09.冲刺满分强化篇·题型12-14精讲精练-2
那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个今天部分内容啊。呃，在刚才过程当中啊，我们讲了这个高阶导数的一些计算啊，所以说呃，另外强调一个事情。你上课如果这个东西没有的东西，你就补上。能听懂我的意思吗？要是没有的东西，你就补上，你要注意我是一个人，对吧？我们是很灵活的，那上课过程当中，我不可能说我讲义上的所有写的东西，我就跟你讲一模一样的东西。那不是这样子的，对吧？所以说在听课的过程当中啊，如果没有东西，你就好好补一下，你稍微写一下就行了啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个事情，我们来讲讲它的展开法。呃，
这个东西啊，可能对有些同学感觉到稍微的会难一点呃，切进去了之后啊，就会非常非常的简单，那么这里面当中啊，需要做一些事情。当然的话，一个方面的话，要记一些它的公式，另外一方面，你最重要问题，你要知道这个东西在干件什么事情？好好听哦，那么接下来我们一起来看看这个事。第二类，
反函数例题没有看明白，你去看看基础班你都能看明白。啊，刚才讲那个东西啊，跟这个基础班都差不多的。所以接下来我们来看看下面一个问题，好好听课来继续，我们来看看泰勒展开法，但是注意泰勒展开法。考研的过程当中，核心重点只考求解n阶导数在里面。对于我们三阶段啊，这个什么对我们三九六同学考研，你像这个问题啊，基本上考到n阶导数在零处，
基本上差不多了。对吧，不会再去考什么别的点，基本上都是n阶导数在零处的值，那么接下来我们看看什么样的一个数学思想呢？是这样的一个问题。昨天我让你去把那个什么泰勒公式啊的一般表达式看一下，你还记得吗？如果这是一个函数，我立即可以，怎么办？我可以把它在零处进行泰勒展开，展出的结果就是f0。f撇0x。加上二的阶乘分之。
撇撇零。x的平方，然后再是三的阶乘分之撇撇撇0x几次方。x的三次方。然后接下来一直加加到n极导数。啊，这是n阶导数零比上n的阶乘s的N次方，然后再加上那个高阶无穷小。对吧，不管了，就这样吧。别管了，你后面可以加个高级无穷小别管了，就这样。就说我给了一个函数，
我一定可以在零处把它展成一个什么多项式。大家有没有发现一个事情？这不就是个多项式吗？只要给一个函数，我都能把它在零处写成这样的一个情况。哎，只要给一个函数都可以在零处写成这个情况，而同学们想想，如果第一个值我求出来一个数是a0。如果导函数这个结果，我求出这个数a1。然后二的阶乘分之它，我求出了个a2。三的阶乘分之它，我求出这个数a3。
然后n的阶乘分之它，我求出了个anx N次方。我是不是就可以把这个函数变成多项式了？能理解吧，就说什么意思呢？就说我只要给你个函数，我立即可以把它变成一个x的N次方的多项式。对吧，我只要给你一个函数，我就能把它变成多项式，这就是泰勒公式的一个公理，把函数变成多项式。这是顺着想。那考题是什么呢？考题就是反着出。
那以前都是这样想，我给你那一个函数，我展了之后，哎，它是个多项式，那么同学们，你这样想。我现在拿到了一个多项式。对吧，我现在把这个函数啊变成了多项式，也就说我现在拿到了一个多项式。那你告诉我件事儿，我能不能反着看？对吧，我现在拿到这个多项式，
我就可以反着看那同学们跟我想啊，那这是谁呀？如果知道了这个动向，是这个人是谁啊？哦，这个人不就是f0吗？这人不就谁f撇零吗？这人是谁？不就是二的阶乘分之撇撇零吗？这人是谁？三的阶乘分支撇撇撇的吗？诶，那这个人是谁呀？那这个人不就是n的阶乘分之n阶倒数里吗？是不是这个事情哎？
那你想想一个问题，如果我能够把一个函数写成多项式多项式的，每一个系数是不对等的。你要求解这个n阶导数，你不就只需要知道N次方的系数吗？N次方的系数其实就等于n的阶乘分之n阶倒数零漂亮一下就出来了。不知道同学们理解了吗？有些同学估计顿悟了。那么，在这个点非常简单，就说我能够把这个函数写成多项式，哎，我写成了多项式，你这个每一个次方的系数不就是对等的吗？对吧，
你这个系数是对等的呀。你举个简单例子，比如说我们来看。好，举个例子。比如说你来看一个事情。lin这个函数。比如说我们有个函数。我这个函数是ln 1+s这个函数。这个函数能不能写成多项式？可以它写成多项式就是is减二分之s方加上多少？三分之一s三次方减去四分之一s四次方，然后可以一直写一直写。哎，一直写下去，
那你想想，如果这是n呢，你这就是N次方。没问题吧，然后前面是少一级或者多一级都行啊，少一级多一级都一样，无所谓。你看吧，这里面当中给了一个函数，这个函数是不立即可以写成多项式啊。我立即可以把这个函数写成多项式。那这个时候的话，你发现我立即就知道了，来看看啊。那你告诉我它的常数项是几？
常数项是零，不信你去试它函数在零处就是零。它一次方向系数是多少？一次方系数是一那f撇零就是一。它的二次项系数是多少？是这个人二次项系数是二的阶乘分之撇撇零，它就等于负二分之一。然后的话，你发现这个三次方系数多少三的阶乘分之撇撇撇零，然后这个人等于多少三？三分之一，然后接下来你一直下去，你发现看N次方系数多少？N次方系数是n的阶乘分之n阶倒数零。然后这是负一的n加一次方n分之一。
