12.冲刺满分强化篇·题型19-20精讲精练-2
那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下一个题型方程根呢和函数零点。能听到声音吗？啊，没有问题的话，我们就准备开始了，那么接下来这个半个小时的时间呢，我们都会重点来完成这个题型，因为这个题型呢，简直是很多同学的痛点。那这个内容其实你发现跟高中部分当中啊，学习的内容是非常相近的，但这个点呢，有些东西可能学的不是说特别好。那么，接下来我们一起来看看这个问题啊，方程根和函数零点那么，首先第一件事，我们先来看看这两种问题啊，它们之间的关系。其实这两种问题啊，是同一类问题。我举个简单例子，比如说你看这个人。如果这里面当中我写了一个fx 0，它等于零，你能看出什么东西啊？对吧，我就写了一个这个人，
你能看出什么？我能看出两个事情，第一个事情，那么其实你发现我们就可以说明x0就是什么？就是这个方程。的根吗？没问题吧？你就说s0是这个方程的根呐。s0是这个方程根，那么也可以说什么东西呢？也可以说x0为什么东西呢？这个函数与x轴的交点。这个函数的什么？这个函数的零点。你要注意，
也就说这个s0呢，就是这个方程，它的根。那这个s0呢？也是这个函数等于零的点函数的零点。没有问题吧，所以你就会发现方程根的问题和函数的零点问题啊，没有什么可区分的，但是同学们你想想。你喜欢研究方程呢？还是喜欢研究函数。你喜欢研究谁呀？研究这个人还是后面这个人呢？当然是研研究函数啊，我最擅长研究函数了，
函数我可以进行求导。函数我可以研究单调性，我可以研究凹凸性，我可以研究拐点极值等等一些问题，我当然可以喜欢进行去研究这个函数的问题啊。所以大家注意，一律是方程问题，都会转换成函数问题来做。怎么转呢？那非常简单，就把这个方程一边摆成零一边摆的这个函数。那摆的这个函数等于零的点就是这个函数的零点，这个函数的零点就是这个方程根，所以构造函数是非常简单。一边是零，
一边就是这个函数，能理解吧，所以你想想，你看你一边摆成零一边这个函数。这个函数的零点就是函数等于零的点，不就是这个方程的根吗？所以构造方法非常非常的简单，就是方程的一边是零，一边是什么函数，所以一会儿我们在讲题的时候你要注意这两种问题啊，我不做区分了。因为方程根的问题，可以转成零点的问题，零点的问题就可以按照零点的问题来处理，能听懂吧？
好了，这是第一件事情。那么，接下来我们来看看这种类型问题的处理的两大核心体系，那么通常而言呢，我们都选第一种体系。这叫破题一。对吧，套路一我都不叫方法一了。破题套路一。那么，接下来我们先来看看这个第一个点方程根和函数零点的处理性方法。啊，它都不叫什么东西呢？都不叫这个。
解题思路了，这完全就是个套路，对吧？你把这个套路把它掌握清楚就行，那么接下来我们先来看看第一件事情。它的核心是什么？核心是研究函数的图形走向。研究函数的图形走向。能理解吧。核心就是研究这个函数的图形，走向研究一个函数图形，走向最重要的问题是什么？最重要问题就是单调性。这是你要注意的。也就说我在这里面当中。
解题套路行不行啊？好了吧，你自己一直在这，其实它的核心重点就是你把这个函数的图形走向描述出来。我就可以看出来，就说你这个人的图形哎，你大致是怎么样？你在哪块增哪块减核心，重点就是研究这个人的什么性。核心重点就是研究这个人的单调性的问题。你这是要注意的啊，核心重点就是研究它的单调性，那么所以说这里面当中啊，我们的第一件事情啊。先来看第一个问题，
第一步干嘛？第一步，先看函数的定义域。对吧，先看这个函数的定义，然后这里面当中啊，要注意几个事情，注意特殊点。注意特殊性。其实你发现一般呢，我很少写这个事情。如果是数一数二数三同学的这个课程，我就不写这个人了，我就直接看主体，但是你发现我们的解题是一个什么是个套路？
它就是个套路。你把这个套路把它给我学清楚就可以了，你先要看看这个函数的定义域。你知道吧，这是第一件事情，你要知道在哪个范围内活动？然后第二件事情特殊点。什么是特殊点呢？等于零的点，你不是要求函数等于零的点吗？你不是要求零点吗？你不要求这个方程根吗？眼睛一漂飘出了零点。有没有可能性？有可能性啊，
我眼睛一瞅的话哎哦，它在零处就是零点。对吧，像这种特殊点，稍微的进行瞅瞅，瞅出来就瞅出来了，没瞅出来就算了。对吧，但是你要注意这种思维方式，有这一步思维。然后第二个事情特殊性，比如说这个函数有可能是奇函数。偶函数，周期函数，如果是周期函数，
