019.24-顿悟-专项四-题型4-6

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:15:50

好，接下来咱们看一下题型四化简过程中要注意磷的妙用，在考试中出现这个磷对咱们化简来说是非常简便。所以在化简过程中要注意零的妙用。啊，一个化简是一的妙用，还有一个化简是零的妙用是常见的方式，可以从以下几个角度呢进行思考，第一个如果多个式子相加要v0。那尤其只有两种情况。啊，要么都为零，要么出现正负抵消，比如说啊，这几个数加在一起。

它为零，它为零，要么呢？它都为零，要么它有又有正又有负啊，比如一部分正的一部分负的，它抵消掉出现零。第二个任何一个式乘以零乘法，刚才咱们加法说完了，乘法乘法都变成零，所以因式定理和余式它都是。采用这个原理，让产生零×1个东西啊零在乘法里面的使用第三个。啊，一个式子不一定可以把它进行转化。

把这个零给它进行转化。转化成其他其他的形式。比如说a+b+c，它等于零，可以把它转化成a等于负的b+c，就这个意思是吧？所以可以把它呢啊进行转化，把某一部分转化，转化完以后，然后再带到里面去分析和思考。好看，这块儿是不是懂了？好，接下来咱们看这个题。其实这里呢，

大家对于这个问题求解题，选择题，大家可以用特值法做，有的同学不会做，可以用特值法做，但对于重新判断题就不行了。分办理就a+b+c=3 a方b方c方等于三，那这个大家可能想到特值。这是ABC都为一，但是问的倾斜题还OK，但同学们问题你怎么知道？除了ABC=1之外，还没有其他的数值满足这个等式。也就说能不能确定它的值呢？它值到底有一个还是有两个？

比如这道题改成重新判断题，比如说能确定这个后面这个式子值。那么也就是说，你根据a+b+c=3和a方加b方加c方等于三，那ABC是不是只有这ABC=1只有这一种情况？有没有可能ABC还有没有其他的数值也满了这个情况了是吧？这个是很关键的对吧？所以说在这里面啊，因为问题求解题的话。它这个选项，它只有单选题嘛，只有一个值，所以说它不可能有其他的这道题，你还好这道题呢，就a的二零二四。

加上b的二零二四+c的二零二四，这样就等于三，这样就可以写成特殊法就OK，但重新判断题。啊，你一定要看看它，除了这个ABC=1之外，还要看有没有起压值，所以这道题我们分析分析有没有起压值，所以这样接下来有两种方法。方法一，我们用三个数的平方来展开，那这a+b+c^2。这样就等于a方加b方加c方，加上2 AB，

加上2 BC，加上2 AC。是不是这样的，所以这个咱们学过的。啊，这个公式绝对公式好学过公式，那接下来我们呢就可以看到是什么情况，因为a+b+c。平方a+brc^2，我们就可以把它看成它，这个题目说了等于三嘛，就正好为三。所以它有三的平方。然后这块儿呢？它也是三是吧a方加b方加c方也是三+2倍的AB+BC+AC。

是不是这样的？这样话，大家可以得到，那这个也也也得到三，所以AB+BC+AC，它也是三。啊，这个写好了啊，所以咱们用三个数的平方公式得到这个值，那这个值有，那我们就可以得到什么a方加b方加c方？就等于AB+BC+AC，它正好为三了，这两个相等的这两个相等的话，那么把它移过来应该为零是吧？

就a方加b方加c方。减AB，减BC，减AC，它应该为零，因为大家知道我们前面学过的，它要为零，你可以两边同时乘以个二，可以把它配成三组平方a-b^2。加上b-c^2，加上a-c^2。可以把它配成三组平方，三组平方就可以得到ABC，它相等。啊ABC相等那么再回到a+b+c=3，

这时候就可以得到它这三个相等，它都等于一了。啊，三项都等于一，这个写好了是吧？这个写出来看这个懂了没有？比如它这个就写好。啊，这方法一。啊，接下来咱们看方法，二方法，二大家遇到这个平方，大家一定要想到科一不等式好吧，所以方法，

二。方法就柯西不等式。啊k不等式是什么情况呢？k不等式就像这样的a方加b方加c方乘以个d方加e方加f方。啊，就大于等于AD，加上be+CF括号的平方是吧？这科一不等式。接下来咱们套一下科一不等式，我们让这个df都取一，那取一就可以得到a方加b方加c方。乘以个一的平方，再加一的平方，再加一平方大于等于a+b+c括号平方，因为如果def它都等于一。

df它都等于一的话，那这就变成a+b+c^2了啊，那么大家可以发现这道题，这道题它正好左右两边相等。啊，你看这边儿是三，这边儿是三，所以说大家可以发现这是三乘以这个地方，它也三，这个等于右边三的平方了，它奇等号。那k不等式，它取等号条件什么取等号条件？就是a比。呃，

它它这个取等号条件写一下好吧，在这上面它取等号条件就是a÷d=1个b÷e=1个c÷f啊。它就等号条件就第一个跟第一个相除，它右边这个形式是第一个跟第一个相乘a跟d相乘。第二个跟第二个相乘，第三个跟第三个相乘。啊，现在呢，就变成相除啊，变成相除a跟d相除b跟e相除c跟f相除是吧？相除相除它是相等的。所以它这个取等号条件什么取等号条件就a÷1=b÷1=c÷1啊，也就是说相当于ABC是相等的。AB是相等，因为a+b+c，

它又为三嘛，这个已知条件加加b+c=3，所以它这个只能为一好，这个就证明了它的唯一性。如果要重新判断题，我们可以证明它的唯一性，唯一性哈，就可以确定它的值，知道吧，所以这是给大家进行强调的它的方法啊，我们怎么证明它唯一性？好，这是用了两个方法，看各位同学是不是听懂了啊？掌握它的考试要点和内容。

好，接下来咱们看第16题这个题。这里大家做这个题啊，首先要掌握巧法啊，不能够直接去做，直接去做，首先这道题特指法，你可以发现不好用。啊，就特值法这道题可能有同学想到特值法。啊，特殊法，特殊法为什么不好用？特殊法，你比如说我给你试一下啊，

