030.24-顿悟-专项七-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:34:28

接下来我们来看一下第一个题，小七和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，好这里就考察数量的不定方程。数量关系。不定方程。啊，小倩对小兰说，你若给我两块钱，我钱将是你的n倍。小刘对角线，你若跟我n元，我的钱将你的两倍请n呢，要是正整数这n呢，可能取值有几个？好，

那接下来咱们看一下它的方法，我们假设小倩原来是x圆。小零。原来是y元。y元好吧，然后它这个钱肯定都是非负整数了。对吧，这个钱因为它都是整数元嘛，这写了就面值为整数元的人民币啊，都是整数元。然后这块咱们看一下好，那么第一句话列一个等量啊，等量就你如果给我。两元就像小倩对小林说，就小倩加上两元x+2，

小林呢是减去两元。这样它的钱是它的n倍啊，这样写好了。然后第二个小的最小线呢，你如果给我n元就是它减掉n元，这是y+n元。然后小于的钱是他的钱的两倍。乘以二得到它是吧？就是相当于是。把小倩的钱乘以二得到这个这个接下来，我们把这个呢稍微化简一下，因为这这里面有三个未知数。只有两个方程，就叫做不定方程是吧？不定方程现在把第一个给它，

给它写s+2就等于ny- 2n。第二个把这二乘进去就2 x- 2n等于个y+n，这样的是吧？然后咱把x给它进行消掉吧，把x消掉，因为这有x这有x。就把一式给他乘以二。乘以二，然后两式，这样就可以做变形，把一式给它乘以二嘛，一式给它乘以二就变成2 x+4=2 ny- 4n。是吧，把第一个方程都乘以个二倍都乘以二倍得到是2 x+4=2 ny- 4n。然后这两式可以相减相减，

把这个2s给它进行消掉好吧，消掉，所以说让这两式做一个减法减法，左边2s跟2s减就没了。四跟负2n减就变成四+2n。然后等于就2 NY。减y减去个5n是吧？反正这两式给它进行相减。啊，相减相减，然后咱把y呃，因为他这道题说了n是n是正整数是吧？n正整数咱把n给它写好吧？n给它这个写出来好吧，然后大家知道这个5n跟这个2n就变成7n了是吧？

就变成7n。好变成这个7n，接下来我们就把这个这个n呢给它做一下化简就行了啊，化简化简化，那这个就可以写出来，这个变成四+7n。就等于2 ny-y啊，这样就写出来了好吧，这样就求解出来了。啊，求解好了，所以把这个y呢这个5n给它给它写过来啊，写过来写过来，然后这个n就可以写出来了，这个nn的话，

咱们把它这个n给它合合在一起，合在一起就是。就是2 y- 7括号n。等于一个y+4是吧？就等于y+4，然后这个nn呢？就等于y+4÷2 y- 7。好得到这个结果，大家记得注意，我们要把它列开，然后讨论，因为它这只是个分式y，它它也是非负整数n呢，它也是正整数。然后在这里面，

我们呢，要要想到这块儿啊，因为大家注意这块分母，它有个2y2y的话，咱们这个出现分数不好弄，所以说大家一定要想到什么，想到乘以个二倍，这是关键点啊，要不然你讨论解恨。很麻烦。讨论起来很麻烦，知道吧，所以把这乘以二倍乘以二倍或者一会列，不知道为什么要乘以二的同学，大家接下来往下列就明白了，

你把上面这个。2y显然减七+15，这2 y- 7这样的话，2 y- 7跟2 y- 7约下来，它正好是一个整数，知道吧？主要是为了这地方方便啊。则为了这个地方要方便一点好吧，所以在这么大家呢？要知道它的这个方法好，那接下来大家知道要保证这个15÷2 y- 7，要是一个整数，而且这个整数还要是奇数，为什么要奇数，因为2n这块是个偶数。

当然，这块是个偶偶数，这一它是一个奇数。一是一个奇数。所以说15÷2 y- 7，不仅要是整数，而且还要是一个奇数，知道吧？而且还要是一个。奇数所以2y减减七。大家呢，就可以写出三。所以说所以说它可以为一可以为一，就看15的约数呗，是不约数一三？

55这样的，然后这样的这样呢y的值就可以求解出来y的值对应分别是四。五六十一是吧？这样就可以写出来啊，写出来所以说所以说它这有四个值，有四个值y值，知道了n的值就可以写出来n的值，写出来x值就可以解出来。好吧，然后接下来你就可以把这个n的值给它求解出来n，因为y的值它这个数等于一的时候n的值又分别等于二。是吧呃，然后n的值就可以求解出来。然后它这个数正好呃，为一的时候嘛，

正好为正好为一时候2n正好等等于二嘛，2 n=2 n就为一嘛。n就为一对吧？n就为一然后呢？这个是n为二。然后呢n为三。啊n为三，然后n为八是吧？反正就就分别把它带到里面去，就可以写出它的这个结果。好，那结果，然后接下来n的值求出来n的值求出来以后，那x值这个自己去解就可以了，所以总共算出来应该有四种情况，

答案就写好了好，这是它的作题方法和思路，看是不是懂了啊？好正确答案应该选择d选项，所以这个是不定方程，它的一个讨论取值个数啊，由于这块在变形的时候，大家呢，要想到好吧，把它作为一个啊，整体来进行分析，这样话我们在变的时候就。呃，好列项好吧，列项变成一个分式来进行求解啊，

它的做题方法。啊，下面咱们看这个题。假设n是自然数。自然数其实就是非负整，除了自然数，它这个表达式是一个完全平方数，问n的值到底是多少？nn的值到底为几？然后这道题倒简单，这道题为什么简单呢？实在不会做，你可以把这个n带到里面去验证是吧？所以这道题它它能验证。比如说21带到里面行不行？