只用研究一段。如果奇函数或者偶函数只用研究一半，能理解吧，所以你看这其实就叫什么，这叫数学素养。我把这第一步啊，叫做数学素养。看定域是不是基本素养，你学了这么多年了，你看到这个函数，看一些特殊点，眼睛就飘出来等于零的点了。比如说变线函数上下限相等的点。你比如说这个一般的函数，比如说有ln，
我看等于一的点。等于e的点。比如说这里面当中有is- 1，我看等于一的点，比如说is=0的点，你等等这些东西就说你要注意一下这些特殊点，你稍微眼前漂一下，漂出来就漂出来，没漂出来算了。特殊性，奇偶性，周期性。然后接下来我们再来看第二波，第二波是主体。对吧，
研究函数的。的单调性。研究函数的单调性，这个单调性是这样做的。你注意，一般情况下，我们分析一点。低端操作。那第一端操作的话，就是你要研究这个函数的单调性，你不要继续去求出这个函数的导函数吗？你就要看看这个导函数的正负性分明不分明，什么叫分明不分明呢？就是这个正负性到底能不能看出来？在哪些段是正的，
哪些段是负的，这个正负分明不？这个词用的真好。对吧，你去看看这个一阶导数，你求一阶导数，你看看这个正负性分明度。正负是否分明，其实我们基本上能考到这儿就差不多了。其实有的时候如果一级导数的正负性不分明，那你就要进行求二级导数。如果一级导数你听好了，如果一级导数的正负性分明，我知道哪块是正哪块是负你，就像研究那个单调区间一样进行做。
你就找到这个人，导数等于零的点，导数不存在的点划分区间段，看正负性就行。就说你一定要听清楚，我就上导数。导数如果一级导数的正负性是能够看出来的，我知道哪些段是正，哪些段是负，这个其实也很简单哦。这个非常简单，你知道哪些段是正，哪些段是负正负分明了，你就找注点和不可导点，把它划分区间段，
你就知道单调区间了。但是有一种情况，如果这个正负不分明，你还得求二阶导，你求二阶导，结果你发现二阶导数的正负性是能出来的。那么这个时候怎么办？你再进行去找上一级为零的点。也就说，这个思路非常简单呃，其实吧，我们的考研题一般就到这了。就结束了。就我们的考研题，一般到这就结束了，
所以说我刚才把所有的重点都放在这，但是如果你看的是数一数二数三同学的课。一般在这儿都出不来。得继续怼，怼到二阶，怼到三阶，怼到三阶，有可能出来，然后再往后推，你能听得懂我的意思吗？这就是考题风格上的差异。也是考题形式上的差异，你听得懂吗？你所以注意我再说一遍，你要研究单调性就上导数一阶导数，
如果正负性出来。那我就找注点和不可导点，我就划分区间段诶，单调区间就结束了。如果这个正负性出不来，再去求二阶导数。能理解吧，再去求一下二级导数，那二级导数正负性，如果没出来呢，再去求三级导数到二级导数撑死了。一个两到三分钟的题，还能怼到几节，倒那么差不多就到这。啊，
如果还出不来，你就继续往下求。反正出来为止。就什么时候出来，什么时候为止，比如说二级导数正负性出来呢，你就再进行往回推，所以我们的思想就是倒倒倒推推推。什么叫倒倒倒呢？倒到正负性出来为止往回推。怎么往回推呢？你想比如说这个人一直大于零，那一阶导数就单调递增，我肯定要找一阶导数等于零的点呢。一阶导数等于零的点就是正负的分界点，
往回推找上一级为零的点。那所以后面这个部分呢？我说的稍微的少一点，但为了知识点的全面性，我们保证了后面的东西，我们也讲到了。然后前面这个东西啊，我们是重点说的，要抓重点啊。好了，大家我稍微捋一下，顺一下思路。如果一级导数的正负性出来，我能看出来这个一级导数正负性，我找注点和不可导点，
把这个单调区间找到。如果正负性出不来，再去求二阶导数。对吧，再去求二级导数。那二阶导数正负性出来就结束，出不来再看三阶导数。如果谁出来呢？再去找上一级v0的点往回推就行了。好了，这其实就是我们的主体部分研究单调区间，请注意还没有做完，还有第三件事情非常的重要。第三件事情再求端点值。第三步，
端点值。有值就求值。就求值无值，求极限。大家注意。有值就求值，没值求极限，你能理解我的意思吗？那个点处有定义，你就求值，如果没有值呢，你就求极限。有值就求值，没值求极限，所以这个方向性非常的简单，
所以你发现核心主体是二和三步骤。就是两个问题，研究方程根和函数零点的问题，主体就是研究单调区间，那就是看定义域，然后求导，然后找注点和不可导点，比如说一阶导数出不来，你再读二阶导。所以说在这种当中，这个知识体系是补充的。那其实就是单调区间找一阶导数为零的点和不可导点，然后再怎么办划分若干个区间判断正负性就行了。那最后一件事情再来求端点值。所以说其实你发现它的核心主体就是单调区间的问题和端点处的值，
把它求出来就行。所以很多同学没有求这个问题，吃了大亏了。经常做题就吃了大亏的，你说这个问题啊，非常的重要，来看题吧。请注意这个套路就是我们99%的题，我们要去想的。所有的问题都要先往这上面想，能听懂吧？所有的问题都要往这上面想，先想。先拿到这个问题，你就先上这个人来，
