023.24-顿悟-专项五-函数方程不等式-练习（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:32:18

好，第11题考察指数不等式指数不等式，大家两边要找它同底的指数，所以左边就是零点二，这个是s方减3 s- 2。大于零点零四可以写成零点二的平方，是不是大家知道这个是以零点二为底的，它单调递减的，单调递减就可以推出？x方减3 x- 2应该小于二是吧？小于二就可以推出x方减3 x- 4，它小于零。所以这样移过来移过来，然后它的方程的根啊，一个根呢，

就是负一一个根呢是正四。所以它的解集在两根之间。好这个呢，应该选择d选项答案就求解出来了，好通过这道题，大家呢，把指数做一下变换，然后再根据指数的单调性。来分析就可以了。好，第12题，第12题，这道题考察指数，这个指数就得换元，是不是就得换元啊？

换元变形。好，我们来看这道题应该怎么写？第一个三的x+1次方就可以写成3x再乘以三。二乘以一个这个三的二次二减x方可以写成三的二次方再乘以三的负x方。然后大于29，所以在这我们可以令t=1个三的x次方。t等于三的x方，然后这个t呢是大于零的啊t大于零的，然后这个三的负x就相当于t分之一了啊。好，那这个就可以变成3t。加上。加上这个是t分之十八是吧？因为二乘以九得到十八是吧？

这三的负x次方就是t分之一。然后大于29，然后两边同乘以t把它移项转换成一个标准的方程啊，就3t方减29t。加18大于零啊，就3t方，然后减29t，然后加18大大于零，这样写好了，接下接下来我们来看分分解。分出一个29就行了，是不是？所以在这里面大家呢，就看看怎么分这个三只能分成一和三了。是吧，

只能分成一和三好，然后这十八十八是不是可以分成三和六？啊三和六三和六的话，大家可以发现这个凑不出负29来是吧？凑不出负29好那么分成。九和二呢，我们看看能不能分出来九和二？九块二是否能凑出负二十九啊？这两个相乘是负二十七，加上一个负二得到负二十九是不是？所以它的根一个是九一个三分之二，它大的应该在两根之外。是吧，所以说t小于三分之二或者t大于九。好，

那t等于多少？t=3 x把这3x带过来啊，带过来好就推出了这个。t等于三x又三的x次方小于三分之二。啊，或者说三的x次方大于九，这个九可以写成三的平方，明白吧？九可以写成三的平方。好，然后这一块儿呢，就可以取一下对数好吧，取一下对数，因为这个呢啊，没法具体算x，

所以就取一下对数。取以三为底的x小于log，以三为底。三分之二的对数是不是啊？这个呃x就写好了。啊，写好了，或者说是。然后这3x大于三的平方，或者说就x大于二这呢，应该选择b选项答案就求解出来了，好看这个是不是听懂了？通过这道题，大家要掌握的做题的方法就是我们通过换元换元，然后转化成关于t的一个标准方程，

然后求出它的解集，然后再找找x就可以了。第13题，这个题又有根号，又有对数是吧？又有根号，咱们一步步来，先把这个对数给它换原啊令t。等于log以二分之一为底s对数是吧？令t等于它这个t这个对数值域就是t啊，这个t它可以取全等于实数啊，这个t。它可以取全的时候，这又变成了根号t+1。小于t- 1是吧？

但这个根号要保证有意义嘛，根号要保证有意义，所以它要要求。要要求什么？要求这个t+1应该是大于等于等等于零的是吧？t+1大于等于零还有且。且大家知道这个t- 1得是正的，对吧？t- 1。对，是正的啊，所以t- 1是大于零啊t- 1取不到等号啊，取个等号，因为t- 1要为零的时候t=1 t=1右边是为零的，左边呢是一个正数，

那看显然是不符合要求的。所以t-ab是大于零。b大于零，那还记得咱们讲过无理不等式或者无理方程啊，两边都是正数的时候可以进行平方是吧？可以进行平方。平方就变成t+1小于t方减2 t+1，然后这样就可以推出t方减3t大于零。啊t方减3t大于零，这样就写好了，写好然后就可以得到那么t的值t呢，就是小于零或者t大于三。好把这几个都合在一起，把t的范围找到t的范围，找到s范围找到了啊，

这个呢，要求t大于等于负一是吧，这个t大于等于负一，这个t大于一。这t大于一，这个是t小于零或者t大于三，那么都符合的话，只能取t大于三，是不是都符合那只能取？t大于三啊，就是上面这些要求都符合同时满足的话t大于三t大于三就推出了这个log，以二分之一为底x对数要大于三，这个三可以把它写成。这个二分之一为底，八分之一的对数是不是这个三？

