13.冲刺满分强化篇·题型21-22精讲精练-2
好，那么今项目继续吧，我们再来看看这个题做完了没有？有没有做完呢？怎么做的？这我们的真题啊。好看一下这个题。做的慢也不行。对吧啊，这也不太行，然后我们来看看这个题，你要有非常强的快速反应的能力，那么首先我们先来看看第一个事情。他说这个人是他的原函数，是不是这个样子啊？那就说明它的导函数就是它呗。然后接下来就说什么呢？说明什么叫不会考虑，那你在学习呀？你现在的水平不是你最后的水平。我们还没有复盘呢，等到时候再复盘个两轮你你看看。啊，不要急啊。那么，接下来我们来看看这个事情，所以你发现这个东西不就是导函数吗？爹跟儿子是不是在一起啊？da跟r次在一起的话，你发现这是它，
然后这是x+1的这个平方。那所以说这个人就变成这样了。那变成这样了之后，你会怎么想？da跟s碰一起的话，这是二分之一。这个平方的导函数还记得吗？是不是这个事情，所以说这个时候的话是x倍的es 2倍的s+1^2，注意啊，不要内耗。千万不要内行，以后的话你发现嗯。让别人焦虑。你又成功了。
你看别人让你焦虑，你退半步。人家又进步半步，你退半步，你又错一分。你就得怎么办呢？别人说什么你得让他焦虑啊。好了，那么接下来我们来看那这个人的导函数等于他。导函数等于它的之后的话，你发现这个人其实就是他的一个积分。对吧，就是x+1这个平方ds的积分。是不是这个事情哎，就是这个人的积分。
那这个积分，然后接下来怎么做呢？你看就做成这样了。那么，然后接下来我们就来继续去操作一下。你马上看到这个，这个s+1的这个平方。那x+1的这个平方的话，你发现你这是x+1的这个平方分之一，你在后面补一个一行不行？可以吗？然后这个时候的就是dx加一分之一。啊，就是他那所以说这个人呐，你就可以直接进行去分布积分下变成他。
好，做成这样，你做成这样了之后的话，其实就是两项相乘，然后s+1分之负的s倍的es。减去就变成加上两项调换位置。调换位置的话，就是这个人跑到后面去。这个跑到后面去求导，那求导是多少前导后不导前不导，后来导诶是不是这个人呢？所以说这个时候啊，你马上这东西就出来了，你出来之后的话就是x+1负的s倍的es。然后这个东西呢，
你看你提一个es不就是s+1吗？约掉哎，约掉只有一个es。然后这个东西呢，你还要加个c，你最后把这东西啊，稍微的整理一下。其实就是s+1。那负的s倍的es，然后的话，再加上s倍的es，加上个es，这样东西约掉就留下了这个人。加c好了，这个东西啊，
就马上变成了这个情况。跟得上我的意思吗？好了，这是这个事情。所以说你发现。直接想除法求导。嗯，这个不保险不保险。你这是一下，你有可能看有些题它出来了，那出来了，那未必。嗯，不保险真不保险，你可以去试一下，
不是每个点都是这样。所以说这个东西啊，我们就看出来。能听得懂吗？es+x被es嘛。你把es提出来，不就是ies乘上s+1吗？你s+1约掉了吗？好，这是这个方法。但其实吧。这个方法不够快啊。如果接下来我讲一下这个片段，你马上就会有深刻的回忆。你现在而言，
不就是做这个人份吗？那这个分的话。你想想这是x+1。那s+1的话，我就在这配一个加个一。我加个一这个人是不是就减个一？大家看懂吗？我加了个一，我减个一就是减es。然后这个时候的话，它就变成什么，你就除下去s加一分之一es。然后再是x+1^2分之负1 es。好，做成这样。
诶，那然后接下来你看你乍眼一看诶，这不是a吗？哦，这不是a岛吗？哎，这不是b吗？哎，这不是b岛吗？哦，漂亮a岛BB岛a那不就是AB岛吗？所以说原来就是你俩乘机的导航。那你一定要乘积的导，那这个结果就出来了，就是s加一分之一s本题结束。
那么，这件事情我们在这个基础班的过程当中练了很多了吧？讲了很多。你还记得吗？我基础班是讲过的，有没有回忆起来？就是这种积分的，这种方式是讲过这个点的。你看，这是我们的真题啊，你稍微注意一下。好了，这是这个问题，然后接下来他说什么，他说这个f0是一，
你还要把这个f0求一下。那这个f0你把这个零带进去算一下，能听懂吧？来把这个零带进去。带进去了之后的话，这是一+c。而f0是几呢？f0就是一。f0就是一的话，正是一。c是零那么所以说这个。平方就出来了。那就是s加一分之一s。那这个时候的话，他说了这个fs大于零大于零就直接开你开一下了，
之后这个结果就是多少就根号x+1。然后根号下多少es出来了。好了，这是这个题目，你下去好好进行看一看啊，这个考题补到这上面的题啊，都是一些很好的题，所以说自己啊，把些额外的题啊，进行去补充一下。啊，你去补一下。要不这样吧。嗯，但是你不要催啊，
我然后的话，明天的时候我因为这两天这个课也非常多，今天今天已经是我上的这个第三节课了。然后是这样，明天的话，我把这个附录增加的这些题我都给你弄到一个Word文档里面。可以吧哎，我都给你落到一个Word文档里面，然后这样的话，我给你留下空，然后你自己可以再刷一遍啊。可以吧，你先别催我，然后的话，这个我把这些东西呃中间给你留一些空啊，
然后的话，这样你自己可以自己去做。行吧，这样的话你也不用自己呃去抄题了，干啥了？好了，这个问题我们就讲到这儿可以了吗？来继续，我们再看下一个问题，我们再看看这个题。呃，这个题它是怎么处理呢？你要看看这个题目。那这个题目它说的是这样。他说这个人是他的原函数。
那这个是它的原函数的话，它的导函数是不是就是它呀？是不是啊？然后的话，你发现你这个人的积分，你就要去想。谁对t的求导是它呀？那我会想。fx+a。对吧，这个x+a它的导函数是它。因为它的导函数就是我们先对这个中间变量求导。中间变量求导是一那，所以说你这个整体。你对x进行求导，
其实就是小fx+a。大家能否看懂？好，这个题嗯，其实它错一点点，要不然能出一些非常好的题。稍微错一点，哎呀，这个题我又有灵感啊，下去我这个题编一下啊。这个题他错一点点，这个题出的不好，但是这个点很好，你如果在这里面当中出一个二。有些同学就错错了，
因为你想想一个事情，你看你这个人对s求导，你对中间变量求导，你中间变量求导没变。那所以这个很多人不会做的同学，他也做对了。你这里面当中补一个二，你补一个二，前面就有个二，你想是不是你在这补一个二的话，你看对中间变量，求导你中间变量，再求导这块儿一个二，所以最后答案有些同学我设置答案的时候有个没有二的，有个有二的。
