029.24-顿悟-专项六-不等式证明方法-题型7-15

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:34:16

好，接下来咱们看一下啊，第七个就是判别式法。啊，判别式判别式法主要适用条件可以转化成一个二次方程，这种形式。知道吧啊，这种形式，比如说转换成ax方加上bx+c这种形式。好，这个a呢？是关于y的一个函数b呢？也是关于y的一个函数c，也是关于y的函数。然后求它的取值范围，

求最大最小值，那么因为这个方程要有实根，实根的话要当它大于等于零。来求出y的范围y的范围，知道了它最大最小值就可以写出来，好吧，那接下来咱们看一下例九这个题。s为实数，求它最大值与最小值的差值到底是多少？最小值最小值它的差值。好，那下面如果要用基准定理的话，那这个就不好弄，有同学这样做，这样做往下呢，

有同学说这样x方加一。那把这个分子的x方加一跟这个分母x方加一呢，做一下除法变成一+s÷s平方加一。然后上下除以x，当然不能在x为零的时候啊啊x要为零肯定就不行了x为零它除的有没有意义了？就一加上一除以x加x分之一。啊，这样的好，大家知道x大于零的时候x加x分之一是大于等于二的是吧？x小于零的时候。s加s分之一是小于等于负二，这个明白没有啊，这是它的方法，所以有同学呢这样做，然后把这个s取正一和负一带到里面去。

啊，带到带到里面去啊，就可以得到这一+2啊分之一就是二二分之三和一减去它。啊一减去对吧？所以在这里面大家呢，就可以写出来就s=+1的时候。它最大。最大值的二分之三I等于负一的时候它最小。最小就二分之一，所以它最大值和最小值，它差值呢，就是一正确答案选b，这是一种方法好吧，这个用均衡定理来做。用均对点来集合它的这个取值范围来进行分析和思考。

好看，这个懂了没有啊？它的这个方法。然后接下来我们来看一下，如果要用咱们的这个呃判别式的方法做，怎么做我们另外一种方法，我们可以另。这s方加上x+1除以个x平方加一，把它看成一个y或者看成一个什么都行，然后这样把分母给它乘过来，乘过来就变成s方加x+1正好等于s方y。再加y，然后把移项移过来，就变成x方乘以个一减y，加上x加上一减y等于零。

是吧，那就然后让它data要大于等于0 data大于等于零，因为这个y肯定不能为一嘛啊y不能为一因为。y要为一的时候，那这个x就为就为零了嘛，就为零了，所以说咱们呢啊，就在y不等于一的时候y不等于一的时候，它的判别德尔塔。那它就等于b方减4 AC。那大于等于零是吧？b方减CC大于等于零就可以得到y大于等于二分之一小于等于二分之三。啊，得到这个结果，那结果那它最大值就二分之三，

最小值二分之一，它的差值呢？就一这样就写好了好吧，这它方法就写出来了，好看这个。答案是不是明白了它的思路啊？好，那接下来咱们再看这个换元法换元法，其实就是整体法好吧，就换元法。是咱们数学中的基本方法啊，然后它应用十分广泛，常用的化学法有整体化学法，部分化学法，双化学，

还有三角化学。三角函数咱不做要求，所以这个三角函数呢，咱们就不用管它了。接下来咱们看一下例十这个题，因为它要求a的三次方。除以个a的六次方加一要大于十二分之一啊，那像这个题我们看怎么去分析和思考？好，那么这个题我们先给大家这样写好吧，这样写呃，先取一下倒数，剩下都除以个a。因为a可能不能为零嘛a要为零左边就零了，不会大于十二分之一。

所以应该除以a，除以a就变成一÷a的三次方加a的三次方分之一。其实这道题你只要求出a的三次方加a三次方分之一就OK了，对不对？所以接下来咱们看条件一。题案一两边都除以a啊，因为题案一a可能不能为零，因为a为零这个方程它不成立，所以a的值啊不能为零不能为零，那都除以个a除以a变成a加a分之一正好等于三。零三那接下来a的三次方加a的三次方分之一。我们可以用整体方法给它进行配，这个咱们之前配过，所以直接可以把它配成a乘a分之一，然后括号里面再配一个平方。

然后这个算又等于18。啊a的三次方加a三次方分之一等于十八，它这个就得到它这个十八分之一。十八分之一，它不是大于十二分之一的，所以条一呢是不可以的。两一是不行的，然后条件条件的话，那大家仍然可以看作a是不为零的a部分，两边同除以a就变成a加a分之一，它正好等于负三。a加a分之一等于负，三等于负三，然后得到以后，那我们就可以写出这个a的三次方加a的三次方分之一一样，

按照上面去变就得到负十八。负十八那这个a的三次方加a三次方分之一等于负的十八分之一负的十十八分之一也不会大于十二。不会大于十二分之一，所以它这个也不行，所以选e两条件，它的矛盾呢，也没法联合知道吧，咱就选择e选项啊，看这个是不懂了。所以这道题就考察这个倒数的整体的一个变形和化简。好，接下来咱们看一下。第11题，这道题也是之前的考真题，这里大家可以发现它有四个括号，