23带到里面行不行？25带到里面行不行？它可以验证，但如果这道题换一个问法。换成n的取值有几种情况？啊n的取值个数有几种？那到底是有几几种情况？这时候你就没法去验证了，所以大家按照一般方法去讲去解就行了好吧？这里实在不行的话就带选项。虽然麻烦点吧，至少你可以把分拿到手。啊，这是实在不会做的话，把选项带到里面去啊，

所以考试遇到难题，然后呢，不会做也可以通过啊，这个什么？选项找到突破口，接下来咱们看一般计划，一般计划我们就按照。学的方法就是我们假设它等于个这个。m方或者k方。是吧，然后等于k方，因为咱们强调过啊，咱们是讨论n的数值，所以k为正整数为负整数，它不影响，

比如说k。等于正五和等于负五，它不影响n的取值，所以说这个k呢，咱们就取一个，不妨为非负整数。是吧，播放为非整数，然后把它移项移过来，移项移过来就变成n方加15n，加上26-k^2等于零。然后咱们把这个n呢看成这个方程的根就可以了，好吧n把它看为方程的整数根。为这个方程。方程就x方加上15x+26-k^2等于零，

它的整数根。好，把它看成了整数根，在这边大家要注意。这个方程整数根的话，咱咱们学过就它data啊，那么一定要保证是完全平方数，这是第一步是吧？data是完全平方数。所以写上DOTA DOTA就等于b的平方减四AC。啊，在这15平方等于二二五。减去一个104。对吧啊，104。

然后接下来再加上一个4k方。再加四平方啊，这样就写好了，这样带到里面就可以得到。得到这是121。对吧，二二五减掉104，这样得121，121+4k方，我们就令它。设它就等于等于一个完全平方数啊，因为咱们讲过delta是一个完全平方数，可以设为它为p方。是吧，可以设它为p方。

然后接下来我们把它写成p方，减去4k方。正好就等于幺二幺幺二幺，咱们再用平方差公式p- 2k×p+2 k。等于幺二幺大家知道咱们讲过两数之差与两数之和奇偶性是一样的，所以它只能分成两个奇数相乘，因为121是奇数。只分两基数，而且这两基数还不能够相同的基数，因为p- 2k和p+2 kp+2 k肯定比p- 2k要大。知道吧，要大，因为这个k肯定不能为零，因为k啊，所以在这里面大家呢？

啊，因为这个k要为零的时候这个题目呢，它是它是不满足。是吧，不满这个要求的，因为k要为零的时候，这个n可以可以可以解一解是吧，所以说这个呢，就p- 2k和p+2 k肯定p+2 k要大。比较大，所以说这个十一一百二一我们只能分成，不能分成11×11啊，只能分成一乘以幺二幺，只有这一种分法。不能分成11×11好，

接下来就相当于是p- 2k，然后等于一。p+2 k，然后等于幺二幺。这样就可以得到p的值。啊p2值p2值正好就是61。这就等于61k的值，正好就等于30。是吧，这样写好了，好看这个懂了没有？然后懂了以后呢，接下来我们再来看它的求公式是吧，它再一下这个方程，求公式把n就可以写出来啊，

求公式。n就等于2a分之负b加减根号。德尔塔注意根号，德尔塔其实就是p的值，知道吧？根号，德尔塔其实就是p的值。啊，这个明白，没有根号多少？啊，带到里面去。有求和公式嘛。对吧好，那这样你们这样就可以写写出来写出来的结果啊，

那么一个值就23。对吧，就二三还有个值是负的啊。负的负的38，这个就舍掉了，因为题目说了这个n它只能是自然数，如果这道题说n要是整数。n要整数，整数可以取负，整数那n就有两个取值了。对吧n有两个取值这道题呢，咱们这个n呢就只能是23这一个值好吧，这个答案就写出来了啊。所以正确答案就选择b选项好这道题，大家呢，

就以后讨论一个表达式是完全平方数，就按照这样固定的套路去讨论就行了。好吧，大家呢，就不用呃，这个考虑太多啊，按照这个套路，尤其多次用到了两个数相乘。它的奇偶性啊，用这个方法来分析就可以得到答案，看是否明白了。好，我们来看6 sy+4 s- 9 y- 7等于它整数解到底有几种情况？还有整数解，所以这道题也因式分解，

因为这道题要不因式分解的话，你怎么列举啊？因为整数它又没说正整数还是负整数？你x到一是从负几开始取啊？而是一直取到几啊，取到正几啊，那这个不知道对不对，所以说这个大家要会分解分解的话，大家通过这道题怎么去分解知道吧，就是硬分。什么叫硬分呢？硬分的话就相当于提公式硬分，你比如说给大家写完这个题再给你讲公式前两项。先给他提出来再说，接下来大家可以看，

可以提出一个2x是不是剩3 y+2是不是这样的？所以前两项提公因式。提个2x2x，这里面是不是剩3 y+2？对不对？三+2好，那后面什么叫硬分？后面这个9y9y我也可以写成三倍的3 y+2。就先把3 y+2给它写出来再说是吧，然后外面看乘以几，因为它正好是九嘛，所以说外面再写个三。是不是这样的，减三后面这七怎么办？七呢就多退少补，

大家知道这个三跟二相乘就是负六负六的话，这个再减一个一正好就是七。是吧，就这个七。就是猜，所以先不要管后面常数知道吗？先后先看前面先前两先提提完后呢？你又有个目标了，有个目标的话，你就知道配成三万+2。然后这个两个再提出一个300+2，其实300+2就剩一个2 s- 3。这三万+2。那它正好就为一是吧？它这个正好就为一。

就二二x- 3×3 y+2。它正好就唯一。好看，这个懂了吧？好懂了，因为sy它都得是整数，对吧？sy都是整数的话，那因为它没说正整数还是负整数一一，它可以分成两个正一相乘，还可以分成两个负一相乘。是吧，所以就可以写出来啊，2 x- 3，它等于一三y+2，