我们来看题。多做几道做几道，思维方式就非常清晰了。先来看第一个题。让我们去求解这个函数的零点，请注意这个人的定义呢，大于零研究的区间呢，大于零那就是大于零区间。研究这个区间零点的问题，就是与x轴交点的问题，那核心重点就是研究图像呗。来第一步看定域，第二步干嘛研究单调区间就是求导呗。那单调区间就是is分之一，再减去e分之一，
那告诉我件事，这个人的正负性出来了没？能不能看出来这个正负分不分米分米呢？小于一，它大大于一，它大正负分米了吧？正负分别呢，就找注点和不可导点，没有不可导点，没有不可导点，只用找注点就是一那，然后这里面当中就可以写。当s大于零，小于一，当s怎么办？
大于一，有人说，老师，我记得高中过程当中，我是呃画表，你想画就画。但是我们哪有那么多事情在这里面当中墨迹的，对吧？你就直接进行出来了，马上这个导函数，你看下面小的反而大。下面大的反而小。所以说这个时候我就知道零到e的时候是什么，零到e的时候是单调递增啊，递增的，
然后e到正无穷的时候是什么单调递减的？那这个时候你要注意零到一单调递增一到它这啊，这个单调递减还有一件事情，我想说了，你自己给我写的。写到你的笔记上，不行我必须给你敲出来。你又怎么办？喜欢画草图，你听懂我的意思吗？你做这种题目的话，你发现有些同学就不喜欢画草图。你要喜欢画草图。能听懂我的意思吗？一定要喜欢画草图。
有些同学在这里面当中啊，你发现大脑空间建模呢？不要这样对吧？画个图，什么东西都非常清晰了，要喜欢画草图。能听懂吧啊，要喜欢画草图草图对吧，要喜欢画哎，好了，那么接下来我们来看看这个问题。好，我们来做下，下面一个点。所以说这里面当中，
我们接下来就问题就出来了。你来看看第一个事情，那你想画这个图随便画呗。对吧，然后你是不是要知道e处值啊，所以我把e处的值求一下，所以接下来就是几个问题呢，你看我换颜色写了。你当然想知道e处置，把e往里面带对吧？lne是一这是一就是kk什么零大于零，不是我说他说的。那说明这个点是大于零，有些同学就来了，那单调递增单调递减好两个零点选c，
恭喜你，你考上了。但是你这个水平点，说实话非常的次。上一次第一次考试的时候就出现这种问题了。你想想，万一它是这样子的，比如说你零不取呗。我是这样子呢。你万一它是这样子的呢？对吧，你万一他是这样子的，你不是疯了吗？对吧？所以一定要注意，
还要保证端点处的情况，那么进行去看端点的话，现在第一个端点是零，我就要求零处的极限。哎，求零处极限，零处极限就是lns减去一分之一s，然后再加上k。那这个极限是多少？那这个极限的话，你看这是零，这是k，这是负无穷。那这个整体的这个结果不就是负无穷吗？漂亮明白了，
终于知道从负无穷而来。有人就来了，说老师你怎么知道他是这样画的？那万一人家是这样，你管我呢？我这样画都行，你管我呢？我爱怎么画怎么画，它是不是唯一的一次穿过s轴？你说这个时候的话，这旁边不是一个零点吗？你管我怎么花？我想怎么花？怎么花？对吧？
这件事情你别管啊。好，这是这个问题。然后接下来我们就继续，我们再来看下一个问题，然后这是limits正无穷。你发现这是lns，你再减去e分之一s，你加上k。然后这里面当中，你发现这是个正无穷，这是个正无穷，但是你都知道这个es这个人呢，远远大。不要说这个，
前面乘个亿分之一，我乘个亿方分之一亿的一万四分之一，我照样比你牛逼，你还记得吗？这个阶级更高一点。所以说这个人的正无穷更大一点，因此你这个一减呢，他是个负无穷。噢，明白了，这个人呐，去向负无穷。所以说这里面当中有几个焦点，两个焦点正确，答案选几选c。
不要糊里糊涂的把这种题做完了。你一定要注意思路，一定要清晰，我再说一遍啊。不拘泥于这个题，把它做完了，一定要保证自己的大脑当中的思路是非常非常清晰的，你不要求解这个零点吗？那我先看定域，我要进行去看单调性，那看单调性的话就求导呗，那一级导数正负性出来诶，正负分明单调性出来了。再去看看端点，那这题不就出来了吗？
思路一定要清晰，不要再像高中一样做题，糊里糊涂的把这个东西做完了，你的思路非常非常的清晰，这个点呢？必考点啊，好了，那么接下来我们再来看一个题，你看看这个题。好看一下这个题。那这个题的话，我们继续来看来解。哎，增加了一个题。对吧，
他说这个方程的零点的个数。方程的零点个数立即转成函数的一个什么啊，这个方程的根的个数不是零点个数。这是根的个数。方程根的个数就变成了函数零点的个数，那减一减s减二分之一s方。变成这个函数顶点的问题。那这个函数零点的问题怎么去做呢？那么，首先第一件事，我们先看这个人的定域是多少？定域是r。对吧，定义域是r，然后这个时候的话，
