08.算术1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:44:48

喂喂喂，各位同学，大家上午好。嗯嗯。咳咳咳。哎。哈。咳咳。咳咳。好，各位同学，大家上午好。呵呵。哈。嗯，

前两天发热了。身体不太舒服。嗯，所以上次给大家调了一下课啊啊，向大家表示歉意。呃，今天呢，大概恢复了70%啊。啊，所以呃，先给大家上一部分。然后。呃呃，后后面咱们再接着上。好，

已经进直播间，同学大概一进签到啊。啊进直播间同学打个一进签到。嗯，好。好，咱们课程现在开始啊。啊，希望大家也要多注意身体。啊，然后这个病毒还是非常厉害的。然后呢？嗯，需要恢复的时间会长一些。好，

那接下来咱们来看一下这个复习这个规划啊，简单说一下复习规划，然后咱们就开始。进入正题啊，因为咱们具体的学习一些要求啊之类的方法，咱们之前班会给大家介绍过啊。给大家介绍过，然后呢呃，上次没参加班会，同学简单给大家说一下，咱们的规划。嗯，咱们的这个年前呢，就预热啊，现在到二月份大概这个阶段，

一月份二月份。然后呢，数学分次的基础啊，咱们呢，给它过一过啊基础，然后主要是学习数学公式和概念。啊，把公式概念，然后学好呃，这阶段呢，不要急于大量的做题。啊，就一开始啊，大家在学习的时候不要用力过猛啊。啊，

也就是像咱因为咱们考试是马拉松式长跑啊，一开始你用尽了全身的力气，到后面就没力气了。嗯，然后。年后啊，年后咱们3月到5月份三月份到五月份啊，然后咱们数学分册啊，当然基础呢，可能还会差一点没讲完啊，这个到时候呢会接着讲。啊，主要是讲这个进阶篇，进阶篇的话，那个难度要大一点啊，

主要是学习一些啊，方法和题型的一些应用啊。这是咱们数学分册这本书啊，它的一个使用好吧，当然这这本书啊，怎样呢？做一遍是不够的啊，因为所以说这个三月份大家要把前面的东西呢，快速再过一遍啊。啊，快速再看一看。然后要不然前面学的很快就忘记了。啊，然后呢？就是三月份到五月份。

然后呢？这个学完以后啊，然后强化阶段啊，是七八月啊，七八月就强化阶段的课。啊，就是咱们强化的集训啊，线上的集训啊，就高分加顿悟，然后呢？啊，当然顿悟呢1000题呢，这个呢内容比较多，大家可以用两个阶段使用啊，两个阶段使用就这一块儿。

啊，它可以使用于两个阶段。然后呢，主要学习高分儿指南啊，高分儿指南就要注重练习了，这时候呢，大家开始进行发力，开始练习，知道吧，就前面呢，就是主要是巩固自己的基本功。然后这时候呢，你只要别掉队就可以了啊，就像咱跑马拉松一样，前面啊，

大家跟好跟好步骤。别落下，然后到这个阶段开始慢慢发力，然后真正的高手啊，或者考高分儿的同学啊，然后这时候开始要脱颖而出。知道吧，然后呢？这个时候就是练习啊，还有难度要上来啊，然后这是强化阶段，虽然咱们23年考试难度呢，比二年低了一点。但是大家呢，不要过于放松警惕啊，

这个东西它呢就是难度呢，在波动好吧，所以咱们24年难度呢？啊，肯定比23年难，这个明明确可以告诉大家，当然不是吓唬大家的啊，咱们这是客观的给大家说。当然呢，也会比22年简单，所以咱们难度呢，可能介于2和23之间的难难度啊，所以叫244的难度是这样一个难度好吧。然后呢？就是真题阶段，

九月份十月份咱们开始学真题好吧，这个学真题九月份呢，它有个开始进行报名了，开选院校了啊，到时候咱们有择校。还有择校模考做真题呢，检测一下这个模拟卷儿。然后呢？就是11月份开始，咱们呢？就在线模考好吧，就高质量的模拟卷儿，然后呢？还有一些密训呀，串讲呀。

啊，以及咱们的考前200题啊，这个非常重要的考前的资料呀，大家呢，都要把它好好看看好吧，有时候大家把这个表儿呢，自己截个图啊，这样手机时刻呢。啊，对立表就像像那手表一样是吧？经常咱们看看自己的表准不准比你的表啊，然后慢了或者快了。啊，这个都不太合适好吧，这是一个最佳进度，

就像咱们体检一样，这个最佳的一个范围，当然呃，复习快的同学可以稍微快半拍儿。但不要快太多，知道吧？比如说有同学说我这个年前就开始看高分指南，那这个基本功不打扎实前期。可能呢，显示不了什么问题，但到后期你可以发现噢，这个基础东西还要需要看一看啊，因为高考指南主要是侧重一些考试方向，里面一些知识点设计的就。讲解就会少一点啊，

数学分册呢，知识点讲的会详细一点，这两者是互补的啊，然后呢，再做动物经验先提，然后再练习一下就够了啊。所以咱们主要的书，大家可以看啊，就是这么三本儿一个分册啊，四本儿高分儿顿悟和真题。然后呢，对于所有同学，不管在职的，还有因为咱们听课的同学，有一些在职的，

对吧啊，在职的还有一些。啊，这个这个呃考这个分数要求不高的啊，不高的不管是在职还是分数要求高的啊？必须都看的是高分儿和真题啊，这两个是必须看的啊，必须看的，然后呢，分册和顿悟呢，就根据自己时间，因为现现在呀，时间比较早，比较早的话，分册你肯定要看。

因为像有的同学可能到来年九月份889月份才开始复习啊，比如说有同学呢，从这个。线上集训，暑期集训才开始进行学，那那时候呢，他在看分测，可能来不及了，那没办法，那只能呃。这个舍弃呃，不重要的啊，保重要的，所以只能从高分儿看，当然那肯定会出现，

会不是特别完美，但也是没有办法的办法。知道吧啊，所以大家呢，就是这样的一个安排啊，然后动物纤题呢，会更难一点，是成绩满分的好吧，成绩满分的，所以这是根据自己的情况啊，然后呢，如果要在职的同学，或者说自己没时间同学或者基础呢保的同学。很重经验，看起来会比较吃力一点，

你可以呢，重点把高分和真题给它吃透，数学60分啊，也有了，有了就够了，好吧，但有同学想考好学校，他也想考。满分啊，或者就错一个啊，那得看1000题啊，所以是这样的一个规划好，各位同学都明白啊。好，那接下来呢，

也就翻开这本书的这个纪录片的第一章，实数比例和绝对值好吧，咱们。第一章呢？比较简单啊，咱们呢？主要挑一些重点说说啊，重点就绝对值内容，这是每年考试重点，而且这是绝对值，是全书的一个主线啊。绝对值是全数的一个啊，一个主线。然后呢？这个绝育值呢啊？

然后呢？比如说咱们可以跟方程不等式结合在一起，跟咱们的啊几何？还有跟咱们的排组啊，概率啊，它都可以结合在一起啊，跟数列也可以结合在一起，知道吧啊，然后这一块儿大家呢，注意它全书的主线也是必考的，因为为什么全书的主线它跟各章都可以联系在一起？知道吧好，那这是呃第一章的重点，那实数里面主要是呃质数合数的一些概念，概念性东西多啊。

然后比例这一块儿主要会化解就行了，它主要为下一阶段的应用题做铺垫啊，因为第二章的应用题做铺垫。知道吧，所以主要是应用题啊啊，那么这是啊，这个第一章它的内容咱们就看一下第一节，第一节主要是实数里面的一些概念。的性质啊，咱们就选一些重点的给大家讲，特别简单的字眼。回去看看就行了，好吧，这个整数整数的话，主要是正整数零和负整数，

然后整数咱们用z来表示好吧？有正整数啊，就大于零的整数，然后零还有负整数，然后零和正整数呢，就把它称为自然数。啊，自然数自然数用n来表示啊，自然数好，这是整数的一些基本概念，大家呢，以前都接触过啊不是。很陌生啊，大家就做一下题例，一比较简单，

大家思考一下例二这个题好吧啊，例二这个题呢，就告诉我们这个分式讨论取值分式。它是一个考试呢，看似不难，其实呢，又是特别灵活的一种考题，知道吧，像分式的变形，因为这个咱们呢？这个23年考的就考了一个题是吧？考了一个题，考了一个题，就是x除以个呃，这个是八。

x三次方加上5x。加上一，然后这个东西很多同学就不会变。好就就不不会变是吧？然后呢啊？这一块儿啊？就就不会变，然后呢？就是这一块儿的话x÷8x三次方加5 x+2。就这个分式，很多同学不会变，所以分式呃变形分式讨论取值等等的，那这是考试重点。那么分式的话，大家呢，

想办法一定要啊，其实题不重要，各位同学啊，题不重要，大家啊，听的是这个思路和方法啊。咳咳。呃，听的思路方法。啊，就是一定要想办法呢，让分子变成一个常数，知道吧？分子变因为分母，你没法变。

知道吧，分母没法变，因为咱们学过这个BA+c，可以写成ba加，上ca，但是呢b+AC你不能写成ab加，上ac这个呢是不可以的，是不是有时候分母呢？咱们是没法弄啊，分子呢？好好弄，所以这是一个原理，知道吧？所以大家现在听课呢，主要听这个解题的原理，

而不是说啊，我把这个题选对了，勾个答案就行了，那这也是不行的，知道吧，所以大家呢，要知道这个基本的这个原理。好，那这道题大家首先啊，要观察这个分式呢，总共啊有这三大类好吧，有这三大类。然后第一大类呢，就是分子的次方和分母次方相同。相同啊，

分子和分母次方看m都是一次方，它是相同的，这是一类。第二类呢，就分子的次方高。分母的次方低，这是第二类，第三类呢？就是分子的次方低。分母的次方高。大家在大脑里快速闪现一下这个三类，我们应该怎么去处理？这是你听这道题的真正的用意，而不是说这道题我选c也好d也好，把答案选出来。

答案选出来只是。非常初级的一步，知道吧，所以大家从一开始培养数学思维，为什么跟着咱们的数学课程啊，大家呢，才不怕它考试。怎么样灵活变形呢？因为咱们教的是一个思维，知道吧，所以说唉，你听完这道题唉，以后遇到分式，从此不再害怕了，而不是说老师呢，

把这些答案给。给你说说噢，这道题会了，下次上考场换一个题，你看这次考试很多同学就不会，但听老师的讲解啊，只要咱们的听课同学唉，上考场唉，知道这道题老师讲过。分子的次方低分母次方高唉，那这时候怎么办啊？一秒钟就算答案是不是？所以这是大家听这道题的，真正收获好吧。好，

