013.24-顿悟-专项二-题型4-7

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:10:20

接下来看假设法来解这个路程问题，假设法减法如果。路程，速度，时间三位量关系式之二求一是吧？比如说知道其中两个可以求另外一个，但是当出现两个位置量的时候，位量比较多的时候，可以用假设法。减法其实就取特值。取特值分析，因为大家知道像有时候它的变量比较多，而且变量又不影响答案的时候，大家就可以取特值是吧？变量比较多，

变量呢，然后这时候呢它。它这个又不影响答案，那这时候主要求一个比例关系是吧？就可以取特值来分析和思考，看这个是不是懂了？那接下来咱们看一下。18题，这个题。啊，这个题某人在公路上行走，往返公共汽车每隔四分钟，有有一辆车与此人迎面相遇。每每隔六分钟就有一辆车呢，从背后超过十人，

如果人与汽车均为匀速运动。那么，汽车站每隔几分钟发一班车。啊，这个东西大家要结合生活常识啊啊，如果要题要理解不了的话，那这个题就不好做了，大家知道这是马路。马路注意注意啊，公交车站它有两个总总站啊，就a总站。这个b总站。其实这跟地铁或者跟咱们的高铁火车一样，跟公交车一样，比如说这个汽车啊，

慢慢慢开，开到总站了。啊，到终点站了，终点站人都下了下了，然后这个车呢，哎，慢慢又又又回来是吧，又回来，所以说这个车都是循环跑的，所以大家要知道这样的一个东西。啊，当然这个公交车从站一直开开到站站并不是马上就跑，因为这站它还有那个停的公交车是吧？比如说站。

呃，他这个车发发发过来，发过来以后那到这儿到这儿的话，他这个B站里面不还有些车吗？往外发发发这个车发完了哎，又轮到刚才进来的那个车啊，往外走。是吧，它这样的啊，循环往复的，这样开地铁也是这样嘛，地铁也这样开是不是？好，那这是它的这个思路，所以说首先要把这个东西弄清楚，

弄清楚的话，接下来咱们看一下。好，如果人在路路上是这样走的。能往左这个四分钟代表什么意思啊？四分钟咱们看看好，假如这边有公交车。啊，那么它这个走？往下走好，那么就像这辆车，当然车长是忽略掉啊，车长忽略掉那这个公交车刚从他身边开过去。他马上开始掐表掐表，那就是人也在走这个车，

它也在走。是不是啊？也在走那么后面后面这个车跑得快呀，跑得快，然后正好又又开过来了，开过来到人身边的时候，那停止计时，这个是四这个是。呃，这个是六分钟好吧，六分钟，因为它从背后超过此就六分钟啊，这六分钟这样的。懂了吧，就是相当于一辆车跟人从身边开过去以后，

然后呢，开始计时计时的话，后面的车哎，又又又超过当然这个。车在走的时候，人也也在走。是吧啊，也在走，然后接下来咱们再看一下。看一下对面的情况，看一下对面，然后这面的情况就就就画完了是吧？画完了咱们再看。看这个人，他走到这个位置是吧人，

他在走这个位置对不对？然后这边呢车。对面啊，开过来一个啊，等下辆车。好，这个这个车开过来以后开着开着计时，等下辆车啊，又遇到这个人的时候，那就停止计时。所以大家可以发现，这个间注意公交车的间隔是一样啊，公交车的间隔是一样，也就说也就说这个间隔。跟这个间隔是一样的。

为什么间隔一样？因为它的公交车站两个总站，它的间隔都一样，比如说这个站每十分钟发一辆车。啊，每十分钟发一辆车，每十分钟发一辆车，这个间距是什么意思呢？看比如说这辆车往前跑，跑跑了十分钟，哎，那到了那下辆车开始出发，是不是你看这个间距是不是这个它十分钟的一个间距啊？这边也一样，这边B站它也在往外发，

往外发的话，那么第一辆车哎，往前开开了十分钟好，那么到了那下辆车就开始发车，比如说这是七点。那下趟车就七点十分，下趟车就七点二十，就是下趟车就七点半是吧？他都都间隔十分钟往外发是吧？知道吧，所以下一趟车。比如七点半发，比如这是第一趟车是七点从那总站发的，然后这趟车七点十分发的，这辆车七点二十发的，

大家发现它们中间的间距是不是都都是一样的？这边儿一样，这边儿比如说是是八点发一辆车，然后八点十分发一辆车，八点二十发一辆车，然后这块儿呢，它也是一样的，对不对一样，所以说它这个车。所以说的间距，它是也一样，所以说间距一样的话，那我们可以设这个间距呢？就是就是。呃v车乘以它的发车发车的这个间隔，

发车间可以设每个分钟啊，每个分钟知道吧，这个间距这个间距就相当于是。微车。乘以个它的发车距离t，那就是每隔几分钟发一辆车知道吧，然后这个间距也一样，这个间距它也是v车乘以它的发车间隔t。是吧，一样的乘以发的间隔t。接下来咱们看这种情况，这种情况就相当于一个相遇，知道吗？你看这是一个距离，然后这个人朝右边走，

这个车朝左边走，两人相遇。相遇相遇的时间就等于路程啊，就路程就等于速度和乘以它的时间，知道吧，所以这样就得到微车。乘以个t就等于啊v车加上v人乘以个，这个是用了四分钟对吧？四分钟。这是相遇。然后这个呢，是追击追击呢，它的路程差是这么这么长啊，路程差，所以v车乘以t就等于一个v车减v人乘以个六分钟。

是吧，追击再说追击它路程就等于速度差，乘以它的时间嘛，是吧，它的时间，所以说这个车在追查。好，大家可以发现这个方程里面它有几个未知数啊，当未知数比较多的时候啊，未知数比较多的时候，而且它答案又不影响看就不影响，所以你就可以取一些特值做。知道吧，可以取一些特质来进行分析和思考，然后你可以设人的速度为一啊，

