02.第三章：经济增长01

罗泽兵 · 发表于 2024-4-11 07:53:45

好，各位同学，我们来讲经济增长啊，哎，对吧？怎么到经济增长了呢？不应该是收入支出模型吗？好各位啊，我们先把最没有争论内容先讲完。经济增长是宏观里面最没有争议的内容啊，也是重点，而且各位也很容易忽视的内容啊。好看一下啊，宏观中经济增长哦，对了，

本章的前提是超长期。超长期下。价格是可以灵活调整的。储蓄是可以灵活，是可以完美的转化为投资各位。这句话什么意思呢？产品市场一定均衡I=s，对吧？呃，以及y呢？则主要是由什么生产能力决定技术水平。资本存量和劳动力数量来决定。黄金学中净增长通常定义为是产量增加，产量用y来表示总产量是大y。而人均呢，

是小y人均量恒等于总的量除以劳务数量。小y恒等于大y除以大n或大y除以大l。呃。注意啊，本章主要讨论的是人均产数增加。我们啊，在本章之外的基本看的都是大y的变化，而本章主要是人均消费。小y的变化。而净增长率，各位啊，经济增长，它是一个超长期的范畴。一年一年一年一年的变化好，那么因此它就有一个增长率。

比如说大y增长率。它是什么呢？零时期。一时期。20起。对吧好。产出是一个存量啊，不是一个流量啊，是一个流量。比如说这一段是。y2指的是第二期里面y的这个，这个产量这段呢？是第一期。是y1指的是第一期的一个产量。那怎么样求变化量呢？

我们用y2。减y1÷y一就是第二期y的一个增长率啊。啊外的一个就是这第二期外的一个增长率啊，等于。德尔塔y。除以外。好呃，那。各位啊，我们这里a。k NY大的啊，大写的，这都是时间的变量。那只要它是时间的变量，就都能求变化率怎么求呢？

比如说大y。先对其求，自然对数。然后再让自然对数。对小t求一个导数就是y分之一。dy啊。或y分之德尔塔y，这就是求变化率啊，先对齐求自然对数，然后再对齐呃。然后再对时间去诱导啊。你在啊，你在新闻里面看到的产出增长率一般是一国实际产出增长率是大y。而本章啊，本章我们更多讨论的是小y的人均增长率，

就德尔塔小y。比小y。因为人均的它最能体现你的经济效率啊。好而下面我我们看一下经济增长模型。呃，增长模型如果是60年代之前，主要是索洛模型。八零年代及以后，随着技术的进步，而主要是内生增长模型。各位啊，这个其实你当做常识来了解即可，考试一般在这里不会给你，不会难为你啊。一般这里不会难为你，

只要你会做题即可。而关于本章，一定是先讲增长核算，然后再讲增长模型。啊，增长模型对吧？那它们什么区别呢？增长核算指的是到了一年年末，哎，我看一下今年增长率大y增长率5%，我来看一下。这5%是由哪些因素来导致的？来看一下增长率的内因是啥？而增长模型呢，看的是过去一段时间，

这这些年里面小y怎么变化？大y怎么变化？这是增长模型，它是很不一样的啊，一个是从核算角度，一个是从增长的过程角度。好注意啊，这我们强化课里面，我再带着你详细的推一下啊，带着你想要这个去推一下。资产核算的目的找到增长的源泉。而生物源泉呢，就来自于生产要素的增加和技术进步啊，这里我再带着你来推一下啊。首先y等于。

a乘以。f kl，这是一个大的生产函数，把一国当做一个大工厂，投入资本投入。投入劳动力，投入技术和得到什么这个产出，然后我对其求权威分。的大y。等于。lpk×delta k。既然mpl=data l。加mpa乘以德尔塔a。mpa不就是。f.

