008.24-顿悟-专项二-练习（下）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:08:40

接下来咱们看这个题。狗跑五步的时间，马跑三步，马跑四步的距离，狗跑七步，现在狗已经跑出七三十步。只要狗在跑多少步马，就可以追上它。好，那这道题首先观察它的主要的考试内容就是追击问题啊，追击问题，追击问题。好，那么首先要知道追击时间啊，所以追击它的公式要知道那么t追。

就等于deltas÷delta v是吧？deltas代表它们一开始的差距。一开始差距，比如说啊，这是一开始差距。好，这是马，这是狗。然后到这就追上了。好，这是a，这是b，这是c。好那么一开始它的差距差距就是狗跑30步的距离，然后再除以它们的速度差就行了。

啊，这跟咱们前面的例题有点像，然后呢，大家可以虚拟数值来进行求解。啊，要不虚拟数值这个东西你可以用份数用份数的话，那么大家不好想啊，由于对基础比较薄弱的同学，大家在考试中想不到。所以在这里面，大家呢，就是我们怎么去想？好go跑五步的时间，好这个时间大家可以取一下最小公倍数，所以在虚拟数值的时候，

这道题大家可以用最小公倍数。这叫公倍数好，这时间单位可以用分钟，也可以用秒都无所谓好吧，然后这一块儿大家呢，可以用秒用分钟都行，比如说。啊，这15秒。啊，15秒好15秒，那么狗能跑五步马呢？跑三步，所以说狗每步呢是三秒。每步三秒，

然后这码每步。是五秒。好这些狗每步呢是三秒马呢，每步呢是五秒，然后马跑四步，距离狗跑七步，然后这些距离大家也可以设一个米。是是一个米就是取28米，因为取最小公倍数四和七，它的最小公倍数就28好，这个写好了。四和七最小公倍数就28。好，这个写出来了。然后接下来我们就可以得到，

就相当于是码。马然后呢？就相当每步每步是七米。每步七米。然后狗呢，每一步。狗呢，每步呢四米。啊，每步四米。好，那接下来咱们就可以算出狗的速度，狗的速度和那么马的速度是吧？然后接下来我们就套这公式就可以了，dot as就是狗跑出三步。

它的这个情况啊，所以我们算出这个t来t等于德尔塔s德尔塔s狗跑30步，狗跑30步的话，那么30步它每步跑四米，所以这就120米。好，120就是狗的30步，相当于多少米狗的30步，相当于呢？啊，120米因为一步呢，相当于四米，然后除以它速度差速度差，我们看狗的速度和马的速度。好码数大家知道，

每步呢是七米就七米，需要五秒钟。七米需要五秒好，那么说明啊，它是一点四。或者写成五分之七也行。啊，然后这个米每每秒。然后v go。我喂狗狗的话，大家可以发现这样三分之四。因为每一步呢，四米它用三秒，三秒就三分之四。每每秒。

好，三分之四米，然后每秒一秒呢，跑三十四米好，那接下来除以它的速度差，速度差就五分之七减三分之四，当然了，为了好算这道题也可以取得公倍数。是吧，取到公倍数，然后就是120，然后乘以个15，这是21减二二十。好得到这个值120×15。好，

然后他问最后狗在跑多少步，这个时间知道了啊，时间知道好，时间知道，然后呢，我们再乘以它的速度就可以得到，那么狗跑到米数。所以狗跑到米数。狗跑米数呢，就是这个一百二乘以十五再乘以三分之四，这是狗跑的米数。然后再除以他问狗跑多少步，狗再跑多少步。是吧，所以在这里面大家呢，

就除以个四啊，除以个四所以步数。狗跑的步数。啊，若果步数再除以四就米数，这是米啊，这是米，然后再除以四，因为每一步呢是四米。每步四米，这样就可以写出来它的数值，然后答案就可以求解出来，然后这个呢，大家约一约。啊月月那么上下呢，

就可以把四给它约掉，然后呢，就得到是120乘以个五。次约掉得到120×5。就等于600步。啊600步好，这就写出它的数值了，好看大家是不是明白了正确答案，应该选择a选项。好，那这个大家也可以用份数做好吧，还可以用份数呢，要简单点儿，但是对基础比较薄的同学啊，用这种方法好理解知道吧，

所以以后比如说那么。呃，几个物体，它几步的时间相当，它几步或者它几步距离相当，它跑多少步，这证明大家呢？用这种方法更稳妥一点。取个最小公倍数，虚拟一个数值来进行分析和思考，然后利用啊，基本的这个等量是利用最低问题来进行分析的。啊，追击问题来思考啊，这是它的这个考试方法，

看是不懂了。下面我们来看一下第13题，有甲丙三个人，甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行75米。甲乙从a地去b地，丙从b地去a地，三人同时出发。丙遇到甲后，八分钟后再遇到乙问AB，两地相距距离是多少？这道题呢？有两种方法，做一种方法可以列下方程做。

好，咱们画一下图甲乙两人从a地去b地。好，这是甲乙从a地去b地丙呢？是从b去a。虽然同时出发，那么大家知道甲的速度是70。乙的速度是60，丙的速度是75。丙的速度是75。然后在这里面，大家可以发现甲甲的速度要要比乙要快一点，所以甲丙先遇到啊，甲如在c点，那么甲丙是先遇到。

那解压表呃，遇到了。遇到，然后经过八分钟啊，经过八八分钟，那么乙又再遇到乙啊，注意丙走到c点的时候，那么乙假设走到了d点。乙假如走到地点啊，乙走到。d点，然后乙在d啊，就是甲走到c的时候，乙假设走到d点。好乙走到d点好一走到d点，

然后这时候丙这时此时此刻啊，就相当于甲和丙在c点，然后乙呢在d点。然后接下来那么相当于是乙和丙。然后呢，再共同走完CD这段路程，然后这块就是e点啊e点，那这样比如说。也就说这个八分钟八分钟走的，相当于这一段儿这一段儿是八分钟。当然是两个人啊，两个人加在两个人走的共同的，这个加在一起就是。乙从d点走到e丙从c点走到e，然后这时候呢，

