03.数学分册考点篇-代数

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 05:16:44

好，各位同学，大家晚上好。大家测试一下声音和屏幕的板书啊。还没进直播间，同学抓紧进来。嗯。好，各位同学，大家晚上好。还没进直播间的同学抓紧进来啊。好，咱们的课程很快就开始了啊。啊，大家都收到书了没有？

啊，之前有同学没收到书，现在是不是都收到书了啊？好，收到了啊。嗯。好，咱们的课程现在开始啊。啊，那接下来咱们学习这个题型。啊，咱们考试呢，有两种题型啊，一类是一般的选择题，问题纠结题。

跟大家之前接触的选择题呢，没什么区别，就选项呢是五个。好，另外一种就是咱们考的所特有的选择题啊，是条件重新判断题。然后这类题呢，是考察两个能力，一个逆向推导能力，还有一个全面分析能力。好，然后这个逆向推导。逆向推导，在这里面大家要注意思维训练，还要全面分析，

全面分析呢，就不能漏掉了。啊，不能有什么遗漏，不能漏掉了啊。往往结合数学逻辑推理知识来进行求解，对考生的要求呢比较高。啊，那么很多考生呢，在做重新判断题的时候呢啊，特别容易出错，所以咱们呢？就是强调一下这类题，它答题方法。好，

那接下来咱们来看一下啊，第一个问题。第一问大家，首先要知道这个充分必要的概念是什么？要知道充分必要概念。充分必要概念。我们首先来看充分，充分的话，如果a命题成立，肯定或者必然。就非常充分的能够推出并名的，成立好这个把它称为充分条件啊。好，那也就说我们画一个图，就是a如果一定能退出b成立。

a这个它这个一定是。必然推出，必定推出啊b成立，那成a是b的充分条件。或者反过来称啊b，又是a成立的必要条件。啊，再反过来。好，这是它的这个概念的判断，所以咱们呢重新判断题主要研究一个推导关系，就看谁能推出谁？好，那接下来咱们来看一下啊，第一个题，

大家想一想s大于二四s，大于等于二的什么条件啊，每个同学都想一想。啊，你看选什么答案好吧，大家都做一做。啊，到底是必要呢？还充分呢？到底是什么样条件都想一想。9s大于二，4s大于等于二的什么条件？好都做一做这个题，想一想。好在这说一下答案。

好，也就是说，首先第一步，大家要知道谁能推出谁。另外一个关键问题就是大于等于它代表是什么情况是吧？大于等于所以大于等于大家想一想。好大于等于。好大于等于那么在这里面，大家要注意它表示的含义，要弄清楚它表示。大家想一想。大于等于它表示大于。货呢，还是且要弄清楚，所以大于等于啊这个。

概念要弄清楚啊，到底是大于代表是或呢？还是且要知道啊。都思考一下啊，代表大于号或等号，还有大于号或企业等号，都思考一下，想一想。好别别回答错了好吧，大家呢，要注意它的这个概念。好，大家要知道这是或的问题啊，好，只要咱们数学两符号连在一起，

它都代表着或啊，所以在这里面注意别弄错它它。不是企，是代表是货。啊，所以大家呢，就不要回答错了。或的话那么也说，比如说咱们讲的正负。这种它也表示或啊。比如说s等于正负三，它代表是s=+3或者负三。啊正负所以要大于等于。他要或的话，大家学过逻辑都知道或命题，

只要有一个为真，它这个就为真是吧？只要有一个是真的就可以了。所以在这里面大家注意s大于二。可以推出s大于等于二成立是吧？他可以推出来。所以s大于二可以推出s大于等于二成立。但是呢，反过来。反过来反过来，这个s大于等于二推不出来s大于二成立。好，反过来反过来s大于。等于二退不出来s大于二成立。是吧，

这样的一个情况。因为什么？因为它这个多了一个等号，知道吧？多了一个等号。注意这道题，这样答案。就选择的是啊，那么。充分但无必要啊，要知道它的概念。好正确答案选b啊，通过这个我们可以判断发现一个什么样的规律是吧？要知道它的规律规就是什么gs大于二，大家可以发现是一个小范围的。

是吧，小范围的。而大于等于二呢，又是一个大范围的啊，所以在这里我们就可以看到啊，如果小范围的啊，如果大范围内部。好在这里面我们就可以写出它的这个数值是吧？这个小范围的。可以推出大范围的。但是反过来是不可以的。是吧，反过来是是不行的啊，所以简言之。就小推大啊，

小范围的推大范围啊，这样一个情况。好，这是通过这道题给大家进行强调的方法啊，另外通过这里还要讲的是什么？讲的是这个或的这个逻辑关系，大家要知道。好吧，或者逻辑关系，比如说咱们知道啊，这个p要为真。可以推出。p为真。或者q。为证是吧？

所以他的p为真可以推出p为真或者q为真，这样的情况啊。所以p为真可以推出p为真或者q为真。但反过来，这是推不出来的。反过来这个是没法推的。好，那这是他的呃，这个方法。啊，所以或命题啊它的。这个表示的含义要弄清楚。好了，那这就是呃，充分的一个关系，

要知道它的核心的要点，小范围最大范围的。大范围推不出小范围的。好，那接下来咱们来看一下啊，这样的。啊，看一下这样的。这样的就条件与结论，它这样的条件与结论，所以咱们呢要注意。通常谁是前提，谁是结论要弄，要弄清楚好吧，就谁是？

条件实质结论。好，如果要是条件成立的话，肯定或者必然可以推出结论命题成立，这称它充分。就肯定可以推出它成立就称为充分，如果说它不一定能推出来，不一定推出来就有可能推不出来。啊，或者说压根就不能退。啊，这个。呃，更粗暴一点啊，根本都推不出来。

是吧，像有的呢，他是不一定能推，就有可能能推啊，有可能推不出来，他不一定。那么压根呢？或者说呢，一点都推不出来，这个成立好就称为条件呢，是不充分的好吧，这是它的这个概念。概念好，接下来给大家写了这五个五个，你看一下，

因为咱们数学只考充分啊。不考必要逻辑里面，当然它有充分也有必要是吧，咱们数学里面好那么只考了充分。充分法，大家想想下列给了五个，到底谁能推出x方减5 x- 6成立？大家想想一二三四五。啊，一二三四五谁能推出它成立？大家思考一下。好，大家想一想。谁能推出来给他五个？好，

那坐到这来可以发现一个什么问题？发现什么问题，我们可以把这个结论作为一个等价。等价像有的题，比如说它比较复杂，像几何题呀？或者概率题啊，它有的题比较复杂，你可以把这个式作为一个等价啊，等价化简。啊，等一下画完以后，然后呢，再写它的式子是吧？来来进行求解。

好，大家想想。首先，这个不等式忘记同学，咱们要先是相乘啊，是相乘，然后把这范围给它写出来。好，那么有同学觉得选的是五。选选是五，那还有没有其他啊情况？注意，只要保证充分就可以了，不要求必要。只要保证充分就可以了。

好，大家思考一下。好，那有同学选的是一，还有同学选一三五啊，大家思考一下，想想到底选什么答案？好，那么第一步，我们首先呢，要把x平方减5 x- 6。通过咱们学过十日相乘因式分解。实际上呢，忘记的同学，我们简单再说一下，

就x平方系数为1x平方系数为一的话，那么这个一只能分成一×1。是吧x平方系数分成一和一，然后这个长项长项这个六负六要分成负五来就可以写成一乘以这个负六。这样就写好了是吧？所以一和负六这样就得保证这个交叉相乘再相加，正好等于负。啊，交叉相乘再相加它，这个就等于负这两个相乘再加这两个相乘，这样等于负，所以它可以写成x+1。乘以s- 6。这样的s+1×s- 6。对吧，

它这个小于零。大家学过不等式的同学要知道。它这个要小于的话，应该取什么取中间是吧？小于就取中间就行了，主要是在负一到六。这个之间。好了，这是题干它的等价，结果是负一到六。啊，只要落在这个负一到六范围之内，都算充分的，你可以画一个数轴。画一数轴a选项。

