018.24-顿悟-专项四-题型1-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:15:33

各位同学大家好，接下来我们学习代数的化简变形，代数化简变形也是代数的学习基础，也是代数的核心。很多问题都涉及到符号的一个简化，一个变形，所以大家在做其他题目的时候都要涉及到变形。所以首先我们来看一下。化简并行是每年考试重中之重。常见的有公式法，比如给套一些平方公式，立方公式，还有转化法，比如符号转化，还有换元法，

做换元法，其实就就是把一个部分用一个新符号来换。那另外整体法可以把某部分看成整体，还有分解因式进行变形，用各种分解因式的方法，还有因式定理。还有余式定理以及高次项一个分解高次方，它的一个分解变形等等的好，这是它的常见的涉及到的考内容。好，那接下来我们看一下题型，一题型一有转化的方法，转化当结论出现，多个未知数的时候，我们要学会根据题干信息，

用一个未知数表示其余未知数完成一个转化。好，那这是它的一个情况，位数比较多，我们都可以用同一个符号来去表示。接下来我们看一下。这个题假设sy满足s+2 y=3。则x方加y方加2y的最小值到底是多少？其它最小值到底是等于几？好，那么这个题大家呢？可以发现我们符号都用y去表示或都用x去表示都行是吧？然后在这里面我们发现这里面只有一个x。所以我们想办法把x用y来表示要简单一点。因为这个y要换的多，

知道吧？你要把y给换掉的话y有两个地方得换，需要稍微复杂点，换s只换一个地方。所以我们根据题目，然后来决定到底换谁要简单，是不是你要把谁给换掉，所以这道题我们把s给它换掉就行了s就等于三减二y。就行了是吧x=3-2y。i=3-2y，然后这样这样代到里面就可以得到x平方加y方加2y就等于。然后s的平方，这样就三减二y的平方。s平方就三减二y的平方。这s平方，

然后加上y方，加上2y。啊，得到这个值这，然后这个把它整理整理整理完后，然后这个展开有个四外方，这个外方就是五外方。y方这个减去一个呃12y这个加上2y，所以就减去一个10y，然后再加上一个九。得到这个值，但是大家把它看成一个抛物线。看成抛物线，这个抛物线因为y方前面系数是正的，所以它把它看成开口向上的一个抛物线。

把它看成开口向上的一个抛物线，好在它对称轴的时候，它就取到最小值，只要对称轴正好就x那y=1啊，对称轴正好为一。啊，所以大家可以发现，当y=1的时候。它最小值就为。四啊，最小值为四好，那这个呢？应该选择是a选项啊，这个呢？就求解出来了，

好这套做题方法思路，看这个是不懂了。所以通过这道题，大家呢啊，要学会把一个符号用另外一个符号去转化，转化完以后，然后再来分析和思考大家呢，要注意它的考试内容和方法。好，各位学霸们，大家准备好了啊，接下来我们把这里改改，各位学霸们把它改成x方加2y方等于三。x方加2y方，然后等于三，

然后求它的最小值到底多少是吧把把它改成这样的？改日方加2y方等于三。还让我们来进行求。x方加a方加2x方加y方加2y，它的最小值。求x方加x方加y的最小值到底是多少？啊x方加y方等于3 gx方加y方加YY的最小值。好，那这道题大家也要把它进行去转化。好，各位学霸们，大家做完以后，然后再来听老师讲解和答案，自己先思考。啊，

接下来我们来看一下这道题的。做法，把x方就等于三减二y，方x方等于三加二y方是吧？带到里面去，带到里面去，这样就变成x方加y方加二y。就变成三减。二，y方。然后ji y方。加2y。就等于负y方加2 y+3啊，得到这样一个值。得到这样一个结果是吧？

所以把这个x平方用三减二y方带到里面，得到负y方加y加三。好，那这样的话，那那大家可以把它看成开口向下的一个抛物线。这样开口向下抛物线，它对应轴等于负的二a分之b，那对应轴是y为一y为一。那要求它的最小值到底说有同学说它开口向下，它就无最小值，那这个错了，知道吧？错了，所以大家注意这道题要注意它的取值范围。取值范围，

所以抛物线的时候一定要看它取值范围，因为这道题大家注意这个外外方y，它是有取值范围的，为什么y有取值范围呢？你俩这平方是非不信平方，非不信外方也非不信两个非不信相加等于三，所以每个都应该是。小于等于三的，所以这这这道题就是y方2y方小于等于三。知道吧啊，它这个小于等于三或者x方也是在零到三，因为两个都是非复性的，非复性加在一起等于三，这是一个隐含条件。就是大家设陷阱那个地方。

所以有同学没看到隐含条件是吧，然后这样话我们可以得到这个y的这个值。好，那接下来我们可以把y的取值范围给它写出来。y的取值范围。好y方小于等于二分之三y方小于等于二分之三，那说明y小于等于。二分之根号六。大于等于负的二分之根号六。是不是所以这样就写出来了，接下来我们可以看y是从负的二分之根号六到二分之根号六嗯，然后。这样一个取值区间是吧？好，那这是它这个抛物线是这这一段。

看这一段好，如果要求它的最大值求最大值的话，那么在在顶点处就最大，那这一块儿就最小值。这块最大值好，那这块就写好了，所以说我们就可以写当y等于负的二分之根号六时。好，那么它的有最小值。这要带到里面负的y的平方，就相当于是负的二分之三。然后加上2y。ry就相当于减根号六。然后再加三就等于二分之三减根号六好就得到它结果了，看各位学霸们是不是做对了？

然后最大值。质量值，质量值的话仍仍然是y=1带到里面去。y=1带到里面去去就是负一。最大值就是负一+2+3，它就得到是四。啊，最大值它仍然是四好，那这个是它的做题方法思路，所以大家在使用抛物线的时候，那么一定要注意它的。范围隐含范范围，为什么刚才咱们做圆这个不用看它隐含范围了，因为圆这个的话，它这个都可以取任意实数正的负的都没有影响，

因为y是权利实数x也是权利实数。好吧，但这道题它有非复性，要注意非复性，它的一个隐含条件，所以要注意它陷阱，所以待售里面陷阱也是比较多的。陷阱就恢复性。它的一个隐含条件要知道。好，那接下来咱们来看一下这个题。已知实数xy满足x方加2y方等于三则x方加y方加4y的最大值到底是多少？好，大家观察一下它的表达式特征，那么显然要把这个替换，

因为这里面y比较多，有y方加4 YY比较多。所以我们要把x方给它进行替换一下。啊替换，所以说在这里面就x方啊，要把它替换x方，然后等于一个三减二y方。是不是把它带到里面去？但大家还要注意一个点，就是s方是大于等于零的。知道吧x方大于等于零，所以又可以得到y方。是小于等于二分之三的啊，这块儿要把这个y方它的取值范围写出来，所以y小于等于二分之根号六。

大概等于负的二分之根号六好把它写好，写好那就可以得到x方加y方加4y。x方加x方加4y好，这样就等于。你把这x方写成三减二y方好，这样三减二y方加上y方加上四y。啊，得到这个结果。啊，得到这样一个式子。好就得到把x方换成三减二y方。然后这样的话就可以变成了这个负外方加4 y+3好吧，有的负y方加4 y+3。这个把它看成开口向下的抛物线，看向下抛物线，

它的对称轴是二，但是这个对称轴啊，大家呢，要注意。它对称轴正好为二。但是你不要说y=2带到里面去求它，最大值，这样就错了，因为这个二这个它是取不到的，因为它这个y它有范围。知道吧y它它有范围的，所以y的范围呢是从啊负的二分之根号六到正的二分之根号六这一段儿，所以它的抛物线的一部分。所以这里考点是考察部分抛物线。考察了这个部分啊，