而且要求m大于n，咱们也讲了比较大小化，可以用减法来做，因为这道题不适合用除法。因为也不知道它正负就不适合这种除法，直接用减法在减法的时候，大家发现这些括号里面项数比较多。这样比较多的话，我们呢就把四个括号，它共同的部分把它看成一个t，比如说它都有什么呢？都有a2到an- 1a2到an- 1a2到an- 1，所以我们可以列。t=a二+a三一到an- 1。然后这个m就变成了啊a 1+t乘以个t+an是吧，

然后把它给乘开就变成。t方加上a1 t+ant再加上a1×an是吧？把它乘开。然后这个n的话n的话就可以变成是a 1+t+an。然后后面再乘个t就大家一定要把这个四个括号都有的一长串儿，把它看成一个整体，这样就要减。简单一点，然后把这乘开就得到t方，加上aet。加上ant这样就写好了，那接下来咱们看m-n。好m减这两个相减这两个相减正好就等于a1 an。an只要它大于零，就说明m就大于n了，

这要用减法，所以条件二是成立的，对吧？条件条件一呢是不可以的，所以咱就选择b选项。啊，这条处理方法思路。给大家用整体的来进行求解，这要简单一点儿，看大家是不是明白了？好，那接下来咱们看一下这个题。这个题就是要考察这个双重换元，双换元知道吧，因为它有xy有两个啊，

双换元。啊，双画眼。啊，它二函数f sy=3 x方减2 xy，它最小值是六+4倍根号二，那首先大家注意。我们看条文，一条文一肯定要用平方差公式，对吧？先把这个分母乘过来，再用平方差公式吧，因为这肯定要用平方差。所以条件一。那得到x方减4y方，

这样等于四。然后这边呢，用平方差公式，平方差公式可以把它写成x+2 y×x- 2y，这样就等于一个四用平方差。平方差，大家都能想到。好，接下来我们可以把呃s+2 y看成一个ms- 2y看成一个n是吧？所以这叫双换元换两个符号。m=s+2 y，这个n=s- 2y。啊，怎么想到双换元呢？因为这个sy咱们要把它简式变得简洁一点儿，

知道吧？好，那接下来我们呢？就可以把这个x和y解出来，知道吧？就带到这个圆这个式里面去。好，那这两个相加除以二就可以得到x的值对吧？通过这个，我们把x给大家解出来嘛，因为咱们需要的就是x，还有x×y。是不是把这个都给它解两个相加？除以二所以x就等于二分之m加n。对吧，

两个相加，然后两个相减，两个相减，正好得到四y是吧，所以y就等于四分之m减。啊，这样的。好把它写接着，然后带到这个题目里面去，那f sy就可以变成。然后这个它不就写的三x方吗啊，就三倍的乘以个二分之m加n的平方。啊，这是3x方对吧？减去二倍的xy 2倍的xy就得到m方减n方。

啊，得到这个值，所以说然后呢？这个地方把这个二跟这个八约掉，变成四这个分母，它也是最后呢？把它通分啊，通分就变成四分之。这个合在一起就2m方，加上4n方。加6 mn得到这个结果是吧？得到这个值好，那得到这个值以后，那接下来我们。再来看看，

把这个值写完以后啊。我们呢，还要知道什么这m+n，它正好等于四正好正好就为四，这样就写出来了是吧诶，所以m+n。它正好就为四。好，所以说接接下来我们呢就可以看出来这个m×n，它正好为四，因为这是m这是n嘛啊，所以说就可以得到这个值。得到这个，后面这个m×n=4=4的话。这个六除以六乘以四再除以四，

还是得到六啊六加上，然后四分之二m方加上四n方，那在这里面我们呢？就可以约掉一个二也行是吧？约掉二。啊，约了二约了二以后就变成这个二分之m方加二n方，然后这时候大家用一下均值定理就可以了。好吧，另外基中定理。它大于等于。六，加上。呃，上面就可以变成是。

二分之a加b大于等于根号下，这两相乘m方乘以二n方。大家知道m×n是等于四四的平方，16，16乘以二三十二。在32开出来。32开出来嘛，开出来正好就等于四倍根号二。好，所以条件一啊，那么这个是OK的是吧？是是成立的？杨毅成立了。好，那这是给大家强调它的这个方法。

然后条件条件肯定就不行了，条件因为这个这个把四乘过来，这也没法用平方差公式，或者说这样思考，你把这个x。平方换到里面去是吧？把x平方这个换到里面，换到里面这个x×y这个呢？还没法去求求解。是吧，所以条件二这个是不可以的。条件你这样写嘛，条件s平方，这样等于四减。是外方。

啊，你把这个。带到里面去，带到里面去，它这有外方有。二，xy。你可以找个反的也行，找这样反的，你看它最小值。我可以找到比它还小的，就说明虽然我不知道最小值是多少，但是我至少可以找到比你小的，那说明说明它就不可以，对吧？