它落在负一到六之间是吧？第一个选项，它落在负一到六之间。因为呢，它正好落在这个范围内，所以。小范围，就算充分的小范围，可以推大范围，第二个它大于七不行，大大于七它就完全推不出来。就根本推不出来，因为大于七的话，它完全超过了这个，所以它这个不可以。

d3 s=5 s=5也落在这个范围内。第4s小于6s小于六是属于什么？属于有可能能推能推出来，还有可能推不出来，叫做不一定能推出。不一定能推动，也叫做不充分。咱们的充分是必然退出，知道吧，所以第四个是不可以的。第五个呢，就既充分，它也必要啊，第五，它既具备充分性，

也具备必要，好吧，所以说在这里面。题干的充分条件就是一三五。好吧，一三五。好，这是。它的这个呃概念，当然咱们在考试的时候，他不可能给你五个知道吧，咱考试的时候就给两个。知道吧，所以咱们考题啊，他给条件一和条件二两个，

他不会给那么多，给那么多就不好做，你别看他给两个。关键是这两个还要还有一个符合关系，知道吧，如果这两个如果单独考的话，没什么问题。就像咱们刚才讲的这五个五个，如果单独考的话。是没有问题。就把什么就把它可以两者合在一起考。懂了吧，所以这是呃，大家容易错的点啊，可以合在一起，

所以接下来咱们看咱们的考题是什么样子的？呃，咱们考题是这样的。嗯，考题考题的话就是。这是一个题干，给大家画个图吧。它长样子，这样的，这是一个题干。题干，然后这个是条件一。这个是条件二。好，这是条件一，

这是条件二。然后接下来咱们来看。它这个五个选项的含义是这样的。就根据条件一和条件二往上。推的结果。来确定某个选项，所以这五个选项都要背下来啊。知道吧，所以有同学做后面题的时候呃，没见过这种题型哎，他说哎，怎么没有选项啊？选项代表什么含义啊？然后这时候呢，咱们要把它背下来啊，

好，如果一具备成文性，可以推出来，二推不出来，这时候呢，我们就选择a选项。啊涂卡就涂a选项，如果二充分一呢，它是不充分的，这我们的涂卡呢就涂呢，这个b选项。如果一和二单独都不行，就每个条件都推不出来，但它联合起来能推导出来。那领养企业什么叫领养企业？

只有合在一起，能退出来好吧，领养企业才能退出来，然后这时候呢，我们就选择的是c选项。选择c就行了好吧，然后咱们看一下d啊dd呢，就相当于是一充分二也充分一也能推出，二也能推出，就是d。e呢，是一二都不行，连起来它也不行。啊，这有图卡图一。

就这五个选项，要把它记下来。那为了让大家好记咱们呢，就给大家画一个图好吧，就画一个这种图。画个图啊，以后记住它要充分，能退出来就画个勾，不能退出就画个叉就行了。好吧，能推出的画个勾，不能推出的画个叉啊，如果一能推出来，二推不出来，这时候涂卡就涂a选项，

答案就写好了。好吧，就图块就就图a好，这样的方法啊，图a选项。然后一推不出来，二能推出来就图b，然后都不行，连上去也可以推就图c。如果一和二都行，就涂d，如果一和二都不行，联想企业也不行，就涂e选项。好，

这是它的这个方法好吧，然后需要联合的话，那么就就单独都不充分的时候再联合啊。好，那这五个选项咱们呢？可以总结一个口诀来记一下。口诀来记还有一成分就选a。然后二重分就选b。如果联充分，联合充分就选c。啊，联合选c，如果都对就选d。d呢，也可以把它称为double都得就选d。

啊，如果都不行就选e好吧，就1a2b连c都对就d。都不行，不易。啊，都不行。就怎么着都推不出来啊，一也不行，二也不行，两也不行，都推不出来，那就选择e选项好吧，这e选项的含义。看这个是不是懂了啊？

好，那接下来咱们看这类题的解题步骤。好吧，考试拿拿到这种题的时候如何去解它解题步骤是什么？看看如何去去进行求解。好，那条形一咱们看一下条形一。题一。一般有咱们拿到题是这样的啊，一般咱们拿到题这是一个题目，这是一这个是二好拿拿到题目。然后题目大家先看呢，这个一一般呢，按照顺序嘛啊，按照顺序啊，

先看这个一。啊，所以看一一，如果是充分的。这时候看二再看二，比如一是对的。再看二二，如果不对答案，就可以选出来了，选a如果二也对答案就选d。啊，而且对答案就选d。啊，我们来看一下，如果医药不行啊，

医药不可以啊，医药不可以，然后再看二再看二。如果二二要行，就选b2要不行，然后呢，再联合，所以这块儿再再联合。好联合联合法，如果行就选c啊，如果联合不行。就选e。好，这是它的这个情况好吧，然后要知道它这个表达式如何来表示？

好，所以说在有的时候呢，咱们可以看它的选项呢，是有啊，一定的什么啊，一定的规律的。比如说，当一要成立的时候，一要充分的时候，它肯定答案在a和d不可能选其他的。知道吧，所以说考试有时候呢，比如说你不会做，但是呢，有一个条件你会，

所以可以把答案呢锁定。啊，锁定目标，比如当一要不行的时候，一不充分的时候，肯定答案就选bce这样的是吧？当然，你要在bce里面选。啊，同样道理，如果二要充分的时候，这时候呢，只能选BD。是吧，只能选BD，

如果二要不不同的就选ACE一样的。只有在一和二皆不充分时才考联合。知道吧，然后这个注意啊，都不充分是，然后才考联合。所以有同学问这样一个问题，他说啊，单独一页充分发现联合起来也能推导出来，这都选什么答案呢？要给大家强调一下，如果单独要充分。就不要再联合了，知道吧？就不能联合。

好，这是它的概念方法啊，就不能去联合。然后接下来这类题型啊，对我们考生挑战什么啊，看看这类题型，很多同学是没见过的，所以咱们这类题型大家错误率也比较高。第一个就运算方面，因为运运算方面，它每个条件都要去推导判断。是吧，所以至少要算两次，什么意思？比如条件一啊，

我们要算一次条件，二要算一次。呃，有的时候还要再联合算。所以说它表面上是一个题，实质上相当于两个题，甚至还有相当于三个题。好，所以运算上。它这个要复杂。第二个准确度要求比较高，比如说。有一个条件做的非常好，判断正确了，另外一个你判断错误，

然后就会选错了是吧？判断失误就会选错。只有两个都判断很好的时候，这才能得分好吧，才可以。好，第三个无论怎么做，它都有备选答案。啊，无论怎么做，它都有备选的。也就说你做对做错都能选出答案来，不像咱们一般的选择题，一般选择题，比如哪算错了，

有可能选不出答案来，你就知道自己算错了。是吧，这时候你检查检查啊，就能够检查出来。那这类题不行，这类题你做对做错。他五种情况。都用五个选项表示出来了，你不可能算出第六种情况，知道吧啊，不可能出现第六种情况。所以它这个呢啊，就是都都能选出答案来，所以不好检查。

第四个就容易设置陷阱题目。容易设置线性题目，很容易出现差之毫厘，没有千里的情况。啊差之毫厘，谬以千里，就差一点点啊，它这个呃就出错了好吧，只要微小的差异，它这个就会出错。好，这是给大家讲的。对考生的挑战，所以你稍微有点粗心错误，或者说哪没考虑到那这个题就出错了。

好，那么答到拿到这个题，我们来求解方法什么是吧？然后这个到底怎么去求解啊？它的解题方法。解决方法这样的。啊，我们呢？第一个方法就是自下而上，自下而上，这种方法也是命题的本意。知道吧，它的命题的本意啊。啊，就面接。

本意就自下而上，既有条件带入这个题干。由条件把往条件往题干里带。好，这时候他的缺点什么？缺点就是至少要带两次。是吧啊，这个这带两次也是也是发明这种题型，他让考生。啊，思考就是条件一推一次，条件二推一次，有时候两个条件再联合推一次。这样特征至少要运算两次。好，

接下来咱们看一下什么样题，采用这样的什么样题呢？就相当于题干呢？它没法去化解，没法处理，那指的是由条件啊，往上去进行推是吧？这样的。所以在这里面，大家呢就可以看，就是这类题，他题干他也没法动是吧？题干呢啊，也没法去求。这时候呢，

我们呢，就可以来由条件往上去推导好吧，然后各位同学大家都推导一下。看这个题选什么答案，看某种货币的币值是不变的。好，你认为一和二谁能推出来，然后看选什么答案？大家都想一想。好，有没有同学做完？好，这道题它的b值。是不变的，想想啊，