各位同学，然后没做的同学抓紧做一下，做的同学呢，赶紧思考一下啊，好都想一想，说一下大家的答案。咳咳咳。好都说一说啊，选什么？嗯。好，那这道题大家都做完了啊，做完了，那如果分子和分母次方要一样啊，要一样要一样的话，

那这时候我们怎么去变形呢？我们把它这样变形，把它先变成一个3 m- 1出来。对不对？把它变成一个3 m- 1出来。然后呢，再给它加上一个四。除以个3 m- 1，是不是这样的一个内容？是不是所以大家？先把它看成是几倍的分母。几倍的分母，这个能懂吗？把来看应该是几倍的分母，这是负的。

3a3 m- 1，知道吧，因为这个，然后这个五呢，这个给它拆成一跟四，拆完以后呢，这样就可以裂开了。裂开裂开就是啊-1+4÷3 m- 1，然后这样的。好，这是第一步，第二步要是分式是整数，分整数话分母一定是分子的约数。啊，约束在这里面，

大家不要忘记人家没说是正整数还是负整数，所以呢，大家呢，就是要看它。它可以是正负一，正负二，正负四，所以说这个一这个约束不要漏掉了。还有负的这个约束不要漏掉了。知道吧，所以大家呢，最害怕这种取值情况讨论。懂了没有？去情况讨论，这样话大家呢，

最容易出错啊，好，那这样m就可以写出来m呢，你自己去解好吧m是一个零对不对？一个零一个一一个负一，是不是这样的？反正自己解，其他的话m不是整数，我就舍掉了。好吧，那就舍了这个答案选择d啊，大家做的非常好，这个答案选d啊，好，那这是。

啊，这个题那回到刚才咱们讲的。这个题的这个疑问上啊，各位同学都说一说，如果分子的次方要高。分母次方d应该怎么办？咳咳。好，大家说一说这个。啊先说分子分子低吧，分母高就说这个23年的这个考题这个题。这时呢，肯定不能这样裂开了，你这样裂不开啊，这样裂不开啊，

这样的话，大家要注意，如果这个时候呢，大家上下给它除一个。x1定要变成一个常数啊，取倒数也可以，有同学发现了，取倒数也行，取完倒数我求完以后。求完后一定要记住，再给它倒回来啊。知道吧，因为有时候考试时候着急，知道吧，着急做啊，

取完倒数算完答案一下，勾了勾的答案了，然后忘倒回来了。知道吧，因为你求的是倒过来的数啊，取倒数是可以的，没问题，取倒数以后就变成了这个分子高是吧，这样可以或者上下都除以x。想想都除以x对对对除以这个除以这个号，咱们这次考试是求的是最值，可能有同学还没还没学到均值定理，还没学到均值定理，那就算了。然后呢，

它再把它拆成八次方，加上1xx分之一，再加上五。这后面呢，用均值定理啊，均值定理，大家可能没学好吧，均值定理用均值定理一变就变出来了啊，好，这是分子d。分母高啊，这一块儿啊，它的这个内容好吧，然后在咱们啊数学分册进阶篇进阶篇呢，就是在讲矩阵定理那一块儿还出现过。

分子次方高，分母次方低的，比如说ax^2+bx+c。除以一个dx+e就这类形式，你会不会变？这个形式你会不会变？你思考一下，如果让你遇到这样的题啊，你怎么变啊？你怎么变是吧？这样题。下次考如果考这样的，这样的话，大家就比较完整了，我再简单说一下，

没跟上的同学再说一下啊，就如果如果它这个次方一样啊，一样一样，就是最基本的，刚才大家都会做了。如果上面低，那这个大家也会做。对吧，如果这个上面高，应该怎么弄上面高？上面高的话，你实在不行呢，用那个除竖式除法。啊，咱们讲课会会讲到数式除法除法，

找到商式和余式，这样也行是吧啊，找到商式和余式。对，有同学说上面可以画成下面的平方，完全平方再整理一下是吧？再整理一下。嗯，比如说比如说给大家举个例子吧，要不然大家大家学数学有个窍门啊，就是如果这个。呃，分子。它这个变换和分母变换，那你怎么变化？

我给你举个例子，如果在学习的时候，如果感觉比较抽象，你可以举个实例，把抽象变成一个具象的。是不是啊？比如说这个分母是呃2 x+1啊，上面呢？给大家举个例子吧，比如8x方。加上5 x- 3，啊，假设这样的啊，这给大家写一个事例，比如考试遇到这种情况，

那你怎么去变？你怎么去变？啊，遇到这样的情况啊，你怎么去变？有这种情况，那第一种呢？就刚才有同学说了，他想到方法什么了，他把上面画在下面的平方再整理。啊，你们思考思考。数学一定要发散思维，不要被动的接受，不要别人这样说，

老师这样讲，我就这样学。啊，你想想还有没有其他方法，大家都现在都讨论讨论好吧，你遇到这些题你得会做啊，有同学感觉不好画。啊，小戴嗯，同同学在不在？小戴同学说说怎么画嗯？你看看这个感觉不好画。嗯，有同学上面十日相乘。啊，

它说上面是相乘，上面温因式分解。啊，它因式分解。好有同学说上面一是分解。嗯，那这个这个怎么分？有同学直接除法。直接除法，你看你看这个这个这在一讨论，看你们的思路就开阔了，好，那接下来你们是不是你们大家想了这么多方法，哪些方法是可行的，哪些方法是不可行的？

是吧啊，哪个方法是可行，哪个方法是不可行的？嗯嗯嗯。唉。咳。好，那么其实比较简单的方法，你知道是什么吗？你看首先这个分解，所以呢，这道题分解不好分。实质相乘的话，这也分不开告诉你，即使实质相乘能分开。

即使实质相对能分开啊。这实际上呢，也也没用，你分开了，上面约不掉。分开上面肯定是约不掉的，因为它分成两个因式，跟这个肯定是不一样。你放心，肯定是不一样的，他不可能说一下，让你约掉了约掉那这道题呃，就没什么难度了。是不是啊？有同学说02 s+1=t噢，

这是一个方法，这是一个方法，但是这个方法会会麻烦点啊，这个同学说的行。是可以啊，列2 x+1=t=t后这个分母就变成光秃秃的一个变量，然后一下子就就裂开了。啊，这个是可以的，但是会麻烦一点，你想想列2 x+a=t这是一个可行的方法，但是呢，但是理论上是可行的，运算量会比较大。你看令t=2 a+1，

然后这样一弄是是是OK的。啊，是OK的，这是一种可行，但运算比较大啊。直接多项式除法对对对，多项式除法，这个是可以的，多项式除法是最简单的啊，最简单的最简单还有一种方法就是硬凑。我教给你怎么去去去应酬出来，你看好啊。in测所以2 x+1来。这时候呢，给它添一个4x，

为什么添一个4x？因为这是8x方八次方，然后为了出现中间的5x，咱们要看添一个几。要添个几啊，把中间的5s1定要给它弄掉，大家告诉我对对对，填上几噢，小的同学应酬的啊，对对对。对这次乘完这乘完后是。呃乘yo是8s方。对吧，这是一个4x，这得有个12。

是吧，这是12这样的话，乘出来是不是正好有个5x8 x^2+5 x就有了？就有了，然后这个二分之之一有1222分之一的话，然后就相当于再减去一个二分之呃。七是不是？因为为什么72？因为这个三嘛，这个三因为这地方乘完后乘完后是不是多了一个12啊？多了12，然后这样再一列开就行了。现在就得4 s+12，减去一个72除以一个2 s+1，然后往下呢，

再拼凑，然后呢，用一下用一下均衡定理就可以了。好吧，用一下其他方法好吧，这大概给大家一个数，这是应酬的啊，应酬的话就是需要观察，我再教给大家怎么去应酬啊，就是首先写一个20+1出来。人家出来哈，然后这个八次方八次方这地方写一个4x。是吧啊4x然后呢？这块呢？它写一个。

啊，这个12哪来的呢？12因为它要保证是5x嘛5s怎么来的？听不懂同学们讲讲5s是1×4x。这不有个4x吗？是不是有个四个，然后这个两个相乘的，正好有个x，你看4 x+x是不是等于5x？你自己想想。你是是自己想想是不是这样的？嗯，对不对？是不是这样的自己再琢磨琢磨？对不对啊？

这5 ix，然后再注意这个1×12多了一个12，多了12要该减掉啊，所以再减一个12，这就变成72了。是吧，然后这样就裂开了，当然有同学说老师这样我感觉弄不好，弄不好就弄一个除法。啊，用个除法。是吧，再上一个4x4x就是8x平方。加上4x。是吧，

然后这个上下相减，知道这个商怎么来的吧？商的话就是拿这个最高的跟这个最高的相除啊4x。然后呢，接下来就是。啊，就是啊，这个4s跟它每个相乘，然后剩下再减下来，剩下再减下来，减完后得到x- 3，来点，然后这个再上一个12，12呢的12乘以它正好就是x+12，然后上下再减，

正好就是。-72了好，所以说这个呢，就是一个商，这是一个余余留下来的余数好吧，余数。好，那这是给大家讲了好吧，然后这块儿啊，这块儿这块儿大家再概括一遍好吧，就是如果上下次方一样，就这样画。如果上面低下面高，就这样画。或者取倒数。

如果上面高下面低啊，大概就可以拼凑，当然也可以，刚才有同学哪个同学说的话，你引入一个TT也行，太麻烦了。然后呢？硬凑可以，或者说用一下除法做也行，好吧，咱们考试一般都考二次三次啊，你看23年真题出现了一个三次的。不会再考太高了好吧23次的好了，这个题大家把它记下来。好，

接下来咱们看一下第二个自然数。呃，用来表示物体个数的数叫自然数啊，最小自然数为零。为零啊，自然数包含零和正整数。包含零和正整数啊啊零和正数呃，就是都是自然数了。零的正数也把它称为一个非负。整数非负整数。然后呢？就是咱们看一下例四这个题好吧啊，例四这个题注意老师讲的。每个题表面上看起来都做对了，其实你是否达到了理解的深度？

所以有同学说老师啊，你讲课我都能听得懂。是吧，然后这么换一个题啊，一上考场就懵了，原因在哪儿你就慢慢找到原因了，这道题大家都说到选什么答案？嗯。都说说选什么答案？哇。好，那这道题咱们先按照先按照这个常规的列举思路。然后接下来看这道题的道理是什么？所以咱们一定要通过每个题理解数学的道理，这样的话，

大家真正的才能够应对考试啊。好a和b都自然数，且a×b=24 a和b的和最小是多少？啊，最小。好，大家想想a×b=24。a×b=24。然后要么就列举法1×24。2×12。3×8，4×6，对不对？然后a+b的和最小肯定是这个。最小就4+6。

荣耀最大。最大值1+24。是吧，好这个选择b大家都做对了。好都做对了，那通过这道题，你得明白什么道理？大家都做的非常好，这道题你得理解，数学很有道理，这样的话才能应对，接下来一个比较难的题。明白道理，什么道理？如果乘积为定值。

