021.24-顿悟-专项四-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:31:47

各位同学大家好，接下来我们做一下神书的练习题。我们来看一下第一题。弟弟他其实特殊的等比数列，一个是以一为底数的。啊，一个以负一为底数的。好，所以在这里面大家可以发现一的任何次米它都为一是吧，所以在这里面大家要注意啊，一的任何次米都为一。一的任何次方，它都等于一。然后负一的奇数次方。它是为负一的负一的偶数次方。

它为正义。好，那接下来咱们看一下它的这个取值情况。好，其实情况的话，那么原是。大家看分子，分子这个sigma就代表求和。代表求和，然后每一项都为一对不对？总共有多少项呢？从一到101，从101项啊，101项求和，所以就101个一。

那就101个亿是吧？101项求和。然后第二个啊，第二个第二个它这个负一，它得求和当I=1的时候I=1的时候这个分母我给它写开吧，有同学不太。熟悉这个sigma求和。二等一的时候，那就第一项。就负一的零次方当然零也属于偶数啊，偶数包括零啊，偶数包含正偶数负偶数和零。知道吧，不管是负一的，正偶数次方还是负的偶数次方，

比如说负一的负四次方，它仍然为一，因为负一的负四次方相当于等于。负一的这四次方分之一，大家知道那么负一的四方。它仍然是一嘛，所以我想给大家提示的是就是负一它的偶数，不管是正偶数，负偶数还是零，它都等于一。好，那这第一项I=1的时候，那它这个负一的零次方第二项就是负一的一次方好那点儿点儿一到最后一项。这个项就相当于是二=101，101就负一的。

100次方啊，负的100次方。好，那接下来发现两两配对儿，两两配对儿，因为它总共是呃101项，101项，那么前50项正好两两配对，两两配对都为零。知道吧，所以前100项可以配成50对儿。前100项配成50对儿，50对儿，前面都变成零了，只剩下最后一项。

就前面50对儿呃一正一负一正一负，它正好全变成零。所以这样就得到是101这样呢，就选择b选项，大家会分析和思考。啊，通过这个，尤其大家注意在等比数列中等比数列中q=- 1的时候。一个非常特殊的等比数列好，那么SN。啊啊SN啊，如果n要为偶数。啊n要为偶，数n要为偶数，那它这个正好，

它就是相当于什么n要为偶数的时候n要为偶数，它正好就为零，因为正好两两配对儿。啊，两样配的，比如说我给你举个例子，你就明白了，比如说a一减a一加a一减a一。啊，如果要要是偶数项，你看这好两档配置，两档配置，两档配置，两档配置，它就为零。

那如果要奇数项呢？比如说如果要奇数项呢？如果要奇数项，那么前面两档配置两档配置都变成零了，只剩一个a1了。知道吧，如果n要为奇数。它只剩下一个a1，所以q=- 1 q=- 1，它的数列正好是呃一正一负，而且互为相反，数一个a1一个负a1，它正好互为相反数，这样的变化啊。好，

这是给大家已经讲了呃，一个特殊的等比数列。接下来咱们看一下。第二题，这个题它主要呃举止里面要配方。所以要用到一个一个绝对值的性质。局域性就是平方再开根号，减它的局域值，那这个局域值要看x是大于。还是小于零。好，那这样呢，所以用这个公式来进行分析，接下来咱们把原式给它进行配方。配方，

而且这里还用了一个什么公式呢？用这个公式就a-b^2，加上4 AB。这样的a+b^2。a+b^2-cb。这样等于a-b^2，是不是就这样的一个式子好？那接下来原式我们就可以等于。啊，原式就等于。那等于那这个根号里面那这个其实可以把它第一个根号里面可以把它变成因为这个a和b在这道题里面相当于一个x一个x分之一a等于xb等于x分之一。是不是这样的啊？一个x一个x分之一，那接下来我们呢？就可以把它写成x加x分之一的平方。

所以套第一个公式。然后第二公式，第二公式就变成了x减x分之一的平方是吧？然后这样把这个根号。里面配方根号里面配方以后，然后这个平方看根号就可以写绝对值。x加x分之一绝对值减去x减x分之一的绝对值。好变成这以后，大家知道s是在零到一s在零到一的数啊，其实这道题不会做的同学也可以取个特值，比如取s等于二分之一，做这个题也很快。是吧，这道题还有一个特值法。好x如果在零到一。

零到一那么这个x分之一肯定要大于一。对吧s分之一肯定要要大于。好，接下来的话，因为s是正数s分之一，也为正的，所以第一个其实里面就是正的，正的话直接可以把绝值去掉。直接可以把结束去掉，然后第二个第二个大家注意x减x分之一，它是负的，因为x是在零到一的数x分之一是大一的数。所以这两个相减相相减呢？相减相减，它这一块儿。

这块儿它正好就是啊，那么是负的，负的话绝对值去掉，那么再添个负号，添个负号，前面有负号就变成正的了，加x减x分之一。这样等于2x，这样就求出来了是吧？就2x所以这个呢？应该选择的是d选项。啊，如果把这个x要改成大于一是吧？比如说改成大于一啊，或者改成其他范围啊，

大家也会分析和思考，对吧？好，那这个它的这个方法。所以这是d选项，是正确的。好，另外这道题大家呢？在做的时候那么一定要看清楚这个根号里面配方这个公式啊，要知道。实实在这道题一个技巧方法，如果实在不会做技巧方法。这套方法你可以用特值法。特值法就x等于二分之一，就特值法就s次方等于二分之一。

还等二分之一把这个数化简出来，这个数化简出来，你看s等于二分之一的时候跟下面哪个选项是吻合，当s等于二分之一的时候，你自己化简一下，它正好就等于一了。这样就等于一，所以只有d选项是吧？所以当x等于二分之一，你自己带到里面算原式，它正好都等于一等于一以后，那我们就把二分之一带到选项。带到这个五个选项，里面只有d选项，它的一只有d选项，

它为一这样就写好了好吧，这是它的这个方法。接下来咱们看第三题，这个题sy为实数，且y等于根号一减四s，加上根号四s减一，加上二分之一。那么，这道题又用了什么呢？根号里面如果互为相反数啊，所以这类考点如果同时出现。根号a及根号负a。是吧，同时出现根号a及根号负a好，那我们就可以得到这个a的值，

必然是为零的。列值它必须要为零。啊a的值为零是吧？所以这道题啊，那么由题我们可以很容易得到。得到这个a的s值正好等于四分之一发现没有s值正好等于四分之一。因为要把那根号里面为零，所以x值等于四分之一，然后y的值正好等于二分之一。呃y值正好等于二分之一，然后带到里面去，这原式我们就可以写出来。圆就等于这x除以yx除以y就是二分之一加二加上。y÷x正好等于二。减去根号下s除以ys除以y就是二分之一减二，

然后y除以s又是二。对吧，又除六十二好，那在这里面大家呢，就可以写出它的这个内容，所以这个呢正好是二分之九。这是二分之一。大家知道这个呢，二二分之九可以写成二分之。三倍根号二，这个是写二分之根号二。所以减完后就等于根号二是吧？减完后这个化简完就等于根号二正确答案应该选择的是a选项，答案就求解出来了。好，

这道题不是很难，以后遇到呃根号里面互为相反数，它的这个a的值应该为零为零的话，那得到这个结果就OK了。好，这是它的做题方法，思路，看是否懂了它的考要点，看是否明白。好，第四个咱们看2x方加3 x-a^2与2x三次方减3x方减2 x+3，有一次公因式。那a的取值不可能是多少？求a的取值不可能取多少好，那这道题大家看一下a的取值，

它不可能取那么首先咱们来看什么叫一次公因式就是它首先要存在公共因式，而且这个公因式的次方是一次的。那前面大家发现还有个a。还还有一个未知参数a，然后接下来我们先对不含a的进行分解。一般高次方的话就是分组分解法啊，高次方不太会的话，大家观察特征，分组分解。这道题比较简单，你可以前两个一组，后两个一组也可以是2s三次方跟2s一组，3s平方跟三一组。这些都行，怎么分都是OK的？

好吧，所以这样你咋咋分都行，那2s三次方跟2s一组也行，三次方跟三一组也行，这个这个这两个是咋分都可以？都能分出来，这里数比较简单。前两个可以提出个2x，提出2x不变成x平方减一吗？后面提出一个负三也是x平方减一。然后在这里面，大家就可以把x平方减一再提，就可以分成2 x- 3，后面这个应该是x方减1x方减一，大家可以用平方差公式。

分成x+1乘，以x- 1，这样就分好了好不好？反正这个咋分都能分出来。啊，分完后那咱们要讨论是吧？到底谁为它的公因式？所以要讨论。讨论一个是公因式。第一种情况，公因式为2 s- 3。公因式为2 x- 3，如果用咱们因式定理啊，如果第一个是要有共同因式2 x- 3的话，那在这里面就说明。

s等于二分之三时候，它应该为零是吧？所以在这里面大家呢，就可以写出来I等于二分之三时候它为零。就相当于f二分之三，它应该为零好，那接下来f二分之三把s等于二分之三带到里面去，就二乘以一个四分之九加上三乘以二分之三。减a的平方这样，所以这个算出来是二分之九，这个算也二二分之九，所以等于九九减a方九减a方，它应该为零。因为这个a就等于正负三。啊a的值就等于正负三。

