024.24-顿悟-专项五-函数方程不等式-题型1-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:32:40

各位同学大家好，接下来我们学习函数方程和不等式的归纳汇总，我们来看一下这一块儿，它的知识内容和考试要点。首先，大家要注意咱们呢，本部分是整个代数的核心考点。因为咱们函数呢，是咱们方程不等式以及代数的核心。所以说很多问题都可以用函数来进行解决和思考。然后不仅可以单独出题。而且呢，也可以跟后面章节呢啊合在一起，出综合性的一些考题，所以它是解决。

其他章节的一些工具，比如函数，它可以分析它的大小情况，变化情况，还有咱们考试出现的单调性。以及啊，咱们函数呢，还可以结合几何图形来进行考察，求一些最值问题。这些函数的表达式呢，它也是千奇百怪的。它的表达式可以灵活多变也可以。啊，进行跟其他章节关联出题，那我们要彻底理解各函数表达式与函数方程不等式之间的关系。

尤其在思维层面的。要求和计算都比较高。就是如何来进行，想建立一个函数来进行分析，所以需要全面透彻理解各个题型的解法，才能达到触类旁通的效果啊。啊，而且呢，要学会一些巧妙技巧方法，然后才能够在考场赢得宝贵实验，有时候多做一些技巧训练。这样的话，考试呢就可以快速把选择题答案给找到。好，首先咱们看下第一个。

第一个就一二函数，一二函数要学好，一二函数首先要理解系数ABC，它的含义以及抛物线的表达式三种形式。就这个抛物线。y=a次方加BS+c。而且呢，对一元二函数，它的基本题型和方法啊，要了如指掌。此外，在求最值还有一些对称轴，还有实根是否存在与直线位置关系等等，这个都跟抛物线相关联来进行考察。知识点还可以跟前面应用题的求最值，

还有一些几何图形呢？加上这种角度，所以要综合使用函数图像来解决一些问题。好，那接下来咱们看一下第一个题。如果函数y=s^2加as- 1在区间。零到三上有最小值负二，那么a的值到底是多少？啊，这道题大家要注意的，考试内容是什么呢？我们来看看。就它在有区间范围上的一些求最值问题啊，区间范围。所以大家知道，

如果要是无范围限制啊，无无限制。那就找顶点分析最值。啊，找这个顶点分析最值就行了，如果要无限制找这个顶点分析最值啊，如果要有区间限制。啊，要有区间限制的话，那这时候要根对称轴位置来判断啊，它到底在什么地方取最值，有可能在顶点，有可能在边界点取最值，知道吧？要讨论它对称轴。

然后来分析它的最值。啊唐对称轴来分析它的最值情况，比如说这时候呢，它对称轴位置不同。它最值有可能在对轴产生，有有可能在顶点产生，也有可能在边一点产生，所以这时候要讨论。好，那接下来咱们看这条给的抛物线，它开口是向上的。抛物线开口向上啊，抛物线如果开口向上的话，我们呢就可以看出来。大概画一个示意图。

这样的好，那么零到三上有最小值，有可能第一种情况，有可能对称轴。是在这儿，然后这时候是零到三，这这一段儿。你说林老三，他正好在。定轴的左侧。也正好落在单调递减的区间上，这时候最小值呢就是。三这一点它是最小是吧？最小啊，所以说对称轴这道题咱们学过抛物线对称轴公式对称轴公式正好是负的。

二，a分之b。啊，所以第一种情况我们应该讨论。啊，第一种情况就相当于是啊，这个。负二分之a大于三的时候。负二分之一大于等于三的时候好，这是它最小值，就这时候我们可以得到a是小于等于负六。对吧，最小值我们就可以写出来。最小值就是f3。l3代代代表名就九+3。

a- 1。那这样等于负二。是吧，九幺3 a- 1=-2。好，这是它的这个数字，就把s=3带到里面去，带到里面这个得到是3a。等于负负十。啊，这三大家可以发现啊，把这个。就等于负十，那这个不满足a小于等于负六，所以这就舍掉了好吧，

这是第一种情况。咱们看第二种情况，第二种情况就对称轴，刚好在这个零和三之间的时候啊，就是相当于对称轴正好在。零和三之间的时候。好，这时候a的范围就相当a大于负六小于零，这时候。好，那这时候它最小值最小值就是顶点坐标，也可以把正轴带到里面去。啊，顶点坐标，大家如果被顶点坐标公式的话，

就四a分之四AC减b方就四a。啊4a或者4 AC。减b方这套咱们顶点的公式，那正好等于这个最小值负二。等于负二，等于负二，那这个a解出来会有两个值啊a解出来a就等于正负二。au等于正负二。好a=a等于正负二的话，然后在这里面我们就可以看到。这个a只能取什么？只能取这个负二，因为这个a它是小于零的，比如说取a=- 2。好，

这样写好了。然后接下来我们再看一下。第三种情况。第三个情况就是对准轴在零左侧的时候就负二分之a。小于等于零的时候。小等于零的时候，说明a是大，大于等于零的，这它最小值应该在最小值。这个应该在啊零这块儿取到，所以最小值有f0。f0=-1，它不等于这个题目要求的这个负二。啊，不满足要求，

所以这种情况也舍掉好吧，啊，也是舍掉了，所以综上可以得到它满足题目要求的，只有a=- 2，这个是可以的。所以综上我们可以得到。a=- 2。好，那这个答案就选出来，这个答案应该选择c选项。所以通过这道题，大家要掌握的方法和思路，我们在做题的时候。如果抛物线，

它有范围限制，一定要看它这一段儿落在这个对轴左侧，还是落在对轴右侧是单调减还是单调增？还是刚好在对轴这个位置都要分为三种情况来讨论，这样话考试就不会漏掉，尤其。出重新判断题的时候，如果要漏掉这种情况，那有可能就会选错答案。好，接下来咱们看一下例二这个题AB是两个不相等的实数。则函数它最小值要小于零。最小值小于零好，那大家发现这道题，它是无限制这个函数呢？

是无限制。啊，没有区间限制，没有区间限制，它最小值就顶点就行了，所以做重新判断题，咱先把题干做一下，等价化简，然后再判断。是吧，所以做一下等价化简好，那它最小值我们就可以看出来最小值。最好只有四a分之四AC减b方。是吧，最小值比如四a分之四AC减b方。

然后最小值，然后就等于b-a^2。找到这个地方，找到b-a^2。好，那他要最好是要小于零。只要根据条件能推出b-a^2小于零，那就算充分。是吧，找到题干等价条件啊，那接下来咱们看条案一。选项一，大家知道我们三个数都成等差，三个数都等差，说明第一个加最后一个应该等于中间的两倍。

是吧，这是等差数列它的这个要求。好，这时候大家可以看到b正好等于2 a- 1，把它带到上面去。啊，把这上面看b-a^2。这样等于2a-1-a^2，这样等于负的。a+1^2是吧？这样等于负的a+1^2啊，负的a+1^2，大家可以发现它一定是小于零的。所以那有可能有同学说它万一=0怎么办？等于零我们看a=- 1的时候会出现。

啊，什么情况？是吧啊，这是a- 1平方对吧啊，得到负的a- 1平方，我们看一下，如果它这个平方要消零的时候，应该什么情况？消零的时候，大家可以看到，如果a要等于一的时候。a=1，a=1的时候，这时候b它也为一，也为一的话，

它不满足AB是两个不相等的实数。因为它要求AB是两个不相等的实数。那这两个实物呢？是不相等的，所以在这里面，它那个是不可以的。有a的值，它可能就不能为一。知道吧，所以它只能是小于零，取不到等号，它不能等于零好，这是它的做题的方法思路，看是不是懂了啊，对吧？

b的值用这个来。做一下转化就行了。对tr 1这个是充分的。条件它要成等比数列。我们学过，如果三个数要成等比数列。参数要成等比数列的话，那说明。啊一×b应该等于a方。是吧，一×b应该等于a方。啊，这样的好，那带到里面去得到b-a^2正好就等于零，那对这个不满的要求，

因为它最小值刚好是等于零。是吧，这不满足小于零，所以这个呢就错的。啊，这是它这个不充分，所以条件一充分答案就选择a选项好，这些条件重新判断题，大家把题干呢？做一个等价化简，然后呢，我们再来分析思考。还有这个例二，它的考试要点和方法。好，

下面咱们看一下例三这个题。a属于一个实数，这个函数。是一个二次函数，而且这个函数呢，它比较复杂，含了一个参数a。而且x是有区间限制。有区间限制。求当a的绝对值小于等于一时f2，绝对值最大值到底是多少？啊，这个咱们前面讲过它这个绝实画图画图画，但是这个。这个参数a你不知道多少，

