028.24-顿悟-专项六-不等式证明方法-题型1-6

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:34:02

下面咱们来学习不等式证明方法啊，我们来看一下不等式它的一个证明思路和方法。好，大家注意这个专项。就数学呢，光学知识点呢，是远远不够的。啊，知识点是死的，所以要把方法和知识点能够串联在一起，能够达到灵活解题应用。而条件重新判断题就是数学的一个，另外的推导证明的一种考法，它换了一种外壳外衣。对吧，

然后呢？它直播以不同形式来考察它本质呢？其就考察推导和证明，所以需要学习一些证明方法。以不等式知识为载体，引入一些逻辑思考的方法，然后供大家呢，做题中参考使用。可以把一些逻辑的推理情况结合在一起。好，接下来咱们看第一个内容就是比较法，因为咱在考试里面会出现一些大小的比较。啊，比较法一般呢，有两种形式，

两种形式，第一个就差值的比较。再比如比如说。啊，要证a要比b大，我只要用减法啊，做相减啊，这个考试中也是经常出现的，让两者相减就可以了。还要写除法，除法时候一定要保证它的正数，把它正数，比如说它这个是大于零的，如果a要比b大，就要证明a÷b比一大。

就可以了好吧，这是它的一个解题的方法思路。所以咱做题的本质在于讨论AB不等式难以解决时，我们就把它做减法和做除法来进行转化。好吧，然后带来新的一个思路，然后做减法或做除法，以后分别与零和一进行比较，然后来进行分析。好吧，然后呢？这个用减法除法出现新的运算结构啊，将它与零和一关联在一起，这就是咱们比较法的一个本质和它的精髓。当然，

咱们在做一些题的时候，可以取特值法，但是我要给大家进行强调的是，再重新判断题特质，不能证明充分啊，只能证明它不充分啊。所以不要给啊，这个弄错了。接下来看一下例一这个题，若a大于2b大于二，则AB与a+b它大小关系到底是多少？它两者大小关系。到底是等于几？那这道题其实大家就可以取一些特值，知道吧啊，

也可以用特值法。有a等于二三b=4。那显然a×b肯定要大是吧？就a×b肯定要大于这个a+b是不是？所以在这里面大家呢？就可以排除。一些选项就可以找到答案是吧啊，就写出来了。而且它又不可能出现相等的是吧？不可能出现相等好，这是用特征法，那咱们推导和证明怎么去证这道题，因为它都是正数啊，这种这道题可以用除法做，也可以用减法做都行。

好吧，好，如果用减法减法，我看看用减法来比较，也可以用除法。减法的话就ab- 1个a+b。就等于ab-a-b得到这样的值是吧？然后这样ab-a就可以提出一个a，提出a就变成一个b- 1。是吧，这个提出的a括号变成b- 1，然后减去一个b- 1，然后我给它。呃，再减一个一是吧？

因为在这里面就相当于是。前面它有b- 1了，我再给它写一个b- 1啊，前面有一个b- 1是吧，因为前面提出来以后啊，前面有一个b- 1，然后这个后面。再添一个b- 1，这样就写好了是吧？好，那接下来我们就可以得到，就是a- 1×b- 1。然后再减一。然后大家知道a是大于2b大于二，那说明a- 1。

肯定要大于一。b- 1，它肯定也大于一是吧？就a- 1，它大于一的b- 1，它肯定也大于一，然后两个相乘两项就可以推出a- 1×b- 1。它肯定大于一的啊a- 1×b- 1，它大于一那这个。相乘的大于大于一的大于一，它再减一肯定大于零。大于零做到这儿，你就可以推出这个AB是大于a+b的好吧，这选择的就是b选项。当然，

这个也可以用除法做好吧，这种减法用除法也可以。除法就是a+b÷AB。是吧，反正谁除以谁都行，然后这样就得到b分之一，加上a分之一啊，这样的情况。好，大家知道a是大于二的。a大于二，那说明a分之一就小于二分之一了。是吧a分之一小于二分之一，然后b是大于二的，那b分之一它也小于二分之一。

啊b分之一，它也小于二分之一，然后这两个相加，这两个相加就得到这个a分之一加b分之一是小于一的。小于一，所以它这个小于一对吧？这个小于一，小于一，由于这都是正数把分母呢，就可以给它乘过来。啊乘法乘法就得到a+b是小于a×b的好，这样做除法也可以好吧，反正大家一定要掌握它比较的一个精髓啊，用减法用除法都是可以的。啊，