想想谁能推导出来思考一下。好，那接下来条件一咱们看条件一条件一它贬值10%又升值10%，那这块儿它肯定要比原来值要小，对不对？所以调一你，比如说原来值是a它贬值，就相当于降。然后升值升值，再乘以加。升值乘以个加就行了，是不是？然后这块儿这块儿它肯定是比a要小。啊，所以一是不可以的。

是吧，然后画一个做好标记一不行，画一个叉就行了啊，一是不可以的。那接下来咱们看一下二。啊，看一下二。二贬值百分之二二十后又升值25%，接下来贬值20%。有升值25%。这正好跟原来值是一样的，大家简单运算一下，这正好就充分的，所以条件儿这句话可以推出上面这个命题成立。知道吧，

所以条件上充分考试涂卡就涂一个b选项好，这是它的方法思路，看是不懂了啊。那看这个是不是明白了？好吧，所以他这个。条件是可以的。能推导出来。好在这里面咱们呢，就说一下这个呃变化率的问题好吧，这个变量咱们讲过，如果增降相同的百分数要小于原值要下降的啊。这个在前面变化率的时候，大家呢啊，要知道啊，

增降。相同百分比。它要比原来数值小。要小于呃，原来值。知道吧，增加相当百分比小于原来值，比如说先降百分之p。再增百分之p。它小于原来值，或者说先增百分之p，再降百分之p，它也是比原来值小。看到吧，另外咱们再说一下恢复原值的情况，

恢复原值，我们再看一下恢复。恢复原来值。恢复原值，如果先。降百分之p。必须再增。百分之p÷1减，百分之p。啊，先降百分之p啊，必须再增百分之p，除以一减百百分之p这样的好吧，就先降百分之p。然后再增多少，

再增百分之p除，以一减百分之p啊，这样的一个一个情况啊，这样的话就可以恢复原来值。第二个。这个如果先增百分之p。先增百分之p，然后再降。再降多少呢？再降百分之p÷1加百分之p。好，先增百分之p，再降百分之p，除以一加百分之p啊，这样值就能恢复原来数值。

好，那这是它的这个方法。嗯，这块。好，这个给大家总结结论。就变化率，它的一个特征。好，那这是第一个做题的思路是吧啊？下推上。第二个，第二个就是从上往下。从上往下呢，这不是从上往下推啊，

不是从上往下推。所以咱们做题不能是从上往下推，然后自上而下是这样的，先把题干的数值或者范围给它算出来。先把题干成那些数值或者范围算出来，然后比较条一和条件。在比较一号。好吧，把题干成立的数值或者范围给它计算出来。建设，然后再进行比较。比较一号就可以了。好，那这也叫等价。推导法是吧？

这样的。这样的特征是，只需运算一次就可以了。就这两个方法，它的它是各有利弊，知道吧？等价推导法，它是必须适用于什么呢？适用题干，它可以化简或者好求数值的时候，你你可以做。像有的题呢，题干没法弄了，这时候你只能是从下往上推。懂了吧，

所以就是要看他的题适合什么样的方法。懂了吧，所以这个你看这个题，这个题例三这个题，因为它这个表达式我们就可以先把什么先把它范围。给它化简完，然后再看条件，一个条件儿是谁可以推导出来？好吧，所以接下来大家思考一下，就当这个题干它比较容易。或者方便来求它的值的时候，那这时候呢，我们呢，就可以用这个方法好吧，

用这个方法来做。好，接下来咱们看一下例三这个题，大家思考一下，看看谁是充分的想一想。大家第一步，先把这个不等式啊，它的数值呢，给它求解出来。但在这里面，我给大家强调一个大家特别容易犯的一个错误啊，很多同学喜欢用特值法。特征法的话，大家不能用特征法证明充分，比如说有同学呢，

他他说这个s大于负一，我就取s等于个零。啊七。x=0而I=0，带到里面去啊，发现啊，这个这个题干正好成立啊，它就。他就认为这个充分了，所以记住特值法不能证明充分，知道吧？特值法不能证明充分。条件有同学呢，他也取一个s=0，然后带到里面去，

发现这个不等式，正好成立的。是吧，然后呢，他又认为这个条件充分，这样话是不可以的啊，所以一会儿我会给你写特征法，不能取正面特征，证明它充分。啊，不能说啊，他正好就充分了。但我可以取。返利证明它不充分，知道吧给？

证明他是不充分的。好，那接下来咱们来看一下。看一下这个题。首先第一步，大家首先看看x×6 x+5小于四，它的题干它的。等价条件，大家都想想有没有同学解出来，都思考一下。有没有同学解出来啊？想一想。好，那第一步大家先把这个s给它乘进去，就6s方。

加上5 x- 4，它小于零。相信大家呢，就是先那个什么十相乘因式分解一下。好s平方前面系数六六呢，可以分成二×3。啊六六可以分成二和三，然后这个四这个四要分出一个五来。四要要分成一个五。啊分之五，我们看它它怎么分？是不是？然后呢，要注意要分出一个正五分出正五的话，这个一四这样分看行不行？

是吧，这样分。对不对？所以大家学过十。相乘法吧，就这个六二和三上下两相乘得到六后面这两个相乘得到后面常数项。然后呢？这个中间五是斜线相乘，再相加就二乘以四加上三乘以负一。这样呢，二乘以四三乘以负一。这一块儿啊，就二乘以四三乘以负一加在一起，正好等于中间的五，然后它这个分好了就可以分成二x减一。

3 s+4。还有小火力。建议大家注意，小于就取中间对不对？这大家会不会写小于它就取中间？对不对取中间，所以x我们就可以写出来，这样正好是。在两根之间，一个根是多少呢？一个根是负的三分之四。还有跟什么跟是二分之一。好这题干它成立的条件，结果就负三分之四。到二分之一。

好，这条等价的结果，那就然后接下来看条件是不是满足这个范围条件1s大于负，1s大于负一的话？它有可能超过了二分之一，所以它就不充分。是吧，所以它它有可能呢推不出来。这这个就不充分。条件s小于三分之一s小于三分之一，它不一定是大于负的三分之四，所以有可能超出这个范围。所以条件它也不行。对吧，条件它也不可以。

啊，也不行。然后在这里面，如果单独都不行的时候，然后再联合大家注意联合找什么联合是找两条线公共部分。知道吧，联合招两条线公共部分。你要找公布的话，然后找它交集就行好吧，所以联合。两条线联合代表什么意思呢？就两条线。它的交集，它交集的话就相当于是s大于负一。小于三分之一，

大家想想是不是这样的，然后大于负一，小于三分之一，如果s大于负一，小于三分之一。那这联合以后范围联合范围正好落在这个范围之内，正好落在这个范围内部。是吧，它正好落在这个范围内，正好落在这个范围内，所以它就是充分的，是不是它没超出这个范围吧啊？两两条件联合成立，联合成立考试涂卡就涂c选项。好吧，

大家看看是不是这样做的？好，通过这个题要给大家强调几点，第一个特值法。是吧，就不能取正力。啊，证明充分。啊，只能取反例证明它不充分。啊，只能取反例，它证明它不充分好吧，就不能取正例，它证明充分只能取反例证明它不充分。

好这样呢，它的内容好吧，就不能取正例证明，充分只能取反例证明它不充分。好，这是一个另外一个，大家要注意什么联合？它的含义是指两条件的交集。联合是两条的交集啊，这样联合它找两条的交集。这样的情况是吧呃。出现两条交警。好，这样的方法啊，联合找交集。

好了，这是这个题，大家看是不是做对了好，通过这两个就找到了，那么它两个基本方法，看看大家明白没有啊，一个是从下往上就是当题干。没法做一个化简变形的时候，那么由下往上啊去进行推导，这时候呢，只能把两个条件都算上。然后呢，就相当于是如果题干它的数值或者范围啊，这个能化简就把它化简一下。化简完后，

然后再来看两条件是不是满足，然后再确定它是不是充分好，这是它的方法。好，那接下来咱们再做着这个例题一起训练一下好吧，大家一起来做一下例题训练一下。好看一下这个例四这个题，大家都想想选什么答案好吧，它题干说s大于等于三。条件1 s=3，条件2s大于三。好，现在大家先练习一下思维，其实咱们呃所有的数学不管是。复杂题和简单题。

