03.第三章：经济增长02

罗泽兵 · 发表于 2024-4-11 08:18:27

好，咱们继续啊，上节课我们是把不含技术进步的所做的模型，咱看了一遍，下面呢，咱们呢，开始看啊。重这个难点，但是呢，没那么重点的，含技术进步的所有的模型，各位啊，如果你考好学校，那么含技术进步所有的模型。将是重点，

但对于大部分同学而言，你只需要搞定不含技术进步的就可以了啊。呃，咱先写出总的生产函数来，这个y。等于。a乘以。f kl.对吧，这是啊，生产是不是这是生产函数？好，如果说这个a。等于一个常数。注意啊a等于常数，

意味的是德尔塔a比a=0。a的变化率为零，那此时它就是不含技术进步的。咱最常见的是令a=1，也就是y=f kl，这是咱们最常见的。而只要a不是常数。换句话说，德尔塔a比a不等于零，那它就是包含技术进步的。我们基础课里面主要讲过劳动加强型技术进步。对吧好，那也是我们最常考的本节课，还会延伸一个全要素性的技术进步。别着急，

咱后面挨个来看啊。我们先看一下劳动加强型的。此时意味着是。y.等于。k的阿尔法次幂。al的一减阿尔法次幂这个a只作用于l上劳动加强型。咱基础课是什么呀？是把它看作什么？是引入效率工人，进而把含就进步的转化为不含就进步的。做了模型啊。这个呢？我我呢？带着你再推一下啊。

我们啊，同样的写出。但它大k。等于。s1大y。减去delta乘以大k。这是恒成立的，然后呢？等号两边同除以呢al。也就是。阿达克。al等于。小y1弯弯啊，带一弯弯的是效率工人的人力资本和效率工人的人力产出。减去德尔塔乘以小k10000y。

然后小k1弯弯等于的是。大k÷al呀，这个。哎呀，有点难受，你知道吧啊，因为这个啊，哎，这样这样就好了。然后此时有的是。德尔塔小k1弯弯，小k1弯弯等于。德尔塔k比大k减德尔塔a比大a减德尔塔l比大l。一般，但大a比大a是什么？

这是技术进步率是小g，一般是题干告诉你的。而这个呢，是人口增长率是小n。然后我呢，再换算一下德尔塔k1般弯等号，两边同乘以小k1般弯啊，也就是德尔塔大k。除以大k乘以大k，比上al也就是delta k÷al。减去。n加上小g乘以。小k1弯弯啊，然后把它再带过来啊，就是它等于的是德尔塔小小k1弯弯，

加上n加小g乘以这个小k1弯弯对吧？也就是。德拉萨克伊拉瓦。等于。s小y1般弯减去n+g加德尔塔，这小k1般弯啊，进而把含就近部首的模型换算为。不含就是进步了，不含就是进步的所有模型啊，通过引入算力工人啊，通过人口的增量。去抵去冲销掉啊，去冲销掉技术进步的增量啊，这句话能理解就理解，不能理解就算啊，

只要这个计算题会做就可以啊。好，同样的，此时存在一个稳态。它等于零，便是稳态啊，这个过程我呢就分析了效率工人这它的。效率工人的人均资本增长率，人均产出增长率以及工人的人均资本人均产出。以及总的资本和总的产出，它们的各自的这个增长率，我就不让你算了，再一个。效率工人的资本产出比。这个我也呃，

我呢也这个也不带你去推了啊，这个呢都是基础课里面重点去推的内容，你务必给我去呃就是。给我去搞定啊，那我们讲什么呢？我给你引入一个新思路啊。咱这里。在推导新古典增长基本方程时，我们呢，适应适应什么令它？都除以al换算为效率工人。我可不可以换种方式了？比如说我就只看工人的。当然也可以呀啊，当然也可以呀。

注意啊，我下面给你换种方式啊。有事给他打克。等于sk大y减去德尔塔大k，这个时候我不换算为效率工人，我还只看工人的啊。啊，各位啊，这个讲法基本上啊。就我在讲啊，别的老师一般都这么讲，我觉得呃，这个方法呢，是我当时在学罗默的高级宏观时。我学来的啊嗯，