要掌握它的思路啊。然后接下来咱们看一下第二个。啊，如果这个a是a1，它都正数啊零小于a1小于a二零小于b1小于b2。然后a+a二=b+b二=1则下列代数式中最大的是什么？求最大的。好，当然在这里面也可以取个特值。绝对值。啊，因为这个a1小于a2b1小于b2。是吧，在这里面好，那比如说一个四分之一啊a等于四分之一。

a二等于四分之三。b一等于五分之一。b二等于一个五分之四。是吧啊，五分之四这样就可以满足a加a二等于一b一加b二也为一对吧，然后带到里面来进行比较。和求解。那接下来我们来看这道题，这道题的话，其实呢，大家发现它这个就用基准定理做就可以了是吧？基准定理。我们根据均值不等式啊来进行分析，大家知道啊，这个就是a+b大于等于二倍根号AB。

也可以写成AB小于等于。啊，这个二分之。a+b括号的平方。是吧啊，这样做也OK好，那接下来咱们就套这个均衡定理，那均衡定理大家可以看到这个a 1+a二，它知道，所以就可以写成a1×a二。小于等于二分之a加a二的平方。因为题目说了a加a二，它正好等于一对吧？它正好为一，所以这个带到里面就要四分之一，

然后同样道理这个b一。乘以b二也是小于等于二分之一的平方，也是四分之一。是吧啊，也四分之一。因为它题目说了啊，这块儿它a和a2不相等b1和b2不相等，所以这个等号呢，咱就不要了好吧，等号这一块儿呢，咱就就不要了，把它。改成这个小于号啊，因为它这个题干它说了这个是不相等的，不相等咱居住地点取不到等号。

这个写好了，接下来接下来我们知道这两个把它相加相加以后应该小于二分之一是吧？有a一a二加上b一b二应该小于个二分之一。加二分之一。啊，也就说也就说这个。这个AA二加b一b二小于二分之一，它它肯定它这个数肯定比二分之一小，比二分之一小，那它肯定不是最大的，因为这里面有二分之一了。是吧，遥控器肯定不是最大。好，那这样啊，

就写出来了，那接下来咱们再来看其他的式子，其他式子就a1a2b1b2，它这个要出现a1b1a2b2，我们是不是把这两个做一下乘法？是吧，把它相乘相乘的目的呢，就为了出现这种交叉项啊交叉项。好，大家知道这个a 1+a二×1个b 1+b二，所以大家可能想不到，所以以后要出现这种交叉项。啊，那我们把它相乘相乘的话，这个得到a1b 1+a 1b二。

加上a2b1。加上a2b2。它这个是等于还等于一对吧？因为这个a+a二是等于1 b+b二也为一两项呢，它还为一。对吧，还2v一。唉，这样话大家可以看这个，这个a选项a选项就是a1b1a2b2。是吧a1b1a2b2啊，这是这个a选项AB 1。a2b2啊，这是这个这个AA选项。然后呢？

接下来啊，这就是a选项，接下来这剩下的就是什么？剩下就是。这个c选项a1b2a2b1，剩下c选项大家知道，如果两个正数相加，要为一两个正数相加为一，那你把它看成两部分，知道吧？就画圈儿的这个看两部分，因为这个画圈儿的就看着a选项啊，就相当于看着a选项。然后这个呢，就看成这个c选项就相当于是这个绿色，

把它看成c选项，知道吧，这个剩下就看到a选项就a+c选项是等于一的。啊a加c选项等于一，大家知道两个数相加为一，那至少有一个要大于等于二分之一，至少有一个大于二分之一，因为它这个不可能相等。应该是也不可能相等，就推出至少有一个要大于二分之一。是吧，至少有一个大于二分之一啊，至少有一个要要比二分之一大，至少有一个比二分之一，要么它比二分之一大，

要么它比二分之一大，那说明这个d选项肯定不不可能了。不可能说肯定，反正有一个比二分之一要大。啊，那不可能接下来就在在AC这两两个里面选AC，两个选到底谁大谁小呢？我就做一下减法好吧，做下减法，因为这这里做粗啊，不好比较，所以做减法去比较就行了。是吧，所以我让两者相减就可以写出来。啊，

做减法就a选项减c选项啊，就相当于是a一b一加a二b二减去一个。a1b2。a2b1啊，做一下减法，这减法接下来我们看能不能进行进行这个因式分解，我们把含a1的放在一起。含a2的放在一起是吧？这样的话，含a1的放在一起就a1就是b1-b二。把a2的放在一起a2，这是b2-b一。然后这个都把提出个b1-b二，正好剩的是a1-a二，也就是说可以分解成a1-a二乘以个。

b1-b二。好，大家知道这个a1是小于a2的b1是小于b2的，所以这个是负的，这个负的，然后两个负的相乘就变成正的。啊，就变成这种大于零大于零，那说明这个a选项肯定大于c选项a选项大于c选项，那这个啊就OK了好吧，所以说这个a是。正确的它是最大的。啊，就这道题，它用到的方法比较多，