最后把它变形成它的内核，就是咱们现在例四看到这种形式，知道吧？大家往后学这个知识点，只是外面。给它加上一个考点的外衣，知道吧？比如说是考数列呀，还是考什么几何呀？它加上一个知识点外衣。把这知识点给它化，简化简。化解到最后。其实内核最核心的其实就是这样的是吧它？最关键的。

就换成这样，换成这样，然后再写答案好吧，大家看看这样的方法。好想一想。这道题大家可能有同学会误选成c，误选成c的原因是什么原因？他说这个等号这个大于号正好一个大于号，一个等号，两条线合在一起，可以推出大于等于，所以他他说两条线联合在一起。就选了一个c选项，那这样的话就错了好吧，这样啊，

就错了啊。懂了吧，所以这样就不能够呃，这样去思考。这样思考是不可以的，明白没有？好，那接下来我们看应该怎么做？好吧，接下来接下来要注意这个题，干它这个大于等于我们再强调一下，表示大于或者等于啊。它的或的关系或关系上那调一调价，它都是符合的。好，

这个答案应该选d知道吧？这个答案选d，所以可以从两个角度来理解这个题，第一个角度就是小范围的推大范围的。是吧，它这个都是落在这个范围内的，这都充分，第二个怎么理解这个东西啊，如果题干是p为真。或者q为真。好，如果条件一。是p为真。条件儿q。为以为真，

这样的话就有两个条件，单独都充分好吧，两条单独都是充分的，这个答案就选d。好吧，就一和二它都对。啊，如果这地方要改成且啊，这地方要且且的话就选c了，知道吧，且的话就就选c，比如说。它要是p为真。且q为真。条件一是p为真。

条件二是q为真。这时候呢，就得选c好吧，这是它的这个基本的概念啊，要弄清楚。好，这这道题大家听完后的收获啊，要知道。好，接下来大家做一下例五这个题好都思考一下，想想例五这个题。s大于三，且s不等于五。条件一是s大于三，条件2s不等于五，

你想想选什么答案都思考一下，想一想。思考它的方法好吧。所以在这里面，大家可以看到没？正好正好刚刚这个讲过，正好是且的问题，看到了p为真，且q为真，刚刚这个讲过。是不是怎样呢？这个一看就可以看出来，你看前面把它看成一个p。后面把它看成q。然后这样p写q这个是p，

这是q。所以这样题正好就答案就选c好吧，联想起来就选c好，别给写错了好吧，大家呢要会分析啊。看是不懂。好，接下来大家看这个。s小于三条件，一是s小于二条件，二是s小于四。好，你看这个题到底谁是具备充分的，看选什么答案，大家都加油想一想。

都思考一下。好，咱们来看这个题，这个题看谁的范围小是吧？谁的范围小？那肯定条文一它的范围小。条件1s小于二，这样落在s小于三范围内部是吧？就小范围推大范围条件s小于四，不行s小于四，它有可能超过三了。对吧，它不能够必然的退出。这个s小于三。是吧，

所以它它这个就推不出来这个，比如说s=3点五三点五，它就大于三了是吧，这个就推不出来。好，这是给大家讲的这个内容。那这也都比较简单。好，接下来咱们再看一下第七题，这个题。s大于三条件，1s大于二条件，2s大于四。想想。好看看这个是。

选多少？好，都做一做。好，这里大家可以发现。好s大于四，正好落在s大于三范围内是吧？这个比较简单是吧？s大于四。这样落在s大于三的这个范围内部。条件1s大于二不行哎，大于二它有可能小于三，比如说s=2点五。二二点五它推不出来，大于三，

所以条件二是充分的，这一难选b。是吧，这个答案就选b这样写好。好看，这个是不是懂了？好，然后再看例八这个题都想想。就现在这个训练是大家最基本的内核的思维，知道吧？就是就是这个，因为所有的题，它最后化简到最关键的内核。啊，就这样，

有些人现在看到这个样子，知道吧？就外面只不过他加上一个支点的外衣是吧？通过把这个支点慢慢慢去化解，化解完都是现在这种样子。所以大家呢，要从它最关键的啊，这个题型讲讲起，知道吧，把这个题型，然后后面你只要。学了这种方法，这个关键的这个方法会写了，然后把它加上复杂的知识点，大家也能求解出。

好吧，也okay的，知道吧，也能求解出来。好，所以咱们看一下这个这个例八这个题例八这个题啊，有同学感觉像e。啊，有同学感觉像d。还有同学觉得c想一想啊，各位同学都思考一下，看选什么数值和答案。好，那接下来那首先看单独条件一肯定是不可以是吧，因为单独条件1s大于等于三。

有可能比三大呀，它推不出来s=3条件，这也不可以，条件是s小于三。也推不出来是吧？也推不对，所以它的范围都比题干大，所以说都推不出来，联合找什么情况呢？联合。你要找它两者的交集啊，你要找两者的交集。你要找他交易这个跟这个交集。这个交集跟这个交集看看啊，还有联合。

啊，交集交集正好就x=3。是吧，就共同满足的。那联合以后正好I=3，所以跟这个I=3正好是一样的，所以联合呢是可以推导出来，联合成就选择c选项。好吧，介绍做题方法，看是不是懂了？所以它考那种，你要会分析和思考。那接下来咱们再看一下例九这个题。都思考一下例九这个题目，

想一想。啊，例如这个题，你看选什么答案好，那接下来我们来看条案一。题目一的话，正好是s- 1×s- 3=0，大家知道。这两个相乘要等于零相等于零，它应该是或的关系前面被零或者后面被零，所以就得到s=1。或者x=3是不是小x=1或者x等呃等于三这样的情况？看这个是不懂了。然后条件二条件二是s- 2 s- 3。在这里面，

大家可以发现他也是货。s=2或者s=3。s=2或者s=3。这样的情况。是不是它也是或？明白没有，大家注意这个条件，一它不能够必然的推出s=3，因为它还有一种情况是s=1。所以记住条件的数值，如果超出题干的值，它是不不充分的，知道吧？它这是不可以的。懂了吧，

它这是步行的。条件儿它这个也超出来了，二也也不行是吧？也不行好，所以条件一和条件二它都超出来，这个数字都不行。然后接下来我们要知道联合起来。两条线联合起来，两条线联合起来，注意要找它交集，对不对？联合起来就找它交集就可以了啊，所以联合就找它的共同交集。零号就l=3。九条一和条件二都有的部分，

这叫联合知道吧，然后这个正好跟这个I=3呢是一致的。这样是符合的，所以这道题就选择c选项。你选c，这样就可以了好，这是它的方法，看看是不是中了啊？所以这道题要知道联合的含义是什么？好通过以上基本的训练，咱们再看一下这个一些常考的陷阱。这些陷阱。现在一定要能够区分谁是前提，谁是结结论好吧，谁就能区分，

比如像有的时候它题干比较长。题眼比较长的话，我们都以折作为一个分分界线，折折后面的这个就是一个结论。则之前的都是一个已知条件。懂了吧，你像有的题它它非常长。然后有个折什么什么是吧？折什么什么？然后这时候呢，这是这条件一他怎么推呢？就是拿这个条件一跟这个已知的结论来让推这个，看能不能推导出来？知道吧，就这样去推导。

所以说在这里面呢，就则之前都是已知的，都可以当做已知条件。好，然后结合条件一来推这个值好看，是不是明白了？好，接下来咱们来看一下这个题，大家思考一下选什么答案，也就说这道题m是整数，它是已知的m为整数。让大家推则m=3。好想想这个题。所以这道题的派是取三点一四嘛派，大家都知道三点一四。

啊，都想想这个题选什么答案？好题案一，咱们看题案一。相信大家知道派是三点一四，相当于三点一四减一就二点一四。三点一四加。这个三点一四，所以m呢，应该是在二点一四。和三点一四之间，由于m有整数m，只能取三。是吧，因为题干说m是整数啊，

所以它这m值只能为三呀，对不对？所以题干一它是成立的。条件一，它成立条件，条件m大于二分之派，减一小于二分之派，加一。这样的条件，条件m大于二分之派，减小于二分之派，加一想想。那条件它的这个这个方法。填加方法，大家知道这个这个派是取三=4就相当于二分之。

