03.讲真题-第7章第2节-题型1～2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:57:32

好，各位同学，大家上午好。啊，咱们的课程很快开始了。没进直播间的同学抓紧进来。嗯。好，大家在学习过程中有什么疑问都可以随时进行交流啊。好，还没进直播间，同学抓紧进来。好，咱们课程很快就开始了。嗯。

好，各位同学，大家上好啊呃，咱们准备开始上课啊。呃，接下来咱们学习解析几何？呃，解几个的几个关键点。和学习的重点啊，咱们讲讲。呃，第一个还是面积问题。面积呢，也是咱们考试重点。那咱们在前面学平面几的时候讲了各类求面积的方法。

接下来那么解析几何，里面也要求面积解析几何，里面求面积呢？是首先要结合解几何的图形，然后和平面几何的知识来求面积。所以它要用到平面几和求面积的方法，所以要画图画图，然后求面积。好，接下来咱们学习解析几何求面积的相关方法和思路。啊，首先咱们看一下它的考试呃情况的分析，第一个那么考试比重几几何呢？其实相当于平面几何的一个延伸。它主要将平面图形放在坐标系里面来研究。

就咱们前面图形呢，没有坐标系，比如三角形啊圆没有坐标系，现在咱们把它放在坐标系里面来进行研究，这是几几何？这样可以把图形数字化，就图形研究更精确一点。啊，利用几何几何求面积和利用平面几何求面积方法，它是一样的。啊，它是一样的，只不过将所有的图形从定性研究转换的定量研究。呃，有坐标系了，

那这个图形就可以定位，研究起来就要简单一些。然后命题空白有三条直线，围成三角形面积，这是命题的空白。啊，三条线。接下来咱们看一下考试预测，利用几何几何可以求解三角形，四边形和圆弧相关的一些面积啊，面积的方法，这个要知道。首先咱们看一下支点结构，本部分支点结构啊，支点结构那么第一个就直线与两坐标轴围成三角面积。

啊，一条线以两轴y轴x轴y轴构成的三角形面积要会求解。第二，两条直线与x轴为称面积。就两条直线与一个坐标轴，一个坐标轴可以跟x轴围成，面积好，还可以跟y轴围成面积。啊，两条直线跟y轴围成面积，然后第四个考试呢啊，没有考过就三条直线围成的三角形面积。三条直线围成三条面积的话，它这个。就是运算要复杂一点呃，

因为三条线。比如说它变成了三角形面积。好那么，三条线为三条面积，我们要先找焦点就运算要大一点，把焦点找到，焦点找到，然后用两点距离那么求出这个底。呃，任何两点那么都可以作为三角形的底，然后再求高高要用点到直线距离求高。点上直线距离来求这个高就行了，这二分之一底乘以高来算它的结果。另外，核心点和重点就绝对值与面积。

啊，绝对值与面积的方法。截个面积画出绝知图像，结合三角形和四边形来进行分析，先把图像画只要学学咱们前面绝知图像好吧，把图像掌握住。绘画图，然后再求面积。然后还有圆弧相关面积，圆弧相关面积也是要结合平面几何的方法求面积，比如圆弧它的对称呐，还有减法呀。啊，等等的补啊，这些方法来求近相应的面积就可以了，

好，这是它的方法思路。首先咱们一起来看一下第一个内容，三角形的面积。下面那主要是先求焦点。画出找焦点，找焦点，利用底高来求面积。是吧，底和高底和高求面就可以了。好，大家思考这个题。假设这个直线n为整数啊，正整数与两周中卫生面用SN来表示。n可以取一二三到二零零九那s 1+s二一加到s二零零九等于几？

那第一步大家呢？首先要知道一条直线与两周围成三角形面积的公式是什么好？各位同学都抓紧思考一下好吧，就一条线与两周周围成的三角形面积公式啊。好一条线。呃，我们可以画个图，它跟两坐标轴。为它的三角形面积。有这样的。所以呢，关键要找出两个坐标，轴截距，只要找到两个坐标，轴截距就可以了。

好两周，或者说我截距找到找到以后，那这个就可以写出来好吧？好两周波轴截截距截距找到截距找到就可以了。啊，截距找出来就行了。好，那接下来咱们看看啊，它的这个内容啊，这个洁具。好，大家都想想。截距x轴截距怎么找一条直线跟x轴的交点？跟x轴的交点利用y=0就可以了，好自己想一想。

然后跟y轴交点令s=0。跟y的交点那s为零就可以了好吧呃s为零。好，然后这个急于写出来，现在大家。气压面积。好，写完面积以后，各位同学发现还用求和的时候用咱们前面讲的拆分列项求和。啊，拆分列项来进行求和。是吧，要把它拆开，看会不会写啊？拆开。

呃，有同学做完了，是不是所以它的面积SN都等于二分之一底乘以高？二分之一底乘以高，那么这个n。分之一乘以n加一分之一，这两个可以给它进行裂开。因为咱们要求和方便，可以写成n分之一，减去n加一分之一。n分之一减n加一分之一，这样的是不是n分之一减n加一分之一好再给它裂开那个，然后接下来我们就可以写s一加s二一加到s二零零九它的值啊。s 1+s二。叫做s二零。

零九是吧s 1+s二一加到s二零九，这个写好了好看，这个是不懂了。好，这是它的方法啊，就写出来了。好s 1+s二一加到s二零零九给我写好了。接下来呢？接下来咱们来看一下那么s1，大家可以看s1，相当于n取一的时候s2，相当于n取二的时候，所以每一个大家都可以把它。拆开第一项就一减二分之一，第二项是二分之一减三分之一。