大家最简单就是取特值带到里面来比较，这样的话好做。知道吧，然后接下来我们呢呃来进行分析，然后这一特质，因为这里面涉及到除法啊，涉及到乘法大家用。用这个小数来表示更好，比如说a1还可以取小数。abh取零点四。a2=0点六。b1=0点。3b二=0点七，这样也可以，这样的话a1×b1a二×b二，

这样好算。知道吧，然后这样带动你比这个分数呢，换起来要简单点儿好吧好，这是给它用小数啊，取特征也行。接下来，这道题就用到了均衡定理。先把这个c选项和d选项比较。c选项肯定是小一点。然后再看a和BA和b的话，一定要用这个乘法乘法，然后再再知道根据咱们注意两个数的和要等于某个值。至少有一个要过半儿好吧，这是它的一个逻辑思维。

啊，所以它根据它的逻辑判断，然后接下来再比较AC大小的时候，我们又用减法来比较好吧，减法，然后分解完后就可以知道。它最后这个表达式到底是正的还是负的，就可以得到结果好，这是它的答题方法，看明白没有啊？好，接下来咱们看第二个就综合法。综合法综合利用综合法证明不等式，就又从因果关系出发，知道吧？

有点有点像啊，这个左右开弓。是吧，从已知出发，记住不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征不等式得证的全过程。可以由它的由它的原因导致它的结果。或者从已知来看可知的。啊，然后逐步呢向位置来进行推导，所以它主要是采用这个逻辑方法的一个推导范畴。啊，它的严谨主要体现在步步这个推理依据上，每一步它的推理依据，

而且还要注意什么能不能逆推，比如说。啊左能推右右，能不能推左是吧？要注意它的逆否关系。好，那接下来咱们看一下。啊例三这个题。你看这个题，它是一个重新判断题，它要证明a分之一减一b分之一减一c分之一减一啊，现在要大于等于八。那接下来看题目1 ABC都是正实数。ABC都是正的。那这样的话，

那这个就不一定它大于八，比如说我们可以找个反例，我们先把它。找个反例不能用正面例子证明称吗？找反例，比如说a等一这个反例就推翻了，因为a等一的时候这些括号为零零乘任何数都为零。然后这个零不会大于八，注意条件一不行。然后条件条件这个ABC a+b+c，它正好为1 a+b+c为一，那这时候呢，单独条件呢，咱们也可以找一个反例。啊，

找一个反例找反例什么呢？又找这个这个负的，因为它又又没说ABC是正的还是负的，所以你找点儿负的。啊，这是负的，比如说你你a取一个正的。是吧，然后呢b和c它都取负的，我给你举个反例，比如说。a=5。b=- 1。c等于。负三是吧？

好，大家可以发现a要等于五的时候a要等于五五分之一减一，可能这个括号是负的。然后b要是负的这个括号儿也是负的c要是负的这个括号儿也是负的，知道吧，然后这三个括号儿都是负的三个负的相乘得到负的负的不可能大于等于八。然后这样就错了好吧，这样就不可以。好，所以一跟二这个都不行啊，找反例，然后接下来联合起来。就联合起来啊，两条线联合起来。啊，

领养企业的话，那接下来我们看应该怎么去推导？在这里面这个分式呢，我们要做一下变换是吧？做一下变换这个嗯。括号就是相当于a分之一减一乘一个b分之一减一。乘以个c分之一减一乘以个。啊，等等于。然后在这里面，大家可以发现这个就可以写成a分之一减a。是吧a分之一减a大家知道一减a正好等于什么等于这个b加c。是吧，这样就等于b+c×1个。b分之，

b分之一减b，一减b相当于是a加c。然后这个乘以c分之一减c，一减c就得到是a加b。啊，得到是这个这个a+b好吧，所以把这个带到这个式子里面去，那这个式子里面去，以后大家可以发现这个分子。分母先写分母有ABC分子有b+c括号a+c不a+b。然后接下来咱们用均衡定理做就可以了好吧，均衡定理做，大家知道这个b+c大于等于二倍根号BC。然后a+c大于等于二倍根号AC。这个a+b。

大于等于二倍根号AB。是不是得到这个式子，但是然后在三个一相乘三个一相乘就OK了是吧？所以大于等于。这个AB分之ABC分之，然后这二乘以二乘以二得到是八。根号八，然后呢？根号BC，根号AC，根号AB相乘正好就是ABC，这正好就等于八，这就写好了。好吧，这写好了好，

这是它的这个方法啊，它的这个思路，这两天理让企业充分。所以这道题大家怎么样去根据它的啊，结果来进行分析，因为因为这个八八的话，要想到那么三个二相乘。所以说这个想不到的同学呢，大家在考试，一定要观察它特征，要根据它特征呢，要联想起来啊，用什么思路？和方式来进行分析和推导，好吧，