抛物线啊，这样的情况。啊，它的一部分抛物线，一部分抛物线，大家知道越基因对称轴，那么它的这个图像越高，所以当y=2分之根号六的时候，那么它有最大值。当y=2分之根号六的时候啊，那么它最大值我们就可以写出来。最好是把y等于二分之根号六带到里面去，带到里面就得到负的，然后这个呢就是二分之三。加上二倍根号六，

再加三没有得到二倍根号六，加上二分之三。啊，得到它的这个方法啊，这样就写好了啊，看这个实物明白了啊，所以通过这道题大家呢？啊，要知道它这个抛物线的知识，而且这道题考点主要考察了部分抛物线，要掌握部分抛物线，这样的考法。所以这个答案应该选择a选项好，这是它的考试内容和要点。好，

接下来咱们看一下例三这个题。你看这个题已知xy是实数。先把x方加xy+y^2等于三求这个式子最小值与最大之差到底多少？求最小最小最大之差。这在我们就把x方和y方给它换掉就行了是吧？做一下替换x方加y方做一下替换。啊替换，所以说这个就可以根据题目给到x方加y方就等于三减xy。啊来进行替换。好做一下替换，好做一下替换，以后那接下来我们来看一下它的这个数值啊，数值那这个u。就等于个s方减sy加y方，你可以把这s方加y方换成三减sy。

那三减sy以后，那就变成三减二倍的xy。是吧，这样得到这个结果。好，那在这里面大家呢？看一下xy和这s方加y方，它的取值的一个关系。大家知道啊，我们前面学过cx方加y方大于等于2 xy。所以这个它其实不是矩阵定理，它是由这个x-y^2大于等于零推出来的。它有一个恢复性推出来的啊，大家知道s-y括号平方大于等于零，但等于把它展开展开就可以得到x方加y方大于等于2 xy。

是吧，这就得到这个值得到值，那就说明这个删减。删减sy。就大于等于2 xy是不是这样就写好了，写好那就可以得到x×y。就小于等于一好，这是一个值，接下来咱们再看大家知道s方。加y方还大于等于负的2 xy那么大于等于负2 xy，大家知道x+y它的平方也大于等于零。s+y^2大于等于零，把这个平方展开sy给它移过来，就是s方加y方大于等于负的2 sy。这样写好了，

是不是好把上面这个值我们再看一下就可以得到三减sy？三减xy大于等于负的二xy，这样的是吧？这样的，然后接下来我们可以把它。进行移项就可以得到sy大于等于负三。sy大于等于负三。好了，那你可以把sy看成一个t。sy看那个t如果不太清楚的同学，可以把它换元变成三减二t。然后这个t呢，是大于等于负三，小于等于一的是吧？好，

那接下来我们呢就可以看出来。大家知道三减二t是一个一次函数，而且是单调减的一一次函数，那么t越小，这个含u越大是吧？所以在这里面我们可以得到。t=- 3的时候。好t=- 3的时候，那么umax。就当一个九。最大值是九当t=1的时候。那么um in它最小值啊，最小值就是一啊，最小值就是一，所以它这个最大值最小值是一，

最大值是九，这个呢，应该选择的是a选项。答案就写好了，这答案就选择a好，这是它做题方法思路，看是不是懂了它的考要点，所以通过这道题，大家呢，要掌握它的做题思路。对吧，它做的一些思路就是先都用s×y去表示，然后找到s×y的取值范围，然后再来分析和思考。好，

那么第一个式子啊，第一个等号要成立的条件要给它进行说的，第一个等号成立条件就是x-y平方等于零，这个等号就成立说明，第一个等号成立就x和y相等。知道吧xy相等的时候，那么第一个等号，它是成成立的第二等号，第二等号成立就相当于x+y^2=0。x+y括号平方等于零说明x=-y，它是成立知道吧，所以第二个它等号成立条件，比如说问什么时候取等号，那第一个等号成立条件就是x=y数。第二等式等号条件条件条件s=-y，

它就是成立。懂了吧好，这是它的这个方法思路，看这个是不是明白了，然后当它x×y要等于1x和y要相等，所以xy。相等啊sy那在这里面它都等于一的时候，它就可以了是吧？sy它都等等于一的时候。啊，这样就可以了。好，那这是它的这个方法，当然xy啊，那么一定要相等啊，

它的一个等号成立。好这个呢，就是x=-y的时候啊啊x=-y的时候x=-y的时候，那么这时候它成立，所以说第一个等号成立条件括号也可以写xy相等，它都等于一或者或者说。xy相等。它都等于负一，这样也行，这样也可以，然后第二个第二个它等号成立条件就是x等于根号三。y等于负的根号三。或者说是x等于负根号，3y等于根号，三啊，

这样它等号是成立的啊，咱们就往下多缩一点点。好吧，这是它的这个考试内容和方法，看这个是不是明白了？好，那大家会找它等号，那有同学说老师，我把这道题sy给换掉，留x方加y方表示行不行也可以的也可以啊，有同学是不是这样做，另外一种方法。啊，立案的方法，它是把这个sy。

等于三减去s方。y方是不是它是这样的啊？把这个看成x×y=3-x^2y方得这个值。呃，然后呢？这个u我们就可以把它写成uu不就等于x方加y方减去xy吗？这个u是吧u是这样写的。对不对？所以这样写，但是它又把sy给它换下来换下，然后这个变成了二倍的x方加y方减三。是不是得到这个值这个能看懂吧啊？这样的一个取值情况。啊，所以因为这个是负的xy m把它带过来带过来，

然后这道题呢，大家注意啊x方减y方一样道理，它大于等于二倍的xy。啊，或者说xy它它小于等于二分之x啊，这这个这块儿呢，你要把x方加y方，把它看成个t了，知道吧？把这个看成一个t。把这个看成t，这个看那个，整整体看整体看整体也可以的，你把这个看成t，这个变成2 t- 3。

好，那么大家知道h×yh×y它可以。还是上面这两个一个x×y小于等于二分之？啊，二分之x方加a方是吧？小于等于。二分之x方加y方，所以在这里面你就可以把它把x方加y方看成个t嘛，看成t就变成三减t。三减t不就是s乘以y嘛，三减t小于等于二分之t嘛。小于等于二分之t嘛，然后这个把这个二给它乘过来，这不六减二t嘛。对不对？

所以又变成了六减二t小于等于t。然后把这个t移过来t又大于。等于二是吧，所以就推出t大于等于二好，那通过第二个通过第二，那么两边同出一个负二。啊，同时为负二，同时为负二，那么xy还要大于等于负的二分之x方加y方是吧？因为两边同时一个负号，同时一个负号，它要变个。方向的变方向知道吧？变方向好，

那这时候呢？大家知道x乘x乘以yx乘以y正好就是什么就三减t。h乘以y就相当于三减t，然后大于等于负的二分之t。好大于等于负的二分之一，然后两边呢，大家同乘一个。两边大家通称一个。负二同等于负二，就变成什么？变成这个负六+2t小于等于t。是吧，小于等于t。好，那这个t我们就可以得到它的这个数值啊t小于等于六。

是吧t小于等于六好，那么t它这个把它看成t的一个一次函数一次函，它这个是单调增的。对吧，它单调增的单调增的那么t越小，那么它的数值越小，所以t=2的时候它最小值是一。是吧，所以说t=2的时候。啊，它的命最小值就是一当t=6的时候，它最大值max最大值最后把t=6带到里面去就知道是九。啊，得到是九。所以是一样的，