如果a假设为0a要为零的时候，那么这时候b和c你很难去取特值，你比如说a为0b你取多少？因为它特别要满足两个式子，因为a要为零的时候a要为零的时候得到b+c为一。啊a为零的b+c为1a为零的时候a为零的时候就。b加二分之一。c加三分之一是这个规定，那这个b和c你就不好取特值了，你联立方程去解的话又比较费事儿。是吧，这个比较麻烦，又不好去解。是不是这样的好，那这道题咱们可以用整体的思想，

这是让大家观察一下，你看这有a+1 b+2 c+3，这有a+1 b+2 c+3。是吧，我们都把变成a+1 b+2 c+3就可以了好吧，所以这道题呢，我们这样的a+b+c=1。我们就可以把它变成a+1。b+2。c+3。是吧，就a+1 b+2 c+3这个正好呢，就等于个七。是吧，所以在这里面大家呢，

就可以看出来，所以这一块儿大家呢，就两边同时加上一，同时加上二，同时加上三，就是七，所以就相当于是把a+1 b+2 c+3把它。看成一个整体就行了是吧？看成一个整体，你可以把它看成m或者n或者k是吧？所以可以看成m=a+1。n=b+2。呃k=1个c+3。是吧啊c+3好，那在这里面大家可以发现它让求的是m方加n方加k的平方，

大家知道有个公式啊，有个公式m方加n方加k方。可以把它写成m+n+k平方，减去二倍的，这个mn+MK+nk。是不是加上这个nk？根据这个式，这个式就相当于m分之一n分之一和k分之一啊，这个得到m分之一，加上n分之一，加上k分之一，它正好就为零。是吧，正好它就v零就m分之一，加上n分之一，

加上q分之一，它正好就v零，正好就v零，然后两边同乘以分母，对吧？同乘以同乘以分母，其实就可以得到什么？得到mn+MK+nk，它应该v0就两边同乘以mn k啊，把分母去掉就可以得到两两相乘再相加，它正好v0。是吧，两两相差，所以这个整体就为零，所以这有零的妙用是吧，

它整体正好为零，所以要记住以后记住啊，如果三个数的倒数和为零就可以把它变形成两两相乘，再相加为零。好吧，两两相等，所以这一块它有v0，这一块v0它要等于一个m+n+k括号的平方了。那m+n+k正好就是七嘛，因为这个括号就是m嘛，这个就是n嘛，这就是k嘛，就正好就是七，那正好等于七的平方，正好等于49。

这样等于49好，这样写好了，所以建议大家应该选择a选项。然后通过这道题就给大家进行讲总结一个公式，其实这个这道题就是一个公式，公式就在这m分之加m分之加q分之一要为零，那么则它这个两两相加。两者相乘再相加，为零为零的话就可以得到m方加。n方加k方就等于m+n+k括号的平方是吧？就等于这个公式。所以这也是咱们在学平方公式的时候啊，一个重要的一个特殊情况a方加b方加c方。加上二倍的AB+BC+AC，这个大家前面学公式是不是这样的？

然后当。啊，当它这个a分之一加b分之一加c分之一为零的时候，为零的时候，那这个括号里面它正好就为零是吧？正好就为零，也就说就是如果a分之一加b分之一加c分之一，它等于零。那就可以推出AB+BC+AC，它正好等于零=0的话，那就可以得到啊a+b+c^2就等于a方加b方加c方，所以这是它的一个零的妙用。是吧，大家巧妙用这个零来进行化简和分析，看是不是懂了？

好，接下来咱们看下一个题。很多同学说x加x分之一等于负一x，它不是实数啊，人家又没说x是实数，因为咱们这个咱们现在只是在。呃，这个。恒等变形里面再分析是不是人家又没让你求它的根是吧，所以说咱们虽然不考虑不考它虚根，人家没让你求根嘛，只让你一个恒等变形嘛。所以在这里面，大家如果记住刚才咱们讲的内容的话，那这个题就很好做了，

条件一x加x分之一等于负一，你两边同乘以x给大家进行移项。两位同乘以x。给它进行移项，就变成x方加x+1它为零，然后两边的同乘以x- 1，就可以变成x三次方减一为零。然后又得到x3长为一，所以x3长为1x是不等于一的啊，因为它这个不是实根。然后再做x10x十二次方x十二次方，加上x十二次方分之一，那这样就变成什么变成三次方再四次方。这个三次方在四次方是吧？就等于一+1正好等于二，

所以把这x三次方等于一带到里面去是吧？x三次方它唯一带带到里面，带到里面就得到一+1，它这个正好等于二。所以填上一呢充分。同样道理，条件条件也一样，条件x加x分之一，它等于一，那又推出x平方减x加一，它为零。这样两边给它通乘一个xx+1。啊，知道吧，所以两边同乘以x+1就可以得到x三次方加一它为零，

那就可以得到x三次方等于负一注意x是不等于负一的。然后那么同样的x二次方加x二次方分之一啊，就可以得到，得到就是x的。三次方的四次方加上x三次方四次方再分之一，然后大家知道x三次方正好等于负一负一的话。啊负一的四次方，它还是一，所以还是一+1，还是等于二，所以正确答案两个条件都是可以的，都充分正确答案就选择d选项，这样就做好了。然后这是它的考要点和内容，看是不是懂了？

下面我们来看题型五在变形的时候要学会配方是吧？配方所以当代入中出现一些平方公式的一些影子的时候就隐隐约约会预感到。啊，那么应该配方，所以当机立断对其补项变成一个完全平方式，从而快速求值是吧？再求最值于不等式范围的题目中，利用配方法求解也是惯用思路是吧？把它配成平方。啊，就相当于是平方的一个逆用，知道吧？各类配方公式。好比如说看这里面有出现了平方这些影子，那么想想办法给配方呗是吧？