不信你去试吧，它绝对是这样，你可以算。你自己去算，你这个人在零处是不是零是零啊？你这个人在零处的导函数是不是一？你自自己算，绝对是这样的一个结果。绝对是这样结果，所以你发现就是一个对应系数相等的一个操作。这个难度系数一点都不大。就说你只要能把这个函数变成什么呢？多项式。只要你能把这个函数变成多项式，那这个时候你发现它每一项的这个次方上前面的系数是对等的。
你听懂我的意思吗？好了，这是这个方向。跟得上我的意思吗？一定要学会它，要想清楚这个问题。所以像这几个基本点呢，你一定要把它知道就说，只要把这个函数写成了多项式多项式的系数是对等的。那我问你个事情，如果一个题啊，要进行去考察n阶导数，再进行初值，你怎么办？如果要进行求n阶导数在零处值，
我只需要知道N次方的系数。所以大家注意我的方向就非常简单，我只需要知道N次方的系数。你N次方的系数就是多少n的阶乘分之n级导，你只要知道N次方的系数，这题就出来了。能听懂我的意思吗？好了，这是这几个问题，所以在这里面当中啊，你就必须要知道一些常见的泰勒公式的展开式。哎，这就是你要知道的。那么，在这种当中啊，
你能把我下面这几个东西啊，能记住就行。比较重要的，我往前写，我先给你写这个人。呃，这个东西要记住，你看这个人，那这个人很多说老老师这是怎么推的？你看你这个人的话，你这个人会推吧，很多人说我不会啊，那不是一+s的负一次方吗？阿尔法取负一啊。但注意这个东西非常好记，
它是个等比数列，那是多少一+s+s^2加上s三次方。加上s四次方，加上s五次方一直加下去，加的SN次方，你不用加高级无效，你一直写下去就行。你别管了，对吧？就这个人，然后是加法呢，用负s进行替换，一+1-s加平方减去三次方。然后加上四次方减去五次方，你就一直写下去就行。
好，这个人能理解吧，还有一个事情，常考的人对吧？越常考越往前行，那么常考的人还有这个l 1+s。是x减二分之一平方，加上三分之一三次方减去四分之一四次方，你发现。它只要是N次方，那就是n分之一，然后这块来了个负一的多少n加一n减一都行，对吧？加一个和减一个都行。啊，
这是这个人好，这是这个人，这没有什么难度啊，就记公式呗。然后第四个点。还有这个es这个人，它是一+s+2的阶乘的平方，然后加上三的阶乘分之三次方。然后一直加一直加，加到n的阶乘分之N次方好的这个人。这是几个常考的人。你像什么塞纳？cos on了，tangent了。quantity了啊，
quantity不用对吧？你像黑又黑又是个什么s in阿克塞因？tangent题arctangent题了，还有这里面当中的cos in呢，这几个人呢哎，不做重点要求。但是这几个人只需要知道短接的就行了。比如说s in我知道的是x- 3的阶乘分之一三次方。arcsine是x加六分之一，这人知道x加三分之一，这是x减三分之一，知道几个短接的就行了。能理解吧，就是剩下的这几个人，只需要知道短接的就行，
对于我们三九六同学足以了。完全足矣了，所以说一定注意这个事，就说我们这几个东西只需要知道几个短接的。要背两项，背个三项就差不多了，能听懂我的意思吗？好了，大家理解我的意思，给我回复一。跟得上给我回复一，你看这几个人非常具有规律性的东西，把它记住。然后这几个东西只需要记几个短接的就行了，你记两三项就行了，
不需要记太多，对我们三九六同学完全足矣啊。好了吗？同学们，那么接下来我们再来看几个题。但是注意这种题目的局限性也非常的强。这种题目的局限性只能去求n阶导数在零处的值。能听懂吧？只能去求n阶导数在零处的情况。这是要注意的n阶导数在零处。方法非常简单。将这个人斩成多项式，然后再进行怎么办？挑他的系数就行了。那么，
接下来我们来看看这个题。87题。好，再看这个题目。那么这个题啊，他给的这个人，你看我们来看看方法二。它让我们干嘛呢？它让我们去求n阶导数在零处值。要不这样吧，我记得刚才还有个题86题86题，我也用方法二再讲讲，但是86题其实你可以不用方法二。你用方法一足矣了。但是我还想多讲点。
啊，你自己去把它渗透一下就行了。来看一下这个人方法二。本题是不是求n阶导数才零是第一个条件就可以了？是求n阶导数在零。本函数好不好展开？好展开，非常漂亮，所以说这个人呢，就非常简单，我就把这个人写成了l。一+-2s这个人。大家想想，我要求n阶导数，我就要找N次方的系数。
ann次方的系数就是n的阶乘分之n阶倒数零，不要转头就忘啊，这刚讲的啊。好这个人那因此我们在这里面当中就展开，你看展开的第一项负二次，其实同学们注意这些项你在乎吗？你不在乎，你在乎的是N次方。那所以说你像前面这些人，我管你什么，我不在乎，我在乎的是N次方，那N次方刚才是。n的阶乘负2x的N次方，然后前面这个东西呢，
多一级少一级都行。然后这后面我也不管了。所以说前面我不管，后面我不管是负一的n加一n分之一负一的N次方。二的N次方xn次方好这个人。那么，请同学们告诉我N次方的系数是谁？N次方的系数就是它，这就是n次N次方的系数，所以在这里面当中啊。N次方的系数是负一的，你看这两个相乘呢？那相乘的话就是2 n+1。先写到这儿，这是奇数，