和它有最小，有最大，当然都得是正整数啊，都得是正整数了，因为这道题它虽然自然数，自然数虽然有零，但它这道题不可能出现零了。咱们有句话谁学过啊，如果既定。怎么样？对吧，对越接近和越小啊，小戴同学知道是吧啊，所以所以说这个越接近。接近就相当于极差小。

它就和小。如果极差大。差就和大这个极差什么意思呢？就代表最大的跟最小的差距叫极差，知道吧？最大跟最小的差距啊。这叫做极差。明白没有啊，这样的。好，大家愿不愿意挑战一个真题啊？比如说abcd当，当然都abcd都大一的呃，都是大一的这个。自然数啊，

那都是大一的自然数。它abcde等于个2000。然后给我求一下a+b+c。加d+e最小值。顺便也可以求个最大值，这是考试真题的难度。所以说你要知道原理，然后看你，你就能做考题了，如果你光把例四啊，我做对了，选一个b选个十会了。那这样不行的，同学们这样你上高场遇到这个题，你肯定会发懵。

一下子被他吓到了。啊，他都大于自然数。噢，有同学小戴同学做的很快，最大能找到了是吧？最大找到那那那最小呢啊？最大能找到快。最小呢。你看你知道这个原理，你还怕它考吗？不怕它考了。他给你四个也好，给你五也好，你怕他什么是不是是不是大家发现数学原理是很重要的？

是知不知道数学原理啊？原理才能让你以不变应万变。知道吧，所以说这就是听课和自己看书的区别，就咱们课堂呢，会讲很多书上。它它没没写出来的，或者没有的一些原理，知道吧，所以说有同学说哎，一看这简单数学买本儿分册，自己回头做做哎就行了，或者买本儿高质量自己做做就行了。能自己做的话，那确实你能做对啊，

但是呢，是不是课堂上把这个每个题的原理给揭露出来？然后这样的话，哎，你你下次上考场就会了。是不是唉？那小戴同学做的非常好，最小23啊，最大呢133啊，你们做的非常好是吧？是吧，大家是不是可以看到你们的同学非常优秀啊？是不是然后呢？这样就写出来了啊。好，

还有没有不会做的同学啊？还没还没有不不会做的同学。啊，不会做好啊嗯，你这节课占便宜了是吧啊，占占便宜了对，所以这个。好，这个就是abcd。啊abcd。是吧，然后呢？就是把它拆，你先拆成222。然后再乘以个555。

是吧，所以如果要求它最大值求它最大值呢，你就让它的极差。啊，极差要大极差大的话就相当于什么叫极差大你知道吧？其他人都省吃俭用，把最好的东西都留给一个人。啊，都留给一个人是不是？所以说这个最小值就写出来了。最小值叫做222。五。125.啊不，这不是最小值了，

这是最大值，对吧？最大值最小值应该这样的，最小值应该四。44555是吧？最大值最大值就是222加上125。是吧，好了，这个大家都做的非常好。对不对？好，那在这里面大家呢？呃，这是乘积为定值。如果大家反过来，

如果和要为定值，你们再说说呢？做到这都听懂了没有，然后听不懂的同学，然后及时说啊，你就不要不好意思说，知道吧，然后有同学基础弱的同学，你听不懂，及时说就行了。然后的话。啊对，你就问吧，怎么知道数是2255的好，谁回答一下怎么知道数是2255的？

谁说一说？谁说呢？你把它你先把2000分解成质因数嘛噢，这个我知道明白原因了，不会分解对不对噢，要分解质因数。啊，分解质因数你问的非常好。非线质因数大家知道，这个二不就可以分成呃2×1000。1000可以分成10×10×10。是不是这个十不就是二跟五吗？这个十也是2×5，这个十也是22×5，那是不是是是不是这样分的？

真的像咱们切菜一样，你知道吧，现在比如说咱先把这个肉呢切成几大块儿，每大块儿，然后再切成小块儿。是不是这样的，就像切菜一样。知道吧，切菜一样。明白这个道理，没有切菜一样。切一切。好吧啊，就这样了，还有没有什么疑问？

然后这个分完以后啊，分完后接下来怎么弄？你知道分分后开始把这个约束呢？就像这些。切了切好了，这么多菜知道吧？切好这么多菜分给人分给人。还有人的话，比如说这两块儿菜给a知道吧？这这这两个给a这两个给a就a就等于四你知道吧？a=4，这两个给这个BB呢，就等于四，然后这个五呢，就给c知道吧，

给c比如说咱们不是切好东西了，就像切水果切好了，像给给你给你分这一块儿。给它分这一块儿是这样的，懂了吧？我这样分。看还有没有疑问？这样分就行了。然后这个呢，就相当其他人都分的少一点，让这个人分的多一点。好吧好，大家再说一下啊，再说还有没有疑问？没疑问咱们接着往下讲啊，

如果和要为定值求乘积呢？比如说a+b=24求a和b的乘积，那应该怎么弄啊？啊，比如说考试，他告诉我们，比如说a+b+c+d+e等于个30啊，然后呢？问，他的乘积？啊，怎么怎么样啊？大家想想怎么弄？其实这个原理呢，是怎么写啊？

想想应该怎么写？大家都都说一下，如果和要为定值。何要为定值啊，还没听懂啊，比如说三个数。核要为定值。它乘积什么时候最大，什么时候最小？当然，这个abc都要求是正整数了。都要正整数，或者有时候要求一个大一的自然数。那你会不会算它的乘积啊？都说了什么时候啊？

对对对，马上就知道极差。小它的乘积。大极差大。乘积小。是不是对离得越近啊？你说的非常对，离得越越近。那这是什么原理啊？你知道吧？这两句话是什么原理啊？就咱们后面要讲的矩阵定理，对对对，讲的矩阵定理啊，讲的矩阵定理。

均定均定理就相当于是当均定理还没学，等到后面咱们学到均衡定理再说吧，咱们就今天不给大家进行延伸太多了。啊，矩形定理啊。好了呃，其实这句话呢，咱们经常其实经常在这个小学里面也也出现过。出现过什么呢？他说不计算，那比较大小你你小时候学过吗？小时候学过没有？我给你举个例子好不？48×52。49×51。

啊，小时候咱们学过这样的。他说不计算，那比较这两个数大小小时候是不是学过？啊，不计算比较这个大小。对小时候老师怎么跟你讲的？因为小时候他肯定不能没有学这个均值定理，比如说4852，你不能说我用计算器按一按，或者说我自己呢，给它算一算。算一算这两个数，谁对答案告诉我？谁谁最大。

谁的其实大家发现你看48+52。49+51它正好，它都是等于100。那和呢是相同的，发现没有？和是相同的。和要是相同的话，这两个数越接近。这两个数越接近越近，什么它的差距越小？啊，差距越小，它的乘积就越大是吧？乘越大，所以这时候乘越大。

那当然，小时候怎么理解呢？就像把它看成一个正方形。它的这个半周长啊，半周长是100。啊，就是一个呃四边形嘛，比如说a。a+b=100.那肯定是正方形的时候，它肯定是面积是最大的是吧？正方形的面积最大的仿佛没学过呀哦，有同学仿佛没学过没学过，那现在好好学学。知道吧，

所以大家知道这个数学为什么发现啊？到高中你看小学数学大家是不是还能考？考这个百分儿是吧？百分儿，然后初中呢，就考一个八九十分儿。高中啊，就有的同学数学啊，就七八十分或数学都选文科了，你知道为什么越放着学，因为小学啊，它这个数学啊，它简单背一背呢就够了。但是呢，初中你就得理解了，

你光靠背的话解决不了问题了，高中还更要注重理解，知道吧？所以说大家知道，所以说现在呢，就要弥补大家以前学习数学的一个。最大的问题。知道吧，这个就没有真正把原理理解清楚，所以说这个叫做数学思维的培养，其实数学不在于做多少题。也不在于听多少课，其实你把这些东西弄清楚啊，所有的一套东西弄清楚啊，一类题都解决掉了，

知道吧，你看小时候没学过你看。我就知道你小时候呢，可能这一块呢，比较欠缺，现在考试正是考试关键点。知道吧，所以说现在为什么有同学学数学感感觉比较呃，还是比较薄弱呢就是。没有找到窍门儿，所以希望通过咱们的课程让大家能入门儿好吧，入门儿一一旦开窍了，你们数据根本不用怕，知道吧，到时候啊，

一看开窍一看做题啊，那也很快了。知道吧，好了，咱们接下来看第二个奇数偶数啊，奇数偶数不能被二整除数，就是这个奇数。它表示，2 k+1这个简单奇数也把称为单数，偶数把称为双数。知道吧，这个组合性质大家看啊，组合性质。这个奇数加减奇数得到偶数，这个大家都呃简单的看看好吧？

咳咳咳。好那么啊，第一个是加减关系，第二个是乘法。啊，是吧，这些我希望大家不要使劲背数学，不要去背。你怎么那个有同学老师？我忘了怎么办？忘了你举俩数式嘛？忘了不不会举俩数是啊，比如两个奇数相加，到底什么数五加减三，你说是什么数？

你不会试啊，是吧？你这背它干嘛呀？背它还占用大脑空间，你现在赶紧把大脑空间省出来。留给背单词好吧，英语英语那那那你得背呀，是不是？所以说这些呢？也就是赶呃，赶紧的理解的记忆好吧，注意啊，零是偶偶数啊，这个是很重要，零是偶数很多同学就把零忘了。

这零是偶数啊。两个相邻整数，必然一奇偶啊。一奇偶，好吧，这个奇偶性，这个大家都会吧，没啥问题吧？好做一下重新判断题，重新判断一下之前学的忘记的同学，咱们说一下选项的含义，这类题可能今天有同学第一次来听课。重新判定是咱们考试。啊，另外一种题型啊，

这种题呢，之前没见过。它呢，是由下往上推。舌下呃，往上推。然后他制定五个选项，我选项把它背下来，我选项谁还记得，如果一充分就选什么，是不是选a啊？二充分就选b。如果联合就选c联c。联合什么意思？就团结起来。

然后都对就选d。如果都不行，就选e。好吧，没学的同学赶紧记记1a2b两个c都d都不对，就选e。好吧啊，这个想一想。好，接下来咱们看一下例五这个题。已知m是正整数，则m是偶数。啊，你认为哪个是由下方的推，不是从上往下推啊？

不是从上往下啊。则后面是让咱们推倒的。没做的同学都加，抓紧想想。嗯嗯。好，这道题选什么呀？有没有做完？咳。好，那接下来咱们呢？来看看啊。第一个3 m+2 n是偶数。啊3 m+2 n是偶数。好，