啊，移到最后一项。这一项就是二零零九减二零一零分之一。然后呢，中间就可以把它抵消掉啊，抵消掉二分之一，抵消了三分之一，抵消了这也都抵消掉了，抵消掉前面就剩一个一，后面剩一个二零一零分之一。然后这样，然后化简。就等于二分之一，这个一减二零一零分之一。然后这样。

就可以写成二零一零分之二零零九。好，这是它的做题方法和思路，好，这样呢，应该选择的是c选项。选择c好，这是它的考试要点是吧？所以这道题大家听完后有一条直线跟坐标轴的交点，那么就可以。写成这样的截距呃，如果能记住公式更好，记住公式的话，就as+by+c=0。它与两坐标轴围成了三角形面积。

与两轴围成的三角形面积。s就等于c方除以2 AB这个加一个局域值就行了，主要是为了绑它正的好吧，绑它正的。好，那这个面积是正的好，所以这是给大家讲的这个内容好吧，就是直线与两周周围成三角形面积。就这样的啊，好，这是第一个题，大家掌握的方法思路，看是不是懂了？啊，这个直线与两周周围成面积是SN。

当n等于一二到无穷的时候，它这个球是一个极限是吧？极限是无穷。好容易做错的一个错解，咱们说说啊，第一步。SN可以把它写成二分之一，那么。n分之一乘以n加三分之一。然后在这里面，大家把它变形成六分之一n分之一，减n加三分之一呃，变成这样的。好，这个容易做错了一个解法是做错解法是好，

那么有同学s 1+s二。一直加到SN。好，它以为前面剩的是一个一，后面剩一个是n+3。然后这样当安全性无穷的时候。那么，有s 1+s二没加进去？加到无穷，正好等于六分之一。呃，容易误选择b选项。我选b选，其实这道题正确，答案应该什么正确做法？

这个它这个抵消跟前面的抵消不一样，它抵消前面剩的是多少项？你写一写就可以发现。就这地方是错的。这个地方错了啊。就s 1+s二。加到s你写几项可以发现，当然每一项都有个六分之一好，那这个第一项是一减四分之一。二分之一减五分之一。三分之一减。三分之一减六分之一。加四分之一。减七分之一。好，

这样点儿点儿。第二点懂懂懂了吧。然后最后如果抵消完前面。剩几项看看啊，这个做做到这那么就这个四分之一跟它抵消掉了。然后这个。这个五分之一抵消掉，六分之一抵消掉，所以它前面剩的是一二分之一和三分之一。前面如果剩三项。后面它还剩三项，前面如果剩三项正的，后面应该剩三项负的。等会把前面剩的一二分之一和三分之一，后面剩的是剩下负的有n加一分之一n加二分之一。

n加三分之一，前面剩的是三项负的。懂了吧好，这剩下三项正的这剩下三项负的。明白没有好，这是它的这个方法。然后当n趋近无穷大的时候。n去无穷，大的时候后面这个极限，它又v0了，后面这个极限，它v0这三个分式，它vv 0。v2就剩前面的了，所以s 1+s二+s三。

加到点儿点儿，它其实就等于六分之一乘以个一加二分之一加三分之一，后面一块儿它就没有了。知道吧，所以它没有了，然后这样就等于三十六分之十一。那三点分之11。知道吧，所以这道题这个呢，应该选择的是c选项。建议大家选择c。好，那这道题表面上看起来跟上题一样，其实这道题呢，给大家挖了一个陷阱好吧，

所以大家在做的时候啊，有个陷阱，大家要。注意啊，别给写错了好吧啊，这个陷阱问题。那这个答案应该选择这个啊，因为它抵消的时候，它前面剩的就不是一项了啊，剩的就不是一个。所以它剩的是三个。剩了三个，然后呢？后面也剩了三个，然后再取极极限n趋向无穷的时候。

去极限，这样就可以了好吧，看这个是不是听懂了？好，接下来咱们看这个题。呃，直线y等于x加一与y等于x加七与x轴所平的面积是四分之二十七。好条件1 a=- 3条件，2 a=- 2好，这里考点是两条线与一个坐标轴围成的三合形面积。两条线，一个是坐标轴位成三角形面积。大家想想应该怎么做？好，这里条件重新判断，

大家看两条线到底谁充分？好，那么咱们画一个示意图。画示意图，比如条件1 a=- 3的时候。y=s+1这个图很好画，当s=- 1的时候y为0 s=0的时候y=1。这y=x+1这样的是吧？y=x+1它这个图第二图y=ax+7 a 2=-3。呃a2=-3，它的图这样的。好，这个就相当于三分之七。好，这个。

在x轴上交点是三分之七。然后在y轴交点，这个点是七，这个点就是七。然后接下来它要变成了三角形面积，就这一块面积好，大家知道面积的话就找二分之一底和高就行了，所以关键要找它高。找它的高好，找它高。呃呃h找到找到就行了，那这个高怎么找高找这两个焦点好吧，焦点有没有同学做出来？焦点怎么找让这两个方程联立？然后你要放在哪里？

好零的话就可以得到。得到这个四x等于六x就等于二分之三。I等于啊，二二分之三，那么这个y的值就等于二二分之五，然后这个这个交点是二分之三。啊，二分之五好，它面积显然不是四分之二十七，它面积。面以二分之底，乘以高底的话，就是负一跟三分之七的距离啊，负一跟三分之七的距离，其实就是三分之十。

