09.冲刺满分强化篇·题型12-14精讲精练-1
我们就准备开始今天的课程了，首先我先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的暑期的强化班课程，那么在上次过程当中啊，我们刚好讲到了导数计算，那么接下来我们把上次过程当中的核心知识点呢？我们先做一个重点的回顾。呃，上次过程内容啊，其实难度系数不是说特别大，对吧？基本上讲了一个微分的定义，对吧？还有微分的几何意义？还有微分的计算。包括这个复合函数的求导，还有这个分段函数求导，还有我们在这里面当中讲的这个参数方程，还有隐函数求导。那么，首先我们先来看看第一个事情微分的问题。那么，在微分当中啊，其实如果考研考点呢，那基本上就是三个问题，
那第一件事情啊，其实就是微分的定义。啊，微分的听力。那微分定义这个东西，其实你发现它最重要问题啊，它会考一种情况叫做包装。还记得吗？就说前面这个东西啊，给了你一个德尔塔y，然后后面这个东西啊，给了一个什么德尔塔s，再加上一个德尔塔s的高阶无穷小。哎，这种情况的话，
你发现我立即可以看出来这个东西的导函数，你要注意，如果这个前面呢？是哪个点处的增量？那就是哪个点处的导函数？注意啊，这种问题可以进行出题啊。考点两分题啊，第一点，然后第二事情微分的计算。微分的计算的核心呢，其实是导数的计算。是不是啊？那就是在导数计算的后面补上一个ds，但是上节课我又出了一个题。
就是那种复合函数求导的题，你一定要注意哪两种符号对吧？对s进行求导的话，后面是ds。如果你对框进行求导的话，后面应该是地框，所以说这个部分内容啊，你要稍微进行注意一下，然后接下来第三个点就是微分的几何意？哎，这个点我们考研真题当中啊，还没有出过这种题，要注意微分的几何意义是什么？就是切线的增量，那这种点容易进行出量分题。
好，稍微注意一下啊，这是第一个信息点，然后接下来我们再来看看第二件事情就是导数的计算。那么，在导数计算当中啊，第一种情况就是我们的复合函数求导。那复合函数求导我们在考研过程当中是非常重要的，对吧？非常喜欢考复合函数求导，如果出题啊，就是两分题。那么，在这里面当中啊，我还是那件事情，
你一定要注意这几个符号之间的一个关系和区别，比如说这里面当中，我给了一个什么f框，这个人的导函数。什么意思啊？就是这个函数对它的自变量x进行求导没问题吧？如果这个肩膀上来一刀呢？其实就是对这个中间变量求导的结果，那比如说我们在这里面当中给了一个f撇s方，什么意思啊？好了，这是这个点，比如说f撇s方。那这个东西啊，是对中间变量求导的结果，
那这个人他跟f撇s之间什么关系啊，是复合函数关系。能理解吧，就是这几个符号，我们从这个零基础讲的基础班讲到今天不应该再有问题啊，我觉得这个东西啊，难度系数不大，你把这个东西卖过去啊，我觉得基本上可以了。然后另外一件事情就是这个复合函数渠道，我有点不放心的一个事情，就是基本公式得记住啊。对吧，这个东西一定要记住，你基本公式啊，
比如说我们的导数表里面当中啊，每一种函数的导数计算，你必须要知道。尤其上节课，你看我们讲了一个事情，还记得那个ln x绝对值这个函数吗？它的导函数，它的导函数刚好等于这个人分之一。是吧，像这些东西你得记住，这是我们的基本素养，也是个基本态度，对吧？还有另外一件事情，你看上节课，
有些同学犯了一些。初中知识点的问题，你下去过程当中有没有好好整理啊？所以我觉得呃，暑期过程当中啊，不怕犯错，最重要问题就是你下次过程当中不要再犯错了。你不要屡次犯这个同一个错误，对吧？这样的话，其实就不是特别好了好了，这是第一件事情，然后第二件事情叫做一元硬函数。求导，那么这个东西啊，
特别爱出量分题哎，一元一函数。压力很大吗？啊，还好对吧，我觉得这个数学部分内容啊，你今年暑期过程当中最重要问题就是你把我们讲的这些题型呢，把它消化到位，我还是那件事儿。上节课讲的那个方法不知道下去有没有进行去实践一下？就是每节课结束了之后，一定要在大脑里面当中，你知道这节课我讲的是什么？对吧，然后再加上自己的话，
这个刷题，然后你就能把这个事情你好好提高了呃，所以说这个八月份了，对吧？八月份，对我们而言是非常重要的一个部分，你等把这个八月份呢呃，这个板块我们学完了之后啊，基本上八月份我们就能把这个强化班结束。你结束了之后，然后复习个差不多20天，再把这个强化再走一遍，我觉得到了这个九月底的这个样子，你就可以做模拟卷了。对吧，
这是这个事情。然后接下来我们来看看这个一元隐函数，要注意一元隐函数这个东西啊，它一定是个什么是个二元方程。两个人的方程，一个作为了因变量，那这个东西啊，我们就可以作为这个什么哎，就可以确定一个一元函数。对吧，你发现两个人的方程确定那个一元函数好了，这是这个事情，那么接下来我们再来看看第三个点。好吧，这是这个事情，
然后是分段函数。分段函数求导也容易进行出题，你看上节课我们又讲了一个事情，我们很喜欢出的题，那几个符号之间的区别还记得吗？什么左导数，右导数，什么左极限，右极限，什么导函数的左极限，右极限，如果去求这个点处的极限是这个点的去心领域，不用求这个点。所以求导函数的左右极限，只用去求分段点处的导函数，
然后再去求极限就行，是不是这个问题啊？分段点y直接求分。分段点上用兵。好，这是这个事情，然后另外一个点，我又讲了一道重点题，你还记得那个幂函数的三幅图吗？你还记得那个sin x分之一在那个趋向零的时候是震荡的吗？要想存在前面，必须要配无穷小量，能理解吧？好了，这是这个问题，
所以说你看这个考点内容，你一定要拿下来。然后接下来我们再来看看参数方程，求导。那么，参数方程求导最重要问题是二阶导数，那一阶导数是y对t比上s对t，二阶导数是一阶导数对t补上s对t求导分之一。那么，这里面当中啊，这是一个冷门考点。啊，也是个低频考点，但是你放心吧，你看看今年的这个，
我估计市面当中你做的各种模拟卷，里面一定会有参数方程求导的。所以一定要注意，这个东西是跟数学三同学复习的一个区别，你像如果复习数学三呢，你像这种点呃复习没有复习到这很吃亏的，对吧？好了，这是这个问题，我们就讲到这儿，所以说上次过程当中的知识点呢，我觉得问题点不大，那么接下来我们就正式进入今天的核心重点内容。那么，今天过程当中啊，
