012.24-顿悟-专项二-题型2-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:09:59

好，那接下来咱们看题二变速路程问题，速度发生变化。素方变量问题，我们先把每个方法它的原理给大家进行强调清楚，大家一定要知道各方法，它的基本原理。基本什么叫基本原理？就是说来龙去脉什么？它是建立在什么理论基础之上？得到的结果就它怎么来源的？它的原理是什么？好，那第一个第一个就方组法就相当于是根据路程找等量，那么在这里面大家注意，

这个是同一路程变速的问题。同一路程，同一路程编程问题，我给大家进行画一个示意图，比如说某一段。比如说它前面是不变的。虽然不变的，只要后面这块发生了变化。后面这段发生变化，咱们就研究什么变化的这块，所以咱们这个公式里面ss不是全程的s啊，不是全程的s。是这块发生变化的s懂了吧？就这段它发生变化的s。这个s它发生变化的情况。

知道吧，所以说这个s就代表变化了，前面不变了，咱们就不再研究了，好那么原来是v1对应的时间t1，现在是v2对应的时间t2。好给它这些式子是吧？比如说同样这段路程以速度v1轴，它用的时间是t1以速度v2轴，它用的时间是t2。啊，得到它的结果，好来看一下第一个方法。你看方程组法是代表什么？方程组法就代表是路程等量。

啊，路程等量，因为v×t一等于这一段的s再强调一下s不是全程的s，是变化这一段的s。s=v 1t一，si=v 2t二。啊vit 2好，那这是方程组法是吧？就列个方程，然后去解解。然后第二个方法，第二个方法就比例法。比如说大家知道，既然s是相同的s是相同的。而如果相同的话，

那么他的时间之比就等于速度成反比啊，所以说在这里面我们就可以找到这个t1。和t2它的比值，这样等于v2比上v1是吧？v2比v1然后根据这个t时间的份数来分析。思考好吧，根据时间分数，比如说时间他少用了几小时是吧？那么他对应几份，然后根据份数来分析。根据时间。他的份数来进行分析和思考好，那这是他的这个方法啊，根据时间他变化的份数。来分析，

求解。好，第三个就是公式法法宝，公式法就相当于时差法时间的差值。时间差值，因为大家知道路程相同，如果速度不一样的话，它产生时间肯定是不一样的是吧？时间不一样，所以在这里面大家注意s÷v一。它有个时间s÷v二，也有个时间就等于t1-t二，应当知道s÷v一得到t1s÷v二就得到t2。是吧，所以s÷v一得到ts÷v二就得到t2。

好，那么这是它的这个式好，这就是它的公式，这个公式是一个原始公式，原始公式的话，解的时候为了方便，咱把这个变成一个成品。变成一个现成的公式，现成那么t1-t二，我们可以把它简写成delta t。解析成delta t对吧？反正delta t就代表两个时间的差值。拆的话，你一般用大的减小的就行了，然后接下来我们来看一下呃，

这个两边可以同时乘以分母对吧？遇到分子方程，两边同时乘以分母。或者先通风也行，通风通风就v1v2。上面有s乘以v二减s乘以v一等于个德尔塔t。是吧，然后把分母v一v二给乘过来，然后分子可以提出一个s，提出s以后剩的v二减v一v二减v一可以把它写成s乘以do ttav。是吧v2-v一可以把它写成s乘以德尔塔v，然后v1v2乘过来。这样写好了是吧？所以v1v2乘过来，这样写好了。

所以vy乘以德尔塔t这个写出来了，是不是然后这它的这个式和结果看看这个是不是懂了？好，这是时间差的方法，看是不明白了，叫时差法它的求解内容看懂了没有？好，那这个实际上呢？s乘以德尔塔v=v 1v二乘以德尔塔t呃，如果记不住这个公式，把原始的理论呃原理记清楚也行，好吧，这第三个。第四个就是面积法。好，

第四个是面积法。另外，大家知道这个vt图。位图它的面积就代表是它的路程，这个咱们在前面讲的时候给大家提到过是吧？好，那在这里面啊，就是这是vt图。啊v地图好，比如说v1对应的就是t1。然后vr。就是t2。啊，因为咱们都是匀速运动啊，所以它都是矩形，

这些矩形面积都就是相等的，对吧？矩形面积矩形面积相等，咱们讲了，如果这个红色的这个矩形。和蓝色矩形面积要相等好，那说明啊，这一块共同的部分是一样的，共同部分是一样公布是一样，那说明这个空白的应该是一样的。空白一样，空白一样的话，大家可以发现这个v1-v二乘以个t1。得到v1-v二乘以个t1。等于t2-t一乘以个v2是吧？

t2-t一。乘以个v2就等于这一块空白的面积，就等于t2-t一。乘以个v2好了，那这是它的这个vt图列一个等量好吧，用这个面积的方法啊，面积方法画图法。第五个就假设法。那想办法对大家要求比较高，想办法有时候可以设一些特值是吧，然后取一些特值。分析啊，或者说什么呢？或者说咱们呢，就假设速度不变的话，

应该怎么办是吧？假设速度不变，或者说。然后比如说你的速度呃，是原来的一点五倍，假设速度不是原来一点五倍，它路程应该怎么样是吧？或者假设。速度不变。十好，那么它的路程。情况应该什么样的是吧？假如你速度没有变，没有没有变化，那么你路程应该走多少或者时间情况应该什么样子好吧？

好，那这是它的这个几个方法，但这几个方法上有的题呢，它适合于角度不同，知道吧，所以有的题可能某一个方法更适合一点。另外，可能有的题呢，可以多用多个方法来做好吧，多个方法，这也需要大家呢，去积累一些经验好吧，多做题，那积累经验，这样题就好做了。

好，那接下来咱们看一下例12这个题例，12这个题我们把这几个方法都给大家进行分析一下好不好好先画图？一辆车由甲开往乙。啊，一辆车有甲开往乙，如果把速度提高20%，可以比原电提前一个小时到达。也就是说，整个路程如果一个是v，一个是t，一个是一点二v，一个是t减，一是吧？好，

这样的，这是整个的情况。啊，如果按照原速行驶100千米后第二个图。第二图按照元素行驶100千米以后比较焦，这是100千米。好再将速度提高30%，也可以比原点实验提前一小时到达啊啊，也就说这个是v。啊，这个是t好，那这一块就是一点三v啊，这个就是t- 1，当然这两个t不是同一个t了。这个t代表原来走全程的t这个t呢，