高高是二二分之五。只要是二二分之五，这样算出来就等于六分之二十五，显然它是不充分的呃，得不到这个结果。条件是可以的。条件a=- 2的时候。啊啊a=- 2 a=- 2时候，这个图不画了，跟它图差不多。a等于负二时候，那么这个点就是变成二分之七了是吧？这个点。然后这个焦点我们可以求解出来好吧，然后焦点焦点的话，

大家可以算出这是这个y坐标是二分之九好吧，所以这个面积就可以写出来，面积就等于二分之一。然后这块儿大家呢呃AA=- 2时候，那这块儿就可以算它的高是三啊高三，然后这块儿是二分之。七这个底边长就二分之九。呃，这样高上面就是三呃y=3 s=2 y=3啊呃，所以它那个焦点焦点就是二和三。啊，焦点。懂了吧，就那个x+1跟负2 x+7它的交点。交点就是s等于二y等于三y等于三，

这个三就是它的高懂了吧，然后底边长度就变成二分之九了，然后这算算就等于四分之二十七。呃，条件具备充分性好，这道题选b选项。条件，它具备成文性啊。好，这是给大家强调的做题方法思路，看是不是懂了？那要知道它做题要点啊。好，这两个直线跟x轴围成的三角形面积，如果两个直线跟y轴围成三角形面积，

看应该怎么做？好看这个题。它说y=xy=ax+b与s=0，所以s=0，大家要知道x=0，其实有y轴。好y轴的方程就是s=0啊y轴的方程就是s到等于零。好y轴，它的方程就是s。等于零，它所围成三个面积，正好等于一。好，那相当于是我们看y=s这条线很好画是吧？然后这个y=as+b我们看看，

如果条件一。添加一那这个就变成y=-s+2了。因为a=- 1 b=2是吧？a=- 1 b=2，然后接下来我们看一下。好y点s正好是一三相应的角平行线。好，这是y=x。如果要y=-s+2，当s=2的时候y为零，s=0的时候y为二。是吧，所以说这样一条线。好，这是y=-s+2。

然后接下来呃s=0，就相当于是YY轴呃I=0，就相当于是y轴。啊呃ii=0，正好就是y轴s为零嘛，这样就是y轴。啊，有这个面积啊，这个面这个面它又是一。那接下来咱首先求这个焦点，这个焦点很好，求这个焦点正好是一一点。好在焦点正好一一点。依然那这个这个面就可以很容易求出来，面积正好等于二分之一底底乘以高，

而且这道题前呃这道题还可以怎么样直接观察答案，这正好是一个等腰直角三角形。啊，又可以看出来。对吧，等腰直角三角形。等上直角三角形也可以写成四分之一斜边的平方。都可以是吧？为什么等腰直角三角形呢？因为这条直线的斜率是一这条直线斜率为负一，它正好垂直的，而且这都四十五五度。啊，这个。直线的角度都是45度，

是不？所以它有等腰直角三角形好，这是它的这个情况。然后再看条件，二条件2 a=- 1 b=- 2是吧？啊a=- 1 b=- 2。其实大家可以发现，它直线是是对是对称的。是吧呃，是对称对称的，你再画画也行，所以条件一是充分的条件，二它也可以，是不是条件二你看？y=-x- 2。

负二减二，那这条线呢？你看怎么画一样的？这条线一样的好，这是y=x一条线是吧？y=l一条线好，那么当x=0的时候y=- 2。当y为零的时候x也等于负二是吧？也等于负二，所以它就这样一这样一条线。这样一条线。因为大家可以发现，它这个三角形跟它是是对称的。跟它对称了，所以这个地方是负二，

这也是一个等腰直角三角三角形。这些等腰直角三角形，这些面积一样，这个就自己做就行了，面也等于一好吧，跟上面图形呢是一样的。所以调降也充分。这个呢，就选d选项。我们来选d好这套做题方法思路，看是不是懂了。好吧，这是它的学习要点啊，看是不是明白了？好，

接下来咱们再看三条线。所以说咱们呢，刚讲的是两条线与坐标轴。两条线可以跟x轴围成的面积，两条线也可以跟y轴围成的面积，然后然后还有三条线围成的面积是吧？三条线，所以直线y等于xy等于二x加by等于x加四所围成的三环面积等于三分之十六。等于三分之十十六。好想想三条线所围成的三角形面积占了三分之十六。好有y点sy点2 s+b，有YY点s+YY点s+y加。等于四x加y等于四，所以我变成三个面积等于三分之十六，好看这道题条件一和条件二，

到底谁充分？好三角形VC的面积，它怎么算？我们简单画个图，因为要画完图，根据它的图形特征，然后决定那么采用什么方法？好，大家都做做这个题。看应该是等于多少都抓紧思考。先看条件一。然后这个呢，是y=x这条线很好画。看y=x这条线很好画是吧？这个y=x的线。

然后y=2 s+b啊y等于二二s+b。呃当b=2的时候，我们可以看当b=2的时候。呃，这个s为零的时候y=2。y为零的时候x正好等于一个负一。好，那有这样一条线。呃，这个是y等于个2x加。那么，当b=2的时候，好yz 2=2 x+2这样的一个式子，这样写好了。然后接下来s java=4 s，

JAVA=4，我们看应该怎么样呢？s java为四。然后加24这个点呢四。这点也为四。而JAVA它正好为四这样的。好，它要变成三角形面积，它就这样的三角形。好，这样的一个三角形对不对？它变成了一个三角形面积就这样的。你看是不懂了啊，就这样的一个。好，