比如说比如说x取0y取一的时候。或者呃，或者i is取零啊y取一满了，这个这时候它它它数值就变成零了。零了零了，那那虽然我不知道它最小值是不是零，还能不能比零还小了，但是至少我说明它这个最小值肯定不是不是不是六+4倍根号二，因为我找到一个比六+4倍根号二小的数了。虽然我找的这个数不一定是最小值，但是我至少可以否定你最小值不是六+4倍到二是吧，所以这样条文一是成分的，所以答案就选择a。啊，这是它的方法，

所以找个反例就可以推翻它，好吧，就来判断它的这个情况。下面咱们看一下题型九函数法。好，我们用函数来证明不等式，主要在构造一个新的函数，而且要分析这个函数，它的单调性。来解决这个问题，尤其来看它方程的根存在到底有几个根啊？根据它的焦点来判断它的根的个数。而且呢，这个图像的单调性很重要。好，

那接下来咱们看一下例13这个题已知x为正数x是大于零的。而大于零可以确定根号s，减根号s分之一的值，只要x为一就行了，其实这个确定什么表达式无所谓。则要看s是不是唯一。好，那接下来咱们看条件一，它这个特征条件一。平方一，大家可以令t等于根号x就变成y等于t加t分之一。它的图像呢？就不是。单调增的它图像这样是一个对勾一样啊，我们学过的是吧？

这样一个对勾啊，大家画一下图。这是t的图像。啊，这样的，它这个t只要求大于零的，所以就取第一象限就可以了啊，大于零就是第一象限的。好第一象限，大家知道好，那么这个就相当于是。哎，它这个值有可能t有两个值。啊，有可能t有两个，

比如说它这个。这个t加t分之一要等于一个三或等于一个八，然后这是t有两个值t，有两个值的话，那么x就有两个值x，有两个值它这里就。啊，就不成立，所以条件一呢，这是不可以的，对吧？这个不行，然后条件条件这个x减x分之一。它这个是是单调增的，因为它这个s大于零，

对吧？s大于零的时候，大家知道x是是单调增的。对吧x越大x越大，那么x分之一它是递减的好，那么一个增呢？减去一个递减的就前面是越越大。后面又越来越小，那减去又越来越小的，所以说可以得到y是严格单增的。y的严格单量征的y严格单量征的，那也说一个y的值。啊，只能对应一个s值。比如说y=3，

那s只能是唯一的一个唯一一个，那它就可以确定它的值是吧，所以它这个通过它单调性来确定，这样正确答案就选择b选项。所以这道题其实呢，就是看它函数图像的一个特征，然后来分析它的取值情况，这样话就比较简单好看，听懂没有？好，接下来咱们看一下。啊第14题fi大于。等于m要恒成立。大等m恒成立，只要f的最小值比m大就行。

fx大于它恒成立，找到最小值比它大，则m的最大值为五。我们看看fx最小值到底多少啊？条件一条件一就是fi=s in平方x，加上s in平方分之四，大家知道这s in呢是在？零到一我们换元好吧，因为咱们三角函数不做过多要求，作为一个了解就行了啊，所以t就等于s in平方。x大家知道t呢是大于零的，因为这个分母它不能为零，然后小于等于一是吧，这个函数变成t。

t加上t分之四。t加t分之四t加t分之四，它这也是一个对勾儿函数，知道吧？所以在这里面我们可以画一下它图形的这个特征。画一下它的这个形状。好，那这就是画一下它图像啊，就这样的。啊，它的图呢？给大家画出来。这个最小值，最小值就t=2的时候。这个它的最小值四是吧？

这个人可以用均值定理啊，就当t大于零的时候t加t分之四。大于等于二倍的根号四。对吧，这样的当然它第三象限也有第三象限是负的，负的咱就不要求了，因为它是图像是关于关于坐标原点对称的。然后这个负的，咱们就不用画好吧，负的不用画，咱们只要求找t大一点的，大家可以发现t它在零到一这个区间，零到一的区间肯定是单调递减的。是吧啊，单调呃呃递减的啊，

它在零到一嘛啊零到一。啊，因为t在零到一它单调递减，所以要找它最小值，这显然当t=1的时候它最小，所以它是单调递减啊。在t到零到一啊t在零到一这个时候，它单调递减的。好，等到递减的话，那这时候呢，我们呢，就可以看出t=1的时候。啊t=1的时候，然后这个数值我们可以写在t为一的时候，

它的最小值。最小值就一+4就等于五是吧？最小值五只要最小值大于等于m就OK了是吧？最小值大于等于。五就行了，所以条一呢，这是okay的。啊，最小值条件，它最小值是是负的，知道吧？条件最小值，因为条件它这个抛物线，它的最小值，咱们就直接可以写，