所以要预感到，所以说有时候呢，它在一些市里面还有这个平方给它配方。然后那我们把它移项，我们看配备a方a方，这有个10a。11，11要给它配一个多少呢？配一个五的平方。是吧，这是一个，然后b方减24倍的b要配一个12的平方。然后这个c方减26c要配一个13的平方。这个338你配备正好，正好就能配完，

因为大家知道12平方正好是幺四四是吧？12平方。幺四四。13平方幺六九。五的平方正好25是吧？所以加在一起正好是338。是吧，所以刚好它加起来338，所以这338刚好就分完了，所以这块儿就为零就没有剩下的。好，最后这大家可以发现，把每一项这里都给它配方，这可以配成a- 5^2。b- 12平方加c- 13^2。

大家知道这个平方和为零，平方和为零，说明每一项它都应该为零，所以又可以得到a=5。b=12，c=13。所以50，23正好是直角三角形，这个答案就选择b选项。是吧，所以只要它所以配方用非复性就可以得到它，这个结果好吧，所以在考的时候一定要把常用的平方数把它背下来啊。啊，从五的平方一到19的平方，

大家都要把它背下来好吧，像12平方13平方14平方啊，15平方这这都把它背下，这样考试做题呢，会快一些，所以要给它进行配方。那接下来咱们看这个题，那这个这个题主要考察根号的配方。呃，左边呢？左边这一块儿呢？这个不好变形，右边我们来看给它变变形好吧，右边看变一下形。呃，

两边都都都怎么弄啊？都给它这个二分之一是吧？两边都要乘以二吧好吧，都都乘以二让它变成二倍的根号x。让二倍的根号y- 1，让二倍的根号z- 2，等于一个x+y+z好，那接下来我们再进行配。被大家知道这个呢x，我可以把它看成呃，把这个先移过来吧，先移咱移步来。先移过来，然后这个这个s可以把它看成根号s的平方。是吧，

然后这个要给它配一个什么配个一是吧，要给它先配个一最后最后藏在多退少补，先给它配好啊。都得少补就行了是吧？然后第二项。这样根号y- 1，我把这个可以把它配成一个y- 1。y- 1就可以写成一个。根号y-1^2-2倍，根号y-1。然后再给它配一个，一是吧，再给它配配一个一。好，那这个配好了，

对不对？就配好了，然后再加上一个这个z啊，这一项就配好了。加上zz的话，我给它zz- 2是吧？加上一个z- 2。呃z- 2根号，它的平方就其实就有zz- 2了。然后减去一个二倍的根号，下z- 2z2，然后这时候要给它添上一个一。啊，填上一个一。对吧好，

那这样就配好了，配好这个常数正好正好就没剩是吧？正好没剩，因为这这时候多一个一。这时候需要一个一这地方还要还要减一个二嘛，减一个二添一个二，这正好它它没有什么剩下的。是吧，所以这个它应该加上一个二这个呢，就是就是不用再剩下了是吧，所以在这里面大家呢，就可以写出它的数值。所以这其实这个相当于是什么？相当于是y- 1啊，相当于相当于是y- 1这相当于是zz- 2知道吧，

相当于是z- 2。啊z- 2 z- 2你给它你给它提还要给它补一个二嘛，补一个二正好就二掺两个一嘛，这掺两个一，所以这两个一。相当于减，相当于这地方减了一个二嘛，减了一个二是不是那这样是可以的？然后接下来这个就可以配成根号x- 1^2，那根号y- 1它的平方，这个呢是根号。z-2-1^2=0，这道题呢？呃，比较巧妙是吧？

这样配方配完以后。根据根据非不信，让每一项都为零就行了是吧？每一项都为零，每一项都为零，让这个为零就就x应该为一，这个为这个为0y应该为二。这个要v0呃z应该为三是吧？z应该为三，所以每项都v0好I=1 y=2 z=3，那么x平方加y方加z方就可以写出来。就一+4+9就等于14。是吧，现在十十四这个答案应该选择b选项，答案就求出来了。

好，这道题要变形配方，看各位同学能不能想到啊，用这样的方法来进行思考。好，接下来咱们看一下第20题，这个题。15 xyz至少有一个要大一点啊，至少有一个是大一点的条样，以ABC为实数，且s=a^2减BC y方。那y=b^2减a cz，等于c方减AB啊。c方减AB，然后呢？

这是条文一啊，那条文一我们看一下。啊，如果判断的话，判断它的它的它的取值情况，我们要么就相加，要么就相乘，知道吧，所以在这么考试中，你看要么就相加，要么相乘到底相加相乘。我们呢，要根据具体情况来进行分析是吧？到底相加还是相乘？好，

那这个题案一我们看题案一，因为这样要相乘的话，得不到什么有效的结果，对吧？x×y×z得不到有效的结果，所以我们肯定要相加。s+y+z。给它进行相加好s+2+6的话，在这里面就得到是a方。加上b方加c方。减AB，减AC，减BC这个这个大家公式，大家知道乘以二再除以二可以配成三组的平方。是吧，

平方，但是它题目ABC，它若为实数万1 ABC要相等相等，它有可能等于零，你知道吧？有可能这块灯里，所以syz有可能都是为零的，所以它这个就是不不充分啊，所以不充分原因是什么原因xyz？有可能都为零。啊，有可能都为零，所以它这个就不充分。题案一知道怎么改，就是充分吧，

如果它的ABC为互不相等的，或者为不全相等的实数，那这样就充分，如果ABC要不全相等。不一样的，那说明它的和要大于零，和要大于零，说明至少有个为正，知道吧，所以大家要注意它的结论啊，如果和要大于零。合合证可以推出至少一证。如果和要负。说明至少一副。好，

这是它的这个内容好吧，和要正它至少一正和要为负至少一负，这样的结果就写出来了。然后我们再看第二个条件，第二条s分之a减by分之b减cz分之c减a等于s乘以y乘z小于零。是吧，那我们要想到什么呢？要想到咱们学过的这个。定理是吧？就等比定理。等比定理等等比定理，这样就可以看出来是吧？等比定理，因为它这个它这个是小于零的，小于零的话，