你发现我们就可以做了，那么就进行去研究呗。研究这个人的单调性，那就秋道贝。es-1-s。哎，这个单调性出来没出来。这可是考，也就是说没有出来出来了。考试重点吧。es- 1这个不等式远远比它大。啊，这件事情啊，我们下节课会下下节课会重点讲。你这个人减一远远比他大。
这是大于等于零，你还记得这个图像吗？我讲过这个事情，你看这是x嘛es- 1就是这样。es- 1永远在这个人的上方，只有等于零的时候取等号，这是要知道的，这基础班我们讲的重点不等式。对五星级的黄金重点不等式。不要画图，你一画又慢了，说明你复习不到位。所以在这种当中，脑子要一转就出来。听懂吗？
稍微在我们的考试过程当中，你在这犯迷糊，你都会浪费时间。好了，这是这个事情，后面过程当中啊，我会给你进行去把这个问题啊，给你们重点来看。马上就可以看到这个人是大于等于零来，请告诉我件事是单调不减吗？不是的，是单调递增。为什么只有零这个点能让我等于零？一个点等于零，我仍然是单调递增。
没问题吧，只有一个点，能让我等于零，我会严格的单调递增。所以说这个人的函数图像就出来了，函数图像就是一直会往上跑。一直往上跑，那这题选几啊？他说一直往上跑，那不就选a吗？哎，不要胡做，你万一的话，你看你要一直往上增，它是这样呢，
它没有呢。他这样呢，他也没有呢，那所以这里面当中一定要去看断点，讲了好多遍了。对吧，所以说一定要进行看端点，那这个端点的话就是什么是limits趋向正无穷。那趋向正无穷的时候，那这个人极限是多少？你去向正无穷一亿的正无穷，正无穷，那这个人可比后面大的多呀，他是最牛的，所以说你是老大，
你说的算。然后再来看看当s趋向负穷。那负无穷的时候，这个人什么那这个负无穷的时候e的负无穷是零。那么你看你这项负无穷，这是零，这是负一，然后这是负无穷。对吧你你这个这个是正无穷，因为你这个部分是正无穷。那你告诉我一件事，现在谁说的算呢？还是正无穷那胡做题极限的不会做了？趋向于正无穷的时候，是e的x说的算。
趋向于富穷的时候，谁说的算？趋向于父穷，他说的算。因为e的负穷是零。他说的不算。你是零了，然后你这个人的阶级又没他大，他说的算，他说的算的话，你看这人是多少负无穷平方正无穷，那这人是负无穷。那因此这个人的话就直接上去了呗。对吧，你单调递增上去的话，
两端点控制住了，那这个人的话选几啊？那不是出来了吗？有一个吗？选a啊。你是不是这个事情好了，这是第一个事情，那么其实这个里面当中啊，你再来想一个事情，你还可以精益求精。如果在做这个题的时候，你稍微的注意了一下特殊点。你稍微注意的特殊点就是你眼神稍微的看他们的一眼。稍微看一眼，那这个点的话就非常简单了，
你稍微看一眼的话诶，零处就是零哦，漂亮，那你就可以不用看这个人了。零处就是零单调递增上去，那不就是有且仅有一个吗？选a。能理解吧，你只需要轻轻的看他一眼，这个题就立即变简单了。没话说，不要说话好不好？没话说就不要说话。好了，这是这个问题吧，
有些人说啊，我利用泰勒公式展开的方法，把它记住了。你会耽误一类考题。有一类考题，你绝对做不出来。就是我将来过程当中会讲的这种问题，我基础班就说过这个事情，你看这是es- 1，这是s还有如果在这取一个点取。取个点这个情况，你肯定就做不出来。没话说就不要说话，然后就好好听课行吧？好，
这个问题我们就讲到这。好了，这是我们讲的这个第一个模拟题，能想清楚吧你，所以在这里面当中把这个东西啊，一定要梳理清楚。看定义域，然后第二件事情怎么办？在看定义域的时候，稍微的注意一下特殊点，注意一下特殊性，有的时候会为你的做题啊，提供非常大的简便。然后接下来紧接着呢，我们进行去看单调性就求导呗，
你一接导数出来就结束，你出不来再求呗。好了，我们再来看一个题，你看看这个题。那这个题啊，就会稍微的难一点了。其实像刚才这个题啊呃，很有这个去年考研真题的这种。方向，比如说这个题。就很有这个题，所以去年这个题就考的很艰难。你就这个题，你这个题的话，
核心主旨也是在这儿。对吧，就是这个题的话，有两个零点的充分必要条件，所以它考的非常的讨巧。这个题啊，它的定义域是多少？定义域是r。我可以把这个题讲了。所以这个题去年考题啊，考的这个题啊，它考的非常非常的讨巧。他讨巧的点就在何处呢？你要喜欢画草图。对吧，
你必须要喜欢画草图，那么这个题它说有两个零点的充分必要条件。充要条件。你管他呢，反正我们一块有选项。那么，对于这个题而言，我们先看定域，定域是多少？定域是r。好定义域是r。定义域是r的话，那么接下来我们再来看，如果进行去研第二步研究单调区间。研究单调区间就要求导同学们想想你想求导吗？