他们加他们总共呢八分钟啊，就是遇到。甲遇到甲半分钟后，再遇到乙那AB两地相对距离到底是多少？好，那这道题当然大家可以用比例法来来进行做。是吧，然后大家知道这个八分钟啊，这个八分钟的话就相当于是。啊，这个八分钟大家可以求求解出来CD的长度是吧？CD的长度。啊CD的长度好，那CD的长度的话，正好就等于什么呢？

就等于那么乙和丙总共走了八分钟，60+75，然后再乘以八。啊，就60+75再乘以八。因为就是相当于乙和丙总共走了八分钟好，这是它的这个四指啊，这样就可以列出来这60×8得到480。然后75乘以八七十五×8得到是600。就幺零八零。好，然后这是。CD的长度就写出来了。好那么CD长度这个写出来以后，那接下来我们再看啊CD长度写出来了。

接着我们再接着看什么这c的长度正好是什么正好是呃，那么甲和乙那它正好。呃，那么路程差值是吧？所以说这个差值，所以这样就可以算出那么甲走到c的时候，乙走到d用了多长时间？所以这个t我们就可以算出来。啊TT呢，就甲走到c和乙走到d的时候时时间时间，大家知道就等于这个路程差，除以速度差。啊，就等于幺零八零÷70-60得到108秒。啊，

到108秒。好，这样就写好了啊，108秒。好，当然这个这个最后呢？咱们呢？这块儿都是呃，把这个呃我我把这个这个按照分钟来来进行写的嘛。是吧，所以在这里面大家呢，就是把这个实验呢，看一下它的单位制是吧，看看它呃呃，单位制单单位制的话，

那它这个单位是分分钟了。是吧，大概就是分钟。让大家看一下单位就行了啊。好，那这是给大家强调强调就这一段儿，这段儿正好是甲比乙多走的啊，甲比乙。多走的多走的话，那么用这个距离除以它速度差。好，108分钟，然后接下来我们就可以算什么？算它的全程全程的话，正好是正好是这个108分钟代表什么呢？

代表甲走到c点。丙走的c点也用108分钟，乙走的d点也用108分钟，懂了吧？所以这个圈程用甲跟丙。啊，圈层。s就108乘以甲加丙。好，那么甲的话是多少？甲的话是70。乙的话是75好，那这样大家呢？就可以算出它的结果，就等于十五点六六千米啊，

这本来是米的啊，本来这个单位是米。然后就转换成千米就十五点六六。千米好，这个答案就选择c选项好，这是。一种做法。这种做法好，那第二种做法就是列方程做一些啊，另外一种做法，另外一种方法就是这设全称是s。这八分钟怎么回事儿？八分钟就相当于是啊，甲丙相遇的时间就70，加上75。

然后乙丙相遇的时时间是吧？乙丙啊，乙丙相遇时间正好60+75。正好相差了八分钟。是吧，向上八八分钟，这样就算出来，当然这个大家算出来，结果呢，它答案也是米。好吧，答案这个啊也是米。然后在这里面，最后我们把它转换成千米就行了好吧，然后s就等于十五点六六。

千米好，那这是这个题，这个题列方程做一些列方程做前面的式就代表是那么甲丙相遇的时候时间，后面式代表是。呃，乙丙相遇的时候时间，然后这时候呢，那么它们两者差了八分钟，列个方程解出来就可以了，好，这是它做题方法思路，看是不是懂了？接下来咱们看第14题，这个题甲两车同时从a地开往b地乙车六小时，可以到达甲。

甲每小时。比乙车慢八千米，因此比乙车晚一小时到达问AB两地间的路程到底多少？问，AB两地间的路程到底是几？啊AB 2000路程。好，那接下来咱们来看一下，甲乙两车同时从a地开往b地。检验两侧同时从从a地开往b地，他们同时出发，而且从同一地点出发。那乙车呢？当然跑得快，六小时还可以到呀，

甲跑得慢呀，甲的速度比甲要慢，比乙要慢，然后要晚一小时到达，问两地路程到底多少？好，那这道题大家可以用这个比例法做是吧？比例法做要要快，因为也就是说啊，那么乙呢是六小时啊，乙呢是六小时走完确权程。然后这个甲呢？因为他比较慢慢的话，就是用七小时。啊，

因为甲比乙晚一小时，甲比乙晚一小时，就说明甲呢，要用七小时到，所以大家注意路程相同，那么它的时间比。时时间比这样的速度的反比是吧？所以这样就可以得到v乙比上v甲。这样等于时间成反比，就等于七比六。乙的速度要快七比六，其实大家发现正好差一份儿啊，这一份儿你看一个是七份儿，一个是六份儿，正好相差一份儿。

啊，这一份正好是八千米。每小时是吧？一份儿呢是8000每小时好，那么因为每小时慢八千米嘛，这一份儿所以就可以得到那v乙的速度v乙速度正好是56。千米每小时。然后你就乘以八就行了，然后v加的速度就等于48。千米每小时。对吧，用这个比例，然后问AB两地的距离AB两地的距离，你用用乙算用甲算都可以好吧，所以这个s你要用乙算的话。

那就拿56×6=6。然后正好是啊，三三六。正好三三六好，这样就求解出来了好，这是它的做题方法，思路开始不懂了。啊，你用这个甲算也行，甲的速度48乘以他七小时，这样也可以好吧，所以这道题啊，那么比例法就是路程相同的时候。那么，速度与时间成反比，

成反比嗯，找到它比例关系，找到比例看一看这个比例里面一份儿相当于具体多少值，然后再给它扩大倍数，得到乙和甲它的情况，然后就可以得出它的答案。好看，这块儿是不是懂了？接下来我们看一下第15题甲丙三人进行百米赛跑。甲当速度不变，当甲到了终点时，乙距终点还差十米，比离终点还差16米。好，这个时候当什么什么时候那大家知道这个时间是相同的，

也用比例法做。比法比法，就时间相同。啊，时间呢是相同的好，那么时间如果相同的话，然后在这里面大家呢就可以看出它的。表达式是吧？所以在这么时间，它是一样的时间，一样的话，那么它的路程比就等于速度比，所以说v甲比上v乙比上v丙。就等于甲跑的是是100米，然后乙跑的是90米，