然后二的N次方，它就等于多少n的阶乘分之n阶倒数零。那么，所以在这里面当中，马上这个n阶导数里呢，它就出来了，我还写的慢呢，你要不然的话，你就直接出来了。这是负一，然后这是n分之一二的N次方n的阶乘。n的阶乘跟n约一个就是负一啊，这是负的二的N次方n- 1的阶乘。所以说这个题啊，正确答案选几啊选一啊，
非常快啊。就说你记住这个泰勒公式的第n项，然后把这个系数抛出来，系数就等于n的阶乘分之n阶导数零就出来了。所以这个方法非常讨巧，而且如果会了之后会非常简单。就非常简单，就说你把这个人的N次方给我找到，你N次方的系数是谁？N次方系数就是n的阶乘分之n阶导数里。就这么简单，对吧？这是这个事情，来我们看看大家的触类旁通能力，你看一下这个题。
那这个题啊，我们来看这个人，我们要去求什么，我们要进行求n阶导数。对吧，我们要求n阶导，我们要求n阶导的话，你看n阶导数在零，这个人好不好展开好展开？那好，展开就很棒了呀。那么，在这里面当中的话，这个人是s方乘上ln 1+s。我们是不是要N次方？
我问你个事情，你发现前面已经有个二次方，你展的一次方其实是三次方。你占的二次方其实是多少四次方？对吧，你展的二次方是四次方，同学们注意一个事情，你告诉我件事，你要多少？对，非常好，我要n减二四，所以同学们注意这前面这些东西啊，我都不会管了。我在乎的是n减二，
那就是n减二分之一，你看这两个是对等的n减二分之一s的n减二。然后这是负一的，比它高一级或者低一级都行n- 1。是不是这个人的，然后这个时候的话，你看前面我不管了，反正这个东西乘进去了之后的话就是n减一n减二分之一。x的N次方漂亮N次方出来了，那N次方出来之后的话，你看这个系数是谁？这个系数其实就是。n的阶乘分之n阶导数在零处值。没问题吧，所以说这个人呢，
立即出来了，那n阶导数在零处值，它就等于负一的n- 2次方n- 1次方。然后这是n减二分之一，把n的阶乘给我乘过去。因为n的阶乘分之它等于它把n的阶乘乘过去就是它。本题是不是结束了，所以这样做你会发现还会更快一点，正确答案选几选一啊。比刚才那样操作要更快一点，你就记住。要进行去求n阶导数在零处值。要进行求n阶导数在零处，而且这个东西好写成多项式，就用这个方法。
对吧，前提有诶。哦，这个选选几啊？这个是负一的。选b吗？哦哦，选b哦嗨。拉倒吧，那做了一个鬼的题啊。你学会就行了啊，好了，这是这个点。所以你要注意一个事情，第一个事情你求的是n阶导数在零处。
对吧，你求的是n阶导数在零处值，而且这个人好展开成多项式。我就进去去挑N次方的系数就行了。好了，那么接下来我们再来看看下一个题88题这个题。好，再看这个题。其实啊，我们很喜欢考这种题。有的说不太喜欢考n阶。就喜欢考几级呢？你发现啊。考一阶，有些同学就怼他了。
考两节，有些同学也对它了。考三阶刚刚好，这叫诱敌深入。对吧，这叫诱敌深入，你要考五下，你就诱不了敌了。要如果求五阶导的话，有些同学一看五阶导，那我就不想算了。对吧，我就不想算了，但是你发现如果这个东西考什么东西呢？考的是三级导诱敌深入。
对吧，这个人那所以说这样考的话其实就很好了，哎，不多也不少。你求了浪费时间，再多了，有些人不会求了好了，这是这个问题，所以这个题我们怎么做呢？你来看看。求的是不是n阶导数在零处？求的是n阶导数在零处，而且你会发现个事。这个人的泰勒公式你知道吗？我知道一加s这个泰勒公式是一减s加上平方，
然后下去。那这个时候的话，你发现你一替代的话，你看一减x平方，加上x四次方诶咔咔咔下去。那这时候我们来看看，变成多项式了，变成多项式的话，你发现。常数项f0是一。那这是二的阶乘分之几？二的阶乘分之二级导数是负一？那你告诉我三次方的系数是几啊？三次方的系数是零。三次方的系数是零不就是三的阶乘分之三阶倒数在零吗？
所以说三阶倒数在零处，结果。它就是零，因此啊，本题答案选b。其实你看都能看得出来。我眼睛一瞅，发现你看一平方四次方一次方三次方五次方对吧？七次方九次方11次方。系数都是零，系数都是零，都是一个阶乘分之，它的导数是零，那说明那个导函数肯定是零。对吧，
这个方法其实非常的好。只要你见到是n阶导数在零处的导函数，而且这个东西很好展开，你就用这个方法非常非常的快。对吧，你学会了就非常的快，然后接下来我们再来看，那这个题还有没有方法啊？还有没有方法？当然有，我们再来看看方法二。怎么做？硬着怼它，怼它就划不来了。怎么处理呢？
那这里面当中你还有一个方式哎，这个点我们考研可特别喜欢考，你记下了，这个点绝对是预测点。你发现fs这个人是个偶函数吧？你倒一下了之后的话，这个人是个奇函数。你再倒下了，这个人呢？他又是个偶函数。你再倒下了之后啊，它就是个奇函数。对吧，你再倒下之后，它就是个奇函数。
所以说你会发现，你看你三阶导数是个奇函数，你三阶导数是个奇函数的话，你就会发现三阶导数是奇函数。奇函数在零处等于几啊？奇函数在零处值等于零选b。好了，这是这个方法，我们原来讲过吧，基础班讲过的。而且你可以记住一个经验。啊，记住一个经验。什么经验呢？偶函数。
