14.冲刺满分强化篇·题型23-24精讲精练-1
好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始，我们三九六的这个强化班部分课程，那么在上次过程当中啊，我们其实重点讲了好几个版块内容。那一个事情，我们把方程根和零点我们做了个最后的总结，然后紧接着我们又讲了这个不定积分的这个定义，还有这个性质，包括在这里面当中，我们又讲了这个原函数的存在性问题。那么最后一件事情，我们又讲到这个不定积分的这个计算性内容，那么所以说在上次过程当中的这个知识点呢，东西是比较多的。但是其实你发现回顾性的东西啊，还是比较多，那么这里面当中我们把这个上次过程当中啊，几个事情我们稍微总结一下。那第一个事情叫什么呢？其实就是方程根。
对吧哎，方程的一个根的问题，还有函数零点。对吧，最后总结。那么所以说这个板块内容我觉得下去过程当中啊，你不会在这个问题当中，你再出现问题对吧？如果遇到这个方程根。还有这个函数零点的问题是怎么处理的，然后第一件事情我们可以怎么办呃，把这个函数的定域进行求出来，然后进行求导，找到这个注点和不可导点。然后紧接着我们进行去划分，
这个区间段把这个人的单调区间找到之后，然后再来判断这个端点，立即出来了。所以你发现这其实就是一个套路问题。对吧，把这个套路啊，掌握清楚，我觉得这个问题点一定可以通关你，所以说这个强化课程呢，在这个板块当中，我们做了一个重点点的一个总结。然后第二事情就是不定积分的定义问题。那么这个东西啊，必考。啊，
一定会出题，那么对于不定积分的这个定义来源于一个东西叫原函数的东西，那原函数这个概念也会出题的。说这个人是他的原函数，其实这个人的导函数就是他对吧？然后第二件事情那么至高理解。哎，这里面当中有个至高理解的问题，你只要掌握清楚，这个至高理解，那这个问题点啊，非常的简单好了，然后接下来再看第三个事情。不定积分的。计算那么，
至于原函数的这个存在性的问题啊，难度系数不是说特别大，那么不定积分的这个计算呢呃，下去过程当中啊，你这个东西。多加练习啊。那么，其实就是这个基础班。啊，基础部分。我们讲了非常多。对吧，这个不定积分的这个计算，你这是一定要把它通关过去的，这个手感的问题是非常重要，
那无论是凑一分。还是我们的第二类换元法，还是分步积分法，还是最后一件事情，我们讲的这个游离分式积分，那这个东西啊，都是非常重要的。那么，今天在上课之前呢？我们先来解解决一个问题，因为这个原本。其实我们的考研过程当中啊，这个东西出的不会说那么的难。然后这个今天的话，过程当中有同学来问这个问题，
你可能做了一些书籍当中啊，你做过这个题，因为那个题啊，有可能是在这个数一数二数三同学的这个真题当中啊。然后把它摘录过来，然后有些同学连答案都看不懂，可能那个答案呢，写的也不是足够好，那么像这种类型问题啊，我们有一个非常非常好的方法。那么，这种当中我们先来讲讲啊，像这种多项式函数，然后求解它的拐点的问题，对吧？
我们把这个内容讲了。所以说将来过程当中，如果你遇到这种问题，不会再有问题，因为非常的简单，所以说这个点呢。怎么讲呢？呃，像这个问题的信息点，它可以除。但是你要稍微注意一下，有的时候它无法出的那么那么的难，所以说接下来我们来解决一下这个问题啊，其实这种题啊。呃，
大多都是数一数二数三同学的这个真题啊，会比较多一点，我给你看看。对吧，像这种问题啊。凹凸性拐点。比如这个题，那么这个题啊，你发现是二零一一年数一同学的这个题。对吧，考点考的这个东西，然后另外一件事情，还有一个点呢呃，是出现在这个。九几年啊，
这个零一年当中出了一道，还有九几年当中啊，也有一道那么这个事情啊，我讲讲这个问题，你可能有些在这个答案当中啊，写的是什么呢？用罗尔定理的这种方式来处理。哎，非常的差劲，我们有一个非常非常好的方法，哎，这个点呢，你好好听一下就行，那这个东西叫什么叫做加强版的传统？穿针引线法，
大家注意啊，不是穿针引线法。所以原来我这个在这个B站当中啊，还有这个呃，原来微博当中也发过像这个东西啊，我们我专门录了一个视频，录了这个东西，然后去讲了这个东西。你一发现有些同学纯属装逼，他明显就没听懂。因为你发现一个事儿，他说啊，这个高中就学过，你自己试一下。你在高中过程当中，
你确实学过穿针引线法，但是你发现一个事儿，你不信你画一下对吧？你试一下。那么，这个人的焦点是什么呢？焦点是一二三，然后你进行穿，然后这个三这个人是偶数次方不穿过去好回去过去。然后这个二穿过去，然后过来，然后这个不穿过去，我问你个事情有几拐点呢？嗯，有几个拐点？
对吧，我就想问一个事情，有几拐点呢？那高中当中肯定学过这个问题啊，那高中在这里面当中，你发现求面积没有问题。你能看出有三个拐点吗？反正我看不出来。那所以在这里面当中的话，你发现拐点就不好看呐。你这里面当中的话，如果进行去求面积是没有问题的，那么原来我们基础班过程当中做过这个面积，那面积就是一到二的定积分。然后配负号二到三的定积分，
然后配正号。但是你发现你能看出拐点吗？所以原来我录这个视频呢啊，其实我有有的时候我也懒得理了，对吧？有些同学这个上来就说啊，高中学过你高中学过这个的呀。你高中连拐点都不知道是什么，你所以说怎么可能在高中当中学这个问题啊？所以这个问题点你要注意，他这个一般情况下的这种画法他就看不出来，所以你必须要掌握住加强版的。对吧，这个东西加强版的这种东西，他的画法，
而且这种画法是非常严格的。所以接下来过程当中，我来给你讲一下这个方法，你将来过程当中啊，遇到这种题，你就不用再纠结了，所以你听完这个课程呢，你继续去处理这个市面当中的任何的题目是没有任何问题点的。好了，那么接下来我来讲讲这个事情啊，这个方向首先第一个事情，它只适用于多项式函数。能听懂吗？多项式函数。多项式函数的画图问题。
那什么叫多项式函数呢？就这个函数的话，你发现可以写成is-s一啊，这个人多少次方is-s二多少次方is-s三多少次方？对吧，这种情况这种情况叫做多项式函数。那么，这个多项式函数这个东西啊，有一个特点叫做奇穿偶不穿，或者有些同学知道这个东西叫奇穿偶回。对吧，鸡穿我不穿。那么，这里面当中你要注意这个鸡还有这个藕指的是什么呀？你一定要注意指的是次方数。
能理解吧，不是这个焦点，是这个次方数啊，就说你这个东西的这个次方是多少次方次方数？所以这是我们讲的这个第一个问题，击穿偶不穿呃，所以我在这里面当中啊，我来给您。写一个点。然后这个。比如说我幻想。然后的话，这个。出一个二。呃，
为了保证你这个东西是错位的啊，就这样，然后这是三，然后二次方减去四。然后这是三次方，然后这里面当中来个减五啊，然后是四次方。你放心，这个东西啊，你会画了，那这个问题点没有任何问题，那所以说接下来我们就专门来画一下这个人的图像。你把这个图像你要绘画，那么这里面当中你稍微进行看看。那么，