退艾尔玛。然后等号两边同时除以大y。也就是。得到大y比大y。等于lpk乘以德尔塔k。除以外。加mpl乘以德尔塔l除以外加上。它和它给约掉了，加上。delta. a.除以a。而下面我再做一步操作。这里分子上。乘以大k。闭上歪。

乘以k分之。delta k它是不变的加上。同样的mpl。乘以l比上y，乘以delta l比上l，加上delta a。b选a好，我们假设都是竞争市场，此时对于任意一个要素它。它的实际工资都等于其边际产出，换句话说mp k就是一单位资本的。边际产出就是一单位资本的实际工资，而乘以大k呢就是所有资本的。实际工资说白了就是资本所得注意啊mp k。乘以大k，

这是什么？它就是。资本所得。而这个呢，就是资本所得占总收入的比重啊，此时我们一般是。是一个常数是阿尔法。这个呢，注意啊mpl啊。mpl是公认的实际工资乘以l是全部公认的实际工资，所以mpl×l就是劳动所得。劳动所得比上大y呢，就是劳动所得占收入的百分比，一般呢是一减阿尔法。所以呢，

注意啊，为什么是它呢？你自己可以套入。y等于。a×k的阿尔法l1减阿尔法来考虑通过科目造价增长函数去看一下啊。你这里你也不用给我较真啊，一般都这样的。好，所以可以写成德尔塔y比y等于阿尔法乘以德尔塔k比k，加上一减阿尔法乘以德尔塔l比l。加上它的aba，注意啊，这个函数一般也是规模报酬不变的啊。这里啊，你不用较真啊，

各位你你不用较真啊，这叫默认啊，这叫公开的秘密，对吧？这就你的经济学素养，你较真反而显得你对吧？外行。好，所以呢，产后增长等于劳动份额乘以劳动增长这个一减阿尔法乘以它。加资本份额乘以资本市场就是这个l乘以呃，这个就就就这个阿尔法乘以它加上这个这个呃，技术进步率啊。这里呢，就是增长合成方程。

首先呢啊，劳动它的贡献，注意啊，劳动这样的贡献等于的是。劳动本身贡献乘以它的一个份额，而一减阿尔法和阿尔法都是大于零小于一的。而资本增长取决于它本身增长以及它的份额，所以呢，所以要素的增长都对于大y而言。都是有一个，这个都是有一个，这个减弱的都是什么呀？要乘以一个小于一的数的。但是技术进步却是技术进步，增长多少大y就增长多少，

此时此刻。此时，我们把大a。注意啊，大a既可以叫做技术进步。也呢啊，称之为是全要素生产率。注意啊，全要素生产率。因为这个a既作用于k，也作用于l，比如说某项制度进步。既让资本得利，也让劳动力得利啊。而德尔塔aba呢，

就是全要素生产率的增长率，你在某些红头文件里面。能看到这个词儿，知道什么意思就可以了。好，这里呢，有一个解释，什么是全要素生产率啊？我们后面还会讲劳动加强型技术进步，在那里那个技术进步仅作用于劳动这一个要素，而不是全要素。至于人均的产出，小y等于大y除以大n，小k等于大k除以大n，以及怎么样求增长率？

先求自然对数，然后再对自然的对数，对时对时间求导数就可以了。而下一个一道非常重要的明解什么呢？索洛剩余啊。它指的是啊，它的是在经济增长率中不能够被要素增长所引起呃，就不能够被要素增长。所解释的那部分增长率啊。德尔塔y比大y等于阿尔法乘以大德尔塔k比大k。加上一减阿尔法乘以delta l比大l+delta a比大a。好，这是产生增长率，而这两个呢，是由于要素增长所带增长率。

那有哪些是不能够被要素的呢？所所解释的呢？就是得到a比a。它等于在它大y。比大y。减r的大k大k- 1减阿尔法。乘以delta l，比以大l，这就是什么？就是所得剩余它的是产生增长率中不能够被要素增长所解释的部分。所剩余有时候也称之为是全要素生产率的增长率啊，既包括技术进步，也包括一些比如像。制度的改革呀，这个东西啊，

