020.24-顿悟-专项四-题型7-15

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:16:21

接下来看题型七就是因式分解啊，因式分解讲究什么？讲究一题二代三分组，四时相乘的方法，就看能不能提供因式。第二，看能不能代换？第三，看能不能分组分组，比如说一般项比较多的时候给它分组。第四个就是时日相乘，但高速方程可能并不适用，所以需要来搭配换元法来进行分析。是吧，所以说在这里面有多个方法并用啊，

这样才能把它解决出来。好，那接下来我们看27题，这个题。关键s放在满足这个它所有十根之和是多少？只有十根之和。大家观察一下这个题，这个题的话，那我们直接如果硬把它乘开的话，那就比较复杂，是不是？所以我们看。它它有没有这个规律性的东西，然后这个八看能不能分分出这个六来，这四十八四十八能不能分出14来是吧？

我们重新分一分。然后这12咱们一会儿再呃再再再去考虑，所以前面这个s方加6 s+8可以把它分成s+2×s+4。对吧，然后这个48可以分成六和八啊，就x+6×x+8。然后这样啊，这个加12就等于零。加12v零，那接下来咱们来看一下它这个值是什么呢？啊，这个值。这是四个数，对不对？四个数啊，

四个数的话，那我们来看看它的这个数值。呃，这是二四六八，大家发现正好乘等差数列等差数列跟上一个题，有点像上一题，你看上一个题，咱们做的时候。为什么要把第一个跟最后一个搭配，中间两个搭配，你看它也是一个等差数列，只不过是x加第一个x，相当于x+0 x+1 x+2 x+3。相当于零一二三是不是？所以说咱们把第一个跟最后一个合配，

中间两合，所以说这个呢，也是一样是吧？也一样看它这个数。所以想办法什么想把这两个搭配这两个搭配啊，所以这个跟上面题的思路有点儿像，所以大家以后遇到s加这个常数正好成等差数列的话。有首尾搭配，首尾配对儿有点像咱们讲的数列的首尾配对儿是吧？这两层这两层。好，为什么这样乘就知道它原因了，因为它正好出现了很多相同的地方s+2×s+8正好可以写成x平方，加上10 x+16。这可以写s平方加10 x+24。

然后加12，它为零。看这里，然后这个地方大家可以把s方加10s，把它看成一个整体。x方加10x把它看整体，或者说或者我们把它看大一点，先把这个加16看那个整体。这个24呢，再拆出一个十十六来，这能能懂吧，就令t=s^2。加10 s+16，这个看着整体呢，更大一点更大一点，

然后这24可以拆成16+8嘛？这24可以拆成16+8，所以这个这个可以写成t×1个t+8。对吧，所以这个24可以写成16+8，然后再加12为零，先把t求出来是吧，这样的话就把原来这个高次方就降下来了，对不对？现在用整体的思想来换原。啊，换原话，那这个就可以把它写成什么写成t方加8 t+12为零，这个就好分解12就可以分成。分成什么呢？

啊，分成二和六是不是？所以它就可以分成t+2乘以个t+6。它等于零好，那t的根一个是负二，一个是负六，那带到里面去求解就行了是吧？当t=- 2时。当d=- 2时，就s平方加10s。加16就等于负二负二，移过来就变成18了x平方加10 x+18。啊，这样的好，这样写好了。

好，那写好以后，那接下来我们看这个。呃b方减CC那德尔塔还是正的是吧？德尔塔还是正这个肯定有两根了，这两根。这两根这两根呢？18你要感觉这个这个不好分的话。啊，不好不好分的话，那这个你就这样吧，反正它它肯定有俩根是吧，因为它这道题要求根之和嘛，求根求根之和那这里面你有这它两个之和肯定是负十了。其实这两根是带根号的，

你别管它了。t=- 60。info是变s平方加10x。然后这个就等于负六。负六负六给它移过来，又变成22。变成22那德尔塔，德尔塔就等于b方b方减CC。那么b方减c那德尔塔，它以为正的。是吧，当然也正也正这个分的话也也也不太好分。也不带分，所以说它的两根呢，就l3和l4。

就两个之和也，等于负十，所以把它加在一起就四个根，它想求所有根之和嘛，四个加在一起就负20是吧，所以呢，应该选择b选项。那做题方法看是不懂了。这是它考试内容是吧？所以大家呢，在做题的时候呢，要掌握方法，这个具体跟咱们不用求了，因为它又没让咱们求根。是吧，

要求根的话，还得用求根公式做，求公式做呢，太复杂，那咱们呢？直接用韦达定理做就可以了。这个难点可能大家没有想到，把这个先分解，然后再再给它搭配一下是吧？可能大家想不到是吧？所以你把这个先分解这个分解，然后再搭配，而且它的后面数字上成等差数列。所以这几个题的规律要掌握清楚。然后搭配以后，

然后再来进行写，再求和啊，再再再求解，把它换元换元，完后再来分析就可以了。好看，这块儿是不是懂了？是不是明白了？好，那接下来二八二八这个题，你看那直接他给你写好了，那这个很简单，又是一个一二三四是一个等差数列。你看这几个题规律差不多，是不是所以听完这个题，

大家自己都明白了，就把第一个跟最后搭配，中间两个一搭配，然后再一换元就OK了是不是？然后这道题只不过要求所有解的乘积到底多少？好，那接下来咱们看一下所有解的成绩。啊，先把第一个跟最后搭配，第一个跟最后搭配可以写成x方加5 x+4，中间两个搭配正好x方加。5 x+6等于呃，这个减120。等于零，然后在这里面换元，

把x方加5 x+4，把它进行换元。换换元就可以了，不过这里还有一个绝招啊，因为这个你可以这个这个换元可以这样换t=1个x方加5 x+4。它可以变成t乘以个t+2，因为这个六六可以把它写成四+2嘛，六可以把它写成四+2。然后减120，它v0v0的话，这个变成t方加2 t- 120，它v0。是吧啊，120哎，然后呢？

这个再进行因式分解。啊，因式分解啊，因式分解，然后呢，分出中间的这个值就可以写出来啊，正好可以分成什么分成12和十。这个是负的。对吧，有负的，这样就OK了。对不对？所以它可以分成t+12乘以个t- 10它等于零，然后接下来t的值知道t的值知道带到里面自己。求求s值就行了，