一跟九是吧？答案是一样，所以有同学呢，可能把其中另外一个换下来，换哪个都行，不管换哪个。关键的点一定要定位到什么地方呢？定到x×y跟x方加y方它的关系，那这两个是怎么来的呢？这两个是建在上面这两个基础之上的。好吧，然后两边同除以二和同除以负二，然后呢？这个要要知道它的方法好，这是给大家进行强调内容。

然后上面这个等号成立条件还是xy相等，下面这个等号成立条件是x=-y好吧，所以这是给大家强调等号成立条件，看各位同学是不是听懂了？下面咱们看这个题已知k属于实数。则方程它的实数x的取值范围到底多少啊？这个x它取值范围。到底是为几？好，那接下来咱们看这个题，这里如果已知k的范围，求s范围的话，我们讲过一个。呃，把这个啊k看成一个主元，

这个咱们学过这样的方法对吧？就反客为主。就将k。啊，视为主要未知数主元。啊，主要未知数，然后这个把它看成关于k的方程，所以这样的话，我就可以把它写成k方啊k方，然后加上。二倍的一减x平方乘以k。再加上x次方减三=0。啊，这样的一个式子。

好吧，就把它重新整理，重新整理这个k方k方，然后加上啊二倍的，然后一减s方k。k+x次方啊减三得到这个值，但是大家知道将来这个方程呢？它要有实根。因为k是属于实数的，这块呢，要有实根。十根话，那它delta肯定要大于等于零。当然当然，就能避发。

啊b的平方。减4 AC。大于等于所以这个表面上看起来这个x次方很复杂是吧？其实呢，你这样化简完这个很好解。因为这个四两边就可以约掉一个四。要是把前面这个平方给它展开，平方展开的话，那接下来就可以得到一减二x平方，加上x次方。是吧，把这个平方啊，写出来就一减二x平方，加上x四次方。然后减去x方加三大于等于零。

啊，这样的话，我们就可以很容易就写出来x平方是小于等于二的。而平方小于等于二，就是负根号二。到根号二之间。这样就写好了好吧，这个答案应该选择这个d选项啊，它的这个取值范围，这就写出来了。好，这道题只要是啊将k作为一个主要的位置量，然后这样的话，我们就找到突破口，然后再利用派位数德尔塔。

来证明这个方程要保证有实根啊，这时候呢，我们就可以把x要求给它解出来好看，各位同学能不能想到这样的方法？好，那接下来咱们看一下题型二题型二就是方程组的思维。啊，利用方程组方程组是数学求值一个至高法则啊，就解方程组很多题呢，都要换成方程组，比如说做一些应用题啊。或做一些几何题啊，或者说一些其他的代数题，那么都要呃解方组那主要运用于以下这几个类型，第一个。

就是未知数个数和。方程有效，方程个数相等是吧？这一定要是有效方程，像有的方程，它不是有效的是吧？不不是有效的，所以一定要看有效方程的个数。啊，一个方向购入好，如果未知数。和有效方程个数相等，那这要是恰定方程，所以方程呢？我们呢？

就可以分为这几类。是吧，然后在在这里面，大家呢？它这个方法是吧？所以方程看未知数。个数和方程的个数。它两者的关系啊啊，两者的关关系啊，如果要等于它，当然这是一定要有效方程。为什么有效方程我给你写，比如说两个方程，两个未知数，但是它有一个方程是无效的，

比如说二+3 y=1个五。这是4 x+6 y等于个十，大家发现表面上是两个方程，两个未知数。两个方程，两个未知数，但其实大家发现这个方程是无效的，因为你把上面方程乘以二倍，就跟它一模一样了，这叫无效方程。所以说通过这个加减运算以后，留下的是有效方程好吧，所以在这里面一定要注意有效。方程余额，方程个数好，

这叫恰定方程。这是大家在中学学的老师给你讲的，有几个未知数啊，那么有几个未知数，它有几个方程就可以，唯一的确定，比如三个未知数，需要三个方程是吧？就刚好恰定方方程。好，如果未知数，各种要大于。方程的个数未知数个数多，方程个个数少，这叫做不定方程，

也叫做嵌定方程。啊，就是不定方程。就位知数多，方程少，就不定方程，不定方程的话，它解呢，有很多有很多，有时候可以讨论讨论，有时候呢，它在隐性条件下存在唯一解。是吧，然后咱们再看小于它。啊，

再看小雨。啊小于小于的话，如果被除个数小于有效方程的个数小于有效方程的个数叫超定方程。啊，叫超定方程好，这是它的这个数值是吧？然后在这里面我们来看一下啊，那它几的情况有可能是。啊，它解解有三种情况是吧？有三种情况，要么唯一。啊，要么啊，不唯一很多个，

要么就是无解是吧，就是无解的情况，所以在这里面大家呢，注意它有可能是。啊，微解。有可能是无解。有可能是无穷多解。对吧啊，有可能是无穷多多解的，所以在这里面，比如说恰定方程，它多数呢，是伪解是吧，然后不定方程，

不定方程有可能是无穷多解。有可能是唯唯一解是吧？像有的不定方程，它就是一种情况，有的不定方程呢？它有好几种情况是吧？多种情况解。还有超定方程啊，超定方程，超定方程就是就是什么未知数，比如说两个，但是你给我方程啊，三个远远超过了是吧，远远超远远超过了它，有可能是无解。

比如出现那些矛盾，方程有可能是无解是吧啊，有可能是唯唯唯一解是吧，有可能是是唯一解，有可能能解出来。好吧，所以在这里面大家呢，要注意它的这这几类，我们在做题中，我们要具体情况具体分析好吧，所以这是给它进行总结，就n个未知数加n个啊，有效方程那么一般呢。可以求出它的唯一解，然后个未未知数加减一个不含常数的友好方程，

那么可以求它比值。是吧，可以求它比值不含常数，就相当于是v0的，这个可以求出呃比值，比如说啊2x。加三y等于零，然后三减五y，然后这个这等于多少，比如比如比如说这个它它也为零。是吧，所以在这里面，如果n个未知数n- 1个方程，咱们就这样吧，就是啊，

两个未知数一个方程。两个未知数，一个方那大家大家可以求出xy的比值是吧？xy它的比值xy比值是几比几？这这意思。然后n个未知数加nn个不含常数的有效方程，它解的情况要么就是唯一解。啊，要么尾解，比如说2 x+3 y=0和3 x- 2 y=0。那这个这个sy它只能都为零啊，只能都为要么为零啊，只只能都为零啊，要么呢就是无穷多解。是吧，

然后在这里面它呢有有可能有很多个解啊，有有很有很很多个解，那是什么情况呢？因为它比如说那么它是一个比例比例关系，它就会有很多个解。是吧，它有是有比例过关系的，它这个就有很多个解。然后呢？n个未知数，加上少于n- 1个方程为解和比值都求不出来，它就相当于有无无数多种可能性了。无数多种可能性对不对？所以说像像这它有的它是无数多种可能性，比如说这个。

啊，等等于三它对xy它有好多种取值是吧啊？它不是唯一解那些比值xy几比几也求不出来是吧？它有很多种情况。啊，这是方程的这个思想给大家进行简单的介绍一下。好，接下来咱们看题目。好例五这个题例五这个题大家考察再重新换，能确定什么什么值能确定什么值，这是我们要看方程。它现在有三个未知数是吧？大家观察一下，它有三个未知数。啊，