那这个三角形面积，我们看它怎么求？其实大家发现这个三角形你看到没？是一个直角三角形可能画的这个不太像这这块这块是是直角。对吧好，这个是一个直角三角形，为什么是直角呢？你得知道x+y=4这条直线斜率正好是负一。呃，这个直线斜率k，它正好等于负一这个直线斜率为一，它正好垂直的啊，咱们前面学过，如果点到直线的斜率互为负倒数。或两个直线的斜率相当等于负一，

它都是垂直的。啊，这是垂直的。是吧，然后这块它它它垂直了。呃，这就叫直角三三角形好，直角三角咱们怎么求？咱们要把这几个点给它找到。是吧，然后这个求解。找到找到了，那大家可以解这几个焦点。假如这个点是a点a点的话，正好是负二。

和负二啊，这a点走的是负二和负二，你得自己去解解。啊，这个很好解，这个y=x和y=2 x+2，这地方直接联立一下方程，联立方程可以得到x=- 2y1=-2好吧，然后这a点。找到了。好，然后呢？啊，这个点。好，

这个点这个点的话，让y=x跟s+y=4联立这个，假如这个点是b点。b点是r点是吧？b点这个很好解啊，口算就能算出来y=x和y等于。呃x+y=4，这两个联立一下方程，联立方程可以得到二点，然后再看c点。c点就让呃y等于二x加二和x加y等于四，然后给大家连一下连一下的话就得到呃s等于三分之二。y等于三分之十。好吧，所以这样就可以写出来。

一个三十二，一个三分之十好，那写出来那接下来大家可以看，这是一个直角三角形呃，直角三角形。不管是不是直角三角形吧，大家都可以用用这个距离公式来进行分析是吧？用这个距离公式来分析。比如，大家知道BC的距离，BC的距离就是这个底AB的距离，就是这个直角边，所以说大家可以发现它这个三角形面积。可以把它写成二分之一，因为它直角三角形可以用写成AB乘以个BC。

啊，如果要不是直角三角形，如果要不是直角三角形，那这时候呢，你得求具体公式，你可以把呃一个边长作为三角形的底，另外一个用点到直线距离公式。啊，点到直线距离公式，然后做它高就行了，好吧，就这样好这样ab两点距离公式，大家应该都知道好吧，两两点距离公式应该都知道啊，简单写写你自己回套s2-s一的平方。

加上y2-y一的平方是不两点距离公式，两点距离公式可以把ab的长度给它求出来，同样道理bc的长度给它求出来。车牌号那就可以得到这个答案好吧，最后算出来答案就等于三分之十六，所以条件一是充分的，大家都做完没有？然后条件二的话，条件2b要等于负二的话，这个是不充分，为什么b=- 2的时候三线好像刚好是共点？啊b=- 2的时候啊，所以铁条件条件b=- 2的时候三线共点，你自己画三线都要交一点啊。所以b如果等于负二。

那三线共点。三个过程，它就无法围成三角形，或者这个扇形面积为零，它就是一个点了，就它它这个三角形，它就萎缩成一个点一个点这个三角形没有面积，没有面积三角形。面积为零，这样写好啊，答案就求出来了。好，这是它的方法，好，那正确答案应该选择是a好吧，

答案选择a看这个是不是懂了？好，那么就是直线跟三角形的面积，这个知识点看是不是都掌握住了啊？包括一些逆向求和的方法呀，公式啊，然后这些大家都要知道。好，接下来咱们再学四边形和多边形的面积好吧，就四边形和多边形，它的面积。所以多个命令有时候会结合局域值来进行命题。啊，绝对值来进行命题要分析，绝对值图像再结合三角形和四边形来求面积进行思考就可以了好吧，

结合绝对值来进行分析。思考。好，那接下来咱们看这个题VC n图形面积到底是多少？好，大家想一想，这个图看还会不会画？这时候其实咱们前面总结个公式，看有没有影响？好左边是一个公式。好吧，就是AB它正好大于零，总结成这样一个公式。然后它卫生的面积正好等于4 AB是吧？直接就选e就行了啊，

直接选e好吧？直接选e这道题，你直接就可以写答案了，因为它可以把它变成s绝对值减b。乘以y的绝对值减a，它正好等于零，所以它是两水平线两竖线嘛，以后就不用再推了嘛。呃，不用再推了，是不是？所以就直接可以写出来它两竖线。零水水平线。啊VC的一个面积是吧？所以这样的话，

那就是。这样的。一个情况，然后这是负a，这是a。负b，这是b所以所以它这个如果a和b相等的时候，它表示正方形。a和b不相等的时候，它表示矩形。a和b相等表示，正方形a和b不相等呃表示矩形，它面积都等于4 AB。好，这个答案选e好不好看？

这个是不是听懂了？如果把数给它换换呢，换换大家会不会秒杀答案呢？秒选啊？你看sy+6=2 s绝对值加3y绝对值，大家想想是吧？这块这块一看就可以看出来。直接拿六×4就行了是吧？直接拿六六六×4。呃，直接就可以秒选答案好吧，这个咱们就不多说了。好，这是它的这个方法。好，

那接下来咱们再看下一个题。下一题abcd是圆的，内接四边形。abcd是圆的内接四边形。AC是直线s=3与圆的交点。则四边形面积最大值到底是多少？大家想四边形面积最大值都想一想。好，四边形面积最大。好，这个可以简单画个图。这个圆s方加y方等于25，它的圆心正好在坐标原点。好圆心，正好在坐标原原点。

好，这样的一个图是不是？然后它的半径正好为五，你画完没有啊？它的半径正好为五。呃，半径呢？正好是五。好AC是直线s=3 I=3是一条竖线。大家知道I=3，你画一条竖线。那我们画一画，一条竖竖竖线就行了啊。好，这是a点和c点。