那我们来看一下3 m+2 n，它是偶数。大家可以看到，这个2n它是不是一定是偶数？你不管n是什么东西嘛2n，一定是偶数是不是？2n是偶数的话，那这个3m肯定是偶数，你觉得呢？3m要为偶数的话，那这个三它是奇数，记住了，说明这m它肯定是偶数。所以调一型。条件儿跟它是一样，

道理条件儿注意这个四方不影响基有性，记住啊，所以说条件儿就不用再推了好吧，就都充分就选d啊。沟通就选d，所以有同学可能没学过的，唉，一一看一上考场，唉，怎么这abcd什么意思啊？他不懂。知道吧，他不懂。啊，这个把选项背下来啊，

以后书上就不再写了，这叫重新判断题啊。条件二，再强调我就不再写了，因为这个次方不影响奇偶性啊。啊，一样的啊，一样次方不影响奇偶性。好，第三个质数合数，咱们看质数合数，这个比较重要，质数合数。质合数呢？啊，

如果一个大一的数啊，只能被它一和本身整除就称为啊这个。质数啊，质数也把它称为素数，比如说235好吧，这块儿。哦，你哦，你你说的那个这个同学这个意思？它说如果两个数相加，等于偶数。有可能是偶数加偶偶数。有可能是奇数，加上奇数。是吧，

有可能是偶数加偶数，有可能是奇数加奇奇数，所以这个同学问有没有同学说可能说？这m有可有没有可能是奇数？大家思考一下，大家一起来讨论嘛，只是你们把你们疑问提出来嘛，是吧？提出来大家交流嘛啊，那有同学说有没有可能这种情况？对这道题两个数加相等于偶数是有两种可能性，但这道题为什么不可能是奇数加奇数？圆上原因2n，它一定是偶数。是吧，

以为它是2n，一定是偶数。啊，假设嘛，你可以假设假设m又是奇数。假设这要是奇数。那这个是偶数，那这是矛盾的。对吧嗯，矛矛盾的对吧？题目题目说m不是偶数吗？不是不是，大家注意这个m是偶数。它是一个未知的，是让你推导的推导对，

那是结论。这这个m是偶数，是一个结论是未知的，所以它是由下往上推。噢，我们不能把不能把它理解成这m是偶数，是一个结论，不不不，千万不能是从不能反过来啊嗯，这是个结论，是一个未知的。就像咱们逻辑一样，这个p推q。就这个q呢，咱们还不知道是不是偶偶偶数？

这个q对对对，他学过p推q对对对，这就是就是这样的一个东西。啊，这个明白了吧啊，这样一讨论看看就就你就学习提高了，知道吧，所以大家为什么一定要尽量挤时间听直播，不要听录播。是吧，不要听回放，听回放的话，那就没有意义了，是不是啊？你这样一讨论你就明白了，

是不是？啊，这个明白了啊，好了。刚才咱讲到哪了？讲到质数，咱们再看合数。嗯嗯嗯。啊，合数。合数话，那么就是这样的数对吧？称为合数4689啊，就是除了一和本之外，还能被其他数整除。

4689合数。好，那这个质数合数在正数范围内，其有无数多个啊？它首先正数呃，那个奇数偶数。奇数。而偶数然后呢啊，是可以正整数，也可以负整数，知道吧，奇数偶数。啊，这样的。啊，

注意质数合数是正整数啊，奇数偶数，它可以是负的啊，别弄错了。第二个二是唯一的啊偶质数。大于二的质数必然为奇数好吧，质数中只有一个偶数二，最小质数是二啊，最小的。一既不是质数，也不是合数。好吧，它1g不是质数，也不是合合数啊，这是它的这些内容，

第四个大家在在书上再补充一点点啊，第四个。大家想一想20以内的质数。大家谁说说21年知识有哪些？因为为什么掌握21内？因为考试不会考太大，从来没超过20。好2357，还有没有？11131719.是不是啊？总共的。唉，那一啊，有同学说1357啊，

那一不太行啊1357啊，有同学哪个同学打了一个一。句号同学啊。嗯23571既不是质数，也不是合数啊。第五个，第五个，大家一起再说一下奇数跟质数的关系，合数跟偶数的关系。奇数跟质数关系。好，大家想一想，奇数跟质质数。你想想是什么样的奇数跟质数？奇数是质数吗？

那肯定是不行啊。比如说九。九是奇数，但它不是质数。质数呢？也不是奇数。比如说二。是吧二那怎么改呢？大于二了。就行了，大于二。啊，大于二的质数是奇数，或者除了二之外的是吧？那咱们再看偶数跟合数。

嗯嗯。咳。偶数跟合数。好偶数跟合合数，我们看是什么情况？你看偶数。合数它这个也不能推。联盟腿。应该大于二。大于二的偶数一定是合合数，合数它不一定是偶数，比如说九九它是合数，但不是偶数，对不对？好，

这是它的这个方法。这个质数合数基本上每年都要考，所以这块儿画上一个重点吧。23年又考了。好，咱们看一下例八这个题，翻开书啊，看一下例八前面两个题自己做，有疑问到时候可以问。20以内的质数中，两个质数之和还是质数的共有几个，你认为共有几个？你想一想。首先，二是一定的质数。

两个质数的和它还是质数。你认为有几个？你说说有几个？你先把他先把他这样吧。那么看质数。加上质数。它还是质数。你想一想。那说明这个质数。它一定是奇数，你认可不？那有同学说老师，你怎么知道他的基数啊？因为我可以断定这个数一定大于二。那为什么这个数大于二呢？

因为左边那两个数，它肯定最少就是二。它加在一起，它肯定比较大，你觉得呢？你觉得他他大二吗？他要大于二。那不就是奇数吗？对吧啊。是不是好奇数？好，那么记住，大家知道两个相加等于奇数，肯定是一奇偶，你想想两个数相加等于奇数，

肯定是一奇偶。你自己再琢磨琢磨，就两个数相加等于奇数，你再想一想。两数相加的奇数是不是一奇偶？那要已经有又是偶数又质数，你觉得又是偶数又又质数，你想想。又是偶数，又是质数。你想想是什么情况？好又是偶数又质数，大家思考一下。那肯定只有一个二是吧，所以它肯定有二啊，

肯定是二。肯定是二。你想想是不是这样的？好那么。肯定是二。那剩下那个数呢？剩下的数实在不行把它都列出来算了就2357。11131719是吧，你看。2+3可以2+5行。2+11型。2+17，可以，应该总共有四种情况吧？那2+3。

2+5.2+112+17那答案选c是不是有四种情况？是不是啊？这样就写好了，对不对？好c选项好，那你看这是考它怎么考的？比如说ABC。为互不相等的质数。则可确定。a×b×c的值。条件1 a+b+c=16。条件a+b+c=20。我看大家重新判断题。特别容易出错，

再再做个题。ABC为互不相等的质数。这个确定ABC的，值大家思考一下。你认为哪个充分？确定a×b×c的值啊？那你选什么答案？啊，你选选选哪个答案？你选第二个是吗？啊，那么第二个它可以定。第一个你认为它定不了是吗？ABC为互不相等的质数。啊，

你认为都不行是吧？有同学又认为选a。你看有同学说第二个，有同学又说都不行。你看看这个考试的难度呀。你说说你们听完课以后，老师能放心吗？就就就这个知识点。啊，有同学说又都可以，你看有同学都可可以，大家是不是体会到重新判断题？怎么做都有答案。你看有些人又说都可以。有同学说选a，

你看看。所以各位各位听课同学啊，从你们回答情况来看，都要好好的，从基础开始抓啊。各位同学，懂了吧诶，这感觉说都不行。那小戴同学从鲜血营一直跟过来的，他说感觉都不行。啊，然后乙乐同学说改一下第一个。那就改一下第一个。你看看，你看各位同学，

这是考试的难度啊，这是这是考这是考题啊，看你觉得哪难呀，你觉得？啊，小的同学说不对，第一个不对，又第一个了是吧？第一个好，那你看看。咳咳。啊，第一个。噢，条件没没想噢，

条件自己没想那上考场得想想啊，小戴同学，下次要想想啊。那小戴同学还是非常优秀的。好，那下面呢？我们来看看a+b+c=16。那你想想，反正就那么几个字考了怎么办？对不对？这是个偶数。你首先确定它是偶偶数。偶数那么在三个数里面加在一起，要是偶数。三个数里面加大小是偶数。

要么三个都是偶数。要么就两肌肉。你自己想想。刚才咱们虽然学的是两个数，它的奇偶性。三个数，你要会四个数也要会一定要举一反三，各位同学不要说唉，书上只学到两个。考试考了三口就不会了，这不是借口。好，所以三个数。它要么三个都是偶数。或者两极已有。

那这道题它不可能三个都是偶数。因为三个都是偶数，那就是质数嘛那那那不不可能的。那只能两级有两级有，那肯定有一个为二。有个v2。有没有另外两个数？就14。另外两个数14的话，大家刚才列的二三五七十一131719。另外两个数加在一起等于14的，他又不可能是7+7。对吧，不可能是7+7呀。不可能是7+7，

刚才有同学说259哦，你能想到259啊，那想到倒挺好的，你看就上当了，那个九它不是质数。是吧，所以指的是二三。11是吧，只有这一种情况，所以a×b×c的值就能能定。条件你们算算条件多少条件，同样道理，它也有一个是二啊，一个是二对条件，如果是二有二的话，

那另外两个数相加，应该等于18。就b+c应该是18知道吧b+c十八十八号他有可能是5+13有可能7+11。你看对吧？所以说在这里面他就不太行，什么叫确定各位同学知道确定它就代表只有一种，唯一的叫确定。所以一充分这个答案选a，这个是考试23年题难度，所以23年题这个。考生反应不难，但是命题质量相当高。看着不难，但是特别容易出错，就是命题高手的这个表现啊，

这个命题质量越高，就是让你看到的很简单，但一做哎。发现里面道招挺多。这是命题质量高手的体现啊，这个能懂吧？好，第四个就有平方根和上的平方根。它不像22年22年那个命题，质量看着难，其实质量不高，知道吧？他专门跟你扯一些这个这个什么？这个。那个不是考纲上的东西，

给你来个奥数题是吧？那这个东西大家不会很很佩服，但是23年这个出题。这个这个大家很佩服23年确确确实人家命题质量很高，对吧？看着很简单，你做的话，他真的能把能把高手和。基础不好的区分出来，知道吧？好，那第四个就是平方根算的平方根。好，第一个平方根啊，一个数的平方根等于a，

那么这个数就叫做它的。平方根，比如说s平方等于等于a。s就是a的平方根。你看，比如说一个数的平方，这个数吧，设为x吧，就x平方等于a。比如s6等于正负根号a是吧，然后这样的。比如四就可以写正负二的平方啊，正负二为四的平方根。啊，一个正数，

它的平方根有两个，它们互为相反数啊，这个很重要，一定要知道互为相反数，我们为什么要学一下平方根？和算平方根在咱们这个23年考试里面，它出现一个双重根号。a+b倍的根号c那一会咱们再讲，讲完这再说一下双重根号。那在考试质量也很高。是吧，考质量很高，所以根号要学一学。好零的平方根仍然为零负数，没有平方根啊。

