02.讲真题-第10章第1节-题型2-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 06:02:14

接下来咱们看一下啊，这个复杂取样考试出现的一些复杂取样。复杂取样包括分类比较复杂，那样本呢？它给的比较复杂，还有取样的一个得分情况，还有号码最值。比如最大值，最小值还有几何图形？啊图形。还有一些写字配对的取样，还有分组图形。啊，等等的啊，这里的取样，

这是稍微难一点的。甲盒里有红球，四只黑球，两只白球，两只大家都做一下这个题好吧？啊甲是有红球四只。四个红，两个黑，两个白。然后乙乙的话是五个红。三个黑。然后笔呢是两黑两白好这样的。好，这三个和摆好了三个盒，三个盒以后大家第一步啊，

第一步要从三个盒里面任取一个盒。知道吧，然后再从这个盒里面再取个球，所以说让它这样的先取一盒。然后再取一球。好，先取一个和先取一和，然后再取一个球。先取一个盒，然后再从盒里面取一个球，问他的红球的概率是多少，问他的红球的概率到底是多少？它先取一个和，然后再取一个球，用它的红球概率。

好，那接下来咱们来看一下啊，那么它概率p这时候叫分类对吧？因为这有三个核，咱也不知道取到什么核，所以这时候这时候我们要分类分啊，比如说要取到甲核。就三分之一啊，然后再乘以因为这事儿没做完，然后再接着做，所以要乘号好吧，乘以好取到甲盒，那么甲盒取从里面取球取到红球的话就八分之四。因为里面有四个红的，加上分类，

加上如果取的是乙盒，乙盒要取到红球的话，就八分之五。八八分之五就八个球，取五个球，然后再加上如果要取丙和它要取红球的概率是四分之零，因为它里面没有红球。好算出来答案，就选择d选项。好，那这道题教给大家一个小技巧，小技巧，你把这三个盒直接混在一起就行了嘛，混在一起混在一起，最后就取一个球就行了嘛。

知道吧，最后又取一个球，把它混在一起。是不是有没有同学想到把它混在一起啊？刚才混在一起，现在还不行，现在如果直接混在一起，你发发现答案不太对，大家可以看到，为什么因为甲总共是八个球，乙呢也是八个球，但丙只有四个球。那这个还不行，这个是不公平，为什么不公平？

因为混在一起以后，那个丙它的球少球少的话，它每个球的几率就不对等了。知道吧，比那球少。对吧，丙的球少，那肯定这样它它不对等呀，来自于比如说咱们有咱们有几个班儿，如果丙班儿人数少，如果咱们把它混在一起的话，随便取一个人，这个人是来自丙的几率就低。知道吧，它的概率低，

概率低，它就不公平，所以在这里咱要把它不公平的事把它变成公平了是吧，把它变成公平了就好了，那怎么怎么变公平，让它乘一个两倍。乘以两倍，乘以两倍，变成什么？变成四黑四白。四黑四白等比扩大等比例放大，四黑四白啊，这样就可以混了啊，这样可以混，所以说它的技巧方法。

好混合，混成。一个整体。然后再取样。混到一起，然后再取样，只要get pp总共就24个球。总是总是24个球，直接写24也行，知道吧，直接写24，因为相当于是这个是甲是八个，乙是八个丙呢，也把它变成八个，总共24个球。

而色球那么红球变成几个了？红球是四个红的，加上五个红的，所以变成九个红的。酒红的就等于八分之三，所以这样做也行，是吧？把它混在一起来进行写，混在一起的前提一定要把它变成数量相等的啊，所以这道题这里面有个关键点。就先统一数量。咳。再进行混合。先统一数量，统计完数量，

然后再混合再混合，然后呢，我们再来写概率好吧，同样道理，这道题如果问它要是黑球，它是黑球的概率多少？黑球概率你也把这几个盒子给它混在一起。混在一起的话，你看总共黑的有多少个，所以说甲的是两个，黑的乙是三个，黑的丙呢？变成四个黑的啊，丙不是两个黑的，丙把它变成四个黑的。

就甲两黑的乙是三个黑的，丙把变成四个黑的就可以了好吧，丙把变成四个黑。甲两黑，乙三黑，丙呢？把它变成四个黑，这样就可以了，好吧，变四个黑的。所以说如果问黑黑球的话，那一样。好，这个给它混合好，只要是它的数量都相同，

然后它的问法上啊，问法是先取和再取求这样的问法，这样问法那么都可以把它混在一起来进行求解。好，这是第一个，大家可以呃掌握它的小窍门。好，接下来咱们看一下这个题。好，大家思考这个题目。甲盒内有红球四只，黑球两只，白球两只，乙盒内有红球五只，黑球三只，

丙盒内有黑球两只，白球两只。从三个盒子中，任何一个任取一球，那么它的黑球的概率是多少？求黑球的概率到底是多少？想一想。这个都是在呃，这个样本，它稍微复杂点，分为甲乙丙这几个盒子。啊甲丙河。好，那甲丙盒，然后呢？

每盒里面又有不同颜色的球。所以这有甲乙丙三个核。啊甲丙三个核。好甲丙三盒，然后呢？他这三盒里面又有若干球。好，接下来咱们来看一下。看看它的表达式应该怎么写？大家首先要知道，先要取和，然后再取球，这是它的一个分析方法，有多个和的时候一定要先取和。啊，

