06.数学分册考点篇-几何

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:26:36

接下来咱们学习第一章实数比例和绝对值。大家翻开书啊。我们看一下第一章实数比例和绝对值。

首先，我们来看第一节常见数的一些概念和性质。大家要知道，好吧，数这些概念和性质。好，这些数的概念性质大家呢？要能够区分它们之间的概念，不要给混淆了啊，所以常见的一些数的概念要弄清楚。好，那接下来咱们看一下第一节常见数的概念和性质。首先看第一个就是。整数和自然数，它的基本概念。

整数什么是整数？整数它包含。正整数零和负整数包含这几类啊，整数包含正整数零和负整数这几个概念。所以整数它分为正整数，正整数，比如一二三四，这正整数，然后零，还有一些负整数。好那么零和正整数把它称为自然数，自然数咱们用大写的n来表示整数呢？用z来表示大写z来表示啊。这些整数。好，

那接下来咱们看讨论一些整数，它会不会分析和思考？好整数的一个特征和讨论，各位同学来想一想好吧，大家看看它的整数的一个讨论方法。若二m减一分之四是整数，则整数m有几种取值情况，大家思考一下。整数m，它有几种取值？想一想它的考试方法。啊，都做做这个题。好，要使得这个是整数。

那说明。它这个分母和分子，它有个整除的关系。是不是大家思考一下？它这是个整数，它应该有个整除关系。大家想想应该怎么去求解？好，那说明这个分母。2 m- 1。这个分母分母，它有几种情况下要。分母它应该等于。因为它说这个整数并没说是正整数还是负整数啊？就正负一，

正负二。正负四。是吧，它是六种情况。啊六种情况，但六种情况要保证m是整数。保证m是整数。对吧，想想这m它正好要是整数。但是这道题大家呢，有个小技巧，看大家知道没有这样话讨论起来更快。大家知道，如果m要是整数，大家告诉我2 m- 1是奇数还是偶数？

rm- 1是奇数还是偶数？大家想一想。就2 m- 1，它的奇数还是偶数？你想一想。所以说大家知道这道题有个小窍门rm- 1，它一定为奇数。对吧，所以这是它的方法。因为m为m要为整数2 m- 1为奇数。2 m- 1为奇奇数，那2 m- 1只能得到是正负一。这样情况，它不可能是偶数。所以说后两种情况，

这个不可能产生。对不对？不能产生。那这2 m- 1，那只能得到正负一是吧？只能得到正负一，你想想是不是这样的？那说明m那对应就两种取值情况，看这个懂了没有，所以这样话你m想解就解。不让解也可以不用解，所以m它就为零。和为一这样的情况，所以只能为零和为一，所以答案就选择c。

它只有两种情况好，这是它的方法思路。是吧，所以这道题怎样呢？要结合。咱们的整除的特征，还有基础性来进行讨论和分析，看这块儿是不是懂了啊，要掌握它的方法和思路啊。好，那接下来咱们看一下例二这个题。如果这个分式是整数。则整数m有几种取值情况。这个题就是比上一题稍微难一点。所以咱们讲课是循序渐进的来，

给大家进行学是吧刚才。上面这个题呢，它是分子是一个常数。这道题分子呢？它有含有3m。这里大家想这个题应该怎么做？大家思考一下这个题怎么做？好都思考思考。所以大家以后遇到这个分子，它含有变量的时候，你可以把它变形，知道吧，然后怎么变形呢？咱们写写。就3 m- 1。

然后上面是五减三m，我们可以这样写。写成负的3 m- 1，然后再加上一个四是不是是不是这样写？想想一想。是不是可以这样呢？就写成3 m- 1，上面是负的括号3 m- 1。然后再加上一个四，大家看看，有时候把这个五给它拆开。好，拆开以后，大家接下来怎么办？是不是可以把一个分式给它列开呀？

这要掌握这样的方法是吧？把这个分式给它列开就行了。好裂开。好裂开以后，那接下来我们就可以把它看成。好，这个数这个数可以跟分母呢？正好都是3 m- 1，所以就可以得到负一。加上四÷3 m- 1，是不是这样的好，这样得到负一，加上四÷3 m- 1就可以了。看是不是这样的？这样大家想一想。

四÷3 m- 1。好，那这个保证是整数，那这个分母3m减一一定是分子的约数。对吧，分子约束。但这道题，它m的奇偶性，这个分母的奇偶性啊，就不好确定了。是吧，分母奇偶性，咱不好确定，所以这时候呢。你就写3 m- 1。

它可以等于。正负一，正负二和正负四。是不是就这样的？好看，这个明白没有？好，那接下来我们看3 m- 1。它要等于负一的时候。它就是MV 0。三m减一要等于正一的时候m是三分之二。这三分之二这个分数咱们要舍掉，所以说这个就不能用了是吧？因为它要问整数m有几种情况。然后它这个正负二正负二，

然后把这个正二移过来，移过来m正好等于一。一要负二不行。负二不行，负二的话，那这个m它不是整数。对吧，不是整数，然后咱看，然后等于四的话，这个是不行的，等于四的话m等于三分之五。然后等于负负四负4m，这样等于负一。这样就写好了好吧，

大家看这块儿是不是懂了？所以在这里面那么m它整数就有零一和负一，它也有三种情况。知道吧，这个答案就选择d选项好，这是它的这个方法思路啊，所以以后遇到这种。整数讨论一个分式是整数，然后你首先看分子，它是不是常数，如果分子要不是常数，一定要给它列开。啊列开列开以后，我们再来写。好吧，

如果分子要是常数的话啊，分子要要是常数常数的话，那这个就好办了。好吧，这样的方法思路看是不是懂了啊？好，接下来咱们一起来看第二概念。第二个概念叫自然数。好看一下自然数。什么自然数？它用来表示物体个数的，这样的数叫自然数。来表示，物体个数，比如说零一二三，

这都叫自然数。注意大家。一定要不要弄错了，很多同学以为自然数从一开始。其实并不是这样，自然数它可以。最小为零，知道吧？最小为零。所以在这里面大家注意。自然数咱包含零和正数。两类啊，零和正整数两类，这是自然数。零和正整数。

好，这是它的这个基本方法好吧，自然数的概念啊。好，那接下来咱们看一下这个题。三个连续的自然数。大家想想，三个连接自然数，它怎么表示？三，二零一自然数的和是27。这三个自然数的最大数与最小数乘积到底是多少？这三个自然数最大数和最小数的乘积到底是多少？好想想啊，三个数。

它最小数，最小数乘积注意三个连续的自然数。我们可以设为。设三个连续自然数。就n- 1n和n+1。所以大家发现它这个和正好等于中间的3倍是吧？中间的3倍，所以它的和。这样等于三，这样等于27，所以大家直接就可以。口算出来，中间这个值就是九。折现这个值正好为九。好吧，

昨天那个值为九没有，所以说它这个就八九十。这样就行了好吧，就八九十。看这个是不是明白了？所以说最大数是十，最小数就是八，它乘积就是80是吧？像这样的题，大家呢？就可以写出它的结果。所以说它的自然数要会表示，另外的话，大家呢，要会求出它这个这几个数，

把这几个数求出来以后，接下来我们就好办了。是吧，所以大家呢，要掌握它的这个基本的方法和概念。好，接下来咱们再看一下例四这个题，思考一下啊啊例例例四这个题它的方法。AB都是自然数。两个自然数，两个自然数相乘等于24则a和b的和最小是多少？好，大家想想a和b的和最小到底是几？这道题不是很难，都想想啊。

好，大家想想a×b=24。好，那么这道题啊，咱们后面会学均值定理。均定理也就说，如果乘积要为定值和就有最小值，当这两个数越接近它的和越小。好吧，所以说当它乘积为定的时候，积如果定值。和就有最小值好，一定要知道这样一个特征。比如说它还可以改成三个数或者四个数。是吧，

然后乘积为定值和就有最小值。比如说它的。越接近越相等，它的和就越小，反过来如果和要为定值。它乘积就有最大值。好，如果和要为定值乘积，就有最大值啊，这样的方法好吧，反过来比如说它和等于个常数。然后它越相等它的和。就是越小，所以这道题让它相等，但它不可能完全相等，

