14.冲刺满分强化篇·题型23-24精讲精练-2
那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个幺三六这个题啊。呃，选完了没有？好来看一下这个题。呃，这个题啊，其实你发现你要做的非常的快，对吧？那么，首先第一个信息点，他说什么？他说的这个里面当中，你把这几个点点出来，而且告诉了像这种信息。对吧，二级导数大于零，肯定是凹凸性，那所以说这个人的话，你发现这是y，然后这是零，然后这个部分呢，它是个x轴。然后这是负一，然后这是一，然后这个部分呢，它是这个点处是一。然后这个点处呢也是一，然后零处呢是负一。
它让我们从这个负一积到一。那负一积到一的话，你发现如果你真的是这条线。你想想就是这条线，这条线的话，它上下是不刚好对称呐？对吧，你上下就刚好对称，你上下刚好对称，你自己可以算一下，你看如果你真的是这样一幅图。就是这样一幅图的话，你发现上面这个人。这个g的跟这个food，这个food跟这个g的是一样的。
你说这老师这哪有面积，你要注意往下投对吧？你这个线要跟下面进行这个看下面。这个时候上下刚刚好，你上下这两个东西刚好，对吧？抵消那抵消完了之后啊，这个结果刚好是零。但是你都知道这个二级导数是大于零的，它的图像是什么？order，然后它会经过这三个点，你看这两个点不就是它的一个什么，不就是它的割线吗？既然是割线的话，
它图像必须往下跑。然后这个不是割线嘛，割线曲线必须往下跑，你还记得吗？所以如果这东西啊。啊，不是。然后呢？不你在你在说什么呢？不我我我实在是没办法。啊，这个理解到你的这个脑回路啊，这个有点儿抱歉啊。啊别别别乱来，别乱有什么关系呢？
啊，没什么关系啊。好了，这是这个事情，所以说接下来我们来看看你，发现这个人呐，马上就把他放下去。啊，放下去。那你告诉我，这个时候这个部分的面积是变大了。就是你会发现这个部分的面积是变大了。上面这个面积是不是变小了？那很明显，原本刚刚好是那两条线的时候等于零。
然后现在负的变大了，那肯定小一点，正确答案选b。好，这是这个人出来了吧？所以说对于这个题啊，无论你是用什么方法都没有在这里面当中画个图简单。因为画个图实在是太简单了。你要喜欢画草图，所以像考研的过程当中，像这种遇到这种信息点，赶紧画个图，你要喜欢画。一画就出来了，那a肯定不对呀。
那现在一个问题说这个什么负一到零，它的积分大于零，对不对啊？那这人不对，为什么负一到零的时候，你看这一段这一段很明显是原本的话，刚好是这条斜线的时候是零。你现在负的大，那这人应该是小于零也不对。然后接下来我们再来看看下一个人。那负一到零和零到一谁大呀？这说不清楚。那这不好说，你这两边未必是对称的，你能听得懂我的意思吗？
就是你要想清楚。你这个点和这个点对吧？你连起来。这刚刚好，你这个凸的大还是这个凸的大，你说不清楚两边谁能凸的更大一点，反正是凸的，我哪知道你凸多大呀？对吧，你有可能是这半边是这一点点，你这个凸的更大，那说不清楚。所以这个CD选项根本判不出来。好，这是这个人，
但是我们又说了一个事情。有些同学可能举例子。对吧，举了个例子。你举了一个例子，你说a不对，没问题。对吧，然后的话，你说这个e不对也没问题。但是如果你举例子是这样的一个方向，把它给确定了，这不对，我先说一下这个方向，因为虽然举例子都对的，
但是你看你是哪个方向？有些同学做的非常好，他举了个例子，他说这个人的话就是x方在减一。但s方减一，这人不行，2s方减一。他举了一个例子，举了一个例子了之后，你发现从负一到这个什么一进行积分只是二倍的s方减去个1 ds。然后这个积分的结果马上出来，那么第一个人积分是多少？他是二倍的啊，这两个东西都可以看成偶函数。零到一二倍的x方再减个1 ds。
那第一个积分是三分之二，这是一是小于零。那这个时候你如果是这个方向就对了诶，我咔的一下排除。对吧，然后接下来我们再来看，然后是负一到零二倍的x方减一。跟零到一二倍的x方减一，这是个偶函数，那偶函数这两个东西是相等的，哎，你说的不对，排除。然后又算了一下，这个负一到零，
我一算诶，这个人是小于零，你不对排除。排除了这四个，你选了b，这非常好。能听懂吧哎，你可以用这种方向来做，但是如果在考场，你实在是没有时间了，你做出来是什么你就选什么，那这个几率更大嘛，但是我不希望你们是这样。你稳稳当当做。好了，
这是我们讲的这个幺三六这个题能听懂吧？啊，你要跟上就是这种思维方式很重要，就是你学逻辑嘛。你虽然有些同学咔的一下诶，小于零选了b，你这又有点问题，你举了一个例子，你选b，你不能说b呀。你如果通过这个例子把别人都排除了，你肯定是对的。这逻辑感吧啊，基本问题。好了，
这个事情我们就讲到这。过去了，可以吗？来那么接下来我们再来看看第二个问题点，回顾一下定积分的性质啊，再来看下一个问题。要注意，三九六同学的考情啊。对吧，你要注意，所以我们在这个学这个问题的时候，你把这些方向性学通了，我觉得还挺好。你要注意这个，我们三九六同学怎么去处理这种问题？
它的方向性肯定是跟数学三同学不一样的。啊，这个操作性呃，你可能知识点的内容一样，所以你就会现在想想，等你回头再看的时候，原来这个基础的时候，他说啊，你可以按照数三知识点是一样的。那知识点确实一样，但是考试的方向可真不一样，你出题的方向也不一样，你所以有的时候的话就会浪费了大块儿的时间。你哪怕是自学呢，都比你去听这个数三同学的这个课程要来的快。
你哪怕去买了一本儿这个三九六同学，我们的考纲所配套的这种图书你自学呢，你都比那个我觉得效率更高一点。好了，这个事情我们就讲到这来，继续吧，我们再来看下一个问题啊，考点二定积分的性质。呃，我其实有点不放心啊。原本呐，没有这一趴，没有这个回顾这一趴。但是我觉得有些同学未必还能记在脑子里面，所以你不要抄啊，
你不要抄，我觉得我还是来再回顾一下。因为我害怕有些人把这些问题啊，你全给忘完了，我来走一遍。好，第一个事情调换上下限加符号。上下限相等，等于零。定积分是个数哎，这个方向会考。啊，这个方向。然后定积分的结果跟积分变量字母的选取无关。其实这个定积分的结果用什么积分变量字母，
这是没有关系的。好这个人，然后加减法可以拆开，有系数可以提出来，你看这几条。原来我们在基础班的学的时候，有的人说啊，性质怎么那么多，十几条性质。到了今天的话，你发现你看这个第一条，第二条，第四条，第五条，包括这个第六条的可加性a接到BA接到CC接到b你发现。