人的速度为一来进行分析。或者说或者说呃，在这里面大家呢，也可以取，因为这都是v车乘以t，这都是v车乘乘以t。啊v4乘乘以t，所以在这边大家可以找四和六的最小公倍数也行啊，找四和六的最小公倍数这样也行。反正反正这个数跟它相等嘛，这个数跟它跟它相等的。两两相等，所以说四跟六那么找它最小公最小公倍数就12，或者说为了好算找24也行啊，找12所以就取这个12。

好取12的话，那在这里面大家呢，就可以看到那么这个就相当于是v车加v人乘以四=12就可以得到什么得到v车。加上v人就等于个三，这个是v车减v人就等于个二，那这样的话就可以得到v车正好等于个二点五。好v车等于二点五，这个t就解出来了。v车等于二点五，那么t呢，就可以算成12，除以二点五就行了是吧？12，除以二二点五这样就可以写出来这个t。t呢，

就等于一个。12，除以二点五。啊，就等于4点8分钟发一辆车，答案就求出来了，这个答案就选c选项好，这是它做题方法思路，看是不是懂了？好通过这道题给大家讲一个技巧，以后遇到发射间隔的时候，它有个技巧啊，有个技巧。这要如果大家知道这个发车间隔的小技巧，就是t就等于二倍的t1t2，

除以个t 1+t二。那这个就更快，知道吧？就更快这道题，一个是你看，一个是四，一个是六，一个四+6。直接就可以秒杀得到四点八是吧？就可以秒杀得到四点八，所以直接用绝招口口算就四点八，直接就选出来了。好，那有同学这个绩效怎么来？这个绩效就是通过这个公式推导出来的，

知道吧？推导出来的啊，中间推导过程就省略了，好吧，就推导出来的啊。因为假如这个是t1，这个是t2，知道吧？所以说在这里面，这是t1，这是t2，然后呢？你就设这个12就找t1t2的最小公倍数。然后去解，解完后得到这个t的值，

就这样的好吧，这样的那这个呢，咱们往下再延伸这个东西其实是一个什么东西啊？是一个调和平均。咱们前面学过算的平均和几何平均对吧？算平均和几何平均，大家学过那条平均，大家没有接触过。所以我们说一下调平均什么调平均调平均是这样的定义啊，调和平均。就相当于是。n个数除以n个数的倒数。好n个数除以它的倒数和叫调和平均值，知道吧？这是调和平均它的定义。

啊，调频它的定义，这个大家知道好吧好，这是调频是是啊，咱们一般来说n取二用的多一点n取2n取二就是二除以个。两个数的倒数和两个数倒数和看着不方便，我们把它上下都乘以s1s2。就可以得到这个是吧？这个调和频率n=2的时候。n=2的时候就得到这个值好吧，这调高平均它的这个概念，然后在咱平平定理里面，大家记住调高平均呢是最小的好吧。就调和平均，咱们写一下它的平均定理，

就调和平均。小于等于。啊调平均它最小的。小于等于几何平均。然后再小于等于算数平均。好吧，小于等于35平均，然后小于等于平方平均。把每个数平方再求平均值好，那这是它的平值定理好，这是给大家已经讲了它的这个方法是吧？就这个这次发射间隔，我们就可以。记住一个调和平均，它的这个概念，

这个内容，大家要会分析和思考。好，那么调平均还有哪些应用呢？我们给大家进行总结一下好吧，大家把前面做个题，然后自己再想想调平均他的应用咱们。说说。咱们就以两个数为例啊，调和平均。一个是购物，就等钱数购物，求平均价格，大家如果做过前面咱们高职那题的同学就知道，比如甲乙两人买盐。

一个人每次买一千克的盐，一个人呢？每次买一元钱的盐，让比较他们的平均价格啊，如果要每次买一元钱的盐。或者说大家可以还可以出一个什么考题呢？就是像开车加油，比如一个人每次加定身数的油，比如就加啊50升的油。另外一个人每次加定钱数，每次加200块钱油定钱数油，那么定钱数购物。它的平均价格。定钱数购物。购物它的平均价格。

就等于这个2s1s二÷s一+s 2s1s二代表是每次的它的价格好吧，每次价格好，咱们就以。呃，购物两次为例啊，如果要定定量购物。比如说每次都买一千克的盐，或者加油，每次都加50升的油，定量购物。它的平均价格就三个平均。就等于算术平均，咱们又以两次为例啊，三次一样，三次好像就变成三次的调平均和三个的算术平均好吧，

这是它的这个内容。好，第二个就是那个求往返的平均速度。往返平行速度那比比如说去的时候是v1，回来的时候是v2，它往返的路线都一样是吧？求它平行速度。频数就等于二倍的v1v2，除以一个v 1+v二是这样的是吧？然后第三个就是咱们现在做的这个题，做的就是发车的间隔，公交车的发车间隔。它间隔t就等于二倍的。啊t1t2÷1个t+t二好吧，这样就写出来了。

好，这是给大家进行讲的，这个内容好，大家把调平均这几个使用情况记住啊，而且要知道公式怎么来的啊？好，这是给大家呃总结的这个方法，大家把它记下来。好，接下来咱们看第19题，第19题，大家呢，一定要找个特值，知道吧，要不然这道题的话，

你越做越乱，知道吧？越做越乱，我们取个特值，比如说甲走五步的时间，乙只能走四步，你就假设一分钟吧，一分钟他走或者一秒钟也行。或者一分钟也行是吧，所以这个时间呢，你取个特值或假设法。然后甲走五步的距离，这五步距离你可以设为是三呃几米就行，一米也行啊，设为一米也行，

或设为这个。五米也行是吧？或者设为15米也行，这个都行是吧？所以这个时间和距离大家呢？取个特值。要不然的话，你不好分析啊，取特值取特的，大家可以设什么设这个？这个时间是一分钟也行啊，一分钟也行，比如一分钟，它走五步或者一秒钟也行，反正这个你设设什么单位都可以。

好吧啊，都OK的，然后这距离距离的话，你可以设为一米也好，一米的话，它这个每一步就是五分之一米，但是这个可能出现分数，所以这人找五跟三的最小公倍数。好吧，五跟三的最小公倍数就行了。啊五跟三的最小公倍数。那这样也行是吧，所以在这里面大家呢就呃，相当于是相当于什么相当于相当于是一分钟啊，那么甲走五步。