所以大家可以看这两个都是以二分之一为底，二分之一为底，它是不是单调递减啊？单键这个越大它就越小是吧？就推出s小于八分之一，但这个对数还要保留e还要大于零啊。还要大于零好吧，所以在这道题这个呢，就选择a选项就求解出来了，好看这个题是不是学会了这道题，那用到了对数和根号结合在一起的出题。首先把这对数做换元转换成根号根号，然后然后根据两边的符号特征，然后再进行平方平方把t的范围解出来t的范围解出来以后，然后得到这个对数的范围，

然后再跟对数的单调性。来进行分析和思考就可以了。好，第14题，这里考的是一个对数和一个分式相结合的是吧？这个你看这有分式，这有对数好，我们把这个呢给大家写写，我们又练。t等于log，xt等于lo gx就t大于t分之二，再加一是不是这样的？就是这个分式，这个分母不要直接乘过来啊，分母不要乘，

因为这个lo gx不知道是正的还是负的。是不是所以在这呢？分母这个就不要乘过来，这样你给它进行移一项好吧，移项一项就变成t。t减去t分之二减一，它大于零啊，这样的特征，那这然后呢？我们给它进行通分。通常就变成t方。对吧，变成t方减t- 2。它大于零，然后这个上面再分成t+1乘以个t- 2，

它大于零，这样就行了，好吧，就可以分成t+1×t- 2。它大于零，这样就可以了。好，那这一块儿就可以得到它的这个数值是吧？就t+1×t- 2，它大于大于零，但这时候是不是要用穿线法是吧？我们前面学过穿线法。好参选法哈，就相当于是这个是呃，一个是负一。

一个是零，还有一个是二是吧？二从右上方来穿线。突然间，它要找大于零的部分，大于零部分是不是要找这个数轴上方的区域啊？看这个数轴上方的区域。对吧，就数轴上方的区域就大于零的啊，数轴上方的区域就大大于零，最后得到t呢，应该大于负一小于零。是吧，然后或者说是t大于二啊，然后把这个t=lo gx写到里面就lo gx大于负一小于零。

这个负一可以写成log十分之一，这个零可以写成log一。或者lo gx大于二，这个二可以写成log 100是吧？这个二可以写成十的平方啊log 100。好，大家知道这是以十为底对数，它单调增，这样我们就可以写出它的答案x呢，应该在十分之一到一或者x大于一百。好这样呢，应该选择d选项，当然就求解出来了，好通过这道题，大家要掌握的方法和思路就是我们在做题的时候。

啊，要学会它的呃特征，首先大家把它换元换元，然后再变成一个分式，这个分母不要动啊，把它移项。一项，然后通分因式分解分解以后我们再用穿线法来做穿线法，然后呢，再写它的解集解集，最后求出x范围就可以了。好，那么第15题这个题不等式ax方加4 ax+3大于等于解集为r则a的取值范围到底是多少？好，这a的取值范围好，

在这里面大家想想它的不等式解为任意实数全等实数化，那在这里面我们就可以知道这个开口情况是吧？所以说首先要求这个开口如果向上。开口向上，还要判别德尔塔。德尔塔应该小于等于零是吧？德尔塔等于b方。啊b方减4 AC。然后小于等于零。这样的情况好吧，这样就可可以了啊，然后接下来我们呢就可以得到a是大于零的，然后这两边呢，这两边我们可以约掉一个。四遇到一个四就得到4a方。

减三a小于等于零，小于等于零，它的根一个根呢？是零一个根呢？是四分之三。是吧，一个根是零，一个根呢四分之三。它小于零，是不是解应该在两根之间呀？所以说零到四分之三这样的一个取取值。因为还要满足a大于零啊a大大于零，所以说这得到这个结果得到结果，但是我们前面讲过，对于这个不等式，

不要忘记讨论系数为零的情况。我们讲了什么时候需要讨论x平方和x这个系数能同时为零的时候，需要讨论是吧？然后这两个能同时取零。然后同时取零的时候，那这个可以讨论，然后又当这个a为零的时候。a为零的时候，它变成三大于等于零，这个三大于等于零，这个也是成立的。啊，这个也成立的，所以中上。我们就可以得到a呢，

应该是大于等于零，小于等于四分之三。好这个呢，应该选择e选项。好，这是它的这个特征好吧，看这个是不是学会了？好，第16题我们来看一下，它不能是解析这个求这个不能解析是多少，跟咱们前面讲的差不多好不好，先把AB解出来，然后再算后面这个值。好，那这时候呢，

你可以用韦达定理做好吧，我们就用韦达。定理做。vr定理之后，有两根之和。就等于负的a分之b两根乘积。就等于a分之c是吧？两个乘以就等于a分之c好得到这个a的值，就等于负十二。a的值等于负十二，这就写好了，写好，然后呢？这个b的值我们就可以求解出来，因为这个负三分之一加二分之一，

这个不得到是六分之之一嘛。是吧啊，六分之一六分之1b的值得到就是二。是吧b的值得到g就是二好，这个a和b的值得到了，那么这个2x方加上bx+a。我们把它带到里面去啊，就2x方加上2 x- 12，它大于零，两边都除以二变成x方加x- 6大于零。当然，这时候我们可以用因式相乘，因式分解因式，然后这个负六就得到负二好吧，得到负二，