因为它是自然数，如果它这道题要没说是自然数。比如说它可以开根号儿，可以含有根号儿数，那让a和b相等就a和b相等，它这时候和呢是最小的，懂了吧？所以在这里面，大家可以看到这道题，那么让它相接近相等，那只能一个四一个六是吧？一个四一个六。这样就可以了。如果这里要问和最大。问和最大，

大家知道是多少？和要最大化那么两个相差越大。就两极分化越严重，它的和就越大，就一×24。啊一×24，所以它最大最大就是25啊，一个是一一个一个这个24，所以和就最大就是25，所以这里。和最小。就是和最大就是二二十五。正确答案就选择b。好，咱们考试还考过。

还考过五个数，相相乘的。啊，五个数相相乘的。比如abcde五个数相乘等于2000。当然ABC都大一的。abcd.是为大一的。自然数好abcd为大一的自然数。知道吧abcd，它是大一的，这个自然数。好，接下来大家求它的和最小是多少？最大是多少？

想一想好吧，大家再练习一下。练一下，这是考试的难度，你自己想想。abcde=2000。abcd为大一的自然数。那求a+b+c+d+e最小值和最大值。最小值还有最大值，想想。都思考一下好吧，它的方法。看看是不是懂了啊？大家加油做。好，

要到最小值。最小值的话，就让这几个数越相等越好。第一步，大家先把这个2000给大家分一分。2000给它分一分。好两年氛围，大家想一想。好，注意ABC是大一的自然数，它不能取一啊，各位同学，它不能取一的，别给写错了。好，

最小值大家看是多少最小值？最小值让它们数越相等越好，对吧？越相等越好。你像呢那那怎么想就像大家呢，人人平等。有点儿像达到共产主义社会人人平等是吧？这样的。然后这个这样的。这个分成四乘以四五五，也就说让这个这个abcde啊，然后比如说有两个数。取四。三个数取五。这是它的和最小值。

最小就四+4。再加上三个五。等于23。是不是这样的？然后大家再想想最大应该怎么写最大？最大什么时候想想谁做的最大是什么写？接下来就让他。差距越大，差距大就相当于什么？这abcde有四个数，省吃俭用让它非常小。让另外一个数非常大。好吧，这样的，所以在这边大家可以让abcd。

都等于二，然后e呢等于125。125是什么情况？125就五×5×5。就125。好，这个大家想想它最大。最大最大化，那正好就是什么？四个二+1个幺二五。得到133。好吧，133。好，这样就写好了。

好，大家不要打错了。好，这是给大家讲的，你看你感觉考试难难度是吧？咱们现在呢？就这个题不重要，各位同学注意。题不重要啊。就这个题，这个是不重要的，关键是你听完这道题，你的思路是什么？是吧，然后你的方法什么要弄清楚。

啊，要懂好吧，这是它的这个考试点，看是不是明白了啊，它的知识点，看是不是懂了？所以这道题就考察它的乘积，还有它的和它的大小关系。反过来。反过来一样。如果要知道它的和也可以求它的乘积。是吧，所以在这里面大家呢，记住这样的结论啊，把这个结论掌握住就可以了。

接下来咱们看下一个就奇奇偶数。这样的概念。好奇数偶数这一块儿就是咱们平时所说的单双号单数和双数，知道吧？奇数就就单数，不能被二整除的数。不能被二整除数。这个奇数可以表示2 k+1。好吧，二二k+1。然后偶数就能被二整除的数表示偶数就是2k。好吧，就就2k。然后接下来咱们看一下组合性质。看一下组合性质，

组合性质奇数加减奇数就得到是偶数。知道吧，奇数加减奇数，主要是偶数。这些性质大家不要死记硬背。你得结合一些实例来进行理解，比如说五加减三。五加减三的话，就得到是偶数。是吧，得到是偶数，然后奇数加减，偶数得到奇数，比如说五加减二。是吧，

你举几个数试试偶数加减偶数得到是偶数。知道吧，好，那么第一行表达式加减情况。第二行表达式乘法。乘法就是奇数，乘以奇数，得到是奇数。奇数乘以偶数，得到是偶数。然后偶数乘以偶数得到还是偶数？是吧，这是它的乘法。而且注意这个零，它是属于偶数。

而且两个相邻整数必然为一己有。是吧，两个相邻整数啊，必必然唯一奇偶。那请大家思考这个除法能不能判断？好吧，除法比如说那么偶数。除以偶数。是等于偶数，还等于奇数，你想一想。偶数除以偶数。是等于偶数，还等于奇数。你自己想一想。

好有同学说偶数除以偶数得到是偶偶数。那我给你举个例子，比如说六÷2。你告诉我是是是什是什么情况？六，除以二。六六十万，又又有基数了是吧？那八÷2呢？82它又是偶数，所以它这个不确定是吧？所以在这里面，所以为什么咱们不能写除法知道吧？除法是不确定的啊，所以在在在这里面，

大家注意除法它这个是不确定的。所以尽量不要出现错误。除的话是确定不了，有可能奇数，有可能偶数，对吧？它这个是确定不了的啊，大家要注意。好，另外咱们要要会考察逆向思考。考察这个逆向思考。好什么是逆向思考，咱们想想啊，逆向思考。我给你举个例子。

比如三个整数。相加。是奇数。那这三个整数会是什么情况？大家逆着想。比如考试。三个数相加，它的奇数。三数相加要奇数，你觉得那它应该是什么样情况都思考一下。想一想啊，三个数加在一起，它的奇数。那想想那这三个数。是有几个奇数，

有几个偶数？有同学可以举一三五这样的例子是吧？一三五那说明三个奇数相加，可以是奇数。还有没有其他情况？只有这一种情况吗？还有没有其他情况？好，有可能什么有可能两个偶数。一个奇数。或者说。三个技术。也可以把它理解成奇数和奇数相加，它是奇数是吧？奇数个奇数相相加，

它是奇数。是不是这样这样呢？好，那么如果三个数相加。要得到是偶数呢？这样逆向思考。知道吧，让你来反着想它的这个结果到底什么样子的，这叫逆向思考。懂了吧，就逆向思考就可以了，好大家想一想。想想他的思路。那你觉得这三个数应该什么情况？有可能是。

两基友。或者说三个偶数。是吧，所以有可能两奇偶或者三个偶数，这样的是不是这样的？你看是不是这样，有个两基友或者三个都是偶数。看是不是这样的？想一想对吧？另外，如果三个数要相乘。得到奇数。还有三个数相乘得到是偶数。大家想想应该怎么写？都思考一下。

如果三数相当于是奇数。不管是几个数啊，如果相乘是奇数。你自己想想。好，如果相乘是偶数。你想想他应该怎么写？好三个相乘要做奇数。应该怎么思考？是不是这里全是奇数？都是奇数才可以。是不是都是奇数？如果三个相乘，要是偶数。三个相等，

要是偶数的话。那在这里面是什么？应该是。你看，至少有一个是偶啊。只要有一个为偶数，是不是？这三个里面至少得有一个是偶数，想想是不是这样的？看看是不是明白了？好，那接下来咱们看重新判断题这个题。已知mn是正整数。则m是偶数。已知mn是正整数，

则m是偶数。想想已知mn是正整数，则m是偶数。好重新判断题就由下往上推。好看看这道题选什么答案？忘记选项同学。要知道啊，选项的含义很多同学。之前重新判断题没有接触过，他问怎么突然冒出abcde呀？abcd选项的含义是什么呢？如果一成分就选a2成分就选b。知道吧，然后联合充分就选c。零二c。

如果都对，就d。double就都都充分，就选d都不对，就选e。看是不是懂了好吧，它这个方法要知道。看看这块儿是不是明白了啊？就一充分就选a2，充分就选b联号是c都对是d都不对就e。好吧，这样的方法。好，这道题你看五个选项选什么答案？大家都做一做思考一下。

条件一三m+2 n是偶数，想想。行不行好？咱们是由下往上推啊，别给推反了啊，不不是从上往下啊。不从题干往下推。一定要记住它的下推上。3 m+2 n，它为偶数。没有说我们知道什么问题啊，知道这个2n它肯定是偶数。对吧，2n它肯定是偶数啊。就不管n是什么数。

