03.讲真题-第5章第1节-题型3-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:55:28

好，接下来看一下，等差数列求和呃，等差数列求和是比较重要的啊，看一下，等差数列求和。好等腰数列求和，那首先要记住前项和它的公式啊，前项和它的公式等腰数列，前项SN就等于二分之a加an乘以n或者写成二分之dn方加a减二分之d。好，要熟练知道。何时使用什么公式计算简单？如果要知道首项和末项，那么用第一个公式，

如果知道首项和公差，用第二个公式。好吧，并且我们可以把它看成横过原点，零二是函数为什么横过原点，因为常数项为零。是吧，长项为零，所以它横过原点，而且d的正负，它决定了这个抛物线的开口方向好吧，所以有时候。分析一些最值或者比较一些大小，我们可以啊用这个。函数来分析，

这样更加简单一些。好，接下来各位同学都思考这个题，看是不是明白好吧，都思考这个题。好，那么等差数列an中a5是小于零的a6大于零，且a6大于a5的绝对值SN是前项和。则下列哪个是正确的？它的前项和。那么，通过这个，大家知道。a5是小于0a六大于零，而且a6大于a5的绝对值，

我们可以判断出a 5+a六的值。好看呢，看一下a 5+a六。大家知道a 5+a六，因为呃a6是正的a5是负的，而且a6大于a5的绝对值，所以a 5+a六肯定是正数。a 5+a六又等于a 1+a十，肯定是正数对吧？所以它肯定是正的。它肯定是正数。那a+a十肯定是是正数。好了，肯定正数了，那接下来我们知道a+a十跟谁有关呢？

跟s10有关。是吧，跟s10咱们学过等差数列求和跟s10有关，所以s10那肯定是正的。正的好，那么s9是什么？大家知道s9可以写成九倍的a5。为什么s9可以写成九比a5呢？因为大家知道那么可以用数列性质来做，因为s9正好等于九。等于二分之。a 1+a九，然后再乘以九。大家知道a+a九可以写成两倍的a5嘛，所以说可以写成九倍的a五九倍a5，

它正好是小于零啊，正好小于零的。是吧，所以s9小于0I九小于零，那说明就可以得到c选项s1s2到s9均小于零。好x10之后都大于零。好，这是它的这个方法。好，那如果集合抛物线，它大概是什么样子？集合抛物线，它大概是这样的。啊，结构抛物线，

它应该是开口向上的一个抛物线。啊d是大于零的。啊，因为a5小于0a六大于零，所以说公差d是大于零的，而且它的抛物线一定是过渡为原点的。知道吧，而且s1咱们咱们这个数列n乘取正整数，所以s1s2啊这样的。那么，这个就相当于是。is 10。s10是正的，然后s9。是负的，

所以就可以看到s1s2s3到s9它都是负的。嗯x10之后，它这个数轴取正的就这样一个情况，另外大家还可以看到它跟这个x轴的交点，这个交点这个交点大概介于九跟十之间的一个点。是吧，所以这个焦点是接于九跟十之间的一个点好，如果焦点接于九跟十之间，那么它的对称轴。好它对称轴，大家知道它是过坐坐标原点的，过坐标原点的，然后呢，它这个这个对称轴正好是它终点终点就相当于是这个点除以二就行了，因为。

因为本来终点坐标应该是两个相加除以二两个相加除以二，因为有一个v0有个v0直接拿另外一个除以二就行了。所以如果这个点是九到19到十，所以这个对对轴位置。这个位置大概就是四点五到五啊，这样对称轴的位置四点五到五，比如说它对称轴是四点八呀，四点七呀。四点九啊，除以四点五到52到五，那么它的离对称轴最近的点就是s5，是最小的，如果这道题问。啊要这到一问那么s5。四段啊，

这个s5在这儿。呃，如果弄不懂，假设对称轴是四点八，假设对称轴四点八，这个五比四点八要大，所以说呃，这个。这个s5，然后左边这是is 4。啊s4啊，这s3s2呃s1这样的是吧？s1s2s3s4这是s5，然后六七八九。是这样的是吧？

所以这样，所以通过这个可以分析什么可以分析嗯SN的最值可以分析。SN它的大小，还有SN的正负好吧，所以说等差数列SN有三个关键点，你只要掌握住了，这样就没问题好吧，所以三个关键点等差数列。而是三个观念，一个是最值。一个是大小，比如说考试那比较，比如s3跟s6，到底谁大谁小，你看图就可以看出来是吧？

比较大小，比如给你几个s比较大小。所以说最值大小还要正负。正负这个s几是正的s几是负的啊，正负问题是吧，这样的情况要正负啊，这样的方法啊，就是SN主要是围绕这三个难点来进行考察。看各位同学是不听懂了。好，下面咱们看这个题是吧？这个题这个题的话啊，就让大家比较大小呀，比较它的这个正负呀，然后看会不会分析和思考好吧，

大家都想一想啊。啊，都做做啊，已知条件跟刚才咱们讲的一样啊a5小于0a六大于零，且a6大于a5的绝对值SN是前项和。则下列叙述正确，到底有几个？好，我们画一下图吧。好都勾一下答案，看修正正确有几个啊？好，刚才说到这个对称轴，大概就是。四点五高五。

好，这个时候大概四点五到五好，那我们来勾一下，看哪个是正确的？那哪个是正确？好，那么第一个要求SN最值有两个方法求，一个是看离对称轴最近的啊，这个点。啊，离郑州最近的点。第二个呢，是看它an变号的位置是吧？an变号的位置，所以说在这里面都可以啊，

你可以看对称轴也行。你可以看an变号的位置也行，所以第一个大家可以看那a六五小于0a六大于零，然后就可以退出。s5肯定是最小的。好，有没有同学算完？好，你看它这个是。好看，这个是变号的点是吧？因为呃，前五项都是负的。a6是正的。所以就可以得到那这个数值就可以写出来。

啊，这个能看到吗？啊，这个数字就可以求求解出来，所以s5肯定是最小的，因为前五都是负的。好，大家看看有没有同学上来，这个里面有几个是正确的。好，再看第二个s3大于s7，你认为s3和s7到底谁大谁小？你看一下图好吧啊，你看下图。好，

各位同学，可以比较一下，看一下图。好，你可以通过看图分析，也可以用这个计算的方法来分析都行，好吧，都可以。好，如果看图的话，这是s1s2s3s4，这是s5。好，这是s6s7。s8s9是吧？