所以这个画图呢，也不好画。是吧，它a在变化。所以这个咱一步步来，先看fs绝对值。是什么样的表达式fy绝对值fy，绝对值正好等于ax方加上x-a。那这样，咱把含a的放在一起，不含a的放在一起，对吧？因为大家可以看到这两个都含有a，所以要想到啊。把含a参数放在一起，

因为a它也在变化。它变成a倍的x方减一，再加上x绝对值。减这样的减这样要求最大值，我们要学过。前面绝对值，里面三角不等式，要会分析三角不等式就是a+b的绝对值，小于等于a的绝对值，加上b的绝对值。所以做到这有同学可能没想到三角不等式是吧，把这个看成整体，这个看成整体，用三角不等式来进行分析和思考。所以小于等于a乘，

以x平方减一。加上s绝对值这样的对吧？所以把这个就分成两部分，而且大家知道前面两个相乘的绝对值。可以把它写开是吧？可以写成a的绝对值乘以x平方减一。再乘以s gh。好看，这个懂了没有？是吧，然后这一块儿，所以说大家注意就两个相乘的绝对值，就等于每个绝对值相乘。比如说m×n的绝值可以写成m的绝值乘以n的绝值。好，

那这样写，请问大家知道这个a的值是小于等于一，那么a越大啊a越大，那这个数肯定越大。是吧，所以a越大，那这个数肯定是越大的，所以在这里面我们呢就可以。小于等于把a呢绝对值变成一变一就变成x平方减一绝对值，加上x绝对值。啊，这个a它又没了。a没了，大家知道x是在负一到一之间x到负一再负一到一之间那x平方减一肯定是负的。I平方减去负的，

这时候呢，可以把这个绝对值。给它去掉，知道吧？几十去掉几十去掉就变成一减s平方，加上s绝对值。这样的是吧？减一减x平方好，然后接下来我们可以发现好这个负的x平方啊，负的x平方我们可以写成负的绝对值x的平方。加上绝对值x再加一对吧？负的绝对平方再加绝对值再加一，这样就写好。接下来，接下来，

大家把这个看成一个t等于绝对值x。大家知道这个x它在负一到一之间，负一到一之间，那t呢，肯定是在零到一了。零到一那这个呢，就可以把它写成负t方加t再加一。是吧，这样的这样大家知道它是开口向下的一个抛物线。开口向下的一个一个抛物线啊，这关于t的一个抛物线，它对称轴正好就t等于二分之一。啊，对应轴t正好就为二分之一，所以在这里面当t等于二分之一的时候，

它就有最大值是吧？只有t等于二分之一的时候才是最大。t等于二分之一的时候，然后这fx绝对值它最大值。把它带到里面去t等于二分之一带到里面就负四分之一。加上二分之一加一，正好等于四分之五。深入，然后这样就写出来正确答案，就选择e选项好，那就这道题，注意大家可以看到是比较难一点啊。这题难点就在于什么呢？在于它这个举例子。第一步，

要把它看分成两部分，看两部分构成，两部分构成，要想到三项不能式，所以有同学呢，可能没有想到三项不能式就不好做了。然后另外把这个相乘的绝对值把它拆开。拆开后，那这块儿有a的绝对值啊a的绝对值a的绝对值，然后呢a越大越好，所以说它这个绝对值取一。局域化就变成这样了，变成然后再根据根据这个局域值。啊，根据这个这个绝对值，

这个绝对值的话就写一减x平方是吧，因为它s它有范围了，可以把绝对值去掉。去掉以后，那么在这里面。大家就把这块儿啊，把它拆开拆开话，有时候以后这个表达式相当于什么东西知道吧？相当于是ax平方加上b绝对值x再加c，你可以把它看成a绝对值x平方。将b绝对值s再加c，如果把这个绝对值看成一个t的话，可以把看成at方加上b×t再加c。这个t呢，就等于x绝对值这样写好好吧好，

这是它的一个处理思路，大家要想到这一块儿。说到这，大家千万不要写错了，有同学说这个绝对值x，它是它是小于等于一的绝对值x，小于等于一，我把这绝对值换成最大的换成一行不行？这个不行。为什么不行？因为这个x你把它换成一，但前面这个x它也有也在变化，因为这两个都有x知道吧？咱为什么可以把这个a给它换呢？为什么把a换呢？

因为这个a它只有一个地方有参数a，其他地方没有a。知道吧，首先可以把a换成一，但是呢，你不能把后面这个绝对值s也换成它最大的一啊，换最大一就不行，因为它前面也有x整个x，它都在变化。它是互相影响的，所以这个就是x暂时还不能动。然后把它变成这块儿，然后把它看成一个新的抛物线来进行分析和思考，这样可以得到答案。好，

大家以后遇到这个抛物线，可以这样做，当然也可以画图，但有时候呢，它图不一定是呃，简单好画。啊，所以说咱们就这道题就没有画图做好吧，这是给大家强调做题方法思路，看各位同学是不懂了。下面我们来学习考项二一元二次函数与几何面积问题，就抛物线一般呢，它会出现一些特殊点，然后跟三角形面积呢相结合来进行分析。所以我们的做题思路就是经常通过画图，

然后根据题干得到的一些等量关系来计算面积。由于三角形面积，我们要找到底和高来进行分析和思考啊，所以三角形面积我们可以用二分之一。底乘以高来进行分析和求解好，这是它的做题的方法和思路。好，接下来咱们看一下例四这个题，抛物线y=ax^2加bx+c的图像与x轴有两个交点m和n。且经过点a点是零一点，其中啊零小于s1小于s2过a点的直线l与x轴交于点c。啊与抛物线交于点b这个b呢？是异于a点的，是另外一点。啊，

要满足三角形CN是等腰直角三角形。而且这个三角形面积等于二分之五倍的，这个三角形面积，所以我们看一下。这两个三角形，它的字母情况啊，它的字母好，那bm n跟amn大家发现它都有mn。这个字母说明这两个三角形是共边，共边就相当于是同底的，同底的如果三分面积，如果要同底的话，它面积之比就等于高之比，所以说要学会用咱们几何知识来进行转化。求a的绝对值，

加b的绝对值，加c的绝对值，到底等于几？好，那这道题我们首先呢要画图来进行分析，把这个图给它画好。画图呢，是比较重要的。好，我们把这个抛物线给它画出来。好，大家可以看到它这个抛物线跟x轴啊，它有两个交点啊，而且这个交点都在大一点的地方啊，所以说它画图就这样的一个抛物线。

是这样的啊，然后呃，经过a点零一点这个抛物线，经过a点啊a点正好在这个地方。啊a点，然后这是m点。这个是恩典。好，这个就是x1，这个就是x2。啊，他写的这个是然后呢？过a点的线啊，与抛物线与x轴交于c点。啊c点，

它要保证三角形can是一个呃等腰直角三角形。啊，那么在这里面咱们画一个这个线。好，这是an好，大家知道它这个线一定是这样的。这是一个等腰直角三角形啊，这样的线。好，那这是一个等腰直角三角形。啊，这个点呢，就是c点，然后另外这个点就是b点。啊，

就是b好，那这个咱们把图给大家画好啊，得到这样的一个图。好，那接下来以后我们来看一下，要根据这已知条件，如何来求这个ABC，其实这个就相当于解这个抛物线ABC它的数值。好，那接下来我们可以看一下这个a点坐标是知道了，然后这个三角形又是一个等腰直角三角形等腰直角三角形，我们可以判断直角a它是直角。不可能角n是直角啊，因为这个an它跟这个x轴它是呃，不可能产生垂直的，

然后角c也不可能是直角。是吧，所以a点这块儿是一。然后c点c点这块儿就是负一，因为它等腰直角三角形嘛啊n点它就是一好吧。所以c点就是负1n点，它有一啊，得到这个是一个等腰直角三角形啊，等腰直角三角形那写上那接下来我们来看一下它的这个方法。啊，那这个思路好，那我们就可以看出啊，那么呃，它还要给了一个数值啊，就可以得到c点坐标好吧，

c点坐标正好就是负一零。然后n点坐标正好是一零是吧？然后这个就根据它等腰直角三角形，把这个已知条件得到。那那接下来还有一个就是这个三角形的面积啊，三角形b。bm NB mn这个三角形。跟三角形amn啊，那么这个三角形面积正好是它的。这样是它的二分之五倍，二分之五倍，说明它高啊，大家知道这两个三角形，它正好同底都是mn作为底是吧，所以大家可以画出来就可以看到。