是后面这段t假如这这个是a点。就从a点到乙这段，它的用的t好吧，用的t。好，那么如果要列方程做的话，那么在这里面方法一，我们看方方程的话，就根据路程找等量。用到的那当然，这个要复杂了，用到怎样第一个那么甲乙的路程s就等于个vt也等于个一点二v乘以个t- 1。是吧，好，这是第一个方程，

当然第一个方程把这个v给它约掉，约掉以后那么就可以把这个t给解出来是吧？这个也好解。然后第二个第二就是s- 600。是吧，然后1 s- 100，因为它它这个这个有100千米啊，100千米后面这块发生了变化。后面发生变化，那发生变化，然后咱们这个为了区分，咱用t1来表示吧t1表示，要不然这两个t容易混淆。是吧，所以相当于s- 100。

s减到100，s减到100后，那接下来呢？就等于什么？等于v×t一。还等于一点三v。乘以一个t1-1是吧？一点三v好，那这个v就可以把它约掉，约掉就可以把t1给它解出来，上面可以把t给它解出来。啊t给它解t，因为这个呢，正好是一点二。一点二一点二的话，

那么t就可以算出来是六是吧六啊t呢？这个上面写的t就等于六。啊t=6那么下面这个也可以把它解出来，下面这个也可以把它求解出来，也可以把这个t给它解出来。好，那么这个t解出来以后那么就可以算算一下，那这个v的值了是吧？因为这两s它是相等的，知道吧？这个这个相等的，所以在这里面大家呢，就可以通过这个呢？就三分之十三。啊，

三分之十三好，那么这t带到里面，然后再再把这个s就等于vt啊s等于vt再带再带，然后再一起，这样的话就比较麻烦一点。是吧，反正总是能解出来的t都知道了，那么这个这个这俩s，然后再关联在一起，那么就可以解出来。好，这是第一个方法，然后方法二就是比例法。比例法适合什么？适合知道它的相对量的变化，

比如说变化百分之多少，这时候可以用比例法，如果比如说把车速每小时提高十公里。或者它绝对量的一个变化，这时候呢，比例法比例是用不了的，或者没法用，知道吧，所以方法就比例法。啊，比例法比例法，大家可以看原来那么他这个时间啊t和t- 1比，正好就等于他的这个。好，那么第一个啊，

第一个咱们画个图好吧，画个图画个图就是t现在。比t原来。应该等于。vv原来比上v，现在是吧v原来比v，现在应该这样提高20%是一点二倍嘛，一点二倍一点二，原来如果速度是五。那现在就变成六了啊，变成六也就说原来比现在正好是五比六对吧？五比六五比六就原来用六份的时间。现在只用五份时间，所以时间可以节省一份是吧？时间它这个节省一份。

就原来是六份，现在只用五份，所以时间节省一份好，这一份正好对应是一小时。比如等于一小时，所以这个t原来就是六小时啊t原来用六小时，现在。那么。用五小时。好，这是第一句话啊，第一句话就可以找到了，然后第二句话那么按照元素行驶，这个100千米咱们再画个图，按照元素行驶100千米。

然后按照元素形成100千米。好，按照原速行驶100千米以后，那么车速提高30%就后面他这个就是提高30%，原来一点三倍是吧？一点三倍，所以说那么t现在。比上t原来。应该一点三倍一点三倍就十比13了。啊，十比13这样的话呃，当然这个13份是后面这一段变化的啊，后面这段变化就红色，这段它变化的。变化的，

所以他原来这段要用13份，现在只用十份，所以他节省三份时间。减s ever，它也是对应一小时。对应一小时好，对应一小时那就可，那就说明那么一份就三分之一小时一份就三分之一小时，原来是十三份，所以原来。就是这一块就是。就红色这段啊，红红色这段红红色这段那么就原来应该三分之十三小时。好，大家知道全程总共是六小时，

全程总共是六小时，然后减掉红色的，原来的时间用了三分之十三。那么现在我们呢，就可以看出它的这个式子是吧？所以在这里面呢，就可以看出它这个这个用六减掉三分之十三，六六就三分之十八，三分之十八减三分之十三就得到三分之五。所以原来就三分之五小时，有三分三分之五小时走了一百千米。是吧，那就可以求出原来速度，如果这里要问原来速度是多少，那就可以求出原来速度v。

v就等于路程除以时间。就等于60是吧？v=60 v=60，那么全程s还是大家知道v知道了，然后全程总共走六小时就等于60×6就得360。啊，这样就求解出来了好吧，这样就算出它答案来了，好这个呢，应该选择c选项好，这是它的做题方法好，这是第二个方法。好吧，用比例法做比例法，它适合于这个比值知道的时候，

你看它时间原来是几份，现在几份是省了几份？是吧，省了几份，这这些省了几份，这样对应几小时，那就知道一份是多少小时一份，知道了，那么原来占了13份，原来是几小时就可以写出来。好吧，这是第二个方法。然后第三个方法，大家可以用这个公式法。那第三方我们可以看一下它的公式法。

公式法呃，公式法的话，那么在这里面第一第一句话，咱们用一下公式好吧，第一句话，这下刚才咱们的公式，我们来把公式来写一下。s德尔塔v就等于v1v2乘以德尔塔t。乘以德尔塔t对吧？好，那么第一个公式，第一个公式s就代表全程了。德尔塔v德尔塔v一个呢？就是。呃v一个一点二v，

这两个v用大的减小的就行了，就零点二v。等于一个是v，一个是一点二v，然后乘以德尔塔t，德尔塔t正好是一小时一小时是吧？一小时。然后第二个第二个的话就是s- 600，再用一下这个公式知道吧，前面呃s- 100，前面100它没有变，没有变就不要用了。所以s- 100。乘以个德尔塔v德尔塔v，一个是v，

一个是一点三v，它的改变量就是零点三v。零点三v这样等于v×1点3v还是一个小时是吧？然后两个方程，两个未知数，我们就可以解出来好吧，解解出来这个s也等于360。啊，一样的啊，这方法三它的做题思路。好，我们来看一下方法，四方法四呢，就是那个面积法，图像法。