偶函数的奇数项。大家听好了。偶函数的奇数性。奇数项的导函数都是奇函数。对不对？偶函数的导函数的奇函奇数项都是奇函数。那说明这些项都是零。那你想想一个事情，你把这人进心展开的时候，你这是f0。奇数项系数是零，那就没有了。然后这是x方。说明它就没有奇数项。所以你要记住偶函数的奇数阶导数，
它是等于零的。能理解吧，你是个偶函数奇数，接到导函数在零处，结果肯定是零。同理，奇函数就没有偶数项。那偶数阶的导函数在零处，结果也是零。你要听清楚这个问题啊，我不知道同学们理解了吗？我一看这是偶函数。偶函数的话，你发现它的什么奇数项？对吧，
就是奇数项的话，这个导都是奇函数。它的结果肯定都是零哎，这是一个非常好的方法。所以当然的话，同学们，你可以不用记，你不用记，你脑子稍微转两下就行了。对吧，你稍微进行转转就行了，就是这是偶函数，导函，奇函数，再导函数，
偶函数，再导函，奇函数，你稍微捋一捋就行。好，我再给你看一个题。预测题。敲出来，我来出一个题。我们来看看一道预测题。我来看看你的触类旁通能力到底达到了一个什么样的一个水平。来看看这个人。说已知啊。fx这个人。它是e的，
这个s in。减去e的负三。则请告诉我三阶导数在二派处等于几？来看这个题。你来看看这个题的话，到底应该怎么做？你看这个人，你怎么处理啊？那么，首先我们先来看看这个事儿，你解。大家注意，这个人是个奇函数，知道吧？这是gs-g负s，
这是个奇函数，知道吗？所以你会发现fs这个人是个奇函数。倒一下是偶函数。再倒下，是奇函数。对吧诶。这是个奇函数，奇函数，偶函数，奇函数啊，这应该出个加号，不好意思，出错了。这个这个这个第一个等于是偶函数。
你怎么就做完了呢？你看看你这些同学的话，你看这这都有问题的话，你把它做完了，你不审题对吧？你一直在猜我怎么怎么去来，你别这样啊。好了，那么接下我们看那这个人是什么？这人是偶函数。然后倒下是奇函数，你再倒下是偶函数，你再倒下是什么？你再倒下是奇函数。好奇函数。
但是你会发现个事，这个奇函数的话，它在零处的导函数才是零呢。啊，你这个在零处的这个导函数才是零呢？你奇函数在零处等于零吗？但是你会发现这个题目往往求二派啊，非常好周期性。你发现这个人的周期是不是二派？怎么看周期性呢？你扔一个s+2派进去s in不会动的s in也不会动的周期是二派。那周期二派的话，你发现如果你的周期是二派导函数周期是二派导函数周期是二派。导函数的周期也是二派，既然是二派，
你发现这个结果就是二派出结果。就考了两个点，第一个事情考了fs，加上f负s是一个偶函数。偶函数，导数，奇函数，奇函数，导函数，偶函数，再导函数，奇函数，再导函数，偶函数。而且周期函数的导函数是周期函数，
是不是我们第一次课程讲的？对吧，求导是奇变偶偶变奇周期导数还是周期？而且是相同周期的，这个周期函数。你看这个题啊，我觉得还挺好啊。行吧，那么这是这个问题来，我们接下来再来看，再来做一个题。再看这个题目，这个题就有点难了。我觉得三九六同学能考到这个难度呃，已经是巅峰了。
啊，考的这个难度就是巅峰了。来那么接下来我们就继续我们来看看这个题目来解。那么这个题考什么考三阶导数？诱敌深入啊。对吧，诱敌深入啊。那么，这个东西的话，你发现诱敌深入的话，在这里面当中，他什么情况呢？你看他就想你觉得狠特别狠，怼三下。德云三下臣疯了，
对吧？那么，接下来我们先看第一个事情是不是n接导数在零？高阶导数在零处值是的。好不好泰勒展开呢诶？我来试一下。arctangent这个人我是可以变成多项式，没有问题，然后x这个东西啊，我们先不管。然后这个东西能不能变成多项式也可以，因为这里面当中就是一加s分之一，不就是一减s加上x方吗？也能变成多项式漂亮，那这时候我就知道了，
你发现我就把这个人变成多项式，再把这个人变成多项式。但是这个多项式我只在乎三解，你就把它写一下x减三分之一三次方好了就到这。然后这个东西要三阶的话，把这个人写到二阶就行，你一t那这一t的话就是一减ax方。哎，刚刚好，然后这个东西啊，你马上就写，你发现你这是x减去三分之一三次方对吧？这是个多项式。然后这一乘呢s-a倍的三次方哦，这也是个多项式。
是不是这个事情哦？这就是个多项式，那既然是个多项式的话，你发现你看常数项我都不管了，这都不管了，我只在乎多少三次方向。三次方向是加上a倍的三次方，然后一直下去。然后这个结果是什么？三次方向的系数，三次方向的系数，刚好就是三的阶乘分之。三阶导数零。所以说三的阶乘分之三阶导数零，它就会等于负的三分之一加a。
那这个时候的话，你看这个人在一处等于几呢？这是六分之一。那这是六分之一的话，然后这是负三分之一加一，所以说立即推出来a就等于多少二分之一？是不这个事情，所以说立即结束了正确答案选d选项。看清楚了吧？就说我只要能把这个人变成多项式，你记住，我只要能把这个函数变成多项式，常数项对应f0。一次项系数对应f撇零，二次项系数对应的是二的阶乘分之撇撇，
零三次项系数对应的是三的阶乘分之三阶倒数零。好了，这是这个内容跟得上吗？好了，这是一个基本问题啊，89题啊。能学会吗？好了，这是这个问题，总比你怼三下要简单。那这个题啊，算一道拔高题。我们能考的这个水平呢，基本上考研没有任何问题了。对吧，