所所以我们就可以得到什么，就是把它写一遍x分之。这个a-b。等于y分之b减c，等于个z分之c减a。然后把分母相加。把这个分母。相加，然后分子也相加，大家知道分子相加，它正好是a跟a约掉b跟b约掉它，这个就为零。那你大家知道这个这个数，它就变成零了，变成零的话，

那那这个就不行了，那这个不行，为什么因为它说了它这个东西，它得它得小于零题目说了。题目说它这个小小点小点，它这是矛矛盾的。啊矛盾矛盾说明它这个这个这个灯谜点用不了啊，灯谜点用不了是吧，灯谜点用不了原因是什么？咱们在前面学灯谜点的时候还还记不记得？当分母和为零时，不能用等比定理啊，所以这个陷阱要知道。啊，分母。

和为零时。不能用德米定理。好，那有可有可有同学可能会问你怎么知道分母和为零呢？是吧？怎么知道分怎么知道不能用等比例呢？咱们先用的试试。对吧，先用的是如果得到一个矛盾情况，得到一个一个矛盾，它它它得到的不是小于零的一个值矛盾，那说明那这个就不能用。说说明不能用，说明分母就为零嘛，是不是说明分母值它分母和一定为零好，

或者说这样做，或者说大家设一个比例系数k也行。或者这样做设s分等于。x分之a减，by分之b减c。z分之c减a它等于个k。等于k而且题目说这个k其实就是x×y×zk就是小于小于零小于零，那我们就可以得到一个什么情况呢？得到得到x就a-b就等于k倍的ik x。b-c就等于ky。c-a就等于kz。然后把它相加。把它给相加，但是相加大家知道左边这个加在一起，它就v0是吧？

左边这个加加在一起，它v0是吧？左边加在一起v0，右边加在一起有k倍的x+y+z。是吧k被x+2+z，大家知道k呢是不为零的数k，不为零的数又得到x+2+z是为零的。I加加加它为零是吧？就得到x+y+z它是为零的。是不是得到这个x+2+z？它是等等于零的好，那x+2+z=0啊，又题目又告诉我，还有一个隐含条件x×y×z要小小于零。所以x×y。

乘以z要小于零，大家知道xy×z要小于零，那么sy要么就是什么，要么就三负。要么是一正两呃两两正一负。啊，要么xy都是负的，要么就两正一个负的是吧？两个正数，一个负的好在这在这里面，大家发现xy就不可能三个负的，因为三个负的要加在一起，它不可能为零。是吧，不可能为零，

所以说这种情况三个负的话，这种情况是不可能只能是两正一负。好，既然两两正一负，那就可以推出那xyz，至少有一个是大大于零的，所以条件二是充分的。这里也不要去联合啊，也没必要去联合，单独充的时就不要联合。建议大家选b好吧，建议大家选b，所以这道题考的非常好，这道题大家听完的收获给大家进行总结一下啊，收获总结主要是判断它的符号。

知道吧，又会判断它的这个符号，所以说判断符号要么就和，要么就就是它的乘积，所以给大家一起再归纳总结一下啊。总结一下。好同学，把这个写写下来s+y+z，如果和咱们都都都想的是非零的啊，咱们先说一下这个非零的。都是a xy都是不等于零的，那要大于零，大于零就可以推出，至少有个为正。至少一正这样呢，

但是反过来是是不行的，如果abyyz至少一个为正，那得不到x+y+z比一定大于零啊，所以说大家注意。如果s+y+z。要小一点，可以推出至少一副。但至少一副得不到这个。如果x+y+z要等于零=0，咱们就说xyz都是不为零的数啊xy都不为零的数，它不为零的数，它要么就是两正一负。或者说两负一正。两负一正是吧？就这样了，

但左边。左边可以推右边，右边推不出左边，然后接下来咱们看乘积xyz相乘大于零，相乘大于零，要么就是xyz 3正。或者说是什么呢？或者说是两负一正。啊，这个可以互相推啊，这个就OK了。然后syz如果要小一点。就三个负。或者说两正一负。啊，

两正一负。好在这里面大家注意，单个大家，我想大家都会单个都没问题，就是如果要合在一起的时候，大家呢啊，要注意别给写错了是吧？合在一起，比如说总共只有五个嘛，五个，比如说一跟。四啊，两个合在一起，合在一起，你看它们。

找到共同部分，你知道吧？或者说一跟五它合在一起是吧？一跟五它合在一起，比如第一个跟第五个合在一起，或者第三个。跟第四四个合在一起，反正它这个可以任意选两个挑在一起，你看咱们这道题条件，二是加二+z=0和乘y×z小于零，它这两个合在一起。是不是所以在这里面大家呢？要会出现合在一起，要会判断分析，看各位同学是不懂了。

好，接下来咱们再看21题，这个题。这里它a=b，等于c，等于d它成立啊，四个要相等，我们看条件一。条件一给它配方都乘以二再除以二可以把它配方是吧？可以把它进行配方就行了啊，为什么要乘以二，因为它要有2 AB 2 BC 2 AC嘛。所以说这样这样，大家呢，就给它撑开嘛，

撑开这样的话，我们就可以给它给它搭配起来嘛，对不对啊，搭配就有两个a方，两个b方，所以都。都乘以二×2的话，就是可以把它配成a-b^2，加上一个b-c^2，加上c-d^2。加上a-d^2=0好吧，等于零=0的话，然后根据非无性可以得到abcd，它应该相等，所以条一呢是充分的。

啊，所以这道题都该乘以两倍，然后给它进行配方。然后第二个，第二，第二个怎么配呢？第二个大家注意这个，先把四方四方给它配，四方四方可以把它看成方的平方。是吧a方的平方，它有两种配法啊，两种配法我都给它写写，可以配成二二倍的a方。b方加上b平方的平方是吧？然后后面c的c跟DC跟d也可以配c跟c跟d。