这是一种方法。对吧，制定方法，还有一种方法更巧妙，方法什么，然后做到这儿，告诉大家一个更巧妙方法，这个四跟六大家可以找一个中间值来到四跟六。四和六的平数是不是五啊？五为什么找平数呢？如果要把它看成五的话，就可以用平方差，你发现没有？所以也就是说可以写成x方加5x+5-1乘以个x平方加5x。加五+1正好正好等于120。

是吧，把这120可以挪过来，大家可以发现这是不是可以用平方差公式啊？一个减一个加一，所以以后你就找它的，找它的平均值，所以化解到这上面一个题也可以找平均值，知道吧？刚才做到哪做到就？16和24，16和24的平均值是二二十，所以说你自己可以用这个技巧来做，所以这个把它看成20-4，这个把它看成20+4。用平方差。

啊平方差明白吧，平方差做，所以上面这个题可以把它看成s平方加。加10x。加20-4乘以个s平方加10x+20+4。这样的懂了吧，直接把它看这个，然后呢，然后这块正好是加12，它为零。是吧，加12它这样v0，所以在做到这儿呢，你可以把它看成20-4和20+4。然后这样就OK了，

然后这个就可以用平方差公式啊，可以写成s平方。加十s，加上二十的平方减十六。等于零是吧？减15=0，减16=0，那这个减16+12+-4负四给它移过来就得到四。四然后得到x平方加10 x+20就等于正负二。这块儿这块儿往下，你自己去解嘛，跟这上面跟上面这两个是一样的，跟这个和这个是一样的是吧？把这二给它挪过来。一个是减二一个加二，

所以一个18，一个22，那正好一样，往下就不再解了好吧，这个大家就懂了。好，这个题呢？做做这儿做这儿用平方差公式得到x平方加5 x+5^2。减一正好等于120，所以就等于121，121是不是可以选11的平方呀？所以说这个它正好是减一。减一这个121，121可以选11的平方，这样写好了。

好，然后接下来，然后这个平方给它开掉，要么等于11，要么等于负11。等于11或者说x平方加5 x+5=1个负的11。然后这11移过来，有x方加5 x- 6=0。或者说x方加5 x+16，它为零。然后这个b方减4 AC，这个没有实根，就不管它了是吧？没有实根，不管它，

然后这个呢？你想求就可以求它的根。不想求，反正要求两根乘积嘛啊，两根乘乘积的值是吧？因为这个这个它有50根，后面这个就不用再写了。它没有实根，那只解前面这个，如果要解根的话，也也可以解嘛，也可以解，一个是一，一个是负六。对吧，

一个一一个负六，其他所有十根乘积就等于负六，这个答案就选择d选项，答案就求解出来了。好，这是它的做题方法是吧？然后这个就写出来，所以这道题呢？反正这个题跟前面几个题类似，都是它。后面s这个数呢，正好是一个等差数列，所以要打。啊，会搭配另外一个呢？

做到这大家呢？也可以用会用平方差这个技巧是吧？以后要找中间值找中间值的话，就用平方差，所以这几个题呢？还可以按规律都差不多。看各位同学是不是听懂了？好，接下来咱们看题型八高次求值。啊高次方求值刚求值那么根据题干利用整体为零进行代换，慢慢把它降次是吧高次？那要想到把它降次。把它建下来是吧？高次方给它建下来就OK了。把它降下来。

好，接下来咱们看29题，这个题。a等于根号七减一则a的三次方加十二什么a方之类的，这个值到底等于多少？那这道题如果直接把a帮你代的话就有根号。不好处理，所以遇到无理根号儿。遇到无理根号，遇到无理根号，要学会把它根号变成有理化，把它变成有理化。u的话，那怎么u的话，大家知道a等于根号七减一，

那可以把它变成a加一，这样等于根号七。a加等于根号七两边可以平方。a+1^2正好等于七是吧？所以两边可以平方a+1平方正好等于七。a加平方等于七，然后把这个括号平方把它展开。咱看这样说a方加2 a+1=7就可以把它变成。a方加2 a- 6，因为这个这个展开不有个一吗？这个七移过来就减六，它正好v0。所以在这里面，大家可以发现，就是用整体为零，

所以就凑这个式子就行了，所以大家注意它这个它这块儿它正好为零。啊，这个为零，那接下来我们看怎么去拼凑一步，教给大家拼凑，当然也可以用那个竖式除法做也可以啊，竖式除法做也比较快，所以一会儿给大家演示，接下来有两种方法。所以在以后遇到根号，不管这是根号几，先把这个不含根号的常数一定要给它移过来，移过来以后，然后两边平方把根号给它去掉。

对号去掉以后，那接下来呢，我们就好办了是吧？接下来大家呢就是。把这个整理整理，这个就不含括号，然后把这个整体，然后当做零来进行处理是吧？好，那接下来有两种方法，第一种方法就是3a的三次方，加上12a方减6 a- 12就等于。然后这3a的三次方可以把它写成3a×a^2。是吧，大家可以发现用多退少补这个3a×a^2，

不是前面有。三倍的a的三次方嘛就有了，然后3a×2a3a×2，这样6a方6a方的话，这这12a方都得少补嘛，还要给它补一个6a方。是吧，然后给它补一个6a方，所以这个这个6a方，然后这个12a方，所以再给它补6a方，然后这个相当于减去一个18a。减18a，减18a，这是减6a。

对吧，所以说在这里面是不是还要给它补上一个12a啊？不让12a后面再减12，这个懂了吧？好，那这一块儿它正好就为零，正好为零，那个就不用再写了。是不是所以大家想想是不是明白了啊？不用再写了，那这块儿它就v0了。明天就剩后面这块儿，后面这块儿我们再继续再拼凑，再拼凑我们提出个六提出六提出六以后正好是6a方。加2 a- 6。

减六是吧？那接下来我们再来看一下，那后面这个12多退少补啊，多退少补这个6a方有了12a有了。然后这本来是减36，这是减12，是不是还得给它加上一个24？加数大家知道这个整体，它又为零又为零，这样答案就等于24，这样就求出它结果了，这个答案应该选择c选项啊，这是它做的一个方法思路，看是不懂了。啊，

