017.24-顿悟-专项三-练习（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:11:43

好，接下来咱们看一下第九好求s值到底多少？那这道题大家可以看到这个分母是加分子是乘一般咱们优先啊，让分母呢是乘分子是加。知道吧，所以给它颠倒过来好吧，所以看到这个，咱们先给它取倒数。啊取倒数取倒数给它颠倒过来，颠倒过来以后，因为这个是一嘛颠倒过来以后就变成了x加y除以xy，它还为一就得到x分之一加y分之一。它还是唯一的。第二个就相当于yz分之y加z。这个得到是y分之一加z分之一，

这个颠倒完就是二分之一。然后这个就是zxz加x就等于x分之一，加上z分之一。这个就等于三分之一。就三分之一好，这样的情况，然后再等它要求值求值，这个也好解，看起来挺复杂也好解。你看一式加三式减二式，这样x基本就出来了是吧？所以大家可以发现一+3。减二就可以得到什么呢？一二三减二那正好呢，就相当于是。

呃，一加三减二，将来只剩下两个x分之一了，就一加三。减二。所以这样就可以算成六，这是六+2得到八。八减三得到是五。是吧，五所以s就等于五分之十二就写出来了。二等于五分之十二，所以正确答案也是选择b选项，答案就写好了，好，这是它的做题方法思路，

看是不是懂了好这道题大家啊，怎么样想到取倒数啊，因为优先让分母是乘。分子是加，这样就好裂开，知道吧啊，裂开要方便啊，这是它的化简化简完了，然后这样的方程组两两相加。啊，循环加的这样的循环方程组其实很好解的，让某两个方程相加减到另外一个可以马上把其中一个给它求解出来。接下来咱们看下第十题，这个题。好，

那这个题大家可以看到，那么看起来很复杂啊，其实这道题可以用个技巧做。纪要纪要的话呃，因为它没有限制，有同学说我可以取特值做行不行？可以的，你用特值法啊，特值法特值法，比如说你a=0 b=1。c为负，负一。是吧，然后这一块儿是吧c为负，但是你取它的时候注意不要让分母出现零，

如果你这样这样取它的时候会出现什么会出现b+cb+c- 2a为零，这样就不行，你就取个c为一是不是这样？这样就可以避免它为零。是吧，就可以避免它为零，然后取这个特值法做，还有一种更简单的技巧，你看或者这样取，你看a和b相等。a和b相等a和a和b相等的时候，你看原式变成什么了？a和b如果相等。a和b相当这个分子，它就为零了，

发现没有？c你就甭管它了，这个分子a-b就为零，这个b-a它也为零是吧？也为零，所以它这个为零，这个也为零。然后后面后面剩的就和相等，你就把都换成算了，减乘一个减是吧把都换成。把b都换成a，这个就变成a- 2a，接下来c-a。这个把b也换成a，就a- 2a也是c-a。

所以这个数值它就为一，其实大家注意数学看到越可怕的式子啊，其实有时候答案可能越简单是吧，所以这样答案就选择e选项。啊，它的这个思路这样去，然后所以你可以用具体值来带到里面去进行分析，是不是然后再取具体值的时候注意不要让分母出现零？或者说我不取特具体值，我就直接让相等就甭管它了，发现发现它最后就就就约掉了是吧？约掉了。好，那这道题的一般计划怎么做？一般计划那就比较麻烦，

一般计划要用整体的思想来进行分析。大家知道这个a-b- 2c啊，我们可以把呃一般减少，就这样一般减少我写几步啊，写几步就就特别复杂了，化简化简且。啊，特别复杂，因为这个分母关键的分母复杂，知道吧，一般情况下就是原式。我们可以把它写成分子，就是a-b就是a-c，这个呢，可以把它写成什么？

写成第一个可以写成a-c，加上一个b-c。好，第一个乘以个第二个，第二个就a-b+1个c-b。第二个，然后再加上一个这个b-c乘以个b-a。然后这个呢？这个a呢？大家可以把它写成什么？写成b-a+c-a这样的。然后再乘以一个b-ca-c。b-c+a-c。是吧，然后第三个一样，

第三个咱们看看可以把它写成什么，第三个第三个的话就是相当于c-a×1个c-b。这个分母可以写成c-b，加上一个。加上一个a-b。再乘以个c-a。加上一个b-a。反正这这这弄完一大堆是吧？好弄完一大堆。好，那么这道题，然后在这里面，大家可以发现里面都是什么a-b呀？呃a-c呀之类的是不是？所以在这里面大家呢啊就可以。

呃，用整体的思想。针对性针对性啊，大家呢，就可以把比如说a-b，把它看成一个u。减把它看成一个，然后减把它看成一个是吧？把它看，但是然后大家自己去化简就可以了好吧，然后接下来我就把这个换完以后的式子给大家进行写出来。画完以后是给它写具体的，你往下你自己可以找时间再画一画。那这样原式我们就可以发现。啊，

第一个分子，这a-b就u这个aa-c就负wu乘以个负w。然后这个a-c就是负w。是吧，好，这是负w。然后b-cb-c是v+v。括号，然后这个a-b是u。u然后呢c-bc-b是负a。加上第二个。第二个，第二个就b-c啊b-c是vb-a是负u。啊b-a是负u，然后这个分母b-ab-a是负u。