他跑了84米，其实这个咱们只要什么只要这个乙和丙的比例就行了是吧，因为最后他。他要找乙和丙甲就不用管他了好吧，所以这v乙比上v丙。然后90和84，然后在这里面，大家可以除以个六是吧？除以六六就得到15。然后六六的话就得到14。是吧，所以在这里面大家呢，就除以个六÷6以后，大家可以发现得到这个值，但是他问乙到达终点时，

丙离终点还多少，咱们不算丙离终点多少，然后看乙到终点时，丙跑多远？比如说，如果假设乙跑了100米，丙跑了x米是吧？丙跑了x米。然后大家学过比例，比例内项相乘等于外项相乘，所以x就等于十五分之十四乘一百。然后剩下大家可以约掉一个五，约掉一个五，得到三啊，约掉一个五，

得到70呃，约掉五，得到70。是吧，所以在这里面大家呢，就这两个相乘上下都约了五约了五得到啊，这是280。再乘以个四对吧？外面还有一个四。啊280好，那剩下约掉一个五约掉一个五，那就得到这个20×14。14得到啊，三分之二百八三二八在那在丙离终点。大家知道总共是100米嘛。

一百米，一百米减三分之二百八就等于三分之二十米。就等于三分之二十米正确答案就选择b选项。啊，这个三分之二二十米这样就写出来好，这是它的做题方法思路，看是不是懂了？啊，看是否明白了。这是它的考试要点啊。接下来我们看一下第16题九一小学有80名学生租了一辆40座的车去海边看日出。这个是车接学生问题是吧？然后这道题不过要简单点，因为他知道了速度，咱们讲过，

如果速度要已知的话题要简单点。跟咱们例题呢，有个比较像，这都考察车接人。这个模型。比如车接一个人去上班，或者车接学生。然后其实这道题80和40没啥用，只不过告诉你就相当于正好是呃，这个两个车啊，就车两次就能做完。是吧，所以这个80和40就告诉你一个简单信息，这个数呢，对咱们解题没有太多帮助，

就相当于车两次呢，就做完了。然后就一部分学生先坐车，未坐车的学生先步行和汽车同时出发。然后汽车往返接送，而且这道题比咱们例题简单，在什么地方你知道吧，就汽车它空车的速度。跟跟汽车坐人的速度，它是一样的，所以在这里面它呢都是一样的。啊，所以说不像咱们前面例题，前面例题，比如空车的速度，

他开的快一点，比如说开50，那么车撞人以后那么为了安全，他就开的慢一点。是不是开40，所以这样话就稍微难，然后咱们这道题呢，都是呃，空车也好啊，汽汽车接上人也好，它速度都是一样的。那就好，做一点学校离海边48千米啊，那汽车速度步行速度的9倍。那汽车应该距海边多少米处开始返回接第二批学生，

才能使两学生同时到达海边？好，那我们来画一个图。啊画图，然后这个角这是学校。这是海边。咱们给它用上字母吧，假如这是a点，这是b点。然后咱们看呃，一定要把这三三个部分呃图给画好，一个是先坐车的学生。先坐车，学生还有就是后坐车，学生还有呢，

就是汽车好吧，所以在这么大家把这个给弄好。啊，先坐车的学生，后坐车学生和汽车啊，那先坐车啊，叫蓝色这块儿是坐车。后面呢，就是步行。不行，咱们都统统用绿色的来表示。这是步行，这是坐车。然后。啊后出发的学生，

他先步行。然后后面再坐车。那这是。坐坐车，然后这个前面是步行。对吧，好，那这是给大家强调它的这个方法。好蓝色都代表坐车。啊，例子代表步行，然后这是c点c点。好，我们再看车是怎么走的？假设它的上车点是d点。

这个我们前面给大家讲一个。一个结论很重要，一个隐含的等量关系。因为两个学生要同时到，因为同时出发，到同时到，所以他们一定是公平的，有有先坐车的路程。和时间跟后坐车的路程和时间是一样的，就这个蓝色跟蓝色要一样，绿色跟绿色要一样，知道吧？蓝色跟蓝色一样，绿色跟绿色必须得一样。这样才能保证是公平的是吧啊，

是公平的，比如说啊，那么坐车享福的时间和吃苦的时间，这个吃苦在享福。是不是所以它这个应该一样，但每个每个呢要公平，这样的话它才能够到最后呢？是同时的好吧，所以这样。好，那这个车是什么车？先走到c，然后返回来接这个学生，注意当这个车返回的时候啊。车返回的时候，

那这个是这个，只要这点是d点。车在c点的时候啊，这个后坐车人还没走到c啊啊，还没走到d还没走到d，这一定要弄清楚。所以说那么它走走走过来。走过来开始返回，返回的时候，那这步行呢，可能在d前面某个位置，然后这个后步行学生也在走，那么车呢，也从c点。往这走啊，

正好同学们在地点就相遇了好吧啊，地点相遇。大家可以发现。啊，咱们就用一个比例法，因为它时间一样啊，就看车啊，就看红色的，红色就是车。车从a走到c，然后再从c走到d，这个步行的是从a走到d。是吧，有时候大家可以看这个红色的。就s车。

比上s人。应该说时间相同，时间相同，路程比就等于速度比，就等于九比一。是不是就等于呃九比一？是不是这样的啊？咱们可以设步行的，就是一份儿吧？不行就一份啊，这是一份好，那么这个相当这个车红色的就相当走了九份。那想想是不一样，因为时间一样嘛，是不是就时时间一样，

当然车后面接上它以后，然后再走过来这块儿呢？你就先不用管它，先看红色这一段。对吧，所以说人走绿色，这段咱们这这段就假设是一份嘛啊一。然后这个车应该只有九份。那也说那么这个绿色的看好了，绿色加这个红色的正好是等于两个AC，相当于十份儿，对不对？因为这个什么，因为这个绿色是一份儿红色是是九份儿。那加在一起不就十份儿嘛，

一份儿加九份儿是不是十份儿？十份十份相当于两个AC对不对？两个AC所以AC相当于是五份。然后AD呢，把它看成一份。AD和BC把它看成一份。懂了吧，所以AC。啊啊，就是呃a dad这段儿绿色的跟BC这段儿绿色的啊，看成一份儿，那这样的话就可以得到AC这一段儿是五份儿。五份儿，那么这个AD和BC是一一样的吗？都是一份儿，