这是它的考试要点啊，这大家看是否明白它做题思路？好，那接下来咱们来看一下另外一种，另外一种用数字除法做也行，数字除法做。所以说我们看后面余多少嘛？然后接下来就3a三次方。3a三次方加上12a方减6 a- 12除以个a方加2 a- 6。然后这个就上一个3a。好，上一个3a3a跟它每一项相乘，3a跟它每一项相乘就是3a的三次方加，6a方减18a。然后上下做一下减法啊，

上下做一个减法相减12a方和6a方相减得到6a方。然后这是负6 a- 1个负18，相当于加上一个18+1个18，所以加上加12 a- 12。然后这点我们再上一个几啊，再上一个六是不是？所以再上一个六。啊，那这个六跟它每个相乘，那六跟它每个相乘就是这样，6a方加12a。减36，然后再上下给它做减法，给它做减法，前面这个减完就为零了，

对不对？为零这两个相减，这两个相减就得到24。那这就是它的于是啊，于是知道吧，也就说讲到这儿，如果没听懂的同学就相当于原式，就等于一个。除式乘以个商式再加一个余式就得到a方加2 a- 6，除式乘以一个商式。再加一个余式，由于大家知道这个整体，它是v0的v0的话，它这个结果就等于24是吧？因为凌晨任何数它都v0。

所以这道题呢，就是考察让大家呃温习一下这个竖式除法，它的一个考试知识点对吧？竖式除法看会不会用了？所以这道题啊，大家听完有收获，就是根号。它的这个内容要知道啊，根号的方法也要知道，那么第二个就是大家呢，要知道什么呢，知道这个呃，整体拼凑逐个拼凑产生这个整体为零。或者说用这个输入除法做也都OK的啊，看这个是不是明白了，

是不是听懂了掌握它的做题方法思路？好，那接下来我们看30题。当然，这个题这个题大家不要像上一题一样，把这个二乘过来啊，一般来说的话，你当然可以这样做，但是呢，往下呢就不好弄了，因为这道题它都是乘法知道吧？它不是一个多项式跟上题，上题它已知条件有点儿像。但是他问的问题呢，可能不一样啊，

所以说那如果如果这道题也问一个多项式啊，比如这道题，它改成一个什么改改成关于s一个多项式。多项式多项式的话，那么你就可以仿照这个把这根号儿给它进行去掉，有理化，然后再来分析是吧？所以这道题如果按照一般方法应该是2 x+3等于个根号五。然后两边平方2 x+3^2=5=5，然后把这个展开，咱还有得到4x方加上。十二x，然后这个三的平方是九九减五得到四。等于零，然后呢，

你再拼凑这个整体。为零或者说两边再把这四给它约掉一些是吧？两边把这四给它约掉一些四约掉就变成什么东西了，变成一个。x平方加3 x+1，它为零是吧？然后出现这个整体出现这个这个整体啊，这是一种。化化简的方法。知道吧啊，这是化简方法，这样也是OK的。好，但咱们这道题的话，要么你就把它给乘开也行，

把它给给乘开也也OK，所以这道题呢，这道题如果要非要套上面题的方法做的话，那这道题呢，也这样写也行。反正也是一个方法呗。你把这个x跟x+3配在一起x跟x+3配在一起就变成x方加3x。然后中间两个给它乘开，中间两个给它乘开，中间两个给它乘开，变成什么呢？变成x方加3 x+2。是吧，所以中间两个给它乘开乘开变s方加三+2，然后大家知道s方加三+1为零+1为零，

或者说我们把x方加3s看成等于负一也行。看等于负负一这个也行是吧？x方加3x正好等于负一这样也是OK的是吧？就这个是负一。乘以一个，然后这是负一+2负负一+2就是一，所以就等于负一，所以在这里面大家呢，就可以选择这个答案选b。好，那这是这个方法啊，这个方法跟上题有点儿类似，知道吧？为什么要把这个第一个跟最后一个配呢？呃，

最后一个乘在一起，乘在一起，因为它容易出现s方加3s这个整体。是吧，这个整体呢？好拼凑。好，这是种方法，由于它给的线程的多样式，那这个用这个方法做比较简单，还有一个方法是什么？还有一个方法用平方差公式也行。但是但是第二方法只适合这道题啊，只适合这个你像上面那个题就不适合这个方法了啊，这个这个题直接把它带到里面，

带到里面可以发现正好是有平方差公式。所以说另外一种方法原是。就等于把这个s等于二分之根号五减三把它带到里面去，乘以一个。二分之根号五减三加一乘以个二分之根号五减三加二。乘以个二分之根号五减三加三。这样的是吧？这样的情况就二分之根号五减三，二分之根号五减三加一，二分之根号五减三加二，二分之根号五减三加三。好，那分别我们来化简一下，这是二分之根号五减三。乘以个二分之把这个通分通分正好是二分之根号五减一，

再通分二分之根号五加一。这个二分之根号五+3，是不是得到这个值啊？啊，得到这个，大家可以发现什么？发现这个根号五减三和根号五加三。它可以用平方差公式，对吧？你看这两个可以用平方差公式，中间这两个可以用平方差公式，就根号五减一个，根号五加一可以用平方差公式。然后这个分母分母，大家可以发现二×2×2×2正好是16。

这样十六，然后根号五减三乘以根号五加三，正好是五减三，五减三就是二。啊，就是呃，这个就是二这样写好了。是吧，所以就是就是不是五减三是五减九。是吧，五点九，然后再根号五减一，乘根号五加一，正好等于五减一。五减一上面正好是负十六，

这是十六正好得到是负一啊，这样也可以是吧？就这样用平方差公式，但是这种方法的话。上面那个题就不适合了是吧？所以这个这个方法它只适合于本题还可以，所以说这个通用方法哈，它都行通用方法。那么你把这个整体变成零，这个做也是ok的好，这给大家讲它的做题的方法，要知道它什么样方法是有普遍适用的，什么方法只有特定场合可以用的。要知道它的概念和内容。好，

那接下来咱们看一下因式定理和余式定理啊，因式定理好什么因式定理因式定理，如果整除它就。就产因式是吧？如果要整除意味着f含有as-b的因式，即该点的数值，它应该为零。然后余知定理，余知定理的话就多项式，除以某个依次表示余式正好为该点函数值，知道吧？该点函数值。然后多项式，如果除以as-b的余式，还是该点的函数值。