比如AC是这个直线与圆的交点啊AC再往直线与这个圆的交点。对吧AC再到这个直线和圆的一个交点。然后abcd是圆内接四边形，说明什么意思？说明abcd这个点要在圆周上。啊，所以内接四边形，还有在圆周上。好在这里面很多同学当时选错答案了是吗？选择什么呢？他把它以为这是这样画是一个最大的这样画。这样的话，错因在什么地方abcd这个字母的顺序要知道，所以这道题这道题AC其实是对角线啊。AC其实是对角线。

AC呢，它其实是对角线了，大家要知道。所以有同学把AC当做这个矩形的一条边了。当做这个一条边，那就错了。所以在这里面，大家可以看abcd，当然你在排序的时候，你可以顺时针排，逆时针排都行。啊顺时针排列好，逆时针排列好都可以。啊顺时针排逆时针排都是可以的。那那咱们就顺着排吧，

这个都都没关系的。只要b点在这个位置。啊d点角在这个位置。呃，在这个位位置，然后这一连它这个四边形。啊，这样的一个四边形对不对？这个四边形咱在学平面几的时候学过四边形等于呢？通过对角线可以把它分成。两个三角形来做是不是？所以就通过AC把分成两个三角形来进行分析好，左边一个三角形，右边一个三角形。三角形是吧？

左边一个啊，右边一个这个左边右边这个三角形的问题。啊，左边还有右边这个三角形，它的这个内容。好，大家知道这个三角面怎么求三角面？大家要要做一个高h1。好，这个高呃，这个高，假如这个高是h1，这个高是哎h2是吧？所以说大家知道AC的长度，我们先求出来对吧？

呃AC长度要给它求解出来。a长呢，我们先用斜长公式做。然后这样一连那这个是半径是五，这段是三，所以说这a的长度应该是等于八的。AA乘知道怎么做，用这个弦长公式用那个直角三角形弦长公式，因为这个距离是三。这个半径是五，所以说AC的一半AC 1半正好为4 AC 1半，正好为四为四的话，那么AC总长就等于八。八二那么这四边形那它面积。s4边形abcd的面积。

我们可以把它写成两个三角形，面积相加啊，好左边这个三角形底是以AC为底的呃，以呃AC为底的。就二分之一AC乘以个h一右边三角形是二分之一AC乘以h二。那AC×h1 AC×h二呃这样的。知道吧AC×h一和AC×h二这样的情况。然后这h1长度，这样是八八代到里面就变成四了四倍的h1，加上h2。啊四倍的h 1+h二这样的情况。啊四倍h1和h2啊这样的。这样咱们只要找到h1和h2最大就行了h1h2什么时候最大呢？那显然h 1+h二。正好是直径的时候最大。

是吧，直径直径正好为十啊，所以它小于等于四×10就40就直径是最大的。加是直直径，这样原来直径这一段加这段最长最长就是直径，所以这个答案应该选择选项。啊，选择c好这里给大家强调的它的方法思路，看是不是懂了？就这道题，首先把图画完后，一定要把这个不规则的四边形通过这条对角线把分成左右两个三角形。两个三角形，两个三角形，三角形面积相加得到这个四边形面积。

然后再根据这个高的情况，因为这个AC的长度是固定的，然后再分析它的高高分析完后，然后这个面积就可以写出来。好吧，这是它的做题方法思路，看是不是懂了？好，接下来咱们再看这个题。好这个题，然后abcd是圆的内接四边形AD呢，是s=3与这个圆的交点。好，我们可以看到它这个焦点情况啊，我们看看。

好，那这个。AD这这道题又怎么办？这里变了这块AD是它的这个交点a dad，咱们画画一个图。好，大家都思考一下。这个半径还是V5啊，半径还还是V5的，然后这个呢是一条竖线。你看这是三啊，这是AD。AD它要求这个面最大值。好，这个AD就可以作为这个什么？

这个四边形一条边了，右边大家想这道题，这道题就可以选48啊，这个可以选48，因为这样画是最大的。这样一个矩形。是吧abcd这样画是是最大的。如果你要画在其他位置就比较小了是吧？画画在其他位置这个比较小，所以这就是最大的这个矩形最大。现在大家知道这个AD的长度，刚才算的是等于八=8。然后AB的长是等于六的AB长是等于六是吧？因为这个是零到三，这个也是零到三，

所以AB的总长这个是六。呃，这个六呃六，所以这个是它的最大值s max。就等于六×8，就等于48啊，这道题就选这个好吧，因为这个它可以作为这个。四边形的一条边了，它就不是对角线了，知道吧，所以这样矩形画出来是最大的啊，其他面积应该比它比较小。其他面要小你，比如说画在其他位置，

它这个边长要短一点，边长短一点，它这个就比较小了啊，好，这是给大家强调做题方法。接下来咱们看这个题。看这个题，大家想想。看这个题。好，那么直线上面有个动点a呃，一个动点就是它在运运动的点。动点a过a作为原来两条切线。而且这道题要难一点，首先它这个圆，

它这个圆你要配方是吧圆？然后切点分别是BC圆心是o那四边形，它的面积最小值到底多少？四边形面积最小值？好，那在这里面，大家可以看它的这个数数值这个内容。x方加y方等于2 y+4 s，大家都快点做，首先大家要把这个圆给它进行配方是吧？是吧，把它进行配方可以变成x+2移过来就变成减二了。将y- 1^2。是不是再把它移过来，移过来就变成s- 2^2，