也算作是这个呃，这个这个所剩余啊，而下面例题一啊。你呢？这个时候暂停一下，自己做一下，我呢就不暂停了啊，我直接就讲了啊。假设生产函数是阿尔法等于零点三的科布道格拉斯生产函数。哎呀，这个时候你又蒙了，老师怎么写呀啊？各位啊，有些东西就是公开的秘密，对吧啊？

你就写大y=a×k的零点三。l的零点七啊，一定是规模报酬不变的啊。第一，问劳动和资本所得收占收的比例。mp k.乘以k比上y就是资本所得占收入的比重。mpl×l÷y就是劳务所得占收入的比重。怎么求怎么求呢？它等于的是。零点三×a注意啊fp k就是大yzk，求一个导数啊。k的负零点七l的零点七×k除以大y就是a×k的。零点三l的。零点七等于呢？

等于的是零点三。对吧，而劳混呢？劳动所得它方法一样的设零点七啊。这个呢？我下面都给你都都给你去去解去解了啊，这个呢，我就不去讲了啊。资本所得，合同所得，它的一个比例呢？是三比七啊。好而下面说的是，假设移民让l增加了10%，未增产出则变化。

资本的租赁价格所变化，实际工资所变化，各位资本的租赁价格是啥呀？就是mp k。r11r11公司呢，就是mpl。为什么呢？因为mp k=r比pmpl=w比p。我们假设的是完全竞争市场。好，我们呢，可以写出经济增长核算方程。大调大y。比大y。的大y比大y什么呢？

等于的是。data a.BA.加零点三×delta k比k。加零点七乘以带上l。BL.这是增长核算方程，对吧？而这个题问的是。资本的租赁价格和变化，各位这是啥呀？不就是。德尔塔mp k÷mp k嘛。是吧，各位嗯。

而mpl呢？而这个呃实习工资呢？不就是。delta mpl÷mpl嘛。这就是什么？这就是它们的一个变化率。对吧，那怎么求呢？各位。很简单，你分别写出mp k和mpl来，然后啊，然后。先求自然对数，然后呢，

再让其对时间求一个，这个导数就完了啊。mp k.啊，这个y。等于。a×k的。零点三四米l呢？零点七四米。cmp k.等于。零点三。AK的负零点七l的零点七。对这个式子先求自然对数，然后再让其对时间指导数。

可以求可以求出来什么呢？德尔塔。mp k÷mp k注意啊，零点三求完之后就就没了啊，它等于的是。delta a比上a- 0点7 delta k。bk.加零点七delta l比上l同样的这个实际工资delta mpl呢？它等于的是。德尔塔a比a。加上零点三×delta k。bk.减零点三。调成l变成l。这是啊，

这是实习工，这是呃，这个资本的租赁价格如何变化，以及实习工资怎么变化这个呢？你课下好好去求一下啊。先求mpkmpl，然后分别让其对先就是分别分别对其求自然对数，然后再分别对时间。去求导就可以了。好，那我们看一下啊，第二位。假设移民让劳动力增长了10%，所以啊。都说大y比大y。

这个这个式子。认为它大于比大于y呢等于。零点七乘以10%是7%。资本资本价格。再代入这这个式子。多两个PK。闭上mp k。多少呢？等于的是7%。r11工资呢？代入的是这个式子，是降低了负的3%。各位，为什么呀？好劳动力增多，

意味的是单位资本可以匹配到更多的。这个l此时一般我们认为。资本的被产出会增多，所以租赁价格会增多，而对于劳动力而言。由于劳动力多了，单个劳动力它分到的资本量降低了，所以呢？所以由于呢，它资本量的降低，进而呢，导致呢，它的被产出会降低，所以呢，谁产出，

所以呢，谁所以呢，谁工资会降低。第三问和第四问采取一样方法，你带带数就可以了，答案呢？后面都有啊，这里呢，我就不去细讲了。这里呢，我就不去细讲了。而下一个新古典增长模型啊，这里呢，要分成不包含技术进一步的和包含技术进一步的。我们本节课先看一下，