再去求。它也相当于分为两步完成先取和再去求。如果分布的话，仍然是用乘法，那用乘法来表示就可以了。好，那接下来咱们看一下它的怎么去乘乘法？概率p。好，第一个方法。因为三个核，它是等可能的，所以取到每个核的概率都是一样，对吧？取到每个核的概率是一样的。

就三分之一。这其实每个核概率它一样。啊，就三分之一。取消甲，比如说这三分之一代表取消甲，取甲的概率三分之一三分之一取到了，然后里面要取黑球。你们要去黑球。好黑棋的话，大家可以看到这是。两个对吧？两个总共是八个球。两个，然后再加上。

乙盒如果取乙盒。乙盒乙盒呢？是八分。13啊，将饼盒饼盒呢。丙合呢，其丙合概三分之一。三分之一，然后呢？它的黑球呢？是四四分之二。可以就四分之二。所以大家注意取一个球，它的概率就等于它所占的比例，知道吧？

取一个球。几个球，它的概率就等于所占的比例，这样算就等于零点三七五。好，这个答案选择d选项。好，这是它的做题方法啊，前面这个三分之一都代表先取和。啊，其他甲乙丙。所以它要分类。是吧，分成三类。然后呢？

取完核，然后再从这核里面再去求。然后另外这道题的做题技巧是把球混在一起，然后再选把所有盒子的球都倒在一起。知道吧，甲乙丙三个盒子球都倒在一起，倒在一起，然后再从里面取。好吧，再从里面来来领取就行了。这里面都倒在一起，然后再进行取。但是到了一起。取的时候要注意一个问题，什么问题一定要把球都要变成八个球，

你看甲里面是八个球。一里面是八个球。丙里面只有四个球，这时候不能直接混合。不能直接混合，直接混合，那就错了。啊，直接混合就不行。然后要把它都变成一样的，都变一样，都把它变成八个球就可以了，好吧，把丙也要把它变成八个球。啊八个九那丙把它乘以两倍就行了，

应当知道扩大同样的倍数啊，那这个概率是不影响的，所以把丙。原来是两个黑，两个白，把它变成什么？把它变成四个黑，四个白，所以丙。把它变成四个黑，四个白。这样就行了是吧？把饼变成四个黑，四个白。它的闭合变成四黑四白，

这样就行了。这样话就变成八个球好，那概率我们就可以写出来了，概率给它混合在一起。为什么要把它变成八个球？大家要知道，因为不变成八个球的话，它混在一起就不再等可能了，因为混在一起以后，那么丙的球数少。肯定取出来丙的概率低是吧？他呢？就是不不是等可能的。是吧，所以混合完以后，

那这个不等可能，所以这样把它丙变成八个球，八个球就原来两黑两白都给它乘以个两倍。看到没？变成四黑四白四黑四白，这样的话，它就等可能了，它这个丙就是八个球了，丙八个球混合完以后就相当于共24个球。好在24个球里面有几个黑的呢？24个球，你看啊，那么黑球有两个啊，这个黑球有三个，所以说这个黑球有四个，

所以相当于共。共我们加一加，那这两黑这三个黑这四个黑，所以共应该是九个黑球。这个黑黑球，所以取一个黑球的概率p就等于二十四分之九。就等于八分之三，就等于零点三七五。那就零点三七五这样就写好了好吧，这是它的方法，看懂了没有？就零点三七五这个答案选d。所以不能够直接混合，直接混合，那么这个答案就是错的好吧，

这是给大家强调，如果告在一个小窍门，如果多个样本。都一样，本要把它倒在一起的话，那使用前提一定要是数量一样，如果数量不一样，可以把。那个数量少的那个样本，只要乘以个倍数，乘以倍数以后，然后再来用这个窍门儿就可以得到答案了。第二个题，咱们看第二题就是把它我把这个球把它称为彩球，这个彩球有点像咱们讲的全能元素，

但跟全能元素又不一样是吧？它就把它称为一个彩球，就上面什么颜色都有。就彩色球，简称彩球。这个彩球有点像变色龙一样，咱们呢？它的颜色它都有是吧？然后接下来咱们看这道题，这道题当然你可以按照彩球选中没选中来进行分类讨论，那样太麻烦了，知道吧，所以教给大家直接咱们用简便。方法做，如果他问最后球上有红色，

你直接把彩球当做红球，知道吧？彩球看成红球就行了。并不说以后咱们遇到彩球都把它当做红球啊，也就说它它问什么颜色的，你把彩球就当成什么颜色球就当成。所问颜色的球。哈哈哈。好当成所问颜颜色的球啊，当然所问颜色的球。把彩球当成所问颜色的球。你看它问什么颜色啊，就把它当成什么颜色，如果问的是红色，那就把它当成红球，

如果问的是黑色，把它当做黑球。比如这里要问，恰好一个球上有黑色的概率，那这些彩球变成黑球。所以把它当做红球以后啊，当做红球以后，尤其这道题彩球越多，咱们这个方法呢，这个技巧呢啊，优势越明显。知道吧，越简单好就就不用去分类讨论了，知道吧，所以这里相当于什么这道题的题目相当。

