04.题型第二类面积分的计算
那下面呢，我们再来看第二类曲面积分的计算。比如说我们来看这样的例子，这是一九八八年的题目。它说这个曲面sigma是什么？曲面sigma是这样一个单位球面外侧。要计算这个面积分。我们二型面积方计算呢，有三种方法，一个呢是化为二重，直接算一个呢是高次公式，一个是补面用高次公式。那拿到题目怎么选方法呢？首先看曲面封闭不封闭，封闭首选当然是高斯。我们这是一个球面封闭，又正好是外侧，所以直接就可以用高斯公式。那高斯公式注意这个dy dz前面的系数对谁求偏导啊对x。所以呢，你看它也求变道，就是3x方。而dz dx前面系数这个对外求，所以是3y方。这个dx dy前面就是对z求，所以是3z方，这就把它化成由这个曲面。所围成这个空间体，就是单位球体上三重积分。诶，
当然也有同学说诶，老师这很简单呀，这不就等于三倍的谁啊，然后这儿呢？用一一带d1v，这多好算呀，那这个时候一积分就等于这个球体的体积，所以最后是三乘上。球体的体积是三分之四，派二的立方二不是等于一吗？一立方。最后就等于四派。是不是这样子？大家注意，这就是经典的错误，
标准的零分。哪里错了？就是这哎，这一步就错了。因为你可注意啊。这已经是谁呀？三重积分。三重积分就不是在这个面上做。是这个面围成球体里边做在球体里边，那是x方加y方加z方小于等于一，你怎么能用一代进去呢？那有同学说刚才不是呆呆，你如果是沿着这个面做。你可以带，当然这个呢？
高斯公式一用。用了以后就化成三重，三重就不是在这个面，在这个面围成区域内部做，那它就不等于一了。所以这个一定要注意啊。这个一定搞清楚，这我们数学一的同学来讲，计算多元积分什么时候被这函数可以用这个代进去，什么时候不能代？这个很简单，就是。线面积分。是可代入。为什么线面积分可代入？
因为线面积分，它是沿着线沿着面做，那当然可以用线和面的方程代入。谁不能带，就是纯积分。二×3乘，这个不可带，为什么二×3乘不可带？因为二×3乘是在这个。线索围成区域，或者这个面所围成体，你别走，你当然不能拿这个线，或者这个面的方程代进去，这点切记要注意，
很多同学容易犯这样错误。那有同学说那这个三重积分怎么算？那大家看，不管从区域看还是从倍积函数看，都很适合用求坐标。所以我们就直接用求坐标。那这个呢？应该是二平方，那就是它还有一个这个体积为圆等于二平方sine。drd phi d塞塔。然后完了以后呢？因为这个呢是一个整个球体，那它这个c塔要这样转一圈零二派。坏角呢，只要零到派二呢，
因为你是单位求体零到一。然后计算这个累次积分就可以了。这就是典型的用谁呀？高斯公式，因为你的曲面是封闭的。好，下面呢？我们再来看。这个是二零零五年的一道考题，他说这个呢？欧米伽是谁？是这个锥面和这个半球面所围成的区域啊，那我们再来看一下。那这个地方呢？有一个区域有一个区域是由谁呀？
是由这个锥面和谁？和这个半球面啊，这有个半球面。围成了这样一个空间体。这个呢，我们通常就把它叫做谁啊？曲顶的锥体叫这个欧米伽是由这个锥面。和上面这个半球面所围成。sigma是谁？sigma是欧米的，欧米伽的整个边界外侧。所以这个sigma呢，是这样一个锥体的曲面外侧，那这个地方就是上侧，这地方就是下侧。
则这个积分等于什么？那这个呢，它就是一个封闭曲面上的二形面积分，要是外侧那就可以用谁啊？高斯公式。那这个用高斯公式的话，我们立马就可以得到原式，等于谁高斯公式是把这个封闭曲面上面积分。化成由这个分别去面，所谓这个空间体，欧米伽上的一个谁啊？三重积分。然后它的倍积函数是谁dy dz前面系数对谁啊x求撇头，这是一而dz tx前面系数对y求撇头，那就是加一。
然后呢，再就是dx dy下面就是zz，这也是一最后就化成三重。那我画上这个三重以后呢？那这个就等于谁把三提出来，本来应该等于这个体积，它这个体积怎么算？你还得算这个三重积分。这上面的三种情况，用谁比较好算呀？当然是用求坐标。所以呢，我们就把它化成d塞塔底德范，然后注意在求座位上这个。体积为原是r平方s in的f，