二×n，它一定是偶数。对不对？所以说2n它一定是偶数，2n一定是偶数就可以推出。3m肯定为偶数。3m要为偶数的话，那大家知道这个三它的奇数。算了，奇数就可以推出，这个m肯定没有无数。是吧，所以题网一它充分。充分你就画个勾儿。记住啊，

咱们重新判断题一定是下推上啊。知道吧，我们再看条件儿。条件儿3m方加2n方是偶数。3m方加2n方，它为偶数。像这样的三魔方加二人方，它为偶数。那这个行不行？看就3m的平方。加2n方。它等于个偶数。那又可以推出什么情况？想想可以推出什什么情况？因为大家知道这个2n方肯定是偶数。

对吧，这个2n方它肯定是是偶数。所以就可以推出三魔方为偶数。好3m方是偶数，因为这个三是奇数，所以就可以推出这个m方。它为偶数。是吧m的平方，它为偶数。m平方没有偶数，因为m它是整数。所以说可以推出m呢，肯定也为偶数。所以条件二它也成立。如果两条件都充分，

大家在涂卡的时候就涂d选项。知道吧，这是d选项的含义啊。另外，大家还要知道是这个次方不影响奇偶性。知道吧，就是一个奇数。它的k次方当然k，要是正整数。不管是奇数的三次方。还四次方，它次方是不影响奇偶性的，它还是奇数。知道吧，好，

那么这个偶数它的次方。它仍然是偶数。不管是平方还是三次方，它仍然是偶数。比如，四的三次方，它还是偶数。偶数的几次方，它还是偶数。好吧，所以这道题告诉大家，这个次方不影响奇偶性，不管是二次方还是三次方，这都不影响。好吧好，

这是基础性，它的一个判断，顺便也给大家进行分析了条件，重新判断题它的含义。好吧，要把这个条件充分问题弄清楚啊。好，接下来咱们看一下第三个概念啊，第三个概念，大家一起思考质数和合数。什么质数？什么是合数？大家想想。第一个质数。就如果一个大一的正整数。

一个大于一正整数只能被一和它本身整除，那么这个正整数就把它称为质数。质数还有一个名字叫素数。比如二三五，这些都是质数。另外，咱们再看合数。合数就除了依靠它本身之外，还能被其他的质数整除，这样是不是就把它称为合数，比如说四六八九？这样数就把它称为合数。而质数合数的概念要弄清楚。然后第三个就重要的性质。这种性质第一个就制度合作都在正数范围内啊，

它不考虑负的。这跟奇数偶数不一样啊。奇数偶数，它要考虑负的，只要质数合数，它都在正数范围内，它有无数多个？第二个二是唯一的，既是质数又是偶数的整数。就二者身份比较特殊，又是偶数又是质数，它是唯一的一个偶质数。大于二的质数或者其他质数必然为奇数。知道吧，其他质数它必然是等于是为奇数。

好质数中只有一个偶数二，最小质数呢？就为二这样的方法，最小质数就为二。第三个就一，既不是质数，也不是合数，好吧好一，既不是质数，它也不是合数。好，这是它的方法好吧，这是它的这个内容啊。另外，咱们质数一般都掌握常见质数就可以了，

这都是掌握20以内的质数。好，每个同学都想想20以内的质数都有谁？都思考一下，20以内的质数。能写出几个，想想20以内啊。就二三。五七。11，13。17，19是吧？就这几个数啊？九二三五七十一十三十七十九。

总共是八个。90以内的有四个。十到20之间也有四个。好吧，这里总共是八个质数。另外，这个质数合数跟刚才咱讲的奇数偶数。不要弄混淆了。所以说在这里面，我们再说一下它跟奇偶数的关系好吧。就质数。跟奇数的关系。合数跟偶数的关系。大家想质数跟奇数关系，合数跟偶数的关系，

大家想一想。都思考一下质数跟奇数合数跟偶数的关系。我们质数是不是奇数？奇数是不是质数？想一想。注意次数。他能不能推出基数？这个是不可以的。因为有个二。知道吧，质数不一定是奇数，但加上一个限制就行了，加上限制就除了二外或者大于二的质数。就可以得到是奇数。那么，

这样一个大于二，这个条件它一定是奇数。但奇数，它不一定是质数。比如说九九就是个奇数，但它九它不是质数。是吧，所以奇数它不是质数。好，这样的概念，这个能懂吧？这样的方法。还有15是吧？这样的。合数它能推出是偶数。

偶数能不能推出是合合数呢？这也不行。这也不行，合数它不一定是偶数。比如说。九就是合数，但它不是偶数。所以说这个不行，偶数呢，也不能推出是合数，比如说二。二所以说要加上大于二的偶数，因为偶数它有负的知道吧，比如负四啊，负六啊。

这也都是偶数，它也不是合数，合数一定是正整数，知道吧，所以说你要加上一个大于二的。偶数大于二的偶数，它一定是合数，比如像四啊六啊八呀十啊，这些一定是合数。好吧，所以大家要注意它们之间这个关系，这一定是正的。正的偶数，而且去掉二这样的就可以。好吧，

这样要知道它们之间的关系，因为咱们做一些干性的推导，别给写错了好吧，要知道它的推导方法啊。好，大家一起思考一下这个题。将420分解为若干质数乘积，这些质数和到底是多少？就420分解为若干质数乘积，则这些质数的和到底是等于几想一想？质数的和到底是为多少？都思考一下。好，420把它分成若干次数乘积啊。想想应该怎么写是吧？

分若干次若成绩。好，那420我们看怎么分？啊，大家分一分。400不不会分的话就成大的分，就像咱们切菜一样。现在一开始先把它大的切成几个小的，然后小的，然后再往下切。是吧，所以说我们比如说420，你可以分成42×10。42又可以分成六×7。十可以分成二×5。

然后这个六又给分成。分成二×3是吧啊，又可以分成二×3。是不是就这样就可以分解好了？懂了吧，就切东西，咱们先切成几个，稍微大点儿的，然后大的再切小的，这样行分解也是一样的，如果数稍微大点儿，咱们就这样分。好，这样就分好了，分好，

然后这些质数和质数和的话，那么就二+2+3。加五+7就行了，所以这样正好等于19。是吧，答案就等于19看这个是不是写好了，好这个答案就选择c选项。这个答案选c好吧，这样就写出它的结果了，看是不是懂了啊？好，接下来咱们再看一下。例七，这个题。都思考一下。

既不超过15，它的质数。所以咱们在分解的时候就是不断的分解，知道吧？一直在分。大的分小的，小的再分小的，就这个意思好吧，就是咱们在给不管给一个什么样数210也好，或者420也好。大家都不断的去分。好，那接下来大家想想，不超过15的质数，它的算术平均值要知道算术平均值的概念。

好的，想想上等平均值的概念啊，大家都加油思考好吧？看看应该是躲多少？好第一步，咱首先要求出什么？求出它不超过15的质数，好吧，先把这个给它求出来。啊，不超过15的质数。不知道是否质数有。二。三五七十一。13总共这六个数对吧？

六个数那上等平均值的概念啊，要知道啊，上等平均值的概念。算平的概念，它的和除以它的个数。算的平均值概念，就它的和和的话就二+3+5+7+11+13它的和。和然后再除以它个数，它个数正好是为几啊？个数正好为六。是吧，六。好，这样写好了。大家以以后记住怎么算这个算的平均值，

要简单知道吧，怎么算要要简单。它以后咱们要求平均值，你可以让所有数都减去同一个数，减完后，然后剩下数会比较小。这样话就好，算一点好吧？比如说我们都减掉一个五或都减掉一个。七总之减的要小一点儿，知道吧？减小你都减到五也行。都减掉五以后，那你看这个就简单了。是吧，

好都减掉五，这是负三，这是负二，这是零，这是二。这是六，这是八。是吧，有所有数都减掉同一个数。减同一个数后，那这样就小一点儿，知道吧？每个数你随便减，可以减一个简单点儿的也可以。知道吧，