这是它的这个要点啊，要弄清楚啊，好，这是例三它的考试的这个要点。接下来咱们看一下分析法，分析法是指从需要证的不等式出发，我看它结果，你让我证什么？啊，给我一个结果，然后再分析这不等式，它成立的充分条件就谁能推出它？比如说要证的是这个东西，那我想想这个东西谁能推出它啊？谁能得到它，

然后使问题转化为判定哪些条件是否具备？推导的这个要求是吧啊？其特点是指国所因，指国所因就是我看你给我的这个结果。来分析它的原因是什么啊？想到它需要什么原因啊？从未知看，需要知道逐步。向已知来进行靠拢啊，已知条件来靠拢就行了。好，那接下来咱们看这个题，已知三角形三边为ABC则a加b分之一，加b加c分之一等于三，除a加b加c。

好，那在这呢，大家可以发现这有a+b有b+c，还有这个a+b。加c那在这里面，我们呢？要想办法什么把这个索要这种东西啊，我们想办法肯定要把它分母给它乘过来。分母乘过来的话啊，这个把这a+b+c给它乘过来是吧？乘过来我们先做一下，因为如果三个分母都乘的话，那比较复杂，我们先把a+b+c来进行乘，所以说我们把这个呢？

所要东西呢啊，做一下等价。等价化简对吧？小这种东西等价化简，所以两边同乘a+b+CA+c就变成a+b+c，除以个a+b。这个是a+b+c÷1个b+c，这就右边就变成三了是吧？右边变三。然后这样好多大家可以发现a+b跟这a+b除下来正好是有一这个b+c跟b+c除下来正好为一是吧，所以就一加上。a加b分之c。加上一+a除以个b+c，它正好等于三。是吧，

这样这样为三，然后把这个一跟这个一，然后再合并一下，再合并完完以后我们就可以得到，就是b+c。啊，就a加b分之c。加上b加c分之a，它正好就为一了，这个为一，然后这时候呢，两边呢，再同乘以这个分母。啊同乘以这个分母，啊同乘以这个分母的话，

然后就两边同乘以a+b和b+c就变成c×1个b+c。这变成a乘以个a+b。这边就变成a+b乘以个b+c。是不是这样的啊？两边都乘以分母，都乘以a+b啊b+c。好，这就变成c×1个呃b+c，这是a乘以加b，然后接下来我们就可以得到这个BC+c^2，加上a方，加上AB。等于AB+AC，加上b方，再加上BC。

好，这样的好看，这个懂了吗？接下来我们两边给它取消一下BC跟BC就。抵消一下是吧？把这个一样的，然后还有这个AB跟AB也要抵消一下。然后接下来我们就可以得到什么一个情况得到。这个就是c方。加a方。减b方正好等于AC。AC，然后再除以个AC。这样这样为一好，这就用到咱们跟什么比较接近呢？

跟咱们的余弦定理比较接近。是吧，跟余弦定理啊，比较接近，所以在这里面咱们呢，就用余弦定理啊，所以余弦定理，大家要知道啊，这个余弦定理。所以大家就这道题就相当于从这个结果来入手，因为现在人看这个条件还看不出来是吧？约定约定就相当于是。cos角b。正好等于c方加a方减b方除以2 AC。是吧，

除以二AC，然后它这个除以AC正好等于一，这个除以二AC正好等于二分之一。啊，这样等于二分之一，这个写好了。是吧，这个得到这个二分之一，那二分之一，那说明这个三角b这样就等于六十度。反转角b=60度好了，这是咱们。把这个要正的东西做一下，化简化简，只要得到角b=60度，

那就具备重分性，那接下来咱们看条件是否能说明角b=60度？好，那大家发现条一那么三个内角要成等差。三个数要成等差，说明a+b+c应该等于三倍的b。大家知道呃，内角和等于180是吧？三角形内角和180，所以得到b，这样等于6度。b=6度，所以它条件一是成立的是充分的，对吧？条件为等边三角形，

每个角都等于6度，这个也可以。啊，这样也行。是吧，这样也可以，所以两个条件单独均充分正确答案就选d。所以这道题比较呃重要的环节就是先把它所要正则的表示一一步步来化，简化简到这。然后要想到余弦定理。讲到约定了以后，然后呢，接下来我们就好办了。是吧，就得到角b角b的话，

那就看条一条件儿，它给的角b是否等于60度啊？是否符合要求就可以得到答案？好，接下来咱们来看一下例五这个题啊，原x方加y方减2 x+4 y+1=0上恰好两个点。到这个直线距离等于一。好，这条一和条件儿，那接下来咱们来看一下这个题，这个题我们看要使两点到直线距离为一，那说明什么情况？这个圆咱们先。给它进行配方。可以配成x- 1^2。

加上y+2^2正好等于四。好，所以大家可以配成x- 1^2，加上y+2^2，那正好就为四。这样就写好了是吧？就得到这个四。幺四大家知道这个圆。啊，这个坐标系就不就甭画了吧，给大家画一个示意图。好切下两个点到直线距离为一。大家想，如果这条直线啊，离这个圆比较远啊，