当于这是两个红球，一个黑球，一个白球，就这样的好吧，你把它看这种情况，这样话就当做一个咱们会做的一个取样了，所以考试发现这是来一个彩球。或者里面放两个彩球是吧，然后这时候呢，我们把这彩球呢转化成。转化成呢，这个它所问颜色的球。好，那接下来咱们选就行了，它说恰好一个球呢，

有红色恰好一个球呢，有红色分母就c四二就四个球选两球，这是分母好吧c四二。分子分子的话，它恰好一个球有红色，就从红球里面选一个，从其他球再选一个就可以了，好吧，所以答案就选择出来了。答案就求出来了啊，好，这是它的方法，看懂了没有？好，这是做题的思路和要点，

看是否明白了啊？啊，这是彩球的事儿，所以以后不管彩球有几个都是这样，都这样研究啊。好，接下来咱们再看一下这个题，这个题主要有彩球。主要有有彩球，想想应该怎么做？这个红黑白三色球叫做彩球。好，大家做做这个题，河里面有四只球。使用红球，

黑球，白球各一只。另有一只红黑白三色球。线程中任取两球，其中至少有一球有红色的概率是多少？至少要有个球，有红色直接考拉，至少有一个。至少有一个球上要有红色好，那在这里面大家呢，要从反面做是吧？所以反面要。好分析又要知道一个反面。好，至少有一个的反面，

就是没有红球，没有红色的是吧？这些反面就是无红色的。反面就无红色的，无红色，我们看它的概率p。就一检查反面总情况数，应该c四二。就总结函数四个球取两个球。c12它反应没有红色，没有红色就相当于从黑球和白球里面这两个球里面取。黑球白球总共就两个球，黑球白球就两两个球，两两个球，取这个二就代表取的是黑球和白球。

然后这样算就等于六分之五。好这个呢，应该选择e选项好，这样做好了，咱就选择e看大家会不会分析和思考？好，接下来咱们看这个题。盒中有八只不完全相同的球。好从中。双周。有其中有红球，黑球，白球各两只。另外有两只三色球。从中取出两球，

至多有一个球，上有红色的概率是多少？看这个题啊，至多。有一个球上有红色。只要带点红色就行，好像这个题他的做题方法。好，这道题那应该怎么写？我们看正面。至多有一个，要么有一个，要么零个，那我们从反面做要简单点。反面就两个球，

都要有红色是吧？所以反面就两两两个球。都要有红色。反面反面有两个球都要有红色。毕业都要有。然后概率p我们写写就一减去分母，分母就c八二。分子两球都有红色，都有红色的话，其实在这里面大家要知道一个小小窍门儿，把这个彩球如果它问是红球。你把这个彩球当做红球。就可以了好吧，所以它的技巧现在红球有红色的球就用四个球，就是两个红色和两个彩球。

是吧，这这个把它看成一个彩球。嗯，把它看成一个彩球就行了是吧？嗯，看成一个彩球。所以在这里面，大家可以发现红球两个，还有两个彩球，总共四个球，四个球随便选选两个就可以得到答案。啊c十二好，这个算的结果就等于十四分之十一。答案就求解出来，这个呢，

就选d选项。是吧，这样就做好了。好，大家看这个题。盒中有八只不完全相同的球，其中红黑白各两只，另有两只这个彩球。从中取三个球。至少有一个球上有红色的概率是多少？至少有一个球上有红色。好，至少有一个球啊，有红色来想想这个题。至少有一个球上有红色，

我们可以从反面做，对不对？大家都思考一下。反面相当于是。啊，这个球没有红色。就三个球，取出三个球。无红色。啊，没有红色。对吧，就它反面。那接下来咱们get p写一写。就一减去总共呢是c八三。

怎么c八三？然后分子分子化，没有红色的球，没有红，没有红色，就像黑球和白球。黑球和白球加在一起，总共四个球，对吧？黑球白球加在一起，四个球从四个球取三个球就行了。等于十四分之十三就可以了，这呢就选b是吧？这呢就选b啊，这样的方法看懂了没有？

然后这是它的方法。下面咱们看这个题袋中有六只红球，四只黑球从袋中随机取出四个球。甲取到一只红球给两分，需要一只黑球给一分问得分。不带六分的概率到底多少好？这道题它求这个得分的问题。好，那接下来对于起求得分问题，我们看应该怎么思考和纠结？呃，那么根据得分呀，大家一定要会。进行。判断它有几个红球，

有几个黑球来进行判断一下好，所以说我们看一下得分。要小于等于六分。得分小等于六分，那么大家想一想。它会有几个红球，几个黑球呢？那有可能是四个黑球。四和九他要得四分。有可能是三个黑球。一个红球，这样可以得五分。还有是两个黑球。两个红球得分呢，是六分。

好，这样的话，满足不大于六分，不大于六分，得分小于等于六分，所以分类分成三类，然后概率我们就可以求解出来。分母呢，总共是十个球，十个球取四个球，所以它的分母就可以写c14。啊，就十个球，取四个球就可以了啊，十个取四个c14，