这个人的话，你发现这个焦点是五。那这个人到底是穿还是不穿呢？啊，这里面当中有二三四五，这个点是穿还是不穿呢？那穿不穿呢？那这人不穿，因为它的这个次方数是偶数次方不是看这个焦点，是看这个什么次方数？所以你看我给你出题的时候呃，因为上课要讲嘛，然后这样的话你能看得更清楚一点哎，你在这里面当中你看。如果这是偶，
我就出了一个鸡，如果这是鸡，我就穿了偶，然后这是偶，我就穿了个鸡，如果这是鸡，我就穿了个偶。能理解我的意思吗？所以你发现这个位置是不穿的，然后这个四是穿的，然后这个三是不穿的，二是穿的啊，这个东西是非常简单的。那么，接下来我来给你看看这种图像，
它有个特点哎，多项式函数的图像特点。它有什么特点呢？你发现一个事儿，这个函数处处可导。是不是啊？你想想这个函数的导函数是能算的。你能不能算？你肯定能算的，你是绝对能算出来，你放心，我们考题考不到这么难。考的这么难，他疯了吧？他不会的。
所以你发现这个函数的导函数能算的处处可导，你发现第一个导后面不导，第二导别人不导，第三个导别人不导，第四个导别人不导。它是绝对可以倒的。所以说这个函数处处可导。那导函数处处存在这种图像的特点是什么？叫做光滑。你要注意啊，光滑。呃，这种词儿可能在我们的这个考研当中啊，它不会出原来数学二同学出过一道题，出一道什么题呢？
那条曲线当中啊，他就说了一个事儿。已知光滑曲线，什么叫光滑曲线呢？不仅仅是连续的，而且是可导的，对吧？光滑。光华就说的是这个东西是可导的，而且连续这是你要注意的，然后接下来我们来看看这个事情，我们来讲讲这个多项式函数的，它的一个情况。那么，为了讲清楚这个东西啊，
我们一个一个的讲。啊，一个一个的来。那么，首先我们这里面当中啊，我们先来看看第一个点啊，注意我们先来讲一下这个五，这个点可以吧？好，我们先讲这个点。那这个点呢，你稍微听一下，一会儿我再给你教怎么画，我们先一个一个的把它突破突破完了之后啊，这个东西就非常的简单了。
然后接下来我们来看看五这个点。五这个点呢，它有个特点。什么特点呢？就是你发现看这个点数。五的话，这个人的次方数是什么？是四。五的这个人次方数是超过一的，那我想问一个事儿，他在这个点处的导函数等于几啊？等几绝对等于零。只要这个人的四方数的话，你发现超过一它导函数一定是零，为什么呢？
你可以这样做，你把他看为一个整体，这个人看为一个整体。所以这个y它就等于x- 5的四次方，然后再乘上个gs。然后接下来的话，你发现求导那前导的话是这个人。后面不倒，然后的话，接下来我们再来看。加上前面这人不倒，然后后面来倒。你可以试一下，你把这个五代进去，这就是零。
你把我。带进去这个人也是零，所以你会发现在这个点处的导函数啊，一定是零。哎，必须是零。那这个东西的话，如果它是零的话，你就会发现一个特点。什么特点呢？在这个点处的切线必须是水平的。啊切线必须水平。所以说这个时候你就会发现一个事儿，它切线既然是水平。那而且这个人四方四次方他不穿，
因此你就会发现他这个点处啊，他一定是光滑过渡。光滑的绝对是光滑的，有些同学可能看到一些书籍当中是这样画的。这样画不穿翻过去，错了绝对错了，为什么？因为你这半边儿的切线在这儿这边儿切线在这儿。它绝对不会可导的，如果它可导，在这个点处必须是光滑的，所以你发现你看这个切线是水平的。因此啊，这个图像的话，你一定要听清楚它在这块一定得是光滑过渡。
你要听清楚啊，必须是光滑过渡。它必须光滑。反正这个点处，你绝对要光滑过渡。所以在这个点处，绝对没有这个拐点，不可能有拐点的，你这件事情要想清楚好了，这是我们讲的第一个点。然后接下来我们再来看看第二个人x等于几啊x=4处。那s=4处这个人呢，你继续来看。好，我们再来看这个点。
那这个点是什么情况呢？你发现四这个点它在这儿。而且它的次方数也超过一，你可以去试一下它的导函数啊，也是零。你导函数是零，那这个切线必须水平。这里面当中难度系数大了。你这个切线水平，而且四次方是奇数次方，它要穿过去。那你这个东西要穿过去的话，它只能这样摆，它只能是这半边是这样，这半边是这样，
然后它在这个点处切线才能水平。所以这个点呢，一定得是拐点。能理解我的意思吗？他只能这样，就是你这半边儿平，然后这半边儿过去，他只能这样，不然的话没有办法过去的。你要想有些同学说啊，我这样这不可能，你这个切线绝对不可能水平的。所以说大家注意，如果这个东西啊，你发现它的次方数是超过一。
四方数超过一。而且在这个点处，它是穿过去的时候，它只能这样画，对吧？它必须这样画，然后接下来我们再来看看下一个问题。第三个点。如果s等于几等于三。等于三的时候的话，你继续来看。好，我们再看三这个点三这个点在这儿。它都下去了，那下去了之后的话，
你看三处的导函数，这个次方数是超过一导函数是等于零。那这个时候你发现你这个点处的切线是水平的。所以如果你这块画，你只能这样。这一块当中，凹凸性是不会发生改变的，绝对不会发生改变。好了，这是这个事情，然后接下来我们再来看看最后一件事情。如果最后一个点是几啊，最后一个点是二。啊是二那这个处的导函数呢？你发现这是一次方，
它绝对导函数不为零。不信你试一下，如果这个人是一次方，你就把这个人看成gs。那就是前导是一后面不导，再加上前面不导，后面来导。如果你把二带进去，这个人是零，这一项永远不为零，因为我这个后面跟东西跟二没有关系，它绝对不为零。你绝对不为零的话，说明在这个点出去啊。出去了之后，
他是出去就出去，能听懂吧？你出去就出去，它不会改变凹凸性的。对吧，就是直接出去了一个条线，直接出去，我也不用去进行看这个点处的切线水不水平，那这个点你是什么样就什么样，你出去就出去了。能理解吧，所以说这个时候你就知道了，我们看清楚了不同类型的画法。如果这个人的次方数是超过一的，那在这个点处的导函数是等于零。
偶数次方必须是光滑，就像这种圆弧形的对吧？它不是圆弧，其实是光滑的一条曲线的画法。如果是穿过去，它只能这样画，能听懂吧？如果是等于一的次方数，它就直接出去。我们掌握清楚了这些事情，然后接下来你再来看这个问题点，难度系数一点都不大了，那么接下来我们来看看这个事情。来做一下这个题吧。我们把这个题讲一下，
讲完这个题啊，然后接下来我们再来看看上面那个题，然后接下来我们再把这个什么呃一些几个考研真题啊，把它做了这个考点就过去了。你不用在那里面当中，有些人被那个罗尔定律的推论整的乱七八糟的啊，什么东西都不会，那这个点非常的简单。来，我们一起来看看这个事情。好，首先我们一起来看。那这个人图像他是这样。我们先来画图。然后这个东西是y，
然后这是东西是零，然后这是x。好，我们一起来看看这个事情，那在这里面当中啊，它的这个交点是几是二，然后是三，然后是四，然后是五。这个题难哦，考研不会考到这么难的，你放心吧，你把这个题都会了，一会儿都是降维打击。那么，
这里面当中，我们先来看看这个事情，你发现有这四个焦点。那这个四个焦点有一个问题，你这个穿是从高往低穿还是从低往高穿呢？你从哪传？那肯定是崇高望低穿的。那绝对的，为什么？因为你发现当你不就想看看大于五的时候是正的还是负的吗？你大于五的时候，这是正的，这是正的，这是正的，这是正的，