啊，这个bm n。这个三角形啊，那在这个三角形是它的二分之五倍就可以得到它的高好，大家知道呃，这个蓝色三角形amn它的高，它的高呢，正好就是一。然后bm高就说明是二分之五，所以b点的坐标应该是x三二分之五。啊，这根据它的面积，如果两个三角形要同底的话，它的面积就等于它高之比得到这个结果。然后接下来我们来看一下。

啊啊b点的坐标又满足在这个直线l上是吧？这是一个直线l，所以要把这个直线l的方程给它解出来，而方程怎么写呢？因为大家知道。它这正好是一个45度，说明斜率正好为一为一的话，它在y轴截距正好啊，正好就为一，所以说这个l的方程就可以写成y=x+1。啊，这样的，因为它在呃这个y轴截距是一它的斜率也是一，为什么斜率是一因为这个45度好吧，45度，

所以说l方程知道了l方程知道了。那这个b点坐标就可以算出来。b点坐标b点坐标正好是二分之三二分之五。啊，也就是b点坐标就可以求解出来，求解出来那这个抛物线基本上我们就可以找到了，大家知道啊，那么这个抛物线这个a点坐标知道了n点坐标知道了b点坐标知道三点。三个不共线点就可以确定一个抛物线好吧，所以接下来咱们一个来列一下方程啊，抛物线它要过a点a点正好是零一点。所以就可以得到c的值，正好就为一啊c的值就可以得到，是一就是过a点，然后又过n点。

啊，我们就可以得到它是又过这个n点好，那接下来我们就可以把它继续写再过n点。啊，那么我们三个点就可以解三个方程，得到三个未知数啊n点。啊n点正好是一零点n点一零点就s=1 y=0，就说明a+b+c正好等于零。那连c的值都要等于一就可以带到里面去啊，又过一个这个b点b点占二分之三二分之五，所以b点就是二分之三。二分之五。然后就可以把它带到里面s，等于二分之三的时候y等于二分之五就填了四分之九a，加上二分之三b。

加上c正好等于一个二分之五。这样等于二分之五啊，得到这个值，所以三个方程，三个未知数就可以写出它的结果啊，写结果就可以得到a的值等于四b的值等于负五。c的值等于一得到这个数值啊a的值等于4b的值等于负c的值等于一得到这个结果，那这个它呢？求的是a的绝值加b的绝值加c的绝值。就等于十这样就求解出来了好吧，答案就写出来这个呢，就得到是d选项。好，我们的方法这个就写出来了，好，

这是它的做题的知识点方法，看这个是不是懂了啊，所以大家呢，在求解的时候那么要把这几个关系弄清楚，尤其。三角形里面一些内容等腰直角三角形的特征，然后这个三角形同体的时候，它的面积之比等于高之比，把这些关系弄清楚就可以得到答案。好，下面咱们来看一下啊，这个题。在平面直角坐标系中，已知抛物线y等于负二分之一x方加s加四与x轴交为AB两点。啊与y轴交于c点。

p点呢，是抛物线上一个动点，但不能与c重合，只能确定p点坐标。啊，那么这是一个条件重新判断题题项一呢？是PC将三角形面积分成二比一的两部分。啊，就一条线，将三角形要分成两部分，而且这条线正好过三角形的一个顶点c，看到没？这三角形ABC有个c字母，这个PC又有个c字母。是吧，

第二个就三角形abp正好等于二分之二十七好，那接下来我们来看一下这个题，首先要把这个。图像给它画出来。啊y等于负的二分之一x方加x加四，它开大家可以看到，开口是向下的一个抛物线，而且它对称轴是负的二a分之b对称轴正好是一。啊，对称轴正好一啊，开口向下啊，那接下来我们也可以把这个方程的两根给它解出来。负二分之x方加x加四让它等于零，然后解出它跟抛物线的。抛物线跟x轴的两个交点，

两边同乘一个负二就变成减2 x- 8，它正好等于零。那你x一个是负二一个正四。s=- 2。啊负二。还有一个正四啊，这样就写出来了，好吧，这样就得到结果好，那接下来我们呢？就可以画它的抛物线。把抛物线给它画好。它对应轴正好为一。然后这是它对称轴啊，那我画出它抛物线。

啊，它抛物线开口向下抛物线啊，那么一个交点是负二。一个焦点是四，这是一。好，这就写好了。第二个抛物线与x轴的交点与y轴的交点，然后p呢是抛物线上一个动点，但不与c重合啊。啊c点啊c点呢，在这个位置。c点相当于是四，这是c点啊c点相当于s=0的时候y正好等于四，所以它跟y轴的交点就在这个位置。

然后p点是抛物线的一个点，但不能够跟这个。c点重合啊啊，能确定p点坐标的位置好，那么选项一这PC将三角形ABC啊，我三角形把这ABC。给它画出来好吧，三角形ABC，这是a点。这是b点。把三角形ABC给大家画出来，或者他说这个PC要把这个三角形分成面积。二比一的两部分，二比一两部分，大家知道这个p点p点肯定不可能在c点啊，

不能不能这种垂直，因为大家知道这个y轴y轴，它正好是将这个三角形分成。2b的两部分，你看这个y轴y轴正好经过c点嘛，有PC刚好是经过c点，对吧？PC有PC不可能是这个这个y轴。为什么不可能？这个y轴因为那那这个p点只能在c这个点了是吧？啊，不可能是y轴，因为大家发现y轴为什么可以把这三个ABC分成面积为二比一两部分呢？因为大家可以发现这个底是二右边这一块儿是四。因为大家知道又是等高两三角形，

等高等高的话，它面积之比至少得底之比，底之比正好是一比二啊，一比二一比二的话，那接下来我们呢，就可以看出它的这个取值情况。啊一比二，所以说它这个不可能这样，不能这样那一比二，那只能是在这边儿的一比二，这边儿一比二就这边儿呢，是二这边儿是四，所以它。它这个点呢，应该在过二这个点。

啊，为什么过二这个点大家知道吧？因为正好是它能把它分成面积面积为。啊，就它的这个点，一定一定在这个位置。对吧啊，应该在这个位置，所以说在这里面啊，我们呢就可以画出来。啊，就可以画画出来画出来，然后这个p点应该在这个地方啊p点知道吧？p点它刚好在这个位置。啊p点看好在这个位置，

然后接下来我们就可以看到啊，这是p点。p点的话，那这个PC这条线正好把三角形面积分成二比两段儿，因为它大家知道这个底边总长是六就从负二到四，总长是六，总长是六。分成二比一两部分，左边长度正好是四，右边长度正好为二是吧？为二，所以正好是二比一两部分啊，这样就写出来了。知道吧，所以二比一两部分，

这样就写好了好，这是条件。一那说明这个p点是唯一的p点，不能在其他地方知道吧，因为这二比一的位置的话，在三角形里面其实是是有两个的知道吧？有两个啊，一个是这个坐标原点，它把三角形分成左边是一，右边面积是二。一比二，然后还有一个就是咱们现在画这条线，左边这个三角形面积是二，右边这个三角形面积是一，所以正好是二比一两部分，

所以说这样，所以大家发现。它这个只要是唯一的条件一，它就具备冲动性，这个p就不用去解了好吧，因为考试它又没让你去解，只要是看它是唯一确定，那就OK了。要想解怎么解？要想解的话，咱就可以把PC这条直线求出来，因为大家知道这条直线的话，它正好我就把思路给大家写一下啊，如果要求考生在求。然后它正好经过什么经过一个是零四点，

还有一个二零点。啊，那这条直线的斜率正好就负二好吧，这条直线的斜率正好负二。啊四÷2那正好就等于负二。啊，这条直线斜率k=- 2=-2，所以说它这个直线的方程就可以写成负2x再加四。是吧，负2 x+4负2 x+4，然后这个p点我们就可以解出来，让这这个直线和抛物线联立。啊，联立联立的话，解这个方程组就可以解出这个直线，

叫做二分之一x平方加x加四等于负二x加四。然后两边约约就负二分之一x平方加三x等于零。啊，这样的把这给它移过来啊，移过来，然后加三=0，然后这个p点就可以解出来好吧p点这个x坐标正好等于六，还有一个根是零零的话就舍掉。啊零的话就是y轴啊，所以这个x就取这个六就行了，没有所以p点的横坐标是六，那纵坐标就可以算出来，纵坐标呢就是。再到直线里面算吧，再到直线里面算就负12+4就是负八。