所以在算平均值的时候，可以把每个数减到同一个数，减完后求出平均值，切完后，然后再加上这个数就可以了。好吧，一般就选中间的。选选中间的好吧，然后这个数这数呢，你就选居中的好算的，一般选什么整五的整十的要好算。比如说咱们算咱们班儿的平均分儿算咱们平均分儿，发现大家都是。都可以，都减了一个40分儿，

如果都减了一个50分儿，减了一个比较整的，靠中间的。减中间的靠好算的，整五的整十的，这样不容易错是吧？减完后这个数呢？有正与负为什么减中间的？有正有负，这样就好好抵消。好，那接下来你看这个数就好算了。它等于五。加上好这个负二跟二就没有了，然后这个得到11。

11。十一大概六分之十一，大概是一点儿八一点儿八。所以说约等于六六点儿八是吧？约等于六点儿八。约六点八与比它。接近的数比较接近的数，那正好呢，就是七是吧？七是最接近的数选b。所以求平均值，它的方法咱们现在先学一个，后面还有很多方法。好吧，好求平均值。

那每个数。都减去同一个数。比如都减同一个数啊，这个这个m或都减同一个数。这个a是吧？都减同一个数a。然后减完后那么求出余下数的平均值。然后再加上m，再加上a。就可以了好吧。这样余下数就比较好，好算比较小，因为咱们考试没有计算器是吧？要找一个好算的数。这样就可以了啊。

好，这个减去这个数啊，一般靠中间一点儿，另外。找好算的数。好，就这个题给大家已经讲了做题方法思路啊。好，接下来咱们再看这个题。20以内的质数中。两个质数之和还是质数的，共有几种情况？大家想想啊，就20以内的质数，它要满足质数，

加上质数。还等于这个质数。你想想能列出几种情况，自己思考一下。那第一步，大家先把这个20以内的质数。先给大家进行写写一写。是吧，20音的质数。先思考一下是吧，20年的制度。对吧，就20年的制度，先给它找找出来。然后那个质数加质数等于质数，

那说明右边这质数一定是大于二的。啊，右边的字数它一定大于二。右边质数大于二大于二，为什么大于二？因为左边它它两个相加肯定比二要大嘛，因为质数最小，质数就是二嘛。它大于二大于二，我想讲什么意思？刚咱们讲了大于二的质数，一定是奇数，也就说这个数它一定是奇数。那么大家想想两个数相加等于奇数。它必然是一肌肉。

是吧，你看右边这个数是奇数。所以左边这两个数相加，要等于奇数，它必然是一奇又。是不是这样的，它必然是egu这样的方法。看得懂了没有？它必然是egu。是不是这样呢？一一有大家想想又是偶数又是质数，它只能是二，所以说左边它肯定有个质数为二。好吧，这样就锁定目标了，

接下来咱们再看20以内的质数。20以内质数化就是二三五七。11，13，17，19。是吧，好，那肯定有要有有个v2。看肯定有个v2。有外我们可以看到，就是。二+3可以。二+5可可以，二+7不行。

二+11型。还有一个二加。17。也可以。好，大家想想一想。想想好吧，这一块儿。他的方法思路看是不是懂了？好，有同学选。有同学选。选选选d有同学选c有同学选e。啊，别给写错了好吧，

别写错，有同学看漏掉了这个列举法很重要好吧，就是二+3。二+5。二+7，二+11。二+7肯定不行是吧？二+17是吧？好这样的。二+17这样的是吧？所以在这里面就是二+3，二+5，二+17，二+11，这总共这四种情况，

建议大家应该选择c选项。好，这样的。然后咱们考试就是要掌握列举法。例一法是非常非常重要方法，越往后学，你可以发现例一法就是。尤其在学。排列组合学数列的时候，这立与法很重要。好吧，所以要掌握这个列举法，它的求解方法啊，好列举法要会分析啊。好，

这两个质数相加，还等于质数，要知道它的概念。和内容啊，要会分析和思考。好，如果这道题要啊，对九不是质数，大家别给写错了。如果这里要改成20以内的合数中。两个合数之和还是合合数，那你会不会做好吧，大家都思考，我看大家。掌握怎么样啊？

b是合数。就20以内这个合合数。然后两合数相加还是合数？好，这样的。大家想一想他的方法。大家思考一下好吧，想想。好，20以内是不包括二二十好吧，不包括。好不，包括20。但要注意，最小的合数是四，

知道吧？最小合数是四啊，在这里面大家知道最小合数是四。然后接下来就是六。八，90。然后12。14，15，15是合数啊，15，16。18就这些。好，这是它的这个方法，

看懂了没有？那当然不可能，一个市不可能一个市。是吧，好合数相加，还等于合合数那一个式肯定就是比较复杂了。是吧，然后再这样看。你看看。它这个呢？有哪些相加是质数的？是吧，如果挨个列举，那就比较复杂，你看一二三四五六七八九十。

十啊，一二三四五六七八九十，如果大家大家学过。学过排组合会好算一点。是吧，学过排列排列组合的。啊，这要好好好算一点。是不是然后呢？大家总共呢就十个，里面取两个。然后然后这块儿。呃，重复的就不要去掉了，反正是合合数就行，

好任取两个数嘛。取取两个数，取两个数，那就十个数啊，这个一二三四五六七八九十十个数。十个数，然后要减去。减去质数的质数，大家可以看到。这个四+9是质数。八+9是质数。对不对？你自己想想是不是不这样的？看看看还有没有疑问？然后十+9。

是质数。14+9，它也是质数。是不是这样的，你想一想。想想是是不是这样的，自己琢磨琢磨。你自己再看看吧。对你减去质数的就行，所以要从反面做好吧，这个就是比较难一点的考题啊，如果要考这种难度。那后面咱们就会。学一些难一点的。知道吧，

所以大家要会分析和和思考，所以要掌握这个逆向思维。当然还有质数啊。14跟15，它也质数啊。14+15=29，它也是质数。15+16，它也质数。对不对？你想想15+16是不是也为质数？好，你自己想想一想，这个能不能懂？是吧，

反正又找这个质数的。方法好吧，你就把这个质数质数给大家减掉就行了。好，还有没有什么疑问？你自己再想想还有没有什么疑问？反正考试这个例举法是很重要的，知道吧啊？例举法是很很很重要的，这样就写出来了好吧？然后减去几个呢？大家找找是不是没了，应该是嗯嗯，没有了。在这里面，

大家怎么找你知道吧？好怎么找啊？就八跟15对八跟15找找。然后还有四根15是吧？四根15怎么找教给大家一个小窍门儿啊？怎么找教给大家小窍门儿？因为这个九和15。是关键。九和15是关键。为什么是关键？因为这这是里面好不容易出现的基数。所以我们看其他都是偶数，好不容易出现奇数，所以让其他数都跟九找一遍。题他数都跟15找一遍，

这样就可以了，懂了吧？所以这个大家一定要掌握它的方法和思路。所以说在这里面都找一遍，看四跟15。还有八根15。是不是让所有的都跟15找一遍？懂了没有这样的方法。然后都给你找一遍，所以这道题很好列的。知道吧，所以在这里面大家呢，就可以写出它的这个值。好吧，所以用九和15这两个数跟其他数相加，

一定要掌握规律。掌规律就可以了。所以就减掉八。减上八，然后c12怎么算？c12是这样算的。把这个交叉相乘。文科儿同学。不用担担心，把这两个相乘相乘这个二写着十写着，相当于是这二写在下面。诗写在上面。在二写下面十写上面，然后这个。就乘以到一上面有十×9。

就行了，也就说下面是两个数乘，上面也是两个数乘。好吧，下面两个数，上面也有两个数乘。啊，下面两个数，上面两个数，乘乘完后就得到。这个45。所以45-8得到37。好，这是难一点的，拔高一点的题，

看是不是懂了好吧，所以一个是列举和拔高。这块儿它的这个情况。好在这里面为什么九和15，因为九和15是奇数。奇数看到没？九跟15，它是奇数，这两个奇数比较特殊。这因为其他都是偶数，因为其他偶数跟偶数相加，它肯定还是偶数，它还是合合数。知道吧，因为偶数跟偶数加在一起，