这这就是一个比这个题还好的一个题，你应该能理解我的意思啊，好，这是这个问题点。所以说这个信息点呢，它就出来了，因此你发现。那这是a到什么？a到x，然后这是f多少？t+a。然后dt。然后这个人的积分结果其实就是大f多少t+a。然后把a和这个s带进去，然后s带进去的话，
就是s+AA带进去呢，就是2a。好了，这是这个问题，正确答案选几选d？完全的反问题。就是这个人的导函数是他，那你就要去想谁的导函数是你，那你就想这个人的导函数。啊先对中间变量求导，中间变量求导是它。好，这个题这个题其实挺好的，一个题。你虽然说这是二一年之前这个题还质量还不错，
稍微调一下，很有我们的这种考题的这种感觉啊，感觉就出来了。好，这个问题你下去好好想想。好了，这是我们讲的这个第一段问题，能想清楚吗？就是不定积分的这个定义性问题。那么，然后接下来我们再来看看第二个问题，原函数的存在性问题。啊，就是不定积分的存在性。那不定积分的存在性呢，
我在这里面当中，我稍微跟同学们去讲一下这个问题。啊，就是不定积分存不存在的问题。就说你这个不定积分存不存在，就是这个人的原函数存不存在的问题。对吧，那么首先我们先来看看呃，对于我们班同学不用证明，你记住就行了，好不好？记住就可以了，不用证明的。第一个事情。算我来写吧。
啊，第一个事儿。如果说。这个被积分函数连续。则原函数一定存在。原函数原函数其实就是不定积分，不定积分一定存在。能听懂吗？就是你如果这个被积分函数是连续的。你原函数一定是存在的。好，这是第一个问题。关键点那如果不连续呢？不连续会是怎么样呢？他是这样说的，
加上这个条件。如果这个函数。在这个区间内有定义。每个点都有定义。你在这个区间上必须都有定义。如果什么情况呢？呃不不不，是里面啊，这个确实这个连连续的话，原话还存在那有的。就说什么这个小fs。存在第一类间断点。或者是无穷间断点。无穷间断点。这个时候原函数一定不存在，
知道就行了啊，这个我们不会考的特别深的。一定不存在。呃，这个内容啊，跟定积分不一样，大家注意哦，不定积分的存在性，跟定积分的存在性是不一样的。一个叫做不定积分存在性，这个同学你说的那个是定积分的存在性啊，它是不一样的，因为定积分说如果有界且存在有限个第一类间断点，这个定积分是存在的。你记住我今天说的这个问题。
我下节课我会讲定积分存在性，所以你稍微注意这两个东西是两个问题，一个叫做不定积分存在性，不定积分是爹有没有？谁对他求导？是他有没有？而定积分是这个面积曲面梯形的面积，绝对面积能不能求出来？你注意一下这个问题。但是这条内容很多书都写的有问题。许许多多的书都写的有问题，你可以去看。那么，很多书籍当中是没有这句话的。说你有第一类间断点。
或无穷间断点原函数一定不存在。我跟你讲，我当场就给你举个例子，你哑口无言。s分之一。请告诉我件事。x分之一这个函数是不是这样子？你这个函数的话，你发现你明显在零处具有无穷间断点，但是它有没有原函数？有啊，原函数是这个人呐。所以你不能说有无穷间断点，原函数不存在，你这有问题的。
所以严谨一点是人家这个函数一定要在这个区间内有定义，你你想想你这个区间内有定义吗？你这有没有定义的点呢？你零这个点没有定义啊，所以这个书写的都是有问题的，你可以下去看看很多书，上面都是这样的。那所以这个例子太好举了你，你发现人家是有大前提条件，一定是在这个区间内有定义。且存在第一类间断点或者无穷间断点，原函数不存在。第三个事情。若fs。存在震荡间断点。
震荡间断点。原函数可能存在。可能是存在的。好注意下这个问题。所以说如果你有震荡间的点原函数是有可能存在的，就是我们那个经典的那个例子，就是这个例子，你自己下去可以看看。s方sins分之一s不为零s等于零的时候是零，它的导函数是有的。但是这个导函数是存在震荡间断点的。导函数是震荡间断点，但是有跌。所以这个问题点梳理清楚就行啊，我觉得呃，
不是说特别重要啊，这个这个点不重要，就是你了解，你知道就行了，脑子有点儿撑啊。那么，这里面当中就有一个问题，你听好了。如果一个题目说被积分函数连续。原函数一定存在，对不对？被积分函数连续原函数一定存在，对不对？当然对，这不就是地理吗？
如果一个题目说我这个人有定义，区间内有定义，如果不连续。一定不存在，对不对？不连续一定不存在原函数，对不对？你连续一定存在，不连续一定不存在，对不对？当然不对，如果这个人有正当间断点，人家也有可能存在。听得懂吧，哎，
正当间断点原函数也有可能存在。那么，这里面当中我们要注意这个信息点，你记住就行了。你这脑子稍微动动，这这差不多了啊，这个这是个冷门点。那么，接下来我们来看看这个事，你要注意几个事情。注意常见的。五大恶人。不可及。这就是我们的五大恶人。你还记得吗？
所以说这里面当中我们就要看看这个事儿，因为这个点呢，他很喜欢出。你没发现他很喜欢触摸。那么，在这里面当中，这个五大恶人。它是记不出来的。你看这个人。那么，这个人的话，被积分函数是连续的。原函数应该存在啊。但是我们都知道这叫假的，这个什么，
其实它应该是存在这叫假的，不存在。能听得懂吧？它被积分函数连续原函数应该存在，但是我们都知道这个人的原函数不再是初等函数了，所以写不出来。写不出来，我认为它是不存在的。你应该都知道啊，因为初等函数的原函数啊，不一定是初等函数，它写不出来。然后接下来还有谁啊？s分之s in。啊，
这个人还有s分之什么cos in？啊，这个人s分之tangent也是，还有什么lns分之一了？s分之tangent也是好这几个人。所以你就会发现，我们可以出题啊，等会我给你编一道题。编一道题。编一道题啊，然后。等等，我想想啊。我想想，然后的话，
这是。1s方二倍的s。二倍的x方EX方好，我们来看看这个题。那这个人的话就是二倍的x方。加上个一倍的es方ds。好，这个人那么这个题的话，你发现一个事，你看这个题。对吧，那这个题的话，首先第一件事你就要知道一个事情，你这是2x方EX方这个跟前面那个题是不是很像啊？出题就是这样出，