是吧，所以在这里面大家呢，最后一句话给大家总结就函数值代表是fi除，以它的余式。比如说啊，比如说f3的值，它要表示。fs除以。x- 3，它的余是。哎，这样的是吧？表示fi÷s- 3它的余式。啊，这样的情况注意。

它这个值f3就表示fs÷s- 3它的语式。为什么于是这样？知道吧？为什么？因为大家知道呃，这个fx被除数就等于除式乘以商。除了商，然后再加上余式。而且大家还要知道这个余式的次方要比除式的次方要低啊，就余式的次方要比除式的次方要低，这个大家要知道。于是次方。要低于。除式好，于是次方要低于除式啊，

这样的内容。好吧，要比它要低，你比如说除式，要是一次方除式，咱们先说最简单，除式一次方，于是就为常数。好吧，除数要一次方除式，要是二次方的话，于是有可能是一次方，有可能是常数，因为比二次方低的有两种可能性，一种是一次表示式，

一种是常数。依次类推，如果除式要三次方除以要三三次方的话，那么它比三次方低的有可能是两次方，二次方有可能一次方有可能常数。好吧，他可能信息会多一点，当然考试不会考太复杂的啊。好，咱们先讲余式是呃一次呃，除式是一次方的，除式一次方那么fs，比如说这是as-b乘以个商。再加上一个余式，这个余式就是一个常数了。

于是就是一个常数，大家知道咱们做题中往往商是未知的商，未知的那么如何来求这个值啊商的未知的话，那我们可以利用这块儿为零，知道吧？所以利用这块儿文件就利用。x又等于a分之，bx等于a分之b的时候，那这块儿正好为零，这块儿正好为零的话，那接下来我们呢，就可以看到这就变成fa分之b了。而fab就等于这个余式，就等于这个常数。是吧，

所以说令s等于a分之b这块儿v零v零的话，这个余式这个常数就等于该点函数值，所以说这个给它进行推导出来的好吧？好，大家要知道，所以我们呢，还是用零的这个小窍门，知道吧，让让它为零，为什么让它为零，因为这个商它不知道呀。那不是，但是有同学总是有个疑虑，他说咱们这个做除法的时候，除法的时候不能让这个这个除数为零，

咱们呢？把它变成乘乘法不就行了吗？是吧，如果显得粗啊，确实分母不能为零，但是显乘法就OK了，所以咱们呢，在代数这一块儿，它要做一个呃转化，知道吧？从另外一个角度来去理解就可以了。好，我们来看31题这道题。啊，多项式fx÷2 s+5，

它得到的商是这个余是这个求f1，那这道题就考察什么考察被除式？就等于除式乘以一个商式。再加上一个余式是吧，所以大家要注意它的公式啊，这个被除式就等于除式乘以个商式，再加上一个余式余式，这样子负五嘛。好f2表达式求出来f表达式求出来f1的结果就可以写出来f1f1，把它带到里面去负二+5。乘以个负三减一再减五是吧？所以这个就得到是三三三乘以个负四就得到负十二。负12-5得到负17，好，这个答案就选择的是b选项，

答案就求解出来了，好，这是它的做题方法思路，看是不是懂了？所以大家在求解的时候，那么先把表达式写出来，写出来，然后再算f1的值，就可以得到答案了，看是不是听懂了，这是它的做题要点。好，接下来我们看32题，这个题这是它说f2除以它的余式，是它问f2÷x- 1的余式到底多少？

那我们先把这个。这个表达式啊，先把题目给它翻译一下知道吧，所以把题目翻译一下，所以f除以它的余式把它翻译就像fx。就等于除式除式，然后呢？乘以个商是。再加上一个余余式余式呢，余式就相当于是负的4x方加12 x- 6。是吧，好，这是它的这个值啊fi表达式求出来了，现在它让让你求什么求fx÷s- 1它的余式。它要除以x- 1的余式，

那应该怎么写呢？除以x- 1余式，刚才咱们讲了除以一个一次表示它的余式就相当于该点的函数值，那这道题只要求出f1的值就行了。是吧，把f1的值求出来就行了，所以f1的值就代表它的余式好f1大，大家可以看当等于一的时候，前面这块儿有v0呀。这个v0它就没有了，没有只剩后面这一块儿了，对不对？就得到负四+12-6，正好等于二，这样就求解出来了。

是吧，所以这个答案就选择b，所以只要掌握到余子定理，它除以一次表达式，它的余式就等于该点的函数值。知道吧，所以把f1这点函数值求出来，答案就可以写出来了，好，这是它做题方法思路，看是不是懂了？下面咱们看一下，待定系数法待定系数法，当这个展开式过于复杂时，我们可以用特值思路来进行整体来求解。

啊，那待定系数法那么常用的？值就是什么就x=1。x=- 1，还有x=0啊，这列这三个值啊，这三个值如果要要知道x=1它的。它的效果是什么？x=- 1，它的效果x=0，它的效果是什么样情况？好吧，这是它的这个代联系数法，它的这个内容。好，

那接下来咱们来看一下已知九倍的x+2括号的八次方等于a1+2倍的a2 x+3倍的a3x平方一加到。九倍的a9s八次方。啊求这个括号儿的平方减到这个括号儿平方，它的值为m这条件一条件儿遇到重新判断题，如果题干比较复杂，咱先把题干化简一下，化简完以后，然后再判断两条线到底谁成？例啊好，那这时候呢，我们先用一下平方差公式。平方差公式，大家可以看一下，把题干化简一下，这个相当于是a1+3倍的a3+5倍的a5。

加七倍的a7，加九倍的a9，括号的平方减去后面，后面2a二+4a4。将6a六。加上8a八括号的平方，然后这种平方差公式就等于两个相加。乘以两个相减是吧？好，那么两个相加正好得到什么情况呢？看把它加在一起，加一起正好是a1+2倍的a2+3倍的a3。啊，一加到九倍的a9。然后两个相减，