好吧，假设这个一分钟。一一分钟甲呢是走五步。然后乙呢？是走四步。啊，都都假设一分钟好吧，一分钟或者一秒钟也行。然后接下来我们看一下那么甲走五步的距离啊，五步的距离，那我们可以假可以设甲每步呢？啊，每步呢是走一米啊，每步走一米，或者每步走走三米也行啊，

每步走三米是吧甲？每步。为什么三米？因为它它这个后面有个三位的，这个出现它的最小公倍数甲每步呢就三米。甲每步三米的话，甲走五步就相当于15米15米那乙每步。一每步呢，就相当于是五米。好乙每步就是五米好，接下来这道题用一个追击问题知道吧？用一个追击问题啊，追击问题的话，那在这里面就是相当于什么？大家还记不记得追击问题啊？

就相当于甲先走二二十步啊甲。先走20步，然后乙再走。这就相当于甲走20步。甲走20步，然后这样的情况是吧？甲先走20步，然后追上他。然后这个时候大家知道t锥。时间就等于什么？等于它的路路程差除以它的速速度差，是不是这样的好路程差除以速度差？这20步二步，因为甲每步是三米嘛，甲每步三米，

甲走20步，相当于是六六十米。啊，相当于是60米，然后速度差，速度差，大家知道。甲一分钟是走五步，那么就可以得到甲的速度v甲。v甲v甲，大家知道v甲是一分钟能走多少米，你看甲每步三米，甲一分钟能走五步，甲将来是15米每分钟。然后乙乙我们看看乙的话，

乙的话是每步是五米一分钟走四步，他是20米每分钟。每分钟走20米是吧？然后除以速度差，速度差正好是20-15。是吧，二二减十五，然后这样就得到是十二分钟。啊，12分钟，大家知道，也就是乙要追上甲，需要12分钟，12分钟，大家知道一分钟，

乙是走四步的，一分钟乙走四步。是吧，一分钟就移走四步。好移走四步的话，那么在这里面一分钟移走四步，那12分钟乙就走了48步是吧？所以12分钟乙要走。48步。啊，一个走了48步，这样写好正确答案，就选择d选项啊，它的方法这样写好好，这是它的考试内容，

看是不是懂了？好，如果改成相遇，大家会不会做啊？相遇知道吧？要相遇，比如说呃甲走甲走五五这这个35步。是吧，然后甲甲走35步，然后呢，然后让然后再再返回，让他相遇相遇的话，就看路程和知道吧，就是它的距离，然后除以它的速度相加就行了。

是吧，像这样看它时间就可以写出来好吧，它的这个方法内容。啊，另外这个速度v啊，大家看解析的时候可能有同学看不懂，那速度v速度v为什么要等于这个步长啊？一步的距离乘以它的步频是吧？所以在这里面我给大家进行讲讲。这个是怎么得到的？好吧，得到vv呢？就大家知道v呢？就等于s÷t。对吧，

然后s是什么s代表？每步的距离。每每步的它的它的长度是吧？一步它的长度，然后再乘以什么乘以它走的步数？然后再除以t是吧？就是你每步走多少，然后乘以它的步数代表它的距距离嘛。g然后再除以t大家知道这个步数，除以t就代表是步平，就等于每步的长度。乘以不平。知道吧，就乘以步频就这样意思，懂了吧？

好，这是步频率嘛？频率就是单位时间内你走了多少步？就是步频就这个意思好吧？所以刚才咱们算的能看这个，这个分子就相当于每一步的长乘以步数好，每一步的长度乘以它的步数，然后再除以时间一，然后咱们那刚才设的是一知道吧？t是一，所以说就拿五×3除以个一这个呢是四×5除以个一知道吧？啊，给大家解释一下，在书上呢，它是这样来进行分析的啊，

然后大家理解都是一样的啊，不一样，我们设一个具体值，这样好理解一点，看是不是懂了？好，接下来咱们看第20题，这个题甲两队学生参加夏令营。只有一辆车可以接送甲队学生坐车从学校出发，同时乙队学生开始步行。甲到途中某处，让甲队学生下车步行去营地。乙这个车呢，立即返回，然后接乙队的学生，

并开车到营地。只有两队。学生同时到达。啊，两个学员已知学生步行的速度是四骑车速度是40，空车的速度开的快50。问他们步行的路程与全程的比到底是几比几？啊，这道题的难点就在在这里面，大家把图要画好，知道吧？图画出来，图画出来，剩下就好做了，知道吧？

所以大家一定要先画图。好假设这是学校，然后去营地，这是学校。叫做a点吧好，这是营地。呃，营地角是b点好吧，营地b点。然后甲呢，先坐车呢，从学校出发那乙呢开始步行。好，那么咱们看甲甲的情况，坐车咱们用蓝色的来表示好不好就坐车啊甲？

是坐上车。啊，然后呢？这样的。假假设做到c点。他就下车了。现在然后步行步行都用绿色来表示。啊，步行都是绿色。大家知道咱们有时候说让大家呃低碳生活嘛，尽量绿色出行嘛，绿色出出行是吧？绿色出行就步行是吧？然后绿色啊，所以绿色就步步行走。

然后咱们看乙再看乙。你是先不行。后面再坐车。这样他们同时到同时到好，那么乙只要在d点，只要在d点，然后呢？上了车。啊，地点上车好，那大家发现他是同时到，因为他是同时出发到同时到。对吧，从出发到通道说明两者是公平，对吧？

两个公平说明什么？说明两类学生坐车。和坐车应该是对等的步行跟步行得对等吧。要不然就不公平，对吧？你比如说一个人，他坐车。多另外也能坐坐车少，那这个肯定是坐车多的人肯定先到嘛，这个能想象吧，肯定是先到的。那它肯定是公平的，是不是？所以在这里面，它一定是公平的。

可以说，坐车坐车，它得一样步行跟步行，它得一样，你想想这这个原理得弄清楚。你想想我们想象一下。对不对？好，那这个原理弄清楚以后，那接下来就是AD的长度跟BC的长度应该一样，对不对？好，那接下来咱们看车是怎么走的？车是怎么走的？啊，