你发现一个事儿，这个东西的话，它是记不出来的，你注意啊，它记不出。它是激不出来的，你不要使劲去激它，你激它你就废到这儿了。这是急不出来的。而我们其实你发现有的时候这个题目当中有一个人记不出来，很开心，因为他应该能被干掉。所以说我们怎么办呢？我先把这个什么你看我抽一个2s到后面去。我抽一个2s，
你看这是es方这个2s2s方后面凑是s方。是吧，然后接下来你再把es往后面凑。你对他一亿的框对框积分就是一亿的框。然后接下来就是两项相乘减去两项调换位置，然后再怎么办？加上这个人。然后接下来的话，你发现这个结果呢？是不是就约掉了？但是这个东西约掉不是零是一个常数，我讲过。两个不定积分相同的不定积分做差不是零，是一个常数。是一个c两个定积分做差肯定是零嘛，
定积分是个具体的数两个具体的数减相减肯定是零。但是你发现两个不定积分做差是一个常数，这件事情我们讲过啊。这都是呃基础班部分内容，所以说你一定要注意你在这个上强化班之前。你不觉得你最起码具有一个素养，你最起码的这个积分能力是得有的，你啥都不会积，你这个这个强化课程你没法儿听呐啊。你至少得会积一点。好了，像这个问题啊，我们就说到这，你看他就会这样出题。包括的话，
这个人也可以出啊。我下去想想，我们编一道啊。那所以他就是这个点，就是有些东西他看不出来这个东西不可及。你看不出来可不行，你得看出来他记不了。其实这个这个题还挺好编的啊，编一个。啊，这个东西我下去想想。那所以说你发现这个记不了的时候，他怎么办？你要看出来他记不了，你不要使劲怼他，
怼你要把他怼出来之后，你也不用考研了。你都把你发现这个非二次角就是你的。你也不用在这里面，还考啥研呢，对吧？好，这个问题我们就说到这，然后再来看看下一个问题，分段函数的不定几分？那分段函数的不定积分，那么首先第一个事情。原函数一定是可导的吧？对吧，原函数一定是可导的吧？
能听懂吧，原函数一定是可导的，对不对？我先问你一件事情，我这句话对不对？原函数一定是可导的。啊，高低。跌壳不倒。肯定可导啊。都生出来他，他不可倒。这话有点粗鄙，对吧？就这意思，
你应该理解。这是肯定可导的。原函数一定是可导的，而且是连续的。能听懂吧，一定是可导的，可导必连续啊，肯定可导，注意原函数是可导的，而且连续的。那所以你这个事情你要想清楚，这个问题，那么接下来我们来看看这个事情。你先做一下第一个题。你看这个题。
那么这个题哎，我们基础班应该是讲过这种问题。来操作一下。先不要管一个原函数，我们先找全体原函数。那么，找全体原函数的时候，你发现一个事情。这是它，这是它。你要找这个人的原函数，你是不是要进行找什么？你就要找一个事情，就是你要找谁对s求导之一。谁会求导是你呢？
对吧，谁会求导是它呀？那当然是分段函数求导，是分段函数啊。分段函数求导师分段函数。这还没有考过的题啊，注意我们真题当中是没有考过这个事情。这个分段点y就是你要注意它分段函数求导是分段点y直接求就这段求导是它。然后这一段求导是它。没问题吧，所以说你一定要想清楚这个问题，就是它这个点到底是什么样子？那我这一段求导是你。那谁抽到是你，你就直接积分呗。
那不就是二倍的x- 1这个人的积分吗？谁求到是你啊？你在后面补个一就是is- 1^2，加上c。然后谁求导是l呢？那不就是l的积分吗？两项相乘。再减去两项调换位置，lone跑后去求导，所以就是s倍的l ones再减去s。加上c，但是注意这两个c不会同步，为什么你这个人导函数是他就行了，你这个人导函数是他就行，两个c不需要同步。
但是然后这里面当中，我们又知道一个事情。这两个c啊。你注意一个问题。分段函数是一个函数。它只不过有两段，它有十段，它也是一个函数。分段函数是一个函数。那既然分段函数是一个函数，一个函数只应该加一个c啊，所以说因为什么东西呢？你在一处是连续的。你连续了之后的话，你发现你这个人的右极限是几啊？
这是左极限。左极限一往里面带，这是c1。u极限是几啊？把一往里面带ln 1是零负一。负一+c二。等于该点初值。那说明这俩c是有关系的，你就怎么办？利用c 1=c 1c二是不是就等于c+1？那这个时候马上这个人就出来了。走，这是x- 1^2，你加上多少c？这是x小于一。
然后这是x倍的ln x- 1，把它合并了一下c2是多少一+CS大于一。现在连不连续连续随便挂？因为已经连续了，所以说随便挂。所以你要听清楚这个事情，这是分段函数的，什么不定积分的做题方法。啊，分段函数的不定积分的做题方法，我们来捋一下。两句话。当然，这个分段函数一定是连续的啊，你要不连续的话，
你比如说有定义却存在有限个第一类间断点或无穷间断点，这这个什么原函数不存在的？你应该理解了。分段点y。直接集。分段点上。用连续。好，这个操作性就出来了。所以说他的做题思路就是这样。你像原来我们分段函数求导时，分段点y直接求。对吧，分段点y直接求分段点商用什么东西啊？用定义。
分段点y直接求分段点上用定义，那到了今天呢？是分段点y直接积分段点上用连续，这是分段函数的不定积分。对吧，分段函数的不定积分。啊，这是这个事情。怎么又是你呢？你怎么老是会出现这种问题啊？人家这个题当中让我们去求解什么？人家让我们去求解一个原函数。一个原函数，我们就给这个c进行去赋值。你看这里面当中，
他说的这个什么，你看这个。这加号它肯定不对，对吧？你这加号肯定不对。然后接下来我们就进行去赋值你赋一下的话，这个。如果c负零的时候，这块儿应该是个加个一。所以说c负零的时候，这块应该是加个一答案选几啊选d。好了，这是这个问题，所以说你把这个事儿你要想清楚。能听懂吧？
要说清楚。这个是这家伙，肯定不对。啊加号呃，明天不上，后天上，明天先空一天。好吧啊，明天空一天，所以说你不用着急这个事情啊，到时候我们调整就行了，所以你们你们需要做的事情就是每次好好进行复习啊。好了，这是这个事情。可以了吗？
呃，然后的话，那个我看看明天晚上时间吧，我们把那个300题上册的作业讲一下啊。好了，这是这个事情，然后接下来我们就来继续来看看这个题目。好，那么这个题其实你还可以继续看。他不是让我们去求解这个人的原函数吗？原函数的话，你发现啊，你不用担心吧，这个这个进度问题是我来控制的。啊，