然后分子分子要么四个都是黑球。c四四。好，要么就三个黑球啊，一个红球，三个黑球就c四三红球就c六一。加上要么就两个黑球，两个红球好，那么两个黑球，两个红球，我们看它的方法就两个黑球c四二，两个红球c六二。这样就可以了，然后上下大家化简约分可以得到四十二分之二十三。然后答案就选择a选项，

所以通过这道题，大家学到的方法就根据它取求得分我们来。确定它的。情况分类分类以后，然后再写出概率表达式就可以得到答案了，好，这是它的求解方法和思路，看是不是听懂了？好，那接下来咱们来看一下取求得分的这个问题，看会不会做取求得分？袋中有六支红球，四支黑球从袋中取四球。射去了一只红球得两分。取得这黑球得一分则得分不小于六分，

不小于六分，你就大于等于六它概率。大家想想这个题。得分不小于六，就像大于等于六，它的概率。好，那接下来咱们看它概率到底是多少？想想它的概率啊，应该怎么写？得分不小于六分。不需要也就大于等于等于六啊，一起来思考一下。好，那我们这个时候要用列举分类加列举是吧？

分类加列举。好不小于六分。不需要六分呃，那我们看看六分七分八分。是吧啊，六分的时候。啊，六分钟时候就两黑两红。因为红球给给两分，黑球给一分，这两回两回。脸红七分七分发一黑三红。八分八分就四个红球。是吧，所以这是正面情况。

然后反面反面差不多，反面少一点点。啊，正面反面都都可以吧？好，那接下来大家写下概率p。分母呢，是c14。分母就代表十个球，然后取出四个球。分子要是两黑两红。那从四黑球取两个红球，取两个加上。啊，一黑三红。

啊，一个黑球，三个红球，所以c四一。c六三。加上。加上四个都是红球，四个都是红球，就是c六四。得到四十二分之三十七这个写好好吧，四十二分之三十七这个呢，应该选择e选项。啊，他的方法这个呢？选e好看这块是不是懂了？

正确答案是选e的啊，他的考试方法看是不明白了。接下来咱们再看最大号和最小号的问题好吧，最大号和最小号。在231页第四题231页的第四题。好，最大号最小号的问题。好，这里大家想想，最大号要为四，最大号要为四。好，最大号要为四说明什么呢？说明取得这三个情况，四号必须要选，

必须要选是吧？最大号要为四。在v4就说明四号球必须要选，必须要取。啊四要求必须要取。字号为四嘛，这个四号就必须要取。然后的话，其他都得小于四，不能比四大是吧？所以再从一二三再取两个从一二三。再取两个就行了。是吧，起点了，这样可以写出来好它的答案，

分母分母有c五三叫分母c五三c五三，代表从五个里面取三个。啊c五三这总的选法分子呢？四号球必须要取，必须要取，然后再从一到三里面取两个，一到三里面取两个就c三二。一到三，一到三，里面取两个就c三二。从三个起点上就行了，所以就得到零点三。好，如果最小号为为几也一样好吧，所以按照这个去做，

咱们这个扩展里面给大家讲的，比如最大号或者最小号是多少，大家呢要会选，然后把这个号取完后，其他的再选就可以了。好，接下来咱们再看最大号的问题，最大号最小号，大家思考一下。好一只口袋有十只大小同样大小的球。变化为一到十。从中随机抽取三个球。则取到的球中质量号码是六的，概率是多少？直接取到的球中最大号码是六，

它的概率。好，大家都写写。好在这里面大家知道，最大号要为六，那说明六号球必须要取。其他号都要比六要小是吧？所以最大号。要为k，这还要为k说明什么？说明k号必须要选k，必须要取。其他要小于k。是吧啊，如果最小号为k，

最小号为k，其他要要要大于k。啊q号必须要取。所以所以在这里面像六号球必须要取。分母就c13分，母c13啊六要求必须要取，必须要取，然后呢？六就必须只有一个方法可以省略啊，这一个方法就省略了。然后再从一二三四五五个里面，然后再取三个就行了啊，五个里面再取三个c五三。这样写好了，得到是十二分之一。

得到十二分之一，这个写出来了，这个呢，应该选择a选项。建议大家选择a好这个做题方法思路，看是不是懂了？好，这段号会了，那咱们看最小号。最小号。好，最小号要为六，最小号要为六的话，说明六号球必须要取。那要求必须要去。

然后剩下的b要比大于六的，再从七到十里面取，再从七到十。取两个。这样就行了是吧？这种七到十里面取两个。这样就写出来了，好吧，这是他的方法，看懂了没有？所以概率p我们就可以写出来c13。这个六个球必须取有一个方法，可以不用写啊，一个方法再从c四二。这个血。

好，这样就得到二十分之一，这个答案选d。好，这是这这个表达式。好，跟上个题是一样的。啊，所以这两题他是一样的。啊，一个是六要求必要取。再从其他大于。或者小于的球里面再取就行了，如果最大号要为六，最大号要为六。

好再从一到五里面，然后取两个就可以了是吧？一到五里面取两个就可以了。好，这是它的方法。这个是从七到十里面取两个就可以了是吧啊？取两个好这个呢就选d。好，咱们来看这个题。好一只口袋有十只同样大小球。编号为一到十从中随机取三个球。则取得最大号码是八，且最小号码是三的概率是多少？好，大家想想。