好，那这个p点是我又写的，只不过这道题呢，它没让求考试这一过程可以省略，要要想求的话，教给大家怎么去求解？然后第二个咱们看一下，第二个就是三角形abp的面积等于二分之二十七。abp大家知道这个三角形呢？它的底就是AB是吧？我们看AB的长度好吧，所以条件我们看一下这个AB的总长正好等于六。a转化成六那三角形abp，它就等于二分之一底乘以高。正好等于二分之二十七。

对吧，它底和高这样的二分之二十七，然后再高我们就可以求解出来。啊高高h呢，我们就可以简单的算算啊，就等于二分之九。高a又等于二分之九，而且大家知道把这个呃二二分之九的点，我们看它有几个，只要高。只要等高等高和它面积都一样是吧？所以说在这里面好，你就让这个它等于二分之九，我们来解解它的这个值是吧？然后或者说看图也行。

当然，大家可以发现啊，那么这个顶点一一带到里面去，一带到里面这个顶点值，你看顶点值正好是负二分之一。加一+4。正好等于二分之九是吧？就当s等于一的时候啊，那么这个y的值正好等于二分之九，所以说这个p点在这儿可以。变在这儿的话，这abp面积最好是二分之九，但是在下面还有啊，下面下面还有这个二分之九的位置，知道吧啊，

你可以画一条线。啊画一条线，画一条线，它还有二分之九的位置有p点，在这个地方有p点，它可以在这个地方p点，在这地方p点，在这地方只要这个。p点到AB的距离等于二分之九，那么这个都算啊，都可以，所以说这个p解出来有三个一个顶点的时候x等于一的时候顶点，另外在下方下方这有两个值。知道吧啊，有两个值啊，

那如果要想解的话，那么自己去解就可以了，好吧，解的话，那么就可以让这个抛物线。负二分之x方加x加四等于正的二分之九就相当于p点在x轴上方啊，这是一种情况啊p点。在x轴。下方有两个就等于负二分之九啊，给大家写一下吧，就是负二分之一x方加x加四等于。二分之九解解，还有负二分之一x方，加上x加四等于负的二分之九，所以这个考试时候咱就不用去解了好吧？

这个自己去解，解出来就可以得到它这个值。啊，如果。如果这个高要比二分之九大，比如说要等于二分之十一。或者说比二分之九大，比二分之九大，那么这个顶点就不行了啊，这个顶点就不可以了，这个顶点这个顶点的话，那么这个最大就二分之九，要超过二分之九在上面没有它p，只有两个。情况了，

只有在x轴下方有两个x轴下方，它有两个懂了吧啊，这样的。啊，如果要比二分之九要小，比如说要等于二分之七要等于二分之七，它有四个知道吧，所以上面你画出来一条横横线，然后它有两个，下面呢有两个，总共有四个啊。是的，所以说在这里面好，那也给大家写写好吧，那p呢是有两个点。

若h等于二分之九的时候p有三个点。如果高小于二分之九的时候，那么这个p呢，就有四个点。啊，四个点好，那这是它的这个方法思路好吧，好那么条件怎么改就对了，如果他说这个p点正好在。呃x轴的上方啊，那条件二就可以得到p就是唯一的p，刚好在顶点就唯一是吧，现在呢，它没说p是在x轴上方还是下方，这个就不行，

正确答案就选择a选项。选项一呢是成分的好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看题二就零点的讨论。零点讨论，那主要就是一元二次方程，它零点的一个分析情况啊，零点其实就是它与x轴的交点。好在二次方程学会利用判别式来证明实根的存在性是吧，然后看到零点出现一个范围的时候，要把这个抛物线转成零点式来进行求解和分析，这样要简单知道吧。好，

大家知道咱们前面学过抛物线y=ax^2，加上bx+c。然后它可以把它写成a倍的x-x一×x-x二。啊，那么前面这个抛物线的形式是抛物线的啊，这个一般式后面这个抛物线的形式是这个抛物线的什么？抛物线的零点式啊，这样的方法好吧，这样的情况。那接下来咱们看一下例六这个题，关于x的方程，它两个根分别为x1和x2。那么，这个x2。的二零二分之x一的二零二一。

到底等于多少？所以这道题大家首先要知道两个实根。既然方程式两个实根，那么咱们呢啊，先看一下德尔塔，德尔塔应该大于等于零是吧？所以咱们呢，先求一下这个德尔塔的情况啊，比方说要两十根，那看一下德尔塔。好那德尔塔应该等于b方减CC是吧？所以德尔塔。就等于b的平方减四AC。好b的平方就相当k的平方啊b的平方k的平方减CC减四倍的四分之三k方。减三k，

加二分之九。这样的好吧，就是k方。啊b方减4 AC嘛啊，得到这样一个式子好看，这个懂了没有？啊，然后接下来我们把这个呢给它进行整理一下，整理一下，然后这个四跟四约掉约掉k方减3k方就代表负2k方。啊，就代表负2k方这样的好吧，这个就写出来，然后再加上12k。然后再加上啊，

再减去一个18。啊减18好得到这样一个式子，得到这个式以后，那接下来我们呢啊要保证德尔塔大于等于零。是吧，因为要保证方程要有两个实根，那当然大于等于零两边先同时除以个负二同除以负二就变成k方。减6k，加九小于等于零，大家知道k方减6 k+9正好变成k- 3^2，小于等于零。对吧，所以这个可以进行配方，配完方以后，那大家知道这个平方它具备非物性，

所以它只能k=3。所以表面上看起来这个很复杂，其实稍微化简一下，这k的值是可以求出来的，好那k=3带到里面去以后。那么这时候就发生有两相等实根了。是吧，因为因为这时候德尔塔就等于零嘛，德尔塔只能等于零，德尔塔等于零的时候，那有两个相等实根是吧，所以说这个方程就有两个相等实证，两个相等实证就x1和x2是。相相等的。相等相等十根，

那这时候大家知道两十根要相的话，它都等于对称轴的值，都等于负的二。二，a分之b。是吧，所以后面这个一大堆，你就不用管它了啊，大家套这个对称轴公式负的二a分之b，如果delta要等于零两相等于十根，那正好对称轴就等于负的二a分之b。就等于负二的负的二分之三。这样写好了，负的二分之三负二分之三，那这个数我们就可以化简出来好吧，

就x一的二零二一除以个x二的。二零二二。就等于x二分之一。啊，就等于x二分之一这样，剩下约约x二分之一把它带到里面，就等于负的三分之二。就等于负的三分之二，这样就写好了，这样答案应该选择d选项好，它的思路方法看是不是明白了啊？所以这道题要告诉大家的考试方法和思路，就是我们呢，根据德尔塔大于等于零，先把k的值求出来，

求出来以后。既然是两项的实根，直接用对称轴来做这样简单，然后再来。求它这个比值就可以得到答案。好，下面咱们看下这个题。已知5a分之根号，5 b-c=1 ABC呢，是属于实数，而且这个a呢肯定是不能为零的。因为它这个a在分母上隐含条件。是吧，则有下列哪个式子，如果这里不会做的同学，

你知道怎么做吧，你可以取一些特值知道吧，取特值，比如说a为一的时候。然后b为多少c为多少，您可以取一些特值，然后排除选项，懂了吧？就排除选项这个呢，就更简单一点。明白没有啊，所以说比如说这个你可以用特指法。注意特质，只能排除谁错，不能说明谁对啊，

所以在这里面大家呢，要知道，比如说a，你可以取一。啊h1b等于根号五。b点根号5c正好正好为0c正好为零。是吧，然后这样呢，大家呢，就可以写成你看a=1的时候，这正好是五嘛五，然后b等于根号五，这也是五。它正好就为一是吧？正好有v，

所以你就可以得到这个值得值，然后这时候我们看一下b方的值b方值正好是五。然后a×c正好为零啊，a×c为零，所以说这个c选项肯定是不行，d选项肯定也也不行。对吧，也不行，因为这时候b方肯定要大于4 AC了啊，大于4 AC就剩AB选项，一般e无法判断这里的呃选的可能性比较小。知道吧，当然咱并不是说啊，一定。啊，

不可能选啊，这种选的几率非常非常小啊，那就剩下AB AB得到就是b方大于等于4 AC啊，那个我们看一下能不能等于4 AC？是吧，所以在这里面大家呢，就看这个a=1的时候，那么b方能不能等于4c是不是，所以说大家呢，要看这个等号，它能不能？取到，然后能不能取到？等会要能取到的话，那就OK了，

所以大家呢，再取一下值，再进行分析就可以了，好吧，所以这是它的这个基本的思路和方法。好了，那这是一个方法，这个就b方，你看等于4 AC那这道题啊，能不能取出来啊？取出来，比如说我们让。这个都是根号五是吧啊？让让这个都等于根号五根号五的话，那根号五乘以根号五是吧？