加上y- 1^2？然后这个正好是五。是吧，这样写出来，它正好是五好，想想是不是这样第一步，要把这个圆给它进行做一个配方。好，接下来咱们画一个图。然后这个圆的半径是根号五啊，根号五，而且这个圆呢，它是过坐标原点的一个圆啊，过坐标原点，因为它这个圆没有常数项。

就不管是圆还是呃抛物线还是直线，只要它没有没有成像，它都过渡到原点。它的原因在二。和。一这个位置好吧。就这样画吧，大概画一下。好，二和一这个这个大概的这个位置。好了，那这是它的圆心好吧呃，圆心的情况。然后接下来我们看看呃，还要还要做什么呢？

还有这个直线，我们看怎么画直线y等于负二二s- 8都画一画啊直线。直线很好画，当x=0的时候y=- 8。呃，当这个。y为零的时候s=1个。负四对不对？好，这样我们就可以大概画一画一条线。好，这样的一条线好吧，大概画画啊，这个是负八。然后这是负四啊，

这样一条线。好，那这条线其实就是y=1个负2 x- 8呃这样一条线呃，画好以后它说什么呢？说上面有个动点。动点过这上面动点要向圆做两条切线。切点分别是BC圆心呢？是o点。原原因是o啊，有名称，做完原始o问这个四边形面积最小值到底是多少？它发现这个四边形可以把它分成两个三角形做。是吧，可以把它分成两个三角形啊来进行分析。是吧，

所以在这里面大家呢呃就可以，比如随便你要随便找个点的话，这样的呃做两两条切线。呃，那这个点就就找到这个位置吧，找到这个位置好加BA点在这。呃a点设置是吧？然后这样的。啊，这一条切线。这这条切啊，这是随便找的，这a点它最值当然不一定是在这个位置啊，一会儿我告诉你最值在哪，其实最值是。

过圆心跟这条那个直线垂直的那个位置。你要跟它垂直位位置。应该在那个位置，为什么在那个位置，一会我给你讲。假如这个点是b点，这个点是c点。啊，是一点。好，它们a boc这个四边形面积最小，大家可以发现这个。这个连接这个a点跟这个圆心连接a点跟这个圆心。你看a点跟圆心以后啊，大家可以看到什么？

呃，这个。上下两三n是全等的ABO跟a co是全等的。是吧abu和acu这两项是全等。为什么全等？因为这两个三角形都都垂垂直的。是吧，这个都是直角相切嘛，都是直角，另外这个边都是一样的，因为这个圆的半径是一样的，然后又共用一条边，所以很容易证这两个三维全等。边长都一样好吧，边长它都是一样的。

好，所以说在这里面大家呢，就可以看出这两个三角形圈的圈的话，那就可以得到这个四边形的面积，其实就是两个三角形的面积。这个四边形a boc，它的面积就等于两个三角形。ABO的面积是吧？因为它这个四边形正好可以分成两个全等的三角形，所以呢，只要算一个三角形乘以倍数就可以了。是不是好？那接下来咱们算这个三角形面积应该是多少？三个面积好，大家知道这个这个三角形，

它是一个直角三角形，对吧？只有三三角形。好，这个直角三角形的话，它可以写成。二分之一那么底乘以高这个ob的长是半半径就相当于是它可以写成AB。乘以一个ob。就是AB×1个ob这样的是吧？然后这ob的长最好是半径r半半径r这道这道题半径r是等于根号五啊。咱们这个圆圆半径正好是零根号五。根号五所以在这里面，它正好就等于个什么等于个。根号五倍的。AB接下来问题是我们看AB怎么样保证它最短。

AB怎么保证最短对吧？AB越短越好。那AB又又等于什么呢？看AB又等于什么？AB AB又等于什么呢？a vu等于根号下。这个ao的平方。减掉r方是吧？好a的平方减掉r方，因为ob是r，所以用直角三角形购物定理。是吧，这用ao的平方减了r方就行了。好，大家知道这个r是固定的，

所以让ao越短，比如ao越越小AD也越小是吧？就ao越小。那么，这个AD它也越小。好得到这样好，那我们看ao它，它最小是多少ao越小，这个面积越小ao的话，那肯定是这个垂直是吧这个？圆心跟这个直线，这个垂直的时候，所以a点它刚好用到什么位置呢？刚好用到这个垂直的时候。这a点跑这个大概位置的时候，

这是是最小的，对吧？跑这个位置是是最小的。好，那么我们就用圆心到直线距离，用点到直线距离公式做好吧，那么点到直线距离公式，大家要把温习一下点到直线，它的距离d。这里根号下a方加b方。然后as 0+by零+c是吧？这点到直线距离公式，大家要知道，所以接下来我们看。这个ao是最小是多少？

最小最小那这个圆心坐标是二一点对吧？圆心坐标是二一点。然后这个直线我们看一下，二一到直线的距离就是圆心。原因是二一点到这个直线直线，咱把它弄成一般式啊，就直接把它弄成一般式，弄成一般式就。2 x+y。加八为零。好，它距离d我们可以写出来好吧，距距离d给它求解出来。呃，它的距离d。

它上面这个公式根号下a方加b方，然后四+1。啊，把这个二一点带到里面去，正好是四。加一+8到13啊，根号五，这是13。好，那这个d就知道了dd知道了，那么这个AD就可以算出来了是吧？这个ao最小最小值这么这么多啊，这是这是ao的最最小值。是吧ao最小值好把ao这个数带到里面就可以算出这个四边形，它面积最小值了好吧，