然后dr。这个西塔角，因为它是绕z轴的一个，这样一个旋转体，所以西塔得转一圈，零到二派。f角我们知道表示它跟z轴夹角最小是谁啊？零最大到这个锥面这是多少？四分之派。而这个二呢？那么，从原点出发，做一个射线。大家看这个做这个射线的时候，这个射线呢？
从哪进？从这进这到r是谁零？出的时候从这个球面上出。那这个球面上这个小r等于谁啊？这地方应该是大r。这就把它化成累次积分。然后下面呢，就计算这个累次积分就可以得到这个答案，这个具体算的过程，我们不在这算了啊。最后算一下的话，等于二减根号二后面呢，是派乘二的立方。就这一步呢，主要是用了谁高斯公式。
然后把它化成三重以后，这个题目呢，适合用求坐标，直接用求坐标算就可以。好，这是我们要看的例五。那下面呢，我们再来看二零零八年的一道考题。sigma是谁？sigma是z等于它的上侧。那大家看这实际上是一个谁上半球面它的上侧啊？好，我们在这画一下这儿呢。是x轴，这个是y轴。
这个呢？是z轴。ze等于它应该是这样一个上半球面，然后是上侧。那如何算呢？啊，注意这个时候我们有三种方法，一个呢是直接算。大家注意，你这个要直接算，这要三项，一项去算工作量很大。那它又不是封闭区域，不能用高斯呀。那怎么办？
这种就很适合不灭用ghost。那这个时候补谁？那当然是补这一块xy面上这一块补哪一侧补下侧？这样子呢，是构成了封闭曲面，整体又是统一的外侧。所以呢，我们在这做这个题啊，这就是典型的不面用高斯公式sigma 1。就是xy面上。这样一块区域，那就是这个圆的下侧去下侧。那这样的话，你让我算这个面积分。大家注意这个时候啊，
就里边这个表达式可以不去抄，即使正规的考试也是允许的，你看这儿呢，就给它加一个sigma 1，这一加就是封闭曲面了。加上它得减去它呀。而前面这个呢，封闭曲面，这就可以用高斯。注意dy dz前面系数对谁求啊x，它的x1求就是y。然后呢？du z=x前面系数要对y求，这个对y求就是零啊。dx dy前面对谁求对z求那个也等于零，
所以只剩下这一项。那这是这一部分，你还得减去这个上的积分。注意这个面的方程是谁啊z=0。我们在讲前面计算的时候，我们注意z=0。那凡是这儿有dz的，这样的项肯定都等于零，最后只要算这个项。那么这一项呢？最后我们这个地方呢，单独算就可以了啊，那好，具体呢我们来看。这个先看这部分啊，
这个三重积分为什么等于零，因为它是y的奇函数。而这个上半球体，它又关于x oz，正好左右对称，所以这个是等于零的。但这个呢，得具体算，我们刚才说了，它本来是应该有三项啊。那因为这个等于零了，所以原来的积分就等于负的sigma 1上的。那么sigma 1上本来有三项，刚才说了这两项都等于零，只剩下这一项，
那么这一项的话，你看这就要化成对xy的乘积分。这个积分域是谁？就是你这个半球面在下面的投影就是它。那本来这地方不是还有一个，还有一个谁呀？这不是应该有个负号，这个减号呀。对这减号是原来这个符号，但是注意这个二型。面积分，这在把二型面积分化二重的时候，前面还有一个正负号。那你注意对dx dy的项，我们说上侧为正，
下侧为负。但是这个sigma 1呢是下册，所以这个呢画过来时候又有一个符号，那个符号跟刚才这个前面这个减号一乘。就变正的了，所以这是负负得正。那最后呢，是要算x方在这个圆上的二重。这个要直接算，就不方便。由于这儿的xy。两个一交换这个圆的方程不变，这就用一下对称性，所以x方跟y方。单独在这个圆上积分是一样的，
所以这x方加y方来二分之一，然后算这个二乘积分用极坐标是不是比这个要来的方便？所以这步也很重要，这地方用了一个变量的对称性。而这个地方呢，直接用极坐标算就可以了。这就是典型的不灭用高斯公式。大家注意，过去我们卷子考二型面积分考的最多的应该是这种题型，这种方法。好，这是我们要看的例六。那么下面呢？我们再看一个二零一四年sigma是谁啊z=x^2加y方z小于等于一。这个z=x^2加y方这个曲面要熟悉啊，
这是谁？这是一个旋转抛物面。就是中心轴为z轴的，这样的旋转剖面，现在呢z是小于等于一。那所以呢，假如说这个是跟z=1截出来的。这假如说是z=1。那这呢，是这一块曲面的上侧。实际上，大家注意，它的上侧也就是它的内侧。啊，这个问题清楚了，