就是你呢？如果说不理解这个就是可以不去，可以不去看啊啊，这种方法呢，能够拓拓宽你的思路啊。好，我还是只研究工人。一个工人啊。等号两边同除，以大l啊就不存在效率，工人就是。的大k。变大l。等于s乘以小y减去德尔塔乘以小k。然后你再去研究小k去。

总之，研究完之后。你会发现。人均资本积累方程还是。德尔塔小k。等于。x乘以小y。减去n+delta。乘以小k这个方程是不变的。但你注意，同学在不包含旧进步时小y。它怎么样？它等于的是。大y除以大l等于小k的阿尔法次幂，这时不含就进步时那如果。

是这个函数呢。小y等于的是。a的一减阿尔法次幂乘以小k的阿尔法次幂。对吧啊，这是它的人均资本增增长近方程。好，那我想告诉你什么呢？各位。那也也就意味着是德拉小k。等于。s乘以。a的一减alpha次幂小k的alpha次幂。减去n加德尔塔。腿小k。对吧好，

你来看啊，你来看。在这个里面。常数。常数，常数。对吧，变量啊，变量a。它的增长率。do ta aba.等于小ga一直在增长。好，因为a。再增长。

那么这个式子。总有一天。总有一天。小k或得到小k会大于零。进而使得。小k会变大。进而使得。小y会变大。对吧，这个式子。也许这一步你不太能去体会，你注意啊，只要这个a它是变大的。那么整体。都会是大于零的。

这个是毋庸置疑的，各位这里呢，如果不理解，你就先过啊，对吧？因为这个a一直在增长，所以呢？小k小y都是在增长的，换句话说，我们在研究效率，工人达到稳态时。小k和小y增长率都是小g，那如果在图里面是什么样呢？是它是这样画的。好，

你来看啊，你来看。首先n加德尔塔乘以小k。这是那条直线。然后初始时啊，初始时。y0的是它。所以s×y零就是这个sy是它。假设初始均衡是kn star。但你注意，同学由于a一直在变大，所以所以。s啊，所以这个s乘以它。是一直一直在变大的。

然后你注意啊，小y等于它也是一直一直这变大的，换句话说y和sy。都在提高，所以就表现为。就哪怕这个s不变。那么y零会从y0向上移动到y1。因为a在变大y 0=a的一个函数。好此时sy。一是它。此时就可以发现。这个资本从k star就涨到了k star，然后a继续变大，因为a一直在变大，这是前提。

啊，所以呢y0呃，这个y从y1到。y2。导致。从这个sy 1到sy 2。进而资本在变大，进而产出在提高，这是从公认的角度来看的。所以我说现在包含劳这个劳动加强型旧金部时，工人没有黄金绿，因为小k一直在变大。小y一直在变大，而小c也是在提高的，但是效益工人他是有黄金率，

懂我意思吧啊。好，这是这种维度啊。我希望呢，你能够去看一下。好而下面。这里我给你总结了一下，所有的技术进步啊，劳动加强型啊，这个呢不细讲了啊，刚才就就这个刚才呢，就已经是讲过了。然后当生产函数是它时a的a为常数是不含技术进步的，那如果生产函数。y等于。

a×k的阿尔法次幂l的阿尔法次幂，此时德尔塔a比a不等于零时。那这种情况下该如何去算呢？对啊。各位啊，劳动加强型的情况下，各种率的这个计算。是我默认你，你OK了已经啊，我这不讲了，而下面讲的是如果函数是这种形式的。该如何去计算啊？好，这个case two这一部分你想看就看。不看就算，

它就是刚才我这种思想的一个延伸，由于这是高级的宏观。所以呢，所以呢，这里我不做你严格要求，我下面给你讲另外一种思路。这个思路是，荣哥当年在考研时，我的一个研友啊，他当时考的是国发院啊，然后他的一个策略。好，我跟你讲。我俩就是啊，当时啊，

就是当时啊，有个题目什么呢？这个是。这个题目。这个题目是对外经贸的一个题目，然后呢？那个哥们儿用了那个方法做出来了，而我呢？我是用这个方法给搞出来的。啊，我是用这个case two搞出来的，但是呢，我觉得啊，他那个方法更对不对？更好一点，