然后c-a是w。然后b-c是va-c是负w。然后再加上d第三个，第三个的话就是c-a是wc-b是负v是吧？然后接下来咱们再看。呃，分母分母c-bc-b的话是负v。然后a-b是u。然后这个乘以个括号，然后c-ac-a这样w。c-aw，然后b-a是负u。好b-ab-a它正好是啊，正好是负u，这样就写好好吧，

然后在这里面大家呢呃，可以把这个负号上下变一变。是吧，这个负号跟这个都变变，剩下都都弄个负号，都弄个负号就变成u×w。这个是w-v，这个声音u-v。啊，上下负二就v×uv×u就是u-w。这个v-w。然后再加上w×v就是v-uw-u。好这样的，然后在这里面大家呢？大家呢，

就是把它再通分好吧，通分，然后再换通分通分，然后第一个分子，第一个分子，你给它乘一个什么啊，乘一个式子，第二分。分子分母给它乘个四，让它分母都变成一样的，知道吧？都变成都变成，比如w-uuu-v它还它还少一个什么少一个u-w第一个分式少一个u-w。w是吧，所以在这里面，

大家到时候给它通分通分，就比如w-u。啊u-v。然后呢，还再差一个。w-u是吧？w-u所以第一个分式的分子。都乘以个w-u啊，这第一个分式分子都乘以个w-u就行了，然后第二分式u-w，这w-u有个负号。负号，然后呃v-w。是吧，所以在这里面哦，

这个这个第一个。不对，第一个应该乘以个w-v。是吧啊，应该是乘一个w-v呃，乘一个v-w吧。好，第一个应该乘以v-w是吧啊v-w。好，这个上下都乘一个v-w，然后这个分式有v-w了，有有u-w对w-u，然后这个乘一个uu-v要要变一个号啊，变一个号。v×u，

然后这个v-u就行了。是吧啊，然后第三个分式上下都乘一个，你看呃减u有了，然后减u有了，然后再乘一个减。但还有个负号，所以w-v。好，那这样大家把它这个化简化简完，然后这个上下都变形变形的话，其实这个式子跟它一样，其实你这个怎么变知道吧？两两变啊，先两两变两两变以后，

然后再。跟第三个一块儿变，变完后得到分母，跟它是一样的，所以算出来它也等于一，这样就稍微复杂点儿好吧，这是一般的方法，现在用特征法做比较简单好，这给大家讲了一个整体的思路。和要点用换元的方法来进行处理。好，这道题大家呢，就是自己去练习一下就可以得到答案了。好，接下来咱们看第11题，

它已知a是方程的一个根。好，那在这里面大家不要用求公式把这个给解出来，因为这个求公式比较复杂是吧？不要把解出来，然后带到里面去，那这样的话就是不好弄，所以这道题大家可以看，用整体的思想。然后凑零这四项来进行分析是吧？所以说在这里面就产生零零的一个变形妙用。好，大家知道a是这个方程的根a是这个方程根，那说明什么？说明a肯定满了这个方程a满了这个方程a方减3 a+1，

它等于零。是吧，所以a是满足这个方程的，所以就a方减3 a+1它为零，它为零，然后接下来就往里面凑，有两种方法，一种方法呢，就是从高到低逐个变。啊，逐个变，所以原式。那这样写。第一个a的五次方a的五次方，相当于给它乘一个三次方就行了，

所以说就相当于是2a三次方a方减3 a+1。然后多退少补嘛，是吧？你看这个2a的三次方乘以a的平方正好是2a的五次方，然后2a的三次方乘以3a正好等于是6a的四方，6a四方，这是减5a的四方，是不是要给它补一个a的四方？多的少补，然后这个二的三次方乘以一就二的三次方二的三次方，这就不用补了是吧？那正好是吧？这个正好有二的三次方就不用补了。然后再减8a方加3a。好，

那么前面这一块儿，它就变成零了是吧？大家知道零乘以任何数，它还为它还为零。好，那这样，那接下来咱们再看往下再再进行拼凑。在a的四方a的四方可以把它写成a的平方。a的平方×3a。a的平方乘以个a方减3 a+1。是不是这样的，所以a的平方看a的平方，这两个相乘，这样就a的四方，然后这两个相乘正好是减去3a方。

减去3a方，再减去8a方，就减去5a方。啊，所以说这个这个减去5a的呃，这不是这是有一个a的三次方是吧？就a方乘以3a就是三倍的。a的三次方。然后这个a方乘以1a方乘乘以一，正好就是a方a方原是。是8a方，所以要减掉一个9a方。然后加3a好，大家可以看这一块儿，它正好又是零又零就没有了，

只剩后面这个后面这个大家是不是可以提出个3a啊？提出3a，提出3a以后，正好又变成剩一个a方减3 a+1。是不是这一块儿，所以a方减三+1，它正好就v0是吧？就这块儿整体正好v0v0答案，那这个就等于零，所以这个答案应该选择b选项。好，这是一种方法好吧，首先要注意用整体产生零的方法来进行分析。然后第二个方法什么第二个方法用那个竖式除法啊，竖式除法给大家演示一下，