然后这样。好，大家可以看s3的位置，大概在这个位置五六七，大概在这个。位置是吧？在这个位置。所以它肯定是啊，在这里面大家可以看它图像这个高低嘛，是不是所以这里面大家可以看到？它这个因为这个s7。啊，它的图像啊，我们可以看到，应该是应该是离对称轴稍稍微近一点儿是吧啊，

离对称轴呢更近一些。好，这个能看懂吧？好，这是s1s2啊s3。好，这四五六七七在这好，我给大家写上吧。哈哈哈。这是s1s2s3s4s5s6。是吧，然后这块儿就s7s8。嗯嗯。啊，就写出来了好吧呃，

或者大家去求一下和也行啊，求一下和也可以。那如果你要觉得自己看图不好不好看，不好观察的话，大家看图不好观察大家呢，也可以求一下它的和。都可以提高它的和啊。都行，所以s3应该更低一点是吧？因为因为这是三个点啊，这是三个点，所以五。六七这三个点看到没有？五六七这边只有四跟三啊两个点。好，

那接下来咱们呃运算一下。预算咱们呃必要两个大小，一般用减法来比较啊，减法来比较，我们可以用s3-s七看到底是正还是负？是吧，所以在这里面大家用s3-s七看到底是正还是负，这样也可以。好s3-is七好，那么s3-i is7。啊，或者说我们用这个s7-s三吧。x7-x三，大家知道前七项和减了前三项和。是吧，

前七项和减前三项和就等于a4a5。a6a7是不是？好，是不是这样的？好，这样写也行是吧？就s7就前七项和去掉前三项和得到a4a5a6。a7它这个结果。好，再看这个懂了没有？好对吧，然后在这里面大家可以发现a6大于a5的绝对值。如果a6大于a5的绝对值a7肯定大于a4的绝对值一样，是不是一样？这个能能懂吧？

如果a6。大于a5的绝对值。那a7肯定大于a4的绝对值，因为两边都加上d嘛。啊，两面。所以这a7大于a4的绝对值。是吧，因为这边它负的啊负的，所以两边加加上d以后好，那给大家证一下为什么a4a7大于a4的绝对值？是吧，因为你可以把上面都给它加上d。那上面都加上d。对吧，

所以像上面的加d+d以后那左边不变成这个a7了嘛？a7好右边，大家知道a5是负的a5是负的这个这个其实就是负的a 5+d。负的a 5+d，那不就等于负的a5括号减d嘛，就等于负的aaa 4嘛。a4也是负的嘛，负的a4就可以写成a4的绝对值嘛是吧？可以写成a4的绝对值。啊，这样写好了是吧？所以在这里面大家可以发现啊，这个肯定是正数。那这个肯定是正的很正的，那说明这个。

s7应该大于s3，是不是就这样就写出来了好，所以说第二个叙述错了，应该是这样。它这个错了。好，那么第三个大家看对不对s12大于s8的绝对值？好s8在这s12是在这个位置。是吧，是在这个这个位置。对吧，所以呢，即使给它加上绝对值加加绝对值，咱们讲过抛物线加绝对值，给它翻一下翻一下翻一下那个s8和s12。

啊，那么也可以看s2要大对不对哎？s2s12大概12在这好，如果如果这个。这个看不出来，大家呢也可以呢，做一下相减啊，来分析做一下相减来分析都可以好吧，所以在这边大家呢？那第三个也可以这样做。那也可以这样做，就l12。大于s8的绝对值。代表s8它是负的，可以写成负的s8是不是这样的啊？

这样的一个结果可以写成负的is 8。然后把这个给它给它移过来啊，给它移过来。一个就看s 12+s八，是不是为正的了是吧？就看它是不是大于零，如果大于零，它这个就成立了。对不对啊？看是不是大一点，大一点就成立了？然后呢？这个s12s12是不是可以写成呃？写写成什么？而是而是可以写成12倍的a1。

加上二分之十二乘以十一倍的d。是不是这样的，然后h八可以写成八倍的a一，加上二分之八乘以七倍的d好这样的？是不是这样的，然后这个加一起就可以写成20倍的a1了？好，所以大家可以看到，这正好是20倍的a1。那这两个加在一起嘛，二倍a1，然后这个呢是66倍的d。这是28倍的d，所以加在一起应该94倍的d。加上94倍d。

然后这个这个里面大家呢呃，就可以把它。往咱们刚才已知条件上来进行靠近。对吧，所以在这里面大家呢，就可以来进行写。就看它这个到底是正还是负是吧？正还是负，因为它它知道a6a6大于a5的绝对值嘛。a6大于a5的绝对值，那说明什么意思啊？说明这个说明a6。大于a5的绝对值a5绝对值可以写成负的a5，所以可以写成可以把它看成a 5+a六，它大于零的是不是你就a 5+a六？

它大于零，大家知道a 5+a六。可以写成两个a1。对吧，可以写两a1，然后加上一个九九d。是不是这样的？所以a 5+a六嘛，可以写成两a+9 d，它大大于零的好，所以在这里面大家呢，就可以把它。拼凑一下是吧？拼凑一下，所以我提出一个十十倍的2a一，

加上一个9d。这样的话，目的呢，就主要为了拼凑出a 5+a六。是吧，这个就是a5加加a6，后面还多一个4d，多一个4d，大家知道啊，这个4d是是正的。啊，这块也正的，所以说整个它就是正的，对不对？整个它这个正的，

因为这块是是正数嘛，这块是正的。那这块它也是正的。所以都是正的d是正的，对不对d正的，然后这块呢，它也是正的。啊，这样就写出来了，是不是？好，那就说明第三个，它也是正确的。好，第四个a8大于呃，

这个a3的绝对值，我们看第四个。啊，第四个。好，第四个我们看怎么写啊？第四个。a8大于a3的绝对值，但是a3a3是负的，所以绝对值去掉，应该加个负号。是吧，直接去掉，应该加一个负号，这样写好了啊。

直接切掉加负二。第二步，然后接下来我们看好我们，只要证明把这个a3移过来a3移过来就a8。加啊a3。a 8+a三只要大于零就行了，大家知道a 8+a三这样等于a 5+a六。它它是大于零的是吧？大大于零大于零，说明它这个也是正确的好吧，然后在这面大家呢啊，分析一个方法好吧，这个它也是正确的。就a 5+a六，它也是正确的。