有没有发现这个东西我不用刻意的进去？就跟你上了这个三年级的时候，你发现一+1已经不用再进行去什么刻意的进行注意了。对变成了常识了。那这就是这个方向性，然后再来看这一条内容是重点，一会我们会重点讲好在这里面当中，我们先浅学一下好。好了，这个问题啊，就这两点。稍微进行回顾一下，一会我们再来重点来看。还有这个奇偶性，然后是对称区间奇函数等于零偶函数二倍，
然后周期函数是这个性质，那么这两条也会重点来讲。所以啊，接下来我们把我们所有的重点的核心放到这几个问题上，一个事情是定期分是个数。然后还有这里面当中的比较定理，还有这个奇偶性周期性的问题，你注意啊，这几个点呢，考研的高频点，比如说。比较定理啊，大概率事件。你基本上每年过程当中非常喜欢考这个证啊，这个东西要注意，
然后这个奇偶性的问题和周期性问题，这考研常课。所以我给你勾了这几个点，就是我们接下来要重点进行突破的问题。所以原来基础班呢，就是全对吧，广而全，你到了现在啊。你一定要知道哪些问题啊，才是出题的这个重心。好，先来看看第一个点定几分是个数。呃，这里面当中啊，我就找了一个简单题。
我在这里面当中啊，找了一道二零一三年的考研真题，我们来把它灭了。啊，因为这种题啊，比较简单一点来看看吧。他说这个fs啊，它等于es，然后再加上三次方再乘上这个定积分。那你想想那这个函数不就出来了吗？那这个函数不就等于es+3次方，你再乘上这个定积分嘛，那怎么办？把这个定积分设成一个数。对吧，
设成一个数。所以说这个问题点方向性就出来了，你就在这种当中设。那设什么呢？设零到1 fs ds这个人呢？他等于a。对吧，射程塔。设完了之后，然后绩效怎么办？给这两边同时定积分。你取下定几分？然后接下来我们再来进行去同取一个定积分。然后再给它同取个定积分零到诶，这是三次方程a。
然后再来进行去同取一个定积分乘ADS。所以你看我把这个人设成a那fs就等于es+3次方，再乘上a两边再积分，这个时候眼睛一瞅发现哦，这个定积分就是a。然后这个积分呢？你这积分是一的s把零和一代去，然后这个积分呢a抽出去，然后是四分之一。所以说这个时候马上出来，它就是四分之三a，然后这个结果呢？是e减去e，你要稍微注意一下e的零。啊e的零这个人你这非常要注意一些问题，
这不e的零是1 cos 0是一有同学带值经常出错。你注意一下这两个信息点。所以说这个a就是多少，就是三分之四倍的一减一，那定积分不就是一个什么选b吗？那定期分式这个人，其实你发现这个函数你都能求出来。那这个函数等于多少一亿的s加上三次方，你再加乘上多少三分之四倍的一减a？如果这个题啊，考的是定积分，直接出来，结果如果考的是这个函数，你可以写出这个点。但是你注意，
你不要这样做，有些同学算出来a了，说哦，我这个函数出来了，我这个函数出来了，来再把它积个分就出来。没必要啊，你可不要这样对吧，你求的这个a就是这个定积分，你不要把这个函数求出来之后，然后塞进去，你再来七个。那是真没必要，你这是做糊涂了对吧啊，你要注意一下这个方向性。
好了，是也能出来，对吧？也能做完，但是不要这样啊，不要这样，你求的a就是这个定积分。来继续吧，我们再来看看下一个问题，注意重点，听了我们今天的重点内容。考点三定积分比较大小。那么，定期分比较大小，首先第一个问题，
利用比较定理来比较大小，你上课来不及记啊，你就先。啊听就行了，下去再整理。我先说一个问题啊。你哪怕是你下去过程当中把我上课的这个手机版的这个东西啊，你自己在上面画都行。对吧，你画都行，我觉得都没有问题，把大量的时间放在思考上。哪怕是如果你进行去把这个什么呢？如果这个书啊，你想把东西整理到上面，
你整理到上面也要独立自主的去写，不要把它抄过去。不要干这种事情。你有这个事情，你出去玩都行啊，你不要把这个东西抄过来。你可能学呃文科的一些东西的话，你抄过来之后啊，多抄抄就记住了，但数学最重要问题是个理解，不要去啊这个。花这个时间在上面，那就没有问题啊，这个这说实话有点浪费时间。好，
我们再来看看，利用比较定理啊，来比较定几分？啊，这个人那么首先我们先来看看第一个事情，我们先看比较定理的内容。啊，这个内容那这个内容是什么呢？他这样说的，说如果在这里面当中有一个人fs这个人呢？小于等于gs。我比你小，然后这个时候我们就说清楚了，两边同取相同的积分线，我就比你小。
这没有问题吧，不需要再证明了，你是个强化班的同学哦。好，也就是说什么谁的内核大谁就牛。对吧，我们把这个东西叫做它的内核。谁的内核大谁就厉害。这个对不对？这东西不对。你要注意，这里面当中得保证a小于等于b。我记得基础班的时候，我们就出现过一个问题，那个题啊，
有些同学就啊做错了，你要保证这个积分线是正的。我们应该是这样说，谁的内核大两边同取正的积分线就是下限比上限小的积分线。怎么能说啊对呢？也行吧，也行，那证明到今天的话，你想起来了，那也总比这个昨天过程当中，你不知道这件事情强啊行。好，可以啊，可以可以。那也行吧。
那你说提到这个事情，你不是立即反应吗？所以这个问题就说谁的内核大，两边同取正的积分线，我就比你大。好，这是这个问题，所以说大家想想一个事儿，这种类型问题的比较的题型是什么呢？对吧，比较的题型，它应该是比较这两个积分线啊，积分这个积分的特点是。积分线相同。对吧，
相同，然后这个什么被积分函数不同？被积分函数不同。的定积分比较。两个东西是积分线相同。被积分函数不同，然后这种当中我们进行去比较这个人。所以比较这个东西的方向是什么呢？方向就是看谁的里面大。对吧，看这个看它内核强内核强，这个东西就大，所以说这人的话，你发现我们的方向什么我的方向就是。只需要进行去比较，
当什么情况当x在a到b我原来讲过。比较这个定积分，其实在比较这个什么比较这个绝对面积。那绝对面积的话，你发现你去比较这两个人的绝对面积比较面积，那你看不看a这个点和b这个点不在乎？你就比较开区间。开b都行，因为有没有a就是一条线，一条线不会影响整个全局的。注意啊，一个点一条线，不会影响这个全局的，所以我们只需要比较这个人的时候。谁呢fs与gs大小？
所以说这其实就是这样的一个类型问题，但是啊，难就难在这儿。难度系数大大就在大在这儿。呃，当然我们不会出的一些非常过分的。啊，但是一些常规的，你得想清楚，那么接下来我们来看看啊，住在这儿。我们总结一下。那么，这里面当中要进行去比较。你怎么比呢？
最简单的就是直接。对吧，直接比较能出来。能比较出。大小对吧？我直接进行比较，我就能比较出来这根大小。比如说像我们这里面当中的这个题。这个题就是低配版的题，这种题非常简单。对吧，它直接能出来。然后接下来的话，你发现还有第二件事情。直接出不来，
找中间人。陷阱。比较大小。对吧，然后这个时候你就要注意找一个中间人。那么一个人比这个中间人大，一个人比这个中间人小，对吧？一个人跟这个中间人相等，这是一种情况。还有其实你发现这两年考的最多的。我们三九六同学特别喜欢考的，利用什么？重要不等式。对吧，