车怎么走到车这样呢？从c点这个学生下下车了。啊，下车这个车啊，我们再画一个车的路线。车路线车路线呢？就这样的走走走车呢，就是跟甲是一起走的，走走到这下车以后，然后往回拐，注意车往回拐的时候。乙他没有到地点啊，这个这个点很关键，因为这是动态的过程，你知道吧，

就是车从点开始往回。反的时候乙不是在地点，乙应该在前面某个位置知道吧？乙在前面某个位置，乙可能在这个位置。知道吧，这个位置，然后车它也在走乙，从这个位置它也在走，正好它同时到达这儿，知道吧，所以同时到达这儿。到达地点啊。再强调一下车从c点往回返的时候。缓的时候那么乙是不在d点乙在d前面某个位置？

这样乙在慢慢往前走，车也在往前走，正好哎，他们正好在地点就相遇了，好这样，他说上车上车以后那么这个车在。接着乙一块过来是吧？车接着乙一块过来好这个车，它的这个情况。好，那接下来咱们看这道题找什么等量，很显然就是时间等量呗，实际上时间是相同的呗，时间相同的。这道题它要求比例求比值，

我们可以取特值，对吧？求比值取特值，我们可以设全程是。啊，全称是s或者x都行是吧？全程。然后这个步行假设就设为一好吧，步行就设为一这个简单。步行设为一，再加上步行。不行的话就相当于是AD和BC相等都设为一，所以取个特值设为一。好，这样就比的时候就好比一点好，

那接下来咱们再看找什么等量关系，找它的这个时间等量是吧？时间等量因为。那么，它同时到达嘛？同时到达，不管是甲乙还是车，都是同时到达营地了。对不对？所以接下来我们看同时到达。同道的话，那么甲从a到b用的时间怎么写？甲从a到b用的时间？甲从a到b用的时间就是AC的长度？AC长度是不是就x- 1啊？

就AC长就x- 1。s- 1除以甲坐车的速度是40。然后加上呃甲呢，从c点到营地c点到营地是步行步行呢，路程是一路程是一，然后速度呢是四。负四就等于。你看这个时候，这我们再看再看，然后这时候呢，就这个甲从a到b所用的时间，然后接下来按照车来看好吧，再按照车。车的话就是AC，它所用的时间AC所用的时间就是x- 1÷40再加上。

啊，再加上车空车从c到d要返回是吧？所以车是这样的，先走到c点，然后再空车返回，然后再。走到b点是这样的是吧？所以车从a到c其实跟甲时间是一样的，这两个可以不用管它，知道吧？不用管它，然后接下来车是空车，走CD CD的长度是多长呢？CD的长度。这个长度就是x- 2，

因为全程是是x嘛，减掉这个一再减掉这个一得到x- 2就写好了。好x- 2再加上x- 2，然后除以一个空车的速度是50。然后再加上再加上然后他再接上乙再过来接接上乙再过来再走的这个长度是x- 1。再除以一个40。对吧？i- 1÷40。然后这两者正好抵消掉是吧？这两者正好就。抵消掉，抵消掉，那这个s就很好解好吧s很好解，两边同时乘一个分母把s给它解出来，得到s就等于七。

I=7这个写写出来了，好I=7那么答案就可以得到它的距离就是一比七好吧，这个答案就选择a选项。好看，这个题是不是懂了？所以这道题大家呢？在做题的时候，我们要掌握它的基本方法，掌握它基本方法就是。呃，求解的时候，我们要把图画好，然后再找时间等量，关键点一定要知道步行。路程长度和坐车路程长度，

它是一样的，要把这个点要弄清楚，看各位同学是不是听懂了，要把这个知识点。弄明白这样的话，根据实验劣等量劣等量，然后解出x，然后就可以写出它的结果，这是它的做题方法和思路。下面我们来看题型五三个对象的路程问题。就三个人或多个人，他的路程。好，那么我们又具体可以细分为第一个考试方向，有两人方向相同，

另外一个人反向。是吧，两人是同向，还有一个人反向，我们根据题目呢，首先进行画图，然后找到三人之间的路程的等量关系。像有时候也可以用比例法来进行做。啊，所以说这个等量关系啊，其实整个路程问题，它等量关系就要么就找路程等量，要么找时间等量是吧？速度不直接做大等量，速度做中间的小等量。

知道吧，所以说这个路程或者时间等量都行。好，那接下来咱们看一下21题，这个题甲乙丙三个人。然后每分钟啊，分别行68，七十点五和72。然后现在甲乙从a去b丙呢，是从b去a三人同时出发。好，那我们来画一个图。画一图那么假如这是a，这个是b。好，

那么甲乙从a去b好，这是甲乙。加以从a到b。丙呢，是从b到a。丙呢，是从b到a，虽然同时出发。啊丙和乙相遇后，又过两分钟与丙相遇。啊啊，又与甲相遇是吧？丙和乙相遇，因为甲的速度呢是68。乙的速度是七十二五，

丙的速度是72。所以乙和丙是先相遇，比如说乙和丙先相遇点呢，是在这个c点。啊，假如在c点，那么先相遇。啊c点啊，就在先相遇就乙和丙他相遇了。好相应的。好，那么乙和丙相遇的时候假设。甲在甲在这个地点。甲在地点啊，就是乙和丙相遇时候甲在地点。

接下来，丙再继续往前走，甲也继续往前走。他们假设在e点。是一点是。甲和。b相遇了。是吧，甲丙相遇，这能看懂吧？就是乙和丙先相遇在c点，两人就相遇了，相遇的话时候，那么这时候。假的假的地点。

假设在d地点。d点，然后这时候呢甲继续从d点走，丙呢继续从c点走，哎走走走到e点，那么这是甲丙相遇。好吧，所以c点是。乙丙相遇。这个e点是甲丙相遇。啊，减少小米好这个时间呢，实际上是两分钟，大家可以发现CD的长度CD上单独看CD，这一段儿能不能看到它正好就是。