竖式除法可能稍微长一点。啊，输入输入法输出法，那我们就可以写出来。这是2a的五次方减，5a的四方加，2a的三次方。减8a方加3a。是吧，加3a除以个a方减3 a+1好，我们看一下它竖式除法，看它最后剩下什么啊？然后接下来大家可以发现，这个正好就是上一个2a的三次方。算2a三次方拿2a三次方跟它每一个相乘，

正好是2a的五次方。然后减去6a的四方加三，加上2a的三次方。是吧，拿这个。跟那个商每个相乘就行了，像然后上下相减上下，然后这两个相减，然后这两个相减，这两个相减正好就是。a的四次方，然后这块就是零了。然后在下面再写一个。负的8a方。啊负的8a方，

然后这地方再上一个几啊，再上一个a的平方就行了，上a的平方那a的平方跟它每个乘a的平方跟它乘就a的四方。然后减3a的三次方加a的平方。然后这上下再相减好吧，上下然后再相减，现在a的四次方跟a4上减呗，零减掉它就得到3a的三次方。这变成一个9a的平方+3a。是吧，然后这块它减它应该减掉这个，所以就得到上下相减。3a三次方减9a方加3a，然后这块儿大家再写一个什么，再写一个3a就行了是吧？

这地方再写一个3a。咱这样就3a的三次方减9a方加3a。是不是这样就写好了要，然后这个正好就为零为零的话，那这个余式为零，余式为零，答案就为零，为什么答案就为零呢？因为它这个余的刚好为零的话，就说明原式。正好等于。除式乘以商余式，加余式，嘛余式正好为零是吧？就等于除式。

乘以商。然后再加上一个余式，余式正好为零是吧？加上一个余式，余式要正好为零，所以这个而且这个括号里面是等于零=0那整个。答案就为零是吧？如果于是要余一个一啊，或者余一个含的东西啊，到时候你就可以选这个其他答案了。好，这是给大家讲两个方法好吧，一个呢，从高到低逐个。整体拼凑变形，

多退少补啊，逐个变啊，给它把次方给它降下来，第二用竖式除法啊除法，然后找到它的余下来的这个数。然后就可以得到答案，看是不是听懂了。好，第12题这个题这道题呃，考察这个分解分解，然后然后来找它的这个数，它说可以被60至七之间的两个整数整除，整除的话其实就是。分分解求约束了。它能被什么数整除，

就相当于求什么样约数，对吧？所以咱们一个个分呗分就用平方差公式啊，或者。呃，立方公式啊，去分解慢慢分呗，就二点四八减一。啊，你用这个立方公式分也好，平方平方差分也好，然后48可以写成24括号的平方。是吧，可以写成。二，

24+1×2的24-1是不是这样的？然后前面这个加的这个正的没法分了，这个减的。24可以把它看成12再平方，12，12可以写成24+1就不要动了，就二的12次方减一×2的12次方加一。对不对啊？然后把加一放在前面吧。然后二的12次方减一，然后12又可以把它看成六啊六六的平方，所以说二的24次方加一。乘以二的12次方加一，乘以二的六次方加一，乘以二的六次方减一。

然后往下就不用再分了，因为它说能被60与70之间的两个数，60与70之间两个数，那那这这个数已经已经找到了是吧？已经找到了这个是。被它这这个数26，26次方加一正好是65，因为26次方64嘛，这个正好是63。比如65和63这样就写出来了是吧？65和63所以这个呢？应该选择c选项，可能有的同学这道题没读懂，知道吧？其实读懂了那这道题其实也很好做，

就逐个分解。分解成咱们想要的这个范围的，满足这个范围的数就可以得到答案好吧，看是不是听懂了？好，接下来咱们看第13题，这个题好，已知w平方加w+1=0，则这个w这么多次方。然后这道题跟哪个题一样，跟上面这个题有点像是吧？有点像也是满它等于零满，这个等于零，然后求这个式子。解释只不过的区别就在于，

它这个次次方高一点儿，然后内容多一点儿是吧？然后原理差不多，大家发现没有，是不是原理差不多？所以这个问大家呢，就可以也凑出这个整体就行了，凑出这个整整体。啊来分析就可以了。好，那这样就可以写出它的这个结果是吧？所以这个当然这因为它这个式比较特殊啊，当然这道题也不能求根求根的话，它没有实根。知道吧，

它这个方程是没有实根的。你不要求根这样，大家可以可以。三个一一组配对，三一组配对是吧？然后配。然后所以原式。每三个一组嘛，每每三个组配一下，大家知道这三个一组，这三组大家可以提出一个w的一九九三。剩下一+w+w平方，这个括号正好就v0。是吧，这块儿正好就就为零，

所以三一组三一组三一组给它搭配起来，所以它这个数值，它正好就为零了。是不是这样的，然后这样就写出来了。然后接下来这是一九九三，一九九四，一九九五，接下来就w一九九六。那u九六u九六，然后又一+w+w平方是不是？所以在这里面大家呢，就这样写，没事啊没事啊，我们看总共有多少个，

看看能不能刚好配干净是吧？这从一九九三到二零一九一九九三到二零一九，总共有多少个数？二零一九减一九九三。啊，正好得到是16。啊，这样大家可以发现吗？这样是二六是吧？所以在这里面就二零一九减一九九三嘛，这是六这是二六二六加一二十七项啊，所以共27项。共二七项，那说明它正好就能配干净呗，是吧？