我们有三件事情，第一事情把这个导数计算，我们讲完那么剩下还有两种，一种是反函数求导。一种是高级导数计算，这两个事情，然后紧接着就是我们的下解切线方程，那么切线方程和法线方程最后一个部分，我们就进行学习单调性的问题。还有这个极值和最值问题好了，那么接下来我们就正式开始吧，话不多说，我们继续，我们来看看下一个问题，反函数求导。
啊，放开说。好，那么接下来我们先来看看第一件事情诶。等一下，这怎么动不了？哦，可以了。好了，我们接下来我们先来看看第一个点反函数求导，那么在反函数求导其实难度系数不是说特别大，基础班的时候你听起来觉得啊，这个东西好难。其实这个东西非常的简单，我觉得如果今天去学习啊，
就是两个事情，第一个事情你必须要进行去掌握清楚，一个事儿就是。反而弹出。与原来函数啊，这里面当中很细致的，大家注意，不能说原函数。原函数你都知道是跌的，感觉原函数是比它高级，所以我们说的是原来的函数之间。自变量切换关系。啊，自变量切换关系。就说这两个东西的话，
你发现它们自变量之间具有什么样的一个关系，对吧？这是我们要学习的第一个问题。那么，换成这个颜色。还可以哦。好了，这是这个事情啊，跟原来的函数自变量之间的切换关系你都知道，反函数有几种，反函数有两种，反函数。一种是第一类反函数，一种是第二类反函数，那么接下来我们来看看这个事情，
你发现这是y=fs这个人。那么这个人怎么办呢？你发现我可以把这里面当中啊，你发现s可以给他解出来。对吧，我把s解出来，我把这个s解出来之后的话，你发现解出来之后的话，其实就变成了一个y。是不是这个人对吧？就是f负y那这是不是反函数呢？这是反函数，这是第一类反函数。哎，这是第一类反函数。
那么，这种反函数啊，它的因变量是x，它的自变量呢？自变量是y，如果它进行求导的时候一定是x=y求导。能理解吧，但是你发现一个事情，我们通常喜欢自变量，用什么表示啊？我们通常喜欢自变量，用s表示。所以说这是我不喜欢的，所以说因此我们再怎么办？我们再进行去做一个操作，
我把这个s和y怎么办？做一个调换。作为一个调换了之后，立即就变成了f负x这个人，那这时候你来看看这个事情，你发现它现在的因变量是谁y自？四变量是谁x。然后这个东西啊，我们把它叫做第二类反函数。那如果一个题当中，你想进行去区分，它是第一类反函数还是第二类反函数？这是非常简单的。如果这个人的因变量是x，他就是一个第一类反函数，
如果他的因变量还是y，他就是第二类反函数。第一类，反函数一定是x对y求导。第二类，反函数是y对x求导，能理解我的意思吗？所以说一定注意一个事情，就说你看谁是因变量，谁是自变量好了，那么接下来我问一个事情啊。一个函数的导数。对吧，比如说在一个点值那个点一般说的是自变量数的值，还是因变量数的值？
啊，自变量还是因变量你比如说我给了一个函数。我说这个函数在一个点处的导函数，我通常会说什么？我会说这个函数在哪个自变量处的导函数值吗？肯定说自变量。所以说你会发现一个事，我问一个事情。如果这个东西它求导是谁对谁求导，一定是x对y求导吧，你告诉我它会告诉谁出的值。他会告诉谁？他肯定让你去求自变量出的值啊，对吧？在这个自变量点，
它出的导函数结果。能听懂吧，然后接下来我们再来看这个人，这个人求导肯定是因变量对自变量求导，那么请告诉我它的自变量是谁啊？是x0。能理解吗？好了，这就是我们的思维方式，所以一定要注意啊，如果是第一类反函数去求导，肯定会告诉它的y的结果。然后第二类反函数求导，肯定会告诉它自变量s处的结果，一定会告诉自变量，
那么接下来我们来看看反函数求导的核心思想。你还记得反函数求导之间是怎么进行的吗？那么接下来我们来看看第二件事情，反函数的求导公式。对吧，第二件事情反函数求导公式。那有人说老师那这个反函数求导多简单啊，这也太容易了，我怎么做呢？比如说你给了我一个y等根号s，我立即把它解出来，你看这不是第一类反函数吗？所以说x对y进行求导就是2y啊，你要是给了y等于几，我就直接代进去不就行了。
如果你想要第一类反函数，我再把这个人换一下。那呃第二类反函数我换一下，然后这个求导呢2s啊。你看这多简单。那所以我一写就写了呀，哎，你发现个事情太想当然了。如果是一道考研真题，他怎么可能让你能解的出来呀？你比如说举个例子吧，你看这个人。你看，如果y等于它，你能把这个x给我解出来吗？
你肯定解不出来的。所以你就会发现一个事儿，如果是考这个反函数渠道，那么这个东西啊，它一定是解不出来的，也就说反函数的具体表达式是。是不知道的。因此，同学们告诉我，这里面当中谁是已知啊？已知的是谁？解不出来反函数的表达式，就不知道解不出来反函数的表达式，就不知道那知道的是谁，原来函数的表达式。
所以说你会发现反函数求导的核心思想是什么？核心思想是将反函数，导数计算。转换成。啊，原来函数。的导数计算。导出集成。所以说这个部分的内容的核心思想非常的简单，我干嘛呢？我就把反函数的导数计算转成原来函数导数计算。能理解我的意思吗？就说你现在要算反函数求导我怎么办？我构建一下跟原来函数导数计算之间的关系，我算原来函数导数就行了。
所以接下来我们一起来看看这个反函数求导公式，不会再推了，这是我们在这个基础班推的部分内容。那么，接下来我们先来看看一阶导数。那么，在这里面当中，我们先来看看这个场景吧，就说如果这里面当中有一个原来函数。其什么东西呢？其反函数。诶，也就说它的反函数反函数是多少？如果这个反函数是x=f负y。那么这个时候我们要去求反函数导数，
那么请同学告诉我一件事情，你发现反函数的一阶导数多少？反函数的一阶导是x对y求导。反函数的一阶导它就等于多少，它就等于原来函数求导分之一。你看，这是第一个公式，然后接下来。再来看第二个公式，那就是反函数的两极导数。对吧，反函数二级导反函数二级导等于多少呢？等于一阶导数的三次方分之二级导。好，这个人你看吧，
这就是反函数求导公式，他的思想是什么呢？思想一定要听清楚，你看。它的左半边这半边是反函数的倒数。然后这个东西的右半边是什么呢？这个东西的右半边是原来函数的导数计算。所以你发现左半边是反函数导数计算，右半边是原来函数导数计算。所以我们就怎么办？把反函数求导换成了原来函数导数计算。能听懂吧？好了，这是这个问题，所以这其实就是核心思想，