那这块儿就是五份儿，五份儿也说这一段儿长度。好，那正好占了六分呃之五，这边儿就占了六分之一是吧？所以这样就可以求解出来答案就写出来了。所以BC占总长的。六分之一。总长正好是48，所以说这个就等于八千米。所以它在距海边儿这个八千米的地方，然后呢，就收到呃，就可以接着打好吧，这个答案就选择a这样写好，

这答案选a。好，这是它的做题方法，思路看是不是懂了，所以答案选a。好看，这个知识点是不是明白了啊？就这个跟咱们前面车间为什么这道题大家做的简单啊，直接用比例法，因为这道题它什么就是车。做人这速度和空车返回的速度，这个速度是一样，那所以这道题要简单，如果这道题比如说空车的速度要快一点儿。啊，

速度要不一样，那就麻烦了，那这个这个小绝招就用不了，用不了你只能是仿照咱们前面例题的那个方法，然后用时间相等就车走到AC，然后再从CD。然后再从db，然后走的时间就跟他们时间一样好吧，然后列一个等量啊，这样也是OK的。啊，这样也可以列个方程做也行好，这是它的做题方法思路，咱们这道题呢，直接用比例做，

要简单一点儿。啊，如果不用比例做，怎么做？不用比例做的话，那么就这样做是吧？就另外就是稍微麻烦的，就是设备的数做。你可以假设这个x千米好吧，假设这个是x千米。好，这就是s铅笔，然后这一块儿呢，就是呃48-x铅笔就是ac总长48-x铅笔。接下来咱们这个等列等的就时间相等呗，

谁相等实际上用用第一批人的时间和第二批人的时间都OK啊，都OK的，这个是没问题的。然后48-x除以这个人的速度，因为呃，汽车速度是步行速度的9倍，你假设步行速度就是一吧，步行速度就是一。除以一咱们用先坐车的啊啊，先坐车，然后呢？坐车是速度就是九是吧？步行速度一后面呢？就是加上x÷1。这能看到吗？

这是第一批呃，坐车人，他用的时间加上步行的时间，他到海边了，就等于什么等于车？啊，等于这车车的话，它先啊，你看车走了多远呢？车走了，车走了，这样的啊，这是一个这个。其实车就相当于走了一个全程，加上两个CD长。

是吧，车走了一个全程加上两个CD，或者说你看AC的长度，车走的这么长，你这样一个个算也行。这个AC的长度。然后cd长的话cd长的话就48-2x，因为前面它也是x知道吧，所以cd长度就48-2x。啊，这样的，然后再加上这段，所以说你要分开算就48-s÷9。加上一个。这样这个拐回来就48-2x。

是吧，然后除以九，然后再加上一个什么呢，再加上这个呢，又是48-x这段长度。好，这是车。车的实验车，你可以把它分成三段儿嘛AC 1段儿，然后CD 1段儿，然后再加上呃BD又是一段儿是吧三段儿？那么这个写，然后这个x解出来也是等于八的。这道题我们设了一个特质啊，就是假如人的速度是一汽车速度是九好吧，

汽车速速度是九这样，所以一般方法就这样设，你看人他走了两段儿。两段儿这段儿的时间，这段儿时间，然后呢，汽车走了三段儿这一段儿，然后再返回一段儿，然后再又过来一段儿是吧，分别加在一起就OK了。得到答案是一样的。好，接下来第17题甲两个从同一地点o出发，背道而驰。啊被到时一小时后分别到达各自的终点a和b。

可以确定甲乙的速度之比是三比四。啊加约数之比就是三比四。第一个若从原地出发，互换目的地。则甲在乙到达a之后35分钟到达b。好，这是第一句话。第二句话，若甲从a出发，经过140分钟后到达b地。好，那这是他的这个方法，那接下来大家一起看这道题的图怎么画？好，那么根据题干，

它从同一地点o。加这个是o。然后呢，分别背道而驰，所以甲呢，是向这边走，乙呢，向这边走。结果他告诉我们一小时呢，到达各自终点就走了一小时。甲到了这个终点a乙到了终点b。好，这是它的这个内容是吧？都走了一个小时，到达了这个点。

好，那接下来咱们再看一下。它让确定的内容是让我们推导的，所以确定甲乙的数之比是三比四。啊，甲乙速度的比例就三比四，这样的一个情况条一若从原地出发，互换目的地。啊，原地出发，互换目目的地。交换目的地好，那么接下来我们看一下条文一。条件就是从原地出发，互换目的地，

互换目的地就是乙，这个是甲。啊，这样的情况。好甲乙则甲在乙到达a之后35分钟到达b，这道题我们就找一个时间关系对吧时？时间关系，时间关系是什么呢？就这35分钟，35分钟要换成小时啊，因为它单位都是小时。是吧，所以这接下来我们看。甲到达。b的时间因为互换目的地了嘛，

甲到达b的时间和乙到达a的时间，那么它的这个情况，所以说在这里面乙到达a时间就ao除以个v乙。是吧，这是乙它走oa这段距离，然后甲呢是走bobo出一个v甲。啊bu，它处于一个这个v角。好，所以说ao÷v乙BO除以个v甲好，那这是他们到达时间时间在这面有个时间差啊，35分钟，那么这有个时间差。对不对？所以在这里面那么时间差三十五分钟，

正好等于一个十二分之七小时。好，这样就写好了，好大家看谁快谁慢啊，甲在乙到达a之后。过三十分钟才到达b是吧？过三十五分钟，所以说那么这个就加上十二分之七就等于它。好，这是甲所用时间，是在乙到达a之后的时间，再加上35分钟才到达b。好，那接下来咱们来看一下这个ao和BO它的。比值到底多少ao的长度ao的长度，

我们看看ao的长度。然后ao的长度，它的这个长度那怎么求呢？ao的长度。好ao的长的话，是不是正好等于甲走一个小时它的路程呀？所以ao就等于甲的速度乘以一是不是所以这ao的距离嘛？所以说根据题干，它走一个小时的距离，所以au的长度就可以把它写成甲的速度，乘以一小时除以v乙。加上十二分之七等于个这个bobo的话，是乙走一个小时。啊乙乘以一除，以个v角。