这个题它的出题就把我们的第二步的单调区间给堵死了，把求导这个方向给堵死了，如果堵死了怎么办？我们接下来看看端点。那我就先不研究那个单调区间了，我们先看看端点。端点这个人呢，你得看的准一点，那么请告诉我他的端点就是正无穷和负无穷。如果是正无穷，谁说的算？一亿的正无穷是老大人家说的算，说明是这一项说的算。为什么呢？e的正无穷是正无穷，
然后这是正无穷，所以说这两个东西一乘呢？那必然是正无穷，听得懂吧？你说的算是正无穷。然后接下来我们再来看看limits趋向于负无穷。负无穷，谁说的算呢？如果这是负无穷的话，你就把这个是三次方减去3x，加上三，你把这个放下去e的负x。那负无穷的话，这人就是正无穷一的，正无穷，
正无穷，这是正无穷啊，这这是无穷大。那这个时候你看你把它放下去了，这人就变成正无穷了，一亿的正无穷正无穷，这个人比他远远大，这个第一项极限就是零了。谁说了算？这人说的算很像刚才那个题，但是比我们刚才那题考的要尖。对吧，考的要贱一点，那他说的算，他说的算的话，
你看负无穷的三次方是负无穷负无穷，再来个负号，那这是正无穷。说明什么事情，说明两个端点处拉住的是正无穷。对吧，拉住的是正无穷，所以你看两端都是正无穷。你两端正无穷，不可能是平摆的呀，你肯定要往下走，你要想有两个零点，然后我们再来看。要想有零两个零点，我们尽兴去观察这个选项，
你没有别的方式了，你只能看这个选项。你看这个选项的话，你看。你不要进去去求啊，你一求这个题就做不完了。所以这种题做的要讨巧一点，你要继续去求他什么？e的负无穷是零，那这是无穷大零乘无穷大的未定式啊，那就看不出来了，不要别别乱来。那所以说这里面当中的话，你看你这个东西考的非常讨巧，你去求这个人的极值，
求这个人最值这个题就做不完了。你当年考试的话，你发现你肯定在这个题当中，你最起码得浪费七八分钟时间，不信你试一下。那么所以说要注意做选择题的这种讨巧性。那么，这题我们看看选项，选项当中是a+1，而你发现当我给它取一的时候，这人才是一。我为什么要选一呢？因为这是一那时候我再来看看，如果是一的时候诶，这刚好是一哦，
漂亮，这是一。然后这是多少三分之一，这是多少二分之一，加上a原来这就是一加a，再怎么办？加上个六分之一。漂亮，原来你发现看比较的就是a加e和负六分之一，那说明什么事情？说明在这儿。那说明在这儿的话，你看这个点是什么零肯定得小于零，必须得小于零，你只有小于零的时候，
我们怎么办？我们才能是这样。对吧，你这个点处的值必须小于零，那也就说你只有保证这个一处的值小于零，那这是一加a，然后加上六分之一小于零。你这个时候的话，你发现它才会怎么办？有两个零点，那正确答案选几啊？它应该是a加e小于负六分之一，正确答案选a。好了，这是这个事情，
所以说你要理解清楚一个问题啊，抓住特殊性，抓住特殊点，能听懂吗？你看这有同学来了，你能确定这是最小值，你看还有别的答案吗？那所以我就觉得这个做题的时候，你要稍微进行去注意这个问题。对吧，你要根据选项做，这才是我们三九六同学，他想考量你的点。你要是继续去求这个人的最值，求这个人的极值，
你这个题肯定做不出来了，不信你去试吧，你去做一下。你去求导，你导一下试一下，你试试就试试了啊，那是真试试了。那所以你发现你倒下，你看看。两分钟给你一个十个，两分钟你都做不完。你算一下吧，你求一下试一下，你再求一下，你再求一下，
也就说那零呢，我为什么你看说零的同学，他就没有听懂我在干嘛？好了，这个问题啊，我们就讲到这。你就不知道我在干嘛，讲了半天呢，你根本就不知道我在说什么事情。你所以在这里面当中的这个核心重点的这个问题在何处？你得把就在这，你听着看这个选项对吧？好了，这个问题啊，我们就说到这。
能跟上吗？想清楚就行。好了，这个是这个点吧，我们就讲到这儿，自己下去把这个问题的东西啊，好好进行梳理一下啊。这是这个情况。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看幺二三这个题，我们说说这个去年这个题啊，有些同学做的。呃，题目做的非常不好，
你也可以看得出来，我们三九六同学的话，这个出题的这个卷子的风格。他有讨巧心。它跟这个数一数二数三同学的这个考试的这个风格是不一样的。窘然不同的。他讲究一点讨巧技巧性，他在这里面要灵活。对吧，一定要灵活。你如果在这里面当中，你把这个东西使劲的怼，你肯定怼不出来了。所以接下来我们来看看这个下面一个问题，所以要你要抓住这个点，