但是有一个问题点，你要注意。我们求的是反函数的自变量处的导函数结果吧。你一定要再把它换成原来函数自变量才可以。所以接下来我们一起来看看一个题目，比如说我们来操作一个题目，哎，我出一个题目。比如说离。零那么就说已知什么情况呢？比如说已知一个y。等于这个。我们写个这是e的s。然后再加上多少，再加上lu in luins+s^2。
然后说其反函数为。诶其反函数为反函数是多少呢？这个反函数为x=f负y。那么这个时候啊，我问你个事情，第一件事情请告诉我这个反函数，求导。它在一+1处的结果等于多少？好，这是第一个问题。然后接下来反函数的两阶导数。然后这个东西在一+1处，结果等于多少？那么，接下来我们来看看这个题吧，
呃，注意啊，从来没有出过题。我很害怕，因为数一数二数三同学也就考到了一阶导数。我很担心，万一他不讲武德，一下子考到二级导数，但是我们也会，我们需要保证这个水平点。好了，那么接下来我们一起来看看这个事情来请。那么这个东西怎么做呢？你发现谁是原来函数哎？你要注意前面这个东西啊，
是原来函数。然后这个部分是反函数。能理解吧，这是反函数，你发现一个事情，这个反函数的导数对吧？我要计算这个反函数求导。不太好算，我怎么办？转成原来函数，所以你发现原来函数导数计算你好做啊，原来函数的一阶导。它就等于一x，加上x分之一，再加上二x。
原来函数的两阶导它就等于多少e的s，加上一个x方分之负一再加根。没问题吧，然后接下来我们看这个反函数的一阶导数就出来了，反函数的一阶导它就会等于多少？它就会等于原来函数求导分之一，把它套进去。然后再来看看第二件事情，反函数的两阶导数，它就等于负的原来函数一阶导数一阶导数的三次方。然后分之二极导数es，加上x方分之负一，再加个二。能理解吗？但是有一个问题点。
对吧，有一个细节点，你发现一个事情，这个反函数啊，你看这个事情，这是原来函数是fs。反函数是多少？反函数是x负y。反函数要求的是在y=1+1处值。对吧，你要求的是在一+1处置。但是我原来函数要带入什么？我原来函数要带入s初值啊。这是他们之间的一个最大的一个问题。就是你要注意反函数，
求导的是它的自变量，但是原来函数代入的是我的自变量，所以接下来我们来看看第一类反函数。第一类，反函数中的y大小是没有发生改变的。对吧，只是地位发生改变，所以说你发现这个y其实就是这个y。因此你要知道，也就说这个y现在等于多少这个y现在等于一+1。那你想想，如果这是一+1，这个人带一带一带一刚刚好，所以说这里面当中你要注意，你带入的是y=1+1。
我带我的自变量，我带我的自变量是几啊？咦，你要注意这个思想，就是把反函数的导数转成原来函数导数。反函数要带它的自变量，原来函数要带它的自变量，所以说这个时候啊，你往里面一带本题就结束了。所以说这个结果就是一加三分之一，然后这个东西呢是负的，然后是一加三的平方分之多少？你看这上面这是一加个一。出来了吧？好，
这个基本问题，你想你拥有了这个水平，那将来过程当中啊，无论怎么考都没有什么问题。你就说我们三九六同学的话，你打到底了，就是别管你这个东西怎么去出题，我们这个东西啊，永远能够处理。好基本问题。所以说你要想清楚，做这个反函数的导数计算就是两步，第一步干嘛呢？第一步我们就要进行去套公式。第二步，
做自变量的切换。你记住，这两步第一步套公式，第二步要做自变量的切换。把反函数导数转成原来函数导数，那现在就是原来函数导数的事情了，对吧？我要进行去求导，然后的话带的是我的自变量。好，基本问题点。那么，接下来我们就继续吧啊呃第二类反函数是一样的。啊，第二类反函数是一样，
我问一个事情，你看。如果这个y=1。原来的这个y是一。那我问一个事情，如果这个x是二呢？我问一个问题啊，如果这个x是二原来函数中的谁是二啊？谁是二？如果这个s是二。是不是就是这个y12？y12原来函数中的是不是也是y12，所以注意啊，这是东西是一样的。你要理解清楚就行。
好了，那么接下来我们再来看一个吧呃，你想出一个那也行，比如说我们来一个。零说已知什么东西呢？已知。这里面当中的这个y。等于多少呢？等于一到这个x。然后是这个，比如说这是e的t+1，然后dt。其反函数。其反函数为y=f负x。那么这个时候问。
反函数的导数。哎，反函数导数导数多少呢？导数这个y对s，你要注意啊，这是反函数的导数，是这个人的导函数。然后在多少呢？在x=0。出导函数结果等于多少？你看这个题呃，会做这个题啊，基本上用不到一分钟啊，就结束了。那么，
首先我们先来看看这个事情来解。那这半边这是反函数。然后这个东西是原来函数。同学们，想想这是第几类反函数？第二类因为y是因变量就是第二类，那既然是第二类反函数的话，你发现。反函数这个人导函数，我们先看原来函数。原来函数导函数我会算的，原来函数导函数就是e的x+1，那这个时候你发现反函数的求导就是y对x。它的导函数等于多少？等于原来函数求导分之一。
是吧，等于这个人求导分之一，但是有一个问题啊，你要做自变量的切换，我们现在求导的是。告诉的是它的这个x是零。你现在已经转到了原来函数，你要看原来函数的自变量是多少？能听懂吧？这是反函数。反函数它的自变量是零，那原来函数自变量是多少呢？你要往回带。那你都知道是第二类反函数，那第二类反函数当中的这个x其实就是第一类当中的y。
第一类当中的y其实就是这个y，这个y=0。你发现里面当中永远大于零。这个积分要想等于零上下限，必须相等，所以说它的s是几啊s是一往里面一带啊，这个结果就是一加一分之一。会了吧哎，这个题还不错，对吧？好了，这是我们讲的这个例二这个题。所以你注意反函数求导的公式是一样的，只不过做自变量的这个切换，你稍微注意一下就行了。
第一类，反函数中的自变量是原来函数中的y。第二类，反函数中的自变量也是原来函数中的y。好了，这是这个题，那么接下来我们再来看看81题这个题，那这个题就非常简单了。来，你来看看这个题，那这题说什么呢？他说原来函数是y等于负一到s根号下一减tdt。那么，这个东西有一个反函数，这个反函数什么？
这个反函数是第一类反函数。对吧，第一类反函数那这个第一类反函数的话，然后让我们去求导的是什么？求导的是它自变量处零处的结果。所以这里面当中啊，我们就直接来了来解吧。你发现反函数虽然不会，但是原来函数会呀，原来函数的这个导数等于多少呢？原来函数导数等于变上线函数求导。根号下一减一等于四分之一，所以说这个反函数导数呢？反函数第一列反函数因变量对自变量。就等于原来函数求导分之一。