最小值就用顶点坐标算出来，最小值负。让这个不满足好吧，所以这些答案条一呢是成立的好，这是它做题方法思路，看是不懂了啊。啊，接下来咱们看一下啊，逆转换元法啊，逆转换换元法在一些这个无知推理的时候就它没有数值。没告诉你，这个值是等于多少？比如说已知什么什么这个？东西它并没有告诉具体值在可确定的一些重新判断题中要学会设未知数。比如说你根据这个ABC，

然后k啊mn，然后这个次元表示已知数xy呢，主元比作为。啊，这个未知数，所以要把这个呢作为已知的。比如说把这a当做已知的，或者b当做已知的，然后所求的xy呢，是当做未知的，当题面题目报正面对未知数，求解时，不妨换个角度。啊，然后从次元的角度进行思考啊，

这个会有很这样很神奇的效果，知道吧？好，那接下来咱们看这个题已知k为正整数。k的取值是正的数，则这个方程的根至少有一个是整数。则符合所有要求的k的和为m。啊，那这道题我们就可以求从请问公式的角度来说是吧？从请问公式，所以说我们要看它的这个表达式到底是什么样子的？从请问公式。求公式的话，那我们来看一下。如果从求公式，

大家知道学学位方程根就等于2a分之。负b加减根号德尔塔。是吧，如果从这个角度来做的话，那这个根。很麻烦，而且它在这里面至少有一个整数根，至少有个整数根是一个整数根，还两个整数根是吧？所以在这里面大家呢，可以看出。那这个就不好写是吧？这个比较复杂，接下来呢，我们这样进行分析，

我们从k的角度来进行思考。所以我把含k的给大家重新整理好吧，所以说我们就从k的角度来从突破口，因为k是正整数嘛。k的角度，所以ks平方。减去。2 x+4 kx+4 k- 7，它正好等于零。正好就v0啊，得到这个结果。那要然后把含k的含k的有有有几部分啊？有这三部分这个这个这个有这三部分。啊k，然后再变成s方加4 x+4，

正好等于2 x+7。啊，这样等于2s。加七，然后这样就写好了，接下来然后这块儿我们就可以把这个k给它解出来，这块儿就变成k乘以个x+2^2=2 x+7。啊，从k的地方找到突破口，本来是它问s的根s为整数，咱们不用从s角度从k，因为k是正整数嘛。好在这里面注意，在把s+2平方除过来的时候要讨论一下s能不能等于负二啊？s要等于负二这个方程肯定不行。

s=- 2的时候左边为零。右边的它不是零，这是一个矛盾的说说明x肯定不能于不能等于负二。不等于负二，那这个k我们就可以写成k呢？就等于一个2 x+7÷x+2^2。是吧，得到这个值。啊得是因为它要说是正整数正数，那肯定要大于呃等于一了正整数。那正数嘛，它大于等于一，大于等于一，那这个x就可以写出来了是吧？然后通过这个把这个分母乘过来，

然后再移项变成x方加2 x- 3小于等于零。x正好在负三到一这个区间。负三到一这个区间，那s值就有这么几个负三负一零一，然后这时候呢，有一个是。好吧，试一试就可以了啊，试一试，比如s=- 3的时候，那这个k是不是整数是不是正整数s=- 1的时候行不行？对吧s=0的时候，这个行不行？iii=0的时候，这就不太行了。

I=0分母是四，上面是七，这个不太行是吧？所以说啊s=1的时候，这也是可以的。是吧，所以说一个是就当x=- 3的时候。k是正好是等等于一的啊，这个时候啊s=- 1的时候k正好等于五。啊负一的时候啊k就等于五，然后s=0的时候不符合要求I=1的时候I=1的时候，那这块儿正好k呢值。它为一。在中上那k的值只能取一或者五。啊，

这个k=1跟这个k=1，它是重合的，知道吧？所以说k的取值只能是取一和五一和5k的和就等于六，所以条件二是可以的。正确答案就选的b。啊，这是他的做题的要点方法是吧？所以咱们呢就从k的角度k，既然是正的数把k的表示写出来，写出来的话k要正的时候大于等于一，大于等于一，这只是一个必要条件啊。也就说，这只是一个必要条件，

它不一定充分，然后在这里面，咱们再逐个筛选一下，看是否满足啊它的要求，逐个要检验一下。啊，检验完后，那得到那么k=1和k=5是OK的，是符合要求的好，这是它的做题的方法思路。好，接下来咱们看一下第16题。第四个是考了数列问题，已知数列an的前项和为s nan呢，正好等于4n。

其实大家知道，这就是一个等差数列是吧？只要是它通项是关于n的一次函数，它是一个等差数列。啊则不等式SN+8大于等于兰布达人对任意的正数n都要成立。它对于任意正数n都要成立，我们要求拉姆达其实要把这n除过来就行了是吧？n除过来好，那接下来咱们来看一下啊SN。表达式啊SN。因为an它正好等于4n。SN，你可以写成二分之a一加an再乘以n。啊a的值正好等于四。an这样等于4n，