好，所以说在这里面第四个也正确。啊，所以里面正确有d选项有三个好吧，三个。好，这个题大家看会不会比较大小比较大小啊？或者比较它跟它绝值大小，另外要会比较元素大小，而且会求它最值。这样全方位的知识，大家都要会分析，那这些内容都建在什么情况下，都建在a6大于a5的绝对值这个基础之上。另外，

它公差d是大于零的啊，所以说啊，围绕这两个来分分析啊，就a6大于a5的绝对值和公差d大于零来进行分析和思考。啊，这是它的内容和方法，看是不是懂了啊？好，接下来大家看这个题，大家都选选答案，看这个题，那到底是怎么样做啊？一个等差数列an中a 2+a三+a十+a 11=64。x12它正好是等于多少啊？求这个值大家都选一选，

想一想啊。好，大家知道s12。好I十二可以把它写成二分之a加a十二，再乘以十二。我们知道这个a+12。正好等于a 2+a 11，是不是可以把它配对？对不对？好，大家想到没有给它进行配对儿，就a2+1，11a三+10，它正好都等于a+12。是吧，

它都可以啊，这样来进行写好，所以a 1+a 12=a二+a 11=a三+a十啊，这样的情况是吧？这样都可以写？这样的问题，大家可以发现好，这两个配这两个配配完后，它不是64嘛，64可以配成两对儿，就等于32。那这时候就可以得到二分之三十二乘以十二。这样等于192是吧？这道题这个答案就选d选项啊，192这个写好了。

好看，这个懂了没有？当然，这里还有一个技巧方法啊，技巧方法。这个方法这样的，因为咱们都是选择题嘛，选择题它也不看过程，所以你可以取一个特殊的数列，有点像咱们取特殊值一样，取个特殊数列，比如说令d为零。取个特殊的第二位呢，就说明每个a都一样，每个a它都一样，

不管a2a3还a10a10，每个a都一样。每a都一样，说明这四个a加在一起等于64。那说明它每一个a它都等都等于个16。是吧，因为不管a2a3a10a11，它的a都是一样的，都一样的话，那么每个a都等于16，都等于16的话，那么x12。就等于12×16=192啊，这样做也可以是吧，所以可以取一个特殊数列，

特殊数列，然后呢？那写它的值，这样就可以得到答案，看这个是不是明明白了？好，那接下来咱们看这个题好，也就等差数列。an中a 10=a二+a五=52啊等于52。好，然后让大家求这个s2的值到底是等于几？s2值到底是多少？好，那这道题一般方法是都用a和d去表示是吧？一般方法。

一般方法就是a10，然后还有什么都用a和d去表示，这里给大家讲一个小技巧。好小小小窍门，大家知道a 2+AA五。我可以把它写成三点五两个a三点五。就虽然咱们数列里面n。它要求是整数，但咱们考的是选择题，选择题可以告诉大家什么，我们虚拟一个啊点五来进行解。吸引个点我。因为呢，这二+5是七，二+5是七，

然后在这里面，大家呢，就可以看出等于两个。三点五是吧？三点五你看这个就等于52。这样就可以推出a三点五。正好等于二六。然后又又结合a10。a十张等于52。好，这俩一相减就可以把这个d求解出来是吧？这两个相减就把d给它求解出来。好了，这是给大家强调这个方法，所以在这里面大家呢，

就可以写一个啊，这个三点五啊，这样的式子是吧？好，那接下来我们看这两个相减。现在就相当于是六点五倍的d啊，就a10-a三点五。可以写成等于六点五倍的d。就等于二六是吧？六点五倍d就等于。二六然后d的值就可以算出来。你看第二值正好等于四。好，接下来看s12s12大家知道可以选择12倍的a。六点五是吧？

我们要求六点五求六点五，我们可以用三点五来来做是吧？三点五呃来做就行了。啊，六点五六点六点五可以写成三点五，加上三个d。加上三个d，然后这样就写出来，正好等于。12乘以个38，这样等于456。好，这这个呢，应该选择是e选项啊，456不要给算错了。

应该选择是e好吧，这是他的方法。所以大家注意，这个在这里面就给大家讲调，在咱们数学里面，为了解题方便我们产生一个第二步，产生第二步的好处是什么好处，知道吧，最大好处就是不管你几个a都可以用一个a来表示。不管几个a都用一个a，不管是s几都用一个a来表示这样话要简单好吧，这个要简单一点。好，那接下来我们可以看到啊，给大家写一个公式SN就等于n乘以a二分之n加一。

好，这个公式不管是n是奇数n是偶数都可以用啊n是偶数n是奇数都可以用，这个没关系的n是偶数可以用n是奇数也可以用。n要是偶数的时候，这个呢，是一个小小数点点五。n要是奇数的话，这刚好是整数。a要奇数刚好是一个整数，懂了吧？这都是可以用的啊，没问题的。好，这个技巧要掌握住好吧？就所有的不管几个a都换成一个a。

啊几个s啊，都换成一个a，然后呢？在这里面我们就可以跟正常的数列运算一样，大家一定要记住等差数列核心参数排在第一位，就是公差d。只要d求出来了，其他问题都很好解决。好，大家再练习下这个题，再练习下这个。看大家会不会用这个点五的方法来做好吧，大家都思考一下。好看，第二题应该选什么答案？

好，那第二题我们来看一下它的这个数值，大家把s4。可以显示四倍的a二点五=16。a 2+a五可以写成两个a三点五。等于16。这样就可以推出a二点五，正好等于四。啊a二点五正好等于四。然后这a三点五正好等于八。好这一步，看是不是懂了a三二=8，然后这两个相减，这两个相减就可以得到是d是吧？这两个相减。

比如说dd的值正好等于四啊d的值正好等于四啊d的值写好d的值是四。好，地址是四，这算出来以后，那接下来咱们再来看s12s12可以写成12倍的a六点儿五。那在计算的时候，大家一般呢？呃，有句话叫远亲不如近邻，大家呢？一定要用近一点的，因为六点五跟三点五这两个离得比较近。啊，六点五跟三点五这两个离得要近一些，离得要近一些，

那么用这个来算就可以了，好吧，那等于12×1个。然后a六点五就等于a三点五，加上三个d。就那240好这个呢，应该选c好看，各位同学是不是做对了？那这个同学看是不是大家都听明白了？所以这些技巧如果没掌握好的同学多练就可以了啊，多练几个。您看多练几个。等差数列an中s4倍s 4=s 16=64那s12到底等于多少？那么s2值到底是多少？好，