利用这个重要不等式。所以说大家注意呃，我们如果是一向设函数那种方向就做的有点麻烦。你要注意我们的考勤方向，所以有的时候这个数一数二数三，在这个点当中能出一些非常非常难的题。但是我们在这个考研方向，你要不然就直接比出来了，你要不然怎么办？你接着比你要不然怎么办？利用一些重要不等式有哪些呢？那么今天我们把它总结一下。我们来看看这波内容，这个东西啊，你下去必须给我记住，
你记不住啊。都不好使。你务必记住，所以这个页面每个同学都要记住。而且里面当中我们让大家怎么记你就怎么记。对吧，我们来看看一些五星级重点的不等式。好，我们总结到这一堆，那么首先我们先来看第一个人。es- 1这个人大于等于s。那这个人的定义域是r，然后就是x大于等于ln 1+s。这个定义域是多少s大于负一？好了，
这是它的定义。那么，接下来我们来看看这个人怎么去记呢？我原来基础班的给你讲过这个东西啊，用图像的方式来记。一定要记住图像，因为图像就是出题点。那么，在这种当中的话，你发现这是y，然后这是零，然后这是x。那么，首先我们先看看你发现这条线是谁呢？这条线其实就是y=S曲线。
然后接下来你发现这个人其实是es。es把它向下平移。一个单位平移，一个单位刚好是在这。这是es- 1，它们焦点在哪？你可以去求啊y=s，其实就是es- 1，在这个点处的切线方程，你可以去求一下。比如你去求一下fs=es。减一在s=0处的切线方程导函数呢？导函数是es es，这里的一就是y等于多少？零+1 s- 0。
就是他你求这个切线方程。所以它就是在这个点处的切线。然后接下来我们再来看看，还有一个loring 1+s就是这个人，原本他教过一点嘛，左加右减loring 1+s。所以你们一定要听清楚，它只有一个焦点。只有什么情况呢？当且仅当。当且仅当s=0的时候等号成立。哎，等号成立。所以说一定要注意，就说他们这个人呐，
只有在这个领处，他们去等候别的情况，他都取不了他。它只有在这个点处，它取。好，这是要注意的问题，跟得上吗？来再来看第三个点。那还有什么当这个s大于零小于多少呢？大于零，小于二分之派的时候。那这个tangent x大于这个s大于这个sin x，你还记得吗？那这个图形。
来，我们再来看。那么，零到二分之派的话，这是y，然后这是零，然后这是s好，这是零到二分之派。这个人这是二分之派。然后接下来我们再来看看，这是x这个人。上面这个人是tangent这个人。对吧，然后下面这个人是谁呢？下面这人是s这个人。
好这个人，然后下面这条线呢，是s in这个人。好，下面这个人是s in这个人。所以说就是这几个情况。你其实你会发现你去求一下，你求一下谁呢？其实这个x就是tan这个人。和三爷这个人在临处的切线方程。就是这个切线，那他说那后面不是也相等吗？不相等了，你后面这个摊真题就跑到这儿来了，你就变小了。
然后的话，到了这边儿，他又上去了，你这个不好说。那所以说这个人说不清楚，但是注意一个问题。那这里面当中，虽然这两人不好说，但是我们这个人呢，你会继续来看。啊，我画到这吧。你再来看，如果进行去不看它。零到二分之派的时候比你牛，
你发现我后面的话都会一直比你牛了。对吧，我后面永远都会比你牛，因为你发现你的图像是这样。没问题吧？哎，就说你这个s啊，它一定是这样。所以说这里面当中就有问题来了，就说我们只要当什么情况当x大于零的时候。哎，大于零这个s啊，它都会比这个s in大。当然，你要注意，
如果是小于零的。它是这样小于零的时候是s in就要逆袭了，而且我还能看出来x跟s in这个人的交点只有一个就是零这个点。他们只有林这一个教练。所以从图像上我们能发掘出好多好多信息，这些信息都在这上面。把它抓住清楚这个人。好了没？这是第四个。然后再看第五个值。啊，第五个人，你继续啊，这是第四个人，那第五个人的话，
然后接下来我们看当这个什么x和y都是大于零的时候。那s+y大于等于二倍的根号下s倍。基本不等式吗？那基本不等式的话，就在这里面当中说一正俩人必须都是正数一正二定三相等。那尤其是我们喜欢做什么事情呢？你比如说这个x和x分之一。如果这个s大于零。你看这两个东西喜欢做乘法，喜欢做乘法，我们就把它放缩到乘法，你这两个东西一乘呢就是一。然后第二个事情我们再来看，那还有说什么？比如说这是x乘上一个一减s。
你看这俩东西喜欢做什么法？你喜欢做加法，你必须要保证这两人都是正数，两人都是正数的话s是大于零一+s，大于零就小于一。那这时候你发现，你看你就把它缩小，你缩小成二分之多少，这两个一加是一。喜欢做乘法的是加法的乘线，基本不等式，喜欢做加法的时候是乘法的乘线，基本不等式。好了，这是我们讲的这个第五个点，
然后再来看第六个点。对吧，这个人，然后这里面当中啊，还有一个东西能记得住吧？应该没有问题啊，我们把图像记住，还有最后一个事情，就说这个ln多少呢？一加s分之一是小于这个s分之一。大于多少一加s分之一，当s大于零的时候。好，这是这个人。然后接下来我们看把这个s分之一换成s。
把s分之一换成s了之后的话，这样就是x。把s分之一换成ss分之一，换成s之后的话就是这个人，然后就是一加s分成s，把这些人呢都记住。好了，重点而言就是这六个人。呃，这六个人呢？其实就是非常全的了。啊，最全的东西就在这儿了。就是你无论怎么样进行转，它就是这些东西。
所以把这个东西记清楚就行，考的比较多的是前面这几个人，你注意啊，一定要把它给我记清楚，这就疯了。那就别记了。那总比的话，没有总结强啊。那你自己去总结，你说怎么办？哎，考点的方向就在这。第五个人呢？基本不等式。一正二定三相等，
这有啥需要懂的，我又没让你证明。我没有让你震，我让你记住就行了。我没有让你震，你想震吗？好，第六个人，第六个人是ln一加s分之一。就是lns分之一加s。然后这个东西是l 1+s-ls。拉一下，一拉就变成了可塞分之一。可塞介于s和s+1之间。那说明ln一加s分之一就等于cos分之一变小一点，
变大变大一点变小。好出来了。好了，这是这个事情吧？那你去震吧啊，你把这个东西也震哎呀，这个。方向性，把它想清楚就行啊。可以过去了吗？把这个问题啊，好好进行琢磨琢磨。最后一个人，不用寄托。啊，
最后一个人不需要记图，需要记住图像的是前四个人。前四个人把图像记住。哎，把前四个人进行记住，然后最后两个人呢，硬生生的把它背过就行。硬生生的背过就行。好，这个问题啊，我们就说到这。啊，怎么好记？就这样好记啊。一加s分之一，