因此啊，你要长时间做数学三同学的题，你三九六的卷子未必能做的很好。不一定能做得很好。我在今年的话，这个。我大致说一下这个问题。不一定做的很好，我做过好几次尝试。因为那个题考的很好，我就把它放在这。呃，这是今年的话，这个。这是数一数二数三同学的这个强化讲义。
我今年在这个强化奖励当中啊，收录了几个题。我给你大致说一下，因为他们考的这个题的难度系数是比较大的。哎，综合度也比较高。那么，在这里面当中啊，我给你看看我输入了几个题。比如说这个题。六点二这个题啊，这个题到时候我们讲了，你肯定不会觉得这个题难。这是我们去年我们的考题，我把它放到了数一数二数三同学的强化讲义上，
照样大堆的同学做不出来。大批的同学做不出来。还有这里面当中，我又收录了一个题，这个题，这题也是我们去年考完真题，我收录两道，我就选了两道，因为这两道的话，你发现你在做的过程当中啊，它的操作性是比较强的。所以在这种当中，我收入两档，你照样不好做。所以长时间的数一数二数三同学的做题的思维方式迁移到这个什么你迁移到这个三九六的做题，
你未必做的很好。那所以我就觉得这个方向性要摆清楚，它的这个灵活度，而且做选择题这种感觉，这是很重要的。因为我们的做题的时间要把控，而且做题思路必须要精准，好了，不多说了，我们现在再做几个题来看一下这个题。他说这个方程的这个实根的这个个数。对吧，十根个数。那么，这里面当中，
我们要研究这个方程根的个数，研究这个方程根的个数，那么在这里面当中，你看这个题的选项就没有这种特殊点了。所以这里面当中，我们就要进行一个令函数。你把它设成函数四倍的多少arctangent t减去s，加上三分之四派减去它。好了，这是这里面当中，我们先来看看这个人定域，定域是r研究这个人吧，这个人是可以导的，研究这个人的单调性。然后这是一+s^2分之四诶出来了。
这个正负性出来了没？出来了，是三减x什么平方？对吧，三减s的平方。正复兴出来了吗？正复兴出来了。立即出来了本题，本题结束了呀。那政府性出来之后，你就进行去找你找什么情况呢？你找这里面当中的点那么，所以说这里面当中你就进行没有不可导点。没有导数不存在的点，只有什么点，
只有注点，注点就是正负根号三。你看思路非常像第一步，我们先干嘛呢？我们先看定义域，看完定义域了之后研究这个人单调性就要求导。那求导了之后，这个正负性出来就结束了，然后这个题就划分成很多区间段，那就是负无穷到多少负根三。负根三。然后这是负根三到多少根三，然后这是根三根三到正无穷，这个题是能做完的啊。这题绝对是可以出的好根三到正无穷。
然后接下来我们来看看导函数，然后接下来我们看看fs，那这个正负性简单吗？这个正负性的话，你想画表你就画表，我不画了，因为做题的这个速度要摆在这儿，这下面永远是正的，上面这里呢上面。上面是个倒扣的抛物线嘛，你倒扣抛物线，这是正的，这个两边是负的，这太简单了，你所以说这个时候减。
增减这个做题啊，思路非常的精准呢，这两个是零，那这是极小值，这是极大值好，其实不用管这个事情。那么，接下来怎么办？当你这个单调性出来之后，画一个草图。稍微进行画个草图，然后这是多少？这是fx，然后这是零，然后这是x。
你要怎么办呢？先进行减你从负无穷减到负的根三，那你是不是想知道负的根三的情况啊？那负的根三，你想不想知道情况？我当然想知道那负的根三，你看负的根三往这儿。往这带的话，这个是三分之派负的它。那所以说第一个人就是负的三分之四派。然后再加上根三加上三分之四派，然后再减去根三诶，这不是零吗？漂亮。对吧，
这个情况注意啊，我再说一遍。不要像高中一样。说求完了之后，什么最小值比它大，最大值比它小，怎么怎么样，不要用那种方式。你现在做我们的题就非常快，准狠，研究清楚了，单调区间了之后画一个草图，画一个草图的话，你发现你看你剪到这儿，我就想知道这个点。
那正无穷就不用啊，负无穷就不用看了，这个端点就不用看了，为什么不用看了呢？因为你减下来，你肯定那个部分是正的，你就不用看了。然后接下来你再来看你根三这个东西就不用看了，为什么你要从这增上去？因为你要增上去的话，这个点肯定大于零，但是还有一个事情，你接下来要看你还要看谁呢？你还要看正无穷。真无穷，
是一定要看的。因为真无穷的时候，你看。这是二分之四倍的二分之派，这后面是数由谁决定？由这个人决定。由这个人决定的话，你发现这个人是什么？这人是负无穷那，因此这个人的话再下去有几个不就是两个吗？因此这个题的正确答案选几选c？很简单嘛，你看思路出来之后做什么都很简单，看定义域研究这个人的单调性，研究这个单调性的话，