那接下来咱们看这个题。大家都思考一下。都想想都思考一下。好四倍s4=64，说明is 4正好等于个16。对吧s=4倍的a二点五。然后s16。s6=16倍的a八点五。好，通过这个可以得到a二点五正好等于四。a八点五。a八点五，然后这一块我们也可以得到它的四。就说明d正好为零是吧？d正好为零。

你看这个减的d正好为零。好d正好为零的话，看这个d正好为0d，要为零的话，那s12就可以写出来，对吧？大家想想。一个数列公差d要为零，它就是一个常数列。对不对？是一个常数列。好，那个长数列的话，它就可以写成12乘以个四，就这个等差数列，

每一项它都为四，知道吧？这个等差数列，每一项它正好都为四。这个等量数列每一项，它的值正好都为四都为四，这样算就等于48。是吧，大家做是a选项啊，做的非常好。是不是这样的好就练习好了啊，这样就写出来答案了。嗯，再列一列，还有等差数列。

从s=s一啊，这里给大家讲一个技巧啊s=s 11。如果s 4=s 11的话，啊四跟11，那这两项呢？l 4=s 11。s 4=s 11。那大家知知道这十五十五正好等于四+11。15=4+11。说明到时候大家可以你先思考吧，思考直接可以看答案。好对有同学发现了，直接就可以秒杀为零是吧？直接就选择c选项就为零。直接可以写它为零。

好，为什么呢？大家我给大家画一个图，你就明白了。好，这个数列，不管它抛物线，开口向上还是开口向下啊？不管开口向上还是开口向下。然后这块儿我就画一个开口向下的吧。这个都没没没问题。那如果s 4=s 11，这是s4的值。在11的值。好，

如果s 4=s 11说明它对称轴，大家可以看到它对称轴。这时候正好四和11的终点。四个11的重点账号是七点五。所以对称轴正好是七点五对吧？对称轴它的情况正好是七点五。好对称轴七点五，然后这个这个正好过坐标原点是吧？正好过坐标原点，然后它这块儿正好是七点五。啊，七点五，然后接下来我们可以看那这个数正好是15。就这个数，那正好15。

对吧，所以通过这个大家可以看图，所以画图。啊，有利于咱们做选择题是吧？使它对称轴。正好是七点五。好，这时候怎么来的？这时候给它写怎么来的？就二分之四加十一都等于七点五。啊，对称轴是七点五的话。好，那就可以得到s15正好为零。

s5正好为零，那这个点正好15。对吧，好，那通过这里给大家进行归纳的技巧，我们要知道，好吧，给大家归纳技巧。好在等差数列中。等比数列就不行啊，等差数列中。啊，如果。若SM=SN。当然，

这个m和n不相等。啊，则可以得到两个结论，第一个结论，它的对称轴。啊，对称轴对称轴d正好等于二分之m加n。啊，对应轴d正好等于二分之m加n好，这是第一个，然后第二个。第二个啊，第二是什么呢？是它的啊，这个SM加它正好等于零。

SM加正好等于零，这样写好好吧SM加它正好为零。好，这样就写出来了好吧，就SM加它，正好就等于零就求解出来了好，这是它的方法思路，看是不是懂了？好看，这个明白没有啊？好，这里呢选c。那再练一个吧。好，也就等差数列an中s 4=s 12则a1比上d到底是等于几a1比d到底是等于几？

想想啊abd的值到底是等于多少，大家都思考一下。好，这道题有两个方法做啊，一个是按照常规方法做s 4=s 12，我们可以把它变成s4，可以写成四倍的。a二点五。s12可以把它写成12倍的a六点五。是吧，这样的，然后接下来把这个四跟12约一约约约就变成三就得到a二点五。等于三倍的a六点五。是不是这样的？那接下来咱们再来看。

把所有的都换成a和da二点五，可以把它写成。a1+1点五倍的d。a六点五可以把它写成a1，加上五点五倍的d是吧？a六点五啊？a六点五可以把它写成a1，加上五点五倍的d。然后这块大家把它再移项好吧，再化简就a1+1点五倍的d，这样等于三倍的a1+16点五倍的d。好看，这个是不懂了。然后把它移项移项就可以得到负的2倍a1=1个15倍的d。好负的2a一。

然后等于15倍的d。好，那a和d就可以解出来是吧？就推出了a1比上d就等于负的。二分之十五。那这个呢？选a。好，这是用笨办法做的啊，笨办法做的把所有的都换成a和d来去分析思考。第二个方法就用对称轴好吧，用对称轴指。好，那对称轴刚才咱们讲了，如果s4。

等于s12就另外一种方法。可以推测它对轴轴。这样就为。四跟12的中点正好是八。是吧，四跟12中点正好就是八。好，这个抛物线的对称轴公式，大家要记住好吧，对称轴公式就是二分之一减去a除以d。这样就等等于八。二分之一减a除以d，怎么来的？是用对称轴公式算出来的啊？是用对称轴公式计算出来的。

懂了吧，是用这个对称轴公式求解出来的。这样我们就可以算出a÷d的值。就等于二分之一减八，就等于负的二分之十五。那就负的二分之十五就写好了，好吧，就二分之一减八就得到负的二分之十五。好，这样它的这个方法。也可以，这个要简单点。好看，这个懂了没有？好，

那接下来咱们再做一个题啊。一个等差数列an中公差为负的啊，公差为负数。s 4=s 11，那么下列叙述正确的到底有多少个？好，大家这道题最好画图做，你推也能推，知道吧？推能推，比如s6s9，你推也可以推。那最好呢，咱们画图做。好，

大家想这道题应该怎么做？因为它d十二点d十二点开口是向下的。好，第12点开口是向下的。是不是啊d消点开口是向下？那这个是n。它d是小小于零的。好，大家知道s4要等于s11。加这个点是四。这点11那对等轴可以可以找到。好，这个时候正好是四和11的终终点。是吧，就是。

四和11重点这样七点五。嗯。啊72。好，大家看看这有几个是正确的，都想想。好，大家认为哪些正确，哪些错误的？好，第一个大家看对不对？第一个。呃，第一个，大家想想对不对啊？