甲跟丙共同走两分钟的距离，所以CD的长度大家可以看到CD的长度。正好就等于v甲加上v丙乘以个两分钟。对吧，所以v甲是68+v丙乘以个两分钟。这样呢，280米。啊，零点80米。好，那这个280米。正好就是乙走c点甲走d点，那么这时候它的时间。有个差值产生的这个路路程是吧？所以在这里面我们就可以看出这个正好是乙比甲多走的。

这个路程多的路程就要280，所以CD还可以把它写成。v1-v加乘以个t是吧？乘乘以个t这能看懂吧？好v乙减v甲v乙是七十点五减掉68，正好是二点五就等于二点五t，正好等于280。好，零点八。然后这样就可以写出它的数值好吧，然后这个t就等于112就求出来了。减112。好，这个t=112正好就是甲从a走c走到c的时间，甲从a走到c的时间，

其实就是丙从b走到c的时间，也是他们两人相遇的时间，乙丙相遇时间正好112。这呢，就选择c选项，当然就求解出来了。好，那这是掌握CD这一段儿，这是一个方法，当然可能有同学一开始没想到这个方法，没想到这个方法，另外一个方法大家做的也行。另一个方法是这样的，根据相遇，那么也就说这两分钟是什么情况？

两分钟就是先设个路程s啊。就s÷v乙加v丙。和s÷v甲加v丙。这两者相差啊，一个两分钟知道吧，相差两分钟，这s÷v乙加v丙正好就是乙丙相遇所用的时间。然后这个正好是甲丙相遇所用的时间，知道吧，所以在这里面正好相差一个两分钟。啊，相差两两分钟。好，这样的话就可以把s给它解出来，懂了吧？

所以说我们这个就自己去解决v乙加v丙呃v乙。v乙的话就是七十点五加上丙七十点五。加上一个72，加上二就等于一个s。除以一个v甲加v丙v甲是68，加上v丙68+72。啊六八+72。好，这样s就可以求解出来。好is解出来s，解出来以后，那么它俩求乙丙相应的时间t乙丙相应时间就等于s÷v乙加v丙。这个答案算算也等于112，答案是一样的好吧，就这样做法都OK好看，

这个是不是懂了啊？就大家呢，要有分析和思考，看是不是明白了？好，这个题就是一般法，大家能想到方法怎么做？还有呢啊，根据CD的这个长度解的方法怎么做？看是不是明白了？好，接下来咱们看三个对象同向的时候。那那同样只要时间相同都可以用比例法做好吧，时间相同。实际上，

它路程比都等于它速度比啊，就是s甲比s乙比上s丙。都等于v加比v乙比上v丙。好吧，所以它这个都可以去比啊，所以甲比乙比丙啊，时间只要相等，那路程比就等于它速度比好吧，这是比例法。接下来咱们看22题，这个题甲丙三人从起点同时从起点出发进行一千米的自行车比赛，甲的各自速度保持不变。那画一个图。假设是一千米。然后当甲距终点甲到终点时，

乙还有。还有40米丙，还有64米是吧？那通过这个就可以得到什么？得到v甲比v乙比上v丙。好甲走一千米的时候就甲到终点嘛，甲走一千米的时候乙离终点还有40米，还有40米就相当于他走了960。这个比例重点还是64，64米就得到是900，936是吧？936。因为他最后只问乙和丙的情况，所以这个甲就不用管他了，你直接直接看乙跟丙就行了好吧，

直接看乙跟丙，所以说这个甲呢就可以不用写。只有v1比VB。这等于960比上个九三六。然后两边大家都可以约掉一个九啊，约掉九。啊，约掉九，然后再约掉一个二是吧？所以约可以约掉这个值约掉这个值以后得到四四十。比上一个啊，39。40比39。好，这样写出来视频现场，

他是问乙到达终点的丙距终点多少米？咱们先不求丙距终点多少米？咱看如果乙要跑一千米的时候，那么。丙呢，跑的是多少？丙呢，跑的是吧？丙呢，跑的是是吧？所以这里面这个我们就可以解出来。啊s就可以求解出来。x又得到975米。啊975米975米，让它离这个终点啊，

离这个终点还有25米。25米这样就行了，或者说你看这个1000正好是25呃，1000正好对应四份儿，每份儿是25米。他走了39份儿，还差一份儿，差一份儿是25米，这样也可以好吧，也可以好，这样答应该选择b选项啊。好看，这个是不是懂了，所以这个找它的比例关系，其实只要时间相同，

那么它这个速度比都等于路程比用这个比例来进行分析和思考，看是不是明白了？好，接下来咱们再看这个题，一辆客车货车小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向。匀速行驶。好，那这道题主要考点是考察路路程。啊，路程问题。啊，路程里面也是追及问题。追问台首先要知道追及的公式啊，追公式，比如说他们一开始有个路程差。

是吧，有个路程上，比如说甲这是乙，然后到这儿是是追上了是吧？所以说它一开始有个差距。这是差距好，这个差距就等于它的速度差。v甲减v乙，然后再乘以追及时间t，所以要知道有个追及公式啊。有注意公式，就是甲乙要追上它。要追上要追上它的话，那么追击公式就是它一开始两人有个差距，这差距就等于甲减乙，

然后再乘以t。就行了好吧，它的方法。然后接下来咱们画一下图啊，路程呢，一定要画图，画图找等量就好找了。它在一条笔直的公路上啊，这条公路是一个笔直的。在某一时刻，客车在前啊，这个客车是在这儿。小轿车，小小轿车，这是小小轿车。

在后这个货车正好在。在它俩中中间。货货车这样在客车和小轿车正中间。是吧，这样在它正中间。然后过了十分钟，那么。小轿车追上了货车啊，就是过了十分钟，小轿车追上了货车。啊，又过了五分钟，那么小小轿车又追上了客车，问再过t分钟。他货车追上客车，

问t等于几，所以它这是又和在啊，不是从一开始算，咱们最好就从一开始算。所以这个五分钟要从一开始算，就应该15分钟。就从这一时刻开始啊，就从这一时刻开始掐表掐表，前面过了十分钟，又过五分钟，相当过15分钟。好，大家注意，它正中间正中间，它的距离是一样的。