好，第二个，第二个这种情况公因式如果为。为x+1的时候公式为xx+1时候那么f负一的值嗯，看看f1应该为零。把这等于负一带到里面去，就二减三减一方。啊，它应该是为零的是吧？所以再把s等于负一带到里面去啊s等于负一带到里面二减三减一方为零。那这个a方只能是等于负一。等于负一，这是不存在的，在实物范围内是不存在的是吧？咱不考虚数是吧？

这个就不管它了。第三个公因式。如果为s-1s-1，说明f1应该为0f一，把s=1带到里面，s=1带到里面，二+3-1^2。它应该为零，说明a方应该等于五。a方等于5a，就等于正负根号五。是吧a又等于正负根号五这个写好a等于正负根号五好就写出来了好，那在这里面就正负根号五行正负三行e选项就不太行是吧印象a。不可能没有这种可能性是吧？其他都是有可能性，

你知道吧？也有可能是根号五或者负根号或者三或者负三。还有这种可能性，是不是啊？所以这种大家呢？要知道它的方法。好，这道题考的公因式和因式定理，求参数，它的知识点。好，第五个题也就考察余式，不管再复杂的东西啊，除以一个依次表达式余式都等于该点函数值啊，所以说在这里面不管它这个这道题，

它用了一个复合函数是吧？复合复合函数，我们不要去求这个复合函数啊，好，所以说在这里面就大家再给大家强调余式定理，因为有的人余式这块儿比较害怕。啊，于是定理。不管是什么东西啊，一个表达式。它只要除以一次方。它的余是。都为fa分之b。这样的是吧？余作为fa分之b好，

那这地方大家可以发现这是一个依次表示，依次表示它，于是就是s。你就把I=1带到里面去是吧？所以说这个。ff x它除以。s- 1，它的余式。就为ff 1是不是，所以说它除以s- 1的余式就f。一然后接下来这一怎么求呢？先求里面这个一的值是吧？先求出一的值，所以说根据题先把一的值求出来。f一值把s等于一带到里面去x等于一带到里面去一减二减一再加二是吧？

所以在这里面ss等于一带到里面就一减二再减一再加二这样就行了，所以它正好就v零你发现没有？这样就v0好，那么就相当于是ff 1就等于f0。零就相当于把等于零带到里面去，就剩一个二啊，就剩一个二，所以这个答案应该选择的是选项，这样就求解出来了。啊，所以这道题考察两个问题，一个问题，大家要会求这个余式啊，余式定理，第二个大家会求这个函数值，

尤其符合函数值，那么先求里面这个。里面这个函数值求出来，然后再再求外面这个就可以得到答案了。接下来咱们看第六题仍然是考察，于是这个不管是什么样，于是都是把令这个数值为零，因为它都是一次表达式嘛，一次表达式。如果除的要不是一次表达式，那这个就复杂点，比如除以二次，或者说其他次方，那这个不好做，就复杂一点是吧？

现在它除的正好都是呃一次的一次的，那就简单。所以他说啊，由题啊fx它除以。2 s+1，它的余式。就为fx除以二n加一的余式，就为f负二分之一是吧？也就说让这块为零。所以这块v零s正好就等于负二分之一。所，以负二分之一，负二分之一，正好等于八，这样就求解出来了是吧？

f负二分之一等于八，这就写出来了。其实呢，接下来他想求呃这个东西除以x加二分之一与四是多少？还是让这块儿为零一样道理是吧？有x三次方。fs除以。除以s加二分之一，它的余是？就为然后把s等于负二分之一带到里面去，而等于负二分之一带到里面去，就变成了负八分之一f二分之一是不是？所以就相当于是让这块儿v零这块儿v零s正好等于负二分之一带到里面去。好负二分之一带到里面去，然后这块数值，

它正好就为零就负的八分之一f二分之一，然后这个f。呃l负二分之一。好f二分之一正好等于八嘛，是吧？正好等于八正好等于八，然后算出来就等于负一，这样就写出来了，所以说这就是它求余式的方法，正确答案应该选择的是c选项。好，这是它的做题点和思路，所以通过这道题啊，告诉大家，于是嗯，

只要求一次表示，于是都等于该点函数值好吧，直接找该点函数值，然后算出它的结果就可以得到答案，看这块儿是不是听懂了？接下来咱们看一下第七个这道题，这道题主要是求系数对吧？求求系数我们知道求的系数的话，大家就记住三个值啊，记住三个值这种特值。特值一个是啊，一一个负一，还有一个零是吧？就这样的好，那接下来咱们看令s=1令s=1的话，

那就变成a 0+a一+a二。加a3。加a4，加a5，加a6。正好等于一是吧把s=1带到里面去，它正好就为一，然后再把s=- 1带到里面去s=- 1。然后等于负一正好就变成a零减a一加a二减a三。加a4，减a5，加a6。是吧，把x等于负一带到里面I等于负一带到里面，这样负二减一得到负三就得到负三的六次方。

啊，这样就写好了，写好，然后这两式相加两两式相加除以二是吧？两式相加还得除以二啊？就是a0。加a2，加a4。加I6就正好等于二分之这个负三的。六次方就等于三的六次方好吧，就等于三的六六次方这样写好，所以就一加上。三的六次方。大家知道三的五次方等于243，三的六次方就等于729，

一加上七二九÷2，这又得到730。是吧，730。啊730那么我们就可以得到它的数值等于365是吧？所以365。好，365好在在这里面还差一个谁呀？差一个a0的值是吧？差一个a0值，然后再再令s=0。s=0的话，然后就可以算出a0的值，因为s=0的时候这个剩一个a0a0的值正好就为一是吧s？等于零就a0，

这样等于负一的六次方，它等于一好把这a0给它化简过来就可以推出，它的结果就等于a2。加a4，加a6。那就等于365-1就等于364。然后答案就求出来，这样答案应该选择c选项好，大家以后求这系数，记住这三个值的变换啊，就可以找到咱们想要的表达式和结果。所以要知道每个数值干什么用一的话就可以求出它们的和。啊，负一的话就可以得到一正一负，一正一负，

一正一负，这种表达式。然后零的话可以求出常数项啊，把常项求出来，这样就可以得到咱们想要的结果。好，下面咱们来看啊，这个题。满足等式x乘以根号y+y倍的根号x减去这个值，它的正整数对儿。啊，这时候对儿的话，它这个是有顺序的xy是有顺序的啊，因为它这个相当于是一个数对儿。啊，

比如说它俩可以交换顺序。然后呢？除非这两个值是一样的，它就不用交换顺序了，就有点儿像咱排在组合里面的，如果两个相同，比如说xy它都等于十都等于十的话，就不用交换顺序了。如果一个是三，一个是八，那要交换顺序。另外的话，那么在这里面，如果要改成集合x逗号y，改成集合改集合的话，

那这个呢，就不用再排序了。点集合这个就不用排序sy和ys就不用再排序。然后接下来咱们来看一下这道题，这里其实你把这个二零二七给它移过来，移过来，大家可以发现这总共有六项，所以大家要观察这道题，很多同学拿到题没有思路。你把这二零二七等号右边的二零二七移过来。一贯可以发现啊，这有有有六项有六项，其中有三项是正的，那这是正的。还有另外都是负的。

都是负的，这个明白没有？所以接下来我们呢就可以看出来，所以你把它移过来，移过来就变成。y根号x你把正的放在一起。然后后面就是负的。就是前面是减号，就二零二七。x这也是二零二七y。然后减二零二七=0是不是？所以大家可以发现，你把这个正的。放在一起，还有后面这三个负的放在一起，

有点像分组一样啊，正的放在一起，负的放在一起，然后再提公因式。提供因式，大家知道这个x。x你可以把它看成根号，因为它都是正整数啊，这种x可以把它看成根号x乘以根号x对吧？这个y也可以把它看成根号x根号y×y。好，那接下来咱们看一下前三项就可以提出一个根号xy。有根号xy里面剩的就是根号x加根号y，再加根号二零二七这样的。你要减去后面这三项，

大家可以提出一个根号，二零二七。根号二零二七，这个就剩的是根号x加根号y，加上根号二零二七。是吧，所以这样子，这样的话，那这两项我们就可以提供因式了，再提供因式，所以这道题呢，看着像很多，一定要观察特征，只要做到这就好办了。有根号xy减去根号二零二七。

括号里面有根号x加根号y。加上根号二零二七=0。然后大家知道，因为xy都是正整数，正整数的话x根号x根号y也是正整数，然后。啊，也是正数了啊，也正数x根号x根号y都是正数，正数的话，根号二零二七也是正的，所以说这个括号里面它就是正的。正数好，这个正的话，它要相乘等于零的话，

那只能前面为零，前面为零，就说明什么意思啊，说明x×y，然后等于二零二七。这里有考察二零二七，它的分解情况啊，二零二七它分解非常好，大家可以发现二零二七它分不开，说明它质数。知道吧，质数质数化它就可以分成一乘以二零二七。或者分成二零二七×1，所以xy它有两种情况好吧，那其他这个分不开啊，