然后再乘以n。这样就等于一个这个2 n+2就2n方加2n好，这是它的这个结果好，那SN+8。然后除以个n，我们看到底等于几是吧？先把这个n给它除过来再说，然后就等于。n分之二n方加二n再加八。这就得到是二n加上n分之八，再加二，然后这个值。那这大家知道这个数，它大于等于。大于等于然后这块儿大家用一下矩阵定理就可以了是吧？

用一下矩阵定理。啊，这里大于等于二倍的根号下两个相乘。200根号下这两个相乘，这两个相乘正好16。再加二，然后十六开根号得到四四乘以二得到八，这样这算就等于十，也就说这个就可以得到n分之SN加八。啊，是大于等于十的，大于等于十，大家知道这个拉姆达就小于等于n分之SN加八就拉姆达。它就不能超过十是吧？因为要恒成立嘛，

证明兰布达啊，不能超过十。啊拉姆达小于等于十，小于等于十，那条件儿这个是满足的，叫拉姆达比十小都可以是吧？它比它最小值小。所以这个呢，就选择b好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了，那通过这道题，大家呢，要知道的，考试要点就是我们在做题的时候。

啊，要把这个等差数列的式子要写出来，求个公式要写出来，然后呢，再把这个n给它除过来。涂过来以后，然后看这个分式，它的最值情况到底什么样子，然后再来分析和思考就可以得到答案。好，接下来咱们看一下均值不等式哈啊，均值不等式均值不等式也是证明不等式比较大小的重要方法，均值不等式。使用前一定要验证三要素一正二定三相等，并使用基准定理，

可以得到a的N次方，加上n- 1大a等于。n×a那这个大家可能看不懂，比如说。比如说a的八次方加上七。a的八次方加七，你可以把它写成a的八次方加七个一。是吧a的八次方加七个一好，它大于等于这个可以把它看成八个数相乘八个数相乘大于等于。八倍的根号下。八次根号下这八个数相乘是吧？所以就得到这正好是8a，所以这样的好吧，再给大家进行推导一下，如果这个。

是看不出来的同学就把这个给你举个实例，就像这七拆成七个一。三七个一以后，然后接下来我们再来写好吧啊啊，再来写再来写大于等于八倍的八次根号下这八个数相乘得到这个结果。就写好了，好接下来咱们看一下啊例17这个题。你试一试，它给了这个不等式，它的大小我们看正确命题的个数到底有几个？啊，那么第一个第一个就相当于是a的三次方加b，三次方大于a方b，加上AB方在这里面，我们可以用减法。

是吧，咱们一开始就讲过用减法来比较它大小是吧？我们看减法。好，第一个我们用减法，减法就用左边减右边a的三次方加b，三次方减a方b，减AB方。啊，这个减法。好，这减法大家可以发现，这个含a的可以把它。含把a的三次方跟这个合在一起，把这两个可以合在一起，

合在一起就可以得到提出a方变成a-b。再提出b方变成b-a。啊，变成bb-a这样的，然后接下来我们来看一下这个，再提一个减号，提个减号就变成了。提一个a-b变成a方减b方。a方减b方，再用平方差公式可以得到a-b^2×a+b。a-b^2×a+b得到这个结果，这个结果，然后接下来我们就可以看到，因为这个a和b是不相等的，不相等的话。

而且a和b都是正数，都是正数，那这肯定是正的。都肯定正的正的话，那说明第一个就对的就左边大右边，因为它相减是大于零的，左边大于右边，这个是没问题的。是吧，好，这第一个。然后第二个，第二个因为它这个m的正负不知道，所以它到底是比b分之一大还是b分之一小，你不知道有可能左边的它是负的。

是吧，所以条件儿这个是不行，因为条件儿它的m的正负未知。然后咱们看第三个。第三个，第三个话就相当于是呃ABC都证实住a分之BC，加上啊c分b分之AC加上c分之AB要大于。大于等于a+b+c，然后在这里面大家呢，就把这个三个三个，我们把它拆成六个。拆成六个，拆成六个也说也拆成两两拆是吧？两两拆就相当于都给它乘一个两倍啊，左边不三个吗？

乘以两倍，乘以两倍不变成六个吗？六个话两两配对儿配成三组就行了啊。比如说这个a分之BC。加c分之BA。是吧，四四分之b用要平行定理，大于等于二倍的根号下两个相乘。啊，刚才讲，现在正好是b方，然后这个等于二b是吧？所以其他以此类推你就会了是吧？然后同理同理就b分之CA。加上a分之BC。

大于等于二倍根号下，这两个相乘正好是二倍c方，正好等于2c。是吧，然后再写大家都会了，再写就b分之AC。加上c分之AB。大于等于二倍根号下两个相乘就等于2a。好，然后这样就行了，然后把这三个式一相加。三是已相加。已相加哈，你看这个正好有两倍的，两倍的，