啊，一走一个小时，它这个情况。好，这是BO它的这个内容，然后接下来咱们来看一下v甲除以v乙等于十二分之七，然后在这里面它要求什么呢？求甲乙的速度之比，甲乙速度之比，我们可以设为k。啊设为k，所以令k就等于一个。啊，这个。v甲比v乙。

决定k啊，然后等于一个v+vv一。好，那我把它作为一个整体来进行解好VIP ve，把它看成一个k看成k，然后这个十二分之七。就等于一个k分之一是吧啊？k分之一v一比v甲有k分之一，这样的情况。好，这样的一个方法。好，接下来我们把这个k给它解出来，两边同乘以个12k，两边同乘以12k，

同乘以12k就是12k方。啊，两边同乘以12k。就12k方。然后再加上这个从12k以后就变成7k。然后把右边给它移过来减12，它等于零，然后这个因式分解，大家知道12可以分成三×4。好，这十二也可以分成呃分成，因为叫冲线中间七嘛，中间七就这样的是吧？所以这样它分成三乘以四，这四乘以负三。

好，接下来它就可以写成3 k- 4乘以个4 k- 3，它等于零。啊四k三k加四乘以一个四k减三，它等于零好k的值又得到是负的三分之四，或者说k等于一个四分之三。k等于负的三分之四或者k等于四分之三好，这样就写好了，对不对？这样就求解出来了。啊，求它的数值了，所以说正好就是三比四，所以调成一这些负的要舍掉啊，这些负的大家要把它舍掉。

负给人死掉，然后取这个就行了，好看这个是不懂了，调用一呢充分的。这样的条件儿，如果甲从a地出发，经过140分钟后能到达b，那这道题我们就直接用比例法做就行了，所以我们还把这个图再画一画。然后这是o点，这是a点，这是b点。然后这个是讲。这个是以。对吧，

这个走过来是甲这个走过来，它是乙好它这个情况。好，那么经过140分钟，它到达b好，那么也就说甲如果从a出发。他原来走的这是一个小时。远走的这是一个小时。啊，一个小时，然后呢？现在甲如果从a走到b。走走过来，走过来，他需要140分钟。

大家知道那么甲走ao这段是需要60分钟，那就说明就可以推出甲。同样在ob啊，同样这个BO这一段儿。标的那么甲需要走多少分钟呢？需要140-60得到80分钟。对140减了60，得到是80分钟。啊，得到80分钟，然后再看这个乙啊乙呢，走BO这一段正好呢，用60分钟。大家知道路程，如果相同路路程相同，

那么速度啊，与时间又成反比对吧，因为速度越快，用的时间越小，所以这样的话，我们就可以推出v甲比v乙。就等于60比80。就等于三比四是吧？就拿60比80，所以这道题用比例法做，就是如果发现这个路程。相同，那么它的时间比。和速度比，正好成反比反比，

然后在这里面大家呢，就可以写出来它的这个数值，所以说也是三比四正确答案。你看条件都充分，直接拿去选d选项。好看，这个题是不是听懂了好，这是它的方法思路，看是不是明白了？啊，找到这样等第一个题条案一这种时间做等量，然后用整体法，然后来求解和计算，别给计算错了。那第二方法是用比例法路程相同，

它的速度之比就等于时间的反比，这样就求解出来了。好，接下来咱们看下第18题。甲火车长150米，乙火车长100米，两火车相向而行。相遇后，经过二点五秒，两车错过。则可确定，若同向而行，相遇后经十二点五秒，两车错过。好条件一，

甲火的速度为60条件二，乙火的速度为40，大家注意这道题，这道题表面上看像联合知道吧？其实大家注意单独就可以，因为它则之前是已知条件。这道题考的火车啊，错车错车什么意思啊？就错错车。所以说比如说一个火车是朝这样走。然后它相向而行嘛，相向而行，一个火车朝这个走，就从两火车。两火车这个车头相遇开始啊，

是从两火车车头相遇开始到这个车尾离开这个过程是二点五秒好吧，然后这道题你可以用相对速度做。好吧啊，现在速度速度，然后甲这是甲这是甲的是150甲甲车是v1。然后乙车呢是100，然后它的这是v2好乙车呢100，它是v2好，这样就写好了。行行，那接下来咱们来来看一下它的这个值好吧，然后然后甲车和和乙车。好，这样的，这样的话，

那么它这个相向而行，它的相对速度就是两个相加，所以这二点五秒是咋回事呢？就二点五秒就相当于是。嗯，他总共走了多少钱？总共走了150+100啊，所以有250米，250米相当于v 1+v二。再乘以二点五秒。这样就可以由tna得到v 1+v二，正好等于个100。v+v正好等于100。好100，那么则让推导结论什么结论的话就是两个火车，

如果同向而行，同向而行，那么经过二点五秒，错过同向而行，那么虽然这道题没告诉我们谁在前谁在后？但是要错车的话，一定是慢的在前，快的在后。是吧，所以在这里面一定慢的在前，快的在在后，所以在这里面就相当于是啊，谁慢谁在前，谁快谁。谁在后？

好，那相当于是它这个呢？就是相当于车尾。啊，车头碰到车尾，然后开始计时，等它这个完全超过它停止计时，这个过程呢？用十二点五秒好，接下来咱们看条文一看行不行？条样一，如果甲的速度是60，甲的速度60，可以得到乙的速度就是40，乙的速度40，

那这个。错车的时间，这这叫超车时间，超车时间还是拿150+100。除以两者的速度差，速度差就60-40。就等于250÷20，就等于十二点五。十二点五秒是吧？然后条件呃，同理是一样的。因为条件儿如果乙的速度是40，乙的速度40，那么甲的速度就60，60列的式跟他一样，

所以两个条件都是充分的，建议大家选d选项。啊，注意在这道题再强调一下，虽然这道题没告诉他甲和乙谁在前谁在后，但是大家想想，如果要想超过。知道吧，要想同向而行，要要相遇，要超过它的话，它一定是慢的在前，快的在后，所以这道题呢，是一个隐含条条件。