它等于一。或者说2 s- 3，它等于负一三y+2，它等于一个负一。啊，当然要富裕。好吧，这样的一个式子看懂了没有？然后接下来我们看x这个结点，第一个x得到是二，第二个xy=1个。呃负的三分之一，这个肯定不行，因为这个y的话不是整数第二种情况，看看第二种情况就是x呢，

正好等于一。y正上等于负一是吧？这个是可以的，这个整数是可以的是吧？这个整数是OK的是可以的，正确答案就选择a选项。它讲解只有一种情况。好，这给大家强调内容，所以在以后形容这样的分解，大家都要会是吧形容？先说就a xy+bx+cy+d，然后那个d先不要管它知道吧？d先不要管了d它多退少补，多的话就多退少补，

最后看看到底差多少，给它补上就行了，大家关键是什么？关键先看把前两个提供因式。前两提完公因式后看剩下括号里面是多少，括号里面剩多少y剩多少y，然后再再先把括号写出来，然后看y给它乘个几倍。基本上，然后最后再观察这个常数，这常数常数的话，看后面给它补一个几，给它补一个多少，补一个多少，然后呢？

补完以后，然后再再来分解，分解完后就可以得到答案了，好吧，这是它做题方法思路，看这个是不是懂了？好，这是它的考试内容啊，所以以后形容这个形式要为分解和便携去思考。好，这道题至少有一个呃，再给大家去写，我们先看a能不能v0啊，别到时候漏掉一个值好吧？aav 0的时候显然不行，

因为AV 0的时候这个方程就不成立了，大家可以看a要v0的时候，左边只剩下一个六。六=0，它是矛盾的，对吧？所以你简单看一下啊，所以说这时候有个陷阱，所以说也写到上面好吧，写到上面啊，就不要忘记讨论所以陷阱。就是要注意讨论。s平方系数。是否为零。讨论s平方系数是否为零啊？

是不是为零讨论它的系数是不是为零好？那接下来。好，接下来啊，就像这个题，这个题你看a为零，显得不成立，一秒钟可以看看嘛，是吧？a为零的时候，这都为零的只剩一个六嘛，只剩一个六，这个肯定不行，那说明a肯定是不为零的，是不是？

啊，这个明白吧a可能是不为零的好，那接下来咱们分解一下，分解一下，那怎么分呢？先把后面这个分分a方加。5 a+6 a方加5 a+6。可以分成a+2×a+3，是不是这样的啊？这样的我们看一下这个相当于相当于刚刚咱们因式分解的实质相乘的那个c知道吧？实际上c所以它可以分成a+2乘，以个a+3。一会儿我们看用我们的天赋号啊，用天赋号也就说这两个相乘，这两个相乘正好等于a方加5 a+6。

是不是这样的，这两个相乘。然后这s平方前面系数是a方a方写成a×AA×a，是不是要还要加负啊？因为这有负号吧，这负号是不是要加负号，咱们咱们检查一下好吧？这加法，这两个相乘，再加这个相乘是不是正好是负的2a方啊？负的2a方这个5a正好差不多，你看看。是不是自己验证一下，它能分解出来？所以这道题咱们就用分解法来做啊，

这个能听懂吗？自己检查一下，如果分解分解的话，那这个呃方程就可以分成什么分成ax-a+2。乘以个ax-a+3。是吧，当然，如果熟练的话，这一步可以省略直接可以写它的根好，一个根s一是因为这个a是不为零嘛a不为零s一可以写成a分之a加二。好s2。可以写成一加上a分之三好吧，就这样子，这个看是不是听懂了啊，自己想一想。

然后接下来跟刚才前面有个题类似，又是讨论这个整数的问题，整除。大家可以看分子分子。是整数对吧？分子呢？只要分母是它约数就行，它是一个常数，分母是一个变量，所以这样的思维要训练好啊，这个思维训练好那一通百通，那都是类似的。就数不太一样，那思路都是类似的，你就找它约束就可以了好吧，

找它约束就约束就可以了啊，所以接下来也就说注意它，这至少有一个整数根啊，知道整数根是或的关系好吧，知道整数，所以到时候选的时候别选错了啊。知道整数根，所以这个根要是整数，咱们直接写吧，跟所以呃，他这个没说是a是正整数吧啊，没说a正整数a是可以取负的啊，别忘了啊，可以取负的啊，你要看清楚知道吧，

所以考试看，如果要说正整数，那a只能取正。正的h负的可以啊啊，正负一行是吧？正负二啊，这样都OK的嘛？都OK是吧，然后这块这块要要整除啊AA就等于正负一可以正负三啊正负三。它要至少一个整数根，至少一个整数根a就可以取，反正只要有一个就行嘛，只要有一个，它就不要求都是整数，至少一个整数根。

好，那么a的值它可以取正负一正负二和正负三。好就就六个。啊，如果改成恰有一个整数根，或者说两个都是整数根，大家一定要会选啊，比如说改成恰一个整数根。到考试后，这个题别读错，恰一个整数根，恰一个整数根，也就说s1要是整数s2就不能是整数了。s2要整除s1，不能整除就恰一个，

只能一个是整数根，一个整数根，那就是正负一就不能取了，所以a可以取正负二。正负三这样写，因为a等于正负二的时候s1是整数根s2，它就不是整数根了。是吧，然后如果它有正负三，这个正负三的时候就相当于s2是整数根s1就不是整数根，它有分数对不对？就这些，如果改成两个都是整数根。两个整数根。两都是整数根，

两都是根那a只能取正负一了啊，只能取正正负一，要不然第一个是整数根，第二也要是整数根是吧？那这个啊a只能取正负一好吧，这个这考试别选错了，咱们这个题答案就是第一种情况答案就选。六啊，答案就选六就后面两个别选错了好吧，没错，答案就选d好看，这个是不是听懂了这个练习啊？因式分解，你要判它整个根这样的方法好看，是不是懂了？