它两倍，它两倍它，然后再除以个二就得到这个结果了，好吧，就得到这个结果，所以第三个呢是正确的。然后第四个，第四个大家用啊，咱们讲过的均值定理，或者说啊，全方和不等式都可以好吧，所以第四个，第四个要用均值定理的话，一定要给它乘一个一知道吧？就x分之一加y分之一，

给它乘一个。乘一个这个后面的这个啊，乘一个3 s+y。这等于四加上x分之y，加上y分之三x是吧？然后这样写，然后再用这个基准定理。大于等于四，加上二倍根号三。比如说这个后面这一块儿，大家用居中定理做就OK了是吧？这个写好了。好，这是它的这个方法。对吧，

或者用全方和不等式也行，全方和不等式啊，这样也可以全方和不等式，咱把这上下要都给它。便便都给它乘一个三啊乘以三，然后这样写也可以知道吧，然后这样做。啊全全合不等式，这样的就x分之一，加上y分之四之一等于三x分之三。加上y分之一这个三写的根号三的平方一的平方，它大于等于根号三加一括号的平方。除以一个3 s+y。然后题目说了三是加y，它正好就为一是吧？

就为一，所以分母就为一，这就等于根号三+1^2，根号三+1^2把它展开。这样就四+2倍根号三。啊，这也可以好吧，跟上面是一样的，但在这里面一定要给它乘一个三啊，等于三以后，然后才能够呃出现三四+y，否则的话，它是不能用的。所以说这个第四个它也对。第四，

它也对，所以在这里面啊，那这样我们就可以写出它的这个式子，但第四个它有个注意的问题是什么问题呢？对它这个正负，咱们不知道是吧，它给它设置一个陷阱啊，这是陷阱，如果它要加上正的是可以用矩阵定理的。是吧，因为他没说sy是正还负，比如说s要正的y要负的，这时候大家呢？啊，要注意好吧，

要注意，所以在这里面咱们一定要是正数啊，正数正数的话不管用，全方和不等式还是句子定理要求正数啊，所以这个地方呢？它没有写正数，一定要看清它条件啊，所以要要求正数。这样的话，它就可以知道吧，这地方容易给大家挖一个坑，所以呢，就选b，所以大家在做这个题的时候一定要小心点儿。好，

那接下来咱们再看。这个题啊，这个题就是它是考察这个数列等比数列和等差数列，且a和b。首项它都为一啊，首项是一则b2，大于等于a2。条件1a二大于0a二大于零，但是你不知道b2到底等于几啊？啊b2是一还是三还是4a二？到底是五还是八还是九？这个是不知道。然后条件二也不行，条件二光a 10=b十。啊，

那这个但是你不知道a2是正的还是负的，这个也不行是吧？a2啊a2要是负的a2负的b2那要负的会更多。知道吧，所以在这里面啊，那肯定也不行。知道吧，所以两个条件它都是不可以的，都不可以，然后咱们接下来就联合分析。那么，这道题就考察这个数列，它的一个通项知道吧？好，大家根据a10，

大家知道a10 an，它是一个等比数列，对吧？那么，等比数列的话，那么a10的话，它正好就等于嗯a1×q的九次方。然后b10是不是等于b1+1个九倍的公差d？这样的话d正好就等于q的九次方减一再除以九。啊，这个就是根据这个a 4=b十得到这个值，然后接下来咱们要算b2的值。b2是不是等于b1+1个d？对吧啊b 1+b一+1个d。b的值是不是正好是唯一啊？

你那告成首项正好为一b的，正好为一加上这个dd正好等于九分之q的九次方减一。啊，这样的一个情况。让等于九分之q的九次方加上八。这样就写好了啊，加上八。然后这时候这个八大家一定要想办法把它拆成八个一，就刚才咱们在结论里面给大家讲的啊。所以q的九次方加上八个一。那八一这样话就相当于九个数相加，除以九代表九个数的什么呢？算术平均值大于等于。九个数的几个平均值是吧？九次根号下这几个数相乘是q的，

九次方正好等于q。对吧，因为九次方再开九次根号，正好等于q好，大家知道这个q，我们乘一个，一是不是正好就等于一个a2？是吧，成一个首项，因为首项a1。要等于一就等于a2。那什么时候取等号呢？当q=1时候啊，取等号是吧？然后这个然后这时候呢？

因为咱们使用平行定理，一定要要求正数，所以说。为什么调价要联合调一的原因，那必须是正的啊，必须正的，这样q的值它一定是正数，正数的话，它才能用平行定理嘛。对不对啊？它都是正的，所以说这个联合起来充分正确答案就选择c选项好，这是它的做题的方法思路。所以大家呢，要会分析。

啊，接下来咱们再看一下啊，科一不等式啊，前面学过科一不等式来证明不等式，比如说在二元或者多元不等式证明中巧用科一不等式，科一不等式一定要会错误的一个系数。知道吧，来进行证。啊，那正数ABC满足a×b×c=a+b+c则AB+4 BC+9 AC，那最小值到底多少？最好是。要求它最小值最小值的话，那在这里面这个ABC我们怎么样能转化成a×BB×CA×c了？这个大家一定要分析，