不包含技术进一步的先去回顾一下啊。首先我们用的是科布道拉斯分长函数，而且一定是规模报酬不变的啊。就是y等于。a×k的阿尔法l一点阿尔法，这是最常见的生产函数，也是啊，主要是本章最常见的生产函数啊。它特征边际收益递减呀，要素份额不变呀，是不是基础阶段里面重点都讲了？这里我就不讲了，而下面我来带着你推导一下新古典模型什么呢？叫做新古典增长。基本方程注意啊，

刚才那个叫增长核算方程，这个呢叫新工业增长。基本方程。为啥带你推呢？我说了在考场上，如果你实在不知所措，这种计算题。你就给我去推新规则的近近方程，往往会柳暗花明啊。首先我们一个是小y。好注意啊，而且我们认为就是咱先讨论技术无进步的，换句话说a。等于常数。注意啊，

无技术进步意味着是a为常数。此时，德尔塔aba=0。懂我意思啊啊，既然常数最简单的假设a为一，所以y=k的阿尔法。l的一减阿尔法。而小y等于什么呢？等于大y除以大l。等于。小k的f次幂，所以呢，要想研究小y，必要先研究小k。于是我们就开始推了啊。

要想有小k从大k出发，这一年大k是一个存量。这一年中，大k的变化，这是大k。等于一年中新增的资本。注意啊，资本就是储蓄等于储蓄率。乘以大y减去这一年中它的一个折旧，折旧率小，这个德尔塔乘以大k。好，这是恒成立的，然后再大k垂大垂大n。等于或呢？

这个大l啊，都可以啊，注意啊，大n大l都是人口的数的意思啊。回答l等于的是储蓄率乘以小y减去折，旧率乘以小k。然后我们再换一个这个角度，小k等于。大k除以大l。所以呢，有的是。等它下去，除以下去。等于把它打开，除以打开。

这个l除以除以大l人口增长率为小n是已知的。然后等号两边同为小k，就是得到小k等于注意啊，得到大k比大k乘以小k小k呢？是大k除，以大n也就是大大k除，以大n。等于的大k除以大n-n乘以小k，你呢？一个项也就是。德拉大k比大n等于德拉小k+n乘以小k，把这个再带到这个里面来。哎呀，这个时候呢，我一般就啊，

这个是l啊l。对吧，把它带到这来。也就是德拉小k+n乘以小k。等于SN小y减去德尔塔，乘以小k。也就意味着是。德尔塔小k=sy-n加德尔塔乘以小k。这就是人均资本积累方程啊。人均资本。精品方程啊。然后得到小k等于小y呢，小k的阿尔法次幂。减去n加上德尔塔。乘以小k啊好，

这个时候我们呢来画画图。首先y=k的二，这个阿尔法次幂。这个是y=k的二次幂。s乘以它s储蓄率大于零小于一的，这个是sy。而I尼德纳乘以k呢？这这就是什么？它是直线啊。是这样的。好，对于这一部分而言。去死吧。对于k star。左侧而言。

有的是。20万。大于n+delta×k。此时此时delta k。大于零。小k是。增多的啊，是往这边走的。k star右侧。是啊，注意啊，这部分而言。是sy。小鱼。恩加德塔。

乘以k此时带来k是。小于0k是较低的。这样走的。而k star时意味着是sy等于。你在哪里k？此时意味着是wk=0 k是不变的。对吧，所以我们说case大是一个稳态点啊，此时。此时sy。或s乘以。k的二次幂等于n+delta。乘以小k。好，这个时候我们可以求出来，

稳态时它对应的一个资本存量和产后数量。k star.在干什么呢？等于的是。20，除以。恩加德尔塔。一减阿尔法分之一而对应的y star呢，等于k star的阿尔法次幂。等于s除以。你要逗他。阿尔法比上一减，阿尔法也就是这个y star。啊，这是增长的过程啊。