它的做题要要点，要知道啊。好，最后分解完，然后讨论这个整除，然后看看它的这个数值取值情况。好，那接下来咱们看下个题。咱们之前都是给你这个ABC给你啊，这个ABC让你求这个绝对值，现在反过来，我给你绝对值给我讨论ABC。啊，讨论这个ABC这样的。好，

假设ABC为整数啊，这是已知条件，这也是一个不定方方程呀，看到没？这是一个不定方程。对不对啊？不定方程。则a-b的绝对值加上a-c的绝对值加上b-c的绝对值等于几。那这得讨论呀，是吧？这是属于绝对值的不定方讨论，那首先大家想想ABC为整数，那a-b肯定也为整数c-a也为整数加绝对值，还是整数，只不过加绝对值变得非负整数了啊。

加角值变得非负。是正数。好，做到这，大家想想两个非负整数相加等于二相加等于二，那么两个有可能都是一。但这道题不会出现零+2的情况，它一+1=2不会出现零零零+2。也不会出现二+0，我讲讲原因，因为它这个有个次方这样一个思维训练是吧，大家看这个有个四次方。你看四一次方，这20次方。你想想一个整数的。

四的一次方，这不可能为二，你想想这个整整数啊。它四一次方怎么为二？它除非是一个根号的东西是吧啊？除非是一个无理数根号根号，那这个还还可以，人家只是这个时候这道题它不可能存在这样的。啊，这样是不存在，你自己想想原因嘛，想想是吧，所以这里它只能都为一都一下这道题，那么咱们观察一下它的取值。这不过这里有恢复性，

直接可以把d跟e给它排除掉，就跟它的结果就排除掉。是吧，它的结果啊，不可能为负的啊，接下来咱们来看一下。啊，到底有几个值啊？考试像这样题杀伤力比较大的，就是重新判断题，知道吧，所以大家可以把这个改成重新判断题，所以自己呢，又可以转换成，比如说能确定这个式的值条件一。

它已知条件，条件一把这个换成条条件，一条件二你可以把这个二改成其他值是吧？做一个条件二，比如说把这二改成一啊，把这二改改成一，那做一个条件二。是吧，能不能题干则能确定它的值，这就是一个重新判断题。是吧，大家呢，要会分析好，那接下来咱们看根据刚才咱们分析，那只能是这个和这个唯一这个和这个唯一是说明这个绝对值就唯一。

刚才分析它为一。c-a，它也为一。对吧啊，它也为一。好，大家可以发现，原来所求式子啊，原式就变成了。大家知道这个a-b的绝对值，刚才咱说了是唯一的，想想是不是这样a-b的绝对值为一？这个a-c的绝对值也为一是吧？因为大家知道a-c的绝对值跟c-a的绝对值是一样的，你想想是不是这样的a-c的绝对值？

跟c- 1的绝知它一样呀，是不是一样？你自己想想嘛，是不是一样的？咱绝绝知学过吗？学过就是负s绝知跟s绝知一样嘛，你自己再想想嘛。是吧，所以这个c-a的绝对值跟这a-c的绝对值这两个数一样，它也为一就差一个b-c，就差一个b-c。当这道题往下分析，有两个小技巧，第一个小技巧可以取特值做，可以取特值，

比如说我可以利用AV 0是吧？可以取特值了，因为b-c咱也不知道多少，你可以第一个，你可以特特值法。它这比如AV 0 AV 0的时候AV 0的时候再变成b的绝对值为一了，再变成c的绝对值为一，这个能看到吧，所以aav 0的时候。我为什么要想到让a为零呢？为什么要想到因为这有两个a啊，两AA比较多a比较多，所以我对a取特值要简单。当然，也可以对b取特值，

对BB取特值，这还有一个a，反正这个就麻烦点儿是吧？所以我觉得这个a比较多a比较多a取一个0a取一个零的话。h的研究生b的绝对等于1c的绝对等于1b绝c的绝对等于一，要么b和c相等是吧？b和c相等要么？b和c互为相反数？对不对？这个能懂吧？所以它这个如果b和c相等，比如说b和c都等于一或者b和c都等于负一，这时候呢b-c的绝值就为零。懂了吧，这个b和cb-c绝对为零，

如果b和c要互为相反数，比如说一个为一，一个为负一，这个b-c绝对值变成二，你这个能懂吧？啊，这个明白吧，所以它应该等于二或者四。这个自己想想看，这个是不是懂了啊？就是这个二是相当于b和c相等，比如b和c都等于一啊的情况，也就说b和c。它都等于一或者都等于。负一是吧，

这是这种情况，还有一种情况b和c互为相反，数b和c互为相反数，这个写不写都无所谓了，比如说b等于负，负c=1，或者等于负一，这都反正b和c一个是正一，一个是负一嘛，往下就不用再写了。啊，不用再写了好吧，就互为相反数好，这样这个结果就写好了，所以正确答案应该选择二或者四正确答案选c选项。

好，这是绝对值，这是一个技巧，还有技巧是用数轴看距离，还有一个技巧是看画数轴，看看距离数轴距距距离法。这也可以知道吧，数轴距离，所以大家画一个数轴，看看前面学过绝知几个亿有印象吗？啊，觉得几个亿画一个数轴，大家知道a-b的绝对值代表AB的距离为一。c-a的绝值代表c跟a的距离为一，那这地方都有a，

我先把a位置a在哪无所谓，好a是正的，负的也无无所谓，好a假如在这儿好吧，这个能懂吗？a在这个位置。a在这个位置a-b截止为一，那说明b有可能在它右侧跟它相差一的，这个点知道吧，这个能懂吧，有可能b在这个位置。有可能b在这个位置，反正这这个这个长度是一啊，这个能听懂吗？这个长度是唯一的，