把它带到里面就可以得到答案，看是不是听懂了啊？好，这样的话，我们看s。这个四边形a boc，它的最小值。就等于好最小值，就等于根号五×1个。好，这个这个ao ao最短最短就是取这个数了ao的平方ao的平方就代表是五分之一百六十九。减去r的平方r的平方正好也也是5r的平方，正好是五。是吧，张老五。

然后你把外面这个根号五乘到里面去也行，根号五乘到里面去，乘到里面去就变成五了，我正好等于个169。减25，这样等于个12。那这样等于12这样算出来好吧，答案12好这样呢，应该选择的是a选项，看答案是不是听懂了？跟大家选的a好，这是它做题方法和思路好，通过这道题，大家呢，要掌握它的考试内容好，

这道题它。包含的知识点比较多啊，包含知识点要比较多一些，所以这道题表面上是求四边形面积。其中可以把它转化成三角形的面积。转成三角形面积，那三角形面积又转换成什么？又转换成长度的问题，又转换成长度，那要长度又转换成距离。距离当它出现垂直的时候，这个距离是最小。好，这样就写出来了好吧，这是它的这个数值。

这个呢，就选择了a啊，这道题包含的知识点比较多啊，这个命题质量非常高，大家呢啊，到时候一定要多看看这个题啊，因为它包含的。几个思维都是很重要的啊，大家以后要会求它的面积的最值转换成三角形，三角形再转换成长度，长度再转换成距离，距离再转转成垂直的这个距离。然后用这个公式来求解好吧，看各位同学是不是懂了？好，

接下来咱们再看这个题。好如图正方形abcd的面积为一。呃，这个就相当于是什么？相当于一个重新判断题。重新判断题，那么推导的正方形面积为一，这是要确定的结论啊。呃，如果它没有折字，没有折字，一般以最后一个标点为界啊，最后一个标点为界。它正方形面积为一。条件一，

大家看这道题怎么做？条件二，看这道题今天怎么做？好，那下面咱们看这个题好吧，看这个题大家做完没有？好，咱们要求这个正方形的面积是不是要看它边长是不是？看它边上它强，一是给了AB这条线，给了AB这条线。AB是y等于x减根号二分之一。好，大家可以通过这个可以得到a点的坐标。呃，

给得到a点的坐标，知道a点的坐标，知道了，那因为它这个这个正方形，大家可以看它，它跟这个两点都跟这个坐标轴是是交点的是吧？那么，这样就可以写出来好，那可以得到a点坐标。安卓就是。根号二零是吧？a点坐标可以算根号二零。比如a点，就是说知道了，那么这个。

这个这个对角线长就可以算出来是吧？因为对角线对角线正好是什么？正好是两个oa是吧？呃，两个oa因为这一段是二次根号，所以对角线。BD应该等于两倍的oa，那么两倍oa就oa乘以二两个oa。然后这样等于根号，根号二那大家知道面积。面积ss的话就等于四分之呃，咱们正方形的面积可以写成二分之对角线的平方。就等于一，所以题号一是充分的。条件重换条件ad所在的直线，

这个就不太行，因为条件的话，条件它这个ad它的是y=1-x可以得到a点坐标。好a点组合，它正好是。一零点。啊，一零点一零点呢，对角线长度正好，正好等于二=2的话，它的面积呢就不太行，面积呢它它它算出来。这样就为二啊，面积算式正好为二不是一好吧，这样面积这样就等于二它这个不不充分，

所以条件二是不可以的。好这个呢，应该选择的是a选项啊，选项是a好看这个题是不听懂了好吧，这一块。啊，因为因为它这个呃，这个是已知的，知道吧？这个前面这都是已已知，因为它如图了嘛。这个是已知这个图，这个图已经告诉我们。我告诉他，然后咱们缺点是它面积是不是唯一知道吧？

现在面积是唯一有同学可能觉得它这个正方形确定不了，它这个是一个因因为它说的正方形嘛，正方形它面积为一。然后这个这个后面这个动动词是不是一？是不是一就相当于什么是什么，所以说这个相当于这个正方形是告诉你是已知的。是吧，是不是为一是这样的啊？呃，这是它这个就是以这个这个判断词呃，作为咱们的一个依据啊。好这样呢，就选择条件一充分。好，那接下来咱们再看这个题。

好，再看这个题。好如图所示，在直角坐标系中矩形啊，这是矩形给的是一个矩形。然后b点坐标是六四则直线，可以将矩形分成面积相等两部分。就直线l可以将矩形分成面积分成两部分好，这是折折后面让我们推导的结论。走后面推导结论。好，大家注意，这道题一般方法啊，一般方法一般方法，那么我们来写写。

呃，一般化的话，那比较麻烦，一般化的话，那我们要把这个直线给它画出来，画完以后呢，然后看它两部分面积到底是？多少是吧，而且每一部分它都正好都是一个梯形是吧，所以条件一。这是一个绝招，知道是什么吧？绝招。就是平行四边形也好，矩形也好，

它有个对称的中心呃，有个对称中心。知道吧，那用对等中心这道题做起来就很快。如果要不知道这个的话，那这道题做起来就会慢一些。好，那条件一的直线应该什么样的？知道吧？条件一。当x=0的时候y是等于负负一。当这个y为零的时候s为一。所以画出来那应该是这样的一条线。你看这两条，这是条案一啊，

这是一。就是富裕。然后这一条线现在要那要分成两部分的话，你还得找焦点，它这个梯形。是吧，你自己还在找这个焦点，把这个焦点给它找到，找到以后，然后呢，看这个梯形的面积，然后梯形面积，梯形面积如果占一半，剩下的梯形也占一半。是吧，