它仍然是偶数，偶数仍然是合数。然后这个基数比较特殊，所以说让其他每个数跟九+1遍，跟15+1遍，看看有哪些质数？好吧，这样就可以了啊，这是它的方法。接下来咱们再看平方根和算术平方根。平方根和算算平方根。第一个什么是平方根，咱们看。如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，

如果没听懂你，比如说。比如说一个数，它的平方。等于a一个数平方等于a，比如说。正负二，它的平方正好为四。没事，这后面正好给大家举例子，举例子正好就写了是吧？写了就比如说s平方等于a。这s就称为a的平方根。知道吧，如果s的平方=a则s又称为a的平方根。

啊gs 1等于正负根号a。是吧s等于正负根号a，它有两个，比如说正负四，正负二，它的平方都等于四，所以正负二为四的平方根。这一个正数的平方根有两个啊。好吧，它平方根有两个。好它们互为相反数，互为相反数。知道吧，比如说正负根号a是吧，正负根号a。

这是它的平方根，有两个。零的平方根仍然为零负数呢，是没有平方根的。就根号零，仍然为零。啊零开括号仍然为零好吧，这样的。咱们再说一下算术平方根，算术平方根。好一个正数a有两个互为相反数，它的平方根。咱们特指那个正的平方根。就把它称为a的算术平方根。可以把它写成。

根号a是吧？可以写根号a，比如说九的平方根是正负三。九的平方根有两个正负三。39的上等平方根。就取正的那个。取证的那个。所以大家注意的是零这个数零的平方根和算的平方根都为零。一般这个根号a也把它表示成。a的二分之一次方好吧，这两个表示方法是一样的啊，根号a可以选择a的二分之一次方。懂了吧，这是它的表示。方法啊，

要会分析思考好吧，大家要知道。我问我问一个概念。这个根号。25。它是等于五呢，还是根号25等于正负五？啊，你一问是。第一个对还是第二对？我们看大家之前的印象怎么样？是第一个对还是第二对？啊，是第一个还是第二个？好有同学说第二个，

有同学说第一个啊，大家想一想，你认为是第二个还是第一个？你要认为二的话就打个二。要认为一的话就打个一好吧好，你想想你认为有根号25是等于正负五还是等于五？啊，这两个是第一个还是第二个？这两个啊，这两个。你看这还真有同学选错了是吧？选错，所以在这面好，第二个是错的。第一个是对的d对的。

哎，那有同学说我记得这个有个正负五是是什么正负五啊？什么正负五你你记得是正负五是这个正负五是正负根号25。它才等于正负。你记得是这个。我要想给他强调一个数开根号，它肯定是大于等于零的啊，一定要记住。而且a也要大于等于零。好吧，所以这个数一定得大于等等于零啊，弄清楚没有？别给写错了。好，那接下来咱们做一个。

做一个题好吧，大家想一想他，他的这个题目。好吧，看看看这个题。好，大家想想啊，想想。根号，81。它的算术平方根。的平方根。为多少？根号81，它的算术平方根的平方根到底为几？

你都说说。根号，81。的算术平方根的平方根。好有同学回答是三有同学回答正负三。你想想到底是多少？还有同学回答是正负根号三。你想一想。到底是多少啊？你看有同学回答三的，有同学回答正负三的就根号81，它的算术平方根的平方根。应该是什么？怎么求解？想一想。

好都思考一下好吧，大家都思考想想。好，应该怎么做都想一想啊。好那么大，大家看这道题到底选什么？啊，选什么看看？大家做的情况。所以有同学说是正负三。啊，有时候字字母三。是吧，好在这儿大家知道，第一步是根号81，

要把它算出来。根号81，相当于是等于九。是不是很多同学正好81没有算，直接跳过去了？所以这道题相当于是。九的算术平方根。现在九的算术平方根你根号81，你怎么不算出来呀？你要把它算出来呀。根号81，怎么不算呢？根号81不就等于九吗？九的算作平方根呀。九的算的平方根就相三呀。

三的平方根呀。三的平方根。三的平方根应该是正负根号三呀。你看看是吧，所以九的算术平方根就是三呀。三的平方根就正负根号三。你看这个。是不是你看一下掉到坑里面很多同学以为以为这个正儿81就算好了，不用算了是吧？是吧，所以说好多同学喜欢正风扇。看看是不是这样好，这样的是不是，然后做做题啊，没注意。

下次一定要注意啊。好，接下来咱们来看这个题。一个正数的。一个正数啊。一个正数，它的两平方根分别为2 a- 1和负a+2。负一+2好。这个正数到底是多少？就这种道理是多少想想啊？一个正数的两个平方根分别是2 a- 1。和负2a加呃，负a+2好，这个题要告诉我们什么问题知道吗？一个质数，

两个平方根，它一定是互为相反数的。这个概念要知道好吧，一个正数。某个这种它的平方根先把a给解出来，知道吧？先把a给它解出来，所以说它这个两个平方根应该互为相反数互为相反数就相当于2 a- 1。然后加上。负a+2应该为零。好，这a的值就可以写出来。好a的值又给求解出来。知道吧，把a的值给大家解出来。

好a的值解出来以后就好办了好吧，就是大家一定要记住。一个正数，它两个平方根一定是互为相反数。知道吧，互为相反数好，最后解出a的值等于负一。列值等于负负一。a是等于负一，那说明它这个平方根分别就三和负三了。是吧，就相当于是a要等于负一就是负三和三是吧，它这个平方根这个会写吧？想一想就第一个啊，第一步要先把这个a的值给它解出来。

a的值得到负一就解出来了。a=- 1代到里面就负三。和三好负三和三。负三幺三那么这个正数就等于九。是吧，就有九所以这样就求解出来啊，这个正数它要为九。因为因为这个负三。正负三的平方就等于九嘛，就这个数就等于九。也大家会分析和思考好吧。好看，这个懂了没有？好，接下来大家一起做这个题。

现在说话正确的是什么？想想现在说话正确的是什么都想想。好，第一个。第一个你看对不对？100的平方根为十，你看对不对？第二个负十是100的一个平方根。第三个根号四等于正负二。第四个根号16的算的平方根的平方根为正负二。好，大家想一想。到底是有几个正确都思考一下。也有几个是正确的。有同学选b，

有同学选c，想一想啊。而且大家不要再掉到坑里去了啊，大家别再写错了。好，第一个错了，第一个错，应该平方根应该是正负十，所以它这个错了。第二是对的，负十是它的其中一个平方根，这是对的，它有两个里面的其中一个。然后第三个。也错了，

它这个不是正负二，是应该等于正二。第四个是不是又有同学掉到坑里去了？第四个别再掉到坑里去啊？第四个就根号16，你要把它算出来的根号16，它等于四。根号16=4就用四的算术平方根。四的算的平方根，它的平方根。正好等于正负根号二。是吧，应该政府跟上，所以这个地方。错了，

应该政府刚好。其实他这个错了。所以应该是b选项好吧，就b选项它的这个方法。看懂了没有啊？b选项。好，接下来咱们看一下第五个知识点又整除。整除好数额，整除当整除a÷1个非零整除b商正好是整数而无余数时，则称a让b被整除。或b能整除a。加商呢，只要是整数而没有余数就余数为零。懂了吧，

那比如说18÷6=3，这个是18能被六整除。这样就写好了。是吧，18那正好能被60整除了。好，这样就写出来了好吧，它的方法看懂了没有啊？其中这个18把它称为被除数，六把称为除数啊，三把称为商好吧，这样的情况。我们接下来看看常见整除数的特点。好吧，特点。

能被二整除的数。个位呢？是零二四六八。这样说也把它称为偶数。好能被到整除数，就把它称为偶数。然后能被三整除数，能被三整除数跟能被九整除数差不多，都把它数位相加，看它的和。知道吧，看它和如果它和能被三整除就可以了。比如说117，那你能不能被三整除？那就把一+1再加七。

正好能被三整除，所以这个数就能被三整除，你把它每个数位相加。能被九整除也一样，把它数位相加加起，如果能被九整除，这个数就能被九整除，好吧，这是它方法。能被四整除，一定要看末两位。末末两位，比如说1752。问这个数能不能被四整除？那你就看这个52。