然后负二和这个三，然后这个它一个根是正二，一个根是负三。这样负三，它要大于零的话，它仅应该在两根之外是吧？x大于二或者x小于负三。好这个呢，应该选择d选项就求解出来了，好通过这道题，大家要掌握的这个特征和方法就是我们在做这个题的时候。啊，要学会分析啊，它的这个方法，也就是说我们先把这个AB参数求出来，

求出来以后我们再算后面这个不等式。下面我们看这个题已知x在零到二分之一，那么求这个函数最小值到底是多少？那首先要观察这个函数。是什么样特征？它给的是两分式，那么两分式我们就要想到全方和不等式啊，所以遇到。那么分式。那想到全方和不等式。好，那全文和再给大家强调一下，比如说m分之a方，加上n分之b方。啊，

就大于等于。a+b括号的平方分母是m+n。啊，这样的好，这道题关键点大家可以发现分子，它这已经是常数了，如果a和b要是常数a+b，它肯定也是常数。接下来，我们关键点要让分母变成一个常数，分母变成常数的话，现在是x和一减二x这两个加在一起，它不是常数。接下来我们就把它做一下，等价变形。

然后上下都乘以个二倍，都乘以二倍就是二x分之四啊，上下都乘以个二倍，乘以二倍就是二x分之四，为什么乘以二？为了保证它两分母相加是一个常数。这是九÷1-2x，接下来这四可以写成二的平方。结果可以写成三的平方。啊三的平方，然后大于等于套这公式就二+3。的平方除以个这个分母相加，分母相加叫2x+1-2x这个分母，它正好就是一了。上面正好就是25。

啊，这样就得到它结果，答案就求出来了，所以这个呢，应该选择c选项，它的做题方法和思路要明白啊。然后另外它取等号的条件，那我们可以简单验证一下好吧，取等号条件，因为有的时候你要看它是否符合这个要求。它取等号条件是什么？全融合取等号条件就是a÷m，应该等于b÷n啊，这才取等号条件。啊，

所以在这里面就相当于是。这个二除以个2x啊，相当于这个a是取二啊。选二除以个二x，这m相当于是二x就等于三除以个一减二x，唉，这样就它的。这个方法是吧啊，这是它取整的条件，取整条件，那这个s怎么去解呢？大家可以用这个啊，咱们讲过的。呃，等比定理等比定理咱们讲过分子相加是五分，

母相加是一。所以说有时候这个二x分之二就相当于x分之一就相当于x分之一，正好等于五x就等于五分之一。啊，五分之一就是系等号了，所以s在。满足零到二分之一这个范围，所以如果它要求这个函数最小值的时候x等于等于几，这样s可以算出来是五分之一。啊，这是它的做题的方法和思路，看懂了没有啊？x刚好等于五分之一，所以大家也会求解，因为有时候像咱们真题里面，

它就问在函数取最小值的时候x等于几？大家要会分析。细合思考啊。啊，下面咱们看这个题已知ABC，它属于正实数a方分之一+b^2分之八+c^2分之一=1求a+b+c的最小值。就大家以后遇到这种分式的时候，就要想到全方和。遇到分式，按这几个分式，想到全方和好，那这道题还要用到一个啊，一个咱们前面讲过的这个三次方啊，因为这个a方b方c方，所以我们。

在这没有要遇到一个什么，就是a的平方x三次方加上b的平方y的三次方加上c的平方。z的三次方好，它大于等于这个分子就可以把它写成x+y+z括号的。然后这块儿呢，就可以把这个三次方这个变成一个a+b+c^2。有时候全合波等式要注意这个次方分子比分母高，一个次方都可以，好吧，也就说这是三次方，这地方叫二次方。啊，如果上面要是二次方，这下面就是一次方，你像上面这个题。

啊，它这个就考察就这样的，是不是然后它这个上面是二次方，然后这个呢？它要是。一次方好，这是它这个方法。同样道理，如果上面四次方，下面就三次方好吧，它就相差一个次方。啊，这它的特征看懂了没有？好，那接下来咱们呢来套这个公式啊，

所以a方这个一可以写成一的三次方。然后b方b方这个八可以写成二的三次方。加上一的三次方是吧？是这样的啊，一的三次方，然后大于等于大于等于。这样就可以变成一+2+1括号的三次方，这是a+b+c括号的平方啊，这个写好了。行，然后这个数值正好等于一这个数值，它正好就为一。啊，这个结果它正好就等于一啊一，然后接下来我们把这个分母给它乘过来，

乘完这个分子正好等于四的三次方四的三次方是64。就可以得到a+b+c^2大于等于64。啊，大于等于64，但是就是因为它这个正数，知道吧，是正的，正的话，那就直接可以开根号a+b+c，它大于等于八。就写好了，就这样的啊，就选择这个e选项啊，它的做题的要点方法，看这个是不是懂了啊？