好该模型认为，经济最终都将走向稳态，分别是k star和y star。我们基础课上还带着你详细求过它的一些个变数，再比如说这个增长率呀。比如说资本产收比呀，是吧？这个东西我在这儿就不细讲了，这个东西一样可以考大题。这里呢，你自己给我推一下人均增长率啊，资本的产出的总变化，总的增长率是是什么以及啊以及？资本产出比是啥？这个呢，

你自己算一下啊。好，那如果储蓄率增多呢？注意啊，储蓄率的变化是瞬间就完成的啊，是瞬间完成的。比如说当s增多时，此时。sy是是，这条线。此时，稳态时的资本存量就增大了。比如到的是k。double死的此此时对什么这个这个产出就是y double死的。好，

这个是当属于力增多时，但你注意啊，注意s的变化只能够带来稳态水平的变化。最终还是稳态，而无法带来长期的经济增长啊，这是一个结论啊。好，这个东西你自己务必务必要会推啊哦，对了对了。好，我们呢说啊，你y越你s越大，注意啊s越大。此时y是越大的，那是否意味着x越大民众的福利就越大呢？

no讨论民众的福利是吧？这是资本的黄金率啊s越大，消费会越少。好，那怎么样？求资本黄金率呢？资本黄金率能考计算，能考明解它这个是。人均消费最高时注意啊，在达到稳态之后，或者说啊，在人均消费最多的稳态下。对应的资本存量。它的前提是稳态。而且要让消费最大。

好消费。消费c=y-sy。对吧啊，减去储蓄注意啊，咱这里不讨论政府，所以没有所以没有呢，这个大g而在稳态时sy。等于n加德拉k换句话说。c=k的阿尔法次幂减去n加德尔塔乘以小k，为啥这里你没法用sf呢？因为y是未知的s也未知。而我们这里将其都化为小k的函数，注意啊，eig data则则是已知的懂我意思啊啊，所以呢，

这个式子一定要化成它才可以啊。然后让小c对k求导数。等于。r=k的alpha- 1。减去n加德尔塔等于零。首k等于什么呢？等于。恩加德塔。除以阿尔法的。一分之一。这就是k god。人均消费达到最多时，换句话说，资本黄金历史对应的资本存量。就是它啊，

就是它。好，这个时候你再求一下小y啊，小y就对吧，就说这个就这个就这个y god啊，然后。你呢呃。再去求一下呢，就是再根据k比y来去求这个，就是再根据sy等于。应该是乘以k。进而k比y等于。n+delta÷s。咱已经把k和y都求出来了，再求这个s多少呢？

注意啊，黄金率是对应的储蓄率。就等于阿尔法。这些个结论啊，考试是这个都让你求的啊。好，这个是求资本的黄金率啊。而下面对吧，这些内注意啊，这里这个小d啊，小d就是折旧率的意思啊。不同教材符号不一样，我记得多恩布什就是小d啊。这个具体我就是这，这个具体我也忘了啊，

总之呢，你知道什么意思就可以啊，不要总是去计较它字母的符号含义啊。考试时老师比你懂得多啊。好，而这个是当处理列更多时。注意啊，储蓄率增多时。是瞬间从稳态变为了非稳态，此时对它小y此时啊此时小y。开始增加，而直到k double star时，小y才停止增加，因为它又实现了一个。新的稳态。

而过程中。小y它是这样变化的。越靠近稳态。它的变化率或这个斜率是越小的。而这个斜率就是。这它y比y是吧？就这个变化率啊，越靠近稳态变化率是越缩小的。而大y增长率大，它大y比大y。等于带上小y比小y加小n，由于它越靠近稳态，它越小，所以呢，大增长率是是这句话的。

这一件没有啊。这件没有。对，注意啊，在t型时刻已经s变化了，所以t型时刻是非常远离。新稳态的，而t1时刻会达到一个达到一个新稳态啊，而最终大y增长率还是小n。黄金法则这个呢，会求会写明解就可以了。好，这里你注意啊，你注意。不存在技术进步时，