要算这一块曲面上二形面积分。那这个倍积表达式是它。那么拿到以后呢？我们说首先看曲面是否封闭，这一看就不封闭。那不封闭呢，要么直接算这个，直接算你看三项都有工作量就太大，那要么就谁呀不灭用？高次公式。补谁呢？那显然应该补谁啊？上面这一块儿。那么上面这一块呢？它是z=1，
那补哪一侧呢？注意，这个是上侧，实际上是内侧，那这个就应该补它的，谁下侧整个就构成这个封闭曲面的内侧。所以我们在这呢，你看s为平面z=1包含在这个内部的下侧，实际上就指的这个z=1这块面的下侧。然后完了以后呢？那你原来这个积分，那就等于谁跟你这个sigma加上这个面上积分，那还得减去谁啊？这个面上的积分。这样子，
这一部分它就是封闭曲面，那就可以用高斯。但是注意它是内侧。那我们高斯是指的外侧，所以内侧用高斯要记着加符号。那所以呢，这个地方呢，你看我们前面有个负号，然后dy dz前面系数对谁求啊？对x求。这就是三倍的x- 1^2。dz dx前面系数对y求，这是三倍的y- 1^2，然后dx dz前面系数对z求，这就是一。
这是用高次公式，这要注意有负号，因为你是内侧，而我们高次公式是外侧。然后完了以后呢？这个得算，但是它的方程是谁啊z等于常数一，我们刚才说了。z既然等于常数，那凡是有dz的这些项积分都等于零了。那就只剩下这一项。这一项的时候把z=1给带进去，那这个可等于零了。所以整个后面这个上七分是等于零的。那就只剩下这样一个三重积分。
现在就变成了这个旋转抛物面和z=1围成这个空间体上这个三重积分如何算？啊，这是这个问题。那在这呢，大家注意，你看这个空间铁也有很好对称性，它关于yo z是前后对称。关于x oz是左右对称。那你前后对称，左右对称就要求这个函数关于x有奇偶性。那大家注意这个呢，你把它平方一写开，那边有个负2x，它是x的奇函数啊。积分等于零，
同理，这个地方呢，写开有个负2y，它也是y的奇函数，因为区域关于x oz有左右对称。那么，这样的话，也就说我们把里边写开，你看这个地方是两个平方项。那么另外呢？这也有两个三再加一，这是七，然后中间那一次项都写到这了。写到这儿呢，我们刚才说了，
你看它是x奇函数区域有关于yo z前后对称，所以它等于零。它呢，是y的奇函数，而我的区域关于x oz，又是左右对称，所以这两个都等于零。最后就剩下3x方加3y方加七，在这个旋转体上的积分。适合谁呀？那我们在前面曾经讲过，如果你的被积函数能写成谁啊z的一元函数？乘上f的根号。x方加y方。这就适合用柱坐标。
大家注意，这不是就是可以写成根号x方加y方乘上z的一个一元的形式吗？所以计算这个就用谁啊注坐标。那么在这呢，你看这两个都等于零这个呢，就是用的是纵坐标，在纵坐标下的话x方加y方，我们这用的是入方。因为你用的柱坐标，所以体积为原是rhod rhod CTA。啊dz。然后大家注意，这个z从哪到哪？z的定线应该是这个在这个投影域里边，那它投影下来是谁？
投影向导的话，应该是下面这应该是个圆域，什么叫圆域z=e往这一带？所以这个投影域啊，应该是谁x方加y方小于等于一。然后我们注意这个z从哪到哪在这过这个区域，里边一个点做平行z轴的射线，看它从哪进。从这个旋转面镜从这出。那注意这个旋转面的方程，你要把z要用柱面表示出来，那它的方程是z=x^2加y方就是u平方。所以这个z呢，是从入方到上面这一点的是一。入西塔怎么定？
就在这个圆域里边定，这是个单位圆，所以这个入就是零到一。西塔呢零二派转一圈。然后具体做这个累次积分的计算，我们就能得到答案。所以你看注意，这是二零一四年作为大题出的，这是十分的考题，你看这是要跟刚才那小题一样的思路，仍然是不灭用谁呀？高斯公式。当然，在算这个三重积分的时候，我们把它乘开这个一次项，
用奇偶性处理掉。最后呢，只剩下二次项平方项，这地方用纵坐标，这样会更方便一些。好，这是关于二型面积分，它的计算。
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