CC的四方可以发现c的平方的平方加上二倍的c方d方。然后加上d平方的平方是吧？d平方的平方啊，得到这个值。然后接下来呢？接下来我们再看看。再看多了嘛，多多了一个什么东西，你看多一个a方b方c方d方，我要给它减减掉。减去2a方b方。二倍的c方d方再减去四倍的abcd。等于零是不是？另外，注意条件二，

大家在重新判断题取特值的时候，不能用特值证明充分啊，有同学说条件二，他取了这个值，他说我让abcd。它都等等于一都等于一看发现这个数正好满足满足这个条件儿，满足条件儿，那就证明它充分。注意特征法不能证明充分。不能取一个特值，正好能推出题干，就认为它充分，这个是错的。不能用特征法证明充分啊，所以这这个特征法证明充分，

这是错的特征法，只能证明它不充分。好，然后接下来咱们讲到哪看到这？看这那后面这三项我们呢？再给它进行。再给它进行搭配是吧？提出一个二，然后再配方是吧？提出二，然后再配方，所以这样这道题可以配啊，配置配置a方加b方的平方。加上c方加d方的平方减去提出二，提出二后又可以配成一个平方是吧？

配成AB。AB+CD^2，这是一种配方啊，配方对不对？然后还有一种配方是什么？把这个变成减号，这个变成减号，这个地方也变成减号，就把这个反压号。这个反向号，那这两个也反向号。如果这地方变成减号，这地方变成减号，那这地方就变成加号了，对不对？

变变加号或所以我不不再重复重复写了。或者把它配成什么，配成a方减b方括号平方加c方减d方括号平方。然后加上二倍的ab-cd，它的平方等于零是吧？有时候如果这个地方变成减号，这个地方变成减号。然后这两个都变成加号。所以说这个就变成减号，这变成减号。这个变成减号，前面这块儿变成加号就行了是吧？这样配也行，上面这种配法的话用用不了，非负性，

知道吧？第二种配法可以用非物性，因为第二种配法都是它的非物性的和为零，所以说到底怎么配呢？一定要看我们怎么去选。啊，怎么去选？好吧，选选完后，然后就可以得到它用非负性非负性可以得到a方等于b方。c方等于d方，然后AB=CD。但是呢，得不到得不到a=b=c=d那这个不不一定是吧，你可以找反例。

找反例，找反例，比如说a和b，它取1c和d，它取负负一是吧？这样就找反例了，这样推出abcd相等。是吧，得不到这个。好，当然这道题还可以，什么还可以把a的四方跟c的四方先搭配是吧？呃，先搭配，然后b跟d搭配都行。

啊，都可以这样，反正这个的配方方法有很多啊啊，有很多是吧，所以这样可以配成方减方。b方减d方。是吧，这就是AC，这是减BD，这都OK的好吧，反正怎么配都都是没问题的嗯，或者你这样做也行。哦，这样这样就变成a方跟c方配。这个是b方跟d方配。

然后这个就变成二倍的ac-bd括号平方。是吧，这个都是OK的啊，都是没问题好吧，怎么配都都是一样，如果这样配的话就得到a方和c方相等。b方和d方相等AC和BD相等是吧？就可以得到a方等于c方。b方等于d方。AC=BD。好就可以得到它的值了啊，这是它的做题方法好看，各位同学是不是懂了，所以这个非负吸引它的使用，所以条件上一定要找反例啊，

找反例，所以这道题条件一成分。在哪选所以配方的这些公式方法变形的思路，这个大家要知道，包括这个减号加号，大家要会处理。啊，这是给大家强调的这个考题内容和方法，看是不懂了。接下来看一下，那么第六个题就整体化简求值。啊，针对化简求值，针对化简求值看多次重复的一个整体，多次重复的整体，

比如它在这几个表都出现了，比如像刚才咱们前面讲一个题也是这样，比如a+1，它在这个表示出现a+1 b+2 c+3。它在这里面表示都出现了，我们可以把它整体换元来分析，在换元时候要注意一些技巧的使用是吧？换完后要注意它的变形的小技巧。啊，这是它的呃要求。好，接下来看二十二题，这个题啊，这个题这地方可以看它这四个括号里面都有，什么都有二分之一加三分之一加四分之一二分之一加三分之一加四分之一。

那都有这个。是吧，所以它同时都共同的有这一个表达式，这个也这个表示它重复出现了，看到没它出现了好几次。啊，重复出现了，重复出现了，那在这里面大家可以发现它就可以把它令这个t等于个二分之一加三分之一加四分之一。是不是然后那么原式，我们就可以把它化简？原则好，那么第一个括号就可以把它变成一+t。第二，括号可以把它变成t加五分之一。

后面正好一加t加五分之一。这个再乘一个t是吧？再乘一个t，这样就可以了。好把这个括号给它乘开，乘开以后大家可以发现正好是t。加上。五分之一加t方再减上，再加上五分之t，这个减去一个t再减t方再减去五分之t，所以大家可以发现它这几个都抵消掉了。t没了t，方也没了，是不是然后五分之t也没了，最后算出来答案就等于五分之一。

这个呢，应该选择a选项答案就求解出来了，好，这是它做题方法思路，看是不是懂了，所以通过这道题大家呢，要知道把这个整体给它换下来。在咱们考试里面还出现过这样一个考题是吧？比如m就等于一个a 1+a二一直加到。an- 1是吧，然后an- 1。乘以个a 2+a三一加到an。然后n呢，是等于一个。a 1+a二一加到an。

乘以个a2加一三一加到an- 1。好让让你求m减，或者说比较m和大小。比较大小，其实就做减法就行了，其实这道题要求减是吧？求m- 1定要看它每一项都有什么，每一项都有个二。到an- 1是吧a2到an- 1，这有a2到an- 1，这也有a2到an- 1，所以你就令这个什么令这个？t就等于a 2+a三。一加到an- 1就行了，所以这m就可以求解出来m正好就等于一个a 1+t乘以个t+an。