不就大于零吗？所以这个东西肯定要从高往低传，没有问题。那又有一个问题，你是这样穿还是这样穿？其实大家都知道，如果这样穿。对吧，如果这样进去去穿的时候，你就会发现它绝对不可能是可导的。对吧，他不可能。所以说这里面当中你就会想一个事情，他不可能这样，他只能怎么办？
他只能这样。有些人说哎，老师这个东西啊，我觉得你说服不了我。你这样说的话，我觉得不可靠，数学是严谨的，好，我来给你讲讲。那么，同学们想想这个人求一级导，求两级导，请同学们告诉我是不是x- 2 x- 3 x- 4 x- 5的组合？是不是你比如说一阶导的时候就是第一个导，后面不导，
第二导别人不导，第三个导不导，反正就是他们之间的加法。或者乘法的组合有没有问题？没问题吧？那这个时候你发现当大于五的时候，它一定是正的。如果二阶导数是大于零，它肯定是凹的，所以说这个时候我们就听清楚了哦，这条曲线一定得这样画。没问题吧，他就得这样画。好了，这是这个问题，
那么然后接下来我们就来看看第一件事情。你想想五这个点是不穿，它要光滑过渡，它得这样。然后接下来看四四个，这个点是就要穿过去的，那穿过去啊，而且你发现这个点处的切线是水平的。所以说你发现看这个点处的切线是水平的，他这个人的画法，他只能这样画和这样画，对吧？你上去还要下来嘛？然后接下来我们再来看看，下去再上去三这个点呢三这个点是切线也是水平的，
所以说你发现这个人不穿，他只能这样画。然后接下来中间怎么办？中间把它连起来就行。用光滑曲线把它连起来。哎，我把它画高一点，然后用光滑曲线把这个东西连起来就行，只要你会画节点，然后中间的话，你就连起来注意啊，连怎么连呢？要光滑的连。对吧，然后这个东西你看你下来二这个点呢，
直接出去。因为二这个点的次方数是一好直接出去，能听懂吗？那么接下来我们来看看拐点。首先大家给我看看这个部分。这半边都是一个凹曲线，然后到这半边就变成了凸曲线。凹曲线，凸曲线，凹凸性发生改变的点，那这个点是个拐点。然后再来看，在这个点左边，这半边是凸的，然后这半边变成凹凸，
凹凸性发生改变的点是拐点。然后再看这个点是一个old。然后这半边呢，变成凸的，那这个点也是个拐点。然后接下来你再来看那这个部分呢，然后的话，这半边是凸的，然后这半边变成凹的，这又是个拐点。然后再看这半边是凹的变成凸的，那这个点又是个拐点。然后这是个凸的，变成这个凹的，那这个点又是个拐点，
所以说对于这个题拐点有一个两个三个四个。四个五个六个，所以它有六个拐点，你发现真填六。好了，这个事情我们就掌握清楚了，所以你发现你把这个水平点拉起来，它就可以了，就是你要绘画的是什么？要会画端点。要会画节点。只要会画这个东西，中间一连就出来了，你也不需要进去去掌握住什么。罗尔定理推论，
你想想这个事情，这件事儿你高中会吗？你再进去去看那些问题的时候，你会发现有些人呐，活在互联网当中就会装逼。对吧，上去过程当中一看，哎呀，这个东西我会了，你会个鬼，哪里会了呀？你高中过程当中，你能学到这儿，你发现你高中确实会穿针引线法，谁都会穿针引线法，
你告诉我个事儿，这个东西你能知道拐点是多少个？所以这个问题点你要想清楚。对吧，这个问题啊，我们就说到这儿。好，这个事情我们就说到这。呃，然后接下来我们来看看这个题吧，把这个题啊，我们也来画一下对吧？来看看这个事情。看一下这个人，那这个人呢？
哎，你发现来继续来看。走向那这个人的话，你发现给了这个情况，哎，我们考研也考不到这么难。啊，也不会考这么难，一会我们来看看，如果我们出题会出到什么难度？然后这个人焦点是一，这个焦点是二，这个焦点是三。那么，这一点当中啊，
它说拐点的个数。那这个拐点个数从高往低穿，先看三这个点四方数是超过一切线是水平。次方数超过一切线时水平，次方数超过一切线时水平。然后接下来我们再来看三这个点，那这里是偶数次方波穿先画波穿的画法，就这样画。然后再看二穿过去，按穿过去的画法，这样画。然后再看一它的波穿过去，按照这样画。所以说接下来把它连起来就行啊，从遥远处过来。
对吧，然后中间部分呢，你把它连起来。然后中间部分呢，你把它连起来，然后这个东西啊，出去就行。所以说这里面当中我们就来看看有多少拐点，然后凹变凸一个凸变凹两个，然后这是三个。然后这是突变凹四个。然后这里面当中，你发现这是o变成凸啊，这个题啊，你得改一下。
一个算了，这个题。选项没设置好，因为这个题是我刚写的。这是我刚才上课之前写的，你就不要管这个事儿了。这我刚才上课之前呢，随手写了一个题啊，我刚才专门弄了一个文档，叫做随笔题。好了，这是这个吧啊？来看一下这个事情。所以说你就可以数了，这是一个两个三个四个五个好这个题啊，
就出来了。能听懂吧，这是这个人。所以你把这个东西啊，你掌握清楚就行啊，你能理解这个东西到底是什么意思，你就这个点啊，所以你要理解清楚这个问题。过去了，可以吗？你加强版的纯真引线法，那么然后的话，接下来我们把这个呃往年的一道考研真题啊，我们拿过来试一下。其实非常简单了，
我们再来看看这个真题。你注意啊，水平点快一点。你比如说你做一下这个题。这题啊啊，基本上不需要几秒钟，如果让我做这个题啊，我眼睛瞅一下就出来了，又有什么这个罗尔定理推论呢，都不需要。眼睛漂一下就出来了，来我们来试一下，你看。这一点当中的这个信息点呢？它是个什么情况？
然后这是一二三四，他说拐点是谁？那要不是一零点二零点三零点四零点，你想这是个偶数次方吧？偶数次方不传，怎么可能是拐点？然后这是奇数次方，然后这是三你左边是这个这个是这个选c。然后这是偶数次方，偶数次方的话，你看它不可能穿的。它要不这样，要不这样，它不可能是拐点，然后一这个点直接出去了，
不可能是拐点，只能选c。所以你看这个题啊，你要做，你要会做水平点，会非常高。对吧，这个题非常非常简单，这个在二零一一年这个题啊，考点的内容难度系数一点都不大。对吧，你只要知道这种节点的画法，它就可以了。好了，这是这个问题，
那么接下来我们再带着同学们再看一道，所以将来碰到那种题啊嗯，不用觉得有啥非常简单啊。这个问题你再来看看这个题。你看这种题，我们数学三同学都没考过。对吧，你要去考数学三，你也真题当中也没有怎么遇到过。然后这个题啊，都是数一和数二同学考的，然后你看这个题。他说拐点有多少个？来看一下这个人，这是y，
然后这是零，然后这是x。那么，这里面当中，我们先来看第一个事情，它经过一这个点三这个点。然后的话，你发现看这个是次方数超过一切线时水平。次方数超过一切线时水平。那么，这样东西的切线都是水平，然后的话，这个部分呢波穿过去都是这样画，哎，都是这样画，
然后中间啊，把它连起来就行。啊，连起来连起来之后的话，两边啊出去出去。所以说接下来我们来看看第一个事情，你发现这半边都是凹的，然后的凹凸性发生改变的点在这儿。然后这是凸的变成凹的凹凸性发生改变的点在这儿。所以你发现有两个拐点，拐点在哪呢？注意哦，我曾经见过一个事情。你要将来过程当中啊，你去买这种东西啊，
