弄完以后，然后再看这个分式，它是不是整数？好吧好，这是它的这个方法，

所以其实这个整数根啊，大家也不用呃担心它也不难，就用咱们前面学过的求公式来做就OK了。好吧，把清工式做好就没啥问题。好，那接下来咱们看这个题已知m为整数。还有问题，如果使得这个为完全平方数。问m有几种取值情况。那这道题呢？比较难一点。比较难一点啊，这里面运算比较复杂。对大家一起来想想，

那m是整数m方加m+4，要为完全平方数。为完全平方数，咱们完全平方数这个名称，这个概念考过好多次啊，大家一定要注意啊，这考过很多次，完全平方数。这概念考过很多次。啊，完全平方数的它的概念方法。好，那完形描述，我们就不妨列是吧列？这个m方加m+4=1个k的平方。

这总可以吧，完全平方数，因为咱们讨论m的取值，各位同学注意，你看人家问什么问m的取值？那么m取值这些k无所谓了，所以咱们就不妨令k为非负的啊。可以为非负整数。啊，那有同学k为负的行不行？k为负的也行，但是对m没有影响，比如说k为负三或者k为正三。对讨论m来说，没有什么影响，

这个能懂吧？比如k为负五和k为正五。这两个对这个m没有影响啊，所以k为非负整数。k呢，它是非负整数。懂了吧啊，这是一个非负整数，这样就行了。就是咱们主要讨论m啊m，咱们为了方便。啊，所以不妨利用k为非负整数，所以这块儿要给你解释清楚啊，因为k为正的也好，

为负的也好，不影响m的取值。比如说咱为了方便就k呢，就是考了恢复的。那vivo，然后接下来我们就可以把它变成m方加m+4-k^2等于零。那你你可以把这个如果看不懂的同学可以把m看成这个方程的根好吧m就为方程。放在x平方加x，加上四减k方等于零。它的整数根。看这个能懂吧是吧，这m就为方程s方加s+4-k^2等于零的整数根。啊，正好就是它的整数根，看这个明白没有？

是不是想想它这个是不懂了？好，这个就把它m因为满足这个方式，它是整数根好，是整数根的话，咱们用求和公式第一步，先保证判别是德尔塔好吧，它德尔塔首先要为完全平方数。给它当上。那就等于b方减4 a cb的平方。b比方说，一减去四AC。是一减十六，再加四k方。是吧，

这得到是啊，一减十六。再加4k方，那正好是一个完全平方数，明明我们就假设设为p的平方好吧。我设为什么平方都没关系，你设为呃n的平方也行，或什么这个都都没关系。啊，这个这个因为咱们是讨论k讨论k的话，咱们就不妨p呢是非负整数。好吧p呢，讲的是非负整数，因为咱们讨论k嘛，因为k我求出来了，

那m就求出来，所以是顺藤摸瓜，知道吧，对吧？p求出来k。k就求出来k求出来m就求出来啊，所以呢p呢就非常方便，就为非负整数。就在不影响结果的时候，咱们可以找一个最简单情况啊p呢，为非负整数没问题，这个我们就可以。把它写成这个4k方。减p方都要等于15。然后把它移向，

然后这地方用刚才咱们讲过的平方差公式，所以这个题比较难，平方差公式平方公式就可以，可以把它写成。这个2 k-p乘以个2 k+p。正好等于15。大家知道我们学过2 k-p和2 k+p，它们是同基有的。统统计，偶统计，偶的话，那这个我们就可以写出来。对吧，就可以求解出来，十五一定要分成两个奇数相相乘，

知道吧，因为我们知道两个数相减和两个数相加。它的基础性是相同的，所以接下来我们就可以写成一×15或者写成三×5。好，那接下来第一种情况，第二种情况就是2 k-p等于个一。2 k+p等于个15。或者说是2 k-p等于个三。2 k+p正好等于个五。是吧，五那接下来我们就可以把p的值解出来p的值解出来，那这道题就基本就完事儿了是吧p的值？啊，然后第一个你就把p和k都解出来就行，

这两个相加正好得到4k4 k=16。这呢，就等于四。p呢就等于七。是吧，或者说是。或者这两个相加除以二这两个相加叫4k4k，所以k就等于二是吧？k的值就等于二。p的值正好等于一就写好了。啊p的值知道了，那这个求根公式我们就可以验证一下它这个放置的根啊，还要验证放置根，刚才咱们讲过它的第一步，德尔塔完全平方数满足，

还要讨论一下这个求根公式是不是行？所以它这个方程的根，我们就可以写出来，对吧？方程根方程根的话，大家可以发现方程根正好是什么呢？这是2a分之负b加减根号德尔塔。在根号德尔塔根号德尔塔，其实就是p的值了。能看到吗？因为delta正好等于p方嘛，刚好当上正好是p的值，所以这时候呢，你要验证一下负一加减p。它除以二这个m它的值到底是多等于多少好吧，

等于多少啊，就再用求公式写写好吧。所以当p等于七的时候，那这个m就等于二分之负一加减七。对吧，负一加减七负一加减七我们就可以得到是三或者负四。对吧啊三或者负四。好，第二个，第二个p等于一的时候p等于一的时候m正好等于二分之负一加减一对吧？它就等于。零或者说负一。对不对零？或者说是负一，所以说m值有三有负四有零和负一，

所以m呢？总共有四种取值情况。啊m有四种取值情况，建议大家选择c选项。好看，这个题明白没有啊？这道题这道题你看m=0的时候可以满足这个式子，为完全平方数。m=- 1的时候也可以m=3的时候也行m=4的时候也可以。好，这道题思路看懂了没有？第一步呢，它要是完形平方数，先令它等于k方。零二=k^2，

然后第二步呢，我们把它看成一个方程的整数根方，整数根的话先满足德尔塔。DOTA先讨论DOTA，它要是一个平方数，所以说我们呢，这地方一定要用平方差，平方差。用完以后，然后再来分析。分解来讨论讨论话，把这个值求出来，求出来以后，然后再用求公式啊，求公这个后面这块儿就相当于求公式。

啊，求出来就可以得到结果。然后结果以后那么这个m就写出来了，好看这一块儿是不是听懂了？是不明白了啊？

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