然后nn呢，就可以写成a 1+t，再加an再乘以个t，这样就行了是吧？这就行了，所以这样就可以算出m-n的值。好算到m-n值m-n，把这个括号给它乘开，减掉这个括号，乘开这个t啊之类都抵消掉了，就剩下a1。乘以an了是吧？这个答案就写出来了，你看这一块儿是不是明白了是吧？所以像这一题，

它出多次出现重复出现它这个式子在这里面，大家呢都可以用这个。换元法啊，把它换一下，换一下，然后在单位里面求解和思考，看是不是懂了？下面我们来看一下23题，这个题。a-b正好等于3 a-c正好二六三次，根号二六则，这个是是值到底多少？当然，这道题倒是倒是可以用那个特值法做。因为这道题，

大家发现它正好是给了呃两个方程，但三个未知数是吧？而且它这个数值又不影响答案，答案都是常数。所以这道题技巧我们可以用特征法做。技巧大家可以用特值法来进行分析。比如说我们这道题，因为大家可以观察它都有看到没，它正好它都有a的话，那么这个可以令a为零。它正好都都有a嘛a的值为零，好a的值为零，那b的值正好等于负3c的值正好等于负的三次根号26。是吧，所以说在这里面啊，

那带到里面去分析，你把这里面a的值都把它变成零，然后呢b的值等于负三，然后带到里面去，这是一种方法做。啊，没什么问题是吧？然后让一般计划这样的一般计划一般计划，它这里面出现了一个c-b是不是？抽验的一个c-bc-b，让这两式相减是吧？两式相减，两式相减就可以得到c-b。啊，就等于三减去三次根号二六。

是吧，所以让两式相减就可以了啊，这个c-b。是吧，然后你把这个c-b用这个带，然后a-b知道了，然后a减呃a-c知道a-b也知道a-c^2，它也知道，所以原式就可以把它写成。三减去三次根号二六。然后这里面a-baa-b正好是三，所以就三的平方。加上a-c三次根号26，然后再乘a-b三，再加三次根号26括号的平方。

然后这样的，但这样做，我们看又比较麻烦是吧？这样做又比较麻，不过这样做，大家如果能看出立方公式的话，倒简单是吧？你可以。看这个立方公式，立方公式上，比如看到x-y×x^2加xy，再加上y方，它要等于x三次方减y三次方。能看出立方公式吧，这个简单点儿，

所以它可以写成三的三次方，再减去三的根号二六的三次方，其实就是二六了啊，所以就得到一，因为大家知道三的三次方是27，27-26，正好得到一，这样答案就选择选项。啊，这个答案就选择a这样就写好了好吧，这样就可以写出来，结果看这块儿是不是听懂了？那这是它的这个一般的这个解法，大家要会分析和思考。好，

那这道题那么既要方，你用特征法或者说你用这个立方公式做也行，你把这个拆分成立方公式，把这个看成x，再看成x×y。再看成y方，然后这个把它看成x-y是吧？用立方公式做，要简单点儿。啊，接下来咱们看24题，这个题。这个底下已知x为实数啊，且这个是求x加x分之一的值到底是多少？求x加x分之一的值到底是等于几？

是吧s加s分之一值到底为多少？好在这里大家可以发现，都可以把它配成x加x分之一，加x三次方加x三次方分之一，这个咱们在前面给大家进行总结过x三次方加x三次方分之一。大家可以写成x加x分之一括号里面可以写成x方减一，再加上x方分之一是不是？啊，用这个立方公式，然后在括号里面还可以再配方。可以配成x加x分之一的平方再减三是吧？x加x分之一平方再减三，或者我们把这x加x分之看整体给它乘开一些。这个给它重开也可以。乘开始写，

它可以写x加s分之一的，三次方减三倍的s加s分之一，这样也可以。好，那么上面这道题我们可以利用t好吧，好，这个给大家分析完后，咱们再看这个题好吧，我们可以利用t。就等于x加上x分之一啊，这个t就等于x加x分之一，这t的值好t的值，然后接下来我们呢，就可以把它。写成什么？

写成这个x三次方加x三次方分之一就可以写成t方t的三次方减3t，然后这边还有一个六正好等于2t方。是吧c。原来这个已知条件就可以带成这样一个式子，但是然后把这个给它进行移项啊，移项移项的话，然后这三次方怎么分解三次方一般两两分，一般它的系数呢，也不是太复杂是吧？两两分就可以了，好那大家可以发现把这个2t方移过来，就是t的三次方减3t。然后加上六减二t方正好等于零。正好就为零。好，

这样就写好了，现在大家可以把含有相同的给它放在一起是吧？含有相同的给它呃，放在一起。放弃，然后再再两两提攻击适用，比如前两提，后两提，前两可以提出一个方啊，提提提出一个。啊，这个t方减三。然后这个提出一个二，这也是t方减三为零是吧？所以说这个提出一个二，

提出一个二，然后就t方减三。是不是啊？它这个值。然后在这呢，大家再提出一个提出个t方减三，这个t- 2×1个t方减三，它v0。好，大家知道这个要么t=2，要么t方等于三，所以给到t=2或者t等于正负根号三。这个写好了是吧？所以t=2或者t等于正负根号三，但是你要选择e的话，

那这道题呢？就会出错，为什么就会出错呢？因为大家知道x是实数，刚才给大家已经圈上了。让大家注意，这个陷阱是吧？如果x要为实数大家学过均衡定理x为为实数的时候。就x加x分之一要大于等于二，这个当x大于零的时候x小于零的时候x加x分之一小于等于负二。是吧，哎，小于零的时候，所以这个t呢字母根号三要舍掉的。要要舍掉，

不能选啊，同学考试做题的时候在这里面只能选择a选项，大家要知道它的方法。好吧，这里答案选择a叫他考要点，看是不是懂了？所以通过这道题，大家呢，要知道他的做题的要点方法啊，那么大家在做的时候啊，别啊漏掉，所以这是给大家进行总结的啊。啊，一个要点，一定要注意它的取值范围，