当然，你可以设这个距离是s，这个距离是s的话，最后s被抵消掉了，为了简单也可以设一个特值。那大家发现这有十这15，注意这个五分钟一定要把它变成十+5分钟啊，就15分钟好，那15分钟的话，那么有十有15你就设一个十和15的最小公倍数30。如果设这个距离就30，这样就简单。考试后用特征法做比较简单。好，这个就比较方便是吧？

简单一些。然后接下来咱们看一下第一个第一个式子，第一个式子就是。十分钟的时候，小轿车追上了货车。小轿车追上货车好，那么它就是套这公式，所以第一个公式就30。等一个v轿车。减为货车，然后再乘以时间十分钟是吧？这样的。好，那接下来我们看它又过了五分钟。过了五分钟，

那么小轿车追上了。客车小轿车追上了客车。好注意小轿车跟客车间距是。60啊，因为两个是60，所以v轿车。好v轿车减去V客车。正好就是15分钟。好，那就这样，求什么？求货车要追上。客车货车要追上客车就相当于是30，就等于v货。减去微克，

然后再乘以个t就行了好吧，那接下来咱们根据前两个式把这个这个东西先求求。其实就可以得到什么，得到v轿车。减去v或。这样等于三是吧，然后v轿车。减去V客车。这样就等于四。是，然后让这两个相减也行，这两个相减可以得到啊，货车和客车正好差值正好为一好吧，所以通过这两个啊，通过这两个可以做一下减法。

做一下减法，叫第二式减第一个式，第二式减第一个式可以得到v货车减V客车。要等于一。好，这样的好吧，让第二式减第一式，这样为一为一，那那这个要为一为一的时候，那这个这个为一嘛，就可以推出t，这样等于30。t=30分钟，所以30分钟是从这个时刻开始算，30分钟要减掉，

它已经用过的时间用，果是看用了十分钟，又用了五分钟。用了15分钟，所以我们说一下相相当于再过这个再的意思就是再过。再过30-10-5就得了15分钟。就行了是吧？再过15分钟这呢，应该选择c选项答案就求解出来了，好，这是它的方法思路，所以大家记住这个追击的图，大家会画追击图，然后这一块儿我们就可以写出它的值。这个值求出来答案就可以写好。

好，这是它做题方法和思路。所以考试有的题呢啊，这个变量不影响答案，我们可以取一些特质来进行分析，这样更简单一些。好，那接下来咱们看一下呃，流水的行船问题是吧？就水中行船问题，从其他问题就是如果要顺水顺水就船速和水速一样。是吧，就相当于同向同向的话，就是相当于加v顺，然后v逆的话，

就等于船速减水速。好，如果要知道这个进水，如果知道顺水流速度和逆流速度，反求这个船的速度。v次方就等于v顺加v逆除以二，如果要求水速就是v顺减v逆除以二好吧，就相当于是。通过前两个可以解方程组解出它，而且特别给大家进行提示一下，如果出现水中掉了物体，这个物体是漂浮的啊，是用顺水。飘比如掉一个木块儿呀，木板儿呀，

或者掉一个水壶啊，它能顺水漂的从落水。到发现这个物体掉了，与从发现到找到它的时间呢是相同的好吧，也就说这时候呢，简直它与水是无关。与水的无关，其实这个东西大家可以想象，在地球上大家知道，在咱地球大家知道，地球在转，比如说你一个物体掉了，或者说想象一个火车为什么跟水是无关，知道吧？你想一个火车，

你就明白了。这个火车在在走，火车在走相当水是在在流流流动的，对吧？火车在走，它水是在流流动。假如这是一个地面儿。啊，这是地面。好，这些火车它它在走向了水在流动，然后人呢？在车厢里头。人在车厢里面，下面比如走到某个位置啊，

这地方掉了一个木板。这个木板这个木板就掉在火石上了。掉火车上这时候掉的时候人没发现，没发现人还在往前走啊，走到这儿发现这个木板丢了，发现木板丢了，赶紧回来找。赶紧回来找，所以这个发现木板丢了，赶紧回来找，回来找，哎，正好呢，找个大家发现，如果在火车里面从这走到这，

用了十分钟。那反过来从这走，走回来也十分钟，知道吧，所以你可以发现它跟这个时间。跟这个手速没有关系，你火车它走的快点儿，走的慢一点儿，在车厢里面他就坐过火车，在车厢里面从那走到这儿的时间跟他走回来时间是一样的，对吧？一样，但是要计算，等它找到这个木板时，然后它。

它离开那个掉落点有多远，这时候你要看地面了。大家学过刻舟求剑这个。啊，这个这个课文儿是吧？所以大家知道，然后这块儿就是。它掉落点在地面上，做个刻度这样的，然后这个火车呢，它其实就是跑了，知道吧，火车它它它慢慢慢就往往前跑了。也就说也就说找到这个木板儿的时候，哎，

相对于地面儿来说，它已经呃有一段儿距离了是吧？它有一段儿。距离了，如果问它这个木板儿，它有多远，这个时候拿这个先求时间，因为时间跟这是无无关，先把时间求出来，求出来后，然后看它。是那个掉落点它抛飘离它躲多远，它找到的时候木板从这已经飘到这来了。是吧，飘着因为为什么飘着因为木板呢？

它从这到这是按照火车的速度，按照水的速度在飘是吧？在飘，所以要求这距离的时候按照这个来分析就可以了。好，接下来咱们看24题，这个题一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺流。啊，这个甲到乙。这是射钮。反过来一到甲就逆流。好移到甲就是逆流好，已知船在静止中的速度是八，船在静止中的速度是八。

这个传数是八。平时逆逆逆行和顺流所动时间之比是二比一，大家注意路程相同。时间比就等于速度的反比是吧？时间比速度的反比我们可以设水速为x。水速为x好，这个顺行和逆行的时间比正好等于它速度反比，知道吧？反比也就说。八加x比上八减s。这样等于二比一。这样x又给解出来，就等于三分之八。那s解就等于三分之八。好，