第一个，第一个s 6=s九。啊，这个是对的，因为呢，对称轴正好是七点五。钝轴是是七点五对吧？钝轴正好是是七点五。切换s6在左边s9在后面，因为这个s 6=s九，这是这是正确的。也对的，你看对等轴正好是七点五吧，七点因为人家六+9也等于15。是吧，

六六幺九=15，所以它这个正好是关于这个七点五是对称的，所以它正好对称，所以第一个是正确的。第2s七跟s10两者的关系s7。那第二个咱们看看。哎s7大家知道，因为对称轴是七+5，所以说s7应该等于谁呀？因为它对称轴正好七二五，所以s7。正好等于s8。啊，因为你看正轴是七+5，因为七+8=15嘛，

七+8=15，应当说s8肯定是大于s。十的因因为s8在这儿。知道吧，这个s8它在这个位置。啊，这样的。好，这是这s8。s9s10s11。是吧，所以这样大家可以发现好，这是它的这个数值，所以s7跟s8是相等的。那第二个也对的。

好，第三个，第三个，它说s17小于s15小于零，大家知道s15刚好应该等于零。这个地方s15s15刚好是等于零的，所以第三个错了。x17小于x15是对的啊x17小于x15，这个是对的，就是小于零这块儿错了，因为x15是等于0x17呢是负的。好，第四第四个第四个是s16小于s17小于零，它这个写反了对吧？第四个应该是什么？

应该是s。应该改成s17小于s16小于零，因为这个s16在这个位置s17在这个位置，它后面都是越来越小了。啊，就是这是s15s16s17是吧啊？这样的。你看在这个位置，所以说一二是对的啊，三四是错的，所以正确答案应该选择的是c选项好看，这个是不是懂了？啊，这样就求解出来了好吧，看大家会不会分析和思考？

好，那接下来咱们再看这个题。好，如果等差数列an满足五倍的a7-a三。减12=0，则这个sigma。k从一到15 AK的值到底等于几？好，其实后面这个sigma就代表求和啊，大家注意这个sigma其实代表求和sigma k从一到15 AK。其实就相当于等于15，知道吧，所以就相当于是15。懂了吧，接下来前15项求和。

懂了吧，钱是不是想求和？好，那在这里面s5是不是可以把它写成15倍的a8？是不是这样的？是不是可以写成15倍a8？好，那接下来我们来看一下这个五倍的a七减a三减十二等于零。那五倍a7可以把它写成a8，减da 7可以写成a8，减d。呃a3呢？可以写成a8，减去一个五倍的d。所以虽然这道题d他不知道是多少，

但是呢，这个d他正好能抵消掉，能抵消掉就得到四倍的a8。等于12就推出a8，这样等于三。零八=3，所以就15×3就等于45。好这个呢，应该选择d是吧？应该选择d。看是不是懂了这呢？应该选择d选项。好，这里绩效方法什么绩效方法？这个方法我们在等差数列中，

我们看d=0行不行？是吧，看d=0。d=0的时候也是一个常数列，所以可以用这种技巧方法做，要是一个常数列的话，就是不管是a7还是a3还是a几。它这个都是一样的a啊，都是一样的a，懂了吧？所以这个都一样，所以这个五倍的a7，然后这个a3。然后这一块大家可以把它看成就是五倍的a- 4倍a，就所有的a它都都一样，

就所有的a它。这都是一样的。那an所有的a它都是一样。对呀，那说明这个每一个a它都等于四。四倍a都等于12=3，每个a都等于三是吧？这是四倍的a，这样等于12，每个a都等于三，所以这就是一个。常数列，每个a都等于三，不管是a1，a2，

a3，a4，每个a都等于三，每个a都等于三，它要前15项求和直接就可以口算。这就等于一个45。啊，这样算要简单点是吧？然后一般方法一般方法呢，就是先s15写成15倍的a8。然后接下来我们把已知条件用a8和d去表示。你把它d去表示，虽然d不知道d它正好就抵消掉啊，这样也能做，这是一般方法做一般方法要麻烦一点。

好吧，看这个是不听懂了。好，接下来咱们再看这个题，大家都思考一下这个题目。那想想这个题，好在等差数列an中a2=4a4=8。若这个求和，正好等于二十一分之五，则n的值到底是等于多少？求n的值到底是等于几？n的值到底是多少？大家想一想。好在等差数列an中啊a2=4a4=8。9n的值到底是多少？

想一想。呵。好，那这道题一个求和大家一定会列项抵消好吧，大家做做列项抵消。不会做的同学还是要知道咱们讲的那句话。等差数列最关键参数是公差d，然后其实是首项a1，只要把d和a1找到这个万能参数，找到那剩下问题就解决起来，要简单一些。所以考试不会做的同学，大家呢？就要把它往万能参数上去靠近，这样慢慢慢你就入门了好吧，

对基础比较薄的同学，大家呢，也要掌握我们做题的要点和方法。这样大家就可以。快速掌握解题的思路。就知道怎么去思考了。好，大家看一下这个题好a2=4a4=8有没有同学把这个d求出来？好，这个d可以很快就求出来。d的值等于二对吧？d的值正好为二。大家写出来没第一步，每个同学是不是都做出来了？想一想。

好地址等于二，这个求解出来了。好地址等于二求出来以后，那接下来咱们再来看。a1是吧a1a1，这样等于a2-d也等于二。好，那这个求和代表什么意思？sigma可以从一到n它求和到底代表什么意思？想一想。它结果。相当于k从一到n啊一块儿来进行求和。k从一到n1块儿来进行求和。如果不会的同学，大家写几项就就行了啊，

这个sigma就代表连续求和从k=1开始，一到k=n连续不断的相加。啊，连续相加，大家想一想。啊，那连续的相加，大家思考一下。好，接下来可以写成这个a1a2。啊，加上。这个a3啊，就a2a3是不是？也加上an×an+1，

是不是这样的？所以k=1的时候是a1a2 k=2的时候是a2a三一，到最后an和an+1。看是不是写错了，有同学选的是e，有同学选的是d，到底选什么答案，大家再看看。好，大家知道a一a二a一a二分之一，它是不是可以写成？a一减a二分之一。这个可以写成a二分之一，减a三分之一。一到最后。

an减an分之一an。减n加一，注意这地方前面还得乘一个公差d分之一。不要忘记了。如果不太懂同学，大家可以把这个反向思考，大家知道a一分之一减a二分之一，你一通分一通分，正好分子多一个a二减a一，多一个d多一个d，所以前面要乘一个d分之一。前面乘以个d分之一，大家可以看中间，它正好就抵消掉了。这样又抵消掉了，