看末两位。52看除以四能不能整除。52，除以四能整除那么这个1752就能被四整除。能被五整除，各位必须是零或者五，这样数能被五整除。能被六整除，能被六整除，它必须满足两个条件。能同时背二。和三相除。就既能被二整除，又能被三整除。这样就可以了。

懂了吧，就能同时被二和被三整除。这样就OK了。就六为什么？因为六可以分成二×3，知道吧？六分成二×3。它能被二整除，也能被三整除，这样就可以了。好吧，这是它的方法。接下来咱们看能被八整除数，能被八整除数就看末三位。末三位，

比如说9752问能不能被被八整除？那这时候怎么办呢？咱们看末三位。你看752÷8能不能整除？752除以除以八能整除，那这个整个数就能被八整除。知道吧，所以就看末三位就行了。然后被九整除，刚才说过了。被施诊出它的个位令为零。各位一定要v0，这样就写好了，是不是这这是它的方法？另外，

在这里面，大家可以看这个二四八。可以总结一个规律。什么规律呢？看这个二我们可以写成二的，一次方就看后一位。四你可以看k选项二的平方，就看后两位。这个八。应该写二的三次方就看后三位能不能把八整除，以此类推，万一十六当15比较大了，你就看末四位。挪么四位。它这个数除以16能够整除。

那这个整数就能被16整除。好吧，这是它的规律，所谓二的方幂有个规律。还有个类似有个规律的话，是什么是五五的方面也有规律，比如说五的一次方。五能被五整除就看末一位。就看个位，它是零还是五？能不能被五整除？如果要是25能被25整除，就看末两位。就看后两位。知道吧，

然后这样的。比如说三八七五。能不能被25整除？比如3875能不能被25整除？你们看末两位。末两位75能被25整除。75能被25整除，那整个数就能被25整除，就看末两位以此类推。125可以把它看成。五的三次方就看末三位。比如一个数。能不能被125整除？就看后三位。后三位如果除以125能够整除，

那么。这个数就能被三一百二十五整除好吧，所以说记住二的k次呃二的方幂和五的方幂。这块儿呢，是规律是一样的，当然咱们考试不会考那么大，你就掌握简单就可以了。好吧，比如说一个数是不是25的倍数，以后你就可以判断很快了。对不对？一个数是不是四的倍数八的倍数啊？判断就很快了，就这样的啊。好，

接下来咱们看一下。这个题都思考一下这个题。第11题，大家想想。第11题。不超过100的正整数。不超过100正整数。能被七或者被五整除的有几个？大家思考一下。就在一不超过100的子数里面。能被七或者被五整除的有几个？大家思考一下，想一想。注意这个货啊货。好，

这里面要涉及到一个方法，知道吧？涉及到一个方法就A货币。可能大家还没学，后面会学啊A货币就等于。a+b-a交b。这个不太懂的同学要跟大家画个图。好，这是a这个圈儿，这是b这个圈儿。a并b就A货币。好，大家选选找找选什么答案？可能这道题有同学。就会选错了。

因为它这个中间有重复的，你会算它两次。这要重复的，你会算两次。好吧，这个。会有重复，对不对？首先看看能能被七整除的有多少个好吧，能被七整除的有多少个想一想啊？被七整除的。北京人说了，是不是需要列举？不用列举。100÷7，

你看它到底是等于几？14余一个二是吧？14余一个二。它应该有14个。懂了吧，14个。所以刚才有同学列举也能列出来，你比如说七。14，21点儿点儿一直到98。这是我们14个。是吧，这有14个，你会找吧？所以说拿100÷7，

你看它的商是多少？然后被五整除看有多少个被五整除的都写写。被我整出了。比如说你直接拿100÷5呗。这样等于20嘛。所以这个正好是20个。是吧，被五整除，那正好就20个，是不是这样呢？想想。被五整除是不是20个？你自己思考一下。好被我整除它是它是二二十个。然后在这里有同学就选了这个20+14就选了34个。

那这个选三四个行不？选三四的同学。这个里面有共同的，这样话就多算了，比如说就像咱们重复的，比如说张同学的名字。他算了两次，他这个人算了两次，那不就多算了吗？是吧，要把重复的给它减掉呀。大家告诉我，重复的是谁呀？这两个里面重复的事是谁呀？想想谁跟谁重复啊？

也就说他们共同的五跟七共同的。是谁啊？共同是不是35啊？35所以说要减到重复的。你看是不是有同学没有减了重复的？成分应该35和70。这两个数你是不是明白没有？这两个数有的说在这里面，你算了，在这里面它也算了，所以这个数呢，你算了两遍。是吧，所以这要减掉这个二好吧，所以这道题大家答案应该是什么？

20+14再减二得到32。那32好，什么情况下减掉重复的？你要看这个货的问题，这个交集就要减这个，这个要要要减掉。好吧，交集要减掉。它这个好，这一块儿大家注意看它有没有交集？好吧，有没有交集这样的情况？好要看它交集，所以这时候它有交交集。不要混淆了好吧，

然后这样的。就五且七就能被五且被七整除的这个交集要给它减掉，别给混淆了啊。接下来咱们再看一下倍数和约束这个知识点，看一下倍数和和约束。好倍数约数在这里面，当a能被b整除时。称a是b的倍数b，又是a的约数。所以倍数约数，它是整除里面延伸的一个概念好吧，延伸概念，比如说。18，除以六，

得到三。可以得到18是六的倍数。18是六的倍数。或者说六就是18的约数，知道吧？然后主要就是公倍数公约数啊。所以说公约数我们看什么叫公约数，就是大家都有的约数。你有我有他也有，每个人都有这把称为公约数。其中最大的就把它称为最大公约数。最大就把成为最大的公约数，懂了吧？这最大公约数的概念要会分析和思考。然后接下来咱们再看一下这个公倍数。

公倍数几个数公有的倍数是吧？称为公倍数，其中最小的那个把它称为最小公倍数。咱们先研究最简单的两个数的情况。两个数。两个数，那么这个最大公约数和最小公倍数，它关系是这样的啊。就是它的最小公倍数和最大公约数，它这两个相乘就等于这两个数的乘积，这个公式它不能用于三个数啊。不能用于三个数。两个数可以。这个小括号代表最大公约数。中括号儿代表最小公倍数好吧，

这个概念别弄错了，它只能适合于两个数啊。不能视为三个数。好，咱们看看。看看这个题。两个正数甲和乙的最大公约数是六。最小公倍数是120，这个甲乙的和有几种情况？甲乙两数和这两个数都正两个都是正整数。它最大公因数是六，最小公倍数是120，甲乙的和有几种情况大家思考一下。好，大家思考这个。

好在这里面大家要注意啊，要注意。它质量公因数为六。最大公因数要为六。那这两个数怎么去表示对吧？最小公因数为六，大家想想应该怎么去表示？表示这个最大公因数为六嘛，它怎么去表示这个概念？想想。好，那么两个数最大公因数为六，就说明你有六，我也有六。对不对？

也就说。每个数是不是都可以写成六×1个值6m？乙是不是可以写成6n？是不是这样的，你自己想想。就说明你有六，我也有六。这个概念能不能弄清楚？就公约数嘛，大家都有嘛，公约数你有我也有，是不是这样的？而且大家注意，这个mn 1定要互质。m它一定要互质。

就mn不能再有公约数了。不能再有公约数，为什么如果mn再有公约数，那最大就不是六了，最大就比六还要大了。那mn mn不能再有公约数了，就说明这个就叫互质啊，互质的概念就咱俩不能再有公约数了。交互质。互质就互相质问嘛。是吧，就两个人，谁也看谁都不顺眼，就两个人没有共同语言嘛，知道吧，

互质没有共同语言，就两个人呢，他没有共同的部分了。啊，这个叫互质。你这样理解就行了。好那简言之什么？简直这个六。和六这是公有的。然后m和n是私有的。是吧，就像隐私一样私有的。知道吧m和n它是私有的。这个六呢？它是公有的，

你这样去理解。对吧，你像一个人一样，他有的信息可以公开是吧，像有的信息可以公开，有的信息他不能公开。就像隐私一样。是不是这个意思？只是这样，所以它这个每个数也是这样，它分为两部分啊，有一部分是可以公开的。你看这六大家都能看到，是可以公开的。比如说你的姓名儿是可以公开的，