三个未知数好，那么d和条形一条形一，它是给了两个条条件给列两个方程，所以显然解不出来三个未知数，你看条形一。填一，它要经过零点经过零点的话，说明c为点是吧零零点？就可以推出c是为零的，又经过一点经过一点又推出什么，经过一个点就是a+b+c，它是唯一的。因为这个c是为0c为零，可以推出a+b是唯一的。对吧a+b的值，

它正好等于一。这个能看懂吧？好，那么题案一大家可以发现这个呃c的值是能定，但是a和BA和BA+b=1，它这一个方程有两个未知数，这个是定不了的。是吧，所以条款一呢，这是不充分的。条件它说这个抛物线，这是一个二次函数抛物线与直线相切。大家想想，这个y等于个尝试一条水平线。啊，

这条水平线那接下来再想抛物线，不管开口向上还是开口向下？它如果与一条水平线相切，那应该什么情况？如果与一个水平线是相切的。如果跟一个水平线相切的话，那在这里面大家呢，就可以看到它的顶点，一定要在这个水平线上，知道吧，它与水平线相切，它顶点顶点，相当于是四分之。cac-b^2。四，

a分之四AC减b方，这要等于个a加b。是吧，正好就等于a+b。好看，这个懂了没有？四a分之四AC减b方。那就正好就等于个a+b。好，那正好就等于个a+b，然后在这里面大家可以看到条件儿，它这个一个方程有ABC三个未知数，这个也是解不出来的。对不对？所以肯定要联合了。

啊联联合这样就够了，对吧？联合因为大家知道c是为零的a+b，又为1 a+b为一，右边它正好就为一是吧？就为一，所以说联想联想起来就可以得到c是为零的。然后呢？a+b是唯一的。那这个a+b是不是一？然后在这里面就可以得到它，这个结果是吧？然后这样把它移过来，移过来就可以得到啊，得到这个b方。

呃b方减加4a。那b方它要等等等一个。4a负的4a是不是b方就等于负4a，然后再结合a+b为一，这样就求出来，当然大家注意这里面有个。陷阱还要小心点儿，知道吧？当然，这道题它没挖坑了，它给的是一个二次的，知道吧？给的是二次，防止它出现什么问题啊？防止它出现这个有两个根是吧？

有两个根，所以说这个方这块儿要小心点儿好吧，要小心点儿啊，所以这这块儿呢，大家呢，要注意这a加b等于一，你可以把这个a呢换成这个一减b。a画画的一减b。知道吧，把a换成。一减b，然后这样就可以得到它的值了是吧？所以说在这里呢，你就把这个a换成一减b。就等于负四+4b，

然后把它移过来，这样b方减4 b+4，它为零好，那这样就放心了b呢，这正好是有两相等根，两相等根b的值还是能确定的。是吧，毕业值就等于二，它是能能确定的，是能解出来的，好在这里面大家呢，要注意它的这个方法，两条连起来。那么这个是可以的啊，所以说在这里面大家小心二次方，

当然这道题二次方正好是两相等根，两相等根这个b的值相当于只有一种取值，还是确定咱们这确定是指的是唯一确定？懂了吧，所以正确答案啊，是选择c选项。好，大家注意二次方程，小心二次方程陷阱，二次方程下有的人他会有两根，比如说把这个四要改成三。啊，那么这时候有两根，那这就是错了好吧，所以在这么来呢，

要知道它的这个二次方程。啊，它的根的这个情况，如果把四啊要改成三啊，或者改成其他值，那么小心它有两个。好，这是给大家进行讲的，他这个做题的方法思路，看是不是懂了？好，接下来咱们看下第六个。设ABC为三个相应的实数。然后ABC为三个相应实数f2，等于这三个分式相加则f 1+f二一直加到f二零二三，

到底是等于几？那其实这个值到底是等于多少？好，那这道题大家注意的内容是什么内容呢？想想。注意是什么内容啊？好，这道题大家注意的知识点就是。如果要直接算的话，会很复杂，对不对？会很复杂的。如果直接算我们观察一下，所以这道题就。不能走寻常路啊，

不走。寻常路要换其他的角度来做这个题。好，大家观察这个题可以发现什么，首先看一下fs，它是一个二次函数对吧？因为分母它都是不含x的。因为ABC它是。已知的三个实数。所以说在这里面，这个x它可以看到fsr cva二次函数。啊，大家知道三个不贡献的点可以确定一个抛物线是吧？三个不贡献的点。可确定一个。

抛物线或者确定一个二次函数。另外，大家还要注意三个不共贡献点，也可以确定一个圆。为什么呢？需要三个，因为大家知道抛物线里面有三个未知数是吧？这个咱们学过的抛物线啊，它有三个未知数ax方加bx+c有三个未知数。那么，圆圆也有三个未知，数圆也有三个圆，大家知道圆心是两个未知数，将能半径一个未知数，圆心坐标不是两个未知数吗？

将半径半径。所以说它也三个倍数，所以需要三个条件来进行确定。对吧，所以接下来我们来看找三个三个值就行了，三个值当然你取哪三个值都可以，我们这道题呢，就找一个简单一点的ABC。好吧，找ABC当然找呃零一二也行，比如f0f1f2也行。但是没有ABC简单是吧？所以说我们就找三个点，三个点就s=a的时候fa的值。MV大家知道，

当x=a的时候，那么第一个分式它为零分子为零，然后整个为零，然后第三个分式分分。分子也为零是吧？只剩下中间这个，所以x=a的时候就变得a-b×a-c，这个a-b。a-c，它这个是唯一的。啊，正好为一这样就写好了。咱们再看s=b的时候I=BI=b的时候FB的值，我们看看哎FB的值那b当然等于b的时候，那第一个分式它未定，

第二个分式也未定，只剩第三个分式了。所以s=b的时候就变成b-c。b-a。这是b-cb-a。它也为一。然后我们再看再看这个。x要等于个c的时候啊，要等于c。而要等于c的时候，我们看一下它的这个数值，而等于c的时候，那么第二个分式分子和第三个分式分子都为零。那只剩下第一个，所以ifc的值，

我们就可以写出来FC的值FC的值就是c-ac-b。啊，这是c-ac-b。它也为一好，大家想想想，如果三个。点它的数值都为一啊，比如说这个三个点的数值，它都为一。假如这个a它是等于一的。啊b，它也是唯一c，它也是唯一。一个一其实这个抛物线就退化成一条直线了是吧？抛物线就退化成一条直直线，

所以它这个表达式综上我们可以得到。得到fx表示横为一就不管这上面这个是f几，不管是f1f2f3还是f100。还是f1000，它都通常都为一是吧？每一个它都为一，每个都为一的话，那在这里面我们呢？就可以把它看成f1，就可以得到f 1+f二。加f3一直加上f二零二三。是吧f 1+f二一加到f二零二三，它正好它都为一一+1。加一所以说就等于二零二三就得到这个值这个呢，应该选择的是c选项答案就求解出来了。

简答就选择c它的做题方法和思路，看是不是懂了。好，那通过这道题，大家呢，要知道它的考试要点是吧？考试内容，所以通过这个题，大家呢啊，要知道那么。看它给的一个几次函数，知道吧，如果一次函数需要两个点，知道吧，所以说n+1个点可以确定一个n次函数表达式啊。

这要注意它的结论，就是n+1个点。可确定。n次函数表达式。n+1个点，可以确定n次函的表达式好，这是它的方法和内容，看是不是懂了？好，那接下来咱们看这个题就考察方程组的应用啊，咱们讲了方程组它还可以用在呃其他的一些文字应用题里头。是吧，其他不能应用题，它这道题两升酒精和一升乙酒精可以混得混合，得到丙酒精。