就相当于什么意思，相当于八必须要取。三呢，也必须要取对吧？三也必须要取。然后再从四到七取一个。四到七中再取一个就行。啊，所以说接下来我们可以写上概率p。分母就c13。分子八号球必须要取，这个只有一种方法可以省略，三号球必须取也是一种方法可以省略。然后四到七就四五六七四个球，再取一个球。

咳。这样得到三十分之一。这个答案就选e，这样就写好了好吧，这个答案是选e的答案就求出来了，好它的方法。好，那接下来咱们再看。好一只口袋挣了十。使之同样大小求变化为一到十取三个。好那么三个球的编号之和要为五的倍数的概率到底多少？那在这里面，大家呢？V5的倍数。先要怎么处理？

它的和为五的倍数。三个球的和要为五的倍数。好，那接下来大家想想啊，以后遇到几个数的和是几的倍数啊？大家呢先？把它按照余数来给它进行分类。分类化就好讨论一些，知道吧？分类就要讨论好讨论。如果你不分类的话，那这个呢？就很容易漏掉，或者说自己找着找着啊，就晕了是吧？

是这样的。就按照它的和。按照它的余数分类。好，按照余数来进行分类就行了。好，那余数给它分类，咱们看一下它的分的情况，首先咱们看一下余一的。余二的。余三的一个数除以五的余余数。给它进行分类。对吧，分类。余一的余二的余三的余四的，

还有整除的整除有余零的。好余一的，咱们看一下余一的。啊，一个数除以五余一余一就一跟六。是吧，一和六它的余一。好余二的。啊，余二的话就是。二和七余三的。就是三和八一似的，就是四和九。鱼鳞呢，就五和十。

是吧，五和十。好，接下来想三个数相加。上下相加要的是五的倍数，我们看怎么拼凑是吧？这怎么拼凑？或者刚才有同学直接讨论也行，讨论的话，因为这里数不是很多，就十个数不是很多，那可以讨论出来。如果数要比较多的话，那就不好讨论了，对不对？

所以在这面大家呢，你看有的同学可以是五。可以是十，可以是15。可以是二二十等等的，还有看还有没有是25的情况？是不是所以在这里面大家呢啊？就看有没有二二二十五的情况是吧？30是不太可能的。是吧，所以这个。反正就这样讨论呗啊，讨论比如说等于五的时候啊，它有多少种多少的方法啊，等于五的时候。

看看会不会呃，等于五=5好像不太行是吧？啊，等于五的这道题那没有那要讨论等于十的呗啊，三个加在一起等于十的。然后三个加一起等于15=20=25，反正这是一种方法，讨论起来可能要复杂点。接下来咱们就按照余数来好吧，按照余数来进行进行写。按照余数。按照余数的话，大家想想应该怎么弄啊？按照余余数的情况。好，

那余数型的话，那我想想呃，能被五整除能被五整除的话。反正能被误整就余数凑凑成五就行了，咱们先看余数凑成五的有有几类是吧啊啊有有几类？比如零一四。零二三。这样都可以是吧啊，零一四零零二三。还有什么？还有就是。一一三两个余一的。是吧啊，一三这样。可以是吧，

然后这个。一呃二二。二一就一二。这样也行，对吧？一二一个余一的两余二的，这样也行是吧？这样也可以。然后还有余三的。两个余三的。啊两于三的啊，和这个四的是吧四的？然后四四二，所以这样写的规律就明显一两都余一的，两都余二的。

是吧，然后呢？这样的。两等于三的四四二，这样也能凑，反正凑在余数余数，如果加在一起是五的倍数的话就可可以了。是吧，然后接下来啊，那么就是这样的一个方法是吧，这样的方法。那接下来咱们就写它的表达式零一四余零的，选一个余一的，选一个余四的，选选一个都剩c二一c二一c二一。

是吧，四点一c有八有八种情况好，这是八种情况，这是不是也是八种情情况？就余零的一个，余二的一个，余三的一个，然后一一三。那一三。好，一三的话，在这里面大家看看一三。两个余一的c二二。一个余三的。c二二一是吧？

反正这就相当于是两种情况，那这是两种懂了吧？就这个是两种，这两种两种两种都是呃。两种。你看这个是两种，两种两种吧。所以这个也是八种八种加加在一起就24种。24种好，这个写好了。所以这个题大家可能想不到以后，比如说呃两个数的和或者三个数的和是几的倍数，大家先把这些数呢，按照余数给大家进行分类。分了以后，

然后接下来就看这个余数怎么？转化为整除。然后整除就可以了，所以get p我们就可以写出来。分母是十个数取三个，所以分母就c13。十个数取三个分子，咱们列出来总共有二十四个数，对吧？二十四个数，然后列完后就等于五分之一。我们注意好，那有同学可能可能会漏掉一些啊啊，漏掉一些漏掉一些，那这个答案就会少。

是吧，所以大家不要不要漏掉。让这个余数分好类。好，这样大家应该选择d。那应该选择d。你选其他选项同学可能哪漏掉了？好，这个给大家强调余数，所以几个数他整除的余数，大家要会分析和思考。好，我们看这个题。哈哈哈。仍然是十个十个球，