面法面法，这道题相当于两个题啊，所以说第一句话是一个题，先把第一句话给弄清楚。第一话那么它路程是s，一个是以v来进行走。他用的就是t是吧，以v来进行走，第二个是以一点二为进行走，用的是t- 1。是吧，然后根据这两个矩形应该是相等的。啊相等的，而且而且这两个矩形相等，我们就可以得到是什么呢啊？

得到得到那这个小矩形，因为中间共用的嘛，共用是相等，不用管它。然后这个矩形这个矩形就拿这个长乘以宽，长乘以宽就零点二v。乘以个t- 1。啊乘以个t- 1。正好等于一个等于这个矩形，这个矩形矩形这个一这个矩形的宽度就是一一×v。就v×1了。是吧啊v×1v×1，然后就可以得到t的值就等于一个六啊t值就等于六好，这是。第一个呃，

第一句话画的矩形。第二句话，第二句话的话，第二句话是什么？第二句话就是把呃100千米之后，然后再画一个，就第二句话就走100千米之后再画啊100千米，这块儿就不用再画了啊。因为100千米前面100千米的速度没变好，那么一个就是什么？一个就是v。一个就是t1。另外一个一点三v。一点三v这个t1-1这一点三v。是吧，

所以第二个我们呢就可以。可以写出来这两个面积，它也是相等的。面也相等，接下来我们就可以写出来，这个面只有零点三v。乘以个t减t一减一，这两个t不一样，然后第二个就属于上面的t是t啊，下面是t一，这两个t不一样的。下面这个局面用一×1个v啊v乘以个一。是吧，因为这段长是一，这个是v好，

那这样大家呢，就可以把这个v给它约掉约掉，然后呢，就可以得到它的数值就得到。t一等于三分之十三。32，然后再列一个等量，再列等量上面这个矩形面积呢，是代表全程下面的矩形面积都代表什么？代表是全程减100千米。所以说再列一个就是vt啊vt跟这个v×t一正好呢，相差一个100千米知道吧，就vt。正好等于乘以t一，再加上个一百千米啊，

一百千米，然后把这个t等于六和t一等于三分之十三带到里面去v就可以求解出来。啊v又可以求出来v呢，得到是60v呢，就求出来了好吧，好v求出来以后那么这样s就可以算出来啊ss用vt来表示就行了s用vt来表示。vtt呢是六然后v呢是60，所以60×6得到360。啊，这样也是可以的好吧，面积法好这道题呃，不能用最后一个假设法，因为这道题就就没法假设了，因为也不用取特值好吧。所以这四个方法给大家进行呃巩固了一遍，

看各位同学是不是掌握住了？好，那接下来咱们看一下这个题。那这题的考点是考察路程问题。考点是考察路程d甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行。八小时后，在c点相遇。如果甲车速度不变，乙车每小时多行五千米。啊且两次还从AB同时出发，相向而行。则相距点距c呢16千米啊，反正只有几个假设了啊，这是如果。

只有如果是吧？好，那问AB两地距离到底是多少？好，那接下来路程问题是每年必考的，而且大家会画图分析。好画画个图做。画图来分析好，那接下来我们来看一下啊，它的图到底如何来进行分析和思考？好甲两车分别从AB两地同时出发，相向而行，这是甲车啊，这是乙车。啊，

甲乙两车从AB两地同时出发，相遇八小时，在c点相遇啊，这个八小时。啊，咱们假如随便画画一个点，这个八小时就在c点相遇了。好，这是第一第一个情况八小时。好，那么如果甲车呢？就不变甲车，还按照原来速度走。那么乙车呢？每小时要走快一点儿，

每小时走快一点儿，那么两车还从AB啊，这个出发则相应点相应点呢，因为乙跑的快了，乙跑的快，那肯定相应点。要在这个位置是吧？因为甲车它没变，甲车还要正常速度走，它没变，那乙车呢？它走的多走多呢，然后这个点呢，就相距16千米。好，

那么如果乙车现在不变，甲车每小时多行五千米，甲车的速度走的快多走。然后还是从AB出发，向上行则距c点呢，是二千米啊，则距这个这是e点。这是二二十千米。好问AB，两地距离到底多少？这个b两地距离值到底是等于几好？那么通过这个题我们来看一下它的答题方法。啊，打印方法。它的距离值。

那这个题大家可以看到一个一个什么情况？啊，本来是八小时，他们在这相相遇的，相遇的好，这是原来这个点。是吧，在c点就相遇了。在八小时。啊，那么就甲走的乙走的八小时就可以了，现在甲的速度还是不变。孩子能走。啊，那么乙每小时多走五千米啊多。

多走五千米，多走千米，他出号这这时候其实c点呢，是这么多。啊，此次是这么多。然后在这里面，大家要找一个这个差量，大家可以看乙的速度没有变化。那乙的速度是没有变化的是吧？由原来乙的速度，它是走到c点。走到c点，现在呢？按乙的速度，

它走到这个点，大家发现那么乙就少走了十六十六千米。对吧，也就少走十十十六千米。它的速度，它没发生变化嘛，是吧？而且大家注意呃，那么AC这段那么那么总共长度什么呃AC的长度？a长等于八倍的v角。是吧，只有AC的长度。啊八倍的v加，因为它都八小时相遇嘛。八小时就相遇了。

对不对？然后这个bz长度是等于八倍的v1。800v一好，这是它的这个数值，那现在呢？它如果乙车每小时多走五千米。然后假设呢，是不变它的相遇实验，我们还设一个t。第二次啊，就是换了以后他相应实验还是一个t。替换那大家知道这个16千米就相当于什么？想想甲少走了15千米，少走了15千米，比如说这个。

v甲乘以TV甲乘以t，这样等于八×v甲减16是吧？然后这个这个t。然后现在呢，就相当于是什么相当于是乙乙它走了一个t嘛乙它它走一个t走一个t在这里面好那么。相当于是。v乙加上，因为它速度提高了五。乘以个t。等于八倍的ve。加上一个16是吧？八倍v+16就是BC的长度，再加16。这样就等于乙的速度提高了五，然后再乘个t就可以了。