两个相减的话就奇数减偶数。比如说正好是什么让a1-2倍a2+3倍a3-4倍a4？后面一直加到这个八倍的呃，九倍的a9啊，减去a8是不是？所以就九倍的a9。减八倍的a8。啊，八倍的这个a8啊，这样就写好了。好，所以说它这个就两个相减，用平方差公式知道吧？平方差这个公式啊，就a1-2倍a2+3倍a3-4倍a4+5倍a5减。

减这个六倍的a6等等好吧，然后最后一直到这个地方。那这样，那接下来咱们来看一下它的这个式子式子，大家发现这个表达式正好相当于是s=1的，这个效果是吧s=1的时候正好是它各个系数之和。所以这个相当于是f1的值。这相当于什么？相当于s=- 1看到没？s=- 1 s=- 1正好是这样的一个效果，对吧？正好一正一负一正一负。这s=- 1，就像f负一的值。啊，

那么f1的值，咱们就可以写成f1的值上等于九×3的八次方。是吧，这个x=1的时候，那这样就写出来了。然后x=- 1的时候x=- 1的时候，这正好就是一，所以再乘以个九就行等于九。所以这个九是三的平方，这个九又三的平方，所以又变成三的12次方。32次方好，这个答案就选择条件一啊，所以说答案就选择a好看，这个是不明白了啊，

要掌握它的做题方法思路。店长就选了a。啊条项一呢是成立的，那通过这道题，大家要知道我们如何来掌握这个系数，所以说让x=1和x=- 1。那什么时候让x=0这道题给大家强调一下，如果这道题要求常数项a1的值，比如说要求a1的时候。九一的时候你就可以练。令x=0就行了，I=0那么a1就等于九×2的八次方。就让s=0的时候，后面都没有了，就剩这个常数项a1a1就可以算出来好，

这是它的方法思路，看是不懂了啊。好，接下来咱们再看一下列项，抵消这块儿它的化简方法，列项抵消一个分式，一个根号好吧，然后还有这个两个阶乘它的扩展。啊，这个阶层，所以大家呢，就记住这几个就行了，分式它的扩展，然后呢，根号然后还有它的阶层列项。

啊，当然还有一些，有时候还会用到一些，用到一些组合数的求和是吧？组合数求和就CN 0+CN一。一加到sinn，这样等于二的N次方是吧？好，这是所有的组合数，求和这在排组合里面学到的等于二的N次方。好，那接下来咱们看一下这个34。这个题这个题其实就是分式列项是吧，所以说把它套公式列开就行了，所以这可以写列成一减二分之一。

加上二分之一减三分之一。加上九十九分之一减一百分之一。好，然后这样大家中间就可以抵消，就在抵消的时候，它正好出现一个相反的原则，如果前面剩的是一，后面剩的是负一百分之一。知道吧，然后它正好是相反，如果前面剩的是正的，后面应该剩的是负的啊，它位置相反，然后呢，符号是相反。

就等于一百分之九十九，然后这样就写出来，这样呢，应该选择的是e选项好，这是做题方法和思路。好，这是34题，它的考要点。比较简单是吧？大家看会不会分析？好，接下来看三十五题，还有一加根号二分之一，加上根号二加根号三分之一一，加到根号二零二一，

加根号二零二二分之一。括号乘以这个好在前面这个这个括号里面就可以用用根号的化简是吧，所以我们可以看原式就等于。等于好，那么第一项第一项可以把它变成根号二减一，这个变成根号三减根号二。好，这个就变成根号二零二二减根号二零二一。然后再乘以根号二零二二+1，这样就写好了好，这是它的方法。然后接下来我们呢，这就可以把它进行抵消好吧，抵消所以在抵消的时候，如果前面剩负的，

后面一定剩的是正的好吧，所以大家呢，在抵消的时候掌握它的做题的方法和思路。接下来，我们写出它化简的结果。我们可以看到它唤醒结果，这个括号里面就变成了根号二零二二减一。外面剩下一个二零二+1。所以这地方我们就可以用平方差公式来进行写就，等于它的平方减它平方不就等于二零二二减一就等于二零二一。好这个呢，应该选择a选项答案就求解出来了。好，这套做题方法思路看是不懂了。所以要知道它的考试要点。

好，接下来咱们看。36题36题，这道题就一×2×3，一直乘到十，可以把它看成阶乘，因为大家知道一×2。乘以三一直乘乘到n。这个n的阶乘。啊，这个内容。好，所以说它的这个表达式。一定要先看通项，它通项就可以把它看成什么？

同样可以看成。看这n+1的阶乘。分之n。啊，为什么这个通项呢？因为大家可以发现n取一的时候第一项的分母是一×2，所以n等一的时候分母是二的阶乘，所以n等一的时候一定要验证一下，写完后再验证一下。就二的阶乘分子就是一，第二项就是分母三的阶乘分子是二是吧？所以这叫通项，通项大家可以把它列成n的阶乘。减去n+1的阶乘分之一是吧？这样裂开。

好裂开以后，大家把每一项按照这个四给它裂开抵消就行了。好，那么第一项大家可以把它写成什么呢？写成相当于第一项相当于n取一啊，就一的阶乘就一了，减二的阶乘分之一。加上二的阶乘减，三的阶乘分之一。啊，一直加到最后一项，最后一项就是。最后一项就相当于是n取的是九九的阶乘。减十的阶乘分之一。好，

那这是它的这个方法啊，最后一项相当于取九，它总共是九项求和。好，接下来咱们抵消就可以看到，那这个是二的阶层都抵消掉，这些都抵消掉，然后前面就剩一个一，后面剩一个十的阶层分之一。是吧，所以这样呢，应该选择a选项就等于一个。一减去十的近三分之一，这里呢，就选择a好，

这是它的方法和思路，看是不是懂了，这是它的求解要点，看是不是明白了。好，接下来咱们再看一下题型12。关于多括号相乘。的内容啊，相加内容，大家知道了，还有多个括号相乘相乘的话，一个呢，就是用这个分式，它的变换。比如说这个用平方差公式，

一减m方分之一可以写成一加m分之一，乘以一减m分之一，这是平方差公式。啊，第二还是平方差公式a+b。乘a的平方，加b的平方。a的四方，加b的四方，然后都给它乘一个a-b，然后再除以a-b。这个分子用平方差公式给它列开就行了好吧，这是平方差公式，它的一个使用。好，