工人是有黄金率的，如果是劳动加强型技术进步。效率工人是有黄金率的。懂我意思啊，但是只要是有技术进步，工人都没有黄金绿，因为你注意。小y在一直增加在。劳动加庭时。但它小y比小y。注意啊，劳动加强型时得到小k比小k等于小g。但是它小y比小y也是小g，小y一直增大S是不变的，你告诉我一减s乘以y。

这个小c不就是一减x乘以y吗？所以小c它负能率也是小d。此时工人是无黄金绿的，但是效率贵是有的，注意啊，我们把这种情况。在高级宏观中叫平衡增长路径。注意啊，在罗默的书里面，它叫做平衡增长路径，懂我意思啊。所以呢，工人是无所以呢，只要有技术进步，工人都不存在黄金绿啊。

而如果是全额塑形，则不管是人均的还是效力工人的，都不存在。资本的黄金率。啊，注意下面向黄金率过度啊。注意啊，我们呢，是通过改变储蓄率来进行的，而且是瞬间就去改变储蓄率。呃，这个图。比如说啊，如果说初始资本存量。大于了k god怎么办呢？

那你就降低储蓄率，如果你除了资本存量小于k god。那你就增加出去率，比如说第一个，比如说。case one啊，如果字符串大于了，我们要降低数据率。注意啊，储蓄率变化是瞬间就改变的啊。小y。等于小k的阿尔法次幂。投资恒等于储蓄，它等于小S乘以小y。消费等于y，

减I=1。减小S乘以小y。好，你注意啊，注意t0时刻储蓄率瞬间就降低了，所以注意啊，这时候小y是不变的，因为小y变化需要小k变化来引导它，需要慢慢的改变。懂我意思吧，好由于啊你瞬间降低了储蓄率。所以小I瞬间就降低了，因为小S=ry没变。而一点s提高了，所以小c增多了。

而随着后面时间的进行，由于储蓄降低，导致人均资本小k。降低进而小y，降低进而小y是这条线。而随着小y的降低，小c这个一减s不变了，小y降低，所以呢，是这样的。而s变了小白奖励呢，所以投资是这样的。但是最终达到新稳态时，小c是要大于初始消费的，因为你是走向了黄金绿消费，

是消消费是最大的。同样的，如果初始稳态小于还清率，你要调出去率。储蓄率瞬间就提高了。所以呢，所以小I瞬间就提高了，小c瞬间就降低了，而且在后面随着小k的。是由于s的提高，导致小k逐步提高，所以小y逐步提高。所以小c的小I都提高，而最终小c的它它的而达到新平台时，小c的幅度是要高于初始的，

这个c的因为呢，你是走向的是黄金率。懂我意思啊，好这个图呢，你务必要给我去搞定一下。而至于人口增长啊，人口增长。然后呢？它是这样画的。初始时是设置这个线，是n1，加上再它乘以k，由于小n1变大。它是这样的。这是n2。

在德尔塔。乘以k初始时。稳态黄是k1杠k1 star产出呢？是y意思的。而由于人口增长率提高，导致稳态变为的是k20的。产生的是wheres的？哎，由于人口增长率提高，导致单个工人他的人均资本就降低了。进而导致稳态的资本存量就降低了，将而导致水位产出就降低了，但是。总人总产出增长率和总增长率却因此而提高了，因为但它大y。

比大y等于大k，比大k等于。小n对吧？这个呢，你自己看一下就可以了啊。哦，对啊，对于储蓄率提高啊，对于这里。我们称之为。s的变化只有水平效应啊效应。而无增长效应，就这意思啊，它只是让你从一个旧稳态到一个新稳态，而不会带来长期的低增长。

以上就是关于不包含技术进步时的一个所作模型。而后面则是关于技术进步的啊。注意啊，这里呢啊。我们下次课再去讲啊，你先把之前的给我去回顾一下，本章我们用两节课来讲完。

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