然后这一块怎样呢？就来进行分析，然后b的平方正好等于四乘以个五，然后呢啊，就来取就行了，比如说它这个都等于根号五。都等于根号五那这个呢b呢，它就等于一个啊，这个四×5。啊b呢，就等于二倍根号五啊二二倍根号五，然后在这里面大家呢，就验证一下它是否啊成立是吧，所以在这里面大家呢就来。分析，

或者说你再找其他值，如果你发现不太行，然后再找其他值，知道吧啊，所以在这里面就取下b方等于4 AC它的这个。试着就可以得到它的这个结果好，那这是它的这个取值的这个方法，那接下来我们看这道题，如果想做，那得到底怎么做？对吧，然后接下来我们看一下。另外一种方法啊，另外一种方法把这个5a给它乘过来是吧？肯定要把这个5a给它乘过来，

乘过来以后根号五倍的b-c正好等于5a。五以后，然后再把它移项，让它变成为零好吧，就得到5a，然后减根号五倍的b。加上c，然后正好就为零。不一定大家知道。然后这个五可以把它写成根号五的平方。根号五的平方。然后呢？这个就是根号5 b+c正好v0，然后大家可以发现在这里面，我们呢？

就可以把它看成。这个方程的根啊，方程根，所以重新可以把根号五看成。看成ax方减bx+c=0的根。使根是吧？可以这样去写啊，看成这样使根，或者说你把它看成这个前面根号五的平方，也可以把它看成负的根号五平方。也可以把它看成负根号五把它看成。ax方加上bx+c=0的实根。这个都行是吧？都可以，然后大家知道这个方程要有实根，

只要当它大于等于零就行是吧？当它大于等于零就可以了。然后等于b方减4 AC，然后大于等于零，再等于得到b方大于等于4 AC。就可以了，比如说当这个b方等于4 AC的时候，这个方程是有两相等实根知道吧啊，两相等实根。啊，这时候呢，就可以写出它的数数值，所以说啊，咱们刚刚在举b方等于4 AC的时候，那么让它有两相等时根。

这样就OK了好吧，所以说在这里面大家呢，比如说让呃h1也好，或者取多少也好，那么让它有相等时有相等时间的话，那这个就。很好很好，写了它两根呢，都等于根号五或两根都等于负根号五都可以。都可以啊，然后两两个相等实证相等实证，它到时候就等于零。好吧，这是它的。啊，

做题的方法思路啊，大家呢，都会分析好，那这样答案应该选择的是b选项。啊，就这道题呢，稍微难一点，大家取特值分析，然后来求解，尤其啊，在取特值的时候要注意排除一些错误选项。另外的话就相当于是我们呢，可以在这个。啊，数值里面，

然后呢？令它这个表达式是吧？把它转成方程的实根来进行分析和思考，这样就比较简单了。好，那接下来咱们看一下函数fi=s^2加s+b在零到二上有两个零点。则2 a+b的最小值到底是多少？好，那这道题它要有两个零点是吧？那接下来我们把这个抛物线可以转成零点式来分析。好吧，零点十要简单。所以说这个题我们把它抛物线fx。等s方加as+b。是吧，

然后这是它的这个东西好，它的零点我们画个图。它在零到二上有两个零点啊，就在零到二上。啊零到二上还有两个零点。啊零到二上，它有两个零点，一个零点，假设是x1，一个零点是x2。啊，一个零点是x1，一个零点是x2啊，这样的情况。然后接下来我们来看一下。

就相当于两根了是吧？就x1在零到1x二在零到一。那x1在零到2x二也在零到二。好s1在零到2s二也在零到二好，那接下来我们看看它的这个取值情况。注意s1和s2不能相等。因为s1和s2要相等的话啊，它就只有一个点，虽然只有两个相等十分，但它只有一个点啊，它有两个点，它又重合，就算一个点啊。啊，所以人家说的有两个零点，

两个零点x1和x2是不能相等的。那接下来我们来看一下。这个二a加b，我们应该去怎么去写？我们学过这个韦达定理是吧啊？韦达定理韦达定理，大家知道这个x一加x二两根之和就等于负的a分之b。零乘积正好等于a分之c。是不是所以这样就写好了，那2 a+b。2 a+b，2 a+b，我们呢，就可以看出它，这样就等于一个。

啊，这个a把它换成负的x1和x2是吧？2a就相当于负的2倍x1。二倍x 2+b的值b的值上等于x1×x二啊，得到这个结果得到结果，然后这时候呢，我们可以把它进行配方。啊，不会配的同学呢，我们呢，就提供因式来进行配好吧，就把它就因式分解啊，因式分解把它变形。并行那这个呢？不会不会写同学，

你看这两个可以先给它提出一个x1来。知道吧，一个题啊，这个提出s1提出s1就变成x2-2。这提出s1就变成s2-2。是吧，把s1提出来就变成s2-2。然后接下来我们看减二倍的x2。是吧，减二倍s二啊，二倍s二我也把它变形成s二减二是吧？这个x一乘以x二减二。减去二倍的x2-2得到这个结果。啊，得到这个值。

那这时候呢，后面呢，后面肯定要给它减一个四了，因为它相当于这个四怎么来的呢，因为负二乘以负二。那么，有相当于比原来多了一个四多了四要减了个四，这样话就x二减二跟这x减二，我们呢就可以把它呃合在一起，合在一起就变成x一减二乘以x二减二。正好减四。好，我们做到这以后，接下来我们看x1是在零到2x二也在零到二是吧？那x1-2和x2-2都是负的，

都负的话，我们为了。把它变成正的，我们可以把它写成什么呢？写成二减x一都变个号。二减x二。是吧，也就说把这二放在前面，这个括号变一个负号，这个括号变负号，为什么这样变呢？这样变的好处呢？它就是出现正的了。好，大家知道s一是在零到二那么二减s一，

它还在零到二。二减s二它还在零那儿。是吧，还在零到二，然后这两个相乘。就二减s一。乘以二减s二，它应该在零到四。啊二减s一乘，以二减s二，那正好就在零到四这样的一个情况，正好就在零到四。它这个情况啊，然后呢？这个就是就是它的这个方法啊，

零幺四零幺四，大家可以发现它最小就是零那么零减四，它最小值就是负四，答案就选出来了。知道吧，这个答案就选择d选项，答案就写好了，好，这是它的这个处理方法。好，那这道题还要给大家强调一下，它这个四其实是呢，是取不到等号的，所以大家呢注意为什么取不到等号呢，因为只有x1和x2都为零的时候，

它这个才为四。其实它这个呢，是小于号，但零可以取等号啊零零，比如说就x1=2的时候x2，你随便取x2，比如说你可以取一啊一点儿五啊一点儿四啊。都行是吧？都OK的，然后呢？或者说x2=2的时候，因为这个括号零零乘以任何数都为0x一，它可以取零点儿五啊零点儿六啊，都是没问题的。就这个四，

它是取不到等号，知道吧？四四的话，它这个。没法得到等号，因为它这个不可能说s1和s2都为零都为零的时候，它这个才能同时起到四两个相乘才为四，知道吧？所以这道题正确答案。啊，就选择的是CD选项。啊，这是它的方法，当然有同学呢，是没有用这个呃，

这个韦达定理和方程的根来做的是用另外一种方法做另外一种方法做的话就稍微列很多式就稍微麻烦一点，知道吧？啊，那么另外一种方法，有的同学可能是这样做的。啊，这是零，这个是二，然后这一块儿呢，这是抛物线。啊，这是x1，这是x2是吧？好，然后这个抛物线我们就可以把它写出来。

啊，写出来就是s方加as+b是吧？好，这个抛物线啊，写成y=s^2加ax+b。啊，这样的。那有同学这样列的，它f0肯定要大于等于零是吧？所以说就列这样f0肯定要大于。等于0f零正好等于个b。然后f2f2也要大于等于0f二，正好等于四+2 a+b要大于等于零。是吧啊，大于等于零。

这样的，然后接下来还有就对称轴，对称轴就是负的二a分之b，应该在零到二之间。对吧，还有德尔塔，德尔塔应该是大一点，德尔塔就等于b方减4 AC啊，应该大一点。好列，这几个来进行求解是吧？求解其实这道题呢？大家可以发现它正好求2 a+b，所以这道题呢？直接就可以得到2 a+b大于等于负四。

啊，直接就可以写出它的最小值就负四啊，这样做也是比较快的是吧？所以说啊，这种方法也行，有同学是这样做的，得到2 a+b。啊负四。其他就不用再去解了a的范围啊，什么其他范围的就不用再往下去分析了好，这是它的这个做题的要点和方法啊，用这种。呃，画图的方法，然后看它的边界值，