接下来咱们看四十七题，这个题好，这里大家发现这一减二分二的平方分之一一减三的平方分之一到一减十的平方分之一，这是乘号。那把它承在一起。啊乘号把它乘在一起，好乘在一起，然后就我们看一下好第一项，我们就可以把原式可以把它写成什么？写成就是一减二分之一，乘以个一加二分之一，这是一减三分之一，乘以个一加三分之一。一直到一减十分之一乘以个一加十分之一。好，

那这是它的这个式子，然后大家注意把这个含减号的要合在一起。含加号的。给它合在一起。含减合在一起就变成一减二分之一就是二分之一乘以三分之二，然后再乘以一直乘到。十分之九。好，然后咱们再看加号的合在一起。加号的就是一加二分之一，加上二分之三。然后这三分之四一直乘到。十分之十一为什么要把含减号的合在一起？还有含加号的合在一起呢？因为这样约分的规律很好找，

如果一会儿加一会儿减这约分的规律啊，大家特别容易弄错。很多同学选错的原因就是这个规律，没没找到，所以把所有的减号合在一起，所有加号合在一起。然后写完后呢，我们来约分找一下它规律好吧，找它规律，大家可以看这二跟二约掉这根约掉，然后这个就变成。十分之一。前面，然后后面后面这一块儿，大家可以看到看到那这个三跟三约掉这些约掉，

所以后面剩的是二分之十一。那就得到二十分之十一，然后这样答案就选择d选项好，这是它的做题方法。让大家就选择d。好，这是其实这道题，它可以分分解成两个题，知道吧？两两个题啊，一个呢就是。一减二分之一。一减三分之一。一乘到一减n加一分之一，这是一个题。

知道吧，这是一个题，然后这一块呢，你就把它写成二分之一乘以三分之二。一乘到n加一分之n，然后再上下给它进行约。好给它进行预约。啊约，如果前面剩的是分子，后面一定剩的是分母，知道吧？后面一定剩的是分母。好，这样的它的式子，所以说在约分的时候，

前面剩的分子，后面应该剩的分母。然后接下来我们再看啊，再看就一加二分之一。乘一加三分之一。一直乘到。一加上n加一分之一。好，各位同学，想想这个应该怎么写好？这就可以把它变成二分之三乘以三分之四乘以，这是n加一分之n加二。然后再来进行约。好再来进行预约。然后这一块大家可以发现好这个分母剩的二分子，

剩的是n+2。啊n加二是吧？就二分之n加二好这个写好。好，这是它的这个方法，就二二分之n+2啊，得到这个值好吧，所以这是它的化学方案，它前面剩分母，后面剩的就是分子。好，这是它的做题的知识点啊，好看各位同学是不是懂了，所以这道题它是相当于两个小的结论合并在一起，然后分析的。

好，那接下来咱们再看一下基因13就是组合，求解法组合求解就有点像配对是吧？两两配对。pit完后一定要找规律，看有什么规律。是吧，好他说啊，那么一一正一负一+1减这种形式，一正一负一正一负一正负，有点像形容这样的一个式子。然后比如a一减a二加a三减a四点儿点儿是吧？点儿点儿，如果这样的情况，那一正一负一正一负一正负，

那也就两两配对儿就行了。是吧，两两搭配在一起，然后看它有什么样的规律和方法。好，那大家看一下。38题，这个题。三八零这个注意这个SN不是前项和啊，所以很多同学以为s一百把它混淆成跟数列相关了。是吧，很多同学说s100是不是前100项和s101相当于是101项和不是不是，它这个不是。不是前项和其实把它看成一个函数就行了，它不是跟求和没关系啊，

这个表达式你可以把它看成这样的，你就不会错，就fn它是一个函数。可以从零到n。负一的k次方2 k+1。好，这个符号有的同学看的比较晕，这个sigma就是求和的一个符号。sigma就是求和。这个马它求和的一个符号好，它求和的一个符号在这里面k从零到n，它进行求和，那么我们看k是从零开始的。从零开始一直取到n，总共是n+1项求和啊，

就n+1项求和好，如果看不懂的同学，大家看k=0是第一项。k等零的时候负一的零次方。它是一，然后2 k+1，所以就是一第二项，第二项相当于k=1 k=1的时候负一的，大家知道负一的奇数次方。是负的对吧？就负一的奇数次方，它是负一。负一的偶数次方，它为正一。是吧，

就负一的奇数次方为负一负一的偶数次方，它为正一这样情况，所以大家可以发现，然后k只要为为为偶数的时候，它都是正一k为奇数的时候，它都是负的，所以就变成一减三。下一项就加五。知道吧，加五然后呢？减七然后这样点儿点儿啊，一直到最后n的时候就n的时候n的时候就是负一的N次方乘以2 n+1。所以它这个k是从零到n，它总共共是n+1项啊，它共n+1项。

好，这个大家不要给写错了，总共是n+1项，它这个跟s不是前100项求和，所以s100其实就相当于什么相当于是f100。知道吧f100它不是s不是求和的符号了啊，不是前100项求和跟咱们数列的SN那个那个东西不是一回事儿啊。然后这个大家想想，如果它要一百的话，它后面就变成什么变成负一的一百次方是正的，对吧？就是相当于一减三加五减七。点点一加上正的就是201，是不是啊？201大家注注意总共是。

呃，101项，101项，大家两两配对儿，后面还多一项，知道吧？如果两两配对儿，两两配对儿，两两配对儿，正好多一项。所以它总共是101项，两档配对儿，两档配对儿。所以101项，那么前面大家知道每一对儿正好等于负二是吧？

每一对儿正好是负二。负二，然后前面100项100项两两配对儿可以配成50对儿。配成52，然后后面还多一个201是吧？还多一个201，所以这样算就等于幺零幺啊幺零幺，这是。它的这个情况，然后s幺零幺s幺零幺正好呢，等于有多少项呢？有102项。啊，102项，102项的话，

两两配对儿，两两配对儿，正好配完是吧？每一对儿正好是负二，正好负二，正好是51对儿，这样等于负的幺零二。复制样链儿好，这样就写好了，然后这把这两个加在一起，得到是负一是吧？正确答案有两个加在一起。所以就。得到就推出s100，加上s101。