把这个已知的和所求的啊，对照一下是吧，对照我们分析一下，分析的话，那只能在分母上出现了，所以两边同除一个ABC。o cab就一=1个。BC+AC，加上AB。是吧，所以就得到这个值啊，得到这个所以说这个呢，就相当于是都除以ABC都除ABC以后就BC分之一。加上AC分之一，加上AB分之一啊，

这样的数值就可以写出来好，这是根据它的这个式子得到的。那然后接下来我们来看。看这个表达式，它所求的表表达式表达式的话，我们用一下。可以不等式，我们看看。就是AB。加四倍的BC。我们怎么样产生是吧？怎么产生这样四倍BC+9倍的AC？是不是我们就是如何来进行分析？啊，加上九倍的AC。

啊，这是它所求的，对不对？啊，就是AB+4倍BC+9倍AC。跟咱们前面用那个均衡定理有点像，然后给它乘一个一，比如刚才咱们在这给它乘一个一。是吧，所以这道题呢，你要学会一的妙用。是吧，所以大家呢，给它乘个一就行了啊，所以大家呢，

在遇到这种分式的时候，或者什么时候给它乘个一，所以把这个式子呢？这是给它乘个一这个一呢，正好用它来换好吧，可以写成AB+4倍的BC。加九倍的AC加乘个一乘一个BC分之一，加上AC分之一，加上AB分之一。好，这样就可以用科一不等式了是吧？当然这个AB把它看成根号AB的平方啊，这个AB分之一把它看成根号AB分之一平方。让这个AB跟这AB分之一配知道吧配，所以大于等于。

后面的平方对吧？后面平方就是AB乘AB分之一就是一。然后这个BC注意BC应该这个四倍BC应该写成2 BC括号的平方啊，所以应该是二啊，应该是二，所以在这里面大家要注意，应该是二。然后这是。这是九倍的AC写成三AC括号的平方，大概AC分之一，这个乘知道吧，乘这个就可以得到，这个正好就得到三十六。到36，这答案就选择正确，

答案就选择c选项。这个明白没有啊，可以不等式忘记的同学是这样的啊，就a方加b方加c方。唱一个。d方加e，方加f方。大于等于。AD.加be。加CF括号的平方知道吧，就这样的，所以你把a×b把它看成根号AB的平方啊。啊，一样的，

这个四倍的BC 1定要把它看成2 BC。负二的平方知道吧，所以这个九把它看成三的平方，这样的话就是得到乘三就得到三好，这样就。写好了好吧啊，所以这个题呢比较巧妙，大家看能不能想到？接下来咱们看这个题强和不等式。在求二元或者多元代入式证明中，可以利用全文和不等式，尤其出现一些分式的时候，那可以事半功倍。啊，出现一些分式好，

比如说s大于1y大于1s×y^2=1000=1000。然后求lo gx分之一加logy分之三，它最小值到底是多少？最小值。关键在这里面要出现外方，知道吧，因为这个直接用全网和不等式的话，出现不了外方，知道吧，所以接下来。我要把出现外方。出现外方怎么办？怎么出现外方呢？我们都给它乘以一个二就行了，乘以二×2变成二倍logy，

二倍logy是不是可以先logy方？是吧，剩下都是乘以二×2就是。这个写成这个外方。然后这样话，我们就可以用全号和不等式，然后这个一呢，可以把它看成一的平方没问题，这个六把它看成根号六的平方。好吧，然后这就大于等于上面就是一加根号六括号的平方，这个分母相加lo gx加。log外方。然后大家知道这个lo gx+logy^2正好就等于两同底对数相加就能真数相乘sy方。然后这是一加根号，

六括号的平方。大家知道s×y^2正好等于1000。大家知道log 1000就相当于是三了。二三，然后上面平方展开就七+2倍，根号六。那这样答案应该选择的是c选项，答案就求解出来了。啊，这样就写出来呃，试试好看这个是不是懂了啊？找它的方法。好，那接下来咱们再看一下分式不等式。啊，

分式不等式的话，我们呢，主要是掌握它的这个思路啊，如果a要小于bm，要是正数。m要正数也就说，如果要是一个真分数。啊b分之一小于一嘛。叫做b分之一。要小于等于一的时候，小于等于一大于零啊，它是一个真分数，真数就分子分母，加上相同的一个正数。它这个分数值比原来要大，

为什么大家可以这样去想？如果m越大，这个a+m÷b+m越接近一。然后比如m是1000啊或者一万，它这个数值就越接近于一。懂了吧你，比如说我给你举个例子吧。比如说这个是七分之三。和七+100，三+100，你想想啊，那这个肯定是更接近一对不对？更更接近一，它肯定要大，所以说。

它只要加上相同的一个正数m。啊，那这个数要增大好吧，这是它的这个方法。关键要判断它是真分数还是假分数，知道吧？判断这个就可以了，好，那接下来咱们看一下这个题，假如AB m都是正实数。AB m它都是正实数。都正的且lo ga小于lo GB，其实这个lo ga小于lo GB。大家知道这个呃是以十为底的对数，以十为底对数，