还有对称轴和。用这几个来进行写，刚才第一个方法，咱们用根根的问题，用韦达定理用根的问题，然后呢，做一下因式分解，用咱们代数的一个。啊乘法另外，咱们这个不等式相乘，以后一定要看这个等号能不能取到，刚才咱们也进行验证一下好吧，比较简单的验证一下它的最值能不能取到？另外，咱们也可以画图来分析和思考，

都是可以的。好，接下来咱们看考前二多个方程要存在公共根，若这样，方程根要把公共根带到方程里面去，然后利用因式分解，找到参数之间的关系。对吧，共根先求出来求出来，原来这个式就可以写出来好吧，所以这样就可以得到它的结果。然后接下来我们来看一下啊例九这个题已知三个关于x1元二次方程as方加BS+c=0。然后BS方加CS+a=0，然后CS方加as+b=0，恰有啊一个公共16分，

只能只能是一个公共16分啊。就大家知道这个每个一样的方式，它应该有两根，有两根的话，其中呢啊，有一个是共共用的。是吧，另外一个是他自己私有的是吧？一个是公有一个像私有就这个数到底多少？那既然它要有一个公共实根，我们就可以设公共实根，正好为。为这个s0好吧，设公共时根。共十根是x0，

共十根是x0，那接下来我们呢？就可以写出来啊，写出来就把这个ax 0平方加上bx 0+c，它v0。好把它写到里面去，然后bx 0的平方。加CS 0+a它v0是吧？好CS 0的平方。加as 0+b它为零。这样的好吧，这样这样就把这个共根为x0，然后因为共根它满足三个方程是吧，然后把它带到里面带着呢，这个地方我们就三式相加。

那把它加在一起相加。为什么相加呢？因为相加它正好就有共同的式可以进行分解啊，所以想到相加相加以后大家发现这个s0的系数正好是a+b+c。s0也是a+b+c后面还是a+b+c，这样可以把a+b+c给它提出来。一段式呢，就x0平方加x0，再加一它等于零。大家知道后面这个括号，它是横正的。啊，为什么横正呢？因为它德尔塔是小于零的，所以它这个横正。

然后把它德尔塔这样是小于零，德尔塔小于零，在这里面大家可以看它这样是横正的。横震的话，那么它这个。啊，只能是前面为零，所以又可以得到a+b+c为零是吧？可以得到a+b+c它是为零的。啊，得到a+b+c的值，那正好就v0啊a+b+c的值，那这个就得到v0啊a+b+c的值，它v0那接下来我们就好办了啊a+b+c的值v0。然后这块儿呢，

我们呢就要求这个BC分之a方加上CA分之b方加上AB分之c方啊，它的这个式子我们呢做一下化简。分析是吧，然后就可以得到就是。把这个四带过来，带过去BC分之a方。将CA分之b方。加上AB分之c方。然后这个分母给它通分通分ABC得到a的三次方加b的三次方加c的三次方得到这个结果。啊，得到这个结果以后，那接下来我们来看一下。在这里面，因为a+b+c正好等于零嘛a+b+c=0，我们可以把这个c呢给它换成负的a+b。

做一下替换，所以当你发现参数比较多的时候，可以把一个呢用其他来表示是吧把c给它化简啊化简化简就变成。这个分母呢ABC先不要动了，这个a三次方加b三次方减去a+b括号的。三次方是吧啊，得到这个式子，这是咱们学过a+b括号的三次方的展开式啊a+b括号三次方展开公式，要知道。展开排后，它正好有a的三次方b的三次方跟前面正好能约掉，约掉就剩一个负的3a方b负的3 AB方。然后除以个ABC。除以ABC啊，除以ABC以后，

然后上面可以提出一个负的3 AB是吧？负的3 AB。负的3 AB。然后这个呢，就变成a+b了。这个就是ABC好，大家知道这个c的话，正好等于负的a+b，所以说上下呢，这个其实这个a+b呢，可以把它看成一个负c了，负c正好是ABC ABC上下能约掉。是吧，约掉约掉的话，约掉的话正好就等于负三。

这样写好好吧，这样的一个负三刚咱们讲的这个公式，如果大家忘记同学，我简单再说一下好吧啊，有同学可能这个公式忘记了啊。就是a+b括号的三次方等于a的三次方，加上3a方b。加上3 AB方加上b的三次方，这样写好了好吧，如果这条得减号，那这个减号这条也减号。啊，这样就写好了好吧，就a加减b的三次方等于a三次方加减3a方b，加上3 AB方加减b的三次方得到这个值。

就OK了好吧，这是它的这个方法，这就得到它的数字，这个地方正好等于负三啊，正好等于正三。这样呢，就选择d选项好，这是它的做题方法，所以这道题在思路上，以后遇到公共根的问题，先把公共根表达出来。然后呢，把这几个相加相加完以后把这个ABC呢给它解出来，解出来以后我们呢再来化解这个地方呢，要注意要把c呢，

一定要给它带过来，带过来以后呢？我们呢，再进行化简分解，然后这里面用了一个公式啊，把这公式呢，要记住，所以立方公式有同学忘记了，忘记了，所以。到这儿呢，可能有同学就没化解出来，这样就做错了。好，这是它的方法和思路，

看是不是懂了啊？好，接下来咱们看考三伟达定理和韦达定理的应用情况，韦达定理就二次方程的韦达定理啊，比较简单，主要看三次方程的韦达定理。啊，三种方程。然后而且注意方程中系数变化，它对两根的影响，比如说调整后，它对两根有什么影响？好，那接下来咱们看二次方程的，二次方程要简单。

啊，所以说大家如何把这个等式要转成方程的根这一块儿要很重要啊啊，实数AB满了19a方加99a。加上一个一=0，然后b方加九九b+19正好为零。且AB不为一。AB不一这个条件非常重要，一会儿咱们看一下。还有什么用啊，所以在这里面大家可以看到我们这样进行分析和思考啊，这个是有19a方。加上九九a。加上一这个不用变，然后第二方程同时除以个b方同除以b方以后就变成一，加上九十九乘以个b分之一。

加上十九乘以b分之一的平方，还等于零对吧？所以第二方呢？两边同除一个b方。你们从除一个b方就变成一加上九十九乘以b分之一，加上十九乘以b分之一的平方啊，这样的。啊，这样，然后接下来我们来看一下它的这个式子是吧？式子就所以这个就可以写成十九乘以b分之一，它的平方。十九乘以b分之一，它的平方，然后加上九十九。

乘以个b分之一，再加上一，然后正好为零，得到这个结果。知道吧啊，得到这个值。得到这个数值，看懂了吧？这样话，我们通过这个两个式子，我们就可以把它得到一个什么情况呢？可以把它看成是方程的根是吧？通过这个可以得到这个a和b分之一a，还有b分之一。为这个方程的两根。

为19x方加上九九x+1=0的两根。好，那么把它看成两根，这有个前提就AB不能为1 AB不能为一。在这里面啊，为什么要求AB不能为一因，因为这两个数不能够相等，比如说我给你举个例子，比如说它的方程根，一个是三。一个是五啊，如果这两个数都是三，那就不能把它看成方程两根了是吧？就是它方程不有两根吗？两根如果如果这两这两个数都是。

其中同一个值，那这时候呢，就不能把它看成方两根必须是啊，一个是这个值，另外一个是啊，另外一个根，比如一个是这个根，另外是这个根才能把它看成方程两根。知道吧，如果这个方程两根，它有两根嘛，两根如果a和b都是其中的一个根a也是其中一个根b也跟它相同，也是其中一个根，那这就不能把它看成两根了。好吧，

所以这是给大家强调的这个方法，所以这个地方就AB不唯一的啊，一个用途。好，那做到这我们呢就可以啊，得到什么呢？得到它的这个数值情况是吧？得到它的这个这个。取值取值的话，那既然方程两根，我们就可以用这个韦达定理来进行分析和思考了，是不是我们接下来就可以用韦达定理？好，我们来看一下这个韦达定理。然后这个呢，

就相当于是呃。两根之和。正好等于负的a分之b。两之和就等于负的一分之b两根乘积。正好等于。a分之c。零乘积这样等于a分之c啊，用尔法韦达定理，然后接下来咱们再化简这个表达式值好吧，这它让求的是b分之。AB+4 a，再加一。啊，那这个我们可以把它这个分式呢，给它进行分开，