你好好复习复习你的就行了。那么，对于这个高等数学，后面还有一章。对吧，多元这个微分学你好好进行复习就行。然后接下来我们来看看，如果你没有事儿的话，你就好好进行，把之前部分的东西进行预习，不不至于说预习了就要复习，你可以复盘。没事，你就复盘。你复比如说举个例子，
你把第一章复盘完了。你想多做点题，你就进行去主攻第一章的题，第二章复盘完了，你主攻第二章的题。来那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题。那么下面这个点呢，他说让我们求解这个原函数。那么，这个人的话，你发现一个事儿诶，我们在这里面当中啊，你琢磨一下。它这个原函数肯定是连续的，
那连续的话，你发现看你这个一带去左极限是零一带去呢？一旦去的话，这个l1是零。这是负一，所以你看不连续肯定不选。然后一旦去是零。然后一带进去呢l1是零。呃，一+12，这不连续也不行。然后再看这个人呢。这是零，然后的话，这个是l1是零零+1是一。
对吧，这个不连续不选。然后再来看看这个人。你发现这个人是零。轮椅是零。然后这是做什么？你想l是零。零减一是负一，那这是负二，不连续不选，所以说这题啊，只能选c啊选d。所以说这个人的话，你发现啊，这个人就出来了。
能听懂吧啊哦，没有问题啊，没问题。挪位一是零吗？你要会算的吧啊？没有负一你，你再你再看看啊。这灵吗？龙一是灵吗？啊，书本上有简一吗？那有减一就有减一吧啊，你说书本上有减一是吧？好减个一。那减个一的话，
你发现。那那这就是零。那这是零的时候的话，你就发现到底选谁呢？也没有关系啊。你不就看这个部分吗？它的不同的点其实就在这儿。不同的点，一个是在这儿，一个是在这儿。这是谁？这是long的积分吧，long积分不是加，是减选d。它不同的点就在这呢。
那不同的点的话，就是这两个人。然后的话，你发现那这个人的话，low in的积分积分是减，我先说一个问题，这个题做题最笨的方法。就是把abcde全部倒下，你疯了。我跟你讲，没法考了。那是真没法考了。你所以你稍微注意一下啊，有些同学在这里面当中，你发现把这个什么情况你你要做题速度啊。
我再说一遍，你你是考三九六的同学，你慎重一点，你稳重一点啊。而且你会发现一个事儿。你做不出来。我跟你讲，你求导，你是做不出来的，不信你试一下。你看我就举个简单例子，你去求一下b和d的导数。你求b的递导函数，这个求导哎，一样的，
这段这段求导，因为加一和减一求导是一样的，不信你去试一下。你你会发现一个事情b和d的求导是一样的，你还是做不出来。你注意一下，你做不出来的。不要在那里面来，来个这个小聪明，你这这不叫聪明，你这没有学进去啊，你可千万不要胡来。好，这是这个点。好，
这是我们讲的一点二七这个题来再来看这个题。看这个题掌握意识了吧？其实你发现最大值。最大值其实就是什么？最大值这个东西，其实就是个分段函数。反正原函数必须连续我们试一下零处，零处的时候的话，你发现。零处的时候你把零带进去，零诶把一带进去，一带进去了之后的话是二一。一旦去的话，这是一不连续不对。然后再来看看这个人是几，
这是一，然后这是负一不连续不对。然后再来看这个一代序，这是可以这是可以，然后的话一代序，这是负一，这是e不对。然后再来看看，把这个一带进去，这是一这是二一不对答案选一。哎，能听懂吗？所以你看水平点是上涨的，你一定要注意，你要比上次过程当中你水平点高。
不然我们在这练什么呀？所以你要注意，我在这个强化过程一直给你在灌输做选择题，有的时候会有一点儿这种操作性方式，包括我们上节课给你讲的那道二零二三年的考研真题。也是这样。有些同学就没有明白我上课到底是一个什么样的意识，你要理解清楚这个意图啊。好了，这是这个点，那么如果你想直接做这个题也可以做。对吧，你也可以直接做。因为你发现。我这是头大。
有c就有c嘛。你这不是负e+c吗？你这不e+c，你c两个c是一样的呀。嘿嘿。也没办法。然后接下来我们来看看这个最大值。啊，最大值。那么，最大值的话，你发现这是y这是零这是x。然后这个最大值的话，你看这是x。然后这是一所以说这个时候的话，
你发现一个事儿，你看最大值的话是在这儿。最大值是在这儿，然后的话，这个中间的交界点是一。那所以说这个被积分函数是多少呢？就是x小于等于一的时候。小a=1的时候，这个人是几啊？这是一那就是e的一次方。s大于一的时候，这是x对吧？这是e的x次方，然后继续去求解这个人的不定积分出来了。分段点外直接集。
分段点外直接集。对吧，直接集c1c2。大于零，然后分段点上必连续连续呢。downs怎么写？当s=1的时候。左极限是多少？左极限是e+c一。右极限多少e+c二。所以说这个时候你发现c1是等于c2。我把它另成几令c 1=c二=c。那么所以说这个人的原函数就出来了。那就是es+c。小于1e哎，
这是e×s+c。es+CS大于零分段点上随便挂无所谓，挂在这儿。能听懂吗？所以说这个时候啊，你就会发现非常的简单了，正确答案选几啊选一啊，所以这是我们讲的第二种操作性方法。你看这个方法也很好。好了，这是这个点吧，我们就讲到这啊。可以了吧？哎，这是这个问题。
这不是不连续吗？看看不太懂e的时候的话，这是e啊。一的时候这是二亿吗？一+c二一+c，这个人不连续嘛，不连续不行啊。好，这是这个问题。所以说像这个问题啊呃，慢慢提高对吧？你就像像这种同学的话，你就没有办法。你要注意好的方法，你要去学对吧？
你要多去练练，你会越来越好的啊，这个问题。不是说这个问题点的话说哎，我就这样做，怎么怎么样？你要去学把这个问题。好了，那么接下来我们稍等一会儿可以吗？等一下啊，等一下，稍微等会儿，我们来看看下一个问题，不定积分的计算性问题。呃，
不定积分的计算呢，这里面当中啊，我稍微的说一个问题啊，不定积分计算。不定期分计算这个东西。我觉得到了这个现在过程当中。你要是。一点都不会算，你要进去去看基础班。你听得懂我的意思吗？原来过程当中，我们进行了长达，我忘了是几天了，应该有七八天的时间吧。进行了不定积分的摆替代刷，