抵消掉，所以它就剩一个这个d，相当于是二啊d，刚刚咱们讲了讲了，里面就剩一个a一分之一。减an加一分之一。好，它说等于二十一分之五。等于二二十一分之五。好，因为大家知道这个a的值。a的值它也等于二嘛a的值它也也等于二嘛。是不是那a的值它也为二，那这个就很好做了，然后把二给它乘过来。

啊，把这二乘过来，二乘过来就二十一分之十，就是二分之一减去。然后an+1它通项知道怎么写吧，如果首项和公差是一样，首项是二公差也为二使它通项。通项这个an大家通项都会写通项就是2n。如果首项和公差要一样的话，直接就写成n倍的d。如果不太会的同学，我再讲讲它通项应该怎么写，大家知道通项应该写成a1，加上n- 1倍的d是吧通项？an可以写成a+n- 1倍的d，

本来这样写啊通项。同样应该这样写。明白吧，同样应该这样写a+n- 1倍的d。但是如果a1和d要相等，所以它直接可以写成nn倍的d，所以an就等于2n2n，那这个n+1就可以写成。2 n+1。就等于二十一分之十。所以n这个虽然就等于20这个自己去解解。好，这个解这个方程n就等于20这样写出来了。好答案就求出来了好吧n等于等于20，这答案应该选d啊，

选d好这道题咱们再简单说一下思路啊。再简述一下思路。啊，如果给我们两a，马上要把公差d和a首项求出来，首项这个通项就可以写出来。这里是一个特殊的等差数列，就a和d要相等，如果a和d要相等这个an直接就写成n×d。那接下来咱们呢，就把每一项都给它裂开，用咱们学过的列项的方法来进行裂开，应该这有个列项公式啊，如果不太会的同学简单说一下an。n+1。

啊，如果不太会，我给大家推导一下好吧？好，给它推导一下，就相当于它可以写成an分之一，减去n加一分之一，然后前面一定要乘一个d分之一。因为什么呢？因为这里这两一通分一通分分子，它会多一个d知道吧？这两个一通分分子，它会多一个d多一个d，前面要乘一个d分之一。懂了吧，

它会多一个d多一个d它会。它会乘一个d分之一，这样一个写号。这样的话，它又会成一个d分之一。好，这是它的一个列项，看是不是懂了？啊，咱们再练习一个根号列项好吧，再练习一个根号列项，各位同学再练习一下啊，练根号列项都想一想。好在等差数列n中。a二等于四a四等于十，

若这个sigma啊根号AK加上根号AK加一分之一等于六，则n的值到底等于多少？好，这个n的值到底是等于多少？大家想一想。n的值到底等于几？好，这里考察根号列项啊，根号列项，大家思考一下。给大家提示一点，强调一点，别弄错了，这地方是k从二开开始的。可以从二开始的啊。

好，大家想想这个题有没有同学做出来好，第一步大家呢？还是要先求出它的公差，对不对？把公差求出来。公差我们看等于几？a4-a二=10-4等于等于二倍d。d就等于三。啊d=3，然后a的值。它正好为一是吧a的值，它正好为一。好，这个通项就顺便写出来吧，

通项。大家知道，等到这个图形应该怎么写？等于a 1+n- 1倍的d。这个等于三减二。是吧，所以它通向。an同样就等于a 1+n- 1倍的d，知道吧？an+n- 1倍的d，然后这样。写出三减二。好，那接下来咱们再来看它sigma求和。k=2到n。

根号AK加上根号AK+1，我们看应该等于几？好，它这个就可以把它写成什么啊？想想。它这个等于个。这个根号a2。加根号a3。对于k是从二开始取的啊，别看错了k从二开始取的。加上k=3的时候，根号a3加上根号a4。那页加到。根号an加上根号an+1。啊，

最后一个是k=n的时候啊，最后一项是k=n的时候。啊k=n带到里面去。啊k点n带到里面去好吧。啊，看明白没有啊，把k换成n。然后接下来我们又把它列开列开，那第一项可以把它列成根号a3。减根号a2。第二项可以列成根号a4，减根号a3。一加了点儿点儿这个项呢根号an+1减根号an。然后这里前面不要忘记了，有个d分之一。

千万不要忘记有个d分之一。然后这样呢，就可以抵消掉好吧，把它这个抵消掉。如果前面剩是负的，最后一定是正的。前面如果剩的负的最后一定是正的。所以抵消的时候别给抵抵消错了。然后a2值a2值正好是等于个四是吧？a2值是正好为四。这就等于一个d呢，刚才咱们求的是三分之一d是三。然后这个根号an+1。减根号a2。好，

那根号an加一，我们可以把它怎么写呢？大家知道它通项是三减二an等于三减二，那an加一就等于三加一。n+1怎么弄？知道吧？把这n都换成n+1啊，把n都换成n+1就可以了。把n换成n+1n换成n+1就得到三+1-1减去这个根号。这个a2就等于四。好它题目说正好是等于六。题目说正好为六。没了，那就可以得到根号下三+1它的数值。好，

这个三乘六十八十八+2=20。啊，这样写出来了。就然后这个n就解出来了n大家算等于几？n虽然是等是等于几啊？n算是133。我看有同学说选d啊，别选错了好吧d是134啊，别别选错了啊，应该是133。好这个呢，应该选择c选项好看，这块是不懂了。看是不是明白了？那看这基本方法是不是弄明白了啊？

所以这两个题，一个是分式列项，一个根号列项，所以大家注意就根号。an加上根号an+1。它可以写成根号an+1减根号an。然后前面乘以个d分之一。就行了好吧，前面乘以个d分之一就可以了。好，这是它的方法是吧？前面乘个d分之一就得到它的数值了。好看，这个明白没有？好吧，

它的这个基本方法啊。好，那接下来咱们再看一下这个求和，所以一定要把求和的内容要训练清楚好吧，大家多训练求和。好a2没等差数列a2-a五+a八=9求a1+a二加到a9等于几？所以这道题大家可以。快速看出来好，那么它的这个值相当于求的是s9。好，大家看谁做出来了？好s9这样等于九倍的a5对吧？等于九倍的a5。然后这道题大家知道a2-a五。加a8，