是不是啊？来乘以个t那接下来咱们看第三种情况，第三种情况就是如果乙车速度不变，甲车每小时行五五千米。多心五千米，其实大家知道第三个情况，跟第二个情况，它实验t是一样的，因为t都等于什么？都等于总路程。除以两人的速度和是吧？速度和所以说都是v甲加v乙，然后再加上五。只不过第二种情况，这个五呢是是加到v乙身上。

所以它t呢，是不发生变化的第三种情况，这个五呢，只不过加在v甲身身上，把这个甲加五，然后乙车速度没变化，那它的它这个时间t是一样的。对不对？它t都一样，所以在这里面第三种情况就可以这样列了。可以这样列，这样是v加。加上五乘以个t，正好就等于一个八倍的v加，再加上一个20是吧？

再加上一个20这样的。然后这样就写好了，是不是然后这两个那没相减就可以把这个t给它解出来t解出来，剩下就好办了？列v也行，这两个找任何一个都可以，如果列v1的话，就这样的好v1，它乘乘一个t。啊v×t就等于什么？相等于八倍的v1-20是吧？然后因为bc长度正好是八倍的v1，减掉20就等于v1乘以这个t。反正这两个t一样，你用任何一个相减都行，

任何相减都可以好用，这个一相减，这一相减得到是五倍的t，正好就等于36。对吧，所以这五倍t就等于36啊，这样就写出来了，然后t这样就等于一个。七点二啊t又等于七点二好，那t=7点二，那算出来了，那这时候那么甲就可以算出来。甲也可以这样算呀，甲也可以这样算啊，然后正好呢啊t=7点二七点二，

然后把这移过来移过来。就是零点八倍就等于十六零点八倍。就是v加正好等于200。对吧v加就等于200，好v加等于200，那这个就就可以了是吧？甲的速度就可以算出来了。啊，这样就可以写作，它的数值是吧？所以你只要把这个t的值解出来t的值解出来，那后面就好办了，所以在这里面大家呢，就可以得到它的这个方法啊v甲就等于这个20是吧？v1就等于20啊，

这个求解出来好把t=7点二带到带到第一个式子里面去，就带到这个式子里面去。啊t=7点二带到里面去，带到里面去，大家把v讲。正好零点八v加等于16呗v加就等于20，这样写出来了，好v加等于20，那接下来那这个这个就好办了是吧？那么乙的速度，乙的速度也就求解出来了。啊，也是因为t呢，就等于七点二t=t=7点二，然后带到这里面去。

大家在这边就零点二为一等于二二二呃，这个呃，这是七点二嘛，七点二七点零点八零点八=20嘛。然后这个你v1就等于25。好全程就算出来了，全程就是v甲加v乙，然后再乘以八小时嘛，再乘以八小时，这样得到360。啊，得到360这样写好好，这是它的方法，所以说后两个作为一个转化的关键，后两个要知道它的总时间，

相应的时间就等于路程，除以两个速度和。这两个速度和只不过这个五加在v甲身上，还是加在v乙身上，它这个是。分母是一样的，所以它t是一样t一样，所以说所以说我们大家呢，就找一个差值就可以得到答案了，这个呢，就选择360答案就写好了。好在它考试要点360千米，然后在它的做题方法看是不是明白了啊？是不是懂了？好，

接下来咱们看考向二。所以刚才上面那个题就把这四种方法认真的掌握住，它就可以代表相同路程的。同一段路程的变数问题啊，接下来看对不同路程的变数问题，不同的变数问题需要用假设转化的方法找到比例，达到化简的目的。啊，这种方法呢？要画要简单点，当然也可以一般的解法，笨办法笨办法就找这个时间或者找路程的等量，因为速度v不直接做等量啊。啊，一般方法。

一般上就找这个。路程。或者时间等量。好，一般情况至少路程或者时间，他的一个等量情况。找路程或者时间等量，那这个稍微麻烦一点好吧？好，那么如果能用到比例法，这样的话更简单一点啊，比例法来分析更容易点，下面我们来看一下第14题，看一下这个题目。甲乙两人同时从山脚开始爬山，

到达山顶后就立即下山，他们两人下山速度都是各自上山速度的两倍。甲到三点时，乙距三点还有400米。甲回到山脚时，那么乙刚好回到半山腰，好问从山脚到山顶的距离到底是什么好？首先呢，我们来画一个图。好，那假如说这是三角。然后假设a点吧a点，然后b点，然后c点。其实其实他这个从山顶回到山脚，

其实还可以往往下走的啊，我为了分开，我把它分开来画好吧，这是往下走，这样的话把上山下山呢。啊，这个分开好，那接下来我们可以设甲的速度就是v1乙的速度就是v2。然后他的距离就用s来表示。好，那想想这道题应该找什么等量，关键是点是什么时间等量是吧？甲到山顶时。已距山顶还有400米，大家知道时间，

如果相同的时候，我们可以知道，那么速度比。就等于它的路程比是吧？也就是时间相同的时候。相相同的时候好，那速度比就等于他的路程比。啊，速度比它等于它路程比好，这样它的这个特征。好，那接下来咱们看一下第一个情况啊，第一个情况。甲到达山顶时，那么甲用绿色来表示，

甲到达山顶的时候，那么乙距山顶还有400米啊，那么乙咱们用蓝色来表示。啊，这个绿色的是钾。然后蓝色是乙乙呢，它距山顶还有400米。让它走到c点哎，走到这个d点。是吧，这时候呢，这个是400米。啊，是吧？这样大家时间相同，

就可以得到它的速度比就是v1比v2。啊v1比v2就等于甲的路程，甲的路程走了s那么乙的路程走了s- 400好，为什么用比例法来进行做？因为比例法可以有效的减少咱们的未知数。好吧，所以就v1比v2就等于s甲走路程s，乙走路程s- 400。啊，这样就写好了。好，那么第二个咱们再来看一下。再来看看甲，如果回到三角时，甲回到三角时，

那么乙刚好回到半山腰啊，乙刚好呢。下到这个地方。这个比如说这个e点好，那么甲呢是下来啊，甲下来好，那么乙呢是相当于从这走到了这。好，那这是他的这个情况，如果他速度要不变化的话，那这个很好做，关键是现在他速度变化了，是不是速度变化？速度变化，所以我们假设同样的时间，