你自己再想想。然后c- 1的距离为1c的位置呢，也是一样的c的位置，到a的距离，它也为一到a的距离，也为c有可能是在这个位置，有可能在这个位置，懂了吧，有可能在这个位，有可能在这个位置。所以说大家就可以看到BC有可能在同一个点，比如BC都在a左边，距离为一的这个位置有可能都在a右侧，距离为一的位置BC都在一个点BC，这个点相当于b和c相等。

b的相等就bcb-c就为零。还有一种情况，什么还有一种情况就是一个在左边，一个在右边，比如说b在左边c在右边，这样的话，它距离bc的距离就为二，这能看到吗？你看一个在左边，一个在右边bc距离就为二，所以b-c的距离就为二。二二加在一起就等于四，你看距离也行好吧，你看距离这样也ook的也说b-c的距离啊，要么等于零，

要么等于二，所以它有两种情况，两种情况带到原来这个式子里面答案就求解出来了。好吧，看距离也可以好看，是否明白了？好，那接下来咱们看一下这个题。两个自然数和为165，它们这俩公约数为15。最大公因数是15，那符合条件的两个数有几组情况？好，那接下来咱们看这个题好，那接下来大家知道两个数的最大公因数为15，

可设两个数。为啊，15m和15n啊，这个mn仍然是互质，当然考试不用像老师写的那么啰嗦啊。考试像这些汉字都可以省略啊，你直接写一个15m15n就行了啊，考试能节省就节省，懂了吧？好，那接下来咱们再来看一下。好它的和为165就15 m+15 n，这样等于165。两边都约掉一个15化简，变得小一点是吧？

两边约掉一个15就m加正好等于11。好自己看是不是懂了十一十一的话，那这个11在分的时候一定要注意，在分的时候一定要让两个数要互质好吧，两个数要互质。好，那11可以写成一+10。是吧，一+12+9。三+8。四+7。对吧，然后五+6。啊五+6，所以这个组组的话也不用排序啊，

这两个数构成一小组一小组就不用再排序了啊，比如说第一个数。和第二束这两它对这个组而言没有顺序吗组嘛？是吧，比如说这个m=1 n=10或者m=10 n等等于一，它这个是没有顺序的。好吧，所以没有顺序，没有顺序，这个数数一二三四五五种情况好吧啊，有五种。好，最多这下来改成这样了啊。改成这样的，如果m加要等于十啊，

等于十千万不能写成二二+8啊，这个二二+8这个是错的啊，这个二+8错的，因为它它这个不是互质的。好吧，就考试这个写这个二二+8，因为二和八它不是互质，以此类类推好吧，大家写的时候别给写错了。四+6这个也不行好吧，就四+6它也不是互质啊，如果假设这个数改成十，为什么这里面没有设给它设置线性，因为现在咱们讲的是思维训练。思维训练知道吧啊，

因为陷阱专门放在那个陷阱里面，陷阱里面就是公倍数公因数这两题也有啊，也有也有也有，就换了一个数，换成数，到时候做的时候那放在陷阱那个类型里面去讲啊。好，那是给大家进行讲的，这个内容好吧啊，这个情况啊。好，那接下来咱们再看这个题。啊，大家思考一下这个题。好，

这里就是它的一个次方的一个整除问题，大家想一想好吧，次方整除那AB是属于正整数。只能确定a+4的b+3次方能被21整除。这讨论整除问题啊，就要讨论整除。好整除那题1a和b均能被二一整除a和b均能被二一整除。啊，那你就可以设a呢？就等于21 MB呢？就等于21n好吧，这是条条件一，你可以因为a是21的倍数b也是21的倍数。这时候大家知道a+b的呃四的b+3次方。这样就是21 m+4的21n，

再加三。好，大家知道它这个。肯定不满足被二一整除，因为前面大家知道前面这个数是21的倍数。后面四的任何次方，它不可能被二一整除，因为四的任何。四的这个四方就代表若干个四相乘。对吧，若干四相乘，这四相乘你怎么着也不会出现这个二一的倍数，因为二一大家知道二一它有三×7。对吧，二一它有三×7，

或者说有同学看这个奇偶性看的也非常好是吧，看这个非常好，因为四的这么多次，它一定是偶数。而21，它是一个奇数，一个偶数，除一个奇数不可能整除。对吧，所以题目一呢，它是不充分的，对吧，所以大家可以结合它分解的约束，因为它这个数的约束不可能有三有七。说老师不可能被二一整除。

是不是所以它不可能被二二一整除啊？那这个可能就不太行。是吧，好，这是他的这个这个方法，看这个懂了没有？是吧，所以题案一呢，肯定不行，再强调一下就条案一，它有两部分相加，前面这一部分是21的倍数。我们只要看后面是不是21的倍数，如果后面也是21倍数，大家注意，

如果前面是21倍数，后面也是21倍数，它加在一起就是21的倍数。如果前面是二一的倍数，后面不是二一的倍数。那接下去又不是二一的倍数，知道吧？好，那这是条件一不行，条件2 a+4的b次方能被二一整除a+4的b次方能被二一整除a+4 b，你可以把它写成21。这个k是吧？就二二十1k对好，有同学呃也可以看奇偶，或者说跟奇偶没关系，

你就看它约束有没有三跟七也行？所以有同学啊，也可以从约束角度，因为在四的方面，四的方面，它肯定不可能产生三和七的这个约束。是吧，所以说这个很快就看出来它不能整除那条件a+4 b，它能被二一整除。是吧，能被二一整除，那这个怎么办？这个我让这我这个数减掉它。减掉它啊，让这个数减掉它就是a+4的b+3次方。