这水速就可以写出来，好水速写某天强暴雨水速为原来两倍往返，共有九小时问甲两港距离多少？我们可以设甲乙两杆的距离呃，那么是s。然后继续s好，那么它实际上就s除以一个呃八加上三分之十六，因为它的水速是原来两倍。水速原来是三分之八，现在变成三分之十六了，这是顺流，然后再加上逆流八减去三分之十六。这样等于九小时。是吧，这样等于九小时，

然后这s就可以解出来，就等于20。s解它就等于20，这样就求出来了。这个呢，就选择的是。a选项好，这就写出来了好吧，就根据第一个条件，大家先把水速解出来，水速我们解的是呃，如果路程相同，它的速度之比就等于时间的反比。啊，这样的。

然后所有解出来以后，然后再看它顺流的时间加逆流时间，就等于总时间，然后就可以写出它的值，看是不懂了。好，那接下来咱们看一下25题，这个题这道题是一个重新判断题啊，我们先把题读一读，某研发者在河中匀速。驾艇逆流而上于桥a下面，将水壶呢遗失，被水冲走。继续往前走20分钟才发现，水壶丢丢失，

于是立即掉头寻找水壶。好那么已知水流速度三千米小时，那么可以确定游玩者距桥a下游两千米的地方？啊，可以找到水壶好吧，那这道题又跟水壶跑了多远？好，那刚才咱们讲了，如果这个船上掉下来物体，它跟水速是没有关系的，这个时间跟什么没关系啊，时间跟水速没有关系。好，那这个是一个桥a好吧，叫叫叫这这这是河上的一个桥啊，

这个桥。啊，这个桥，然后呢？这个水流呢？假如是是往往往这边流。啊，这是水流。往这边流。左右往这边儿流，然后他说这个这个船呢，它是逆流而上是吧？逆流而上，逆流而上，假如假如这是一条船儿。

这条船逆流走。他走到这个桥a甲，这是一个大桥，桥a的时候啊，那么这块水壶丢了。丢了丢了，它继续前行，前行前行了20分钟啊，这这地方走了20分钟。走了20分钟，然后走了20分钟，然后才发现一开始丢的时候他还没发现，还不知道好那么丢了这个。这走了二分钟，发现发现，

然后再赶紧回来追，赶紧回来追。其实其实大家可以发现，调音是是一个多余条件，因为刚才讲了，他回来找到这个水壶的时间还是20分钟。知道吧，还二还二分钟，所以条一其实给不给他他他都没事儿，其实我们都可以求出，因为刚才咱们讲了在求这个水壶的时候，我们可以把它这个和看成一个火车。所以它这个船从这从点点到这个边上上从点这是点。从a走到b的时间跟从b走到a的时间，它一样20分钟，

知道吧？从a走到b和从b走到a，它时间都是都是20分钟。啊，因为在火车里面嘛，在火车里面它这样的。懂了吧好，那有同学说呃，那这个这个从a走到b不是这个逆流吗？从b走到a不是顺流吗？为什么这个时间一样呢？如果你要那样想的话，那那那这样如果那样想啊，那样想的距离就不一样了是吧，如果你要那样想的距离就不能一样。

比如说到去了逆流，它走的短到注意就不是到了，因为这个水壶它已经被冲跑了。这个城堡就到点了，到点是吧？到的一个位置，虽然它返回是。顺流速度快，但是这个水壶离它也远，知道吧？水壶离它也远，如果要那样想，顺流逆流的话，那这个这个点它会发生变化。是吧，

如果我们刚才讲的假设点不变的情况下，就相当看成一个火车点不变的情况下，到b的速度和到的速度是一样的。你像随时间一样，知道吧，因为它都在火车里头走，就这时候就不看水了。好，所以调一调一就相当于水壶总共飘了40分钟。所以我飘了40分钟。啊，水壶飘40分钟，那就说明什么意思呢？说明它这个那水壶的速度就等于水的速度，知道吧？

三×1个。四十分钟可以写成三分之二小时。乘以三分之二小时，这个等于两公里。所以题号一是充分的。条件儿，该艇在船在水中的速度是九，其实跟这个没有关系啊，跟这个九，比如这道题改成九，改成十没有关系，因为它只要这个是20分钟，这个回来它一定也20分钟，还是40分钟？要不信我给大家推一下好吧，

给大家推导一下啊，推导一下推导也通过这个也证明一下为什么从a到b的时间和从b到a的时间是一样的，看好了。然后假设它船在进程的速度是九千米，九千米呢，可以求出AB的距距离。AB距离的话AB距离的话就等于。因为它逆流嘛，逆流就是船速减水速。乘以个二分钟，它才才发现嘛，二二分二分钟是三分之一小时。就等于六乘以三分之一，就等于两公里。比如说从a到b，

它走了。两两公里。然后从到注意这个就就就不再了，因为水壶它被冲跑了，水壶它有可能被冲到点了。左右冲到c点，然后这个要算到c点才找到，这时候你不能看到a了是吧？如果要以地面作为参照物的话啊，地面作为参照物。然后到c点了，最后大家发现这个那么BC的长度是等于多少BC的长度？b异常的话，我们看总共要经历。建立什么内容啊BC的长度？

b3咱们假设一个t分钟吧，假设一个t分钟就船从b走到c要用t分钟。传承b走到c用t分钟，传承b走到c要用t分钟的话，那将来是这船是顺流是吧顺流？啊顺流的话，速度是九+3。乘以t。就等于。的路程，再加上它飘的路程的路程是两公里，再加上它飘，它飘了多远？飘多远？这个水雾飘了一个20分钟，

再加一个t分钟。水的呃，这个速度是三。三×1个。乘以一个，这个是二十分钟，再加t分钟，二十分钟就要加上三分之一小时了。再加t，这都按照小时吧好，这这个能懂吧？这个相当于是的长度怎么写？长度相当于是好，那这个船逆流走这么长，然后再拐回来。