你比如说买这种呃书籍啊，你尽可能一定要注意，对吧？有的时候的话，你发现呃，比如说有的时候它那个里面当中一些对应的点。那么，选项当中对应的话，那倒没关系，但是答案的方向性当中出现错误，这是很可怕的。因为原来过程当中啊，这个有一个数一数二数三同学做真题的时候。他给我解一些这个啊，这叫可能是网络上流传的一些电子版答案。
然后那个答案当中也是选c答案没有问题，但是他说这个拐点在一三处，你看看这个东西就有问题了。拐点可不在一三处，是在一和三中间，这个事情很重要。那么，在这里面当中，我带着同学们来看看。啊，你可能这个事情。我来给你看看这个发质的图像，你就稍微的明白了。这是一个x- 1^2。x- 3平方。
然后这个部分是x- 3。的平方x- 3^2。好，我们来看看这个图像。嗯，怎么不好用呢？哦，这块出现问题了。诶，等我一下。嗯。哦，好了，可以了。刚才肯定是输入的，
有问题了。然后接下来是x- 3。好了，我们来看看这个事情。那么接下来你来看看这个图像，你看这个图像就是这样。这就是它的图像。那这个图像啊，我一般也不用这个啊。一般很少用这个，你要是真的用这个数学大一点的软件，你有些这个那个MS matlab的软件倒还挺好用。那么，这种当中你来看看这个事情，这就是它的曲线，
那这个曲线的话你就发现。对吧，你看左半边在这个点处，它不会变换凹凸性的，它应该是在中间变，你左边是凹，然后变成凸。然后这个to又变成o，所以说这个拐点呢，是在这个什么在中间两个点上能听懂吧？是在中间。它不是在什么情况呢？呃，不是在这个。一和三当中，
你看它是一个这样情况。好了，所以说这里面当中啊，你要注意就是这个人的拐点呢，他是在这两个点上，他不是在这个一和三当中。你这是要稍微注意一下的，所以你看我们画的这个图是完全非常精细的。对吧，而且像这么复杂的东西，我们也能画你下去过程当中啊，你好好处理一下，所以这种题不难，你只要能搞定这个端点，搞定这个什么哎，
这个。节点上那这个问题点就不大了。好了，这个事情我们就讲到这儿，然后接下来我再来说一下这个题啊，这个题有点不好意思，这个可能是我在那个出题过程当中没控制好。呃，因为这里面当中当时想出的这个点呢，想出的点是这个人没有这个平方次方。对吧，没有这个次方，没有这个次方的话，因为有平方就出现五个系数的这件事情，在数一数二数三同学的十分题当中都不可能出。
啊十分题，所以这个题啊呃出的有点狠了，你就不要管了，对吧？就不用管了，所以这里面当中啊，我先把大致的思路讲讲。你听清楚就行了呃，这个题啊，不用往下写了。因为往年的过程当中这个。我来给你看看这个真题的一些情况。呃，在一九年的时候啊，这个数一数二数三确实出过一道大题，
那道大题的话你发现。这是一道数学二同学的十分的题。那十分题的话，也顶多出现了一个两个三个四个参数啊，我们这个题出现了六个，那这个东西啊，你就不用管了，你就大致的进行去计算这个题就行了。啊，我们都讲一下吧，然后这个题啊，我大致说一下思路能听懂吧，哎，大致说一下思路就行，你知道这种有理分式的积分呢，
是怎么处理就行？那么像这个点呢？注意啊呃。我敲到这知道。求解思路就行。啊，只需要进行去知道这个东西的一个求解性的思路，那就可以了。好，那么接下来我们一起来看看这个事情。那么这个点呢？我们先来看第一个问题嗯，大致看看思路就行，那么这个东西进行去拆，同学们告诉我能拆出多少箱？
只是s- 1。is方加一分之一啊，这个二。2 s+2。一拆一拆的话，这个人就是a。没问题吧？好，这是这个人。然后接下来我们就继续，我们再来看。那么，在这里面当中啊，就是x方加一分之一。然后的话，
这个是x方加一，然后是x方加一的平方。那么，下面是二次，上面写一次BS+d，然后这是es+f。对吧，你知道这个人怎么拆就行，我们讲过了。括号内决定多项式，括号外决定次方数，外面是一次方就是一项，外面是二次方就是两项。从这个人的一次方到了二次方，这个东西没问题吧？
你知道这个东西怎么处理就行，然后接下来你把这东西稍微整理一下。一整理的话，然后我们采用赋值法来做，你注意啊，赋值法思路啊，非常的快速啊，这个人。那么，这里面当中其实就是a倍的多少x方加一的这个人的平方，然后再加上多少bx+d，然后再乘上x- 1。那这个部分还要再乘上一个x方加一。然后再大家记一下，这是es+f，
你再乘上多少，你再乘上个x- 1。所以说这个时候啊，你只需要保证这个分子相等就行，也就说2 s+2这个人，他就会等于谁，他就会等于这一长串。所以上次课程呢，就是这个方向性吧，你要是两个人呢，我就带着你解了上节课的过程，当我一看诶五个参数。五个参数啊，首先第一个事情像这种题啊，你就可以不用做了。
因为考研过程当中，我们考研不会进行出这种五个参数的啊，了解就行，所以这个题然后怎么做呢？首先这件事情你要注意。会赋值法。对吧，你要会这种东西的赋值法，而这个。市面当中，你可以见到有些是呢，这个啊，那是复变函数里面学的一个叫什么流数法啊，其实赋值法已经足够非常的好了。那这里面当中，
其实那个流数法没有比我们这更快，思维方式是一样的，只不过起了一个不同的名儿，对吧？哎，复制法。一定要会用赋值法，然后来进行处理。对吧，首先第一个事情你会复习啊。负这个分母为零的点，还记得吧，所以首先第一个事情你就直接来定令，这个s=1。等于一的时候，
这个人是四。然后的话一的话，这两个东西都是零，然后这个部分呢，又是4a，所以我们能求出这个a是一，你看一个出来了。然后第二件事情你再来负，你还得负几，你就负零呗。零的话，左边是二，然后这是几，然后这是a。然后这个部分是减减去d。
然后这个部分是减去多少f？好这个人，然后接下来你再来负几啊，你再来负负一。随便挑嘛，越简单越好，负一的话，左边是零，然后这个部分呢是2a对吧？这个是。负一的平方，那是4c。然后这个时候的话，你进行去负的话，你看这个点，
那这是负二，然后这是几呢？这是负二，然后这是二，这是负四，那就是负四倍的多少？这是d-b。然后这是减去二倍的，多少f- 1好这个，然后再进行去拎，你再拎一个，然后就差不多了。所以这里面当中已经知道一个，然后的话进行去求一个，不够的话你再附两个，
所以说接下来啊附就行。所以这个题啊，你听一下思路就行，你知道这个题的求解思路就可以了，能听懂我的意思吗？好，这是这个题。你只要知道这个题的求解思路，完全就可以了。啊，然后利用赋值法的方式，然后来处理。那么这个题啊呃，我觉得考研当中啊，不会进行处理这种问题，
那么在这种当中，我们稍微把它改一下来看看这个题。好看一下这个题。所以说像这个去年我们考的那个题啊，它其实有点运算量已经算大的了。一会儿我们来进行去再讲一下下面这个题对吧？我昨天呃，应该是前天让你们进行去做一下这个题。你这个题你要注意，一会儿我们在这个讲的过程当中呃，这个题啊，运算能力稍微好一点的同学，你要是硬着讲。一会我们再说啊，我们先看这个题。