好，那么在这里面大家注意，如果要混合浓度混合的公式，我们来看一下浓度混合公式就是。浓度。混合。它要等，等于每个浓度乘以它的。混合比，然后相加啊就是。这是它的混合比。乘以它的浓度。求和就行了，这sigma就代表求和混合比求和。好，

这句话什么意思呢？比如说这个丙酒精先把题干化解一下，丙酒精大家知道是两升甲和一升乙。那么，甲的混合比是占了三分之二，因为一个是二，一个是一，对吧？一个二，一个一，那么甲就占了三分之二。所以说所以说甲的权重32乘以甲的浓度。加上乙的。三分之一乘以乙的浓度，这个甲乙丙三个汉字就代表它们的浓度，

知道吧？我就没有设xyz。我要设的是甲跟乙汉字。好了，只能确定甲乙两种酒精溶液浓度。好，那么条件一我们看一下条件一那么一升甲和五升乙混合浓度是丙浓度二分之一倍，好那么一升甲和五升乙它混合浓度混合浓度，大家知道这个一升甲甲就占了六分之一。这样五升乙就六分之五倍的乙，它混合的浓度，这是它的混合浓度，这要是比浓度二分之一倍，那等于二分之一。乘以丙。

啊比多多这样三分之二加。加上三分之一倍的乙是吧？加上三分之一倍的乙。好，这个把它乘开乘开就得到是六分之二甲，加上六分之一倍的乙。好，那这样就可以了，然后两边可以通乘一个六啊，通通乘六通乘六就可以得到甲等于四乙。是吧，通通乘以六啊，这等号两边通通乘以六通乘以六就可以得到甲等于四乙好，这样写好了。然后咱们看条件，

条件一升甲和两升乙混合的浓度是丙浓度的三分之二啊，就一升甲好一升甲就说明甲就占了三分之一的权重。好已占了三分之二的权重。是吧，所以说一升甲加上和两升乙混合，然后它的丙农呢？三分之二倍。好，那么这个大家发现表面上虽然是两个方程，两个未知数，但大家一定要看有效方程。知道吧，有效方针，所以有同学在考场偷懒，那显然这道题单独肯定是。

不充分的，为什么单独不充分？因为题号一它这一个方程有两个未知数，那么甲乙它有很多种取值确定不了。那条件条件它也是。一个方程有两位数，这也是有很多种取值，所以说这个也确定不了。是吧，也确认不了，无法确定，所以它这个单独呢，它这个都是不行的。但有同学偷懒，想到两方两位的数那么。

结果呢，就没有去想，想到这两个方程是一模一样的，知道吧，你把第二方程两边呢，同乘一乘乘一个九。乘个九乘以九，主要为了把这两三给它约掉嘛，因为这个就变成九分之四甲，加上九分之二倍的乙嘛。你所以它两边通称一个九嘛啊，通通成一个九通成九以后，那么就可以得到那么这个值。啊值也可以得到，甲等于四乙。

甲等于四乙是吧，然后在这里面这两个方程一模一样，一模一样，这就是这两方一模一样有效方程，其实联合以后有效方程还是一个，所以一定要看有效方程。找什么叫有效方针要一样的话，就它这这这个就不算有效方针了，对不对？所以这个两条联想起来联想起来还是确定不了。知道吧，在这里建议大家选e选项。啊，如果这道题要改成三乙，那就没事了是吧？

比如说改成甲等于三倍的乙，那这两个方程联立就可以确定，而且两联立的话，那么甲乙只能取零。是吧，浓浓度为零啊，可以确定确定浓度就为零嘛，这样也是OK的。是吧，或者说后面给它加上常数也行啊，加一个常，比如说加上一个常数零点八或者零点九也行是吧？是吧，或者这样加上一个乘数，这样也是能确定，

反正只要是两个方程，它都是有效的，那么两个未知数，它是可以解出来的。懂了吧，在这给大家进行强调它的这个方程组的一个思想啊，所以在做一些文字应用题，尤其在做一些数量关系。内容的时候能确定，比如说甲乙丙或者甲乙几个值的时候，一定要会讨论它的取值好吧，这是方程组它的核心的思想，看各位同学是不是懂了？接下来我们看一下。这个题设syz为非零实数，

则2 s+3 y- 4a÷1个负s+y- 2 z=1。啊求这个这个式子。好，那么大家可以看，这是个重新判断题，重新判断题，我们讲过题干，先看能不能化解，如果题干不能化解大家呢？就把条件往上带就可以了。好，那接下来我们可以看到条件，一是3 x- 2 y=0，那显然单独条件一不行，因为单独条件一啊，

它无z。对吧，它题干它有个z，而且z呢是影响这个的是吧？像有的题，它如果一个条件一没有z，但这个z呢不影响这个答案，那这时候呢也可以不用管这个z。好，那这时候呢？它是呃没有z，但是z呢？它肯定会影响这个值，所以它这个呢是不行的。条件呢，

可以发现它是无x。所以它这个也不行，接下来我们联合起来。啊联联合以后，大家可以看关通过这两个，我们可以看到什么，那么大家都都可以用y来表示，因为这个是s跟y有关。这个z跟y也有关系，所以说我们都用y去表示，所以x就等于三分之二y。是吧s就等于三分之二y，这样就写好了好吧，然后这个呢z就等于二y。z=2 y好，

这样它的式子，然后接下来我们可以看一下那么题干。原是。就等于好这个二x，我们把它可以把它变成什么，变成三分之四y。加上三万减四a啊z等于二万四a就等于八万。然后分母分母是负x加y减二z负x负x相当于负的三分之二y。负s，然后加上一个y。减2z啊z=2 y，所以就相当于减一个4y好得到这个结果，然后这个化简一下。那分子分母，大家把它化简化简完，

正好等于一，所以它就充分的。答案就求解出来了，好，这是它的做题方法，所以说在这里面我们把xy都用同一个符号。xz都用y去表示，这样就得到答案，所以理要充分正确。答案应该选择c选项。好，这是它的做题的方法思路，所以以后遇到位的量比较多的，我们都用一个位量去表示就可以了。好，

接下来咱们看一下第九题，这个题它给了这个ABC哎ABC这道题只能求出它的比值是吧？因为它有三个未未知数，三个未知数，只有两个方程。比如说前面是一个方程，后面是一个方程，它只有两个方程，知道吧？它这有三位数，所以说这道题当然这道题咱们求比值可以取特值法做，知道吧技巧？求比值，然后取特值。啊求比值取特特值这样的情况啊，

求比值取特特值这样，然后这样的情况。然后接下来在这里面，大家可以取什么取a=3。a=3，然后b=4 c等等于五，好吧？a=3 b=4 c=5。啊，它这个数值a=3 b=c=5，然后带到里面去，我们原式就可以写出来是吧？所以大家注意，以后求比值，因为你设它为k的话，

这个k它被约掉了。知道吧，被一了，所以原式呢，就可以写出来，就三乘以一个a的平方就是三的平方减三BC。加上b的平方。然后这个a方就三方减去二×a×b，然后再减掉五的平方。好，这样就可以写出它的数值，然后正确答案就得到四十分之十七啊，四十分之十七正确答案就选择d选项。好，这道题大家告诉大家，

求比例的时候，我们可以用方组的思想取个特值来做啊，知道比值就可以取特值。接下来咱们看题型三一的一个妙用对一呢，做文章是吧？在化简变形中那么一的妙用是常见的方式。可以从以下几个角度进行思考，第一个将一呢看那个整体进行变形，第二个任何一个式子乘以一都不会改变其数值。是吧，乘以一也好，除以一也好，那么它还等于它本身，比如a×1也等于a÷1，那都等于a，