因为咱们都在实物范围内啊。然后这个第二个算术平方根这里面一个正数a，还有两个互为相反数的平方根。其中，将正的平方根就称为a的算术。平方根可以把它称为根号a是吧？因为刚才咱们这平方根不有两个吗？两个。对吧，比如九的平方根正负三，但九的算的平方根就为三。知道吧，这种平方根就为三。零的平方根和数的平方根都为零啊，因为根号零它等于零。

所以根号a可以把它写成a的12次方啊。它有两种写法，一个是用根号写，一个用次方写啊。知道吧，用次方写。好，那接下来咱们来看一下。我问这个东西怎么写？你们都说它等于a的几分之几几次方都说说。都说一说。那这23是吗？是吧？所以这个就是。这样的是吧？

这样的啊。注意这个m就写在分子上，开根号是削弱，削弱就写在分母上，好吧，就这个公式，到时候考试时候。万一来个这个，别到时候不会了啊。没有这个。等于a的多少次方你你告诉我。都思考一下这个都。对负的13啊。这个负的就代表倒过来一下啊，倒过来一下，

一定要记住啊，如果倒过来一下就变成负的啊。这个倒数啊。好了，忘记同学赶紧记一记。好例九这这个题。大家思考选什么？一个正数的两个平方根分别2a-1-a+2，这个正数到底是几？刚才这句话要考什么知识点？考这个画星号的这这句话。它互为相反数知道吧，所以要知道这个。首先要2a。减一。

跟它是互为相反数啊，或相反数就像这两个相加，应该是v0的啊。a又等于一个负a，又a又等于一个负一。a=- 1的话，这一个是负三。一个三。那说明这个正数就是九。对吧，九的平方根-3和3，好吧-3和3看那个懂了没有？嗯。好历史又自己看看吧，自己做一做好吧。

然后接下来咱们课间休息五分钟好吧，休息五分钟，然后再接着。呃，接着讲啊。咳咳咳。哎，休息五分钟啊。咳咳。啊，咱们开始上课啊。好，接下来咱们看一下整除问题好吧嗯。整除整除的话，这个比较简单，

就相当于它这个余数为零。啊，再把它成为整除，比如18÷6，他要得到三对吧这个？这个整除啊，这个。余数为零就行了。好，接下来看看一下整除的特征。啊，整个特征能被二整除的数这个个位呢？一定是偶数就行了啊02468能被三整除的数。它数位之和，必须能被三整除。

好吧，这个大家都学过，能被三跟能被九这个差不多，然后四的话就看末两位能被四整除。比如说9752。好，你看它末两位52能被四整除，它整个数就能被四整除。被五整除，只要个位能被五整除就零或者五被六整除就能被2和3啊整除。就既能被二又能被三整除。然后背八的话，八的话就看末三位，末三位，比如说752就看一下末三位。

它能被八整除。能被纠正出它的数字之和，能被纠正出。好吧，跟三差不多，实证出发就各一定要为零。然后接下来咱们看一下例11这个题。看下例11。不超过100的正整数能被七获得五整，除有多少个大家想一想。那不超100的，正整数里头。能被七或者五整除的有几个？咳咳。啊，

都说说这个题选什么答案？好，这道题大家注意一个关键点是什么？是或。是或是吧，就a或b是或的问问题。期货物。所以就a或b。就等于a+b。减去a交b。知道吧，所以这这道题主要考到这个减法，如果没学过同学，大家知道就咱们画的圈儿。比如说a，

这是b。A货币，它并在一起是吧？并在一起，并且a+b然后再减掉a交b。好这一块好吧，减掉这个a交b。好，然后呢？我们接下来就可以看到。好a就代表能被七整除的。北京人有14个，你知道吧？就100÷7他正好得到14，然后再余二嘛。

再余二是吧？所以它有14个。被五整除的。100除以个五。他这个得到是20个对吧？所以这两个里面它有交集，交集是谁啊？交集就是又是五又是七，它们共同的部分就被35整除的。第三个整数有两个，一个35，一个70。它有两个啊。所以它这个就相当于是有14+20再减掉两个，一定要减掉这个二啊，

然后就二得到32。可能有同学在做的时候，这个二没减掉。所以这道题选择c选项。啊，选择c。咳。然后第六个就倍数和约束啊，倍数约束倍数约束，咱们在做应用题，还会再再用啊，这个知识点咱们现在先看一下这个概念。就是公倍数，公约数，还有倍数约束它的概念。

当a能被b整除时，就把它称为产生的倍数，比如说18÷6=3。18能被六整除。所以18是六的倍数。六9018的约数对吧啊？这倍数和约数啊？然后公约数和最大公约数几个公有的约数就把它称为公约数是吧？都有的，其中最大那个法称为最大公约数。公倍数就几个数，公有的倍数啊，一般咱们就找最小的好吧，找最小的就是最小公倍数。然后呢？

这个呢？两个数，它有个公式要记住啊，只有两个数的乘积就等于它最大公约数乘以最小公倍数啊，这个这个公式这个要知道。这个公式只适合于两个数，三个数就不行啊，只适合于两个数好吧，两个数。然后接下来咱们看一下例12这个题，看一下例12。两个正整数，甲乙的最大公因数是六，最小公倍数是120，甲乙的和到底有几种多少种情况大家看。

看这个题。想一想，想想这个题。这题怎么做？这题大家在做的时候有个重要的信息，就最大公因数是六。这条公因数是六。那这个怎么表示啊？告诉我。想想这道公式是六。不会做的同学想一想。好，那接下来大家知道，最小公倍数为六，说明甲可以把它写成6m，

对吧？甲把它写成6m乙呢？可以把它写成6n。这个mn呢，一定是互质的。啊，为什么互质呢？因为mn不能再有公约数了，为什么不能再有公约数呢？因为最大就是六。最大最大就六。除了六之外，不能再有公约数了。因为最大就是六嘛。好，

那接下来我们看最小公倍数是120。好，那接下来我们要写一个什么两数相乘？等于最大公约数乘以最小公倍数是吧？就是小戴同学说的。然后就可以得到m×n。等于20。好m乘以等于20，大家想一想。m乘以等于20，大家想一想。想想这个有几种曲值啊？是不是可以写1×20？好，大家想想写这三种行不行？

写三种对不对呀？是不不对的，对吧？这个是要舍掉的，是不是？这要要舍掉，对不对？所以22和10这个要舍掉，对不对？因为2和10它不是互质的。所以说m和n它只有m=1 n=20。或者m=4 n=5。啊，那有同学说万一这个这两个交换m和n交换呢？m和n交换也没事，

他说甲甲乙的和。和态，它也不影响。啊，和它不一样，所以这道题千万不要选错了啊，这里给它挖了一个坑。好，挖了一个坑。好了，那就是这个题。看还有没有什么疑问？嗯嗯。好，咱们看第七个实数大小比较大小比较主要是重新判断题啊，

判断题。大家看一下第15题吧。AB方小于cb方。条件1 ABC满足a+b+c=0。条件ABC满足a小于b1小于c。咳咳。啊AB方小于cb方啊，你们看这个题选什么答案？在这里面不要忘记这个这句话。大家把它画上。好，这个选什么呀？想想。注意它的下往上推啊，下往上推。

是不是啊？从微信判断题不敢选了，都都说选什么？咳咳。咳咳。好，这个不行，原因什么原因？是不是b为零啊？b为零就不行啊，所以这里选e。就应该b为零的时候就不行，所以大家千万不要漏掉一个啊，一个这个零啊，不要漏掉零，

所以有同学呢，一上来就把b方给它约掉了。我问他为什么约了，他说b方为正的，那这个约掉就错了好吧？对，所以有同学说重新判断，不敢选上考场，有同学就不敢选重新判断题好，其实一定要抓住关键的点啊，多练就好了啊。多列看一下第16题。这这道题选什么？呃，这有你选选第一个吗？

你认为第一个能推出来是吗？第一个不行啊，第一个他有可能是负的，知道吧，第一个他有可能是负的。比如说。大家千万千万不要用特质证明它充分啊。啊，只能用特征证明它不充分，比如说负的。负三的平方大于二的平方，但是负三它不是大于二的，那这个是不可以啊。第二个行。第二行啊，

第二第二个可以。因为什么？因为这个12它是以。12为底的这个这个指数，它单调递减的知道吧？单调递减单调递减的话，所以说a就大于b。这个底数是12，咱后面学到指数的时候，大家就知道了，好吧，这个知道这个，所以这个平方一定要具备这个非负性啊，所以说它这个。是这样的a的绝对值大于b。

跟a方大于b方，这可以互相推。a大于b跟a方大于b方。这谁也推不出谁。知道吧，但是a大于b。跟a的三次方大于b的三次方。可以，这个互相推。知道吧，这可以互相推。好了，就是这几个别给弄错了。好，第一节咱们就讲到这啊，

第一节。接下来咱们看一下第二节。比和比例啊，第二节比和比例，咱们现在先学一些比例的，它的基本的概念定义啊，不是很难。咱们应用题的时候还会再啊，再讲一些比例问题，也是每年都考的像23年这次考的。比例问题都比较简单是吧？所以也很好算。好，我们首先看一下第一个什么是比？两个数相除，

就把成为这两个数的比。比如a比b=aab把它称为b的前项a，在b的前面啊b在后面。好吧，它的商称为比值一般呢，咱们可以把它表成百分数就乘以百分比。好，那遇到比例的化简时候，咱们技巧可以用一些特值法做好，大家做一下例一这个题。比例大家可以先化为。最简整数比。好，这一节。在这入笔。

然后呢在？取特值。或者设k法，设比例系数。来，求解。好吧，用特值。咳。这道题在你取出来之前一定要得先化成最简整数比，要不然的话，这个143分之一。呃。当然a=13 b=14也行啊，也可以。

啊，因为这刚好12和16。啊，这个也可以是吧？用特征法也行，或者我们把它先画的最简整比。这些水溶笔怎么画，你知道吧？应纳这个比例都给它乘以相同的倍数，它是不变的。所以在这里面，大家可以看到。都给它乘以12。变4比3那4比34比三，所以大家取个特值做就行了。

是吧，取一个特值，你可以让a=4 b为三或直接让a=13 b=14里面也还行。好吧，化简化简就得到是四。等到四。好，这是这个比例比较简单。好，第二个就是相等的比例法称为比例。a比b就等于c比d或者AB=CD是吧？这个把两个相当比连在一起，就把它称为比例。其中a和d把它称为b的外向b和c，把它称为b的内向好吧，