其他方法你就用这个整除的特征，可以简单判断一下咱们学过的。比如它不可能是偶数，它是奇数，它也不是三的倍数啊，也不是五的倍数是吧，然后也不是11的倍数，反正就这样判断一下，判断一下它这个分不开。就我们看它这个质数质数啊，它就两两种情况。所以呢，就选择b啊，如果如果考试的话，它这个数会给的小一点儿，

知道吧，这个上千的数有点儿大。是吧，比如说给一个几十的数是没问题的啊，比如说给一个37这样的质数，或者给一个合数也没事儿，比如说它这个二零二七改成一个合合数。改成35或者什么的啊，反正就去分解在这儿呢，你把它分解一下，分解保证sy是正整数，而且注意它两者可以交换顺序就可以得到答案了。而且它的做题要点和方法。好，接下来咱们看一下第九。

好求s值到底多少？那这道题大家可以看到，这个分母是加分子，是乘一般咱们优先啊，让分母呢？是乘分子是加。知道吧，所以给它颠倒过来好吧，所以看到这个，咱们先给它取倒数。啊取倒数取倒数给它颠倒过来，颠倒过来以后，因为这个是一嘛颠倒过来以后就变成了x加y除以xy，它还为一就得到x分之一加y分之一。它还是唯一的。

第二个就相当于yz分之y加z。这个得到是y分之一加z分之一，这个颠倒完就是二分之一。然后这个就是zxz加x就等于x分之一，加上z分之一。这个就等于三分之一。就是三分之一好，这样的情况，然后这种它要求s值求s值，这个也好解，看起来挺复杂也好解。你看一式加三式减二式，这样x基本就出来了是吧？所以大家可以发现一+3。减二就可以得到什么呢？

一二三减二那正好呢，就相当于是。呃，一加三减二，将来只剩下两个x分之一了，就一加三。减二。所以这样就可以算成六，这是六+2得到八。八减三得到是五。是吧，五所以s就等于五分之十二就写出来了。二等于五分之十二，所以正确答案也是选择b选项，答案就写好了，

好，这是他做题方法思路，看是不是懂了好，这道题大家啊，怎么想到取倒数啊，因为优先让分母是乘。分子是加，这样就好裂开，知道吧啊，裂开要方便啊，这是它的化简化简完了，然后这样的方程组两两相加。啊，循环加的这样的循环方程组其实很好解的，让某两个方程相加减到另外一个可以马上把其中一个给它求解出来。

接下来咱们看下第十题，这个题。好，那这个题大家可以看到，那么看起来很复杂啊，其实这道题可以用个技巧做。纪要纪要的话呃，因为它没有限制，有同学说我可以取特值做行不行？可以的，你用特值法啊，特值法特值法，比如说你a=0 b=1。c为负，负一。

是吧，然后这一块儿是吧c为负，但是你取它的时候注意不要让分母出现零，如果你这样这样取它的时候会出现什么会出现b+cb+c- 2a为零，这样就不行，你就取个c为一是不是这样？这样就可以避免它为零。是吧，就可以避免它为零，让它取这个特值法做，还有一种更简单的技巧，你看或者这样取，你看a和b相等。a和b相等a和a和b相等的时候，我们看原式变成什么了。

a和b如果相等。a和b相当这个分子，它就为零了，发现没有？c你就甭管它了，这个分子a-b就为零，这个b-a它也为零是吧？也为零，所以它这个为零，这个也为零。然后后面后面剩的就相当于把都换成算了，减乘一个减是吧把都换成。把b都换成a，这个就变成a- 2a，结果呢？

c-a。这个把b也换成a，就a- 2a也是c-a。所以这个数值它就为一，其实大家注意数学看到越可怕的式子啊，其实有时候答案可能越简单是吧，所以这样答案就选择e选项。啊，它的这个思路这样去，然后所以你可以用具体值来带到里面去进行分析，是不是然后再取具体值的时候注意不要让分母出现零？或者说我不取这具体值，我就直接让相等就甭管它了，发现发现它最后就就就约掉了是吧？约掉了。

好，那这道题的一般计划怎么做？一般计划那就比较麻烦，一般计划要用整体的思想来进行分析。大家知道这个a-b- 2c啊，我们可以把呃一般解法就这样，一般解法我写几步啊，写几步就就特别复杂了，化简化简且。啊，特别复杂，因为这个分母关键的分母复杂，知道吧，一般情况下就是原式。我们可以把它写成分子，

就是a-b就是a-c，这个呢，可以把它写成什么？写成第一个可以写成a-c，加上一个b-c。好，第一个乘以个第二个，第二个就a-b+1个c-b。第二个，然后再加上一个这个b-c乘以个b-a。然后这个呢？这个a呢？大家可以把它写成什么？写成b-a+c-a这样的。然后再乘以一个b-ca-c。

b-c+a-c。是吧，然后第三个一样，第三个咱们看看可以把它写成什么，第三个第三个的话就是相当于c-a×1个c-b。这个分母可以写成c-b，加上一个。加上一个a-b。再乘以个c-a。加上一个b-a。反正这这这弄了一大堆是吧？好弄了一大堆。好，那么这道题，然后在这里面，

大家可以发现里面都是什么a-b呀？呃a-c呀之类的是不是？所以在这里面大家呢啊就可以。呃，用整体的思想。针对性针对性啊，大家呢，就可以把比如说a-b，把它看成一个u。减把它看成一个，然后减把它看成一个是吧？把它看，但是然后大家自己去化简就可以了好吧，然后接下来我就把这个换完以后的式子给大家进行写出来。画完以后是给它写具体的，

你往下你自己可以找时间再画一画。那这样原式我们就可以发现。啊，第一个分子，这a-b就u这个aa-c就负wu乘以个负w。然后这个a-c就是负w。是吧，好，这是负w。然后b-cb-c是v+v。括号，然后这个a-b是u。u然后呢c-bc-b是负a。加上第二个。第二个，

第二个就b-c。啊b-c是vb-a是负u。啊b-a是负u，然后这个分母b-ab-a是负u。然后c-a是w。然后b-c是va-c是负w。然后再加上d第三个，第三个的话就是c-a是wc-b是负v是吧？然后接下来咱们再看。呃，分母分母c-bc-b的话是负v。然后a-b是u。然后这个乘以一个括号，然后c-ac-a正好w。c-aw，

然后b-a是负u。好b-ab-a它正好是啊，正好是负u，这样就写好好吧，然后在这里面大家呢呃，可以把这个负号上下变一变。是吧，这个负号跟这个都变变上下都都弄个负号，都弄个负号就变成u×w。这个是w-v，这个乘以u-v。啊，上下负二就v×uv×u就是u-w。这个v-w。然后再加上w×v就是v-uw-u。

好，这样的。然后在这里面，大家呢？大家呢，就是把它再通分好吧，通分，然后再画通分通分，然后第一个分子，第一个分子，你给它乘一个什么啊，乘一个式子，第二分。分子分母给它乘一个四，让它分母都变成一样的，

知道吧？都变成都变成，比如w-uuu-v它还它还少一个什么少一个u-w第一个分子少一个u-w。是吧，所以在这里面，大家到时候给它通分通分，就比如w-u。啊u-v。然后呢，还再差一个。w-u是吧？w-u所以第一个分式的分子。都乘以个w-u啊，这第一个分式分子都乘以个w-u就行了，然后第二分式u-w，

这w-u有个负号。负号，然后呃v-w。是吧，所以在这里面哦，这个这个第一个。不对，第一个应该乘以个w-v。是吧啊，应该是乘一个w-v呃，乘一个v-w吧。好，第一个应该乘以v点w是吧啊？v点w。好，

这个上下都乘一个v-w，然后这个分式有v-w了，有有u-w对w-u，然后这个乘一个uu-v要要变一个号啊，变一个号。v×u，然后这个v-u就行了。是吧啊，然后第三个分式上下都乘一个，你看呃减u有了，然后减u有了，然后再乘一个减。但还有个负号，所以w-v。好，

那这样大家把它这个化简化简完，然后这个上下都变形变形的话，其实这个式子跟它一样，其实你这个怎么变知道吧？两两变啊，先两两变两两变以后，然后再。跟第三个一块儿变，变完后得到分母，跟它是一样的，所以算出来它也等于一，这样就稍微复杂点儿好吧，这是一般的方法，所以它用特征法做比较简单好，这给大家讲了一个整体的思路。

和要点用换元的方法来进行处理。好，这道题大家呢，就是自己去练习一下就可以得到答案了。好，接下来咱们看第11题，它已知a是方程的一个根。好，那在这里面大家不要用求公式把这个给解出来，因为这个求公式比较复杂是吧？不要把它解出来，然后带到里面去，那这样的话就是不好弄。所以这道题大家可以看，用整体的思想，

然后凑零这四项来进行分析是吧？所以说在这里面就产生零。零的一个变形妙用。好，大家知道a是这个方程的根a是这个方程根，那说明什么？说明a肯定满足这个方程a满足这个方程a方减3 a+1，它等于零。是吧，所以a是满足这个方程的，所以就a方减3 a+1它为零，它为零，然后接下来就往里面凑，有两种方法，一种方法呢，