就这个意思是吧？还有一的任何次方，它还为一一的N次方，它还为一是吧？这是一的任何次幂，它还为一好，这是一它的一个基本的变形。思路好，大家要会分析。好，接下来咱们看第十题，这个题a大于零b大于零，且二a加b等于一则a分之一加b分之一的最小值到底是多少？其他最小值，那咱们首先说一下容易错的一个解法好吧，

所以在这里面大家看一个错解。陷阱一个错解，错解的话就是2 a+b，它等于一二a+b，它为一，然后它错解。大家首先有同学用公式，大家知道公式就是a+b大于等于二倍根号AB。所以大家套这个公式看公式，那就可以得到2a。2 a+b大于等于二倍的根号下2 AB，这样的情况。2 a+b大点。大于等于二倍的根号下，2 AB得到这个值好，

得到这个值它是，然后在这里面，那么它就为一是吧为一。所以这样的话，我们就可以求出a×b的取值情况是吧？所以在这里面大家就可以得到啊这个。啊AA×b它的这个取值项，因为你把这个二给它除过来嘛，除过来除过来，然后这个啊这个变一下形。是吧，这个二除过来，然后平方平方就得到二AB小于等于四分之一。是吧，二AB小于等于四分之一就是AB就小于等于八分之一是吧，

这样就推导出来了。好，那接下来咱们再看一下，又用一次均定a分之一加b分之八等于二倍的根号下两个相乘。是吧a分之一加b分之一大于等于二倍根号下两个相乘。那大家知道AB是小于等于八分之一AB要等于八分之一AB分之一呢？因为它这个两边都正数嘛a也大于零b也大大于零，两边正数可以取倒数对不对？正数啊a大于0b大于零，正数正数它取倒数小于号变大于号变大于等于等于八，所以这个式子呢，它要大于等于。二这个里面就变成八了八，然后变成四倍根号二，所以大家容易误选成这个选项或者说。

在考试中容易出现这个错误，认为它最小值就是这个值。啊，最小值就这个好，那这个错在哪呢？大家发现这个咱用了几次，就是不等式啊，是不是用了两次就是不等式啊，用了两次就是不等式，在这面大家呢？就会出现什么错误，你知道吧？两两次均值不等式，两次均值不等式的话，那这等号它能不能取到呀？

是吧？大家知道第一次它取等号。那第一次再取等号。看取等号条件。好，第一次去的话，说明2a和b要相等。是吧，2a和b这个要相等，这第一次去等号，这两个要要相等。第二个要去等号，什么什么相等，第二个要去等号是a和b要相等。a和b要相等第二条要确定好a和b，

它是相等的。对不对a和b它是相等的？a要等于BA和b是相等，所以这个那不可能啊，2 a=BA又等于b，那只能AB为0 AB为零又不又又又不能为零啊a ab，它在分母上AB它不能为0 AB得大于零啊。所以这个是矛盾的是吧？就相当于它错因，所以就无法同时取等号。无法同时起等号，这样就写好了好吧，没办法同时。取等号好，那正确解法是什么？

正确正确解法，你可以把这个呃都用咱们讲，都用同一个符号去表示。比如把这个都换成一减二去做，或者说把分子一都给它换掉也行，或者说都给它乘个一也行，好吧，都乘以一，所以这些写法。这地方你可以把a分之一加b分之一都给它乘一个一。乘个一啊，乘个一乘个一的话，这个一可以写成2 a+b。为什么这样变化呢？因为这样变化的目的是什么？

用一次就定理就行了。所以这样把它给它展开是吧？这个括号给它乘开。括号给它乘开，乘开后a分之一乘以二a，得到二b分之一乘以b，得到一所以二加一，加上a分之b，加上b分之二a。然后做到这，大家用一次性定理就行了。对不对？用一次矩形定理，然后大家发现这个呢，二加正好三是吧？

二二加正好三，所以大于等于三+2倍的根号下。这两个相乘，这两个相乘值正好是一个常数二，所以它最小值三+2倍根二，这个呢，应该选择d选项。啊，这个呢，就选择d好，这是它的做题方法是吧？那它什么时候取等号呢？什么取等号取等号条件？这道题呢，就是a分之b等于一个b分之二a也，

也就是说b方正好等于二a方式，那这时候取等号。b方等于2a方，然后又根据2 a+b等等于一二a+b等等于一，就可以把AB求出来，当然咱们就不用求了是吧？啊那那AB具体值多少呢？AB具体值？那就是相当于2 a+b正好为一。2 a+b为一，然后这个你就可以把a也好b也好，就可以给大家求解出来好吧，这两个就可以解出AB具体值。啊，这个很好解的，

这个因为AB都正数AB都正数b相当于等于根号2a嘛。根号2a，你把它带到里面去了，就2a加上根号2a就等于个b嘛，然后这个呃等于个一。a又等于一除以二加根号二嘛好a知道了，那b我就不再解了吧b不再追a等于二加根号二分之一的时候。b呢把b等于根号2a的时候，它这个是取等号有最小值好，这是它的正确解法好，这个咱们给它乘了个一。或者说是怎么处理呢？或者说怎么处理，或者说我们把这个分子的一给它换下来，一样是一个道理。

把这个一换成2 a+b。把这个一换成2 a+b啊，这样也行是吧？这样也行，把这个一和一都换2 a+b换的话，跟跟这个地方是一模一样的好吧，跟跟这一样的。啊，这样做也是可以的，也没没问题是吧？跟它一模一样，一模一样，往下咱就不再说了，跟它是一样的。内容是不是所以这一块，

所以或者这样做啊，也可以。还有同学说啊，那我能不能把这个？把它b用一减二a换下来，或者a换下来，这样也行，只不过那样还有多变形是吧？或者这样做也可以。这样b呢，就等于一减二a把它换下来是吧？b的值，因为它告诉我们二a加b等于一嘛，所以b就等于一减二a给它换下来。好，

那么a分之一加b分之一就可以写出来。a分之一加b分之一就可以写出来，就a分之一，然后这个b分之一呢，我们就可以把它写成什么呢？写成一减二a是吧？就写成一减二a。那这样的一个式子对不对啊？这样的一个方式。所以b呢，就写成一减二a，这样就可以了。对不对？好，那接下来呢？

咱们怎么样去变很多同学做到这就就不会变了是吧？做到这不会变，做到这这个就比较难是比如说考试要出。a分之一加上一减二a分之一，它是最小值，那这块儿就很难了，各位学霸们会不会变都思考一下，比如说考试出现a分之一。加上一减三一分之一，那这个怎么变？那有同学想到说给它通分，那通分越通分越复杂呀，是不是给它给它通分通分是吧？通分完，你看这个分子分母。

这这有点复杂。是吧，然后通分啊通分呢，你看通分通分的话就是公分母就是a×1-2a。是吧，然后同学们，然后这个分子相当于乘以个一减二a。乘以一减a，然后这个分分子是一个a是吧？这就是一个a，那它这个越弄越复杂呀，对不对？通分肯定是不太行。是不是那想想怎么弄啊？想怎么弄这个可能对大家来说要求比较高，

那这个呢？我相相当于给大家弄一个什么东西啊？上下都乘一个2a好吧。那剩下都都乘以二就可以吧，剩下都都乘以二。然后这个是。我再给它加上一个2a行吧，再加上一个2a可以吧，然后这个是。一减二a是不是要给它再减一个二a啊？是吧，因为因为你这个地方给它加上一个2a，肯定要给它再减一个2a，是不是这样才能跟原来一样嘛，比如加上一个数，