更有利于你们一点啊，总之呢？这这个你想看你就看，不看也没关系，搞定我下面那个就可以，而下面我通过这个题目。来给你去讲一讲，在你在面对全要素型就进步时，注意啊y等于。AK的二次次l- 2次幂，这个时候这个a它称之为是全要素型的技术进步。懂我意思啊啊，好当事全要素型，你该如何去做？你来看一下国发院的，

就是当年考国发的哥们儿。它是怎么来的？我那个呢？我你不会也没关系啊，因为它毕竟超纲了已经，但是它这个哎不超纲啊。好，这个题目呢？你现在啊，暂停一下去，对吧？去去去做一做，我呢就不暂停了啊，我直接就跟你去讲了。好来看一下啊，

生产函数给你了。对吧，各种率都给你了。平衡增长就指的是稳态。啊罗在罗默的高红里面，稳态就是平衡的增长路径啊。然后求算力工人的资本收入，消费水平啊好。当啊，第一问啊，第一问。当实现平衡增长时，意味着是上位工人有德尔塔斯ke弯弯。等于。sy 1弯弯减去n+g。

加德尔塔就可以100万，而且呢，在平均在平均增长时，它为零。也也意味着是。s乘以小k一百二的二分之一次幂。等于。n加上小g加德尔塔也可以用来玩。此时。小k1弯弯star。为什么呢？等于啊s÷n+g加德尔塔。然后的平方啊，零点六除以点一啊，它等于是36。

而小y一弯弯等于小k一弯弯的二分之一次幂，所以呢，它是六。消费呢？好注意啊y=c+s，所以c呢等于y-s等于这个收入减储蓄。储蓄等于储蓄率乘以y，所以c呢c等于。一减小S就是一减储蓄率啊，这个cce YY啊乘以小ayy。小S是零点六就是零点四×6=2点四。然后人均收入，人均资本和社会的增长率啊，这个这个怎么做呢？达到稳态时，

意味着是。德尔塔小k1弯弯，别克一弯弯。等于零。而小ku MR等于的是大k÷al，而雷人资本小k。等于的是大k÷l，所以会有德尔塔小k比小k等于德尔塔小k100y2。就可以弯弯加上小g。对吧啊，加上加上这个小g，为什么自己算去啊？然后多少呢？少g是百是4%。而在稳态时。

注意啊，这里啊，我直接就给你，就给你说说这个这个什么了啊，这个这个这个结果了就啊。好小y呢，增长率也是4%，至于为啥基础课讲了啊，你回去给我听去啊。千万不要偷懒，那消费呢？消费你注意啊。c等于小c1弯弯除以。a啊，乘以a啊，

乘以a。它等于小c180×a，对吧？所以呢，它所以呢c的增长率也是小g啊。这三个都是4%总的呢n加小g都是5%啊。然后校育顾问的黄金经济水平，像收入，消费及及呃及其处于水平啊，这个呢，我想也不用多讲了，对吧？方法和不含旧金补的是一样。下列工人，他的被它资本的被产出啊，

这个mp k等于什么呢？注意啊，是单位工人的啊。单个工人的人均资本的被产出mp k=n+g加德尔塔等于这个百分之。几呢？等于等等于这个n是啊，等于1%啊，等于等于10%啊这个。n点一对吧？然后呢？你再去求相应的小k什么的啊？求完之后呢呃。k god啊ke慢慢高的什么呢？是25收入是五消费是是二点五。主机率是二分之一啊，

二分之一。对吧，二分之一啊。我我我希望你能看见啊，对吧？是吧啊。然后此时通过降低储蓄率，能够实现黄金率，因为之前是零点六啊，现在现在呢是零点五。好，下面这个第三问我们来看一下啊。如果是y等于这个y等于它时怎么办好你呢？这样办。y等于。

AK的二分之一次幂，二分之一次幂，而且。德尔塔a比a。等于4%啊，你呢？这样办啊。好把它写为是y=k的1%次幂。a方乘以l的。二分之一四米。可以吧，当然可以啊，然后我另。b=a^2。令b=a^2，

此时此时有。德尔塔b。BB=2倍的that aba。先求自然对数，然后对时间去去求导数多少呢？等于是8%。好所以此时。它就又转化为了。你最常见的。劳动家庭型。就进步且技术进步率。等于。8%，说白了，你要把全要素型的转化为你熟悉的。