所以这道题大家呢，要有分析，当它取等号的条件，要知道它取等号条件就相当于是a分之x等于一个b分之y等于一个c分之z。它去等号条件好吧好，那这道题它去等号条件就相当于是。好那么一除以这个a=2÷b=1÷c啊，这样就写好了好吧，它具等的条件都要会分析。和思考啊。好，这是它的这个求解的方法和思路，看大家是不是懂了？啊，接下来咱们看一下这个题已知正数syz满足s×y×z大于等于一则s方除以y+2 z+y^2除以z+2 s。

加上z方除以s+2 y，它的最小值到底是多少？啊，求它最小值到底是等于几？好，那接下来咱们看它的最小值，我们应该如何来分析，对吧？它的最小值。啊，那接下来我们看这个是分式，这个分式的话，我们肯定要用一下这个全方和啊，所以只要遇到多个分式的时候，咱们用想到全方和。

然后大家可以发现，分子呢，是二次分母，这都是一次，所以说这块儿我们就直接用了就行了。x平方除以y+2 z。加上y方除以z+2 x，加上z方除以x+2 y啊，它大于等于。分子相加。x+y+z^2分母相加，这三个分母把它加在一起，三个分母加加在一起，大家发现正好是三个x三个y三个z。好，

大家看是不是这样的是吧？正好三个xyz，三个xyz，这个上下就相当于可以把这个xyz给它约掉，一个约掉，一个以后就可以得到。然后三分之x加y加z。啊，那这块儿咱们就用咱们学过的啊，这个均值定理，所以这道题用了全方和还有这个均值定理。均定的话就是三个数的上平值大于等于三个数的。几个平均值是吧？因为这道题它给了x×y×z的情况，所以它大于等于这个一。

大于等于一啊，这样就写好了好吧，这是它的方法。接下来要注意它取等的条件，因为咱们用了两次啊，不等式第一个用了全国不等式，第二个用了这个均值，不等式均值，不等式它取等条件就xyz要相等。是吧，所以这个均等不等式，它确等条件呢，就是xyz唉，要相等。这个是要一模一样的，

知道吧？而且呢，这个syz现在都要等于一，因为它这个x×y×z就取一。啊，取这个等号嘛，这个等号要取等于一嘛，等于一好，那接下来咱们要验证一下s比上y+2 z。啊y比上z+2 xz比上x+2 y，那这也相等，因为xyz是一模一样的，一模一样，那这个全方和不等式，这也能取等号。

所以这个就没问题，所以呢，就选择a选项啊，这是它的这个方法，所以大家呢，用了两次这个不等式，大家呢，要能验证一下这个等号是不是成立啊？啊，接下来咱们看下这个题好，这个题大家可以发现没有啊，没有这个分式，没有分式，大家就不要用全光合了好吧，咱们用柯西不等式啊。

如果出现平方和一次方，大家用。柯西不等式，所以说这几个不等式，很多同学呢啊，就不知道我们到底选哪个？啊，这个到底选选哪个？所以在这儿咱用科一不等式来进行分析就行了啊，科一不等式科一不等式。关键点，大家就是s方加3y，方加2z方啊，求它的最小值是吧？求它最小值，

那在这里面我们如何？产生这样的拼凑啊k不等式，我们再把k不等式给它写出来啊，就是a方加b方加c方。乘以个d方加e，方加f方要大于等于AD，加上be+CF括号的平方。啊，这样的情况，然后接下来咱们来看一下。怎么样出现这个右边？我们先把这个价值给它搭出来啊，右边要出现2 x-y+z。是吧啊，有时候要出现2 x-y+z这边儿呢，

正好就是x方，加上这个3y呢，可以把它看成根号3y括号的平方啊。加上z方。所以说大家要会。写这个数，这个数要保证什么？第一个跟第一个乘应该等于这个2x，所以说这地方我要写一个二的平方。是吧，所以d相当于等于2d的平方，相当于是二的平方，知道吧，然后这个e要写一个负y写个负y的话，那么要写成。

负的根号三分之一的平方，也就说e相当于负的三分之根根号三知道吧，然后这个b乘以e正好等于负y。然后这个zz呢，正好就给它写个一就行了啊，一的平方就行了，然后这样的话就搭配出来了，搭配出来以后，那接下来咱们看。啊，这个数值这个其实就是x方加上3y方加上z方。乘以一个，然后这个写的这四四加一加三分之一就相当五加三分之一。大于等于然后这个值正好是一这个值就是一，所以这个算出来正好等于三分之十六啊三三分之十六把它倒过来，

又变成十六分之三，所以x方加三y方。加上z方大于等于。啊，十六分之三。这样就写好了，这个呢，应该选择c选项啊，那科一不等式，它取取等号的条件就是a÷d。等于b÷e，等于c÷f啊，对可以不等式，它具体的条件就这样的啊a÷d=b÷e=c÷f。好，