好这个人，但是你要注意，原来函数反函数这个东西啊，要带的是y=0。你的y=0，其实就是这个人等于零，对吧？这个人等于零，你这个等于零的话，你发现里面永远是正的。这个积分要想等于零，那自变量上下限肯定相等，因此啊，我们带入的是负一，因此这个结果等于根号下一减一的负一次方分之一。
那正确答案选几啊选b。好了，这是这个题，所以你要想清楚这个问题的处理。对吧，你要知道两步走就行。第一步，套公式。第二步，做自变量的切换。你学到这儿，这个反函数求导没有什么难度了。那么，接下来我们另外还有一件事情，我们再来看看下面这个题，
把这个题讲一下。啊，另外还有一个点，大家注意。有一个问题啊，就说这个知识点是这样，如果这个人。它的反函数。对吧，比如说你这个人的反函数是y=f负x。好，这个人那么这个时候就有两个知识点，第一个事情你发现我原来函数中的这个自变量被反函数进行去复合。这人等于几啊，等于s。
然后第二件事情，你这个反函数被我原来函数进行复合，那这人是谁呀x啊？这件事情我好像在零基础提前学就讲过这个事情。你看吧，这两个东西啊，它刚刚好是不要了，这两个东西啊，刚刚好是不要了。但是前提得保证一个事情，你确确实实是它的反函数。所以接下来我们来看看这个题吧，他说这个函数在零到正无穷上可导f0是零，它的反函数是这个人。啊，
这是它的反函数，然后告诉了这样的一个等式，那么同学们想想。如果告诉了一个变现函数的等式，立即想什么见到变现函数，立即想求导，所以说怎么办？方程两边同时求导gfx上限，再求导变成它，然后这个企业归我呢？那求导呢？前导是2s。后面不倒，前面不倒，后面来倒。
那么所以说这个东西啊，立即想到这，然后接下来你看看你发现。这不是反函数吗？这不是原来函数吗？如果用原来函数进行去复合反函数中的自变量，这俩东西啊，刚好就约掉了，就变成了这个人。然后这个结果是2s倍的es，加上x方es。那么，绩效怎么办呢？你发现不为零的时候是不可以把它约掉？那所以说当不为零的时候，
可以把它约掉，其实你做这种选择题啊，你直接做就行了，你严谨一点，应该应该这样说。不为零的时候可以把它约掉。好，做成这样，然后接下来呢，你要进行求这个函数就积个分就行了，那积分的话，这个人积分一积就出来了，然后这人积分呢，你把这东西啊凑到后面去。然后接下来这个结果立即出来，
两项相乘减去两项调换位置，积分是它，然后这个时候呢，它就等于二倍的，然后减去一倍的，那就是一倍的。然后再加上s倍的es+c。啊，这个东西其实这个东西啊，你发现个事这个内容，它应该是什么不为零的情况，但是我们都知道这个函数在这个零。这个零到正无穷都可导，那肯定连续啊。连续极限等于函数值吗？
是吧，你看这个函数肯定连续。你这个函数初等函数本来就连续你直接做就行了，你直接把这个f0带进去，带进去，这是一这是零+c。他告诉结果是几？它说是零，所以说这里面当中的c是减c是负一，因此这个函数啊，马上出来了，它就等于多少es+s倍的es。然后再来减减减一。没有加c吧？不定积分要加c，
不定积分要加c啊，一定要细节一点。所以说就是两个人一相加，然后再减个一正确答案选几啊选b。要注意啊，不定积分要加c。其实这个题的话，我再强调一遍，严格一点做，应该是这样，我再说一遍，不为零的时候是这样。不为零的时候是这样。又因为这个人连续这个人连续这个人，本来就连续，
所以说可以连续到那个点。能理解吧，两边同时除上一个数，得保证这个东西不为零吗？能听懂吧，其实你细节一点，作文应该是这样，因为两边同时约掉个数，这个数不为零呐，你不为零的话才会有这个人，你不为零才会有这个人。但是没有关系，零的这个点数是连续的，连续这个人本来就连续。对吧，
你可以求极限，极限等于它本来就连续你可以连续到这个点就不管了。好了，这是我们讲的82题，这个题你所以说你发现如果你严谨一点，应该这样做，但是做这种选择题啊，你自己可以稍微的进行，看的更快一点。好了，这是我们讲的82题，这个题还可以吧，这个题一点都不难。你这个题你发现一个事儿很有我们三九六同学的这种感觉，骗子题你看起来非常繁杂，
其实你发现不就是求个导吗？你求个导了之后的话，约掉一下不就积个分吗？你说这种两分题啊，一定要把它拿下来，不是说特别难的题啊。好了，这个点呢，我们就讲到这。我说一个问题啊。这个点不是说人家一定要给你标，它是第二类反函数。是你自己就能看出来，这是第二类反函数。你自己就知道这是第二类反函数，
因为这是一个函数自变量是x，肯定是第二类反函数，那都一定要写成y等于它嘛。你学了这么多年的韩生，不会有这种感觉哦。对吧，你不能他一定要给你写成y等于什么什么，那我就写gs怎么了？那这个函数它也没有写成y等于什么什么呀？不不要这样对吧，你学了这么多年的函数了。这个问题，你在高一的时候你都不会问这个问题啊。好了，这个事情我们就讲到这，
那么接下来我们就继续吧，我们再来看一个题啊，这个题啊跟反函数求导就没关系了，来我们继续。那这个点呢？来我们先看题。那么，接下来我们一起来看看。他说一个事情，他说这个函数啊，是连续的，然后告诉我们这个极限等于一。能理解吧哎，告诉我们这个极限，结果等于一。
然后又告诉我们什么，又告诉了这样的一个函数，其实你注意啊，这件事情我们在这个第一章的过程当中啊，你应该非常的敏感了。那么，在第一章过程当中，我们讲了好多遍，你看到这种情况，你对t进行积分，结果应该没有t留下ss的函数。这种情况应该是换元的。一换它就是一个变现函数。对吧，这个东西一换，
它就是个变线函数。所以这个题啊，你要稍微注意那么首先前面这个部分呢，我们可以稍微进行化个简。那么前面这个化简呢，你发现我见到存在就拆开，所以说这里面当中当limits趋向解趋向零。然后这是fs比上s，然后再减去这个极限是一，然后等于一，所以说这个极限结果等于几啊等于二。来吧，继续，我们再来看。看到比值极限，
比值极限存在，且连续来分母极限是零。分子极限是零，还记得吧？第一件事情，分子极限是零。那么，然后连续极限又等于函数值f0是零，然后接下来我们就继续，我们再来看，那这个时候你发现这个函数啊？对吧，你后面不能洛必达，不能洛必达前面减一个f0，后面减个零，