二点一四小于m小于二分之四点一四。这样的。好，那这样m它肯定是不会为三了，所以条件上肯定是不行的是吧？这个就不行就选择a。好，这是给大家强调的啊，我们在做题中，如果它题干比较长，以则作为分界线来进行思考。好看是不懂了啊。好，接下来咱们再看。看第二个，

第二必须是下推上，知道吧？不允许啊，通过结论来推这个条件，就不能从上往下推。不能从上方压，只能从下方上推啊，不能从。题干往下推。他说x为实数则x=1，因为有的时候是这样，知道吧，比如这样，有时候同学呢，他图省事儿。

它看条件一和条件二。这个挺复杂的，知道吧？一号正好，挺复杂的。然后他又图省事，他也不想求解了，他就从上方下去去推。啊把x=1往下带，把I=1往，这个也带唉，发现了I=1带到这里面也行，I=1带到这里面也行，他就认为这条件都成立了。啊，

这样就出错了好吧，所以大家呢，要注意它的方法。所以你不能说哎，这个条件不好算，感觉挺复杂的，那我呢就？把上面s=1往下带，那不能从上往下推。从上往下推就不可以。好都想想啊，思考一下。好，这里到底选什么答案啊？都做做。

好，谁做完了？想想想他的答案。好有同学做的是c选项。有同学选c啊，像这个题。是不是选c？好，大家想想这个题。这遇到高次方程怎么去处理？好吧，怎么处理？好，那么条件一咱们看看。反正注意这道题，

不能从上往往下带了是吧？那接下来咱们看看这个题。看这个题，我们看它它怎么去去处理一下？啊，你可以这样啊，这道题有这么几个方法？你可以把这个。前两项提供，一是。后面提一提好吧，这样的提供因式前两题，后两题反正两两分组。知道吧，前两个供供因式可以提出一个x平方。

正好是s- 2。是吧，前两提供因式。然后两提供的是可以提一个负号算了。因为外面提符号，这个二二前面要变个号。好看，这个懂了没有？是不是可以可以提个公因式？啊提公因式以后，然后接下来呢，我们呢就可以可以干什么？再提一个s- 2来。是不是这样的，大家自己再想想。

因为这俩都有s- 2嘛s- 2，然后t8就变成s方。减一了。想一想是不是这样的？好，那接下来咱们再来看。再看这个方减一，大家学过平方差公式，应该都会写。是不是这样的啊？大家想一想，是不是这样的？好，那么它这个x又给解出来。哎哎，

就解出来对不对？所以它这个。就解出来了，所以条形一呢，它有三个，所以它这个呢，是不可以的。对吧，这是退不出来的。然后条件咱们看。条件条件是不是有同学直接把s平方给约掉，这道题又有一个又有一个陷阱，什么有同学直接上来把s平方给它约掉。约掉以后，它调价就变成这个了。

变成x平方减2 x+1，它为零。所以它正好就变成s- 1^2为零，所以它说s不等于一，所以有同学单独选条件充分。的同学呢，他一上来把两边s平方给他约掉。约掉以后它就会会会什么会漏掉根知道吧，所以x平方不要约掉。因为因为这ss平方，它就它就是根。只有非零的这个常数，两边呢，可以把它约掉，知道吧，

所以这个前面s平方千万不要漏掉，漏掉的话，那这个。你就漏掉根了。知道吧，因为s它有可能是零，知道吧，所以它应该是s=0，或者说s=1。所以单独呢他这个。都不行，因为单独填完一个条件，它都都超出了题干的范围，它这个是不充分的。接下来我们来看一下这个联合起来。

好吧，李阳李阳是找两者的共同部分，公共部分知道吧？李阳是找既能满足第一个方程成立，也满足第二个方程成立，也就是找他们。共同的解。知道吧，联合要知道找两者的交集和两者共同的解。联合得到s正好等于一是吧？联合它交集正好就为一，唯一的话答案就写出来了，这个答案应该选择c选项。这样就求出来了。好，

这是它的方法，看看是不是懂了啊？然后接下来咱们看一下。第三个注意问题，如果结论就题干它特别复杂，可以先找出它的等价化简结果。然后再来判断是否充分。再进行判断。好，大家想一想啊，它这个式子。怎么去分析和思考都想一想？好x为实数，啊x为实数，则这个范围要大于零，

条件和条件，大家看选什么答案？都练习一下，想一想。好，那么大家都做一做啊。有同学呢认为a啊认为题案一是成立的啊。好，那其他同学想一想。好，那接下来咱们看一下这道题，它怎么去画？所以这道题大家也不要把x平方直接两边约掉啊，所以发现大家遇到符号的时候不要轻易两边把它约掉。知道吧，

有同学又把x平方两边都给它约掉了。所以在这里面，你要把它怎么变形呢？把它提出来是平方。所以有同学说选d。啊，有同学选a，有同学选d，到底选什么啊？好把这s平方提出来s平方提出来变成什么变成s方？减3s，加二。它大于零。好，那有同学呢，

就说这个x平方，反正是是正数，他就把x平方给它约约掉了，x平方约掉约掉变成x方。减30+2，它大于零。大于零，大于零的话，这个大家知道可以用咱们学过因式相乘，十字相乘，因式分解。事项的因式分解，它可以分成x。减一×s- 2，它大于零。

就s- 1×s- 2，它大于零这样的。但是要大于应该取两边。是吧，大于应该取两边，所以它就推出x。小于一或者x大于二。然后选d的同学呢，就认为s大于三的时候可以满足s大于2s小于零点，五的时候也满足s小于一，所以有同学就选了一个d。选了一个d，那选了个d，那为什么错错在哪儿知道吧？错就在错在这个位置，

这个x平方这儿。啊，错在这儿，错在这儿s平方这儿，知道吧？这地方啊，问题出现在这儿，你把s平方给它弄掉以后啊。你到这一定要加上一个什么，加上一个x不为零。加上一个x不不为零。是吧，所以这s平方，你把你把它先给它去掉，虽然s平方它是非负的，

但它不能取零啊。他取零的时候这样的话，这就不满足了。对不对？所以说两边可以约掉一个正数的时候，这个大于号是不变方向的，我们学过对不等式啊。不等式两边同除一个正数，这个大于号是不变的，但是如果同同弄一个负的，这个就不可以了。好，这是他的方法。所以说在这里面就条件就出来这。错在这x。

邻邻着它，这个是不可以的，调一是行的。这个呢，应该选择a，所以大家可以发现就咱们重新判断题这个坑特别多，你就只要有一点考试，一着急。没考虑到。漏掉了，那这个题就会丢分好吧，所以大家呢，就这类题特别特别要小心点啊。好，接下来咱们看这个题。

好，如果能举出一个例子，说明某个条件存在某种特殊情况，使结论不成立。这可证明该条件呢，是不充分的。但反之，即使例一些一些特例，使题干成立，但也不能证明充分。呃，这句话什么意思呢？这句话就相当于是。咱们的特指法不能证明充分。你可以找反例证明不充分。

但学逻辑就知道特殊，不能代表一般。是吧，比如说张同学。他的情况不代表大家一般的情况。是不是所以在这里面特殊的不代表一般好，接下来咱们看一下例13这个题，看一下例13。s+y小于等于1 s+y它小于。呃，等于。条件1x方加y方等于一条件2x方减2 xy+y^2等于一，我们看这道题应该选什么？大家没学逻辑，慢慢到时候就以后就会接触好吧，

接触接触特殊，不能代表一般特殊，不能推一般。咱们经常说的犯了以偏概全的错误，以偏概全代代代表什么意思？代表你光看到这一个情况。那还不够全面。是吧，所以在这里面大家注意例13想想。好，大家都想想啊，想想历史上。s+y小于等于一条件1x方加y方等于一条件s方减二二xy+y^2等于一。大家注意单独条件一单独条件一，大家千万不要找反例，

有同学不要找正面例子，有同学找零跟一，有同学想。啊s=0 y为一啊，正好能推出题干，所以它认为条件一成立。这样就错了。这样你不能用正面例子证明充分。好，大家想想这个题应该怎么做？好，有没有同学呃算完啊？想一想。好，那题完一咱们看看好吧，

然后这块儿。好c做出来了啊，调一。强一大家知道怎么找返利，知道吗？啊，不会找反的同学交给你，一般呢，找反的要么找零呀，或者找边界值啊，或者找相等在这里，我们就找相等。好吧，调一的反例。我可以让x平方和y平方都等于二分之一。