这就等于可赛分之一。可赛是介于s和s加一分之一放到这儿，然后把下面变成s加一就变小。好了，不多说了，居然把大量的时间浪费到这儿上面了啊，不多说了，你自己下去，你好好进行记一下。那么，接下来我们一起来看看下一个问题点。幺三七这个题。那么这个题啊，那么首先我们先来看看第一件事情。积分线相同。
对吧，积分线相同。积分线相同，被积分函数不同，考比较定理。那只需要进行去比较，当s大于零，小于四分之派的开区间内。这三个人大小。这三人大小的话，你发现l是个增函数，你只需要进行去比较这个s in。啊，比较这个人。这个人这人大小，
这题不好。这题太简单了。路易是个增函数。你就不会出一个减函数的吗？你比如说在这种当中出一个什么这个呃arc quantity啊，那arc quantity跟这个约掉了是吧？对吧，你出个减函数啊，你减函数它就有点恶心了啊。好了，我们稍微试一下，试一下这个声。所以说你发现进行比较这三个人。那这三个人的话，你发现你试一下。
那这人的话，其实就是这样。这是零，然后这是四分之派。啊，这是个真题哦。对吧，这是个真题。然后接下来的话，你发现这是这样，这是三音。只是二分之根号二。然后这是cos塞。cosine到这儿，这是一。
那quantity是多少呢？那quantity是这样。quantity 4分之派刚好是一。所以在这个c开区间当中，是QT大于多少呢？大于这个cos，大于这个c。啊，是这个情况。所以说这个情况就出来了，你发现lone是个增函数，我明年一定要把它改成减函数。增函数太简单了。那增函数你越大它越大，所以说这个情况就变成这样。
然后接下来的话，你发现这个quantity，那这人就是j大于多少k大于这个I。好，这是这个事情，所以说这个点呢，应该是JK I答案选几啊选b。好了，这是这个事情啊，所以说这个。呃，增函数有点儿。好了，这是这个问题吧？减函数还是这样做嘛，
这个love是增函数，减函数就是你越大它就越小嘛。对吧，就是你越大了之后的话，这个l这个这个这个什么这个函数了之后不就小吗？所以这个题的话，你可以这样出。啊，比如说。当场改一下。已知导函数小于零。s属于r。那么且什么情况呢？且这个I是零到多少呢？四分之派。
f这个三你看这题多好啊，是吧？你看这题j这个人零到四分之派。cos in，你看这个人，然后再是k对吧？我们可以抽成抽象函数嘛？然后这是多少quantity s？哎，你看这不就来了吗？所以你发现你看出生这个减函数，它还可以啊。那这个时候的话，你发现当x大于零，小于四分之派的时候。
然后你这个三你是小于cos in你小于quant in。但是你发现这个函数是导函数小于零，它不就减函数吗？你减函数的越小，它反而越大呀。对吧，你反而越大呀，你反而越大呀。所以说这个结果不就变成了这样吗？那所以说这个时候的话，你发现谁大？是I大于j，大于k。好了，这是这个点。
行吧，你看这个方向性，他还挺好。另外一件事情的话，你就会发现。我出一个减号，我疯了吗？那出个减号那那这种题太简单了，你这你看不会出题啊嗯。你加个你加个减号的话，那这个人大了之后都添一个负号不就变减了，这一点操作性都没有啊。你这真是出的不行啊。好了，这是这个点，
所以说你就会发现你看你出成一个抽象性函数还可以。对吧，抽象函数那抽象函数在这里面当中，你就会发现有些东西可能在这举例子啦，怎么怎么样，其实就做麻烦了。啊，这个事情。好，这是这个题，我们就讲到这。过去了，可以吗？行吧，那么这个题其实啊。
这个题没有刚才这个题好没有幺三七这个题好。因为嗯，这个题我得下去好好琢磨琢磨出一个减函数。你出一个的话，你发现。有些东西真的是举例子就举多少呢？就举fs=-s，我不就疯了吗？那这个题就出废了。那么，零到四分之派，这个s in sds配负号j是多少？零到四分之派，这是co ssds。那这题不行不行啊，
这题你能理解我的意思就行了啊。他真的举了一个负s，那这个题比刚才那个题还简单了，不行不行不行啊，这题不能这样来。好，这个事情我们就讲到这儿过去了，可以吗？你能理解意思啊，其实我觉得上课的时候你应该是多听听这种事情呢，你能了解这种出题的这种方向吗？好了，我们再来看看下一个题幺三八这个题。好，再看这个题。
那这个题啊，我们继续来看。他说了一个事情，他说了一个m。这题啊，有点难。啊，这个题那么这里面当中给了一个m。给了一个n给了一个k啊，所以说这个题啊，难度系数比较大啊，它是超过了我们一般情况下考研的这种难度。那么，首先我们先来看看吧。那你发现这个题的积分线是相同的。
被积分函数是不同的，考比较定理。哎，考比较定理，那考比较定理的话，你发现我就进行去比较谁，我就进行去比较这仨人的大小。好比吗？不好比。非常麻烦，这这是很难比的。但是你发现这个题除了什么东西呢？除了这个比较地理的特征之外，你有没有发现它还有个特征是对称区间啊？哦，
这样一转，我们基础班就讲过这种题，那基础班我们就讲过这种对称区间。我记得一个是等于零，一个大于零，一个小于零，我们可以试一下。那么然后看一下这个m。m这个人是负二分之派到二分之派。然后下面是一+s^2。其实上面也是。你上面这人不是一+s^2再加2s吗？那然后的话，这个人不就是负二分之派到二分之派，然后这个东西啊，
这是他一+s^2分之2s。对吧，你有经验做过这种题。然后你扔一个负号进去了之后扔一个负号进去，下面不动，上面多一个负号，这就是奇函数，那奇函数等于几？奇函数等于零。所以说就是一的这个积分。看清楚吗？就是这个你记得。所以这个m这个积分呢，其实就是一这个积分。对吧，
这个人他不是这个，你就不要坐了，你坐在这儿，然后再来看n。负二分之派，到二分之派，1s一+s，这人怎么做？诶，那这个出题点怎么办呢？你看这个题。那这个题的话。你想象一个事情，上面这个人是等于然后这个人呢？哦，
考的重要不等式我们都知道es- 1这个人大于等于s。es，这个人大于等于一+s。对吧，那所以说你发现下面这人更大一点，所以说这个人应该是什么意？小于一。比如说不对呀，老师，你这有问题吧？你不应该是小于等于一吗？你等于一的时候跟这个人就没法比了，大家注意一个事情，我们都知道，只有s=0的时候。
取等号吧。哎，只有这一个点取等号。那在这个点处取等号，你想想一个事情，那个点会影响它的面积吗？就算你发现我们在那一个点处相等，我举个例子啊。我一直都是一。然后你这个人的话，你只是在这一个点处跟我相等，你告诉我面积影不影响？你只在这一个点处跟我相等，不影响的，所以说我主要看的还是小姨。