就是从高到低逐个变。啊，逐个变，所以原式。那这样写。第一个a的五次方a的五次方，相当于给它乘一个三次方就行了，所以说就相当于是2a三次方a方减3 a+1。然后多退少补嘛，是吧？你看这个2a的三次方乘以a的平方正好是2a的五次方，然后2a的三次方乘以3a正好等于是6a的四方，6a四方，这是减5a的四方，是不是要给它补一个a的四方？

多的少补，然后这个二的三次方乘以一就二的三次方二的三次方，那就不用补了，那那正好是吧？这个正好有二的三次方就不用补了。然后再减8a方加3a。好，那么前面这一块儿，它就变成零了是吧？大家知道零乘以任何数它还不对，它还为零。好，那这样，那接下来咱们再看往下再再进行拼凑。在a的四方a的四方可以把它写成a的平方。

a的平方×3a。a的平方乘以个a方减3 a+1。是不是这样的，所以a的平方看a的平方，这两个相乘，这样就a的四方，然后这两个相乘正好是减去3a方。减去3a方，这是减去8a方就是减去5a方。啊，所以说这个这个减去5a的呃，这不是这是有一个a的三次方是吧？就a方乘以3a就是三倍的。a的三次方。然后这个a方乘以1a方乘乘以一，

正好就是a方a方原是。是8a方，所以要减掉一个9a方。然后加3a。好，大家可以看这一块儿，它正好又是零又零就没有了，只剩后面这个后面这个大家是不是可以提出个3a啊？提出3a提出3a以后。正好又变成剩一个a方减3 a+1。是不是这一块儿，所以a方减三+1，它正好就v0是吧？就这块儿整体正好v0v0答案，它这个就等于零，

所以正确答案应该选择b选项。好，这是一种方法好吧，首先要注意用整体产生零的方法来进行分析。然后第二个方法什么第二个方法用那个竖式除法啊，竖式除法给大家演示一下，竖式除法可能稍微长一点。啊，输入输入法输出法，那我们就可以写出来。这是2a的五次方减，5a的四方加，2a的三次方。减8a方加3a。是吧，

加3a除以个a方减3 a+1好，我们看一下它竖式除法，看它最后剩下什么啊？然后接下来大家可以发现，这个正好就是上一个2a的三次方。算2a三次方拿2a三次方跟它每一个相乘，正好是2a的五次方。然后减去6a的四方加三，加上2a的三次方。是吧，拿这个。跟那个商每个相乘就行了，像然后上下相减上下，然后这两个相减，然后这两个相减，

这两个相减正好就是。a的四次方，然后这块儿就是零了。然后在下面再写一个。负的8a方。啊负的8a方，然后这地方再上一个几啊，再上一个a的平方就行了，上a的平方那a的平方跟它每个乘a的平方跟它乘就a的四方。然后减3a的三次方加a的平方。然后这上下再相减好吧，上下然后再相减，现在a的四次方跟a次方减嘛，零减掉它就得到3a的三次方。这变成一个9a的平方+3a。

是吧，然后这块它减的话，应该减掉这个，所以就得到上下相减。3a三次方减9a方加3a，然后这块儿大家再写一个什么，再写一个3a就行了是吧？这地方再写一个3a。咱这样就3a的三次方减9a方加3a。是不是这样就写好了要，然后这个正好就为零为零的话，那这个余式为零，余式为零，答案就为零，为什么答案就为零呢？

因为它这个余的刚好为零的话，就说明原式。正好等于。除式乘以商余式，加余式，嘛余式正好为零是吧？就等于除式。乘以商。然后再加上一个余式，余式正好为零是吧？加上一个余式，余式要正好为零，所以这个而且这个括号里面是等于零=0那整个。答案就为零是吧？如果于是要余一个一啊，

或者余一个含的东西啊，到时候你就可以选这个其他答案了。好，这是给大家讲两个方法好吧，一个呢，从高到低逐个。整体拼凑变形，多退少补啊，逐个变啊，给它把次方给它降下来，第二用竖式除法啊除法，然后找到它的余下来的这个数。然后就可以得到答案，看是不是听懂了。好，

第12题这个题这道题呃，考察这个分解分解，然后然后来找它的这个数，它说可以被60至七之间的两个整数整除，整除的话其实就是。分分解求约束了。它能被什么数整除，就相当于求什么样约数，对吧？所以咱们一个个分呗分就用平方差公式啊，或者。呃，立方公式啊，去分解慢慢分呗，就二点四八减一。

啊，你用这个立方公式分也好，平方平方差分也好，然后48可以写成24括号的平方。是吧，可以写成。二，24+1×2的24-1是不是这样的？然后前面这个加的这个正的没法分了，这个减的。24可以把它看成12再平方，12，12可以写成24+1就不要动了，就二的12次方减一×2的12次方加一。对不对啊？

然后把加一放在前面吧。然后二的12次方减一，然后12又可以把它看成六啊六六的平方，所以说二的24次方加一。乘以二的12次方加一，乘以二的六次方加一，乘以二的六次方减一。然后往下就不用再分了，因为它如果能被60与70之间的两个数，60与70之间两个数，那那这这个数已经已经找到了是吧？已经找到了这个是。被它这这个数26，26次方加一正好是65，因为26次方64嘛，

这个正好是63。比如65和63这样就写出来了是吧？65和63所以这个呢？应该选择c选项，可能有的同学这道题没读懂，知道吧？其实读懂了那这道题其实也很好做，就逐个分解。分解成咱们想要的这个范围的，满足这个范围的数就可以得到答案好吧，看是不是听懂了？好，接下来咱们看第13题，这个题好，已知w平方加w+1=0，

则这个w这么多次方，然后这道题跟哪个题一样，跟上面这个题有点像。是吧，有点像也是满它等于零满，这个等于零，然后求这个式子解释，只不过的区别就在于它这个次。四方高一点儿，然后内容多一点儿是吧？然后原理差不多，大家发现没有，是不是原理差不多，所以这个地方大家呢就可以也凑出这个整体就行了？凑这个整整体。

啊来分析就可以了。好，那这样就可以写它的，这个结果是吧？所以这个当然这因为它这个式比较特殊啊，当然这道题也不能求根求根的话，它没有实根。知道吧，它这个方程是没有实根的。你不要求跟这样，大家可以可以。三个一一组配对，三一组配对是吧？然后配。然后所以原式。

每三个一组嘛，每每三个组配一下，大家知道这三个一组，这三组大家可以提出一个w的一九九三。剩下一+w+w平方，这个括号正好就v0。是吧，这块儿正好就就为零，所以3A组3A组3A组给它搭配起来，所以它这个数值，它正好就为零了。是不是这样的，然后这样就写出来了。然后接下来这是一九九三，一九九四，

一九九五，接下来就w一九九六。那u九六u九六，然后又一+w+w平方是不是？所以在这里面大家呢，就这样写，没事啊没事啊，我们看总共有多少个，看看能不能刚好配干净是吧？这从一九九三到二零一九一九九三到二零一九，总共有多少个数？二零一九减一九九三。啊，正好得到是16。啊，

这样大家可以发现吗？这样是二六是吧？所以在这里面就二零一九减一九九三嘛，这是六这是二六二六加一二十七项啊，所以共27项。共二七项，那说明它正好就能配干净呗，是吧？两就三个一组，三一组正好能可以配成九九对儿是吧？所以最后。就得到w的啊，二零一七乘以个一+w+w平方就最后三项给大家写一下。最后的三项就是二零一七乘以加w×w^2，因为这二零一九可以把它看成二零一七，

这个再乘以w的平方是吧？二零一七×w^2。这是二零一九。然后这个算出来，它正好就等于零，因为每个括号它都为零嘛，这里呢，就选择b，然后这样就求解出来了，好看这个题。哎，是不是明白了，然后拆分？当然，这道题还有一个方法，

可能大家想不到，知道吧，如果以前参加过竞赛的同学，应该能想到这里可以用等比数列求和，看到没？这是把它看成一个等比数列，所以这道题当然这道题的方法。它不是一个呃通用方法，你像这道题也可以用等比数列，你像上上题那个题又不能用等比数列是吧？这是等比等比求和。那么，等位求和就相当于是w一九九三。加上w的二零一九。它正好是一个等比数列嘛，

首项是这个嘛，公比是w嘛，这就像一减公比分之首项。乘一个一减公比的27次方是吧？一减公比的这个二二十七次方。那这样就写好了。啊，希望呢，在这里面啊，在在这里面，大家往下怎么做呢？往下这样w平方乘以w啊，加上ww平方。加w再加一它等于零，这样我们就可以两边因为这样大家知道这个w它肯定。

肯定是不能为一的，对吧？因为为一的话，这个是不为零，肯定w是不为一，它要不为一的话，那么。两边同乘一个w- 1总可可以吧？可能大家就想不到。同称w- 1同乘w减，这正好是一个立方公式，大家能看到吗？正好是三次方减一的一个立方公式，所以就可以得到。三次方正好为一注意，