离这个圆比较远，那圆上就不存在点到直线距离为一了没有点？啊，如果这个这个稍微近一点儿，稍微近点儿的话，就存在一个点到直线距离为一是吧？有一个点。然后再近一点儿，再近一点儿，它就会有两个点到直线距离为一是吧啊有两个点。然后再再再进一点儿，再进点儿，它有它会有三个点啊，会有会有三个点。三点是这一个点，

然后这边儿还有两个点啊，三个点，然后再近一点就是四个点是吧？所以说我们把这个结果呢，给大家画一下图好吧，大家呢？可以看看啊，比如把这几种情况给大家画一个图，把这道题都给大家进行，各种情况都说一下，比如说两个点，三个点，四个点是吧？我给大家进行说一说。好，

大家可以发现，如果这个直线离这个圆比较远。啊直线呃，离得远比较离得远比较远就零个点是吧？这个离得比较远圆上。找不到点到直线的距离为一找不到没有。啊，如果稍微离得近一点儿啊，离得近一点儿，这这有一个点啊，就比如这这是一个点。能找到一个点到直线距离为一，那离得再近一点儿。一个再近一点，它会有两两个点。

啊，只有两两个点是吧？然后离得再近一点，它就会有三个点好，那我们来看一下三个点。当然，这有个点到直线距离为一，那这边儿还有两个。这总共有三个点。然后离得再近一点儿，再近一点儿，它有四个点。啊，四个点四个点，然后。

这有两个。然后这边有两个。好，它总有四个点。啊，原来可以找到四个点，那这里考的是两个点，其实最关键的分界点，知道什么分界点只有一个跟三个啊，这两个是。比较重要的分界点和加上重点的标记。加重点标记，然后这个呢，就相当于是啊，一个一个的话，

那在这里面就相当于是圆心到直线距离d。正好等于r，这是半径r，再加上这个一是吧，所以d就等于r+1。啊，就圆心到直线距离这个用d来表示等于半径r，再加上这个一就行了，然后这个三个点三个点的话，接下来圆心到直线的距离。这块儿dd正好等于半径r再减掉，上面这个一所以d就等于r- 1。是吧，好那么只要把这两个找到，那其他就好写了，

其他的话就零个点就d大于它呗，大于r+1。然后两个的话就介于这两个之间就行是吧？就d小于r+1大于r- 1。然后这四个点就d小于r- 1，这样就写好了啊，那接下来这道题就考察两点两点，那接下来咱们看一下这道题，这道题圆的半径正好为二。你看半径为二。好，原本以为二这道题只要让d小于三大于一就行。对吧，然后因为r=2带到里面去好，那d是什么d就圆心到直线的距离，

圆心到直线，圆心正好是呃一负二点。圆上一负二点，所以在这里面有根号下，这d就等于根号下a方加b方a方加b方就是四+1就是得到的物。a方加b方由四+a得到15得到15，然后这个是一负二带到你的c的绝对值。c的绝对值好，这是d啊，那就相当于根号五分之c的绝对值要小于三大于一，然后都乘以根号五。六点根号五所以c的绝对值大于根号五小于三倍根号五就行了好，那其中一个条件都不行，联联合也没法联合，所以这道题就选的e选项。

所以这道题还是这句话，先把题干它成了这个结果，我们来慢慢慢分析分析的话，然后看它。啊，需要的条件和要求什么？把这要求找到，那么这个答案就可以写出来好看，这块儿是不懂了啊，掌握它的方法。好，接下来咱们看一下反证法。啊，反证法用反证法来解题呢，其实质就否定结论啊，

就是找到一个矛盾的，找矛盾就证明说明咱们这个假设呢是错误的。从而说明，原来是正确的好吧，否定结论是对结论的反面，一定要一一否定，不能遗漏，比如说且会变成或。知道吧，且会变成或要把每一种情况反面都给它找到，不要漏掉这种情况啊，法律法适宜证明什么存在性，唯一性，但至少有一个或至多有一个。一般这种范围型。

啊范围的至少至多这个存在就代表是至少存在一个啊，至少有一个，然后再重新判断题里面常用反证法来证明条件不充分。就像呢，找反例一样是吧？这样的一个情况找反例。好，那接下来咱们看一下这个题。好三条抛物线啊，给了三条抛物线，你看这三条抛物线的表示来写比较复杂，其中至少有一条与x轴有共交点。至少有一个你看这道题，至少有一个就三个，里面至少有一个至少有一个有可能，