来写这个人。那么，对于这个题而言的话，它是多少呢？它是s- 1，然后再乘上x方加一。然后这个部分的话，它是多少呢？它是一个二s加上二，然后这个东西进行拆一下s减一分之一，然后再加上s方加一分之BS加d。那么所以说这个人的话，他就可以乘一下，一乘的话就是x- 1x方加一。然后这个部分的话就是a倍的多少？
那这个部分a倍的这个是s方加一。然后再是BS+d，你再乘上s- 1。好，这是这个问题，能理解吧？那么所以说我再说一遍，你考研见到这种题，先不用去想偏方。先按朝常规方向上进行去想，那这两东西是不是完全相等啊？不要管分母完全的相等，那么首先第一个事情你会令谁啊？令分母为零的点负一。那负一的话，
左边是a。那负一的话，你看这个人是谁呢？你负一的话，这人是二，那就2a。a就是二。然后接下来我们就继续，我们再来看能听懂吧，分子是完全相等的，就进行去对着什么东西呢，对着这个分母为零的点进行赋。然后接下来我们再看分母没有了，那然后的话就负零。你负零的话，
左边是二。然后右半边呢是a，然后负零呢，之后的话，这是减去个d。那这个d是多少？你看这个部分的话a是二，那a是2d就是零。然后接下来我们再来看0s等于几呢？0s我估计是什么呢？我出的那个题。我我刚才忘了对那稿子了，我出的应该是出的这个题。可能啊，敲成平方了，
估计编辑把我那个答案给我改了，硬生生把它给我做完了。来，我们接下来我们来看看这个事儿吧。啊，再来看负一。那负一的话，左半边是零。然后接下来的话，你发现我回头问一下啊。是这因为出的这个点的话，如果这里面当中啊出现五个运算量的啊，我肯定不会出这种点。所以我我也也也想不清楚了，这个当时到底是怎么进行出这个题的啊？
因为这个时间比较早。来继续吧，我们再来看，然后这个部分呢是2a。然后接下来的话，这个部分是多少？这是负二。啊负二倍的，这是d进行去减去b。好这个人，然后接下来我们来看看这个b等于多少呢？那d是零零=4，然后再是多少？那这是加上2b那，所以说b就等于多少b这个人呢？
等于负二。啊，这个人能听懂吗？嗯，他们他们这个运算运算量还是可以，运算能力都还行，编辑。哎，我我忘了我们那那个编辑那个，因为现在去你要去高等教育出版社的话，他们要求都还挺高，比如说这个要求，这个硕士是。最起码九八五以上的啊，或者二幺几以上的话，
而且还要通过考考编嘛，都还挺难考的。好了，这是这个人，所以说这个点呢，马上出来。原是这个结果，那原是这个结果的话，是个什么情况？那这个人的不定积分就等于这俩人。对吧，所以说我们就来做成了x减一分之a，那这是二倍的ds，然后再加上多少，再加上x方加一分之。
负2 xds你看这个题啊，这个题的话，它才是非常稳的，而且好的。对吧哎，非常稳的，而且好的，所以像这个题的这个运算呢，是完完整整的一个哎，方向性，所以说这个人的话，他立即变成多少二倍的多少。ln x- 1，然后再减去把它往后面凑一凑的话，这是ln多少x方加上一。
你看加上c，如果这个题出成了这个情况，你发现完完整整的就是我们可能考研过程当中肯定会出题的点。像这个题的这个运算能力，运算量稳稳的站在我们的这样的一个考研的方向上。好了，这个问题听懂了吗？而且你发现中间的这个运算也不是说想象那么难。而且你会发现这个题目。啊，你改成这个，你改成这个题的话，算的是非常稳当。而且其实这个题的运算量还没有去年这个考研真题的运算量大，你来看这个题。
其实就多了一步，多了一步，什么东西呢？你要会把这个下面这东西合起来。啊，这也是个能力，对吧？你把下面这东西合起来。所以说这个题啊，你要注意，你最多而言，你只能做到三四分钟，顶多到四分钟。你去看看，有些的话，
这个一看的话，这个不研究这个三九，它方向肯定不一样，你做这个题，你继续去做这个题的时候，你你比如说站在一个老师角度上面。你做这个题的话，做了十来分钟，你觉得考生而言还能考吗？那三九六同学而言的话，那考研都崩溃掉了。你把这题你做个十分钟，你看看。你要是当场而言的话，你考研的过程当中，
你做个十分钟，那还考个鬼呀。那基本上而言的话，这个题你发现你这年的话过程当中没啥可考的了。所以接下来我们来看看这个题来解。那么，首先我们先来看这个第一个事情，零到一。那么，下面这个人呢？你发现。这个人其实方向性还挺明显，这个人是2 s+1，然后提个二的话，这是2 s+1。
那所以说这个部分的话，其实就是二s加个一，然后再乘上s方加上二，然后这个部分呢分之一啊分之四减s，然后ds。好，这个情况那么做了，这个情况的话，那么接下来我们一起来看看这个事情。来操作一下，你就要分你一分的话，这个人其实就是2 s+1，我给你写啊，要不然的话，你可以写快一点，
对吧？你这个东西步骤啊，你在做的过程当中，你大致看到就行。然后这是四减s，然后一拆，这是二s加一分之一，然后在这里面当中是s方加二，然后分是多少BS加d？好了，这个时候的话，这个上面的四减s就等于多少？那就等于a倍的x方加二。然后再加上2 s+1，然后这是BS+d。
对吧，然后你继续去复制法，那么有些的话，这个市面当中写这个参考答案，如果作为三九六同学写这个题的答案。如果是多项式相等，说二次多项式等于二次，一次等于一次，常数等于常数，你发现考研时间也不够。你想是不是啊？它不光考量我们会不会这个时间方向是一个很重要的一个因素。你要注意，我们三九六同学的考情，这没有办法，
对吧？所以接下来我们来看看你复制法，赶紧盯盯着分母为零的点符。你一负的话，负多少呢？你先负负二分之一，你负负二分之一的时候，左半边是多少？那就是二分之九。然后右半边呢。右半边这个人是四分之一，那四分之一的话，再加上它，那就是四分之九，然后后面是零，
所以说这个a等于多少a等于二。好，这是第一个事情，然后再来负几呢？负零你负零了之后的话，这个人是四，然后这是2a。然后这是零的话，你发现你看这是零，这是零，那加上d，所以说这个d就出来了d是零，然后再令s等于多少，你就令一吧。零一的时候的话，
这两边是三零一的时候，这是3a，然后零一的时候，这是三倍的多少b+d？那所以说这个人的话，马上来看看这个事情。对吧，这是b+d。那这个时候的话，这个人是几呢？那这人是六，那是负三，然后等于3b，所以说b等于多少b=- 1？好了，
这是这个情况，那么所以这个题的话，你发现做到这儿，那这个题就结束了。那首先第一个事情零到一一定是二s加一分之a，那是二倍的ds，他后面很仁慈哦。然后接下来是x方加上二分之BS加d，那就是负x。所以说这人呢，就做成这样了，领导一。后面都非常非常的仁慈。所以说这个题的好，考研的一个方向性就是在这个列项上，
你看这个第一个人，他一积分的话，这是二凑到后面去就是l多少，然后是2 s+1。然后把零和一带上去，然后这个东西就是负的二分之一，然后往后面凑，然后这是x方加上二，然后把零和一带进去。然后这个时候是long呢long三零蛋区没了，再减去二分之一倍的，那这个是一旦区是多少？你像往里面带往里面带的话，这个结果就是long long 3。对吧，