再减一个数，跟原来一样。是不是啊？要跟原来一样，这个能懂吧？跟原来是是一样的，你看，然后在这里面，它这个分母是一减二a，依然我们还要给它添上一个一减二a是吧，还要给它添上一个一。好，那这个地方大家可以发现它这两个乘积为定值啊，这接下来这个是一减二a，我们再给它添呗，

反正添。就二a分之二加上二a，这是一块儿。当然要用多用平行定理，还要看一下最后这个等号能不能成立？好，这是一减二a，这也写成一减二a，外面还要再给它减一个，一看这个行吗？对不对？好啊，看看看做到这。好坐这变形的话，大家可以发现啊，

那么我们呢，要保证它这个等号能不能成立是吧？等号能不能成立？要看最后它这个等号。等成的情况，因为咱们要用两次矩阵定理，知道吧？用两次矩阵定理，你看两个矩阵定理就大于等等于。然后这个是二倍的根号下这两个相相乘是吧？这两个乘二倍的根号下这两个乘是二。是吧，12。然后这一块儿这一块儿呢，我们这两个相加啊，

两两个相加是吧？所以在这里面大家呢，要注意它的一个化简方法是吧？这这两个互为倒数，互为倒数是大于等于二。大于大，大大于等于二啊，这是它的一个变形呃，一个变形，所以说在这里面大家呢，如果把b换成一减二a带到里面去的话，那么这个就稍微复杂点儿。是吧，三法就不好做，所以第一步要把这个a分之一。

a分之一，那么上下都得给它乘乘一个二都乘以二乘以二的话，为什么乘以二乘以二这个添二a减二a？这样才是一个常数。知道吧，这个才是一个常数好大家呢，要知道啊，给它添上这个添上这个，然后呢，这个添上2a，然后这个。再减一个二a，做一个恒等变形，那么然后这个分母是一减二a一减二a的话，然后在这里面，

你要给它添一个一减二a。然后再减去个一是不是，然后这样就可以写有它的数数值就给它，再加上一个一。然后再减去一个一懂了吧，作为一个横等边，这样的话跟原来是它才能够相等。这样的话，然后在这里面这个大家就可以用均衡定理它大于等于二倍的根号下，这两个相乘，然后这个是这两个呢，也用一下均衡定理。嗯，然后再减一，然后这样得到二倍根号二。

建议，但是呢，这个大家问题发现什么，看这个等号，它能不能取到是吧？等号能不能取到，然后这个要相等。这这这个要相等，这个要要要相等的话，那么让它啊两个一样，两个一样就相当于是a等于根号二。是吧，所以在这里面大家呢啊，要知道它的这个内容，也就是说这个2a。

分之二应该等于2a。是吧，所以在这里面大家就就可以得到，就是2a的平方。或者说你把它这个约掉也行，两边把二给它约掉，就2a的平方，它为一。2a平方差为一啊，这个时候等号乘以条件，所以a呢就等于二分之根号二。好，这个写好了，对不对？然后这个等号成立条件是什么？

这个等号成立条件，这个等号成立条件就是一减二a等于一个。一减二分之一等于一减二a，然后这个相当于一减二a，它应该为一。唯一法，唯一法，它的AV 0 AV 0，所以说它这个方法就不行，这样做呢，就会出错，所以错因在哪呢？错因刚才咱们给大家讲了。错因的话，它这个无法同时取等号是吧？

这是它的错因，所以所以有同学用这种错误方法呢，这样是不行的是吧？这样变形。变化说明这种方法呢，就错了是吧？这是错的错方法。好，所以说大家呢，在做做题的时候，大家呢，要注意啊，注意我们在呃用句式定理的时候，如果一个题要用。两种或者多次平行定理，

大家呢，一定要看它等号能不能同时取掉，所以这道题给大家进行讲了两个错法。那第一个错法是用了两次，第二个错法是这样去变形，用了两次，这个都会出错，然后正确解法，正确解法给它讲两个，这种情况也可以，这种情况也。可以是吧，所以在这里面大家呢，就是要注意它的这个方法啊，就是有同学这样变形，

这个这样变形呢，是写不出来的。好吧，拼凑起来，这个是有问题的，因为你必须要把两者拼凑成什么，它取等号的同时，它也能取等号，那这样才是OK的。但这个又不好拼凑是不是，所以大家这种方法就行不通了，大家呢，要注意一下。下面咱们看这个题已知a大于零b大于零a加b等于一则b分之三a加上AB分之一，它的最小值到底是多少？

其他最小值。好，那接下来咱们来看一下这个表达式，我们观察一下它这个出现了b分之a。并且呢，后面我也想出现这个呃b分之一或者a分之b才行，对吧？这样话才能用咱们学过的矩阵定理来进行分析和思考。是不是所以在这里面大家呢？就是一定要出现咱们想要的一个式子啊，所以说要处属于一的变形和妙用。平面上如果大家把这个分子这个一。分这个一，如果要换成。换成a+b的话，

虽然这样写是对的啊，有同学把分子这个一换成a+b。然后换成a+b这个展开以后。展开后。啊，得不到b分之一或者a分之b，这个达不到目的。知道吧，所以这道题一定要想办法把它进行平方啊，这样话就是你先思考一下，一开始想不到你先思考。思考，如果把一换成a加b，这样把它分开后还跟前面的b分之一或者a分之b还关联不了，所以这时候呢，

要想到平方。啊平方就b分之三a。加上这个就是AB分之a方加二AB，加上b方得到这个方法。啊AB分之a方加二AB加b方，然后这样我就可以把它给它进行写出来，就b分之三a加上。然后这个呢，就把它给写写就AB分之a方AB分之a方写上b分之a。让AB分之b方就相当于是a分之b。然后再加二是吧，然后再加二，这样就OK了。好，这个明白没有？

然后这个b分之a跟这个b分之三，我们可以把它写成b分之四a。加上a分之b再加二，是不是这样的直接可以写成这样的写成这样呢？这一块儿我们呢就可以用。啊，这个式子啊，用这个公式来进行分析知道吧，所以要大于等于然后这个二倍的根号下两个相乘。啊，二倍的根号下啊，这两个相乘。有二倍的根号下。然后这两层这两层的话，那正好就得到四。

是吧，四然后再加二，因为这两个它的乘积为定值，用矩阵定理就可以写出来了，所以这道题大家要想用矩阵定理的话，一定要出现a分之b或者b分之一，这样的形式，所以说。这个地方就想到a+b^2，所以很多同学拿到这个题，一开始想不到对吧？所以在这里面大家呢，又会分析思考，就这算出来就等于六。啊，

这样答案就等于六好，那什么时候取等号呢？取等号条件就相当于是b分之四a等于一个a分之b。啊，也就说这个啊b方正好等于4a方b方等于4a方，那开根号儿因为AB都是正的b=2 a。且a加b正好等于一的时候啊，那那通过这个我们就可以解出啊，一个是三分之二，一个三分之一，所以a就等于三分之一。b等于三分之二，这是OK的是吧？a等于三分之一b等于三分之二，这个是可以的，

所以如果他要这道题，要问什么时候取等号，那我们呢？就可以把取等号这个条件写出来，比如说。要取最小值的时候a到底等于几啊b要为多少啊？那这时候呢，我们就可以写出来它的这个方法啊，看这个。是不是听懂了，所以大家呢，要会分析和思考。所以通过这个题，大家呢，要知道它的这个做题的要点是吧，