一个有可能，两个有可能，三个如果要从正面分析的话，那就比较麻烦，就像咱们在做排组和概率的时候遇到至少有一个我们就可以从反面做。啊，至少有一个相当于反面反面就一个也没有，你像三条抛物线都没有，这个交点是吧？都无交点。所以这个我们要从反面思考。接下来咱们先不要看调音和条件啊，那反反面的话就是都无。焦点都与x轴无交点。都与x轴无交点就没没有交点。

都是鱼儿做。无交点x轴，无交点的话，那只要到它小于零就行好吧，就第一个抛物线小于零。dora dora就等于b方。减4 AC。小于零是吧？所以说让第一个抛物线，它的判别是德尔塔。啊，然后小于零，当然等于b方减4 AC啊，小于零，然后呢，

第二个也无交点，第二第二第二就等于。b的平方。减4 AC。啊，然后第三个第三个data也要小于。而等于b的平方4m+1^2-4ac。它这个也小于零是吧啊？也也小小于零啊，这个也小于零，这个也小于零，这个也小于零啊，这样就OK了。好吧，然后这都小于零这样呢，

然后把这个呃写出来，写出来的话就解出来m这个大家自己解就等于负的二分之十一到负四分之一。比如这时候就是它的反面反面。就是它的m这个值，然后再取它的反面就是咱们要的正面对吧，再取它反面，所以说如果至少要有一个有交点。至少一个要与x轴有有交点。那再反一下，把这个再取反面，再去反面就相当于m小于等于负的二分之十一。或者说m大于等于负四分之一。这样就行了，好，那接下来咱看条文一和条件儿谁符合要求，

谁就成立那条文一，正好落在这个范围内。大于等于负四分之一范围内，所以提高一次成分条件，二是不可以。正确答案就选择a选项好，这是它做题方法和思路，看是不是懂了啊，掌握它的要点。所以通过这道题，大家呢，要学会它的这个判断方法好吧，要掌握它的方法，所以说遇到至少有一个遇到多种情况，咱们从反面做要容易点。

啊，接下来咱们看它的这个逆否命题法，然后逆否命题法在做的时候呢？我们呢？一般呢？遇到或的这个情况。啊，都可以采用逆否命题啊，原命题和逆否命题真假性一致，这话什么意思？大家学逻辑就知道，比如说p如果能推q。那说明q飞可以推p飞。它的否命题。对吧啊，

这个否否命题给它否命题推推到这个，所以这道题我们来看一下啊xy为正实数。啊syz为正实数则可以推出它成立，然后这些或的话，那你不好弄了，或的话，只要有一个为真就行。或那我们就用这个否命题来进行分析和思考好吧，然后在这里面，因为唉，它这都正数正数，那也好办啊，题案一。我们看，假设s小于二且。

y小于二，它的否啊，你把这个看成它的否命题否命题否命题或就变成且啊就代表。a飞且b，飞且c飞，知道吧？也就是z小于二。好，这样一定能推出x×y×z，一定是小于八是吧？因为它都是正数啊，正数这个。啊，就不用再标注了。因为大大家注意它小于二，

它小于二，它小于二，三个小于二的相乘肯定小于八是吧？小于八啊。那接下来咱们看它的否命题，它的否。它否就变成syz，大于等于八好左边的否左边否的话，正好变成x，大于等于二或者说y大于等于二。或者说z大于等于二是吧？所以说题网一呢，具备充分性。条件上一样，条件上如果s小于二。

且y小于二，且z小于二。可以推出x+y+z是小于六的。是吧，可以得到s+2+z，它的小小于六小于六，然后再找它的否命题。然后否命题否命就是s+y+z大于等于六可以推出s大于等于二或者说y大于等于二。或者说z大于等于二。是吧啊，这样的啊，所以说这就相当于是刚才咱们写的这个内容，明明白没有，就是如果p能推q则q飞可以推。PC啊，

就是这样的一个东西，就证明出来了，好吧好，这是这样的，就选择。这个d选项我通过这道题也可以得到一个结论，知道吧，不管是两个数还是三个数啊啊，如果几个数的和要大于。等于一个值，至少有一个要大于它的平均值，知道吧？比如说s+2+z大于p。我大于。m吧，

大于等于m则可以推出啊，至少有一个要大于就是至少有一个。要大于等于三分之m，知道吧？如果s乘以y乘以z大于等于m，当然这个要求是正数。正数这个推出至少有一个。大于等于三次根号下m。对吧，好这样的。啊，如果两个数也好，三个数也好，它多个数它都符合这个要求。好，

那这是它的这个表达式啊，看懂了没有啊？要会分析思考。好，接下来咱们看啊，第六个就是放缩法，放缩法，有时候呢，我们就把它进行微调啊，再这一些分式。或者一些表达式大小的时候，我们要舍去或者添加一些项是吧？增加一点儿点儿，但是不能不能放的太大。是吧，