编号为一到十，从中取三个球，则三个球编号之和要为三的倍数。啊，三个球的编号之和要为三的倍数。那想想三个球的边要之和要为三的倍数。好为三倍数法，那我们看应该怎么写？好，仍然是按照余数来进行分类讨论是吧？按照余数来讨论。好，那它是除以三余一的。一二的。和与李玲的。

啊，那这个余数啊，这个要少一点啊，余一的余一的就一四七。是吧啊，十呃也也算。好，一四七十这是除以三余一的。除以三余二的余二的话就是二。五八。那余二的。对吧，鱼饵。然后余零呢？余零有三六九好，

所以这有三个数，这有三个数，这有四个数。好，大家做做这个题。现在三个数的和要等于三的倍数。三的时候和要三的倍数。所以说我们看他应该怎么写呢？比如三个余一的。可以三个三个被删除，余一的这样可以的三个被删除，余二的。加在一起也是被三整除。三个余零的相加，它也能被三整除。

还有一个余零的，一个余一的，一个余二的也行。好一个余零的，一个余一的，一个余二的也可以。啊，余零的余一的余二的这样也可以。好，这样也行，好吧，好，那接下来咱们写写表达式啊，写表达式看到底选什么答案？好，

他概率p好，那么就是。三个都余一的。三个都余一的就c四三，因为余一的有四个数。啊四个数对吧？四个数。三个余二的余二就就三个数c三三。三个域里呢也c三三。三余零的也是c三三，一个余零的，一个余一的，一个余二的就是c四一c三一c三一。这样好，是不是这样的？

大家想想一想。然后除以个总情况数c13。这种情况c十三好，这个分子算出来应该是四十二个啊，四十二个数啊，分子算出来四十二个数应该二十分之七。然后这个呢，应该选择a选项。好吧，选择a。这样写好了。好看他结果是不是弄明白了啊？他的方法。呃，这道题它不能够不能够混合，

有同学可能想到把甲乙两个和混成一个和能不能取啊？这道题不行，这道题跟第一个题，你看区别在哪？怎么改？就是用第一个题刚才说的，把几个和啊倒在一个倒在一起，混在一起来进行选。什么时候不能选？大家要知道好吧，你看它的区别区别是什么区别？就是它要求的取样怎么取的？现在从第二句话开始。现在从甲盒取两支放入乙，然后再从乙盒最后取两支问最后是黑色的概率是多少？

这个题呢，它是这样的，它的和呢就不公平了，知道吧，它必须是先从假和选。它不是说我一会儿从甲选，一会儿从乙选，它不是这样的，跟咱们这个第一题不一样，第一题因为你有可能从甲里面选，有可能从乙里面选，有可能从丙里面选，它大家都是公平的。这都是平等的，懂了吧？

所以这是它的这个，如果这里这样写这里，比如说线从两核先取核，然后再取这个。这个比是吧？先取和再再取球，如果这样改，那么就跟第一题一样，比如它改成你从这两和里面取一个和每个和取一支笔。是黑色的概率是多少？这时候你就可以混合，没问题，知道吧？但它现在呢？它不行啊，

现在必须是先从甲里面取，不能够先从乙里面取。那这时候呢，它就是不能够把两核混在一起啊，所以要知道它什么时候混在一起，什么不能混啊？好，这个题那怎么办呢？只能按照一步步来呗，按照一步步来，他说从甲先取两只给乙。给乙，然后再从乙里面再取两只。取两只问两只都是黑色的，概率是是多少？

两只都是黑色的，概率好，那接下来看一下两只都是黑色，我们应该怎么写？两只都是黑色。好，那这时候要讨论，你知道吧？讨论因为甲的这两只啊，它取过来有这三种情况，有可能甲取的两只都是蓝色的是吧？这两只都是蓝色的，有可能两只都是黑色的，有可能一只黑一只蓝。是吧，

所以在这里面大家呢，就是分分这几种情况好，所以概率p第一种情况，第一种情况，如果甲取的是啊，两只蓝色的吧，先学两只蓝色的啊，这c2。二甲如果取了两支蓝色的啊，这个是甲甲，如果取两支蓝色的给乙乙的话，就变成七支笔了，能看懂吧？已变成七支笔。乙这样就变成70了，

然后这样它黑色的概率，因为它取的是蓝色的，给乙乙的黑色的不变c12是吧？这是乙。加上这事儿做完了，加上加上加上，然后呢啊甲如果取的是两个黑色的，两两黑色的，两黑色，那乙呢就变c七二乙的黑色就多了，乙的黑色就变成五只。是吧，五只，然后五只，然后取两只黑的，

它的黑色就变多了，然后如果甲是一黑一蓝，一黑一蓝就是这样的，然后呢乙呢是c七二。然后这个黑色的变成四个c四二对对对，反正这个数嘛，自己化简算一算好吧，这样答案就写好了好，这是他的做题的方法，这道题就不能够混合，反正只是按照他的要求先从甲取取，然后放到乙放乙乙。然后再从乙盒里面取好吧，然后这样大家的方法就可以写出来啊。好，

下面咱们看这个题。然后这个题大家做题的思路是什么呢？要把一个东西。放到另外东西，然后最后再取。是吧，所以大家可以看甲盒里面有两只。蓝色的和三只黑色的。礼盒里面也有两只蓝色和三只黑色。好，现在要从甲盒里面取两支，任取两支，放到乙盒，再从乙盒取两支笔。最后取了两支笔，