两就三个一组，三一组正好能可以配成九九对儿是吧？所以最后。就得到w的啊，二零一七乘以个一+w+w平方就最后三项给大家写一下。最后的三项就是二零一七乘以加w×w^2，因为在二零一九可以把它看成二零一七，这个再乘以w的平方是吧？二零一七×w^2。这是二零一九。然后这个算出来，它正好就等于零，因为每个括号它都为零嘛，所以呢，就选择b，

然后这样就求解出来了，好看这个题。哎，是不是明白了，然后拆分？当然，这道题还有一个方法，可能大家想不到，知道吧，如果以前参加过竞赛的同学，应该能想到这里可以用等比数列求和，看到没？这是把它看成一个等比数列，所以这道题当然这道题的方法。它不是一个呃通用方法，

你像这道题也可以用等比数列，你像上上题那个题又不能用等比数列是吧？这是等比等比求和。那么，等位求和就相当于是w一九九三。加上w的二零一九。它正好是一个等比数列嘛，首项是这个嘛，公比是w嘛，这就像一减公比分之首项。乘一个一减公比的27次方是吧？一减公比的这个二二十七次方。那这样就写好了。啊，希望呢，

在这里面啊，在在这里面，大家往下怎么做呢？往下这样w平方乘以w啊，加上ww平方。加w再加一它等于零，这样我们就可以两边因为这样大家知道这个w它肯定。肯定是不能为一的，对吧？因为为一的话，这个是不为零，肯定w是不为一，它要不为一的话，那么。两边同乘一个w- 1总可可以吧？

可能大家就想不到。同称w- 1同乘w减，这正好是一个立方公式，大家能看到吗？正好是三次方减一的一个立方公式，所以就可以得到。三次方正好为一注意三的唯一，千万不要说就唯一啊，因为大家在高中学过三次方唯一，它除了有一个。十根还有两个实根，这道题把那个实根给它去掉，然后是两个虚根知道吧，所以说w三次方为一，它应该有三个根，

三个根，一个实根，两个虚根，两个虚根就不用管它，反正w3的唯一不要说唯一。知道吧，因为因为这道题，它没说是实数，然后w三次方为一，那大家知道w27次方可以把它看成三次方，再九次方，它也为一。是吧，为一所以说这个括号里面它有v0v0的话，那这个答案就求解出来是吧？

这个可能大家想不到的一个思路，所以通过这道题，大家以后记住。以后遇到什么呢？啊，遇到这几个要给大家进行说一说。啊，遇到这这几个啊，你如果大家在化简的时候可能有同学呢，就是呃，不会化简啊就。第一个就w平方。要大于等于一，它可以把它变形成。然后呢？

就是加上分之一=-1知道吧，所以说在这里面相当于把这个两边同除一个，两边同除一个。然后又变成加加w分之一，正好等于个负一是吧，然后它也可以把它等价成w三次方等于一，但是这个w是不为一的，是非实根的。好非实根的，所以在合同变形的时候要注意这中间的过程，刚才给大家写了，就两边啊，同乘一个w- 1。第二，如果要w方减w+1。

它可以两边都除，以个w变w加w分之一。等于一。等于一，然后在这里面那么这个这样，如果这样是w方减w+1的话，两边同乘以个w+1 w+1就可以得到w三次方加一=0。就可以得到w三次方等于负一注意，这个w也是不等于负一，它也是没有实根的w三次方等于负一。它是没有实根的，是另外两个虚根，虚根的话，咱们不用管它了，好吧啊，

这是它的这个内容，大家。呃，要注意啊，另外咱们前面在讲矩阵定理的时候也讲s加x分之一大于等于二，这s大于零。还有x加x分之一小于等于负二就x小于零，这是咱们在实数里面，它有这样的情况，所以说在这种看它这个比二要小。是吧，比负二要大，不在这个范围，不在范围，说明同样也说明这个w它不是实数啊w它不是实数，

所以这一块儿也给大家进行扩充一点。是吧，让大家呢稍微呃，把这个表达式范围呢啊，学的学习的范围要稍微大一点儿，大家要知道。接下来第14题这个题的话，大家要注意的，这个内容是它这个正好等于二和负二，咱们根据这个基数定理就直接可以把它给解出来是吧？是吧，直接把它呃给它解出来条件，一条件x加x分之一等于负二，那很明显根据精确定理可以得到等于负一。是吧，

等号乘以条件或者你你不知道均值定理，你把分母乘过来乘过来，然后再移项也能得到这个x，它是等于负一的一样是吧一样，所以它这个x=- 1负一的六次方还等于正一，所以说x六次方加x六次方分之一。它等于二，所以它这个是充分的。然后条件s加s分之一等于二等于二的话，那么就这样就可以推出s等于一而等于一的话s六次方加s六次方分之一。a=2是吧？也等于二，所以两个条件它也充分，这个答案就选d好，这是给大家强调的，

它的数值如果要是二。或者负二，它刚好就是一或者负一，这样的取值啊，这根据基准定理就可以把这个结论给它记住。可以给大家概括一下啊，概括一下就以后遇到这个x加x分之一，那么它的这个情况。s加s分就有三种情况啊，就x加s分之一等于某个值，它这有三种情况。好，那么第一种情况，第一种情况就是s加x分之一等于一或s加x分之一。啊，