如果速度没变，没有变化。啊，速度不变，比如说那么同样时间假设啊，假设比如说这时候呢，当甲在山顶的时候，那乙不在地点嘛？你在b点。啊，那么当甲下到山底的时候，假设啊，假设用了t小时甲，用了t小时，那同样时间。

因为这个甲下山的话，那个速度。下山的话，那这个速度是原来两倍，如果他要不变的话，不变的话就相当于甲只走到什么，只走到这个位置。只走到一半是吧？你想想是不是这样的，因为同样时间。同样实验，同样实验，如果速度要是两倍的话，那肯定走的距离就是两倍，如果速度要不变的话，

那么肯定距离就是它的一半了。是不是所以说这样的，所以说也就是说如果甲要走这个一半的时候。甲走一半，那乙乙这段的时间啊，同样的时间，同样的时间，如果乙他速度没有变化，没有变化，应该他这个不是一半吗？半山腰就一半路程，一半路程的话，他这个。再一半就四分之s是吧？也就是说乙从d点走到f点。

你从d点走到f点，就这四百加上四分之一s好就可以得到那么。啊，得到这个甲走了一半是吧？所以说这样哈，我们就可以得到，如果甲走二分之s，甲走一半的话，好，那么乙就走，那么这个四百加上。四分之一s好，那这是他的这个思路好吧，所以通过这个等量，我们就找他的，

都在找时间相同，所以大家以后遇到这个速度变化的话。那么，在时间相同的情况下，你假设它速度没有变化，它路程会怎么样去转化？好吧好，那这个就很好解了，大家可以发现分子是它的分子的一半，这个分母也是它分母的一半。是吧，分母一半，所以这个四百加上四分之s等于这边分母一半分母也就二分之s减两百。好，那这样就写出来，

这样就可以得到四分之s，正好就等于个六百。s就等于2400。嗯，这样就写好了，用比例法做好，这样呢，应该选择的是c选项好，这是他的考试思路。和内容是吧？好那么有同学可能。关注如果假设想不到这个方法怎么办？对吧？有同学如果啊，想不到这个方法，

想不到或者说不会用这种方法，就即使你这个听课现在听懂了，比如再遇到一个同样题，还是不会用这个假设。这个虚拟的一个情况就虚拟速度不变，如果还不会用怎么办？不会用呢？只能按照一般方法来进行列，一般方法这样一般方法就是呃移走这个400米，加上这一段的时间。啊，等于甲走这段时时间啊，如果实在不会用的话，那么这时候呢，另外一个方法也行。

列方法，列方法，那么第一个方程还跟刚才一样，第一个方程还是v1比v2就等于s比上s- 400。啊v1比v2就等于s比s- 400，然后第二个第二个就那么他的时间时间在上山的时间400米。400米除以v2。加上。加上下山，现在这个正好走了一半，走了一半好，那么以下山的时候，那么这个v2应该变成二倍v2。好，这个代表乙他从d点走到e点所用的时间，

上山的路程，除以上山的速度加下山的路程是一半。然后再除以下层的速度，下层速度乙是原素的两倍好，这是时间这道题，我们找时间相等，然后接下来我们再来看。再来看，那么等于甲的时间，甲的时间是直接从b走到cb走到c的话，在这里面他走的是s，然后除以二倍的v1，因为甲下山的时候。它的速度是原来两倍，所以这个就找到一个时间关系，

这样就写好了，像这里表面上它有三个未知数，知道吧，表面有三个未知数，就v1v2和s有三个未知数。但实质上，那么它这个就是只有两位数，因为这个v2跟v1我们可以用一个比例法来进行分析，知道吧？所以我们可以把它作为一个整体啊，就是大家在解这个时候，我们用一个整体的方法来分析和思考就可以了。v1比v2。啊，用一个整体的思考，

所以在这里面大家呢，把这个v1给它乘过来啊v1给它乘过来，好v1乘过来以后，那么这个就变成v1，然后这个。这个分母就可以提出一个v2是吧？提出个v2。然后把这个v乘过来，这个v2，然后这边就变成400。加上因为这个分母有个二，所以变成四分之s，那就等于一个二分之s是吧？这样的情况，然后把这个v一v二给它换成s除以一个。

四百减s就行了s除以个s减四百，然后这四百加上四分之s。等于二分之s好，那在这里面那么做法，那么跟刚才这个道理它是一样的是吧啊一样，所以大家呢，把这个s跟s约掉，这个分母给它乘过来。咱就得四百加四分之s，就等于二分之s减两百，然后s算仍然是等于两千四的。啊，答案是一样的啊，所以大家列式用一般方法，咱们讲路程问题，

要么就找路程等量，要么找时间等量，这道题咱们用的是时间等量就是他们。同样的时间啊从。乙从d走到了e点，从d走到e，那么同样时间，甲是从b走到了c好吧，所以说时间就拿路程除以他对应的速度。上山的速度是v2，下山速度是它两倍。好吧，这也下山速度它两倍，这样得到它结果了，好看。

各位同学，是不是听懂了，所以这个题稍微难一点，大家呢，可以掌握一般方法，也可以掌握虚。虚拟速度，假如速度它没有是原来两倍，应该怎么去求解和分析大家呢？又会呃列这样式来求解，看各位同学是不是听懂了？好，接下来咱们看一下车接人，他的这个情况好吧，就车接人，

车接人就相当于人的速度在变化，一看人是步行走。是吧，步行走，然后人一旦坐上车以后，相当于这个速度变化了。好，那这个这个这个考察一个车接人的模型。好，那画一个图。假如这个是李经理，他的家。这是公司。去上班对吧？好有一天呢，

本来是这个，每天应该七点半啊，坐车好吧，行了，如果七点半坐车，他就准时到啊。假如这个坐车如果七点半，咱们绿色就就坐坐车。啊，这个七点半他上车，这个司机呢？七点半。每天呢，七点半。到他家去接他上班，

那个他坐上这个车就过来了。这个车就是绿色的啊，有一天李经理七点从家出发，那么李经理人不行，人不行的话就七点走的。七点走好，那这一段。走啊，走到假如走到一个这个这个这个a点吧，假如走到a点走到a点呢，那遇到这个车了啊，车正好就过来，在路上就过来了。是吧，就过来过来，