因为实数，如果它要没说实数的话，那要虚数的话，那这无所谓了是吧？怎样呢？呃，就了就可以这样去分析和思考。好，那接下来我们看25题，这个题。好，这个题它主要考察这个方程，问它的收入根之和到底多少？求这个十根之和。好，

那接下来咱们来看一下这个题，它的观察，它特征，它这个次方比较高，而且输入项数总共是五项。它最高四次方，那这个怎么去处理呢？我们首先看一看。这个含有五的，先把它放在一起，所以第一个方法我们分组分解法。分组分解来进行求啊，这个五跟这个五合在一起，剩下的三项给它合在一起好，那剩下三项合在一起就。

提出一个二。啊，就是这三项合在一起。这三项合在一起。合在一起，然后提出个二提出二号，那么剩下就是x方加上2x平方，然后再加上一。然后这两个合在一起，然后呢，就减5x括号就x方加一，然后等于零。是吧，所以这两个给它合在一起。减去5s括号s平方加一。

然后接下来大家可以看那么前面这个式子。好，前面的四大家可以写成，它可以配成一个完全平方，发现没有可以配成一个完全平方，所以怎么想到把这两个五放在一起呢？大家知道物以类聚，把它同类型的把它放在一起。是吧，所以这两个五的特征呢，比较明显，因为五是质数，所以说先找这种比较特殊的数，把它呢合在一起。然后接下来我们就可以看到这个呢，

可以配成s平方加一的平方，减去5x×x^2加一。啊，等于零，然后大家可以看这个，可以提出x方加一啊x方加一，因为x实数啊，咱们默认都是在实数范围内。主要是方加一。这个它是横正的，其实它这个就不用管它了，然后这些剩什么剩二倍的x方加一减去个5x它等于零。然后接下来我们看把这个给它乘以二×2变成x方加一乘以个2x方减5 x+2它等于零。好，大家知道前面这个s方加一是横正的，

不用管它，后面这个再继续因式分解。分页，然后前面这个二二可以分成一×2用十字相乘分一分，后面这个二二呢可以分成，因为要出现中间的负五嘛。正常负五就负二和负一。啊，出现中间的负是吧？所以说它就可以把它分成x平方加一乘以个x- 2乘以个2 x- 1。等于零啊，这样写出来写出来十根十根呢，一个就是二和二分之一。一个二和二分之一好，它输入十根之和，

正好就等于e选项啊e选项就是二分之五，建议大家选e。这样就写出来了啊，这是它的方法啊，这种方法好方法一我们就做完了。接下来咱们看方法，二方法，二是什么情况呢？我们来看一下它给的是这样一个方程，我们呢？就可以两边都除以x某次方。除以某次方的目的呢，是产生x加x分之一x平方。加x平方分之一或者x三次方加x三次方分之一这样的一个形式。是不是总之呢？

咱们的思路可能有同学想不到，就往xn次方加上xn次方这种形式上靠近。嗯，按照这种方式来进行分析。因为咱们这道题两边要同除以x的某个次方，所以我们要看x是否为零，我们首先观察一下x=0的时候，左边是二。右边是零，所以是x=0，这个方程显然是不成立的。x=0，显然这个不成立，显然不成立，说明x不能为零，

因为x=0的时候，它不满足这个方程，那这样。我们就验证了s不能为零，那么就两边可以从除以一个非零的变量，所以以后两边除以变量的时候一定要判断一下它能不能为零？好吧，所以这个s它不可能为零，不能为零，那这里两边同除以什么呢？就同除以一个比较折中的啊，比较折中，你看四次方三次方二次方一次方，后面常数是零次方啊。因此啊，

我们就居中除，所以两边都除，以x平方好，通过这个分析以后，接下来我们就可以写方法二。好两边同除，以x平方，所以以后大家注意两边同除一个变量的时候，一定要先判断一下它是否为零，因为这道题x肯定是不为零的。两分钟除以s平方，这变成什么第一项就变成了s平方分之。二是吧，这第一项。啊，

两边都是s平方，第一项就变成2s方。啊，第一项两边能除以s平方。然后第二项就变成了减5x。啊，两边都除以x平方，中间就变成四。减去一个x分之五，加上二除以x平方，它等于零。是吧，加上二÷x平方，它正好为零。然后接下来我们来看一下它的这个式子，

然后这两项可以合在一起，然后这两项可以合合在一起，是不是这样的？那接下来我们呢，就可以写它的式子和结果。好，那么这个二提出二期的就是x平方，加上x平方分之一。然后把五五的话xx分之一，然后再加四它v零。再加四，它是为零的是吧？就二倍x方加x方分之一减去五倍的x加x分之一，然后这个加四，它为零。

那这样的一个方法是不是？然后接下来咱们呢啊，再把x方加x方分之一，然后再进行搭配出x加x分之一，用整体换元跟前面题差不多。是吧，所以我们可以利用t等于x加x分之一。然后这个x方加x方分之一可以写成t方减二是吧？这个变成了二倍的t方减二。然后减5 t+4，他命令。是不是这样就写好了？好，这样新好友，那接下来我们呢？

就可以把这个重新整理，就2t方减5t。然后这个是v0的是吧？因为这个有个负四，这个有个正四，它就抵消了，抵消的那我们t的值就可以解出来是吧？t它有两个值t呢，就是等于零，还有一个等于一个二分之五。t的值等于零或者二二分之五这样写好。对不对？好那么这样t写，但t等于零的时候就x加x分之一等于零，这个要舍掉啊，

因为x加x分之一等于零，你两边同乘以x就变成x平方加一为零。然后这个就要舍掉了好吧，而且咱们讲s加s分之一，要么大于等于二，要么小于等于负二，因为咱们都默认实数。然后这个就x加上x分之一等于二分之五。然后之后两边可以通乘一个2x把s解解，然后通乘以2x变成2x方。你们都乘以2 x+2，你们都乘以2x，指的是5x是吧？所以等号两边同乘以个2x。2s得的是2s平方。