劳动加强型，此时平等老师。人均收入和人均资本都是就近步率。8%。总的呢，加N9%啊，这个题目你务必给我给我去搞定啊啊，这个呢叫什么叫这个？啊叫换元啊换元。好，这个题目呢？你也可以用我那个方法去做一下啊，不过呢，不强求啊，不强求。

下面我们看一下。这几个题目啊？各位啊，这仨题目都很重要，希望你呢？每个题目都好好去去琢磨一下啊，每道题目。都是重点的，这个这个真题啊。好例题二。假设资本它的份额是30%。这什么意思，各位？阿尔法等于30%。产后增长率是3%，

各位这是总产出还是人均产出啊？i don't know.如果是人均的，就意味着是小g等于3%，如果是总的，就是n加小g等于3%。然后折旧率4%。资本产出比是二点五，你注意啊，这句话它公开的秘密是。达到稳态时，自k比y=2点五。虽然没说达到稳态时，但这是公开的秘密，对吧？

你你看不懂，那说明你对吧？你不入行啊？假设科普道拉斯的哎，由于不包含技术进步，所以3%指的是人口增长率。等于3%，因为如果是。人均的话。对吧，它不含就是进步啊。所以呢，只能是总的啊。然后目前已是稳态的状态啊，然后你可以写出它的生产函数来。

y=k的零点三次，幂l的零点七次幂。这是它的生产函数啊，第一问达到稳态时储蓄率该是多少？各位啊，这道题目有点脑筋急转弯啊，就看你对吧，你能否把这个弯儿给转过来啊？怎么做呢？好你你好稳态时。让你求出一律啊，稳态时。爱是歪。等于。n加上。

德尔塔。很小k对吧此时。小k比小y=s比上。恩加德尔塔。对吧，多少呢？等于二点五。所以小S=2点五×n加德尔塔n是3%，德尔塔4%就是二点五乘以。7%多少呢？百分之十七点五。这是第一问。好，第二问。稳态时让你求资本的边际产出，

各位啊。这种题目怎么求呢？我跟你说。债务经济增长中。问你资本的边际产出。它只有两种方法，一个是如果是有资本的黄金率。那黄金率是。mp k.等于。n+delta或n+g+delta。再一个。什么呢？就是资本的就什么这个mp k。乘以k比y。

等于阿尔法要素份额不变。就这两种方法，这里你也不用管它，是总的资总的，它是总资本的被产出还是单个资本的啊？这里的话呢，你不用细管啊，总之。对吧呃。就这两种考方法啊，这道题目显然是第二种，对吧？好lpk。乘以小k比小y。或者乘以。

大k比大y。等于阿尔法。你让分子分母同除以大n。不就意味着是。rpk.对吧rpk×2点五=0点3 rpk呢？等于零点三。除以二点五。多少呢？零点一二。这是这个题目。第三问。假设公共政策改变出蓄率，然后呢，达到了资本的黄金率水平，

然后问你黄金率时。ipk多少刚讲了的呗。爱加德尔塔吗？n4%呃不呃不n 3%delta 4%=0点零七。然后问你比较黄金绿时的mp k和初始时的jlp k，初始时零点一二黄金绿时零点零七。显然mp k降低了，为啥呀？因为边际报酬递减，由于k增多了。所以fp k降低了，那怎么样去让KO呢？由于储蓄率。提高了，所以k提高了，

所以fp k降低了啊，这个过程你得给我就是明白啊。然后问你黄金率时资本产出比率将要多少？好同学。这个式子。你注意啊。这个式子。它是恒成立的。各位啊，这个式子它是恒成立的，不管你这个你你这你你是不黄金绿啊，这个式子恒成立。好，第四问fp k出来了，就是零点零七。