这是lone 3，然后再减去把零带进去是多少lone 2？所以说这个结果就等于二分之一倍的lone三，然后加上二分之一倍的lone二等于二分之一的合并项lone六啊。好了，这个题啊，正确答案就选b。所以对于这个题而言。呃，两件事情。第一个事情呢，就是你在这里面当中，你必须要用复制法。如果你这个题的话，而且还是合并同类项，
证明着你这一年的复习过程当中，你的方向是有问题的。所以说对于这个题啊呃，我一直跟你讲这个事儿，原来过程当中跟你说过平均一道题是两到三分儿。对吧，平均一道题是两到三分。不是说每道题一定要是两到三分，有些题可能是一分钟就做完了。对吧，有些题的话，你发现几十秒就做完了，但是有些题的话，它就可能做的更长一点，所以一般非常难的题啊，
你要控制好。那么，在去年过程当中，如果做这件事情，你半天没算出来，你可以弹跳法，你跳过去都行。对吧，你可以跳过去，所以说这是这样的一个问题，你可以跳过去，你回过头来再看，不然的话，这个其实你发现说说明这个经常我们说这个三九六同学考这个数学。对吧，
这个数学你考这个数学的话，你发现虽然只有70分，但是他其实对你后面的这个。逻辑和写作影响是非常大的。你看去年很多同学都是这样。什么情况呢？不是那个弹跳。就说你跳题不是让你弹跳，你在干啥呢？对吧？所以它对后面的这个逻辑和写作影响是非常大的。你要是前面的话，这个数学没做好。对吧，你到了后面过程当中，
你做逻辑和写作，你都没有什么心情了，比如说那我先做逻辑和写作，其实你发现你是不放心的。你还是会乖乖的进行，先做数学。你看就是这样的个问题。所以有的时候你在做这个题目的时候，你发现方向就是在这样。他说那我那我就先做逻辑和写作，万一这一年的数学过程当中它没有出的特别难呢？你又会很崩溃，所以你还是会乖乖的从这个数学开始做。然后再坐到后面，但是你数学做差了之后，
你发现很影响后面的这个心情。所以像这个题啊，我觉得这个运算也是非常重要。对吧呃，像这个合并的时候，你看刚才我们做你要做越做越快，对吧？你这个人的话，其实就是这个人乘上这个人嘛。然后这个人的话就是等于这个人成长，这是一个初衷问题啊，这不是说特别难。好了，这个事情我们就讲到这，对吧？
这是这个问题。所以你下去好好进行练习一下，你看呃，所以我觉得我下去问问他，因为那个原来的那个原来的稿子已经当时有些部分是手写的。啊，书写稿子，然后发给他，我回头看看这个事儿，明天刚好周一嘛啊，这个周末刚好他们休息着，然后明天我问问他。你看这个题的出题方向就很像刚才这个题。对吧，你看这个题。
这个题就很像刚才这个题，因为你发现列的这个东西是很很相近的，对吧？东西而且还是很相近的。好了，这是这个问题吧？平方平方，我在数一数二数三的这个卷子当中，我都不会出的。行吧，这个问题我们就讲了，但没关系，你学会了就行。好，这是这个。
那么，接下来我们就真正开始吧，我们再来看看这个今天的正式课程内容，我们今天啊，将会进入到定期分内容，但是我还是想强调一个事情。就是你的不定积分的运算能力，你千万不要停。你不要这个，今天我说的这个东西，你要进行做对吧？贵在一个坚持。你所以好好进行去，把那个相对应的问题啊，好好处理处理呃，
没有关系啊。然后我记得昨天的话。我收到一个同学的这个私信呃，其实我觉得真的是。这个调整过来了。我觉得非常好。就是有些同学的话，一直第一件事情。你不要想想着说，我把市面当中的所有的模拟卷都能做完。不要想这个事情。不是说你把市面当中的所有模拟卷将来做完。你就能考高分，不是的。他是看你做了多少有效的题，
他不是进行去比你做了多少题，这是这两天我我不知道这个同学在不在听课，我觉得非常好，因为的话，这个前段时间他给我回复说什么？说这个也不复盘了。对吧，也不复盘了，给自己压力非常大，一个是希望把这个说这个三九六同学，我们要求做题的这个速度，然后怎么样，我希望把试面当中所有题做完。然后将来到了这个九月份，我会把市面当中所有模拟卷做完，
大家注意啊，你是做不完的。你这样而言的话，你会浪费了很多很多的，这样的一个时间。你还有别的课程呢？所以这样你而且还未必能考高分，你投入了大量的时间，所以这个问题点就在这啊。要多进行复盘，有的时候第一遍做的不好，你进行复盘几遍，那这个问题点啊，就非非常好了，你还记得我第一次课程我给你讲过这个事情。
那么，强化过程当中讲的很多东西啊，你要记到脑子里面。对吧，你要记到脑子里面这个东西一定要装到脑子里面，一定要是非常熟练的。当然，有的时候你想进去去做别的也可以，但是咱们是不是要站立在一个呃学有余力的前提条件下？是不是这个事情你学有余力？什么叫学有余力？就是当下的这些点你都做会了，所以我从来不在这些事情上呃限制大家。但是你要稍微的适度，对吧？
你有的时候剑走偏锋了，它未必是件好事儿，好了，这个问题啊，我们就讲到这儿。呃，这是我们今天的过程当中的第一波内容，那么今天啊，我们将会正式的看看下一个板块内容叫做定积分的定义核心值。那首先第一件事情你要注意一个问题，这个内容必出题啊。哎，必考点。那么，对于定积分的这个定义和性质，
那么有的时候考研过程当中啊，出的比较多一点。他有可能会出一道。这是最少的，但是基本上不会出一刀，有的时候是两刀。有的时候是三道，所以说这个板块的出题的，有的时候是四分，有的时候六分，你看这一个考点啊，我觉得非常非常棒。然后这里面当中啊，你稍微注意一个事情。就是这个定积分呢。
他喜欢跟这个几何意义挂钩，这是我们三九六同学特别喜欢考的题。对吧，就说你这个东西一定要看看哎，你这个方向性。对吧，你准不准就是你这个理解的这个图像的能力？它不需要你进行大面积的计算，有的时候这个图像能力很重要。所以他很喜欢考这个事儿，我们先来看第一个问题。利用定积分定义去求数列极限。好，这个点呢，我们就不讲了。
这是在这个第一章过程当中啊，重点讲的，你下去好好看看什么零到一。什么零到二，什么零到三，什么a到b，你都要会，所以说这个方向性问题，点一点都不大。好，这是第一个事情，然后这里面当中啊，一个重点就这个点。利用定积分的几何意义去求解定积分。那么，
这一类目当中，你学到今天呢？你如果出去再跟别人说，我记得我基础班就说过这个事情。我说你作为一个考研同学，你出去跟别人说定积分就是面积，你不觉得low吗？定积分可不是面积。定期分是绝对面积。哎，定积分不是面积。他是这样说的，他说位于x oy面上方的这个人。对吧，你位于sy上方。
你上方的话，你看这个时候围成的面积，它等于定积分。你比如说这个面积是s1，那这时候呢？你发现这个定积分就等于面积。哎，等于面积。也就说你要想清楚，位于上方的积分才是面积，但是如果这个人是位于下方的。比如说这是a，这是b。它位于下方。你下方而言的话，
这是y=fs。那如果这个东西位于下方，你下方这个定积分，它可不是面积哦。你比如说这个面积是s2，它会等于面积的相反数。你这是要注意的，上方的积分是面积，下方的积分是面积的，相反数。所以说这个东西是个绝对面积，它不是个面积，你要切记切记这个事情，那么这里面当中啊，我想提示几个点。