对吧？大家都知道你叫什么名儿啊？可以公开的，但有的东西可能不能公开是吧？隐私私有的。你这样就理解了，对不对？好写到这里后，那接下来。接下来咱们呢，就可以按照刚才们讲的这个公式。好吧，公式就是两数的乘积就等于最大公约数乘以最小公倍数。接下来套一下公式啊，就两数乘积。

就6m×6n，这样就等于。等于六×120。结果有同学以前学的可能都忘记了，以前有同学还出现过这样一个错误啊，很好玩儿的错误，不知道大家咱们班儿有没有同学出现？啊，它是出现这样，它说两边约约六把这个六。都给它约了，约了就得到mn，正好等于120它这样的。这样他这他这边他说所有六都给他约掉，所有六都给他约掉，

你看这个错误就很好玩儿。很好玩儿，因为它这个乘法，你左边约到了两个六乘以六两个六，右边只约了一个六是吧？是吧，有没有同学犯一个很好玩儿的错误知道吧，所以让大家听听很好玩儿的错误啊。像有同学就约一约，左边约了六×6约了两个六，右边只约了一个六，那这个就就就错了。好吧，这个错了啊，不要犯这种很好玩儿的错误啊，

懂了吧？因为你看你两边先除一个六，如果还不懂的同学，两边除一个六，两边除一个六，左边呢，就相当于是剩的是6 mn。等于个120。知道吧，右边再除以个六得到mn等于个20，知道吧，这样的啊。就是等号两边同时除以两个六知道吧，除以六以后再除以个六懂了吧，就这样的啊，

就这个非常。基础性东西别弄错了。然后mn×m×n=20 m×n=20，因为这个mn大家讨论有几种情况，两个数相乘等于20，想想有几种情况？两个数相乘等于20，有几种情况想想。你看有一×20。二×10还有四×5。好结果有同学还写了一个。20×1。还写了一个五乘乘以四。还乘以个十×2，你看这样有同学就选了六种情况，

它列列说有六种情况，那看出来哪儿？又犯错，如果选e的话，看错在哪？选e出在哪儿呢？想想。选e他踹哪儿？首先，这二跟十。它这个是不可以的，二根式它它没互质。你看二跟十，它有共同约束，它不是互质的，

你看二跟十，它这个是不行的，所以首先要把二跟十得给它划掉。是不是这二二n十是不可以的？这个给它划掉。另外，另外。它算是甲乙数的和。因为一×20跟20×1。这甲乙的和是不变的，这个能懂吗？就m=1 n=20。和m=20 n=1，它是一样的呀，你想想是不是这样的？

你是不是这样想想它的和？对不对？和它的和是是是一样的？所以它这个又重复了，又重复了，所以它只有只有呃两两种情况下，它这个重复了。你看这个，这样就从它算的是和呀。没有重复了这个答案，就选择a看到没有，你看这个题又给大家挖一个坑。是不是这地方怎样呢？就别给写错了。所以它要求的是和有几种情况。

甲乙这两数的和到底有有几种？一定要看清楚。是吧，它问的是和的值到底有几种？好这一块儿，它的这个方法好方法啊，好那题目你选对了就行了啊，题目选对了，刚才你说是相乘有六六种是吧？是吧，相乘式乘法式有六种。好吧，这块儿它的这个方法。好公倍数公约数确实是有点儿难，这也是一个难点。

好吧，大家在做的时候啊。这一定要训练训练啊，公倍的公约数，这还是两个数。列两个数是吧？就比较难。这个是不好做的好吧。要三个数，四个数，那不就更难了吗？是不是所以这一块儿大家呢？就别给写错了啊。所以说最后就得到m=1 n=20这种情况，或者说。

m=4，n=6，又是一种情况好吧呃，不是m=4 n=5。啊，又是一种情况啊。好，这样这也是稍微难一点。好，接下来咱们看一下实数的大小比较。实物大小比较。所以大家比较大家在比较时候一定要注意正负和零。你要注意正负值和和和零的值啊，正负负号和零的，比如正的负的，

别给弄错了好吧？别给写错了啊。好，咱们看一下这个题。大家思考一下这个题目，想想一想。好，这种题型一般在重新判断题考的比较多啊。重新判断题考的要多一些。好x大于y。想想s它大于y。调完1 xy都是正整数。且x平方小于y。条件儿xy都是正整数，且根号x小于y，

大家想想这个题。而且大家注意重新判断题啊，不能用特质证明充分啊。但千万不能用特质证明，充分有同学呢，然后取了一个值。正好充分有同学呢，就认为这个条件是充分，然后这一块儿大家呢，就推导错了好吧，所以这里面大家注意它的方法。思路啊，要知道它的考试内容。好，大家思考这个题到底选什么答案？

s平方小于y能不能推出s是大于y的？想一想，一定要找反例啊，找反例就在做逻辑推导的时候也找反例，如果找到反例就可以证明它不成分。这里不能证明它充分好吧，然后这块儿它的方法要知道啊，思路要明白。好吧，看看这个是不是明白啊？好，大家想想这个题应该选什么答案？你比如说我们可以找返利。找反例反例你比如说s取1 y=2。x取1 y=2，

就是满足一小于二。满足满足这个是吧？满足条件一也满足条件二。两条联合起来也满足，所以它这个推不出来，所以一不充分二不充分，联合起来也不充分，就选的什么？选择e选项，这要知道e选项的含义。知道吧，有两个条件，两个起来它都不充分。就选择e，这能懂吗？

这样的方法看是不是听懂了啊？就都推不出来s大于y是成立的。你千万不要找正面例例子啊。好，接下来如果题干要改成这样的话，你看选哪个答案？我题干。改成。s小于y。就把这个大于y改成小于y。你看答案，你会选什么？如果听懂的同学，你做一做。想一想好吧，

大家看，如果改成s小于y。这又哪个条件充分呀？对这个条件，一是充分的。因为它这个正整数，这个东西很很重要啊，正整数。好，既然是正整数，大家知道。正整数啊x方要小于y，我们知道如果要正整数x，肯定要小于等于x平方。你自己想想是不是这样的？

这个s小于等于s平方，只要是正整数啊。只要正整数x都小于等于x平方，这是正整数。知道吧，这种时候就x小于等于x平方，懂了吧？这个题目虽然没写啊，没写它是一个隐含的啊，正整数，我们自己想想吧。所以根据咱这个不等式传递性。根据不等式的传递性，可以得到x小于等于x平方小于y。那要推出。

x小于y，所以条件一是充分的。条件一，根据x平方如果小于yx，肯定也小于y。好，这个条件一充分条件二不行啊。条件根号x小于y，那这个不可以，它的反例可以找一个。你们说说你们找什么反例？你说说你们找的是什么反例，想一想。对，找一个四跟三。

四跟三，您看。根号四确实小于三。但是四是大于三的。你看这个就退不出来了。推不出来x小于y。是不是所以这道题如果题干改成这样，那答案就选a。条件，一是具备充分性的。所以这类的题特别特别容易出错。知道吧，大家考试我一定要细心点儿，别做错了啊。好，

下面咱们看这个题。看这个题目。a小于负一小于一小于负a，想想大家思考一下。题养1a为实数a，加一小于零。条件儿AV实数a的绝对值小于一，大家思考这个题。都想想。调整1a为实数a+1要小于0 a+1小于零，是不是说明a要小于负一啊？就调整一你自己再想想。都思考一下。好题案一，大家看是不是充分的？

都想想。好，大家知道a要小于负一两边，同时一个负号，这要注意咱们不等式变形啊。两边如果都乘以个负号，它变成什么了？你们都乘以负号就变成负a大于一。是不是这样，你自己想想是不是这样的？记住两边，如果同乘以负号。它的不等号方向要反过来。知道吧，要反过来的啊。

好，这是它的方法，要反过来。好看，这懂了没有啊？要反过来的啊？啊，所以条件一是OK的，对吧？条件一是成立的，有时候这个负a肯定是大于1a呢，小于负一，它是OK的。条件上看行不行？条件下，