那有的人可能会问会不会快的在前，慢的在后，如果快的在前，慢的在后，不可能出现这个呃同向还能相遇。是吧，所以说在这里面大家就不可能出现这一块儿，所以就不会产生十二点五秒错车了啊，所以这个给大家强调这个方法，所以这里呢，就选择d选项。看是不是懂了？接下来看一下第19题，甲乙两站相距1950米。啊，

汽车a从甲站开往乙站，同时汽车b和c从乙站出发与A站。相向而行开往甲站，这能确定那么行驶途中a与b相遇后再与。两小时后再与c相遇，那这道题速度已知其实很简单，你就验证一下就可以了好吧，所以在这里面大家呢啊，验证一下啊，所以接下来我们来看一下这个画一个图吧。好，这是甲乙两站。然而，汽车a是从甲开往乙。啊，

这a车a车是从甲开往乙b车和c车都从乙出发，这是b。和c组成乙出发。好，那接下来咱们来看一下啊b和c都从乙出发，与a相向而行，开往甲怎么确认？啊，那么a与b相遇两小时，那AB相遇两小时，所以条件一我们看一下它行不行？条件一它说分别是80。70和50，它的速度分别是80，70和50是不是这样的？

然后这个那么肯定是a和b先相遇了，因为它的这个。这个b的速度比c的速度快嘛，可能先相遇先相相遇两小时。对吧，所以这个相遇呃，两小时相遇两小时，然后这时候我们看它时间就拿一九五零。所以那么谁谁后相遇呢？后相CC跟a是后相遇，咱们把后相遇的时间写在前面。然后一九五零÷80+70是吧？八+70，然后再算算，正好等于两小时。

这样等于两小时，所以这个就条件，一是充分的好吧啊，条件条件的话，那这个如果如果要变成一个70。60和50，那这个就不太行了，所以一九五零除以个啊，那么就70+50。减去一九五零，除以70+60。是吧，所以在这里面大家呢，就把它这个换一换，换完呢，

这个除除都除呃除的不太尽，所以它这个就不满足两小时。啊，这个数呢？就不用去算了啊，两小时，所以条件二是不行的，所以这道题应该选择a选项，所以大家呢要掌握它的方法，看各位同学是不是听懂了？对这道题考的相遇很简单，那么前面有个题不是反过来考虑吗？前面有个题是知道它们的速度，知道这个时间连好时，让求这个甲乙两地的路程是不是还记不记得？

唉，刚才咱们前面做的一一个题是吧？反过来，反正这个东西都是三个物体吧，三个物体在咱们考试里面也经常出现三个物体，它相遇的情况是不是大家会画图就可以了？好，接下来我们看一下第二题，第二题跑圈儿问题，甲乙两人以各自的速度同时从椭圆形的跑道上同一点出发，沿着顺着这个方向跑步。甲比乙快啊，可以确定甲是乙的一点五倍，大家注意它要同时跑，同时跑它的速度比就等于路路程比好吧，

所以如果要时间相同。实验项呢？实验项呢？就v甲比v乙。就等于s加比上s1这样的情况。好，那接下来咱们看一下啊，画一个圈嘛，画一个图。看条形一画一图，它本来是从同一点出发，沿着顺着方向跑好吧，甲乙它都是同一点出发。好，都是从同一点出发，

沿着顺时针跑。然后当甲第一次追上乙时，大家知道甲第一次追上乙时，甲要比乙多跑一圈儿是吧？因为大家知道同向同向就看，这如果每追上一次他，比他多跑一圈儿好吧，每追一次就要多跑一圈儿。每追一次要多跑一圈。好，那在这里面，大家可以根据条案一可以得到那么呃，这个甲呢是三圈儿，因为乙跑两圈儿嘛。因为他说乙跑了两圈儿，

那甲就比他多跑一圈儿，甲有三三圈儿嘛，所以正好一点儿五所以调整一呢，这是充分的。对吧，条件二当甲第一次从背后追上乙时，甲立刻。即转身也能顺着这个方向跑啊，往逆时针跑，当两个再次相遇时，其实其实大家发现第一次如果追上他，不管在哪儿追上他啊？比如他们虽然都是从a点跑，虽然都是从a点跑，不管在哪追上，

只要追上它的话，把它作为一个新的起点。啊，做成一个新的开端，知道吧，所以在这里面大家就有一个新的开端，比如随便画一个位置吧，这个位置不一定准确是吧，随便画位置，比如第一次他就让他在b点b点的话，然后两人呢？就相当于是甲就变成逆时针了。啊啊甲变逆时针乙还是顺针乙的方向不变，这时候大家注意就是如果要同向它每相遇一次，它路程和是一圈儿。

是吧，每相遇一次。它的路程和是一圈。路程和为一圈。是吧，所以每相应的路程合一圈儿合一圈，那么甲如果乙跑了零点四圈，甲就跑了零点六圈是吧，所以这v甲比v乙。它是零点儿六圈儿，这是零点儿四圈儿，所以还是等于一点儿五对不对？所以条件儿也充分，这些答案两条都充分，这些答案就选d选项好，

这样就写好了，看这块儿是不是听懂了这它的做题方法思路，看是不是明白？所以通过这道题，大家呢，要掌握它的思路啊，所以时间相同，能找它的路程比就可以求出速度比啊，要按照这个比例来进行分析和思考。啊，接下来我们看21题，21题就是顺风逆风啊，那么这个跟咱们顺流逆流差不多好吧，所以在这里面大家呢，就是顺。

顺风走的时候，他就飞机自己的速度，再加上风的速度是吧？然后如果要逆风的话，就跟他自己的速度减掉风的速度一样，就跟顺水逆水行船类似好吧。所以这个题。好，接下来咱们看一下飞机装满燃料后，最多可以连续飞行六小时。在有风的情况下，可以确定飞机从基地出发，连续飞行40千米，在返回基地不需要加油。啊，

不需要加油好那么条形一无缝测试时，飞机自身的速度就有点像，如果进水的时候，船自身的速度是自身速度这么多，所以条形一它只知道。这个条件是知道这个风速，所以显然要联合，对吧？因为条件一它不知道这个风速条件二不知道飞机自己的速度，所以明显需要联合。因为明显缺少信息嘛，所以这样一个题，什么叫明显联合，明显缺少信息，它缺少这个信息，