第一个事情，第一个信息点。几个重要的。几何意义。啊，定积分。就这样写的，有几个比较重要的一个定积分，这件事儿你是务必要把它记住的。那比如说我们来看看这个事情啊，就是那两个圆还记得吗？那首先第一个事情，你看这个人考的非常多，第一个事情他是零到a。比如说这是根号下a方减s方。
然后第二点。零到零根号下。as-s^2。你这是一定要记住的，而且要非常熟练。你在考场的时候见到这个东西，立即反应出来圆好，先看第一个人。我们把它当成y。你当成y了之后，其实就是s方加上y方等于a方。x方加上y方等于a方，这个是什么情况呢？它是这样x方加上y方等于a方，使圆心在原点半径为几啊？
半径为a的圆，然后让去求零到a零到a的时候，这个人就是四分之一派多少a方？好，这是这个人，如果你把这栋这另成白。那其实就是s方，加上y方等于as。x方加上y方等于as，它是个偏心圆。对吧，他是个偏心圆，他是这样。is方加上y方等于as它是偏心圆。然后这个人y这个人是大于零，
他就在上方零到a这个人积分就是这个部分。那所以说它应该是二分之一派，然后半径是二分之a的平方。好了，这是这个问题吧，你把它想清楚。对吧，是二分之一派，然后这个二分之一。啊，这个a的这个品牌。当然，这里面当中还有一些比较简便的，你看我们考试经常出。你像这里面当中，
比如说还有个什么零到二分之派，然后这个s in。对吧，零到派这个s in这些基本的问题啊。那像这种东西的话，你眼神瞅都能瞅出来，你这个简单的问题你稍微知道。对吧，你像三这个图像。那三人图像的话，办公面积是一，那办公面积是一，这个积分就是一，然后这个是一，那这人就是二。
那你如果将来做cos in呢？cos in 0到二分之派，这个人不也是一吗？你会越做越快。那不讲究速度吗？你就是像这种技巧性呢，你是要有的。好，这是第一个问题，能学清楚吗？好，这是这个人。然后接下来我们就继续，我们再来看。第二个问题。
定几分？只有下限。小于上限的时候。才可使用。几何意义？这是你要注意的。它必须要保证这个下限小于上限。你比如说我举个例子。我们说零到1s方ds。我们知道零到一的话，这是I次方ds，那就表示了这个面积。但是一到零呢。这个人不行。你必须把这东西调成负的，
零到一。零到一这个人哎，才能用集合一。你下限小于上限，你才能用集合一。我们说上方的这个积分是面积，下方的积分是面积的，相反数它站立在这个积分线是下限小，上限大的时候。是真的，积分线的时候这个事情你要想清楚。然后第三个点，这个点呢，我原来给你讲过这个事情。第三个问题。
喜欢画图。对吧，你一定要注意，你要喜欢进行去画草图。这个很重要。那么，长于什么东西呢？啊长。在考题中。已知。对吧，比如说已知单调性。凹凸性。这些信息。能听懂我的意思吗？
就说你在题目当中的话，你发现经常会知道这些信息什么单调性呢？什么凹凸性呢？然后接下来进行去判断，然后。然后让你去判断什么这个巨星呐。梯形呢，等等，这些面积的问题，那这些事情我们原来过程当中我们都讲过这个事儿。你还记得吗？注意这个图啊，是草图就行了。那么，在这种当中，
比如说我们看这个题，那这个题我们基础班过程当中，我们应该做过。对吧，很喜欢出这些信息点，你比如我们来看看这个题来解吧。那么，对于这个题啊，他说。我这个y=fs这个曲线就是这样。则这个定积分来看一下这个事情。零到as 1撇sds。同学们告诉我。只要见到抽象函数的导函数，不用去想，
凑到后面去分步积分法，这个意识要有吧？你只要见到抽象函数，导函数，你比如说题目当中见到什么，你这个ds我就是dfs。那这这这个哪怕做成机械记忆的都行，你往后面凑导函数。你只要碰到这个人，你都不用去想，立即把他凑到后面去，分步积分法。那所以说就是两项相乘，把它代值，然后再减去两项调换位置，
把它代值。啊，调换位置。那么所以然后这个零呢零再去零就是a倍的fa，然后再减去零到a fs ds。那a是谁呢？那a就是这个人。那fa呢fa就是这个人。所以说a×fa其实就是这个矩形的面积。对吧，这个情况。然后这个零到a这个fs ds呢？零到a fs ds这是fs。那其实就是这样的一个。曲边梯形的面积。
那因此这两东西一减呢？一减其实就是上面的空白a cd，那所以说其实就是什么a cd，但是a cd不是三角形，是曲边三角形。选c好了，这是一个基本问题，对吧？这个东西的难度系数不大，你就用这个人减这个人。那比如说我们这里面当中考题啊。他有可能还会考这种。比如说我们这个题目当中说已知什么呢？已知fs。大于零，
然后接下来又说这个人。他是个什么情况？他说这个人的一阶导数大于零。然后二级导数大于零。那比如说我们这里面当中出几个人呢？比如说这个s1这个人。使a到b。且什么情况，且a小于b。然后这是第一个人fs ds。这非常简单的题，但是我们很容易出。然后就是fa再乘上b- 1。s3 FB乘上个b-a。这随手出这个问题点呢，
这我们原来做过这个问题，然后还有什么是二分之一fa加上FB。你再乘上一个多少b- 1。好像这种问题。那么，这种情况的话，你进去去判断这几个人大小，哎，这就很好做，你要会画图。你图一画这个题就结束了，你不要在那里面当中愣着进行，想你看这个y这是零这啥这非常有几率出题的点啊。那么，首先看它是个镇长。
它是个增的。它是个凹的。又凹又增，这不是阿达玛不等式。不要乱想啊，可以想到阿尔达玛不等式也可以想，但是这个题一个图就出来了。那么所以说这个人图像的话，他应该是这样。对吧，他就这样，然后这是a点。然后这是b点，你注意这种题的考题几率相当的高，不是高非常的高，
有可能我现在出的这个题。我稍微一改，就是一道非常好的真题了，你所以下去过程当中，你好好做一做。那么，然后接下来我们来看看，你看做成这样，那做成这样了之后，然后接下来看。那然后是谁呢？那首先第一个人，他这个曲边梯形其实就是这个面积。所以这个部分的面积是s1，能听懂吧？
然后再来看。这个长度是b-a。然后这个长度是fa，所以这个部分的面积是谁呢？这个面积是s2。好，这是这个事情过去了吧？好，你要想清楚。这是s2。然后接下来我们再看，然后这是b-a，然后这是FB，所以说这个面积是多少？这是s3。
然后接下来我们再看，然后是fa+FB。乘以b-a是高，然后再除以二是这个梯形面积。所以说这个题啊，最大的是谁呢？最大的是s3大于多少呢？s4大于谁呢？曲边梯形s1大于谁？s2。所以像这种题，你图一画，什么事情都出来了，信息点都在其中。你想怎么做怎么做，
所以像遇到这种题啊，你一定要做到速战速决，一定要做的非常稳，你当然的话，我们上次过程当中还讲过这个什么阿达玛不等式。对吧，你比如说我们再来看第二事情。比如说已知这个ifs大于零。这个二阶导数是大于零。那么还讲过这个阿达瓦不等式，那这是一个什么情况？我再复习一下，我稍微说一嘴，我们就过去了。然后这个人其实这样。