你还记得吗？不定积分的摆替代刷。所以说像这个部分的东西，你一定要注意这个计算能力，没有办法，但是有一个问题。保证方法都学会了之后再去刷题。要方法都东西都不会，你再刷题也没用。所以说接下来我们来看看第一个事情，积分表是最重要的一个基础。没有积分表，那后面的过程当中啊，你很多东西都不好算。所以说在我们的讲义的过程当中。
那么，在我们讲义当中。这个页面。你自己下去过程当中，你好好再记一下。啊，该记的东西要记。那么，这里面当中的幂函数的积分，它的积分指数cos second，我觉得到了现在而言的话，我觉得都不是说什么呢？说这个。你这个东西你会不会做？而是你见到这个东西，
你就要立即反应快速反应能力。这哪是痛苦的回忆啊。你要喜欢他。你并且热爱它，哪怕这段热爱的时间只能坚持到12月24号，你是12月24号。对吧，11点30分你考完了之后，你啥都不记得都行。你连你数学老师是谁你都不记得都行啊，那没关系，只要你能上岸，我觉得都可以。你不要在这个考前过程当中，你痛恨他那废了。
把积分学扔了，那考个鬼啊。对吧，你把积分学的话，你发现个事儿，你都给扔了，那是怎么考？所以一定要注意一个问题，就是你这个积分表这个东西是个非常重要基础，你下去积我就到了，现在而言，你必须要达到能力就是。你见到这个东西就反应出来，见到这东西反应出来，比如second方tangent y cosine方，
负括的就非常非常的快。这个事情很重要。能听懂吧，就是你自己一定要知道你这个反应能力很重要，我就不说了，那么接下来这个你自己下去自驱一点。然后另外一件事情上次给你说的。每天。五到十道不定积分。因为这个东西的手感非常重要。非常重要，就是手感。你每天过程当中要训练自己的手感。你你如果的话，这个慢一点，
每天三到五道都行，可以没有关系啊，两个月刷一轮至至少每天过程当中，我都是在温习的。那都可以，五到十道都可以。能听懂吧，对这个手感很重要，不能冷。你把数据你放你放上一个月，你试一下。所以说这个很多这个考考研都是这样，比如说当年的过程当中，考研考了130多。玩儿两个月废了。
你去问他很多东西就不会了，所以这个东西啊，一定要非非常顺，好了，不多说了，我们来看看第二事情，那核心方法。刷题的基础是方法都知道。对吧，就说你这个东西的话，你要想进行去刷这个不定积分，你最起码也知道核心方法，必须都知道。有哪些方法第一时间凑备份？往后凑的过程是积分的过程，
你像常见的什么一次凑二次，二次凑三次es凑escos n凑sing。对吧，什么二倍的根号s分之一，你看这是常见的，你这个考的很多。你像这个人，他凑出多少根号s什么s方分之负一凑多少呢？s分之一我知道，有的人估计都觉得啰嗦。如果到了今天，你这个东西不会，但是也能来得及。你这个东西如果做的不好，也来得及去把那个不定积分的方法，
基础班的方法好好学一学，然后再刷一刷就行。然后第二类换元法，第二类换元法包括两个人，一个是三角代换。那么，三角带宽当中包括a方减s方？s方减a方。s方加a方。哎，这三个人，所以说这三个人的这个气氛，那还有无理根式？的换元，如果遇到根号不好记的话，
把它换了。那分布积分法两类不同函数相碰，那么首先想到分布积分法嘛。那所以说我原来那个在这个基础班的时候。你发现原来基础班讲的时候的话，有些同学可能会说什么问题呢？说这个我们用什么表格什么表格积分法？啊，怎么怎么样？那个表格积分法的话，其实已经很早了，对吧？那个表格积分法也就是这个说我喜欢用表格，但是你发现你有没有发现一个问题？那个表格积分法你用的时候，
它好像这个东西的能力只出现在你的基础班的时候。遇到了那些题，你用了。但是你有没有发现一个事儿，你后来好久好久，你好像都没有怎么遇到过这个方法了呢？所以你像什么情况呢？比如说你像这个x三次方乘上s in，那用那个方法确实好用。那考研谁没事干，一直给你进行去弄这种东西呢？那所以说这个东西你又要进行去筛选，有些东西又不好用。所以我觉得你渣渣是鸡就行，尤其对我们三九六同学两步就出来了。
他不会特别费劲儿的，稳稳当当做就行了。不用在那里面，你就觉得这个东西的话，有的时候的话，一些问题都啊，那个行列式那个东西那是总结的经验。那所以说注意这个事情，那个表格啊，你稳稳当当算就行了。那么，这里面当中，我们再来看看还有个尤里分式积分。那么，在你不用管，
不用管，你听我们的讲，就那个反作用力三指，你知道分布积分法往后面凑，分布积分就行了。知道凑谁就行啊，知道凑谁？啊，那个。那个东西就是这样的，一个固定积分。那就是三指碰到一起的时候。对吧，三和止碰到一起的时候，我们循环相消嘛，
循环相消的话，这个结果是什么呢？我们可以记一下，就是a方加上b方。然后这个东西就是e的as的导函数e的as，然后这是sine BS的导函数，然后是多少？sin BS.加上c还有这个什么e的，这个什么as乘上cos BS的时候。你积分的时候，这个结果就是a方加上b方分之一，因为这个东西啊。对分布积分法两项非常麻烦啊，你就把这个东西记住，
如果遇到你就直接写呗。corson BS corson BS.好，这是这个人。然后接下来我们再来看看尤里分式积分这个内容，去年已经给很多同学都给提醒了。非常好的提醒了一些同学这个东西啊，最重要的是拆分方法。有几个问题呢？第一个事儿。我想问一下as方加上BS加上。就这个人，你下面这东西是个二次。然后比如说不要写c写d。也不要写d。
写一那么同学们想这个分会几吗？必须要会记啊。然后前几年考题的话就考了，最近几年考点。我发现最近两年的考点的话，老头子很喜欢出什么，很喜欢出这个尤里分式积分的，有一年就考这个人。然后这个是什么fs在？然后再是多少，然后是as+b。那么，这个人的话，进行配方就行。然后这个东西呢，
把上面这东西写成下面的导函数。对吧，所以说这个部分呢呃，我们考这个点呢，前年过程当中也出过这个题，我给你稍微看看。你看那么在这个二一年的考点当中。二零二一年的考研，他是不是就考了这个事情？所以在这个这是大前年大前年的话，他就考了这个。那所以说上面这个人二次呃，这个一次这是二次，这都讲过的问题啊，你直接把他秒了。