大家知道这个a 2+a八正好是两a5。对啊a 2+a八是不是两a5？下面a5，它正好等于九。a5它a5它等于九就等于九×9就得到81。当然，这个也可以用，刚才咱们讲过的技巧做。既要你可以令d=0。地点的域实际上相当于每个a它都是一样的，每个a它都一样，这时候呢，我们就可以算出啊，每个a它都一样，就每个a不管a几它都等于九。

a它等于九它的求和正好等于81，这样算出来是吧？好算出来答案正好是81，看这个是不是明白了？好，咱们看这个题要求前项和的最大值。求前项最大值有两种方法来求解。第一种来看，元素变化的点，第二个就看啊，这个抛物线的对称轴，两个方法都可以，好吧，这个都是没问题的。好，

大家思考这个题，看看应该怎么做？等差数列an中a1是等于八的a 2+a四，正好等于a1。我们知道a 2+a四。大家每个同学想想a 2+s应该怎么写？好a 2+a四，我们是不是可以把它写成两a3？是吧a 2+a四可以写成两个a3。你让它正好等于a1，正好就等于八。这样的话就可以把a3求出来a3值上等于四。好a3值等于4a的值等于八，马上要把d求出来，一定要掌到掌握咱们万能参数。

把d求出来。好吧，所以大家知道a3-a一应该等于八。等于四减八。等于二倍的d，所以d正好等于负二。是吧d当等于负二这个写好了。好d=- 2，要找前项和最值，你是有两种方法，方法一又令an为零。这样方法方法一定an为零，然后看它。是什么时候取零好吧，然后方法一。

换一个an。等于a 1+n- 1倍的d，令它为零，令它为零，这样n就可以解出来。n就等于一减去a除以d啊，这样就写出来，所以这道题把公式写完以后，你可以套这个方法。好，所以这道题n就等于一减a一a的值是刚才是八d等于负二，所以n就等于五。n又等于五所以s5它是最大的是吧？这样is 5最大n=5说明什么？也说明a5就为零啊a5就为零，

其实s5和s4它都是一样的，都是最大值啊。因为a5为0s五和s都一样，s5和s用哪个做都行。你用s5做也行，用s四四做也行，用s5做的话s5就等于五倍的a3。就等于五×4，就等于20。因为咱们a3的值已经求解出来了嘛a3的值已经求出来了嘛。a3纸你写出来就等于20就选e就可以了。选一就可以了好吧，这是方法一。方法二，方法二，

咱们可以用s呢对称轴做也可以。用SN的对称轴做都可以，方法二。那在这个SN正好等于二分之dn方，加上a一减二分之d乘以n。那对称轴对称轴就是二分之一减去a除以d。它对应轴是二分之一减去a除以d。啊SN，它的对轴那有同学说这两个怎么不一样呀？是不是这两个有个错了是吧？这两个怎么怎么不太一样？啊，这两都没错，因为它的取整方式不一样，知道吧你，

比如说按照这个按照这个算，按照这个算就是二分之一。减去八除以负二就等于四点五。四点五好，如果四点五的话，大家知道它对称轴，四点五对称轴，四点五的话，你想想。它对轴要四点五。好，这个时候如果四点五的话，那应该s4和s5相等都是最大值是吧？所以最大值。还是s四和s五是一样的，

还等于二十是吧？一样的啊，因为它取整方式不一样，咱们这个用这个二分之一减a一除以d它取整可以可以大于它。也可以小于它就最接近取取整上面这个取整是不能超过它的整数，不超过它的整数来进行取整。所以取整方式不一样，所以答案呢？这个答案还是一样的啊，虽然表面上看起来这两个公式是矛盾的，对不对？但是呢，它取整完以后。他得到答案还是一样的，没问题的，

看各位同学是不是听懂了？好，咱们再练习这个题。若等差数列an满足a1=21啊，就a这个值是等于21a五大于0a六小于零，且d为整数问它的前项和最大值到底是多少？大家想想这个题。都思考一下这个题。好，他给了a1=21a5大于0a六小于零，且d是整数啊d整数，大家想应该怎么做？好，有没有同学第一步先把公差d给解出来？看有没有没同学把公差d给解出来，

想一想。啊，先把公差d给它求解出来。啊d的值给大家解好。好看，这个懂了没有d值求出来好d值知道a的值知道了，那这样前项和最大值就可以写出来。用上面任何一个方法都都行啊，用哪个方法都可以。你用方法一方法一就是n等于个一减去a除以d。现在一减去a一是二十一除以个负。就等于五点二。五点二这个这个n它只能取不接应呃，不超过它的最大整数，所以说n=5的时候。

那么s5是是是最大的。对吧，就s5它它它最大。懂了吧，这样的。s五怎么算？s五因为它这道题a一知道是吧？啊AA知道那样可以写成五倍的a一加上二分之五乘以五减一倍的d。d呢，是负。啊，这样也行。好吧，这样也可以，然后这个呢？

正好105。然后减去。50。这样等于55。好看，大家是不是写写出来了？好有同学已经做完了，是选e是不是啊？选e答案。先给大家选e。好，这个方法一我们看方法二。方法这个n可以用二分之一减去a一除以d来做就二分之一减去二十一除以个负。这得要四点七。表面上看这两个数不一样啊，

表面上看这两个数不一样，最后这个四点七是对称轴对称轴，它可以大于四点七，知道吧？还是当这个n=5的时候这个s？最大还是s5啊，就算还是55好吧，算的还是一样啊，所以我想给大家讲什么这两个方法，虽然得到的这个值不一样，但它取整是不一样的啊。取取整是不一样的，上面的取整是不能超过这个数的整数。这个取整是最接近整数好吧啊，这个是最接近取整。

呃，最近一些上面是不大于取整。啊，不大于这个数来取它整整数。啊，这个是找最接近它的整数，可以大于它，也可以小于它，好吧？好答案就是选择e选项，看这个是不懂了。好，咱们再结合一下，等比数列来求解，如果等差数列。

an这三个数是成等比的。且d呢，是为最小的合数。大家想最小合数是是几都回答一下。这个合数则n前项和最小值到底是多少？大家想想最小的合数，都思考一下，前面学过质数合数的概念。对最小合数是四，对吧？咱最小质数是二对吧？最小质数是二，最小合数是四。好，通过这个有说明d的值。