减去a+4的b次方。这个题干他给的是a+4的b+3次方。减去条件二里面a+4的b次方啊，这两个数相减。为什么要想到相减？因为相减a跟a就约掉了，知道吧？我就看它就得到剩下一个四的b+3。减去四的b次方对吧？然后这样这个能看到吧，接下来我就可以提出一个四的b次方。里面剩一个四的三次方减去一个一好看，这个懂了没有？你自己再想一想。好，

这个看明白没有？然后接下来大家知道啊，四的三次方，你想一想。四的三次方正好是64。64-1。正好就63。对吧，64-1正好就63。对不对？那正好就六六十三呀。这63大家知道这63肯定是21的倍数。对吧，有时候大家注意两个数差值是六呃，是21的倍数，

这个能懂吧啊，两个数差值正好是21的倍数。差值是二一的倍数。而呢这个数呢，它也是21的倍数。你自己想想，因为为什么它是21倍的，因为在条件上给了嘛。对吧，他再给了。能能懂吧，就这个数是二一的倍数，它减了它，它还是二一的倍数，那就可以推出这个很容易可以推出。

退出就是a。加上四的b+3次方。也为21的倍数。你想想是不是这样的，它也为二一的倍数看这个懂了没有？想一想。啊，是不是明白了？啊，看还有没有什么疑问？好，所以条件二是充分的。所以呢，就选择b选项。就这个题，

大家呢啊，在讨论时候不要怕，知道吧，就是看那个题干和条件什么关系，然后呢，用两者相减，相减完以后看刚好是二一的倍数。而这个数也是二一的倍数，所以说明它可能也是二一的倍数。知道吧，就这样倍数的一个特征，因为这个两个都是21的倍数了，只有它也是21倍数啊，你想想是不是这回事儿？对不对？

很容易就得到这个结果了啊，看是是不是明白？好，接下来咱们再看这个题。大家思考一下这个题。ABC为有理数。则a方加b方加c方等于17。条件一，a+b+c等于加上a×b×c=19。条件二，ABC均为质数。啊，那这个它给的这个条件。好，那接下来咱们看下条件一。

调音，咱们找找反例好吧？找到反例。您看他这个一个等式，里面有三个未知数。调音，咱们找找反例。找什么反例？我可以让c为零，先让c为零。返利，你只要找一个什么叫返利啊，大家就是满足条件，但推不出题干。这叫反例。

知道吧，不要找正面例子啊，再强调不能找正面例子证明充分，只能找反例证明不充分啊。所以c为零的时候c为零的时候，大家发现a+b正好等于19只有那，比如说a取2b取17，那显然。不满足a方加b方加c方等于17。是吧，所以a还a还可以取3b，还可以取16，那这样反例很多，那c我就让它为零吧。对吧c让它是v0的。

啊，这样，所以说调一呢，肯定是不行。因为题二一也说买的这个是等于19的数啊，有很多很多个，它不能推出a方加b方加c方等于17。是吧，条件一呢是不太行的，对吧？条件二。那ABC它均为质数ABC它均为质数。ABC啊，它的值都为质数。啊ABC，

它作为质数，那接下来单独条件上肯定也不行。因为质数有无数多个，这也不用找反列吧，质数有无数多个。对吧，比如说这个二。三七那这个肯定就不太行是吧？那质数有很多很多个，那这个就不不管上面是吧？这单独条件儿也不行。接下来就不要忘记联合啊，单独如果都不充分，要联合分析。什么联合有两条件一块儿来推叫联合？

对吧，两条线一起来推。因为就ABC又是质数，又满足a+b+c，加上a×b×c=19，那这个怎么讨论知道吧？你弄奇偶性，反正这个这个看看看四个数相加要等于奇数。啊，有四个数相加，要等于奇数。四个数相加要等于奇数的话，大家想想。要么是什么情况？要么是一奇三偶是吧，

就说四个数之和要为奇数啊。啊，要么就一奇三偶。或者说三基友。对对对吧，你再想想四个数相加等于奇数嘛。你再琢磨琢磨啊，四个数加在一起要等于个奇数。它的情况要有可能是一机三偶，或者说三偶一机。啊，就或者三基有啊，就这样的好了，那么这样大家知道又是偶数。又是质数，

所以它肯定有个v2是吧？有个v2。有一个为二，但是不可能说三个都为二，这种情况是不可能的，比如说不管任何三个要为偶数，三个都为二，比如说ABC为二，那那这个显然是不可以的，所以说说这种情况呢是是？是舍掉了，你简单看看知道吧，不管说这四个数。啊，有一个奇三个偶。

那你比如说它三个偶数，因为质数里面偶数的值为二为二，如果里面出现三个二不可能。不管是前三个为二还是后三个为二，那不可能知道吧？这个能能懂吧，就是就是就是不可能的。所以在这里面，我们呢，就要讨论一下，看它乘法，它的奇偶性。是吧，乘法奇偶性，所以我们看它有没有可能是乘法产生一个偶数啊乘法，

比如它是一个偶数。我们三个偶数，我们看看，因为ABC全都为偶数，肯定是不可以知道吧，所以刚才咱讲三个偶数不行的话，就是ABC它全为偶数，肯定是不可以。比如说如果ABC它全为偶数等于二，那这肯定是不太行的。因为a为偶数b为偶数c偶数，所以它不可能前三个为偶数。它指的是什么？指的a×b×c为偶数，然后ABC里面有两个偶数是吧？

所以所以是这样情况啊，再往下也就是说，比如说a和b。它等于二。a和b=2 a和b是偶数a和b，要是偶数的话a×b×c，它肯定也是偶数了，所以说在这里面就变成什么变成二+2加上。c再加上4 c=19。这能看懂吧，就是a和b都等于二。啊a和b它都为二都为二吧，然后二+2，然后再加上c，再加上ABC。