那所以说又得到了f撇零=2，这跟得上吗？你后面减一下，你这减一下，你看这减个f0，你这减个零，那刚好上。所以这里面当中啊，我们就得到信息点说明零处的值啊，等于零导函数值啊，等于二，然后接下来让我们去求解这个函数求导。那么，在这里面当中给的这个函数，我们来试一下，
那这是多少呢？零到一，然后这是f多少ts，然后这是dt。那么，接下来怎么办？我们换个圆会做吧，那五种情况的非标准型的换圆一定要都要会啊，来我们换。一换就是令ts等于几啊u。那么，这个换元是把谁换成谁呢？把t换成US，充当于常数t是0u是零。t是一u是s，
然后这是fu那这个时候的t等于多少呢？等于s分之一u那d它呢？就是s分之一du。因此你发现这个s分之一啊，你得出去，然后就变成了这个人。好，这是这个情况。但是啊，你稍微注意一下，这有问题。哎，这东西有问题。你很明显会发现个事情，你这个函数在零处有没有意义啊？
你求的这个函数在临处没有意义。你临处没有意义，你就不会连续。你不连续你告诉我在零处的导函数会有吗？就不会有。诶，那这里面当中有问题，我这abcde这几个选项都有啊。出现什么问题了？出现了一个你做错了的问题。注意啊，这件事情错完了。你要想清楚一个事，原本这个函数你要想清楚，这个函数能不能等于零？
你告诉我能不能走一地？啊，原本这个函数能为零还是不能为零？当然能为零啊，我为零的时候，我往里面带，这不是f0吗？我可以为零呐，但是你这样做是不是s不为零？所以说你做的这个情况是不为零的条件下的结果。要注意这个事情啊，它是不为零的条件下的结果，你所以说连续两道题了。细节一点，看一看这个人的定义域，
对吧？要注意不为零的结果，然后这个人等于零呢来继续看。当s=0的时候，这个f0等于多少往里面带？往里面进行去带的话，你发现把这个零往里面带就是零到1f多少f0，然后这是第t。是不是这个情况，而f0是几f0就是零那零的话，你这个积分就是零，所以说这个函数应该是个分段函数。你发现没？注意这个函数啊，是一个分段函数零到s，
这是fudu，然后这是s不为零。s=0呢是零。啊，这是个分段函数，那既然是个分段函数的话，我们接下来求这个点处的导函数，那其实就是limits趋向零。然后是fs，那就是你，你减f0，你减f0比上s- 0，其实就是零到sf udu。然后比上多少s平方，是不是这个情况？
所以说这个里面当中，你看连续你可以落下一落，这是二s分之fs。所以说这人结果就是二分之一，这个人那二分之一，这个人的话，你看该点处的导函数，其实这个极限是二，那这个极限是二的话，你看你再乘个二，因此等于一。所以说本题的正确答案选几啊选d。所以说如果做题的严谨性呢，一定稍微注意一下，你这样一换，
原本我这个函数啊，我是可以为零的。但是你一换了之后，这个东西就不为零了，你破坏了地域了，所以说等于零，你得单独讨论。哎，这个点还是非常好的一个信息点啊。你要会做。可以吧好，这是这个问题，所以说这个考点考的就是一个变现函数的求导问题，对吧？哎，
我们在这各种类型的导数计算当中啊，你发现一个事情。变现函数的求导。啊，变现函数驱动。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看啊。这是我们讲的这个问题，变现函数求导。那么所以说，变现函数求导，我觉得几个点吧，第一个点变现函数的。求导法则，
你得知道。对吧，标准型第二事情变线函数的。非标准型的处理。处理鸟灰，这个必须会有。非标准型的处理，那么一个非标准型的处理啊，你这是必须要会的，我们前面讲的过程当中讲了好几种情况。对吧，有拆分的情况。对吧，还有这里面当中换元的情况，提出的情况，
还有这里面当中换元，你所以把前面那几种五种情况，你天天练一练，我觉得这个问题点一点都不大。好了，这是变现还是渠道？你要达成定式思维。你见到这个东西就想换一换这个东西出来了，好这个题啊，其实吧，这个题对咱们班同学，你想想。我觉得同学们，你还有没有方法？你需要做到这么麻烦吗？
啊，同学们，这个题的话，你发现如果对于咱们班同学，你会怎么做？两下就出来了。对吧，速战速决，你再来看看方法二。那方法二，在题目当中，它不就告诉了一个什么，它就告诉了这是s这是fs这个极限是二吗？这推出来的。对吧，
你就来给我举一个g是连续。一物是一是连续第二件事情，符合这个人的例子，你就取多少，我赶紧进行取取，这个fs为2s。是不是这个事情，然后接下来的话，你发现这个大fs这个人呢，他就等于零到一，你就把这个人带进去，那就是2t倍的s。然后d什么dt你既然对t积分，那这个s是个常数，你常数的话就把这个2s抛出去，
零到1 tdt。那这是二分之一，那这不就x吗？那既然是x的话，你发现x这个人在x处的导函数就是解一那x在零处的导函数是解一秒了选d。你看这个题还需要费那么多劲吗？不需要那这样做几十秒钟就出来了，对吧？根本不需要用到一分钟。这就是操作性的水平。所以你会发现这个强化班呢，你是一定要好好进行听的。他会非常细心去提高你的做题速度。你看这个水平点，因为你的结果是一，
你看我举出了一个是一，你不可能是负一，你不是零，你不是二，你不是它不对，那正确答案选几啊选？选d能理解吧，所以说一定要有意识见到这种抽象函数，对吧？见到抽象函数。如果进行去运算的时候，你可以举例子。选择题嘛。但是我再说一遍呃，不要因为这种下面的技巧法忽略了常规方法，
常规方法是非常重要，不行啊，很多人把前面这个东西给忘掉，那可不行啊。绝对不行，你要注意基本方法，你像这种严格的推演法会帮着你复习知识点，会帮着你进行去把这个里面当中的很多部分的知识啊。的东西给你进行去综合性的啊，这个复习一下你所以说像这个部分内容，你一定要好好进行看。能听懂吧，绝对不行啊，你看通过这个东西复习了换元法，通过这个东西复习了这个倒数第一。
通过这个方法，而且更加的严格了，我们将来做题当中的一些细节。你像有的时候的话，这个部分它如果这东西是不为零的时候，它怎么办？对吧，你为什么要不为定？原来的话，它是什么？原来定义域是r，为什么要不为零？你要想清楚这个事情好了，这个点呢，我们就讲到这啊。
那么，这是我们在这本当中啊，讲的这个第一个问题可以了吧？好，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个点考项六高阶导数计算。哎，高阶导那么对于高阶导数计算呢？那么第一个事情公式法必须会，这个东西是必须要会的。然后第二点，泰勒展开法，我们是打一个这个经典当中的一个痛点。这是从来没有出过题的，所以你稍微进行小心一下这个事情，