缺少这个重要信息，没法往下推。啊零号零号大家可以发现。反行可以用咱们前面呃讲过的这个公式来做一些啊，列一个式也行啊，看是不是四四千米就s除以个？假如去的时候是顺丰，顺丰的话就一三五零。加上150。啊，一三五零。加上150是吧？然后回来时候是逆风，就一三五零减掉150，然后这是去的时间，

这是回的时间加在一起，正好等于六小时。啊，加起等于六小时，这s正好等于四千米。是吧，这样做这样也是可以的。好吧，也可以，或者说你用这个比例法做也行，比例法或者说用用比例法，因为大家知道往返它的什么，它的这个。路程相同，路程相同，

它的时间啊，时间就与速度成反比了是吧？所以说在这里面，大家知道一三五零。加上一百五除以一三五零减去一百五。这正好是1500嘛，是吧？这是1200是吧？1200，然后剩下约掉等于五比三。是吧啊，所以在这里面大家除以三啊五比四÷3。除以三就五比四好，除以三五比四五比四以后，大家大家知道这个时间正好那么一个是占九分之五，

一个占九分之四。啊，如果逆风的话，应该占九分之五，所以在这里面我们可以求逆风的时候，我们求顺风的时候也行，总共是几小时啊，总共六小时。六小时乘以个九分之五。乘九分之五，然后这个剩下约掉一个三。三分之十是吧？所以三分之十小的，因为总共不是六小时嘛，六小时六小时，

那么这时候逆风的时候用五小时，顺风的时候用四四小时，这样就写好了。然后这个s就可以求出来s呢，就用逆风的速度1200。速度乘以逆风的时间。那就得到四千米。得到四千米就行了是吧？这样也能得到四千米，所以联合是充分的，这些答案就选c选项，而且它处理方法思路看是不懂了。把它的考要点要弄清楚。好，接下来我们看22题，

这个题在400米长的椭圆形田径跑道上，甲乙两人从a点同时出发，甲第三次恰遇a点追上乙时，乙一共跑多少圈儿？那这道题大家可以发现一个什么问题啊，它正好是在起点点相遇，就中间它相遇的话，这个是不算数的。啊，所以这道题考点就是考的起点相遇问题。现象，大家一定要注意，每人必须都跑整数圈儿，你不可能说你跑五圈儿半能相遇，那五圈儿半那怎么能在a点呢？

对不对？你五圈儿半就不在a点了。所以每人必须要跑整数圈。好每人必须要跑整数圈。是吧，没人跑，只能这样，所以他在400米长的椭圆形田径跑道上，甲乙两人从a点同时跑。啊，从a点同时同同向跑。同学同学们好，则甲第三次与a点遇到乙时，则甲第三次恰好与a点遇到乙。好，

那么乙一共跑了12圈，那么我们看一下条件，一大家知道呃，它的时间相同。时间写相同吧，因为同时同同向出发嘛，时间相同，时间相同，它的速度之比就等于它路程比。对不对？所以其实这个400米没啥用啊，400没啥用好，那大大家知道它的这个。实际上呢，它的路程比就等于速度比，

所以说v甲比上v乙就等于s甲比上s乙。因为它们跑都是整数圈嘛，跑都是整数圈就等于圈数比。n甲比上n乙是吧？n就代表它们跑的圈数。好，那接下来咱们看条形一看行不行？条形一现在甲跑八米的时间。呃乙跑八米，实验甲跑十米。好，那这样就可以得到那么v甲比v乙。就等于十比八。就等于五比四。是吧，

十比八这样等于五比四。啊，这样就求出来了，所以说在这里面大家可以看啊，那么甲十乙是八就得到五比四。啊五比四的话，那么这是第一次啊，也就说如果第一次咱们回到点，第一次回到点的话，那么甲跑五圈儿，乙跑四圈儿，第一次回到。a点如果第三次要在a点的话，然后再乘以三倍都给它，乘以三倍就行了啊，

乘以三倍就五×3。四×3，所以说这个乙呢，就跑的是12圈甲呢，跑了15圈儿，就这样的情况好吧，你先找到最简总成比再说，最简总成比代表什么意思啊？资产折合比就代表着甲，如果转五圈儿。回到a点，同样的时间乙转四圈儿，也回到了a点，知道吧？所以说这是第一次，

他们在a点相遇。然后第二次如果甲再转五圈儿，乙再转四圈儿，又第二次回到点，第三次回到点甲再转五圈儿，乙又转四圈儿。所以说总共那么甲会转15圈儿，乙转12圈儿好，这个题目一呢是充分的。条件我们看一下，条件条件v+bv一。维亚比为乙跑四米的时间，甲跑三米啊，乙跑四米的时间就相相当于三比四。啊三比三比四，

然后都要扩大三倍就行了，扩大三倍。快了三倍，快了三倍，就相当于是那么这个三米，这个这个甲甲向什么甲跑三圈儿的时间乙能跑四圈儿？是吧，甲跑四三圈儿乙，它能跑四圈儿。对不对？然后这在这里面，大家可以看，如果甲再跑三圈儿，乙又跑四圈儿，又回到一点，

所以说再乘以三就行了好吧，乘以三所以这时候相当于甲跑九圈儿。乙跑了12圈儿，所以它这个也是充分的正确答案，就选d两条都是充分好看，这个是不是听懂了？那是不明白了，这是他做的一个方法和思路。好，接下来看23题一列火车驶过铁路桥，从车头上桥到车尾离开，共用一分25秒。紧接着，这个列车就穿过一条隧道，从车头进隧道开始，

到车尾离开隧道用了两分40秒。可确定火车的速度及车身长度，要确定两个问题啊，一个速度，一个长度。条件一是知道铁路桥的长度。条件二知道隧道长度好，那么在这里面，大家显然这两个条件它要联合，因为条件一的话。大家发现条件一原因，只知道铁路长度，铁路长度，那么你画个图嘛，这是一个桥。

好，这个火车。啊，从车头上桥到车尾，这个离开。它走的正好是车长加桥长，所以条形一只列一个方程啊，只列一个方程就相当于是啊，车长车长是l加上桥长。是900除以火车的速度v这样等一分25秒。是吧，一分二五秒。一分25秒可以把它。把它换成85秒。85秒。