然后再来看k cos，开个方肯定大于零，那这人呢？这不就大于零？那所以说这三个人就出来了，你是大于一，那说明什么？说明k最大，然后大于谁呢？k大于这个m。大于这个n好这个题啊，正确答案选几啊k mn选c啊？好了，这是我们讲的这个幺三八这个题啊，这个题的操作性还是有的。
就是它的这个方向性，到底是在考什么呢？你要想清楚。对吧，有这个人是等于他的，有大于他的，有什么小于他的啊，像这种题的话就是找中间人。所以像这种题啊，我们基础班其实做过这种题。啊，基础班做过一个一个人是个奇函数等于零，一个是大于零，一个小于零啊，那个题幺三八。
然后接下来我来给你增补一些题。对吧，我们再来看一些一些重要的出题方向，你要好好听啊，这块内容更重要。也是我们这两年过程当中很喜欢考的一个问题。啊不行，黄金重点。一些重要的出题方向。那么，在这里面当中，我们来看看这个事情啊，其实你发现内容点也不是说特别多，就刚才那些东西来来回回来啊。好，
我们来看看。那么，这里面当中啊，我记得原来基础班的时候，我们做过一个题。我们做过这个题。应该是四分之派。什么s分之s in呃，这个什么tangent t tangent t分之I，这个s in是不是那个题啊？你还记得吗？我记得原来基础班我们做过零到四分之派s分之tangent题。和零到四分之派tangent分之x这个人。对吧，这个人。
所以首先我们先来看看第一步。比如说我们就进行去出谁呢？我们就进行出这个tangent。对吧，跟这个s sin喜欢跟s出是二分之派，所以我们来出这个人。当什么情况当s大于零啊，这一个点不管小于四分之派。那么，首先我们先来看看第一个方向。你看这个人，那这里面当中是y这是零这是s。然后这个时候的话，你发现我t an ENT是这个图像。我s是这个人图像。
对吧，然后这个焦点是多少？这是四分之派。好，这是这个情况。其实这里面当中还有一个重要的焦点。那这个重要的焦点是谁呢？那重要的焦点是这个人。好，这是这个问题，然后这个焦点是多少tan 4分之派是一？所以我们来看看这个出题的方向，那其实就是这个人的高是多少？你看这个高。高是一，
那就是派分之4x。大于这个tangents。大于这个s。那所以这里面当中，我们就可以出题了。我给这两边同时除一个s，同时除一个s的话就是多少就是派分之四。大于tangents BS大于几呢？大于sbs，这是一。好，这是这个情况。然后接下来你发现你给两边同取四分之派的积分。你就会大于零到四分之派，然后是tangents比sds你就大于零到四分之派一的这个积分。
所以说这个时候我们就得到派分之四分之派，这是一，然后这是零到四分之派tangents BS ds。它就大于多少四分之派。你看这里面当中就出了一个题。对吧，这就出了一个题，比如说。例例题当中的话，他让我们去比较什么呢？比较这个人零到四分之派。它们这里sbs。ds，然后这个j零到四分之派，然后是多少是tans分之sds，
还有一。那这个时候的话，你发现很明显。我们在s是大于零，小于四分之派的时候是t an ENT比s大。所以说tangent比上这个x啊，它是大于一。但是一是比谁呢s比tangent大的。所以说这个人的话，你就发现又是大于多少零到四分之派s比t and ds。它就大于这个。大家能理解我的意思吗？好，这是这个人。所以你发现看你如果这里面当中。
嗯，这个没有问题，你看有这样的一个不等式，两边同时除上s。同时，除上s，这是一而我们都知道tangent比s大，那这个s比tangent就小于一。大家能听懂吗？所以你要理解啊，就说我们这三个人。这三个人是一样的。这三个不等式的话，你发现除一个s得到它。但是你发现这个tangent比s是大于一。
你s比它，那就是小于一，你这个东西再把它补进来就是这个人，所以说当年的这个出题啊，就出的这个题，那这个不要背啊，一背就傻了。所以说最终就是一大于谁呢？大于这个I大于谁呢这？所以当年就出了这样的问题。所以这个题啊，就非常简单了，就直接可以秒了。对吧，所以我们见到这个tangent比ss比tangent近，
当年出的这个题，你出的这个题就非常简单，我眼睛一漂就出来了，好，我们再来看。好继续，那还有一个事情就是零到二分之派。对吧，那零到二分之派，这是零到四分之派，我还可以继续除，我想怎么除怎么除，你再来看这个。那去年的二零二三年的话，这个数一数二数三同学考了，
所以今年我们稍微要注意一下。就这个人对吧？比如说这是s。然后这是三。然后这是二分之派。好了，这个时候的话，你发现这里面当中除了这两条线之外，还有一条线就是这条线。还有这个人好，我们来看看，所以说首先第一个事情当is怎么办？大于零，小于二分之派的时候。那这个谁呢？
s就会比这个s in大。比这个谁呢？这高是一那就派分之2s要大。所以给它两边同时除一个s1大于s in sbs大于多少派分之2s。大于多少？那这个人的话，你发现你三页s比s啊，他是这个情况。然后接下来你看这个同除得到这个人，你再来看。x是比s in大的吧。x比s in大，你再把什么东西啊？这个x比s in写到这儿。你看这我们就出题了。
当年考题出的是那个题，你看我们现在就可以出题了，因为你都知道大于零的时候s比s in大。你除我是大于一，你我除你是小于一。好，这个方向，所以说这个时候你就会发现出题了，零到二分之派x比上s in。ds大于多少呢？积分是二分之派大于多少呢？零到二分之派让sins比上s。对吧ds大于多少？这个积分是一。常数除出去，
然后二分之派一×11所以。比如说今天的话，你发现我们现场出一道模拟题。对吧，你可以出这道模拟题，因为上面那个题考过。但是这个题没有考过。这万一中了，对吧？你就挂彩了，这真真真是非常幸福了，对吧？零到二分之派，然后这个人。然后这个j0到二分之派，
然后s变成比上这个人。所以这个时候你发现我们则a选项。a选项说这个什么j大于a大于零。对吧，大大于几呢？大于一。然后b选项I大于j大于一。c选项I小于j小于1d选项j小于I小于一，然后e选项。ij小于一，小于I。好了，这是这个方向。所以说你会发现这个方向性就出来了，你听懂我的意思吗？
啊，那真是哈哈大笑啊。就是如果真出的这个题，比如说这个题题的点呢，其实非常明显，你比如去年的考题，就说我说已知什么东西呢？哎，这个题你看你可以现场出。所以说这里面当中它就是这样情况，哎，你看这这个题，这个题不能让你看啊，这个题我们后面模拟题的那个题啊，别看。
对吧，已知说什么东西呢，已知这个ii这个东西等于多少呢，比如说这是零，然后倒置了多少，到了这个二分之派。啊，到了二分之派，然后这时。x分之三。然后这个ds对吧，然后接下来的话，你发现这个再出一个多少，这是s比上这个s in。啊，