那么接下来我们来看看高阶导数计算。第一件事情，公式法。哎，公式法。那公式法没有别的事情，一些常见的高阶导数计算公式啊，你把它记一记就行呃，还是那个问题，就是暑期过程当中就记。能理解吧，哎，暑期救济。暑期就把它记住。所以刚才我们讲的那几个信息点，
你一定要会啊，你像反函数啊，你从来没出过它，一下子出到二级导数，你发现这个问题点就来了。所以接下来我们来看看第一个事情公式法。所以强化班的时候呃，上节课下课之前我不是给你讲了吗？每天上午的时候呃，记一些公式也是可以的。对吧，但是记数学公式啊。我强调一个问题啊。因为我以前呐这个呃，以前原来在那个北京新东方上课的时候，
因为他们上午呃，上午的话会有那个晨读。然后的话，那个有一天我去的早一点，我发现有同学的话就直接开始朗诵这个数学公式了，没有必要。没有必要，不要这样。不要给我背诵这个数学公式，不要这样。注意倍数学公式啊，计数学公式脑子要去转，就想对吧，去理解着来。能听懂我的意思吗？
不要去朗诵朗诵数学公式有什么用啊？啊，不要这样啊，你要脑子进去去想你思考这个公式是什么啊？这是这个点，我上节课给你教的那个非常好的方法。那么，最终达到什么能力？我跟你讲这个能力啊，一点都不难。你最终达到一个能力，比如说举个例子。在你的考前，你就拿出三张大白纸。考前那天晚上拿出三张大白纸，
不一定说考前那天晚上你考前一个周都可以拿出三张大白纸合上。能不能你发现一个事情，你自己从头到尾都知道，我们从第一第一个考点，哎呀，有哪些知识点，第一个考点有哪些题型，有哪些方法，对吧？这个知识点是什么？比如说我以无穷小量，那么这个无穷小量的公式能不能等价无穷小替换，你不一定说把每个写出来对吧？比如说举个例子，第一个事情哦，
无穷小量比皆什么意思啊？两个人作比啊是零怎么样？你可以粗糙写奥会的。可以估，然后等价无效公式啊，这个会的可以估，然后等价无效替换原则哦，会的可以估能理解吧，我跟你讲这个能力啊，应该是很多同学能达到能力。哎，能达到能力。所以你会发现一个事儿，这个点呢，一定注意，
你最终就要达到这个能力。对吧，你不一定说呃，我给你讲一个事情，就是你大脑自己在回顾的时候，你比如说举个例子，你比如说这是es-1-s，你自己知道等价多少，你就自己写呗。然后的话，这个什么你知道等价多少，你自己画就行了，不一定说把每个东西具体写出来，一定要脑子在那个点上动那么一下。动能力下非常的重要。
我不要求你说你一定写的非常的整齐认真，我希望的是脑子动的更多。所以我觉得呃，一个事情，比如说抄题的时间。你整理错题，抄题的时间尽可能不要。把大脑更多的时间放在思考上。就是你脑子多动那么一下，比你自己多进行去抄那个题啊，我觉得更重要一点啊。好了，这是这个事情吧，我们就讲到这，那么接下来我们先来看看公式法。
来先来看看第一个事情公式法。先看第一公式。第一个公式啊，比较重要点啊，就是这个as加b分之一，这个公式能记得住吧？诶，这个人最重要，他是as+b的n+1次方。a的N次方负一的N次方n的阶乘。好，这是这个人啊，这个东西得记住啊，一定得记得，那么如果考lin怎么办？
你看call l nas+b的时候，那这个人的n阶导数我就可以，怎么办？我先求一项。求一下分之它，然后再求n- 1项。然后这个东西是系数法求导的过程，当中系数是抽出去的，这你知道吧，不要再出去n- 1次方，然后再去求这个人就行。好了，这个点呢，我们就不讲了，然后再来看看第二件事情。
你比如说这里面当中的三。它的n阶导数公式。对吧，这个人那这人的n阶导数公式啊，其实就是s in，然后这个s加上二分之n派。然后这里面当中是c。cos这个人呢？也是这里面的coss加上二分之n派。好，这是这个人。能理解吗？所以下去要好好进行想，对吧？思考这个问题，
那么这是我们讲的这个第二个人，然后再看第三个人。a的s指数函数每一次求导了之后，自己都不动，每一次求导多了一个lnn次方，然后这是e的as。每次求导对自己求导都不懂，然后的话，每次多了个AA的N次方好，这是这个人，然后第四个事情啊幂函数我们就不写了。对吧，比如说幂函数，比如三次方只能经过三次求四次方只能经过四次求，但是我觉得这里面当中最重要的是谁呢？
最重要的是，莱布尼茨公式。很有几率啊。这个东西啊，非常有几率进行考察。莱布尼茨公式，莱布尼茨公式是什么呢？就是两人乘法求导的n阶导数计算。两人相乘，那就是多少CN 0a的n阶导b的零阶导，就是没有求导。CN 1，然后是a的n- 1接到，然后b的一接到，然后咔咔咔一直加CNN。
然后是a的零极导，就是没有极导b的n极导。好，这是这个人，所以说你发现一个事，把这公式啊，你得记住。莱布尼茨公式啊，是最有考察的可能性的，所以说既然我这个人这么重要的变成这个颜色，你不配，你变成黑色吧啊。好了，这是这个问题吧，我们就说到这。
跟概率论。那个那么像哪一个呀？啊，跟概率论哪个那么像啊？我咋不知道这个东西跟概率论哪个哪个很像呢？好了，这是这个事情，我们就讲到这了。所以说这里面当中，你要稍微注意一下，这是第一个事情，公式法啊，公式法。那么，这是我们讲的这个第一个问题，
可以了吗？你说二项式定理吗？那不是概率论吧啊。好了，这是我们讲的这个第一个问题，你要到了今天呢，你还觉得说它像。那我觉得就没有什么意思了，那这个基础班怎么听的呢啊？不要这样啊，不要这样。所以说你不要觉得到了这个。强化班了，你还觉得哇，这个东西跟那个很像，
你不要有这种吃惊感觉。对吧，你就会到强化班的时候，我希望到了最后的话，这个呃冲刺阶段的时候，你就会发现，哎呀，普普通通掀不起内心一丝波澜。你到了现在而言，一个公式居然还能引起你的诧异。啊，引起了你的惊讶，我觉得不值得，好了，这是第一个点公式法。
那么，接下来我们再来看看第二件事情。那么，今天的重点呢？我们会讲一个事情，叫做泰勒展开法。啊泰勒展开法。它的展开法呀，是我们今天的一个重点部分内容，这也是我们打的一个点啊。这也是做了一个预测点啊，像这个部分的东西啊，我们不会考特别特别的难，但是一些常规的东西啊，你还是要会的。