那这道题它取整的条件就是x顺便写一下好吧，就x÷2。啊根号三y除以个负的根号三分之一。啊，当一个z÷1好吧z÷1，然后这个呢？简单画一下这个把根号三翻翻上去就等于负3y。就是二分之s等于负三y。等于z啊，这时候呢，它是取等号的好吧，就顺便给大家提一下等号，它成立条件。啊，然后再根据2 s-y+z=1就可以把syz给大家解出来好吧，

解出来咱们现在就不再解了啊，大家要会分析。啊，所以这是它取等号的条件啊，要会找好吧，然后呢啊，要会判断。啊，下面咱们看这个题啊，这个题也要拼凑，这个科一不等式，知道吧，想到这个科一不等式，所以这道题就考的科一不等式。啊，

这个可以不等式这道题呢，要比较难拼凑一点是吧？所以大家可以发现我们要拼凑成什么呢？要拼凑成。先把这个架子给搭搭出来。要拼凑成二倍的根号x- 2，加上三倍的根号。根号20-5x。啊，而且这边呢啊，这边我们看怎么去拼凑是吧？这边怎么去进行拼凑它的这个式子来？是吧，然后这边两个框。所以我给大家写一下吧，

如果公式不太懂写，就a方加b方乘以c方加d方大于等于。AC+BD括号的平方这样的。啊a方加b方乘以c方加d方大于等于AC+BD括号的平方啊，得到这个值。然后接下来咱们呢，再看一下那怎么样出现这样的式子，而且我们还要保证什么呢？保证它这个数啊，一定要是一个常数，知道吧，因为左边是常数的时候，那这个才能分析它的最大值。懂了吧，所以说我们呢，

一定要想办法变成一个常数，现在大家可以发现现在x-2和20-5x，它不是常数。知道吧，你可以看一下这个x-2，然后20-5x，这个不是常数，所以在这里面我要给它变成一个前面要乘一个五倍，知道吧，所以这块儿要乘一个五倍的x-2。加上20-5x。知道吧，这个括号儿里面，它才是常数啊，所以在这里面大家呢，

要知道它的方法。啊，就是五倍的x-2+20-5x，这个它在保证是一个常数，是不是啊？这样的。这样呢，接下来咱们来看一下，后面这括号括号里面，我们要保证什么呢？保证这个。这个a×c=2倍的这个数值，所以我们要写一个什么啊？写一个。这个五分之。

二这样才可以是吧啊，五五分之二这个二二的平方。其他应该写成这样的啊，写成根号五分之。二的平方知道吧啊，这样的。这样的，然后加上加上后面这个要出现一个三出现三给它配一个这个三的平方就行了。这个三的平方，这个啊，能懂吗？不懂的话，我们把前面都把它写成平方形式，你这就看出来了，好吧，

把写成平方形式就第一个括号儿写成根号五。乘以个根号x- 2哎，这样的平方。加上啊，这个根号20-5x的平方。乘以个根号五分之二的平方，加上三的平方，唉，这样就可能好看一点，对吧？这个把它看成a方。这后面把它看成b方，再把它看成c方，再把它看成d方啊，这样写好了，

还要大于等于大于等于大于等于就第一个括号跟第一个括号相乘。正好呢，就变成二倍的根号x- 2。是吧，加上。那第二个括号跟这个就相当于b×db×d这样三乘以它。三乘以根号20-5x是吧？唉，这样这样就写出来了啊，所以退对着这个公式来写。啊，接下来咱们就来看一下啊，左边这个值左边这个大家可以发现啊，这两个正好呢，就是5x正好就抵消掉了，

就剩20-10就得到十。乘以个。然后这个就变成一个五分之四，加上一个九。文字四+1个九，然后把这个。那给它化简一下啊，这个十乘到里面这90+8，所以这个才能等于98，所以98大于等于。啊，这个是二倍的根号x- 2+3倍的根号下。20-5x。六平方是吧？也就说左边呢，

这个正好是98。啊98，然后把它开根号儿，因为它这都是正数嘛，根号儿都是正数就可以得到二倍的根号儿x-2+3倍的根号下20-5x小于等于。根号，98。根号九的八的话，那么可以把它写成七倍的根号二。啊七倍根号二，所以它的最大值就可以算出来就是七倍根号二，这样呢，就选出来了七倍根号二。啊，它取等号条件，

大家自己写吧，取等号条件就相当于a÷c=b÷d它取等号。对吧，就是a÷c=b÷d。啊，它这取等号啊，就第一个除以第一个加上第二个除以第二个啊，这样就可以取等号了啊，这它取等号条件看这个明白没有它的这个方法啊？然后有分析和思考。好通过这道题，大家呢，要掌握它的啊，公式什么时候用啊，精准不等式什么时候用，