这是y，然后这是零，这是s，比如说你是这样。因为二级导数大于零，你是all的，但是未必是呃，未必一定是单调递增，这都无所谓。好，这是b。那么，所以首先第一件事你发现a到bfs ds。它肯定是这个曲边梯形面积。然后接下来你看你把这个连起来。
对吧，你如果说这个里面当中且什么呢？且a1定小于b，因为一般情况下a是小于等于b。对吧，如果一定小于b的话，它一定比它大。那如果这个东西是呃，这个有可能相等，所以我们现在写的相等啊。那这个人是多少是二分之，然后是上限加下限。乘高除以二。能理解吧啊，就是这个问题上限加下限乘高除以二。
然后这个部分大于等于谁呢？好，我们继续看，然后你取一个终点。终点是多少呢？终点是二分之a加b。那这个高度那这个高度就是f二分之a加bf二分之a加b就等于这个人给我做切线。那这个切线的话，你想。这个高度是这个梯形的中位线。这个高度，它就等于这个人，加上这个人除以二，这没问题吧？所以这个高度其实就是二分之fa加FB。
二分之fa加FB。然后再怎么办？我再给它乘上一个高。再乘上一个b- 0，这你就出来了。不用会证明。这个证明起来就非常麻烦了。但是这个题的话，你发现它的这个方向性就出来了。这就是阿达玛不等式。对吧，这种考点的话，你看我们是考过的。所以说把这个方向性想清楚就行了。你看这里面当中的这个第一个点，
你要喜欢画草图，就题目当中很很多情况下，我们知道这个单调性，凹凸性的这种信息，你要干嘛呢？就是来画图的。好了，把这个事情下去好好想想。可以的吧，你注意这个强化课程呢，它跟我们的基础班是有衔接的，所以这个水平点还是挺重要，等一会儿我再讲一个题。我讲一个题，我们再休息，
再来看这个题。幺三五这个题。好看一下这个题。呃，这个题啊，有些同学觉得说这个题目条件信息怎么这么长？对吧，他说这个人在这个区间上分别为这个什么直径为一的，上下半圆在这个区间，为什么上下半圆你注意？其实你发现这个题目条件信息一点都不长，说了这么一堆。其实都在干嘛？都在说这个图呢？就说这个图啊，
它是圆。能理解吧，图是知道的，他就想说哦，你这个图是个圆。你这个线是一个圆圆弧线，就想说这个事情，所以说虽然写了这么多字儿，但是没有什么难度系数。然后接下来他给这个变上线积分。对吧，然后让我们去求解什么，让我们去求解f3。f2f负3f负二那么首先我们先来看看f2。f2就是把二代进去零到2 ftd t。
积分这个东西啊，跟变量字母的选取没有什么关系，其实就是零到二的这个部分的圆。能听懂吗？哎，就是这个情况。所以说这个人呢，他就给了这个圆。那你告诉我，现在位于so y的上方下限小于上限，然后这人位于上方，他的积分线。这个积分是不是就是面积啊？所以我们来算一下这个面积，面积是二分之一派一的平方，
二分之派。好，第一个人。如果这里面当中，然后让我们去计算三呢，那就是零到三。零到三这个ftgt。但是你要注意零到三这个积分的时候，你要稍微注意了。那这一块积分的话是正的。这一块积分是负的，他得抵消吧。你要注意，也就说前面这个面积要减去后面这个面积，你可以分成零到二积分，
零到二积分是面积，你再加上二到三积分呢，是负的它的面积。那这个部分面积是多少呢？是二分之一派半径是二分之一的平方，它等于八分之三派。好，这个人好了，做成这样了之后，然后接下来我们怎么办？我们再去看负二。如果就像我们再看负二的话，你发现就是零到负2 ftd t。但同学们想。零到负二这个人的积分，
你还能用这个几何意义吗？就不行了，因为它的上限，它要小了。调换一下上下限好了，我又一次可以用g和e了。那也就说它是负二到零这个积分，这个积分在下面应该是面积的相反数。所以说面积的相反数又是负的二分之派，所以等于多少二分之派？是不是这两个相等？其实你注意，如果你这样做，你的速度又慢了。当然，
这样做是可以的。注意啊，仍然是二分之派，它俩是相等的，仍然是可以的，但是这样做速度有点慢。如果你是个高手，你稍微眼神嫖哎，你发现这个函数是不是个奇函数？对吧，两边对称，它是个奇函数，而奇函数你发现一个事儿，这不就是牛逼吧吗？不是吗？
零面是奇函数从零开始是偶函数哦，我知道了，原来如此，你这个函数啊，不就是个偶函数吗？原来你是偶函数的话，你发现你跟负二不就相等吗？你跟负三不就相等吗？所以这个方向性不就又出来了吗？你看这个题。就不需要做的那么麻烦。然后这里面当中你就进行去看谁呢，你就看看这两人之间关系三和这个二。你这个人是八分之三排，你这是二分之一，
两者之间刚好是四分之三的关系，四分之五都不对。然后这是负四分之五，这都不对，这都不对。然后这个时候你发现负三跟三是一样的，所以说这题的正确答案选c。可以的吧，所以这个题的难度系数不是说特别大，它的核心重点就是看几何意义。我如果下限小于上限，我位于x轴上方的这个积分就是面积下方积分是面积的相反数。如果有正有负，两者之间是会相互进行去抵消的，它会抵消一个部分啊，
这件事情你要想清楚。好了，这是我们讲的幺三五这个题。不难吧，还可以哦，没有你说你想象的那么的难。好，这个点呢，我们就说到这，然后一会儿呃课间休息过程当中，你再看看这个题。你始终要记住一个事情，你是个三九六同学。你做题的这个当然有直接性的方法。但是有的时候你要注意，
你要面向的话，你自己的考试的这种情况。你要注意自己的考勤。有的时候的话，你发现一个题，你这个方法确实可以做，你做十几分钟乃至20分钟做出来，那这种题在我们的考场当中就不叫方法。你能理解我的意思吗？你若是十来分钟才做完，你发现你在考场过程当中，你根本没有时间做。但是另外一件事情要注意。不要刻意的追求速度而忽略的准确率，你看这两件事情，
有些人觉得是矛盾，其实也不矛盾。这两件事情都是你要注意的。一个方向，你要注意速度，但另一个方向，你不要苛求速度，有的人做题的时候特别着急啊，这个题啊，开始做题了。做做做啊，怎么还没想出来？怎么还没想出来啊？两分钟过去了，赶紧想，
不要这样，稳一点稳比什么都好。你想想，如果这题做错了，你还不如不做。你要做稳一点对吧？你要做对。做对才是个前提，所以说希望同学们注意，如果真的是去考试的时候，你稍微进行去平心静气，对吧？我们从小到大都知道，如果稍微的紧张。对吧，
呼口气啊。呼吸几口，然后冷静下来，稳稳当当做不要上来就毛毛躁躁的，然后第一个题啊，两分钟没做完，疯了对吧？不要苛求速度，但也要追求速度，这两个方向说矛盾也矛盾，说不矛盾，其实也是对立统一的。好了，这个事情吧，我们就讲到这儿，
然后的话这个。下课休息过程当中啊，你去做一下这个幺三六这个题。可以吧好，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。把这个题啊，好好进行去处理一下。谁让你去学呼吸啊，对吧？你这在搞啥呢？来稍微休息会儿吧，然后做一下幺三六这个题好休息会儿吧。
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