也不能缩的太小好吧，所以说要使不等式一边放大或者缩小啊，以不等式传递性达到证明。不等式的目的。是吧啊，这个传递性是什么意思啊？有a大于b。b又大于c，可以推出a大于c又传过来。好，那对啊，这个不等实施放缩时啊，不等实放常使用的方法有以下几个。然后呢，第一个要舍去，

我添加一些项，比如说大家知道a加二分之一的平方大于四十三，我可以把四十三给它略掉，可能大于a加二分之一。是吧，舍掉一些知识，比如说这是舍去，那有时候可以添加一些，还有一些分式分母放大或者缩小。比如说啊，这个k方可以写成k×k把k变成k- 1，那这边就大，如果把k变成k+1，它这边就小。是吧，

就增加一点，然后还有根号k。啊根号k大家知道这个根号k这个怎么写呢？就根号k分之一，根号k分之一，你可以把它写成二倍，根号k分之二。就写成二除以根号k。再加根号k。所以这根号k可以把它换成根号k- 1，这根号k也可以把它换成根号k+1是吧？换这样话，咱们就可以好化简和分析了。好吧，这是它的这个式子，

所以咱们呃做题也不会考太复杂的，就把这几个掌握住就够了，好吧？好，接下来咱们看一下例八这个题。那下列命题正确有几个啊？我们来看一下第一个。第一个我们先看右边儿，因为左边儿它就是就是一个括号，这个好处理，主要看右边儿。啊，右边的话，它就相当于是根号k。是吧，

根号k根号k的话，那这块要写个大于号，那就从右边来讲啊，从右边角度来讲，你看右边要大于左边。所以我们就用根号。根号k可以写成二除以根号k加根号k。是吧，它大于。根号k加上根号k+1是不是这样的啊？这样写好。好，那这个咱们学过它的列项公式对吧？两公式可以写成二倍的根号k+1减根号k。好，

那这个第一项相当于k取一的时候就第一项k取二的时候，第二项k取n的时候就最后一项是吧？所以大家知道这个一加根号二分之一，加根号三分之一。一加到根号n分之一。啊，等于啊，那k=1的时候就第一项k等二时候第二项大家发现每一项是不是都有二是吧，每一项它都有都有二直接给它提出来算了。好吧，都会提出来好，那k等于一的时候就变成根号二减一。然后k=2的时候k=2的时候就根号三减根号二。啊，一到最后k=n的时候k=n的时候就变成根号n+1减根号n。

然后这地方大家可以发现，可以抵消，你看根号二根号二抵消的根号三根号三抵消的啊，如果前面剩了负的，后面一定剩正的啊，它一定相反的。那这样这样，这块我们就可以写出来。啊，写成它的这个结果是吧？然后这样就就写出来，所以大家呢？就把每一项都给大家，这这样写都给这样写哈，这个地方要变大一号是吧？

就大于号，就是每一项都给它列成这样的，要大于号啊，就第一项大于它，第二项大于它，然后这一块儿我们就右边可以写成二倍的。这可以写等号啊，右边二倍的对吧？根号n+1减根号n。减一了，因为它这个都抵消掉了，直接剩一个根号n+1，再剩一个减一啊，这个写好了好，那说明。

第一个是正确的，对吧？第一个就这个比是比二倍的根号n+1-1要大，这个是正确的这个命题呢，没问题。啊，接下来咱们看第二个第二个话，那这个变成小于号小于号，那这时候要要要怎么用呢？这时候大家想想应该怎么用？第二个第二还是这个根号k分之一。等于二，除以根号k加根号k。是吧，然后它这个就小于我把这个k换成k- 1是吧k换成？

k- 1这样就可以把它写成二倍的根号k减根号k- 1。这样的是吧？变成这样的。啊，这个写好了。好，那写好以后，那接下来咱们再来看看，再看看它的表达式，我把每一项啊，每一项一加根号二分之一加根号n分之一，再给它换一下啊。有一加根号二分之一，加根号三分之一。一加了根号n分之一。

然后它有。小于小于每一项啊，第一项k相当于取一，第二项k相当于取二。是吧，然后每一项都有二，所以说这样第一项k取1k取一有根号一减根号零。是吧，根号一减根号零这个呢，就相当于k取二的时候根号二减根号一一到最后一项，最后一项就根号n减根号n- 1。是吧，这样的这样的，然后咱们呢就把它抵消掉，抵消掉，

然后看这根号一根号一这个这个一就没了是吧？根号二根号二没了。如果前面剩负的，后面应该剩正的，大家知道根号零，它正好就就为零，就不用再写了，所以这里面只剩一个二倍的根号n。啊，只剩下二倍根号n，所以呢，它小于二倍根号n，这个也对的是吧？这个第二个它也对。好，