就这个a和d在外面。b和c在内内部。如果两个比例内项要相等，把它称为比例中项。当abd均为正数的时候，那b就是a和d的几何平均值。好几何平行值的概念，知道吧，因为它这个比例中项是什么意思呢？就相当于是。a×d就等于b的平方。就这样的啊啊b的平方正好等于a×d。然后因为都正数的时候，你直接开根号就行了，都正数的时候，

你直接开根号去算出平方根。所以这个是几何平值的概念。好吧，几何平行值啊？要知道。好，接下来咱们看一下例二这个题。看下例二。设1s比上1y比1，z=4比u，比六，只使得x。加y+z=74成立的y的值到底多少？大家想一想。好都思考一下，

先让它它乘立y的值到底等于几？咳咳咳。好，这个题大家想一想啊，第一步是不是两边可以同时取倒数？是不是取倒数x比y比z正好等于一个？14比上15比上16，是不是对所以说倒数给它变过来变过来，然后剩下就跟上一题差不多了？要先化成最简整数，想给大家讲的是等号两边做相同运算，它还是相等的啊。不管是两个数比还是三个数比。它都相等。所以都给它乘一个60好吧，

都给它乘一个六六十六十有456的公倍数啊，大家口算一下60。得到15比12比上十。15比12比上十。然后呢？接下来你可以设k法也可以，当然这道题就不能取特值了，因为它有一个具体的等式在这儿。这时候你要看它多少份儿，给它扩大倍数，是不是你看十五十二？和十相加正好等于37。对吧，相等于3737的话，这个74。

这样给它扩大两倍，扩大两倍，扩大两倍就24是吧？啊两倍，所以说这个74正好它两倍或者能带着选项也行。啊，单选项也可以看出。这个y就正它两倍。反正比例大家呢，就是在化简的时候呢。啊，就是掌握他的这个比例方法就行。啊，到时候怎么变呢？是吗？

哦，怎么变魔术是吗？啊，变模都都给它颠倒完了，左边1x给它倒过来，1y倒过来然，后1z倒过来这个，也是给它倒过来就上下给它颠倒，上下颠倒它，这个意思。比如说1x比1y比上1z，如果等于a比b比c，你可以把它变成x比y比z。等于1ba分之一。1c这样的。

就这样，两边同时给它，就是反过来意思就倒过来反过来。好，这个能看懂吗？想想。好，这个听懂了啊。接下来咱们看一下正比和反比好吧，正比反比就y=kxk不为零，就把它称为正比。配断法成为一个比例系数。啊，这些正比并不是说它这个都增大和减小才要成正比啊，比如说k小于零的时候s增大y反而减小。

你比如说y=1个负3x。你看x越大。y反而越小。是不是这样的？对不对？所以说他这个正比跟咱们。理解上正比不太一样，因为它k可以为正的，也可以为负的啊k，它有可能大于零，有可能小于零，懂了吧？然后反比反比呢，就y=kks不为零称y1s称反比k呢，把它称为一个比例系数。

啊，这个反比例函数图像咱们会画啊，这个正正正比例函数这个很简单，就是一个过过原点的一条直线。它是一条直线，顺便给你画上吧。这个职业呢，都学过。咱们几何里面到时候还会讲。这样一条线对不对？呃，如果k要小于零。是这样的一条线。好吧，所以说这是直线。

然后咱们来看反比反比，大家图像是不是忘记了？这个要知道啊。咳。好k，大于零的时候，它图像在一三象限。知道吧，可以大于零的时候这样。它在一三象限。啊k小于零的时候在二四象限。k小于零的时候，它图像这样的好吧，就咱们在中学学的。双曲线。

这样的。好，这个图大家都都记下来，没有接下来咱们做一下题目好吧，看一下题目。好，大家看一下例三这个题。现在叙述正确的有几个？第一个。第二个，你看这几个是。几个系数正确，大家想一想。好都说说有几个叙述正确的啊？咳。

嗯。嘶。好，大家想要选哪个？好，那这个题这个题的话，它其实就为后面学的应用题做一个铺垫啊。知道吧，第一个就工作量一定工作效率和工作时间是成反比的，这个是对的。因为工量就等于功效。乘以工作时间。好吧，这个就不再写了。第二，

分数固定了，它的分子分母成正比。第三个。在一定距离内，它的周长和它转动的圈儿数成反比，因为这个侧轮儿越大，它转动的圈儿数越少嘛。第四个正方形的边长和周长成正比。这个对第五跟第一个是一样，这个容积一定就相当于是。工作总量一定。水管每小时注水量和使用时间成反比。啊，跟第一个它一样的。好吧，

它跟第一个它一样啊，这第五跟第一个一样，所以这个咱们在做一些工程问题的时候啊，还有一些比例问题啊，路程问题啊。都可以用正比反比。好，下面咱们再看一下。这个题运一批煤18次运了90吨。照这样计算，几次才能运完140吨，照这样计算，就按照这样的速度。比如说大家五天背了90个单词。照这样计算，

那么背完6000个单词需要多少天？是吧，就这样的。是按照这样的速度。来计算一下。好，大家想这样。看这道题选什么答案，思考一下。大家想想18次。是90吨。然后呢？就是。一次正好是五吨。是吧，

一次吨和五吨。然后140吨。除以五这样等于二八。是吧，二八次。是不是这样的，大家想想是不是28次？我给大家出一个脑筋急转弯儿题，我看大家现在会会做不啊？五只鸡。五天。下五个蛋。那问。求。20之七。

20天下几个蛋。啊你你说说。啊，这五只鸡五天可以下五个蛋。同样的，给他20g二天下几个单。你你说说。咳咳咳。呵。好在这里面就怕大家这样写，知道吧啊，五只鸡五天下五个蛋，看这全是五。还有这个20。20它这也是二二十，

这样就错了。啊，这样错了，那就被我猜中了，那有个同学还真学20。你看它是这个555这二十二十也20。那那这个这20这20这也20呢，你看。是吧，那那那这个这个就就错了。应该怎么写啊？你来想想，如果同样的天数。如果鸡的数量乘以四倍，那蛋的数量也乘以四倍。

那同样的，这么多只鸡，然后天数又扩大了四倍，所以氮再扩大四倍。所以就。80.好一只鸡五天下一个对。啊，有同学把它算成算一一只鸡五天下一个。啊，那样算也行。所以80个好吧，别给算错了啊。好，接下来咱们看一下例五这个题。

已知y=y1-y2，且y1与2x方分之一成反比。y2与x+32成正比。当x=0时y=- 3又x=1时y=1，那么当x=- 1时y等于几？这个题大家想想怎么做？这也考察正比反比的概念和定义。好，那这个题都思考完没有？咳咳。好，那都做完了啊ya与它要成反比，这应该怎么写？他这个成正比应该怎么写？好，

他要成反比就可以写成y1=1个。k1除以个2s平方。这个能看懂吧？然后给它倒过来，知道吧，给它再颠倒过来，颠倒过来。颠倒过来就变成。2k1s平方。y与它的成正比。YY就等于x+3 k2二，好了，这是y1y2，然后再把y的表达式给它写出来。y就等于一个y1-y2知道吧？

y1-y2这两个相减。然后接下来这里面有两个未知数k1和k2。然后接下来大家把这个kk 2给它解出来好吧，解出来需要两个方程，一个s=0 y=- 3，l=0的时候。y=- 3，直接k2就可以求出来，这等于二。对吧k求等于二。然后再把I=1的时候y=1算出来s=1的时候y=1 y=1算出来，大家呢，就是相当于是。求解出来。所以说k1就等于32。

好k=32那个y的表示就可以写出来，对不对y的表示y表示就3x^2-6÷x+2。然后这是它的值求出来了，他问s=- 1的时候y等于几大家想这道题，你们做了应该等于几啊？就把s=- 1带到里面去。y是不等于负三呀。好，这个写出来这1 tml的收获什么呢？tml收获就是。要把这个正比反比的概念弄清楚。然后列方程把这个k1k2给它解出来。解出来后，然后再算y的表达式，最后再求值好看，

这个懂了没有？好，接下来咱们再看一下比例的基本性质。比例基本性质的话a比b=c比d就掌握第一个就行了啊，掌握第一个第一个就告诉我们什么比例外向相乘等于比例内向相乘，这大家都知道。有时候也可以把它写成分式。分子有交叉，相乘相等，对吧？这大家都在中学学过啊，交叉相乘是相等的。好，第二个你就不用管它，第二个它就交换一下这个abcd的位置啊。

交换abcd位置。呃，哪个地方？k23，呃k23，哦哦哦呃，看错了是吧？啊那那就嗯对了是吧？好，那接下来咱们看一下。呃，看一下。呃，刚才讲到哪了？讲到这个就是第二个，

第二个就是交换abcd，它交换那个位置啊？abcd交换那个位置？啊abcd，它交换不管怎么交换都满足AB啊AD和BC相乘，它这个是是是相相等的。啊，所以说这个外向相乘等于内向相乘啊，都是相等的。好，接下来咱们看一下例六这个题。啊，利用这个题。啊，两个外项，

互为倒数，如果一个内项是x，另外内项是x+1，这s有几种取值情况？好，大家想一想。咳咳。好，大家想一想这个题。这大家知道这是比例。外向相乘等于内向相乘，外向交互为倒数，它乘积为一对不对，它唯一那说明内向乘积，它也为一。

那样乘以它也为一。因为呢，这个方程有几个根呀，当然你不用去解。这个方程有几个根，是不是有两根呀？这个方程根大家可能忘记了，是不是忘记啊？忘记的话，咱们讲讲ax^2+bx+c。a^2+b.加c，然后这块。啊，这块儿它这个德尔塔。

当然觉得判别式还有印象吗？可有同学忘记了是不是？是不是忘记了？哎呀，德尔塔啊，这个小于零的时候，它是无死根，对不对？对不对50根？然后当然等于零是两相等实根。它大连是两不等式根。它大于零，是两个不等式根，是不是这样的？想想是吧，

当然小于零，他无十根，当然等于零，你要相等十根，当然大于零。是两不等式根啊。好，那接下来大家再看一看。这道题就考察这个让它大于零是吧？另外呢，还要记得提问公式啊。2a分之负b加减根号德尔塔好吧，这个求公式啊。好了，这所以这是考察方程根的问题，

看还有没有印象，可能有同学忘记了，对不对？好了，看还有没有什么疑问？咳咳咳。好，那接下来咱们看一下第三节绝对值啊。看第三节决议指问题。首先咱们看一下绝知定义。决定异化，就是这时候决策它本身。负主角是它相反数。零的绝值呢？还为零。

其实这个告诉我们就是正数和零绝对值呢，是不变的，懂了吧？比如如果a的绝对值等于a。就说明这个a1定是大于等于零的。a的绝对等于负a。说明a1定是小于零的。当然，加上等号也可以啊，加上等号这样也OK的。好，这是它的这个方法，看到了吧？好，那接下来咱们再来看一下这个题，