然后第三个事情嗯，其实你发现你会这个分呢，你也就会这个分。然后这是as方加上BS+1。分之一点四也是进行怎么？呃，这个懒羊羊同学，你不说话了好吧？啊啊，你别说话，然后这个里面当中的话，你发现这是as方加上BS，加上加上一，然后这是as+b。ds，
好了，这是这个事情，所以说你发现你看这个东西也是把这东西配方。然后这个人呢，就把上面这东西啊，写成这个人的导函数的形式。可以吧哎，写成它的导函数形式。所以说这个东西啊，就做成这样了。能理解吧，就是你把这个人呐，写成这个里面的导函数。然后这个人呢，也是配方跟前面是一样的。
然后第三个事情拆分方法一定要会。你下去进行复习啊，这个必须要会。能听懂吧，把这个拆分方法必须要把它掌握透彻。好把这个基本的这个方法掌握住就差不多了。好了，这是这个问题。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题，我们来做几个题吧，把这几个题啊，我们稍微进行讲讲啊。呃，
我先说一下，我们强化讲义上放的这几个题啊的运算量都会稍微的会大一点点啊，强化讲义上的这几个。运算量都会大一些，所以说你慢慢坐下。那么，接下来我们来看看这个幺二九这个题。那这个题啊，两类不同函数相碰，首先想分步计分法。那分步积分法的话，你发现这个ling是非常稳定的，你就把这个东西凑到后面去就行。所以说这个时候我们来看看这个事，你发现这是lns。
然后这是多少x方加上一的这个平方，把这个凑到后面去，平方来补二分之一。能理解吧，你先把它凑的空虚，然后在这里面当中再补一个一。然后在这儿补一个负号。因此就是负的二分之一倍的ln塔，负的平方分之一往后面凑就是它。好，做成这样，那么做成这样了之后的话，你发现那就是两项相乘。再减去变成加上两项调换位置，那就是x方加一跑到前面去。
然后loin t这个人呢，跑到后面去求导就是他。跟得上吗？同学们好了，这是这个问题。幺三三。行吧，一会我们再说。所以说这个点就做成这样，那做成这样了之后的话，我们接下来继续看。那这人怎么办？你可以用方法一。那方法一这个部分的话，你可以怎么了？
你把这个东西你看你一列列成x分之它。x方加一分之塔。那么，这种当中的话，你就列成了它，然后这是BS+d。可以吧，你列个项也出来了。就是你这样列项的方法来做，那么其实这个方法太慢，有没有好一点的方法呢？你是s倍的多少？一+s^2，你这不是一吗？你就在这里面当中加个s方，
再减个s方。好了，这是这个人，所以说这个时候啊，你就变成了这个情况，你就把它进行除开，这是is分之一ds，你再减去多少？一+s^2分之sds。所以说这个积分的话就出来了，loins绝对值，你把s放后面凑二分之一补一个一loin一加s方，同学们能跟上吗好？好，能跟上给我回复一。
问题点不大啊，好这个人。这个运算量会大一点啊lns绝对值减去四分之一ln多少一加x方啊，你就直接加个c就行。你说那不是二分之c吗？没关系，写成c。好了，这是幺二九这个题过去了，可以吗？好，我们再来看看幺三零这个题。呃，这个题啊。有点技巧。
绩效性来了，这题就结束了。绩效薪没来，这个题就废了。那这题怎么办？我看到ses。x1s的求导不就是一+s再乘以s吗？所以说这个时候怎么办？非常好，就是给这个s+1上下同乘的es，这是ses。然后这是一+sesds。哎，那这个时候的话，你发现上面这人不就是s倍的es的导函数吗？
s倍的es 1+s倍es。那这个时候就是出来了呀，你发现看你往后面一凑s倍的es，然后这是s倍es 1+s倍es。那这东西如果你不喜欢，你就换成t。那t倍的多少一+t？然后怎么做列个项一列就变成了t分之一，减去t加一分之一dt。然后这个积分结果就是lnt的绝对值再减去ln多少补一个一，那就是t+1的绝对值。然后再把这个t这个东西放回去，一放回去就是s倍的es。然后再减去ln多少x倍的es，加个一再加上c。
好了，这个题啊，我觉得还是稍微会比较顺一点。能听懂吧啊，就是这个能记住，所以说这几道强化题放在这儿呃，通通而言都是来锻炼大家的，这个运算能力。啊，这是幺三零这个题。跟得上吗？来那么接下来我们再来看看幺三幺这个题。这个题其实刚才那个题就是一步。对吧，就是一步就是你只要能想到乘上es，
这是那个人导函数一下就出来了。所有的操作就在一步精妙，就在一步。会有点难，然后再来看看这个幺三二这个题。幺三幺这个题。你看这个题怎么做？来，我们来看看。所以说接下来我们就继续，我们再来看。啊，再看这个事情。那么这个点的话，你发现一个事儿。
对于这个题的话，你发现你看下面是根号。你上面是更好呃，这个下面是更好。上面这个东西呢，比它的次方数高。那么，次方数高的话，你有两种方法。你要不然的话，在上面就凑下面这个人。你这是2 s+0。你就补个二分之一，这是二s加上四。那么，
这个时候的话，你发现就是加一再加三。然后就变成两个人。一个是根号下2 s+1 ds。一个是二分之三，然后是根号下二s加一分之一ds。那这个时候就可以出来了呀。你看这是2 s+1。低于多少呢？2x加个一。你补一个真人，这来个四分之一。然后接下来我们再来看，这是二分之三。你这是根号下2 s+1。
你在这儿再补个二，前面来个二分之一，你再加个一。哎那这个时候它就出来了。二分之一。二分之三。三分之二。对吧，这个东西是二分之三，然后这东西是三分之二。然后接下来我们继续，我们再来看二倍的根号，一个东西分之一的积分就是根号，它加上c。好了，
这道题这样做是一种方式。能听懂吗？好听明白的给我回复一。那这是一个方向性。所以说接下来我们再来看嗯。刚才这个题啊，那技巧性比较浓，多增加点这个积分能力就行。但是幺二九这个题幺三幺这个题体现了出来的，自己的运算能力的水平，你这种东西啊，多练练其实就还好了啊。好了，我们再来看看。呃，
刚才那个其实其实幺三零那个题比较难。那一步很重要，很重要，那一步还挺难的，你乘那波es有时候乘不出来，那这题就废了好了，我们再看这个题。还有没有方法？如果你这里面当中，你嫌这个根号恶心，你就把这个根号给换了。你把这个根号换了之后的话，这个2s其实就等于t方减一。那x就等于二分之一倍的t方减一。那么所以说这个时候积分呢，