然后最后又是一个递归法，要不这样吧，我们先来做一个题，先看这个题。来看看这个题目。那这个题啊，让我们继续去求解它的一个n极导数，那这个人怎么做？那既然在这里面当中，让我们去求解这个n阶导数，不就是套公式吗？但是在这种当中，我们不喜欢是二次方，我们喜欢的是一次方，所以在这种当中啊，
我们就列个项，这是负的。然后下面部分呢是x- 1 x+1，然后分之一，那这个东西一列的话就变成多少？那下面小的反而大，下面大的反而小。那这个数是一，这是一。然后这半边的话，上去s加一，这是s减一，那么这外面有个二分之一没问题吧？好列项，然后接下来让我们去求解n阶导数。
那求解n阶导数的话，你发现负二分之一是系数，每次求导的话，这个系数都抛出去了，然后这个时候其实就是x减一这个人的n阶导数。你再减去多少x+1的这个人的n极导数？那是不是直接套公式啊？来公式法。那第一个公式是多少呢？来看这个第一个公式，刚好是这是ax+b的n+1次方，然后是AA是一。然后是负一的N次方n的阶乘，然后再减去ax+b的n+1次方。a的N次方负一的N次方n的阶乘。
是不这个人呐，所以说这里面当中我们来看看这个答案呢。答案的话，没有把这个什么，没有把这个前面写的负的写的是正的，所以说这里面当中我把二分之一还有这个n的阶乘抽出去，然后。然后负号进去，负号进去的话就是x+1的n+1次方，然后这是负一的N次方，然后再减去多少？再减去x- 1的n+1次方，然后这是负一的N次方。是吧，调换一个位置嘛，
那所以说这里面当中就出来了，那应该是谁呢？是x+1。这个题怎么写的是一减x一加x？那一减s这个东西怎么办呢？我稍微说一下这个事情，你看这里面当中。你这是x减一的n加一次方，你这人怎么写呢？你这个很好办的，你看这个人的话，你发现一个事儿写的是一减s。那再是n+1次方，你再乘上一个负一的n+1次方。能听懂我的意思吗？
就就这么简单，你所以说这个人的话，其实是二的n的阶乘，你这个题已经做完了，然后这是一+s的n+1次方。这负一的N次方，然后这里面当中啊，给你耍了一个心眼，然后这是一减x的n加一次方。然后上面是负一的N次方，然后这是负一的n+1次方，你这负一的N次方，然后这负一的n+1次方，你约一个呗。你约一个，
还剩下负一，你还剩下负一，这个人变成加号就行。能听懂吧，你上面是负1N次方，这是负1 n+1次方约掉嘛，还留下一个负一，然后这个人出来了。所以说这个结果正确答案选几啊？正确答案选择。这不是一加。这也不是一加。然后这东西是一检。然后正确答案选几。选诶，
选c。对，选c啊。好了，这是这个题答案选c。好了，这是这个事情吧，你自己稍微挑一下就行了啊。呃，你一开始列的话，你发现你直接列成一减s一加s也行。但是你要注意一个问题啊，就说如果你是一减s，这个人求导，你要稍微注意，
你看你一减s的这个n阶导数的话。那这个系数就是。ax+b的n+1次方负一的N次方。对吧，它系数是AA的N次方，然后n的阶乘负一的N次方，哎，这一下就出来了是吗？那也行啊。但是我这个题确实啊，你得盯一下选项，这个题也提醒了我们，你做三九六的题的话，你发现你盯一下这个选项，你确实还会更快一点。
好，你试一下这个事，你就说你一开始的而言的话，你就把这个人写成什么，你把这个东西二分之一，然后这个东西负号进去。呃，或者提一个符号。对吧，你这个来一个负号的话，你一开始就写成多少，你写成一减啊，这个很可能会更快一点，那这个是多少呢？这是一减s分之一，
这是。是负二分之一负的，然后这是减去s加一分之一，所以说这个结果的话直接提一个负号就是二分之一，然后这是多少一减s分之一？减去一加s分之一好，这个人也可以，是不是这个事情啊？那行吧啊，那你说明你做的比我做的好啊，那这个我觉得这个方向就非常好了。好了，这是这个问题，那么接下来我们再来看看这个人，你就变成了什么？
你就变成了这个人？这人的n接头，你再减去多少一加s分之一的？这人n接头好了，这是这个人。可以了吧？好了，这是这个点啊，你自己下去做一下刚刚好，你就把这个a呀当做成负一可以了吧？好，第一个点。来那么接下来我们继续吧，我们再来看看下面这个题。好，
再来看看这个题。啊行了，飘了飘了飘了啊，好好听啊，来那么接下来我们就继续，我们再来看看85题这个题。那这个题啊。发现个事，他给了一个函数，然后这里面当中啊，他让我们去求啊。哦，这是加号对吧？提一个符号加号。啊，
好了，那么接下来我们继续，我们再来看看85题啊，继续来看。那85题啊，这里面当中给了一个函数，让我们求解它在邻处的n阶导数，你发现看你这个人好求导吧。你这个人也好求导吧，而且你发现这个人顶多求两次。对吧，顶多求两次，所以说在这里面当中，我们来看看这个n阶导数。那这人的n阶导数的话，
你就发现那就是这个人有零次，有一次有二次。然后就是CN 0，然后这人零接导就是没有求导，然后这个人是什么？这人是n接导，然后再加上CN 1。然后这人求一下，那这个人求几下呢？这人求n- 1下，不要算哦，千万不要算，然后再是CN 2。CN 2的话，这是二，
然后这个部分呢？是二的s的n- 2阶段。那这个时候你要注意它，而且让我们把零带进去，不要算出来啊，先不要算把零带去零往里面带的话，你看这项是零。这项是零那所以说最后而言的话就留下这个人CN二CN二是多少是二分之n乘n减一。你再乘个二，然后这个东西呢？这个东西求导，就是每次对自己求导不变，多了一个ln 2多了多少呢n- 2个。然后再往二的零次方是一，所以说这个结果刚好是ln 2的，
这个人的n- 2次方。能理解吧，那这个题的正确答案选几啊？正确答案这两个东西约掉了。答案选择n×n- 1，然后是ln 2的n- 2次方选b。地推法。你能推到这推疯了，我跟你讲啊。你推疯了，你未必都能推得出来，别乱来啊。那么，接下来你发现你看这个后面的部分我没有写了，对吧？
因为再来的话，这个人再求导就是零，后面就没有了，后面的话我就没有写了。好了，这是这个问题。能想清楚吧。我再强调一遍。呃，这两天我上这个数一数二数三课，我也老说这个问题。你要注意强化课程，在干嘛呢？一个事情我们讲的这个题型，你能不能接受这个方法就去用这个方法？
你是这些方法已经达到炉火纯青的地步了吗？一定要继续去独成一派，创造一个体系吗？所以不要这样，我们讲到这个事情，你就核心重点给我用这个内容就行，你见到这个东西导向性非常明显，你见到这个东西导向性非常明显。每当讲的这个东西都没有消化，老是要进行去发散，特别希望怎么办？再进行创造一个体系。啊，不要停，慢慢来啊。