你发现就要求导。你求导，如果一阶导数正负性出来，那就结束了呀，那我就画一个草图呗，把一些特殊点在上面点一点一画就出来了。多简单，你要什么就要什么，你要这个什么，你看这个点已经因为我要看这个特殊点，这已经是零你减，你就不要看这一段了。你往上增就不要看这个点了，然后往下减才要看正无穷，你思路把它打通了之后就非常简单。
你下去多练啊，一定多练好了，今天具备的这个思维方不要再说极小值了。你看这种同学吧，好大家少看少听对吧，少注意这种同学。所以说在这种当中，把思维方式打通了就行了，就是画一个草图，什么东西都出来了。只要在这个草图上。所以在高中的时候，其实你发现如果拥有了数形结合的思想方式，那在高中当中做有些题啊，比如说什么啊，
我求出这个极小值怎么样，求出这个最小值怎么样？就不需要了，我画一个草图，什么东西都出来了。因此啊，要喜欢画草图。能听懂吧？好了，今天下去之后啊，你就可以做这个事情了。你就把你曾经过程当中，你发现把你曾经做过，比如说你做的某本书。你你做的哪本书都行，
你做的那本书上的单调区间的体答凹凸区间的题答。函数零点的题啊，你都可以把这些题啊，你疯狂的做一做，因为今天你有方法了，原本是没有章法的去做，但是今天是有章法了，有章法再去做，你发现就非常的顺了。能理解吧，这叫刻意练习法。啊，这叫刻意练习法。能理解吧，思路一定要清楚的进行做。
刻意练习法，其实第一件事要会方法。再练习。这叫刻意练习法。会方法再练习呃，有一本书啊。非常好，然后。这个书呢？不知道哪去了啊。哦，在这儿那这个书还有一个。还有个姊妹篇啊。有一个这个这个叫学习之道啊，等你考完了再看吧，
你考研时候有什么时间看有个这个学习之道。还有一本他的姊妹篇叫做。刻意练习。啊，也不知道怎么一篇叫刻意练习。我觉得这个这个书啊，等你考完了，你可以看考研的时候就不用了啊，考研的时候就不用了，我相信里面当中有一些这个。呃，将来的话，过程当中有些学习的一些思路，这本书说实话很好，它不是那种鸡汤性的那种，
那种学习学习书籍。他不是那种。不是鸡汤类的学习书。所以他他真的有一些这种很好的一些学习方法。好了，这是这个事情吧，我们就讲哎，它不像那个不像那种那那种就是这什么你就去你说的那什么成功之道带那种书，我一般不会买的。我看到那个我我基本上都不会买，就这种东西的话，它是呃里面讲理论啊，讲一些东西不是假大空的一些东西。好了，这是这个题吧啊，
幺二三这个题稍等一下可以吗？我再讲一个题啊。呃，今天稍微的拖会儿堂可以吗？然后反正这个下午的过程当中没有这个课啊，然后今天稍微的拖个堂。我再讲一个题。可以吧，然后呃，下节课开始啊，因为上午就没有政治了，那么从下节课开始。上午的这个课程呢，我都会放到这个。上午的九点。
到11点。或者是晚上的七点到九点。能听懂吧啊，以后的话我会调整一下，因为的话这个上午没有政治课了呃，你就不需要的话，这个放到这个八点钟。啊，我们也不放到八点钟，因为八点钟我的状态不太行啊，上次过程当中啊，这个呃，那天课。害的我难受了一个多周啊，确实那天没发挥好，
因为有的时候我的发挥啊，会很影响很多同学的这个学习情况。啊，这个因为你上课真的是听懂了，你下去就可以练了。那所以说这个九点钟啊，当然啊，也可以方便这个拖堂对吧啊？好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个点啊。那么如果的话，这个方程呢？有两个实根。对吧，
有两个实根，那么这个有两个实根的话，你发现这个题怎么做呢？你像这种题啊，你稍微注意一下。它里面是有参数的。这叫含参讨论问题。对吧，含参讨论问题。度小含参讨论问题。那么，像含参讨论问题啊，这种类型问题有一种非常好的方式，如果见到这种含参讨论问题有个非常好的方法，叫做参数分离法。
或者叫分离参数法。对吧，你可以把这个参数进行去分离。那么，在这种当中，我们来看看这个事。往往的核心方法都是这样。那么，这里面当中a是这样，你就可以把这个a进行分离，分离成这样子。但是你要稍微注意啊。你这个s能不能除过去啊？能除除过去，你看定义域吧，
定义域是大于零。那定义域大于零的话，这个人当然可以除过去。所以说这里面当中，我们就可以研究这个人的图像。对吧，研究这个人的图像。研究清楚这个人图像，然后被a去解。对吧，用这个东西去解。然后截了之后的话，你就像高中一样做题，比如说我研究出来这个图像截。零个结一个结两个，
你就可以去解对吧？就是这种情况，这不是青春嘛。所以说这个时候我只需要进行去研究谁啊，我只需要去研究这个人的函数图形走向就行了。研究清楚了这个函数图形走向，那就非常简单了，来第一步。你把它标一下就行，书上没有吗？哦，以书本为主啊。以书本为主，把它给我抹掉啊，以书本为主。