所以遇到这个题大家先观察先观察。呃，这个a的绝对值和a。含a的就是负a，那么两者之间的关系好吧关系。好，大家看一下第一题，第一题你看它是这样的。公式看会不会用？好，第一题大家看选什么答案？咳咳咳。好，那么第一问大家想想。好，

这个题呢？观察都做完没有a的决策和a到底是？什么关系啊，想想。你看这里面跟它这么是不是互为相反数？对不对？你看看。是不是？对不对？是不是互为相反数啊？好互为相反数的话，那说明里面应该是负的，或者说外面就应该是正的，反正你写哪个都行，你写外面正的也行。

这个3+5s可以写成5 s+3。对吧，后轮型的里面是负的，或者外面这个正的都可以。然后这个不等式，大家会解吗？这个不等式。而这边怎么写呢？解集啊。这个大于。呃，上下乘啊，其实不用乘也没事儿。呃，就相当于是大于又取。

两边对不对取两边，所以说x小于等于负的35，或者x大于52，咳咳。啊，这个怎么写是吧啊？怎么写？就这样的，就是它的原理，这样的啊，就是这个除法大于零。跟乘法大于零，它是等价的。所以它又相当于可以写成5 s+3。乘以2s-5，

它大于等于零，但是呢呃，但还有点区别，什么区别呢？这个写的分式，这个分母，它不能为零。分母不分为零。知道吧，这个分母它不能为零，就这点儿区别。好吧，其他没有区别，就这点区别。然后咱们学过这个不等式不等式，

记住忘记同学，我写大于就取两边。然后小于就取中间。大a取两边，小a就取中间。好再大于号。好，所以说这块写在写的时候一定要注意分母这块不能够等于零。所以答案就选择e好吧。这是他听完的收获。第一个收获呢，就是先观察啊，这个橘子里面橘子外面它什么关系？第二个再判断它的符号到底是正的还是负的。第三个呢？

就是呃，它这个分式，它的解集。除法跟乘法，它对正负上是一样的，知道吧？正负是一样。好看，还有没有什么疑问？好，这个啊。好，这个你再记一下。就是。a的绝实等于它本身的时候就这个绝值。

对于正数和零呢，它是没有影响的。就它的正数也好，零也好，它没有影响。对于负数变成相反数，但是呢，咱们零的绝对值还为零，所以说零放在这放在这都行。啊零放在哪都行，因为。负零还还是零？零的绝对值还是零？好，咱们看一下第二个。

实数a的绝对定义。呃，两边等号。等号你就记住啊。等号的话，你就看这个分子和分母。啊，分子是可以取等号哦，你说这个等号吧，应该是。就相当于分子，它可以。可以等等，等于零分母呢，它这个不能为零嘛，

分母就分母，它不为零。分母它是不为零，就这块儿。所以要观察一下分子和分母。好吧，所以这52正好在分母这。好，这是这个。好，接下来咱们把刚才讲的变成一个数学的一个描述。啊实数a的绝对值，定义a的绝对值等于a就a，大于等于0a的绝对等于负AA小于零，其实这块儿加等号也可以。

等等号加哪都行。它的几何意义？几个亿是这个a。a到原点的距离。知道吧a不管是小于零。还大大于零。a在原点的距离a到原点的距离，这个距离有它的几何意义？好吧，具体它几个亿这样的。好，那接下来咱们看一下例二这个题。大家思考一下例二这个题。咳咳咳。咳。

好，这个题呢，就做做选什么答案这个题。好，这个大家可以看距离对吧？可以用那距离来思考啊，就t+4+t- 6你看它距离。他距离要还要看t的范围在哪？是吧，还要看t的范围。是吧，所以这道题呢，有这么几个方法，做第一个方法可以用特值法做。技巧可以用特值法做。

对吧，比如t你取零。取零或者取一都可以，那这个数字加在一起就为十是吧？取零也好取一好，这变成你看t=0的时候满足这个或者t=1满足这个。他算完就等于十。是吧，然后答案就选出来了。当然t=0的时候e选项算的也为十了。是吧，到时候你再选个t=1也好，或者看一看。好，这是一个特值法。

呃，另外一个方法呢？就是你把t的这个范围给它解出来。刚才咱们讲过这个不等式小于就取中间，刚才在哪写的？在这写的是吧？小于就取中间，大于取两边。好，所以在这里面大家呢？就把这个十相乘因式分解分一分。大家知道这个18可以怎么分呀？想想18呀，十字相乘，因式分解，

忘记了是不是？然后这个t方分成1×1，t方系数分成1×1，然后18。18呢，就可以分成三跟六是不是？但还有一个负号是不是还有个负号？是不这样的。所以它的根一个是负三，一个是六，所以说它的根一个是负三，一个六。因为它这个分分完后可以变成一个t+3×1个t- 6，它小于等于零。啊，

给分成t+3×t- 6小于等于零。是不是这样的？就这样的，对不对？好给它分成这样的。分裂，然后小于就取这个之间啊，小于就取中间。取中间，然后呢？这个t的范围知道了t的范围知道。然后就是t+4+t- 6，这个这个就可以把绝对值去掉，就按照绝对值定义去掉，绝对定义，

如果它要是正的话，绝对值直接是它本身嘛。如果负的话，就需要就是加一个负号嘛。是吧，加一个负号。所以你看t是大于负三的，所以这个呢？就是正的。后面这个是负的，负的加上一个负号。加上一个负号，加上负号就变成6-t，算出来就等于十。三就等于十。

咳咳。好，那这是这。这样一个情况是吧？好看，这个懂了没有？还有一个就几何意义。几何意义就t+4的绝对值表示，它到负四的距离。t- 6绝对值代表是t到六的距离。这两个相加就代表两个距离相加啊，两个距离是相加的。而t的范围正好是负三。到六这个区间分到六的区间，就不管t在什么位置。

t到负四的距离，加上t到六的距离，这两个距离加在一起。就这一段距离加这段距离加在一起。加一起正好等于总长吧，这样就等于十这样也行是吧？这也行啊，看几个e看距离也可以。好，这几个方法都行。好，接下来咱们看第三个就是公式。第三个公式。好四个不等式s绝对值小于a的所有实数x所对应点就全部与原点距离小于a的点，或者这样吧。

看s绝对值要小于a说明到原点，距离要小于as应该在负a到a之间。是吧，就是其其实就刚咱们讲的小于就取中间，知道吧？就x在负a到a之间的时候s绝对值就小于a。懂了吧。如果大于a，大于a的话，就在两边跟刚才道理一样啊，就是大于就取两边。小有曲中间。好大a取两边，小a就取中间。好，

这样的。好看懂了没有？好，接下来大家看一下例三这个题。咳。好看一下例三这个题。3 x- 1的绝对小于五的解中包含几个整数，大家选选这个题。好都说说这道题有几个整数啊？好第一步，大家先把什么呢？先把这30-1看那个整体。先把30-1看成整体，它应该在-5到5，所以说3x就小于六大于负四。

好吧啊3s就小于六大于负四。这怎么来都加上一知道吧，都给它加上一。对不对？加上一。加一，然后这个x就可以解出来。负的三分之4到2，所以s可以取负1013个整数。是不是正确答案就选择c选项？好，这道题如果改成这样呢？会不会做？求它的解集到底是多少？这个会不会做？

这个你怎么做？都思考一下。这个你们打算怎么做都说了？呃，这个x肯定是大于零的，你说对了。是吧，这s肯定要大于零。啊啊，你们先说嘛，先说有同学说和刚才一样，有同学分类讨论。有同学把答案都算出来了。有同学说画图。应应该这这怎么写？

好，那这道题呢？可以分类讨论是吧？可以啊，分类讨论唉，有同学说平方。可以啊，行吗？咱们都试一试好吧，都试然后呢？因为你不试，你不知道哪个简单呀？你们说这几个方案哪个简单呀？好方法，一是分段讨论，

分类讨论。非常也是局域值的比较基本的方法。就3 x- 1为正的时候就相当x大于等于13的时候变成3 x- 1小于5x。然后这个变成了x大于，然后x要小于13的时候再变成1-3x小于5x。这变成x是大于18，所以第一段儿第一段儿要变，第一段儿要取它交集啊，第一段儿这个s大于等于1 3和s大于-112定要取交集啊。取完交集以后还是s大于等于13，第二段这个也要取交集，知道吧？也要取交集。然后两段儿的结果要取并集知道吧？两段儿结果要并在一起啊，

并在一起。所以它解集。就是为x小于x大于18，对吧，好记住我再说一下分段讨论。每一段儿，它这个范围一定要取交集。就这个范围，跟前面那个范围一定是交集交在一起。然后这个呢，就是一定要取它的。也取了交集了，就是大于18和小于13也要交集。然后最后这两段儿，结果最终呢要取消并集这两个并在一起啊。

好，这分类讨论别人高考取反了，焦急病急，别给我弄晕了。好，刚才还有同学说是平方法。平方法是两边平方。两个平方，咱们知道有个基本前提，就是两边并列都是同号的，都正的。好，这道题如果直接写3 x- 1平方，小于5x平方。这个解出来跟原来是不等价的。

为什么呢？因为这个东西它只跟这个是等价的。好，这两个是等价的。所以说如果你只写这个的话，它跟原题是不等价的，所以解说会出错。所以一定要再加上一个s大于零，它跟原来就等价了。知道吧，所以你这个解号要加上s大于零啊，这个就跟原来就是等价了。所以在平方之前。一定要看一下它取值要求。嗯。

好，这个平方也要用平方差公式啊，不要直接展开。知道吧，不要不要直接展开平方差公式来记b呢a^2-b^2可以写两个相加乘以两个相减。两个相加是8 x- 1，两相减是2 s+1。大于零，大家知道大于要取两边就相当于x小于-12或者x大于1 8，如果要这样解的话，你会发现比原来会多一个，其实这个s小于-12应该舍掉。应该舍掉的啊，应该是舍掉的，要不然的话，

它不满格是大于零，知道吧，在这个地方一定要舍掉。把这个舍掉就行了。好，这个舍掉以后，然后这个就没问题了。啊，省略号，这是正常的好吧。好，这是第二个解出来也是18啊。好，第三个画图法，画图法，

大家会画图吧？画画图。如果s不大于零呃，不是大于零的，因为这道题s肯定得大于零，右边得大于左边呀。右边得大于左边的。右边得大于左边呃，我知道你问的，如果要这种情况下平方法，你就得慎重了。这个平方比如说啊，3 x- 1大于5x，这时候你不能直接上在平方了。你直接上来平方就有问题了。

因为右边有可能是负的。负负的一平方。负的一平方。它有可能有可能是是是比左边大了。有可能比它大，就这个意思啊好，我把这个关键的易错点再说说啊。就是如果它改成大于号右边，这s有可能是负的。有可能负的，负的话，它一平方有可能超过左边，所以这时候呢，这时候就得用分类讨讨论了。知道吧，