敲一支黑色的概率是多少？下一只黑色的概率到底是等于几？好，大家想一想。好，那给大家画一个示意图，比如这是甲，这个是乙。首先，两个蓝色，两个黑色。啊，这个两个蓝色，两个黑色。现在要从甲里面要取两只，

放到乙里面。好从甲里面取出两只，放到乙里头。放到乙盒里面，然后再从乙盒里面取两支，最后取出来两支笔撬一支笔是黑色的，概率是多少？好，这里面就有分类。要分类讨论，要分类从甲盒里面取出来两只，这两只到底是黑的还是蓝的？要分类。啊，到底是黑色的还是蓝色的？

那这个分类。因为企这两只有可能是黑色的，有可能是蓝色的。对吧，所以这要分类，要分成几类啊？要分成三类，对吧？分成三类好，这两只黑色的，还有两只蓝色的，或者一只蓝一只黑的。是吧，一只蓝一一只黑色的。就是这个要分类。

好，那接下来咱们来看一下分类好吧，分类那第一类第一类甲是两只黑色的。d类概率p看看啊d类概率。好甲取两只黑色肯定有概率呀，甲总共是。啊，这都是三只黑色。啊，都是三只黑色对吧？两蓝三黑这分母应该c5。二从五个里面取两个分子呢，是c三二。好，这种挤压里面取两个黑的，

是不是这样的？好，那么这甲取出两个黑的，放过来以后。然后这个乙就变成几支笔了，变成是不是七支笔了？是不是变成七只？原来它是五只嘛，我说增加加上两只变成七只，所以c七二。是吧，这有c七二。分子的话。分子的话，那么它说要翘一支黑笔，

那么乙的黑的就变成五支了啊，五支所以五个黑五个黑的选一支黑的。蓝的里面选一个。好，这是p1。好，如果如果甲取的是什么？全是一黑一蓝。甲血是一黑一蓝，它的概率p。c五二，c二一，c三一，这是甲。然后乘以乙还是七个。

如要取一黑一蓝，那么。乙的黑的变成四个四个黑的。蓝的变成三个。三个，然后如果甲取的是。两个蓝色。甲醛是蓝色。分母就是c五二分子c2。乘以个这个分母c七二。分母就c七二。分子如果。甲缺两蓝色放过来，那么乙应该是。四个蓝色的，

三个黑的。对吧啊。好取一黑一蓝，这样就写好。好，然后分成三类，把三类相加就可以了，把三类相加，所以最后概率p就等于p 1+p二+p三。好把这几个数加在一起，得到三十五分之十九。在哪选e选项？啊，三十五分之十九就写好。而且他做题方法好看，

这些是不是懂了啊？就这道题稍微难一点，大家要先。根据题目先分好类。先分好类，然后再往里面求解好吧，分这三类。三点，然后再进行写就可以了。好，接下来咱们看这个题。好，这个题他问的是至少有一个是黑的。至少有个黑的，那我们可以从反面做对吧？

至少有一个黑的。就相当于一会咱求它没有黑的就行了。是吧，那咱们求没没有黑的。嘴唇反面做。盘面是没有黑的，没有黑的，两只都是蓝色的。看他概率是多少是吧，最后取的两只都是蓝色的。好，这时候一样也要分成这几类是吧？就甲给乙要两只。那要分类。分类化那么第一类就是甲孩子取两个黑色的。

前一点黑色的话，还是c五二c三二。那夹去两黑色的概率。乘以那么这时候乙取的没有黑色的，没有黑色的，都是蓝色的。是吧，都是蓝色的啊，蓝色的话那么概率，我们看怎么写蓝色的话就是就是乙只有两只蓝色的。c七二是吧？全都是蓝色的。然后咱看甲，如果要取一个黑一个蓝。假如我取一黑一蓝。

啊甲取一黑一蓝的话，就相当于是什么？就像是c。啊c，这个是二一c三一÷c五。二是吧，好一黑一蓝。然后这个乙乙的话，取的全都是蓝色的，全都蓝色的话，乙有三个蓝色。c三二是吧？然后这个最后是加，如果取的是两个蓝色的。比如c五二。

然后甲取了两蓝色c2。乘以这个c七二。c四二一里面就变成四个蓝色的。好，这时候我们把p1P2P3给它加在一起。就算有点七十分之九。好把这个相加得到七十分之九。好，七十分之之九算出来以后，它的反面就一减掉，这个概率就行了，一减掉七十分之九，所以所求的概率p。一减掉七十分之九。七十分之六十一答案就写好了。

啊，七十分之六十一这样就写出来了。好吧，所以这是它的做题方法思路，看是不是懂了？好这个呢，就选择d选项。好，这是它考试内容。就这种的话，就取从一个样本取取几几个放到另外一个，然后再从另外一个取，这叫分类讨论。然后看它取的到底是什么样样，然后分类讨论来进行，

然后接下来因为这个接下来咱们看一下这个题，这题的话，咱们把它一个大的图层呃正呃图层红漆以后把它变成。n的三。三次方个好吧，这125相当于是五的33次方好吧，五三次方就把一个大的。哈哈哈。啊，把一个大的是吧，然后变成这个n三次方个小。小的正方体。n三次方个小的正方体。好，那接下来咱们看三面有漆的，