你就是这个点的话，你达到那个水平，这个问题啊，难度系数就不大了，那么接下来我们再来看看还有没有方法，还有接下来我们再来看看。第三件事情。好，这是我们讲的第二种。除了这几种方法之外，如果一个考题还是再去考n阶导数计算，我们这里面怎么办？我们还可以用递归法。就说你这地方当中实在是别的方法都不行了，你展也展不了。
公式也没有公式，你就可以怎么办？怼他两下，然后规律出来总结一下就出来了。所以接下来我们再来看看这个最后一道题。看一下90题，这个题。看看这个题来操作一下吧。那这个题啊，稍微进心抽一下，那很明显是一个n阶导数计算问题。你脑子里面就记住，只要考研考n级导数计算，先是怎么办？看看有没有公式法，
没有公式，看看能不能展开，没有展开嗯。没有展开法的话，你发现一个事儿，这一点当中我们怎么办？我们就试一下递归法试两下。你现在而言的话，你看这个人。我可以怎么办？呃，看到变现函数，它也没有什么公式。没有什么公式的话，我们就等于它一下，
等于它一下了之后的话，你看这是一阶导，然后这是多少二倍的fs？那这里面当中还不行？对吧，你还不行，你还不行的话，你这里面当中，我们就继续那这个时候怎么办？我再来求一下。求一下的话，这个人怎么办呢？求一下的话，我们再求一下的话，这人就是二，
然后这是二倍的一阶导。那这个什么，这是一阶导。一阶道等于他。那么，如果在这里面当中，我们再求一下的话，这个人就是一级的。哎，规律没有出来，规律没有出来的话，我再来一下，我再来一刀。哦，规律好像有了。
你看这两者之间是二倍的关系，那如果的话，你发现你看你再求一下你四节，你四节的话，这就是二倍的几节，二倍的三节。哎，如果你进行求五阶的时候，那这个人的话，二倍的几阶，二倍的四阶，同学们想想什么关系啊？这是一个什么东西？那你想如果你推到后面去的n阶和n- 1阶是不是二倍的关系？所以我就了解了，
我类比成这个人。这啥玩意儿？不要说不知道这叫什么东西，对等比数列。你乘上二倍等于下面，你乘上二倍等于下面，这是一个等比数列。对吧，等比数列等比数列就等于多少等于a1再乘上q的n- 1=a二再乘上q的n- 2。等于am再乘上q的n-m，这是它的通项公式吧，你应该是会的。那么所以说接下来告诉我件事，等比从谁开始，你注意从谁开始，
就是谁乘个二就倒到下面，想从谁开始？谁乘了一个二就到下面了？谁乘个二就到下面？谁从谁开始啊？第几项从第二项开始。第二项就开始了。你想想。第二项这个人，我乘个二就到三阶道了。对吧，从第二项开始，你从第三项开始也没关系。没有关系啊，你如果写的是a2，
那就是q的n- 2，你写的是a3就是q的n- 3，这没有什么关系啊。一样的无所谓，你选择二选择三都行，那其实这个东西啊，从二项第一次开始。那这个时候的话，这是an。那这是a2要乘上q的n- 2次方是不二的n- 2次方？是不是这个问题，然后接下来我们要求的是n阶导数在零处值，你是不是要求二阶导数在零处值啊？把二阶导数在零处值求出来就行。怎么去求二阶导数？
在理推吗？先求fx在零处值。然后这是一然后二乘几零，那这是一。然后再去求一阶导数在零处值，那就是二，然后再加上二倍的f0，那就是二，这是四。然后二阶导数在零处置呢，就是二再加上二乘上几ff撇零是几四，那这是十。所以说最后这个结果马上出来了，它就是十倍的二的n- 2次方。所以说就是五倍的二的n- 1次方，
所以答案选几啊选b。五倍的二的n- 1次方。好了，这是这个考题吧，我们就说到这。啊，你发现立即就出来了。其实你发现这个题啊。这样做不是一个高超性的方法。哎，它不是一个高超方法。如果你是一个高超性的方法。你怎么办呢？我就取个短截。对吧，
我做那么麻烦干嘛？我就试一下。那么这个里面当中的话，你就会去试一下，你必须要去求一下一阶导。一阶导的话就是二倍的x+1，然后再加上二倍的fs。你把这个零带进去。你f0是几呢？你f0的话，你发现你看这是零，那这是一。那f撇零是几？f撇零的话，刚好是二，
再加上二倍的f0。那二倍的f0这个人刚好是四。所以说也就说n=1的时候，你看n=1的时候。它必须要等于四。那你带一下吧，你一的时候这是四吗？不是这是四吗？不是。诶是吧，一阶导一阶导数在零处。这个是。这是多少一的时候，这是零，这是三。
哦，大于等于二啊哦，那不行。那不能带一。那不能带一的话，我带几的。啊，他这题出的很严谨，一的时候不行，那么怎么办？我就带二，你带二的话，我们再来一下。再来一下的话，这个二级导数是多少？
二加上多少二倍的f撇s？所以说这个时候的话，你发现一个事情f撇零，那这是多少二+2×4=10？所以这里面当中，我就带二带二的时候的话，你就发现如果二的时候，它必须等于几，必须等于十，你把二带进去。你二带进去的话，这是二，这是六，你二带进去的，这不是十，
你二带进去的，这是12带进去的，这不行，二带进去的，这不行。所以说这题答案正确，答案选b。你看这样做，可能就要比直接进行去做快得多得多。所以你发现你看这个方法。因此要注意啊。呃，作为我们三九六同学，你要多学会这些方法。未必是每一个题都要严格的推演。