三次方为1000万，不要说就为一啊，因为大家在高中学过三次，方为一它除了有一个。十根还有两个实根，这道题把那个实根给它去掉，然后是两个虚根知道吧，所以说w三次方为一，它应该有三个根，三个根，一个实根，两个虚根，两个虚根就不用管它，反正w3的唯一不要说唯一。知道吧，

因为因为这道题，它没说是实数，然后w三次方为一，那大家知道w27次方可以把它看成三次方，再九次方，它也为一。是吧，为一所以说这个括号里面它有v0v0的话，那这个答案就求解出来是吧？这个可能大家想不到的一个思路，所以通过这道题，大家以后记住。又遇到什么呢？那遇到这几个要给大家进行说一说。啊，

遇到这这几个啊你比如大家在化简的时候，可能有同学呢，就是呃，不会化简啊就。第一个就w平方。要大于等于一，它可以把它变形成。然后呢？就是加上分之一=-1知道吧，所以说在这里面相当于把这个两边同除一个，两边同除一个。然后又变成w加w分之一，正好等于个负一是吧，然后它也可以把它等价成w三次方等于一，但是这个w是不为一的，

是非实根的。啊非实根的，所以在合同变形的时候要注意这中间的过程，刚才给大家写了，就两边啊，同乘一个w- 1。第二，如果要w方减w+1。它可以两边都除一个w变w加w分之一。等于一。等于一，然后在这里面那么这个这样，如果这样是w方减w+1的话，两边同乘以个w+1 w+1就可以得到w三次方加一=0。就可以得到w三次方等于负一注意，

这个w也是不等于负一，它也是没有实根的w三次方等于负一。它是没有实根的，是另外两个虚根，虚根的话，咱们不用管它了，好吧啊，这是它的这个内容，大家。呃，要注意啊，另外咱们前面在讲矩阵定理的时候也讲s加x分之一大于等于二，这s大于零。还有x加x分之一小于等于负二就x小于零，这是咱们在实数里面，

它有这样的情况，所以说在这种看它这个比二要小。是吧，比负二要大，不在这个范围，不在范围，说明同样也说明这个w它不是实数啊w它不是实数，所以这一块儿也给大家进行扩充一点。是吧，让大家呢稍微呃，把这个表达式范围呢啊，学的学习的范围要稍微大一点，大家要知道。接下来第14题这个题的话，大家要注意的，

这个内容是它这个正好等于二和负二，咱们根据这个基准定理就直接可以把它给解出来是吧？是吧，直接把它呃给它解出来条件，一条件x加x分之一等于负二，那很明显，并用精确定理可以得到等于负一。是吧，等号乘以条件或者你你不知道均值定理，你把分母乘过来乘过来，然后再移项也能得到这个x，它是等于负一的一样是吧一样，所以它这个x=- 1负一的六次方还等于正一，所以说x六次方加x六次方分之一。它等于二，

所以它这个是充分的。然后条件s加s分之一等于二等于二的话，那么就这样就可以推出s等于一而等于一的话s六次方加s六次方分之一。a=2是吧？也等于二，所以两个条件它也充分，这个答案就选d好，这是给大家强调的，它的数值如果要是二。或者负二，它刚好就是一或者负一，这样的取值啊，这根据基准定理就可以把这个结论给它记住。可以给大家概括一下啊，概括一下就以后遇到这个x加x分之一，

那么它的这个情况。s加s分就有三种情况啊，就x加s分之一等于某个值，它就有三种情况。好，那么第一种情况，第一种情况就是s加x分之一等于一或s加x分之一。啊，这这样吧，第一种情况是无死根的情况，这样写。啊，无实根的时候，无实根就是x加x分之一等于一，还有呃x加x分之一等于负一。

是吧，等于负一，然后这一块。你看它可以变变成s方减s+1为零。好，它可以把它变成两边通乘，一个x+1得到x三次方就等于负一，当然x不能等于负一了。是不是然后第二个第二个可以把它变成x平方加x+1它为零？嗯，这样两边同乘以x- 1，这个得到x三次方等于一，这x不等于一，好吧，把x三次方看成一个整体。

啊，来化解。然后第二种情况，第二种情况是相等实根。相等式呢？相等式呢？比如说这个啊，等于二或者负二是吧，然后等于二x加四分之一等于二等于二就说明x只能等于一个正一。还有一个x加x分之一等于负二。负二就说明x只能等于负一是吧？只有相等实根，然后第三个呢？就是不等实根。不等不等，

式根就是x加x分之一等于a，只要是a大于二或者说a小于负二都行，比如说a等于正三或者a等于负三。那这个都行，那这块儿的总结咱们前面给大家进行总结过，让大家求x平方x平方分之一啊或x三次方x三次方分之一啊，大家把那个笔记看看就行了好吧，所以总共关于这倒数就这三类看各位同学是不是听懂了？可以把这三类，然后这个再总结一下，到时候x平方加上平方分之一怎么变形x三次方加上三次方分之一怎么变形？s四方加s四方分之一怎么变形？s减s分之一的绝对值怎么变形？好吧，这块儿大家会求解和分析好。

好看，各位同学是不是听懂了？然后第15题这个题。s平方加y方加z方减xy-yz-xz=75，那这个题干咱们先把它做一下，等价变形。题干可以两边通成一个二，可以把它配成三组的平方。正好等于150是吧？配成三组平方好那条件1 x-y=5，那肯定是单独是不充分，因为条件一你也不知道z是多少。对吧，条件上肯定也不行，条件上它没有x也不行，

所以肯定要联合分析，所以肯定要联合起来。啊，联合起来以后那么呢，咱们呢就可以求出让这两式相减，让这两式相减可以求出x减z的值x减z的值就等于五减十就等于负五。是吧，可以把减z可以求这两个式一相减相减，求减z值，这样的话，你可以把减y的值。还有z-y的值，还有x-z值都给它带到里面去。x-y值正好是五。然后这个y-zy-z呢，

你就用这个z-y十带着就行了x-z带到你带到里面正好答案就可以好吧，这个我就不再带了，这个答案就选c选项。这个答案就求解出来了，而且它做了一个方法思路。好，接下来咱们看第16题，这个题看它这个比例问题，比例问题大家呢，就可以用呃，一般方设k法做就很快了。是吧，设k法做，然后看左边和右边是不是相等是吧，左边右边是不是相，

那我们看条件一。我们就采用设k法。设k法来进行分析和思考。思考是吧？用设k法做好那看条文，一条文一可以令这个b分之a等于d分之c。当一个k。是吧，它要它要等于个k。好等于k以后那就可以推出什么推出a就等于bk。c就等于dk。好，那接下来我们看左边右边它是不是相等的？啊，因为注意它这个BD都是正数啊b，

它都是正的。然后再看一下题干的左边。左边就等于a+b÷c+da+BA+b，因为a正好等于bk。加上BC=dk。加上d，所以大家可以发现这个b就是k+1这个d×k+1，它正好等于b÷d，因为k+1它可以约掉。是吧，这个k+1，它可以约掉，因为因为这个BD它都为正数嘛BD BD它都都是正数。啊，都为正数，

都为正数啊，那得到是b÷d了。好，这个它的数值和方法好吧，这样啊，这道题k不能取负一啊，有同学说万一这k=- 1怎么办？k不能为负一，因为题目出来c+d不为零嘛，因为k要等于负一的时候c正好和d是互为相反数。互相的时候c+d正好为零，那布满了题意，知道吧？好，我们来看右边。

右边右边就是根号下这个a方加b方a方加b方，我们可以把它写成什么呀？a=bk嘛，写成b方k方加上b方这个分母，分母c可以写成d方k方，再加上d方。然后分子我可以提出一个b方，或剩下是k方加一。然后这个里面剩的是d方除以k方加一，然后大家知道k方加一跟k方加一，它又约掉了。有点有点难，因为它这个说这个BD都是正数BD都是正数的话，那就剩一个b方开根号和d方开根号，因为b是正数，

所以直接就可以写出来。其实然后左边和右边又相等相等，它就成立，所以条件一呢是充分的，对不对？条件一是可以是充分的。好，那么条件咱们看一下呃条件。条件的话，同样道理也是利用这个a。除以BC，除以d=k一样道理，只有哪不一样知道吧？前面这个左边都一样啊，只有哪不一样，

就右边这右边这就变成什么了啊右边。右边还是变成了b方根号。b方除以根号d方，因为条件，它说AB都是BD，都是负数。b要都是负数的话，大家知道平方根号应该变成b的绝对值。d的绝对值，然后在这里面应该变成负b和负d，但是还是等于b÷d知道吧，就这块不一样啊，就因为它说BD均为负数负数，大家知道平方开根号应该写成绝对值。绝对值，

然后b是负的d也是负的，去掉绝对值要加负号加负号，在这里面大家就可以得到这个值是吧？这样写出来，所以条件二它也充分。正确答案就选择d选项。所以这道题就采用设k法啊，证明题干的左边右边是否相等啊，看一下它的数，而且这里用到的平方开根号这样的一个处理方法。接下来咱们看下第17题，这里遇到连等式，大家也可以采用这个比例定理做等比定理来进行分析和思考。但是条形一给大家设置一个陷阱，你知道吧？