全方和什么时候柯西不等式就会分析好吧。首先呢，均值不等式。绝对不等式，主要解决什么解决和还有乘积的关系。是吧，然后柯西不等式。k不等式，它就解决这个平方和平方和和乘积的平方，它的关系啊。就平方和。然后这个啊，前方和不等式。然后不等式主要出现多个分式的时候。好多个分式时候，

那么要会分析好吧，所以大家呢啊，这三类不等式一个呢，要会拼凑产生定值。一个难点，这是一个难点，要平衡变形。比如乘一个系数啊，或者加上一个几减去一个几是吧，就会变形，另外一个要知道等号成立条件。的一定要变形。另外一个就等号，它的条件。把这两个难点掌握住是吧？

就怎么样套公式怎么变形怎么使用？要把它弄清楚，这样就达到了考试要求。所以把这几个呢，再好琢磨琢磨啊，这几个不等式法弄清楚做题呢，就可以达到灵活应用的目的。好，下面两个题，他说这两个有公共实数解，你看这个公共实实数解啊，这个实数解到底是几没告诉我们，那这时候我们可以把题干给化简一下。它它要有公共实物解怎么呃求那它的方法什么呢？又联立这个方程，

就这个方程组啊，然后让这两个方程相减，为什么相减，因为x平方在这呢？看着呢，比较复杂，所以相减。好相减，相减以后，那这x平方跟着x平方减就没了，然后这两个减，这两个减就得到是a+2。x是吧好，这两个减这两个一相减就是a+2这两个一相减就是也是a+2。它为零好，

这样就得到x+1乘以个a+2为零，注意两个相乘为零。好那么两个相等边有可能它为零，有可能它为零或的关系啊，有s=- 1或者是。或者是a=- 2好a=- 2好坐，这有同学呢，就选了a=- 2，那这块儿就错了，因为它要有实数解，看到没有这个实数。啊，一定要看清楚，有的a=- 2的时候可以发现。a=- 20，

它是无实根的，这两个方程都是无实根啊，我们带到第一个方程可以发现它是没有实根，第二个方程它也是没有实根，所以这个无实根，所以这个a=- 2，这个就要舍掉。那只能得到x等于负一x等于负一带到第一个方程也好，带到第二个方程也好，就可以求出a的值是吧？所以x等于负一带入第一个方程吧，就是一减a加二，它等于零。就可以推出a的值就等于3a的值等于三条件一成分条件二不充分啊，这道题正确答案就选择a选项。

好通过这道题和上一个题，这两个题做对比可以发现，如果告诉我们共实数的具体值的时候，直接带到里面去就可以解出参数值。如果没告诉我们这个实数解，那这时候我们就联立这个方程组，让这个方程组呢？啊，做一下变换，然后求这个方程组的数值，这个方程组数值在求差的时候，大家一定要验证是否满足方程的实根问题好。好吧，所以这时候大家呢，一定要验证一下，

别给写错了，好，这是给大家强调的做题的知识点方法，看是否明白了。好，下面咱看23题，这个题它说它定义域为全体实数r，大家知道对数要有意义的话，就说明这个ax方加2 x+1要横正。是吧，要大于零，然后要恒成立。因为它解集是r嘛，好大零要恒成立的话，在这里面我们可以看这个开口，

可能向上，对不对？抛物线我们学过，抛物线横正开口向上，然后德尔塔德尔塔等于b方减4 AC。要小于零，是不是？然后这样就推出了。a是大于零，小于一的。啊，这个。这个推出了a的，这个值是不是所以在这里面大家可以就这个a的值是大于一的是吧？a的值是大于一好a的值大于一。

然后还要满足a大于零啊，还要满足a大于零，然后这时候a大于一，这个是充分的是吧？充充分的。然后条件还是不太行，还有一种情况，我们在前面学这个恒成立表的时候还要注意，不要忘记讨篮是平方系数为零。不过这个AV 0的时候，剩下2 s+1大于零，它对s是有区间要求，它不是恒成立的，所以这个a=0呢，这就不用再讨论了好吧，

这个我们在前面讲过这个。关于这个表达式要恒成立的时候不要忘记讨论x平方系数为零，各位同学应该有印象，是不是怎么这道题a为零的时候这个表达式，它不是恒成立的，它是在呃一个限制区间上才成立啊，所以它不是永远成立的，所以这个就不用讨论了。好，24题这道题，它说它的解集是空集好，我们先把题干给它化简一下，解集为空集。好它的解集就是空的话，在这里面我们可以把它万能转化转化成MX方减2 imax。

加上2 m- 3小于等于变大于等于零解为任意实数或者说恒成立。这样都可以好吧好那么小于零变成大于等于零，其且为任意实数就恒成立恒成立，那就说明这个开口应该是。向上的对吧呃，向上然后呢德尔塔德尔塔就等于一个b方。b的平方减四AC。然后要大要小于零是吧？因为它这地方有等号又等号，加上一个等号，这样就行了。这样一个等号，当然我们在前面讲的时候给大家强调他这道题，他没说是二次不等式，既然没说二次不等式的话，