是吧，所以说这个呢，就像船从到它的速度是九+3，然后再乘以船走的小时。好，这是bcb又等于什么？又等于这个船走了20分钟，走了20分钟就是两公里，走了20分钟就是两公里。走20分钟就两公里。啊，两公里，然后呢，再加上这个水壶飘的一段距离，飘到距离怎么算距离就拿速度乘以时间，

时间就是飘了20分钟，再加上一个t。是吧，再加一个t20分钟，把它变成小时就可以得到这个结果，这个得到是12t。等于二+1+3t。好，那这个t就可以解出来，对吧？t就可以解t等于三分之一。小时t点30小时，那说明这个。这个是不是还是20分钟啊？是不是就证明了它一样？

是不是证明就一样？对不对？就这样就OK了好，所以说让水壶还是飘了40分钟，还跟上面一样。当然，以后就不用再震了啊，以后就不要再震了，好，所以条件二它也充分建议大家就选择d选项。好，这个物体它在水上运动的特征啊，要会分析和思考。好，接下来咱们看一下跑圈儿问题，

看一下跑圈儿。好像问题就同向时，它就看路程差是吧？同向时看路，反向时看路程和。然后起点相遇就找速度，比他都回到起点相遇都回到起点相遇，每人跑都整整数圈儿，知道吧，然后不同起点就第一次相遇和追及呢，当成一个直线型的。啊，当然在第一次相遇完后，后面开始变成同起点的了是吧？后面就开始变成同起点的跑圈儿问题。

知道吧好，这是它的内容。下面我们来看这个题，这个题主要考点是考察跑圈儿问题，跑圈儿问题一定要看它的方向是关键点的。所以说我们看如果同向，就看它的路程差。好路程差就等于一个相遇次数乘以一圈的长度。本相遇次数。啊乘以它的周长。啊，比如说它路程差啊，假设是三千米。然后它周长是500米，这样就可以算出它相遇六次啊，

这样的所以这样同向就看它路程差。温差和它一圈儿长度，然后这样就可以正好两者相应的次数，然后咱们再看一下反向。白天的话，主要看它路程和。好路程和这样就等于。相遇次数乘以它的周长。跟上一圈长度啊，注意看两人，比如说两人总共他走了三千米。然后看它等于它相遇次数。啊，然后乘以它周长，比如说周长是500，

这个算出它们两者相距的次数。啊，这是它的这个思路好，那接下来咱们来看一下这个题，这个题我们可以看到它两人是同时反向。从同一起点a出发且甲跑11米的时间，乙只能跑八米啊，那这是他的这个方法。啊，那我们来看一下，画一个图。大家画个图来进行分析思考。好，这个图就画好了。然后接下来我们来看一下，

两人从同时同一点出发，然后呢，且甲跑11米时间，他反向比如甲朝这跑。啊乙朝这儿跑啊，这是甲和乙它的这个情况。啊，那当甲恰好在a点第二次与乙相遇啊，那么这个是在a点起点相遇。好，那么七点相遇，说明每人什么问题啊，都回到起点，每人跑都是整数圈儿，所以大家记住一个特征。

啊，然后起点相应，每天都跑整数圈啊，然后起点。相邻不管是同向还是反向啊，每人都是跑整数圈儿。好，它的方法每人跑整数圈儿。好，这是它的这个知识点好，那这时候我们可以发现它的甲。和乙因为它时间有相同，因为它同时出发到同时回到起点，所以说这里面用了很多这个比例关系。好，

那么时间呢？是相同的时间，相同的话，它的路程比就等于它的圈儿数比。又等于它的速度比。知道吧，所以路程比等于速度比，而且每周跑整个圈儿又等于它的圈儿数比。啊，这样的好，那接下来咱们看一下啊v甲比v乙，因为他说甲跑11米的时间，乙只能跑八米，这样就给到了他们两个速度。啊，

速度速度的话，那么甲的速度肯定要快。等于11比八。啊，这样的话，我们呢就可以写出它的数式子啊，所以大家呢就可以得到它的这个方法。有甲跑11米啊，那么乙只能跑八米。好，通过这个我们就可以得到，那么就当甲跑11圈儿的时候，那回到了a点，所以n=11。啊n1=8的时候，

然后这时候呢，他正好第一次回到了a点。当然，它在图中也相遇过。这时候，图中相遇，咱不用管它啊，这是它回到了a点。当它第二次在a点相遇的时候，说明甲。啊，应该跑11×2就等于22圈儿啊，乙就等于八×2就等于16圈儿。好，这是啊，

那么甲跑的圈儿数22圈儿，乙跑的圈儿数就16圈儿。好，那这是它跑的这个圈儿数就可以写出来，如果这里要改成两人在a点第三次相遇，第三相遇，那这地方就乘以三就行了啊。乘以个三就可以得到结果，然后这地方也乘以三，那就可以得到它的数值好，那就是它的这个方法，然后接下来它算上此。次相遇，然后两人一共相遇多少次？大家想想两人一共相遇多少次？

因为它反向反向看它路程和是多少圈儿？啊，路程和啊，两人的路程和n甲加n乙。n加加一。好，那这时候正好等于22+16。这得38次啊，38次，所以总共呢，它其实在中间它也相应的相应38次，如果这条改成那么同向的话。啊，改同向的话，那么这道题大家注意呢啊，

这个圈儿数之比还是跟这个是一样的好吧，如果改成同向还是甲跑22圈儿？乙跑15圈儿，两人第二次在a点相遇，这个是一样的，但是如果在他在途中相遇的次数，若赶同向，就看这个两人的圈儿数差值是多少圈儿，知道吧？两人相差。就22-16那相差16圈儿，看它差值就可以了好吧，得到差值好，这是它的这个方法思路，看是不是懂了啊？

所以说记住同向，就看它的差，反向，就看它的和。然后只要是他们在起点相遇，每人跑都是整数圈儿，每人跑都是整数圈儿，然后在这里面大家呢，要知道这样的公式，不管是同向反向啊。它只要都回到起点，所以每人跑都是整数圈儿，它的路程之比就等于圈儿数之比，而路程之比又等于它速度之比，因为它时间一样。

啊，用通过这个来进行分析和思考，就可以得到答案，看大家是不是明白了？

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