条形设置一个什么陷阱，因为x+2+z你不知道是不是为零，所以条形一大家注意。这道题就考察等比定理。好等比定理，等比定理的话，大家注意这个m你要讨论当s+y+z不为零的时候。而加尔伽利不为零的时候，这个m呢，就可以由等比定理。等比定理得到什么m，就等于把这三个分子分母相加。把分子相加，分子就是2 x+y+z分子，加就分母给它加在一起，

分子加在一起，然后这样就得到是二是吧？但是当x+y+z为零的时候。这时候就不能用，等比定理啊，用等比定理就错了x+2+z=0的时候，这个x+y它就等于一个负z是吧？x+y的值。s+y值正好等于负z。x+2之差正好等于负z，负z的话，那么就把第一个分式的分子把它换成负z，这样m就等于一个负z÷1个z就等于一个负一。是吧，所以题干1m有两个值，

咱们讲过，如果一个条件有两个值，而题干只有一个值，这时候是不充分的。知道吧，就是条件的数值超过了题干的数值，那么就不充分，条件上它说xyz为正实数，这样就可以了，因为正实的话，它不可能x+2+z=0，所以条件上。它这就说明什么s+2+z。可能是不为零的，不为零的跟上面一样就可以推出这个过程，

跟它一模一样就不带写啊，推出m就等于二，所以条件儿是充分的好吧，所以这这个答案就选的b。所以这是给大家强调，在等比定理呃使用的时候，一定要看它分母是不是为零啊，把这个内容一定要看清楚。下面我们来看第18题s减二十八一个因式，因式的话，大家用因式定理做就行了是吧？因式定理先把题干呃给给化简一下。所以题干。题干就s等于二是呃s等于二时候f二应该为零是吧？为零f二就等于八减四加二m减n那应该为零。

然后得到2 m-n，这样等于一个负四。是吧，负四只要满足这个条件，它都是充分的，所以大家看条形一条形1 m=2 n=8，所以条形一这个是可以的，只要满足这个等式的都行。条件m等于三三n=10，这个也可以是吧？这个答案就选d选项啊，答案就求解出来了。好，这是它的方法思路，看是不是明白了？

然后第19题这个题啊ABC中至少有一个大于零，至少有大于零，咱们讲过和要为正至少有一为正，所以在在这里面咱们看一下它的和就行了，好吧，所以说我们看它的和。反正一般有同学说判断这个符号，怎么判断判断符号的话，那么要么就看和要么看乘积，反正就找这两个角度嘛，你要不会想的同学就往这两方面想，要么他们的和。要么它的乘积那这道题，它的乘积的话不好弄是吧？乘积有时候不好弄，

我们就就看它的和呗。那和所以说就s+y+z。来，接着接下去，你把这个含x的放在一起，就x平方减2 xy方减2y。z方减2z。然后加上一个派是吧？因为二分之派。三分之派和六分之派加在一起，正好是派啊，正好派这样就写好了，然后接下来我们把这个都给它凑一个，一是吧，凑一个一正好配方。

所以可以配成减一的平方，加上减一的平方，加上减一的平方，然后再加上一个派减三。大家知道前面这个都是大于等于零。是吧，都是大于等于零啊，这是AA+b+c。好，那前面这都大于等于零。是吧，前面好，这都大于等于零，大于等于零的话，那派减三，

它是大于零的，然后这整个就大于零，大于零，只要和为正就可以推出ABC，至少有一位正。至少一个为正。啊，如果和要为负，至少有一个就为负好吧，所以他这个方法要要明白，然后再看条件条件syz为实数，那么a+b+c你就给它加在一起a+b+CA+b+c的话。它这样等于x- 1平方，加上y- 1平方，加上z- 1平方，

也给它进行配方，让它大于等于零，它有可能是等于零=0，有可能说。有可能三个都为零是吧？所以说有可能。ABC.它都为零都为零，所以它这个就不充分。它不能保证至少有个为正，它这个都没有为正的，你看到没？三个都为零，没有正数，没有正数的话，

那这个就不行了是吧？所以这个条一是充分的。然后正确答案，应该选择a选项好，这道题给大家强调的这个方法好吧，所以大家注意和正至少有个为正，这个咱们前面也给大家总结过。如果核要为负，至少有个就为负。然后成绩要为正三个，成绩要为正，这时候你要讨论了三个，成绩要为正几个正几个负是吧，到时候大家讨论一下啊，所以这是给大家讲的判断。

它的正负的一个方法，往乘积或者合上去考虑，去找突破口。好，接下来咱们看二题，这个题a分之b加b分之a等于负一AB呢，它不为零是吧？AB不为零主要为了让分母它有e。e好，那么条形一a分之一加b分之一等于a加b分之一条件是三a方，三a方加上二AB减b方，它为零。是吧，为零那么咱们一个来说一说好吧，首先看一下条案，

一条案一我们看得到什么东西，条案一的话就左边可以通分是不是？那同学们就AB分之a加b。等于a加b分之一，然后大家可以十日相乘啊，十日相乘。好十字相乘，就变成什么？变成一个a+b^2，正好等于AB。然后这个a+b平方是不是可以展开展开，它不有个展开，有个2 AB嘛，2b把AB给它移过来，移过来就变成了a方加AB。

加上b方v0是吧？v0那这时候两边大家都可以通除一个AB知道吧？两边通除一个AB。知道吧，两边同除一个AB同除AB就变成了什么变成？嗯，变成这个这个式子，我们看它要出现这个啊啊题干要这样的题干它要求。呃，a分之b是吧？那这样那那就带入题干吧，带入题干也差不多了，就a分之b加b分之a。然后呢？我们呢？

就可以把它看成一个什么情况呢？看成一个这个通分嘛，是吧？就AB。分之b方加一方。大家知道，通过上面这个题，通过上面这个条文条件，可以画出什么呢？画出a方加b方，这样等于一个负的AB。是吧，就等于负的AB这样的一个式式子。是吧，这样的一个式子。

然后这样这样话，然后就可以得到这个结果了是吧？在这个分子上负AB，然后除以AB，然后等于负一。好，这是题干，我们就可以推出来，它是充分的。然后刚才咱们说了，如果这个等式两边同除以AB同除以AB，你看看也也差不多同除以AB的话就变成了。b分之a加上一加上a分之b等于零，这也能推出b分之a加上a分之b等于负一，这样也OK的。

是吧，这样也是一种方法。所以你做到这根据条件一，先把通分化简化简到这以后呢，然后呢，你可以把这式两边同除以AB，这是一种画的方法。或者说你直接把这个题干整理一下，然后给它替换也行，所以题干一呢都是充分的。条件条件，大家是不是可以进行实质相乘，因式分解？啊，十字相乘，

因式分解，因为大家可以发现这个三可以分成一乘以三一一，然后这个这个就是可以负的。是吧，可以负的，所以在这里面大家就可以发现这是负一，这是三，正好是正二，所以就可以分分成a加b乘以个三减b。它为零，因为它题目说了a ab不为0 AB不为0 a+b有可能为零是吧？a+b可以为0 AA又等于负b嘛？所以a+b=0。或者说b又等于3a，那这时候肯定就不充分了，

因为a+b=0 b又等于负AB，要等于负a的话，那这个加在一起肯定就不是负一了。是吧，不是负一，所以说这个这个这个就不满足啊，所以它这个就不充分b=3 AB=3 a代表里面这个数字显然看也不等于负一是吧？喜欢这样就不行，这个答案就选择a好看，这个是不是听懂了？是不是明白了？好第2 ET这个题，它有一个四位数，然后它可以确定它的个数位之和等于26啊，这个四位数这道题就考察这个余数。

它的一个分析方法和思路，这道题呢，稍微难一点，因为大家对这个数字啊，这个比较抽象，这个游戏除法这块大家呢啊，特别做不好是吧，所以接下来。我们看这道题应该怎么化简？那显然，这道题要联合，因为单独条件一的话。单条件一啊，这个商他不知道是吧？商他不知道啊，

这样所以这个就没法求，所以说条件一条件一这个数这个四位数应该等于131乘以它的。商k1+1个余数，所以条件一呢，肯定单独是不充分条件，也不知道它商，所以这个也也不行是吧，这个也不行，所以这个数。这个四位数132×k二，因为它商是不一样的，然后再加上130。是吧，再加上130，所以这个肯定要联合啊，

所以要联合分析。零二分以后，那接下来我们来看一下这个怎么去变变换是吧？反正呃，由下往上变吧。啊由下方因为这个132大，这131要小是吧？要小，所以就由第二个来变，反正这个都是等于这个四位数嘛，这两个是是一样，都等于这个四位数。好，那132我们可以把它写成什么呢？写成131k二，

再加一个k2，再加上130。是不是这样的？啊，但是在这里面这个k2+130不能等于13是吧？这两个是一样的，看到没？这一块是131。这是啊，131是不是？所以在这里面大家呢，就相当于是把这个。这个132k二，我们可以把它写成131k二，再加上一个k2。