你发现那这个人就是t分之一。啊算了，这样写，那这人就是t。然后这个s就是二分之一多少t方减一？那这个ds是多少呢？ds等于正因求导是t倍的dt，所以这是t倍的dt哎，这还挺简单。所以说最后而言的话，这个人就是留下了二分之一t方。再减去二分之一dt，你看这样做还挺简单。那这个时候的话，你就发现他的积分是多少？
这是三次方。那么，这个三次方的话，这个人的话就是三分之一t的三次方再减去二分之一t加上c。所以说把这东西换回去。你一换回去的话，就是这个根号，那是一加二s，它的二分之三。然后接下来我们再来看看，这是根号下一+2s。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。对吧，
这是幺三幺这个题。能做了吧啊，这是这个问题。行吧，那么这个基本问题点，你要知道怎么处理呃，其实我觉得到了这个，今天你想怎么做怎么做。嗯哪个？那个加格尔。哦，这后面没有加二是吗？嘿哦。这后面还有个二是吧？t分值s是二分之t方。
减去二分之一。再加根是吧？哎，这个加二，然后这是t倍的dt。所以说这个时候是二分之t方。然后再加上二分之三。好了，这是这个事情，那就是六分之一t的三次方。加上二分之三t加c，然后这是六分之一，然后这是一加二s二分之三次方。二分之三倍的根号下，一加二s加上c。
好了，这是这个题吧啊，下去过程当中你再看看啊，不是说特别难，只不过觉得到了这个今天这相对比而言呢，我觉得已经不是一个什么问题了。因为不定积分的这个计算呢，原来我们练了很长很长时间，你把那个东西真刷透了之后做这些题啊，问题点不大，除了刚才那个幺三零那个题可能技巧性强一点。好，我们再来看看这个地方。那这个题。你现在是不是有方向了？
怎么做呀？要不然就直接列。直接把它打开。打开成多少呢？方法一。打开成一加s分之a。然后只是s方分之BS+d。对吧，这个。列的话也行，你通过这个赋值的这种方式来做。然后的话，这个结果的话就变成多少s方倍的一+s。然后这是AI次方。加上BS+d。
再乘上多少？再乘上一+s。然后这个头顶这个部分等于一。头顶这个部分等于你去赋值也能出来。那这样做的话，稍微的会麻烦一点，有没有好一点的？你根据刚才那个这个经验的话，你看这是s方，这是一我在这加个s减个s行不行？你刚才不是有经验吗？那这时候我们除下去第一个人就是s方分之1 ds。对吧，你把这个人作为整体处下去。然后第二人的话，
你发现就是约掉一个s倍的一加s分之一ds诶，这不结束了吗？所以说这里面当中道带换了，那就算了吧。啊，所以我觉得这个练练了一年的话，这种问题。好了，这个时候的话，这个人是负的s分之一好，我不局限于大家。我觉得你怎么做都行，不拘泥于大家好，再说不定积分已经不是不值得，我们到了今天而言了说哦，
我们这样做简单那样做简单，我觉得不值得。怎么样做都行，你只要能把它记出来。因为你发现截止到这个今天的而言的话，哎，这个点呢，你要想清楚他是他怎么样的啊？也可以加x方。我加s方，我不就疯了吗？这个方法二没什么可可总结的，这就是观察能力了。啊，就是观察能力。
就是丑啊，你这是不是做你自己做了这么久的不定积分，你还没有这种感觉吗？你咋不问有些东西你怎么进去？看到这个东西凑到后面去呢？有时候做多了之后就是感觉。这件事儿我基础班没给你们讲过吗？这个问题。啊，这个这个不定积分啊。行吧，不说了。然后这个人的话再减去。你再减去一个什么，这是s分之一，
减去s加一分之一ds。然后等于负的s分之一，这个积分是lns绝对值负负的真补个一s加一绝对值加上c。好了，这是我们讲的这个幺三二这个题。对吧，这是这个问题。那么，接下来我们再来看看这个下面一个问题点啊。幺三三。啊，这个题。这个题啊嗯。直接刚的话，有点费劲儿。
啊，直接做。如果这个题的话，你发现你要直接进行去处理的时候。你就会发现一个问题，这个。x方这个人如果直接拆的话，你这个人太多了。你这一拆的话，这个人分之a。你这人来一个，再来一个，你里面当中有多少个人，你肯定是解不出来的呀。你绝对是解不出来的，
你所以这里面当中，我们只能呃稍微进去去换一换，看看能不能出来？你怎么去处理呢？那么，这里面当中啊。如果直接做不好做。啊，这是二倍的s+2。列肯定是不好列，你想想一个事情，你一列的话，你自己琢磨一下，这is+1，这是分之a，
然后后面好多条件。对吧，那么这个题的话，你看直接列不好列？直接列不好列的话，那么这个人的话，我可以一+s^2，我能不能把他换成tan？我画的是tan的，之后这是second方。然后这四次方我可以试一下。哎，能听懂吧，所以。你要是解五个数，
那就麻烦了。麻麻烦了，我不裂啊，我又没想着裂，什么叫做我裂裂，看看我怎么裂，我不裂。你里面当中就出现五个五个参数了，我怎么列？我两分钟肯定做不完。你想想是不是啊？我里面出现五个参数了，我肯定不会列的呀，五分钟绝对解三分钟，五分钟都解不完。
你写不完的话，你发现考这三句论还怎么考？我还不如直接蒙答案呢。有可能最后的分数都考得高。所以说这里面当中，我们来看看这个事。你这是二倍的s+2。呃，我先说说一下这个题没没错吧？一会儿别别这个东西让我读完了之后的话，这个这个题有问题。啊，你先看看那个答案。题没问题吧？我这块是平方吧？
是平方啊，我们来看看那么这个题的话，你看我来稍微试一下，这是s+2。对吧，这是加二那么这个加二的话，你发现来我们来解。我怎么处理呢？直接做的时候的话，你就会发现。我觉得非常麻烦，我不想列那这里面当中，我来做一个换元法试一下。0 s=t and t。0 s=tangent t了之后的话，
你就会发现这是多少tangent t，再减个一。然后这个部分是多少呢？这个部分是second t的四次方。然后这是二倍的，这个tangent t，然后再加上二。然后d这个人呢，是second t的这个平方在dt。那么，然后接下来的话，我们来试一下这个事情，你可以把这个二提出去，那这人就是加一。那么然后这个结果的话，
你发现这是两倍的。然后这是tangent t减个一，这是tangent t加个一。然后这是cosine t的这个平方dt。是吧，做成这样。那做成这样了之后，然后怎么看呢？变成这样子。如果把这个cos in上下，同时乘上个cos in。同时，乘上cos in的话，这人就是sins sin t。然后再加上多少加上cost，