它单调增单调增就可以推出。a小于b。啊，推出这个a小于b的，而且AB肯定要大于零，因为对数的真数要保留e大于零，好a要小于b，那说明b分之a。肯定是小于一的。是吧b分之一还要小于一。好b分之一，它小于一小于一的话，那么加上相同的正数，它肯定比原来要大是吧？所以a选项是个符合的啊。

a选服务的，然后e选项这个减是不行的，减完后到底正负你确定不了，减的话不行必须是加。所以要掌握这样的方法，知道吧，所以它越加越接近一是吧，加的数越大，越接近一，所以要掌握这样的一个。结论大家也可以用特质帮助你理解这个规律。啊，把这规律弄清楚了，那这个题就很好做。好看，

这个是不是明白了？好，接下来看一下。这个数形结合的方法，数形结合方法当表达式，可以利用几个图形的意义来分析，比如说画出它的图像。啊，然后数形结合来分析这个不等式，这样更简单。你像这个题，这个题二减x平方，那这个呢？用几个法做要快，如果用其他方法，

那这个就比较麻烦。画图呢，比较直观。所以我们可以看它的这个图。啊，它这个二减x平方加绝对值，又把x轴下方图像给它翻上来就行了是吧？把它翻上来就可以了。所以它的图啊，这样给大家翻一下。啊，给它翻一下好，那这个就是这个点，分别是根号二和负根号二。然后这个是二是吧根号负根号，

然后这个是二。然后零小于a小于b啊零小于a小小于b。这样的啊，这是它这个若fa=FB fa=FB是什么情况呢？就说明它这个两点行值要一样啊，两点行值一样，要求AB的取值范围到底多少？9 AB取值范围。好来看一下图是吧？咱们画一条水平线。画一条水平线，而且注意这个AB，这个一定要在。呃，这个。

大于零的部分装在大于零，部分在大于零，部分那说明一个a在这儿，一个b在这儿啊，这就是a，这就是b了。对吧，它不能在小于零的地方嘛，你看题目说了嘛，好，这a在这b在这个地方是吧，这样话我们就可以。写出它的这个取值范围，大家可以发现那这个。AB它这块儿因为b肯定要在这个地方没翻啊，

没翻的图像没翻图像，它这个相当于什么？相当于FB。这个FB 1定是什么呢？那它这个。这样也说b肯定比这要大，对吧？b的比这要大，肯定是b的平方减二。这肯定是b的平方减二，因为它这个翻上来也就说你把这个变成什么，变成s方减二的绝对值，知道吧？把它变成这个x方减二绝对值，那这一块儿呢，

肯定是绝对值里面是正的了，正的正的话，所以它的图像就x方减二。这觉知可以不要了，因为它觉知里面是正的，然后这块儿FB这个就可以得到这个结果，这个fa fa的话，大家注意它这开口冲下的开口冲下的话，在觉知里面肯定是负的。知道吧，或者也说a是比根号二要小的，在绝对值里面负的，或者说fa应该等于二减a方。然后它这两个相等嘛，这两这两相等就相当于二减a方，

正好等于b方减二。然后把它移过来，就得到a方加b方，这样等于四。a方加b方要为四那求AB的取值范围就好办了，要知道a方加b方正好大于等于2 AB。大于等于2 AB，因为这道题，它说AB不能相等。AB不能相等，那这地方就不要取等号了，对吧？取不到等号啊，这样的所以说就可以得到。这个AB呢，

它是小于二的。啊AB小于二而而且AB呢，它也是大于零的大于零，因为AB它正数嘛a×b它肯定是大于零的。对吧，给它这个不能为负的啊，有AB它可以非常小，知道吧，比如这个线。这个线这个线非常非常低的时候啊。它这个这个这个数值是吧？所以它它还这个在变化，然后它这个也非常高啊，非常高的时候非常高的时候，大家可以发现。

它a可以无限基因零。是吧，你看非常高的时候，非常高的时候a它无限基因零。a比如说零点零零零一非常接近零是吧？非常接近零零乘以任何数，它也非常接近零对吧？这样的。啊当a和b都接近根号二的时候，比如a离根号二很近b离根号二也很近的时候，这个a×b正好就等于二。是吧，它无限基因二啊，这样的，所以您看那个图像变化也可以看出来，

所以正确答案就选择a选项，所以b选项这个。这个括号必须先取不到啊，别给写错了。它取个二知道吧，也就是说a和b它可以无限接近根号二，但a和b它不能等于根号二，知道吧，然后这样的一个方法，所以一定要看。边界，它是一个开区间，这块儿要弄清楚，别给写错了，好，

这是它的呃不等式的一些推导分析方法，所以大家在做题中灵活运用这些方法来进行处理。这样在考场上就能够很快的把答案给它求解出来。

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