然后接上他是吧？他要坐车坐坐车，然后呢？这个绿色绿色的还是车？啊，绿色的还是车？对不对？好，那这样的一个情况啊？这样的一个方式看这个懂了没有？所以大家可以发现，从a点到公司。从a点到公司都是绿色的，你发现没有绿色就代表他坐上车了，这两个车的是一样的，

一样它就抵消掉了，抵消掉。行，那就在这一块产生时间差，所以早五分钟早五分钟是这块产生时间差，这产生时间差，大家看看。他这个时间差是怎么产生的？时间差是怎么产生的啊？好，咱们呢？就把这个绿色的给它截断。诶，这样大家知道这两段一样，从a到公司这两段一样是吧？

这两段就就一样的。看到没有，这两个一模一样。好，那么接下来就比较剩下这段比较剩下这段大家可以看到。好，那么这个绿色的啊，咱们这一块这个绿色绿色的话就是这样诶，车开过去。再开回来啊，是不是啊？车开过去再开回来，这样话也从这开始。车开过来，正好到他家的七点半。

是吧，到到家七点半啊，然后再开回来哎，再再接上其实其实刚才咱们那个直接这个线呢，是没有把它拆开，知道吧，就是车从a点开始啊。从a点开始a点开始吧啊a点开始到他家是七点半。到达家的七点半，然后再拐回来啊，这个车在这。哎，再拐弯正好是七点半。好准时在七点半，然后七点半他坐上车，

然后回来，哎，正好到公司上车了，对吧？好，这是他的这个情况。啊，现在呢？现在还是在a点这个a点代表什么？a点就代表上车点知道吧，所以咱们要把原来这个。接他的时候上车点和他步行上车点，然后这时候呢，我们要做一下对比拆开，这样才才能理理解，

懂了吧？才能理解。所以大家发现早五分钟早五分钟什么早五分钟，为什么早五分钟，因为这个a点就要早五分钟。是吧a点是是早五分钟，这样的话，它才能够呃情况啊a点为什么早五分钟那说明前面这个早五分钟前面要早五分钟的话，正好是往返，现在找了一个2点5分钟。知道吧，就是就也说车这块省了2点5分钟，这块又省2点5分钟，在a点就能够。找五分钟，

找五分钟，因为后面这个时间一样，后面这个时间一样。懂了吧，后面这个时间它是一模一样的。啊，他的一模一样，这个这个能能懂吗？就后面他这个时间是一样的，一样的话，然后如果在点能找五分钟，他到公司也找五分钟。假设啊，我给你举个例子，假设这块儿是正常是40分钟，

正常40分钟，正常40分钟好，那我们不管是什么时候从a点出发，不管是下午还是晚上还是什么时候从a点到这都是40分钟，那我只要是到a点的时间比他到。一点时间能够早五分钟，早五分钟的话，那么他到公司时间也会早五分钟。因为这个路程都一样，比如说你从家找五分钟出发，就从a点比平时早五分钟出发，就找五分钟到，因为这个这段时间路程都是一样的。对不对？一样的，

所以说在a点就找五分钟上车。就说明在这个比正常的那么点，要早五分钟。好，那召唤召唤中，那说明这块要节省2点5分钟，这块也节省2点5分钟，整个啊，这个过来就节省了五分钟。啊，节省五分钟，然后剩下的就整个都是节省五分钟，知道吧，所以这个节省2点5分钟，这个节省。

啊，一样的啊，所以在这里面大家呢，就可以算出它的这个时间是吧，所以的话大家要做要注意这五分钟为什么要除以二？知道吧，除以二，所以这个就节省了2点5分钟，比正式正常。节省了二二点五分钟，这个懂了吧？好，那要节省2点5分钟，那也说明什么意思？说明如果他这是七点半。

七点半，那相当于什么？相当于减去个两分半，减去两分半，减去两分半，也就是说相当于这个车啊？相当于这个车，如果它要不是步行的话，它不是步行的话，相当于这个车应该是七点。两分半，两分半，7点27分30秒。三秒这个遇上这个车是吧啊？遇上这个车好，

那在这里面大家呢？就就知道它的这个方法，也就说相当于正常时间的。7点27分30秒，遇到这个车，所以就是27分半啊，遇到车而27分半，遇到车，那咱们这个车呢？只要走。2点5分钟就行了是吧？只要走2点5分钟，但是人呢？人到点的话，那这时候呢得走啊，

这个27分半。是吧啊，二二二七分半好，这是它的这个方，因为它从起点开始嘛。七点开始是吧？所以说在这里面，大家呢？就是这一块就节省2点5分钟，节省二二点五分钟，说明在点呢，它正好是。啊，如果正常的啊，正常的话，

那么他这个就省了，这个就刚才写的就是7点27分30秒。好，那这样就写就写好了是吧？所以说啊，那么这个经理他是七点出发的啊，七点出发，七点出发，然后在这里面啊，正好正好走了。啊，走到这上车了，所以他比平时这个正常的省了这个。啊，两分半好，

这样就写出来了，所以要知道这个找五分钟，它怎么是找五分钟？好吧，所以这是它的这个支点，相当于是呃，之前呢是七点半他坐上车，现在的话，只要是7点27分30秒他就坐上车。啊，坐上车那有时候他这个车的两分半相当于人步行的27分30秒。这个车的两份半。车的2点5分钟。相当于人。要走这个是27点5分钟。

好，那这样就可以写出来他的值好吧，所以他的速度之比就是v车比上v人就等于他时间。这个比例。时间的反比速度比等于时间反比。啊，就等于11这样就写好了好吧，就是11倍。好这个呢，就选择的是e选项，看这个是不是懂了？啊，选择e选项，也就是说这人走了这一段把车呢，正好给他呃去减少二点幺五分钟回来，

减少二点幺五分钟就是车，如果要。从家开始走到点需要2点5分钟，懂了吧？就是相当于这样的意思啊，就车从它这个。加开到a点这块儿二二点五分钟，从a点开到加也是用2点5分钟是吧？所以这样的话就可以把这个时间给它减出来，减出来吧，其实它上车点就在这儿。啊，这样就写出来了。好在这个题给大家强调做题方法思路，看看是不是明白了？

好，接下来咱们看往返路程的问题，往返路程呢？多次往返相遇，一定要看它路程和来寻找比例关系，其实这就是一个等比定理它的一个推导，知道吧？等比定理它推导咱们把等比定理给它推导一下。大家知道，在这里面，它的t是相同的。啊t是相同的。好，那t是相同的t是相同的话，然后在这里面大家呢，