这种情况，所以说则。啊，则什么情况？啊，就这样的一个问题。那这就是一个非常好的一个体验。啊，当然的话，你发现这个题目一出就行了。它当然是跟一进行去比，比如说你这根小于一怎么样啊？好了，这个事儿我们不说了，后面这个东西啊，
我们后面再看。你能听懂吗？所以说这个方向性呢，你要想清楚，你看比如说今年考题就出一个这样的题，它可以出啊，就是你像这两年考题的这个方向，它就很容易进行出这个点。你看这样的题。是吧，你所以你思考清楚就行了，好，这是这个问题，能想清楚吧，好了，
那么接下来我们继续，我们再来看。比如说我们继续。前年考过一个题。第三个点。那么，第三个点的话，比如说我们来考这个人。那这个部分是y，然后这是零，然后这是x。然后这个人当中呢，你发现这是x。然后这个部分是es- 1。然后这是l 1+s。
好，这个情况。所以说你。把这几个人你稍微看看。lorry+s假设这是一。那这个时候的话，你就把这个点呢连起来，你看这个点和这个点，你连起来就是这个人。然后这个点和这个点连起来就是这个人。是不是这个情况？所以你这个时候就得到了，我换一个颜色。比如黄色。好，
这是这个情况，所以这个时候的话，你发现如果我进行去比较什么东西呢？当s大于零小于一的时候呢？对吧，这个小一的时候，我们接下来继续看，你再看这个人。那这个时候的话就马上出来，你看第一个条线，这个最高这条线是多少？你高度是你要注意上面这条线是es- 1。然后这是x这是ln多少一+s？那你这高度就是一减一那，所以说他这个人是一减一斜率呢，
除上一就是它大于多少es减一？大于谁x，大于谁ln 1+s。然后这个高度是ln 2大于ln 2x，这考研已经考过，然后这时候怎么办？你就把这个s除过去。除过去，除过去是多少ln 1+s，除s是ln 2。那然后接下来考题就行了，那么零到一积分呢？就是零到一呃一减一零到一积分呢？是这个人。然后再大呢，
零到一积分，这是一零到一积分是多少？零到一s分之lone一加sds零到一积分，这是lone二。好了，我这里面当然可以随便出，比如说那一年考题过程当中，他出的是谁呢？比如说他出这俩人。和这仨人那如果今年的考题的话，你可以改啊，远越远越好，你比如说出这个人，这个人这个你看远一点会好一点。对吧，
你把这个方向性就说这一点，当中随便的可以挑两个人，然后进行出题的。对吧，这个出题你当然出，这个人和罗音二比较好，这这这题就有点狠了，比如说我们今年考题。是吧，你比如说已知什么东西啊，已知这个I是零到一s分之一s减一ds。然后这个a选项说这个什么I呃，这个人比如说小于一，他不对b说这个I小于零，他不对c选项说。
说这个I大于lnr，然后这个d选项说这个I小于lnr，然后这个e选项e选项说什么呢？说这个I。嗯，这个是这个是小于它大于一减一就随便除。你看这题就有点难了。因为你想把这个分剂情绪激出来，那这是很难的，不信你试一下吧，我就出这样的一个简单题。我看你咋做？我就出了这样的一个题，你看这个题目。普普通通，
朴实无华呀。看起来非常简单，你看这个人。你自己去做，你看你能做出来吗？你要想直接记你把这个s分之一凑到后面去是l，然后分布积分嘛，根本出不来，你不信你试一下。你不可能把它记出来的。所以说这个题你这样一出，你看又简洁，反而变难了。当然有可能，你还可以再来狠一个，
来个一减一，再来个这个。所以你要把这个方向性学清楚。你自己下去的时候，你稍微一看这些点呢，你就知道了，所以我觉得今年再出这种问题这个。问题点都不大。好了，这个事情我们就讲到这儿过去了，可以吗？下去好好处理一下。好吧，这是我们讲的这个一些重点的出题方向好，那么接下来我们再来看一个题，
把下面这个题啊，我们讲完，我们今天就下课。好，再来看看下一个问题，利用几何意义来比较这个大小。啊几何意利用几何意义比较大小，你就要理解。它这个位于x轴上方的这个人的积分，它是面积位于下方的积分是面积的相反数。对吧，上方积分是面积，下方积分是面积，相反数，所以这就是它的几何意义？
那么，这里面当中，我们来看看这里面当中有个题，这个题啊，你先听一下对吧，我们来看看这个题。呃，这是最后一道题，稍微的话进行去听稳一点，把这个思想一定要听清楚。好了，我们来看看这个题目。你来看这个题。那这个题的话，你发现有ik就是IE。
IE就是林道派这个人。然后这个ir ir就是零到二派这个人。然后接下来是I3是零到三派。好，这个人。I3这个人。所以像这个题，它的特点是什么呢？它特点是被积分函数一样。但是积分线不一样。那你想你们都是同一个被积分函数，那积分线不一样，不就进行去比较这个人的什么，每个人的绝对面积大吗？那我就可以利用几何意义来做，
所以往往这种情况会应用什么呢？就说我积分线。我是不同的，但是被积分函数是同一个。我喜欢用这个人啊，讲义上是有的，能听懂吧，就说积分线是不同的，但是被积分函数是一致的。那么，在这种当中，我们进行比较怎么比啊？你得看一下这个背景函数。这个被积分函数的话，是e的x方再乘上三。
而你都知道这个东西永远是真的。你这个东西永远是正的，但是你来看看这个塞呢？s in这个人是什么情况？三这个人是零到派的时候是正的。派到二派的时候是负的。二派到三派的时候是真的。对吧，他这个情况是这样，有一段阵，有一段符，有一段阵，有一段符。好，这是这个人，
所以说这个时候的话，你发现我们先来看那比较大小的时候派的长度好比，因为零到派的时候是正的。派到二派的时候是负的。二派到三派又是正的。那如果是零到二排就不好比了。能理解吧，就是零到派我肯定是正二派到三派啊，这个什么派到二派肯定是负二派到三派肯定真。你要是长度超过了派，这就不好办了，你比如说从零七到这个。这不好来，因为前面还有一个es方嘛。好，
这个情况，所以说这个人呢？你怎么去做呢？我们用拍的长度好比你看这个人。零到二派，这个人不就是零到派这个IE，你再加上派到二派吗？那么，同学们告诉我，派到二派是什么情况？你派到二派，这个三亿是负的吧？你三亿是负的，被积分函数就是负的，他这个人的积分是面积的，
相反数肯定是负的哦，理解了。原来你这项是小于零。你这项小于零的话，我加上小于零等于你。那我肯定比你大。没问题吧？好这个人。然后接下来我们再来看看I3I3跟I1肯定不好比长度跨的太大了，它跟I2好比，他说I2再加上多少？二派到几派三派。零到二派嘛，二派到三派，而二派到三派，
它肯定是正的，被积分函数是正的，这个积分它。他肯定是正的，所以说这个是I3也大于l。你这就尴尬了。你一大于二三也大于二。对吧，你一大于二三，越大于二把，二大于一的不对。对吧，二大于一的都不选，你这个是三也大于二，你这个二大于三的也不对。