就等于幺零幺减幺零二，正好等于负一，然后正确答案就选择的是b选项，答案就求解出来了。这个答案就选的是b啊，它的做题方法和思路。好看，这个懂了没有？所以通过这个题，大家呢，要掌握它的解题方法和思路是什么？是吧？通过这个题，大家呢啊，要知道两两配对以后遇到一正一负一正一负一正一负。

他的思路呢，要会分析和思考好看各位同学是不是听懂了？好，接下来咱们看39题，这个题。啊39题39题，你看它这个数呢？呃分数又有整数部分。所以大家注意，这个n又m分之一是等于n加上m分之一啊，不是乘知道吧？比如说。三又三分之一是等于三，加上三分之一，它不是不是三乘以三分之一，

这个不是乘法啊，是三加三分之一。同样道理，五又三分之一就等于五加三分之一以此类推啊。五又三分之一就等于五加三分之一是吧？然后以此类推。然后接下来咱们呢呃，看一下这道题的规律什么看这道题规律，先先把这个二零一四先放在一边儿吧，是吧？先把这个整数部分给它弄清楚。原式就二零一四先把整数弄弄清楚啊，整数弄清楚，然后这一块啊，从这开始。

到后面首先要看有多少项，多少项，多少项，怎么看呢？你看前面系数这个二分之一可以把它看成零又二分之一，注意零又二分之一。不是零乘以二分之一啊，是零加二分之一，知道吧，所以说在这零又二分之一，刚才咱们讲三又三分之一不是三乘以三分之一零又二分之一不是零乘以二分之一。所以它前面相当于是零零一二三四五一到二零一三，所以总共是二零一四项。所以在这里面，大家可以观察一下，

这里面是二零一四项。接下来第一个二零一四，不管它知道吧，第一个数，不管它后面这个正好是二零一四项，这个写好了，叫二零一四项。二零一四下的话，大家知道那么它这个号两两配对，两两配对正好可以配成幺零。零七对儿是吧？就幺零零七对儿，所以每一对儿那那看幺零零七对儿，这样是零减一二减三。四减五嘛，

是不是？所以说它它这个配完以后就是零减一，这个前面二分之一看成零又二分之一啊零减一二减三。一加到二零一二减二零一三。是吧，也就说它总共是幺零零七对。好，那接下来咱们再看后面的后剩下的剩下就分数了，分就二分之一减三分之一。啊，然后这也是二分之一减三分之一，二分之一减三分之一，那总共是幺零零七对儿。乘以幺零零七这样就写好了，对不对？

所以这也是幺零零七对啊。好，那接下来我们就可以写成二零一四，然后那每一对儿都是负一嘛，负负一，然后正好幺零零七。然后大家知道二分之一减三分之一，正好六分之一加上六分之幺零零七。然后大家知道二零一四减幺零零七正好就等于幺零零七。然后再加上六分之幺零零七，把它通分。或者你提出个提出幺零零七也行，提出幺零零七正好是一加上六分之一，一加六分之一正好是六分之七。六六分之七正好等于七零四九是吧？

所以这样乘完后正好就等于六分之七零四九。好，这样就写好了，所以这样答案应该选择是e选项好，这是它的做题方法和思路，看是不懂了啊，算出来这样答案就求解出来了，选择e。好，这是他的做题知识点，这道题呢，就是也是遇到正负正负正负，而且这道题又遇到整数和分数这样的形式把整数呢？拆开去计算分式，拆开去计算这道题，

关键点一定要能确定它有总共有多少项，知道吧，项数一定要确定，确定完后这样就可以写出它的答案了。这样就不会错。接下来咱们看一下题型14，如果n个数字相同的情况下，大家学会呢，用反面分析啊，因为正面求解呢，感觉呢，要复杂点儿，我们呢从？反面分析就可以了是吧？反面来求解。

好比如说啊，这个反面意思就相当于是我们用一个整数减了一个小数，这个叫反面好吧，你比如说你看这个出现的数字都是八点九八。八点九八九九八那看这里面好多八是一样的，这里面又出现好多九是一样的，求a的整数部分到底多少？整数部分到底是等于几？所以这道题呢？我们都可以把这个小把这个数呢写成某个整数。啊，减掉一个小数就可以了，好吧，所以在这里面。就相当于从它的反面来分析了，

所以原式这个a就可以写成。啊，原是这个a可以写成第一项八点八八点八，可以写成九减去零点二。啊，这个写成九减零点零二。是吧，一直要加到最后九减去个零点一二三四。一二三四那后面一个二是吧？所以它这个四个九四个九就补四个零就行了。是吧，是这样的，好大家知道这个总共有几项，大家要会分析啊，要会分析我们看是不是有有几项，

大家要会思考。请看小点儿就可以看到，你看这个这个小点儿后面是一位是吧？一位这小点儿后面两位这小点儿后面三位。这小点儿后，一二三四五五位，这小点儿后面四位，所以这个还算比较简单，那数数啊，因为项数比较少，总共有五项。啊五项五项，所以它有五个九只有九×5。然后减掉后面的小数，后面小数它其实是一个等比数列，

当然它这个题比较简单，求和的话要要容易点儿。是吧，你不用等比数列求和也行，你看零点二+0点零二，再加上零点零零二。零二再加零点零零零二是不是这就等于45-0点二二二？二是不是这样的，所以直接把这个求和就可以写出来。所以后面有五个二五二，然后接下来我们可以发现它这个减号应该是什么？应该44点多是吧？44点多。所以在这么答案就可以求解出来，然后大家呢？

这个算应该是应该是c选项是吧？c选项所以等于。是四点几，具体几几呢？这个就是七。七七七然后八是吧？这样就可以得到它的结果，好那么答案呢？整数部分就44。如果它后面再多了，你就找规律就行了，好不好？所以这道题就告诉我们，如果数字差不多相同，我们这个反面相当于找一个。

离它最接近的整数，然后直接减到小数就行了。看到吧，小数这样一减就可以了好，这是它的方法和思路，看是不是懂了它的考试要点。好，接下来咱们看41题，这个题这个题跟上一题也差不多是吧？你看这不这15这一百九十五一九九五加上一九九四十四个九，然后一个五。然后这道题大家可以都用什么？这个按这个15跟20有关，20-5，这是200-5，