对吧，不一定是每个题都要进行推演法，因为我们的考题都是选择题，你看这个强化班过程当中，我一直在给你渗透这个思想。像举例子了，我们相信已经很熟练了，你看第一次举例子的时候，有些同学感觉说什么呢？说这个老师，我觉得这个举例子，我觉得。敢用吗？不好用吧？你看到了，
现在呢？现在你不自然的时候的话，你发现都能选择举例子。对吧，你不自然的都会想到它，如果是一个高阶，你算个短阶啊，这个操作性一下就上来了啊。这个点好了，这是这个问题吧，我们就讲到这，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个问题，切线方程。和法线方程啊，
下一节那么首先我们先来看看第一个问题点，求切线方程和法线方程。啊，就切线和法线方程的求解，你注意啊，这个内容贼喜欢考。就说你会发现我们的考研过程当中啊，他非常喜欢考这个人。他都不是喜欢他，是太喜欢了你切线方程。那么，首先我们先来看看切线方程和法线方程。那么，切线方程和法线方程，它是个什么情况？
那么，这里面当中我给一个二维的迪卡坐标系。然后这里面当中给条曲线，然后给了一个点。诶，给一个点，那给了一个点了之后的话，这个点是多少？它是一个fs 0。对吧，是这个情况。然后接下来我们就来看第一件事情，切线方程。那这条线就是个切线方程。那切线方程怎么写呢？
过曲线上的一个点，切记啊，曲线上的一个点，那这个切线方程就是y等于这个点。再加上这个点处的导函数，你再乘以x-x零。然后这个法线呢？法线就要跟这个东西相互垂直。哎，法线那么，所以说它是多少是fs 0加上多少f撇s0，然后再是负一。啊，然后是s-s零。切合法，
相互垂直。我不写了啊，这个东西分母肯定不为零嘛，我就不在后面写这句话了。所以你会发现，求解切线方程和法线方程的核心，重点是在求什么？其实在求这两件事情，求这个函数值和导函数值，求函数值和导函数值。就是切线方程和法线方程求解的核心，就是来求解什么？就是来求解函数值和导函数值。哎，这是这个问题。
能想清楚吧，那么所以说接下来我们再来看看第二个问题点。两函数在一个点处相切。如果两个函数在一个点处相切，你能推出什么信息啊？这题目当中会告诉你吧。他经常会说说，哎，我这两个函数在这个点处相切啊，你能推出什么信息啊？你比如说这条线。假设这是s0。对吧，你比如说这是fs另外一个人，要想跟他在这相切，
你相切的话，首先第一个事情，哎，对吧，你得也得过这个点呐。你也得过这个点，它才能切住啊，所以第一个事情函数值必须要相等。第二事情，你在这个点处具有公切线吧？公切线的话，你看这个点处的切线斜率一样不一样得一样，所以说在这个点处导函数值啊，也得相等。函数值相等，
导函数值啊，也得相等。所以说两个函数在一个点处，相切函数是相等导函数是啊，也得相等，对吧？像这两个信息点缺一不可。每一个东西你都要写上来。两个函数在一个点，两个函数在一个点处，相切是什么情况？好像这个问题那么接下来我来出几个题啊？对吧，我来出一个题，你来看看。
那去年过程当中就考了这个事情。比如第一个事情说已知什么呢？fs.3 x=0处。连续。而且啊，告诉你这个人。这是limits趋向零。然后接下来下面。下面是一个x，再加上sins平方。然后这是fs这个人，再加上一个ln多少一+s？等于四则。这个函数在这个点处的切线方程是多少？
哎，这是我随手出的一个题啊。来看这个题。那么，这种思想你要掌握清楚，你看这个题怎么做？那我们写一下。首先第一件事情要想求切线方程，你先把它框架列出来，切线方程不就是f0。再加上f撇零，再乘上x- 0。所以说这个题求切线方程和法呃，这个切线方程核心重点就是求f0和f撇零。对吧，
你就要求这个人。那你就要进行求，这个人怎么去求呢？我只能进行去化简这个极限，那这极限怎么化简呢？那首先第一件事。眼睛一瞅，发现一阶二阶一阶加二阶，这个人没有用，所以说这个结果就是这个人l多少一+s，这人等于四。然后眼神一瞅的话，你发现这个极限是一加减法，见到存在就拆开，然后这东西啊，
立即出来了，所以说这是fs等都比上多少s？刚好等于几啊三。然后接下来我们就继续，你看比值极限存在，且连续分母极限是做了好多次了，先来看。分母极限是零分子极限零，连续就等于函数值。然后在上面减一个f0，下面减个零，那这就是f撇零，那说明f撇零就等于几啊，就等于三。所以说这个结果y就等于3x。
呃，非常像去年的那道考研真题，去年的考研真题的核心思想就是考的这个事情，就说我用极限。对吧，我给了一个极限，我给了一个极限进行去包装了一个什么？我去包装了一个呃，包装了一个函数，包装了一个导函数。那这就是这样的一个问题，那所以接下来我们再来看一个题，你比如说继续，我们再来出一个题。零如果什么情况，
如果ifs。它在s=1处。对吧，是连续的这个题就有点恶心啊，你叫我想想怎么能更恶心一点？且周期为五。呵呵，来这是这个事情，周期为五。然后接下来我们来看。而且limits趋向零。然后这是f一加s减去f一减s。比上这个sins好，这个结果等于四。则什么情况？