这个三页大于二，然后这个是二大于一。然后这是三大于二，一大于二，然后这是三大于二，二大于一，这不对。所以说这个题啊，你还得进行去比较谁呢？一和三你还是选不出来。那这个一和三怎么比呢？你再看你这个三这个人可以写成一一，就是林道派。对吧，零到派，
然后是多少呢？派到三派。你这里面当中就出现问题了。为什么呢？因为你都知道你派到二派的时候，这个人是什么？你这个人是负的。你拍到二派的时候是负的嘛，你是这块。然后再是二派到三派，这个人是什么？你这人是正的。对吧，你这个人是这块。诶，
那这个时候你到底一和三谁大一和三谁大，就是要看看这个人是正还是负？这是负的，这是正的，你就要看负的多还是正的多？你就要比较这两人。但是这两人不好比呀。你发现这两个人的积分线都不一样。你积分线都不一样，怎么比啊？要想比较这两人积分线相同，好比我就看谁的内核大，谁的被积分函数大，那怎么办呢？你看这个人的上下限是s上下限。
你想把它变成派到二派，你就让这个积分线怎么办？少一个派。那在这种当中，你就怎么办？你就令这个x- 1个派等于t。你让这个积分线少一点。积分线少一点，你看这是派到二派一的s方s in sds。你是二派的时候减一个，它这是派三派减一个，它是二派，然后是e的派，加上t这个平方。s in多少派加tdt。
s in派加t这个人呢？你要注意s in派加t奇变偶不变符号看象限，那真是负的。这两个东西是不是可以整理了，你再来一句话，积分与变量字母选取无关啊，这是s in。积分与变量字母的选取无关，那就是e的s方再减去e的派加s方听得懂吧？然后把sins抽出来ds。那这时候我就知道。派到二派的时候，这项是负的。而你发现es又是个增函数，你派加s肯定大，
那这人又是负的嗯，这个人我知道这项是大于零。漂亮，所以我就明白了，这是IE讲。IE讲。那IE+1个大于零的。你I1加上那个大于零，等于它那I3肯定大于I1。所以说这个时候I3肯定比I1大，这题的正确答案选几啊选d？好了，这是这个题。我们就讲完了。所以你发现综合度还是很大的。
就是你进行去比较，如果被积分函数相同，积分线不同的时候，我们可以怎么办？进行去看看什么？看看这个人的几何意义。你就要进行去比较，因为这个时候我们就看看谁的这个积分区间当中，它是大于零的。啊，它是大的对吧？谁更大？所以你看这种题啊，难度就有点大了。但是你注意。
我选到我们三九六同学的这个强化班的这个课程当中。他肯定是拥有一定的意义的。那你琢磨清楚一个事，我刚才做这个题做了多长时间？绝对是超过了四分钟的。那如果你继续去做呢，你更可能会超过四分钟。那如果在我们三九六同学的考勤，如果考研真的出了这道题，你怎么办？那就没办法了，所以说你注意你这个方向，其实有问题，那看看还有没有方法做呢？我觉得有。
刚才过程当中，我们的核心思想不就是这个思想吗？什么思想呢？我们刚才这个人，你去把上面三个人的我们抄下来啊，这三个人这个这个没关系啊，这个。你都不写都行。你知道就行，那么接下来我们来看看，我们要比较这三个人。三个人什么东西呢？是被积分函数一致，积分线不一致。对吧，
你被积分函数一致，积分线不一致，我可以想几何一那想几何意义上方的积分是面积下方积分是面积相反数，那关键点一个问题。这个e的x方乘上个s in图像会画吗？不会画吗？我们当然会画。你发现原来我们画过这个人吧。这个不会画呀。你这有点像气口的感觉。那后来过程当中，我是不是会画这个人？我们知道这个s是政府巅峰，值达到它低谷，达到它那现在这个人不就是政府吗？
一亿的s方怎么画？一亿的s方是这样偶函数这边是这样。但是同学们注意，我们只用惯大于零来巅峰值打到它。低谷达到负的塔。低谷达到负的大。然后这个时候的话，你看你上去，这是拍。下来这是二排。然后再上去哎，你看真是三排。所以这是s1，这是s2，这是s3。
如果IE的话，其实就是这个面积。那如果是I2呢，那应该是一这个面积减二的面积，因为上方是正下方负，如果I3呢就是一的面积加三的面积减二的面积。你很明显这个面积越来越大，这是小于零，这是大于零，然后你看这个部分三肯定比二大。那这人是正的，所以说这人是大于多少大于这个s1。那因此马上出来I3大于I1大于I2本题啊，就正式结束了。所以你看这个题啊，
如果你进行去考，我们三九六同学，你这样进行操作，你才能把这个题分拿到你，不然这个题就废到这儿了。对吧，这才是我们的方向性，应该是三一二这个人答案选b。你要像刚才这样做，你的时间肯定是超了。对吧，你这个时间你慢慢在这做，你做一下这个I1笔下I2笔下I3笔下这个人，那真的是废完了。时间就等不了你。
所以像这个东西，如果去做，你画一个草图到这儿，那这个东西啊，立即就出来了。你只有这样的信息去想，那这个方向性你才能把它想清楚。好了，这是第一个事情啊。好了，别装了。什么区间在线呢？嗯，所以说这里面当中你就会发现你区间在线，到底是在干嘛呢？
你就会发现你这个我不是不理解，你这个方向，比如说方法一，你区间在线秒了，哪个区间在线秒了，在哪儿秒啊？不你不了解的话，这个区间在线在哪儿会用你有点儿胡来了啊？好这个人。好了，这是这个问题，我们就说到这儿，所以下去啊，你好好把这个方向性想想，你看刚才这个思路的方向性，
你把这个东西啊啊说清楚了。你就比较这两个人情况嘛。对吧，你比较这俩人，你比较这俩，你就一个一个的来，然后这里面当中你比较这个人的正负性就行，所以说第一个方法的这个方向性你要学会。然后另外一件事情，我为什么会在这块儿援呢？那很简单，一个事情，我希望这个人的积分线少，一个派短一点点。短到哪呢？
短到这个派到二派当中。好，这个事情把它想清楚就行好了，这是这个问题，能听懂吧啊，所以说方法二这个东西啊，才会更加呃符合我们三九六同学的这个考题的方向。你只有这样处理啊，你做这个方向性才会更快。嗯，没关系啊，这个上课嘛啊。不针对你，针对你那句话。好吧好，
这是这个事情，所以下去的时候好好进行，把这个问题啊，好好处理处理。啊，是吧，海峰。好，这个点呢，我们就讲到这。好自己下去好好把这个相对应的问题啊，去处理处理。行吧，那么今天课程我们就讲到这儿，自己好好呃先整理吧，
整理完了之后再处理，然后下节课过程当中，我们还要把这个什么？啊，还要继续去讲这个定积分的计算，所以你先不要着急，我把定积分计算下节课讲定积分计算还有变现函数这两节。把这两节讲完了之后，我们就有新的这个300题了。然后的话看看这个呃，今天晚上没有明天吧，明天我看看时间，因为这两天排的都很密啊。好这个，然后的话，
这个下节课我们会有这个新的内容，所以这里面当中我稍微进去就布置几个点啊，你稍微注意一下。然后第一个事情。嗯，有同学生日是吧？好，生日快乐。好好加油，我其实觉得这个有的人太着急了。对吧，当下的话，你在学习过程当中，等你进行去复盘过几遍的时候，你的速度会越来越快，