然后呢，就把这个一呢，做一个变形和妙用答案就可以写出来。好，接下来咱们看下第12题啊，如果ABC=1，则这个是到底等等于几？大家知道这是什么三个未知数，有一个方程我们可以用特值法做。是吧，就有特值法。对吧，就可以取ABC，它都为一是吧？AB都为一，

那么原式就可以把它写出来。原来正好等于三分之一加三分之一，再加三分之一，那正好等于一，这个答案就选择c选项。是吧，正确答案就选c好，这是它的做题方法，看这个是不是明白了？但如果这道题它要说是不能够完全相等的数数，要不完全相等是吧？如果改成。ABC不完全相等。ABC要不完全相等，那这时候怎怎么处理呢？

是吧？或者说这一般方法怎么去推呢？当然ABC要不完全相等的话，你特质呢？就这样的就ABC。互不相等。如果加上这个，加上这个，你怎么取特值？你知道吧？怎么取它？你可以取a=1。b等于二c等于二分之一，做这样也行是吧？如果大家说ABC互不相等，

这种取a等于一b等于二。然后c为二分之一。来进行分析是吧？然后这一块。这块儿也行，那大家还要注意，除了特征法之外，一般方法思维还要锻炼一下，一般方法思维一般方法思维之后怎么弄吧？你把这个一给它换成，当然这个一不能全换啊啊，如果如果这个一要要全换的话，那这个东西呢，你可以发现。那最后换完后跟原来又一样，

你就转了一圈儿，又回来了，知道吧？所以比如一个式子换一个式子不动一个式子，然后再逆向换。所以说如果没听懂的同学，我们给你讲讲证一般化怎么去证？第一个是把这个一换成ABC。ABC就是AB+a，再加ABC。中间的是不要动了BC+b，再加一，中间是不要动，后面的是怎么弄知道吧？后面是剩下都乘以个b。

上下都乘以b的原因是什么？乘以b的原因正好呢？正好呢，这个就相当于是呃ABC了，所以第三个是上下都乘以个b。添上剩下都乘以b就变成ABC+BC，再加b是不是所以第三式剩下都乘以个b？然后接下来，大家发现第一个式子上下都可以约掉一个a。第一式上下都约掉一个a，约掉a变成BC，约掉a就变成b+1+BC。中间这个第二个是不要动。然后第三个是第三个，大家把这个a×b×c。

这个是把它换成一把，它换成一这个就加上BC再加b。大家可以发现，这三个式子的分母都是一样的，发现没你看见没，所以说奇迹是不是就产生了奇迹产生了，分母就是BC+b+e。然后分母一样，让分子相加行了，分子相加BC+b再加e，然后这个就为一是吧？这个是这样证的。那有同学这个考试时候想不到，或者说这个时候想不到它，其实这样的它其实就像上台阶一样。

三个台阶，三个台阶，就让一个人下一个台阶，让一个人上个台阶，一个人呢，不要动，这样的话，他们就站在同一个起跑线了，知道它这个思维是这样的一个原理，懂了吧？你看就一个人把一给他换中间这个人不要动，如果每个人都在动，每个人都在动，他还不在一个台阶上，知道吧？

还分母还是不一样的。所以说呢，一个人。就像有时候你找一个人一样，你比如说有时候大家去逛公园，找不到人啊，你你找一个找，如果两个人都在公园瞎转悠，谁也找找不到谁，一定要让一个人不要动。它不要动，它不要动的话，另外两两人去找它是吧？这样就好找了，这样的话大家就能找到，

知道吧？所以大家注意。所以这时候呢，大家呢，就是把这个呢，作为一个替换，替换完后就OK了啊，所以大家一开始可能想不到是吧，这个原理和思维要知道啊。接下来我们看这个题啊，这个题大家在合同变形的时候呢，要用到什么？要用到平方差公式，平方差公式和分母的这个次方，它的运算情况。

是吧，分母的次方它的它的运算方法。好，那我们看一下这个分子。分子分子的话，那么大家注意这个都乘一个一减三或者三减一都都行，你要要想把三放在前面都乘一个三减一。这是三方这个原式啊。那等于三方减加一。就三+1。三方加一一直乘到我把三放在前面，这样的话它都是正数。上下都乘以每一个都得乘以三减一啊，就是分子分母都乘以三减一分，母也乘以三减一。

然后这个后面三×3^233的话到三十十次方正好是三的一+2+3。一+20这样的。然后大家知道三减一是不是正好是二二？然后大家知道一+10正好是一个等差数列，等差数列求和正好是55。正好是五十五，这样写好了，对吧？它是五十五分子，这有个二，然后大家知道三减一乘以三加一正好是三的平方减一。三平方减一×3^2+1让三的四次方减一，所以一直乘到三的三次，二次方加一又变成三的。64次方减一。

然后后面这个二分之一乘以二就相当加一，所以分子就变成三的六十四次方分母就二乘以三的五十五次方。所以这个等于二分之一乘以三的九次方。是吧，这个呢，应该选择的是d选项，答案就写好了。正确答案就选择d，所以这道题的考点，这道题大家以后遇到什么？遇到这种平方差公式啊，平方差公式就是。a+b乘以个a方加b方。啊一×a的二的n- 1次方加上b的二的n- 1次方，这种情况这地方都给它乘以个a-b知道吧？

乘以个a-b。再除以a-b是吧？给它乘以a-b再除以a-b，这样就a+b乘以个a方加b方。啊，一直这样乘这样乘，大家可以发现a-b×a+b得到a方，减b方就这个平方差是吧？这样给它乘。乘完后就得到是a-ba的二的N次方，减b的二的N次方这样的。是吧，这样的，所以他只要他的次方是二的，这种方幂的这种变化。

电压呢，都可以套这个公式来进行分析和思考，好吧，大家知道这个平方差的使用。那接下来咱们看这个题ABC为正数则方程，它中s的解到底多少啊？求这个s的解。到底是为几？当然，考试如果实在不会做的话，大家呢，也可以把这个选项带到里面去验证这道题考察一的妙用什么妙用啊，考察一的妙用。好页面就相当于是把这三拆成三个一，知道吧？

三才三个一，所以可能大家想不到。然后把这三拆成三个，一是吧？三个一把它移到左左边来是吧啊？移到左边来，所以说这个。三了三三个一，然后每一项都给它搭配一个一就行了是吧？每一项都给它都给它搭配一个一。这个懂了吧，就第一项，第二项，第三项。好，

都给它搭配一个，一搭配一那这就可以找到突破口了，因为其实你可以发现什么发现那第一项它少一个什么，第一项它。它差一个，你看只有跟它差一个，第二项是有差一个，第三项有它差一个。是不是啊？拆个b，所以要搭配一下，那然后这个就变成cs-a-b-c。这是ax-a-b-c。这个呢，是bx-a-b-c，

它正好为零。是吧，所以每一项都给它添一个一，因为大家可以发现这样分子，它就一样了，分子它一样是吧，分子一样，分子一样，那你可以提出一个x-a-b-c。括号里面要上c分之一加a分之一加b分之一。大家知道这些括号里面，它肯定是正数，因为ABC是正数，对吧？题目说了AB是正数啊AB是正数，

那这些括号这个是它肯定是不为零的，它是一个正数。是吧，两边相乘要为零的话，只有这个这个号为零，只有这个号为零就s就等于a+b+c。然后就等于a+b+c这个写好了是吧？这个呢？应该选择a选项好看，这个是不是懂了它的做题方法思路，所以这道题大家呢？在做的时候我们要会分析和思考它的考试要点。

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