不要忘记讨论m系数v0。m系数为零，我们讲过什么时候需要讨论呢？就当这个x平方和x系数都能同时为零，你看这个m为零，它俩都为零，左边就剩一个负三了。所以m等等于零的时候，这个也是满足的啊，所以这个值不要忘记了，然后这一块儿两边都给它约掉一个m是吧？这个约掉啊一个四。啊四约掉一个四啊约掉一个四，然后提出一个m啊。啊，

提出m提出m这个里面就变成m减二m就相当于三减m了是吧？小于等于零好，小于等于零，然后这个解集应该在两个之外，因为这个两边从乘以负号小于号，其实应该变成大于号。是不是所以小于号大家呢？应该变成一个大于号变大于号，然后呢？它应该在两个之外就相当于大于号就m小于零，或者说m大于等于三，但是要求满足m大于零。啊，就推出m，它只能是大于等于三。

这样就求出来了，大于等于三，但m=0，也是满足的啊，所以说呃题干它要成立的话，就m大于等于三或者m=0。这时候题干成立，接下来我们看条件，一条件1m小于4m小于四，它不一定m是大于三的，所以条件一呢是不可以的。条件m大于等于四，正好落在m大于三的范围内，所以它是充分的正确答案，就选择b选项答案就求解出来了。

好吧，所以这是给大家强调的知识点和方法啊，这个m大于等于四，这个呢是满足的。好，25题这个题这道题，它是一个分式不等式，这个题干可以化简化简完，然后再看两条件好，这个题干化简的时候，大家注意这个分式不等式，这个分母它不能直接乘过来。所以我们要把这个给它移项是吧？所以我们把题干先化简化，简完以后我们再选答案，

就9 x- 5。这s方。减5 s+6，这个加二是大于等于零的，是不是啊？这样的情况，然后这个进行通分嘛？通分就s方减5 x+6，然后通分通分以后，这变成2x方。二x方，然后再减十x，然后这个加九就减x好，这加上十二十二十二减五就加七。啊九+7，

然后这个大于等于零，刚才我们再看这个分子，大家看这个分子是不是就横正的呀？分子是吧？有人说这个分子。分子2s方减s+7，它应该是横正的，为什么横呢？因为它小于零嘛，它有横正嘛，大是小于零的，它有横。横正横正，它只能是分母大于零，分母它不能取等号啊，

分母它不能取等号，所以只能得到分母。分母x方减5 x+6大于零就行了，大于零它的根根是不是一个二一个三呀？根它一个是二一个三，所以仅应该在两根之外s小于二，注意这是或啊或s大于三，那条件一满足条件二也满足正确答案，就选d选项。好，这是给大家强调的做题的方法，看是不是学会了通过这道题，大家要掌握的思路就是分分式不等式。分母它的符号，如果不是横正的，

或者符号确定不了，那这时候要移项通分，然后来分析这道题，它分子正好呢是横正的，如果分子要不是横正的。那分子分母分别因式分解，因式分解以后。我们呢，就可以再进行呃，穿线法再求解就行了。好，第二六题这个题，它又含了一个绝对值，又含了一个根号，咱一步步来这道题的两个条件没法去化简了，

我们先由题干来进行分析，看一下题干的情况。题干，把这个绝对值去掉，就变成根号x-2-3，小于一大于负一。是不是这样的，所以这样就写好了，写好之后，然后把这个三都加过去，这样就变成了根号x- 2大于二小于四。啊根号x- 2大于二小于四，这样就写好了，好那写好以后这时候呢都可以进行平方，明白吧，

因为这个这是正的，这都是正的，然后就可以进行平方。平方就四小于x减，二小于16，然后这样就推出了六小于x小于18。好，所以它的题干的范围是六到18，那只要条件的范围落在这个题干范围之内都算充分好吧，所以这里大家可以看题干一落在这个范围之内，条件二也落在这个范围之内。这都是很充分，这些答案就选d选项，答案就求解出来了，好看这个题是不是学会了这道题讲的做题的方法就是我们要根据。

它的表达式的这个情况，然后呢，再进行先去绝对值，然后再解根号，这样就写出来结果了。下面我们看27题，这个题他说他这个解集解集是r解集是r的话，在这里我们先把题干给它化简一下好吧，题干。题干也就说左边要恒大于a，就是解集要使r就代表恒成立嘛，恒成立只要它的最小值，这个一减x可以写成x减一的绝对值啊。加上s+1，它的最小值最小值大于a就可以了是吧？

好，它最小值这个我们前面学过绝对值几个亿，它最小值不就是二嘛？二就推出a小于二就行a小于二，所以条件一是充分的条件，二呢a=2是不行的啊。这些答案就选择a选项，所以这道题啊，用咱们前面讲过的，恒成立的这个内容来分析好吧，然后用它的最值做就可以了。下面来看28题，这道题对任意的x都能使这个呃有益，都使这个有益代表什么意思？就分母它不存在零点。