你先不要进去去想这个速度的问题。你先学会才可以，你先会了，你才会有速度嘛。速度是什么？是熟练吗？你都不会这个东西，哪来的这个熟练呢？所以不要太着急，我说那时间好，搞得是下个月就要考研了一样。你看看你还有这个，我们的强化班结束，其实核心重点的专题就结束了。那对于我们的真题而言，
就三套二一二二二三年三套真题，那三套真题的话，你要是。有些人一天都能对完你学的好的一天就对完了。你当然的话，两三天也做完了，一个周两天做一套也做完了，你做一套真题的话，也就呃一个半点儿。一个半点时间，早都把它做完了。你所以不要不要太着急，把这个核心重点的这个东西啊，把它先学清楚，你只有会了才能熟练你你现在就着急的说这个速度上不来。
你先学会，学会了之后啊，然后再复盘，然后这个强化结束啊。我们三九六同学。啊，是复盘。对吧，有这个复盘的内容。所以说这个三九六同学，我没有这个复盘，也就是一些错题的消灭计划，但是这个复盘呢，我会更多的是放到错题消灭计划上。所以说到了这个，
今年的这个呃强化班结束，我就会给你们组织。那每天的过程当中啊，那个习题整理你说啥呀？那模拟题嘛，我整理过了呀，已经发给你们了。那天晚上就给你们弄完了啊，你去你去找找。所以说这个东西的结束啊呃，就是错题消灭。所以说这个到了这个强化班结束了之后，我会组织同学们来，比如说每天进行消化多少，你可以根据着自己的进度。
有些同学可能哎，复习的好一点，我不能说我们，比如说今天的话，我们要极限啦，明天的话，我们要进行去无穷小比积啦，然后后天过程当中，我们去看这个数列极限。当然，有些同学第一章已经复习了好多遍，人家就不想复习，这样人家就想复习这个积分学问怎么办？所以到时候我们用错题消灭计划来，对吧？
只有你搞定错题，你永远注意。改错才能提高。对吧，做题不是目的啊。它绝对不是目的，你要天天的进去做题的话，你碰到这个错题，你就扔。错的点才是你的痛点，错的点才是你有问题的点，改正过来你才能提高好了，这个事情不多说了，因为这些点呢，我相信你自己都能理解。
好了，那么接下来下节课过程当中有几个任务？第一个事情就是定积分的计算，你下去把它看看，然后第二个事情变现函数的求导一定要会。第三个事情反常积分。的计算。那么，这个基础班的过程当中，我们讲过反常积分的类型。然后第二个事情狭点的问题。然后第三个事情怎么做计算？对吧，怎么做计算最基础的内容怎么去算的？我第一步干嘛？
我第二步干嘛？第三步干嘛？你要注意这个东西是个冷门考点。啊，所以你把那个常规的计算方法掌握住就行了，你不需要进去去看那种比较沉淀法，你比如说我今天刚好刚刚翻的这套。题目你比如说举个例子，你做这个题。这题就明显超过了我们考研数学的难度系数啊，你看这个人。你做这个题。它是一个反常积分收敛，你怎么算呀？所以有些题啊，
你自己一定要控制好。你别把这个东西啊呃，大量的时间偷错方向了，那这个东西就亏大发了啊。因为这个点的话是数一数二数三同学的新大纲的非常重要的内容。那对于我们而言的核心重点是什么？哎，你掌握住这个计算就行了，所以下节课之前呢，把这个复习到位。所以因此下节课过程当中，我们会把这个东西啊处理清楚。然后接下来我们将会去讲定积分的应用。啊，看看下节课的情况吧，
定期分计算和变现函数的求导，我觉得这个呃下节课可能能讲到这个定期分应用，你注意一下这个事情。因为这个内容非常的少。啊，这个非常少，就是这这这怎么能飘重点呢？所以你把定积分应用，你好好看看，这可是重中之重啊。啊，重中。之中黄金重点必考点。所以像这个问题。所以下次啊，
把这个方向好好进行去处理一下，把这个内容讲完了，我们这章就结束了，然后我们的高等数学还剩下最后一章。多元函数的微分学对吧？多元微分学，所以说这个基本的问题，点上的多元微分学啊，就快了。你其实基本上都是一些计算性的东西，对吧啊？你不要着急，你听我安排。如果中间是连着的，那肯定是前一天和后一天的难度系数不大。
能听懂吧哎，前面和后一天的这个难度系数不大。如果这个难度系数很大了之后啊，我肯定会给你调整。所以你不用着急，这个事情这个你做好你的消化的，这样的一个情况就行，所以时间是来得及的。是吧，我们基本上是八月底。我们讲完你自己到了九月底，这一个月用来复盘。对吧，复盘。然后这个东西复盘了之后啊呃，
你把这东西复盘，你复盘到九月底，九月底，你从十月一开始。你比如说你十月一开始做真题，做模拟卷，你自己想想，比如说我两到三天一套，三到两到三天一套的话，比如说我是从十月一开始。一直到做到十月底，60天三天一套已经很慢了，有些同学估计是两天做一套。两天做一套，能做30套卷子，
你能吃得透吗？所以基本上最后做卷子做了十来套卷子啊，十五六套卷子差不多了，当然有些人做的多，你想做的更多也行。啊，可以啊，没有关系，能做到20套也可以，你基本上20套就差不多了，稳稳当当的把每天东西啊做透，那所以对你们而言。时间是非常来得及的，然后有些同学的话，概率论学的不好啊，
强化班过程当中，我会在概率论当中给你们。啊，这个重点的来进行去加强。啊，你不用担心这个事情，还有同学担心说这个线性代数啊，原来基础班学完之后没有串起来，那也没关系，强化班过程当中我们再来串。所以说你先把高数给拿下来，高数可是这个东西的大头啊，好了，这个问题我们就讲到这儿可以了吧？行吧，
那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去把这个相对应的问题好好处理处理行吧？呃，我们先上这个线性代数吧。啊，先上线性代数，然后再进行上概率统计，可以吧？啊，到时候我们先上现代，你就按照这个讲义啊，然后来进行就行。你就跟着这个讲义的这个进度往下走就行，好吧嗯。
那这个往下走。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿呃，还是这个问题啊，一定注意你前面的东西该整理的整理了吧，把这个整理好，这是你下次过程当中要进行去复盘的东西。好了，我不多说了，因为十点钟啊，还有一节习题课，然后的话，我们这个习题课放到明天呃，叫我看看明天的什么时候？
因为明天课还挺多。我一会儿我会儿跟那个教务老师我看看吧啊，行吧，那么今天课程我们就不多说了，所以下去过程当中把相对的问题好好整理整理。行吧呃，今天的东西比较多，好好加强好同学们行吧，那么我们下节课，我们继续好下节课见。
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