这这样吧，第一种情况是无死根的情况，这样写。啊，无实根的时候，无实根就是x加x分之一等于一，还有呃x加x分之一等于负一。是吧，等于负一，然后这一块。你看它可以变变成s方减s+1为零。好，它可以把它变成两边通乘，一个x+1得到x三次方就等于负一，当然x不能等于负一了。

是不是然后第二个第二个可以把它变成x平方加x+1它为零？嗯，这样两边同乘以x- 1，这个得到x三次方等于一，这x不等于一，好吧，把x三次方看成一个整体。啊，来化解。然后第二种情况，第二种情况是相等实根。相等式呢？相等式呢？比如说这个啊，等于二或者负二是吧，

然后等于二x加四分之一等于二等于二就说明x只能等于一个正一。还有一个x加x分之一等于负二。负二就说明x只能等于负一是吧？只有相等实根，然后第三个呢？就是不等实根。不等不等，式根就是x加x分之一等于a，只要是a大于二或者说a小于负二都行，比如说a等于正三或者a等于负三。那这个都行，那这块儿的总结咱们前面给大家进行总结过，让大家求x平方x平方分之一啊或x三次方x三次方分之一啊，大家把那个笔记看看就行了好吧，所以总共关于这倒数就这三类看各位同学是不是听懂了？

你把它三类，然后这个再总结一下，到时候x平方加上平方分之一怎么变形x三次方加上三次方分之一怎么变形？x四方加x四方分之一怎么变形？x减x分之一的绝对值怎么变形？好吧，这块儿大家会求解和分析好看，各位同学是不是听懂了？然后第15题这个题。s平方加y方加z方减xy-yz-xz=75，那这个题干咱们先把它做一下，等价变形。题干可以两边通成一个二，可以把它配成三组的平方。正好等于150是吧？

配成三组平方好那条件1 x-y=5，那肯定是单独是不充分，因为条件一你也不知道z是多少。对吧，条件上肯定也不行，条件上它没有x也不行，所以肯定要联合分析，所以肯定要联合起来。好联合起来以后，那么呢，咱们呢就可以求出让这两式相减，让这两式相减可以求出x减z的值x减z的值就等于五减十就等于负五。是吧，可以把x-z可以求这两个式一相减相减，求x-z值，

这样的话，你可以把x-y的值。还有z-y的值，还有x-z值都给它带到里面去。x-y值正好是五。然后这个y-zy-z呢，你就用这个z-y十带着就行了s-z带到你带到里面正好答案就可以好吧，这个我就不再带了，这个答案就选c选项。这个答案就求解出来了，而且他做了一个方法思路。好，接下来咱们看第16题，这个题看它这个比例问题，比例问题大家呢，

就可以用呃，一般方设k法做就很快了。是吧，设k法做，然后看左边和右边是不是相等是吧，左边右边是不是相，那我们看条件一。我们就采用设k法。设k法来进行分析和思考是吧？用设k法做好那看条形一条形一可以令这个b分之a等于d分之c。当一个k。是吧，它要它要等于个k。好等于k以后那就可以推出什么推出a就等于bk。c就等于dk。

好，那接下来我们看左边右边它是不是相等的？啊，因为注意在这BB里都是正数啊b，它都是正的。然后再看一下题干的左边。左边就等于a+b÷c+da+BA+b，因为a正好等于bk。加上BC=dk。加上d，所以大家可以发现这个b就是k+1这个d×k+1，它正好等于b÷d，因为k+1它可以约掉。是吧，这个k+1，

它可以约掉，因为因为这个b例它都为正数嘛b例b例它都都是正数。啊，都为正数，都为正数啊，那得到的是b÷d了。好，这个它的数值和方法好吧，这样啊，这道题k不能取负一啊，有同学说万一这k=- 1怎么办？k不能为负一，因为题目说了c+d不为零嘛，因为k要等于负一的时候c正好和d是互为相反数。互相的时候c+d正好为零，

那不满的提议知道吧？好，我们来看右边。右边右边就是根号下这个a方加b方a方加b方，我们可以把它写成什么呀？a=bk嘛，写成b方k方加上b方这个分母，分母c可以写成d方k方，再加上d方。然后分子我可以提出一个b方，或剩下是k方加一。然后这个里面剩的是d方除以k方加一，然后大家知道k方加一跟k方加一，它又约掉了。余掉余掉，

然后因为它这个说这个BD都是正数BD都是正数的话，那就剩一个b方开根号和d方开根号，因为b是正数，所以直接就可以写出来。其实然后左边和右边又相等相等，它就成立，所以条件一呢是充分的，对不对？条件一是可以是充分的。好，那么条件咱们看一下呃条件。条件的话，同样道理也是利用这个a。除以BC，除以d=k一样道理，

只有哪不一样知道吧？前面这个左边都一样啊，只有哪不一样，就右边这右边这就变成什么了啊右边。右边还是变成了b方根号。b方除以根号d方，因为条件，它说AB都是BD，都是负数。b要都是负数的话，大家知道平方根号应该变成b的绝对值。d的绝对值，然后在这里面应该变成负b和负d，但是还是等于b÷d知道吧，就这块不一样啊，