则fx这个人，他在x=6处的。法线方程是多少？来这个人好了，这是这个题。哎，不错，你别说这个题。写到模拟卷里面还挺不错的一个题啊。来，我们来看看这个事情。你举例子不好举吧？你举例子的话，你说周期为五的话，你这个人怎么举啊？
那不好取啊。这是很有三九六同学的话，这个题目的风格来我们看看这个题。那这个题你要注意，你要求这个法线先搭框架，它的框架就是y=f六。你再加上f撇六分之负一x减六。所以说在这个题的话，你发现我的方向，我有两个事情，我就要去求f6，我还要去求f撇六。但是你发现个事儿啊。你趋向零的话，这个人只趋向于1f一。
所以说这个时候的话，我不会这个题不好做f6的。你只好做什么做一，而我们这个题又告诉周期为五，周期为五的话，你发现这个人就等于他。你的周期为五导函数周期，也是五导函数周期是五，然后这个人变成一好，这是这个题当中的第一步，能切到这儿就非常好了。然后接下来我们再来看看上面这个人。当s趋向零的时候，你发现这是s分之多少一加s，然后这是一减s，
然后等于几等于四。呃，这个东西啊。改成呃，我改一下行不行？不然的话，这个题f1求不出来啊。呃，改一下吧，改成二倍吧。可不可以好改下，改成加二倍，不然的话，这个f1没有出来。好，
改一下。你这样一调的话，这个题就非常好了。那么，接下来我们来看看这个事情，假设这是加二倍，那么现在而言，分母极限是零，分子极限是零，大家能理解我的意思吧，因为这上课随手出的这个题嘛，你下上下去好好想想。然后这个时候的话，就是f多少一加s加上二倍的f多少一减s，然后这个人呢？
它就等于几等于零。那这些人等于零的话，你发现我先要进行去比值极限存在，且连续分母极限是零，然后分子极限是零，我就能求出f1。来，我们来看看第一个连不连续。你里面连续外面连续就是连续连续的话，极限是存在的，存在的可以拆哦，那可以拆的话你看。一拆的话，第一个人的极限等于函数值把零带进去f1。第二，
连续极限等于函数值把这个零带去是一=0，所以说这个f1就是解f1就是零。跟得上吧，然后接下来我们再来看，这是一个动点吧。这又是一个动点吧，双动点问题，那双动点的问题我可以怎么办？那双动点的问题我就在这里面当中，可以凑这个导数d。那凑导数定义的话，两个动点凑两个定义，那这是一+s。好了，这是这个。
嗯，你还得加一个事情。你把这个连续改成可导吧，不然这个题还是做不了啊。改成可导。呃，大家能理解什么意思吧啊？就说改成科道科道就行了。啊，你们能理解我的意思吧啊，注意啊，你就你就发现因为出题就是这样出啊，他会在这个写答案的时候逐项的进行去看看这样的一个过程当中。啊，你能理解我的意思吗？
那么，这个时候的话，然后我们再加上一个二倍。你加上这个二倍的话，你发现一个事情，然后这个人呢？他是f多少一减s？f1是几呢？你要除一个s。f1这个人是零，你就减个f1f1是零，你就减个f1好了，凑成了这样。这个结果等于几啊，等于四。
我们先来看看第一个人结构已经出来了，然后再看第二个人呢，一加的是负s，要不负s？你这叫配符号。没问题吧，然后接下来我们再来看第一项这个极限存不存在啊？这个人的极限就是导数。导数是存在的，可导的嘛，导数是存在的，它是存在的。那这个极限是不是导数啊？负s嘛，这个极限也是导数，
导数也是存在的。那既然都存在这个东西，就可以拆开，那就是f撇一减去二倍的f撇一。然后这个结果等于四，所以说这个if撇一就等于几就等于负四。那这个事情就出来了，因此你会发现你看这人等于零，然后这人等于几负四，因此上面的话，这个法线方程就等于y等于。这是零啊，然后这是四分之一倍的x减零。好，这是这个题跟得上吗？
因为你这是负四嘛，这是四分之一，你四分之一倍的s减六出来了。这个题还可以哦。所以你想想这个类型的问题啊，它是怎么进行出的啊？能跟得上吧，就是呃出题的这个方向，你不要觉得说我中间改了两下呃，其实在出题的时候有这个思有这个想法的时候，他就是这样。你得中间再进行去调，你刚才这是个减法的时候，你这个f1就出不来。你要不知道可导性的话，
这个东西就拆不开，所以说这个东西就没法做啊，我相信你应该是理解这个意思了。好，这是这个点，所以你会发现切线方程法线方程的问题，它的核心重点还是去求该点值和该点导函数值？所以就有一类问题啊，你就是用这个极限进行去包装，用极限进去求该点值，然后再进行凑导数定义，求该点导函数值。啊，这个方向你得把握清楚，好这个问题啊，
我们就说到这，那么接下来我们再来做两个题吧。做两题，我们再休息。就下课了。啊，等一会啊。嗯，你问我能不能洛必达我，我很想问你能不能洛必达呀？啊，这已经不是一次了。啊，我很想问一下，你觉得能不能洛必达呀？
不不要问我，我问你能不能落必达呀？啊，能不能？能不能洛必达怎么讲到今天这一关就迈不过去吗？时至今日，都迈不过去吗？怎么同一个问题上能翻二十二十次船？这这这也是挺厉害啊。你发现他只知道在这个点可导，只能推出这个函数，在这个点连续吗？你想是不是？这个我们这这个点我觉得讲的不下20次了。绝对不只能。
20次都是少的啊。好了吧，这是这个事情。行吧，这是我们讲的这个问题啊，那么接下来我再说一个事，我们再呃，我们就可以下课了。可以吧，我们在我们就下课了。有一个问题点呢，是这样子的一个东西啊，有一个这个。有一个模型，对吧？