分开AB÷b就得到是a。加上四倍的b分之a，再加上一个b分之一。是吧，得到这个结果，所以把这分式给它列开列开，大家得到以后，大家可以看到这个就是a加上b分之一。就可以把它写成负的十九分之九九。然后b分之a正好等于十九分之一。啊，这样等于十九分之一，这样就写好了，好吧，这是它的方法，

就写出来了，然后接接下来就等于。负的十九分之九十九。或十九分之九十九加上十九分之四。然后这样就等于负的十九分之九十五九十五算出来就等于负。好这样呢，就选择c选项啊，这是它的做题方法，看懂了没有？就通过这道题，大家呢，要学会的思路。就是先把它整理，然后把它都符合同样一个式子。然后把它看成方程两根，

两根以后，然后再用韦达定理，然后再进行化简和分析就可以了，好，这是它的思路啊。好，下面咱们再看一下第11题。啊AB呢，属于零到正无穷，就相当于是正实数b呢，是不为零。b呢是不等于零的，然后阿尔法贝塔伽马是方程的三个根。则以阿尔法分之一加贝塔分之一。啊，

这个阿尔法分之一加伽马分之一等等的，那这些问方程根到底是多少？好，那接下来那啊，如果你要想办法把这个这个方程。根给解出来的话就比较困难是吧？这个不好解啊x3什么加2 x- 1？啊那那这个呢？确实这些呢？是是不好解的。是吧，所以这个这个你不可能把这三个解释，所以我们要用三次方程的韦达定理做啊，好三次方程韦达定理，然后在这里面我们呢来看一下它这个。

方程应该是怎么去写？好吧啊，怎么去写？好，那接下来我们呢就可以看出来。就先说一下，三次方程组加定理吧，就如果ax三次方加bx平方。加CS+d=0是吧？好，那三种方程的伟达定理来定它善根善根的之和。就等于负的这个a分之b，这跟二次方程有点儿像二次方程，它的根之和也等于负的a分之b。这个有点儿像是吧，

然后接下来。啊三根的乘积。但是乘积等于负的a分之常数项d，这个跟咱们二次方程不太一样，然后二次方程的话，它的跟着乘积就等于a分之这个常数项。对吧，然后呢呃，如果要是三次方的话，它是负的a分之这个常项。知道吧，接下来我们来看一下两两啊，两两就是x1x2，加上x1x3。加上x2x3。

这样就等于a分之c。啊a分之c好，这是三次方程的最佳定理啊，给大家写到这儿。啊，就是三方面，就是它的跟着和跟咱们二方面一样，跟着成绩不太一样，这有个负号。还有就是它的啊，这个两两相乘再相加，这样的a分之这个c好吧，得到这个式子。好，那接下来咱们来看一下啊，

这个题这是阿尔法贝塔伽马是它的根三个根，我们呢就可以用一下这个。这个韦达定理就是阿尔法加贝塔加伽马，因因为它这个呃s平方项系数相当于零知道吧v相当于b为0b为零的话。它这个就为零。知道吧，它这个就。为零这样就写出来了啊。然后接下来咱们再来看啊，两两三个相乘阿尔法贝塔伽马相乘。这样的话，正好等于负的a分之常项啊，负的a分之常项正好等于一。是吧，正好就唯一。

正好就为一，然后接下来我们看。啊，两两相乘。阿尔法加贝塔，阿尔法伽马，贝塔伽马。贝塔伽马，然后正好就等于一个啊，等于一个a分之这个这个s系数就等于二。啊，就等于二好，那这个写好了好吧，这是它的这个式子就写出来写的话，那接下来我们看应该怎么分析呢？

我们这样判断。它下列方程，它的韦达定理，我们验一下就行了，就阿尔法分之一啊，就相当于这是一个根。这是一个跟这个跟那显然我们要找它的和了验证一下它和就行好吧，验证它和来判断一下就可以了啊。因为它的这个这三个根的乘积，那这个就很复杂是吧？或者两两相乘再相加也很复杂，咱们这个就判断一下。它的这个和好吧，和所以相当于是阿尔法分之一加贝塔分之一。阿尔法分之一，

加上伽马分之一。贝塔分之一，加上伽马分之一，得到这个结果。还有这一个，然后这样我们就可以写出来，这正好是阿尔法分支加贝塔分支加伽马分支。二分之二加上贝塔分之二。加上伽马分之二啊，这样的。是吧，有阿尔法分之二，加贝塔分之二，加伽马分之二啊，得到这样一个情况，

那行，然后在这里面大家呢，就可以把这二给它提出来，然后这个分母给它进行通分。二提出来分母呢，给它通分，通分叫阿尔法贝塔伽马，上面正好就是贝塔伽马，加上阿尔法伽马，加上阿尔法贝塔。是吧，然后这样的一个式子，但是然后接下来我们就把阿尔法乘以贝塔乘以伽马等于一带到里面去，这个分子正好等于二。是吧，

在待在那里，待在那边就算出正好等于四。这样结合它刚好就为四刚就为四呢，接下来我就判断一下它这个四是否等于这个负的a分之b。啊，判断一下啊，你看a选项不行a选项负的a分之b正好等于一是吧套这个公式，所以它这个不行。然后b选项这个是可以的c选项这个也不行d选项也不行d选项也不满足啊，剩下的就选择b。啊，这样就行啊，这个选b的原因是排除了以后选的啊啊，并不能说b就是正确答案。比如说如果有两个选项，

它都满足这个三根之和等于负的a分之b等于四呢？自然根之和都等于四，都等于四，那这时候呢？还不行，比如说这个。这个a选项把它改成x三次方减4x方加x- 2，那这时候你光验证它的三个根，这是一个根。这个跟这个跟验证三个根的和等于四，它两选都满足都满足，这时候呢，就比较麻烦了，这时候呢，还要验证。

它的这个跟的乘积是吧？这三个跟乘积啊，是否满足啊？还要再求一下，知道吧？要求那那那这个就复杂多了。还要或者说还要验证两两相乘再相加啊，是否满足，所以这时候呢，就比较复杂，当然考试不会出那么复杂的，万一退一步讲啊，退一步讲，如果有两个选项。它都满足这个呃三根之和等于这个四。

能满足的话，那只能在验证上跟的乘积还有两两乘积再相加，对吧？那这个就比较复杂好，这是它的一个做题的思路方法，要弄清楚啊。啊，接下来咱们看一下第12题啊，若不等式啊ax方加bx+c，然后呢？它这个。小于零的解集是负二，小于s，小于三则不等式。啊CS方加BS+a小于零的解集到底多少？

其实这道题呢，大家呢啊，要注意这几点不等式的话，一个要注意。啊，这个方程的根就是不等式，这个解集的端点值好吧，另外大家可以用韦达定理做这里，也可以用技巧做都行。好吧，直接在这里面，大家呢？啊，先说一般方法吧，一般方法大家记住就不等式。

它解集的端点值。正好为对应方程的根。啊，不能是解一的端点值为对应方程的根啊，得到这个结果好吧，为对应方程根。然后接下来咱们来看一下啊，它的这个数值。啊，问这个不等式，它的解集到底是多少？其它不等式，它的解集。到底呃为多少好那这道题呢？有分成根是负二和三啊，

负二和三知道吧方程根。就是它两根就相当于ax方加上bx+c=0它两根。有负二和三。括号三，由于大家注意它小于零，它解集是在两根之间，说明a1定是正的是吧，所以大家判断一下它的开口方向，一定是开口向上的。它向上这个抛物线开口向上，才能得到它小于等于几，正好在负二和三之间，这样的是吧？小于零解析刚才负二，比如说这个a1定是大一点的。

一定要大点，这时候呢，如果知道两根，要么就把两根带到里面去，要么用韦达定理做也行，好吧，这个都行，用韦达定理做要简单一点，两根之和。让等于负的a分之b。说明b正好等于负a。啊，两个之和，两个乘积负二乘以三得到负六两，两个乘积正好等于a分之c，

这个c就等于负六a。啊c=- 6a这样就写好了好吧，这个值就等于负6a啊，这就求解出来了，好它的这个方法。好吧，然后答案就写了c，然后等于负6a。好，那接下来咱们再来看一下啊，这个b=-ac=- 6a是不是好？那接下来我们呢？就可以把这个带到里面去，带到里面c呢？你把它换成负6a。

b呢，把它换成负a就变成负6 ax平方。然后这个b就是负ax+a，它小于零。然后大家注意a是大于零的，两边都除以一个负a同除以负a负a就相当于负的，两边都除以负a小于应该变大于号。是吧，变成大于号就变成6x平方，加上x- 1，让它大一点。啊，这样的好吧，得到6s平方加s那减一要大一点，这就写好了，