乘以k比y等于阿尔法，阿尔法是零点三。所以稳态时的k比y。就等于零点三÷0点零七多少呢？四点二九。这个东西啊，你可反正考试时不让用计算器，你自己呢得得得会算啊。好，第五问黄金历史普及率多少啊？虽然你知道是阿尔法零点三，但是你呢？去算一下怎么算呢？三，根据。

k比y=s比上n加德塔。知道s=k比y乘以埃德塔就是四点二九×0点零七。对吧，等于的是零点三。这个就是。这个这五问的一个做法啊，反正啊，每一问它背后呢，这个小逻辑你自己得搞定啊。所以呢，为了实现黄金率，必须呢让啊使储蓄率从百分之七点五涨到30%啊。好，这是这个题目。我们下面看一下例题，

二例题二呢，这个难度啊，削微削微的有点大。好，首先各位啊。经济增长中，你看到这个角标是有有t呀t+1呀，你只需要知道t。t+1期是在t之后的第一期就可以了啊，就是它刚好是TT之后的第一期啊。然后你把t全部略掉，就可以生成函数y等于。k的西塔次幂。乘以括号里。一减UN乘以l的一点四b。

这完了啊，好，你看啊，我们说啊l是人口数量，但是一个国家中并不是所有人。都会去工作。并不是所有人都有一个人力资本，你这工人有啊，因此呢，他这里呢呃。它让这个UN呢？UN是自然失业率。一减UN不就是自然就业率吗？他是说啊，就是他考虑了失业的情况。

嗨，你不你不也没考虑劳动年龄人口吗？对吧？这个题目呢？比之前就说啊，它只是多考虑了一个。失业的情况，然后啊，咱们看一下这个这个题目，这个题目你首先看出来。它什么？它是不含技术进步的。只不过他多考了一个失业。好，既然你是不含就进步的，

所以人均资本小k它恒等于的是。大k÷l那什么呢？等于。一见尤恩的。意见是条私密。乘以小k的。谢老师，你小y。哦，不是各位啊呃，尴尬了啊。我这个突然一下脑子给短路了啊，你看啊，连问的是稳态时的人均产量，人均资本对吧？

你看啊。讲课呢，这个得吃饭啊，没吃饭呢还你知道吧好？那么，看一下稳态势，稳看由于是不含旧进步的，所以叫稳态势一定有。都是它小k。等于。sy减去。n加德尔塔乘以小k=0哎呀，同学说老师题干中没有s没有n加德尔塔。同学，这都是公开的秘密，

对吧？你总是问这个外行的语言，说白了同学。人家出题老师都是大佬，谁给你整天怼字母啊？你看不出来吗？这都看不出来，还想跑这读研。那搞笑了他吧啊。好，你要自己敢去舍敢去舍老师呢，都能看懂啊。当然了啊，你不要自己玩一套语言啊，你你如果自己创那个对吧？

别人看不懂对吧？你既然自己能创语言。那干脆你自己办大学得了，你自己办个对吧？这个研究生院你自己能当你你你自己既当校长。又是院长还是辅导员还是导师还是学生，对吧？还是都对吧？多好这事啊，呵呵，刚刚啊，我这个开个玩笑啊。好，我现在使用它，你注意啊，

只不过此时小y。它等于大y比大l，它的什么？它等于的是一减UN的。一减c大次幂乘以小k的最大次幂。对吧，所以你就有。s乘以。一减UN的。这是b。size me等于。n加上德尔塔乘以小k。这可以可以这么求出来。小k star。等什么呢？

等于的是。这个呢，你课下就自己求了啊，这里我就直接给你写这个，这个结果就是。一，减UN。乘以s比上。人家都是他。他的一点c他。你的意思密。这是稳态时的人力资本，而r减数呢？把它带到这个里面来。小y star就等于。

一，减UN。乘以s比上n加上德ta一减theta分之theta，这个呢，都是我课下给你这个去算过的。所以你呢，也不用去较真啊，这个就是你呢，可以可以去算一算啊，都是都是这个数，都是都是对的好，下面第二问这是这是第一问。第二问，当政府运用某种措施降低油温时啊，比如之前。

是右翼。然后目前呢，成u2了。且u1。大于u2。然后问你会对当期和稳态的稳定产出有啥影响，对哪个影响更大？各位，这个怎么做呢？啊好，你注意啊，注意你这样做。UN的降低是瞬间就降低了，有点像我们那个那个小S瞬间变化。但是小k。