有一个导数定义的模型。这个事情我在基础班的过程当中，我们是讲过这个事情的。哎，导数定义模型，那个模型是什么呢？它有大前提。诶，它有大前提说，如果这个函数。它在这个点处。是可导的。对吧，那这个时候的话，你发现。
如果这个x趋向于零。你发现这是x0。对吧，然后我们再加上多少，我再加上阿尔法倍的x。你再减去x0，你加上贝大倍的x，你除以这个x。这个东西啊，就可以用。就可以用什么呢？就可以用下面相当于德尔塔y。然后两个一减应该是阿尔法减贝大倍的，这个人你除一个就要乘一个，你乘一个的话就是这个人，
然后这是f撇s0。你还记得吗？这件事情它怎么出来的呢？这个东西出来的东西啊的原因在何处呢？出来的东西就是凑导数定义出来的。哎，凑导数定义出来的。就这个东西，你要注意这个模型呢，它是一个你要直接那样看，其实是错的，我说了这个事情吧。那样看是错的，但是可以通过那种方法把它给记住。这样做有一个问题呃，
这个有一个方向，你要注意就是必须已经知道了，在这点可导。必须已经知道，在这点可导，而且必须是f-f。必须是f-f。你前面配系数都不行了。诶，不能配系数，必须是f-f，所以以后做这种题就快了。对吧，就说你已经知道在这点可导，然后是f-f这种情况，
它你可以直接用这个结论。哎，这种情况你可以直接用一下。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这吧，那么下次课程当中啊，我们再来说。呃，这个今天上午啊，那个仓库那边已经我们的图书全部运完了，然后今天是打包，然后明天会发到我们呃，他们刚好这次找的是河北的印厂。所以明天的话会发到我们公司的河北印厂，
也就是明天或者后天我们就可以发货了啊，第一批的话，我们这个其实是可以保证的。所以说这个明天或者后天基本上就可以发货了啊。行吧，那么今天课程呢？我们就说到这。呃，因为我昨天看了一个这个呃小红书当中呃，有一个有个同学发了一个那个啥说那个说九月份那个那个九月份估计是那个代理商给弄错了。那个九月份是十套卷啊。就是我们的这个书啊，就是这两天，因为今天的话，他上午刚好在打包啊，
好了，那么今天课程呢，我们就讲到这儿可以了吧？哎，这是这个问题，所以把希望同学们下去好好整理一下，今天部分的内容。行吧，那么今天课程我们就讲到这好吧，同学们好，那么今天我们就说到这好，明天见吧。哎，明天没有课是吧？明天没有课，
应该是后天的课。啊，那么接下来我要说一下这个作业，今天是有作业的。今天的作业你去做新的决战300题就行了。做新的决战300题，然后第二件事情你要做一些东西的预习，稍微等一下下啊，稍微等一下。要做一些东西的预习。你可以把这个切线方程和法线方程的这些题给做了。能理解吧，把这些题做了。然后接下来的话就是。然后接下来就是下面部分啊，
就是题型11部分内容。然后去把单调性重点看看。对吧，把单调性重点看看。哎，一定要把单调性重点看一下好了吧？这是这个问题。啊，你们不喜欢放到上午吗？那后面的话，你们喜欢放到晚上还是上午啊？因为后面后面的话，基本上呃数一数二数三的，还有我们都是上午。啊，
都是放到这个上面。你这个调不好啊。我们考试时间其实是上午。你试试看，因为上午讲完了之后，你的下午和晚上都可以自己去整理了。因为后面的话，这个。你看吧，我就说吧，没法协调，就是我上课就不能问这种问题，你问的这问题，因为很多同学喜欢上午，有些同学喜欢这个晚上。
啊，协调不了，没法统一的，那就排了课，你们就好好进行去把它消化，反正无论怎么样都是把这个课程消化嘛，对吧？行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。行，那么今天课程我们就说到这自己下去啊，把这个相对问题啊，好好处理处理呃，你放心吧，
这个后面的话应该是从八月多少？8月7号之后吧，应该上午好像呃，好像还有推荐的课程吧？应该好像没有了吧？应该后面的话，那个时间应该还好了，你基本上而言，上午你就只需要来听我们的课程就行了。啊，好了，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去啊，好好做好这个相对应的这样的一个预习，
然后八月份的这个决战啊，300题的这个讲解课程呢？我这个稍会，我会把它排一下，你不用着急，这个事情我们呃300题当中的每一道题我都会给你进行去讲。哎，每道题我都会给你讲。好了，那么今天课程呢？我们就讲到这好吧，同学们好，下节课见吧。行，我现在去发笔记吧，
其实这个这两天。脑子不是特别好啊，这个有的时候。这个老是忘。因为上次我一下课我就倒了，你看这个时间7月31号12点31分，我当时就给你倒了。然后我忘给发给助教了，结果结果的话，后来啊给搞忘了。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这自己下去啊，好好进行去把相对问题啊，好好处理处理行吧，
那么今天课程我们就讲到这好，下次课程见吧。
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