是吧x平方和y平方都等于二分之一都等于二分之一，我就取什么取这个x和y都等于二分之根号二。这时候s+y正好等于根号二，根号二是它大于一的。是吧，根号二大家知道根号二是一点四一四。就一点四是比一要大的，所以它这个是不可以的。对不对？它这个就不行，所以一定要找反例，所以调一呢就推不出来它题干的小于一。是吧，退不出来。然后调到这样来看看。

条件条件的话，条件他左边大家知道，左边可以用咱们学过的平方公式，对不对？左边呢，可以用平方公式啊。这个平方公公式。平方法，他这个就可以写成什么看一下啊。根据s-y^2=1。而且平方为一，那咱们就可以找很多这样的反例啊。是吧，因为它左边可以配方啊，配方我们可以找找什么样反例？

找s=2，y=1。是吧，这时候s+y。这样等于三，它是大于一的，所以它也不成立是吧？也不可以。啊，所以考试可以看它这个也都是不可以的。看懂了吧。那接下来咱们看一下联合起来。好，连上去了。看联想起来，

联想起来看看它是什么情况，联想起来。连接既要满足一，也要满足二啊联合。连号就是把这两个等式联立起来，连起来就相当于x方加y方，它正好为1x方加y方为一，那第二式你知道怎么写吧？这样可以看，正好有x方和y方嘛。把这x方加y方，正好换成一嘛。是吧，所以条件就变成一减二xy，正好等于一能看懂吧，

因为条件s方加y方。正好换成这个一就行了。欢迎呢推出。二倍sy正好为零。是吧，使他这个。现在x×y正好为零。大家知道x×y为零就可以得到s等等于零或者y为零。是不是这样的？啊，所以说在这里面当s=0的时候变成y的平方=1 s=0的时候y的平方为一。那说明y又等于正负一。或者说。y为零的时候y为零的时候s它等于正负一。对吧I等于正负一。

所以当它这个条件有多种情况的时候，什么叫充分，必须是每种情况它都充分。才叫充分，你看第一种情况x=0 y等于正负一的时候啊，变成了x+y。它又等于正负一，正负一肯定小于。等于一嘛，它成立的。条件一样s+y。大于等于正负一也，小于等于一，它这个也成立是吧？它这个也成立，

所以一和二它都成立，一和二它都成立，正确答案。就选择。这个c所以说联合起来以后，它这两种情况它都都都成立。好了解。对联合的意思就是联立是吧？联立就两个联立方程。啊，是吧？这一块。好看，这个是不是明白了是吧？所以考试呢，

就遇到这样的题，大家呢，要会分析思考。那联立联合一直找两条交集，或者说两个方程联立成方程组，它这个情况。是不是这是它联立的情况啊？好，大家看是不懂了啊。好，那接下来大家一起来测试一下。好吧，方法。陷阱和做题。它的步骤都给大家讲完了，

那接下来就大家就得练了。练完以后，我们之后呢，学一些知识点的时候，大家用知识点把它化简，比如说他要把这个重新判断题。外面再套一个几何是吧？几何题几何题？你把几何题呢？画一画，画一画化简，然后看谁能推导出来。那就成立了。好了，接下来大家做一下这个测试题，

都想一想。呃，咱们。不管年龄以后它的数值有几种情况，必须是每种情况都得推动充分。如果它只要有一种值推不出来，它又是错的啊。就当咱们算出来有好几个值的时候啊，算出来有好几个值的时候b是每个值它都能满足。因为咱们充分的概念是什么？是必然成立。编程也就说这样的，就不管你成绩有多少种情况是吧？你必然能过线，知道吧？

这这这个要充分。条件你必然能过线，比如说我考240也行，245也行，248也行，比如你的成绩有好几种情况。每种情况都能保证过线。那就代表你过线了，知道吧，它是这个意思。好，那接下来咱们来看一下。这个讲练结合的测试，大家抓紧做做这个题，想一想。

这题前面要简单一些啊，后面要稍微难一点啊，别做错了，大家都把这题做一做。思考一下。好，这个题呢，直接看范围就行了，这个题思路看范围。看范围关系范围关系那么小，范围推大范围的条件，一是可以的，对吧？所以这道题的考考点就是小范围。然后推大范围。

条件不可以正确，答案就选a，你可以画个数轴看一下它的范围是吧，这个范围正好可以推出，它就OK了啊。好，再看第二题。第二题就想想选什么答案。比如一个再复杂的题化，简到最后都是类似于第二题的这种样子。对啊，不管出几何题，还是再难的一些题目，把它化简完都是第二题这种样子，然后看选什么？

看单独调完一看，看看这芯片。单独条件一。单条一肯定不行，因为单条一它超过了是吧？超出那个范围了，你画个数轴可以看出。条件二呢？条件好，有同学选了b选，条件成分那条件也不行吧，条件看它正好是负的根号二。到这个一。而题干呢，是负一倒一。

题干是负一倒一。你看到没条件让它超出来了，超出范围了，因为根号二注意根号二是一点四，所以在这里面大家别计算错了。好吧，别写错了。所以条件它也不行。然后联合呢，联合联合找交集知道吧，联合找交集，大家发现这联合完以后还是条条件二通过这个题告诉我们。如果两条件要是包含关系的话。就联合就不用联合了，为什么呢？

因为两条如果包含关系，知道什么叫包含关系吧？叫m小于二的范围。这包含了条件儿。这就是包含关系，包含关系就就不能联合，知道吧，所以两个条件，所以这道题答案就选e了。就两条件。要是矛盾。互斥。无交集。或者包含关系。他这种情况是不能联合的。

它这种情况是不能联合好吧，两条线矛盾互斥无交集，是和包含关系，这个是不能联合。两条线矛盾呢，互斥的，无交集的，包含关系，这是不能联合的。好，这样的好吧。所以这道题就是一个包含关系啊，别写错了。好，接下来咱们看一下。

第三题。想想选什么答案啊，看一下第三题。好，第三，这道题就选c了，对吧？因为单独条件一和条件二肯定是不可以的。联合是找两者的共同交集，联合就联立嘛，联立联立完后，它的交集交集正好就是跟这个一样。对吧，它交集就是m大于负一小于一，它的交集正好跟这个一样，

所以联想起来就选c选项。咱们看一下第四题。好，第四题想一想。DC是不是两条线都充分？好，因为两条线它范围都落在它这个里面。是吧，它都落在它范围里面，小范围推大范围的，它都是OK的。看还有没有什么疑问？对吧，它都是没问题的。好，

那这个做完以后咱们再看第五题。大家想第五题选什么答案啊？第五题。所以第五题条案一肯定是不可以的，对吧？条案一它超出了题干的范围。条件它也不不满足范围。两条件两条线差。它的交集没有交集是空集。咱们讲过，如果两条交集式空集，它也不能联合。所以没法联合。没二零啊，它只能选e了。

对吧，只能选ee都不行。好看，这个是不是懂了？对吧，然后咱们看下第六题。好，第六题看选什么答案？第六题。好，第六题都说说选什么答案？好，各位同学都想想啊。好，那第六题单独条一不行的原因知道是什么吗？

不行，原因它就是一个等号就m=- 1的时候。他这个推不出题，干他这个值是不满足题干的，知道吧？不满足题干，所以他这个不充分。好，单独条件二他这个也不行，单独条件二你知道在哪吗？就这这块儿就m=1的时候，他这个也也不行。就是等号这出问题了。好，接下来咱们看联合起来行不行？

零解决m大于负的二分之根号，二小于二分之根号，二。m大于负的二分之根，号小于二分之根，号这样。好，联合完以后，他最好能推出这个来，联合完最好能推出这个来，然后答案就选择什么就选择c选项。是吧，连上呢，因为连上这个范围正好落在这个范围内。然后这个时候呢，

它联合起来是成立的。是吧，就选择c。好看，还有没有什么疑问？嗯。好，接下来咱们看第七题。大家一起做一下第七题，想一想。啊对，所以这有同学发现了这几个题，它题干它都是一样的，就在换条件。是吧，

让大家训练他的方法。是吧，所以大家可以看到在这里面它的题干都一样，就换了条件，看大家会不会做。然后看看。是吧，这个题干数轴它都一样的是吧？好，接下来第七题来看选什么答案？第七题。第一，这个每个范围都在它范围内，是不是都在它范围内，只要这个都OK的。