三面有漆的，三面其实就在这个顶点处，知道吧？这个顶点处八个顶点。所以它不管它锯成几个正方体，它三秒七的都是八。个是吧，不管锯成125个，还要锯成64个，还要锯成64个，它这个都是那个什么都是八个，上面有有七的嗯八个，所以说。是有三面有漆的。那秀的战争。

三面有红漆的。它这个呢，是八个，大家写一下顶点处。然后接下来咱们再看一下，两面有漆的。两面有七的，两面有七的话，只能在每个棱中间了是吧？就在棱棱中间，大家知道每条棱应该有n个每个棱n个的话，得去掉这个顶点的，所以n- 2。总有12条棱吧，12×n- 2个对，

就是它棱边上。啊棱棱边，然后咱们看一面五七的。啊，一面儿漆的应该在面儿上，对在面儿在面儿上面儿要把一圈儿给它去掉，知道吧？一圈儿给它去掉，所以说面儿面儿每条边相当于n- 2 n- 2，所以n- 2个平方，它有六个面儿啊。这个面。这个面在面上。然后呢？咱们再看没有七的无期的。

无漆的无漆的就把外面一层给它去掉是吧？外面一层给它去掉啊，外面一层啊，给它去掉就像咱们吃水果一样。把外面一层去掉，里面一层就是没有t的是吧？就是内部的一个小正方体。就在内部。就在内部好了，现在给大家写好了。所以这考的这个想象能力是吧？大家呢，相当于就是大家一定要理解去记这个公式，不是死记硬背，死记硬背，

你今天记住了，明天就忘记了，知道吧？上考场一着急又忘记了。首先想象想象这个立体图形，它什么样子是吧？就结合这些立体几何来考概率，那大家能不能想到好吧啊？这个这个图七的情况能不能把它想好？好，那接下来咱们来看一下啊，看一下这道题，这里我就写四写写啊，如果n要等于五啊n=5这道题n=5，它至少有两面儿，

有图有红线，至少两面儿，至少两面儿包含两面儿和三。三面儿是吧？就最少这要这个正方体，两面儿就有七就是两面儿和三面儿，这个加加在一起，然后除以125就行了好吧，除以二一百二十五。就把n=5带到里面去，带到里面去，这个两面我记得有36个36，36+8，44，44，

44呢，那除以个幺二五好吧，这个概率我给你写写好吧？八+36除以幺二五，因为它这道题只取一个知道吧？只取一个，只取一个还好是吧就？所取的正方体至少两面上要有红漆，包含三面有红漆的情况啊。好，这是这个题。好，接下来看。它这个正方体的问题。跟咱们几何相关的啊？

跟几何相关的？将一块各面均涂有红漆的正方体给它锯成64个大小相同的小正方体。从这小正方体中随机抽取一个。所取到的小正方体，至多一面涂有红漆的概率是多少？啊，至多一面它涂有红漆的概率。好，咱们先看64个，这个正方体。这64个里面我们看。它这个按照它的面儿的红漆的情况，我们可以先给它分一分是吧？按照面儿的红漆情况给它分一分。啊，

分成什么呢？啊，分成。三面有漆的。两面有漆的，有几个？一面有漆的，有几个？无期的。有几个好吧，所以在这里面大家呢，要知道他的方法。好三面有七的，大家知道三面有七的，应该是有顶点。

顶点处，所以八个顶点。顶点处，他是三面有漆的，对吧？顶点。然后两面起两面起就棱中间。因为这64相当于四×4。再乘以四。是不是所以说它这个啊，一条边上应该有四块儿四块儿，它去掉两个顶点，所以有两块儿。这一条棱边有两块。这有两块，

它总共有12条棱。这24个。是吧，12条的就24个。然后咱们看一面儿有漆，一面儿漆就是那个面儿中中间中间这块儿。中间话就相当于是。四块是吧？中间四块就每个面中间啊，它这个。啊，因为去掉。去掉这个棱边嘛，这棱边这是四块，它有六个面。

啊，六个秒。然后无期的。是吧，咱们看它这个嗯嗯，没有七的。好没有七的，我们看有多少个是吧？没有七就有中间了啊，就是把外面层给它去掉，所以就二的。三次方就等于八个是吧？就有八个就是内部有八个好，这个咱们就写好。是吧，

他说至多有一面儿有红漆，取一个至多一个面儿有红漆，一个面儿至多一个面儿就包括什么包括一个面儿的和没有漆的。是吧，一个面儿和没有漆的，这样的话，我们就可以写出来，所以概率分母呢，就是64。分子分子的话，那制作一个面儿就是24，一个面儿有红漆的和没有漆的就24，加上八。稍等于二分之一，那么你就选择e选项好，

这是他的方法，看是不是懂了他的内容。建议大家就选择e，所以首先要根据咱们立体几何的知识，先把这么多个小正方体。分一分按照几个面儿有红漆，分一分就三个面儿，两个面儿，一个面儿没有漆的，分一分分完以后，然后再从这里面进行取样。

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02.讲真题-第10章第1节-题型2-1

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