接下来呢，这时候大家用十日相乘因式分解。你们可以发现，这是二乘以三这这个地方是负一负一，所以它的一个根是负二分之一，一个根呢是三分之一，它大于应该取两边，所以。所以x小于负二分之一。或者s大于三分之一啊，这样就写好了好吧，所以这样就s小于负二分之一或者大于一正确答案应该选择a选项对它做题的思路。啊，看这个懂了没有啊？它的考试方法。

啊，所以通过这道题，大家呢，要知道它的考试做题的内容，这是第一个思路，当然这道题也可以用技巧做，知道吧？既要做呢，这时候要快一点，既要做，大家知道我们可以观察一下呃，这两个方方程，它正好把a和c给它交换了，中间b没有动，所以它根呢正好是。

互为倒数的关系，知道吧？你可以看原来两根，一个是负二一个三，现在根是负二分之一和三分之一啊，这样的情况是吧？这正好是倒数这种情况啊。好，那接下来咱们呢就可以看出来啊，给大家进行总结技巧，如果ax方加bx+c等于零两根。两根为x1和x2是吧？两根是x1啊x2则。则CS平方加上bx+a=0，它有两根。

因为负s1和负s2这样的是吧？它两个就是啊，就是这个倒数。就是s一分之一s二分之一啊，第二个是负s，第二个就相当于是呃as方。减bx+c=0，它两根。两根就为负s1和负s2，第二个是什么情况呢？第二就把这个b，然后变一个负号a和c不动。这时候它两根呢，跟原来根呢，正好是互为相反数，

然后接下来第三个就相当于既把AC交换，又把b变一个。负号它两根。又为负x一负的x二分之一是吧？这样写好了好，这是它的这个方法思路，看是不是懂了？好，这是它的考的内容，看是不是明白好吧，所以这样记住这个绩效，当然如果不符合这三个式子的，那么你只能什么？只能呢，自己按照这个刚才一般方法去解，

所以如果考试要不符合这一类，那就按照上面方法解，如果符合这里面的大家呢就可以。那直接套这个技巧来做，比如这道题，它还可以把这个b+1个负号是吧？这时候你再判断一下啊，它的这个。式子判断，它根把根求出来，然后再写它解集就行了。好，这是它的做题的要点和思路，看是不是听懂了啊？啊，

接下来咱们看考项四方程根的分布情况，根的分布情况，它要掌握常见方程根部分的。分布它解题方法是吧？一般呢，咱们可以结合画图的这个思路来进行做啊，来求一些参数范围。啊，那我们来看一下这个题s- 1×s- 2=k^2这个方程一个跟大于一，另外跟小于一。啊，一个根大于一，另外根小于一，那条件1k大于五，条件2k小于十啊，

这样的情况是吧？一个k大于五。一个k小于十啊，那这个方法。好，那接下来咱们来看一下k大于五和k小于十，我们应该怎么去处理啊？怎么思考？好，那接下来大家知道一根大于一，一根小于一，我们先把题干给化简一下，因为它是个重新判断题，知道吧？题干化简完后再看两条线到底谁充分啊？

好，那我们先说一下这个呃结论吧，结论啊啊，如果ax方加bx+c=0。啊，如果一根大于k。另一根小于k。啊，一根大于k，另外一根小于k，这时候呢，大家只要写什么写a×fk小于零就行了，好吧，这也是在咱们二三年考试里面出现的。啊，

一个重新判断题是吧啊，比如说这是k点。k点它有可能是开口向上的啊，一根在k左边，一根在k右边是吧啊，如果开口向上。啊，如果开口向上，那这个fk 1定要小于零是吧？如果它这个抛物线开口向上，它k点的函数值一定是负的。或者说，若开口向下。开口向下开，开口向下的话，

如果a要小于零，这fk 1定是大于零的。是吧，好这个开口向下，开口向下呃，接下来a是负的a负的那k这点含有值一定为正的。为为一定为正的，所以这两种情况就不用再讨论了，我们可以合并一下是吧？可以合并。合并成a×fk小于零。对吧，可以合并成a×fk小于零就行了，懂了吧？呃，

不用分成两种情况来讨论，因为这个为什么可以合并呢？看一个是正的，一个是负的，一个负一个正的，可以把它合并成两者。相乘小于零，两者一号就可以了是吧？好了，那接下来咱们呢？啊，注意要把这个k方给它移过来啊啊，移过来啊，移过来以后那就变成了就是x-1×x-2-k^2。等于零好，

那在这道题这个AA相当于是x平方系数就是一了啊一，然后呢就相当于是这道题，只要是a×f一这道题a相当于就是一了。小于零就行是吧啊？小于小于零的话，那么这个f1的值等于几呢？f1的值正好等于一个负k方啊，小于零负k方小于零得到k方。大一点k方大一点注意k不是全等实数，有同学说这个平方不都是正的吗？那你就漏掉了一个零的情况。只要k不等于零，它都充分，只要k它不包含零都充分，所以条件一啊，

没有零条件不行的原因就k为零了。k为零，它是不可以的，所以条件一是成立的条件，二是不可以正确答案，应该选择a好吧，所以这道题呢，就考了一根大于k，另外一根小于k。它的一个判断方法和思路要弄清楚，要会分析啊。好，接下来咱们看一下这个题方程，它在五的右侧有两个零点好，那接下来我们画个图。

因为这道题，它对称轴是给了这个就好做一点啊，对称轴知道吧，它对称轴给了这个就好做一点。它对称轴正好就是什么？正好就是二分之十一，知道吧？它对称轴。啊，对称轴正好就是二分之十一嘛啊，对称轴，然后它在五的右侧啊，这个这个五五的话，我们。看看这个，

先说画下对称轴吧。这对称轴是五点五，这是零是吧啊？它在五的右侧五呢，是在这个地方。我的右侧产生两个，两个零点，大家想如果这种情况，它开口向上啊，如果这种情况就不可以。那这种情况下，它在五的右侧，它只有一个零点是吧？这种就不可以在五的右侧，它只有一个零点，

这个是不可以。然后呢啊，它在我的预测也有两个零点，两个零点，它可能是这样的。那两零点它肯定就这样的。是吧呃，可能就是这样的啊，两个零点。啊，这样的好，那这是它的啊，这个五右侧有两个零点是吧？所以接下来我们呢就把图。啊，

弄好以后大家可以发现这个f5，那肯定要为正的是吧？所以在这里面大家呢？这个写着，然后加上德尔塔。那它只要大于零就行是吧？所以我们就可以写作它的这个式，然后这个对称轴已经在我右侧了，就不用再写了好吧，不用再写。如果这道题，如果它这个对称轴含有一个未知数，比如说含有个k含有参数，那这时候还要保证对称轴一定要在五右边儿。好吧，

对称轴不能在五左边儿是不是？所以在这里面大家呢，就可以写的对这道题对称轴就不用再写了，那就直接就写什么直接写f5。啊f5怎么算呢？f5就把s=5带到里面去就行了，带到里面就相当于25。减去55+30+k。要大于零。是吧啊，要大一点，这是第一个，第二，它判别是当上。德尔塔等于BB的平方b的平方就11的平方等于幺二幺减4 AC。

它大于零，因为它有两个零零点delta不能取等号delta=0，它有两相等实根，两相等实根只有一个零点。好，这样的话，我们分别解解啊，那第一个就相当于是变成k了是吧？这个k大于零，第一个很好解。第二个，第二个就相当于是这个一百二十一减了一百二，正好一一减四k，它是大于零的。一年4k大点。

呃大于大于零k小于四分之一是吧？所以在这里面大家呢，就可以写出来好吧，所以大家呢，要注意它的这个方法。好，所以答案呢，我们就可以求解出来。好，那这一块儿就k大于零，小于四分之一啊，这样就得到它的数值了。啊，因为它有两个零点，所以delta呢，

必须是大于零啊，大家呢，要注意它的方法好，那这道题我们看条文一条文一肯定不行，条文一是不成立的。是吧，然后条件儿条件儿上这个k大于零，小于等于四分之一k等于四分之一时候不行。因为k等于四分之一的时候，它data是为零的，data是为零，那么它在右侧，它只能找到一个点啊，它跟x轴只交到一个点啊，所以这个也不行。

行不行？两条线也没法联合，因为两条线交集是空集，所以这道题正确答案就选择e选项好，这是它的做题的方法思路，看各位同学是不是听懂了？大家呢，要掌握一下它的考试的方法，零点大家一定要会分析，看各位同学这个。知识点是不是掌握住了？嘘。

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