就因为它说BD均为负数负数，大家知道平方开根号应该写成绝对值。绝对值，然后b是负的d也是负的，去掉绝对值要加负号加负号，在这里面大家就可以得到这个值是吧？这样写出来，所以条件二它也充分。正确答案就选择d选项。所以这道题就采用设k法啊，证明题干的左边右边是否相等啊，看一下它的数，而且这道题用到的平方开根号这样的一个处理方法。接下来咱们看下第19题。某项工程由甲丙合作五天，

能完成三分之二，那做重新判定，先把题干做一下，等价化简。等价化简，然后合作五天，完成五分之二就说明甲加乙的效率。等于个十五分之二是吧？因为五天它的完成三分之二嘛，一天就完成十五分之二好，那接下来咱们看一下条件，一看行不行？条件一，条件一，只知道甲乙。

的情况，那肯定是不不行，条形一它无比。那这个没法做。条件二是无甲。所以单独肯定是不充分的，所以肯定要联合起来。联合联合分析了条形，看什么甲乙合作六天就完成了，甲乙合作六天就呃完成了，然后说明甲加乙就等于一个。六分之一。是吧，这个设置效率啊，设置效率，

而且甲单独做比乙快五天完成是吧，甲的时间又比乙。快五天完成。啊，如果单单独做。好，那这就是代表它的这个情况啊，那么你又试了这个效率是甲乙，那么甲当做时间就是就是。就是甲分之之一就甲当做时间。然后呢？这个乙单做的时间甲甲用的时间少是吧？甲用的时间少，乙用的时间多。啊，

这样的一个情况。然后第二个那么如果乙丙合作乙甲丙合作，那么十天完成乙和丙的效率十分之一。然后乙丙慢，乙比丙慢。慢15天对吧？它比比呢多十十五天。啊多15天，这是它这个情况好，然后接下来大家就可以解出，那么甲乙它的效率好吧，我们就解出。只要求出甲跟乙就行了，甲的效率就算出来就等于十分之一。乙的效率就等于三十分之一。

啊丙的效率。减三分之三十分之一，所以这道题是丙是吧？那接着是丙？好，那只要求出甲丙就行，因为甲丙合作啊五天嘛，所以甲甲丙等于十五分之二就行，好，那接下来我们看一下甲甲丙。就等于十分之一。加上三十分之一。正好等于十五分之二。是吧，所以在这里面大家呢，

就可以写出来十五十五分之二，所以它这个充分的，所以联想起来充分正确答案就选择c选项。答案就选c好这道题就是列方程去解就行了好吧，当然这道题设时间也行，反正有一个总是倒数的。啊，你要设效率，就这个时间就倒数，如果设时间的话，就效率是倒数啊一样的啊，没什么区别。好，那接下来咱们看一下这个20题。看下20题，

它的做题方法思路。游泳池的大小两个进水管。大管单独开三个小时，可以注满泉水池。想法当然看120小时可以注满泉水池，要在26小时内注满泉水池。好，那第一个就大管单独开放十小时，两管齐开。第二个那么两管儿起开八小时，在停电两小时，又重新开两管儿啊，问是不是26小时那这道题呢？其实大家可以设工作量。因为这道题大家可以发现啊，

那么它这个是言之道，所以可以设工量，所以设总工量。设总工量就是30和120的最小公倍数就120是吧？对吧？那么大的效率。大小就是四。小水管的效率。小水管效率就是一是吧？小水管效率就是一好，这是它的这个方法，然后接下来我们再来看一下它的这个数值。调一看行不行啊？调一。填一个大管单独开放十小时后，

两管齐开那么呃。大水管开。十小时就是它的工作量就是四×10，因为它效率是四，然后乘以这个十是吧，然后除以两管齐开，两管齐开就是四+1。这样上面就得到80，然后这个除以五。是吧，除以五，然后就得到了这个16小时。十小时那共开放多长时间？共开放那么前面还有十小时啊，后面这是16小时十+16。

然后这样就等于26小时。对吧，这是条件一它充分，它是可以的。再看条件，条件两管齐开，八小时停电，两小时又重新开两管，反正先把停电两小时给它去掉嘛，去掉，然后看一下合开。就齐开它的时间。时间有120除以什么除以个四+1。就等于24小时是吧？然后共。

供呢，停电不有两小时吗？这也是二六小时。所以说条件也能得到26小时就可以注满啊，所以条件也充分正确，答案就选d选项好看，大家是不是听懂了？所以这道题呢，比较简单，如果这道题要把它加上一个排水管，比如一个水池有一个固定流速的排水管。是吧，固定流速的排列块，这就变成一个牛吃草问题了。有时候我们因为你边往里进水，

它边往外排，是不是啊？还还在往外排，所以这个变成牛吃草问题。到时候呢，学会转化就可以了。原来这个水池代表着原有的水量，然后往外排的量就是新生长草的量是吧？然后到时候呢，根据时间来进行分析套公式。然后21题咱们看一下某项工程，如果再增加六个人，那完成剩余工程还需要天数是四天。好，那接下来咱们看呃条件一这道题用比例法做就行了，

七个人用四十天先分成三分之一。那我们就可以求出每人每天的效率啊，所以这道题就是核心点。核心点就是每人每天它的效率。这是关键点，知道吧？好，那接下来咱们来看条件，一看行不行？填上一填上一七个人用四十天完成了呃，完成了三分之一。好，那说明说明这个说明每人。每天。它的效率。