ABC，然后这个c就可以求解出来。对吧c的值就等于三。要求解出来这个值上为三，就求求求解好，这就等于三，这等于三，这时候就a和b都等于2c的值等于三，当然它这个顺序不用换啊顺序。有的有同学说让BC=2。让a为三那反正都行都行，又不影响a方加b方加c方的值好吧，这时候呢，咱就不用再排序了。反正就是啊，

第一种情况，一奇三偶的话，然后它只能是啊，有两个偶数二，另外一个数是三。那这时候呢，就a方加b方加c方。这样等于二的平方+2^2，再加三的平方。就等于17是吧？所以这样是OK的。那我们看三级有的情况行不行？三基础的情况，这种情况好像就不太行了。这种情况就不太行，

为什么呢？如果a要为偶数a要为偶数的话ABC也为偶数。它不可能出现这四个数，只有一个偶数的情况，是不可能产生的，你想想是不是这回事儿？这四个数，你假设a要是偶数a，要是偶数a×b，乘以c肯定也是偶数。对吧，所以说比如说你分析一下，这里面至少要有两个偶数产生，那如果必要是偶数，必要是偶数的话，

那a×b×c也为偶数。所以他不可能说只有一个偶数，这种情况发生。懂了吧，所以这是给大家进行讨论的啊，就最后再讨论，再给大家强调一下，就四个数相加等于奇数，那有可能一奇三偶，这个三个偶数不可能说ABC。三个为偶数，这是不可能的，它只能是什么？只能是AB是偶数a×b，乘以c也是偶数，

它三个偶数是这样产生的。知道吧，这样产生，然后呢，然后再讨论三基有的情况，这是不可能的，所以理解成分，这里答案就选c选项。啊，看这个名儿对大家要掌握这样的方法和思路，大家一定要会求解。好，那接下来咱们看第九题这里。某车间有一批工人去搬饮料，已知每人搬八箱，

则最后一名工人搬六箱。然后只能确定把你的功能呃。共有23米是吧？然后接下来我们看条案一。每人搬k箱有二箱，无人搬运啊，这个条件一。这道题就考察一个数量关系的应用题是吧？就是工作量就是每人搬几箱，也代表是一个特殊的工作效率了。好那条案一如果每人搬k箱只有二箱，无人搬运。啊，这一块。好，

他让你求的什么，只能确定他的人数到底是多少人？是吧啊啊，多少人？咱们假设是s人好吧，因为咱也不知道是多少人，假设是s人。只要是ix人，那大家发现每人要搬k箱。那么，这个总箱数。就是总故工量了。总工量总工量就是s×k。再加上20是吧？还余20箱嗯，

没人搬好，这样情况。好，那他要等你这个题干题干的话题干的，它总工量是什么题干总工量题干总工量话就相当于是每人搬k箱最后一名工人要搬六箱。那没办法，因为总共是s人，s人就相当于是去掉最后一个人。去掉最后一个人是吧？得到这个值。好，这样就写出来了，好，这个这个是一个不定方程啊，不定方就是这道题，

大家不要着急去联合先看看这个x它的数值是不是唯一？是不是这是不定方有同学一看就有两个未知数啊，然后呢啊就就去着急联合是吧，所以在这里面大家。啊，这道题是一个不定方程。普通判断，咱们先讨论它的取值情况啊，所以这道题不要着急去联合。好，那接下来咱们把它化简一下，化简一下就变成sk+20=9 x- 3。对不对？然后把这个x因为它要求x嘛那x就可以写出来啊x就变成x这个k- 9。啊，

或者说九减k吧，把它这边移位九减k正好等于二十三。然后把这个三给他挪过来就23是吧？变成x×9-k就等于23，这样写出来，大家注意这个23它是质数对呗。就是因为呢，这x是整数k是整数那么九，减k也是整数这二三一定是质数。就是之后它只能分成什么，只能分成一×23或者23，它23尺乘以一。但这x它不能取一哎x取一的话，那反显然不满足t，因为如果一个人搬九箱，

那最后一个人搬六箱，那那不可能，所以x它不可能唯一是吧？这种情况是不可以的，只能是s=23。九减k它等于一是吧？所以这个s就可以求解出来，有二十三人，所以题目一呢是充分的，所以这道题大家呢就注意它是不定方程，不定方程，不要着急去联合。条件如果每人搬四箱，再派28个人，恰好搬完那条件代表什么意思？

代表每人都搬四箱，都搬四箱的话，原来是人再加28人。就s+28。乘以每人搬四箱，这是总工量，对吧？总工量就等于原来的这个饮料，原饮料就是九倍的x- 1再加六。然后这样就得到4x，加上四乘以。呃28得到112是吧？然后这样就求出来112就等于9 x- 3。然后这样就得到5x等于幺幺五。要不x就解出来等于23，

这样就写出来了是吧？x解就等于23，所以条件x呢？它也是23人，所以条件它也充分。所以两个条件都充分建议大家选b，所以考试有时候呢，会跟会根据咱们这个应用题啊，会出现不定方程，不定方程，不要着急去联合，知道吧先呢呃，看一下，如果这。这个就属于乘积的不定方案，

乘积不定方案，你看这个数它分解的情况，分解情况，看能分成什么样的数是吧，如果要质数的话，那这个分解就简单一点。知道吧，然后这样s就可以求解出来。下面咱们看这个题。一个长方体的长宽高是三个两两互质。注意两两互质，这个互质并不是说质数才能互质啊，并不是说质数。且军大衣的自然数。这个互质就相当于两个数，

除了一之外，没有其他的公约数，要互质不是质数啊，比如说四跟九，它也是互质的，就两个合数也可以互质。四跟九你看四跟九，它除了公约数一之外，没有其他公约数了，这就叫做互质了，懂了吧？所以说它说这是。两两互质的，就这样的一个情况。所以互质不要光想着质数啊，