是不是k2k2大家发现这两个是一样，这两个是一样，但是后面这俩如果一样的话，这个k2就是负的，这个商不能为负，对不对？不能负，那说明什么问题啊？而且咱们讲过后面就是余数，而且余数呢？这个余数。又不能够超过这个。超过这个除数对吧？咱知道这个余数。要小于除数。

对不对？余数要比除要小。所以这这个肯定就不太行，而且这个k这个k肯定要要超过九，因为它要四位数嘛。四位数是不是四位数？四位数这些不管k1k2它这个它这要大于这个九你大概因为四位数最小四位数就是1000嘛？啊1000，所以说要要所以说这个加130肯定要超过这个。这个这个除数了，说明这个肯定也不行嗯，那不行，那说明什么？说明这商不太行啊，商不太行，

咱们再调一下就行了是吧？你把这130。写成131，再加一知道吧，所以这130把它变成131，所以就变成131，二再加一。加上k2-1。好，这样就行了是吧？这样就差不多了，好，那就说明什么，说明这个k2-1。跟这个13是相等的。

是吧，是13项的，因为咱们为什么为什么为什么这两项因为余数的唯一性，因为大家发现它的。除数都是131吧。数都是131。除都131那余数肯定是唯一的啊，所以余数的是唯一性，你不能说啊，一个数除以个一百三十一一会儿余这个一会儿余，另外一个那不可能是吧，你任何数除法余数是唯一的。对吧，你随便找找数除吧，除我们不能说余数，

一会儿是这个，一会儿那个，那不可能是吧，余数是唯一的余，唯一的话，因为什么，因为除数一样，它余数肯定是一样。对不对？因为这个四位数不动，所以除数都是131，它余数肯定是一样，余数肯定是一样，那就得到k2。k2-1就等于13。

然后商肯定也是唯一呀，商也肯定也唯一呀，对不对商它它同样也唯一，你你除数都都固定了，余数也唯一了，你说商是不是唯一的那商肯定也唯一，唯一的话，那个一跟二+1是相等的。k1就等于k2+1。然后这样就可以很容易呃得到这个k的值等于14。k1的值等于15。是吧k1的值等于15，然后接下来你带到里面这个四位数就可以求解出来用哪个数求都行好吧，都行，用k1求也行k2求也行，

所以就解出这个四位数。所以说你就用用第二个数，第二个算法，第二个算法就是132×14。再加上130是吧？再加上130，这算上等于一九七八。啊，一九七八一九七八的话，然后把它加在一起，它的数位和是等于25是吧？它的数位和是二二十五。所以不满足。题干就是一+9+7+8是吧？所以这个25所以两条线连上起来也不充分，

这个答案就选e。所以这道题大家注意，一定要调整这个余数，首先这个余数一定要小于除数，所以这个作为余数是不合适的。懂了吧，不不合适，另外一个大家注意这道题要保证余数唯一的，所以说它的除数只要一样，余数肯定一样，余数一样商也肯定是唯一的，所以这是。除法的唯一性啊，这个得到这个结果，所以这个答案就可以求解出来，

看这个是不是听懂了？然后接下来咱们看22题考察余式，咱们前面讲的余式都比较简单，如果它除的是一个一次方的一次方余式，直接就该点含量值，那很好算，咱们前面做了好几个题。那如果它的除式是一个高次方的，比如说是二次方的，那这时候怎么办？那这时候稍微麻烦点儿是吧？好，那接下来咱们看条案，一条案一除，以它的余式是这个。

啊fi好那么。呃，这个题干啊题干啊，咱们看一下题干，先给它弄弄吧题干。题干，把这个除法。写成乘法就被除式，就等于除式。乘以个商。再加上于是。是吧，被除就等于除式乘以商再加余式好，那么条件一条件1f二除以它的余式是这个。fi除以它条件应可以得到fx就等于x4方加x平方加一。

然后乘以个商。然后再加上一个，于是。是吧，好，就这样的一个一个东西是吧？然后接下来咱们看条案，一条案一弄明白条件也就差不多了。然后大家可以发现，这个东西是不能分解出s平方加s+1来。它一定是能分出来的。对不对？它一定能能能分解出来。那有同学万一分分分不出来怎么办？分不出来，

那这个题就没法做了，所以咱们先猜想一下是吧，用猜想法，它一定能分出来。要不会分不会分，有两种方法啊，第一种方法会分的同学就这样分，不会分的话我再说，另外一种方法就x方加x平方加一。我可以把它写成s方加2s，方加一再减一个s方，大家发现前面三项可以把它配成一个完全平方。是吧，因为四方可以把它看成平方的平方，所以可以把它看成平方加一的平方，

再减平方是不是它可以用平方差公式？对不对？可以用平方差公式。用平方差公式就可以写成x方加x，我把s放在中间了啊x平方减x+1是吧，所以它平方差公式可以写两个相加乘以两个相减。对不对？两个相加乘以两个相减，所以这块儿这块儿就可以来看出来，那这个是正好能被它整除，能被它整除的话，那要求它的余式吧，只要这一块儿除以它的余式就可以了。这块儿求它，于是就可以了，

那讲到这估计有同学听不懂，先说一下这个理论知识，理论知识以后，然后再讲这个题好不？咱先说一下数的除法。那竖着出发。比如说呃，让你求求某个数好吧，一个m比如除以。三余二这是这是这是那个什么？题干条件一，比如说m除以。18。除以18余一个11啊余11。啊11好，

大家可以发现这个题干就可以把它写成m就等于三×1个商。再加上一个二是不是二，然后条件一可以把写成m就等于六呃18乘以商。再加一个11，是不是这样的？啊，这样大家可以看到这个18正好是三的倍数。对吧，18是三的倍数。是不是这样的，你看18可以写成三×6，知道吧，它可以写成三×6，对不对？它可以变成这样的变量，

那说明m÷3的余数，就看后面11÷3余几就行了。是不是这意思就看11÷3余几就OK了嘛？这个能懂吧？所以你只要看这个11÷3如果余二那条件一，它就充分。就这个意思，懂了吧？因为这个数正好可以分成三×6，我们把这个原理弄清楚，然后接下来就看11÷3到底到底余几？11，除以三余几的话，那这个呢？你可以把它变成什么？

变成18乘以商。这个11可以把它写成三×3再加二是吧？那也说明前面这一块都是三的倍数。是吧，你看前面这块儿都是三的倍数，所以都能被三整除，都能被三整除，那余数就是后面这个值了啊，余数就是它了。是吧，用十一直接除以三就行了，所以如果刚才这个没听懂，现在你这个原理弄明白没有？如果原先弄明白了，那就这个就好办了，

这个一样道理，也就说这一块儿的表达式就相当于18，知道吧？类似于18。18这个18正好可以分成两部分，其中有一部分正好是包含上面这个三就是包含这个结果。是吧，包含这个结果，包含这个结果，你只要看后面这一项，后面11÷2的余数，所以说只要看后面这个余数就OK了。对不对？所以说在这里面。啊，

大家就把它仿照这个原理做是吧？所以这一块括号里面正好能分出两部分，有一部分正好就是它有一部分正好它的话，你只要看后面。后面除以x平方加x+1的余式，是不是x+3就行了是吧？如果是x+3，那就可以了。好那么除以它除以它的余是那么你可以用竖式除法做也行，或者用这个分解法做也行都的。是吧，都会刚刚才咱们做到这，你看这个原理，这原理只要看11÷3余几，11÷3，

你可以把11呢分成几乘以几，再加上一个数。是吧，也可以用11呢，除以三，然后看它与与几都行是吧，都OK的好吧，所以接下来我把这两个方法都行，都写写成几乘以几，再加上几这种方式。是吧，好，那接下来啊，大家都懂了，好，

那有同学这是刚才还还讲到这儿这道题，这个点的核心知道吧，这个点核心，所以说它这个做题点也在这儿，这十八一定要能看出分数一个三。知道吧，这个原理，所以要把这个这个看不出来的话，咱们第一个方法就会分解的话，用平方差公式来进行分解，这样能分出一个。x方加x+1跟它是一模一样的是吧？能分解出来。对不对？然后呢？

如果呃看不出来，看不出来考试用除法，咱们前面不讲过这个除法吗？除法你也可以看一下四方，当然要给它补上。补全啊。补全。所以咱们刚才说猜想嘛，猜想他肯定是能分出他，或者他能被他整除是吧，人家猜想一下，18肯定能分出一个三来。咱们先猜想猜想，然后咱们看这个猜想，这个想法是不是是不是真实的是吧？

所以第一个呢，用分解方法，第二个用数字除法，数字除法的时候一定要把缺的项补完整啊，它缺了一个x三次方项和x4项。补完整，然后除以它。除以个s平方，加s+1。是吧，除以x平方加x+1，我们看它这个行不行？给它除一下就行了，好除一下，我们上一个x平方上1x平方，

这个变成了x4方加x三次方加x平方。然后上下再减减一减嘛，减一减减一减，这四次方相减没了，这个减完就负的x平方负的x三次方。然后加上这就是一个零了，减上就是零，这也是一个0 ix。是吧，然后0x好得到这个结果，这都是零，另外这个这地方只能再上一个负x是吧？上一个负s。像负s拿负s跟它每个乘就负x三次方减去x平方再减x。啊，