呃，强化班来得及啊，来得及。如果的话，你在学那个？基础班的话是可以的。啊，没有问题啊，你就算这个。到了这个八月中下旬，把那个基础复习完，然后你的九月份到十月份，你再进行复习，强化也是可以的十。11月份再做模拟卷也是可以的，
来得及啊，对我们三九六同学肯定来得及啊，加油。好了，这是我们讲的这个问题，可以了吧？所以接下来我们继续啊呃，所以这个一直跟着我们三九六的同学跟的，你可能的话，我就比咱们就比较卷一点了啊。比较卷一点，因为我们这一轮基础过程当中，原来那一轮基础其实就打的非常的扎实，你要是复习到位了啊，你确实复盘的这个复习的还是非常扎实的。
然后再轮这一轮强化呀，所以这个你选在强烈，但是按照这个常规路线是也是可以的啊，没有问题啊。好了，这是我们讲的这个问题，来继续吧，再来看这个题。再来做截。看这个题，那这个题怎么做呢？它让我们去求解这个n极导数。然后去求解这个n阶导数，你可以怎么办？我们先进行，
就这样求。我们先进行求一阶，求一阶就是一减二s分之多少负二，再去求多少n减一阶段。然后这个时候的话，这个问题点就变成多少就变成了二x减一分之二，然后这是多少n减一接头，而且你要注意这个二啊，每次是出去啊。你注意这个二是出去了，直接就是二，然后这是2 x- 1，然后分之一的n- 1，接到能理解吧？注意这个东西啊，
直接出去就行了。因为这个人是系数在求导的过程当中，系数是出去的，他不是它次方啊，这是要注意的，然后接下来这前面有个二来我们来算。那就是ax+b的n+1，你看这个人就是n，然后原本是a的N次方，这是n- 1次方。原本是负一的N次方n- 1次方n的阶乘n- 1的阶乘。那所以说这个时候我们再把这个零我们给带进去，带进去了之后的话，这个人就是负一的N次方，然后这是二的N次方。
然后这是负一的n- 1次方，然后这是n- 1的阶乘，然后这两个东西啊约一下。你这样东西约一下，还留下多少？留下负一的负一次方，负一的负一次方是负的，所以这是二的N次方，然后这是n- 1的这个阶乘。所以这个题的正确答案选几啊？哎n- 1的阶乘。所以，正确答案选择d选e选项。好了，这是我们讲的这个86题，
这个题过去了可以吗？好了，这是这个问题。那么，接下来我们就继续，我们再来看啊，还有一个问题，你来看看这个题。对吧，这有个题。那这个题的话，两项乘法求导，然后让我们去求解n阶导数在零处情况。那对于这个题而言的话，你可以使用莱布尼茨公式做吧？
好，我们先来看看方法一。那么，对于这个题，你可以进行去求n阶导数。啊n极导数，然后这个人是CN 0。然后这个部分是x方，然后这块有一个n阶导，我不写了。为啥不写了一块代入零，然后是CN 1，然后这个部分是多少呢？求导是2s这块有一项不写了。然后接下来是CN二，
然后这人求导是多少二，然后这是多少ln这个一加s分之一。你再看这个人。ln多少呢？一+s分之啊，这个lns没有没有分之一，我们先求n阶导吧，先先不分之一。那么，然后接下来我们要代入几，这是s。然后接下来我们要带入零把零带进去，把零带进去了之后的话，你看你再超过了，后面都是零啊，
因为这个二级导数已经是二了，三级导数后面都是零不写了。然后再代入里呢，这项没了，这项没了，留下这项，那这项是多少？这是二分之n乘多少？n- 1那所以说这个前面是多少n×n- 1？好这个人，然后接下来我们就要进行计算这个人，那这人怎么计算呢？你这人可以这样，你先算一截，就是x加一分之一。
然后接下来嗯。哦，这是n- 2级头，不好意思。那么，这个人可以先求一阶，求一阶了之后的话，你发现然后就留下了多少n- 3阶等。没问题吧，我先求一下。先求一下，那就只用进行求n- 3极导了，那么所以说这里面当中的问题点就出来了n×n- 1注意啊，一会儿要把s=0带进去。来继续哦，
再来看那这人进行求导的时候的话，我们就来看那就是ax+b的n+1次方那加个一是减二。然后是一的n减次啊，三次方，然后是是负一的多少次方n- 3次方，然后这是n- 3的阶乘。再把s=0带进去。是不是做成这样了，等你进行做成这样了之后，我们再来看。那这个时候的这个结果就是n×n- 1，然后这是负一的n- 3次方，然后是n- 3的阶乘。好了，这是这个情况。
呃，然后接下来我们来看看这个事情，但是你看一下这个选项，好像又没有什么答案呢？对吧，又没有什么答案，那这怎么办呢？那么稍微我们进行看看这个事情，你首先第一个信息点，你要注意。负一的n- 3次方，其实就是负一的n- 1次方，你再乘上负一的负二次方，这是一吧？哎，
这是一样的。所以说这个时候啊，你发现这前面这人等于n- 1次方是一样的。所以接下来你再来看这个选项当中啊，都差不多，你不带负一的，这个n- 1次方的都不对，你这都不对，对吧？你这都不对。然后接下来我们再来看，这有个n- 2。这个n- 2什么意思呢？你看你再补一个n- 2。你补一个n- 2的话，
这就是n×n- 1，再乘n- 2，再乘n- 3的阶乘。那同学们想想这是什么呀？啊，这一堆呀。那这一堆的话，不就是从n再乘上一吗？这不就是n的阶乘吗？是不这个问题，所以说这个结果马上就出来了。能听懂吧好，这是这个点，所以正确答案选择几啊，应该选择b选项。
好了，这是我们讲的这个问题，87题啊，所以对于我们做题啊，你一定要注意选项是非常重要的选项，就是一种提示。对吧，选项就是一种提示，其实也很好看的，你看这个人是从n- 3乘下去n- 3 n- 4 n- 5。你这是nn- 1差了，个n- 2嘛，你补上n- 2了之后的话，这个人不就是n的阶乘了吗？是不这个问题好了，
这是这个点过去了，可以吗？87题。啊，不看选项也能知道呀。这东西不是个难点啊，不看选项也能知道，你看n乘到n- 1。n乘到n- 1，你再乘n- 2，这是n- 3下去，你补一个n- 2的话，不就是顺下去了吗？然后再来个分之一。就可以了行吧，
那么这个点呢，我们就讲到这儿稍休息会儿可以吗？好休息五分钟，然后一会儿过程当中啊，我们再继续开始。行吧，稍微休息会儿吧，一会儿继续。
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