第三个第三就是这个平方，平方就k方分之一，我们来写是吧？第三个和第四个就是主要讲这个k方。好，咱们看第三个。第三个，大家知道这个k方分之一。可以把它写成k×k，对吧？然后这块儿我们呢啊，可以大于这个k×k+1。是吧，把这个k换成k+1，然后这样咱咱们就可以采用列项的方法做是吧？

可以采用列项给它列开。啊，把它裂开就行了是吧？所以这样就可以写成k分之一，减k加一分之一，这样就好化简。好了，那接下来咱们呢？就把一的平方二的平方分之一叫加上n的平方分之一给大家套这个公式，一+2平方分之一+3^2分之一加到n的平方分之一。然后它大于然后第一项相当于k取一知道吧，第一项相当于k取一啊，然后接下来我们呢就可以写出来。k为一的时候就一减。啊，

这个二分之一是吧？就k取一的时候一减二分之一。然后这个呢，就是k取二的时候啊k取二的时候就二分之一减三分之一。你加到k取n的时候就n分之一减n加一分之一啊，这样这样，然后呢，接下来我们把这个给它给它。抵消一下是吧？这个都给它消掉。接下来，如果前面剩的正的，后面一定剩的是负的好吧，剩的是负的好，那在这里面咱们呢就可以写出它的这个取值情况。

好吧，所以在这里面大家呢，就把每一项啊都这样去套啊，所以在这里面就是一+2^2之一，一直加到这儿。加这儿好，那么在套到这儿的时候，大家可以发现，这出现是一减去n加一分之一，跟咱们这个。跟咱们这个什么这个二分之三呀，就说明你放缩的有点儿有点儿多是吧？有点儿多，然后也说它大于这个是一减n加一分之一。啊，

不一定。不一定大于这个二分之三是吧？不一定大于二分之三，如果你要觉得放的比较多的话，咱们呢？就是相当于是。啊把把第一个第一个先不要动是吧？第一个先不要动这个一呢就不要动，如果觉得有时候觉得你。呃，变化太多的话，你也可以这样的，第一个先不要动。我从第二个开始k=2开始第一个，咱先放到这。

先放这第一个不要动，然后k等于二的时候k等于二的时候就二分之一减三分之一。加上三分之一减四分之一一加到这个n分之一，减去n加一分之一，所以有时候你要观察一下，知道吧，观察观察完。你看到底啊，这个第一个动不动？啊，因为第一个如果你把一。一大于二分之一当然是对的是吧？一大于一减二分之一，但是你要这个这个这个变化的有点儿有点儿太多了。知道吧，

这个我们看一一下，损失了一半儿是吧？对这个题呢，可能影响比较大，所以说在这里面呢，因为后面这个分母比较大嘛，后面这个影响。啊，影响的影响程度就小一点，知道吧，所以说第一个可以不用动，从第二开始再开始从这开从这开，大家可以发现这个这个都约掉，这个都约掉。是吧，

九十一了，这样大家可以发现就一加上二分之一就相当于二二这个这个二分之三，如果前面剩的是正的，后面又剩的是负的。是吧，前面剩的正的，后面剩的负的，所以这样就将它二分之三减去一个n加一就二分之三减n加一，它这个不一定。啊，不一定比二分之三大是吧？然后这一块儿因为它它减到这儿，它比二分之三小了，所以它这个就错了，另外在这里面呢，

还可以。还可以找这个。特殊的情况，比如n取一，你找一个反例nn取一的时候，左边就有一，它不会大于二分之三对啊n取二也不行n取二n取二是一加四分之一一加四分之一也是。没有大于二分之三的它，不是针对所有的n它都成立。是吧，它的命题不是横成立的，懂了吧，所以它这个就错了。然后第四个，第四个就一的平方+2^2小于啊，

第四个咱们看看。第四个就相当于是k方分之一，可以写成k乘以k分之一也可以。小于k乘以k减一好吧，这个就等于k减一分之一，减去k分之一。啊，这样的。好，那接下来就相当于一的平方分之一+2^2+3^2，一直加到n的平方分之一。好在这个大家注意，这个k就不能为一了k=1的时候，它这个分母就为零就不行，所以这个这一呢就就不能动好吧。

一呢就不要动，然后k等于二的时候k等于二的时候就一减二分之一k等于三的时候是二分之一减三分之一。一到k等于n的时候k等于n的时候就是n减一分之一，减去n分之一。然后接下来我们给它抵消掉。抵消掉这个，这个都都给它消掉。啊，消掉消掉，前面剩正的，后面是剩负的好吧，就剩负的，比如这样抵消完以后，这正好是二减n分之一。啊，

所以说这个它小于二减二分之一啊，这个也对的，所以说第。四个也对，所以它总共呢有三个是对的好吧，这个呢还没选d啊，这是它的做题方法，看懂了没有？就这道题呢，就把根号的呀，还有一些这个。分式的放缩啊，都给大家进行讲，到了大家要学会啊，进行整理和变化就可以得到它的答案。

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