然后再加上一个二。然后再加上一个。5x这样就写好了，然后把它移过来一个又变成2x方。减去5 x+2，它等于零。那然后这个就可以写成一乘以二负二负一，然后这x就等于二或者二分之一。是吧I等于二或者二分之一，所以它的根之和正好就二分之五，不过有同学做到这儿选二分之五，它要碰巧是吧，因为有同学说一个t一个零一个二分之五，这两个加在一起，碰巧也是二分之五。

那这正好是巧合，知道吧，所以这道题应该是二加二分之一得到这个二分之五。好，那这两个方法都行，所以大家以后分组分组的话就要观察，这也没啥好的公式，知道吧，所以有同学说怎么一眼观察出来，一眼看这需要经验的积累，或者说有时候呢，确实也需要尝试一下。知道吧，你经验多了，话你尝试就快，

因为有时候看了也不一定那么准是吧，反正五项的话，五项的话就是两组和三组。啊，这样去分就行了好，这是分组分解，或者说两边都除以一个某个次方，然后变成这种倒数这种形式来进行分析和思考。啊，这是给大家讲的这道题，看是不懂了。啊，接下来26题这个题。已知s大于0f二，等于这个则fs应该满足下列哪个式子？

啊，下列哪个式子好？大家有同学可能最开始能想到特值法是吧？特值法，但特值只能排除啊，特值只能证伪，不能证真。知道吧，比如说有同学最想到就取s=1是吧，有同学取s=1用特值。那等于取得特值法，那每个括号都是一+1是二就二的六次方是吧？就这样二的六次方，然后减二再减二。然后这个s=1的时候也一+1是二二的三次方，

然后加二。然后这个23呢，正好是八八+2得到十十，然后呢，这个二的六次方等于64，64-4得到60，它正好等于六。也就是当s=1的时候，它正好正好为六，也就说这个fs肯定不能够比六小。是吧，因为我已经找到一个取六的值了，它至于呃有没有其他值那么在这里面，我们已经得到一个它已经可能是。有六了，

所以说肯定不会比六小，不会比六小，你看a选项，它是小于二，这是不可能的。然后b选项大于等于十咱。咱咱咱这个它它有六了啊，有六六它不一定是比十要大。所以这个也不太行。也不太行是吧？六它不是比十大，然后c选项，然后d选项错了。好e选项有可能啊，当然这道题巧合有同学说唉，

试出一个六正好选c，那这是巧合，因为e选项看e选项这个六六的话是大于等于三，它其实也符合的，知道吧？也辅导你这个六大于等于三，人家也没说错是吧啊，也没说说说错，所以在这里面大家呢，就是这这是。呃，一种方法就是特征法，它只能排除一部分选项，那有同学我再取个特征，比如说xn再取一个。

取个二，因为s只能大于零嘛s，取个2s，取个二的话，那这这就太复杂是吧？这就太复杂就失去了特值的。呃，这个优势了是吧？这个特质本来是简便的，那取个特质，越弄越复杂，那就那就是持续特质的优势了。好，那接下来咱们来看一下，看一下这个题好，

这个题的话，那一般的话怎么做？一般的话肯定要用这个整体的思想来进行分析了。是吧，用真实性，我们首先观察一下，是这上下特征啊。然后这个二大家怎么把它用好是吧？这个二。这二要把它用好，这个二的话可以跟这个括号里面搭配在一起是吧？这二可以跟这个括号里面这个这个搭配。呃，在一起，所以说这个fx。

分母呢，先不动x加x分之一的三次方。这x三次方加上x三次方分之一。然后这个把这二合在一起就x加x分之一的六次方减去。如果括号里面把这个变成什么，变成这s六次，方可以把它看成什么呢？看成x三次方再平方。这x三次方再平方，然后再加二。然后再括号，这样就行了。是吧，然后把这减二放到这儿。放这放这，

这个就OK了。OK了，然后这块儿它正好呢，就可以把它看成一个配方是吧？所以这个可以把它配方配成x加x分之一的六次方减去括号。x三次方加x三次方分之一括号的平方。啊，这样的是不是配方那，然后这个x加x分之一的三次方加上x三次方加上x三次方分之一？好得到这个值。大家发现这个可以用平方差公式，因为这个六次方可以把它看成三次方外，外面再平方。是吧，所以这这用平方差公式。

平方差公式有分子。平方差公式就等于两个相加乘以两个相减啊，就等于两个相加。你可以发现，它正好跟分母抵消掉了。然后再乘以两个相减。再乘以两个相减。好，大家可以看这一块儿跟着分母，这样抵消掉，抵消掉，就剩一个这个数了是吧？就剩一个x加x分之一的三次方。减x三次方加x三次方分之一。好，

那做到这儿，做到这儿，然后把这个三次方三次方用公式把它展开，公式展开以后，它正好跟后面x三次方和x三次方抵消掉，就剩一个三倍的x加x分之一了。对吧好，那这个为什么剩一个它呢？因为大家知道咱们学过一个公式，就a+b的三次方正好等于a的三次方，加上3a方b。像三AB方加上b的三次方是吧？你把这个a看成xb，把它看成x分之一。是吧，

一个x一个x分之一，然后套这公式知道吧，套这公式套这公式正好跟后面抵消掉，抵消掉，只剩下中间这一块儿。那这一块儿如果这地方要减号，这地方要减号的话，就把b的奇数次方变成减号，因为这是b的一次方，这是b的三次方，这地方变成减号就可以了，其他的。这个偶次方不要动好吧，要要要，如果这要改成减号的话，

怎么套公式啊？然后呢？知道s加x分之一，因为这道题s是大于零的题目，说了s大于零，所以它大于等于六，大于等于六，所以它最小值呢？应该为六。是吧，这个答案选c选项好，这是。给大家讲的，所以这几个题都是遇到x和x分之一，它的整体的一个处理方法思路，

大家要知道是吧，用整体方法，而且这里面用平方差公式啊，或者立方公式啊。进行并行，最后还用到均值定理，然后求它的呃大小关系，这个大家要知道好吧，掌握这样的方法。

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