应该等于四。好，接下来大家想想。啊，而且咱们前面学过，如果三个数要成等比数列，应该怎么写是吧？三个数要成等比数列应该怎么写？想一想。30度要称等比数列30，30度要称等比数列就这两个相乘等于中间的平方。是吧，这两个相乘等于中间的平方。但是我明白啊，就这两个相等等于中间的平方。

好，这两项呢？等于中间的平方。好，就是a7+2乘以个a8-2=a四的平方。好，那接下来你知道怎么弄吗？你都把它用a4来表示，我觉得要简单一点是吧？都用a4来表示，这要简单点。所以a7可以写成a4，加上三个d。d不等于四吗？四四又加上12。

12，12后面有个二得到14。这个可以写成a4好a8a8就等于a4。加上四个d。是吧a8是不是等于a4+4个d？四个d4是16，16-2还是十十四？诶，它这样还是一样？是吧？好，那通过这个大家呢？就可以把a4解出来好吧，这个把它展开展开a4a4，最后解出来就等于。

a4展展开就得到四。啊，一个负七。好，这个大家自己去节俭好吧？a4纸解的就是负七啊，通过这个式子。好a4纸等于负七算出来以后。h值知道了啊，那么把a的值要给弄出来是吧？a的值弄出来a1就等于a4减去个3d。就等于负七减掉一个12，就等于负的19。是不是这样的？好，

这样就写好了。好，那接下来用两个方法，哪个方法做都行，我们就用方法一做吧，方法一做了啊。就n就等于一减去a除，以d就一加上加上十九除以四。对吧啊，这样的数值。等于五点七五。好，我点取五这时候呢，这时候取整什么，如果用这个工作取整，

不能超过它取整啊，不大于它取整就nn=5的时候它最大。是吧啊，最小它这道题是求最小值是吧，所以故当n=5的时候。它最小。就是s5。s5大家可以用a1来做也行，就等于五倍的a1。加上二分之五乘以五减一倍的dd的值，正好等于个四对吧？d的值等于四就等于负的九十五。啊，加上40就等于负的55。好，

大家看做出来没有这呢？应该选择e选项。啊，选择e所以这这些题跟前面题差不多是吧？都是把这个a和d解出来a和d解出来，然后套这个公式做。刚才讲有两个方法啊，还有一个方法就是二分之一减a除以d啊，那就找最接近它的整数就行了好吧，最接近它的整数。所以最后得到还是n=5啊一样的。看是不是懂了？好，然后再看这个题，等差数列an中a1=7s 4=s 11问前项和的最大值到底是多少？

它是不是把这个条件换了一下，刚刚咱们遇到过，大家再练习一遍s 4=s 11。再练习一下。s=s一，大家知道s4要等于s11。马上要得到对称轴的值。这咱们讲过，看大家能不能快速写出来，每天抓紧练，可以得到对称轴。这时候就是二分之四加十一，这样等于七点五。好了，对称轴公式有什么对称轴公式是二分之一减去a除以d。

是吧，二分之一减a除以d。好，因为a的值等于七。我们我们可以得到a的值等于七又推出d的值，谁能告诉我d的值等于几啊？有没有同学算到d的值？只要把d的值搞定了，这道题就解决了。想想d的值是等于多少？好d的值很好，求所以把a=7带到里面去d的值等于负一。好复习，剩下的应该都会了吧？现在已经对称轴是七点五，

那么最近对称轴有七和八，得到最大值。就s7或者s8，你用哪个算都可以好吧，都可以。呃，都可以，如果用s7算的话，呃，用l8算这个也行。啊ss 7的话。可以写成七倍的a4是吧？用用用s7算啊，等于七倍a4啊7a4a四可以写成a1。分解的a1，

a1+3d就等于二八是吧？就是二八选e。幺二八好，大家做好是吧？只要a和d求出来，那就很简单，就写出来了，好看这块是不是听懂了？是不是明白了？好，接下来咱们再看它们这个SN的正负情况SN最值这类题，大家都做得非常好。然后咱们看SN的正负应该会不会做SN的正负？男生征服情况，大家会不会做？

如果等差数列n满足a1=8s3=13。如果SN小于零的时候n它可以取几？啊，其实这道题画图做是最快的。我。好它开口，一定是向下的。从哪判断出来向下，你看a1a1和s1是相等的，所以。a1和is 1相等。a1是等于八。s1也等于八。因为s1，它大于零。

它一定是向下。这样的是吧？一定向下好这个题，大家直接就可以看出来，因为它对称轴，我们就直接可以找到它对称轴。就通过这个就可以得到它对称轴。电轴是八。那这个点正好是16。这点16。是那么SN小于零，大家可以发现s17之后都是小于零的是吧？十七十八十九都小于零。看问题，所以说n最小最小就是取17了是吧啊？

取17因为s17是小于零的s十八十九。啊，就17之后都是小于零的。知道吧，也就说这个SN要小于零，可以推出n呢，应该大于等于17。这样的话，看图就可以得到n大于等于十十七直接选择a选项啊，这就得到答案了，看各位同学是不是听懂了？好，这是它做题方法和思路。这个结果和a1没有关关系吧？呃，

这个a1是干什么的？知道吧？a1主要告诉你，它开口是向下的。a它得告诉你，开口是向下的。如果它这个没有这个a值，万一开口向上，开口向上的话，那SN小于零，那这个东西有可能s1就小小于零。是吧，有可能n就取一了。你看这样的，这样的话就是s3和s13。

相等相等的话，它有可能这种图，因为因为这种图那s1就有可能是小于零是吧s1就可能是负的s2s3，这都有可能是负的。所以说SN小于零的话，那n到底取一取二取三那那这这这不知道好吧，所以这a1主要限定它的开口方向啊，因为a1跟s1相等a1是正的。其实这个a1=8可没啥用，知道吧？a1它可以改成a1大于零，这个条件就行了，它a1可以改成a1大于0a一大大于0s一也大于0s一大于零，它图是这样的图。好，

这个给大家讲的SN的各类做题方法和窍门，看是不是听懂了？好，这个题做完以后，咱们课间休息十分钟，大家休息十分钟啊，休息十分钟，咱们再学等比数列和递推公式。因为等比数列内容要少一点，等差数列是最重要的啊，基本上把考试的难点，还有技巧方法，所有SN的问法基本都考到了，所以大家再回头做SN的时候，你可以发现就比较轻松了。

呃，接下来咱们休息十分钟，然后呢，再学等比数列和递推公式。

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03.讲真题-第5章第1节-题型3-1

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