是三分之一，除以七再除以个四十。是吧，所以这样就可以得到。得到那这就是二十一，八百四啊，八百四十分之一是吧？这样的每人每天效率。然后接下来我们看完成剩余的。它的时间。t就拿怎么写呢？就剩余的工作量，因为它已经完成三分之一，还剩下三分之二。剩下三分之二，

剩下三分之二，总共多少人呢？这七个人七个人，这六个人，所以变成十三个人，十三个人的效率。这显然不是整整数不等于40，它不是整数对吧？咱们再看条件，条件每人每天的效率。每天要效率就是三分之一，除以八再除以三十五。好，那这样啊，这样啊，

那么也得到是840。啊，也得到八八百四，然后接下来咱们看一下剩余工程，他需要的时间。t就等于剩下还有三分之二。是吧，剩下还有三分之二，剩下三分之二，那么剩余的人，剩余的人有八加六就十四个人。应该增加六个人乘以840。然后这个算出来正好就等于40天。好，所以这个就充分条件二充分的条件一不充分。

这样大家应该选择b选项好看，做题是不是听懂了？好掌握了方法，看是不是明白了，对不对？这是它的考虑要点。然后再看22题甲，两队合作六天可以完成某项工程。啊，那这道题那条件一他只知道甲肯定是不充分，不知道乙条件二只知道乙是甲的二分之三，但是他具体值又不知道，所以说显然要联合起来。了解那么甲每天完成十五分之一，那么甲的效率就是甲效就十五分之一，

然后有条件就可以得到乙的效率。乙的效率是甲效率的二分之三。这又可以得到是十分之一，然后接下来咱们看合作的时间。核时间t现在一除以两人的效率和。然后这样就可以算出来，等于六天。啊，所以联合充分这个答案就选c好吧，这道题比较简单啊，也不用设备的数，很容易就做出来了。然后二十三题咱们看一下，二十三题，二十三题，

甲乙合干部工程需要四点八天题干一甲干两天，乙干三天完成总数的二分之一。那显然，条件一算不出，每人单独的效率是不是？所以条件一不行，条件甲干一天，乙干两天可以完成总数的二十四分之七。那这个它也是不行的是吧？所以在这里面咱们呢啊，就可以设备的数。连合起来。这样的一个可以设备的数，另外一个也可以等量转化啊，等量转化教给大家，

如果设备的数的话，那甲的效率是x，比如说甲效是x乙的效率。是y对吧？是y第一个就给它二x加三y完成总数的二分之一，第二个就是相当于是x加上二y完成总数的二十四分之七。好，然后去解出xy就行了。然后另外一个方法，另外一个方法等量转化跟这个差不多，等量转换就是甲两天乙三天完成总数二分之一。这甲一天乙两天完成二十四分之七。然后可以把第二个式都该扩大两倍，扩大两倍的话，工作量也扩大两倍是吧，

所以第二式呢，可以把它变成什么变成甲两天。以四天完成一个两倍就十二分之七。这样的话，大家发现甲两天跟这甲两天就抵消掉了是吧？有这个两天跟这个两天正好就抵消掉了。抵消掉，然后这个三天这个四天就多一天多一天就甲一天可以完成量，其实就是解方程组的思想了，接下来是第二方程，同时乘以二，然后两式相减就可以把s抵消掉。是不是所以在这里面大家呢？就可以做出甲的效率。啊，

求求自己的效率。好有效，有十二分之七。减二分之一就得到十二分之一是吧？乙的效率就写出来了。好，那乙的效率写出来，那甲的效率就可以算出来，因为甲一天的效率，甲的效率。甲校就拿二十四分之七减掉乙两天干的活。然后这样算出来就是八分之一是吧？就得到是八分之一。啊，八分之一让他们合作合干需要多长时间合干？

我们看合作。合作时间t就等于一除以八分之一加上十二分之一这样子，这样等于四点八，使他这个充分是吧？是吧，四点八正确答案，又选择c选项，看这个是不是听懂了啊？这样求出来，当然列方程做也可以这样呃，扩大倍数等量转化，其实跟解方程是一个道理。好吧，是一样的好，这是给大家强调它的做题要点，

看是不是明白了？接下来看，二十四题甲单独施工，每天完成工作量的二十分之一。那甲单独施工，每天完成工程量二十分之一，条件一，如果甲乙合作，那么十二天可以完成。啊，如果乙单独做三天完成，那这个这个单独填上一，我们看行不行？单调一，大家可以发现就是甲乙合作十二天完成，

说明甲加乙的效率就等于十二分之一，然后第二乙单独做三十天完成，那么乙的效率就等于三十分之一。那通过这两个就可以推出甲的效率，甲的效率就等于十二分之一减去三十分之一。这样就可以写出来。好，这样算就等于二十分之一。是吧，这样大家求解一下，这个给它扩大倍数嘛，就这个都六十嘛，通分六十分之五，这六十分之二得到六十分之三六十分之三就二十分之一。所以题目一是充分的条件，

如果甲乙合作四天后还剩下工程三分之二，让乙单独做，还需要二十天完成。那说明甲乙合作四天干三分之二，说明甲乙合作一天的效率完成了三分之二的四分之一。就等于六分之一，甲乙合作效率，然后乙单独做，还需要二十天完成，乙单独做，还需要乙单独做，还需剩余的工作量是三分之一。也就是二天完成三分之一乙的效率就是。就是六十分之一。是吧，