就知道他们的t。就等于s加比上v，加等于s1比上v1。好，那也等于s加，加上s1比上v加加v1也等于s加减s1比上v加。减位移是不是这样的好？这是它的式子啊，所以这个等比定理的话就相当于是如果分式要一样的话，让分子相加分母相加。也可以让分子相减除，以分母相减得到这个值是吧？所以分子加除以分母加分子减除，以分母减得到它这个结果。是吧，

这样就可以算出它的值。好，那这是它的这个情况。然后接下来咱们来看一下口诀怎么来的，一定要大家理解它的原理，会画图啊，口诀如果同起点同向。相遇和呃不同起点，反向相遇啊啊，反向相遇，它这个分为两类好吧，所以分为两类。两类，咱们先看一下这个同起点，然后同向的他的这个方法。

画一下图。同起点。同向啊，咱们假设甲比较快好吧，甲快啊好，这是a点这是b点。好那么甲，这是乙咱们把它分开画啊，分开画，然后第一次那甲块甲块的话，它的它走路程用蓝色来表示好吧。哎，拐回来。然后移走的就是绿色的。大家第一次相信在c点是吧？

第一次相信在c点啊，就两人同时从a出发，甲跑得快，想象一下甲跑得快。甲跑快那么甲到点以后，然后往回拐，然后在路上呢，就碰到乙这个大家可以发现两人走的路程之和是二倍的全程。是吧，所以第一次相遇就二倍的全全程。然后那么这个甲继续再走。啊，假如又又拐回来。好，那这个乙呢？

也继续再走。再拐回来，假如假如第二次在地点相遇。啊，第二次在地点相遇。好，大家发现第二次相遇，他们走加在一起是路程和的话，你看第二次相遇，那甲走的是两个全程多AD这一段。是吧，多AD这一段乙呢？是走一个圈层多BD这一段看看乙从头开始啊。走一个全程又多了BD这一段，而BD+AD这样是一个全程是吧？

一个全程，所以大家可以发现，那么第一次相遇它的和。是2s。第二次相遇，他的和是四倍的s，你发现是不是这样的？你看第一次相遇，那么在c点。啊，那么它两个加在一起是二倍的s第二个相遇在d点d点，那么加在一起是四倍的s，你看是不是这样的？对吧，两个都从头算啊。

好，然后我们再看一下相向相向的话，他们就从不同起点相向走。好，咱们再画个图。再画个图，那么第一次相遇，咱们看一下。啊，第一象限那么甲呢？咱们还是用蓝色的。乙呢，还用绿色的，然后甲呢，第一次相遇甲走到c点。

啊乙呢？他也走到c点。好，这是第一次相遇，那第一次相遇，大家发现它路程之和是一个s对吧？然后接下来他们继续走啊，继续走。记住的话，那我们可以看到那么他呢？这个继续走。走，然后再拐回来。好，这个给它拐回来。

然后这个乙呢，走到头。啊，也拐回来。第二是相遇点，假如在d点。d点大家发现第二个相遇甲从头算啊走了一个全程多了BD这一段。乙呢，走了一个全程多了AD，这一段是不是这时候大家可以发现它加在一起是三倍的s，所以第一次相遇。两人路程和是s第二次相遇，两人路程和是三倍的s。好第三次相遇，我们看看第三，

第三相遇呢，咱们再接着画。好，第三条讲在e点。甲在e点好第三个相遇的时候，大家发现甲呢，是走两个全程多了一个ae乙呢，是走两个全程多了一个be。啊，都在b。所以它加在一起和应该是五倍的s。好吧，所以这个结论简单给他推导一下好吧，推导这个公式就知道，你看它路程和就是2 ns这个路程和是2 n- 1s这样写好了。

是不是好，这是给大家讲的这个知识点，看懂了没有？看明白没有看这个知识点。是不是好这个给它推导一下？好，那接下来咱们看一下这个题好，大家思考第16题啊，甲乙两地之间的距离是420两汽车，同时从甲地开往乙地。第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。好，那它都是同时从甲地开往乙地。那就考察第一种情况是吧？

第一种情况，然后呢？第一辆汽车到达以后立即返回，两辆车从开始到相遇共用多长时间？好，那我们来画一下图，其实刚才咱们咱们给大家已经写写了，用那个结论做就可以了，好吧，总共是420。是吧，然后甲跑得快是吧，甲跑得快，乙跑得慢，就第一辆车嘛啊，

第一辆车。第一辆车，然后呢？它拐回来。然后这第二辆车走到这，然后呢？他在。这个时候，然后再拐回来。你看这个再拐回来。是吧，拐回来好，那我们就t啊，这个t因为他们实验一下TT呢，刚才咱们讲了就可以用s 1+s二。

除以个v 1+v二是不是v+v二？因为刚才咱们讲过这个这什么这个等比定理嘛，等比定理等比定理，然后。然后这样的，如果他要知道两人的路程差啊，比如说他第二次相遇的时候甲比乙多走了多远，要知道路程差就用第二个知道吧。啊，因为这道题是知道路程和知道路程和就用第一个，所以s 1+s 2s一+2正好等于。420，大家可以发现它是。它是嗯甲乙两地相距420嘛，两同时第一辆汽车，

第二辆汽车好，它是相遇一次是吧哦，相遇相遇一次就是二倍的s啊，相遇一次就是二倍的。s啊，我多画了一下是吧？那相应的这个一次，那这个就是相当于除以个它的速度和就行了是吧？除以42+28。然后这算就等于12小时，12小时这个答案选b。啊，如果这道题要按照刚才老师讲的，如果他们再再走是吧？比如说走到头，

然后再拐回来。然后这个走到头，然后再拐回来，如果比如说右向右向就就乘以个四倍啊，乘以个四，因为它正好呢。啊，就在它路程和就是四倍的好吧，就是给大家先讲的内容，看这个懂了没，然后这个再给它乘以二倍。知道吧，就是上面上面这个二倍。变成一个四倍，变成四倍就选24小时就行了，