2000-5是不是？所以以此类推，所以这也都用减法做。是吧，所以这两题差不多一个呢，就用小数一个呢，是不是用整数啊？都是OK的，那s就等于一个。第一项可以写成20-5。这个可以选200-5。这个可以写成2000-5。v加到好，这个就是二。然后咱们看有几位啊，

看有几位，它中间是44位，加上第一个和最后一个，再加两个，总共46位。是吧，这个能看懂吧，中间是44个。中间44个。然后加上第一个和最后一个，所以总共46个，46个话，那么就是。这应该是有45个零。因为它总共46位嘛。

对吧，46位46位去掉，第一位还剩下45位，对吧，45位，然后再减掉一个二啊，这样就写好它的规律了。好，现在归它让求s末四位数之和是吧？末四位数之和。好，那接下来咱们看有几个五了是吧？看有有有几个五？大家一定要会找它的规律啊，要找它规律，

因为这是45个零，你看呃，第一位是有一个零是吧，这是一个零，这是有两个零，这是三个零。所以说这45个零，所以总共应该有45个数，45个数，45个数，我们把这含20，200，2000和这个合在一起。合在一起，我们就可以得到什么？

得到就是二二。二零这样的一个情况，是不是把这个加在一起？加起大家注意，它总共加起来是一个46位数，46位数去掉，最后这个零还剩下45位。所以这45个。这样的，然后减去总共45个数，45个数的话，那么五×45呃，五×45就行了，对吧？因为大家可以发现。

它这有个五，这有个五，这有五，总共45个括号嘛，45个括号，45个括号，大家呢就可以看出啊，它总共五×45，每个括号里面都有个五。然后这样我们就可以写出，就是二二。二零好，这总共45个。减去这个五×45这样的二二五。是吧，

五×45这样子，二二五好，那接下来我们列一个简单减法就是二。啊，前面的这个末四位是吧？末四位咱们前面就不说了，前面一大堆就不说了，咱就看呃末末四位减末四位减，我们要找末五位好吧，就看末五位减。用末五位减就行了。前面都是二不管了，末末五末五位就相当于是二二二零，然后减掉一个二二五。是吧，

减掉一个二五，这样就可以了，是不是我们就用这个末五位去去减就行了？好末末尾末尾，然后这个零减下来就是五，然后一减上就是九，一减上就是九，然后这个是一，这是二。是吧，九二所以在这里面，大家可以发现末四位末四位的话就是一九九五。是吧，一九九五好默四位，一九九五那接下来默四位数字和就可以写出来好吧，

就可以默四位。它之和。这就一+9+9再加五。啊，这样就写出来这一+99+54，所以加在一起就24是吧？加在一起24。然后这些呢，应该选择的是b选项，这是它做题方法思路，所以在这里面大家呢，要把这个。数字给它弄清楚，这样就写好了，然后看它方法是不是弄明白了它的知识点，

所以这两个题都是考察用一个。比较接近的数去减，减完后，然后再找规律再来分析呃，难点就是大家一定要知道什么呢，知道它有几个数好吧，有几个数位一定要把个数弄清楚，别给写错了。接下来咱们看在化简时候一些呢，用等比定理来进行分析的好，如果出现连等式啊连等，不管是三个还是四个连等式都可以用，等比定理分析。然后呢，还要注意它的陷阱。

陷阱陷阱，分母之和是5v零，要注意这个陷阱好吧，分母之和v0，比如说如果要两个可以用等比定理。比如a分之b等于c分之d就等于b，加上da加上c是吧？其实这个减法也可以用啊，减法也可以用。这样就是b-da-c也可以啊，就b-da-c这样也是可以的，为什么减号也可以，你相当于是把这个c和d都给它乘一个负号？就相当于把它变成负c，就变成负d，

跟原来是一样的一样，然后再进行相加是吧？你看这两个再加再加就相当于是减懂了吧？所以两个可以用。那么三个也可以用以此类推是吧？比如a分之b。等于c分之d，等于e分之f，等于一个，这个是b加d加fa加c加e。当然，这个减号也可以，但是一定要上下，要保持一致啊，上下要保持一致，

比如说这地方减号，这地方也得写写减号，这地方写减号。这地方也得写减号，它上下得保持一致，你不能说这地方写减号，这地方写加号就不行了啊，上下只要是保持一致都OK了好吧，原理大家刚才也讲过，上下可以通过一个负号。然后再相加，其实就变成减号了，好，这等比例它的做题的方法思路。好，

接下来咱们看42题，这个题这个题大家一定要讨论这个分母之和是不是为零，知道吧，所以大家在这里面不要漏掉了啊，不要漏掉。好，那大家可以发现，当这个a+b+c+d不为零的时候。不为零的时候，我们由等比定理就可以得到。有等比的得到，然后呢？分子相加a+b+c+d分子。相加，然后分母相加分母相加的话就是相当于三倍的abcd。

然后分母加这个分子加这个分母加啊，加在一起加在一起，那么跟原来这个n它是一样的，所以就得到三分之一。是吧啊，这个三分之一，然后当这个a加b加c加d等于零的时候。概念的时候就不能由等比定理分析了呃，就不能由等比定理来进行分析和思考。好，所以不能使用，等比定理好，不能使用，等比定理的话，这时候我们应该怎么分析呢？

不能用，等比定理不用等比定理的话，那这时候呢，我们就可以进行代换。你把第一个分式的分母代换，或者第二分式分母代换都可以是吧？所以在这里面你可以得到b+c+d应该等于负a。是吧b+c+d应该等于负a。就BC+c+d，然后等于负a。这样写好是吧？就负a这个写出来了，这个值就是负a，负a的话，那么上下那么就是变成这个就原式又变成什么了？

就变成这个分子是a，这个分母是负a，得到是nn的值就得到负一。是吧n的值就得到是负一。然后这个因为这个是负a嘛，这个它也为负也为a，所以说这个就是负一，所以这个呢应该选e啊，大家注意。啊，有同学选b，选b的话就漏掉一种情况啊，就这道题正确答案应该选择的是e选项好，这是它的求解方法思路。看各位同学是不是懂了，

所以大家不要漏掉了情况好，这是等比定理它的一个小陷阱好，这是整个的。题目大家把做错的和不会的好好再加强一下，然后把这些题呢再巩固一下就可以达到考试要求。

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