大家还具备绝对值的概念。谁还记得，如果a的绝对值要小于一，那说明a应该什么情况？一个数绝对要小于一，要把绝对去掉，大家想想应该变成什么情况思考一下。变什么情况？就忘记了是吧a呢，觉得小于一就变成a，小于一大于负一。就是小于取中间。大于其两边，所以说a的绝对值小于一，它应该在负一到一之间。

知道吧，所以这个就不充分，因为条件上它是a大于负1a大于负一，推不出来题干的a小于负一成立。推不出来，所以条件二是不充分的。好，这时候涂卡就涂a选项。好吧，所以大家一定要记住啊啊，一个数的绝对值小于一，如果要是一个数的绝对值要大于一大于一，它就可以推出取两边，知道吧？a小于负一。

或者a大于一。懂了吧，就是绝对值要小于一个数，它应该在负的和这个数之间。如果觉得要大于一，它应该在取两边，知道吧？这样的方法取两边，要知道它的概念。好，这个概念别弄错了好吧，要知道它的方法啊。看是不懂了啊。好，接下来咱们看一下。

例15这个题。AB方小于cb方。提问1 ABC满足a+b+c=0。看谁能推出来条件ABC满足a小于b小于c。大家想想这道题应该怎么做，都思考一下。都想想好吧，看这个题应该怎么做啊？你们想想选什么答案？这道题就怕有同学这样去做，有同学直接把b方在题干的这个b方直接把它给弄掉了，那变成a小于c了。这样话有同学就会选错答案。好吧，你两边约掉b方，

两边约分约掉一个数，这个数肯定。前提是不能为零，但现在你也不知道b是不是为零。知道吧，你也不知道b啊，是不是v0，所以说这个题你不能这样写啊，所以这道题给大家挖了一个坑。知道吧，不要把b方去掉，写成a小于c，那这样就错了。是吧，这样就错了啊。

所以这个条件一找一个反例。反正就是b=0的时候。因为b=0的时候左边为零，它右边它也为零，所以左边为零，右边也为零。这样推不出来零小于零零，不可能小于零。在往C调，一是不可以的。好，再看条件，条件也不行，条件它的反例。条件反例是b等于等于零。

条件反射是bv 0。对于练这个也不行。连起来也不行啊，连起来它b还是v0是不是？所以它这个也不充分呀，就选e。知道吧，好，如果把这个题干改一改。题干改成。改成AB方小于等于cb方啊，你看这个题答案选什么？两条件不动。你看这个题选什么答案？好都思考一下，

想想选什么答案？这时候大家可以看到。选什么结果？这时候应该选择条件二成分。条件一就肯定不可以，因为条件一有可能a比c大，有可能a比c小。你条件一你也不知道ABC大还是ABC小呀？是吧，这个肯定是不行，为什么条件上就可以了？因条件是a小于b小于c。那你b=0的时候肯定是充分。因为b=0的时候，左边为零，

右边为零，零小于等于零是可以的。是吧，因为它零小于等于零，这是成立的等号，它成立呀。好b不为零。b不为零的时候b要不为零的时候。那这个也成立啊。b不为零的时候，然后呢？这这时候a小于c可以推出a小于等于等于c成立啊。对吧，这个咱们讲过重新判断题这块儿，它的这个方法思路。

是不是这样的情况？好，他这个思路。看到没有它的这个方法。所以条件二，单独充分条项一条项一啊，如果ABC全为零全为零的话，那这个。这个推不出来嘛。是吧，所以题干一如果ABC全为零的时候是推不出来。推不出来，原来这个题原来这个题推不出来。知道吧好，那这里条件条件，

它有两种情况b=0的时候，它这个题干充分的。b不为零的时候。这个题干它也是成立的是吧？因为b不为零的时候a小于c可以推出a小于等于c成立。好，所以说这个就写好了。好，接下来咱们看一下。例16这个题。它的a大于b。条以AB为实数，且a方大于b方。我问a方大于b方能不能推出a大于b？条件是二分之一的a次方小于二分之一的b次方想一想。

想想它的方法，都思考一下。好都思考一下，想想啊，看看是不是明白？题案一，题案一，大家注意这个平方。平方就这个平方，以后比它大平方之前不一定比它大，知道吧？所以在这里面这个条一是错的。你找返返利。返利返利的话，比如说它负的。

负负的平方大于二平方。但负三呢，是小于二的。是吧，所以这个这个它这个条件一是不可以的。条件。全选咱们指数要注意单调性。如果底数要大于零小于一，它是单调递减的好吧，所以给大家简单说一下指数，它的单调性。就看底数。底数如果在零到一零到一的话，它单调递减的。好单调递减的。

知道吧，如果要是大于。大大意他的单挑，真的。但单调帧呢？好吧，所以这道题。这里这里，它正好是单调递减，单调递减代表什么意思？代表上面a越大，它这个数反而越小。就反过来意思知道吧，这个单调。递减啊，

所以条件上大家知道二分之一。的a次方小于二分之一的b次方。这样就可以推出a是大于b的。好吧a大于b这个写好。是吧，就a大于大于b，所以条件是可以的。这个答案就选择b选项。条件上是充分。好，这是它的方法，看是不懂了啊。好，接下来咱们把条件一再强调一下啊，条件一注意。

这a大于b和a方，大于b方，这俩谁也推不出谁。a大于b和a方大于b方，这俩谁也推不出谁啊。但是如果要是a大于b。跟a的三次方大于b的三次方，这个就可以推了。这个就可以推导好吧，这个可以互相推，没没问题啊，奇数次方是可以推的。另外，偶次方这是不行的，但是偶次方如果加上绝对值。

又可以了。就a的绝对值大于b的绝对值。跟a的平方大于b平方，这也也可以推。知道吧，这个可以推绝对值呢，是OK的，是可以推的。好，这几个大家要注意它的互相推导关系，要弄清楚。好吧，它的这个关键词啊，就基数次方三次方，这是没问题。

然后平方和绝对值。它这个可以互互相推。好，这是给大家进行讲内容和思路好吧？好，那么今天的课咱们就讲到这。大家看还有没有什么疑问？有没有什么疑问啊？想一想。好，如果没有什么疑问大家呢？这一块儿啊，好有同学基础篇做完了，要不要开始进阶可以啊？基础篇如果做完了，

你就可以开始后面的进阶。不过，如果基础篇在做的时候，然后呢？如果里面不会的题要比较多，或者错题比较多的话，建议大家呢？先那个什么先？先这个把基础篇再巩固一遍，再二刷一遍，然后再做进阶也行。好吧，然后这一块儿啊，进阶是感觉比较难的啊进。好吧，

这些比较难，你可以把基础篇。再巩固一遍。都弄好以后。那么扎实，以后再做进阶篇。条件充分判断题只能取反例，不能取正例啊，一定要记住条件，充分不能用正例证明充分。整取返利。啊，四月份的讲到几月份，四月份的讲到一般，四月份的讲到明年的上半年啊，

五六月份。好吧，然后五六月份之后就学高分儿指南。好吧，然后这一块儿。就数学分呢，主要是这个巩固基础的啊，打基础知识点的，然后巩固基础的。然后高质量要难一点好吧，要难一点，高质量是第二轮儿复习时候用。啊基础篇题目一般过两遍就行。过两遍就可以了啊，就没啥问题了。

好吧，这个都呃两遍就差不多了。好，反正大家有时间就可以多看一看。啊，高分儿指南学完分册就可以学高分儿指南好吧？啊，进阶比较难啊，你可以先不用着急做，也没事儿。好了，那么咱们今天课就讲到这好吧，各位同学好好加油。啊，好好学。

好吧，然后呢？有什么不不会的那么都。可以进行交流，在讲课之前提前做嘛，反正讲之前有有时间尽量提前做做。好，提前预习一下。好吧，然后呢？把这个讲内容提前看看，然后如果没时间的话，跟着课来进行思考也行。好吧，反正咱讲课都会给大家留点儿时间来思考，

想一想的。好吧，这大家呢，都可以更好思路来进行学。好，那么今天讲到这儿好吧，各位同学拜拜，各位同学好好加油。

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06.数学分册考点篇-几何

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