你看它这个范围落在负一到一这个数轴区间内，这条件也落在它范围内。好就选d。下面来看第八题。好，第八题看选什么答案？第八题都想一想。第八题单独条件一肯定不可以是吧？单独条件1m大于0m大于零的数有很多。是吧，有很多这个肯定是不可以的。然后条件条件m小于零，这肯定也不行。m小于零，这个可能也不可以。

对不对？然后联合这也没法联合它交集是空集也没法联合对吧？然后呢？就选e。是吧，它有选e。这样的好，接下来咱们来看第九题这个题。这个题是m大于负一小于一。m大于负，一小于一，这是第九题，想一想。好这个题想想选什么答案？第五题那么条件一肯定不行不行，

原因是它这个等号，它m=- 1的时候是不可以的，条件条件它这个m=1。这个是不可以的。然后这时候选什么联合我们看有没有交集联合？注意第六题，两天的联合，它的共同部分啊。共同部分的话就只有一个值，就等于二分之一，知道吧，所以第九题两个条件是可以联合的，你看它只有。一个共同的值，因为它都有二分之一这一这个值。

所以二分之一这个值正好落在它范围内，落在它范围内，所以它是有充分的。假如这个联合是有的啊，就二分之一这一个点，所以有同学当时呢呃，看错了，知道吧？它是可以联合的。那接下来咱们看下第十题，这个题。看下第十十题，这个题。想一想选什么答案？好，

第11这道题肯定一肯定是不行的。是吧，一一他这有个负一。它是不可以的，条件上也不行，因为有个一这个也不行。然后联合联合它有交接吗？它是没有交集的，可能有同学没看清楚，你看这二分之一，这二分之一，但是什么左边这二分之一，它小于号。它是空心的，它没有等号，

它取不到二分之一，右边这二分之一它可以去等号，是啊，它这个交集是空集。对吧，空气空气没有交集，所以在这里面。所以就选择e选项，它交集是空集，它没有交集。这个信号是吧？这又是空集。就选择e好看，这个是不懂了啊。好，

那接下来咱们再换另外一种方式。那么，以上都是大于小于大于等于小于啊。小于等于啊，这些大家都基本都掌握了，接下来咱们再看这些情况。看这些题，大家别做错了。这m等于二三四五六。这二三四五六。二三四五六。代表是或知道吧，不是且啊或。它不是说m=2，且m=3，

它没法取它是或啊，就相当于m取值可以取二取三取四取五取六。是吧，就这样的。好，到底选什么答案？想一想。大家可以发现，也是看范围，它这个范围跟咱们前面范围大于小于范围不太一样，这道题又看取值的范围。起示范围，你看条件1 m=2或者三或者四，这样落在它范围内是吧？条件一它是可以的啊范围内。

条件不行，原因就是七超出范围了。那这个题干它没有七这个值。条件还有七这个值。那这样答案就选择a这样写好，这样答案选a就求出来了。好，这个写好了，看这个懂了没有？那接下来咱们看一下第12题。看第12题。对这些具体数值可能做起来比不等式要快，不等式有时候要画数轴，要看大于小于是吧？这个数值，

所以像咱们有的题目呢，直接可以算出数值来，比如题干，你算一下数值条件，算一下数值。这个数值比较呢，看起来要舒服一点。看起来呢呃，要简单一些是吧，然后第12题大家看看这个题。第12题呢，调一它多了一个一，这个肯定肯定不可以。条件二三四五六，跟它刚好一样，

刚好完全一样的话，记忆成分也必要是吧？就选b。既充分也必要，所以它这个跟它刚好完全一样。好，接下来咱们来看一下，看一下第13题这个题。再想想第13题，这个题。第13这道题你看看你选什么答案？好，第13这个题。啊，别差点选错了啊，

大家想一想，跟有同学差一点就选错了，要注意的。第13这个题二三四五六。二三四五六。调一调一，它不行的原因，这有个一是吧？这个一肯定不行。条件不行的原因呢？这有个七，这是。不行是吧，然后联合起来。连上他们的共同的交集，

共同交易都是四看到没共同交易都为四。所以这时候就选c了。这就选c就是四，这就选c。好，接下来咱们来看一下。看一下第14题。第14题。好，第十题应该选什么？第四题，它这条一肯定不可以不可以，你看这个一它操作范围了是不可以的。然后条件也不行。加上它的七超出这个范围了也不行。

对不对？它也是不可以。那接下来两个条件呢？它有没有共同的交集呀？它也没有交集。是吧，两条你看。它的交集是空集，没有交集。对，没有交集，那只能选择e选项。所以第15题，第14题就选e。好，

这是第14题，看这个大家懂了没有，它没有交集。接下来大家做一下第15题。好都想想第15题。第15题，它说三角形ABC。是等腰直角三角形。他说，让大家理解这个概念，等腰，直角，三角形。它代表是等腰且直角，还是等腰或直角？

要知道好吧，是等腰且直角还是等腰或直角要弄清楚？对他说且啊，这是隐含的且啊，隐含且，所以这里面它是等腰。a条件一他这个错了，这个货这个错了是吧？条件二既是又是就是且。是吧，且所以正确答案应该选择b选项。好，所以要弄清楚是且还是或。那接下来咱们呢？再看这五个题，

想想。好，第16题，大家想一想。第15题条件一。是m大于负三，小于一或者m。大于一，小于三，条件是负一，小于一，小于m，小于一。想想他的方法好吧，思考一下。

好看，这个懂了没有啊？想一想。好，那么你画一个数轴好吧，画一个数轴可以发现，如果条件一他有货的这种情况。必须是每一个范围都得落在它范围内才充分啊，知道吧，所以咱们在做一些复杂题的时候，比如说条案一解出来是什么范围或者什么范围？b是每一个范围都落到它里面，画一个数轴可以看到都在都在里面，所以题况一是成立的。条件m在负一到一带到也在这里头也成立。

这个答案就选d。好，接下来咱们看第17题这个题。看第17题。像第17题选什么答案啊？第17题。好，第十十七题，这个题思考了。你看条件，一条件三超出来这个范围了，你看负四这边儿超出来这个范围。肯定是不可以。可能是。不可以吗？

后面这个后面这个虽然在这范围也不行啊，注意它这个只要有一个。超出来了，只要有一点点的这个错误。就不行，知道吧，只要搓一点。就不可以。好吧，就在这里面啊。好，那条件上看呢？条件上它是行的，对吧？条件条件上它是行的，

条件上它在这个范围内，所以这个大家应该选择b选项。选择d，所以在这里面注意，只要有一个缺点。咱们经常说一个老鼠坏一锅汤嘛，就这个意意思对吧？就它有一点点它就坏了整个的。知道吧，所以重新重新判就是这样的啊，有一个缺点，这个坏了整个的。这样就不可以。好，接下来我们看一下第18题，

这个题像18题。18题呢，是m大于负三小于三这样。谁让他的方法18题。是吧，大家可以看到条件一他超了一点点，你记住。只要有一个缺点，它就不可以了。条件。m小于负一或者m大于一，它也也超过了也不行。也不行。这两条线会联合不？这两条件可能有同学不会联合是吧？

第18题这个联合你会吧？就是怕有同学不太会联合。一会儿是或一会儿是，且别弄晕了啊，两条联合是且，而每个里面又是或。是吧，所以大家一定要画好数轴就可以了，比如条件一，咱们用蓝色的来表示负四到零。零到四。好，这是条件一。啊，就负四到零。

零到四。条件二是m小于负一。我们用历史来表示。小于负一或者说大于一。好，它们的交集什么条形和条件的交集，交集就是找又有蓝色又有绿色的部分。好又有蓝色又有绿色的部分。啊蓝色绿色部分它都有，找它交集情况。然后这个交集懂了吧？好，这写好了，知道吧？它这是有交交集的。

好大家发现他的交集也超出了负三到三，这个范围是吧？所以第18题就选e。好，那接下来咱们看第19题。第19题选什么答案想想。第19题，大家一定要注意什么问题啊？这个正负一，这个正负。正负它，这个是一个或的关系啊，正负它的或知道吧，它这个或。就m=1或者m=- 1，

它是一个或的这个情况。懂了吧，所以说第十十九题一和二它都成立。这应该是d。它的货别弄错了。接下来看第二题。好的，思考下第20题这个题。第二题有同学选c，有同学选d。是吧，到底选什么想想？这个m不等于正负一，它代表什么意思？而不等于正负一，