就合数，它也可以互质。好，这个概念要给弄清楚，说一个长方体长宽高是三个连长或者且大一的啊，自然数。大一自然数则可以确定长方体的表面积。啊，这里就结合咱们几何和代数的讨论来分析题目一它长方体的体积为60。好，大家学过长方体。啊，咱们长宽高分别是ABC。长高分别是是ABC是吧？长高分别为ABC。

好，那条一可以得到a×b×c就是它的体积v。等于60，这仍然是。三个未知数，一个方程。对吧，三位数一个方向要讨论好，有同学可能呢，就这个联合起来去推了，不要着急联合。只有单独都不充分时候再联合大家看看，如果a×b×c=60。那这时候能不能推出它的长方体表面？长方体表面只要把ABC能找到就行，

大家知道长体表面公式可能忘记了是吧？二倍的AB+BC再加AC。对吧，这个长方体的表面积公式。好v=a×b×c，那这时候我们来看一下，首先把60给它分解吧，60分60可以分成什么？分成分成四×15。这样分是吧？然后这样这都给它分好分好，由于这个ABC要大于一的。质数大大一致，而且要互质，所以它不可能有时候现在它分解了四个约束，

因为四个约束肯定有一个数要占两个约约束。有的时候要占两页儿，占两页儿，比如说它只是这样的，只是二跟二是给一个数，然后三跟五是一个数，比如说什么ABC只能是四。乘以三×5，不可能什么不可能是这样的。不可能是二跟三。给一个数。比如说一个边上是二，一个边上是六，还有一个是五，那不可能因为六跟这个二，

它不是互质的。懂了吧，就是说就其他情况是不可能的啊，不可能，所以只能得得到那么它的ABC。只能是。四三。五当然，这个顺序咱就不要不要管它了好吧啊，不管是四三五还是三四五，反正这个顺序不用管它，所以它的表面积肯定是能定下来的。啊，表面积这个能力啊，所以s算算就等于94，

这个是可以定的好吧，你想算就算，不想算也没关系，这个倒不影响结果，因为它。它又没让你算在长里表面值，只问你能确定这个结果，能确定的话，那只要它的值是存在，且唯一的就可以了。所以提问，一是OK的。懂了吧，条件儿有个公式长期的体对角线，体对角线什么就这个这条体对角线。

啊，提掉线就等于根号下a方加b方加c方。知道吧，根号下a方加b方加c方相当于五倍根号二。然后两边同时平方把根号去掉，就可以得到a方加b方加c方正好等于个50。要等于50两面平方啊a方加b方加c方等于50，这时候咱们要讨论一下很多同学，这个不会讨论。啊，不会逃不会逃的话，其实很简单，你可以用平方数去试，这时候可以结合列举法去试，而且大家知道。

三个数相加要等于50是一个偶数。这个50它是一个偶数。偶数那么三个数相加，等于偶数那么这三个数，要么三个都是偶数三偶。或者说两基友。对吧，三偶或者说两奇一偶，这样情况好，那接下来你就拿完全平方数四好吧，就a的平方b的平方四。c的平方，大家知道完形平方数有哪些有哪些？比如四。九十六二十五。

对吧，三十六四十九反正就这个完形描述。有四九十六二十五三十六四十九，那49肯定不太行，因为因为c的平方或者有一个数的平方啊，注意我在写的这个数不是。ABC的值啊，是a方b方c方的值啊，这个就a的平方b方c方有可能是四有可能九有可能16有可能25有可能36有可能四。49，它三个偶数肯定不太行，因为如果ABC要三个偶数，它肯定不是互质的。偶数它肯定不会互质，知道吧，

所以这道题呢，肯定不可能是三个偶数了。因为三偶数，它不可能互质，所以说所以这个这个三偶数这块儿就错的。那折射两极有。啊，两基友两基友那那那就讨论呗，两基友两两基友，我们可以看一下。啊，那么两个奇数就九。九十六二十五加在一起正好等于50。你自己你自己挑一挑嘛，是吧？

就挑一挑96，25加在一起，正好等于50，这个只能是采用这个列举尝试。好吧，就穷穷举，当然这个数也不会太多，就这么几个数，后面就没了，因为它不能不能太大，其实49你也可以不用，要是吧，就在前面几个数，你挑三个数。调三的时候要保证什么两肌肉？

两极右，两极右，大大家发现49去掉，49去掉奇数，奇数只能只能是这两个九跟二二十五了，其实这就很明显了。懂了吧，你看这前面这几个数奇数里面就九跟25，这49明显不行，因为49的话，这个加。加在一起肯定就超过50了，知道吧，所以说两个奇数肯定要挑九跟25，然后剩下那个数字算也能算出来就16。

知道吧，有16啊，比如说大家结合它奇偶性结合平方数，然后呢，就可以得到a的平方b的平方c的平方。是96和二二十五，也就是说ABC分别就是三。啊，就三。四五当然，这当然，这个顺序无所谓啊a=4也好，a=5也好，这顺序无所谓，这个位它的面积表面积算出来也等于94好吧？

这个常方体的表面积算出来，套公式算出来也等于54，所以条件上单独也充分，所以两个条件单独都充分，这个咱就选择4d选项。这样就可以了。好，这个给大家进行强调内容啊，所以遇到这个乘法简单点儿，乘法的话，大家先把60呢给它分成质数，然后再看。这四个物品自由品，然后呢，分给三个人，

分给ABC三个，三个话有一个肯定要选两个数。两两个数要保证互质的话，只能是二跟二啊，分给其中一个。啊，然后另外三跟五再分，这样的话就可以了，第二遇到这个平方数，先根据这个奇偶性奇偶性，然后再把平方数写一写，写一写，你看奇数里面，我挑两个奇数。然后再挑一个偶数，

这样就可以写出来了，好吧，所以说这样就可以得到它的结果，答案就算出来了，这两条件单独均充分就选择d选项啊，这这个题它的求解方法。和思路。

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