这这意思，0x平方是不是好？然后呢？这块儿就相当于是上下相减，这个减完没了，这个减完就得到是x平方，这个减完就是x这个。再把这一给它下拉过来，然后再上一个一上一，正好是x平方加x+1它，于是就为零。啊余九为零，那说明说明什么？说明就可以得到x次方加x平方加一正好可以分成x平方加x+1。3x平方减x+1。

是吧，就可以分解出来，所以它就可以分成这样的情况，看懂了没？好，所以说我们首先猜测啊，这是所以大家一定要记住这个原理，记住原理猜测，猜测这个18能不能分成三，一个是用咱们分解法变形，用平方差公式分解。如果想不到这个方法的话，大家用竖式除法来证一下，如果它下面余数要不是零余数不是零，就说明这个18分不出来，

38分不出来三，那这个你就不能光看11了，这道题它就不充分了。知道吧，比如说这个18改成17，如果17它又分不出来三，那这个余数就没法做了是吧啊？那这个就不用做了，所以必须18跟三，它能分解出来。这样才可以好吧，这个原理大家弄清楚，弄清楚的话，接下来接下来咱目目标什么目标就看后面这一块，除以x方加x+1的余式，

也就是说后面。11我们看它除以三到底余几对吧？那11÷3余几的话，那接下来那么就有两个方法了，两样方法，一个x三次方加2x方加三加。四一个是把它拆成谁乘以谁再加谁是吧，所以这是第一种方法，第二种方法用还是用竖式除法做啊都可以。好，那接下来我们就可以看x三次方加二次方。加上3 s+4。加3 x+4，然后分出s方加x+1分出s方加一，跟咱前面一样，

给它进行凑一下s方加x+1。好，这样x三次方就有了，给它进行展开这个x三次方加x平方再加x这地方有2x平方，还要给它补一个x平方。是吧，然后这个还要再补一个2s再加四是吧？这样的话，它展开跟原来一样，原来然后再再记一分。再继续分，这样再分出分出x平方加x+1，这样就得到x+3是吧？好，前面想写就写分成x+1 x平方加x+1。

再加上x+3，所以这一块儿就它的余式就x+3就相当于刚才咱们讲到哪了，讲到如果听不懂的同学讲到就十一十一，你可以是不是可以分成三×3再加二呀？这11啊，是不是可以分成三×3再加二那11你怎么分成三×3再加二呢？也相当于那这个这就相当于这个把它看成十一十一，又可以把它分成两数相乘，再加上这个数。那这个数后面加二+2，这个二不就相当于它余余数吗？相当于余数就这样的，是不是这个懂了吗？就这个原理好，那有同学说老师我这个不太会分，

不太会分，就是用竖式除法。输出吧，你让它除一个除一个，可能比这个分还要简单一点是吧？那么除一个除一个x三次方加2x方加3 x+4。然后这一块就相当于是啊，除以个x方加x+1，这时候大家上一个x上一个x又变成x三次方加x平方加x。上下相减，得到x平方加2x，再加四，再上一个一就行了，再上一个一，再上一就是x平方。

加x再加一，然后减下来正好是x+3，那它余的就是x+3是吧？所以呢，实在这个11你不会分不会分就11÷31÷3上一个三。然后这个德于c2，这个二就是余数，所以它就是两个原理，一个是分分成三×3+2，一个分一个用竖式除法除法看这个余是二，这样就行了。是吧，好，这是它的这个内容，看是不是懂了，

比如条件条件，比如说m除以。18。除以18，然后余八是吧？除以18余八，除以18余八呢？跟它道理一样，看这个18正好是三的倍数，我们只要看八÷2呃八÷3余几就行了。八÷3所以条件跟它一样，条件因为这也是x次方加x平方加加一是吧啊，所以说在它也能分出这个三来分这三条，看后面这数后面这数。呃除以它到底余几就行了，

所以你只要看这个八。这个八÷3余几，所以说你用刚才老师讲的两个方法，只要看后面这一块儿知道吧，后面后面这一块儿第一个呢，就是这个分解法。不想分的话，大家呢？就是呃，用这个数的除法做，你自己去练习一下好吧，留给你思考一下，你方法都一模一样，就换了一个数嘛，比如说刚才咱们讲的题量11。

那你会了条件二换成八，你一样道理吗？是吧？一样道理，你可以用分解法或者用八÷1个三，然后看一下余几也行，所以条件二它也充分啊。所以条件一条件二，它都通过正确答案就选d，所以说如果要改成这样一个题m，除以三余二条件1m，除以18余11条件2m，除以18余八，那么m这块儿它它都是行的是吧？原理就是18，

它可以分出一个三，就这个数18，可以分出一个它来分它来，以后只要看后面除以它的余数就行了。那这样答案都是可以的，好看这个是不是明白了？好把这个原理弄清楚，这个题也就会分析了，所以大家一定要用呃，简单的问题来去理解，复杂的问题，这样大家就能够学明白数学的规律。好，接下来咱们看一下23题，这个题好，

23题依次表达式，这个余式要简单，依次表示就是直接就函数值，所以题干我们就可以看作。它除以x+1的余式，除以x+1余式，就是相当于是f几啊，所以就所以题干，我们也可以写就f负一。然后等于负19是吧？所以我们有题干，我们先给它化简一下。由题干化简一下化简一下就相当于是呃题干的话就相当于f负一而负一的话就正好等于一+a-b- 15等于负的19。是吧，然后这样就推出了a-b的值。

a-b的值正好等于个。啊负是吧a-b值等于负啊，所以说在这里面啊，必须是a-b值等于负才可以。是吧，才可以。好，那条形一条形一呢，显然AB它有两个未知数条形一，它只能得到一个方程，条件上只能得到一个方程，所以说肯定要联合是吧？热力联合。你看条件，一条件一的话就相当于呃以s- 3去除fs，

这个除反过来变成除以啊。除以就f2，除以x- 3得到是45，所以就得到f3的值，而f3f3就等于一个。三的四方就是81，加上9a，加上3 b- 15，正好等于45。啊，这样等于45，然后条件条件f1f1的值f1的值，在这里面就相当于是。一+a+b。减15=-15。

好，大家注意两个方程，两个未知数，我们就可以解出它的这个数值来好吧，然后这样解出，最后解得a的值和b的值a的值又等于负3b的值，正好等于二。好吧，这样就求解出来了，求解出来之后那么a的值等于负3b的值等于二，正好可以满足a-b=- 5 a-b=- 5，那说明它的余余数。就等于负的19，所以两天联合器联合是充分的，这样答案就选择c选项好，

这个做好了，看这块儿是不是听懂了？所以这道题除以一次表示，于是很简单就直接拿该点的函数值去解就行了，好吧，把这个。啊，数值给它解出来，这个咱们讲了很多遍，大家看还有有没有什么疑问是吧？这块答案就求解出来了。好，这是它的做题的，这个基本的思路和方法。好，

接下来咱们看24题，这个题f2倍s它这个题干是一个二次的，看见没题干是一个二二次的。然后条件一。和条件上都是依次的啊，那这道题咱们看一下题干，先把题干给整明白题干。题干fs被除式就可以把它写成写成除式。乘以商。再加上一个余式是吧？所以就是f写成x- 1×x- 2再乘以商，再加上余式。得到这个结果，看是不是明白了？对不对？

好得到这个值。好得到这个值以后，那接下来咱们来看一下条件一。条件fs被s- 1除的余式为五。啊V5那调完一就说明f1应该等于五。对吧，条件条件就相当于是f2。它是等于七。是吧，二为七，所以在这里大家可以验证一下，如果题干要这样的话，它的一一肯定就不是五了。所以这些肯定就不太行啊啊，一把等于一带到里面去，

这个一的值应该为一，所以题干的一是一，这个一=5，它肯定是不太行的。是吧，条件条件f2值为七，这这个也不太行是吧啊，也不太行，或者说你求余式也行，反正两个条件联合你求余式也行。啊求余求余式的话，假如这个余式是设为未知也行，设为未知的话，你设为as+b也行。设为ax+b，

这样也可以是吧？设为ax+b，咱们把AB解出来看看，于是行不行？那怎么解AA AB呢？就f1=5。所以说就f1正好等于一个a+b。就等于五，然后f2f2正好等于2 a+b，它正好等于七，这样就可以解出a的值，正好等于2b的值，正好等于三。是吧a的值等于2b的值等于二三，说明于是。

应该为2 x+3这个才对是吧？它于是也不是2 x- 1，所以说咱们可以根据题干，我们设这个fs是这种形式。这形中只要把这个这个于是求出来就行，于是求出来的话，那怎么求两条线联合以后根据一，因为前面这个数都变成零了，不管商知不知道这个数变成零？零的话就得到a+b=5，然后这个就得到2 a+b=7是吧？等于七然后呢？两条线联合联合以后那么AB解出解出来，这也不行，所以这道题呢？

单独不充分，联想起来也推不出来，所以这道题答案就选择e选项好，这是它的做题方法思路，看各位同学是不懂了，所以大家要掌握它的考的要点。好，这个给大家讲的啊，代入式它的一个考试内容，大家把这些题呢好好去整理和消化一下。

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