你的效率它就可以写出来，它得到是六十分之一。因为它还剩下。合作啊，合作四天，我还剩下三分之二，合作四天，我还剩下三分之二哦，那这个数就得改一下，剩下三分之二不是呃完成三分之二是吧，剩下三分之二，剩下三分之二，剩下三分之二。它说明合作四天就完成三分之一。对吧，

合作四天完成三分之一，完成三分之一，只有十二分之一，对不对？十二分之一，然后这个乙呢？还剩下三分之二。还剩下三分之二三，剩剩剩下三分之二就三十分之一。好，那跟上一个题就一样了是吧？那甲乙这十二分之一和十分之一跟上一样，所以同理它也充分，这就不用再解了。好，

这个答案就选d选项好，这是只要求出合作效率和单独效率，然后算出来，那么这个答案就可以求出来。啊，下面咱们看这个题。啊乙的一项工程由甲乙合作完成，甲乙它的时间是相同的，但它不知道完成多少。天是吧，不知道多少时间，比如说是完成五天还是六天，反正只知道他们合作完成给了3000元，然后甲丙合作。合作那么这个就相当于是给1000元。

啊，则要让我们推导结论是甲乙丙三人合作所需的费用不大于2000元。手续费用啊，不能大于2000。好，那么条件一我们来看一下，甲乙丙三人合作完成时，甲乙的工作时间之比是二比一，但条件一他只知道甲乙。是吧，不知道丙的情况，所以他单独肯定是不充分的。啊，条件条件是知道乙丙它的时间。但不知道甲他的实验，

所以条件儿他也不充分，所以这道题肯定要联合起来分析。啊，领养企业，领养企业以后，我们就可以得到呃，它这个相当于合作完成，前面都一样，因为合作完成。比如说他这个甲丙合作完成是十天，这个甲丙合作完成也是十天，他这个肯定前面时间是一样的，就看后面了，对吧？后面就加比乙时间是二比一，

一比比是等于一比一。这样就可以推出甲比乙比比。甲比乙丙丙这样等于二比一比一这样的情况是吧？得到是二比一比一啊，甲乙丙它的比值。是二比一比一啊，这样的一个方法好，那接下来咱们再来看。通过这个，我们说明什么问题？说明这个乙和丙的效率是一样的是吧啊？因为他们合作完成，他们每人工作时间都相同，也就三人合合作的时候。合作完成。

他们擅长的。三人的时间可能是相同的。三时间相等，比如说他合作用了十天，完成合作用了十天，完成那说明甲十天，乙十天，丙也十天。是吧，比如咱们合作了十天，那每人都用了十天，对不对？因为三人时间呢，是相同的好，三人时间相同，

那接下来我们就可以得到甲乙丙它的这个式子。啊甲乙丙好，虽然时间一样，那它的工作量是什么？工作量乙丙的工作量它是相同的，因为乙丙的效率它一样。是吧，乙丙效率一样好，那接下来我们可以对吧，因为题干它给的条件什么条件是甲乙它的情况。这是甲丙的情况，那我们来看一下，因为乙丙的效率相同啊，乙丙的效率相同，乙丙的工作量是一样的。

对不对啊？乙丙的工量它一样。那一样，那就说明什么问题。说明把甲的这两份儿时间可以给它拆开，拆成甲加甲是吧甲，所以说乙丙的一样，那么甲加乙。跟贾家比。它完成工量也一样啊，完成的工量它也一样，它一样说明它们甲跟乙完成工量。甲跟丙盘的光亮，它是一样的，因为乙和丙的效率一样。

就乙和丙两人，你把他当做一个人，也就说甲跟乙合作与甲跟丙合作，它一样的没区别，因为乙跟丙就是一样的。是吧，一模一样，所以说啊，就一样一样的话，那么它合作肯定各干一半儿对，因为因为这是二级二甲二甲的话，可以把甲给它拆成。啊，拆成。这个两倍是吧？

所以在这里面它的这个方法啊，大家要知道好吧，所以说在这里面大家呢，就把这个二呢给它拆开。啊，拆开拆拆成两个，所以说拆成两两个角。好，所以说在这里面大家呢，要注意它的这个方法。啊，那我们呢？就可以看出啊，那么这个甲甲乙等于甲甲丙啊，它的这个是一模一样的，

一模一样的话，然后呢？都完成了工作量的一半儿是吧？都完完成一半儿，所以它正好等于总工作量的一半儿好，它说甲乙合作完成时。啊合合作完成时需要3000元，那现在甲加乙加丙。它的这个情况，它情况因为大家知道甲跟乙它是完成一半儿是吧？所以说这个正好3000的一半儿。甲跟丙，它也是乙半，这是它的费用。合作的费用。

好合作费用，合作费用的话，我们就可以写出来是吧？就可以求解出来，列出来就相当于是这个是。啊，二分之三千。加上二分之一千。然后这样就求解出来了，然后这个是1500，加上这个直角等于2000。2000所以说它合作不大，2000所以2000是成分的。啊，这样就写好了啊，

这是它的这个方法思路啊，看懂没有得通过这个，我们要转换成。它的一个比例关系比例关系，我们把甲的时间两份儿给他分一分啊，分一分分完后，那么就可以得到结果好。好看，这个题是不是听懂了？

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