因为那是个叫板，之后的东西。好了，这个人所以说这里面当中啊，你看第一个事情，那么这个人的话，你就可以在这里面好了，大家少看这个屏幕当中别的同学的方法，我们教通法。对吧，少看那么这个时候你发现你一分离，你就可以研究这个人的图形，走向第一步，我们先干嘛？第一步，
进行去研究。定域大于零，然后没有什么特殊性，特殊点，你就不用管了，然后第二件事当然有特殊点l1是零嘛。第二步，你可以进行求导。那么，这个求导完了之后去研究这人单调性来求导，那这个部分是多少是x方，然后上面求导减下面，然后下面求导乘上面。正负性出来了没？正负性出来了，
正负性出来可以找到注点没有？不可导点立即可以求出s等于几等于一。那等于一的时候，你发现你下面这东西永远是真，其实我重点看的是上面，你上面这个loing这个减一这个东西啊，是单调递减的吧？路易是增这单调递减焦点是一，所以说这个时候马上可以看当s大于零小于一的时候。那这人的导函数什么零大于零，然后第二件事情当x大于一的时候，这个导函数什么零，这个导函数小于零。所以说在这个片段当中，这个函数就单调递增，
这个片段当中，这个函数就单调递减。是不是这个情况？所以说这个问题点就出来了，你是先增后减，但是这里面当中要稍微注意了。你这是大fs，然后这是零，然后这是s，你先进行去增。你从零开始增，然后增到谁呢？增到e你就要求e处值f这个人在e处值是多少？这是e龙e是一。好了，
这是一亿分之一。然后紧接着我们再来看第二件事情，你要先增先增的话，你要注意还要看零这个点还有正无穷这个点和。很多人做错的原因就是因为没看这些人，你要看零零这个人的话就是s分之l。然后上面这个东西是负无穷，下面是是零帧。那这个结果呢？那这个结果的话，你发现他还是多少这个人的话一做？一做就是负无穷。好，这是这个问题，然后接下来我们再来看。
当s趋向正无穷的时候，你正无穷下面比这个上面远远大，这个极限是几啊是零？对吧，是零，所以说这个时候我们就知道了，它应该是从负无穷增上去，你看这半边这半边减到零。这是要注意的，它不是直接下去的，它一定要怎么办？减到零那这时候的话，它有两个实根，有两个实根的话，这个求解的这个范围就在哪呢？
我们来看看这个事儿，我用绿色去截，因此啊，你这里面当中只有截这个部分。有些同学没有看端点，这题就做错晚了。因此啊，这种情况有两个。那因此这个a是什么范围？就是从零到一分之一。这个速度是最快的，对吧？叫分离参数法一分离啊，这件事情就研究这个人的图像就行，正确答案选几？
选b啊。好了，这是这个题，那么接下来大家把这个题目截个图。把这个题截个图，你下去过程当中啊，把这个题做一下。截个图。把这个题截个图，我们下节课我们再来针对这个问题啊，我们来做重点的精讲。好了，这是这个事情。可以了吧，好去做一下。
那么，接下来我稍微的进行去布置一下这个下节课的这个任务啊呃，提前进去去看看。然后使冲刺满分。啊，冲刺满分强化篇。的第71。那么，71页的话，这里面当中啊，把这个。幺二六幺二七。提前做一下。然后另外一件事。是72页。
对吧，72页。然后72页。把129题到133题都做了。能听懂吧，把这东西去做了。还没收到吗？这都好几天了呀。啊，这个。74页。哦，应该的话就快了吧，然后你看看吧，你看看能不能收到，
如果大量同学没有，我觉得今天应该还好了吧？因为明天没有课啊。明天没有课，然后的话，这个嗯，我看看情况吧，一会儿统计一下，因为这个发多了，那个出版社他们也也挺有意见这个。好了，这是这个事情呃，所以说这个这是这几个板块内容。能听懂吧啊幺二六幺二七，然后是这几个部分。
行，你把这几个东西啊，把它做一下啊。然后我说一下这个事情，把不定积分的部分的东西一定要提前先做，好像不定积分的一些计算方法。什么凑微分第二类换元分布积分法和尤里分式积分，你把这几个东西啊，一定要把它好好进行去看一看，能理解吧。呃，然后顺便的话，你可以把定积分的这个定义的东西啊，定积分的定义可以提前先看看。啊定几分定义和几何意义。
把这东西啊，提前看看就行好了，那么今天啊，我们就讲到这跟得上吧，自己下去把这个相对的问题啊，好好处理处理啊，就这几个题。然后今天下去又有新一轮的这个啊，决战300题了啊，有新一轮的300题，大家的话可以进去去完成了啊。哦，今天生日是吧啊？生日快乐啊。呃，
好好努力啊，这个今年啊，我相信大家一定能把这个水平点呢，会拉的非常非常高的，好好好加油吧，好那么今天课程我们就讲到这儿，大家可以继续去。吃饭去了啊，然后今天的课程呢，我们就讲到这儿好好整理啊，这个部分内容是非常非常重要的好，那么今天课程我们就讲到这儿，下期再见吧。
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