啊，这个分母。它不存在零零点。不存在零点是什么意思？说明这个抛物线，它与x轴是无交点的，对吧？与x轴无交点，因为它这个开口是向上已经定了。它与x轴是无交点的。好与x轴是无交，点与x轴无交点，那只要它德尔塔小于零就行，德尔塔等于b方减4 AC。是吧b方减4 AC，

然后小于零，这样就行了，小于零呢，可以得到这个啊，它的根一个是零，一个是八。是不是啊？所以说a的值就在零到八之间就行，零到八条件1a大于零，但是它不知道是不是小于八条件单独也不充分。两两条线联合联合就找两条线交集嘛，这两条线交在一起，它就是a大于零小于八，这样就可以写出它的结果了，是不是这样的？

这个答案就求解出来了。好，这道题大家要注意，这个分式对所有的实物都都要有意义，它是什么意义就分母，它不能存在零点。就这个抛物线，什么叫不存在零点就与x轴无交点就行了啊，那怎么样抛物线与x轴无交点就当它小于零就行了？好，29题这道题它它的不等式k是大于一小于二的条件，一关于x方程无死根。啊无实根啊条形一我们来看看，因为这个题干没法画了，没法画减的时候我们再看两条件条件，

它有无实根无实根，就当它小于零就行了。当然等于b方减4 AC。小于零是不是？然后两边可以把这个四给它约掉啊，约掉约掉就可以得到k- 1乘以个k- 2小于零是不是这样的？所以两边把这个四给它约掉。约掉后又给提出k- 1 k- 1，然后乘以k- 2小小小点就可以推出k呢啊，它应该是在两根之间是不是？所以在一到二好，所以条件一呢是充分的，我们再看条件二条件二的不等式组，只有负二一个整除解跟咱们前面讲过的。某一个分析整数解情况差不多是吧？

首先第一个方程是不是可以通过十项的因式分解啊？这个一二这个十。十可以分成二跟五。然后负的是不是？所以说第一个把这个进行因式分解，分解完后就可以得到，那么它得到是x- 2×2 x+5。小于零第二式是不是也可以因式分解啊？看看第二式，它也可以因式分解，它是一二。啊一二然后呢这是？五和k是不是啊？这个五和k啊这样，所以第二个它也能分解分成什么分成x+k？

乘以2 x+5小于零好，接下来那么第一个式和第二式，大家可以发现都含有2 x+5是不是？都含有二二二加五，那我们接着再写写，第一个是很好写，第一个是它小于零，应该解在两根之间，它一个根是二，一个根是负二分之五是不是？所以一个根是二，一个根是负二分之五，所以两根之之间这个题，一个根是负k，一个根呢是。

负二分之五好，但是在这里面我们就不知道负k跟负二分之五，它到底谁大谁小，它也是在两根之间啊。但是大家想想，如果这个负k要小的话，那这时候这两个不等式啊，它的交集就是空集了，对吧？你想想如如果啊，如果负k小，它不等式是不是这样的？不能这样的话，那第一个不能是s大于负二分之五，这个是s小于负二分之五，

所以它这个呢？显然呢，这一块儿它这个空集是吧？所以通过这个呢，我们就可以得到这个负k这个根呢，肯定要比它要大。所以它大概应该是负二分之五小于x，小于负k是吧？有时候这个负k肯定要比它大。比方说，接下来我们来看负k到底满了什么范围啊？好，那第一个不等式，它是负二分之五到二。它是开区间。

好，第二个不等式的话，它这一块呢是负二分之五到负k。是吧，负二分之五到负k，它的交集就是不等式组和解交集有不等式组和解，它只有负二一个整整数解。负二一个整整数是吧？这负二啊，这一个整数负二一个整呢，说明负k肯定要大于负二。然后还得小于。一个负一。听懂没有，关键是负k，

它这是空心儿，它可以等于负一啊，等于听懂没有，所以这个等号呃至关重要，所以这个k啊应该是。负k大于负二，小于等于负一，然后这块就得到k是大于等于一，小于二的。k大于一小于二的，这样的特征，这样就写出来了，好大家可以看条件儿，比题干多了一个值多了一个，等号那么多一点儿点儿也不行啊，

只要多一点儿点儿，这个就不充分。好吧，所以这道题应该选择a选项答案就求解出来了好，那这道题的题案一比较简单，利用判别式判断它无根。无实根，然后第二个呢，就是先把每个不等式呃解出来解出来，然后看它的交集，中间这个集合包含几个整数，看它的这个端点值应该落在什么范围？这样可以写出来的结果好看，这块是不是学会了？是不是明白了？

好，那本小节我们就讲解完毕，最后祝大家金榜题名。

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