也嗯，也也在里面就常规的方法做。长方法，长方法，大家呢，自己去思考啊，这样比较复杂，如果既要方法是什么啊，既要方法，既要方法，就是平行四边形也好。然后呢，矩形也好，只要过对角线交点的任意直线。它都可以把图形分成面相等两部分好吧，

所以平行四边形也行，如果要不是平行四边形就不可以了，一定是平行四边形梯形梯形不行啊。t是不行的，平行四边形可以。对平行四边形。然后过对角线交点。任意直线。可将其分成面积相等两部分可将。其分成面积相等两部分。可将其分成面相等的两部分好吧，所以这道题咱们就不再用计计算了，不要找它的对角线交点它的中心在哪？所以呢，大家知道对角线的交点正好是对角线的中点啊，

因为因为平行四边形，大家注意平行四边形对角线是互相平分的。对角线互相平分，也就是说对角线交点正好是对角线的中点。知道吧，终点，所以你只要找到这个ob的终点就行。ob的终点就可以了。好ob的中点怎么找呢？ob的中点ob的中点咱们知道o正好是坐标原点，中点坐标两相加除以二是吧？两相加除以二。所以这道题大家呢，直接就可以写出来答案好吧，直接就可以看到答案，

所以这道题它的中心我们可以找到。中心点正好是三二点是吧？中心点正好三二点，也就说这个ob它除以二嘛，就终点坐标就是两个相加除以二，因为它刚好过原点。然后过我原来直接把b点除以二就行了啊，把b点除以二。那必然除以二，所以六四，这个除以二就变成三二三二的话，那中心三二中心三二，大家发现t1它过三二点。条件上，它也过三二点，

你可以看看条件上这个直线，大家简单验证一下，它也经过三二点，所以这两条线都经过三二点，只要都经过三二点，不管这个直线怎么画？的话，它都能分成两部分，所以这道题这样选就很快了是吧？几秒钟就可以做出答案，但如果你要不这样选，考试后要去算这个。这个梯形的话，那就挺费劲的是吧？就不好算啊，

当然也能算就不好算啊，这个给大家强调的做题的要点啊，所以一个小技巧好吧，这个结论大家要知道啊。好，接下来咱们再看这个题呃，再看这个题。然后加正方形，如图所示，这是正方形。呃正方形如图所示，其中a点呢？是告诉我们二一点b点呢？是12点好，反正告诉我两点。

其实告两点呢，剩下的这个都是很好很好算的。啊a点和b点都知道。呃，这个直线l能将正方形分成面向成两部分。其实大家知道，正方形也属于平行四边形的，所以也符合刚才咱们讲的技巧和特征好看这道题，大家思考一下。应该选什么答案？都想想。看这个是选什么答案？多思考一下。那首先要求出什么？求它的中心点对吧？

求中心点，求中心点，大家可以看图，可以发现什么？这个正好是竖竖线。注意，然后这个坐标是二。这是横着线这个y坐标也不要，所以很容易就可以看出它的对称轴中心，它的中心坐标。正好是二点。好，这个坐标二点那这道题就可以秒选答案了，是不是啊？用这个技巧做，

所以说s=2 y=2那条件，一是可以的条件，二它不太行条件，二它没过这个。综合中心点，所以这个呢，应该选择a是吧？只要过中心点它就行啊，看它中心点坐标，这样可以写出答案来。好看，是不是懂了啊？掌握这样的方法。好，接下来这道题它就没有图了，

没有图看大家会不会做？好在直角坐标系中o为原点。AB的坐标分别负二零和二负二，以ovo a为一，边ob为另外，一边作平行四边形。则直线l将平行四边形分成面积相当两部分。行了，分成面相当两部分。好，我们看它这个图。好那么a点的坐标是负二零a点的坐标，负二零负二零就在这儿。然后这a点坐标负二零，然后b点坐标是二负二，

b点坐标是二和负二。然后o点是坐标原点。o点是做过。与原点。那它以oa为一条边，以oa为一条边。以oa为一个边ob呢？为另外一个边。ob为另外一边。然后做一个平行四边形，平行四边形的oacb是吧？然后这样的好，那这个平行四边形我们简单可以画一画。就这样的，大概一个平行四边形是吧？

好以它为边来画一个平行四边形。那接下来我们关键点是什么？直线l要将这个平行四边形分成面积相等两部分，大家要知道这个绝招，做这个题就很快了。是不是那我们只要找到它的，它的中心就行了？中心大家记住，中心是条对角线的中点。这个对角线就找AB的中点就行了，它的中心。中心点正好是AB的中点。呃，中心正好是AB的AB的中点啊，它的中心正好是AB的中点。

啊中心那正好是AB的中点啊AB这两点的中点。好吧AB它的中点。好AB中点，大家知道a点坐标正好是负二零。是吧，然后这样我们就可以得到它中它的它的中心正好是。中点坐标两相加除，以二就零和负一。是吧，就把a点和b点坐标相加，然后再除以二就可以了，再除以二就得到它的中心坐标，接下来看谁过这个点谁就谁就。充分好，那么你看a。

条件一，条件一，肯定是不太行的，它不过这个中心点。条件零负一，它是过这个中心点，所以这道题正确答案应该选择b是吧？答案应该选b好，这样就求解出来了好。好吧，看这块是不是明白了啊？好，那么以上都是四边形，它求面积的方法看还没有什么疑问。

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03.讲真题-第7章第2节-题型1～2

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