然后这是sint-cost，然后这是cost的方。这不好做吧。嗯，这个人不好做。这个不好处理。这个题有没有？有没有一些别的方法呢？不太好算。啊，对于下去了之后的话，这个不好做了。报错的话，叫我看看这个上面的时候。有没有一些巧妙的呢？
如果我在这块提一个。啊，没事儿，你慢慢做，我这个当时出的时候是怎么想？那么，这里面当中的话，你继续去提一个这个平方，这个题比较难啊。这题比这个去年二零二三年这个难做。这个二零二三年的话，你去下去可以试一下这个题。这个题的话。这是二一年。二三年那个题的话，
你下去，你可以把这个题做一下。呃，这个题没有想象那么困难，你可以截个图，你今天下去做啊，这个题。那么这个题的话，你发现他做起来压力倒不是那么大，你可以截个图下去做一下。那去年这个题的话，你最重要问题就是下面这个人。对吧，你下面这个人，你发现这个部分提个平方是I这个2s再加上。
然后这人提个提个二出来，2 s+1。所以说把2 s+1提出来之后，这个东西下面进行去整理一下。你下面整理一下了之后的话，这个人就出来了。对吧，你下面一整理这个你就出来了。能听懂吧，你把这个题解一下，你去做一下这个题。好了，这是11题。然后接下来我们看看我们这个。所以说这个。
不好做，然后接下来我我想想一个事儿啊，你就看看这个问题。能不能进行去凑一下呢？裂的话太麻烦了。s+1。呃列的话太麻烦了，这个得列好多项。然后接下来我们来看看吧。那这个人的话，这是s- 1。频方向移。嗯，提出来之后呢？提一个。
五次方之后看看呢。裂就不用裂了吧？列完了之后的话。这个人这个人这个人那沉的就太多了啊。这个这个太难解了啊，不不不，用列。要不这样吧，你这题放着吧，我下去，我想想我看看这个。上次是怎么？是不是这个题出的时候？当时出的时候是不是应该是没有这个平方啊？我当时应该是凑了一下这个事情啊。
行吧，这个我下下次我说一下这个事儿吧。好了，这是这个事情，然后你下去过程当中把这个题做一下。啊，把这题做一下。然后这个去年这个真题。你去年这个真题的话呃，其实这个题去年很多同学得分率不高。就这个题的话，你发现这个如果这个二提出来，这是2 s+1。你前面提一个平方的话，只是2 s+1。
然后这个东西的话，它是可以的啊，把这题整一下。然后这个题啊呃，我下去看看吧。你把那个题做一下，然后这个题我下去想想，然后下节课我们来做啊。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这好不好？然后的话，你自己下去把这个问题处理处理。呃，行吧，
那么这个点呢，我们就说到这，自己把这个问题点整理一下，然后我说一下这个下节课。那么，下节课我们会进行去讲这个定积分。然后不定积分当中，我们是没有什么特别多的，这种计算性的，这个作业的，然后所以说我觉得这个不定积分呢。的重点任务还是在这。就是。这个手感不能停。啊，
这个千万不能停。就是每天过程当中最起码而言，你得去做啊。我来说一下。下节课任务。那么，在下节课当中啊，第一个事情那就是定积分。定义啊，定期分定义。呃，我多说一嘴。我发现有一个事情。之前呢，比如说这个是零到二。
对吧，零到二。那个问题点呢？我记得有些同学在那个呃，我记得零到二的话，我们不是得了公式吗？n趋向无穷大，这n分之一，这I从一到多少二nf多少n分之k？然后这里是零到二的，这个fs ds是不是这样的公式啊？你不要在那胡做，有的说那老师，我这前面是2n的时候，那我这是多少？
我这不是也行吗？你自己好好去试一下，你自己去推一下。你自己好好推一下，你这有问题的，他说我这前面是二n分之一，那这人不就是n了吗？你要注意，如果这个人把零到一进行去切多少呢？你如果切2n份。2n份的话，这确实是一到n。但是你这里面这个东西也会变的。那所以这这里面当中有同学在那，不要胡做，
千万不要胡做这个问题。好了，这个定积分定义，所以说下去过程当中啊，你要进行看看，就是它是一个什么东西呢？呃，第一个事情。其实我们可以进行求这个数列极限第二事情啊，它就是对应的一个绝对面积的问题，然后第二事情定积分性质。一定要好好把基础班的性质好好看看数啦，与积分变量字母选取无关啦，什么奇偶性周期性比较定理是很重要的。你下去过程当中，
你好好进行看看这个事。好了，这是我们讲的这个事情，然后是定积分的计算。定积分计算呢，有直接法计算，有绩效法计算，还有我们在这里当中讲的什么东西呢，还有区间在线换元法了。什么零到派s乘上s in的函数，然后s跑到前面去变成二分之派了，什么零到二分之派s in和cos就有轮换对称性了。你要注意注意，学到今天定积分，不是面积。
不要学到今天，还是定积分是面积，比如说定积分能不能算出负三可以，它是绝对面积，不是面积哦。稍微注意一下，所以说这几个问题是我们下节课的重点。好了，这是这个问题吧，我们就说到这，然后嗯。这上面的题你能做的，你也可以做什么幺三四啦，幺三五你要不想做的话，你可以留到下节课，
我们上课做。但是有几个题你重点做，把定积分的计算的这块的题做了。啊，把这块的题做了。对吧，把这块提走了。所以说学到今天呢，你要还是认为定积分是面积，那真的是。那可不太好啊，这问题点就很大了。所以你可以把定积分计算这一节做了定积分的定义和性质呢，你不太想做，你可以留到下节课，
所以我觉得这个。课程是一定要听的啊，你这个强化课程你发现比这个基础班的这个操作性和技巧性都要强。而且有的时候我们在这里面当中增加了很多这种啊，这种模拟题你自己下去好好完成一下好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿。好同学们，行吧，那么我们下节课，我们再继续，明天晚上没有课啊。明天没有课，明天的话，我会把那个课稍微会调这个往后面调一下，
所以说明天的时候你就好好整理今天的部分的内容就行。然后再把这个不定期分啊，再做一做好，那么今天课程我们就讲到这儿好，下节课见吧。
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