它代表什么意思？想一想。是不是且呀？对吧，所以它这个表示是这样的含义。标识m不等于一，且m不等于负一。它比如这个且。啊m等m不等于一，且m不等于负一好，它这个且的问题。都要知道。啊，这是铁。所以为什么变成且知道吧，

大家以后学逻辑就知道了，或者说不学逻辑之前也也明白。比如说p或q。然后一飞。是吧p或q1飞。它代表是非p且非q。是吧，非p且非q这样写好。p后q还以非就非p，且非q就求出来了。是不是这样的？啊，所以说在这里面，因为前面这个m=m等于正负一代表什么代表m=1或者m=- 1。现在反面反面代表是m不等于一，

且m不等于负一。知道吧，这是起。企业化，所以这道题就选c。因为联合就代表，且嘛，联合就相当于是m不等于一，且m不等于负一，联合这样就写好了是吧？零号就求解出来了。所以在这里面，大家呢，就可以看出联合充分。这个答案选c。

所以最后这个题给大家踩坑了。对吧，大家容易容易掉到坑里头去，别写错了。而且要知道或它的反面变成且且的反面会变成或知道吧，这个都是都是大家要知道的基本常识。好，接下来咱们再给大家进行补一些代数的啊一些。基础的内容补贴代入基础，首先要给大家讲一个非常重要的抛物线。啊，抛物线这个大家要知道。抛物线，它的几个公式要把它背住。一个是开口方向。

还要注意a大于零开口向上。a消零开口向下。要知道它的这个开口方向。角a大于等于它的抛物线，开口是这样的。a七二零开口向下。第二个要知道它对称轴。对称轴谁来？背对轴是对称轴是多少？还有没有印象对称轴？他不管，开口向上，开口向下，他左右都对称的，只要对称轴，

我们就可以写出来，他对称轴正好就是。负的二a分之b。这个对称轴就是负的二a分之b。尤其一个特殊情况。当b=0的时候。当b为零零的时候。它关于y轴对称啊，首先有个特殊情况。b=0的时候。b=0的时候，它这个抛物线。变成y=ax^2加上c啊，所以b=0的时候它抛物线就y=ax^2再加上c。这时候，

他正好是关于y轴对称的。啊，这是它关于y轴对称画出图来，它y轴正好对称轴。然后第三个。第三个。第三个就是它的这个。y轴的交点。y的焦点其实就是。后面这个c后面这个c的值。就像s=0的时候y=c就叫c的值。知道吧，就s=0的时候。y正好就为c。就相当于是给他画一个图。

呃，这个焦点就c。第四个。啊，在这里有个特殊情况，给大家写一下。特殊情况c=0的时候。这里的时候，这个抛物线变成as方加上bx。就这个抛物线，如果要没有长向。或者说长长线上为零，它这个抛物线是过渡到原点的。过这个圆点的抛物线。它抛物线呢，

是过渡和原点，这个要知道。好，第四个。你要知道它跟x轴的交点。跟x轴交点其实就对应方程的根啊。对应方程的根。他l轴交点对应方程的根。好，大家想想什么时候跟x轴有交点，什么时候无交点？然后这时候方程有几个根还记得有个判别的公式，还有有印象不判别的公式啊，就德尔塔。可有有同学忘记了，

是不是？当然当然，等于什么呀？对德尔塔，德尔塔就是b方减四一c。啊，如果data要大一点。它大点，它是与x轴有两个交点。所以x轴有两个焦点，原来轴有两两个焦点，它方程是有两个根。两个不等的实根。是吧，两个不等式根。

有没有印象？然后当德尔塔等于零的时候。等到到等你的时候，想想是什么情况？它等离是与x轴是一个交点。一个焦点叫做相切啊。也叫做相切。它这个抛物线与x轴是相切的。就是它的顶点刚好在l轴上。知道吧，顶点刚好在x轴上。那这时候呢，它仍然是有两根，只不过两个相等实根。两相等时根。

好，如果delta要小于零小于零，它与x轴无交点。无交点，它是无实根。啊五五十根。无实根是什么情况呢？无实根是这样的。它要么都在x轴的上方，要么都在x轴的下方，它跟x轴呢，没有交点。知道吧，它跟x轴呢，没有焦点对应方式，

没有死根。呃，须根咱们考试不做研究啊？虚根就不做研究了。然后第五个。这个就是顶点坐标。顶点坐标。顶点坐标，大家想想顶点坐标，谁还记得抛物线它都有顶点嘛？对吧，都顶点想想。顶点横坐标正好是负的二一分之b。纵坐标正好四a分之四AC减b方。是吧，

四a分之四AC减b方。横坐标是对称轴，纵坐标正好四a分之四AC减b方。对吧，第六个就最值。就是这个时候要看开口方向。如果a大于零开口向上的时候，它有最小值。最小值有四a分之四AC减b方。他那个无最大值。好吧a小于零的时候。它有最大值。有这样值就四a分之四AC减b方。它无最小值。它没有最小值。

然后这叫最值的情况。好，这抛物线它主要掌握这六个就差不多了。知道吧，六个。你比如说他有时候让你求最大值，最小值。是吧，然后这时候呢，你要看它开口方向来进行分析和思考。比如说y=2 x方。减3 x+5，它最小值为为多少？啊，最小为多少可以让你求y=2 I2x方减三的加五，

它最小值到底为多少？好，这个大家可以看它这个有开口向上是吧？开口向上的一个抛物线。看向上抛物线，它它正好是有最小值，它没有最大值，它最大值是没有的。而且还可以问这个抛物线，他跟x轴有没有交点？是吧，跟x轴有没有交点？那要画图，到时候怎么画啊？这几个方法都要知道。

是吧，他开口向上。然后接下来我们看看一下它的最小值。大家套一下公式。就要治。最小值有四a分之四AC减b方就套这个公式就行了。大家想想。就4a，4a就相当于是八。4 AC就是40。减b方就减九。这样就是它最小值。这老师又写好了，对不对？另外，

大家还可以看这个抛物线，他开口向上的。开口向上，它在y轴交点正好是五。啊y的交点正好是五是吧？这个交点是五。它对称轴占了四分之三，所以画出来就这样的。这样的懂了吧，会画这个抛物线吗？开口方向看一看，然后跟y轴的交点看一看，然后大概再看一下对称轴。啊，基本上然后差不多了。

然后在这里面，大家可以发现这个抛物线，它正好是横正的。横横轴，你可以看它跟l轴是没有交点的。没见它横，它是横正的，横大一点的。为什么呢？跟x轴没交点呢，你可以看它判别是delta。看成多少多少，这样等于b方减4 AC。这样小于零，所以这个抛物线。

它跟x轴没有任何交点。d这抛物线跟x轴没有交点。但是它小于零嘛，是吧？所以这样呢，也有横横正的这个抛物线，如果跟x轴没有交点，它就会出现。横正的情况，如果开口向下，它要跟x轴没有交点就输线是横负的。好吧，这是给大家把这个抛物线的这个六个公式给大家进行分析了一下。好看是不懂了，还有没有什么疑问？

好了，那今天内容咱们就讲到这看大家还有没有什么疑问啊？今天咱们在讲重新判断题的同时讲了方程呀，不等式啊，还有这个抛物线呀，这个代数的东西也帮大家过了一下。好吧，然后这一块儿。啊，当它小于零是横负的啊啊，当它大于零的时候是当它大于零不是横负的，当它大于零的时候。他是这样的。啊，写在这吧。

当它大一点的时候，它的抛物线。是有两个根知道吧，有两个它不是横幅的啊，当它大点的时候，它与x轴有两个接交点啊，两个交点就是这样的。啊，等于零的图是这样图。等于零的图。他这样顶点在在这x轴上。知道吧，顶点在。x轴上。然后这是当它小林的图。

好，这当然大于零的图。在德尔塔等于零的图德尔塔小小于零的图。我们当然，我们画的都是开口向上的情况了是吧？开口向下对应去分析就可以了。好了，那这个看还有没有什么疑问？好，如果没有问题了，咱们今天就讲到这。好吧，各位同学好好加油啊。好，各位同学，

拜拜。啊，下次课见啊，好加油。

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03.数学分册考点篇-代数

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