分析讨论，所以它这个正的没问题，另外再给大家进行强调一下，这个是。咳咳咳。这是可以推出3 x- 1^2。小于5s平方，但这个推不回来它。一定要注意，知道吧，一定退不回来他的。左边可以推右边，右边推不回来，左边所以说在这里面要加上一个x大于零。这个就可以了。

好，这是给大家讲的啊。所以刚才咱们解完后，为什么要验证一下x是不是大于零？这个很关键，因为它解完后，这个范围会比原来范围要多。它推不出左边。好，接下来咱们再看一下画图的方法。画图方法就相当于是。呃，相当于是3 x- 1绝约值，大家会画不？啊，

这个不会画，大家要注意一个函数加一个局域值，它应该是下翻上。就把x轴下方图标给它翻上来。就来做项目图，然后给它翻上来。知道吧，所以说他这样的画图这个会画吗？那这个直线会画吗？你自己再想几秒钟直线会不会画？他把这个x轴下方图像给他翻上去。知道吧，这样的一个图。然后第二个就是那个什么5s图绘画吧。5s图啊。

啊5s图过圆点线嘛，所以它斜率要比它高高一点啊。就这样的。知道吧，这样的。好看懂了没有？然后这就是先找它焦点找焦点算算等于18，那焦点你知道怎么找吗？家长知道怎么找。这个焦点。他正好跟这条线产生交点。这条线呢，就是下面翻过来的线。只要翻过来的话，所以绝值里面说明一定是负的。

所以在焦点这样求让5x=1个1-3x。为什么要把3x-1变成1-3x？因为它翻了一下。是吧，翻了一下它这个去掉绝对值要变个号。翻了一下。好吧，然后这块儿x就等于18，18，然后在18右侧的时候这个。垂直图像就蓝色的线都小于这个红色的线就写好。好，你自己比较一下这三种方法，比较它的优缺点，因为这三种方法你不练。

你就不知道哪个方法是最优的。知道吧，这要比较一下啊。好，接下来咱们看第四个绝对值的性质。好，其实性质呢，总共呢，第一个对称性，对称性互为相反，数两局域值呢，是相等的。啊，就是橘子里面变个号是不影响的。比如说这个3-2s绝对值，

你可以把它变成2s-3的绝对值。因为咱一般呢，这个2x放在前头。知道吧，更符合咱们习惯。第二个就等价，等价的话就是a的平方开根号就等于a的局域值。然后或者a的绝值平方就在a方。知道吧，就这个根号里面进行配方或者平方法，刚才讲的平方法去绝对值就这个意思，在这平方法就可以把绝对值去掉。懂了吧，然后接下来咱们来看一下例四这个题。第六题，

大家一定要学会配方公式啊，配方公式就a方加减2 AB+b^2，正好等于a加减b括号的平方。a方加减2 AB+b^2，这样等于a加减b括号的平方。嗯。好，大家看例四这个题选什么？咱们讲重新判断题，如果题干比较复杂，先把题干化解一下，然后再判断。咳咳。好，那接下来咱们来看一下。

他这个方法。好，第一个大家想想，第一个它这个应该可以写成什么？第一个。第一个是不是可以写成x就根号下？x- 1^2.减根号下x- 4^2。是不是正好等于x- 1的绝对值减去x- 4的绝对值啊？然后通信判断就要看这个等号是不是成立。等号是不是？成立。然后是不是成立，然后再看一下这个2 x- 5，看看它是不是等于2 x- 5好，

那调一。s大于二。s大于二不行，s大于二因为s大于二的话。他这个s大l只知道这个绝对值是正的，对不对？但是这个绝约之差有可能是大于四，有可能小于四，所以它这个不行。对吧？好，第二个x小于4x小于四的话，这个也不行。是吧x小于四的话，这个绝对值是负的，

这个绝对值到底正还是负这个绝对值还去掉不了？这个明白，没有这个绝值，它只能知道一个绝值符号是正的还是负的？所以都不行，然后联合起来，对不对？联合起来。联合找什么？联合是不是找交集啊？是吧，联合找交集。好联合起来，然后这样就推出它是成立的。啊，

联合在一起。连在一起的话，这个绝对值是正的，这个绝对值是负的，这个能看到吗？连在一起的话，这个绝对值就变成正的。这个其实是负的，算成正号等于2 s- 5，是不是这样就行了，所以联合成分答案就选c啊。好看懂了没有？接下来咱们看第三个自比性。这个要自己跟自己去比较。啊，

叫自闭心。尤其记住这个公式好吧，自闭型的特征就是。啊，自己a小于a的绝对值大于负a绝对值好吧，这样的一个情况。然后s绝对分之s=s绝对分之s。然后呢？就是。要么取一，要么取负一。他不可能取其他值啊。好，那咱们看一下例五这个题。好六这个大家想想应该怎么做？

六这个题。嗯。嗯。好利用这个好，大家都思考完，没有单独看条文一。单独条件一的话，大家可以看一下这a+b+c=0，你只能把分子b+c给它换换对不对？所以说这个原式变成a的绝对值分成负a。b的绝对值分成负b。c的局域值分成负c。是不是这样的？你想想是不是这样的？然后但是画到这，

你就没法往下画了，因为你不知道ABC里面到底有几个正有几个负是吧，所以单独条件一呢往下呢就。确定不了，是等于一，还等于负一，确定不了，里面有几个正几个负，咱不知道。对吧，有可能两正一负，有可能是两负一正，懂了吧？它正负呢？不知道第二个呢？

光AA×b×c大于零行吗？大家想想a×b×c大于零也不行，对不对啊？也不行。所以说他这个。条件他肯定单独也不行。所以联合起来。联合起来告诉我ABC应该有几正几负啊，联合以后。想想连完以后应该ABC有几正几负。给我想一想。然后你看a+b+c又等于0a×b×c又大于零，那说明ABC只能是。两负一正。只能是两负一正。

是吧，两会证好，两会证的话，那说明说明这个你假设AB是负的嘛？AB AB是负的，这是负a，这是负b，这个AB如果是负的，正好这个绝对值去掉又是负的负。负的，所以它就变成正的了，这个能听懂吗？c呢是正的c正的话，这个变成一个负的等于一，所以联合是充分的，

对不对？联合通过正确答案就选择c选项。好，这是给大家讲的这个内容。好，最后一个性质，最后一个性质就是非负性，大家把这个非负性呢看一看啊，好a大于等于0a的局域值任何局域值都非负的好吧。a的取值大于等于零。而且偶次方偶次根号都都是大于等于零的啊，这都非负的。要注意就是若干具有复合性之和为零，使这每个呢都为零，这是第一句话。

第二句话，它非物性的和仍然是非负的。条件儿条件儿不行的原因，条件儿因为这个b+c不知道等等于几。条件儿brc不等于几，而且条件儿它还会出现ABC三个证。或者说两负一正。对吧，有可能三证，而且条件也不知道AB+c是不是等于负a那b+c的值跟a的值有什么关系？这个也确定不了。对吧，你体现不了，而且呢ABC的符号三个有可能都是正数。它这个也确定不了，

所以从这几个方面说明它是不行的。咳咳咳。好，大家遇到这个非物性的和相加等于零，是说每个应该为零啊，你看一下例六这个题。好看一下例六例六这个题，大家看选什么答案，你看局域值根号和平方相加等于零。嗯嗯嗯。好，那说明什么？说明这个a的值一定要等于三。b的值一定等于负的53，c的值一定等于45，

是不是因为每个都为零嘛，然后这个承载体正好等于负四，是不是？想想是不是这样的？在这个题有考察以后，遇到这个绝育值呀，根号呀，平方呀。这些都非负的，它加在一起等于零，每一项都为零，每一项都为零，都可以选出答案来。好，咱们再看最后这个题。

已知ABC是不完全相等任意实数s=a^2减bcy=b^2减acz=c^2减AB则xyz。啊，有判断syz它的符号啊，它符号要么就相加，要么就相乘，这个相乘呢？得不到这个信息，所以说我们就选用相加好，然后呢，把它加在一起。当然，这道题大家思考的时候也可以用特值法做，比如ABC能取嗯012呀，或者01负一啊，然后取几个值试一试。

试一试，取特值也行，考试不会做也可以用特值法。然后这道题呢，也可以把它加在一起。好，大家思考这个题应该选什么答案？做到这，大家会不会配方呀？看谁还记得以前的公式啊？好，这个都记得吧，就12，a-b平方加上b-c^2加上a-c^2。是不是要大于零呀？

它这个为什么不能取大于等于零，因为它有个不完全相等的任意实数。啊，不完全相等，看到没有？它是不完全相的任意实数。所以他不可能说全都相等。要大于零，但大家想想，如果如果三个数的和要为正说明什么问题啊？和要为正。何要为正？是不是说明至少有一个为正啊？如果和要为负，说明至少一个为负。

是不是这样的？是不是至少一个要为负啊？所以这道题应该选择的是。b啊，看看大家。还有没有什么疑问？咳。咳咳咳。嗯。好，这个地方一定要乘以二再除以二进行配方就可以了啊配方。好看，大家还听课过程中还有没有什么疑问？啊，没有疑问，

咱们第一章就讲完了，然后作业呢，这个班主任会发给大家啊，作业这个已经给大家进行。呃，留好了好吧，大家听完课布置下作业。呃，现在养了以后身体呢还？比较。虚啊，感觉比较虚，所以说这个。状态呢，现在呢，

还在恢复中，咱们的应用题呢，又是比较重要的，第二章又比较重要的啊。所以呢，我看跟班主任商量一下，然后这个课呢，调一下啊，调一下，然后呢，今天上课感觉呢，大脑也在缺氧。好吧，所以身体呢感觉呢还是？还是没有恢复到恢复到这个这个这个满能量的状态啊，

所以为了给大家更好的一个上课啊，然后呢这块儿我。我看看班主任调一下，因为应用题比较重要，想给大家这个讲的更更更好，状态一点好吧，我跟班主任商量下午课可能就。需要调一下啊，因为第一章内容简单，所以说这个给大家这样就讲一下还行好吧，所以这个反正现在比较虚一点。然后大家也多注意身体啊，然后大家好好加油，有什么疑问，然后哦，

小戴同学也还没回复是吧？哦，是的啊。还好啊，正好是上一届考完了，然后这个身体倒下了是吧？然后噢，杨老师至少有半个月。当时也担心，特别担心这个上一届快快最后结束，要要要课要上不完，那就麻烦了。啊，所以咱们这正好考完了，所以咱们这个这个的时时间呢，

还比较宽裕啊，所以咱们这块儿啊，这块儿呢，就是跟班主任商量一下啊，因为应用题呢，比较重要。调调现现在就是特别虚，感觉就是嗓子有时候也是不太舒服好吧，大家好好加油啊。好，咱们上回讲到这好吧好，各位同学拜拜啊，拜拜。嗯嗯。

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