是需要缓慢变化的，小y也是需要缓慢变化的。换句话说啊，在你变化之前。kk 1它呢，等于的是。一减去右一。诚意。s除以n加德尔塔一减theta分之theta，这是你在变化的时候就说白了，这个是当期。当期小k的量，小k的当期是没变的，但你注意啊，注意小y。

小y1它等于多少？小y等于它。此时u已经从u一降为u二，它就是一减u二。的零点四米乘以小k1的。四点四米，懂我意思啊好，然后呢你呢算一下。它它就什么呢？它它又是它等于一减去u二的。一年四到20米。乘以。一减u一的最大实例。乘以s比上。integer ta的theta比上insights密。

这是当期时y的水平。那那如果达到新的稳态呢？打r的基础赛时，小k是k2，它等于的是。一减u二乘以。s比上n+delta。sita÷insights d。然后呢y2呢？y2。它等于的是。一减u二。乘以s比上认证它。theta比上一个theta，这是达到先稳态时对应的产出。

好，这种情况，这两种情况，你务必要有，对吧？给我去搞定啊，就那个。失业率瞬间会降低，但是小k小y它需要缓慢的小变化，然后问你。对当期的和稳态的就出来了，问你对哪个影响更大？你呢？去看一下啊，去看一下。

这个y1。它它。和他。进行去比较大小啊，你要去比较大小同学。那怎么比较呢？你你你是不是又有点蒙圈啊，各位？嗯，你是不是又有点蒙圈啊？你看啊，你看。y1和y2你不妨做一个比啊，对吧？你不妨做一个比。

你让y2。除以y1。这不就是什么呢？这不就这不就是。这个。一键曲。u二比上一减u一的sets密码。对吧，好由于。右一。大于u2。因为它是绕失业率的降低了呀。对不对？所以。一减u二。

大于一减右一。所所以这是一个什么同学，一个大于一的数，它的一个次幂。你不妨说啊，对吧？你如果这个实在不好比，既然说一点u2。减比比单减u1是大于一的另起为二。然后令令西塔为为二分之一就根二嘛，大于一的嘛。对吧，特殊值法呀。所以。y2大于y1。

好再一个你看啊，由于失业率的降低，会导致y2和k2都变大。就是会导致稳态时的这个资本和和和这个产出都变大，所以呢，所以一定是在达到新的态时。它的影响会更大。这个答案。你可以直接删掉啊，以我讲的为准。以课堂讲解为准，懂我意思啊。好这个呢，是这个题呃，是这个题目啊。

其实呢，也不难啊，只要呢，你能够对吧，灵活一下就OK了。这仨题目课下好好的给我去整理一下啊，说实话还是还是挺重要的。而这里有四个关键的结论哎，你看一下啊。这每个结论，它对应的这个模型和这个和内容，你呢，也去注意一下第一个。呃。这是啥，

各位？这是不含就近部的。而且这是总产量增长率，是发生的什么呢？就说是人口增长率，小n小n是。是题干告诉你的，它是外生的啊，不是模型所决定的。然后第二个这是什么呀？不含就近部时储蓄率变化，只有水平效应而无增长效应。它让你从一个稳态到另一个稳态。如果允许生产力增长，说白了，

如果。如果多少a比a不等于零，说白了，存在就是进步，那此时。增长率啊，也是被称的，这什么意思呢？就是说啊呃，总产增长率是n加小g。而人均的是小g，这都是外生的啊。而这个趋同。注意啊，这四个啊，

这四个。都是关于索洛模型的。好对于不包含技术进步步的模型，如果两国小ns和德尔塔什么的都一样。那么，两国最终将是一样的稳态。而且越远离问态的经济增长率会越大。懂我意思啊，就是增长率，它的绝对值会越大啊，而越靠近稳态的它它它的这个增长率的这个这个绝对值会越小。对，但是。对于不含旧金属模型而言，两国的小ns和德尔塔可能不一样。

那他们有可能会走向各自的这个稳态啊，好，如果两国各种系数都一样。它们的不太一样，此时称之为是绝对趋同，如果两国它的这个它的系数它都都不一样。各自走向各自的稳态，我们说是吧？这叫什么？这叫有条件的趋同或条件趋同。这里的几个结论哎，你自己课下务必自己推一下啊，这里呢，我就不去细讲了。啊，

都是基础课里面重点讲的内容。

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