对吧，好条件一它有两个未知数，不行条件2 l+1800÷v。这样等于两分40秒，两分40秒。一张160秒。对吧，好，这样就写出来了。啊，那这样大家知道两方两未知数就可以确定这个，咱们考试就不用再解了，反正两方两未知数啊，这个很很容易去解。好，

所以联想起来是充分的是吧？所以这个呢，就选c单独呢，它缺少信息，你这个你就主要看未知数。唉，个数和方程的个数就行了好吧，这道题不用再去解了。然后我们来看24题，这道题这道题就考了一个变速问题，变速问题，如果知道速度比的话，咱们就用比例法做就就快一点是吧？好一辆车从甲开往乙，如果把车速提高20%，

可比原定时间。提前一小时到达，如果按照原速120千米再将速度提高25%，可提前40分钟到达，那么甲乙两地距离是多少？其实这道题你先把m求出来，然后再看两条条件是否充分？好，我们画一个图。好，这个重启啊，开往乙。甲开往乙，如果把车速提高20%，那么咱们看一下第一句话，

第一句话就相当于是v现在。比上v原来正好等于一点二，比上一也可以写成六比五。对吧，所以因为提高20%嘛，是原来一点二倍一点二倍，所以说变成一点二比一就六比五。啊，就六比五。好六比五，这个算出来，那么它的时间比。t现在比上t原来。这样等于五比六。如果原来需要六份时间。

现在我速度提高了，走的快了，只需要五份儿时间，所以正好相差一份儿，这个一份儿这样对应一个小时。是吧，因为它题目说了可提前一小时到达，它正好对应一个小时。可体验一个小时到达。好，那这样就可以得到，那么就相当于是t现在就走全程需要。呃，需要五小时，原来是需要六小时的是吧？

好，那接下来如果按照元素行驶120千米以后啊，咱们再看一下，如果按照元素行驶了120千米，假设走了120千米。120下面后面这一段后面这一段我们给大家这个编个号吧，编号一下啊，这是a。BC啊，这是AB段儿。它的情况，然后咱们再看BC段。看BC段b段话那么速度要提高25%，提高25%，说明什么问题啊？

说明v现在。比上v原来正好等于一点二五，比上一正好等于五比四。是吧，正好得五比四五比四，那么这个t现在比上t原来。就等于四比五。好t，现在比上t原来正好就等于四比五啊四比五，然后在这里面它正好相差了一份儿啊，相相差一份儿。好，那这一份儿的话，相当于正好就是40分钟啊，所以这一份儿。

四十分钟就相当于三分之二小时是吧？四十分钟好，那说明说明b这段这一段的话，那么原来话应该用。三分之十小时。就拿五乘以三分之二就三分之十小时，这个三分之八小时。这样的是吧？所以一个三分之十小时，一个三分之八小时，这样写好了三分之十小时和三分之八小时啊，这是它的这个方法。对不对？所以说这个原来那么应该用三分之十小时的，大家知道整个全程原来应该用六小时。

是吧，原来是用的是六六小时，原来那这个一百二十千米就可以算出来，就是六减去三分之十，因为原来全程是用六小时。后面在这用三分之十，所以就给到三分之八小时。好，也就说120千米，原来要用一呃，原来要用什么呢？好要用。呃，这个三分之八小时是吧？那接下来我们就可以算成速度速度，

然后再乘以六小时就可以算出全程了好吧？所以全程就可以这样写。现在就拿一百二十除以个三分之八，然后这条速度速度，然后再乘以六就行了好吧啊，再乘以六。这样就写出来了好，那这个答案就可以求出它的结果好吧，所以这个大家看是不是懂了？然后这个也很好算，这个是15×45，45×6，它的速度是45啊，速度乘以六就等于270。啊270，

所以这个m这个距离就有270，所以条件一是充分的正确答案选择a。好，这道题大家呢？还要注意它的考试知识点，就相当于是我们呢，先知道，只要知道速度，它的比例关系啊，用这个。时间比和分数来找到具体的时间，这样话要简单好吧，这个变数问题咱们前面讲了很多公式，很多方法，你在考试时候挑一个最简的方法做就可以了。

好，接下来我们看25题，这个题两列对开的火车相遇。第一列火车上，乘客发现第二列火车在旁边开火时，用了七秒钟。则第二列火车的长度为189米啊，189好，那接下来我们来看一下它的这个情况，这是第一列。第二列。就第一列车上有个乘客。啊，然后两列对开对开的话，就这样开啊，

就对开。就这样对开。好，第一列车，这是这是第一列，这是第二列。啊，第一列车，然后这个旁边坐了一个人坐着人看第二列在旁边开火时，其实大家发现他看到是对方的长度，自己火车的长度没有关系啊。没关系，它看到对方长度，对方长度按照一个相对速度，知道吧？

两两车因为它呃是对开对开的话，它速度相加就行了好吧。速度相加，所以那么天王一天王一它的呃，这个s就等于什么等于七秒钟乘以它的相对速度啊？想象速度就12+15。就等于七×27。正好等于189米。所以铁网一是可以的，知道吧？铁网一也就说这个七就代表时间乘以它的相对速度，也就说你不可以把第一列车看成一个静止的。看基准后面这个车以一个相对速度，然后如果要相向的话，咱们讲相对速度是两个相加，

然后条件儿。填上ss就等于一个七秒钟，乘以个十+17是吧？也等于七乘以二十七一样道理，也等于八一百八十九米。所以条件上它也充分正确，答案应该选择d选项，条件上它也充分的正确，答案选择d好，这是它的做题方法思路啊，所以大家注意当多个物体运动的时候，比如火车呀，行人呀。多物体运动的时候，大家转换的相对速度来进行思考啊，

所以大家通过这这几个题要知道火车那两个火车错车时间或者超车时间。另外还有火车过桥，过隧道时间，还有火车上啊，一个人看另外一个火车从身边经过实验，他只跟另外一个火车车场有关啊。那这时候大家呢就可以唉，把这几个火车的东西题呢相应的去归纳和总结一下就可以了。好，这个给大家进行讲解的做题方法思路，看是否明白了，好把这些应用题呢好好整理和消化一下，就可以达到考试要求。

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