好吧好，如果再呃这个这个返回相遇一次啊。好，接下来咱们看第17题两汽车，同时从AB两站相向开出。从AB两个向量开始，第一次在离A站60千米的地方相遇好，这个是咱们刚刚讲的第二种类型，画一下图，第二种类型。第二种类型好，第一次在离A站60千米的地方相遇啊，假如这是60。啊，六千米地方就相遇了。

好那相遇后，然后呢啊？他们都按照原速度继续行走是吧？继续走走，然后呢？各自到达对方啊，车站以后，然后再沿原路返回啊，沿原路返回。好，然后又距终点啊，终点咱们就把第一次相遇点画个图好吧，第一次相遇点，然后甲乙两呢是咱分别起为甲和乙吧。啊甲和乙。

啊，这是甲。然后这个是乙。好，这第一次讲，第一次在c点相遇，好吧，第一次c点相遇。啊，这点就是c点。c点到AC的距离是60。千米对吧？然后之后即到达各大车站后又返回。那又返回。那这个呢，

也是走到头再返回。然后第二次相遇点讲的是。d点啊d点啊，第二个相应点d点是距终点右侧，假如这是终点嗯e角是终点好吧？啊e呢，是终点，终点右侧30千米的地方相遇是吧？可以把这个地点往这边再画点。对吧，然后香一点。叫往这边再来一点，叫地点在这，大概在30。然后这一块呢，

正好呢是这样的。好，这第二次相遇点是不是好？第二相遇点这样就写好了，好，这能看懂吧？就第一次两人呢？在c点就相遇了。啊，相应的。对吧啊，相遇，然后第二次他们又在这个距终点右侧啊，30千米的地方，他又相遇。

好，那接下来咱们就看一下它的比例关系好吧，看它比例关系，只要第一次相遇，他们的路程和啊第一次。相遇。相应那么，两人路程和。两人的路路程和因为刚咱们讲了嘛，就等于s甲。呃，因为甲走的是60嘛，甲走的是60÷v甲。也等于什么？也等于一个全程除以v甲加v乙。

是吧，也等于个圈层，所以v加加ve这是第一次相遇的，假如这t1吧，这第一次相遇的。对吧，第一次相遇。那这个公式怎么来？这个公式就用刚才咱们讲的比例定理嘛，你看看这s甲除以v甲等于s甲加上s乙除以v甲加v乙，当然也可以写s乙除以v乙。等于s甲加s乙除，以v甲加2v乙，为什么不用这个呢？因为s乙他第一次走的路程，

不知道咱们这道题，知道甲走了600。是吧，甲甲走了这个600。啊甲走了60，知道甲走60，所以咱们用这个甲是吧？好，第一次相遇，咱们再看第二次相遇。好第二第二象限，大家看看一下t2。t2t2的话，那么这个就是s甲走的，除以一个v甲走的等于一个，

然后这块他们两人路程和是几两人路程和正好三倍的s是吧？两个路程合成了三倍的s÷v甲，加上v乙。好，大家可以发现这两式可以看到什么？看到这个分母是一样的，分母一样，分母一样的话，大家看分子是它的3倍。分子是它三倍。好，如果分子是它三倍，这个分子也应该它三倍，对吧？这个分子啊，

也应该它三倍是吧？所以有同学看不懂解析的，为什么呃甲呢？也走它的3倍，有同学看不懂，现在就知道了，通过这两个就可以推出。那么，这个s减就等于180是吧？180有60×3，因为这个分子是它三倍呀，说分母这个分子是不是它三倍？因为这个这个等式，咱看分母都一样嘛，分母一样，

所以它三倍对吧，咱们说以后呢，就不用再推了啊，所以大家看不懂。呃，解析的话，那么现在呢？给大家推导一下。然后接下来咱们再来看一下呃呃，这个这个距离那么s甲是等于什么就第二相遇的时候就相当于从一个全程，然后就加这么多。是吧，就加加加这么多，加这么多，那这么多是多少呢？

看看，所以说s减。就啊，等于这个这个180嘛，一百八一百八就等于什么等于这个这个，因为这一点终点嘛，一点终点一点终点的话就可以等，等于一点五个s再减到30是吧？就是就相当于是一点五个s，再减30就等于180。这能看懂吧，所以这个因为点中点嘛，中点的话，这个是一点五个，如果到e啊到e正好一点五个，

然后扣掉30就加。总共走的路程，只要走的路，路程正好180，然后这s就可以求出来，就等于140。然后这个求出来就等于140好，这道做题方法思路，看看这个是不是懂了好吧，它的考试要点大家呢，要会分析和思考。好，这是咱们找到这个时间的关系来进行分析呃，求解的，那么在这里面大家呢，

还可以还可以，另外一个方法是怎么找呢？另外一个方法。另外，就虽然甲乙的速度不知道，但是大家知道v甲比v乙它是恒定的。对吧v加比v乙，它是恒定的。是不是这样的？虽然甲乙他速度不知道两人的速度呢，他比值是恒定的，比值恒定，也就是说v甲比v乙如果时间相等，就等于s甲比s乙。是吧，

如果时间。相同时间相同，用这个做也行，好，那接下来咱们就围绕这个原理做v+bv e，那第一次相遇的时候。为甲比v第一次相遇，第一次相遇的时候，那么甲走了60，乙走的是s- 60对不对？因为全程甲要是s。是吧，全是s乙走的是60甲走s- 60。然后第二次相遇，第二次相遇甲走的是甲走的是一点五啊，

一点五减三十对吧？你看总共如果达到e的话就一点五。一点五s- 30好，那么乙走的时候乙走的是乙走的是一点五，加上30，因为乙从b走到a，然后再走到ee点是终点嘛。正好是一点五，然后再多30是吧？多三十一点五。s+30，然后这个方程也能解出来s的值是吧？这个方程这个方程大家呃交叉相乘啊，去解解是吧？交叉相乘解解，

这样也能解出s=140。零减s等于一百四也是可以的好吧好，那答案都行，这个答案应该选择e选项好，这是它的做题方法思路。就这道题的话，大家呢，可以按照这个呃比例关系来进行分析，也可以按照时间相同的时候，那么速度比恒定的速度比恒定就第一次，他们两人的。呃，速度比跟第二次两人的速度比都是一样的啊，第一次速度比等于路程比第二次速度比等于路路程比啊，这两个速度比又一样，

所以就建立这个路程比就是一样的。好吧，就写这样一个公式，看是不懂。

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